Mers de Particules et S eries hyperg eom etriques Sylvie Corteel - PDF document

Mers de Particules et S´ eries hyperg´ eom´ etriques Sylvie Corteel CNRS PRiSM, Universit´ e de Versailles Saint-Quentin S´ eminaire ALGO, INRIA 26 Janvier 2004 1

manujan’s 1 ψ 1 summation ( a ) n = ( a ; q ) n = � n − 1 i =0 (1 − aq i ) ∞ ( − 1 /a ) n ( zqa ) n = ( − zq ) ∞ ( − z − 1 ) ∞ ( − aq ) ∞ ( − bq ) ∞ � ( bz − 1 ) ∞ ( azq ) ∞ ( q ) ∞ ( abq ) ∞ ( − bq ) n n = −∞ auss ∞ ( − 1 /b ; q ) n ( − 1 /a ; q ) n ( cabq ) n = ( − acq ; q ) ∞ ( − cbq ; q ) ∞ � . ( q ; q ) n ( cq ; q ) n ( cq ; q ) ∞ ( cabq ; q ) ∞ n =0 a = 0 (1 + dq 2 n )( − dq ; q ) n − 1 ( − 1 /b ; q ) n ( − 1 /c ; q ) n ( bc ) n q n ( n +1) / 2 = ( − dq ; q ) ∞ ( − dcbq ; ( q ; q ) n ( bdq ; q ) n ( cdq ; q ) n ( dcq ; q ) ∞ ( dbq ; q 2

artitions ( λ 1 , . . . , λ k ) λ 1 ≥ . . . ≥ λ k = λ 1 + λ 2 + . . . + λ k = k 9 , 9 , 5 , 5 , 3 , 1 , 1) ↔ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 Partitions into parts ≤ n ↔ partitions into ≤ n parts 3

artitions 1 q | λ | z l ( λ ) = (1 + zq i + z 2 q 2 i + z 3 q 3 i + . . . ) = � � ( zq ; q ) ∞ λ ∈ P i ≥ 1 ∞ 1 q | λ | z l ( λ ) = (1 + zq i + z 2 q 2 i + z 3 q 3 i + . . . ) = � � ( zq ; q ) n i =1 λ ∈ P n z k q n 1 � = . ( q ; q ) n ( zq ; q ) ∞ n 0+ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 4

artitions into distinct parts q | λ | z l ( λ ) = � � (1 + zq i ) = ( − zq ; q ) ∞ . i ≥ 1 λ ∈ D q | λ | z l ( λ ) = ( − zq ; q ) n q | λ | z l ( λ ) = ( − z ; q ) n +1 . � � λ ∈ D n λ ∈ D n, ≥ 6 , 3 , 1) ↔ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 z k q ( n +1 2 ) � = ( − zq ; q ) ∞ . ( q ; q ) n n (5 , 4 , 3 , 2 , 1)+ 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 5

verpartitions erpartition : partition of n in which the last occurrence of part can be overlined. (¯ 3) (2 , 1) (¯ 2 , 1) (2 , ¯ 1) (¯ 2 , ¯ 1) (1 , 1 , 1) (1 , 1 , ¯ 1) q | λ | z l ( λ ) = ( − zq ; q ) ∞ q | λ | z l ( λ ) = ( − zq ; q ) n � � . ( zq ; q ) ∞ ( zq ; q ) n λ ∈ O λ ∈ O n (9 , 9 , 9 , ¯ 7 , ¯ 6 , 5 , 5 , 3 , ¯ 3 , 1 , 1 , 1 , ¯ 1) ↔ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 6

binomial theorem (Joichi-Stanton) ( − 1 /a ; q ) m ( azq ) m = ( − zq ; q ) ∞ � ( q ; q ) m ( zaq ; q ) ∞ m S : A partition α into m parts and a partition β into tinct nonnegative parts less than m . S : an overpartition ange α into a particle sea ∈ β : shift i balls to the right. Crash the ( i + 1) th . +(3,0) +(3) 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 7

binomial theorem (Zeilberger) ( − 1 /a ; q ) m ( azq ) m = ( − zq ; q ) ∞ � ( q ; q ) m ( zaq ; q ) ∞ m S : A partition α into m parts and a partition β into tinct nonnegative parts less than m . S : an overpartition ange α into a particle sea ∈ β : Shift the ( i + 1) t h ball to the right by i . Crash it. +(3,0) +(3) 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 8

lat particle seas : pairs of partitions into distinct parts ne into nonnegative parts) 5 , 3 , 2 , 0) + (9 , 8 , 5 , 4 , 2) ↔ −6 −5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 F m ( n ) q n z m = ( − zq ; q ) ∞ ( − 1 /z ; q ) ∞ � cobi Triple product n = −∞ z n q ( n +1 2 ) � ∞ ( − zq ; q ) ∞ ( − 1 /z ; q ) ∞ = ( q ; q ) ∞ ↔ (9 , 9 , 7 , 7 , 6 , 4 , 2) −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 9

−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 −2 −1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 7 2 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 −1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 9 4 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 9 6 1 2 3 4 5 6 7 8 9 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 7 10

cobi Triple product n = −∞ z n q ( n +1 2 ) � ∞ ( − zq ; q ) ∞ ( − 1 /z ; q ) ∞ = ( q ; q ) ∞ 5 , 0) + (9 , 8 , 5 , 4 , 2) −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 −2 −1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 6 2 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 −1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 6 2 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 8 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 8 2 ↔ (8 , 8 , 6 , 6 , 2 , 2 , 2 , 2) Itzykson, Wright. 11

article seas : pairs of overpartitions (one into ≥ 0 parts) 9 , 9 , ¯ 7 , ¯ 6 , 5 , 5 , 3 , ¯ 3 , 1 , 1 , 1 , ¯ 1) + (6 , 5 , 5 , ¯ 4 , ¯ 2 , 1 , ¯ 1) ↔ −6 −5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 S m ( n, k, l ) q n a k b l z m = ( − zq ; q ) ∞ ( − 1 /z ; q ) ∞ � ( zaq ; q ) ∞ ( b/z ; q ) ∞ amanujan’s 1 ψ 1 summation ∞ ( − zq ) ∞ ( − z − 1 ) ∞ ( − 1 /a ) n ( zqa ) n = ( − aq ) ∞ ( − bq ) ∞ � ( bz − 1 ) ∞ ( azq ) ∞ ( q ) ∞ ( abq ) ∞ ( − bq ) n n = −∞ 12

( − zq ) ∞ ( − z − 1 ) ∞ ( − 1 /b ) b m � (1 /a ) n ( aq ) n ( q ) n = ( bz − 1 ) ∞ ( azq ) ∞ ( q ) m m,n rpret each summand as a particule sea with m green balls on the positive side and n blue balls on the positive side. ight = abscissas of the green balls of the nonpositive side + abscissas the blue balls of the positive side. −6 −5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 13

] 1 ψ 1 [ z 0 ]( − zq ) ∞ ( − z − 1 ) ∞ = ( − aq ) ∞ ( − bq ) ∞ ( bz − 1 ) ∞ ( azq ) ∞ ( q ) ∞ ( abq ) ∞ Gauss ( − 1 /a ) n ( − 1 /b ) n ( abq ) n = ( − aq ) ∞ ( − bq ) ∞ � . ( q ) n ( q ) n ( q ) ∞ ( abq ) ∞ n 4 3 2 1 0 1 2 3 4 ↔ (¯ 7 , ¯ 4 , 2 , 2 , ¯ 1) + (¯ 6 , 2 , ¯ 2 , ¯ 1) . 14

3 2 1 0 1 2 3 4 3 2 1 0 1 2 3 4 1 0 1 3 2 1 0 1 2 3 4 3 2 1 0 1 2 3 4 1 0 1 3 2 1 0 1 2 3 4 2 1 0 1 2 3 4 0 1 ↔ (¯ 7 , ¯ 4 , 2 , 2 , ¯ 1) + (¯ 6 , 2 , ¯ 2 , ¯ 1) . 15

amanujan’s 1 ψ 1 summation ∞ ( − zq ) ∞ ( − z − 1 ) ∞ ( − 1 /a ) n ( zqa ) n = ( − aq ) ∞ ( − bq ) ∞ � ( bz − 1 ) ∞ ( azq ) ∞ ( q ) ∞ ( abq ) ∞ ( − bq ) n n = −∞ A n = [ z n ]( − zq ; q ) ∞ ( − z − 1 ; q ) ∞ ( bz − 1 ; q ) ∞ ( azq ; q ) ∞ ( − 1 /a ) n ( zqa ) n A 0 = ( − aq ) ∞ ( − bq ) ∞ A n = A 0 ( q ) ∞ ( abq ) ∞ ( − bq ) n n − 1 n n n � � � � ( b + q i ) = A − n (1+ aq i ); A 0 q n ( a + q i − 1 ) = A n 0 A 0 (1+ i =0 i =1 i =1 i =1 16

� 4 � 3 xample n = − 4 i =1 (1 + aq i ) = A 0 i =0 ( b + q i ) A − 4 (3) 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 2 1 0 1 2 3 4 5 (2) 2 1 0 1 2 3 4 5 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 (3,2) 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 17

arther? 6 φ 5 ∞ (1+ dq 2 n )( − dq ; q ) n − 1 ( − 1 /b ; q ) n ( − 1 /c ; q ) n ( − d/a ; q ) n ( abcq ) n � = ( q ; q ) n ( bdq ; q ) n ( cdq ; q ) n ( aq ; q ) n n =0 ( − acq ; q ) ∞ ( − abq ; q ) ∞ ( − dq ; q ) ∞ ( − dcbq ; q ) ∞ ( dcq ; q ) ∞ ( dbq ; q ) ∞ . ( aq ; q ) ∞ ( cabq ; q ) ∞ 0 : q -Gauss 0 : (1 + dq 2 n )( − dq ; q ) n − 1 ( − 1 /b ; q ) n ( − 1 /c ; q ) n ( bc ) n q n ( n +1) / 2 = ( − dq ; q ) ∞ ( − dcbq ; ( q ; q ) n ( bdq ; q ) n ( cdq ; q ) n ( dcq ; q ) ∞ ( dbq ; q 18

olored particle seas ink squares appear in the positive quarter and do not appear on the o-line reen particules and yellow, purple and blue squares appear on the zero . wo blue squares do not appear consecutively. etween two green balls, squares can be yellow then purple then blue. umber of squares in the positive quarter = number of balls in the positive quarter. ight : abscissas of the green particules in the nonpositive quarter and cisses of the squares in the positive quarter. 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 19

4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 s ∈ C q | s | b pink( s )+purple( s ) c pi( s )+blue( s ) � ( − q ; q ) n − 1 (1+ q 2 n ) q n ( n − 1) / 2 ( − 1 /b ; q ) n ( − 1 /c ; q ) n ( qbc ) n = � . n ( bq ; q ) n ( cq ; q ) n ( q ; q ) n 8 ↔ (10 , ¯ 10 , 4 , ¯ 4) + (¯ 8 , 6 , ¯ 2) 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 (1 + dq 2 n )( − dq ; q ) n − 1 ( − 1 /b ; q ) n ( − 1 /c ; q ) n ( bc ) n q n ( n +1) / 2 = ( − dq ; q ) ∞ ( − dcbq ; ( q ; q ) n ( bdq ; q ) n ( cdq ; q ) n ( dcq ; q ) ∞ ( dbq ; q 20

4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 0 1 2 3 4 5 6 7 8 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 ↔ (10 , ¯ 10 , 4 , ¯ 4) + (¯ 8 , 6 , ¯ 2) 21

ew results (Yee) ( − zq ) ∞ ( − z − 1 ) ∞ ( − 1 /b ) b m � (1 /a ) n ( aq ) n ( q ) n = ( bz − 1 ) ∞ ( azq ) ∞ ( q ) m m,n n Interpret each summand as a partition into parts ≤ m and a ticule sea m green (resp. n blue) balls on the nonpositive (resp. itive) side. Nonpositive side : all the balls not on the zero line have l abscissa. ample : m = n = 6 22

(4,3,2,2)+ 3 2 1 0 1 2 3 4 0 1 2 3 4 0 1 2 3 4 3 2 1 0 1 2 3 4 0 1 2 3 4 0 1 2 3 4 ↔ (¯ 6 , 4 , ¯ 3 , 1 , 1) + (4 , ¯ 4 , 3 , 2 , 2)    n ( cq,cq n − m +1 ab ; q ) m ( cabq ) m = ( − caq, − cbq ; q ) n faff � n ( − 1 /a, − 1 /b ; q ) m  m =0 ( cq,cabq ; q ) n m 23