r ss C P r - - PowerPoint PPT Presentation

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May 10, 2023 195 likes •749 views

r ss C P r r r r

SLIDE 1

▲❛❣r❛♥❣✐❛♥ s✉❜♠❛♥✐❢♦❧❞s ♦❢ CP♥✳

❋r❛♥❦✐ ❉✐❧❧❡♥ ❆♣r✐❧ ✷✹✱ ✷✵✵✾

❋r❛♥❦✐ ❉✐❧❧❡♥ ▲❛❣r❛♥❣✐❛♥ s✉❜♠❛♥✐❢♦❧❞s ♦❢ CP♥✳

SLIDE 2

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥

▲❡t ❢ : ▼♥ → ▼♠ ❜❡ ❛♥ ✐s♦♠❡tr✐❝ ✐♠♠❡rs✐♦♥ ♦❢ ❛ ❘✐❡♠❛♥♥✐❛♥ ♥✲♠❛♥✐❢♦❧❞ ▼♥ ✐♥t♦ ❛ ❑❛❡❤❧❡r ♠✲♠❛♥✐❢♦❧❞ ▼♠ ♦❢ ❝♦♠♣❧❡① ❞✐♠❡♥s✐♦♥ ♠✳ ❚❤❡♥ ❢ ✐s s❛✐❞ t♦ ❜❡ t♦t❛❧❧② r❡❛❧ ✐❢ t❤❡ ❝♦♠♣❧❡① str✉❝t✉r❡ ❏ ♦❢ ▼♠ ❝❛rr✐❡s ❡❛❝❤ t❛♥❣❡♥t s♣❛❝❡ ♦❢ ▼♥ ✐♥t♦ ✐ts ❝♦rr❡s♣♦♥❞✐♥❣ ♥♦r♠❛❧ s♣❛❝❡✱ ✐✳❡✳ ❏(❢∗❚♣▼) ⊂ ❚ ⊥

♣ ▼✳

■❢ ✐♥ ❛❞❞✐t✐♦♥ ♥ = ♠✱ t❤❡♥ ▼♥ ✐s s❛✐❞ t♦ ❜❡ ▲❛❣r❛♥❣✐❛♥ ✱ ✐✳❡✳ ❏(❢∗❚♣▼) = ❚ ⊥

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■❢ ♥♦ ❝♦♥❢✉s✐♦♥ ✐s ♣♦ss✐❜❧❡✱ ✇❡ ✇✐❧❧ ❛ss✉♠❡ ▼♥ ❡♠❜❡❞❞❡❞ ❛♥❞ ✇❡ ✐❞❡♥t✐❢② ▼♥ ❛♥❞ ❢ (▼♥)✳

❋r❛♥❦✐ ❉✐❧❧❡♥ ▲❛❣r❛♥❣✐❛♥ s✉❜♠❛♥✐❢♦❧❞s ♦❢ CP♥✳

SLIDE 3

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥

▲❡t ❢ : ▼♥ → ▼♠ ❜❡ ❛♥ ✐s♦♠❡tr✐❝ ✐♠♠❡rs✐♦♥ ♦❢ ❛ ❘✐❡♠❛♥♥✐❛♥ ♥✲♠❛♥✐❢♦❧❞ ▼♥ ✐♥t♦ ❛ ❑❛❡❤❧❡r ♠✲♠❛♥✐❢♦❧❞ ▼♠ ♦❢ ❝♦♠♣❧❡① ❞✐♠❡♥s✐♦♥ ♠✳ ❚❤❡♥ ❢ ✐s s❛✐❞ t♦ ❜❡ t♦t❛❧❧② r❡❛❧ ✐❢ t❤❡ ❝♦♠♣❧❡① str✉❝t✉r❡ ❏ ♦❢ ▼♠ ❝❛rr✐❡s ❡❛❝❤ t❛♥❣❡♥t s♣❛❝❡ ♦❢ ▼♥ ✐♥t♦ ✐ts ❝♦rr❡s♣♦♥❞✐♥❣ ♥♦r♠❛❧ s♣❛❝❡✱ ✐✳❡✳ ❏(❢∗❚♣▼) ⊂ ❚ ⊥

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■❢ ♥♦ ❝♦♥❢✉s✐♦♥ ✐s ♣♦ss✐❜❧❡✱ ✇❡ ✇✐❧❧ ❛ss✉♠❡ ▼♥ ❡♠❜❡❞❞❡❞ ❛♥❞ ✇❡ ✐❞❡♥t✐❢② ▼♥ ❛♥❞ ❢ (▼♥)✳

❋r❛♥❦✐ ❉✐❧❧❡♥ ▲❛❣r❛♥❣✐❛♥ s✉❜♠❛♥✐❢♦❧❞s ♦❢ CP♥✳

SLIDE 4

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥

▲❡t ❢ : ▼♥ → ▼♠ ❜❡ ❛♥ ✐s♦♠❡tr✐❝ ✐♠♠❡rs✐♦♥ ♦❢ ❛ ❘✐❡♠❛♥♥✐❛♥ ♥✲♠❛♥✐❢♦❧❞ ▼♥ ✐♥t♦ ❛ ❑❛❡❤❧❡r ♠✲♠❛♥✐❢♦❧❞ ▼♠ ♦❢ ❝♦♠♣❧❡① ❞✐♠❡♥s✐♦♥ ♠✳ ❚❤❡♥ ❢ ✐s s❛✐❞ t♦ ❜❡ t♦t❛❧❧② r❡❛❧ ✐❢ t❤❡ ❝♦♠♣❧❡① str✉❝t✉r❡ ❏ ♦❢ ▼♠ ❝❛rr✐❡s ❡❛❝❤ t❛♥❣❡♥t s♣❛❝❡ ♦❢ ▼♥ ✐♥t♦ ✐ts ❝♦rr❡s♣♦♥❞✐♥❣ ♥♦r♠❛❧ s♣❛❝❡✱ ✐✳❡✳ ❏(❢∗❚♣▼) ⊂ ❚ ⊥

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■❢ ✐♥ ❛❞❞✐t✐♦♥ ♥ = ♠✱ t❤❡♥ ▼♥ ✐s s❛✐❞ t♦ ❜❡ ▲❛❣r❛♥❣✐❛♥ ✱ ✐✳❡✳ ❏(❢∗❚♣▼) = ❚ ⊥

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■❢ ♥♦ ❝♦♥❢✉s✐♦♥ ✐s ♣♦ss✐❜❧❡✱ ✇❡ ✇✐❧❧ ❛ss✉♠❡ ▼♥ ❡♠❜❡❞❞❡❞ ❛♥❞ ✇❡ ✐❞❡♥t✐❢② ▼♥ ❛♥❞ ❢ (▼♥)✳

❋r❛♥❦✐ ❉✐❧❧❡♥ ▲❛❣r❛♥❣✐❛♥ s✉❜♠❛♥✐❢♦❧❞s ♦❢ CP♥✳

SLIDE 5

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥

▲❡t ❢ : ▼♥ → ▼♠ ❜❡ ❛♥ ✐s♦♠❡tr✐❝ ✐♠♠❡rs✐♦♥ ♦❢ ❛ ❘✐❡♠❛♥♥✐❛♥ ♥✲♠❛♥✐❢♦❧❞ ▼♥ ✐♥t♦ ❛ ❑❛❡❤❧❡r ♠✲♠❛♥✐❢♦❧❞ ▼♠ ♦❢ ❝♦♠♣❧❡① ❞✐♠❡♥s✐♦♥ ♠✳ ❚❤❡♥ ❢ ✐s s❛✐❞ t♦ ❜❡ t♦t❛❧❧② r❡❛❧ ✐❢ t❤❡ ❝♦♠♣❧❡① str✉❝t✉r❡ ❏ ♦❢ ▼♠ ❝❛rr✐❡s ❡❛❝❤ t❛♥❣❡♥t s♣❛❝❡ ♦❢ ▼♥ ✐♥t♦ ✐ts ❝♦rr❡s♣♦♥❞✐♥❣ ♥♦r♠❛❧ s♣❛❝❡✱ ✐✳❡✳ ❏(❢∗❚♣▼) ⊂ ❚ ⊥

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■❢ ✐♥ ❛❞❞✐t✐♦♥ ♥ = ♠✱ t❤❡♥ ▼♥ ✐s s❛✐❞ t♦ ❜❡ ▲❛❣r❛♥❣✐❛♥ ✱ ✐✳❡✳ ❏(❢∗❚♣▼) = ❚ ⊥

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■❢ ♥♦ ❝♦♥❢✉s✐♦♥ ✐s ♣♦ss✐❜❧❡✱ ✇❡ ✇✐❧❧ ❛ss✉♠❡ ▼♥ ❡♠❜❡❞❞❡❞ ❛♥❞ ✇❡ ✐❞❡♥t✐❢② ▼♥ ❛♥❞ ❢ (▼♥)✳

❋r❛♥❦✐ ❉✐❧❧❡♥ ▲❛❣r❛♥❣✐❛♥ s✉❜♠❛♥✐❢♦❧❞s ♦❢ CP♥✳

SLIDE 6

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥

❋r♦♠ ♥♦✇ ♦♥✿ ♥ = ♠✱ ▼♥ = CP♥(✹) ▼♥ ⊂ CP♥(✹) ▲❛❣r❛♥❣✐❛♥ ❙✉❜♠❛♥✐❢♦❧❞ ❈♦♥t❡♥ts✿ ▲✐❢t t♦ ❙✷♥+✶(✶)✱ ❢✉♥❞❛♠❡♥t❛❧ t❤❡♦r❡♠✳ ❊①❛♠♣❧❡s ♦❢ ▲❛❣r❛♥❣✐❛♥ s✉❜♠❛♥✐❢♦❧❞s ❈✉r✈❛t✉r❡ ✐♥❡q✉❛❧✐t✐❡s Ps❡✉❞♦✲♣❛r❛❧❧❡❧ ▲❛❣r❛♥❣✐❛♥ s✉❜♠❛♥✐❢♦❧❞s ❏♦✐♥t ✇♦r❦ ✇✐t❤ ❏♦❤♥ ❇♦❧t♦♥✱ ❇❛♥❣✲❨❡♥ ❈❤❡♥✱ ❏♦❤❛♥ ❋❛st❡♥❛❦❡❧s✱ ❏♦❡r✐ ❱❛♥ ❞❡r ❱❡❦❡♥✱ P♦❧ ❱❡rstr❛❡❧❡♥✱ ▲✉❝ ❱r❛♥❝❦❡♥

❋r❛♥❦✐ ❉✐❧❧❡♥ ▲❛❣r❛♥❣✐❛♥ s✉❜♠❛♥✐❢♦❧❞s ♦❢ CP♥✳

SLIDE 7

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥

❋r♦♠ ♥♦✇ ♦♥✿ ♥ = ♠✱ ▼♥ = CP♥(✹) ▼♥ ⊂ CP♥(✹) ▲❛❣r❛♥❣✐❛♥ ❙✉❜♠❛♥✐❢♦❧❞ ❈♦♥t❡♥ts✿ ▲✐❢t t♦ ❙✷♥+✶(✶)✱ ❢✉♥❞❛♠❡♥t❛❧ t❤❡♦r❡♠✳ ❊①❛♠♣❧❡s ♦❢ ▲❛❣r❛♥❣✐❛♥ s✉❜♠❛♥✐❢♦❧❞s ❈✉r✈❛t✉r❡ ✐♥❡q✉❛❧✐t✐❡s Ps❡✉❞♦✲♣❛r❛❧❧❡❧ ▲❛❣r❛♥❣✐❛♥ s✉❜♠❛♥✐❢♦❧❞s ❏♦✐♥t ✇♦r❦ ✇✐t❤ ❏♦❤♥ ❇♦❧t♦♥✱ ❇❛♥❣✲❨❡♥ ❈❤❡♥✱ ❏♦❤❛♥ ❋❛st❡♥❛❦❡❧s✱ ❏♦❡r✐ ❱❛♥ ❞❡r ❱❡❦❡♥✱ P♦❧ ❱❡rstr❛❡❧❡♥✱ ▲✉❝ ❱r❛♥❝❦❡♥

❋r❛♥❦✐ ❉✐❧❧❡♥ ▲❛❣r❛♥❣✐❛♥ s✉❜♠❛♥✐❢♦❧❞s ♦❢ CP♥✳

SLIDE 8

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥

❋r♦♠ ♥♦✇ ♦♥✿ ♥ = ♠✱ ▼♥ = CP♥(✹) ▼♥ ⊂ CP♥(✹) ▲❛❣r❛♥❣✐❛♥ ❙✉❜♠❛♥✐❢♦❧❞ ❈♦♥t❡♥ts✿ ▲✐❢t t♦ ❙✷♥+✶(✶)✱ ❢✉♥❞❛♠❡♥t❛❧ t❤❡♦r❡♠✳ ❊①❛♠♣❧❡s ♦❢ ▲❛❣r❛♥❣✐❛♥ s✉❜♠❛♥✐❢♦❧❞s ❈✉r✈❛t✉r❡ ✐♥❡q✉❛❧✐t✐❡s Ps❡✉❞♦✲♣❛r❛❧❧❡❧ ▲❛❣r❛♥❣✐❛♥ s✉❜♠❛♥✐❢♦❧❞s ❏♦✐♥t ✇♦r❦ ✇✐t❤ ❏♦❤♥ ❇♦❧t♦♥✱ ❇❛♥❣✲❨❡♥ ❈❤❡♥✱ ❏♦❤❛♥ ❋❛st❡♥❛❦❡❧s✱ ❏♦❡r✐ ❱❛♥ ❞❡r ❱❡❦❡♥✱ P♦❧ ❱❡rstr❛❡❧❡♥✱ ▲✉❝ ❱r❛♥❝❦❡♥

❋r❛♥❦✐ ❉✐❧❧❡♥ ▲❛❣r❛♥❣✐❛♥ s✉❜♠❛♥✐❢♦❧❞s ♦❢ CP♥✳

SLIDE 9

❇❛s✐❝ ❡q✉❛t✐♦♥s ❢♦r ▲❛❣r❛♥❣✐❛♥ ❙✉❜♠❛♥✐❢♦❧❞s

❋♦r♠✉❧❛s ♦❢ ●❛✉ss ❛♥❞ ❲❡✐♥❣❛rt❡♥✿

∇❳❨ = ∇❳❨ + ❤(❳, ❨ ),
∇❳◆ = −❆◆❳ + ∇⊥

❳◆,

❘❡❧❛t✐♦♥s✿ ❏(❆❏❳❨ ) = ❤(❳, ❨ ) ❛♥❞ ∇⊥

❳❏❨ = ❏∇❳❨

❚❤❡ ❡q✉❛t✐♦♥ ♦❢ ●❛✉ss✿ ❘(❳, ❨ ) = ❳ ∧ ❨ + [❆❏❳, ❆❏❨ ]. ❚❤❡ ❡q✉❛t✐♦♥ ♦❢ ❈♦❞❛③③✐✿ (∇❤)(❳, ❨ , ❩) := ∇⊥

❳❤(❨ , ❩) − ❤(∇❳❨ , ❩) − ❤(❨ , ∇❳❩)

✐s t♦t❛❧❧② s②♠♠❡tr✐❝

❋r❛♥❦✐ ❉✐❧❧❡♥ ▲❛❣r❛♥❣✐❛♥ s✉❜♠❛♥✐❢♦❧❞s ♦❢ CP♥✳

SLIDE 10

❇❛s✐❝ ❡q✉❛t✐♦♥s ❢♦r ▲❛❣r❛♥❣✐❛♥ ❙✉❜♠❛♥✐❢♦❧❞s

❋♦r♠✉❧❛s ♦❢ ●❛✉ss ❛♥❞ ❲❡✐♥❣❛rt❡♥✿

∇❳❨ = ∇❳❨ + ❤(❳, ❨ ),
∇❳◆ = −❆◆❳ + ∇⊥

❳◆,

❘❡❧❛t✐♦♥s✿ ❏(❆❏❳❨ ) = ❤(❳, ❨ ) ❛♥❞ ∇⊥

❳❏❨ = ❏∇❳❨

❚❤❡ ❡q✉❛t✐♦♥ ♦❢ ●❛✉ss✿ ❘(❳, ❨ ) = ❳ ∧ ❨ + [❆❏❳, ❆❏❨ ]. ❚❤❡ ❡q✉❛t✐♦♥ ♦❢ ❈♦❞❛③③✐✿ (∇❤)(❳, ❨ , ❩) := ∇⊥

❳❤(❨ , ❩) − ❤(∇❳❨ , ❩) − ❤(❨ , ∇❳❩)

✐s t♦t❛❧❧② s②♠♠❡tr✐❝

❋r❛♥❦✐ ❉✐❧❧❡♥ ▲❛❣r❛♥❣✐❛♥ s✉❜♠❛♥✐❢♦❧❞s ♦❢ CP♥✳

SLIDE 11

❇❛s✐❝ ❡q✉❛t✐♦♥s ❢♦r ▲❛❣r❛♥❣✐❛♥ ❙✉❜♠❛♥✐❢♦❧❞s

❋♦r♠✉❧❛s ♦❢ ●❛✉ss ❛♥❞ ❲❡✐♥❣❛rt❡♥✿

∇❳❨ = ∇❳❨ + ❤(❳, ❨ ),
∇❳◆ = −❆◆❳ + ∇⊥

❳◆,

❘❡❧❛t✐♦♥s✿ ❏(❆❏❳❨ ) = ❤(❳, ❨ ) ❛♥❞ ∇⊥

❳❏❨ = ❏∇❳❨

❚❤❡ ❡q✉❛t✐♦♥ ♦❢ ●❛✉ss✿ ❘(❳, ❨ ) = ❳ ∧ ❨ + [❆❏❳, ❆❏❨ ]. ❚❤❡ ❡q✉❛t✐♦♥ ♦❢ ❈♦❞❛③③✐✿ (∇❤)(❳, ❨ , ❩) := ∇⊥

❳❤(❨ , ❩) − ❤(∇❳❨ , ❩) − ❤(❨ , ∇❳❩)

✐s t♦t❛❧❧② s②♠♠❡tr✐❝

❋r❛♥❦✐ ❉✐❧❧❡♥ ▲❛❣r❛♥❣✐❛♥ s✉❜♠❛♥✐❢♦❧❞s ♦❢ CP♥✳

SLIDE 12

❇❛s✐❝ ❡q✉❛t✐♦♥s ❢♦r ▲❛❣r❛♥❣✐❛♥ ❙✉❜♠❛♥✐❢♦❧❞s

❋♦r♠✉❧❛s ♦❢ ●❛✉ss ❛♥❞ ❲❡✐♥❣❛rt❡♥✿

∇❳❨ = ∇❳❨ + ❤(❳, ❨ ),
∇❳◆ = −❆◆❳ + ∇⊥

❳◆,

❘❡❧❛t✐♦♥s✿ ❏(❆❏❳❨ ) = ❤(❳, ❨ ) ❛♥❞ ∇⊥

❳❏❨ = ❏∇❳❨

❚❤❡ ❡q✉❛t✐♦♥ ♦❢ ●❛✉ss✿ ❘(❳, ❨ ) = ❳ ∧ ❨ + [❆❏❳, ❆❏❨ ]. ❚❤❡ ❡q✉❛t✐♦♥ ♦❢ ❈♦❞❛③③✐✿ (∇❤)(❳, ❨ , ❩) := ∇⊥

❳❤(❨ , ❩) − ❤(∇❳❨ , ❩) − ❤(❨ , ∇❳❩)

✐s t♦t❛❧❧② s②♠♠❡tr✐❝

❋r❛♥❦✐ ❉✐❧❧❡♥ ▲❛❣r❛♥❣✐❛♥ s✉❜♠❛♥✐❢♦❧❞s ♦❢ CP♥✳

SLIDE 13

❈✉❜✐❝ ❢♦r♠✱ ✉♥✐q✉❡♥❡ss t❤❡♦r❡♠✳

❚❤❡ ❝✉❜✐❝ ❢♦r♠ ❈ ✐s t♦t❛❧❧② s②♠♠❡tr✐❝✱ ✇❤❡r❡ ❈ ✐s ❞❡✜♥❡❞ ❜② ❈(❳, ❨ , ❩) = ❣(❤(❳, ❨ ), ❏❩) = ❣(❆❏❳❨ , ❩), ❚❤❡♦r❡♠ ▲❡t ①✶, ①✷ : ▼♥ → CP♥ ❜❡ t✇♦ ▲❛❣r❛♥❣✐❛♥ ✐s♦♠❡tr✐❝ ✐♠♠❡rs✐♦♥s ♦❢ ❛ ❝♦♥♥❡❝t❡❞ ♠❛♥✐❢♦❧❞ ▼♥✳ ■❢ ❈ ✶(❳, ❨ , ❩) = ❈ ✷(❳, ❨ , ❩) ❢♦r ❛❧❧ ✈❡❝t♦r ✜❡❧❞s ❳, ❨ , ❩ t❛♥❣❡♥t t♦ ▼✱ t❤❡♥ t❤❡r❡ ❡①✐sts ❛♥ ✐s♦♠❡tr② ❋ ♦❢ CP♥ s✉❝❤ t❤❛t ①✶ = ❋(①✷)✳

❋r❛♥❦✐ ❉✐❧❧❡♥ ▲❛❣r❛♥❣✐❛♥ s✉❜♠❛♥✐❢♦❧❞s ♦❢ CP♥✳

SLIDE 14

❈✉❜✐❝ ❢♦r♠✱ ✉♥✐q✉❡♥❡ss t❤❡♦r❡♠✳

❚❤❡ ❝✉❜✐❝ ❢♦r♠ ❈ ✐s t♦t❛❧❧② s②♠♠❡tr✐❝✱ ✇❤❡r❡ ❈ ✐s ❞❡✜♥❡❞ ❜② ❈(❳, ❨ , ❩) = ❣(❤(❳, ❨ ), ❏❩) = ❣(❆❏❳❨ , ❩), ❚❤❡♦r❡♠ ▲❡t ①✶, ①✷ : ▼♥ → CP♥ ❜❡ t✇♦ ▲❛❣r❛♥❣✐❛♥ ✐s♦♠❡tr✐❝ ✐♠♠❡rs✐♦♥s ♦❢ ❛ ❝♦♥♥❡❝t❡❞ ♠❛♥✐❢♦❧❞ ▼♥✳ ■❢ ❈ ✶(❳, ❨ , ❩) = ❈ ✷(❳, ❨ , ❩) ❢♦r ❛❧❧ ✈❡❝t♦r ✜❡❧❞s ❳, ❨ , ❩ t❛♥❣❡♥t t♦ ▼✱ t❤❡♥ t❤❡r❡ ❡①✐sts ❛♥ ✐s♦♠❡tr② ❋ ♦❢ CP♥ s✉❝❤ t❤❛t ①✶ = ❋(①✷)✳

❋r❛♥❦✐ ❉✐❧❧❡♥ ▲❛❣r❛♥❣✐❛♥ s✉❜♠❛♥✐❢♦❧❞s ♦❢ CP♥✳

SLIDE 15

❈✲t♦t❛❧❧② r❡❛❧ ❛♥❞ ▲❡❣❡♥❞r✐❛♥ s✉❜♠❛♥✐❢♦❧❞s ♦❢ ❙✷♠+✶(✶)

❈♦♥s✐❞❡r ❙✷♠+✶(✶) ⊂ C♠+✶ ✇✐t❤ st❛♥❞❛r❞ ❙❛s❛❦✐❛♥ ♠❡tr✐❝✳ ❢ : ▼♥ → ❙✷♠+✶ ✐s ❝❛❧❧❡❞ ❈✲t♦t❛❧❧② r❡❛❧ ✐❢ ❢♦r ♣ ∈ ▼✱ ✐ ❢ (♣) ✐s ♥♦r♠❛❧ t♦ ▼ ■❢ ♥ = ♠✱ t❤❡♥ ❛ ❈✲t♦t❛❧❧② r❡❛❧ ✐♠♠❡rs✐♦♥ ❢ : ▼♥ → ❙✷♥+✶ ✐s ❝❛❧❧❡❞ ▲❡❣❡♥❞r✐❛♥ ❈♦♥s✐❞❡r t❤❡ ❍♦♣❢ ✜❜r❛t✐♦♥ π : ❙✷♠+✶(✶) → CP♠(✹)✳ ■❢ ❢ : ▼♥ → ❙✷♠+✶ ✐s ❈✲t♦t❛❧❧② r❡❛❧ ✭r❡s♣✳ ▲❡❣❡♥❞r✐❛♥✮✱ t❤❡♥ π(❢ ): ▼♥ → CP♠(✹) ✐s t♦t❛❧❧② r❡❛❧ ✭r❡s♣✳ ▲❛❣r❛♥❣✐❛♥✮✱ ❛♥❞ ❝♦♥✈❡rs❡❧② ✭❛t ❧❡❛st ❧♦❝❛❧❧②✮✳

❋r❛♥❦✐ ❉✐❧❧❡♥ ▲❛❣r❛♥❣✐❛♥ s✉❜♠❛♥✐❢♦❧❞s ♦❢ CP♥✳

SLIDE 16

❈✲t♦t❛❧❧② r❡❛❧ ❛♥❞ ▲❡❣❡♥❞r✐❛♥ s✉❜♠❛♥✐❢♦❧❞s ♦❢ ❙✷♠+✶(✶)

❈♦♥s✐❞❡r ❙✷♠+✶(✶) ⊂ C♠+✶ ✇✐t❤ st❛♥❞❛r❞ ❙❛s❛❦✐❛♥ ♠❡tr✐❝✳ ❢ : ▼♥ → ❙✷♠+✶ ✐s ❝❛❧❧❡❞ ❈✲t♦t❛❧❧② r❡❛❧ ✐❢ ❢♦r ♣ ∈ ▼✱ ✐ ❢ (♣) ✐s ♥♦r♠❛❧ t♦ ▼ ■❢ ♥ = ♠✱ t❤❡♥ ❛ ❈✲t♦t❛❧❧② r❡❛❧ ✐♠♠❡rs✐♦♥ ❢ : ▼♥ → ❙✷♥+✶ ✐s ❝❛❧❧❡❞ ▲❡❣❡♥❞r✐❛♥ ❈♦♥s✐❞❡r t❤❡ ❍♦♣❢ ✜❜r❛t✐♦♥ π : ❙✷♠+✶(✶) → CP♠(✹)✳ ■❢ ❢ : ▼♥ → ❙✷♠+✶ ✐s ❈✲t♦t❛❧❧② r❡❛❧ ✭r❡s♣✳ ▲❡❣❡♥❞r✐❛♥✮✱ t❤❡♥ π(❢ ): ▼♥ → CP♠(✹) ✐s t♦t❛❧❧② r❡❛❧ ✭r❡s♣✳ ▲❛❣r❛♥❣✐❛♥✮✱ ❛♥❞ ❝♦♥✈❡rs❡❧② ✭❛t ❧❡❛st ❧♦❝❛❧❧②✮✳

❋r❛♥❦✐ ❉✐❧❧❡♥ ▲❛❣r❛♥❣✐❛♥ s✉❜♠❛♥✐❢♦❧❞s ♦❢ CP♥✳

SLIDE 17

❈✲t♦t❛❧❧② r❡❛❧ ❛♥❞ ▲❡❣❡♥❞r✐❛♥ s✉❜♠❛♥✐❢♦❧❞s ♦❢ ❙✷♠+✶(✶)

❈♦♥s✐❞❡r ❙✷♠+✶(✶) ⊂ C♠+✶ ✇✐t❤ st❛♥❞❛r❞ ❙❛s❛❦✐❛♥ ♠❡tr✐❝✳ ❢ : ▼♥ → ❙✷♠+✶ ✐s ❝❛❧❧❡❞ ❈✲t♦t❛❧❧② r❡❛❧ ✐❢ ❢♦r ♣ ∈ ▼✱ ✐ ❢ (♣) ✐s ♥♦r♠❛❧ t♦ ▼ ■❢ ♥ = ♠✱ t❤❡♥ ❛ ❈✲t♦t❛❧❧② r❡❛❧ ✐♠♠❡rs✐♦♥ ❢ : ▼♥ → ❙✷♥+✶ ✐s ❝❛❧❧❡❞ ▲❡❣❡♥❞r✐❛♥ ❈♦♥s✐❞❡r t❤❡ ❍♦♣❢ ✜❜r❛t✐♦♥ π : ❙✷♠+✶(✶) → CP♠(✹)✳ ■❢ ❢ : ▼♥ → ❙✷♠+✶ ✐s ❈✲t♦t❛❧❧② r❡❛❧ ✭r❡s♣✳ ▲❡❣❡♥❞r✐❛♥✮✱ t❤❡♥ π(❢ ): ▼♥ → CP♠(✹) ✐s t♦t❛❧❧② r❡❛❧ ✭r❡s♣✳ ▲❛❣r❛♥❣✐❛♥✮✱ ❛♥❞ ❝♦♥✈❡rs❡❧② ✭❛t ❧❡❛st ❧♦❝❛❧❧②✮✳

❋r❛♥❦✐ ❉✐❧❧❡♥ ▲❛❣r❛♥❣✐❛♥ s✉❜♠❛♥✐❢♦❧❞s ♦❢ CP♥✳

SLIDE 18

❈✲t♦t❛❧❧② r❡❛❧ ❛♥❞ ▲❡❣❡♥❞r✐❛♥ s✉❜♠❛♥✐❢♦❧❞s ♦❢ ❙✷♠+✶(✶)

❈♦♥s✐❞❡r ❙✷♠+✶(✶) ⊂ C♠+✶ ✇✐t❤ st❛♥❞❛r❞ ❙❛s❛❦✐❛♥ ♠❡tr✐❝✳ ❢ : ▼♥ → ❙✷♠+✶ ✐s ❝❛❧❧❡❞ ❈✲t♦t❛❧❧② r❡❛❧ ✐❢ ❢♦r ♣ ∈ ▼✱ ✐ ❢ (♣) ✐s ♥♦r♠❛❧ t♦ ▼ ■❢ ♥ = ♠✱ t❤❡♥ ❛ ❈✲t♦t❛❧❧② r❡❛❧ ✐♠♠❡rs✐♦♥ ❢ : ▼♥ → ❙✷♥+✶ ✐s ❝❛❧❧❡❞ ▲❡❣❡♥❞r✐❛♥ ❈♦♥s✐❞❡r t❤❡ ❍♦♣❢ ✜❜r❛t✐♦♥ π : ❙✷♠+✶(✶) → CP♠(✹)✳ ■❢ ❢ : ▼♥ → ❙✷♠+✶ ✐s ❈✲t♦t❛❧❧② r❡❛❧ ✭r❡s♣✳ ▲❡❣❡♥❞r✐❛♥✮✱ t❤❡♥ π(❢ ): ▼♥ → CP♠(✹) ✐s t♦t❛❧❧② r❡❛❧ ✭r❡s♣✳ ▲❛❣r❛♥❣✐❛♥✮✱ ❛♥❞ ❝♦♥✈❡rs❡❧② ✭❛t ❧❡❛st ❧♦❝❛❧❧②✮✳

❋r❛♥❦✐ ❉✐❧❧❡♥ ▲❛❣r❛♥❣✐❛♥ s✉❜♠❛♥✐❢♦❧❞s ♦❢ CP♥✳

SLIDE 19

▲✐❢t✐♥❣ ✉♣ ❛♥❞ ❞♦✇♥

▼♦r❡ ♣r❡❝✐s❡❧②✿ ❧❡t ❢ : ▼♥ → ❙✷♠+✶(✶) ❜❡ ❛ ❈✲t♦t❛❧❧② r❡❛❧ ✐s♦♠❡tr✐❝ ✐♠♠❡rs✐♦♥✳ ❚❤❡♥ ❣ = π(❢ ) : ▼♥ → CP♠(✹) ✐s ❛❣❛✐♥ ❛♥ ✐s♦♠❡tr✐❝ ✐♠♠❡rs✐♦♥✱ ✇❤✐❝❤ ✐s t♦t❛❧❧② r❡❛❧✳ ❯♥❞❡r t❤✐s ❝♦rr❡s♣♦♥❞❡♥❝❡✱ t❤❡ s❡❝♦♥❞ ❢✉♥❞❛♠❡♥t❛❧ ❢♦r♠s ❤❢ ❛♥❞ ❤❣ ♦❢ ❢ ❛♥❞ ❣ s❛t✐s❢② π∗❤❢ = ❤❣✳ ▼♦r❡♦✈❡r✱ ❤❢ ✐s ❤♦r✐③♦♥t❛❧ ✇✳r✳t✳ π✳ ❈♦♥✈❡rs❡❧②✱ ❧❡t ❣ : ▼♥ → CP♠(✹) ❜❡ ❛ t♦t❛❧❧② r❡❛❧ ✐s♦♠❡tr✐❝ ✐♠♠❡rs✐♦♥✳ ❚❤❡♥ t❤❡r❡ ❡①✐sts ❛♥ ✐s♦♠❡tr✐❝ ❝♦✈❡r✐♥❣ ♠❛♣ τ : ▼♥ → ▼♥✱ ❛♥❞ ❛ ❈✲t♦t❛❧❧② r❡❛❧ ✐s♦♠❡tr✐❝ ✐♠♠❡rs✐♦♥ ❢ : ▼♥ → ❙✷♠+✶ s✉❝❤ t❤❛t ❣(τ) = π(❢ )✳

❋r❛♥❦✐ ❉✐❧❧❡♥ ▲❛❣r❛♥❣✐❛♥ s✉❜♠❛♥✐❢♦❧❞s ♦❢ CP♥✳

SLIDE 20

▲✐❢t✐♥❣ ✉♣ ❛♥❞ ❞♦✇♥

▼♦r❡ ♣r❡❝✐s❡❧②✿ ❧❡t ❢ : ▼♥ → ❙✷♠+✶(✶) ❜❡ ❛ ❈✲t♦t❛❧❧② r❡❛❧ ✐s♦♠❡tr✐❝ ✐♠♠❡rs✐♦♥✳ ❚❤❡♥ ❣ = π(❢ ) : ▼♥ → CP♠(✹) ✐s ❛❣❛✐♥ ❛♥ ✐s♦♠❡tr✐❝ ✐♠♠❡rs✐♦♥✱ ✇❤✐❝❤ ✐s t♦t❛❧❧② r❡❛❧✳ ❯♥❞❡r t❤✐s ❝♦rr❡s♣♦♥❞❡♥❝❡✱ t❤❡ s❡❝♦♥❞ ❢✉♥❞❛♠❡♥t❛❧ ❢♦r♠s ❤❢ ❛♥❞ ❤❣ ♦❢ ❢ ❛♥❞ ❣ s❛t✐s❢② π∗❤❢ = ❤❣✳ ▼♦r❡♦✈❡r✱ ❤❢ ✐s ❤♦r✐③♦♥t❛❧ ✇✳r✳t✳ π✳ ❈♦♥✈❡rs❡❧②✱ ❧❡t ❣ : ▼♥ → CP♠(✹) ❜❡ ❛ t♦t❛❧❧② r❡❛❧ ✐s♦♠❡tr✐❝ ✐♠♠❡rs✐♦♥✳ ❚❤❡♥ t❤❡r❡ ❡①✐sts ❛♥ ✐s♦♠❡tr✐❝ ❝♦✈❡r✐♥❣ ♠❛♣ τ : ▼♥ → ▼♥✱ ❛♥❞ ❛ ❈✲t♦t❛❧❧② r❡❛❧ ✐s♦♠❡tr✐❝ ✐♠♠❡rs✐♦♥ ❢ : ▼♥ → ❙✷♠+✶ s✉❝❤ t❤❛t ❣(τ) = π(❢ )✳

❋r❛♥❦✐ ❉✐❧❧❡♥ ▲❛❣r❛♥❣✐❛♥ s✉❜♠❛♥✐❢♦❧❞s ♦❢ CP♥✳

SLIDE 21

❋✉♥❞❛♠❡♥t❛❧ t❤❡♦r❡♠ ❢♦r ▲❡❣❡♥❞r✐❛♥ s✉❜♠❛♥✐❢♦❧❞s ♦❢ ❙✷♥+✶

❚❤❡♦r❡♠ ▲❡t (▼♥, ❣) ❜❡ ❛♥ ♥✲❞✐♠❡♥s✐♦♥❛❧ s✐♠♣❧② ❝♦♥♥❡❝t❡❞ ❘✐❡♠❛♥♥✐❛♥ ♠❛♥✐❢♦❧❞✳ ▲❡t α ❜❡ ❛ s②♠♠❡tr✐❝ ❜✐❧✐♥❡❛r ❚▼✲✈❛❧✉❡❞ ❢♦r♠ ♦♥ ▼ s❛t✐s❢②✐♥❣ ❣(α(❳, ❨ ), ❩) ✐s t♦t❛❧❧② s②♠♠❡tr✐❝✱ (∇α)(❳, ❨ , ❩) ✐s t♦t❛❧❧② s②♠♠❡tr✐❝✱ ❘(❳, ❨ )❩ = ❳ ∧ ❨ (❩) + α(α(❨ , ❩), ❳) − α(α(❳, ❩), ❨ )✱ t❤❡♥ t❤❡r❡ ❡①✐sts ❛ ▲❡❣❡♥❞r✐❛♥ ✐♠♠❡rs✐♦♥ ① : ▼ → ❙✷♥+✶(✶) s✉❝❤ t❤❛t t❤❡ s❡❝♦♥❞ ❢✉♥❞❛♠❡♥t❛❧ ❢♦r♠ ❤ s❛t✐s✜❡s ❤(❳, ❨ ) = ϕα(❳, ❨ )✱ ✇❤❡r❡ ϕ ✐s t❤❡ st❛♥❞❛r❞ ❙❛s❛❦✐❛♥ str✉❝t✉r❡ ♦♥ ❙✷♥+✶(✶)✳

❋r❛♥❦✐ ❉✐❧❧❡♥ ▲❛❣r❛♥❣✐❛♥ s✉❜♠❛♥✐❢♦❧❞s ♦❢ CP♥✳

SLIDE 22

❋✉♥❞❛♠❡♥t❛❧ t❤❡♦r❡♠ ❢♦r ▲❛❣r❛♥❣✐❛♥ s✉❜♠❛♥✐❢♦❧❞s ♦❢ CP♥

❚❤❡♦r❡♠ ▲❡t (▼♥, ❣) ❜❡ ❛♥ ♥✲❞✐♠❡♥s✐♦♥❛❧ s✐♠♣❧② ❝♦♥♥❡❝t❡❞ ❘✐❡♠❛♥♥✐❛♥ ♠❛♥✐❢♦❧❞✳ ▲❡t α ❜❡ ❛ s②♠♠❡tr✐❝ ❜✐❧✐♥❡❛r ❚▼✲✈❛❧✉❡❞ ❢♦r♠ ♦♥ ▼ s❛t✐s❢②✐♥❣ ❣(α(❳, ❨ ), ❩) ✐s t♦t❛❧❧② s②♠♠❡tr✐❝✱ (∇α)(❳, ❨ , ❩) ✐s t♦t❛❧❧② s②♠♠❡tr✐❝✱ ❘(❳, ❨ )❩ = ❳ ∧ ❨ (❩) + α(α(❨ , ❩), ❳) − α(α(❳, ❩), ❨ )✱ t❤❡♥ t❤❡r❡ ❡①✐sts ❛ ▲❛❣r❛♥❣✐❛♥ ✐♠♠❡rs✐♦♥ ① : ▼ → CP♥(✹) s✉❝❤ t❤❛t t❤❡ s❡❝♦♥❞ ❢✉♥❞❛♠❡♥t❛❧ ❢♦r♠ ❤ s❛t✐s✜❡s ❤(❳, ❨ ) = ❏α(❳, ❨ )✱ ✇❤❡r❡ ❏ ✐s t❤❡ ❝♦♠♣❧❡① str✉❝t✉r❡ ♦♥ CP♥(✹)✳

❋r❛♥❦✐ ❉✐❧❧❡♥ ▲❛❣r❛♥❣✐❛♥ s✉❜♠❛♥✐❢♦❧❞s ♦❢ CP♥✳

SLIDE 23

❆♥ ❡①♦t✐❝ ▲❛❣r❛♥❣✐❛♥ ✐♠♠❡rs✐♦♥ ♦❢ ❙✸ ✐♥t♦ CP✸

❈♦♥s✐❞❡r t❤❡ ✉♥✐t s♣❤❡r❡ ❙✸ = {(②✶, ②✷, ②✸, ②✹) ∈ R✹ | ②✷

✶ + ②✷ ✷ + ②✷ ✸ + ②✷ ✹ = ✶}

✐♥ R✹✳ ▲❡t ❳✶✱ ❳✷ ❛♥❞ ❳✸ ❜❡ t❤❡ ✈❡❝t♦r ✜❡❧❞s ❞❡✜♥❡❞ ❜② ❳✶(②✶, ②✷, ②✸, ②✹) = (②✷, −②✶, ②✹, −②✸), ❳✷(②✶, ②✷, ②✸, ②✹) = (②✸, −②✹, −②✶, ②✷), ❳✸(②✶, ②✷, ②✸, ②✹) = (②✹, ②✸, −②✷, −②✶). ❉❡✜♥❡ ❛ ♠❡tr✐❝ ❣ ♦♥ ❙✸ s✉❝❤ t❤❛t ❳✶✱ ❳✷ ❛♥❞ ❳✸ ❛r❡ ♦rt❤♦❣♦♥❛❧ ❛♥❞ s✉❝❤ t❤❛t ❣(❳✶, ❳✶) = ❣(❳✷, ❳✷) = ✸, ❣(❳✸, ❳✸) = ✾. ❉❡✜♥❡ ❛ s②♠♠❡tr✐❝ ❜✐❧✐♥❡❛r ❢♦r♠ α ❜② α(❳✶, ❳✶) = ✷❳✶, α(❳✸, ❳✶) = ✵, α(❳✶, ❳✷) = −✷❳✷, α(❳✸, ❳✷) = ✵, α(❳✷, ❳✷) = −✷❳✶, α(❳✸, ❳✸) = ✵.

❋r❛♥❦✐ ❉✐❧❧❡♥ ▲❛❣r❛♥❣✐❛♥ s✉❜♠❛♥✐❢♦❧❞s ♦❢ CP♥✳

SLIDE 24

❆♥ ❡①♦t✐❝ ▲❛❣r❛♥❣✐❛♥ ✐♠♠❡rs✐♦♥ ♦❢ ❙✸ ✐♥t♦ CP✸

❈♦♥s✐❞❡r t❤❡ ✉♥✐t s♣❤❡r❡ ❙✸ = {(②✶, ②✷, ②✸, ②✹) ∈ R✹ | ②✷

✶ + ②✷ ✷ + ②✷ ✸ + ②✷ ✹ = ✶}

✐♥ R✹✳ ▲❡t ❳✶✱ ❳✷ ❛♥❞ ❳✸ ❜❡ t❤❡ ✈❡❝t♦r ✜❡❧❞s ❞❡✜♥❡❞ ❜② ❳✶(②✶, ②✷, ②✸, ②✹) = (②✷, −②✶, ②✹, −②✸), ❳✷(②✶, ②✷, ②✸, ②✹) = (②✸, −②✹, −②✶, ②✷), ❳✸(②✶, ②✷, ②✸, ②✹) = (②✹, ②✸, −②✷, −②✶). ❉❡✜♥❡ ❛ ♠❡tr✐❝ ❣ ♦♥ ❙✸ s✉❝❤ t❤❛t ❳✶✱ ❳✷ ❛♥❞ ❳✸ ❛r❡ ♦rt❤♦❣♦♥❛❧ ❛♥❞ s✉❝❤ t❤❛t ❣(❳✶, ❳✶) = ❣(❳✷, ❳✷) = ✸, ❣(❳✸, ❳✸) = ✾. ❉❡✜♥❡ ❛ s②♠♠❡tr✐❝ ❜✐❧✐♥❡❛r ❢♦r♠ α ❜② α(❳✶, ❳✶) = ✷❳✶, α(❳✸, ❳✶) = ✵, α(❳✶, ❳✷) = −✷❳✷, α(❳✸, ❳✷) = ✵, α(❳✷, ❳✷) = −✷❳✶, α(❳✸, ❳✸) = ✵.

❋r❛♥❦✐ ❉✐❧❧❡♥ ▲❛❣r❛♥❣✐❛♥ s✉❜♠❛♥✐❢♦❧❞s ♦❢ CP♥✳

SLIDE 25

❆♥ ❡①♦t✐❝ ▲❛❣r❛♥❣✐❛♥ ✐♠♠❡rs✐♦♥ ♦❢ ❙✸ ✐♥t♦ CP✸

❈♦♥s✐❞❡r t❤❡ ✉♥✐t s♣❤❡r❡ ❙✸ = {(②✶, ②✷, ②✸, ②✹) ∈ R✹ | ②✷

✶ + ②✷ ✷ + ②✷ ✸ + ②✷ ✹ = ✶}

✐♥ R✹✳ ▲❡t ❳✶✱ ❳✷ ❛♥❞ ❳✸ ❜❡ t❤❡ ✈❡❝t♦r ✜❡❧❞s ❞❡✜♥❡❞ ❜② ❳✶(②✶, ②✷, ②✸, ②✹) = (②✷, −②✶, ②✹, −②✸), ❳✷(②✶, ②✷, ②✸, ②✹) = (②✸, −②✹, −②✶, ②✷), ❳✸(②✶, ②✷, ②✸, ②✹) = (②✹, ②✸, −②✷, −②✶). ❉❡✜♥❡ ❛ ♠❡tr✐❝ ❣ ♦♥ ❙✸ s✉❝❤ t❤❛t ❳✶✱ ❳✷ ❛♥❞ ❳✸ ❛r❡ ♦rt❤♦❣♦♥❛❧ ❛♥❞ s✉❝❤ t❤❛t ❣(❳✶, ❳✶) = ❣(❳✷, ❳✷) = ✸, ❣(❳✸, ❳✸) = ✾. ❉❡✜♥❡ ❛ s②♠♠❡tr✐❝ ❜✐❧✐♥❡❛r ❢♦r♠ α ❜② α(❳✶, ❳✶) = ✷❳✶, α(❳✸, ❳✶) = ✵, α(❳✶, ❳✷) = −✷❳✷, α(❳✸, ❳✷) = ✵, α(❳✷, ❳✷) = −✷❳✶, α(❳✸, ❳✸) = ✵.

❋r❛♥❦✐ ❉✐❧❧❡♥ ▲❛❣r❛♥❣✐❛♥ s✉❜♠❛♥✐❢♦❧❞s ♦❢ CP♥✳

SLIDE 26

❆♥ ❡①♦t✐❝ ▲❛❣r❛♥❣✐❛♥ ✐♠♠❡rs✐♦♥ ♦❢ ❙✸ ✐♥t♦ CP✸

❚❤❡♥ (❙✸, ❣) ❛♥❞ α s❛t✐s❢② ❛❧❧ ❝♦♥❞✐t✐♦♥s ♦❢ t❤❡ ❢✉♥❞❛♠❡♥t❛❧ t❤❡♦r❡♠✱ s✉❝❤ t❤❛t t❤❡r❡ ❡①✐sts ❛ ▲❛❣r❛♥❣✐❛♥ ✐♠♠❡rs✐♦♥ ❢ : (❙✸, ❣) → CP✸(✹). ❚❤❡♥ ❢ ✐s ♠✐♥✐♠❛❧ ❛♥❞ (❙✸, ❣) ❤❛s ❝♦♥st❛♥t s❝❛❧❛r ❝✉r✈❛t✉r❡ ✶

✸✳

❋r❛♥❦✐ ❉✐❧❧❡♥ ▲❛❣r❛♥❣✐❛♥ s✉❜♠❛♥✐❢♦❧❞s ♦❢ CP♥✳

SLIDE 27

❆♥ ❡①♦t✐❝ ▲❛❣r❛♥❣✐❛♥ ✐♠♠❡rs✐♦♥ ♦❢ ❙✸ ✐♥t♦ CP✸

❚❤❡♥ (❙✸, ❣) ❛♥❞ α s❛t✐s❢② ❛❧❧ ❝♦♥❞✐t✐♦♥s ♦❢ t❤❡ ❢✉♥❞❛♠❡♥t❛❧ t❤❡♦r❡♠✱ s✉❝❤ t❤❛t t❤❡r❡ ❡①✐sts ❛ ▲❛❣r❛♥❣✐❛♥ ✐♠♠❡rs✐♦♥ ❢ : (❙✸, ❣) → CP✸(✹). ❚❤❡♥ ❢ ✐s ♠✐♥✐♠❛❧ ❛♥❞ (❙✸, ❣) ❤❛s ❝♦♥st❛♥t s❝❛❧❛r ❝✉r✈❛t✉r❡ ✶

✸✳

❋r❛♥❦✐ ❉✐❧❧❡♥ ▲❛❣r❛♥❣✐❛♥ s✉❜♠❛♥✐❢♦❧❞s ♦❢ CP♥✳

SLIDE 28

▲❛❣r❛♥❣✐❛♥ ✐♠♠❡rs✐♦♥s ♦❢ ▼♥(✶) ✐♥t♦ CP♥(✹)✳

❖❜s❡r✈❛t✐♦♥✿ RP♥(✶) ⊂ CP♥(✹) ✐s t♦t❛❧❧② ❣❡♦❞❡s✐❝ ▲❛❣r❛♥❣✐❛♥ s✉❜♠❛♥✐❢♦❧❞s✳ Pr♦❜❧❡♠ ❇❡s✐❞❡s t♦t❛❧❧② ❣❡♦❞❡s✐❝ ▲❛❣r❛♥❣✐❛♥ s✉❜♠❛♥✐❢♦❧❞s✱ ❞♦ t❤❡r❡ ❡①✐st ♠❛♥② ▲❛❣r❛♥❣✐❛♥ ✐s♦♠❡tr✐❝ ✐♠♠❡rs✐♦♥s ♦❢ ❛ r❡❛❧✲s♣❛❝❡✲❢♦r♠ ♦❢ ❝♦♥st❛♥t s❡❝t✐♦♥❛❧ ❝✉r✈❛t✉r❡ ✶ ✐♥t♦ CP♥(✹)❄ Pr♦❜❧❡♠ ❍♦✇ t♦ ❡①♣❧✐❝✐t❧② ❝♦♥str✉❝t ▲❛❣r❛♥❣✐❛♥ ✐s♦♠❡tr✐❝ ✐♠♠❡rs✐♦♥s ♦❢ ❛ r❡❛❧✲s♣❛❝❡✲❢♦r♠ ♦❢ ❝♦♥st❛♥t s❡❝t✐♦♥❛❧ ❝✉r✈❛t✉r❡ ✶ ✐♥t♦ CP♥(✹)

❋r❛♥❦✐ ❉✐❧❧❡♥ ▲❛❣r❛♥❣✐❛♥ s✉❜♠❛♥✐❢♦❧❞s ♦❢ CP♥✳

SLIDE 29

❚✇✐st❡❞ ♣r♦❞✉❝ts

❉❡✜♥✐t✐♦♥ ▲❡t (▼✶, ❣✶), . . . , (▼♠, ❣♠) ❜❡ ♠ ❘✐❡♠❛♥♥✐❛♥ ♠❛♥✐❢♦❧❞s✱ ❢✐ ❛ ♣♦s✐t✐✈❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ ♦♥ ▼✶ × · · · × ▼♠ ❛♥❞ π✐ : ▼✶ × . . . × ▼♠ → ▼✐ t❤❡ ✐✲t❤ ❝❛♥♦♥✐❝❛❧ ♣r♦❥❡❝t✐♦♥ ❢♦r ✐ = ✶, . . . , ♠✳ ❚❤❡♥ t❤❡ t✇✐st❡❞ ♣r♦❞✉❝t

❢✶▼✶ × · · · ×❢♠ ▼♠

♦❢ (▼✶, ❣✶), . . . , (▼♠, ❣♠) ✐s t❤❡ ❞✐✛❡r❡♥t✐❛❜❧❡ ♠❛♥✐❢♦❧❞ ▼✶ × . . . × ▼❦ ❡q✉✐♣♣❡❞ ✇✐t❤ t❤❡ t✇✐st❡❞ ♣r♦❞✉❝t ♠❡tr✐❝ ❣ ❞❡✜♥❡❞ ❜② ❣(❳, ❨ ) = ❢✶ · ❣✶(π✶∗❳, π✶∗❨ ) + · · · + ❢♠ · ❣♠(π♠∗❳, π♠∗❨ ) ❢♦r ❛❧❧ ✈❡❝t♦r ✜❡❧❞s ❳ ❛♥❞ ❨ ♦❢ ▼✶ × · · · × ▼♠✳

❋r❛♥❦✐ ❉✐❧❧❡♥ ▲❛❣r❛♥❣✐❛♥ s✉❜♠❛♥✐❢♦❧❞s ♦❢ CP♥✳

SLIDE 30

❚✇✐st❡❞ ♣r♦❞✉❝t ❞❡❝♦♠♣♦s✐t✐♦♥

❈♦♥s✐❞❡r

❢✶■✶ × · · · ×❢❦ ■❦ ×✶ ❙♥−❦(✶),

✇❤❡r❡ ■✶, . . . , ■❦ ❛r❡ ♦♣❡♥ ✐♥t❡r✈❛❧s✳ ❆ss✉♠❡ t❤❡ t✇✐st❡❞ ♣r♦❞✉❝t ❤❛s ❝♦♥st❛♥t s❡❝t✐♦♥❛❧ ❝✉r✈❛t✉r❡ ✶✱ t❤❡♥ ✇❡ ❝❛❧❧ ✐t ❛ t✇✐st❡❞ ♣r♦❞✉❝t ❞❡❝♦♠♣♦s✐t✐♦♥ ♦❢ ❛ s♣❛❝❡ ♦❢ ❝✉r✈❛t✉r❡ ▼♥(✶)✳ ◆♦t❛t✐♦♥✿ ▼♥(✶) = ❚P♥

❢✶···❢❦(✶)✳

▲❡t ①❥ ❜❡ t❤❡ st❛♥❞❛r❞ ❝♦♦r❞✐♥❛t❡ ♦♥ ■❥ ❢♦r ❥ = ✶, . . . , ❦✳ ❲❡ ❞❡✜♥❡ t❤❡ t✇✐st♦r ❢♦r♠ Φ(❚P) ❜② Φ(❚P) = ❢✶❞①✶ + · · · + ❢❦❞①❦. Φ(❚P) ✐s s❛✐❞ t♦ ❜❡ t✇✐st❡❞ ❝❧♦s❡❞ ✐❢

❦

✐,❥=✶

∂❢✐ ∂①❥ ❞①❥ ∧ ❞①✐ = ✵.

❋r❛♥❦✐ ❉✐❧❧❡♥ ▲❛❣r❛♥❣✐❛♥ s✉❜♠❛♥✐❢♦❧❞s ♦❢ CP♥✳

SLIDE 31

❚✇✐st❡❞ ♣r♦❞✉❝t ❞❡❝♦♠♣♦s✐t✐♦♥

❈♦♥s✐❞❡r

❢✶■✶ × · · · ×❢❦ ■❦ ×✶ ❙♥−❦(✶),

✇❤❡r❡ ■✶, . . . , ■❦ ❛r❡ ♦♣❡♥ ✐♥t❡r✈❛❧s✳ ❆ss✉♠❡ t❤❡ t✇✐st❡❞ ♣r♦❞✉❝t ❤❛s ❝♦♥st❛♥t s❡❝t✐♦♥❛❧ ❝✉r✈❛t✉r❡ ✶✱ t❤❡♥ ✇❡ ❝❛❧❧ ✐t ❛ t✇✐st❡❞ ♣r♦❞✉❝t ❞❡❝♦♠♣♦s✐t✐♦♥ ♦❢ ❛ s♣❛❝❡ ♦❢ ❝✉r✈❛t✉r❡ ▼♥(✶)✳ ◆♦t❛t✐♦♥✿ ▼♥(✶) = ❚P♥

❢✶···❢❦(✶)✳

▲❡t ①❥ ❜❡ t❤❡ st❛♥❞❛r❞ ❝♦♦r❞✐♥❛t❡ ♦♥ ■❥ ❢♦r ❥ = ✶, . . . , ❦✳ ❲❡ ❞❡✜♥❡ t❤❡ t✇✐st♦r ❢♦r♠ Φ(❚P) ❜② Φ(❚P) = ❢✶❞①✶ + · · · + ❢❦❞①❦. Φ(❚P) ✐s s❛✐❞ t♦ ❜❡ t✇✐st❡❞ ❝❧♦s❡❞ ✐❢

❦

✐,❥=✶

∂❢✐ ∂①❥ ❞①❥ ∧ ❞①✐ = ✵.

❋r❛♥❦✐ ❉✐❧❧❡♥ ▲❛❣r❛♥❣✐❛♥ s✉❜♠❛♥✐❢♦❧❞s ♦❢ CP♥✳

SLIDE 32

❊①✐st❡♥❝❡ ♣❛rt

❚❤❡♦r❡♠ ▲❡t ❚P♥

❢✶···❢❦(✶), ✶ ≤ ❦ ≤ ♥, ❜❡ ❛ t✇✐st❡❞ ♣r♦❞✉❝t ❞❡❝♦♠♣♦s✐t✐♦♥ ♦❢

❛ s✐♠♣❧②✲❝♦♥♥❡❝t❡❞ r❡❛❧✲s♣❛❝❡✲❢♦r♠ ▼♥(✶)✳ ■❢ t❤❡ t✇✐st♦r ❢♦r♠ Φ(❚P) ♦❢ ❚P♥

❢✶···❢❦(✶) ✐s t✇✐st❡❞ ❝❧♦s❡❞✱ t❤❡♥✱ ✉♣ t♦ r✐❣✐❞ ♠♦t✐♦♥s ♦❢

CP♥(✹)✱ t❤❡r❡ ✐s ❛ ✉♥✐q✉❡ ▲❛❣r❛♥❣✐❛♥ ✐s♦♠❡tr✐❝ ✐♠♠❡rs✐♦♥✿ ▲❢✶···❢❦ : ❚P♥

❢✶···❢❦(✶) → CP♥(✹),

✇❤♦s❡ s❡❝♦♥❞ ❢✉♥❞❛♠❡♥t❛❧ ❢♦r♠ s❛t✐s✜❡s ❤( ∂ ∂①❥ , ∂ ∂①❥ ) = ❏ ∂ ∂①❥ , ❥ = ✶, . . . , ❦, ❛♥❞ ❛❧❧ ♦t❤❡r ❝♦♠♣♦♥❡♥ts ✈❛♥✐s❤✳

❋r❛♥❦✐ ❉✐❧❧❡♥ ▲❛❣r❛♥❣✐❛♥ s✉❜♠❛♥✐❢♦❧❞s ♦❢ CP♥✳

SLIDE 33

❈❧❛ss✐✜❝❛t✐♦♥

❚❤❡♦r❡♠ ▲❡t ▼ ❜❡ ❛ ▲❛❣r❛♥❣✐❛♥ s✉❜♠❛♥✐❢♦❧❞ ♦❢ CP♥(✹)✳ ❚❤❡♥ ▼ ✐s ♦❢ ❝♦♥st❛♥t s❡❝t✐♦♥❛❧ ❝✉r✈❛t✉r❡ ✶ ✐❢ ❛♥❞ ♦♥❧② ✐❢✱ ❢♦r ❡❛❝❤ ♣♦✐♥t ♣ ∈ ▼✱ t❤❡ s❡❝♦♥❞ ❢✉♥❞❛♠❡♥t❛❧ ❢♦r♠ ❛t ♣ s❛t✐s✜❡s ❤(❡✶, ❡✶) = λ✶❏❡✶, . . . , ❤(❡♥, ❡♥) = λ♥❏❡♥, ❤(❡✐, ❡❥) = ✵, ✶ ≤ ✐ = ❥ ≤ ♥ ❢♦r s♦♠❡ λ✶, . . . , λ♥ ✇✐t❤ r❡s♣❡❝t t♦ s♦♠❡ ♦rt❤♦♥♦r♠❛❧ ❜❛s✐s ❡✶, . . . , ❡♥ ♦❢ ❚♣▼✳

❋r❛♥❦✐ ❉✐❧❧❡♥ ▲❛❣r❛♥❣✐❛♥ s✉❜♠❛♥✐❢♦❧❞s ♦❢ CP♥✳

SLIDE 34

❈❧❛ss✐✜❝❛t✐♦♥

❚❤❡♦r❡♠ ▲❡t ▲: ▼♥(✶) → CP♥(✹) ❜❡ ❛ ▲❛❣r❛♥❣✐❛♥ ✐s♦♠❡tr✐❝ ✐♠♠❡rs✐♦♥ ♦❢ ❛ r❡❛❧✲s♣❛❝❡✲❢♦r♠ ▼♥(✶) ✐♥t♦ CP♥(✹)✳ ■❢ t❤❡r❡ ✐s ❛♥ ✐♥t❡❣❡r ❦ ∈ {✶, . . . , ♥} s✉❝❤ t❤❛t t❤❡ s❡❝♦♥❞ ❢✉♥❞❛♠❡♥t❛❧ ❢♦r♠ ♦❢ ▲ s❛t✐s✜❡s ❤(❡✶, ❡✶) = λ✶❏❡✶, . . . , ❤(❡❦, ❡❦) = λ❦❏❡❦, ❛♥❞ ❤(❡✐, ❡❥) = ✵, ♦t❤❡r✇✐s❡, ❢♦r s♦♠❡ ♥♦✇❤❡r❡ ✈❛♥✐s❤✐♥❣ ❢✉♥❝t✐♦♥s λ✶, . . . , λ❦✱ ✇✐t❤ r❡s♣❡❝t t♦ ❛♥ ♦rt❤♦♥♦r♠❛❧ ❢r❛♠❡ ✜❡❧❞ ❡✶, . . . , ❡♥✱ t❤❡♥ ▼♥(✶) = ❚P♥

λ−✷

✶ ···λ−✷ ❦ (✶) s✉❝❤ t❤❛t t❤❡ t✇✐st♦r ❢♦r♠ ✐s t✇✐st❡❞

❝❧♦s❡❞✳ ▼♦r❡♦✈❡r✱ t❤❡ ▲❛❣r❛♥❣✐❛♥ ✐♠♠❡rs✐♦♥ ▲ ✐s ❝♦♥❣r✉❡♥t t♦ t❤❡ ▲❛❣r❛♥❣✐❛♥ ✐s♦♠❡tr✐❝ ✐♠♠❡rs✐♦♥ ▲❢✶···❢❦✳ ❊①♣❧✐❝✐t ❡①♣r❡ss✐♦♥s ❢♦r s♣❡❝✐❛❧ ❝❛s❡s✳ ❋✉rt❤❡r ❛♣♣❧✐❝❛t✐♦♥s✿ ❍❛♠✐❧t♦♥✐❛♥ st❛t✐♦♥❛r② ▲❛❣r❛♥❣✐❛♥ s✉❜♠❛♥✐❢♦❧s✳

❋r❛♥❦✐ ❉✐❧❧❡♥ ▲❛❣r❛♥❣✐❛♥ s✉❜♠❛♥✐❢♦❧❞s ♦❢ CP♥✳

SLIDE 35

❈❧❛ss✐✜❝❛t✐♦♥

❚❤❡♦r❡♠ ▲❡t ▲: ▼♥(✶) → CP♥(✹) ❜❡ ❛ ▲❛❣r❛♥❣✐❛♥ ✐s♦♠❡tr✐❝ ✐♠♠❡rs✐♦♥ ♦❢ ❛ r❡❛❧✲s♣❛❝❡✲❢♦r♠ ▼♥(✶) ✐♥t♦ CP♥(✹)✳ ■❢ t❤❡r❡ ✐s ❛♥ ✐♥t❡❣❡r ❦ ∈ {✶, . . . , ♥} s✉❝❤ t❤❛t t❤❡ s❡❝♦♥❞ ❢✉♥❞❛♠❡♥t❛❧ ❢♦r♠ ♦❢ ▲ s❛t✐s✜❡s ❤(❡✶, ❡✶) = λ✶❏❡✶, . . . , ❤(❡❦, ❡❦) = λ❦❏❡❦, ❛♥❞ ❤(❡✐, ❡❥) = ✵, ♦t❤❡r✇✐s❡, ❢♦r s♦♠❡ ♥♦✇❤❡r❡ ✈❛♥✐s❤✐♥❣ ❢✉♥❝t✐♦♥s λ✶, . . . , λ❦✱ ✇✐t❤ r❡s♣❡❝t t♦ ❛♥ ♦rt❤♦♥♦r♠❛❧ ❢r❛♠❡ ✜❡❧❞ ❡✶, . . . , ❡♥✱ t❤❡♥ ▼♥(✶) = ❚P♥

λ−✷

✶ ···λ−✷ ❦ (✶) s✉❝❤ t❤❛t t❤❡ t✇✐st♦r ❢♦r♠ ✐s t✇✐st❡❞

❝❧♦s❡❞✳ ▼♦r❡♦✈❡r✱ t❤❡ ▲❛❣r❛♥❣✐❛♥ ✐♠♠❡rs✐♦♥ ▲ ✐s ❝♦♥❣r✉❡♥t t♦ t❤❡ ▲❛❣r❛♥❣✐❛♥ ✐s♦♠❡tr✐❝ ✐♠♠❡rs✐♦♥ ▲❢✶···❢❦✳ ❊①♣❧✐❝✐t ❡①♣r❡ss✐♦♥s ❢♦r s♣❡❝✐❛❧ ❝❛s❡s✳ ❋✉rt❤❡r ❛♣♣❧✐❝❛t✐♦♥s✿ ❍❛♠✐❧t♦♥✐❛♥ st❛t✐♦♥❛r② ▲❛❣r❛♥❣✐❛♥ s✉❜♠❛♥✐❢♦❧s✳

❋r❛♥❦✐ ❉✐❧❧❡♥ ▲❛❣r❛♥❣✐❛♥ s✉❜♠❛♥✐❢♦❧❞s ♦❢ CP♥✳

SLIDE 36

❈❧❛ss✐✜❝❛t✐♦♥

❚❤❡♦r❡♠ ▲❡t ▲: ▼♥(✶) → CP♥(✹) ❜❡ ❛ ▲❛❣r❛♥❣✐❛♥ ✐s♦♠❡tr✐❝ ✐♠♠❡rs✐♦♥ ♦❢ ❛ r❡❛❧✲s♣❛❝❡✲❢♦r♠ ▼♥(✶) ✐♥t♦ CP♥(✹)✳ ■❢ t❤❡r❡ ✐s ❛♥ ✐♥t❡❣❡r ❦ ∈ {✶, . . . , ♥} s✉❝❤ t❤❛t t❤❡ s❡❝♦♥❞ ❢✉♥❞❛♠❡♥t❛❧ ❢♦r♠ ♦❢ ▲ s❛t✐s✜❡s ❤(❡✶, ❡✶) = λ✶❏❡✶, . . . , ❤(❡❦, ❡❦) = λ❦❏❡❦, ❛♥❞ ❤(❡✐, ❡❥) = ✵, ♦t❤❡r✇✐s❡, ❢♦r s♦♠❡ ♥♦✇❤❡r❡ ✈❛♥✐s❤✐♥❣ ❢✉♥❝t✐♦♥s λ✶, . . . , λ❦✱ ✇✐t❤ r❡s♣❡❝t t♦ ❛♥ ♦rt❤♦♥♦r♠❛❧ ❢r❛♠❡ ✜❡❧❞ ❡✶, . . . , ❡♥✱ t❤❡♥ ▼♥(✶) = ❚P♥

λ−✷

✶ ···λ−✷ ❦ (✶) s✉❝❤ t❤❛t t❤❡ t✇✐st♦r ❢♦r♠ ✐s t✇✐st❡❞

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SLIDE 37

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SLIDE 38

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SLIDE 39

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SLIDE 40

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SLIDE 41

❚❤❡ ❡q✉❛❧✐t② ❝❛s❡

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SLIDE 42

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❋r❛♥❦✐ ❉✐❧❧❡♥ ▲❛❣r❛♥❣✐❛♥ s✉❜♠❛♥✐❢♦❧❞s ♦❢ CP♥✳

SLIDE 43

❖♣r❡❛✬s ✐♠♣r♦✈❡♠❡♥t

❚❤❡♦r❡♠ ▲❡t (▼♥, ❣) ❜❡ ❛ ▲❛❣r❛♥❣✐❛♥ s✉❜♠❛♥✐❢♦❧❞ ♦❢ CP♥(✹)✳ ❚❤❡♥ ✇❡ ❤❛✈❡ δ(♣) ≤ ♥✷(✷♥ − ✸) ✷(✷♥ + ✸) ❍✷ + ✶ ✷(♥ − ✷)(♥ + ✶) ❚❤✐s ✐♥❡q✉❛❧✐t② ✐s t❤❡ ❜❡st ♣♦ss✐❜❧❡✳ ❚❤❡♦r❡♠ ▲❡t ▼♥ ❜❡ ❛ ▲❛❣r❛♥❣✐❛♥ s✉❜♠❛♥✐❢♦❧❞ ♦❢ ❛ CP♥(✹) ❛tt❛✐♥✐♥❣ ❡q✉❛❧✐t② ✐♥ t❤❡ ✐♠♣r♦✈❡❞ ❈❤❡♥ ✐♥❡q✉❛❧✐t② ❛t ❡✈❡r② ♣♦✐♥t✳ ■❢ ♥ ≥ ✹✱ t❤❡♥ ▼ ✐s ♠✐♥✐♠❛❧✳ ❈❧❛ss✐✜❝❛t✐♦♥ r❡s✉❧ts ❢♦r ♥ = ✸✳

❋r❛♥❦✐ ❉✐❧❧❡♥ ▲❛❣r❛♥❣✐❛♥ s✉❜♠❛♥✐❢♦❧❞s ♦❢ CP♥✳

SLIDE 44

❖♣r❡❛✬s ✐♠♣r♦✈❡♠❡♥t

❚❤❡♦r❡♠ ▲❡t (▼♥, ❣) ❜❡ ❛ ▲❛❣r❛♥❣✐❛♥ s✉❜♠❛♥✐❢♦❧❞ ♦❢ CP♥(✹)✳ ❚❤❡♥ ✇❡ ❤❛✈❡ δ(♣) ≤ ♥✷(✷♥ − ✸) ✷(✷♥ + ✸) ❍✷ + ✶ ✷(♥ − ✷)(♥ + ✶) ❚❤✐s ✐♥❡q✉❛❧✐t② ✐s t❤❡ ❜❡st ♣♦ss✐❜❧❡✳ ❚❤❡♦r❡♠ ▲❡t ▼♥ ❜❡ ❛ ▲❛❣r❛♥❣✐❛♥ s✉❜♠❛♥✐❢♦❧❞ ♦❢ ❛ CP♥(✹) ❛tt❛✐♥✐♥❣ ❡q✉❛❧✐t② ✐♥ t❤❡ ✐♠♣r♦✈❡❞ ❈❤❡♥ ✐♥❡q✉❛❧✐t② ❛t ❡✈❡r② ♣♦✐♥t✳ ■❢ ♥ ≥ ✹✱ t❤❡♥ ▼ ✐s ♠✐♥✐♠❛❧✳ ❈❧❛ss✐✜❝❛t✐♦♥ r❡s✉❧ts ❢♦r ♥ = ✸✳

❋r❛♥❦✐ ❉✐❧❧❡♥ ▲❛❣r❛♥❣✐❛♥ s✉❜♠❛♥✐❢♦❧❞s ♦❢ CP♥✳

SLIDE 45

❖♣r❡❛✬s ✐♠♣r♦✈❡♠❡♥t

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❋r❛♥❦✐ ❉✐❧❧❡♥ ▲❛❣r❛♥❣✐❛♥ s✉❜♠❛♥✐❢♦❧❞s ♦❢ CP♥✳

SLIDE 46

Ps❡✉❞♦✲♣❛r❛❧❧❡❧ ▲❛❣r❛♥❣✐❛♥ s✉❜♠❛♥✐❢♦❧❞s

❆ s✉❜♠❛♥✐❢♦❧❞ ▼♥ ♦❢ ❛ ❘✐❡♠❛♥♥✐❛♥ ♠❛♥✐❢♦❧❞ ( ▼♠, ❣) ✐s ❝❛❧❧❡❞ s❡♠✐✲♣❛r❛❧❧❡❧ ✐❢ ✐ts s❡❝♦♥❞ ❢✉♥❞❛♠❡♥t❛❧ ❢♦r♠ ❤ s❛t✐s✜❡s ❘ · ❤ = ✵, ✇❤❡r❡ ❘ ❛❝ts ♦♥ ❤ ❛s ❛ ❞❡r✐✈❛t✐♦♥✿ (❘ · ❤)(❳, ❨ , ❩, ❲ ) = ❘⊥(❳, ❨ )❤(❩, ❲ ) − ❤(❘(❳, ❨ )❩, ❲ ) − ❤(❩, ❘(❳, ❨ )❲ ) ▼♥ ✐s ❝❛❧❧❡❞ ♣s❡✉❞♦✲♣❛r❛❧❧❡❧ ✐❢ ✐ts s❡❝♦♥❞ ❢✉♥❞❛♠❡♥t❛❧ ❢♦r♠ ❤ s❛t✐s✜❡s ❘ · ❤ + φ ◗(❣, ❤) = ✵ ❢♦r s♦♠❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ φ ♦♥ ▼✱ ✇❤❡r❡ ◗(❣, ❤) ✐s ❞❡✜♥❡❞ ❜② ◗(❣, ❤)(❳, ❨ , ❯, ❱ ) = −((❳ ∧ ❨ ) · ❤)(❯, ❱ ) = ❤((❳ ∧ ❨ )❯, ❱ ) + ❤(❯, (❳ ∧ ❨ )❱ )

❋r❛♥❦✐ ❉✐❧❧❡♥ ▲❛❣r❛♥❣✐❛♥ s✉❜♠❛♥✐❢♦❧❞s ♦❢ CP♥✳

SLIDE 47

Ps❡✉❞♦✲♣❛r❛❧❧❡❧ ▲❛❣r❛♥❣✐❛♥ s✉❜♠❛♥✐❢♦❧❞s

❆ s✉❜♠❛♥✐❢♦❧❞ ▼♥ ♦❢ ❛ ❘✐❡♠❛♥♥✐❛♥ ♠❛♥✐❢♦❧❞ ( ▼♠, ❣) ✐s ❝❛❧❧❡❞ s❡♠✐✲♣❛r❛❧❧❡❧ ✐❢ ✐ts s❡❝♦♥❞ ❢✉♥❞❛♠❡♥t❛❧ ❢♦r♠ ❤ s❛t✐s✜❡s ❘ · ❤ = ✵, ✇❤❡r❡ ❘ ❛❝ts ♦♥ ❤ ❛s ❛ ❞❡r✐✈❛t✐♦♥✿ (❘ · ❤)(❳, ❨ , ❩, ❲ ) = ❘⊥(❳, ❨ )❤(❩, ❲ ) − ❤(❘(❳, ❨ )❩, ❲ ) − ❤(❩, ❘(❳, ❨ )❲ ) ▼♥ ✐s ❝❛❧❧❡❞ ♣s❡✉❞♦✲♣❛r❛❧❧❡❧ ✐❢ ✐ts s❡❝♦♥❞ ❢✉♥❞❛♠❡♥t❛❧ ❢♦r♠ ❤ s❛t✐s✜❡s ❘ · ❤ + φ ◗(❣, ❤) = ✵ ❢♦r s♦♠❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ φ ♦♥ ▼✱ ✇❤❡r❡ ◗(❣, ❤) ✐s ❞❡✜♥❡❞ ❜② ◗(❣, ❤)(❳, ❨ , ❯, ❱ ) = −((❳ ∧ ❨ ) · ❤)(❯, ❱ ) = ❤((❳ ∧ ❨ )❯, ❱ ) + ❤(❯, (❳ ∧ ❨ )❱ )

❋r❛♥❦✐ ❉✐❧❧❡♥ ▲❛❣r❛♥❣✐❛♥ s✉❜♠❛♥✐❢♦❧❞s ♦❢ CP♥✳

SLIDE 48

Ps❡✉❞♦ ♣❛r❛❧❧❡❧ ▲❛❣r❛♥❣✐❛♥ s✉❜♠❛♥✐❢♦❧❞s

❈❤❛❝♦♥ ❛♥❞ ▲♦❜♦s ✭❉●❆ ✷✵✵✽✮ ♣r♦✈❡ t❤❛t ❛ ▲❛❣r❛♥❣✐❛♥ s✉r❢❛❝❡ ▼✷ ♦❢ ❛ ❝♦♠♣❧❡① s♣❛❝❡ ❢♦r♠ ▼✷(✹❝) ✐s ♣s❡✉❞♦✲♣❛r❛❧❧❡❧ ✐❢ ❛♥❞ ♦♥❧② ✐❢ ✐t ✐s ✭❧♦❝❛❧❧②✮ ✢❛t ♦r ♠✐♥✐♠❛❧✳ ❚❤❡② ❝♦♥❥❡❝t✉r❡ t❤❛t ❢♦r ♥ ≥ ✸ ♣s❡✉❞♦✲♣❛r❛❧❧❡❧ ✐♠♣❧✐❡s s❡♠✐✲♣❛r❛❧❧❡❧✳ ❚❤❡♦r❡♠ ❆ ▲❛❣r❛♥❣✐❛♥ ♣s❡✉❞♦✲♣❛r❛❧❧❡❧ s✉❜♠❛♥✐❢♦❧❞ ▼♥ ♦❢ ❛ ❝♦♠♣❧❡① s♣❛❝❡ ❢♦r♠ ▼♥(✹❝) ♦❢ ❞✐♠❡♥s✐♦♥ ♥ ≥ ✸ ✐s s❡♠✐✲♣❛r❛❧❧❡❧✳ ❈❧❛ss✐✜❝❛t✐♦♥❄ ❇❡tt❡r ♥♦t✐♦♥ ❢♦r ♣s❡✉❞♦✲♣❛r❛❧❧❡❧ ▲❛❣r❛♥❣✐❛♥ s✉❜♠❛♥✐❢♦❧❞s✿ ❘ · ❈ + φ ◗(❣, ❈) = ✵ ❈❧❛ss✐✜❝❛t✐♦♥❄

❋r❛♥❦✐ ❉✐❧❧❡♥ ▲❛❣r❛♥❣✐❛♥ s✉❜♠❛♥✐❢♦❧❞s ♦❢ CP♥✳

SLIDE 49

Ps❡✉❞♦ ♣❛r❛❧❧❡❧ ▲❛❣r❛♥❣✐❛♥ s✉❜♠❛♥✐❢♦❧❞s

❈❤❛❝♦♥ ❛♥❞ ▲♦❜♦s ✭❉●❆ ✷✵✵✽✮ ♣r♦✈❡ t❤❛t ❛ ▲❛❣r❛♥❣✐❛♥ s✉r❢❛❝❡ ▼✷ ♦❢ ❛ ❝♦♠♣❧❡① s♣❛❝❡ ❢♦r♠ ▼✷(✹❝) ✐s ♣s❡✉❞♦✲♣❛r❛❧❧❡❧ ✐❢ ❛♥❞ ♦♥❧② ✐❢ ✐t ✐s ✭❧♦❝❛❧❧②✮ ✢❛t ♦r ♠✐♥✐♠❛❧✳ ❚❤❡② ❝♦♥❥❡❝t✉r❡ t❤❛t ❢♦r ♥ ≥ ✸ ♣s❡✉❞♦✲♣❛r❛❧❧❡❧ ✐♠♣❧✐❡s s❡♠✐✲♣❛r❛❧❧❡❧✳ ❚❤❡♦r❡♠ ❆ ▲❛❣r❛♥❣✐❛♥ ♣s❡✉❞♦✲♣❛r❛❧❧❡❧ s✉❜♠❛♥✐❢♦❧❞ ▼♥ ♦❢ ❛ ❝♦♠♣❧❡① s♣❛❝❡ ❢♦r♠ ▼♥(✹❝) ♦❢ ❞✐♠❡♥s✐♦♥ ♥ ≥ ✸ ✐s s❡♠✐✲♣❛r❛❧❧❡❧✳ ❈❧❛ss✐✜❝❛t✐♦♥❄ ❇❡tt❡r ♥♦t✐♦♥ ❢♦r ♣s❡✉❞♦✲♣❛r❛❧❧❡❧ ▲❛❣r❛♥❣✐❛♥ s✉❜♠❛♥✐❢♦❧❞s✿ ❘ · ❈ + φ ◗(❣, ❈) = ✵ ❈❧❛ss✐✜❝❛t✐♦♥❄

❋r❛♥❦✐ ❉✐❧❧❡♥ ▲❛❣r❛♥❣✐❛♥ s✉❜♠❛♥✐❢♦❧❞s ♦❢ CP♥✳

SLIDE 50

Ps❡✉❞♦ ♣❛r❛❧❧❡❧ ▲❛❣r❛♥❣✐❛♥ s✉❜♠❛♥✐❢♦❧❞s

❈❤❛❝♦♥ ❛♥❞ ▲♦❜♦s ✭❉●❆ ✷✵✵✽✮ ♣r♦✈❡ t❤❛t ❛ ▲❛❣r❛♥❣✐❛♥ s✉r❢❛❝❡ ▼✷ ♦❢ ❛ ❝♦♠♣❧❡① s♣❛❝❡ ❢♦r♠ ▼✷(✹❝) ✐s ♣s❡✉❞♦✲♣❛r❛❧❧❡❧ ✐❢ ❛♥❞ ♦♥❧② ✐❢ ✐t ✐s ✭❧♦❝❛❧❧②✮ ✢❛t ♦r ♠✐♥✐♠❛❧✳ ❚❤❡② ❝♦♥❥❡❝t✉r❡ t❤❛t ❢♦r ♥ ≥ ✸ ♣s❡✉❞♦✲♣❛r❛❧❧❡❧ ✐♠♣❧✐❡s s❡♠✐✲♣❛r❛❧❧❡❧✳ ❚❤❡♦r❡♠ ❆ ▲❛❣r❛♥❣✐❛♥ ♣s❡✉❞♦✲♣❛r❛❧❧❡❧ s✉❜♠❛♥✐❢♦❧❞ ▼♥ ♦❢ ❛ ❝♦♠♣❧❡① s♣❛❝❡ ❢♦r♠ ▼♥(✹❝) ♦❢ ❞✐♠❡♥s✐♦♥ ♥ ≥ ✸ ✐s s❡♠✐✲♣❛r❛❧❧❡❧✳ ❈❧❛ss✐✜❝❛t✐♦♥❄ ❇❡tt❡r ♥♦t✐♦♥ ❢♦r ♣s❡✉❞♦✲♣❛r❛❧❧❡❧ ▲❛❣r❛♥❣✐❛♥ s✉❜♠❛♥✐❢♦❧❞s✿ ❘ · ❈ + φ ◗(❣, ❈) = ✵ ❈❧❛ss✐✜❝❛t✐♦♥❄

❋r❛♥❦✐ ❉✐❧❧❡♥ ▲❛❣r❛♥❣✐❛♥ s✉❜♠❛♥✐❢♦❧❞s ♦❢ CP♥✳

SLIDE 51

Ps❡✉❞♦ ♣❛r❛❧❧❡❧ ▲❛❣r❛♥❣✐❛♥ s✉❜♠❛♥✐❢♦❧❞s

❈❤❛❝♦♥ ❛♥❞ ▲♦❜♦s ✭❉●❆ ✷✵✵✽✮ ♣r♦✈❡ t❤❛t ❛ ▲❛❣r❛♥❣✐❛♥ s✉r❢❛❝❡ ▼✷ ♦❢ ❛ ❝♦♠♣❧❡① s♣❛❝❡ ❢♦r♠ ▼✷(✹❝) ✐s ♣s❡✉❞♦✲♣❛r❛❧❧❡❧ ✐❢ ❛♥❞ ♦♥❧② ✐❢ ✐t ✐s ✭❧♦❝❛❧❧②✮ ✢❛t ♦r ♠✐♥✐♠❛❧✳ ❚❤❡② ❝♦♥❥❡❝t✉r❡ t❤❛t ❢♦r ♥ ≥ ✸ ♣s❡✉❞♦✲♣❛r❛❧❧❡❧ ✐♠♣❧✐❡s s❡♠✐✲♣❛r❛❧❧❡❧✳ ❚❤❡♦r❡♠ ❆ ▲❛❣r❛♥❣✐❛♥ ♣s❡✉❞♦✲♣❛r❛❧❧❡❧ s✉❜♠❛♥✐❢♦❧❞ ▼♥ ♦❢ ❛ ❝♦♠♣❧❡① s♣❛❝❡ ❢♦r♠ ▼♥(✹❝) ♦❢ ❞✐♠❡♥s✐♦♥ ♥ ≥ ✸ ✐s s❡♠✐✲♣❛r❛❧❧❡❧✳ ❈❧❛ss✐✜❝❛t✐♦♥❄ ❇❡tt❡r ♥♦t✐♦♥ ❢♦r ♣s❡✉❞♦✲♣❛r❛❧❧❡❧ ▲❛❣r❛♥❣✐❛♥ s✉❜♠❛♥✐❢♦❧❞s✿ ❘ · ❈ + φ ◗(❣, ❈) = ✵ ❈❧❛ss✐✜❝❛t✐♦♥❄

❋r❛♥❦✐ ❉✐❧❧❡♥ ▲❛❣r❛♥❣✐❛♥ s✉❜♠❛♥✐❢♦❧❞s ♦❢ CP♥✳

SLIDE 52

Ps❡✉❞♦ ♣❛r❛❧❧❡❧ ▲❛❣r❛♥❣✐❛♥ s✉❜♠❛♥✐❢♦❧❞s

❈❤❛❝♦♥ ❛♥❞ ▲♦❜♦s ✭❉●❆ ✷✵✵✽✮ ♣r♦✈❡ t❤❛t ❛ ▲❛❣r❛♥❣✐❛♥ s✉r❢❛❝❡ ▼✷ ♦❢ ❛ ❝♦♠♣❧❡① s♣❛❝❡ ❢♦r♠ ▼✷(✹❝) ✐s ♣s❡✉❞♦✲♣❛r❛❧❧❡❧ ✐❢ ❛♥❞ ♦♥❧② ✐❢ ✐t ✐s ✭❧♦❝❛❧❧②✮ ✢❛t ♦r ♠✐♥✐♠❛❧✳ ❚❤❡② ❝♦♥❥❡❝t✉r❡ t❤❛t ❢♦r ♥ ≥ ✸ ♣s❡✉❞♦✲♣❛r❛❧❧❡❧ ✐♠♣❧✐❡s s❡♠✐✲♣❛r❛❧❧❡❧✳ ❚❤❡♦r❡♠ ❆ ▲❛❣r❛♥❣✐❛♥ ♣s❡✉❞♦✲♣❛r❛❧❧❡❧ s✉❜♠❛♥✐❢♦❧❞ ▼♥ ♦❢ ❛ ❝♦♠♣❧❡① s♣❛❝❡ ❢♦r♠ ▼♥(✹❝) ♦❢ ❞✐♠❡♥s✐♦♥ ♥ ≥ ✸ ✐s s❡♠✐✲♣❛r❛❧❧❡❧✳ ❈❧❛ss✐✜❝❛t✐♦♥❄ ❇❡tt❡r ♥♦t✐♦♥ ❢♦r ♣s❡✉❞♦✲♣❛r❛❧❧❡❧ ▲❛❣r❛♥❣✐❛♥ s✉❜♠❛♥✐❢♦❧❞s✿ ❘ · ❈ + φ ◗(❣, ❈) = ✵ ❈❧❛ss✐✜❝❛t✐♦♥❄

❋r❛♥❦✐ ❉✐❧❧❡♥ ▲❛❣r❛♥❣✐❛♥ s✉❜♠❛♥✐❢♦❧❞s ♦❢ CP♥✳

SLIDE 53

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SLIDE 54

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