rs t rs - PowerPoint PPT Presentation

●r♦✉♣s✱ ❙t ❆♥❞r❡✇s ✷✵✶✼ ◆♦♥✲❝❛♥❝❡❧❧❛t✐♦♥ ❣r♦✉♣ ♦❢ ❛ ❞✐r❡❝t ♣r♦❞✉❝t ❘✳ ❑✇❛s❤✐r❛ ✶ , ✷ ❲♦r❦ ✇✐t❤ ❏✳❈✳ ▼❜❛ ✸ ✶ ❯♥✐✈❡rs✐t② ♦❢ t❤❡ ❲✐t✇❛t❡rsr❛♥❞✱ ❙♦✉t❤ ❆❢r✐❝❛✱ ✷ ❉❙❚✲◆❘❋ ❈❡♥tr❡ ♦❢ ❊①❝❡❧❧❡♥❝❡ ✐♥ ▼❛t❤❡♠❛t✐❝❛❧ ❛♥❞ ❙t❛t✐st✐❝❛❧ ❙❝✐❡♥❝❡s ✭❈♦❊✲▼❛❙❙✮✱ ❙♦✉t❤ ❆❢r✐❝❛✱ ✸ ❯♥✐✈❡rs✐t② ♦❢ ❏♦❤❛♥♥❡s❜✉r❣✱ ❙♦✉t❤ ❆❢r✐❝❛ ❇✐r♠✐♥❣❤❛♠✱ ❯❑ ❆✉❣✉st✱ ✷✵✶✼ ❇✐r♠✐♥❣❤❛♠✱ ❯❑ ❆✉❣✉st✱ ✷✵✶✼ ✶ ✴ ❘✳ ❑✇❛s❤✐r❛ ✶ , ✷ ❲♦r❦ ✇✐t❤ ❏✳❈✳ ▼❜❛ ✸ ✭ ✶ ❯♥✐✈❡rs✐t② ♦❢ t❤❡ ❲✐t✇❛t❡rsr❛♥❞✱ ❙♦✉t❤ ❆❢r✐❝❛✱ ✷ ❉❙❚✲◆❘❋ ❈❡♥tr❡ ♦❢ ❊①❝❡❧❧❡♥❝❡ ✐♥ ▼❛t❤❡♠❛t✐❝❛❧ ❛♥❞ ❙t❛t✐st✐❝❛❧ ❙❝✐❡♥❝❡s ✭❈♦❊✲▼❛❙❙✮✱ ❙♦✉t❤ ❆❢r✐❝❛✱ ✸ ❯♥✐✈❡rs✐t② ♦❢ ❏♦❤❛♥♥❡s❜✉r❣✱ ❙♦✉t❤ ❆❢r✐❝❛✮ ◆♦♥✲❝❛♥❝❡❧❧❛t✐♦♥ ❣r♦✉♣ ♦❢ ❛ ❞✐r❡❝t ♣r♦❞✉❝t ✷✸

❖✉t❧✐♥❡ ♦❢ ❚❛❧❦ ■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ◆♦♥ ❝❛♥❝❡❧❧❛t✐♦♥ s❡t ♦❢ χ ♦ ✲❣r♦✉♣s ◆♦♥ ❝❛♥❝❡❧❧❛t✐♦♥ s❡t ♦❢ K ✲❣r♦✉♣s ❚❤❡ ❝❛t❡❣♦r② ●r♣ ❋ ◆♦♥ ❝❛♥❝❡❧❛t✐♦♥ ❣r♦✉♣ ♦❢ ❛ ❞✐r❡❝t ♣r♦❞✉❝t ❇✐r♠✐♥❣❤❛♠✱ ❯❑ ❆✉❣✉st✱ ✷✵✶✼ ✷ ✴ ❘✳ ❑✇❛s❤✐r❛ ✶ , ✷ ❲♦r❦ ✇✐t❤ ❏✳❈✳ ▼❜❛ ✸ ✭ ✶ ❯♥✐✈❡rs✐t② ♦❢ t❤❡ ❲✐t✇❛t❡rsr❛♥❞✱ ❙♦✉t❤ ❆❢r✐❝❛✱ ✷ ❉❙❚✲◆❘❋ ❈❡♥tr❡ ♦❢ ❊①❝❡❧❧❡♥❝❡ ✐♥ ▼❛t❤❡♠❛t✐❝❛❧ ❛♥❞ ❙t❛t✐st✐❝❛❧ ❙❝✐❡♥❝❡s ✭❈♦❊✲▼❛❙❙✮✱ ❙♦✉t❤ ❆❢r✐❝❛✱ ✸ ❯♥✐✈❡rs✐t② ♦❢ ❏♦❤❛♥♥❡s❜✉r❣✱ ❙♦✉t❤ ❆❢r✐❝❛✮ ◆♦♥✲❝❛♥❝❡❧❧❛t✐♦♥ ❣r♦✉♣ ♦❢ ❛ ❞✐r❡❝t ♣r♦❞✉❝t ✷✸

❆❇❙❚❘❆❈❚ ❆❜str❛❝t ❈♦♥s✐❞❡r t❤❡ s❡♠✐❞✐r❡❝t ♣r♦❞✉❝t ● ✐ = Z ♥ ✐ ⋊ ω ✐ Z ✳ ▼❡t❤♦❞s ❢♦r ❝♦♠♣✉t❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ♥♦♥✲❝❛♥❝❡❧❧❛t✐♦♥ ❣r♦✉♣s χ ( ● ✶ × ● ✷ ) ❛♥❞ χ ( ● ❦ ✐ ) ✱ ❦ ∈ N ✇❡r❡ ❞❡✈❡❧♦♣❡❞ ✐♥ ❧✐t❡r❛t✉r❡✳ ❲❡ ❞❡✈❡❧♦♣ ❛ ❣❡♥❡r❛❧ ♠❡t❤♦❞ ♦❢ ❝♦♠♣✉t✐♥❣ χ ( ● ✶ × ● ✷ , ❤ ) ✱ ✇❤❡r❡ ❤ : ❋ ֒ → ● ✶ ⊆ ● ✶ × ● ✷ ❛♥❞ ❋ ❛ ✜♥✐t❡ ❣r♦✉♣✳ ❇✐r♠✐♥❣❤❛♠✱ ❯❑ ❆✉❣✉st✱ ✷✵✶✼ ✸ ✴ ❘✳ ❑✇❛s❤✐r❛ ✶ , ✷ ❲♦r❦ ✇✐t❤ ❏✳❈✳ ▼❜❛ ✸ ✭ ✶ ❯♥✐✈❡rs✐t② ♦❢ t❤❡ ❲✐t✇❛t❡rsr❛♥❞✱ ❙♦✉t❤ ❆❢r✐❝❛✱ ✷ ❉❙❚✲◆❘❋ ❈❡♥tr❡ ♦❢ ❊①❝❡❧❧❡♥❝❡ ✐♥ ▼❛t❤❡♠❛t✐❝❛❧ ❛♥❞ ❙t❛t✐st✐❝❛❧ ❙❝✐❡♥❝❡s ✭❈♦❊✲▼❛❙❙✮✱ ❙♦✉t❤ ❆❢r✐❝❛✱ ✸ ❯♥✐✈❡rs✐t② ♦❢ ❏♦❤❛♥♥❡s❜✉r❣✱ ❙♦✉t❤ ❆❢r✐❝❛✮ ◆♦♥✲❝❛♥❝❡❧❧❛t✐♦♥ ❣r♦✉♣ ♦❢ ❛ ❞✐r❡❝t ♣r♦❞✉❝t ✷✸

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ◆ ❢✳❣✳ ♥✐❧♣♦t❡♥t ❣r♦✉♣ G ( ◆ ) ✿ ✐s♦♠♦r♣❤✐s♠ ❝❧❛ss❡s ♦❢ ❢✳❣ ♥✐❧♣♦t❡♥t ❣r♦✉♣s ▼ s✉❝❤ t❤❛t ❢♦r ❡✈❡r② ♣r✐♠❡ ♣ ▼ ♣ ≃ ◆ ♣ G ( ◆ ) ❤❛s ❛ ❣r♦✉♣ str✉❝t✉r❡ χ ♦ ✿ ❝❧❛ss ♦❢ ❛❧❧ ● ❢✳❣✳ ❣r♦✉♣s ✇✐t❤ [ ● , ● ] ✜♥✐t❡ ◆♦♥ ❝❛♥❝❡❧❧❛t✐♦♥ s❡t χ ( ● ) ✿ s❡t ♦❢ ❛❧❧ ✐s♦♠♦r♣❤✐s♠ ❝❧❛ss❡s ♦❢ ❣r♦✉♣s ❍ s✉❝❤ t❤❛t ● × Z ∼ = ❍ × Z ◆ ✐s ❛ ❢✳❣ ♥✐❧♣♦t❡♥t ❣r♦✉♣ [ ◆ , ◆ ] ✜♥✐t❡ t❤❡♥ G ( ◆ ) = χ ( ◆ ) χ ( ● ) ❤❛s ❛ ❣r♦✉♣ str✉❝t✉r❡ s✐♠✐❧❛r t♦ t❤❡ ❣r♦✉♣ str✉❝t✉r❡ ♦♥ t❤❡ ▼✐s❧✐♥ ❣❡♥✉s ♦❢ ❛ ♥✐❧♣♦t❡♥t χ ♦ ✲ ❣r♦✉♣ ❍ × Z ∼ = ● × Z ✐✛✳ ❍ π ∼ = ● π ✭ π ❢♦r ❡✈❡r② ✜♥✐t❡ s❡t ♦❢ ♣r✐♠❡s π χ ♦ ✲ ❣r♦✉♣ ❍ ✱ χ ( ❍ ) ❝♦✐♥❝✐❞❡s ✇✐t❤ t❤❡ r❡str✐❝t❡❞ ❣❡♥✉s Γ ❢ ( ❍ ) ♦❢ ❍ ❇✐r♠✐♥❣❤❛♠✱ ❯❑ ❆✉❣✉st✱ ✷✵✶✼ ✹ ✴ ❘✳ ❑✇❛s❤✐r❛ ✶ , ✷ ❲♦r❦ ✇✐t❤ ❏✳❈✳ ▼❜❛ ✸ ✭ ✶ ❯♥✐✈❡rs✐t② ♦❢ t❤❡ ❲✐t✇❛t❡rsr❛♥❞✱ ❙♦✉t❤ ❆❢r✐❝❛✱ ✷ ❉❙❚✲◆❘❋ ❈❡♥tr❡ ♦❢ ❊①❝❡❧❧❡♥❝❡ ✐♥ ▼❛t❤❡♠❛t✐❝❛❧ ❛♥❞ ❙t❛t✐st✐❝❛❧ ❙❝✐❡♥❝❡s ✭❈♦❊✲▼❛❙❙✮✱ ❙♦✉t❤ ❆❢r✐❝❛✱ ✸ ❯♥✐✈❡rs✐t② ♦❢ ❏♦❤❛♥♥❡s❜✉r❣✱ ❙♦✉t❤ ❆❢r✐❝❛✮ ◆♦♥✲❝❛♥❝❡❧❧❛t✐♦♥ ❣r♦✉♣ ♦❢ ❛ ❞✐r❡❝t ♣r♦❞✉❝t ✷✸

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ✷ ❝♦♥t✐♥✉❡❞✳✳✳✳ ❋✐① ❋ ✜♥✐t❡ ❣r♣✳ ❤ : ❋ − → ● ❜❡ ❛ ♠♦♥♦♠♦r♣❤✐s♠ ●r♣ ❋ ✿ ❝❛t❡❣♦r② ♦❢ ❣r♦✉♣s ✉♥❞❡r ❋ ♦❜❥❡❝ts✿ ( ● , ❤ ) , ( ● ✶ , ❦ ) ❣r♦✉♣ ❤♦♠♦♠♦r♣❤✐s♠s ❤ : ❋ − → ● ❛♥❞ ❦ : ❋ − → ● ✶ ♠♦r♣❤✐s♠s✿ ❣r♦✉♣ ❤♦♠♦♠♦r♣❤✐s♠ β : ● − → ● ✶ s✉❝❤ t❤❛t β ◦ ❤ = ❦ π ✲❧♦❝❛❧✐③❛t✐♦♥ ♦❢ ❛♥ ♦❜❥❡❝t✿ ❤ : ❋ − → ● ✐s t❤❡ ♦❜❥❡❝t ❤ π : ❋ − → ● π ✇❤❡r❡ π ✐s s❡t ♦❢ ♣r✐♠❡s X ❋ ✿ ❢✉❧❧ s✉❜❝❛t❡❣♦r② ♦❢ χ ♦ ✲ ❣r♦✉♣s Γ ❢ ( ❤ ) ✿ r❡str✐❝t❡❞ ❣❡♥✉s✿ ✐s♦♠♦r♣❤✐s♠ ❝❧❛ss❡s ❦ s✉❝❤ t❤❛t ❦ π ✐s ✐s♦♠♦r♣❤✐❝ t♦ ❤ π ❢♦r ❦ ∈ X ❋ ❋ ✐s ❛ tr✐✈✐❛❧ ❣r♦✉♣ t❤❡♥ X ❋ ✐s ✐❞❡♥t✐✜❡❞ ✇✐t❤ χ ♦ ✲❣r♦✉♣s ❋ tr✐✈✐❛❧ ✿ χ ( ● , ❤ ) ✱ ♥♦♥ ❝❛♥❝❡❧❧❛t✐♦♥ ❣r♦✉♣ ♦❢ ● ✉♥❞❡r ❋ ❝♦✐♥❝✐❞❡s ✇✐t❤ χ ( ● ) ❇✐r♠✐♥❣❤❛♠✱ ❯❑ ❆✉❣✉st✱ ✷✵✶✼ ✺ ✴ ❘✳ ❑✇❛s❤✐r❛ ✶ , ✷ ❲♦r❦ ✇✐t❤ ❏✳❈✳ ▼❜❛ ✸ ✭ ✶ ❯♥✐✈❡rs✐t② ♦❢ t❤❡ ❲✐t✇❛t❡rsr❛♥❞✱ ❙♦✉t❤ ❆❢r✐❝❛✱ ✷ ❉❙❚✲◆❘❋ ❈❡♥tr❡ ♦❢ ❊①❝❡❧❧❡♥❝❡ ✐♥ ▼❛t❤❡♠❛t✐❝❛❧ ❛♥❞ ❙t❛t✐st✐❝❛❧ ❙❝✐❡♥❝❡s ✭❈♦❊✲▼❛❙❙✮✱ ❙♦✉t❤ ❆❢r✐❝❛✱ ✸ ❯♥✐✈❡rs✐t② ♦❢ ❏♦❤❛♥♥❡s❜✉r❣✱ ❙♦✉t❤ ❆❢r✐❝❛✮ ◆♦♥✲❝❛♥❝❡❧❧❛t✐♦♥ ❣r♦✉♣ ♦❢ ❛ ❞✐r❡❝t ♣r♦❞✉❝t ✷✸

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ✸ ❝♦♥t✐♥✉❡❞✳✳✳✳ K ❜❡ t❤❡ ❝❧❛ss ♦❢ ❣r♦✉♣s✿ ❚ ⋊ ω ❋ , ❋ ✜♥✐t❡ r❛♥❦ ❢r❡❡ ❛❜❡❧✐❛♥ ❣r♦✉♣ ❚ ✜♥✐t❡ ❛❜❡❧✐❛♥ ❣r♦✉♣ ❍ = ● ( ♠ , ✉ ) = Z ♠ ⋊ ν Z , ( ♠ , ✉ ) = ✶✳ ❍ ✐s ❛ K ✲ ❣r♦✉♣ K ❋ ❢✉❧❧ s✉❜❝❛t❡❣♦r② ♦❢ ●r♣ ❋ ❇✐r♠✐♥❣❤❛♠✱ ❯❑ ❆✉❣✉st✱ ✷✵✶✼ ✻ ✴ ❘✳ ❑✇❛s❤✐r❛ ✶ , ✷ ❲♦r❦ ✇✐t❤ ❏✳❈✳ ▼❜❛ ✸ ✭ ✶ ❯♥✐✈❡rs✐t② ♦❢ t❤❡ ❲✐t✇❛t❡rsr❛♥❞✱ ❙♦✉t❤ ❆❢r✐❝❛✱ ✷ ❉❙❚✲◆❘❋ ❈❡♥tr❡ ♦❢ ❊①❝❡❧❧❡♥❝❡ ✐♥ ▼❛t❤❡♠❛t✐❝❛❧ ❛♥❞ ❙t❛t✐st✐❝❛❧ ❙❝✐❡♥❝❡s ✭❈♦❊✲▼❛❙❙✮✱ ❙♦✉t❤ ❆❢r✐❝❛✱ ✸ ❯♥✐✈❡rs✐t② ♦❢ ❏♦❤❛♥♥❡s❜✉r❣✱ ❙♦✉t❤ ❆❢r✐❝❛✮ ◆♦♥✲❝❛♥❝❡❧❧❛t✐♦♥ ❣r♦✉♣ ♦❢ ❛ ❞✐r❡❝t ♣r♦❞✉❝t ✷✸