Imperfec.ons John OBrien Outline Large feedback control - PowerPoint PPT Presentation

Nonlinear ¡Compensa.on ¡for ¡High ¡ Performance ¡Feedback ¡Systems ¡with ¡Actuator ¡ Imperfec.ons ¡ John ¡O’Brien ¡

Outline ¡ • Large ¡feedback ¡control ¡ • Control ¡applica.on ¡comparison ¡ – Micro-­‑Precision ¡Interferometer ¡(NASA-­‑JPL) ¡ • large ¡feedback ¡with ¡expensive ¡actuators ¡ – Mo.on ¡control ¡of ¡2-­‑DOF ¡parallel ¡robots ¡(UW) ¡ • large ¡feedback ¡with ¡inexpensive ¡actuators ¡ • Nonlinear ¡Dynamic ¡Compensa.on ¡ – Gain-­‑Decreasing ¡ – Gain-­‑Increasing ¡ – Parallel ¡Loop ¡Recovery ¡ – Parallel ¡Loop ¡Recovery ¡with ¡Quiescent ¡Compensa.on ¡ • Experimental ¡results ¡ • Conclusions ¡

High ¡Performance ¡Control ¡ – Frequency ¡Domain ¡Characteriza.on ¡ • Large ¡disturbance ¡rejec0on ¡ • Very ¡accurate ¡tracking ¡to ¡high ¡frequency ¡ • Reduc.on ¡in ¡sensi.vity ¡of ¡the ¡response ¡to ¡slight ¡varia.ons ¡in ¡the ¡plant ¡ ¡ – Time ¡Domain ¡Characteriza.on ¡ • Transient ¡response ¡ – Fast ¡rise, ¡seXling ¡.mes ¡ – Limited ¡overshoot ¡ • Steady ¡state ¡response ¡ – Limited ¡steady ¡state ¡error ¡ – PID ¡is ¡oYen ¡acceptable ¡using ¡.me-­‑domain ¡measures ¡of ¡performance, ¡but ¡ provides ¡limited ¡disturbance ¡rejec.on ¡because ¡of ¡small ¡ feedback ¡

Feedback ¡ -­‑ Loop ¡Transmission ¡ ¡ ¡ ¡ ( ) ( ) ( ) T s C s P s = -­‑ Return ¡Difference ¡ ¡ ( ) ¡ ¡ ( ) ( ) F s = 1 C s P s + -­‑ Feedback ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ F -­‑ Nega.ve F 1 ¡ ¡ ¡ > F 1 -­‑ Posi.ve ¡ ¡ ¡ < -­‑ Negligible ¡ ¡ ¡ T 1 << -­‑ Large ¡ ¡ ¡ ¡ F 1 >> Large ¡Feedback ¡ • – Disturbance ¡rejec.on ¡ ¡ ¡ ( ) y s 1 = 1 Low magnitude d ( ) s C ( ) ( ) s P s + y ( ) s C ( ) ( ) s P s – Reference ¡tracking ¡ = 1 ¡ ¡ ¡ Magnitude ~1 ( ) ( ) ( ) r s C s P s +

Control ¡Goal ¡ Bode Diagram 80 Nyquist Stable 2nd Order Roll Off Defini.ons ¡ • 60 PID 40 F 1 – Large ¡feedback: ¡ ¡ ¡ >> 20 ( ) 0 – Bandwidth: ¡ where T j 1 Magnitude (dB) ω ω = b b -20 – Func.onal ¡Bandwidth: ¡ -40 ( ) where T j A ω ω ≈ ∀ ω ≤ ω -60 f 0 f -80 – Nyquist-­‑Stable ¡ system ¡rolls ¡–off ¡ -100 steeper ¡than ¡-­‑12 ¡dB/oct ¡ -120 0 -90 -180 Goal ¡ • Phase (deg) -270 – Large ¡feedback ¡across ¡func.onal ¡ -360 bandwidth ¡subject ¡to ¡established ¡ -450 bandwidth ¡limit ¡ -540 -630 -1 0 1 2 10 10 10 10 Frequency (rad/s)

Applica.on ¡of ¡Large ¡Feedback ¡Control ¡ ¡

Actuators ¡for ¡Large ¡Feedback ¡

Large ¡Feedback ¡Loop ¡Transmission ¡

Why ¡are ¡High-­‑Performance ¡Feedback ¡ Systems ¡So ¡Rarely ¡Implemented? ¡ -­‑ Increased ¡design ¡complexity ¡ -­‑ Insufficient ¡mo.va.on ¡to ¡implement ¡ -­‑ “High-­‑Performance” ¡is ¡not ¡needed ¡ -­‑ |F| ¡is ¡not ¡a ¡desirable ¡measure ¡of ¡performance ¡ -­‑ |F| ¡not ¡quan.fiable ¡or ¡known ¡ -­‑ Risk ¡outweighs ¡the ¡rewards ¡ -­‑ Feedback ¡system ¡very ¡sensi.ve ¡to ¡varia.ons ¡in ¡loop ¡transmission ¡ -­‑ Feedback ¡limita.ons ¡ -­‑ Sluggish/weak ¡actuator ¡ -­‑ Actuator ¡is ¡sufficiently ¡powerful ¡but ¡ imperfect ¡ -­‑ Sensor ¡dynamics/noise ¡ -­‑ Plant ¡model ¡infidelity/uncertainty ¡ -­‑ Non-­‑minimum ¡phase ¡ -­‑ Nonlineari.es ¡(not ¡related ¡to ¡actuator ¡imperfec.on) ¡ ¡

Large ¡Feedback ¡Using ¡an ¡Imperfect ¡Actuator? ¡ Two ¡Rota.onal ¡Degrees ¡of ¡Freedom ¡ • • Inexpensive, ¡Easily ¡Manufactured ¡ Decoupled ¡Axes ¡ • Rugged ¡(military ¡applica.on) ¡ • Imperfect ¡Actuator ¡ • ¡ – Mul.ple ¡uncertain ¡nonlineari.es ¡ Substan.al ¡Disturbance ¡Rejec.on ¡ ¡ • Required ¡

System ¡to ¡Be ¡Controlled, ¡Cascade ¡ Decomposed ¡

LIID ¡Systems ¡ • Linear ¡on ¡an ¡Interior ¡Input ¡ Domain ¡ – Linear ¡on ¡a ¡subset ¡of ¡inputs ¡ – Nonlineari.es ¡ • High ¡amplitude ¡satura.on ¡ – Easy ¡to ¡model ¡ • Low ¡amplitude ¡s.c.on, ¡fric.on, ¡etc. ¡ – Much ¡more ¡difficult ¡to ¡ accurately ¡model ¡ • Goal ¡ – Develop ¡a ¡control ¡architecture ¡that ¡ delivers ¡large ¡feedback ¡on ¡LIID ¡systems ¡

Nonlinear ¡Dynamic ¡Compensa.on ¡ for ¡Non-­‑Lineari.es Nominal Compensator Nonlinear Function (assumed sector U1 NDC condition) U3 NDC Linear Function Nonlinear Function (loop transmission (designed using reshaping) knowledge of actuator limits) Linear Function (loop transmission reduction)

Func.on ¡of ¡NDC ¡ -­‑ U3 ¡NDC ¡ -­‑ Retain ¡stability ¡when ¡actuator ¡is ¡overdriven ¡ -­‑ Necessarily ¡a ¡loop ¡modulus ¡ reduc0on ¡func.on ¡ -­‑ U1 ¡NDC ¡ -­‑ Retain ¡stability ¡when ¡actuator ¡is ¡influenced ¡by ¡small-­‑signal ¡ nonlineari.es ¡ - Parallel Loop Recovery (PLR) - Parallel Loop Recovery with Quiescent Compensation (PLRQC) - Gain Increasing NDC (GINDC) - Gain Decreasing NDC (GDNDC) - A gain-increasing scheme with multiple U1 NDC feedback - A mixed gain-reduction/gain-increasing PLR scheme - Reshape loop transmission to reestablish original Nyquist - Reshape loop transmission to less aggressive shape systems Stable loop shape - Excellent application of absolute stability theory ¡ - More accurate loop shaping - Weaker stability claim for greater performance in low - Equivalent or similar to U3 NDC effect on loop amplitude condition transmission

Experimental ¡Verifica.on ¡

Plant ¡Iden.fica.on ¡ .4 ¡VRMS ¡represents ¡nominal ¡ • Plant Response to White Noise 60 response ¡of ¡the ¡plant ¡ .4 VRMS .2 VRMS – Modeled ¡with ¡19 th ¡order ¡ .15 VRMS 40 .1 VRMS transfer ¡func.on ¡ .09 VRMS .07 VRMS Significant ¡reduc.on ¡in ¡plant ¡ • .05 VRMS 20 response ¡at ¡aYer ¡.15 ¡VRMS ¡ • Change ¡in ¡shape ¡of ¡response ¡ Magnitude (dB) 0 below ¡.09 ¡VRMS ¡ • Nonlinear ¡phenomena ¡ domina.ng ¡the ¡response ¡at ¡very ¡ -20 low ¡variance ¡ ¡ -40 -60 0 1 2 10 10 10 Frequency (Hz)

GDNDC/GINDC ¡ • Absolutely ¡Stable ¡System ¡ ¡ • 7 th ¡Order ¡Controller ¡ Nyquist Stable vs Absolutely Stable • Sa.sfies ¡Popov ¡for ¡sector ¡[0,1] ¡ ¡ 50 • Nyquist-­‑Stable ¡System ¡ Magnitude (dB) • 7 th ¡Order ¡Controller ¡ 0 • 20dB ¡greater ¡feedback ¡across ¡ func.onal ¡BW ¡compared ¡to ¡AS ¡ • GDNDC ¡ -50 • Reshapes ¡Nyquist-­‑Stable ¡loop ¡ 0 AS shape ¡to ¡Absolutely ¡Stable ¡in ¡U1 ¡ -90 NS and ¡U3 ¡ Phase (deg) -180 • GINDC ¡ -270 • Reshapes ¡Nyquist-­‑Stable ¡loop ¡ -360 shape ¡to ¡Absolutely ¡Stable ¡in ¡U3 ¡ -450 0 1 2 10 10 10 • Reestablishes ¡Nyquist-­‑Stable ¡ Frequency (Hz) shape ¡in ¡U1 ¡(employing ¡a ¡plant ¡ model ¡found ¡with ¡one ¡frequency ¡ response ¡func.on) ¡

Time ¡Response ¡in ¡U3 ¡

Time ¡Response ¡in ¡U1 ¡

GD/GINDC ¡Performance ¡ Nominal Amplitude Disturbance Low Amplitude Disturbance Nominal Amplitude Disturbance Low Amplitude Disturbance -10 -20 NS NS NDC GD -15 NDC GD -30 NDC GI NDC GI -20 -25 -40 -30 Magnitude (dB) Magnitude (dB) -50 -35 -40 -60 -45 -70 -50 -55 -80 -60 0 1 2 10 10 10 1 2 10 10 Frequency (Hz) Frequency (Hz) • GINDC delivers greater disturbance • GINDC and NS convergence rejection over the functional BW • 20 dB better performance across • No oscillation at 16Hz function BW compared to ASFG • Increase in positive feedback at higher frequencies • More negative feedback • Can get “peaky” in certain disturbance environments

Parallel ¡Loop ¡Recovery ¡ • Mul.ple ¡plant ¡ models ¡using ¡a ¡ family ¡of ¡ ¡U1 ¡ frequency ¡ response ¡func.ons ¡ • A ¡more ¡accurate ¡ reshaping ¡of ¡the ¡ Nyquist ¡Stable ¡loop ¡ transmission ¡is ¡ achieved ¡