INC 541 Modern Control Theory Using State Space Methods - - PowerPoint PPT Presentation

INC ¡541 ¡Modern ¡Control ¡Theory ¡ Using ¡State ¡Space ¡Methods

Lecture#4: ¡Solu?on ¡of ¡state ¡equa?on ¡

• Assoc. ¡Prof. ¡Benjamas ¡PanomruHanarug ¡

benjamas.pan@kmuH.ac.th

Solu?on ¡of ¡differen?al ¡equa?ons ¡

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Solu?on ¡of ¡differen?al ¡equa?ons ¡

• Homogeneous ¡solu?on ¡

– Case ¡I: ¡two ¡real ¡roots ¡ ¡ – Case ¡II: ¡real ¡double ¡roots ¡ – Case ¡III: ¡complex ¡conjugate ¡

• Non-­‑homogeneous ¡solu?on ¡

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Homogeneous ¡solu?on ¡of ¡2nd ¡order ¡

• Case ¡I: ¡two ¡real ¡roots ¡(dis?nct ¡real) ¡

General ¡solu?on: ¡

• Case ¡II: ¡Real ¡double ¡roots ¡

General ¡solu?on: ¡

• Case ¡III: ¡Complex ¡conjugate ¡roots ¡

General ¡solu?on: ¡ ¡ ¡

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2 1, λ

λ

t t

e k e k y

2 1

2 1 λ λ +

=

1

λ λ =

( )

2 / 2 1

1t

e t k k y

λ −

+ =

( ) ( ) ( )

bt k bt k e y

at

sin cos

2 1

+ =

jb a ± = λ

Non-­‑homogeneous ¡solu?ons ¡

Term ¡in ¡u(t) ¡ Choice ¡for ¡yp(t) ¡

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t

keγ

t

Ceγ ) , 1 , ( … = n kxn

1 1 1

K x K x K x K

n n n n

+ + + +

− −

…

( )

t k ω cos

( )

t k ω sin

( )

t ke t ω

α cos

( )

t ke t ω

α sin

( ) ( )

t M t K ω ω sin cos + ⎭ ⎬ ⎫

( ) ( ) ( )

t M t K e t ω ω

α

sin cos + ⎭ ⎬ ⎫

Total ¡solu?on ¡by ¡Laplace ¡transform ¡

• Steady ¡state ¡response ¡ ¡
• No ¡transient ¡informa?on ¡

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Solu?on ¡of ¡state ¡equa?on

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Solu?on ¡of ¡state ¡equa?ons

Solu?on ¡of ¡state ¡is ¡composed ¡of ¡ ¡

• Homogeneous ¡solu?on ¡(input ¡u(t) ¡= ¡0) ¡
• Non-­‑homogeneous ¡solu?on ¡or ¡force ¡response ¡

(input ¡u(t) ¡≠ ¡0)

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X(t) ¡= ¡??

Solu?on ¡of ¡homogeneous ¡state ¡ equa?ons

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State ¡transi?on ¡matrix

Evalua?on ¡using ¡inverse ¡Laplace ¡transform

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Solu?on ¡of ¡non-­‑homogeneous ¡state ¡ equa?on

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