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◆❡①t st❡♣s O A ❈❛♥ ✇❡ ❞♦ t❤❡ s❛♠❡ ❢♦r ♦t❤❡r ♠❛①✐♠❛❧ ❝❧♦♥❡s ✐❢ | A | = 3 ❄ ❲❤✐❝❤ ♠❛①✐♠❛❧ ❝❧♦♥❡ ✐s t❤❡ ✏s♠❛❧❧❡st✑ ♦♥❡❄ ❚❤❡ ♥✉♠❜❡r ♦❢ ❝❧♦♥❡s ❝♦♥t❛✐♥✐♥❣ ❛ ♠❛❥♦r✐t② ♦♣❡r❛t✐♦♥ � 0 � 1 2 0 1 Pol ( 0 ) Pol ( { 0 , 1 } ) Pol 0 1 2 1 0 ❄ 1 744 466 1 722 818 36 942 � 0 � � 0 � 1 2 0 0 1 1 2 Pol Pol 0 1 2 1 2 2 1 2 0 1 546 17 � 0 � 1 2 0 0 1 2 Pol 0 1 2 1 2 0 0 84 201 J A ❉♠✐tr✐② ❩❤✉❦ ③❤✉❦✳❞♠✐tr✐②❅❣♠❛✐❧✳❝♦♠ ✭▼♦s❝♦✇ ❙t❛t❡ ❯♥✐✈❡rs✐t②✮ ❖♣❡♥ Pr♦❜❧❡♠s ✐♥ ❈❧♦♥❡ ❚❤❡♦r② ❖♣❡♥ Pr♦❜❧❡♠s ✐♥ ❯❆ ✶✽ ✴ ✹✾
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◗✉❡st✐♦♥ ❍♦✇ ♠❛♥② ❝❧♦♥❡s ❝♦♥t❛✐♥ ❛ ❣✐✈❡♥ ♠✐♥✐♠❛❧ ❝❧♦♥❡❄ ❚❤❡ ♣r✐♥❝✐♣❛❧ ✜❧t❡rs ❢♦r ♠✐♥✐♠❛❧ ❝❧♦♥❡s O A ❉❡✜♥✐t✐♦♥ ❆ ❝❧♦♥❡ A � = J k ✐s ❝❛❧❧❡❞ ♠✐♥✐♠❛❧✱ ✐❢ ❡✈❡r② ♦♣❡r❛t✐♦♥ ❢r♦♠ A \ J k ❣❡♥❡r❛t❡s t❤✐s ❝❧♦♥❡✳ ❄ ❊①❛♠♣❧❡s ♦❢ ♠✐♥✐♠❛❧ ❝❧♦♥❡s Clo ( { max } ) , Clo ( { x + 1 } ) . J A ❉♠✐tr✐② ❩❤✉❦ ③❤✉❦✳❞♠✐tr✐②❅❣♠❛✐❧✳❝♦♠ ✭▼♦s❝♦✇ ❙t❛t❡ ❯♥✐✈❡rs✐t②✮ ❖♣❡♥ Pr♦❜❧❡♠s ✐♥ ❈❧♦♥❡ ❚❤❡♦r② ❖♣❡♥ Pr♦❜❧❡♠s ✐♥ ❯❆ ✷✹ ✴ ✹✾
❚❤❡ ♣r✐♥❝✐♣❛❧ ✜❧t❡rs ❢♦r ♠✐♥✐♠❛❧ ❝❧♦♥❡s O A ❉❡✜♥✐t✐♦♥ ❆ ❝❧♦♥❡ A � = J k ✐s ❝❛❧❧❡❞ ♠✐♥✐♠❛❧✱ ✐❢ ❡✈❡r② ♦♣❡r❛t✐♦♥ ❢r♦♠ A \ J k ❣❡♥❡r❛t❡s t❤✐s ❝❧♦♥❡✳ ❄ ❊①❛♠♣❧❡s ♦❢ ♠✐♥✐♠❛❧ ❝❧♦♥❡s Clo ( { max } ) , Clo ( { x + 1 } ) . ◗✉❡st✐♦♥ ❍♦✇ ♠❛♥② ❝❧♦♥❡s ❝♦♥t❛✐♥ ❛ ❣✐✈❡♥ ♠✐♥✐♠❛❧ ❝❧♦♥❡❄ J A ❉♠✐tr✐② ❩❤✉❦ ③❤✉❦✳❞♠✐tr✐②❅❣♠❛✐❧✳❝♦♠ ✭▼♦s❝♦✇ ❙t❛t❡ ❯♥✐✈❡rs✐t②✮ ❖♣❡♥ Pr♦❜❧❡♠s ✐♥ ❈❧♦♥❡ ❚❤❡♦r② ❖♣❡♥ Pr♦❜❧❡♠s ✐♥ ❯❆ ✷✹ ✴ ✹✾
❘♦s❡♥❜❡r❣ ❈❧❛ss✐✜❝❛t✐♦♥ ♦❢ ▼✐♥✐♠❛❧ ❈❧♦♥❡s ❚❤❡♦r❡♠ ❊❛❝❤ ♠✐♥✐♠❛❧ ❝❧♦♥❡ ♦♥ k ❡❧❡♠❡♥ts ❝❛♥ ❜❡ ❣❡♥❡r❛t❡❞ ❜② f ✇❤❡r❡ ✶ f ✐s ❛♥ ✉♥❛r② ♦♣❡r❛t✐♦♥✳ ✷ f ✐s ❛ ❜✐♥❛r② ✐❞❡♠♣♦t❡♥t ♦♣❡r❛t✐♦♥ f ( a , a ) = a ❢♦r ❡✈❡r② a ∈ E 3 . ✸ f ✐s ❛ ♠❛❥♦r✐t② ♦♣❡r❛t✐♦♥ ∀ a , b ∈ E 3 : f ( a , a , b ) = f ( a , b , a ) = f ( b , a , a ) = a ✹ f ✐s ❛ ♠✐♥♦r✐t② ♦♣❡r❛t✐♦♥ ∀ a , b ∈ E 3 : f ( a , a , b ) = f ( a , b , a ) = f ( b , a , a ) = b ✺ f ✐s ❛ s❡♠✐♣r♦❥❡❝t✐♦♥ t♦ t❤❡ i ✲t❤ ✈❛r✐❛❜❧❡ f ∈ P n k ✱ 3 ≤ n ≤ k ✱ ❢♦r ❡✈❡r② t✉♣❧❡ ( a 1 , a 2 , . . . , a n ) s❛t✐s❢②✐♥❣ |{ a 1 , a 2 , . . . , a n }| < n ✇❡ ❤❛✈❡ f ( a 1 , a 2 , . . . , a n ) = a i ✳ ❲❡ ✇✐❧❧ ❛ss✉♠❡ t❤❛t i = 1 ❢♦r ❛❧❧ ♦❝❝✉rr✐♥❣ s❡♠✐♣r♦❥❡❝t✐♦♥s✳ ❉♠✐tr✐② ❩❤✉❦ ③❤✉❦✳❞♠✐tr✐②❅❣♠❛✐❧✳❝♦♠ ✭▼♦s❝♦✇ ❙t❛t❡ ❯♥✐✈❡rs✐t②✮ ❖♣❡♥ Pr♦❜❧❡♠s ✐♥ ❈❧♦♥❡ ❚❤❡♦r② ❖♣❡♥ Pr♦❜❧❡♠s ✐♥ ❯❆ ✷✺ ✴ ✹✾
▼✐♥✐♠❛❧ ❈❧♦♥❡s ♦♥ t❤r❡❡ ❡❧❡♠❡♥ts ✭❢♦✉♥❞ ❜② ❇✳ ❈s✁ ❛❦✁ ❛♥②✮ ❚❤❡r❡ ❛r❡ ❡①❛❝t❧② ✽✹ ♠✐♥✐♠❛❧ ❝❧♦♥❡s ♦♥ ✸ ❡❧❡♠❡♥ts✳ ❖♥❡ ♦❜t❛✐♥s ❡✈❡r② ♦♥❡ ♦❢ t❤❡s❡ ❝❧♦♥❡s ❜② ❛♣♣❧②✐♥❣ ✐♥♥❡r ❛✉t♦♠♦r♣❤✐s♠s ♦❢ P 3 t♦ ❡①❛❝t❧② ♦♥❡ ♦❢ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ❝❧♦♥❡s✿ x c 0 c 1 c 2 c 3 0 1 1 0 1 ❛✮ ▼✐♥✐♠❛❧ ❝❧♦♥❡s ❣❡♥❡r❛t❡❞ ❜② ✉♥❛r② ♦♣❡r❛t✐♦♥s 1 1 0 1 2 2 1 2 1 0 ❜✮ ▼✐♥✐♠❛❧ ❝❧♦♥❡s ❣❡♥❡r❛t❡❞ ❜② ✐❞❡♠♣♦t❡♥t ❜✐♥❛r② ♦♣❡r❛t✐♦♥s x y b 1 b 2 b 3 b 4 b 5 b 6 b 7 b 8 b 9 b 10 b 11 b 12 0 1 1 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 2 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 0 2 1 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 1 2 0 1 1 0 2 0 2 0 1 1 2 0 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 2 0 2 1 1 1 1 1 2 2 1 2 2 2 2 0 ❝✮ ▼✐♥✐♠❛❧ ❝❧♦♥❡s ❣❡♥❡r❛t❡❞ ❜② ♠❛❥♦r✐t② ♦♣❡r❛t✐♦♥s m 1 , m 2 , m 3 ❛♥❞ x y z m 1 m 2 m 3 s 1 s 2 s 3 s 4 s 5 0 1 2 1 0 0 1 0 0 1 1 0 2 1 1 1 0 1 0 0 1 2 s❡♠✐♣r♦❥❡❝t✐♦♥s s 1 , s 2 , s 3 , s 4 , s 5 1 0 2 1 1 1 1 1 1 0 0 1 2 0 1 0 1 1 1 1 0 2 2 0 1 1 0 2 1 1 0 2 0 2 1 0 1 1 2 1 1 1 2 1 ❉♠✐tr✐② ❩❤✉❦ ③❤✉❦✳❞♠✐tr✐②❅❣♠❛✐❧✳❝♦♠ ✭▼♦s❝♦✇ ❙t❛t❡ ❯♥✐✈❡rs✐t②✮ ❖♣❡♥ Pr♦❜❧❡♠s ✐♥ ❈❧♦♥❡ ❚❤❡♦r② ❖♣❡♥ Pr♦❜❧❡♠s ✐♥ ❯❆ ✷✻ ✴ ✹✾
❋♦r ♠✐♥✐♠❛❧ ❝❧♦♥❡s ❣❡♥❡r❛t❡❞ ❜② ♠❛❥♦r✐t② ♦♣❡r❛t✐♦♥s t❤❡ r❡s✉❧t ❢♦❧❧♦✇s ❢r♦♠ ❇❛❦❡r✲P✐①❧❡② ❚❤❡♦r❡♠ ✭❑✳ ❆✳ ❇❛❦❡r✱ ❆✳ ❋✳ P✐①❧❡②✱ ✶✾✼✺✮ ❈❧♦♥❡s ❝♦♥t❛✐♥✐♥❣ ❛♥❞ ❝❧♦♥❡s ❝♦♥t❛✐♥✐♥❣ ❛r❡ ✜♥✐t❡❧② ❣❡♥❡r❛t❡❞ ✭❙✳ ❙✳ ▼❛r❝❤❡♥❦♦✈✱ ✶✾✽✹✮ ❚❤❡ s❡t ♦❢ ❛❧❧ ❝❧♦♥❡s ❝♦♥t❛✐♥✐♥❣ ✐s ✜♥✐t❡ ❛♥❞ ❝♦♠♣❧❡t❡❧② ❞❡s❝r✐❜❡❞ ✭■✳ ❘♦s❡♥❜❡r❣✱ ✶✾✾✺✮✳ ❋♦r t❤❡ ♠✐♥✐♠❛❧ ❝❧♦♥❡s ❣❡♥❡r❛t❡❞ ❜② ✉♥❛r② ♦♣❡r❛t✐♦♥s t❤✐s ♣r♦❜❧❡♠ ✇❛s s♦❧✈❡❞ ❜② ❏✳ P❛♥t♦✈✐✁ ❝ ❛♥❞ ❉✳ ❱♦✐✈♦❞✐✁ ❝ ✭✷✵✵✵✮✳ ❚❤❡ s❡t ♦❢ ❛❧❧ ❝❧♦♥❡s ❝♦♥t❛✐♥✐♥❣ ❛ ♦♣❡r❛t✐♦♥ ❤❛s ❝♦♥t✐♥✉✉♠ ❝❛r❞✐♥❛❧✐t② ❢♦r ❡✈❡r② ❚❤❡ s❡t ♦❢ ❛❧❧ ❝❧♦♥❡s ❝♦♥t❛✐♥✐♥❣ ❛ ♦♣❡r❛t✐♦♥ ✐s ❛t ❧❡❛st ❝♦✉♥t❛❜❧❡ ❢♦r ❡✈❡r② ✭❏✳ P❛♥t♦✈✐✁ ❝✱ ❉✳ ❱♦✐✈♦❞✐✁ ❝✱ ✷✵✵✵✮✳ Pr♦❜❧❡♠ ❍♦✇ ♠❛♥② ❝❧♦♥❡s ❝♦♥t❛✐♥ ❛ ❣✐✈❡♥ ♠✐♥✐♠❛❧ ❝❧♦♥❡ ♦♥ t❤r❡❡ ❡❧❡♠❡♥ts❄ ❉♠✐tr✐② ❩❤✉❦ ③❤✉❦✳❞♠✐tr✐②❅❣♠❛✐❧✳❝♦♠ ✭▼♦s❝♦✇ ❙t❛t❡ ❯♥✐✈❡rs✐t②✮ ❖♣❡♥ Pr♦❜❧❡♠s ✐♥ ❈❧♦♥❡ ❚❤❡♦r② ❖♣❡♥ Pr♦❜❧❡♠s ✐♥ ❯❆ ✷✼ ✴ ✹✾
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❘❡s✉❧t ❢♦r ✸✲❡❧❡♠❡♥t ❝❛s❡ ❚❤❡♦r❡♠ ✭❉✳ ❩❤✉❦✱ ✷✵✶✷✮ ❙✉♣♣♦s❡ ❛ ♠✐♥✐♠❛❧ ❝❧♦♥❡ ♦♥ ✸ ❡❧❡♠❡♥ts M ✐s ❣❡♥❡r❛t❡❞ ❜② f ✳ ❚❤❡ s❡t ♦❢ ❛❧❧ ❝❧♦♥❡s ❝♦♥t❛✐♥✐♥❣ M ✐s ✜♥✐t❡ ✐❢ f ∈ { c 3 , b 12 , m 1 , m 2 , m 3 } , ✐s ❝♦✉♥t❛❜❧❡ ✐❢ f ∈ { s 4 , s 5 } , ❤❛s ❝♦♥t✐♥✉✉♠ ❝❛r❞✐♥❛❧✐t② ✐❢ f ∈ { c 0 , c 1 , c 2 , b 1 , b 2 , b 3 , . . . , b 10 , b 11 , s 1 , s 2 , s 3 } . ❉♠✐tr✐② ❩❤✉❦ ③❤✉❦✳❞♠✐tr✐②❅❣♠❛✐❧✳❝♦♠ ✭▼♦s❝♦✇ ❙t❛t❡ ❯♥✐✈❡rs✐t②✮ ❖♣❡♥ Pr♦❜❧❡♠s ✐♥ ❈❧♦♥❡ ❚❤❡♦r② ❖♣❡♥ Pr♦❜❧❡♠s ✐♥ ❯❆ ✷✽ ✴ ✹✾
❋✐♥✐t❡ ❛♥❞ ❝♦✉♥t❛❜❧❡ ❝❛s❡s ❢♦r ✸✲❡❧❡♠❡♥t ❝❛s❡ ❋✐♥✐t❡ ❝❛s❡s ✭❡①❝❡♣t ❝❧♦♥❡s ❣❡♥❡r❛t❡❞ ❜② ♠❛❥♦r✐t② ♦♣❡r❛t✐♦♥s✮ c 3 ( x ) = x + 1 ; b 12 ( x , y ) = 2 x + 2 y . ❈♦✉♥t❛❜❧❡ ❝❛s❡s � 2 x + 1 , ✐❢ |{ x , y , z }| = 3 ❀ s 4 ( x , y , z ) = ; x , ♦t❤❡r✇✐s❡✳ � y , ✐❢ |{ x , y , z }| = 3 ❀ s 5 ( x , y , z ) = . x , ♦t❤❡r✇✐s❡✳ ❉♠✐tr✐② ❩❤✉❦ ③❤✉❦✳❞♠✐tr✐②❅❣♠❛✐❧✳❝♦♠ ✭▼♦s❝♦✇ ❙t❛t❡ ❯♥✐✈❡rs✐t②✮ ❖♣❡♥ Pr♦❜❧❡♠s ✐♥ ❈❧♦♥❡ ❚❤❡♦r② ❖♣❡♥ Pr♦❜❧❡♠s ✐♥ ❯❆ ✷✾ ✴ ✹✾
❖♣❡♥ Pr♦❜❧❡♠s ✽ ❋✐♥❞ ❤♦✇ ♠❛♥② ❝❧♦♥❡s ❝♦♥t❛✐♥ ❛ ❣✐✈❡♥ ♠✐♥✐♠❛❧ ❝❧♦♥❡ ♦♥ ✹ ❡❧❡♠❡♥ts✳ ✾ ❋✐♥❞ ❛❧❧ ♠✐♥✐♠❛❧ ❝❧♦♥❡s s✉❝❤ t❤❛t t❤❡ ❝♦rr❡s♣♦♥❞✐♥❣ ♣r✐♥❝✐♣❛❧ ✜❧t❡r ✐s ✜♥✐t❡✳ ✶✵ ❋✐♥❞ ❛❧❧ ♠✐♥✐♠❛❧ ❝❧♦♥❡s s✉❝❤ t❤❛t t❤❡ ❝♦rr❡s♣♦♥❞✐♥❣ ♣r✐♥❝✐♣❛❧ ✜❧t❡r ✐s ❝♦✉♥t❛❜❧❡✳ ▼✐♥✐♠❛❧ ❝❧♦♥❡s ❢♦r | A | > 3 ❆❧❧ ♠✐♥✐♠❛❧ ❝❧♦♥❡s ♦♥ ✹ ❡❧❡♠❡♥ts ✇❡r❡ ❢♦✉♥❞ ✭P☎ ♦s❤❡❧✱ ❑❛❧✉③❤♥✐♥✱ ❙③❝③❡♣❛r❛✱ ❲❛❧❞❤❛✉s❡r✱ ❏❡③❡❦✱ ◗✉❛❝❦❡♥❜✉s❤✱ ❑❛rst❡♥ ❙❝❤☎ ♦❧③❡r✱ ✷✵✶✷✮✳ ❉♠✐tr✐② ❩❤✉❦ ③❤✉❦✳❞♠✐tr✐②❅❣♠❛✐❧✳❝♦♠ ✭▼♦s❝♦✇ ❙t❛t❡ ❯♥✐✈❡rs✐t②✮ ❖♣❡♥ Pr♦❜❧❡♠s ✐♥ ❈❧♦♥❡ ❚❤❡♦r② ❖♣❡♥ Pr♦❜❧❡♠s ✐♥ ❯❆ ✸✵ ✴ ✹✾
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