Intervalo de Confianc ¸a - Margem de Erro Tatiene Correia de Souza / UFPB tatiene@de.ufpb.br October 26, 2014 Souza () Intervalo de Confianc ¸a - Margem de Erro October 26, 2014 1 / 31
Margem de erro - relat´ orios da m´ ıdia A pesquisa com adolescentes na volta ` as aulas em 1998 incluiu a afirmac ¸ ˜ ao: margem de erro ± 3 . 1 % . A maioria das pesquisas ´ e ¸ ˜ ao semelhante. Al´ acompanhada por alguma afirmac em de margem de erro , podemos encontrar tamb´ em: erro amostral , erro m´ aximo da pesquisa , erro estat´ ıstico , entre outros. Souza () Intervalo de Confianc ¸a - Margem de Erro October 26, 2014 2 / 31
O que ´ e margem de erro Tecnicamente a margem de erro ´ e o termo adicionado e subtra´ ıdo do estimador para formar um intervalo de confianc ¸a. Por exemplo, usando um n´ ıvel de confianc ¸a de 95%, a margem de erro para � ˆ ao ˆ p ( 1 − ˆ proporc ¸ ˜ p , assim, margem ´ e igual 1 , 96 p ) / n De forma geral, podemos escrever do valor do erro amostral m´ aximo como: σ √ n e max = Z tab Souza () Intervalo de Confianc ¸a - Margem de Erro October 26, 2014 3 / 31
Estimativas por intervalo de confianc ¸a Motivac ¸ ˜ ao Diferentes pesquisadores, selecionando amostras de uma mesma populac ¸ ˜ ao, poder˜ ao obter estimativas obter estimativas pontuais diferentes para o mesmo parˆ ametro populacional. Isto est´ a relacionado com o que denominamos de variabilidade amostral do estimador pontual. Uma forma mais apropriada seria construir um estimador que levasse em considerac ¸ ˜ ao essa variabilidade. Este seria o estimador por intervalo que combina o estimador pontual com o erro amostral m´ aximo esperado. Souza () Intervalo de Confianc ¸a - Margem de Erro October 26, 2014 4 / 31
Os limites inferir (LI) e o superior (LS) de um intervalo de confianc ¸a para um parˆ ametro θ ´ e dado por: LI = ˆ θ − e max e LS = ˆ θ + e max Souza () Intervalo de Confianc ¸a - Margem de Erro October 26, 2014 5 / 31
Intervalo de confianc ¸a para m´ edia populacional Aqui precisamos considerar dois casos: Desvio padr˜ ¸ ˜ ao ´ ao da populac e conhecido (usar tabela da normal); 1 Desvio padr˜ ao da populac ¸ ˜ ao n˜ ao ´ e conhecido (usar tabela da 2 ¸ ˜ distribuic ao t ). Souza () Intervalo de Confianc ¸a - Margem de Erro October 26, 2014 6 / 31
Consideremos uma amostra aleat´ oria simples X 1 , ..., X n obtida de uma ancia σ 2 populac ¸ ˜ ao com distribuic ¸ ˜ ao Normal, com m´ edia µ e variˆ conhecida. Desta forma, a distribuic ¸ ˜ ao amostral da m´ edia tamb´ em ´ e ancia σ 2 , ou seja Normal com m´ edia µ e variˆ µ, σ 2 � � X ∼ N . n Assim, temos que Z = X − µ ∼ N ( 0 , 1 ) , σ √ n isto ´ e, a vari´ ¸ ˜ avel Z tem distribuic ao Normal padronizada. Consideremos que a probabilidade da vari´ avel Z tomar valores entre − Z α/ 2 e Z α/ 2 ´ e 1 − α . Souza () Intervalo de Confianc ¸a - Margem de Erro October 26, 2014 7 / 31
Ent˜ ao, temos que P [ − Z α/ 2 ≤ Z ≤ Z α/ 2 ] = ( 1 − α ) ou seja, � � − Z α/ 2 ≤ X − µ ≤ Z α/ 2 = ( 1 − α ) P σ √ n o que implica que � σ σ � √ n ≤ µ ≤ X + Z α/ 2 √ n P X − Z α/ 2 = 1 − α. Com isso, o intervalo de confianc ¸a da m´ edia ´ e dado por � σ σ � IC ( µ, 1 − α ) = X − Z α/ 2 √ n ; X + Z α/ 2 √ n . Souza () Intervalo de Confianc ¸a - Margem de Erro October 26, 2014 8 / 31
Exemplo A distribuic ¸ ˜ ao dos pesos de pacotes de sementes de milho, enchidos automaticamente por uma certa m´ aquina, ´ e normal com desvio padr˜ ao, σ , conhecido e igual a 0,20kg. Uma amostra de 15 pacotes retirada ao acaso apresentou os seguintes pesos, em kg: 20 , 05 ; 20 , 10 ; 20 , 25 ; 19 , 78 ; 19 , 69 , 19 , 90 ; 20 , 20 ; 19 , 89 ; 19 , 70 ; 20 , 30 ; 19 , 93 ; 20 , 25 ; 20 , 18 ; 20 , 01 ; 20 , 09 Construir os intervalos de confianc ¸a de 95% e 99% para o peso m´ edio dos pacotes de sementes de milho. Souza () Intervalo de Confianc ¸a - Margem de Erro October 26, 2014 9 / 31
Desvio padr˜ ao populacional desconhecido Na maioria das situac ¸ ˜ oes pr´ aticas, o desvio padr˜ ao da populac ¸ ˜ ao σ n˜ ao ´ ¸ ˜ oes, ele ´ e conhecido. Nessas situac e substitu´ ıdo por pelo seu estimador S , desvio padr˜ ao amostral. Essa substituic ¸ ˜ ao causa uma ¸ ˜ ¸ ˜ alterac ao na distribuic ao de probabilidade a ser considerada. O valor a ser utilizado ´ e obtido a partir de distribuic ¸ ˜ ao t com n − 1 graus de liberdade. Distribuic ¸ ˜ ao t ¸ ˜ ¸ ˜ ao t ´ e sim´ Assim como a distribuic ao normal, a distribuic etrica, com m´ edia zero, por´ em apresenta maior quantidade de dados nos ¸ ˜ extremos da distribuic ao. Souza () Intervalo de Confianc ¸a - Margem de Erro October 26, 2014 10 / 31
Tendo os conceitos b´ asicos sobre intervalos de confianc ¸a, vamos ancia σ 2 da agora tratar uma situac ¸ ˜ ao mais realista: quando a variˆ ¸ ˜ ao ´ populac e desconhecida. Consideremos uma amostra aleat´ oria simples X 1 , X 2 , ..., X n , obtida de ancia σ 2 ¸ ˜ ¸ ˜ ao Normal, com m´ edia µ e variˆ uma populac ao com distribuic desconhecidas. Como neste caso a variˆ ancia ´ e desconhecida, ancia amostral S 2 . Assim, temos que utilizaremos a variˆ T = X − µ s / √ n ∼ t ( n − 1 ) ou seja, a vari´ avel T tem distribuic ¸ ˜ ao t -Student com n − 1 graus de liberdade. Ent˜ ao, ao fixarmos o n´ ıvel de significˆ ancia α , obtemos da Tabela da distribuic ¸ ˜ ao t -Student com ( n − 1 ) graus de liberdade, o valor t (( n − 1 ) ,α/ 2 ) , que satisfaz P [ − t (( n − 1 ) ,α/ 2 ) ≤ T ≤ t (( n − 1 ) ,α/ 2 ) ] = 1 − α Souza () Intervalo de Confianc ¸a - Margem de Erro October 26, 2014 11 / 31
Analogamente ao caso anterior, obtemos que � � − t (( n − 1 ) ,α/ 2 ) ≤ X − µ s / √ n ≤ t (( n − 1 ) ,α/ 2 ) = 1 − α P ou seja, � � s s √ n ≤ µ ≤ X + t (( n − 1 ) ,α/ 2 ) √ n P X − t (( n − 1 ) ,α/ 2 ) = 1 − α. Logo, o intervalo com 100 ( 1 − α )% de confianc ¸a para ?, com variˆ ancia desconhecida, ser´ a dado por � � s s √ n ; X + t α/ 2 √ n IC ( µ, 1 − α ) = X − t α/ 2 . Souza () Intervalo de Confianc ¸a - Margem de Erro October 26, 2014 12 / 31
Exemplo Os res´ ıduos industriais jogados nos rios, muitas vezes, absorvem o oxigˆ enio necess´ ario ` a respirac ¸ ˜ ao de peixes e de outras formas de vida aqu´ atica. Um lei estadual exige um valor m´ edio n˜ ao inferior a 5 ppm de oxigˆ enio dissolvido, cujo conte´ udo seja suficiente para manter vida aqu´ atica. Seis amostras de ´ agua retiradas de um rio revelaram os ´ ındices: 4,9; 5,1; 4,9; 5,0; 5,0 e 4,7 ppm de oxigˆ enio dissolvido. Construir o intervalo com 95% de confianc ¸a para a verdadeira m´ edia de oxigˆ enio dissolvido, em ppm e interprete. Souza () Intervalo de Confianc ¸a - Margem de Erro October 26, 2014 13 / 31
Determinac ¸ ˜ ao do tamanho amostral Vimos que o processo de estimac ¸ ˜ ao envolve um erro que denominamos de erro amostral. A magnitude desses erros est´ a relacionada com o tamanho da amostra. Temos que � 2 � z tab σ n = e max Podemos observar que o tamanho da amostra depende do grau de confianc ¸a, do desvio padr˜ ao da populac ¸ ˜ ao e do erro amostral m´ aximo desejado. Exemplo Com relac ¸ ˜ ao ao exemplo dos pacotes de sementes de milho, qual tamanho de amostra ser´ a necess´ ario coletar para garantir um erro amostral de no m´ aximo 0,05 kg, com 95% confianc ¸a na estimac ¸ ˜ ao do verdadeiro valor m´ edio? Souza () Intervalo de Confianc ¸a - Margem de Erro October 26, 2014 14 / 31
cont. exemplo Ou seja, desejamos determinar um tamanho amostral de modo que tenhamos 95% de confianc ¸a de que a m´ edia da amostra difira de (no m´ aximo) 0,05 kg para mais ou para menos da m´ edia da populac ¸ ˜ ao. � 2 � 1 , 960 , 20 ∼ n = = 62 0 , 05 Portanto, vamos necessitar de uma amostra aleat´ oria de 62 pacotes de milho para estimar a m´ edia populacional com precis˜ ao e a confianc ¸a desejadas. Souza () Intervalo de Confianc ¸a - Margem de Erro October 26, 2014 15 / 31
Executivos-chefe desaprovam romances no ambiente de trabalho? Ouvimos ao longo dos anos que empresas que desencorajam relacionamentos entre funcion´ arios, at´ e mesmo a ponto de proibir que maridos e esposas trabalhem juntos. Se duas pessoas casassem, um deveria sair. Na Fortune de 1994 foi relatada uma pesquisa feita com 200 executivos-chefe de empresas americanas, que explorou quest˜ oes ligadas ao relacionamento entre funcion´ arios de uma mesma empresa. Os executivos foram indagados: Vocˆ e aprova ou desaprova romances no ambiente de trabalho entre funcion´ arios n˜ ao-casados? Vocˆ e diria que a empresa n˜ ao deve interferir nessa quest˜ ao? 70% dos executivos disseram que a empresa n˜ ao deve interferir neste assunto. Como poder´ ıamos apresentar esse percentual adotando uma certa confiabilidade? Souza () Intervalo de Confianc ¸a - Margem de Erro October 26, 2014 16 / 31
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