Prs r tr - - PowerPoint PPT Presentation

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❍♦✇ ❲❡ ❉❡✜♥❡ ❛♥ ❯♥❝♦✉♥t❛❜❧❡ ▲❛tt✐❝❡ ❋✐♥✐t❡ ❛♥❞ ❝♦✉♥t❛❜❧❡ ❝❧❛ss❡s ♦❢ ❝❧♦♥❡s ❛r❡ ❞❡✜♥❡❞ ❡①♣❧✐❝✐t❧② ✭❛s ✐♥ t❤❡ P♦st✬s ▲❛tt✐❝❡✮✳ ❲❡ ❞❡✜♥❡ ❛ s❡t ♦❢ r❡❧❛t✐♦♥s ✳ ❲❡ ❞❡✜♥❡ ❛ q✉❛s✐♦r❞❡r ♦♥ t❤❡ s❡t ❀ ❚❤❡ ✉♥❝♦✉♥t❛❜❧❡ ❝❧❛ss ♦❢ ❝❧♦♥❡s ❝♦♥s✐sts ♦❢ ❛❧❧ ❝❧♦♥❡s t❤❛t ❝❛♥ ❜❡ ❞❡✜♥❡❞ ❛s ❢♦r ❛ ❞♦✇♥✲s❡t ✳ ■❢ ❛r❡ ♥♦♥❡♠♣t② ❞♦✇♥✲s❡ts✱ t❤❡♥ ✳ ❊❛❝❤ ❝❧♦♥❡ ❢r♦♠ t❤❡ ✉♥❝♦✉♥t❛❜❧❡ ❝❧❛ss ✐s ✉♥✐q✉❡❧② ❞❡✜♥❡❞ ❜② ❛ ♥♦♥❡♠♣t② ❞♦✇♥✲s❡t ✳ ❲❤② t❤✐s ❞❡s❝r✐♣t✐♦♥ ✐s ❝♦♠♣❧❡t❡ ❛♥❞ ✜♥❛❧❄

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❍♦✇ ❲❡ ❉❡✜♥❡ ❛♥ ❯♥❝♦✉♥t❛❜❧❡ ▲❛tt✐❝❡ ❋✐♥✐t❡ ❛♥❞ ❝♦✉♥t❛❜❧❡ ❝❧❛ss❡s ♦❢ ❝❧♦♥❡s ❛r❡ ❞❡✜♥❡❞ ❡①♣❧✐❝✐t❧② ✭❛s ✐♥ t❤❡ P♦st✬s ▲❛tt✐❝❡✮✳ ❲❡ ❞❡✜♥❡ ❛ s❡t ♦❢ r❡❧❛t✐♦♥s Π✳ ❲❡ ❞❡✜♥❡ ❛ q✉❛s✐♦r❞❡r ♦♥ t❤❡ s❡t ❀ ❚❤❡ ✉♥❝♦✉♥t❛❜❧❡ ❝❧❛ss ♦❢ ❝❧♦♥❡s ❝♦♥s✐sts ♦❢ ❛❧❧ ❝❧♦♥❡s t❤❛t ❝❛♥ ❜❡ ❞❡✜♥❡❞ ❛s ❢♦r ❛ ❞♦✇♥✲s❡t ✳ ■❢ ❛r❡ ♥♦♥❡♠♣t② ❞♦✇♥✲s❡ts✱ t❤❡♥ ✳ ❊❛❝❤ ❝❧♦♥❡ ❢r♦♠ t❤❡ ✉♥❝♦✉♥t❛❜❧❡ ❝❧❛ss ✐s ✉♥✐q✉❡❧② ❞❡✜♥❡❞ ❜② ❛ ♥♦♥❡♠♣t② ❞♦✇♥✲s❡t ✳ ❲❤② t❤✐s ❞❡s❝r✐♣t✐♦♥ ✐s ❝♦♠♣❧❡t❡ ❛♥❞ ✜♥❛❧❄

❉♠✐tr✐② ❩❤✉❦ ③❤✉❦✳❞♠✐tr✐②❅❣♠❛✐❧✳❝♦♠ ✭▼♦s❝♦✇ ❙t❛t❡ ❯♥✐✈❡rs✐t②✮ ❖♣❡♥ Pr♦❜❧❡♠s ✐♥ ❈❧♦♥❡ ❚❤❡♦r② ❖♣❡♥ Pr♦❜❧❡♠s ✐♥ ❯❆ ✶✸ ✴ ✹✾

❍♦✇ ❲❡ ❉❡✜♥❡ ❛♥ ❯♥❝♦✉♥t❛❜❧❡ ▲❛tt✐❝❡ ❋✐♥✐t❡ ❛♥❞ ❝♦✉♥t❛❜❧❡ ❝❧❛ss❡s ♦❢ ❝❧♦♥❡s ❛r❡ ❞❡✜♥❡❞ ❡①♣❧✐❝✐t❧② ✭❛s ✐♥ t❤❡ P♦st✬s ▲❛tt✐❝❡✮✳ ❲❡ ❞❡✜♥❡ ❛ s❡t ♦❢ r❡❧❛t✐♦♥s Π✳ ❲❡ ❞❡✜♥❡ ❛ q✉❛s✐♦r❞❡r ♦♥ t❤❡ s❡t Π❀ ❚❤❡ ✉♥❝♦✉♥t❛❜❧❡ ❝❧❛ss ♦❢ ❝❧♦♥❡s ❝♦♥s✐sts ♦❢ ❛❧❧ ❝❧♦♥❡s t❤❛t ❝❛♥ ❜❡ ❞❡✜♥❡❞ ❛s ❢♦r ❛ ❞♦✇♥✲s❡t ✳ ■❢ ❛r❡ ♥♦♥❡♠♣t② ❞♦✇♥✲s❡ts✱ t❤❡♥ ✳ ❊❛❝❤ ❝❧♦♥❡ ❢r♦♠ t❤❡ ✉♥❝♦✉♥t❛❜❧❡ ❝❧❛ss ✐s ✉♥✐q✉❡❧② ❞❡✜♥❡❞ ❜② ❛ ♥♦♥❡♠♣t② ❞♦✇♥✲s❡t ✳ ❲❤② t❤✐s ❞❡s❝r✐♣t✐♦♥ ✐s ❝♦♠♣❧❡t❡ ❛♥❞ ✜♥❛❧❄

❉♠✐tr✐② ❩❤✉❦ ③❤✉❦✳❞♠✐tr✐②❅❣♠❛✐❧✳❝♦♠ ✭▼♦s❝♦✇ ❙t❛t❡ ❯♥✐✈❡rs✐t②✮ ❖♣❡♥ Pr♦❜❧❡♠s ✐♥ ❈❧♦♥❡ ❚❤❡♦r② ❖♣❡♥ Pr♦❜❧❡♠s ✐♥ ❯❆ ✶✸ ✴ ✹✾

❍♦✇ ❲❡ ❉❡✜♥❡ ❛♥ ❯♥❝♦✉♥t❛❜❧❡ ▲❛tt✐❝❡ ❋✐♥✐t❡ ❛♥❞ ❝♦✉♥t❛❜❧❡ ❝❧❛ss❡s ♦❢ ❝❧♦♥❡s ❛r❡ ❞❡✜♥❡❞ ❡①♣❧✐❝✐t❧② ✭❛s ✐♥ t❤❡ P♦st✬s ▲❛tt✐❝❡✮✳ ❲❡ ❞❡✜♥❡ ❛ s❡t ♦❢ r❡❧❛t✐♦♥s Π✳ ❲❡ ❞❡✜♥❡ ❛ q✉❛s✐♦r❞❡r ♦♥ t❤❡ s❡t Π❀ ❚❤❡ ✉♥❝♦✉♥t❛❜❧❡ ❝❧❛ss ♦❢ ❝❧♦♥❡s ❝♦♥s✐sts ♦❢ ❛❧❧ ❝❧♦♥❡s t❤❛t ❝❛♥ ❜❡ ❞❡✜♥❡❞ ❛s Pol(F) ❢♦r ❛ ❞♦✇♥✲s❡t F ⊆ Π✳ ■❢ F1, F2 ⊆ Π ❛r❡ ♥♦♥❡♠♣t② ❞♦✇♥✲s❡ts✱ t❤❡♥ F1 = F2 ⇒ Pol(F1) = Pol(F2)✳ ❊❛❝❤ ❝❧♦♥❡ ❢r♦♠ t❤❡ ✉♥❝♦✉♥t❛❜❧❡ ❝❧❛ss ✐s ✉♥✐q✉❡❧② ❞❡✜♥❡❞ ❜② ❛ ♥♦♥❡♠♣t② ❞♦✇♥✲s❡t F ⊆ Π✳ ❲❤② t❤✐s ❞❡s❝r✐♣t✐♦♥ ✐s ❝♦♠♣❧❡t❡ ❛♥❞ ✜♥❛❧❄

❉♠✐tr✐② ❩❤✉❦ ③❤✉❦✳❞♠✐tr✐②❅❣♠❛✐❧✳❝♦♠ ✭▼♦s❝♦✇ ❙t❛t❡ ❯♥✐✈❡rs✐t②✮ ❖♣❡♥ Pr♦❜❧❡♠s ✐♥ ❈❧♦♥❡ ❚❤❡♦r② ❖♣❡♥ Pr♦❜❧❡♠s ✐♥ ❯❆ ✶✸ ✴ ✹✾

❍♦✇ ❲❡ ❉❡✜♥❡ ❛♥ ❯♥❝♦✉♥t❛❜❧❡ ▲❛tt✐❝❡ ❋✐♥✐t❡ ❛♥❞ ❝♦✉♥t❛❜❧❡ ❝❧❛ss❡s ♦❢ ❝❧♦♥❡s ❛r❡ ❞❡✜♥❡❞ ❡①♣❧✐❝✐t❧② ✭❛s ✐♥ t❤❡ P♦st✬s ▲❛tt✐❝❡✮✳ ❲❡ ❞❡✜♥❡ ❛ s❡t ♦❢ r❡❧❛t✐♦♥s Π✳ ❲❡ ❞❡✜♥❡ ❛ q✉❛s✐♦r❞❡r ♦♥ t❤❡ s❡t Π❀ ❚❤❡ ✉♥❝♦✉♥t❛❜❧❡ ❝❧❛ss ♦❢ ❝❧♦♥❡s ❝♦♥s✐sts ♦❢ ❛❧❧ ❝❧♦♥❡s t❤❛t ❝❛♥ ❜❡ ❞❡✜♥❡❞ ❛s Pol(F) ❢♦r ❛ ❞♦✇♥✲s❡t F ⊆ Π✳ ■❢ F1, F2 ⊆ Π ❛r❡ ♥♦♥❡♠♣t② ❞♦✇♥✲s❡ts✱ t❤❡♥ F1 = F2 ⇒ Pol(F1) = Pol(F2)✳ ❊❛❝❤ ❝❧♦♥❡ ❢r♦♠ t❤❡ ✉♥❝♦✉♥t❛❜❧❡ ❝❧❛ss ✐s ✉♥✐q✉❡❧② ❞❡✜♥❡❞ ❜② ❛ ♥♦♥❡♠♣t② ❞♦✇♥✲s❡t F ⊆ Π✳ ❲❤② t❤✐s ❞❡s❝r✐♣t✐♦♥ ✐s ❝♦♠♣❧❡t❡ ❛♥❞ ✜♥❛❧❄

❉♠✐tr✐② ❩❤✉❦ ③❤✉❦✳❞♠✐tr✐②❅❣♠❛✐❧✳❝♦♠ ✭▼♦s❝♦✇ ❙t❛t❡ ❯♥✐✈❡rs✐t②✮ ❖♣❡♥ Pr♦❜❧❡♠s ✐♥ ❈❧♦♥❡ ❚❤❡♦r② ❖♣❡♥ Pr♦❜❧❡♠s ✐♥ ❯❆ ✶✸ ✴ ✹✾

❉♠✐tr✐② ❩❤✉❦ ③❤✉❦✳❞♠✐tr✐②❅❣♠❛✐❧✳❝♦♠ ✭▼♦s❝♦✇ ❙t❛t❡ ❯♥✐✈❡rs✐t②✮ ❖♣❡♥ Pr♦❜❧❡♠s ✐♥ ❈❧♦♥❡ ❚❤❡♦r② ❖♣❡♥ Pr♦❜❧❡♠s ✐♥ ❯❆ ✶✹ ✴ ✹✾

❉♠✐tr✐② ❩❤✉❦ ③❤✉❦✳❞♠✐tr✐②❅❣♠❛✐❧✳❝♦♠ ✭▼♦s❝♦✇ ❙t❛t❡ ❯♥✐✈❡rs✐t②✮ ❖♣❡♥ Pr♦❜❧❡♠s ✐♥ ❈❧♦♥❡ ❚❤❡♦r② ❖♣❡♥ Pr♦❜❧❡♠s ✐♥ ❯❆ ✶✹ ✴ ✹✾

❉♠✐tr✐② ❩❤✉❦ ③❤✉❦✳❞♠✐tr✐②❅❣♠❛✐❧✳❝♦♠ ✭▼♦s❝♦✇ ❙t❛t❡ ❯♥✐✈❡rs✐t②✮ ❖♣❡♥ Pr♦❜❧❡♠s ✐♥ ❈❧♦♥❡ ❚❤❡♦r② ❖♣❡♥ Pr♦❜❧❡♠s ✐♥ ❯❆ ✶✹ ✴ ✹✾

❉♠✐tr✐② ❩❤✉❦ ③❤✉❦✳❞♠✐tr✐②❅❣♠❛✐❧✳❝♦♠ ✭▼♦s❝♦✇ ❙t❛t❡ ❯♥✐✈❡rs✐t②✮ ❖♣❡♥ Pr♦❜❧❡♠s ✐♥ ❈❧♦♥❡ ❚❤❡♦r② ❖♣❡♥ Pr♦❜❧❡♠s ✐♥ ❯❆ ✶✹ ✴ ✹✾

Pr♦♣❡rt✐❡s ♦❢ t❤❡ ❝❧♦♥❡s ❛♥❞ t❤❡ ❧❛tt✐❝❡ P❛✐r✇✐s❡ ✐♥❝❧✉s✐♦♥ ♦❢ ❝❧♦♥❡s ✇❛s ❞❡s❝r✐❜❡s✳ ❆ ❜❛s✐s ♦❢ ❛ ❝❧♦♥❡ ✐s ❛ ♠✐♥✐♠❛❧ ❜② ✐♥❝❧✉s✐♦♥ ❣❡♥❡r❛t✐♥❣ s❡t✳ ■t ✇❛s ♣r♦✈❡❞ t❤❛t ❛ ❜❛s✐s ❡①✐sts ❢♦r ❡✈❡r② ❝❧♦♥❡ ♦❢ s❡❧❢✲❞✉❛❧ ♦♣❡r❛t✐♦♥s✦ ❆ ❜❛s✐s ❢♦r ❡✈❡r② ❝❧♦♥❡ ✇❛s ❢♦✉♥❞✳ ❘❡❧❛t✐♦♥ ❞❡❣r❡❡ ♦❢ ❛ ❝❧♦♥❡ ✐s t❤❡ ♠✐♥✐♠❛❧ ❛r✐t② ♦❢ r❡❧❛t✐♦♥s s✉❝❤ t❤❛t t❤❡ ❝❧♦♥❡ ❝❛♥ ❜❡ ❞❡✜♥❡❞ ❛s t❤❡ s❡t ♦❢ ❛❧❧ ♦♣❡r❛t✐♦♥s t❤❛t ♣r❡s❡r✈❡ t❤❡s❡ r❡❧❛t✐♦♥s✳ ❚❤❡ r❡❧❛t✐♦♥ ❞❡❣r❡❡ ♦❢ ❡❛❝❤ ❝❧♦♥❡ ♦❢ s❡❧❢✲❞✉❛❧ ♦♣❡r❛t✐♦♥s ✐s ❢♦✉♥❞ ❚❤❡ ✈❛❧✉❡s ♦❢ t❤❡ r❡❧❛t✐♦♥ ❞❡❣r❡❡ ♣r♦✈❡ t❤❛t ♦✉r ❞❡s❝r✐♣t✐♦♥ ♦❢ ❝❧♦♥❡s ✐s ♦♣t✐♠❛❧✳ ❚❤❛t ✐s✱ t❤❡s❡ ❝❧♦♥❡s ❝❛♥ ♥♦t ❜❡ ❞❡✜♥❡❞ ❜② r❡❧❛t✐♦♥s ♦❢ s♠❛❧❧❡r ❛r✐t②✳

❉♠✐tr✐② ❩❤✉❦ ③❤✉❦✳❞♠✐tr✐②❅❣♠❛✐❧✳❝♦♠ ✭▼♦s❝♦✇ ❙t❛t❡ ❯♥✐✈❡rs✐t②✮ ❖♣❡♥ Pr♦❜❧❡♠s ✐♥ ❈❧♦♥❡ ❚❤❡♦r② ❖♣❡♥ Pr♦❜❧❡♠s ✐♥ ❯❆ ✶✺ ✴ ✹✾

Pr♦♣❡rt✐❡s ♦❢ t❤❡ ❝❧♦♥❡s ❛♥❞ t❤❡ ❧❛tt✐❝❡ P❛✐r✇✐s❡ ✐♥❝❧✉s✐♦♥ ♦❢ ❝❧♦♥❡s ✇❛s ❞❡s❝r✐❜❡s✳ ❆ ❜❛s✐s ♦❢ ❛ ❝❧♦♥❡ ✐s ❛ ♠✐♥✐♠❛❧ ❜② ✐♥❝❧✉s✐♦♥ ❣❡♥❡r❛t✐♥❣ s❡t✳ ■t ✇❛s ♣r♦✈❡❞ t❤❛t ❛ ❜❛s✐s ❡①✐sts ❢♦r ❡✈❡r② ❝❧♦♥❡ ♦❢ s❡❧❢✲❞✉❛❧ ♦♣❡r❛t✐♦♥s✦ ❆ ❜❛s✐s ❢♦r ❡✈❡r② ❝❧♦♥❡ ✇❛s ❢♦✉♥❞✳ ❘❡❧❛t✐♦♥ ❞❡❣r❡❡ ♦❢ ❛ ❝❧♦♥❡ ✐s t❤❡ ♠✐♥✐♠❛❧ ❛r✐t② ♦❢ r❡❧❛t✐♦♥s s✉❝❤ t❤❛t t❤❡ ❝❧♦♥❡ ❝❛♥ ❜❡ ❞❡✜♥❡❞ ❛s t❤❡ s❡t ♦❢ ❛❧❧ ♦♣❡r❛t✐♦♥s t❤❛t ♣r❡s❡r✈❡ t❤❡s❡ r❡❧❛t✐♦♥s✳ ❚❤❡ r❡❧❛t✐♦♥ ❞❡❣r❡❡ ♦❢ ❡❛❝❤ ❝❧♦♥❡ ♦❢ s❡❧❢✲❞✉❛❧ ♦♣❡r❛t✐♦♥s ✐s ❢♦✉♥❞ ❚❤❡ ✈❛❧✉❡s ♦❢ t❤❡ r❡❧❛t✐♦♥ ❞❡❣r❡❡ ♣r♦✈❡ t❤❛t ♦✉r ❞❡s❝r✐♣t✐♦♥ ♦❢ ❝❧♦♥❡s ✐s ♦♣t✐♠❛❧✳ ❚❤❛t ✐s✱ t❤❡s❡ ❝❧♦♥❡s ❝❛♥ ♥♦t ❜❡ ❞❡✜♥❡❞ ❜② r❡❧❛t✐♦♥s ♦❢ s♠❛❧❧❡r ❛r✐t②✳

❉♠✐tr✐② ❩❤✉❦ ③❤✉❦✳❞♠✐tr✐②❅❣♠❛✐❧✳❝♦♠ ✭▼♦s❝♦✇ ❙t❛t❡ ❯♥✐✈❡rs✐t②✮ ❖♣❡♥ Pr♦❜❧❡♠s ✐♥ ❈❧♦♥❡ ❚❤❡♦r② ❖♣❡♥ Pr♦❜❧❡♠s ✐♥ ❯❆ ✶✺ ✴ ✹✾

Pr♦♣❡rt✐❡s ♦❢ t❤❡ ❝❧♦♥❡s ❛♥❞ t❤❡ ❧❛tt✐❝❡ P❛✐r✇✐s❡ ✐♥❝❧✉s✐♦♥ ♦❢ ❝❧♦♥❡s ✇❛s ❞❡s❝r✐❜❡s✳ ❆ ❜❛s✐s ♦❢ ❛ ❝❧♦♥❡ ✐s ❛ ♠✐♥✐♠❛❧ ❜② ✐♥❝❧✉s✐♦♥ ❣❡♥❡r❛t✐♥❣ s❡t✳ ■t ✇❛s ♣r♦✈❡❞ t❤❛t ❛ ❜❛s✐s ❡①✐sts ❢♦r ❡✈❡r② ❝❧♦♥❡ ♦❢ s❡❧❢✲❞✉❛❧ ♦♣❡r❛t✐♦♥s✦ ❆ ❜❛s✐s ❢♦r ❡✈❡r② ❝❧♦♥❡ ✇❛s ❢♦✉♥❞✳ ❘❡❧❛t✐♦♥ ❞❡❣r❡❡ ♦❢ ❛ ❝❧♦♥❡ ✐s t❤❡ ♠✐♥✐♠❛❧ ❛r✐t② ♦❢ r❡❧❛t✐♦♥s s✉❝❤ t❤❛t t❤❡ ❝❧♦♥❡ ❝❛♥ ❜❡ ❞❡✜♥❡❞ ❛s t❤❡ s❡t ♦❢ ❛❧❧ ♦♣❡r❛t✐♦♥s t❤❛t ♣r❡s❡r✈❡ t❤❡s❡ r❡❧❛t✐♦♥s✳ ❚❤❡ r❡❧❛t✐♦♥ ❞❡❣r❡❡ ♦❢ ❡❛❝❤ ❝❧♦♥❡ ♦❢ s❡❧❢✲❞✉❛❧ ♦♣❡r❛t✐♦♥s ✐s ❢♦✉♥❞ ❚❤❡ ✈❛❧✉❡s ♦❢ t❤❡ r❡❧❛t✐♦♥ ❞❡❣r❡❡ ♣r♦✈❡ t❤❛t ♦✉r ❞❡s❝r✐♣t✐♦♥ ♦❢ ❝❧♦♥❡s ✐s ♦♣t✐♠❛❧✳ ❚❤❛t ✐s✱ t❤❡s❡ ❝❧♦♥❡s ❝❛♥ ♥♦t ❜❡ ❞❡✜♥❡❞ ❜② r❡❧❛t✐♦♥s ♦❢ s♠❛❧❧❡r ❛r✐t②✳

❉♠✐tr✐② ❩❤✉❦ ③❤✉❦✳❞♠✐tr✐②❅❣♠❛✐❧✳❝♦♠ ✭▼♦s❝♦✇ ❙t❛t❡ ❯♥✐✈❡rs✐t②✮ ❖♣❡♥ Pr♦❜❧❡♠s ✐♥ ❈❧♦♥❡ ❚❤❡♦r② ❖♣❡♥ Pr♦❜❧❡♠s ✐♥ ❯❆ ✶✺ ✴ ✹✾

Pr♦♣❡rt✐❡s ♦❢ t❤❡ ❝❧♦♥❡s ❛♥❞ t❤❡ ❧❛tt✐❝❡ P❛✐r✇✐s❡ ✐♥❝❧✉s✐♦♥ ♦❢ ❝❧♦♥❡s ✇❛s ❞❡s❝r✐❜❡s✳ ❆ ❜❛s✐s ♦❢ ❛ ❝❧♦♥❡ ✐s ❛ ♠✐♥✐♠❛❧ ❜② ✐♥❝❧✉s✐♦♥ ❣❡♥❡r❛t✐♥❣ s❡t✳ ■t ✇❛s ♣r♦✈❡❞ t❤❛t ❛ ❜❛s✐s ❡①✐sts ❢♦r ❡✈❡r② ❝❧♦♥❡ ♦❢ s❡❧❢✲❞✉❛❧ ♦♣❡r❛t✐♦♥s✦ ❆ ❜❛s✐s ❢♦r ❡✈❡r② ❝❧♦♥❡ ✇❛s ❢♦✉♥❞✳ ❘❡❧❛t✐♦♥ ❞❡❣r❡❡ ♦❢ ❛ ❝❧♦♥❡ ✐s t❤❡ ♠✐♥✐♠❛❧ ❛r✐t② ♦❢ r❡❧❛t✐♦♥s s✉❝❤ t❤❛t t❤❡ ❝❧♦♥❡ ❝❛♥ ❜❡ ❞❡✜♥❡❞ ❛s t❤❡ s❡t ♦❢ ❛❧❧ ♦♣❡r❛t✐♦♥s t❤❛t ♣r❡s❡r✈❡ t❤❡s❡ r❡❧❛t✐♦♥s✳ ❚❤❡ r❡❧❛t✐♦♥ ❞❡❣r❡❡ ♦❢ ❡❛❝❤ ❝❧♦♥❡ ♦❢ s❡❧❢✲❞✉❛❧ ♦♣❡r❛t✐♦♥s ✐s ❢♦✉♥❞ ❚❤❡ ✈❛❧✉❡s ♦❢ t❤❡ r❡❧❛t✐♦♥ ❞❡❣r❡❡ ♣r♦✈❡ t❤❛t ♦✉r ❞❡s❝r✐♣t✐♦♥ ♦❢ ❝❧♦♥❡s ✐s ♦♣t✐♠❛❧✳ ❚❤❛t ✐s✱ t❤❡s❡ ❝❧♦♥❡s ❝❛♥ ♥♦t ❜❡ ❞❡✜♥❡❞ ❜② r❡❧❛t✐♦♥s ♦❢ s♠❛❧❧❡r ❛r✐t②✳

❉♠✐tr✐② ❩❤✉❦ ③❤✉❦✳❞♠✐tr✐②❅❣♠❛✐❧✳❝♦♠ ✭▼♦s❝♦✇ ❙t❛t❡ ❯♥✐✈❡rs✐t②✮ ❖♣❡♥ Pr♦❜❧❡♠s ✐♥ ❈❧♦♥❡ ❚❤❡♦r② ❖♣❡♥ Pr♦❜❧❡♠s ✐♥ ❯❆ ✶✺ ✴ ✹✾

❈❛r❞✐♥❛❧✐t② ♦❢ ♣r✐♥❝✐♣❛❧ ✜❧t❡rs ❛♥❞ ♣r✐♥❝✐♣❛❧ ✐❞❡❛❧s ❉❡✜♥✐t✐♦♥ L3 ✐s t❤❡ s❡t ♦❢ ❛❧❧ ❝❧♦♥❡s ♦❢ s❡❧❢✲❞✉❛❧ ♦♣❡r❛t✐♦♥s✱ L↑

3(M) := {M′ ∈ L3 | M ⊆ M′),

L↓

3(M) := {M′ ∈ L3 | M′ ⊆ M).

❋♦r ❡❛❝❤ ❝❧♦♥❡ t❤❡ ❝❛r❞✐♥❛❧✐t② ♦❢ ✐s ❢♦✉♥❞✳ ❋♦r ❡❛❝❤ ❝❧♦♥❡ t❤❡ ❝❛r❞✐♥❛❧✐t② ♦❢ ✐s ❢♦✉♥❞✳ ❤❛s ❝♦♥t✐♥✉✉♠ ❝❛r❞✐♥❛❧✐t② ❢♦r ❡✈❡r② ❞♦✇♥✲s❡t s✉❝❤ t❤❛t

❉♠✐tr✐② ❩❤✉❦ ③❤✉❦✳❞♠✐tr✐②❅❣♠❛✐❧✳❝♦♠ ✭▼♦s❝♦✇ ❙t❛t❡ ❯♥✐✈❡rs✐t②✮ ❖♣❡♥ Pr♦❜❧❡♠s ✐♥ ❈❧♦♥❡ ❚❤❡♦r② ❖♣❡♥ Pr♦❜❧❡♠s ✐♥ ❯❆ ✶✻ ✴ ✹✾

❈❛r❞✐♥❛❧✐t② ♦❢ ♣r✐♥❝✐♣❛❧ ✜❧t❡rs ❛♥❞ ♣r✐♥❝✐♣❛❧ ✐❞❡❛❧s ❉❡✜♥✐t✐♦♥ L3 ✐s t❤❡ s❡t ♦❢ ❛❧❧ ❝❧♦♥❡s ♦❢ s❡❧❢✲❞✉❛❧ ♦♣❡r❛t✐♦♥s✱ L↑

3(M) := {M′ ∈ L3 | M ⊆ M′),

L↓

3(M) := {M′ ∈ L3 | M′ ⊆ M).

❋♦r ❡❛❝❤ ❝❧♦♥❡ C ∈ L3 t❤❡ ❝❛r❞✐♥❛❧✐t② ♦❢ L↑

3(C) ✐s ❢♦✉♥❞✳

❋♦r ❡❛❝❤ ❝❧♦♥❡ C ∈ L3 t❤❡ ❝❛r❞✐♥❛❧✐t② ♦❢ L↓

3(C) ✐s ❢♦✉♥❞✳

L↓

3(Pol(F)) ❤❛s ❝♦♥t✐♥✉✉♠ ❝❛r❞✐♥❛❧✐t② ❢♦r ❡✈❡r② ❞♦✇♥✲s❡t F ⊆ Π

s✉❝❤ t❤❛t F = Π, L↓

3(Pol(Π)) = 4.

❉♠✐tr✐② ❩❤✉❦ ③❤✉❦✳❞♠✐tr✐②❅❣♠❛✐❧✳❝♦♠ ✭▼♦s❝♦✇ ❙t❛t❡ ❯♥✐✈❡rs✐t②✮ ❖♣❡♥ Pr♦❜❧❡♠s ✐♥ ❈❧♦♥❡ ❚❤❡♦r② ❖♣❡♥ Pr♦❜❧❡♠s ✐♥ ❯❆ ✶✻ ✴ ✹✾

❉♠✐tr✐② ❩❤✉❦ ③❤✉❦✳❞♠✐tr✐②❅❣♠❛✐❧✳❝♦♠ ✭▼♦s❝♦✇ ❙t❛t❡ ❯♥✐✈❡rs✐t②✮ ❖♣❡♥ Pr♦❜❧❡♠s ✐♥ ❈❧♦♥❡ ❚❤❡♦r② ❖♣❡♥ Pr♦❜❧❡♠s ✐♥ ❯❆ ✶✼ ✴ ✹✾

◆❡①t st❡♣s OA JA

❄

❈❛♥ ✇❡ ❞♦ t❤❡ s❛♠❡ ❢♦r ♦t❤❡r ♠❛①✐♠❛❧ ❝❧♦♥❡s ✐❢ |A| = 3❄ ❲❤✐❝❤ ♠❛①✐♠❛❧ ❝❧♦♥❡ ✐s t❤❡ ✏s♠❛❧❧❡st✑ ♦♥❡❄ ❚❤❡ ♥✉♠❜❡r ♦❢ ❝❧♦♥❡s ❝♦♥t❛✐♥✐♥❣ ❛ ♠❛❥♦r✐t② ♦♣❡r❛t✐♦♥

❉♠✐tr✐② ❩❤✉❦ ③❤✉❦✳❞♠✐tr✐②❅❣♠❛✐❧✳❝♦♠ ✭▼♦s❝♦✇ ❙t❛t❡ ❯♥✐✈❡rs✐t②✮ ❖♣❡♥ Pr♦❜❧❡♠s ✐♥ ❈❧♦♥❡ ❚❤❡♦r② ❖♣❡♥ Pr♦❜❧❡♠s ✐♥ ❯❆ ✶✽ ✴ ✹✾

◆❡①t st❡♣s OA JA

❄

❈❛♥ ✇❡ ❞♦ t❤❡ s❛♠❡ ❢♦r ♦t❤❡r ♠❛①✐♠❛❧ ❝❧♦♥❡s ✐❢ |A| = 3❄ ❲❤✐❝❤ ♠❛①✐♠❛❧ ❝❧♦♥❡ ✐s t❤❡ ✏s♠❛❧❧❡st✑ ♦♥❡❄ ❚❤❡ ♥✉♠❜❡r ♦❢ ❝❧♦♥❡s ❝♦♥t❛✐♥✐♥❣ ❛ ♠❛❥♦r✐t② ♦♣❡r❛t✐♦♥ Pol(0) Pol({0, 1}) Pol 1 2 1 1 2 1

• 1 744 466

1 722 818 36 942 Pol 1 2 1 1 2 1 2 2

• Pol

1 2 1 2

• 1 546

17 Pol 1 2 1 2 1 2 1 2

• 84 201

❉♠✐tr✐② ❩❤✉❦ ③❤✉❦✳❞♠✐tr✐②❅❣♠❛✐❧✳❝♦♠ ✭▼♦s❝♦✇ ❙t❛t❡ ❯♥✐✈❡rs✐t②✮ ❖♣❡♥ Pr♦❜❧❡♠s ✐♥ ❈❧♦♥❡ ❚❤❡♦r② ❖♣❡♥ Pr♦❜❧❡♠s ✐♥ ❯❆ ✶✽ ✴ ✹✾

◆❡①t st❡♣s OA JA M

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❈❛♥ ✇❡ ❣❡t t❤❡ s❛♠❡ ❞❡s❝r✐♣t✐♦♥ ❢♦r t❤❡ ♠❛①✐♠❛❧ ❝❧♦♥❡ ♦❢ ♠♦♥♦t♦♥❡ ♦♣❡r❛t✐♦♥s ❢♦r |A| = 3❄ ■ ❜❡❧✐❡✈❡ t❤❡ s✉❜❧❛tt✐❝❡ ❝❛♥ ❜❡ ❞✐✈✐❞❡❞ ✐♥t♦ ✶ ♠✐❧❧✐♦♥ ♣❛rts✱ ❛♥❞ t❤❡♥ ❡✈❡r② ♣❛rt ❝❛♥ ❜❡ ❞❡s❝r✐❜❡❞ ✐♥ ❛ s✐♠✐❧❛r ✇❛②✦ ■s ✐t ❛ ❣♦♦❞ ✐❞❡❛ t♦ ❞♦ t❤✐s❄ ◆♦✦ Pr♦❜❛❜❧② ✇❡ ❝♦♥s✐❞❡r t❤❡ ✇r♦♥❣ ♠❛✐♥ ♣r♦❜❧❡♠✳

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• ✐✈❡♥ ❛ s❡t ♦❢ ♦♣❡r❛t✐♦♥s

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• ✐✈❡♥ ❛ s❡t ♦❢ r❡❧❛t✐♦♥s

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• ✐✈❡♥ ❛ s❡t ♦❢ ♦♣❡r❛t✐♦♥s F✳ ❆ ❝❧♦♥❡ ✐s ❞❡✜♥❡❞ ❜② Clo(F)✱ t❤❛t ✐s

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• ✐✈❡♥ ❛ s❡t ♦❢ r❡❧❛t✐♦♥s

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• ✐✈❡♥ t✇♦ s❡ts ♦❢ ♦♣❡r❛t✐♦♥s

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• ✐✈❡♥ ❛ s❡t ♦❢ ♦♣❡r❛t✐♦♥s F✳ ❆ ❝❧♦♥❡ ✐s ❞❡✜♥❡❞ ❜② Clo(F)✱ t❤❛t ✐s

t❤❡ ♠✐♥✐♠❛❧ ❝❧♦♥❡ ❝♦♥t❛✐♥✐♥❣ F✳

• ✐✈❡♥ ❛ s❡t ♦❢ r❡❧❛t✐♦♥s C✳ ❆ ❝❧♦♥❡ ✐s ❞❡✜♥❡❞ ❜② Pol(C)✱ t❤❛t ✐s t❤❡

s❡t ♦❢ ❛❧❧ ♦♣❡r❛t✐♦♥s ♣r❡s❡r✈✐♥❣ ❡✈❡r② r❡❧❛t✐♦♥ ❢r♦♠ C✳

• ✐✈❡♥ t✇♦ s❡ts ♦❢ ♦♣❡r❛t✐♦♥s

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❍♦✇ ✇❡ ❞❡✜♥❡ ❛ ❝❧♦♥❡

• ✐✈❡♥ ❛ s❡t ♦❢ ♦♣❡r❛t✐♦♥s F✳ ❆ ❝❧♦♥❡ ✐s ❞❡✜♥❡❞ ❜② Clo(F)✱ t❤❛t ✐s

t❤❡ ♠✐♥✐♠❛❧ ❝❧♦♥❡ ❝♦♥t❛✐♥✐♥❣ F✳

• ✐✈❡♥ ❛ s❡t ♦❢ r❡❧❛t✐♦♥s C✳ ❆ ❝❧♦♥❡ ✐s ❞❡✜♥❡❞ ❜② Pol(C)✱ t❤❛t ✐s t❤❡

s❡t ♦❢ ❛❧❧ ♦♣❡r❛t✐♦♥s ♣r❡s❡r✈✐♥❣ ❡✈❡r② r❡❧❛t✐♦♥ ❢r♦♠ C✳

• ✐✈❡♥ t✇♦ s❡ts ♦❢ ♦♣❡r❛t✐♦♥s F1 ❛♥❞ F2✳ ❆ ❝❧♦♥❡ ✐s ❞❡✜♥❡❞ ❜②

Clo(F1) ∩ Clo(F2)✳

❉♠✐tr✐② ❩❤✉❦ ③❤✉❦✳❞♠✐tr✐②❅❣♠❛✐❧✳❝♦♠ ✭▼♦s❝♦✇ ❙t❛t❡ ❯♥✐✈❡rs✐t②✮ ❖♣❡♥ Pr♦❜❧❡♠s ✐♥ ❈❧♦♥❡ ❚❤❡♦r② ❖♣❡♥ Pr♦❜❧❡♠s ✐♥ ❯❆ ✷✶ ✴ ✹✾

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• ❡♥❡r❛❧ Pr♦❜❧❡♠ ✶

❉❡❝✐❞❡ ✇❤❡t❤❡r t✇♦ ❞❡✜♥✐t✐♦♥s ❣✐✈❡ t❤❡ s❛♠❡ ❝❧♦♥❡✳ ❉❡❝✐s✐♦♥ Pr♦❜❧❡♠s

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Clo(F1) = Clo(F2)✳ ■t ✐s ❞❡❝✐❞❛❜❧❡✦

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Clo(F1) = Clo(F2)✳ ■t ✐s ❞❡❝✐❞❛❜❧❡✦

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Clo(F1) = Clo(F2)✳ ■t ✐s ❞❡❝✐❞❛❜❧❡✦

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Clo(F1) = Clo(F2)✳ ■t ✐s ❞❡❝✐❞❛❜❧❡✦

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Clo(F) = Pol(ρ)✳ ❖♣❡♥ Pr♦❜❧❡♠ ✶✿ ✐s t❤✐s ❞❡❝✐❞❛❜❧❡❄

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Clo(F1) = Clo(F2)✳ ■t ✐s ❞❡❝✐❞❛❜❧❡✦

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Clo(F1) = Clo(F2)✳ ■t ✐s ❞❡❝✐❞❛❜❧❡✦

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Clo(F) = Pol(ρ)✳ ❖♣❡♥ Pr♦❜❧❡♠ ✶✿ ✐s t❤✐s ❞❡❝✐❞❛❜❧❡❄

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✷ ●✐✈❡♥ ❛♥ ♦♣❡r❛t✐♦♥✳ ❉❡❝✐❞❡ ❤♦✇ ♠❛♥② ❝❧♦♥❡s ❝♦♥t❛✐♥ t❤✐s

♦♣❡r❛t✐♦♥✳ ❖♣❡♥ Pr♦❜❧❡♠ ✹✿ ✐s t❤✐s ❞❡❝✐❞❛❜❧❡❄

✸ ●✐✈❡♥ ❛ ❲◆❯ ♦♣❡r❛t✐♦♥✳ ❉❡❝✐❞❡ ❤♦✇ ♠❛♥② ❝❧♦♥❡s ❝♦♥t❛✐♥ t❤✐s

♦♣❡r❛t✐♦♥✳ ❖♣❡♥ Pr♦❜❧❡♠ ✺✿ ✐s t❤✐s ❞❡❝✐❞❛❜❧❡❄

✹ ●✐✈❡♥ ❛ ▼❛❧✬ts❡✈ ♦♣❡r❛t✐♦♥✳ ❉❡❝✐❞❡ ❤♦✇ ♠❛♥② ❝❧♦♥❡s ❝♦♥t❛✐♥ t❤✐s

♦♣❡r❛t✐♦♥✳ ❖♣❡♥ Pr♦❜❧❡♠ ✻✿ ✐s t❤✐s ❞❡❝✐❞❛❜❧❡❄

✺ ●✐✈❡♥ ❛ r❡❧❛t✐♦♥ ρ ✳ ❉❡❝✐❞❡ ❤♦✇ ♠❛♥② ❝❧♦♥❡s ❝♦♥t❛✐♥ Pol(ρ)✳

❖♣❡♥ Pr♦❜❧❡♠ ✼✿ ✐s t❤✐s ❞❡❝✐❞❛❜❧❡❄

❉♠✐tr✐② ❩❤✉❦ ③❤✉❦✳❞♠✐tr✐②❅❣♠❛✐❧✳❝♦♠ ✭▼♦s❝♦✇ ❙t❛t❡ ❯♥✐✈❡rs✐t②✮ ❖♣❡♥ Pr♦❜❧❡♠s ✐♥ ❈❧♦♥❡ ❚❤❡♦r② ❖♣❡♥ Pr♦❜❧❡♠s ✐♥ ❯❆ ✷✸ ✴ ✹✾

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• ❡♥❡r❛❧ Pr♦❜❧❡♠ ✷
• ✐✈❡♥ ❛ ❝❧♦♥❡✱ ❞❡❝✐❞❡ ❤♦✇ ♠❛♥② ❝❧♦♥❡s ❝♦♥t❛✐♥ t❤✐s ❝❧♦♥❡✳

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t❤❡s❡ ♦♣❡r❛t✐♦♥s✳ ❖♣❡♥ Pr♦❜❧❡♠ ✸✿ ✐s t❤✐s ❞❡❝✐❞❛❜❧❡❄

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♦♣❡r❛t✐♦♥✳ ❖♣❡♥ Pr♦❜❧❡♠ ✻✿ ✐s t❤✐s ❞❡❝✐❞❛❜❧❡❄

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Pr♦❜❧❡♠ ✼✿ ✐s t❤✐s ❞❡❝✐❞❛❜❧❡❄

❉♠✐tr✐② ❩❤✉❦ ③❤✉❦✳❞♠✐tr✐②❅❣♠❛✐❧✳❝♦♠ ✭▼♦s❝♦✇ ❙t❛t❡ ❯♥✐✈❡rs✐t②✮ ❖♣❡♥ Pr♦❜❧❡♠s ✐♥ ❈❧♦♥❡ ❚❤❡♦r② ❖♣❡♥ Pr♦❜❧❡♠s ✐♥ ❯❆ ✷✸ ✴ ✹✾

❚❤❡ ♣r✐♥❝✐♣❛❧ ✜❧t❡rs ❢♦r ♠✐♥✐♠❛❧ ❝❧♦♥❡s OA JA

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❉❡✜♥✐t✐♦♥ ❆ ❝❧♦♥❡ A = Jk ✐s ❝❛❧❧❡❞ ♠✐♥✐♠❛❧✱ ✐❢ ❡✈❡r② ♦♣❡r❛t✐♦♥ ❢r♦♠ A \ Jk ❣❡♥❡r❛t❡s t❤✐s ❝❧♦♥❡✳ ❊①❛♠♣❧❡s ♦❢ ♠✐♥✐♠❛❧ ❝❧♦♥❡s Clo({max}), Clo({x + 1}). ◗✉❡st✐♦♥ ❍♦✇ ♠❛♥② ❝❧♦♥❡s ❝♦♥t❛✐♥ ❛ ❣✐✈❡♥ ♠✐♥✐♠❛❧ ❝❧♦♥❡❄

❉♠✐tr✐② ❩❤✉❦ ③❤✉❦✳❞♠✐tr✐②❅❣♠❛✐❧✳❝♦♠ ✭▼♦s❝♦✇ ❙t❛t❡ ❯♥✐✈❡rs✐t②✮ ❖♣❡♥ Pr♦❜❧❡♠s ✐♥ ❈❧♦♥❡ ❚❤❡♦r② ❖♣❡♥ Pr♦❜❧❡♠s ✐♥ ❯❆ ✷✹ ✴ ✹✾

❚❤❡ ♣r✐♥❝✐♣❛❧ ✜❧t❡rs ❢♦r ♠✐♥✐♠❛❧ ❝❧♦♥❡s OA JA

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❉❡✜♥✐t✐♦♥ ❆ ❝❧♦♥❡ A = Jk ✐s ❝❛❧❧❡❞ ♠✐♥✐♠❛❧✱ ✐❢ ❡✈❡r② ♦♣❡r❛t✐♦♥ ❢r♦♠ A \ Jk ❣❡♥❡r❛t❡s t❤✐s ❝❧♦♥❡✳ ❊①❛♠♣❧❡s ♦❢ ♠✐♥✐♠❛❧ ❝❧♦♥❡s Clo({max}), Clo({x + 1}). ◗✉❡st✐♦♥ ❍♦✇ ♠❛♥② ❝❧♦♥❡s ❝♦♥t❛✐♥ ❛ ❣✐✈❡♥ ♠✐♥✐♠❛❧ ❝❧♦♥❡❄

❉♠✐tr✐② ❩❤✉❦ ③❤✉❦✳❞♠✐tr✐②❅❣♠❛✐❧✳❝♦♠ ✭▼♦s❝♦✇ ❙t❛t❡ ❯♥✐✈❡rs✐t②✮ ❖♣❡♥ Pr♦❜❧❡♠s ✐♥ ❈❧♦♥❡ ❚❤❡♦r② ❖♣❡♥ Pr♦❜❧❡♠s ✐♥ ❯❆ ✷✹ ✴ ✹✾

❘♦s❡♥❜❡r❣ ❈❧❛ss✐✜❝❛t✐♦♥ ♦❢ ▼✐♥✐♠❛❧ ❈❧♦♥❡s ❚❤❡♦r❡♠ ❊❛❝❤ ♠✐♥✐♠❛❧ ❝❧♦♥❡ ♦♥ k ❡❧❡♠❡♥ts ❝❛♥ ❜❡ ❣❡♥❡r❛t❡❞ ❜② f ✇❤❡r❡

✶ f ✐s ❛♥ ✉♥❛r② ♦♣❡r❛t✐♦♥✳ ✷ f ✐s ❛ ❜✐♥❛r② ✐❞❡♠♣♦t❡♥t ♦♣❡r❛t✐♦♥ f(a, a) = a ❢♦r ❡✈❡r② a ∈ E3. ✸ f ✐s ❛ ♠❛❥♦r✐t② ♦♣❡r❛t✐♦♥

∀a, b ∈ E3 : f(a, a, b) = f(a, b, a) = f(b, a, a) = a

✹ f ✐s ❛ ♠✐♥♦r✐t② ♦♣❡r❛t✐♦♥

∀a, b ∈ E3 : f(a, a, b) = f(a, b, a) = f(b, a, a) = b

✺ f ✐s ❛ s❡♠✐♣r♦❥❡❝t✐♦♥ t♦ t❤❡ i✲t❤ ✈❛r✐❛❜❧❡

f ∈ Pn

k ✱ 3 ≤ n ≤ k✱ ❢♦r ❡✈❡r② t✉♣❧❡ (a1, a2, . . . , an) s❛t✐s❢②✐♥❣

|{a1, a2, . . . , an}| < n ✇❡ ❤❛✈❡ f(a1, a2, . . . , an) = ai✳

❲❡ ✇✐❧❧ ❛ss✉♠❡ t❤❛t i = 1 ❢♦r ❛❧❧ ♦❝❝✉rr✐♥❣ s❡♠✐♣r♦❥❡❝t✐♦♥s✳

❉♠✐tr✐② ❩❤✉❦ ③❤✉❦✳❞♠✐tr✐②❅❣♠❛✐❧✳❝♦♠ ✭▼♦s❝♦✇ ❙t❛t❡ ❯♥✐✈❡rs✐t②✮ ❖♣❡♥ Pr♦❜❧❡♠s ✐♥ ❈❧♦♥❡ ❚❤❡♦r② ❖♣❡♥ Pr♦❜❧❡♠s ✐♥ ❯❆ ✷✺ ✴ ✹✾

▼✐♥✐♠❛❧ ❈❧♦♥❡s ♦♥ t❤r❡❡ ❡❧❡♠❡♥ts ✭❢♦✉♥❞ ❜② ❇✳ ❈s✁ ❛❦✁ ❛♥②✮

❚❤❡r❡ ❛r❡ ❡①❛❝t❧② ✽✹ ♠✐♥✐♠❛❧ ❝❧♦♥❡s ♦♥ ✸ ❡❧❡♠❡♥ts✳ ❖♥❡ ♦❜t❛✐♥s ❡✈❡r② ♦♥❡ ♦❢ t❤❡s❡ ❝❧♦♥❡s ❜② ❛♣♣❧②✐♥❣ ✐♥♥❡r ❛✉t♦♠♦r♣❤✐s♠s ♦❢ P3 t♦ ❡①❛❝t❧② ♦♥❡ ♦❢ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ❝❧♦♥❡s✿ ❛✮ ▼✐♥✐♠❛❧ ❝❧♦♥❡s ❣❡♥❡r❛t❡❞ ❜② ✉♥❛r② ♦♣❡r❛t✐♦♥s

x c0 c1 c2 c3 1 1 1 1 1 1 2 2 1 2 1

❜✮ ▼✐♥✐♠❛❧ ❝❧♦♥❡s ❣❡♥❡r❛t❡❞ ❜② ✐❞❡♠♣♦t❡♥t ❜✐♥❛r② ♦♣❡r❛t✐♦♥s

x y b1 b2 b3 b4 b5 b6 b7 b8 b9 b10 b11 b12 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 1 1 1 1 2 1 1 2 2 1 1 2 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 1 1 1 1 1 2 2 1 2 2 2 2

❝✮ ▼✐♥✐♠❛❧ ❝❧♦♥❡s ❣❡♥❡r❛t❡❞ ❜② ♠❛❥♦r✐t② ♦♣❡r❛t✐♦♥s m1, m2, m3 ❛♥❞ s❡♠✐♣r♦❥❡❝t✐♦♥s s1, s2, s3, s4, s5

x y z m1 m2 m3 s1 s2 s3 s4 s5 1 2 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 2 1 2 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 2 2 1 1 2 1 1 2 2 1 1 1 2 1 1 1 2 1 ❉♠✐tr✐② ❩❤✉❦ ③❤✉❦✳❞♠✐tr✐②❅❣♠❛✐❧✳❝♦♠ ✭▼♦s❝♦✇ ❙t❛t❡ ❯♥✐✈❡rs✐t②✮ ❖♣❡♥ Pr♦❜❧❡♠s ✐♥ ❈❧♦♥❡ ❚❤❡♦r② ❖♣❡♥ Pr♦❜❧❡♠s ✐♥ ❯❆ ✷✻ ✴ ✹✾

Pr♦❜❧❡♠ ❍♦✇ ♠❛♥② ❝❧♦♥❡s ❝♦♥t❛✐♥ ❛ ❣✐✈❡♥ ♠✐♥✐♠❛❧ ❝❧♦♥❡ ♦♥ t❤r❡❡ ❡❧❡♠❡♥ts❄

❋♦r ♠✐♥✐♠❛❧ ❝❧♦♥❡s ❣❡♥❡r❛t❡❞ ❜② ♠❛❥♦r✐t② ♦♣❡r❛t✐♦♥s t❤❡ r❡s✉❧t ❢♦❧❧♦✇s ❢r♦♠ ❇❛❦❡r✲P✐①❧❡② ❚❤❡♦r❡♠ ✭❑✳ ❆✳ ❇❛❦❡r✱ ❆✳ ❋✳ P✐①❧❡②✱ ✶✾✼✺✮ ❈❧♦♥❡s ❝♦♥t❛✐♥✐♥❣ ❛♥❞ ❝❧♦♥❡s ❝♦♥t❛✐♥✐♥❣ ❛r❡ ✜♥✐t❡❧② ❣❡♥❡r❛t❡❞ ✭❙✳ ❙✳ ▼❛r❝❤❡♥❦♦✈✱ ✶✾✽✹✮ ❚❤❡ s❡t ♦❢ ❛❧❧ ❝❧♦♥❡s ❝♦♥t❛✐♥✐♥❣ ✐s ✜♥✐t❡ ❛♥❞ ❝♦♠♣❧❡t❡❧② ❞❡s❝r✐❜❡❞ ✭■✳ ❘♦s❡♥❜❡r❣✱ ✶✾✾✺✮✳ ❋♦r t❤❡ ♠✐♥✐♠❛❧ ❝❧♦♥❡s ❣❡♥❡r❛t❡❞ ❜② ✉♥❛r② ♦♣❡r❛t✐♦♥s t❤✐s ♣r♦❜❧❡♠ ✇❛s s♦❧✈❡❞ ❜② ❏✳ P❛♥t♦✈✐✁ ❝ ❛♥❞ ❉✳ ❱♦✐✈♦❞✐✁ ❝ ✭✷✵✵✵✮✳ ❚❤❡ s❡t ♦❢ ❛❧❧ ❝❧♦♥❡s ❝♦♥t❛✐♥✐♥❣ ❛ ♦♣❡r❛t✐♦♥ ❤❛s ❝♦♥t✐♥✉✉♠ ❝❛r❞✐♥❛❧✐t② ❢♦r ❡✈❡r② ❚❤❡ s❡t ♦❢ ❛❧❧ ❝❧♦♥❡s ❝♦♥t❛✐♥✐♥❣ ❛ ♦♣❡r❛t✐♦♥ ✐s ❛t ❧❡❛st ❝♦✉♥t❛❜❧❡ ❢♦r ❡✈❡r② ✭❏✳ P❛♥t♦✈✐✁ ❝✱ ❉✳ ❱♦✐✈♦❞✐✁ ❝✱ ✷✵✵✵✮✳

❉♠✐tr✐② ❩❤✉❦ ③❤✉❦✳❞♠✐tr✐②❅❣♠❛✐❧✳❝♦♠ ✭▼♦s❝♦✇ ❙t❛t❡ ❯♥✐✈❡rs✐t②✮ ❖♣❡♥ Pr♦❜❧❡♠s ✐♥ ❈❧♦♥❡ ❚❤❡♦r② ❖♣❡♥ Pr♦❜❧❡♠s ✐♥ ❯❆ ✷✼ ✴ ✹✾

Pr♦❜❧❡♠ ❍♦✇ ♠❛♥② ❝❧♦♥❡s ❝♦♥t❛✐♥ ❛ ❣✐✈❡♥ ♠✐♥✐♠❛❧ ❝❧♦♥❡ ♦♥ t❤r❡❡ ❡❧❡♠❡♥ts❄

❋♦r ♠✐♥✐♠❛❧ ❝❧♦♥❡s ❣❡♥❡r❛t❡❞ ❜② ♠❛❥♦r✐t② ♦♣❡r❛t✐♦♥s t❤❡ r❡s✉❧t ❢♦❧❧♦✇s ❢r♦♠ ❇❛❦❡r✲P✐①❧❡② ❚❤❡♦r❡♠ ✭❑✳ ❆✳ ❇❛❦❡r✱ ❆✳ ❋✳ P✐①❧❡②✱ ✶✾✼✺✮ ❈❧♦♥❡s ❝♦♥t❛✐♥✐♥❣ ❛♥❞ ❝❧♦♥❡s ❝♦♥t❛✐♥✐♥❣ ❛r❡ ✜♥✐t❡❧② ❣❡♥❡r❛t❡❞ ✭❙✳ ❙✳ ▼❛r❝❤❡♥❦♦✈✱ ✶✾✽✹✮ ❚❤❡ s❡t ♦❢ ❛❧❧ ❝❧♦♥❡s ❝♦♥t❛✐♥✐♥❣ ✐s ✜♥✐t❡ ❛♥❞ ❝♦♠♣❧❡t❡❧② ❞❡s❝r✐❜❡❞ ✭■✳ ❘♦s❡♥❜❡r❣✱ ✶✾✾✺✮✳ ❋♦r t❤❡ ♠✐♥✐♠❛❧ ❝❧♦♥❡s ❣❡♥❡r❛t❡❞ ❜② ✉♥❛r② ♦♣❡r❛t✐♦♥s t❤✐s ♣r♦❜❧❡♠ ✇❛s s♦❧✈❡❞ ❜② ❏✳ P❛♥t♦✈✐✁ ❝ ❛♥❞ ❉✳ ❱♦✐✈♦❞✐✁ ❝ ✭✷✵✵✵✮✳ ❚❤❡ s❡t ♦❢ ❛❧❧ ❝❧♦♥❡s ❝♦♥t❛✐♥✐♥❣ ❛ ♦♣❡r❛t✐♦♥ ❤❛s ❝♦♥t✐♥✉✉♠ ❝❛r❞✐♥❛❧✐t② ❢♦r ❡✈❡r② ❚❤❡ s❡t ♦❢ ❛❧❧ ❝❧♦♥❡s ❝♦♥t❛✐♥✐♥❣ ❛ ♦♣❡r❛t✐♦♥ ✐s ❛t ❧❡❛st ❝♦✉♥t❛❜❧❡ ❢♦r ❡✈❡r② ✭❏✳ P❛♥t♦✈✐✁ ❝✱ ❉✳ ❱♦✐✈♦❞✐✁ ❝✱ ✷✵✵✵✮✳

❉♠✐tr✐② ❩❤✉❦ ③❤✉❦✳❞♠✐tr✐②❅❣♠❛✐❧✳❝♦♠ ✭▼♦s❝♦✇ ❙t❛t❡ ❯♥✐✈❡rs✐t②✮ ❖♣❡♥ Pr♦❜❧❡♠s ✐♥ ❈❧♦♥❡ ❚❤❡♦r② ❖♣❡♥ Pr♦❜❧❡♠s ✐♥ ❯❆ ✷✼ ✴ ✹✾

Pr♦❜❧❡♠ ❍♦✇ ♠❛♥② ❝❧♦♥❡s ❝♦♥t❛✐♥ ❛ ❣✐✈❡♥ ♠✐♥✐♠❛❧ ❝❧♦♥❡ ♦♥ t❤r❡❡ ❡❧❡♠❡♥ts❄

❋♦r ♠✐♥✐♠❛❧ ❝❧♦♥❡s ❣❡♥❡r❛t❡❞ ❜② ♠❛❥♦r✐t② ♦♣❡r❛t✐♦♥s t❤❡ r❡s✉❧t ❢♦❧❧♦✇s ❢r♦♠ ❇❛❦❡r✲P✐①❧❡② ❚❤❡♦r❡♠ ✭❑✳ ❆✳ ❇❛❦❡r✱ ❆✳ ❋✳ P✐①❧❡②✱ ✶✾✼✺✮ ❈❧♦♥❡s ❝♦♥t❛✐♥✐♥❣ s5 ❛♥❞ ❝❧♦♥❡s ❝♦♥t❛✐♥✐♥❣ b12 ❛r❡ ✜♥✐t❡❧② ❣❡♥❡r❛t❡❞ ✭❙✳ ❙✳ ▼❛r❝❤❡♥❦♦✈✱ ✶✾✽✹✮ ❚❤❡ s❡t ♦❢ ❛❧❧ ❝❧♦♥❡s ❝♦♥t❛✐♥✐♥❣ ✐s ✜♥✐t❡ ❛♥❞ ❝♦♠♣❧❡t❡❧② ❞❡s❝r✐❜❡❞ ✭■✳ ❘♦s❡♥❜❡r❣✱ ✶✾✾✺✮✳ ❋♦r t❤❡ ♠✐♥✐♠❛❧ ❝❧♦♥❡s ❣❡♥❡r❛t❡❞ ❜② ✉♥❛r② ♦♣❡r❛t✐♦♥s t❤✐s ♣r♦❜❧❡♠ ✇❛s s♦❧✈❡❞ ❜② ❏✳ P❛♥t♦✈✐✁ ❝ ❛♥❞ ❉✳ ❱♦✐✈♦❞✐✁ ❝ ✭✷✵✵✵✮✳ ❚❤❡ s❡t ♦❢ ❛❧❧ ❝❧♦♥❡s ❝♦♥t❛✐♥✐♥❣ ❛ ♦♣❡r❛t✐♦♥ ❤❛s ❝♦♥t✐♥✉✉♠ ❝❛r❞✐♥❛❧✐t② ❢♦r ❡✈❡r② ❚❤❡ s❡t ♦❢ ❛❧❧ ❝❧♦♥❡s ❝♦♥t❛✐♥✐♥❣ ❛ ♦♣❡r❛t✐♦♥ ✐s ❛t ❧❡❛st ❝♦✉♥t❛❜❧❡ ❢♦r ❡✈❡r② ✭❏✳ P❛♥t♦✈✐✁ ❝✱ ❉✳ ❱♦✐✈♦❞✐✁ ❝✱ ✷✵✵✵✮✳

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Pr♦❜❧❡♠ ❍♦✇ ♠❛♥② ❝❧♦♥❡s ❝♦♥t❛✐♥ ❛ ❣✐✈❡♥ ♠✐♥✐♠❛❧ ❝❧♦♥❡ ♦♥ t❤r❡❡ ❡❧❡♠❡♥ts❄

❋♦r ♠✐♥✐♠❛❧ ❝❧♦♥❡s ❣❡♥❡r❛t❡❞ ❜② ♠❛❥♦r✐t② ♦♣❡r❛t✐♦♥s t❤❡ r❡s✉❧t ❢♦❧❧♦✇s ❢r♦♠ ❇❛❦❡r✲P✐①❧❡② ❚❤❡♦r❡♠ ✭❑✳ ❆✳ ❇❛❦❡r✱ ❆✳ ❋✳ P✐①❧❡②✱ ✶✾✼✺✮ ❈❧♦♥❡s ❝♦♥t❛✐♥✐♥❣ s5 ❛♥❞ ❝❧♦♥❡s ❝♦♥t❛✐♥✐♥❣ b12 ❛r❡ ✜♥✐t❡❧② ❣❡♥❡r❛t❡❞ ✭❙✳ ❙✳ ▼❛r❝❤❡♥❦♦✈✱ ✶✾✽✹✮ ❚❤❡ s❡t ♦❢ ❛❧❧ ❝❧♦♥❡s ❝♦♥t❛✐♥✐♥❣ b12 ✐s ✜♥✐t❡ ❛♥❞ ❝♦♠♣❧❡t❡❧② ❞❡s❝r✐❜❡❞ ✭■✳ ❘♦s❡♥❜❡r❣✱ ✶✾✾✺✮✳ ❋♦r t❤❡ ♠✐♥✐♠❛❧ ❝❧♦♥❡s ❣❡♥❡r❛t❡❞ ❜② ✉♥❛r② ♦♣❡r❛t✐♦♥s t❤✐s ♣r♦❜❧❡♠ ✇❛s s♦❧✈❡❞ ❜② ❏✳ P❛♥t♦✈✐✁ ❝ ❛♥❞ ❉✳ ❱♦✐✈♦❞✐✁ ❝ ✭✷✵✵✵✮✳ ❚❤❡ s❡t ♦❢ ❛❧❧ ❝❧♦♥❡s ❝♦♥t❛✐♥✐♥❣ ❛ ♦♣❡r❛t✐♦♥ ❤❛s ❝♦♥t✐♥✉✉♠ ❝❛r❞✐♥❛❧✐t② ❢♦r ❡✈❡r② ❚❤❡ s❡t ♦❢ ❛❧❧ ❝❧♦♥❡s ❝♦♥t❛✐♥✐♥❣ ❛ ♦♣❡r❛t✐♦♥ ✐s ❛t ❧❡❛st ❝♦✉♥t❛❜❧❡ ❢♦r ❡✈❡r② ✭❏✳ P❛♥t♦✈✐✁ ❝✱ ❉✳ ❱♦✐✈♦❞✐✁ ❝✱ ✷✵✵✵✮✳

❉♠✐tr✐② ❩❤✉❦ ③❤✉❦✳❞♠✐tr✐②❅❣♠❛✐❧✳❝♦♠ ✭▼♦s❝♦✇ ❙t❛t❡ ❯♥✐✈❡rs✐t②✮ ❖♣❡♥ Pr♦❜❧❡♠s ✐♥ ❈❧♦♥❡ ❚❤❡♦r② ❖♣❡♥ Pr♦❜❧❡♠s ✐♥ ❯❆ ✷✼ ✴ ✹✾

Pr♦❜❧❡♠ ❍♦✇ ♠❛♥② ❝❧♦♥❡s ❝♦♥t❛✐♥ ❛ ❣✐✈❡♥ ♠✐♥✐♠❛❧ ❝❧♦♥❡ ♦♥ t❤r❡❡ ❡❧❡♠❡♥ts❄

❋♦r ♠✐♥✐♠❛❧ ❝❧♦♥❡s ❣❡♥❡r❛t❡❞ ❜② ♠❛❥♦r✐t② ♦♣❡r❛t✐♦♥s t❤❡ r❡s✉❧t ❢♦❧❧♦✇s ❢r♦♠ ❇❛❦❡r✲P✐①❧❡② ❚❤❡♦r❡♠ ✭❑✳ ❆✳ ❇❛❦❡r✱ ❆✳ ❋✳ P✐①❧❡②✱ ✶✾✼✺✮ ❈❧♦♥❡s ❝♦♥t❛✐♥✐♥❣ s5 ❛♥❞ ❝❧♦♥❡s ❝♦♥t❛✐♥✐♥❣ b12 ❛r❡ ✜♥✐t❡❧② ❣❡♥❡r❛t❡❞ ✭❙✳ ❙✳ ▼❛r❝❤❡♥❦♦✈✱ ✶✾✽✹✮ ❚❤❡ s❡t ♦❢ ❛❧❧ ❝❧♦♥❡s ❝♦♥t❛✐♥✐♥❣ b12 ✐s ✜♥✐t❡ ❛♥❞ ❝♦♠♣❧❡t❡❧② ❞❡s❝r✐❜❡❞ ✭■✳ ❘♦s❡♥❜❡r❣✱ ✶✾✾✺✮✳ ❋♦r t❤❡ ♠✐♥✐♠❛❧ ❝❧♦♥❡s ❣❡♥❡r❛t❡❞ ❜② ✉♥❛r② ♦♣❡r❛t✐♦♥s t❤✐s ♣r♦❜❧❡♠ ✇❛s s♦❧✈❡❞ ❜② ❏✳ P❛♥t♦✈✐✁ ❝ ❛♥❞ ❉✳ ❱♦✐✈♦❞✐✁ ❝ ✭✷✵✵✵✮✳ ❚❤❡ s❡t ♦❢ ❛❧❧ ❝❧♦♥❡s ❝♦♥t❛✐♥✐♥❣ ❛ ♦♣❡r❛t✐♦♥ ❤❛s ❝♦♥t✐♥✉✉♠ ❝❛r❞✐♥❛❧✐t② ❢♦r ❡✈❡r② ❚❤❡ s❡t ♦❢ ❛❧❧ ❝❧♦♥❡s ❝♦♥t❛✐♥✐♥❣ ❛ ♦♣❡r❛t✐♦♥ ✐s ❛t ❧❡❛st ❝♦✉♥t❛❜❧❡ ❢♦r ❡✈❡r② ✭❏✳ P❛♥t♦✈✐✁ ❝✱ ❉✳ ❱♦✐✈♦❞✐✁ ❝✱ ✷✵✵✵✮✳

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Pr♦❜❧❡♠ ❍♦✇ ♠❛♥② ❝❧♦♥❡s ❝♦♥t❛✐♥ ❛ ❣✐✈❡♥ ♠✐♥✐♠❛❧ ❝❧♦♥❡ ♦♥ t❤r❡❡ ❡❧❡♠❡♥ts❄

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❘❡s✉❧t ❢♦r ✸✲❡❧❡♠❡♥t ❝❛s❡ ❚❤❡♦r❡♠ ✭❉✳ ❩❤✉❦✱ ✷✵✶✷✮ ❙✉♣♣♦s❡ ❛ ♠✐♥✐♠❛❧ ❝❧♦♥❡ ♦♥ ✸ ❡❧❡♠❡♥ts M ✐s ❣❡♥❡r❛t❡❞ ❜② f✳ ❚❤❡ s❡t ♦❢ ❛❧❧ ❝❧♦♥❡s ❝♦♥t❛✐♥✐♥❣ M ✐s ✜♥✐t❡ ✐❢ f ∈ {c3, b12, m1, m2, m3}, ✐s ❝♦✉♥t❛❜❧❡ ✐❢ f ∈ {s4, s5}, ❤❛s ❝♦♥t✐♥✉✉♠ ❝❛r❞✐♥❛❧✐t② ✐❢ f ∈ {c0, c1, c2, b1, b2, b3, . . . , b10, b11, s1, s2, s3}.

❉♠✐tr✐② ❩❤✉❦ ③❤✉❦✳❞♠✐tr✐②❅❣♠❛✐❧✳❝♦♠ ✭▼♦s❝♦✇ ❙t❛t❡ ❯♥✐✈❡rs✐t②✮ ❖♣❡♥ Pr♦❜❧❡♠s ✐♥ ❈❧♦♥❡ ❚❤❡♦r② ❖♣❡♥ Pr♦❜❧❡♠s ✐♥ ❯❆ ✷✽ ✴ ✹✾

❋✐♥✐t❡ ❛♥❞ ❝♦✉♥t❛❜❧❡ ❝❛s❡s ❢♦r ✸✲❡❧❡♠❡♥t ❝❛s❡ ❋✐♥✐t❡ ❝❛s❡s ✭❡①❝❡♣t ❝❧♦♥❡s ❣❡♥❡r❛t❡❞ ❜② ♠❛❥♦r✐t② ♦♣❡r❛t✐♦♥s✮ c3(x) = x + 1; b12(x, y) = 2x + 2y. ❈♦✉♥t❛❜❧❡ ❝❛s❡s s4(x, y, z) =

• 2x + 1,

✐❢ |{x, y, z}| = 3❀ x, ♦t❤❡r✇✐s❡✳ ; s5(x, y, z) =

• y,

✐❢ |{x, y, z}| = 3❀ x, ♦t❤❡r✇✐s❡✳ .

❉♠✐tr✐② ❩❤✉❦ ③❤✉❦✳❞♠✐tr✐②❅❣♠❛✐❧✳❝♦♠ ✭▼♦s❝♦✇ ❙t❛t❡ ❯♥✐✈❡rs✐t②✮ ❖♣❡♥ Pr♦❜❧❡♠s ✐♥ ❈❧♦♥❡ ❚❤❡♦r② ❖♣❡♥ Pr♦❜❧❡♠s ✐♥ ❯❆ ✷✾ ✴ ✹✾

▼✐♥✐♠❛❧ ❝❧♦♥❡s ❢♦r |A| > 3 ❆❧❧ ♠✐♥✐♠❛❧ ❝❧♦♥❡s ♦♥ ✹ ❡❧❡♠❡♥ts ✇❡r❡ ❢♦✉♥❞ ✭P☎ ♦s❤❡❧✱ ❑❛❧✉③❤♥✐♥✱ ❙③❝③❡♣❛r❛✱ ❲❛❧❞❤❛✉s❡r✱ ❏❡③❡❦✱ ◗✉❛❝❦❡♥❜✉s❤✱ ❑❛rst❡♥ ❙❝❤☎ ♦❧③❡r✱ ✷✵✶✷✮✳ ❖♣❡♥ Pr♦❜❧❡♠s

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Clo(B) ∩ Clo(C) ✐s ✜♥✐t❡❧② ❣❡♥❡r❛t❡❞✳ ❖♣❡♥ Pr♦❜❧❡♠ ✶✸✿ ✐s t❤✐s ❞❡❝✐❞❛❜❧❡❄ ❚❤❡r❡ ❡①✐st ✜♥✐t❡ s❡ts ♦❢ ♦♣❡r❛t✐♦♥s ❛♥❞ s✉❝❤ t❤❛t ✐s ♥♦t ✜♥✐t❡❧② ❣❡♥❡r❛t❡❞ ✭▲✳❍❛❞❞❛❞✱ ✶✾✾✵✮✳

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• ❡♥❡r❛❧ Pr♦❜❧❡♠ ✺

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• ✐✈❡♥ t✇♦ ✜♥✐t❡ s❡ts ♦❢ ♦♣❡r❛t✐♦♥s

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Clo(D) Clo(C)

• ❡♥❡r❛❧ Pr♦❜❧❡♠ ✺

❋✐♥❞ ❛ s✉❜❧❛tt✐❝❡ ❜❡t✇❡❡♥ t✇♦ ❝❧♦♥❡s ✐❢ ✐t ✐s ✜♥✐t❡✳ ❈♦♠♣✉t❛t✐♦♥❛❧ Pr♦❜❧❡♠

• ✐✈❡♥ t✇♦ ✜♥✐t❡ s❡ts ♦❢ ♦♣❡r❛t✐♦♥s C ❛♥❞ D s✉❝❤

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❉♠✐tr✐② ❩❤✉❦ ③❤✉❦✳❞♠✐tr✐②❅❣♠❛✐❧✳❝♦♠ ✭▼♦s❝♦✇ ❙t❛t❡ ❯♥✐✈❡rs✐t②✮ ❖♣❡♥ Pr♦❜❧❡♠s ✐♥ ❈❧♦♥❡ ❚❤❡♦r② ❖♣❡♥ Pr♦❜❧❡♠s ✐♥ ❯❆ ✸✻ ✴ ✹✾

❋✐♥✐t❡ ❙✉❜❧❛tt✐❝❡s OA JA

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Clo(D) Clo(C)

• ❡♥❡r❛❧ Pr♦❜❧❡♠ ✺

❋✐♥❞ ❛ s✉❜❧❛tt✐❝❡ ❜❡t✇❡❡♥ t✇♦ ❝❧♦♥❡s ✐❢ ✐t ✐s ✜♥✐t❡✳ ❈♦♠♣✉t❛t✐♦♥❛❧ Pr♦❜❧❡♠

• ✐✈❡♥ t✇♦ ✜♥✐t❡ s❡ts ♦❢ ♦♣❡r❛t✐♦♥s C ❛♥❞ D s✉❝❤

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Clo(D) Clo(C)

• ❡♥❡r❛❧ Pr♦❜❧❡♠ ✺

❋✐♥❞ ❛ s✉❜❧❛tt✐❝❡ ❜❡t✇❡❡♥ t✇♦ ❝❧♦♥❡s ✐❢ ✐t ✐s ✜♥✐t❡✳ ❈♦♠♣✉t❛t✐♦♥❛❧ Pr♦❜❧❡♠

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♥❡❛r✲✉♥❛♥✐♠✐t② ♦♣❡r❛t✐♦♥✳ ❋✐♥❞ t❤❡ s✉❜❧❛tt✐❝❡ ❜❡t✇❡❡♥ C ❛♥❞ D✳ ❊✈❡r② ❝❧♦♥❡ ❝♦♥t❛✐♥✐♥❣ ◆❯ ♦❢ ❛r✐t② ❝❛♥ ❜❡ ❞❡✜♥❡❞ ❜② r❡❧❛t✐♦♥s ♦❢ ❛r✐t② ✳ ❙♦❧✉t✐♦♥ ❈♦♥s✐❞❡r ❛❧❧ s❡ts ♦❢ r❡❧❛t✐♦♥s ♦❢ ❛r✐t② ♣r❡s❡r✈✐♥❣ ❜② ❛ ❝❧♦♥❡ ✳ ❋✐♥❞ t❤♦s❡ ♦❢ t❤❡♠ t❤❛t ❞❡✜♥❡ ❞✐✛❡r❡♥t ❝❧♦♥❡s✳ ❲❤❛t ✐s t❤❡ ❝♦♠♣❧❡①✐t② ♦❢ t❤✐s ❛❧❣♦r✐t❤♠❄ ❍✉❣❡✦ ■♠♣r♦✈❡♠❡♥ts✭❉✳❩❤✉❦✱ ❙✳▼♦✐s❡❡✈✱ ✷✵✶✷✮ ❲❡ ❝♦♥s✐❞❡r ♦♥❧② r❡❧❛t✐♦♥s t❤❛t ❝❛♥♥♦t ❜❡ r❡♣r❡s❡♥t❡❞ ❛s ❛ ❝♦♥❥✉♥❝t✐♦♥ ♦❢ r❡❧❛t✐♦♥s ✇✐t❤ s♠❛❧❧❡r ❛r✐t✐❡s ✭t❤❡s❡ r❡❧❛t✐♦♥s ❛r❡ ❝❛❧❧❡❞ ❡ss❡♥t✐❛❧✮✳ ❲❡ ❝♦♥s✐❞❡r ❛ ❝❧♦s✉r❡ ♦♣❡r❛t♦r ♦♥ t❤❡ s❡t ♦❢ ❡ss❡♥t✐❛❧ r❡❧❛t✐♦♥s✳

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❉♠✐tr✐② ❩❤✉❦ ③❤✉❦✳❞♠✐tr✐②❅❣♠❛✐❧✳❝♦♠ ✭▼♦s❝♦✇ ❙t❛t❡ ❯♥✐✈❡rs✐t②✮ ❖♣❡♥ Pr♦❜❧❡♠s ✐♥ ❈❧♦♥❡ ❚❤❡♦r② ❖♣❡♥ Pr♦❜❧❡♠s ✐♥ ❯❆ ✸✼ ✴ ✹✾

Pr♦❣r❛♠ t❤❛t ✜♥❞s ❛ s✉❜❧❛tt✐❝❡ ■♥♣✉t ❚✇♦ ✜♥✐t❡ s❡ts ♦❢ r❡❧❛t✐♦♥s Mup ❛♥❞ Mdown s✉❝❤ t❤❛t Mup ⊆ Mdown✳ ❚❤❡ ❛r✐t② N ♦❢ ♥❡❛r✲✉♥❛♥✐♠✐t② ♦♣❡r❛t✐♦♥ ♣r❡s❡r✈✐♥❣ Mdown✳ ❖✉t♣✉t ❚❤❡ ❧❛tt✐❝❡ ♦❢ ❝❧♦♥❡s ❜❡t✇❡❡♥ Pol(Mdown) ❛♥❞ Pol(Mup)✳ ❲❡ ❝♦♥s✐❞❡r ❛❧❧ ❡ss❡♥t✐❛❧ r❡❧❛t✐♦♥s✳ ❈❛❧❝✉❧❛t❡ t❤❡ ❝❧♦s✉r❡ ♦❢ ❡✈❡r② r❡❧❛t✐♦♥ t♦❣❡t❤❡r ✇✐t❤ ✳ ❈❤♦♦s❡ ♠✐♥✐♠❛❧ ❜② ✐♥❝❧✉s✐♦♥ s❡ts✿ t❤✉s✱ ✇❡ ❣❡t ♠❛①✐♠❛❧ ❝❧♦♥❡s ✐♥ ✳ ❈♦♥s✐❞❡r t❤❡ ❝❧♦s✉r❡ ♦❢ ❛ ♠❛①✐♠❛❧ ❝❧♦♥❡ t♦❣❡t❤❡r ✇✐t❤ ❛♥ ❡ss❡♥t✐❛❧ r❡❧❛t✐♦♥✳ ❈❤♦♦s❡ t❤❡ ♠✐♥✐♠❛❧ ❜② ✐♥❝❧✉s✐♦♥ s❡ts✿ t❤✉s✱ ✇❡ ❣❡t s✉❜♠❛①✐♠❛❧ ❝❧♦♥❡s ✐♥ ✳ ❘❡♣❡❛t t❤❡ ♣r♦❝❡❞✉r❡ t✐❧❧ ✇❡ ❣❡t ✳

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Pr♦❣r❛♠ t❤❛t ✜♥❞s ❛ s✉❜❧❛tt✐❝❡ ■♥♣✉t ❚✇♦ ✜♥✐t❡ s❡ts ♦❢ r❡❧❛t✐♦♥s Mup ❛♥❞ Mdown s✉❝❤ t❤❛t Mup ⊆ Mdown✳ ❚❤❡ ❛r✐t② N ♦❢ ♥❡❛r✲✉♥❛♥✐♠✐t② ♦♣❡r❛t✐♦♥ ♣r❡s❡r✈✐♥❣ Mdown✳ ❖✉t♣✉t ❚❤❡ ❧❛tt✐❝❡ ♦❢ ❝❧♦♥❡s ❜❡t✇❡❡♥ Pol(Mdown) ❛♥❞ Pol(Mup)✳ ❲❡ ❝♦♥s✐❞❡r ❛❧❧ ❡ss❡♥t✐❛❧ r❡❧❛t✐♦♥s✳ ❈❛❧❝✉❧❛t❡ t❤❡ ❝❧♦s✉r❡ ♦❢ ❡✈❡r② r❡❧❛t✐♦♥ t♦❣❡t❤❡r ✇✐t❤ Mup✳ ❈❤♦♦s❡ ♠✐♥✐♠❛❧ ❜② ✐♥❝❧✉s✐♦♥ s❡ts✿ t❤✉s✱ ✇❡ ❣❡t ♠❛①✐♠❛❧ ❝❧♦♥❡s ✐♥ Pol(Mup)✳ ❈♦♥s✐❞❡r t❤❡ ❝❧♦s✉r❡ ♦❢ ❛ ♠❛①✐♠❛❧ ❝❧♦♥❡ t♦❣❡t❤❡r ✇✐t❤ ❛♥ ❡ss❡♥t✐❛❧ r❡❧❛t✐♦♥✳ ❈❤♦♦s❡ t❤❡ ♠✐♥✐♠❛❧ ❜② ✐♥❝❧✉s✐♦♥ s❡ts✿ t❤✉s✱ ✇❡ ❣❡t s✉❜♠❛①✐♠❛❧ ❝❧♦♥❡s ✐♥ ✳ ❘❡♣❡❛t t❤❡ ♣r♦❝❡❞✉r❡ t✐❧❧ ✇❡ ❣❡t ✳

❉♠✐tr✐② ❩❤✉❦ ③❤✉❦✳❞♠✐tr✐②❅❣♠❛✐❧✳❝♦♠ ✭▼♦s❝♦✇ ❙t❛t❡ ❯♥✐✈❡rs✐t②✮ ❖♣❡♥ Pr♦❜❧❡♠s ✐♥ ❈❧♦♥❡ ❚❤❡♦r② ❖♣❡♥ Pr♦❜❧❡♠s ✐♥ ❯❆ ✸✽ ✴ ✹✾

Pr♦❣r❛♠ t❤❛t ✜♥❞s ❛ s✉❜❧❛tt✐❝❡ ■♥♣✉t ❚✇♦ ✜♥✐t❡ s❡ts ♦❢ r❡❧❛t✐♦♥s Mup ❛♥❞ Mdown s✉❝❤ t❤❛t Mup ⊆ Mdown✳ ❚❤❡ ❛r✐t② N ♦❢ ♥❡❛r✲✉♥❛♥✐♠✐t② ♦♣❡r❛t✐♦♥ ♣r❡s❡r✈✐♥❣ Mdown✳ ❖✉t♣✉t ❚❤❡ ❧❛tt✐❝❡ ♦❢ ❝❧♦♥❡s ❜❡t✇❡❡♥ Pol(Mdown) ❛♥❞ Pol(Mup)✳ ❲❡ ❝♦♥s✐❞❡r ❛❧❧ ❡ss❡♥t✐❛❧ r❡❧❛t✐♦♥s✳ ❈❛❧❝✉❧❛t❡ t❤❡ ❝❧♦s✉r❡ ♦❢ ❡✈❡r② r❡❧❛t✐♦♥ t♦❣❡t❤❡r ✇✐t❤ Mup✳ ❈❤♦♦s❡ ♠✐♥✐♠❛❧ ❜② ✐♥❝❧✉s✐♦♥ s❡ts✿ t❤✉s✱ ✇❡ ❣❡t ♠❛①✐♠❛❧ ❝❧♦♥❡s ✐♥ Pol(Mup)✳ ❈♦♥s✐❞❡r t❤❡ ❝❧♦s✉r❡ ♦❢ ❛ ♠❛①✐♠❛❧ ❝❧♦♥❡ t♦❣❡t❤❡r ✇✐t❤ ❛♥ ❡ss❡♥t✐❛❧ r❡❧❛t✐♦♥✳ ❈❤♦♦s❡ t❤❡ ♠✐♥✐♠❛❧ ❜② ✐♥❝❧✉s✐♦♥ s❡ts✿ t❤✉s✱ ✇❡ ❣❡t s✉❜♠❛①✐♠❛❧ ❝❧♦♥❡s ✐♥ Pol(Mup)✳ ❘❡♣❡❛t t❤❡ ♣r♦❝❡❞✉r❡ t✐❧❧ ✇❡ ❣❡t Mdown✳

❉♠✐tr✐② ❩❤✉❦ ③❤✉❦✳❞♠✐tr✐②❅❣♠❛✐❧✳❝♦♠ ✭▼♦s❝♦✇ ❙t❛t❡ ❯♥✐✈❡rs✐t②✮ ❖♣❡♥ Pr♦❜❧❡♠s ✐♥ ❈❧♦♥❡ ❚❤❡♦r② ❖♣❡♥ Pr♦❜❧❡♠s ✐♥ ❯❆ ✸✽ ✴ ✹✾

❊①❛♠♣❧❡ ✶ ■♥♣✉t A = {0, 1, 2, 3}✳ Mup = 1 2 3 1 2 3

• Mdown = Inv(m)✱ ✇❤❡r❡ m(x, y, z) =
• y,

✐❢ x = y❀ x, ♦t❤❡r✇✐s❡✳ N = 3✳ ❋✐♥❞ t❤❡ s✉❜❧❛tt✐❝❡ ❜❡t✇❡❡♥ Clo(m) ❛♥❞ Pol 1 2 3 1 2 3

• ✳

❉♠✐tr✐② ❩❤✉❦ ③❤✉❦✳❞♠✐tr✐②❅❣♠❛✐❧✳❝♦♠ ✭▼♦s❝♦✇ ❙t❛t❡ ❯♥✐✈❡rs✐t②✮ ❖♣❡♥ Pr♦❜❧❡♠s ✐♥ ❈❧♦♥❡ ❚❤❡♦r② ❖♣❡♥ Pr♦❜❧❡♠s ✐♥ ❯❆ ✸✾ ✴ ✹✾

Pol 1 2 3 1 2 3

• [{m}]

♥✉♠❜❡r ♦❢ ❝❧♦♥❡s ❂ ✶✾✾ ♥✉♠❜❡r ♦❢ ❧❛②❡rs ❂ ✶✾

❉♠✐tr✐② ❩❤✉❦ ③❤✉❦✳❞♠✐tr✐②❅❣♠❛✐❧✳❝♦♠ ✭▼♦s❝♦✇ ❙t❛t❡ ❯♥✐✈❡rs✐t②✮ ❖♣❡♥ Pr♦❜❧❡♠s ✐♥ ❈❧♦♥❡ ❚❤❡♦r② ❖♣❡♥ Pr♦❜❧❡♠s ✐♥ ❯❆ ✹✵ ✴ ✹✾

❊①❛♠♣❧❡ ✷ ■♥♣✉t A = {0, 1}✳ Mup = ∅ Mdown = {{0, 1}n \ {0}n | n ∈ {1, 2, . . . , 7}} ∪ 1 1 1

• ✳

N = 8✳ ❋✐♥❞ t❤❡ s✉❜❧❛tt✐❝❡ ❜❡t✇❡❡♥ Pol(Mdown) ❛♥❞ Pol(Mup)✳

❉♠✐tr✐② ❩❤✉❦ ③❤✉❦✳❞♠✐tr✐②❅❣♠❛✐❧✳❝♦♠ ✭▼♦s❝♦✇ ❙t❛t❡ ❯♥✐✈❡rs✐t②✮ ❖♣❡♥ Pr♦❜❧❡♠s ✐♥ ❈❧♦♥❡ ❚❤❡♦r② ❖♣❡♥ Pr♦❜❧❡♠s ✐♥ ❯❆ ✹✶ ✴ ✹✾

OA Pol(Mdown)

♥✉♠❜❡r ♦❢ ❝❧♦♥❡s ❂ ✶✹ ♥✉♠❜❡r ♦❢ ❧❛②❡rs ❂ ✽

❉♠✐tr✐② ❩❤✉❦ ③❤✉❦✳❞♠✐tr✐②❅❣♠❛✐❧✳❝♦♠ ✭▼♦s❝♦✇ ❙t❛t❡ ❯♥✐✈❡rs✐t②✮ ❖♣❡♥ Pr♦❜❧❡♠s ✐♥ ❈❧♦♥❡ ❚❤❡♦r② ❖♣❡♥ Pr♦❜❧❡♠s ✐♥ ❯❆ ✹✷ ✴ ✹✾

❊①❛♠♣❧❡ ✸ ■♥♣✉t A = {0, 1, 2}✳ Mup = ∅ Mdown = Inv(m)✱ ✇❤❡r❡ m ✐s ❛ ♠✐♥✐♠❛❧ ♠❛❥♦r✐t② ♦♣❡r❛t✐♦♥✳ N = 3✳ ❋✐♥❞ ❛❧❧ ❝❧♦♥❡s ♦♥ ✸ ❡❧❡♠❡♥ts ❝♦♥t❛✐♥✐♥❣ ❛ ♠❛❥♦r✐t② ♦♣❡r❛t✐♦♥✳

❉♠✐tr✐② ❩❤✉❦ ③❤✉❦✳❞♠✐tr✐②❅❣♠❛✐❧✳❝♦♠ ✭▼♦s❝♦✇ ❙t❛t❡ ❯♥✐✈❡rs✐t②✮ ❖♣❡♥ Pr♦❜❧❡♠s ✐♥ ❈❧♦♥❡ ❚❤❡♦r② ❖♣❡♥ Pr♦❜❧❡♠s ✐♥ ❯❆ ✹✸ ✴ ✹✾

❈❧♦♥❡s ✇✐t❤ ❛ ♠❛❥♦r✐t② ♦♣❡r❛t✐♦♥ OA

❚❤❡r❡ ❛r❡ ❡①❛❝t❧② ✶ ✾✶✽ ✵✹✵ ❝❧♦♥❡s ♦♥ t❤r❡❡ ❡❧❡♠❡♥ts ❝♦♥t❛✐♥✐♥❣ ❛ ♠❛❥♦r✐t② ♦♣❡r❛t✐♦♥✦

❉♠✐tr✐② ❩❤✉❦ ③❤✉❦✳❞♠✐tr✐②❅❣♠❛✐❧✳❝♦♠ ✭▼♦s❝♦✇ ❙t❛t❡ ❯♥✐✈❡rs✐t②✮ ❖♣❡♥ Pr♦❜❧❡♠s ✐♥ ❈❧♦♥❡ ❚❤❡♦r② ❖♣❡♥ Pr♦❜❧❡♠s ✐♥ ❯❆ ✹✹ ✴ ✹✾

❈❧♦♥❡s ✇✐t❤ ❛ ♠❛❥♦r✐t② ♦♣❡r❛t✐♦♥ OA

❚❤❡r❡ ❛r❡ ❡①❛❝t❧② ✶ ✾✶✽ ✵✹✵ ❝❧♦♥❡s ♦♥ t❤r❡❡ ❡❧❡♠❡♥ts ❝♦♥t❛✐♥✐♥❣ ❛ ♠❛❥♦r✐t② ♦♣❡r❛t✐♦♥✦

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❚❤❡r❡ ❛r❡ ❡①❛❝t❧② ✶ ✾✶✽ ✵✹✵ ❝❧♦♥❡s ♦♥ t❤r❡❡ ❡❧❡♠❡♥ts ❝♦♥t❛✐♥✐♥❣ ❛ ♠❛❥♦r✐t② ♦♣❡r❛t✐♦♥✦

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❈❧♦♥❡s ✇✐t❤ ❛ ♠❛❥♦r✐t② ♦♣❡r❛t✐♦♥ OA

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Ord(Pol(C)) > |A|m ✭♦r > 22m✮✳

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