rs t rs - - PowerPoint PPT Presentation

• r♦✉♣s✱ ❙t ❆♥❞r❡✇s ✷✵✶✼

◆♦♥✲❝❛♥❝❡❧❧❛t✐♦♥ ❣r♦✉♣ ♦❢ ❛ ❞✐r❡❝t ♣r♦❞✉❝t

❘✳ ❑✇❛s❤✐r❛✶, ✷ ❲♦r❦ ✇✐t❤ ❏✳❈✳ ▼❜❛✸

✶ ❯♥✐✈❡rs✐t② ♦❢ t❤❡ ❲✐t✇❛t❡rsr❛♥❞✱ ❙♦✉t❤ ❆❢r✐❝❛✱ ✷ ❉❙❚✲◆❘❋ ❈❡♥tr❡ ♦❢ ❊①❝❡❧❧❡♥❝❡ ✐♥ ▼❛t❤❡♠❛t✐❝❛❧ ❛♥❞ ❙t❛t✐st✐❝❛❧ ❙❝✐❡♥❝❡s

✭❈♦❊✲▼❛❙❙✮✱ ❙♦✉t❤ ❆❢r✐❝❛✱

✸ ❯♥✐✈❡rs✐t② ♦❢ ❏♦❤❛♥♥❡s❜✉r❣✱ ❙♦✉t❤ ❆❢r✐❝❛

❇✐r♠✐♥❣❤❛♠✱ ❯❑ ❆✉❣✉st✱ ✷✵✶✼

❘✳ ❑✇❛s❤✐r❛✶, ✷ ❲♦r❦ ✇✐t❤ ❏✳❈✳ ▼❜❛✸ ✭✶ ❯♥✐✈❡rs✐t② ♦❢ t❤❡ ❲✐t✇❛t❡rsr❛♥❞✱ ❙♦✉t❤ ❆❢r✐❝❛✱ ✷ ❉❙❚✲◆❘❋ ❈❡♥tr❡ ♦❢ ❊①❝❡❧❧❡♥❝❡ ✐♥ ▼❛t❤❡♠❛t✐❝❛❧ ❛♥❞ ❙t❛t✐st✐❝❛❧ ❙❝✐❡♥❝❡s ✭❈♦❊✲▼❛❙❙✮✱ ❙♦✉t❤ ❆❢r✐❝❛✱ ✸ ❯♥✐✈❡rs✐t② ♦❢ ❏♦❤❛♥♥❡s❜✉r❣✱ ❙♦✉t❤ ❆❢r✐❝❛✮ ◆♦♥✲❝❛♥❝❡❧❧❛t✐♦♥ ❣r♦✉♣ ♦❢ ❛ ❞✐r❡❝t ♣r♦❞✉❝t ❇✐r♠✐♥❣❤❛♠✱ ❯❑ ❆✉❣✉st✱ ✷✵✶✼ ✶ ✴ ✷✸

❖✉t❧✐♥❡ ♦❢ ❚❛❧❦

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ◆♦♥ ❝❛♥❝❡❧❧❛t✐♦♥ s❡t ♦❢ χ♦✲❣r♦✉♣s ◆♦♥ ❝❛♥❝❡❧❧❛t✐♦♥ s❡t ♦❢ K✲❣r♦✉♣s ❚❤❡ ❝❛t❡❣♦r② ●r♣❋ ◆♦♥ ❝❛♥❝❡❧❛t✐♦♥ ❣r♦✉♣ ♦❢ ❛ ❞✐r❡❝t ♣r♦❞✉❝t

❘✳ ❑✇❛s❤✐r❛✶, ✷ ❲♦r❦ ✇✐t❤ ❏✳❈✳ ▼❜❛✸ ✭✶ ❯♥✐✈❡rs✐t② ♦❢ t❤❡ ❲✐t✇❛t❡rsr❛♥❞✱ ❙♦✉t❤ ❆❢r✐❝❛✱ ✷ ❉❙❚✲◆❘❋ ❈❡♥tr❡ ♦❢ ❊①❝❡❧❧❡♥❝❡ ✐♥ ▼❛t❤❡♠❛t✐❝❛❧ ❛♥❞ ❙t❛t✐st✐❝❛❧ ❙❝✐❡♥❝❡s ✭❈♦❊✲▼❛❙❙✮✱ ❙♦✉t❤ ❆❢r✐❝❛✱ ✸ ❯♥✐✈❡rs✐t② ♦❢ ❏♦❤❛♥♥❡s❜✉r❣✱ ❙♦✉t❤ ❆❢r✐❝❛✮ ◆♦♥✲❝❛♥❝❡❧❧❛t✐♦♥ ❣r♦✉♣ ♦❢ ❛ ❞✐r❡❝t ♣r♦❞✉❝t ❇✐r♠✐♥❣❤❛♠✱ ❯❑ ❆✉❣✉st✱ ✷✵✶✼ ✷ ✴ ✷✸

❆❇❙❚❘❆❈❚

❆❜str❛❝t

❈♦♥s✐❞❡r t❤❡ s❡♠✐❞✐r❡❝t ♣r♦❞✉❝t ●✐ = Z♥✐ ⋊ω✐ Z✳ ▼❡t❤♦❞s ❢♦r ❝♦♠♣✉t❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ♥♦♥✲❝❛♥❝❡❧❧❛t✐♦♥ ❣r♦✉♣s χ(●✶ × ●✷) ❛♥❞ χ(● ❦

✐ )✱

❦ ∈ N ✇❡r❡ ❞❡✈❡❧♦♣❡❞ ✐♥ ❧✐t❡r❛t✉r❡✳ ❲❡ ❞❡✈❡❧♦♣ ❛ ❣❡♥❡r❛❧ ♠❡t❤♦❞ ♦❢ ❝♦♠♣✉t✐♥❣ χ(●✶ × ●✷, ❤)✱ ✇❤❡r❡ ❤ : ❋ ֒ → ●✶ ⊆ ●✶ × ●✷ ❛♥❞ ❋ ❛ ✜♥✐t❡ ❣r♦✉♣✳

❘✳ ❑✇❛s❤✐r❛✶, ✷ ❲♦r❦ ✇✐t❤ ❏✳❈✳ ▼❜❛✸ ✭✶ ❯♥✐✈❡rs✐t② ♦❢ t❤❡ ❲✐t✇❛t❡rsr❛♥❞✱ ❙♦✉t❤ ❆❢r✐❝❛✱ ✷ ❉❙❚✲◆❘❋ ❈❡♥tr❡ ♦❢ ❊①❝❡❧❧❡♥❝❡ ✐♥ ▼❛t❤❡♠❛t✐❝❛❧ ❛♥❞ ❙t❛t✐st✐❝❛❧ ❙❝✐❡♥❝❡s ✭❈♦❊✲▼❛❙❙✮✱ ❙♦✉t❤ ❆❢r✐❝❛✱ ✸ ❯♥✐✈❡rs✐t② ♦❢ ❏♦❤❛♥♥❡s❜✉r❣✱ ❙♦✉t❤ ❆❢r✐❝❛✮ ◆♦♥✲❝❛♥❝❡❧❧❛t✐♦♥ ❣r♦✉♣ ♦❢ ❛ ❞✐r❡❝t ♣r♦❞✉❝t ❇✐r♠✐♥❣❤❛♠✱ ❯❑ ❆✉❣✉st✱ ✷✵✶✼ ✸ ✴ ✷✸

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥

◆ ❢✳❣✳ ♥✐❧♣♦t❡♥t ❣r♦✉♣ G(◆)✿ ✐s♦♠♦r♣❤✐s♠ ❝❧❛ss❡s ♦❢ ❢✳❣ ♥✐❧♣♦t❡♥t ❣r♦✉♣s ▼ s✉❝❤ t❤❛t ❢♦r ❡✈❡r② ♣r✐♠❡ ♣ ▼♣ ≃ ◆♣ G(◆) ❤❛s ❛ ❣r♦✉♣ str✉❝t✉r❡ χ♦ ✿ ❝❧❛ss ♦❢ ❛❧❧ ● ❢✳❣✳ ❣r♦✉♣s ✇✐t❤ [●, ●] ✜♥✐t❡ ◆♦♥ ❝❛♥❝❡❧❧❛t✐♦♥ s❡t χ(●)✿ s❡t ♦❢ ❛❧❧ ✐s♦♠♦r♣❤✐s♠ ❝❧❛ss❡s ♦❢ ❣r♦✉♣s ❍ s✉❝❤ t❤❛t ● × Z ∼ = ❍ × Z ◆ ✐s ❛ ❢✳❣ ♥✐❧♣♦t❡♥t ❣r♦✉♣ [◆, ◆] ✜♥✐t❡ t❤❡♥ G(◆) = χ(◆) χ(●) ❤❛s ❛ ❣r♦✉♣ str✉❝t✉r❡ s✐♠✐❧❛r t♦ t❤❡ ❣r♦✉♣ str✉❝t✉r❡ ♦♥ t❤❡ ▼✐s❧✐♥ ❣❡♥✉s ♦❢ ❛ ♥✐❧♣♦t❡♥t χ♦✲ ❣r♦✉♣ ❍ × Z ∼ = ● × Z ✐✛✳ ❍π ∼ = ●π ✭π ❢♦r ❡✈❡r② ✜♥✐t❡ s❡t ♦❢ ♣r✐♠❡s π χ♦✲ ❣r♦✉♣ ❍✱ χ(❍) ❝♦✐♥❝✐❞❡s ✇✐t❤ t❤❡ r❡str✐❝t❡❞ ❣❡♥✉s Γ❢ (❍) ♦❢ ❍

❘✳ ❑✇❛s❤✐r❛✶, ✷ ❲♦r❦ ✇✐t❤ ❏✳❈✳ ▼❜❛✸ ✭✶ ❯♥✐✈❡rs✐t② ♦❢ t❤❡ ❲✐t✇❛t❡rsr❛♥❞✱ ❙♦✉t❤ ❆❢r✐❝❛✱ ✷ ❉❙❚✲◆❘❋ ❈❡♥tr❡ ♦❢ ❊①❝❡❧❧❡♥❝❡ ✐♥ ▼❛t❤❡♠❛t✐❝❛❧ ❛♥❞ ❙t❛t✐st✐❝❛❧ ❙❝✐❡♥❝❡s ✭❈♦❊✲▼❛❙❙✮✱ ❙♦✉t❤ ❆❢r✐❝❛✱ ✸ ❯♥✐✈❡rs✐t② ♦❢ ❏♦❤❛♥♥❡s❜✉r❣✱ ❙♦✉t❤ ❆❢r✐❝❛✮ ◆♦♥✲❝❛♥❝❡❧❧❛t✐♦♥ ❣r♦✉♣ ♦❢ ❛ ❞✐r❡❝t ♣r♦❞✉❝t ❇✐r♠✐♥❣❤❛♠✱ ❯❑ ❆✉❣✉st✱ ✷✵✶✼ ✹ ✴ ✷✸

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ✷ ❝♦♥t✐♥✉❡❞✳✳✳✳

❋✐① ❋ ✜♥✐t❡ ❣r♣✳ ❤ : ❋ − → ● ❜❡ ❛ ♠♦♥♦♠♦r♣❤✐s♠

• r♣❋✿ ❝❛t❡❣♦r② ♦❢ ❣r♦✉♣s ✉♥❞❡r ❋

♦❜❥❡❝ts✿ (●, ❤), (●✶, ❦) ❣r♦✉♣ ❤♦♠♦♠♦r♣❤✐s♠s ❤ : ❋ − → ● ❛♥❞ ❦ : ❋ − → ●✶ ♠♦r♣❤✐s♠s✿ ❣r♦✉♣ ❤♦♠♦♠♦r♣❤✐s♠ β : ● − → ●✶ s✉❝❤ t❤❛t β ◦ ❤ = ❦ π✲❧♦❝❛❧✐③❛t✐♦♥ ♦❢ ❛♥ ♦❜❥❡❝t✿ ❤ : ❋ − → ● ✐s t❤❡ ♦❜❥❡❝t ❤π : ❋ − → ●π ✇❤❡r❡ π ✐s s❡t ♦❢ ♣r✐♠❡s X❋✿ ❢✉❧❧ s✉❜❝❛t❡❣♦r② ♦❢ χ♦✲ ❣r♦✉♣s Γ❢ (❤)✿ r❡str✐❝t❡❞ ❣❡♥✉s✿ ✐s♦♠♦r♣❤✐s♠ ❝❧❛ss❡s ❦ s✉❝❤ t❤❛t ❦π ✐s ✐s♦♠♦r♣❤✐❝ t♦ ❤π ❢♦r ❦ ∈ X❋ ❋ ✐s ❛ tr✐✈✐❛❧ ❣r♦✉♣ t❤❡♥ X❋ ✐s ✐❞❡♥t✐✜❡❞ ✇✐t❤ χ♦✲❣r♦✉♣s ❋ tr✐✈✐❛❧ ✿ χ(●, ❤)✱ ♥♦♥ ❝❛♥❝❡❧❧❛t✐♦♥ ❣r♦✉♣ ♦❢ ● ✉♥❞❡r ❋ ❝♦✐♥❝✐❞❡s ✇✐t❤ χ(●)

❘✳ ❑✇❛s❤✐r❛✶, ✷ ❲♦r❦ ✇✐t❤ ❏✳❈✳ ▼❜❛✸ ✭✶ ❯♥✐✈❡rs✐t② ♦❢ t❤❡ ❲✐t✇❛t❡rsr❛♥❞✱ ❙♦✉t❤ ❆❢r✐❝❛✱ ✷ ❉❙❚✲◆❘❋ ❈❡♥tr❡ ♦❢ ❊①❝❡❧❧❡♥❝❡ ✐♥ ▼❛t❤❡♠❛t✐❝❛❧ ❛♥❞ ❙t❛t✐st✐❝❛❧ ❙❝✐❡♥❝❡s ✭❈♦❊✲▼❛❙❙✮✱ ❙♦✉t❤ ❆❢r✐❝❛✱ ✸ ❯♥✐✈❡rs✐t② ♦❢ ❏♦❤❛♥♥❡s❜✉r❣✱ ❙♦✉t❤ ❆❢r✐❝❛✮ ◆♦♥✲❝❛♥❝❡❧❧❛t✐♦♥ ❣r♦✉♣ ♦❢ ❛ ❞✐r❡❝t ♣r♦❞✉❝t ❇✐r♠✐♥❣❤❛♠✱ ❯❑ ❆✉❣✉st✱ ✷✵✶✼ ✺ ✴ ✷✸

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ✸ ❝♦♥t✐♥✉❡❞✳✳✳✳

K ❜❡ t❤❡ ❝❧❛ss ♦❢ ❣r♦✉♣s✿ ❚ ⋊ω ❋, ❋ ✜♥✐t❡ r❛♥❦ ❢r❡❡ ❛❜❡❧✐❛♥ ❣r♦✉♣ ❚ ✜♥✐t❡ ❛❜❡❧✐❛♥ ❣r♦✉♣ ❍ = ●(♠, ✉) = Z♠ ⋊ν Z, (♠, ✉) = ✶✳ ❍ ✐s ❛ K✲ ❣r♦✉♣ K❋ ❢✉❧❧ s✉❜❝❛t❡❣♦r② ♦❢ ●r♣❋

❘✳ ❑✇❛s❤✐r❛✶, ✷ ❲♦r❦ ✇✐t❤ ❏✳❈✳ ▼❜❛✸ ✭✶ ❯♥✐✈❡rs✐t② ♦❢ t❤❡ ❲✐t✇❛t❡rsr❛♥❞✱ ❙♦✉t❤ ❆❢r✐❝❛✱ ✷ ❉❙❚✲◆❘❋ ❈❡♥tr❡ ♦❢ ❊①❝❡❧❧❡♥❝❡ ✐♥ ▼❛t❤❡♠❛t✐❝❛❧ ❛♥❞ ❙t❛t✐st✐❝❛❧ ❙❝✐❡♥❝❡s ✭❈♦❊✲▼❛❙❙✮✱ ❙♦✉t❤ ❆❢r✐❝❛✱ ✸ ❯♥✐✈❡rs✐t② ♦❢ ❏♦❤❛♥♥❡s❜✉r❣✱ ❙♦✉t❤ ❆❢r✐❝❛✮ ◆♦♥✲❝❛♥❝❡❧❧❛t✐♦♥ ❣r♦✉♣ ♦❢ ❛ ❞✐r❡❝t ♣r♦❞✉❝t ❇✐r♠✐♥❣❤❛♠✱ ❯❑ ❆✉❣✉st✱ ✷✵✶✼ ✻ ✴ ✷✸

Pr♦❜❧❡♠ ❙t❛t❡♠❡♥t

▲❡t ●✐ = Z♠✐ ⋊ω✐ Z ❛♥❞ ❧❡t ❤ : ❋ ֒ → ●✶ × ●✷ ✇❤❡r❡ ❋ ✐s ❛ ✜♥✐t❡ ❣r♦✉♣ ❛♥❞ ❤ ✐s ❛ ♠♦♥♦♠♦r♣❤✐s♠✳ ❲❡ ❞❡✈❡❧♦♣ ❛ ❣❡♥❡r❛❧ ♠❡t❤♦❞ ❢♦r ❝♦♠♣✉t✐♥❣ χ(●✶ × ●✷, ❤)✳

❘✳ ❑✇❛s❤✐r❛✶, ✷ ❲♦r❦ ✇✐t❤ ❏✳❈✳ ▼❜❛✸ ✭✶ ❯♥✐✈❡rs✐t② ♦❢ t❤❡ ❲✐t✇❛t❡rsr❛♥❞✱ ❙♦✉t❤ ❆❢r✐❝❛✱ ✷ ❉❙❚✲◆❘❋ ❈❡♥tr❡ ♦❢ ❊①❝❡❧❧❡♥❝❡ ✐♥ ▼❛t❤❡♠❛t✐❝❛❧ ❛♥❞ ❙t❛t✐st✐❝❛❧ ❙❝✐❡♥❝❡s ✭❈♦❊✲▼❛❙❙✮✱ ❙♦✉t❤ ❆❢r✐❝❛✱ ✸ ❯♥✐✈❡rs✐t② ♦❢ ❏♦❤❛♥♥❡s❜✉r❣✱ ❙♦✉t❤ ❆❢r✐❝❛✮ ◆♦♥✲❝❛♥❝❡❧❧❛t✐♦♥ ❣r♦✉♣ ♦❢ ❛ ❞✐r❡❝t ♣r♦❞✉❝t ❇✐r♠✐♥❣❤❛♠✱ ❯❑ ❆✉❣✉st✱ ✷✵✶✼ ✼ ✴ ✷✸

◆♦♥ ❝❛♥❝❡❧❧❛t✐♦♥ s❡t ♦❢ χ♦✲❣r♦✉♣s

χ♦✲ ❣r♦✉♣ ●✿ ❛ss✐❣♥ ❛ ♥❛t✉r❛❧ ♥✉♠❜❡r ♥(●) = ♥✶♥✷♥✸

♥✶ ✿ ❡①♣♦♥❡♥t ♦❢ ❚● ♥✷ ✿ ❡①♣♦♥❡♥t ♦❢ ❆✉t(❚●) ♥✸ ✿ ❡①♣♦♥❡♥t ♦❢ t❤❡ t♦rs✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ❝❡♥t❡r ❚❩●

• χ♦✲❣r♦✉♣ ✇✐t❤ [● : ❍] < ∞, ; ❚● = ❚❍

❲ = {❍ < ●, ([● : ❍], ♥) = ✶} t❤❡♥ ❍ × Z ∼ = ● × Z✳ ❑ ❣r♦✉♣✱ ❑ × Z ∼ = ● × Z✱t❤❡♥ ❡①✐sts ❏ ∈ ❲ ✇✐t❤ ❏ ∼ = ❑✳

• ✐✈❡♥ ❏✶, ❏✷ ∈ ❲ ✱ ✐❢ [● : ❏✶] ≡ ±✶[● : ❏✷] ♠♦❞ ♥✱ t❤❡♥ ❏✶ ∼

= ❏✷ ♥♦♥✲❝❛♥❝❡❧❧❛t✐♦♥ s❡t χ(●) ❝♦✐♥❝✐❞❡s ✇✐t❤ t❤❡ ✭✜♥✐t❡✮ s❡t {[❏] : ❏ ∈ ❲ }✳ Z∗

♥/{✶, −✶} −

→ χ(●) ✐♥❞✉❝❡s ❛ ❣r♦✉♣ str✉❝t✉r❡ ♦♥ χ(●)

• ♥✐❧♣♦t❡♥t✱ χ(●) ❝♦✐♥❝✐❞❡s ✇✐t❤ ❍✐❧t♦♥✲▼✐s❧✐♥ ●❡♥✉s✳

❘✳ ❑✇❛s❤✐r❛✶, ✷ ❲♦r❦ ✇✐t❤ ❏✳❈✳ ▼❜❛✸ ✭✶ ❯♥✐✈❡rs✐t② ♦❢ t❤❡ ❲✐t✇❛t❡rsr❛♥❞✱ ❙♦✉t❤ ❆❢r✐❝❛✱ ✷ ❉❙❚✲◆❘❋ ❈❡♥tr❡ ♦❢ ❊①❝❡❧❧❡♥❝❡ ✐♥ ▼❛t❤❡♠❛t✐❝❛❧ ❛♥❞ ❙t❛t✐st✐❝❛❧ ❙❝✐❡♥❝❡s ✭❈♦❊✲▼❛❙❙✮✱ ❙♦✉t❤ ❆❢r✐❝❛✱ ✸ ❯♥✐✈❡rs✐t② ♦❢ ❏♦❤❛♥♥❡s❜✉r❣✱ ❙♦✉t❤ ❆❢r✐❝❛✮ ◆♦♥✲❝❛♥❝❡❧❧❛t✐♦♥ ❣r♦✉♣ ♦❢ ❛ ❞✐r❡❝t ♣r♦❞✉❝t ❇✐r♠✐♥❣❤❛♠✱ ❯❑ ❆✉❣✉st✱ ✷✵✶✼ ✽ ✴ ✷✸

◆♦♥ ❝❛♥❝❡❧❧❛t✐♦♥ s❡t ♦❢ K✲❣r♦✉♣s

• = Z♠ ⋊ω Z

ω : Z − → ❆✉t(Z♠) ❛✉t♦♠♦r♣❤✐s♠ ♦❢ Z♠ ❞❡✜♥❡❞ ω(✶)(t) = ✉t ❞ ✿ ♠✉❧t✐♣❧✐❝❛t✐✈❡ ♦r❞❡r ♦❢ ✉ ♠♦❞✉❧♦ ♠ χ(●) = Z∗

❞/{✶, −✶}

❘✳ ❑✇❛s❤✐r❛✶, ✷ ❲♦r❦ ✇✐t❤ ❏✳❈✳ ▼❜❛✸ ✭✶ ❯♥✐✈❡rs✐t② ♦❢ t❤❡ ❲✐t✇❛t❡rsr❛♥❞✱ ❙♦✉t❤ ❆❢r✐❝❛✱ ✷ ❉❙❚✲◆❘❋ ❈❡♥tr❡ ♦❢ ❊①❝❡❧❧❡♥❝❡ ✐♥ ▼❛t❤❡♠❛t✐❝❛❧ ❛♥❞ ❙t❛t✐st✐❝❛❧ ❙❝✐❡♥❝❡s ✭❈♦❊✲▼❛❙❙✮✱ ❙♦✉t❤ ❆❢r✐❝❛✱ ✸ ❯♥✐✈❡rs✐t② ♦❢ ❏♦❤❛♥♥❡s❜✉r❣✱ ❙♦✉t❤ ❆❢r✐❝❛✮ ◆♦♥✲❝❛♥❝❡❧❧❛t✐♦♥ ❣r♦✉♣ ♦❢ ❛ ❞✐r❡❝t ♣r♦❞✉❝t ❇✐r♠✐♥❣❤❛♠✱ ❯❑ ❆✉❣✉st✱ ✷✵✶✼ ✾ ✴ ✷✸

◆♦♥ ❝❛♥❝❡❧❧❛t✐♦♥ ❣r♦✉♣ ♦❢ ❛ ♠♦r♣❤✐s♠ χ(●, ❤)

♥ = ♥(●)✱ ❳(♥) = {✉ ∈ N : (✉, ♥) = ✶} ❨ (●, ❤) = {✉ ∈ ❳(♥), ; ❡①✐st ❑ < ●, ; [● : ❑] = ✉, (❑, ❤❑) ♠❡♠❜❡r χ(●, ❤)}

• ✉ < ●, ; ❚● ⊆ ●✉ ❛♥❞ [● : ●✉] = ✉ ❢♦r ❡❛❝❤ ✉ ∈ ❨ (●, ❤)

❤✉ : ① → ❤(①) ✐♥❞✉❝❡❞ ❤♦♠♦♠♦r♣❤✐s♠ ς : ❨ (●, ❤) − → χ(●, ❤) ❨ ∗(●, ❤) ✿✐♠❛❣❡ ♦❢ ❨ (●, ❤) ✐♥ Z∗

♥✱ ❨ ∗(●, ❤) < Z∗ ♥

• χ♦✲❣r♦✉♣✱ ❤ : ❋ → ● ♠♦♥♦♠♦r♣❤✐s♠✱ ❋ ✜♥✐t❡ ❣r♦✉♣

ς : ❨ (●, ❤)/ ± ✶ − → χ(●, ❤) ✐♥❞✉❝❡s ❛ ❣r♦✉♣ str✉❝t✉r❡ ♦♥ χ(●, ❤) ❋ tr✐✈✐❛❧✱ χ(●, ❤) = χ(●)

❘✳ ❑✇❛s❤✐r❛✶, ✷ ❲♦r❦ ✇✐t❤ ❏✳❈✳ ▼❜❛✸ ✭✶ ❯♥✐✈❡rs✐t② ♦❢ t❤❡ ❲✐t✇❛t❡rsr❛♥❞✱ ❙♦✉t❤ ❆❢r✐❝❛✱ ✷ ❉❙❚✲◆❘❋ ❈❡♥tr❡ ♦❢ ❊①❝❡❧❧❡♥❝❡ ✐♥ ▼❛t❤❡♠❛t✐❝❛❧ ❛♥❞ ❙t❛t✐st✐❝❛❧ ❙❝✐❡♥❝❡s ✭❈♦❊✲▼❛❙❙✮✱ ❙♦✉t❤ ❆❢r✐❝❛✱ ✸ ❯♥✐✈❡rs✐t② ♦❢ ❏♦❤❛♥♥❡s❜✉r❣✱ ❙♦✉t❤ ❆❢r✐❝❛✮ ◆♦♥✲❝❛♥❝❡❧❧❛t✐♦♥ ❣r♦✉♣ ♦❢ ❛ ❞✐r❡❝t ♣r♦❞✉❝t ❇✐r♠✐♥❣❤❛♠✱ ❯❑ ❆✉❣✉st✱ ✷✵✶✼ ✶✵ ✴ ✷✸

◆♦♥ ❝❛♥❝❡❧❧❛t✐♦♥ ❣r♦✉♣ ♦❢ ❛ ♠♦r♣❤✐s♠ ♦❢ ❛♥ ♦❜❥❡❝t ✐♥ K❋

• = Z♠ ⋊ω Z

t = ❞(●) ✿ s♠❛❧❧❡st ✐♥✈❛r✐❛♥t ❢❛❝t♦rs ♦❢ ■♠ ω ❱ (●, ❤) = {✉ ∈ ❳(t)} s✳t ❑ < ●, [● : ❑] = ✉ ❛♥❞ (❑, ❤❑) ✐s ❛ ♠❡♠❜❡r ♦❢ χ(●, ❤) ❱ ∗(●, ❤) ❜❡ t❤❡ ✐♠❛❣❡ ♦❢ ❱ (●, ❤) ✐♥ Z∗

t

❈❤♦♦s❡ ❑ < ● ♦❢ ● s✳t✳ (❑, ❤❑) ♠❡♠❜❡r ✐♥ χ(●, ❤) ❛♥❞ [● : ❑] = ✉ t | ♥(●)

❘✳ ❑✇❛s❤✐r❛✶, ✷ ❲♦r❦ ✇✐t❤ ❏✳❈✳ ▼❜❛✸ ✭✶ ❯♥✐✈❡rs✐t② ♦❢ t❤❡ ❲✐t✇❛t❡rsr❛♥❞✱ ❙♦✉t❤ ❆❢r✐❝❛✱ ✷ ❉❙❚✲◆❘❋ ❈❡♥tr❡ ♦❢ ❊①❝❡❧❧❡♥❝❡ ✐♥ ▼❛t❤❡♠❛t✐❝❛❧ ❛♥❞ ❙t❛t✐st✐❝❛❧ ❙❝✐❡♥❝❡s ✭❈♦❊✲▼❛❙❙✮✱ ❙♦✉t❤ ❆❢r✐❝❛✱ ✸ ❯♥✐✈❡rs✐t② ♦❢ ❏♦❤❛♥♥❡s❜✉r❣✱ ❙♦✉t❤ ❆❢r✐❝❛✮ ◆♦♥✲❝❛♥❝❡❧❧❛t✐♦♥ ❣r♦✉♣ ♦❢ ❛ ❞✐r❡❝t ♣r♦❞✉❝t ❇✐r♠✐♥❣❤❛♠✱ ❯❑ ❆✉❣✉st✱ ✷✵✶✼ ✶✶ ✴ ✷✸

Pr♦♣♦s✐t✐♦♥

Pr♦♣♦s✐t✐♦♥

▲❡t ♥ = ♥(●) ❛♥❞ ρ : ❨ (●, ❤) − → χ(●, ❤) ❜❡ t❤❡ ❡♣✐♠♦r♣❤✐s♠ t❤❛t t❛❦❡s ❛ r❡s✐❞✉❡ ♠♦❞ ♥ ❛♥❞ r❡❞✉❝❡s ✐t ♠♦❞ t✳ ❚❤❡ ❡♣✐♠♦r♣❤✐s♠ ζ : ❨ ∗(●, ❤) − → χ(●, ❤) ❢❛❝t♦r✐s❡s t❤r♦✉❣❤ t❤❡ ❡♣✐♠♦r♣❤✐s♠ ξ′✿ ❨ ∗(●, ❤)

ρ

• ζ

χ(●, ❤)

❱ ∗(●, ❤)

ξ′

• ❘✳ ❑✇❛s❤✐r❛✶, ✷ ❲♦r❦ ✇✐t❤ ❏✳❈✳ ▼❜❛✸

✭✶ ❯♥✐✈❡rs✐t② ♦❢ t❤❡ ❲✐t✇❛t❡rsr❛♥❞✱ ❙♦✉t❤ ❆❢r✐❝❛✱ ✷ ❉❙❚✲◆❘❋ ❈❡♥tr❡ ♦❢ ❊①❝❡❧❧❡♥❝❡ ✐♥ ▼❛t❤❡♠❛t✐❝❛❧ ❛♥❞ ❙t❛t✐st✐❝❛❧ ❙❝✐❡♥❝❡s ✭❈♦❊✲▼❛❙❙✮✱ ❙♦✉t❤ ❆❢r✐❝❛✱ ✸ ❯♥✐✈❡rs✐t② ♦❢ ❏♦❤❛♥♥❡s❜✉r❣✱ ❙♦✉t❤ ❆❢r✐❝❛✮ ◆♦♥✲❝❛♥❝❡❧❧❛t✐♦♥ ❣r♦✉♣ ♦❢ ❛ ❞✐r❡❝t ♣r♦❞✉❝t ❇✐r♠✐♥❣❤❛♠✱ ❯❑ ❆✉❣✉st✱ ✷✵✶✼ ✶✷ ✴ ✷✸

❚❤❡♦r❡♠

❚❤❡♦r❡♠

❋♦r ♠ ∈ ❱ (●, ❤)✱ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ❝♦♥❞✐t✐♦♥s ❛r❡ ❡q✉✐✈❛❧❡♥t✿ ✭❛✮ ♠ ∈ ❦❡r[❱ ∗(●, ❤) − → χ(●, ❤)]✳ ✭❜✮ ❚❤❡r❡ ❡①✐sts α ∈ ❆✉t (❚) ✇✐t❤ ✈ ◦ ❤ = ❤ s✉❝❤ t❤❛t α ∈ ◆❆✉t ❚ ■♠ ω ❛♥❞ ❢♦r ❛♥ ❛✉t♦♠♦r♣❤✐s♠ : ■♠ ω − → ■♠ ω ❞❡✜♥❡❞ ❜② ✈ → α ✈α−✶✱ ✇❡ ❤❛✈❡ ❞❡t() = ±♠−✶ ∈ ❱ ∗(●, ❤)✳

❘✳ ❑✇❛s❤✐r❛✶, ✷ ❲♦r❦ ✇✐t❤ ❏✳❈✳ ▼❜❛✸ ✭✶ ❯♥✐✈❡rs✐t② ♦❢ t❤❡ ❲✐t✇❛t❡rsr❛♥❞✱ ❙♦✉t❤ ❆❢r✐❝❛✱ ✷ ❉❙❚✲◆❘❋ ❈❡♥tr❡ ♦❢ ❊①❝❡❧❧❡♥❝❡ ✐♥ ▼❛t❤❡♠❛t✐❝❛❧ ❛♥❞ ❙t❛t✐st✐❝❛❧ ❙❝✐❡♥❝❡s ✭❈♦❊✲▼❛❙❙✮✱ ❙♦✉t❤ ❆❢r✐❝❛✱ ✸ ❯♥✐✈❡rs✐t② ♦❢ ❏♦❤❛♥♥❡s❜✉r❣✱ ❙♦✉t❤ ❆❢r✐❝❛✮ ◆♦♥✲❝❛♥❝❡❧❧❛t✐♦♥ ❣r♦✉♣ ♦❢ ❛ ❞✐r❡❝t ♣r♦❞✉❝t ❇✐r♠✐♥❣❤❛♠✱ ❯❑ ❆✉❣✉st✱ ✷✵✶✼ ✶✸ ✴ ✷✸

◆♦♥ ❝❛♥❝❡❧❛t✐♦♥ ❣r♦✉♣ ♦❢ (●✶ × ●✷, ❤)

• ✐ = ●(♠✐, ✉✐) ✇✐t❤ ❣❝❞(♠✶, ♠✷) = ✶, ❣❝❞(♠✐, ✉❥) = ✶, ✐, ❥ = ✶, ✷

❞✐✿ ♠✉❧t✐♣❧✐❝❛t✐✈❡ ♦r❞❡r ♦❢ ✉✐ ♠♦❞✉❧♦ ♠✐ ❞ = ❧❝♠(❞✶, ❞✷) ❛♥❞ ♠ = ❧❝♠(♠✶, ♠✷)✳ ■❢ ❣❝❞(❞✶, ❞✷) = ✶ ❧❡t t = ❞✶❞✷ ❛♥❞ ✐❢ ❣❝❞(❞✶, ❞✷) = ✶ ❧❡t t = ❣❝❞(❞✶, ❞✷)

• ✶ × ●✷ = (Z♠✶ × Z♠✷) ⋊ω Z✷

ω : Z✷ − → ❆✉t(Z♠✶ × Z♠✷) ω(ǫ✐) = ω✐ : (t✶, t✷) → (✉δ(✐,✶)

✶

t✶, ✉δ(✐,✷)

✷

t✷) {ǫ✶, ǫ✷} st❛♥❞❛r❞ ❜❛s✐s ♦❢ Z✷ ❏ = ■♠ ω =< ω✶, ω✷ > ✐s ❛ ❢r❡❡ Z❞✲♠♦❞✉❧❡

❘✳ ❑✇❛s❤✐r❛✶, ✷ ❲♦r❦ ✇✐t❤ ❏✳❈✳ ▼❜❛✸ ✭✶ ❯♥✐✈❡rs✐t② ♦❢ t❤❡ ❲✐t✇❛t❡rsr❛♥❞✱ ❙♦✉t❤ ❆❢r✐❝❛✱ ✷ ❉❙❚✲◆❘❋ ❈❡♥tr❡ ♦❢ ❊①❝❡❧❧❡♥❝❡ ✐♥ ▼❛t❤❡♠❛t✐❝❛❧ ❛♥❞ ❙t❛t✐st✐❝❛❧ ❙❝✐❡♥❝❡s ✭❈♦❊✲▼❛❙❙✮✱ ❙♦✉t❤ ❆❢r✐❝❛✱ ✸ ❯♥✐✈❡rs✐t② ♦❢ ❏♦❤❛♥♥❡s❜✉r❣✱ ❙♦✉t❤ ❆❢r✐❝❛✮ ◆♦♥✲❝❛♥❝❡❧❧❛t✐♦♥ ❣r♦✉♣ ♦❢ ❛ ❞✐r❡❝t ♣r♦❞✉❝t ❇✐r♠✐♥❣❤❛♠✱ ❯❑ ❆✉❣✉st✱ ✷✵✶✼ ✶✹ ✴ ✷✸

◆♦♥ ❝❛♥❝❡❧❛t✐♦♥ ❣r♦✉♣ ♦❢ (●✶ × ●✷, ❤) ❝♦♥t✐♥✉❡❞✳✳✳

σ ∈ ❊♥❞(❏)✱ ❞❡t (σ) ∈ Z❞ ❏∗ = ◆❆✉t(❚●✶×●✷)❏ α ∈ ❆✉t(❚●✶×●✷)✱

α ✐♥♥❡r ❛✉t♦♠♦r♣❤✐s♠ ♦❢ ❏✿ α : ✈ → α ✈ α−✶

q✷ ❜❡ ❛ ♠✉❧t✐♣❧❡ ♦❢ q s✉❝❤ t❤❛t q✷q ❞✐✈✐❞❡s ♠✳ ❡✶ = (✶, ✵), ❡✷ = (✵, ✶) ✿❡❧❡♠❡♥ts ♦❢ ❚●✶×●✷ ❋ = {❛q✷❡✷ : ❛ ∈ Z} ❋ < ❚●✶×●✷ ❤ : ❋ ֒ → ●✶ × ●✷ ✐♥❝❧✉s✐♦♥ ♠❛♣

❘✳ ❑✇❛s❤✐r❛✶, ✷ ❲♦r❦ ✇✐t❤ ❏✳❈✳ ▼❜❛✸ ✭✶ ❯♥✐✈❡rs✐t② ♦❢ t❤❡ ❲✐t✇❛t❡rsr❛♥❞✱ ❙♦✉t❤ ❆❢r✐❝❛✱ ✷ ❉❙❚✲◆❘❋ ❈❡♥tr❡ ♦❢ ❊①❝❡❧❧❡♥❝❡ ✐♥ ▼❛t❤❡♠❛t✐❝❛❧ ❛♥❞ ❙t❛t✐st✐❝❛❧ ❙❝✐❡♥❝❡s ✭❈♦❊✲▼❛❙❙✮✱ ❙♦✉t❤ ❆❢r✐❝❛✱ ✸ ❯♥✐✈❡rs✐t② ♦❢ ❏♦❤❛♥♥❡s❜✉r❣✱ ❙♦✉t❤ ❆❢r✐❝❛✮ ◆♦♥✲❝❛♥❝❡❧❧❛t✐♦♥ ❣r♦✉♣ ♦❢ ❛ ❞✐r❡❝t ♣r♦❞✉❝t ❇✐r♠✐♥❣❤❛♠✱ ❯❑ ❆✉❣✉st✱ ✷✵✶✼ ✶✺ ✴ ✷✸

❆♥ ✐♥♥❡r ❛✉t♦♠♦r♣❤✐s♠ ♦❢ ❆✉t(❚●✶×●✷)

❋✐① α ∈ ❏∗ s✉❝❤ t❤❛t α(①) = ① ∀① ∈ ❋ ❡①✐sts ❛ ✷ × ✷ ♠❛tr✐① (α✐❥) ♦❢ ✐♥t❡❣❡rs s✉❝❤ t❤❛t α(❡✐) = ✷

❥=✶ α❥✐❡❥

❙✉♣♣♦s❡ t❤❛t

α ✐s t❤❡ ✐♥♥❡r ❛✉t♦♠♦r♣❤✐s♠ ♦❢ ❏ ❞❡t❡r♠✐♥❡❞ ❜② α✳

Pr♦♣♦s✐t✐♦♥

❋♦r t❤❡ ♠❛tr✐① (α✐❥), α✐✐ ✐s ❛ ✉♥✐t ♠♦❞✉❧♦ ♠ ❢♦r ✐ = ✶, ✷✳

❘✳ ❑✇❛s❤✐r❛✶, ✷ ❲♦r❦ ✇✐t❤ ❏✳❈✳ ▼❜❛✸ ✭✶ ❯♥✐✈❡rs✐t② ♦❢ t❤❡ ❲✐t✇❛t❡rsr❛♥❞✱ ❙♦✉t❤ ❆❢r✐❝❛✱ ✷ ❉❙❚✲◆❘❋ ❈❡♥tr❡ ♦❢ ❊①❝❡❧❧❡♥❝❡ ✐♥ ▼❛t❤❡♠❛t✐❝❛❧ ❛♥❞ ❙t❛t✐st✐❝❛❧ ❙❝✐❡♥❝❡s ✭❈♦❊✲▼❛❙❙✮✱ ❙♦✉t❤ ❆❢r✐❝❛✱ ✸ ❯♥✐✈❡rs✐t② ♦❢ ❏♦❤❛♥♥❡s❜✉r❣✱ ❙♦✉t❤ ❆❢r✐❝❛✮ ◆♦♥✲❝❛♥❝❡❧❧❛t✐♦♥ ❣r♦✉♣ ♦❢ ❛ ❞✐r❡❝t ♣r♦❞✉❝t ❇✐r♠✐♥❣❤❛♠✱ ❯❑ ❆✉❣✉st✱ ✷✵✶✼ ✶✻ ✴ ✷✸

Pr♦♦❢

α(✵, q✷) = (✵, q✷) s✐♥❝❡ (✵, q✷) ∈ ❋ α(✵, q✷) = (q✷α✶✷, q✷α✷✷) = (✵, q✷) ♠ ❞✐✈✐❞❡s α✶✷ q ❞✐✈✐❞❡s α✶✷✱ ✇❤✐❧❡ α✷✷ ✐s ❛ ✉♥✐t ♠♦❞✉❧♦ ♠ [α] = α✶✶ tq α✷✶ ✉

• ❞❡t(α) = α✶✶✉ − α✷✶tq

❈❧❛✐♠✿ α✶✶ ✐s ❛ ✉♥✐t ♠♦❞✉❧♦ ♠ α✶✶ ✐s ♥♦t ❛ ✉♥✐t ♠♦❞✉❧♦ ♠ ❧❡t ♣ ❝♦♠♠♦♥ ♣r✐♠❡ ❞✐✈✐s♦r ♦❢ α✶✶ ❛♥❞ ♠ ♣ ❞✐✈✐❞❡s q ❛♥❞ ♣ ❞✐✈✐❞❡s ❞❡t(α) ❝♦♥tr❛❞✐❝t✐♦♥✦✦✦ ✭ ❞❡t(α) ✐s ❛ ✉♥✐t ♠♦❞✉❧♦ ♠ ✮ ✭α ✐s ❛♥ ❛✉t♦♠♦r♣❤✐s♠✮✳ ❚❤✉s α✶✶ ✐s ❛ ✉♥✐t ♠♦❞✉❧♦ ♠✳

❘✳ ❑✇❛s❤✐r❛✶, ✷ ❲♦r❦ ✇✐t❤ ❏✳❈✳ ▼❜❛✸ ✭✶ ❯♥✐✈❡rs✐t② ♦❢ t❤❡ ❲✐t✇❛t❡rsr❛♥❞✱ ❙♦✉t❤ ❆❢r✐❝❛✱ ✷ ❉❙❚✲◆❘❋ ❈❡♥tr❡ ♦❢ ❊①❝❡❧❧❡♥❝❡ ✐♥ ▼❛t❤❡♠❛t✐❝❛❧ ❛♥❞ ❙t❛t✐st✐❝❛❧ ❙❝✐❡♥❝❡s ✭❈♦❊✲▼❛❙❙✮✱ ❙♦✉t❤ ❆❢r✐❝❛✱ ✸ ❯♥✐✈❡rs✐t② ♦❢ ❏♦❤❛♥♥❡s❜✉r❣✱ ❙♦✉t❤ ❆❢r✐❝❛✮ ◆♦♥✲❝❛♥❝❡❧❧❛t✐♦♥ ❣r♦✉♣ ♦❢ ❛ ❞✐r❡❝t ♣r♦❞✉❝t ❇✐r♠✐♥❣❤❛♠✱ ❯❑ ❆✉❣✉st✱ ✷✵✶✼ ✶✼ ✴ ✷✸

Pr♦♣♦s✐t✐♦♥ ❇

Pr♦♣♦s✐t✐♦♥

❚❤❡ ✐♥♥❡r ❛✉t♦♠♦r♣❤✐s♠

α ♦❢ ❏ ❝♦✐♥❝✐❞❡s ✇✐t❤ t❤❡ ✐❞❡♥t✐t② ❛✉t♦♠♦r♣❤✐s♠

♦❢ ❏✳

❘✳ ❑✇❛s❤✐r❛✶, ✷ ❲♦r❦ ✇✐t❤ ❏✳❈✳ ▼❜❛✸ ✭✶ ❯♥✐✈❡rs✐t② ♦❢ t❤❡ ❲✐t✇❛t❡rsr❛♥❞✱ ❙♦✉t❤ ❆❢r✐❝❛✱ ✷ ❉❙❚✲◆❘❋ ❈❡♥tr❡ ♦❢ ❊①❝❡❧❧❡♥❝❡ ✐♥ ▼❛t❤❡♠❛t✐❝❛❧ ❛♥❞ ❙t❛t✐st✐❝❛❧ ❙❝✐❡♥❝❡s ✭❈♦❊✲▼❛❙❙✮✱ ❙♦✉t❤ ❆❢r✐❝❛✱ ✸ ❯♥✐✈❡rs✐t② ♦❢ ❏♦❤❛♥♥❡s❜✉r❣✱ ❙♦✉t❤ ❆❢r✐❝❛✮ ◆♦♥✲❝❛♥❝❡❧❧❛t✐♦♥ ❣r♦✉♣ ♦❢ ❛ ❞✐r❡❝t ♣r♦❞✉❝t ❇✐r♠✐♥❣❤❛♠✱ ❯❑ ❆✉❣✉st✱ ✷✵✶✼ ✶✽ ✴ ✷✸

Pr♦♦❢

❢♦r

α ❡①✐sts ❛ ♠❛tr✐① ( ✐❥) ♦❢ ✐♥t❡❣❡rs s✉❝❤ t❤❛t ω✐ = ω

• ✶✐

✶

ω

• ✷✐

✷

❢♦r ❡❛❝❤ ✐ ❧❡t ω✐ = ✈✐✳ ❆❧s♦ ω✐ = αω✐α−✶ = ✈✐ ⇐ ⇒ αω✐ = ✈✐α αω✐(❡✐) = α(✉✐❡✐) = ✷

❥=✶ ✉δ(✐,❥) ✐

α❥✐❡❥ ✈✐α(❡✐) = ✈✐ ✷

❥=✶ α❥✐❡❥

• = ✷

❥=✶ α❥✐✉ δ(✐,❥)

❥✐

✐

❡❥ ✷

❥=✶ ✉δ(✐,❥) ✐

α❥✐❡❥ = ✷

❥=✶ α❥✐✉ δ(✐,❥)

❥✐

✐

❡❥ ❥ = ✐

α✐✐ ✐s ❛ ✉♥✐t ♠♦❞✉❧♦ ♠ ✉

• ✐✐

✐

≡ ✉✐ ♠♦❞ ♠

• ✐✐ ≡ ✶ ♠♦❞ ❞
• ✐✐ ≡ ✶ ♠♦❞ t, (t | ❞)

❘✳ ❑✇❛s❤✐r❛✶, ✷ ❲♦r❦ ✇✐t❤ ❏✳❈✳ ▼❜❛✸ ✭✶ ❯♥✐✈❡rs✐t② ♦❢ t❤❡ ❲✐t✇❛t❡rsr❛♥❞✱ ❙♦✉t❤ ❆❢r✐❝❛✱ ✷ ❉❙❚✲◆❘❋ ❈❡♥tr❡ ♦❢ ❊①❝❡❧❧❡♥❝❡ ✐♥ ▼❛t❤❡♠❛t✐❝❛❧ ❛♥❞ ❙t❛t✐st✐❝❛❧ ❙❝✐❡♥❝❡s ✭❈♦❊✲▼❛❙❙✮✱ ❙♦✉t❤ ❆❢r✐❝❛✱ ✸ ❯♥✐✈❡rs✐t② ♦❢ ❏♦❤❛♥♥❡s❜✉r❣✱ ❙♦✉t❤ ❆❢r✐❝❛✮ ◆♦♥✲❝❛♥❝❡❧❧❛t✐♦♥ ❣r♦✉♣ ♦❢ ❛ ❞✐r❡❝t ♣r♦❞✉❝t ❇✐r♠✐♥❣❤❛♠✱ ❯❑ ❆✉❣✉st✱ ✷✵✶✼ ✶✾ ✴ ✷✸

Pr♦♦❢ ❝♦♥t✐♥✉❡❞✳✳✳✳

❥ = ✐

αω✐(❡❥) = α(✉δ(✐,❥)(❡❥)) = α(❡❥) = ✷

❦=✶ α❦❥❡❦

✈✐α(❡❥) = ✷

❦=✶ α❦❥✉

• ❦✐

❦

❡❦ ❚❤❡r❡❢♦r❡ ✷

❦=✶ α❦❥❡❦ = ✷ ❦=✶ α❦❥✉

• ❦✐

❦

❡❦ ❦ = ❥✳ ❙✐♥❝❡ α❥❥ ✐s ❛ ✉♥✐t ♠♦❞✉❧♦ ♠ t❤❡♥ ✉

• ❥✐

❥

≡ ✶ ♠♦❞ ♠✱ t❤❛t ✐s✱

❥✐ ∼

= ✵ ♠♦❞ ❞ ❈♦♥s❡q✉❡♥t❧②

❥✐ ≡ ✵ ♠♦❞ t✳ ❚❤✉s ❞❡t ( α) = ✶

• α ✐s ✐❞❡♥t✐t② ♦♥ ❏

❘✳ ❑✇❛s❤✐r❛✶, ✷ ❲♦r❦ ✇✐t❤ ❏✳❈✳ ▼❜❛✸ ✭✶ ❯♥✐✈❡rs✐t② ♦❢ t❤❡ ❲✐t✇❛t❡rsr❛♥❞✱ ❙♦✉t❤ ❆❢r✐❝❛✱ ✷ ❉❙❚✲◆❘❋ ❈❡♥tr❡ ♦❢ ❊①❝❡❧❧❡♥❝❡ ✐♥ ▼❛t❤❡♠❛t✐❝❛❧ ❛♥❞ ❙t❛t✐st✐❝❛❧ ❙❝✐❡♥❝❡s ✭❈♦❊✲▼❛❙❙✮✱ ❙♦✉t❤ ❆❢r✐❝❛✱ ✸ ❯♥✐✈❡rs✐t② ♦❢ ❏♦❤❛♥♥❡s❜✉r❣✱ ❙♦✉t❤ ❆❢r✐❝❛✮ ◆♦♥✲❝❛♥❝❡❧❧❛t✐♦♥ ❣r♦✉♣ ♦❢ ❛ ❞✐r❡❝t ♣r♦❞✉❝t ❇✐r♠✐♥❣❤❛♠✱ ❯❑ ❆✉❣✉st✱ ✷✵✶✼ ✷✵ ✴ ✷✸

Pr♦♣♦s✐t✐♦♥ ❈

Pr♦♣♦s✐t✐♦♥

❚❤❡ ♣❛✐r (●✶ × ●✷, ❤) ✐s ❛♥ ♦❜❥❡❝t ♦❢ K❋ ❢♦r ✇❤✐❝❤ (●✶ × ●✷, ❤) = Z∗

t / ± ✶✳

Pr♦♦❢

Pr♦♣♦s✐t✐♦♥ ❢♦❧❧♦✇s ❢r♦♠ ❚❤❡♦r❡♠ ✶ ❛♥❞ Pr♦♣♦s✐t✐♦♥ ✸

❘✳ ❑✇❛s❤✐r❛✶, ✷ ❲♦r❦ ✇✐t❤ ❏✳❈✳ ▼❜❛✸ ✭✶ ❯♥✐✈❡rs✐t② ♦❢ t❤❡ ❲✐t✇❛t❡rsr❛♥❞✱ ❙♦✉t❤ ❆❢r✐❝❛✱ ✷ ❉❙❚✲◆❘❋ ❈❡♥tr❡ ♦❢ ❊①❝❡❧❧❡♥❝❡ ✐♥ ▼❛t❤❡♠❛t✐❝❛❧ ❛♥❞ ❙t❛t✐st✐❝❛❧ ❙❝✐❡♥❝❡s ✭❈♦❊✲▼❛❙❙✮✱ ❙♦✉t❤ ❆❢r✐❝❛✱ ✸ ❯♥✐✈❡rs✐t② ♦❢ ❏♦❤❛♥♥❡s❜✉r❣✱ ❙♦✉t❤ ❆❢r✐❝❛✮ ◆♦♥✲❝❛♥❝❡❧❧❛t✐♦♥ ❣r♦✉♣ ♦❢ ❛ ❞✐r❡❝t ♣r♦❞✉❝t ❇✐r♠✐♥❣❤❛♠✱ ❯❑ ❆✉❣✉st✱ ✷✵✶✼ ✷✶ ✴ ✷✸

❇✐❜❧✐♦❣r❛♣❤②

❆✳ ❋r❛♥s♠❛♥ ❛♥❞ P✳ ❲✐t❜♦♦✐✱ ◆♦♥✲❝❛♥❝❡❧❧❛t✐♦♥ s❡ts ♦❢ ❞✐r❡❝t ♣♦✇❡rs ♦❢ ❝❡rt❛✐♥ ♠❡t❛❝②❝❧✐❝ ❣r♦✉♣s✱ ❑②✉♥❣♣♦♦❦ ▼❛t❤✳ ❏✳ ✹✶ ✭✷✵✵✶✮✱ ♥♦✳ ✷✱ ✶✾✶✲✶✾✼✳ P✳ ❍✐❧t♦♥ ❛♥❞ ●✳ ▼✐s❧✐♥✱ ❖♥ t❤❡ ❣❡♥✉s ♦❢ ❛ ♥✐❧♣♦t❡♥t ❣r♦✉♣ ✇✐t❤ ✜♥✐t❡ ❝♦♠♠✉t❛t♦r s✉❜❣r♦✉♣✱ ▼❛t❤✳ ❩✳✱ ✶✹✻ ✭✶✾✼✻✮✱ ✷✵✶✕✷✶✶✳ ❏✳ ❈✳ ▼❜❛ ❛♥❞ P✳ ❏✳ ❲✐t❜♦♦✐✱ ■♥❞✉❝❡❞ ♠♦r♣❤✐s♠s ❜❡t✇❡❡♥ ❧♦❝❛❧✐③❛t✐♦♥ ❣❡♥❡r❛ ♦❢ ❣r♦✉♣s✱ ❆❧❣❡❜r❛ ❈♦❧❧♦q✉✐✉♠✱ ✷✶✿ ✷ ✭✷✵✶✹✮ ✷✽✺✲✷✾✹

• ✳ ▼✐s❧✐♥✱ ◆✐❧♣♦t❡♥t ❣r♦✉♣s ✇✐t❤ ✜♥✐t❡ ❝♦♠♠✉t❛t♦r s✉❜❣r♦✉♣s✱ ✐♥✿ P✳

❍■▲❚❖◆ ✭❊❉✮✱ ▲♦❝❛❧✐③❛t✐♦♥ ✐♥ ●r♦✉♣ ❚❤❡♦r② ❛♥❞ ❍♦♠♦t♦♣② ❚❤❡♦r② ✱ ▲❡❝t✉r❡ ◆♦t❡s ✐♥ ▼❛t❤❡♠❛t✐❝s✱ ✹✶✽ ✭✶✾✼✹✮✱ ✶✵✸✕✶✷✵✱ ❙♣r✐♥❣❡r✲❱❡r❧❛❣ ❇❡r❧✐♥✳ ◆✳ ❖✬❙✉❧❧✐✈❛♥✱ ●❡♥✉s ❛♥❞ ❈❛♥❝❡❧❧❛t✐♦♥✱ ❈♦♠♠✳ ❆❧❣❡❜r❛ ✷✽ ✭✼✮ ✭✷✵✵✵✮✱ ✸✸✽✼✕✸✹✵✵✳

❘✳ ❑✇❛s❤✐r❛✶, ✷ ❲♦r❦ ✇✐t❤ ❏✳❈✳ ▼❜❛✸ ✭✶ ❯♥✐✈❡rs✐t② ♦❢ t❤❡ ❲✐t✇❛t❡rsr❛♥❞✱ ❙♦✉t❤ ❆❢r✐❝❛✱ ✷ ❉❙❚✲◆❘❋ ❈❡♥tr❡ ♦❢ ❊①❝❡❧❧❡♥❝❡ ✐♥ ▼❛t❤❡♠❛t✐❝❛❧ ❛♥❞ ❙t❛t✐st✐❝❛❧ ❙❝✐❡♥❝❡s ✭❈♦❊✲▼❛❙❙✮✱ ❙♦✉t❤ ❆❢r✐❝❛✱ ✸ ❯♥✐✈❡rs✐t② ♦❢ ❏♦❤❛♥♥❡s❜✉r❣✱ ❙♦✉t❤ ❆❢r✐❝❛✮ ◆♦♥✲❝❛♥❝❡❧❧❛t✐♦♥ ❣r♦✉♣ ♦❢ ❛ ❞✐r❡❝t ♣r♦❞✉❝t ❇✐r♠✐♥❣❤❛♠✱ ❯❑ ❆✉❣✉st✱ ✷✵✶✼ ✷✷ ✴ ✷✸

❇✐❜❧✐♦❣r❛♣❤② ❝♦♥t✐♥✉❡❞✳✳✳

❉✳ ❙❝❡✈❡♥❡❧s ❛♥❞ P✳ ❲✐t❜♦♦✐✱ ◆♦♥✲❝❛♥❝❡❧❧❛t✐♦♥ ❛♥❞ ▼✐s❧✐♥ ❣❡♥✉s ♦❢ ❝❡rt❛✐♥ ❣r♦✉♣s ❛♥❞ ❍♦ s♣❛❝❡s✱ ❏✳ P✉r❡ ❆♣♣❧✳ ❆❧❣❡❜r❛✱ ✶✼✵ ✭✷✵✵✷✮✱ ✸✵✾✕✸✷✵✳ ❘✳ ❲❛r✜❡❧❞✱ ●❡♥✉s ❛♥❞ ❝❛♥❝❡❧❧❛t✐♦♥ ❢♦r ❣r♦✉♣s ✇✐t❤ ✜♥✐t❡ ❝♦♠♠✉t❛t♦r s✉❜❣r♦✉♣✱ ❏✳ P✉r❡ ❆♣♣❧✳ ❆❧❣❡❜r❛ ✻ ✭✶✾✼✺✮✱ ✶✷✺✕✶✸✷✳ P✳ ❲✐t❜♦♦✐✱ ●❡♥❡r❛❧✐③✐♥❣ t❤❡ ❍✐❧t♦♥✲▼✐s❧✐♥ ❣❡♥✉s ❣r♦✉♣✱ ❏✳ ❆❧❣❡❜r❛ ✷✸✾ ✭✶✮ ✭✷✵✵✶✮✱ ✸✷✼✕✸✸✾✳ P✳ ❏✳ ❲✐t❜♦♦✐✱ ◆♦♥✲❝❛♥❝❡❧❧❛t✐♦♥ ❢♦r ❣r♦✉♣s ✇✐t❤ ♥♦♥✲❛❜❡❧✐❛♥ t♦rs✐♦♥✱ ❏✳

• r♦✉♣ ❚❤❡♦r② ✻ ✭✷✵✵✸✮✱ ♥♦✳ ✹✱ ✺✵✺✲✺✶✺✳

❘✳ ❑✇❛s❤✐r❛✶, ✷ ❲♦r❦ ✇✐t❤ ❏✳❈✳ ▼❜❛✸ ✭✶ ❯♥✐✈❡rs✐t② ♦❢ t❤❡ ❲✐t✇❛t❡rsr❛♥❞✱ ❙♦✉t❤ ❆❢r✐❝❛✱ ✷ ❉❙❚✲◆❘❋ ❈❡♥tr❡ ♦❢ ❊①❝❡❧❧❡♥❝❡ ✐♥ ▼❛t❤❡♠❛t✐❝❛❧ ❛♥❞ ❙t❛t✐st✐❝❛❧ ❙❝✐❡♥❝❡s ✭❈♦❊✲▼❛❙❙✮✱ ❙♦✉t❤ ❆❢r✐❝❛✱ ✸ ❯♥✐✈❡rs✐t② ♦❢ ❏♦❤❛♥♥❡s❜✉r❣✱ ❙♦✉t❤ ❆❢r✐❝❛✮ ◆♦♥✲❝❛♥❝❡❧❧❛t✐♦♥ ❣r♦✉♣ ♦❢ ❛ ❞✐r❡❝t ♣r♦❞✉❝t ❇✐r♠✐♥❣❤❛♠✱ ❯❑ ❆✉❣✉st✱ ✷✵✶✼ ✷✸ ✴ ✷✸