Intervalo de Confianc a - Margem de Erro Tatiene Correia de Souza / - - PowerPoint PPT Presentation

Intervalo de Confianc ¸a - Margem de Erro

Tatiene Correia de Souza / UFPB tatiene@de.ufpb.br October 26, 2014

Souza () Intervalo de Confianc ¸a - Margem de Erro October 26, 2014 1 / 31

Margem de erro - relat´

• rios da m´

ıdia

A pesquisa com adolescentes na volta ` as aulas em 1998 incluiu a afirmac ¸ ˜ ao: margem de erro ±3.1%. A maioria das pesquisas ´ e acompanhada por alguma afirmac ¸ ˜ ao semelhante. Al´ em de margem de erro, podemos encontrar tamb´ em: erro amostral, erro m´ aximo da pesquisa, erro estat´ ıstico, entre outros.

Souza () Intervalo de Confianc ¸a - Margem de Erro October 26, 2014 2 / 31

O que ´ e margem de erro

Tecnicamente a margem de erro ´ e o termo adicionado e subtra´ ıdo do estimador para formar um intervalo de confianc ¸a. Por exemplo, usando um n´ ıvel de confianc ¸a de 95%, a margem de erro para proporc ¸ ˜ ao ˆ p, assim, margem ´ e igual 1, 96 ˆ p(1 − ˆ p)/n De forma geral, podemos escrever do valor do erro amostral m´ aximo como: emax = Ztab σ √n

Souza () Intervalo de Confianc ¸a - Margem de Erro October 26, 2014 3 / 31

Estimativas por intervalo de confianc ¸a

Motivac ¸ ˜ ao

Diferentes pesquisadores, selecionando amostras de uma mesma populac ¸ ˜ ao, poder˜ ao obter estimativas obter estimativas pontuais diferentes para o mesmo parˆ ametro populacional. Isto est´ a relacionado com o que denominamos de variabilidade amostral do estimador pontual. Uma forma mais apropriada seria construir um estimador que levasse em considerac ¸ ˜ ao essa variabilidade. Este seria

• estimador por intervalo que combina o estimador pontual com o erro

amostral m´ aximo esperado.

Souza () Intervalo de Confianc ¸a - Margem de Erro October 26, 2014 4 / 31

Os limites inferir (LI) e o superior (LS) de um intervalo de confianc ¸a para um parˆ ametro θ ´ e dado por: LI = ˆ θ − emax e LS = ˆ θ + emax

Souza () Intervalo de Confianc ¸a - Margem de Erro October 26, 2014 5 / 31

Intervalo de confianc ¸a para m´ edia populacional

Aqui precisamos considerar dois casos:

1

Desvio padr˜ ao da populac ¸ ˜ ao ´ e conhecido (usar tabela da normal);

2

Desvio padr˜ ao da populac ¸ ˜ ao n˜ ao ´ e conhecido (usar tabela da distribuic ¸ ˜ ao t).

Souza () Intervalo de Confianc ¸a - Margem de Erro October 26, 2014 6 / 31

Consideremos uma amostra aleat´

• ria simples X1, ..., Xn obtida de uma

populac ¸ ˜ ao com distribuic ¸ ˜ ao Normal, com m´ edia µ e variˆ ancia σ2

• conhecida. Desta forma, a distribuic

¸ ˜ ao amostral da m´ edia tamb´ em ´ e Normal com m´ edia µ e variˆ ancia σ2, ou seja X ∼ N

• µ, σ2

n

• .

Assim, temos que Z = X − µ

σ √n

∼ N(0, 1), isto ´ e, a vari´ avel Z tem distribuic ¸ ˜ ao Normal padronizada. Consideremos que a probabilidade da vari´ avel Z tomar valores entre −Zα/2 e Zα/2 ´ e 1 − α.

Souza () Intervalo de Confianc ¸a - Margem de Erro October 26, 2014 7 / 31

Ent˜ ao, temos que P[−Zα/2 ≤ Z ≤ Zα/2] = (1 − α)

• u seja,

P

• −Zα/2 ≤ X − µ

σ √n

≤ Zα/2

• = (1 − α)
• que implica que

P

• X − Zα/2

σ √n ≤ µ ≤ X + Zα/2 σ √n

• = 1 − α.

Com isso, o intervalo de confianc ¸a da m´ edia ´ e dado por IC(µ, 1 − α) =

• X − Zα/2

σ √n; X + Zα/2 σ √n

• .

Souza () Intervalo de Confianc ¸a - Margem de Erro October 26, 2014 8 / 31

Exemplo

A distribuic ¸ ˜ ao dos pesos de pacotes de sementes de milho, enchidos automaticamente por uma certa m´ aquina, ´ e normal com desvio padr˜ ao, σ, conhecido e igual a 0,20kg. Uma amostra de 15 pacotes retirada ao acaso apresentou os seguintes pesos, em kg: 20, 05; 20, 10; 20, 25; 19, 78; 19, 69, 19, 90; 20, 20; 19, 89; 19, 70; 20, 30; 19, 93; 20, 25; 20, 18; 20, 01; 20, 09 Construir os intervalos de confianc ¸a de 95% e 99% para o peso m´ edio dos pacotes de sementes de milho.

Souza () Intervalo de Confianc ¸a - Margem de Erro October 26, 2014 9 / 31

Desvio padr˜ ao populacional desconhecido

Na maioria das situac ¸ ˜

• es pr´

aticas, o desvio padr˜ ao da populac ¸ ˜ ao σ n˜ ao ´ e conhecido. Nessas situac ¸ ˜

• es, ele ´

e substitu´ ıdo por pelo seu estimador S, desvio padr˜ ao amostral. Essa substituic ¸ ˜ ao causa uma alterac ¸ ˜ ao na distribuic ¸ ˜ ao de probabilidade a ser considerada. O valor a ser utilizado ´ e obtido a partir de distribuic ¸ ˜ ao t com n − 1 graus de liberdade.

Distribuic ¸ ˜ ao t

Assim como a distribuic ¸ ˜ ao normal, a distribuic ¸ ˜ ao t ´ e sim´ etrica, com m´ edia zero, por´ em apresenta maior quantidade de dados nos extremos da distribuic ¸ ˜ ao.

Souza () Intervalo de Confianc ¸a - Margem de Erro October 26, 2014 10 / 31

Tendo os conceitos b´ asicos sobre intervalos de confianc ¸a, vamos agora tratar uma situac ¸ ˜ ao mais realista: quando a variˆ ancia σ2 da populac ¸ ˜ ao ´ e desconhecida. Consideremos uma amostra aleat´

• ria simples X1, X2, ..., Xn, obtida de

uma populac ¸ ˜ ao com distribuic ¸ ˜ ao Normal, com m´ edia µ e variˆ ancia σ2

• desconhecidas. Como neste caso a variˆ

ancia ´ e desconhecida, utilizaremos a variˆ ancia amostral S2. Assim, temos que T = X − µ s/√n ∼ t(n−1)

• u seja, a vari´

avel T tem distribuic ¸ ˜ ao t-Student com n − 1 graus de liberdade. Ent˜ ao, ao fixarmos o n´ ıvel de significˆ ancia α, obtemos da Tabela da distribuic ¸ ˜ ao t-Student com (n − 1) graus de liberdade, o valor t((n−1),α/2), que satisfaz P[−t((n−1),α/2) ≤ T ≤ t((n−1),α/2)] = 1 − α

Souza () Intervalo de Confianc ¸a - Margem de Erro October 26, 2014 11 / 31

Analogamente ao caso anterior, obtemos que P

• −t((n−1),α/2) ≤ X − µ

s/√n ≤ t((n−1),α/2)

• = 1 − α
• u seja,

P

• X − t((n−1),α/2)

s √n ≤ µ ≤ X + t((n−1),α/2) s √n

• = 1 − α.

Logo, o intervalo com 100(1 − α)% de confianc ¸a para ?, com variˆ ancia desconhecida, ser´ a dado por IC(µ, 1 − α) =

• X − tα/2

s √n; X + tα/2 s √n

• .

Souza () Intervalo de Confianc ¸a - Margem de Erro October 26, 2014 12 / 31

Exemplo

Os res´ ıduos industriais jogados nos rios, muitas vezes, absorvem o

• xigˆ

enio necess´ ario ` a respirac ¸ ˜ ao de peixes e de outras formas de vida aqu´

• atica. Um lei estadual exige um valor m´

edio n˜ ao inferior a 5 ppm de oxigˆ enio dissolvido, cujo conte´ udo seja suficiente para manter vida aqu´

• atica. Seis amostras de ´

agua retiradas de um rio revelaram os ´ ındices: 4,9; 5,1; 4,9; 5,0; 5,0 e 4,7 ppm de oxigˆ enio dissolvido. Construir o intervalo com 95% de confianc ¸a para a verdadeira m´ edia de oxigˆ enio dissolvido, em ppm e interprete.

Souza () Intervalo de Confianc ¸a - Margem de Erro October 26, 2014 13 / 31

Determinac ¸ ˜ ao do tamanho amostral

Vimos que o processo de estimac ¸ ˜ ao envolve um erro que denominamos de erro amostral. A magnitude desses erros est´ a relacionada com o tamanho da amostra. Temos que n = ztabσ emax 2 Podemos observar que o tamanho da amostra depende do grau de confianc ¸a, do desvio padr˜ ao da populac ¸ ˜ ao e do erro amostral m´ aximo desejado.

Exemplo

Com relac ¸ ˜ ao ao exemplo dos pacotes de sementes de milho, qual tamanho de amostra ser´ a necess´ ario coletar para garantir um erro amostral de no m´ aximo 0,05 kg, com 95% confianc ¸a na estimac ¸ ˜ ao do verdadeiro valor m´ edio?

Souza () Intervalo de Confianc ¸a - Margem de Erro October 26, 2014 14 / 31

• cont. exemplo

Ou seja, desejamos determinar um tamanho amostral de modo que tenhamos 95% de confianc ¸a de que a m´ edia da amostra difira de (no m´ aximo) 0,05 kg para mais ou para menos da m´ edia da populac ¸ ˜ ao. n = 1, 960, 20 0, 05 2 ∼ = 62 Portanto, vamos necessitar de uma amostra aleat´

• ria de 62 pacotes

de milho para estimar a m´ edia populacional com precis˜ ao e a confianc ¸a desejadas.

Souza () Intervalo de Confianc ¸a - Margem de Erro October 26, 2014 15 / 31

Executivos-chefe desaprovam romances no ambiente de trabalho?

Ouvimos ao longo dos anos que empresas que desencorajam relacionamentos entre funcion´ arios, at´ e mesmo a ponto de proibir que maridos e esposas trabalhem juntos. Se duas pessoas casassem, um deveria sair. Na Fortune de 1994 foi relatada uma pesquisa feita com 200 executivos-chefe de empresas americanas, que explorou quest˜

• es ligadas ao relacionamento entre funcion´

arios de uma mesma

• empresa. Os executivos foram indagados: Vocˆ

e aprova ou desaprova romances no ambiente de trabalho entre funcion´ arios n˜ ao-casados? Vocˆ e diria que a empresa n˜ ao deve interferir nessa quest˜ ao? 70% dos executivos disseram que a empresa n˜ ao deve interferir neste assunto. Como poder´ ıamos apresentar esse percentual adotando uma certa confiabilidade?

Souza () Intervalo de Confianc ¸a - Margem de Erro October 26, 2014 16 / 31

Executivos-chefe desaprovam romances no ambiente de trabalho?

Ouvimos ao longo dos anos que empresas que desencorajam relacionamentos entre funcion´ arios, at´ e mesmo a ponto de proibir que maridos e esposas trabalhem juntos. Se duas pessoas casassem, um deveria sair. Na Fortune de 1994 foi relatada uma pesquisa feita com 200 executivos-chefe de empresas americanas, que explorou quest˜

• es ligadas ao relacionamento entre funcion´

arios de uma mesma

• empresa. Os executivos foram indagados: Vocˆ

e aprova ou desaprova romances no ambiente de trabalho entre funcion´ arios n˜ ao-casados? Vocˆ e diria que a empresa n˜ ao deve interferir nessa quest˜ ao? 70% dos executivos disseram que a empresa n˜ ao deve interferir neste assunto. Como poder´ ıamos apresentar esse percentual adotando uma certa confiabilidade?

Souza () Intervalo de Confianc ¸a - Margem de Erro October 26, 2014 16 / 31

Executivos-chefe desaprovam romances no ambiente de trabalho?

Ouvimos ao longo dos anos que empresas que desencorajam relacionamentos entre funcion´ arios, at´ e mesmo a ponto de proibir que maridos e esposas trabalhem juntos. Se duas pessoas casassem, um deveria sair. Na Fortune de 1994 foi relatada uma pesquisa feita com 200 executivos-chefe de empresas americanas, que explorou quest˜

• es ligadas ao relacionamento entre funcion´

arios de uma mesma

• empresa. Os executivos foram indagados: Vocˆ

e aprova ou desaprova romances no ambiente de trabalho entre funcion´ arios n˜ ao-casados? Vocˆ e diria que a empresa n˜ ao deve interferir nessa quest˜ ao? 70% dos executivos disseram que a empresa n˜ ao deve interferir neste assunto. Como poder´ ıamos apresentar esse percentual adotando uma certa confiabilidade?

Souza () Intervalo de Confianc ¸a - Margem de Erro October 26, 2014 16 / 31

Com 95% de confianc ¸a, a verdadeira proporc ¸ ˜ ao de todos os executivos que s˜ ao de opini˜ ao de que a empresa n˜ ao deve inferir em assuntos de romance no ambiente de trabalho ´ e algo entre 64% e 77%. Como vocˆ e acha que esses valores foram obtidos? Suponha que algu´ em nos pec ¸a essa informac ¸ ˜ ao como mais confianc ¸a, por exemplo, 99%. O que vocˆ e acha que deve acontecer? E se fosse com 90%?

Souza () Intervalo de Confianc ¸a - Margem de Erro October 26, 2014 17 / 31

Intervalo de confianc ¸a da proporc ¸ ˜ ao

O parˆ ametro de p - a proporc ¸ ˜ ao de todos os indiv´ ıduos na populac ¸ ˜ ao com a caracter´ ıstica de interesse. A estimativa de p ´ e a proporc ¸ ˜ ao amostral ˆ p, a proporc ¸ ˜ ao de indiv´ ıduos inclu´ ıdos na pesquisa com aquela caracter´ ıstica. Quando n ´ e grande, temos que a distribuic ¸ ˜ ao de

ˆ p−p

√

p(1−p)/n ´

e aproximadamente N(0, 1). Portanto, o intervalo de confianc ¸a para proporc ¸ ˜ ao ´ e dado por ˆ p ± ztabep(ˆ p)

Souza () Intervalo de Confianc ¸a - Margem de Erro October 26, 2014 18 / 31

Voltemos ao exemplo dos executivos...

Dos 100 intervalos de confianc ¸a constru´ ıdos ´ e esperado que em 95%, a verdadeira proporc ¸ ˜ ao de todos os executivos-chefe americanos que s˜ ao de opini˜ ao que a empresa n˜ ao deveria interferir em assuntos de romance no ambiente de trabalho ´ e algo entre 64% e 77%. Pergunta: Como vocˆ e acha que chegaram a essa conclus˜ ao?

Souza () Intervalo de Confianc ¸a - Margem de Erro October 26, 2014 19 / 31

Tamanho amostral - proporc ¸ ˜ ao

Suponha que queremos estimar a proporc ¸ ˜ ao da populac ¸ ˜ ao portadora de hepatite B, usando uma amostra aleat´

• ria dessa populac

¸ ˜ ao. Queremos que o tamanho da amostra seja grande o suficiente, de modo que a margem de erro de nossa estimativa seja aceit´ avel, digamos, n˜ ao maior do que 3%. Lembrem-se: sabemos que o intervalo de confianc ¸a da proporc ¸ ˜ ao ´ e dado por: ˆ p ± ztabep(ˆ p). Portanto, queremos que ztabep(ˆ p) < 0, 03. Note que n˜ ao temos informac ¸ ˜

• es sobre ˆ
• p. Neste caso ´

e razo´ avel fazermos ˆ p = 0.5. Ent˜ ao, considerando os dados da quest˜ ao, temos: O tamanho m´ ınimo da amostra ´ e aproximadamente 1067 ((1, 96/0, 03)2x0, 5x0, 5).

Souza () Intervalo de Confianc ¸a - Margem de Erro October 26, 2014 20 / 31

• cont. Tamanho amostral - proporc

¸ ˜ ao

Pergunta: O que vocˆ e achou o valor do tamanho amostral encontrado? Grande? Nota: O uso de p = 0.5 ´ e uma ‘´ e uma adivinhac ¸ ˜ ao segura’ que garante que uma margem de erro n˜ ao maior do que o emax. Se vocˆ e soubesse que a verdadeira proporc ¸ ˜ ao est´ a pr´

• xima de 0 ou 1, usar

p = 0.5 lhe conduzir´ a a tomar uma amostra muito maior (mais cara) do que o estritamente necess´ ario.

Exerc´ ıcio

Considerando os dados da quest˜ ao anterior, obtenha o tamanho amostral necess´ ario quando: a) p = 0, 3; n ∼

= 896

b) p = 0, 9; n ∼

= 384

Souza () Intervalo de Confianc ¸a - Margem de Erro October 26, 2014 21 / 31

Exerc´ ıcio

Calcule o tamanho amostral necess´ ario para que a margem de erro para uma verdadeira proporc ¸ ˜ ao p n˜ ao seja maior do que 2% sob as seguintes circunstˆ

• ancias. Adote uma confianc

¸a de 95%. a) Vocˆ e n˜ ao quer fazer nenhuma suposic ¸ ˜ ao sobre o valor de p.

n = 2401

b) Vocˆ e est´ a seguro de que p < 0, 15. n ∼

= 1225

c) Vocˆ e est´ a seguro de que p > 0, 85. n ∼

= 1225

Souza () Intervalo de Confianc ¸a - Margem de Erro October 26, 2014 22 / 31

Comparac ¸ ˜ ao de duas m´ edias

Banford et al. [1982] notaram que as concentrac ¸ ˜

• es de tiol dentro de

c´ elulas sangu´ ıneas humanas s˜ ao raramente determinadas em estudos cl´ ınicos. Os autores divulgaram um novo m´ etodo confi´ avel para medir a concentrac ¸ ˜ ao de tiol e demostraram que, em pelo menos uma doenc ¸a (artrite reumatoide), a mudanc ¸a na condic ¸ ˜ ao do tiol na lisina das c´ elulas sangu´ ıneas cheias ´ e substancial. Havia dois grupos volunt´

• arios. O primeiro grupo que era ‘normal’ e o segundo, que sofria

de artrite reumatoide.

Souza () Intervalo de Confianc ¸a - Margem de Erro October 26, 2014 23 / 31

• cont. Comparac

¸ ˜ ao de duas m´ edias

Concentrac ¸ ˜ ao de tiol no grupo ‘normal’ - Grupo 1: 1,84; 1,92; 1,94; 1,92; 1,85; 1,91; 2,07. Concentrac ¸ ˜ ao de tiol no grupo ‘reumatoide’ - Grupo 2: 2,81; 4,06; 3,62; 3,27; 3,27; 3,76. Tamanho amostral do Grupo 1 = 7; m´ edia amostral = 1,92 e desvio-padr˜ ao amostral 0,075. Tamanho amostral do Grupo 2 = 6; m´ edia amostral = 3,46 e desvio-padr˜ ao amostral 0,440.

Souza () Intervalo de Confianc ¸a - Margem de Erro October 26, 2014 24 / 31

Intervalo de confianc ¸a para diferenc ¸a de m´ edias - variˆ ancias conhedidas

Intervalos de confianc ¸a para uma diferenc ¸a entre m´ edias populacionais (µ1 − µ2): (x1 − x2) ± ztabep(x1 − x2), em que ep(x1 − x2) =

• σ2

1

n1 + σ2

2

n2 , ztab ´

e o quantil da distribuic ¸ ˜ ao normal.

Souza () Intervalo de Confianc ¸a - Margem de Erro October 26, 2014 25 / 31

Intervalo de confianc ¸a para diferenc ¸a de m´ edias - variˆ ancias desconhedidas e iguais

Intervalos de confianc ¸a para uma diferenc ¸a entre m´ edias populacionais (µ1 − µ2): (x1 − x2) ± ttabep(x1 − x2), em que ep(x1 − x2) =

• s2

1

n1 + s2

2

n2 , ttab ´

e o quantil da distribuic ¸ ˜ ao t com n1 + n2 − 2 graus de liberdade.

Souza () Intervalo de Confianc ¸a - Margem de Erro October 26, 2014 26 / 31

Intervalo de confianc ¸a para diferenc ¸a de m´ edias - variˆ ancias desconhedidas e diferentes

Intervalos de confianc ¸a para uma diferenc ¸a entre m´ edias populacionais (µ1 − µ2): (x1 − x2) ± ttabep(x1 − x2), em que ep(x1 − x2) =

• s2

1

n1 + s2

2

n2 , ttab ´

e o quantil da distribuic ¸ ˜ ao t com ν graus de liberdade, onde ν = s2

1

n1 + s2

2

n2

2

• s2

1 n1

2 n1−1 +

• s2

2 n2

2 n2−1

.

Souza () Intervalo de Confianc ¸a - Margem de Erro October 26, 2014 27 / 31

Voltando ao exemplo...

Temos que xR − xN = 3, 465 − 1, 921 = 1, 544; ep(xR − xN) =

• s2

R

nR + s2

N

nN = 0, 182; ν = 5.25; ttab = 2, 571. Portanto o

intervalo de confianc ¸a de 95% ´ e dado por: IC(µR − µN) = [1, 08; 2, 01]. Ou seja, com 95% de confianc ¸a, a verdadeira m´ edia da concentrac ¸ ˜ ao de tiol para populac ¸ ˜ ao com artrite reumatoide excede aquela para a populac ¸ ˜ ao normal por algo entre 1,08 e 2,01. Podemos dizer ainda que estamos 95% confiantes de que um intervalo entre 1,08 e 2,01 contem a diferenc ¸a das m´ edia populacionais para concentrac ¸ ˜ ao de tiol em pacientes com artrite e sem artrite. O fato que nos chama atenc ¸ ˜ ao ´ e que ambos limites s˜ ao positivos o que indica que a m´ edia da concentrac ¸ ˜ ao de tiol em pacientes com artrite ´ e maior do que em pacientes sem artrite.

Souza () Intervalo de Confianc ¸a - Margem de Erro October 26, 2014 28 / 31

Exemplo das pilhas

Um artigo publicado em 1983 comparou v´ arios tipos de pilhas. A vida ´ util m´ edia das pilhas alcalinas AA Duracell e das pilhas alcalinas AA da marca B foi dada por 4,1 horas e 4,5 horas, respectivamente. Suponha que X seja a m´ edia amostral de 100 pilhas Duracell e Y seja a m´ edia amostral de 100 pilhas da marca B. Qual o valor m´ edio de X − Y? Sua resposta depende do tamanho amostral? Justifique. a Suponha que os desvios padr˜ ao da vida ´ util da populac ¸ ˜ ao seja, 1,8 hora para pilhas Duracell e 2,0 horas para pilha tipo B. Qual a variˆ ancia de X − Y? b

a-0.4 b0.0724 Souza () Intervalo de Confianc ¸a - Margem de Erro October 26, 2014 29 / 31

• cont. exemplo pilha

Como vocˆ e construiria o intervalo de confianc ¸a para diferenc ¸a das m´ edias da vida ´ util das pilhas?

Souza () Intervalo de Confianc ¸a - Margem de Erro October 26, 2014 30 / 31

Os alunos universit´ arios do sexo masculino se cansam mais do que suas colegas?

Essa pergunta foi avaliada no paper publicado em 1991. Os autores administraram uma escalam chamada de propens˜ ao ao cansac ¸o a 97 homens e 148 mulheres de uma universidade dos Estados Unidos. Os dados apoiam a hip´

• tese da pesquisa de que o graus de propens˜

ao ao cansac ¸o m´ edio ´ e maior para os homens que para as mulheres? Apresente o intervalo de confianc ¸a para a diferenc ¸a das m´ edias. homens: nH = 97; xH = 10, 40 e SH = 4, 83. mulheres: nM = 148; xM = 9, 26 e SM = 4, 68.

Souza () Intervalo de Confianc ¸a - Margem de Erro October 26, 2014 31 / 31