[PPT] - G r a p h s G r a p h s A g r a p h i s a d a PowerPoint Presentation

SLIDE 1

G r a p h s

SLIDE 2

G r a p h s

A g r a p h i s a d a t a s t r u c t u r e c

n

s i s t i n g

f

n

d

e s (

r

v e r t i c e s ) a n d e d g e s

A

n e d g e i s a c

n

n e c t i

n

b e t w e e n t w

n
d

e s

N

d

e s : A , B , C , D , E E d g e s : ( A , B ) , ( A , D ) , ( D , E ) , ( E , C )

A B C E D

SLIDE 3

N

d

e s a r e s t a t i

n

s E d g e s a r e “ b i t s

f

l i n e ” A l g

r

i t h m : Wh a t i s t h e q u i c k e s t w a y f r

m

p

i

n t A t

p
i

n t B ?

SLIDE 4

N

d

e s a r e c

m

p

n

e n t s E d g e s a r e c

n

n e c t i

n

s A l g

r

i t h m : H

w

m u c h c u r r e n t fm

w

s t h r

u

g h e a c h w i r e ( a s a f u n c t i

n
f

t i m e ) ?

SLIDE 5

G r a p h s

G r a p h s a r e u s e d a l l

v

e r t h e p l a c e :

c
m

m u n i c a t i

n

s n e t w

r

k s

– m

a n y

f

t h e a l g

r

i t h m s b e h i n d t h e i n t e r n e t a r e b a s e d

n

g r a p h s

m

a p s , t r a n s p

r

t n e t w

r

k s , r

u

t e fj n d i n g

f

r i e n d s / f

l

l

w

e r s i n a s

c

i a l n e t w

r

k

e

t c .

A n y w h e r e w h e r e y

u

h a v e c

n

n e c t i

n

s

r

r e l a t i

n

s h i p s ! N

r

m a l l y t h e n

d

e s a n d e d g e s a r e l a b e l l e d w i t h r e l e v a n t i n f

r

m a t i

n

SLIDE 6

G r a p h s

W e

n

l y c a r e w h a t n

d

e s a n d e d g e s t h e g r a p h h a s , n

t

h

w

i t ' s d r a w n – t h e s e t w

a

r e t h e s a m e g r a p h

V = { , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 } E = { ( , 1 ) , ( , 2 ) , ( , 5 ) , ( , 6 ) , ( 3 , 5 ) , ( 3 , 4 ) , ( 4 , 5 ) , ( 4 , 6 ) }

SLIDE 7

G r a p h s

G r a p h s c a n b e d i r e c t e d

r

u n d i r e c t e d

I

n a n u n d i r e c t e d g r a p h , a n e d g e c

n

n e c t s t w

n
d

e s s y m m e t r i c a l l y ( w e d r a w a l i n e b e t w e e n t h e t w

n
d

e s )

I

n a d i r e c t e d g r a p h , t h e e d g e g

e

s f r

m

t h e s

u

r c e n

d

e t

t

h e t a r g e t n

d

e ( w e d r a w a n a r r

w

f r

m

t h e s

u

r c e t

t

h e t a r g e t )

– w

e s a y t h a t t h e t a r g e t n

d

e i s a s u c c e s s

r
f

t h e s

u

r c e n

d

e

A t r e e i s a s p e c i a l c a s e

f

a d i r e c t e d g r a p h

E

d g e f r

m

p a r e n t t

c

h i l d

SLIDE 8

P a t h s

A p a t h i s a s e q u e n c e

f

e d g e s t h a t t a k e y

u

f r

m
n

e n

d

e t

a

n

t

h e r I f t h e r e i s a p a t h f r

m

n

d

e A t

n
d

e B , w e s a y t h a t B i s r e a c h a b l e f r

m

A

SLIDE 9

C y c l i c g r a p h s

A g r a p h i s c y c l i c i f t h e r e i s a p a t h f r

m

a n

d

e t

i

t s e l f ; w e c a l l t h e p a t h a c y c l e . O t h e r w i s e t h e g r a p h i s a c y c l i c .

Tii s p a t h i s a c y c l e a n d t h e g r a p h i s c y c l i c

SLIDE 10

C y c l i c g r a p h s

A p a t h i s

n

l y a c y c l e i f :

i

t s t a r t s a n d e n d s a t t h e s a m e n

d

e (

t

h e r w i s e i t ' s d e fj n i t e l y n

t

a c y c l e ! )

i

t ' s n

n
e

m p t y (

t

h e r w i s e a l l g r a p h s w

u

l d b e c y c l i c )

i

t i s a s i m p l e p a t h : i t d

e

s n ' t p a s s t h r

u

g h t h e s a m e n

d

e

r

e d g e t w i c e , e x c e p t f

r

s t a r t i n g a n d e n d i n g a t t h e s a m e n

d

e (

t

h e r w i s e t h e f

l

l

w

i n g g r a p h w

u

l d b e c y c l i c , b y g

i

n g f r

m

4 t

5

a n d b a c k a g a i n ) :

4 5

SLIDE 11

H

w

t

i

m p l e m e n t a g r a p h

O n e c h

i

c e : a d j a c e n c y m a t r i x

I

f t h e r e a r e n n

d

e s , a n a d j a c e n c y m a t r i x i s a n n × n m a t r i x w h e r e r

w

i , c

l

u m n j i s 1 i f t h e r e i s a n e d g e f r

m

n

d

e i t

n
d

e j ( c a n a l s

s

t

r

e e d g e l a b e l s i n s t e a d

f

s a n d 1 s )

0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 P r

b

l e m : t a k e s O ( n

2

) m e m

r

y !

M
s

t g r a p h s i n p r

g

r a m m i n g a r e s p a r s e : r e l a t i v e l y f e w p a i r s

f

n

d

e s h a v e a n e d g e b e t w e e n t h e m

R

w

2 , c

l

u m n 5 ( c

u

n t i n g f r

m

) : a n e d g e f r

m

n

d

e 2 t

n
d

e 5

SLIDE 12

H

w

t

i

m p l e m e n t a g r a p h

A b e t t e r c h

i

c e : a d j a c e n c y l i s t

S

e t

f

a l l n

d

e s i n t h e g r a p h , a n d w i t h e a c h n

d

e s t

r

e a l l t h e e d g e s h a v i n g t h a t n

d

e a s s

u

r c e

SLIDE 13

H

w

t

i

m p l e m e n t a g r a p h

A b e t t e r c h

i

c e : a d j a c e n c y l i s t

S

e t

f

a l l n

d

e s i n t h e g r a p h , a n d w i t h e a c h n

d

e s t

r

e a l l t h e e d g e s h a v i n g t h a t n

d

e a s s

u

r c e

S e t

f

n

d

e s L i s t

f

e d g e s f

r

e a c h n

d

e

SLIDE 14

A d j a c e n c y l i s t – u n d i r e c t e d g r a p h

E a c h e d g e a p p e a r s t w i c e ,

n

c e f

r

t h e s

u

r c e a n d

n

c e f

r

t h e t a r g e t n

d

e

SLIDE 15

G r a p h a l g

r

i t h ms : d e p t h

fj

r s t s e a r c h , r e a c h a b i l i t y , c

n

n e c t e d c

m

p

n

e n t s

SLIDE 16

R e a c h a b i l i t y

H

w

c a n w e t e l l w h a t n

d

e s a r e r e a c h a b l e f r

m

a g i v e n n

d

e ? W e c a n s t a r t e x p l

r

i n g t h e g r a p h f r

m

t h a t n

d

e , b u t w e h a v e t

b

e c a r e f u l n

t

t

(

e . g . ) g e t c a u g h t i n c y c l e s ,

r

v i s i t t h e s a m e n

d

e l

t

s

f

t i m e s D e p t h

fj

r s t s e a r c h i s

n

e w a y t

e

x p l

r

e t h e p a r t

f

t h e g r a p h r e a c h a b l e f r

m

a g i v e n n

d

e

SLIDE 17

D e p t h

fj

r s t s e a r c h

D e p t h

fj

r s t s e a r c h i s a t r a v e r s a l a l g

r

i t h m

Tii

s m e a n s i t t a k e s a n

d

e a s i n p u t , a n d e n u m e r a t e s a l l n

d

e s r e a c h a b l e f r

m

t h a t n

d

e

S

i m i l a r t

t

r e e t r a v e r s a l s !

I t c

m

e s i n t w

v

a r i a n t s , p r e

r

d e r a n d p

s

t

r

d e r – w e ' l l s t a r t w i t h p r e

r

d e r T

d
a

p r e

r

d e r D F S s t a r t i n g f r

m

a n

d

e :

v

i s i t t h e n

d

e

f
r

e a c h

u

t g

i

n g e d g e f r

m

t h e n

d

e , r e c u r s i v e l y D F S t h e t a r g e t

f

t h a t e d g e , u n l e s s i t h a s a l r e a d y b e e n v i s i t e d

I t ' s c a l l e d p r e

r

d e r b e c a u s e w e v i s i t e a c h n

d

e b e f

r

e i t s

u

t g

i

n g e d g e s

SLIDE 18

D e p t h

fj

r s t s e a r c h – c

d

e s k e t c h

void preorderDFS(Node x) { if (!x.visited) { x.visited = true; visit x; for (Node y: x.successors) preorderDFS(y); }

O n l y v i s i t n

d

e i f n

t

a l r e a d y v i s i t e d – n

t

n e e d e d i n t r e e t r a v e r s a l s !

SLIDE 19

E x a m p l e

f

a d e p t h

fj

r s t s e a r c h

V i s i t

r

d e r : 1 D F S n

d

e 1 ( B y t h e w a y , i s 5 r e a c h a b l e f r

m

1 ? )

1 2 3 4 5 6 7 = u n v i s i t e d = v i s i t e d = c u r r e n t

SLIDE 20

E x a m p l e

f

a d e p t h

fj

r s t s e a r c h

V i s i t

r

d e r : 1 3 F

l

l

w

e d g e 1 3 , → r e c u r s i v e l y D F S n

d

e 3

1 2 3 4 5 6 7 = u n v i s i t e d = v i s i t e d = c u r r e n t

SLIDE 21

E x a m p l e

f

a d e p t h

fj

r s t s e a r c h

V i s i t

r

d e r : 1 3 6 F

l

l

w

e d g e 3 6 , → r e c u r s i v e l y D F S n

d

e 6

1 2 3 4 5 6 7 = u n v i s i t e d = v i s i t e d = c u r r e n t

SLIDE 22

E x a m p l e

f

a d e p t h

fj

r s t s e a r c h

V i s i t

r

d e r : 1 3 6 R e c u r s i

n

b a c k t r a c k s t

3

1 2 3 4 5 6 7 = u n v i s i t e d = v i s i t e d = c u r r e n t

SLIDE 23

E x a m p l e

f

a d e p t h

fj

r s t s e a r c h

V i s i t

r

d e r : 1 3 6 4 F

l

l

w

e d g e 3 4 , → r e c u r s i v e l y D F S n

d

e 4

1 2 3 4 5 6 7 = u n v i s i t e d = v i s i t e d = c u r r e n t

SLIDE 24

E x a m p l e

f

a d e p t h

fj

r s t s e a r c h

V i s i t

r

d e r : 1 3 6 4 2 F

l

l

w

e d g e 4 2 , → r e c u r s i v e l y D F S n

d

e 2 W e d

n

' t f

l

l

w

4 6 →

r

2 3 , a s t h

s

e n

d

e s → h a v e a l r e a d y b e e n v i s i t e d E v e n t u a l l y t h e r e c u r s i

n

b a c k t r a c k s t

1

a n d w e s t

p

1 2 3 4 5 6 7 = u n v i s i t e d = v i s i t e d = c u r r e n t

SLIDE 25

R e a c h a b i l i t y r e v i s i t e d

H

w

c a n w e t e l l w h a t n

d

e s a r e r e a c h a b l e f r

m

a g i v e n n

d

e ? A n s w e r : P e r f

r

m a d e p t h

fj

r s t s e a r c h s t a r t i n g f r

m

n

d

e A , a n d t h e n

d

e s v i s i t e d b y t h e D F S a r e e x a c t l y t h e r e a c h a b l e n

d

e s

SLIDE 26

C

n

n e c t e d n e s s

A n u n d i r e c t e d g r a p h i s c a l l e d c

n

n e c t e d i f t h e r e i s a p a t h f r

m

e v e r y n

d

e t

e

v e r y

t

h e r n

d

e H

w

c a n w e t e l l i f a g r a p h i s c

n

n e c t e d ?

4 8 5 9 6 7

Tii s g r a p h i s c

n

n e c t e d

SLIDE 27

C

n

n e c t e d n e s s

A n u n d i r e c t e d g r a p h i s c a l l e d c

n

n e c t e d i f t h e r e i s a p a t h f r

m

e v e r y n

d

e t

e

v e r y

t

h e r n

d

e H

w

c a n w e t e l l i f a g r a p h i s c

n

n e c t e d ?

4 8 5 9 6 7

Tii s g r a p h i s n

t

c

n

n e c t e d

SLIDE 28

C

n

n e c t e d n e s s

I f a n u n d i r e c t e d g r a p h i s u n c

n

n e c t e d , i t s t i l l c

n

s i s t s

f

c

n

n e c t e d c

m

p

n

e n t s

4 8 5 9 6 7

{ 4 , 5 } i s a c

n

n e c t e d c

m

p

n

e n t { 6 , 7 , 8 , 9 } i s a c

n

n e c t e d c

m

p

n

e n t

SLIDE 29

C

n

n e c t e d n e s s

A s i n g l e u n c

n

n e c t e d n

d

e i s a c

n

n e c t e d c

m

p

n

e n t i n i t s e l f

4 8 9 6 7

{ 4 } i s a c

n

n e c t e d c

m

p

n

e n t

SLIDE 30

C

n

n e c t e d c

m

p

n

e n t s

H

w

c a n w e fj n d :

t

h e c

n

n e c t e d c

m

p

n

e n t c

n

t a i n i n g a g i v e n n

d

e ?

a

l l c

n

n e c t e d c

m

p

n

e n t s i n t h e g r a p h ?

SLIDE 31

C

n

n e c t e d c

m

p

n

e n t s

T

fj

n d t h e c

n

n e c t e d c

m

p

n

e n t c

n

t a i n i n g a g i v e n n

d

e :

P

e r f

r

m a D F S s t a r t i n g f r

m

t h a t n

d

e

Tie

s e t

f

v i s i t e d n

d

e s i s t h e c

n

n e c t e d c

m

p

n

e n t

T

fj

n d a l l c

n

n e c t e d c

m

p

n

e n t s :

P

i c k a n

d

e t h a t d

e

s n ' t h a v e a c

n

n e c t e d c

m

p

n

e n t y e t

U

s e t h e a l g

r

i t h m a b

v

e t

fj

n d i t s c

n

n e c t e d c

m

p

n

e n t

R

e p e a t u n t i l a l l n

d

e s a r e i n a c

n

n e c t e d c

m

p

n

e n t

SLIDE 32

S t r

n

g l y

c
n

n e c t e d c

m

p

n

e n t s

I n a d i r e c t e d g r a p h , t h e r e a r e t w

n
t

i

n

s

f

c

n

n e c t e d n e s s :

s

t r

n

g l y c

n

n e c t e d m e a n s t h e r e i s a p a t h f r

m

e v e r y n

d

e t

e

v e r y

t

h e r n

d

e

w

e a k l y c

n

n e c t e d m e a n s t h e g r a p h i s c

n

n e c t e d i f y

u

i g n

r

e t h e d i r e c t i

n
f

t h e e d g e s ( t h e e q u i v a l e n t u n d i r e c t e d g r a p h i s c

n

n e c t e d )

1 2 3 4 5 6 7 Tii s g r a p h i s w e a k l y c

n

n e c t e d , b u t n

t

s t r

n

g l y c

n

n e c t e d ( w h y ? )

SLIDE 33

S t r

n

g l y

c
n

n e c t e d c

m

p

n

e n t s

Y

u

c a n a l w a y s d i v i d e a d i r e c t e d g r a p h i n t

i

t s s t r

n

g l y

c
n

n e c t e d c

m

p

n

e n t s ( S C C s ) : I n e a c h s t r

n

g l y

c
n

n e c t e d c

m

p

n

e n t , e v e r y n

d

e i s r e a c h a b l e f r

m

e v e r y

t

h e r n

d

e

Tie

r e l a t i

n

“ n

d

e s A a n d B a r e b

t

h r e a c h a b l e f r

m

e a c h

t

h e r ” i s a n e q u i v a l e n c e r e l a t i

n
n

n

d

e s

Tie

S C C s a r e t h e e q u i v a l e n c e c l a s s e s

f

t h i s r e l a t i

n

1 2 3 4 5 6 7

SLIDE 34

S t r

n

g l y

c
n

n e c t e d c

m

p

n

e n t s

T

fj

n d t h e S C C

f

a n

d

e A , w e t a k e t h e i n t e r s e c t i

n
f

:

t

h e s e t

f

n

d

e s r e a c h a b l e f r

m

A

t

h e s e t

f

n

d

e s w h i c h A c a n b e r e a c h e d f r

m

( t h e s e t

f

n

d

e s “ b a c k w a r d s

r

e a c h a b l e ” f r

m

A )

Tii s g i v e s u s a l l t h e n

d

e s B s u c h t h a t :

t

h e r e i s a p a t h f r

m

A t

B

, a n d

t

h e r e i s a p a t h f r

m

B t

A

T

fj

n d t h e s e t

f

n

d

e s b a c k w a r d s

r

e a c h a b l e f r

m

A , w e w i l l u s e t h e i d e a

f

t h e t r a n s p

s

e

f

a g r a p h

SLIDE 35

T r a n s p

s

e

f

a g r a p h

T

fj

n d t h e t r a n s p

s

e

f

a d i r e c t e d g r a p h , fm i p t h e d i r e c t i

n
f

a l l t h e g r a p h ' s e d g e s : N

t

e t h a t : t h e r e i s a p a t h f r

m

A t

B

i n t h e

r

i g i n a l g r a p h i fg t h e r e i s a p a t h f r

m

B t

A

i n t h e t r a n s p

s

e g r a p h !

1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7

G r a p h T r a n s p

s

e

SLIDE 36

S t r

n

g l y

c
n

n e c t e d c

m

p

n

e n t s

T

fj

n d t h e S C C

f

a n

d

e ( s u c h a s 2 ) , p e r f

r

m a D F S i n t h e g r a p h a n d t h e t r a n s p

s

e g r a p h : Tie i n t e r s e c t i

n
f

t h e n

d

e s v i s i t e d i n b

t

h D F S s a r e t h e S C C

f

2 – i n t h i s c a s e { 1 , 2 , 3 , 4 }

1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 G r a p h T r a n s p

s

e

SLIDE 37

S t r

n

g l y

c
n

n e c t e d c

m

p

n

e n t s

T

fj

n d t h e S C C

f

a n

d

e A :

F

i n d t h e s e t

f

n

d

e s r e a c h a b l e f r

m

A , u s i n g D F S

F

i n d t h e s e t

f

n

d

e s w h i c h h a v e a p a t h t

A

, b y d

i

n g a D F S i n t h e t r a n s p

s

e g r a p h

T

a k e t h e i n t e r s e c t i

n
f

t h e s e t w

s

e t s

I m p l e m e n t a t i

n

i n p r a c t i c e :

Wh

e n d

i

n g t h e D F S i n t h e t r a n s p

s

e g r a p h , w e r e s t r i c t t h e s e a r c h t

t

h e n

d

e s t h a t w e r e r e a c h a b l e f r

m

A i n t h e

r

i g i n a l g r a p h

Wh

e n d

i

n g t h e D F S i n t h e f

r

w a r d g r a p h , w e c a n b u i l d e . g . a m a p s t

r

i n g t h e “ r e v e r s e d e d g e s ” , s

t

h a t w e d

n

’ t n e e d t

a

c t u a l l y c

n

s t r u c t t h e t r a n s p

s

e g r a p h

SLIDE 38

W h a t d

S

C C s m e a n ?

Tie S C C s i n a g r a p h t e l l y

u

a b

u

t t h e c y c l e s i n t h a t g r a p h !

I

f a g r a p h h a s a c y c l e , a l l t h e n

d

e s i n t h e c y c l e w i l l b e i n t h e s a m e S C C

I

f a n S C C c

n

t a i n s t w

n
d

e s A a n d B , t h e r e i s a p a t h f r

m

A t

B

a n d b a c k a g a i n , s

t

h e r e i s a c y c l e

A d i r e c t e d g r a p h i s a c y c l i c i fg :

A

l l t h e S C C s h a v e s i z e 1 , a n d

n
n
d

e h a s a n e d g e t

i

t s e l f ( S C C s d

n
t

t a k e a n y n

t

i c e

f

s e l f

l
p

s )

SLIDE 39

C y c l e s a n d S C C s

H e r e i s t h e d i r e c t e d g r a p h f r

m

b e f

r

e . N

t

i c e t h a t :

Tie

b i g S C C i s w h e r e a l l t h e c y c l e s a r e

Tie

a c y c l i c “ p a r t s ”

f

t h e g r a p h h a v e S C C s

f

s i z e 1

I

f y

u

c

l

l a p s e e a c h S C C i n t

a

s i n g l e n

d

e , t h e g r a p h b e c

m

e s a c y c l i c

Tie S C C s c h a r a c t e r i s e t h e c y c l e s i n t h e g r a p h !

1 2 3 4 5 6 7

SLIDE 40

G r a p h a l g

r

i t h ms : p

s

t

r

d e r D F S , d e t e c t i n g c y c l e s , t

p
l
g

i c a l s

r

t i n g

SLIDE 41

T

p
l
g

i c a l s

r

t i n g

H e r e i s a d i r e c t e d a c y c l i c g r a p h ( D A G ) w i t h c

u

r s e s a n d p r e r e q u i s i t e s : W e m i g h t w a n t t

fj

n d

u

t : w h a t i s a p

s

s i b l e

r

d e r t

t

a k e t h e s e c

u

r s e s i n ? Tii s i s w h a t t

p
l
g

i c a l s

r

t i n g g i v e s u s . N

t

e t h a t t h e g r a p h m u s t b e a c y c l i c !

SLIDE 42

E x a m p l e : t

p
l
g

i c a l s

r

t

A t

p
l
g

i c a l s

r

t

f

t h e n

d

e s i n a D A G i s a l i s t

f

a l l t h e n

d

e s , s

t

h a t i f t h e r e i s a p a t h f r

m

u t

v

, t h e n u c

m

e s b e f

r

e v i n t h e l i s t E v e r y D A G h a s a t

p
l
g

i c a l s

r

t ,

f

t e n s e v e r a l 1 2 3 4 5 6 7 8 i s a t

p
l
g

i c a l s

r

t

f

t h i s D A G , b u t 1 5 3 4 2 6 7 8 i s n ' t .

SLIDE 43

P

s

t

r

d e r d e p t h

fj

r s t s e a r c h

T

i

m p l e m e n t t

p
l
g

i c a l s

r

t i n g w e ' l l n e e d a v a r i a n t

f

D F S c a l l e d p

s

t

r

d e r d e p t h

fj

r s t s e a r c h T

d
a

p

s

t

r

d e r D F S s t a r t i n g f r

m

a n

d

e :

m

a r k t h e n

d

e a s r e a c h e d

f
r

e a c h

u

t g

i

n g e d g e f r

m

t h e n

d

e , r e c u r s i v e l y D F S t h e t a r g e t

f

t h a t e d g e , u n l e s s i t h a s a l r e a d y b e e n r e a c h e d

v

i s i t t h e n

d

e

I n p

s

t

r

d e r D F S , w e v i s i t e a c h n

d

e a f t e r w e v i s i t i t s

u

t g

i

n g e d g e s !

SLIDE 44

D e p t h

fj

r s t s e a r c h – c

d

e s k e t c h

void preorderDFS(Node x) { if (!x.visited) { x.visited = true; visit x; for (Node y: x.successors) preorderDFS(y); } void postorderDFS(Node x) { if (!x.visited) { x.visited = true; for (Node y: x.successors) postorderDFS(y); visit x; }

SLIDE 45

P

s

t

r

d e r d e p t h

fj

r s t s e a r c h

V i s i t

r

d e r : D F S n

d

e 1 ( d

n

' t v i s i t i t y e t , b u t r e m e m b e r t h a t w e h a v e r e a c h e d i t )

1 2 3 4 5 6 7 = u n v i s i t e d = v i s i t e d = c u r r e n t

SLIDE 46

P

s

t

r

d e r d e p t h

fj

r s t s e a r c h

V i s i t

r

d e r : F

l

l

w

e d g e 1 3 , → r e c u r s i v e l y D F S n

d

e 3

1 2 3 4 5 6 7 = u n v i s i t e d = v i s i t e d = c u r r e n t

SLIDE 47

P

s

t

r

d e r d e p t h

fj

r s t s e a r c h

V i s i t

r

d e r : 6 F

l

l

w

e d g e 3 6 , → r e c u r s i v e l y D F S n

d

e 6 Tie r e c u r s i

n

b

t

t

m

s

u

t , v i s i t 6 !

1 2 3 4 5 6 7 = u n v i s i t e d = v i s i t e d = c u r r e n t

SLIDE 48

P

s

t

r

d e r d e p t h

fj

r s t s e a r c h

V i s i t

r

d e r : 6 R e c u r s i

n

b a c k t r a c k s t

3

1 2 3 4 5 6 7 = u n v i s i t e d = v i s i t e d = c u r r e n t

SLIDE 49

P

s

t

r

d e r d e p t h

fj

r s t s e a r c h

V i s i t

r

d e r : 6 F

l

l

w

e d g e 3 4 , → r e c u r s i v e l y D F S n

d

e 4

1 2 3 4 5 6 7 = u n v i s i t e d = v i s i t e d = c u r r e n t

SLIDE 50

P

s

t

r

d e r d e p t h

fj

r s t s e a r c h

V i s i t

r

d e r : 6 2 F

l

l

w

e d g e 4 2 , → r e c u r s i v e l y D F S n

d

e 2 Tie r e c u r s i

n

b

t

t

m

s

u

t a g a i n a n d w e v i s i t 2

1 2 3 4 5 6 7 = u n v i s i t e d = v i s i t e d = c u r r e n t

SLIDE 51

P

s

t

r

d e r d e p t h

fj

r s t s e a r c h

V i s i t

r

d e r : 6 2 4 Tie r e c u r s i

n

b a c k t r a c k s a n d n

w

w e v i s i t 4

1 2 3 4 5 6 7 = u n v i s i t e d = v i s i t e d = c u r r e n t

SLIDE 52

P

s

t

r

d e r d e p t h

fj

r s t s e a r c h

V i s i t

r

d e r : 6 2 4 3 Tie r e c u r s i

n

b a c k t r a c k s a n d n

w

w e v i s i t 3

1 2 3 4 5 6 7 = u n v i s i t e d = v i s i t e d = c u r r e n t

SLIDE 53

P

s

t

r

d e r d e p t h

fj

r s t s e a r c h

V i s i t

r

d e r : 6 2 4 3 1 Tie r e c u r s i

n

b a c k t r a c k s a n d n

w

w e v i s i t 1

1 2 3 4 5 6 7 = u n v i s i t e d = v i s i t e d = c u r r e n t

SLIDE 54

W h y p

s

t

r

d e r D F S ?

I n p

s

t

r

d e r D F S :

W

e

n

l y v i s i t a n

d

e a f t e r w e r e c u r s i v e l y D F S i t s s u c c e s s

r

s ( t h e n

d

e s i t h a s a n e d g e t

)

I f w e l

k

a t t h e

r

d e r t h e n

d

e s a r e v i s i t e d ( r a t h e r t h a n t h e c a l l s t

D

F S ) :

I

f t h e g r a p h i s a c y c l i c , w e v i s i t a n

d

e

n

l y a f t e r w e h a v e v i s i t e d a l l i t s s u c c e s s

r

s

I f w e l

k

a t t h e l i s t

f

n

d

e s i n t h e

r

d e r t h e y a r e v i s i t e d , e a c h n

d

e c

m

e s a f t e r a l l i t s s u c c e s s

r

s ( l

k

a t t h e p r e v i

u

s s l i d e )

SLIDE 55

T

p
l
g

i c a l s

r

t i n g

V i s i t

r

d e r : 6 2 4 3 1 I n t

p
l
g

i c a l s

r

t i n g , w e w a n t e a c h n

d

e t

c
m

e b e f

r

e i t s s u c c e s s

r

s . . . W i t h p

s

t

r

d e r D F S , e a c h n

d

e i s v i s i t e d a f t e r i t s s u c c e s s

r

s ! I d e a : t

t
p
l
g

i c a l l y s

r

t , d

a

p

s

t

r

d e r D F S , l

k

a t t h e

r

d e r t h e n

d

e s a r e v i s i t e d i n a n d r e v e r s e i t S m a l l p r

b

l e m : n

t

a l l n

d

e s a r e v i s i t e d ! S

l

u t i

n

: p i c k a n

d

e w e h a v e n ' t v i s i t e d a n d D F S i t

1 2 3 4 5 6 7

SLIDE 56

T

p
l
g

i c a l s

r

t i n g

T

t
p
l
g

i c a l l y s

r

t a D A G :

P

i c k a n

d

e t h a t w e h a v e n ' t v i s i t e d y e t

D
a

p

s

t

r

d e r D F S

n

i t

R

e p e a t u n t i l a l l n

d

e s h a v e b e e n v i s i t e d

Tie n t a k e t h e l i s t

f

n

d

e s i n t h e

r

d e r t h e y w e r e v i s i t e d , a n d r e v e r s e i t I f t h e g r a p h i s a c y c l i c , t h e l i s t i s t

p
l
g

i c a l l y s

r

t e d :

I

f t h e r e i s a p a t h f r

m

n

d

e A t

B

, t h e n A c

m

e s b e f

r

e B i n t h e l i s t

SLIDE 57

P r e

r

d e r v s p

s

t

r

d e r

Y

u

m i g h t t h i n k t h a t i n p r e

r

d e r D F S , w e v i s i t e a c h n

d

e b e f

r

e w e v i s i t i t s s u c c e s s s

r

s B u t t h i s i s n

t

t h e c a s e , i n t h i s e x a m p l e f r

m

e a r l i e r w e v i s i t e d 6 b e f

r

e i t s p r e d e c e s s

r

4 , b e c a u s e w e h a p p e n e d t

g
t

h r

u

g h 3 P r e

r

d e r D F S v i s i t s t h e n

d

e s i n “ a n y

l

d

r

d e r ” – p

s

t

r

d e r i s m

r

e w e l l

b

e h a v e d

I

n g e n e r a l , i f t h e r e i s a p a t h f r

m

u t

v

, a n d u a n d v a r e n

t

i n t h e s a m e S C C , t h e n u i s v i s i t e d a f t e r v 1 2 3 4 5 6 7

SLIDE 58

D e t e c t i n g c y c l e s i n g r a p h s

W e c a n

n

l y t

p
l
g

i c a l l y s

r

t a c y c l i c g r a p h s – h

w

c a n w e d e t e c t i f a g r a p h i s c y c l i c ? E a s i e s t a n s w e r : t

p
l
g

i c a l l y s

r

t t h e g r a p h a n d c h e c k i f t h e r e s u l t i s a c t u a l l y t

p
l
g

i c a l l y s

r

t e d

D
e

s a n y n

d

e i n t h e r e s u l t l i s t h a v e a n e d g e t

a

n

d

e e a r l i e r i n t h e l i s t ? I f s

,

t h e t

p
l
g

i c a l s

r

t i n g f a i l e d , a n d t h e g r a p h m u s t b e c y c l i c

O

t h e r w i s e , t h e g r a p h i s a c y c l i c

SLIDE 59

K

s

a r a j u ' s a l g

r

i t h m ( n

t
n

e x a m)

K

s

a r a j u ' s a l g

r

i t h m fj n d s a l l t h e S C C s i n a d i r e c t e d g r a p h i n l i n e a r t i m e R e c a l l

u

r a l g

r

i t h m t

fj

n d t h e S C C

f

a n

d

e A :

D
a

D F S s t a r t i n g f r

m

n

d

e A

D
a

D F S s t a r t i n g f r

m

n

d

e A i n t h e t r a n s p

s

e g r a p h

T

a k e t h e i n t e r s e c t i

n
f

t h e t w

v

i s i t e d s e t s

I n K

s

a r a j u ' s a l g

r

i t h m , w e fj r s t d

a

D F S s t a r t i n g f r

m

n

d

e A , g i v i n g a s e t S

f

v i s i t e d n

d

e s Tie n w e fj n d t h e S C C s

f

a l l n

d

e s i n S , b y d

i

n g s e v e r a l D F S e s i n t h e t r a n s p

s

e g r a p h !

SLIDE 60

K

s

a r a j u ' s a l g

r

i t h m ( n

t
n

e x a m)

S t a r t w i t h a n

d

e A , d

a

t

p
l
g

i c a l s

r

t s t a r t i n g f r

m

A N

w

t a k e t h e v i s i t e d n

d

e s i n t

p
l
g

i c a l

r

d e r , a n d f

r

e a c h n

d

e :

I

f w e h a v e a l r e a d y a s s i g n e d t h e n

d

e a n S C C , s k i p i t

O

t h e r w i s e , d

a

D F S s t a r t i n g f r

m

t h a t n

d

e i n t h e t r a n s p

s

e g r a p h

Tie

S C C

f

t h a t n

d

e i s t h e i n t e r s e c t i

n
f

t h e t w

v

i s i t e d s e t s

SLIDE 61

A n a l t e r n a t i v e : d e p t h

fj

r s t f

r

e s t s ( n

t
n

e x a m )

SLIDE 62

D e p t h

fj

r s t f

r

e s t s

I n s t e a d

f

p r

d

u c i n g a l i s t

f

n

d

e s , D F S c a n r e t u r n a t r e e t h a t s h

w

s h

w

t h e n

d

e s w e r e e x p l

r

e d ( t h e r e c u r s i

n

s t r u c t u r e ) :

1 2 3 4 5 6 7 1 3 6 4 2

SLIDE 63

D e p t h

fj

r s t f

r

e s t s

R e p e a t i n g u n t i l a l l n

d

e s h a v e b e e n v i s i t e d , w e g e t a f

r

e s t ( s e t

f

t r e e s ) :

1 2 3 4 5 6 7 1 3 6 4 2 5 7

SLIDE 64

D e p t h

fj

r s t f

r

e s t s

A g r a p h i s c y c l i c i fg t h e g r a p h h a s a n e d g e f r

m

a n

d

e i n t h e t r e e t

i

t s a n c e s t

r

:

1 2 3 4 5 6 7 1 3 6 4 2 5 7 E d g e f r

m

4 t

1

– c y c l i c

SLIDE 65

D e p t h

fj

r s t f

r

e s t s

Y

u

c a n a l s

t
p
l
g

i c a l l y s

r

t a g r a p h b y fm a t t e n i n g t h e f

r

e s t i n t

a

l i s t !

1 2 3 4 5 6 7 1 3 6 4 2 5 7 5 , 7 , 1 , 3 , 6 , 4 , 2

SLIDE 66

D e p t h

fj

r s t f

r

e s t s

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SLIDE 67

S u m m a r y

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