INC 541 Modern Control Theory Using State Space Methods - - PowerPoint PPT Presentation

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INC 541 Modern Control Theory Using State Space Methods Lecture#3: Conversion between state space and transfer funcDon Assoc. Prof. Benjamas PanomruKanarug

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SLIDE 1

INC ¡541 ¡Modern ¡Control ¡Theory ¡ Using ¡State ¡Space ¡Methods

Lecture#3: ¡Conversion ¡between ¡state ¡ space ¡and ¡transfer ¡funcDon ¡

  • Assoc. ¡Prof. ¡Benjamas ¡PanomruKanarug ¡

benjamas.pan@kmuK.ac.th

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SLIDE 2

TransformaDon ¡of ¡state ¡variables

  • Original ¡system: ¡
  • Linear ¡transformaDon: ¡
  • An ¡equivalent ¡system ¡(idenDcal ¡output ¡from ¡

the ¡same ¡input):

BP INC541 2

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SLIDE 3

Example

From ¡the ¡previous ¡example, ¡the ¡state ¡variables ¡ are ¡ ¡ If ¡we ¡define ¡the ¡new ¡state ¡variables ¡as ¡ ¡

BP INC541 3

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SLIDE 4
  • TransformaDon: ¡
  • Equivalent ¡state ¡space ¡model:

BP INC541 4

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SLIDE 5

TransformaDon ¡using ¡eigenvectors ¡

BP INC541 5

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SLIDE 6

Example ¡5.8 ¡

BP INC541 6

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SLIDE 7

Example ¡5.9 ¡

BP INC541 7

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SLIDE 8

Example ¡5.9 ¡(cont.) ¡

BP INC541 8

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SLIDE 9

Conversion ¡of ¡state ¡variable ¡ models ¡to ¡transfer ¡funcDons ¡

ConDnuous ¡Dme ¡

BP INC541 9

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SLIDE 10

Conversion ¡of ¡state ¡variable ¡models ¡to ¡ transfer ¡funcDons

Laplace ¡transform ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ For ¡zero ¡iniDal ¡state ¡

BP INC541 10

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SLIDE 11

Example ¡to ¡change ¡a ¡SS ¡model ¡to ¡TF

Find ¡the ¡transfer ¡funcDon ¡of ¡the ¡SS ¡model:

BP INC541 11

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SLIDE 12

Invariance ¡property ¡of ¡a ¡ transformaDon ¡

BP INC541 12

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SLIDE 13

Invariance ¡property ¡of ¡a ¡ transformaDon ¡(cont.) ¡

BP INC541 13

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SLIDE 14

Conversion ¡of ¡transfer ¡funcDons ¡to ¡ state ¡space ¡models

BP INC541 14

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SLIDE 15

Conversion ¡of ¡transfer ¡funcDons ¡to ¡ state ¡variable ¡models ¡

There ¡are ¡3 ¡types ¡of ¡canonical ¡form: ¡

  • First ¡companion ¡form ¡
  • Second ¡companion ¡form ¡
  • Jordan ¡form

BP INC541 15

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SLIDE 16

First ¡companion ¡form

  • Consider ¡a ¡transfer ¡funcDon: ¡
  • IdenDfy ¡a ¡new ¡state ¡variable ¡as ¡an ¡output ¡of ¡

each ¡integrator

BP INC541 16

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SLIDE 17

First ¡companion ¡form ¡(cont.)

  • State ¡variables: ¡
  • State ¡space ¡model:

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SLIDE 18

Second ¡companion ¡form

BP INC541 18

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SLIDE 19

Comparison ¡bt. ¡First ¡and ¡second ¡ companion ¡forms

BP INC541 19

  • First ¡companion ¡form
  • Second ¡companion ¡form
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SLIDE 20

Eigenvalue ¡vs. ¡system ¡pole ¡

  • The ¡system ¡has ¡3 ¡poles ¡at ¡
  • State ¡space ¡model ¡of ¡the ¡system: ¡ ¡

BP INC541 20

Poles ¡are ¡equal ¡to ¡the ¡eigenvalues ¡of ¡A!!!

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SLIDE 21

Jordan ¡form

  • Case ¡I: ¡disDnct ¡poles ¡

¡ ¡ ¡ ¡ Long ¡division: ¡ ¡ ¡ ¡ ParDal ¡fracDon: ¡ ¡ ¡ ¡ ¡

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SLIDE 22

Jordan ¡form ¡(cont.) ¡

BP INC541 22

State ¡space ¡model: ¡

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SLIDE 23

Jordan ¡form ¡(cont.)

  • Case ¡II: ¡repeated ¡poles ¡
  • G(s) ¡has ¡m ¡disDnct ¡poles ¡at ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡of ¡

mulDplicity ¡ ¡ ¡ParDal ¡fracDon ¡expansion ¡of ¡G(s):

BP INC541 23

m

s λ λ λ , , ,

2 1

… =

m

n n n , , ,

2 1

…

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SLIDE 24

Jordan ¡form ¡(cont.) ¡

  • For ¡each ¡subsystem ¡having ¡the ¡same ¡pole

BP INC541 24

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SLIDE 25

Jordan ¡form ¡(cont.)

  • For ¡each ¡subsystem ¡having ¡the ¡same ¡pole

BP INC541 25

Poles ¡are ¡arranged ¡in ¡the ¡main ¡diagonal

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SLIDE 26

Jordan ¡form ¡(cont.)

  • Overall ¡system

BP INC541 26

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SLIDE 27

Example

Find ¡the ¡3 ¡different ¡realizaDons ¡for ¡ ¡ ¡ ¡

  • First ¡companion: ¡

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SLIDE 28
  • Second ¡companion ¡
  • Jordan ¡form

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SLIDE 29

Matlab ¡funcDons ¡

  • ^2ss ¡
  • ss2^ ¡
  • canon ¡
  • jordan ¡

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