CRC - TR t tr rs - - PowerPoint PPT Presentation

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P♦❧❛r✐③❛t✐♦♥ ❢r♦♠ ✈♦rt✐❝✐t②❄ ◆♦♥❧♦❝❛❧ ❝♦❧❧✐s✐♦♥ t❡r♠ ❊q✉✐❧✐❜r✐✉♠ ✇✐t❤ ♥♦♥❧♦❝❛❧ ❝♦❧❧✐s✐♦♥ t❡r♠ ❙♣✐♥ ❤②❞r♦❞②♥❛♠✐❝s ❛♥❞ ♣s❡✉❞♦✲❣❛✉❣❡s ◆♦♥r❡❧❛t✐✈✐st✐❝ ❧✐♠✐t

✷ ✴ ✺✼

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❲❤② ♠❛❣♥❡t♦✲❤②❞r♦❞②♥❛♠✐❝s ✭▼❍❉✮❄

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❋✐❣✉r❡ ❢r♦♠ ❱✳ ❘♦②✱ ❙✳ P✉✱ ▲✳ ❘❡③③♦❧❧❛✱ ❛♥❞ ❉✳ ❍✳ ❘✐s❝❤❦❡✱ P❘❈✾✻ ✭✷✵✶✼✮ ✵✺✹✾✵✾

❙tr♦♥❣ ❡❧❡❝tr♦♠❛❣♥❡t✐❝ ✜❡❧❞s ✐♥ ❡❛r❧② ✉♥✐✈❡rs❡ ❛♥❞ ❝♦♠♣❛❝t st❛rs✳ ❋♦r ♠❛ss✐✈❡ s♣✐♥✲✵ ♣❛rt✐❝❧❡s✱ s❡❝♦♥❞✲♦r❞❡r ❞✐ss✐♣❛t✐✈❡ ▼❍❉ ❤❛s ❛❧r❡❛❞② ❜❡❡♥ st✉❞✐❡❞✳

• ✳❙✳ ❉❡♥✐❝♦❧✱ ❳✳✲●✳ ❍✉❛♥❣✱ ❊✳ ▼♦❧♥❛r✱ ●✳▼✳ ▼♦♥t❡✐r♦✱ ❍✳ ◆✐❡♠✐✱ ❏✳ ◆♦r♦♥❤❛✱ ❉✳❍✳ ❘✐s❝❤❦❡✱ ❛♥❞ ◗✳ ❲❛♥❣✱

P❘❉ ✾✽ ✭✷✵✶✽✮ ✵✼✻✵✵✾

• ✳❙✳ ❉❡♥✐❝♦❧✱ ❊✳ ▼♦❧♥❛r✱ ❍✳ ◆✐❡♠✐✱ ❛♥❞ ❉✳❍✳ ❘✐s❝❤❦❡✱ P❘❉ ✾✾ ✭✷✵✶✾✮ ✵✺✻✵✶✼

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❉♠✐tr✐ ❊✳ ❑❤❛r③❡❡✈✱ ▲❛rr② ❉✳ ▼❝▲❡rr❛♥✱ ❛♥❞ ❍❛r♠❡♥ ❏✳ ❲❛rr✐♥❣❛✱ ◆P❆ ✽✵✸ ✭✷✵✵✽✮

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✹ ✴ ✺✼

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❚♦✇❛r❞s ▼❍❉ ✇✐t❤ s♣✐♥

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❙t❛rt✐♥❣ ♣♦✐♥t✿ q✉❛♥t✉♠ ✜❡❧❞ t❤❡♦r②✱ ❉✐r❛❝ ❡q✉❛t✐♦♥✳ ❙tr❛t❡❣②✿ ✉s❡ ❲✐❣♥❡r ❢✉♥❝t✐♦♥s t♦ ❞❡r✐✈❡ ❦✐♥❡t✐❝ t❤❡♦r②✳

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✺ ✴ ✺✼

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• TR

◗✉❛♥t✉♠ ❛♥❛❧♦❣✉❡ ♦❢ ❝❧❛ss✐❝❛❧ ❞✐str✐❜✉t✐♦♥ ❢✉♥❝t✐♦♥✳ ❈♦♥t❛✐♥s ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥ ❛❜♦✉t q✉❛♥t✉♠ st❛t❡ ♦❢ s②st❡♠✳ ❖✛✲❡q✉✐❧✐❜r✐✉♠✿ t✇♦✲♣♦✐♥t ❢✉♥❝t✐♦♥ ❞❡♣❡♥❞s ♥♦t ♦♥❧② ♦♥ r❡❧❛t✐✈❡ ❝♦♦r❞✐♥❛t❡ y✱ ❜✉t ❛❧s♦ ♦♥ ❝❡♥tr❛❧ ❝♦♦r❞✐♥❛t❡ x✳ ❲✐❣♥❡r tr❛♥s❢♦r♠❛t✐♦♥ ♦❢ t✇♦✲♣♦✐♥t ❢✉♥❝t✐♦♥✿

❍✳✲❚❤✳ ❊❧③❡✱ ▼✳ ●②✉❧❛ss②✱ ❛♥❞ ❉✳ ❱❛s❛❦✱ ❆♥♥✳ P❤②s✳ ✶✼✸ ✭✶✾✽✼✮ ✹✻✷

W (x, p) =

• d✹ y

(✷π)✹ e− i

p·y : ¯

Ψ(x + y ✷ )Ψ(x − y ✷ ) : , ✇✐t❤ ❣❛✉❣❡ ❧✐♥❦ t♦ ❡♥s✉r❡ ❣❛✉❣❡ ✐♥✈❛r✐❛♥❝❡✳

✻ ✴ ✺✼

❑✐♥❡t✐❝ t❤❡♦r② ❛♥❞ ❤②❞r♦❞②♥❛♠✐❝s ❢♦r s♣✐♥✲✶✴✷ ♣❛rt✐❝❧❡s ✇✐t❤ ♥♦♥❧♦❝❛❧ ❝♦❧❧✐s✐♦♥s ❲✐❣♥❡r ❢✉♥❝t✐♦♥s

❲✐❣♥❡r ❢✉♥❝t✐♦♥s

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• TR

◗✉❛♥t✉♠ ❛♥❛❧♦❣✉❡ ♦❢ ❝❧❛ss✐❝❛❧ ❞✐str✐❜✉t✐♦♥ ❢✉♥❝t✐♦♥✳ ❈♦♥t❛✐♥s ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥ ❛❜♦✉t q✉❛♥t✉♠ st❛t❡ ♦❢ s②st❡♠✳ ❖✛✲❡q✉✐❧✐❜r✐✉♠✿ t✇♦✲♣♦✐♥t ❢✉♥❝t✐♦♥ ❞❡♣❡♥❞s ♥♦t ♦♥❧② ♦♥ r❡❧❛t✐✈❡ ❝♦♦r❞✐♥❛t❡ y✱ ❜✉t ❛❧s♦ ♦♥ ❝❡♥tr❛❧ ❝♦♦r❞✐♥❛t❡ x✳ ❲✐❣♥❡r tr❛♥s❢♦r♠❛t✐♦♥ ♦❢ t✇♦✲♣♦✐♥t ❢✉♥❝t✐♦♥✿

❍✳✲❚❤✳ ❊❧③❡✱ ▼✳ ●②✉❧❛ss②✱ ❛♥❞ ❉✳ ❱❛s❛❦✱ ❆♥♥✳ P❤②s✳ ✶✼✸ ✭✶✾✽✼✮ ✹✻✷

W (x, p) =

• d✹ y

(✷π)✹ e− i

p·y : ¯

Ψ(x + y ✷ )U(x + y ✷ , x)U(x, x − y ✷ )Ψ(x − y ✷ ) : , ✇✐t❤ ❣❛✉❣❡ ❧✐♥❦ U(b, a) ≡ P exp

• − i
• b

a

dzµ Aµ(z)

• t♦ ❡♥s✉r❡ ❣❛✉❣❡ ✐♥✈❛r✐❛♥❝❡✳

✻ ✴ ✺✼

❑✐♥❡t✐❝ t❤❡♦r② ❛♥❞ ❤②❞r♦❞②♥❛♠✐❝s ❢♦r s♣✐♥✲✶✴✷ ♣❛rt✐❝❧❡s ✇✐t❤ ♥♦♥❧♦❝❛❧ ❝♦❧❧✐s✐♦♥s ❲✐❣♥❡r ❢✉♥❝t✐♦♥s

❑✐♥❡t✐❝ ❡q✉❛t✐♦♥ ❢♦r ❲✐❣♥❡r ❢✉♥❝t✐♦♥

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• TR

❉✐r❛❝ ❡q✉❛t✐♦♥ = ⇒ ❊q✉❛t✐♦♥ ♦❢ ♠♦t✐♦♥ ❢♦r ❲✐❣♥❡r ❢✉♥❝t✐♦♥

❙✳ ❘✳ ❉❡ ●r♦♦t✱ ❲✳ ❆✳ ❱❛♥ ▲❡❡✉✇❡♥✱ ❛♥❞ ❈✳ ●✳ ❱❛♥ ❲❡❡rt✱ ❘❡❧❛t✐✈✐st✐❝ ❑✐♥❡t✐❝ ❚❤❡♦r②✳ Pr✐♥❝✐♣❧❡s ❛♥❞ ❆♣♣❧✐❝❛t✐♦♥s ✭◆♦rt❤✲❍♦❧❧❛♥❞✱ ✶✾✽✵✮ ❉✳ ❱❛s❛❦✱ ▼✳ ●②✉❧❛ss②✱ ❛♥❞ ❍✳ ❚✳ ❊❧③❡✱ ❆P ✶✼✸✱ ✹✻✷ ✭✶✾✽✼✮

(γ · K − m)W = C ✇✐t❤ K µ ≡ Πµ + ✶ ✷i∇µ, ∇µ ≡ ∂µ

x − j✵(∆)F µν∂pν,

Πµ ≡ pµ − ✶ ✷j✶(∆)F µν∂pν, ∆ = ✶

✷∂p · ∂x ✇✐t❤ ∂x ♦♥❧② ❛❝t✐♥❣ ♦♥ F µν ❛♥❞ j✵(r) = sin(r)/r✱

j✶(r) = [sin(r) − r cos(r)]/r ✷ s♣❤❡r✐❝❛❧ ❇❡ss❡❧ ❢✉♥❝t✐♦♥s✳ ❊①❛❝t q✉❛♥t✉♠ ❦✐♥❡t✐❝ ❡q✉❛t✐♦♥ ❢♦r ❲✐❣♥❡r ❢✉♥❝t✐♦♥ ❢♦r ♠❛ss✐✈❡ s♣✐♥ ✶✴✷✲♣❛rt✐❝❧❡s ❛♥❞ ✐♥❤♦♠♦❣❡♥❡♦✉s ✜❡❧❞s✦ ❈♦❧❧✐s✐♦♥ t❡r♠ C

✼ ✴ ✺✼

❑✐♥❡t✐❝ t❤❡♦r② ❛♥❞ ❤②❞r♦❞②♥❛♠✐❝s ❢♦r s♣✐♥✲✶✴✷ ♣❛rt✐❝❧❡s ✇✐t❤ ♥♦♥❧♦❝❛❧ ❝♦❧❧✐s✐♦♥s ❲✐❣♥❡r ❢✉♥❝t✐♦♥s

❈❛❧❝✉❧❛t✐♥❣ t❤❡ ❲✐❣♥❡r ❢✉♥❝t✐♦♥

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• TR

■♥ ❣❡♥❡r❛❧✿ r❡s✉❧t ♦❢ ❝❛❧❝✉❧❛t✐♦♥ ♦❢ ❲✐❣♥❡r ❢✉♥❝t✐♦♥ ❞✐r❡❝t❧② ❢r♦♠ ❞❡✜♥✐t✐♦♥ ✐s ♥♦t ♦♥✲s❤❡❧❧✳ ▼♦♠❡♥t✉♠ ✈❛r✐❛❜❧❡ ♦❢ ❞✐r❡❝t❧② ❝❛❧❝✉❧❛t❡❞ ❲✐❣♥❡r ❢✉♥❝t✐♦♥ ✐s ♣❤②s✐❝❛❧ ✭❦✐♥❡t✐❝✮ ♠♦♠❡♥t✉♠ ❢♦r ✈❛♥✐s❤✐♥❣ ❣r❛❞✐❡♥ts✱ ✐✳❡✳✱ ✐♥ ❣❧♦❜❛❧ ❡q✉✐❧✐❜r✐✉♠ ✇✐t❤♦✉t r♦t❛t✐♦♥✱ ♦r ✐♥ t❤❡ ❝❧❛ss✐❝❛❧ ❧✐♠✐t ✭ = ✵✮✳ ❇✉t ✇❡ ✇❛♥t✿ ✐♥❤♦♠♦❣❡♥❡♦✉s ♣❤❛s❡✲s♣❛❝❡ ❞✐str✐❜✉t✐♦♥✱ q✉❛♥t✉♠ ❡✛❡❝ts✳ ■❞❡❛✿ ❋✐♥❞ ❣❡♥❡r❛❧ s♦❧✉t✐♦♥s ♦❢ tr❛♥s♣♦rt ❡q✉❛t✐♦♥ ❢♦r ❲✐❣♥❡r ❢✉♥❝t✐♦♥ ❜② ❡①♣❛♥❞✐♥❣ ✐♥ ♣♦✇❡rs ♦❢ ✳ ❋♦r ③❡r♦t❤ ♦r❞❡r ✉s❡ r❡s✉❧ts ♦❢ ❞✐r❡❝t ❝❛❧❝✉❧❛t✐♦♥✳

✽ ✴ ✺✼

❑✐♥❡t✐❝ t❤❡♦r② ❛♥❞ ❤②❞r♦❞②♥❛♠✐❝s ❢♦r s♣✐♥✲✶✴✷ ♣❛rt✐❝❧❡s ✇✐t❤ ♥♦♥❧♦❝❛❧ ❝♦❧❧✐s✐♦♥s ❈❛❧❝✉❧❛t✐♥❣ t❤❡ ❢r❡❡ ❲✐❣♥❡r ❢✉♥❝t✐♦♥

❋r❡❡✲str❡❛♠✐♥❣ ❧✐♠✐t

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• TR

❋✐rst✿ st✉❞② ❡✛❡❝ts ♦❢ ❡❧❡❝tr♦♠❛❣♥❡t✐❝ ♠❡❛♥ ✜❡❧❞s✱ ♥❡❣❧❡❝t ❝♦❧❧✐s✐♦♥s✳ ❋r❡❡ str❡❛♠✐♥❣ C = ✵

◆❲✱ ❳✳✲▲✳ ❙❤❡♥❣✱ ❊✳ ❙♣❡r❛♥③❛✱ ◗✳ ❲❛♥❣✱ ❛♥❞ ❉✳ ❍✳ ❘✐s❝❤❦❡✱ P❘❉✶✵✵✱ ✵✺✻✵✶✽ ✭✷✵✶✾✮ ❏✳✲❍✳ ●❛♦ ❛♥❞ ❩✳✲❚✳ ▲✐❛♥❣✱ P❘❉✶✵✵✱ ✵✺✻✵✷✶✭✷✵✶✾✮ ❑✳ ❍❛tt♦r✐✱ ❨✳ ❍✐❞❛❦❛✱ ❛♥❞ ❉✳✲▲✳ ❨❛♥❣✱ P❘❉✶✵✵✱ ✵✾✻✵✶✶ ✭✷✵✶✾✮ ❩✳ ❲❛♥❣✱ ❳✳ ●✉♦✱ ❙✳ ❙❤✐✱ ❛♥❞ P✳ ❩❤✉❛♥❣✱ P❘❉ ✶✵✵ ✭✷✵✶✾✮ ✵✶✹✵✶✺ ❨✳✲❈✳ ▲✐✉✱ ❑✳ ▼❛♠❡❞❛✱ ❛♥❞ ❳✳✲●✳ ❍✉❛♥❣ ✭✷✵✷✵✮✱✷✵✵✷✳✵✸✼✺✸

❉❡❝♦♠♣♦s❡ W ✐♥ tr❛♥s♣♦rt ❡q✉❛t✐♦♥ ✐♥t♦ ❣❡♥❡r❛t♦rs ♦❢ ❈❧✐✛♦r❞ ❛❧❣❡❜r❛✿ W = ✶ ✹

• F + iγ✺P + γµVµ + γ✺γµAµ + ✶

✷σµνSµν

• .

■♥s❡rt ✐♥t♦ tr❛♥s♣♦rt ❡q✉❛t✐♦♥ ❢♦r ❲✐❣♥❡r ❢✉♥❝t✐♦♥✳

• ❡t s②st❡♠ ♦❢ ✸✷ ❝♦✉♣❧❡❞ ✭❞✐✛❡r❡♥t✐❛❧✮ ❡q✉❛t✐♦♥s✳

❊q✉❛t✐♦♥s ❢♦r F ✭s❝❛❧❛r✱ ✏♣❛rt✐❝❧❡ ❞✐str✐❜✉t✐♦♥✑✮ ❛♥❞ Sµν ✭t❡♥s♦r✱ ✏❞✐♣♦❧❡ ♠♦♠❡♥t✑✮ ❞❡❝♦✉♣❧❡ ❢r♦♠ r❡st✳ ❉❡t❡r♠✐♥❡ Vµ ✭✏✈❡❝t♦r ❝✉rr❡♥t✏✮✱ Aµ ✭✑♣♦❧❛r✐③❛t✐♦♥✏✮✱ P ❢r♦♠ Sµν, F✳ ❘❡s✉❧ts ✇✐❧❧ ❤♦❧❞ ✉♣ t♦ ♦r❞❡r O()✳

✾ ✴ ✺✼

❑✐♥❡t✐❝ t❤❡♦r② ❛♥❞ ❤②❞r♦❞②♥❛♠✐❝s ❢♦r s♣✐♥✲✶✴✷ ♣❛rt✐❝❧❡s ✇✐t❤ ♥♦♥❧♦❝❛❧ ❝♦❧❧✐s✐♦♥s ❈❛❧❝✉❧❛t✐♥❣ t❤❡ ❢r❡❡ ❲✐❣♥❡r ❢✉♥❝t✐♦♥

❈♦♥✈❡♥t✐♦♥s

CRC

• TR

◆♦t❛t✐♦♥✿ W = W (✵) + W (✶) + O(✷)✳ ❚♦ s✐♠♣❧✐❢② ♥♦t❛t✐♦♥✿ ♦♥❧② ✇r✐t❡ ♣♦s✐t✐✈❡✲❡♥❡r❣② ♣❛rts ♦❢ s♦❧✉t✐♦♥s✳ P♦❧❛r✐③❛t✐♦♥ ❞✐r❡❝t✐♦♥ nµ(x, p)✿ s♣❛❝❡✲❧✐❦❡ ✉♥✐t ✈❡❝t♦r ♣❛r❛❧❧❡❧ t♦ ❛①✐❛❧✲✈❡❝t♦r ❝✉rr❡♥t✳ ❙♣✐♥ q✉❛♥t✐③❛t✐♦♥ ❞✐r❡❝t✐♦♥✿ ✉♥✐t ✈❡❝t♦r✱ ♣✉r❡❧② s♣❛t✐❛❧ ✐♥ ♣❛rt✐❝❧❡ r❡st ❢r❛♠❡✳ ❍❡r❡✿ ❝❤♦s❡♥ t♦ ❜❡ ✐❞❡♥t✐❝❛❧ t♦ ♣♦❧❛r✐③❛t✐♦♥ ❞✐r❡❝t✐♦♥✳ ¯ us(x, p)γµγ✺us(x, p) = ✷ms nµ(x, p) → ❉✐str✐❜✉t✐♦♥ ❢✉♥❝t✐♦♥ ❞✐❛❣♦♥❛❧ ✐♥ s♣✐♥ ✐♥❞✐❝❡s✦ frs = fsδrs ❉✐r❛❝ s♣✐♥♦rs s♣❛❝❡✲t✐♠❡ ❞❡♣❡♥❞❡♥t✳ ❙♣✐♥ q✉❛♥t✐③❛t✐♦♥ ❞✐r❡❝t✐♦♥ ✐♥ r❡st✲❢r❛♠❡ ♥⋆ s♣❛❝❡✲t✐♠❡ ❛♥❞ ♠♦♠❡♥t✉♠ ❞❡♣❡♥❞❡♥t✳ ¯ u⋆

s (x, p)γγ✺u⋆ s (x, p) = ✷ms ♥⋆(x, p)

✶✵ ✴ ✺✼

❑✐♥❡t✐❝ t❤❡♦r② ❛♥❞ ❤②❞r♦❞②♥❛♠✐❝s ❢♦r s♣✐♥✲✶✴✷ ♣❛rt✐❝❧❡s ✇✐t❤ ♥♦♥❧♦❝❛❧ ❝♦❧❧✐s✐♦♥s ❋r❡❡ ❲✐❣♥❡r ❢✉♥❝t✐♦♥✿ r❡s✉❧ts

❩❡r♦t❤✲♦r❞❡r ❲✐❣♥❡r ❢✉♥❝t✐♦♥

CRC

• TR

❉✐r❡❝t ❝❛❧❝✉❧❛t✐♦♥ ②✐❡❧❞s F (✵)(x, p) = m δ(p✷ − m✷)V (✵)(x, p), A(✵)

µ (x, p)

= m n(✵)

µ δ(p✷ − m✷)A(✵)(x, p),

P(✵)(x, p) = ✵, V(✵)

µ (x, p)

= pµ δ(p✷ − m✷)V (✵)(x, p), S(✵)

µν (x, p)

= m Σ(✵)

µν δ(p✷ − m✷)A(✵)(x, p),

✇✐t❤ V (✵)(x, p) ≡ ✷ (✷π)✸

• s

f (✵)

s

(x, p), A(✵)(x, p) ≡ ✷ (✷π)✸

• s

sf (✵)

s

(x, p), Σ(✵)

µν

≡ − ✶ m ǫµναβpαn(✵)β. ❙♦❧✉t✐♦♥ ❢✉❧✜❧❧s ③❡r♦t❤✲♦r❞❡r tr❛♥s♣♦rt ❡q✉❛t✐♦♥ ❢♦r ❲✐❣♥❡r ❢✉♥❝t✐♦♥✳

✶✶ ✴ ✺✼

❑✐♥❡t✐❝ t❤❡♦r② ❛♥❞ ❤②❞r♦❞②♥❛♠✐❝s ❢♦r s♣✐♥✲✶✴✷ ♣❛rt✐❝❧❡s ✇✐t❤ ♥♦♥❧♦❝❛❧ ❝♦❧❧✐s✐♦♥s ❋r❡❡ ❲✐❣♥❡r ❢✉♥❝t✐♦♥✿ r❡s✉❧ts

◆❡①t✲t♦✲❧❡❛❞✐♥❣ ♦r❞❡r ❢r♦♠ tr❛♥s♣♦rt ❡q✉❛t✐♦♥

CRC

• TR

■♥s❡rt ③❡r♦t❤✲♦r❞❡r s♦❧✉t✐♦♥ ✐♥t♦ ✜rst✲♦r❞❡r tr❛♥s♣♦rt ❡q✉❛t✐♦♥✳ ❉❡t❡r♠✐♥❡ ❣❡♥❡r❛❧ ❢♦r♠ ♦❢ F ❛♥❞ Sµν ✉♣ t♦ ♦r❞❡r ❢r♦♠ ❝♦♥str❛✐♥ts✳

• ❡♥❡r❛❧✐③❡❞ ♦♥✲s❤❡❧❧ ❝♦♥❞✐t✐♦♥s✿

(p✷ − m✷)F = ✶ ✷F µνSµν + O(✷), (p✷ − m✷)Sµν = FµνF + O(✷). ✇✐t❤ ❛❞❞✐t✐♦♥❛❧ ❝♦♥str❛✐♥t✿ pµSµν = − ✷∇νF + O(✷). Vµ✱ Aµ ❛♥❞ P ♦♥❧② ❝♦✉♣❧❡ t♦ F ❛♥❞ Sµν✿ Vµ = ✶ m (pµF − ✶ ✷∇νSνµ) + O(✷), Aµ = − ✶ ✷m ǫµναβpνSαβ + O(✷), P = − ✶ ✷m ∇µAµ + O(✷).

✶✷ ✴ ✺✼

❑✐♥❡t✐❝ t❤❡♦r② ❛♥❞ ❤②❞r♦❞②♥❛♠✐❝s ❢♦r s♣✐♥✲✶✴✷ ♣❛rt✐❝❧❡s ✇✐t❤ ♥♦♥❧♦❝❛❧ ❝♦❧❧✐s✐♦♥s ❋r❡❡ ❲✐❣♥❡r ❢✉♥❝t✐♦♥✿ r❡s✉❧ts

• ❡♥❡r❛❧ r❡s✉❧ts ✉♣ t♦ O()

CRC

• TR

F = m

• V δ(p✷ − m✷) −

✷F µνΣ(✵)

µνA(✵) δ′(p✷ − m✷)

• + O(✷) ,

Sµν = m

• ¯

Σµνδ(p✷ − m✷) − FµνV (✵)δ′(p✷ − m✷)

• + O(✷) ,

P =

• ✹m ǫµναβ∇µ
• pνΣ(✵)

αβA(✵) δ(p✷ − m✷)

• + O(✷) ,

Vµ = δ(p✷ − m✷)

• pµV +

✷∇νΣ(✵)

µνA(✵)

• −

✶ ✷pµF αβΣ(✵)

αβ + Σ(✵) µνF ναpα

• A(✵) δ′(p✷ − m✷) + O(✷) ,

Aµ = −✶ ✷ǫµναβpν ¯ Σαβ δ(p✷ − m✷) + ˜ FµνpνV (✵) δ′(p✷ − m✷) + O(✷) , ✇✐t❤ ¯ Σ(✵)µν = Σ(✵)µνA(✵), pν ¯ Σµν = ∇µV (✵).

✶✸ ✴ ✺✼

❑✐♥❡t✐❝ t❤❡♦r② ❛♥❞ ❤②❞r♦❞②♥❛♠✐❝s ❢♦r s♣✐♥✲✶✴✷ ♣❛rt✐❝❧❡s ✇✐t❤ ♥♦♥❧♦❝❛❧ ❝♦❧❧✐s✐♦♥s ❋r❡❡ ❲✐❣♥❡r ❢✉♥❝t✐♦♥✿ r❡s✉❧ts

❙♦ ✇❤❛t ❞♦❡s t❤✐s ♠❡❛♥❄

CRC

• TR

V ❛♥❞ ¯ Σµν ❤❛✈❡ t♦ ❜❡ ❞❡t❡r♠✐♥❡❞ t❤r♦✉❣❤ ❦✐♥❡t✐❝ ❡q✉❛t✐♦♥s ❛♥❞ ❝♦♥str❛✐♥t ❡q✉❛t✐♦♥✳ ❇② ❚❛②❧♦r ❡①♣❛♥s✐♦♥ ♦❢ δ✲❢✉♥❝t✐♦♥✿ F = ✷ (✷π)✸ m

• s

δ(p✷ − m✷ − s ✷Σ(✵)

µνF µν)fs

▼♦❞✐✜❡❞ ♦♥✲s❤❡❧❧ ❝♦♥❞✐t✐♦♥✳ fs ❞✐str✐❜✉t✐♦♥ ❢✉♥❝t✐♦♥s ❢♦r s♣✐♥✲✉♣ ✭s = +✮ ❛♥❞ s♣✐♥✲❞♦✇♥ ✭s = −✮ ♣❛rt✐❝❧❡s✱ V = f+ + f− ❛♥❞ A(✵) = f (✵)

+

− f (✵)

− ✳

❲r✐t❡ ¯ Σµν ≡ Ξµν + ✷χµν ✇✐t❤ pνΞµν = ✵, ✑❝❧❛ss✐❝❛❧✏ ❞✐♣♦❧❡ ♠♦♠❡♥t❀ pνχµν = ∇µV (✵), ❞✐♣♦❧❡ ♠♦♠❡♥t ✐♥❞✉❝❡❞ ❜② ❣r❛❞✐❡♥ts✳

✶✹ ✴ ✺✼

❑✐♥❡t✐❝ t❤❡♦r② ❛♥❞ ❤②❞r♦❞②♥❛♠✐❝s ❢♦r s♣✐♥✲✶✴✷ ♣❛rt✐❝❧❡s ✇✐t❤ ♥♦♥❧♦❝❛❧ ❝♦❧❧✐s✐♦♥s ❈♦❧❧✐s✐♦♥❧❡ss ❦✐♥❡t✐❝ t❤❡♦r②

❈♦❧❧✐s✐♦♥❧❡ss ❇♦❧t③♠❛♥♥ ❡q✉❛t✐♦♥ ❢♦r ♠❛ss✐✈❡ s♣✐♥✲✶✴✷ ♣❛rt✐❝❧❡s

CRC

• TR
• ❡♥❡r❛❧✐③❡❞ ❇♦❧t③♠❛♥♥ ❡q✉❛t✐♦♥
• s

δ

• p✷ − m✷

pµ∂xµfs + ∂pµ

• F µνpν +

✹ sΣ(✵)νρ(∂µFνρ)

• fs
• = ✵

❋♦r❝❡ ♦♥ ♣❛rt✐❝❧❡✿ ✜rst ▼❛t❤✐ss♦♥✲P❛♣❛♣❡tr♦✉✲❉✐①♦♥ ✭▼P❉✮ ❡q✉❛t✐♦♥ → P❛rt✐❝❧❡ ✇✐t❤ ❝❧❛ss✐❝❛❧ ❞✐♣♦❧❡ ♠♦♠❡♥t Σ(✵)µν ✐♥ ❡❧❡❝tr♦♠❛❣♥❡t✐❝ ✜❡❧❞✿

❲✳ ■sr❛❡❧✱ ●❡♥❡r❛❧ ❘❡❧❛t✐✈✐t② ❛♥❞ ●r❛✈✐t❛t✐♦♥ ✾ ✭✶✾✼✽✮ ✹✺✶

m d dτ pµ = F µνpν + ✹sΣ(✵)νρ(∂µFνρ) . τ✿ ✇♦r❧❞❧✐♥❡ ♣❛r❛♠❡t❡r✱

d dτ = ˙

xµ

∂ ∂xµ + ˙

pµ

∂ ∂pµ ✳

✶✺ ✴ ✺✼

❑✐♥❡t✐❝ t❤❡♦r② ❛♥❞ ❤②❞r♦❞②♥❛♠✐❝s ❢♦r s♣✐♥✲✶✴✷ ♣❛rt✐❝❧❡s ✇✐t❤ ♥♦♥❧♦❝❛❧ ❝♦❧❧✐s✐♦♥s ❈♦❧❧✐s✐♦♥❧❡ss ❦✐♥❡t✐❝ t❤❡♦r②

❑✐♥❡t✐❝ ❡q✉❛t✐♦♥ ❢♦r ❞✐♣♦❧❡ ♠♦♠❡♥t

CRC

• TR

¯ Σµν ❞❡t❡r♠✐♥❡❞ ❜② ❦✐♥❡t✐❝ ❡q✉❛t✐♦♥ ❢♦r ❞✐♣♦❧❡ ♠♦♠❡♥t✿ δ(p✷ − m✷)

• p · ∇¯

Σµν − ¯ ΣλνF µ

λ + ¯

ΣλµF ν

λ + ✶

✷(∂xαF µν)∂pαV (✵)

• = ✵.

❚♦ ③❡r♦t❤ ♦r❞❡r✿ m d dτ Σ(✵)µν = Σ(✵)λνF µ

λ − Σ(✵)λµF ν λ, .

❘❡❝♦✈❡r s❡❝♦♥❞ ▼P❉ ❡q✉❛t✐♦♥ ❢♦r ❞✐♣♦❧❡✲♠♦♠❡♥t t❡♥s♦r Σ(✵)

µν✦

❲✳ ■sr❛❡❧✱ ●❡♥❡r❛❧ ❘❡❧❛t✐✈✐t② ❛♥❞ ●r❛✈✐t❛t✐♦♥ ✾ ✭✶✾✼✽✮ ✹✺✶

❊q✉✐✈❛❧❡♥t t♦ ❇❛r❣♠❛♥♥✲▼✐❝❤❡❧✲❚❡❧❡❣❞✐ ✭❇▼❚✮ ❡q✉❛t✐♦♥

❱✳ ❇❛r❣♠❛♥♥✱ ▲✳ ▼✐❝❤❡❧✱ ❛♥❞ ❱✳▲✳ ❚❡❧❡❣❞✐✱ P❘▲ ✷ ✭✶✾✺✾✮ ✹✸✺

m d dτ n(✵)µ = F µνn(✵)

ν ,

✇✐t❤ ❝❧❛ss✐❝❛❧ s♣✐♥ ✈❡❝t♦r n(✵)µ = − ✶ ✷m ǫµναβpνΣ(✵)

αβ

✶✻ ✴ ✺✼

❑✐♥❡t✐❝ t❤❡♦r② ❛♥❞ ❤②❞r♦❞②♥❛♠✐❝s ❢♦r s♣✐♥✲✶✴✷ ♣❛rt✐❝❧❡s ✇✐t❤ ♥♦♥❧♦❝❛❧ ❝♦❧❧✐s✐♦♥s ▼❛ss❧❡ss ❧✐♠✐t

▼❛ss❧❡ss ❧✐♠✐t

CRC

• TR

◆♦♥✲r❡❧❛t✐✈✐st✐❝ ❞✐♣♦❧❡✲♠♦♠❡♥t t❡♥s♦r ❝♦♥♥❡❝t❡❞ t♦ s♣✐♥ t❤r❡❡✲✈❡❝t♦r nk✿ Σij = ǫijknk. ❋♦r ♠❛ss✐✈❡ ♣❛rt✐❝❧❡s✿ ❞❡✜♥❡ s♣✐♥ ✐♥ r❡st ❢r❛♠❡✳

❯✳ ❍❡✐♥③✱ P▲❇ ✶✹✹ ✭✶✾✽✹✮ ✷✷✽

Σµν = − ✶ m ǫµναβpαnβ. ❋♦r ♠❛ss❧❡ss ♣❛rt✐❝❧❡s✿ ❞❡✜♥❡ s♣✐♥ ✐♥ ❛r❜✐tr❛r② ❢r❛♠❡ ✇✐t❤ ❢♦✉r✲✈❡❧♦❝✐t② uµ✳ ❙♣✐♥ ✈❡❝t♦r nµ ✐s ❛❧✇❛②s ♣❛r❛❧❧❡❧ t♦ ♠♦♠❡♥t✉♠✳

❏✲❨✳ ❈❤❡♥✱ ❉✳❚✳ ❙♦♥✱ ❛♥❞ ▼✳ ❙t❡♣❤❛♥♦✈✱ P❘▲ ✶✶✺ ✭✷✵✶✺✮ ✵✷✶✻✵✶

Σµν

u

= − ✶ p · u ǫµναβuαpβ. ▼❛ss❧❡ss ❧✐♠✐t✿ r❡♣❧❛❝❡ ♠❛ss✐✈❡ ❜② ♠❛ss❧❡ss ❞✐♣♦❧❡✲♠♦♠❡♥t t❡♥s♦r Σµν → Σµν

u ✳

❘❡s✉❧t ❛❣r❡❡s ✇✐t❤ ♣r❡✈✐♦✉s❧② ❦♥♦✇♥ ♠❛ss❧❡ss s♦❧✉t✐♦♥✦

❨✳ ❍✐❞❛❦❛✱ ❙✳ P✉✱ ❛♥❞ ❉✲▲✳ ❨❛♥❣✱ P❘❉ ✾✺ ✭✷✵✶✼✮ ✵✾✶✾✵✶ ❆✳ ❍✉❛♥❣✱ ❙✳ ❙❤✐✱ ❨✳ ❏✐❛♥❣✱ ❏✳ ▲✐❛♦✱ ❛♥❞ P✳ ❩❤✉❛♥❣✱ P❘❉ ✾✽ ✭✷✵✶✽✮ ✵✸✻✵✶✵ ❏✳✲❍✳ ●❛♦✱ ❩✳✲❚✳ ▲✐❛♥❣✱ ◗✳ ❲❛♥❣✱ ❛♥❞ ❳✳✲◆✳ ❲❛♥❣✱ P❘❉ ✾✽ ✭✷✵✶✽✮ ✵✸✻✵✶✾ ✶✼ ✴ ✺✼

❑✐♥❡t✐❝ t❤❡♦r② ❛♥❞ ❤②❞r♦❞②♥❛♠✐❝s ❢♦r s♣✐♥✲✶✴✷ ♣❛rt✐❝❧❡s ✇✐t❤ ♥♦♥❧♦❝❛❧ ❝♦❧❧✐s✐♦♥s

• ❧♦❜❛❧ ❡q✉✐❧✐❜r✐✉♠
• ❧♦❜❛❧ ❡q✉✐❧✐❜r✐✉♠ ✭st❛♥❞❛r❞ ❝♦❧❧✐s✐♦♥ t❡r♠✮

CRC

• TR

❆ss✉♠❡ st❛♥❞❛r❞ ✭❧♦❝❛❧✮ ❝♦❧❧✐s✐♦♥ t❡r♠ ✇❤✐❝❤ ✈❛♥✐s❤❡s ✐♥ ❣❧♦❜❛❧ ❡q✉✐❧✐❜r✐✉♠ ❊q✉✐❧✐❜r✐✉♠ ❞✐str✐❜✉t✐♦♥ ❢✉♥❝t✐♦♥✿ f eq

s

= (egs + ✶)−✶, ✇✐t❤ g ❧✐♥❡❛r ❝♦♠❜✐♥❛t✐♦♥ ♦❢ ❝♦♥s❡r✈❡❞ q✉❛♥t✐t✐❡s ❝❤❛r❣❡✱ ♠♦♠❡♥t✉♠✱ ❛♥❞ ❛♥❣✉❧❛r ♠♦♠❡♥t✉♠✿ gs = βU · π − βµs + ✹s ωµνΣµν. ❍❡r❡✱ πµ ≡ pµ + Aµ ✐s ❝❛♥♦♥✐❝❛❧ ♠♦♠❡♥t✉♠✱ Uµ ✐s ✢✉✐❞ ✈❡❧♦❝✐t②✱ β ≡ ✶

T ✐s

✐♥✈❡rs❡ t❡♠♣❡r❛t✉r❡✱ ❛♥❞ µs ✐s ❝❤❡♠✐❝❛❧ ♣♦t❡♥t✐❛❧✳ ❈♦♥❞✐t✐♦♥s ❢♦r ❣❧♦❜❛❧ ❡q✉✐❧✐❜r✐✉♠✿ ❇♦❧t③♠❛♥♥ ❡q✉❛t✐♦♥ ❤❛s t♦ ❜❡ ❢✉❧✜❧❧❡❞✳ ∂µµs = ✵, ∂µβν + ∂νβµ = ✵, ωµν= ✶ ✷(∂µβν + ∂νβµ) ▲❛st ❝♦♥❞✐t✐♦♥ ♦♥❧② r❡q✉✐r❡❞ ✐♥ ♣r❡s❡♥❝❡ ♦❢ ❡❧❡❝tr♦♠❛❣♥❡t✐❝ ✜❡❧❞✳

✶✽ ✴ ✺✼

❑✐♥❡t✐❝ t❤❡♦r② ❛♥❞ ❤②❞r♦❞②♥❛♠✐❝s ❢♦r s♣✐♥✲✶✴✷ ♣❛rt✐❝❧❡s ✇✐t❤ ♥♦♥❧♦❝❛❧ ❝♦❧❧✐s✐♦♥s

• ❧♦❜❛❧ ❡q✉✐❧✐❜r✐✉♠

❱❡❝t♦r ❝✉rr❡♥t ✐♥ ❣❧♦❜❛❧ ❡q✉✐❧✐❜r✐✉♠

CRC

• TR

❱❡❝t♦r ❝✉rr❡♥t ✐s ❡①♣❧✐❝✐t❧② ❝❛❧❝✉❧❛t❡❞ ❛s✿ Vµ = ✷ (✷π)✸

• s
• δ(p✷ − m✷)
• pµ − m s

✷ ˜ ωµνn(✵)

ν ∂β·π

• + s ˜

F µνn(✵)

ν δ′(p✷ − m✷) + s

✷m δ(p✷ − m✷)ǫνµαβpα∇νn(✵)

β

• f (✵)

s

, ✇✐t❤ ③❡r♦t❤✲♦r❞❡r ❡q✉✐❧✐❜r✐✉♠ ❞✐str✐❜✉t✐♦♥ ❢✉♥❝t✐♦♥ f (✵)

s

= [exp(βU · π − βµs) + ✶]−✶, ❆♥❛❧♦❣✉❡ ♦❢ ❝❤✐r❛❧ ✈♦rt✐❝❛❧ ❡✛❡❝t ✭❈❱❊✮ ❢♦r ♠❛ss✐✈❡ ♣❛rt✐❝❧❡s✳

❉✳ ❚✳ ❙♦♥ ❛♥❞ P✳ ❙✉r♦✇❦❛✱ P❘▲ ✶✵✸ ✭✷✵✵✾✮ ✵✾✵✻✳✺✵✹✹

❆♥❛❧♦❣✉❡ ♦❢ ❝❤✐r❛❧ ♠❛❣♥❡t✐❝ ❡✛❡❝t ✭❈▼❊✮✳

❉✳ ❊✳ ❑❤❛r③❡❡✈✱ ▲✳ ❉✳ ▼❝▲❡rr❛♥✱ ❛♥❞ ❍✳ ❏✳ ❲❛rr✐♥❣❛✱ ◆P❆ ✽✵✸ ✭✷✵✵✽✮ ✵✼✶✶✳✵✾✺✵

❉✉❛❧ t❤❡r♠❛❧ ✈♦rt✐❝✐t② t❡♥s♦r✿ ˜ ωµν ≡ ✶

✷ǫµναβωαβ✳

✶✾ ✴ ✺✼

❑✐♥❡t✐❝ t❤❡♦r② ❛♥❞ ❤②❞r♦❞②♥❛♠✐❝s ❢♦r s♣✐♥✲✶✴✷ ♣❛rt✐❝❧❡s ✇✐t❤ ♥♦♥❧♦❝❛❧ ❝♦❧❧✐s✐♦♥s

• ❧♦❜❛❧ ❡q✉✐❧✐❜r✐✉♠

❆①✐❛❧✲✈❡❝t♦r ❝✉rr❡♥t ✐♥ ❣❧♦❜❛❧ ❡q✉✐❧✐❜r✐✉♠

CRC

• TR

❖❜t❛✐♥ ❡①♣r❡ss✐♦♥ ❢♦r ❛①✐❛❧✲✈❡❝t♦r ❝✉rr❡♥t✿ Aµ = ✷ (✷π)✸

• s
• δ(p✷ − m✷)
• s m n(✵)µ −

✷ ˜ ωµνpν∂β·π

• + ˜

F µνpνδ′(p✷ − m✷)

• f (✵)

s

− ✷ǫµναβpνΞαβ δ(p✷ − m✷) . ❈❧❛ss✐❝❛❧ s♣✐♥ ♣r❡❝❡ss✐♦♥✳ ❆♥❛❧♦❣✉❡ ♦❢ ❛①✐❛❧ ❝❤✐r❛❧ ✈♦rt✐❝❛❧ ❡✛❡❝t ✭❆❈❱❊✮✳ ❆♥❛❧♦❣✉❡ ♦❢ ❝❤✐r❛❧ s❡♣❛r❛t✐♦♥ ❡✛❡❝t ✭❈❙❊✮✳

❉✳ ❊✳ ❑❤❛r③❡❡✈✱ ❏✳ ▲✐❛♦✱ ❙✳ ❆✳ ❱♦❧♦s❤✐♥✱ ❛♥❞ ●✳ ❲❛♥❣✱ Pr♦❣✳ P❛rt✳ ◆P ✽✽ ✭✷✵✶✻✮✱ ✶✺✶✶✳✵✹✵✺✵ ✷✵ ✴ ✺✼

❑✐♥❡t✐❝ t❤❡♦r② ❛♥❞ ❤②❞r♦❞②♥❛♠✐❝s ❢♦r s♣✐♥✲✶✴✷ ♣❛rt✐❝❧❡s ✇✐t❤ ♥♦♥❧♦❝❛❧ ❝♦❧❧✐s✐♦♥s ❙✉♠♠❛r②✿ ❢r❡❡ str❡❛♠✐♥❣

❙✉♠♠❛r②✿ ❢r❡❡ str❡❛♠✐♥❣

CRC

• TR

❉❡r✐✈❡❞ ❝♦❧❧✐s✐♦♥❧❡ss tr❛♥s♣♦rt ❡q✉❛t✐♦♥ ❢♦r ❞✐str✐❜✉t✐♦♥ ❢✉♥❝t✐♦♥ ❛♥❞ ♣♦❧❛r✐③❛t✐♦♥ ❢♦r ♠❛ss✐✈❡ s♣✐♥✲✶✴✷ ♣❛rt✐❝❧❡s ✐♥ ✐♥❤♦♠♦❣❡♥❡♦✉s ❡❧❡❝tr♦♠❛❣♥❡t✐❝ ✜❡❧❞s✳ ❘❡❝♦✈❡r❡❞ ❝❧❛ss✐❝❛❧ ❡q✉❛t✐♦♥s ♦❢ ♠♦t✐♦♥✳ ❙♦❧✉t✐♦♥ ❛❣r❡❡s ✇✐t❤ ♣r❡✈✐♦✉s❧② ❦♥♦✇♥ ♠❛ss❧❡ss s♦❧✉t✐♦♥ ✐♥ ♠❛ss❧❡ss ❧✐♠✐t✳ ❉❡r✐✈❡❞ ❡①♣❧✐❝✐t ❡①♣r❡ss✐♦♥s ❢♦r ❝✉rr❡♥ts ✐♥ ❣❧♦❜❛❧ ❡q✉✐❧✐❜r✐✉♠ ✉♥❞❡r ❛ss✉♠♣t✐♦♥ ♦❢ ✈❛♥✐s❤✐♥❣ ❝♦❧❧✐s✐♦♥ t❡r♠✳ ❙♣✐♥ ♣♦t❡♥t✐❛❧ ωµν ❝❛♥ ❜❡ s❤♦✇♥ t♦ ❜❡ ❡q✉❛❧ t♦ t❤❡r♠❛❧ ✈♦rt✐❝✐t② ♦♥❧② ✐♥ ♣r❡s❡♥❝❡ ♦❢ ❡❧❡❝tr♦♠❛❣♥❡t✐❝ ✜❡❧❞s✳ ■s t❤❡r❡ s♦♠❡t❤✐♥❣ ♠✐ss✐♥❣❄ → ❈♦❧❧✐s✐♦♥ t❡r♠✦ ❍♦✇ t♦ ♦❜t❛✐♥ s♣✐♥ ♣♦❧❛r✐③❛t✐♦♥ ❢r♦♠ ✈♦rt✐❝✐t②❄

✷✶ ✴ ✺✼

❑✐♥❡t✐❝ t❤❡♦r② ❛♥❞ ❤②❞r♦❞②♥❛♠✐❝s ❢♦r s♣✐♥✲✶✴✷ ♣❛rt✐❝❧❡s ✇✐t❤ ♥♦♥❧♦❝❛❧ ❝♦❧❧✐s✐♦♥s P♦❧❛r✐③❛t✐♦♥ ❛♥❞ ✈♦rt✐❝✐t②

P♦❧❛r✐③❛t✐♦♥ ❢r♦♠ ✈♦rt✐❝✐t②❄

CRC

• TR

▲❛r❣❡ ❣❧♦❜❛❧ ❛♥❣✉❧❛r ♠♦♠❡♥t✉♠ ❝r❡❛t❡❞ ✐♥ ♥♦♥❝❡♥tr❛❧ ❤❡❛✈②✲✐♦♥ ❝♦❧❧✐s✐♦♥s✳ ■s ♦r❜✐t❛❧ ❛♥❣✉❧❛r ♠♦♠❡♥t✉♠ ❝♦♥✈❡rt❡❞ ✐♥t♦ s♣✐♥❄ ❉♦❡s t❤✐s ❣❡♥❡r❛t❡ s♣✐♥ ♣♦❧❛r✐③❛t✐♦♥ ✐♥ ❤♦t ❛♥❞ ❞❡♥s❡ ♠❛tt❡r❄

✷✷ ✴ ✺✼

❑✐♥❡t✐❝ t❤❡♦r② ❛♥❞ ❤②❞r♦❞②♥❛♠✐❝s ❢♦r s♣✐♥✲✶✴✷ ♣❛rt✐❝❧❡s ✇✐t❤ ♥♦♥❧♦❝❛❧ ❝♦❧❧✐s✐♦♥s P♦❧❛r✐③❛t✐♦♥ ❛♥❞ ✈♦rt✐❝✐t②

❊①♣❡r✐♠❡♥t❛❧ ♦❜s❡r✈❛t✐♦♥ ✲ Λ ♣♦❧❛r✐③❛t✐♦♥

CRC

• TR

▼❡❛s✉r❡♠❡♥t ♦❢ Λ ❤②♣❡r♦♥ ♣♦❧❛r✐③❛t✐♦♥ ❛❧♦♥❣ ❛♥❣✉❧❛r ♠♦♠❡♥t✉♠ ❞✐r❡❝t✐♦♥

(GeV)

NN

s 10

2

10 2 4 6 8

Au+Au 20-50% this study Λ this study Λ PRC76 024915 (2007) Λ PRC76 024915 (2007) Λ

▲✳ ❆❞❛♠❝③②❦ ❡t ❛❧✳ ✭❙❚❆❘✮✱ ◆❛t✉r❡ ✺✹✽ ✻✷✲✻✺

◗✉❛r❦✲❣❧✉♦♥ ♣❧❛s♠❛ ✐s t❤❡ ✧♠♦st ✈♦rt✐❝❛❧ ✢✉✐❞ ❡✈❡r ♦❜s❡r✈❡❞✧ ω ≈ (✾ + ✶) × ✶✵✷✶s−✶

• r❡❛t ❘❡❞ ❙♣♦t ♦❢ ❏✉♣✐t❡r ✶✵−✹ s−✶✱

❚✉r❜✉❧❡♥t ✢♦✇ s✉♣❡r✢✉✐❞ ❍❡✲■■ ✶✺✵ s−✶✱ ❙✉♣❡r✢✉✐❞ ♥❛♥♦❞r♦♣❧❡ts ✶✵✼ s−✶

✷✸ ✴ ✺✼

❑✐♥❡t✐❝ t❤❡♦r② ❛♥❞ ❤②❞r♦❞②♥❛♠✐❝s ❢♦r s♣✐♥✲✶✴✷ ♣❛rt✐❝❧❡s ✇✐t❤ ♥♦♥❧♦❝❛❧ ❝♦❧❧✐s✐♦♥s P♦❧❛r✐③❛t✐♦♥ ❛♥❞ ✈♦rt✐❝✐t②

P♦❧❛r✐③❛t✐♦♥ ❢r♦♠ ✈♦rt✐❝✐t②❄

CRC

• TR

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✷✹ ✴ ✺✼

❑✐♥❡t✐❝ t❤❡♦r② ❛♥❞ ❤②❞r♦❞②♥❛♠✐❝s ❢♦r s♣✐♥✲✶✴✷ ♣❛rt✐❝❧❡s ✇✐t❤ ♥♦♥❧♦❝❛❧ ❝♦❧❧✐s✐♦♥s P♦❧❛r✐③❛t✐♦♥ ❛♥❞ ✈♦rt✐❝✐t②

❘♦t❛t✐♦♥ ❛♥❞ ♣♦❧❛r✐③❛t✐♦♥

CRC

• TR

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❋❡rr♦♠❛❣♥❡t ❣❡ts ♠❛❣♥❡t✐③❡❞ ✇❤❡♥ ✐t r♦t❛t❡s ❲❤❛t ❝❛♥ ✇❡ ❧❡❛r♥ ❢r♦♠ t❤❡ ♥♦♥r❡❧❛t✐✈✐st✐❝ ❝❛s❡❄

✷✺ ✴ ✺✼

❑✐♥❡t✐❝ t❤❡♦r② ❛♥❞ ❤②❞r♦❞②♥❛♠✐❝s ❢♦r s♣✐♥✲✶✴✷ ♣❛rt✐❝❧❡s ✇✐t❤ ♥♦♥❧♦❝❛❧ ❝♦❧❧✐s✐♦♥s ◆♦♥r❡❧❛t✐✈✐st✐❝ ❝❛s❡

▼✐❝r♦♣♦❧❛r ✢✉✐❞s

• ✳ ▲✉❦❛s③❡✇✐❝③✱ ▼✐❝r♦♣♦❧❛r ❋❧✉✐❞s✱ ❚❤❡♦r② ❛♥❞ ❆♣♣❧✐❝❛t✐♦♥s ✭❇✐r❦❤ä✉s❡r ❇♦st♦♥✱ ✶✾✾✾✮

CRC

• TR

❙✐♠♣❧❡ ♠♦❞❡❧ ✇✐t❤ ♠❛♥② ❛♣♣❧✐❝❛t✐♦♥s✿ s♣✐♥tr♦♥✐❝s✱ ❝❤✐r❛❧ ❛❝t✐✈❡ ✢✉✐❞s✱✳✳✳

❘✳ ❚❛❦❛❤❛s❤✐✱ ▼✳ ▼❛ts✉♦✱ ▼✳ ❖♥♦✱ ❑✳ ❍❛r✐✐✱ ❍✳ ❈❤✉❞♦✱ ❙✳ ❖❦❛②❛s✉✱ ❏✳ ■❡❞❛✱ ❙✳ ❚❛❦❛❤❛s❤✐✱ ❙✳ ▼❛❡❦❛✇❛✱ ❛♥❞ ❊✳ ❙❛✐t♦❤✱ ◆❛t✉r❡ P❤②s✐❝s ✶✷✱ ✺✷ ✭✷✵✶✻✮ ❉✳ ❇❛♥❡r❥❡❡✱ ❆✳ ❙♦✉s❧♦✈✱ ❆✳ ●✳ ❆❜❛♥♦✈✱ ❛♥❞ ❱✳ ❱✐t❡❧❧✐✱ ◆❛t✉r❡ ❝♦♠♠✉♥✐❝❛t✐♦♥s ✽✱ ✶ ✭✷✵✶✼✮

❋❧✉✐❞ ♦❢ r✐❣✐❞✱ r❛♥❞♦♠❧② ♦r✐❡♥t❡❞ ♣❛rt✐❝❧❡s ✇✐t❤ ✐♥t❡r♥❛❧ ❛♥❣✉❧❛r ♠♦♠❡♥t✉♠ ℓ✳ ▼❛ss ❞❡♥s✐t② ρ✱ ✢✉✐❞ ✈❡❧♦❝✐t② ✉✱ ♥♦♥✲s②♠♠❡tr✐❝ str❡ss t❡♥s♦r T ij✳ ❈♦♥s❡r✈❛t✐♦♥ ♦❢ t♦t❛❧ ❛♥❣✉❧❛r ♠♦♠❡♥t✉♠ d dt

• Ω(t)

d✸x ρ(ℓi + ǫijkxjuk) =

• ∂Ω(t)

dΣl(C li + ǫijkxjT lk) ❈❤❛♥❣❡ ✐♥ ✈♦❧✉♠❡ ❡❧❡♠❡♥t ❣✐✈❡♥ ❜② s✉r❢❛❝❡ ✢♦✇ ❞❡s❝r✐❜❡❞ ❜② str❡ss ❢♦r ♠♦♠❡♥t✉♠✱ ✧❝♦✉♣❧❡ str❡ss✧ ❢♦r ✐♥t❡r♥❛❧ ❛♥❣✉❧❛r ♠♦♠❡♥t✉♠✳ ❆❢t❡r s❤♦rt ❝❛❧❝✉❧❛t✐♦♥✿ ρ

• ∂✵ + uj∂j

ℓi = ∂jC ji + ǫijkT jk

• ❛✐♥ ♦r ❧♦ss ♦❢ ✐♥t❡r♥❛❧ ❛♥❣✉❧❛r ♠♦♠❡♥t✉♠✿ ❝♦✉♣❧❡ str❡ss t❡♥s♦r ❛♥❞

❛♥t✐s②♠♠❡tr✐❝ ♣❛rt ♦❢ str❡ss t❡♥s♦r✦

✷✻ ✴ ✺✼

❑✐♥❡t✐❝ t❤❡♦r② ❛♥❞ ❤②❞r♦❞②♥❛♠✐❝s ❢♦r s♣✐♥✲✶✴✷ ♣❛rt✐❝❧❡s ✇✐t❤ ♥♦♥❧♦❝❛❧ ❝♦❧❧✐s✐♦♥s ◆♦♥r❡❧❛t✐✈✐st✐❝ ❝❛s❡

P♦❧❛r✐③❛t✐♦♥ ❢r♦♠ ✈♦rt✐❝✐t②❄

CRC

• TR

▲❛r❣❡ ❣❧♦❜❛❧ ❛♥❣✉❧❛r ♠♦♠❡♥t✉♠ ❝r❡❛t❡❞ ✐♥ ♥♦♥❝❡♥tr❛❧ ❤❡❛✈②✲✐♦♥ ❝♦❧❧✐s✐♦♥s✳ ■s ♦r❜✐t❛❧ ❛♥❣✉❧❛r ♠♦♠❡♥t✉♠ ❝♦♥✈❡rt❡❞ ✐♥t♦ s♣✐♥❄ ❉♦❡s t❤✐s ❣❡♥❡r❛t❡ s♣✐♥ ♣♦❧❛r✐③❛t✐♦♥ ✐♥ ❤♦t ❛♥❞ ❞❡♥s❡ ♠❛tt❡r❄ ❨❡s✦ ❈♦♥♥❡❝t s♣✐♥ ♣♦❧❛r✐③❛t✐♦♥ ❛♥❞ ✈♦rt✐❝✐t②✦ ❍♦✇ t♦ ❞❡s❝r✐❜❡ t❤✐s ✇✐t❤ ✢✉✐❞ ❞②♥❛♠✐❝s❄

❆♥t✐s②♠♠❡tr✐❝ ♣❛rt ♦❢ ❡♥❡r❣②✲♠♦♠❡♥t✉♠ t❡♥s♦r ❈♦✉♣❧❡ str❡ss t❡♥s♦r

❍♦✇ t♦ ❞❡r✐✈❡ t❤✐s ❢r♦♠ ♠✐❝r♦s❝♦♣✐❝ t❤❡♦r②❄

✷✼ ✴ ✺✼

❑✐♥❡t✐❝ t❤❡♦r② ❛♥❞ ❤②❞r♦❞②♥❛♠✐❝s ❢♦r s♣✐♥✲✶✴✷ ♣❛rt✐❝❧❡s ✇✐t❤ ♥♦♥❧♦❝❛❧ ❝♦❧❧✐s✐♦♥s ◆♦♥r❡❧❛t✐✈✐st✐❝ ❝❛s❡

◆♦♥r❡❧❛t✐✈✐st✐❝ ❦✐♥❡t✐❝ t❤❡♦r②

CRC

• TR

◆♦♥r❡❧❛t✐✈✐st✐❝ ❤②❞r♦❞②♥❛♠✐❝s ✇✐t❤ s♣✐♥ ❢r♦♠ ❦✐♥❡t✐❝ t❤❡♦r② ✇❛s st✉❞✐❡❞ ❧♦♥❣ t✐♠❡ ❛❣♦✳

❙✳ ❍❡ss ❛♥❞ ▲✳ ❲❛❧❞♠❛♥♥✱ ❩❡✐ts❝❤r✐❢t ❢ür ◆❛t✉r❢♦rs❝❤✉♥❣ ❆ ✷✻✱ ✶✵✺✼ ✭✶✾✼✶✮

❆ss✉♠❡s ❧♦❝❛❧ ❝♦❧❧✐s✐♦♥ t❡r♠✳ ◆♦ ♦r❜✐t❛❧ ❛♥❣✉❧❛r ♠♦♠❡♥t✉♠ ✐♥ ❝♦❧❧✐s✐♦♥✳ ❙♣✐♥ ✐s ❝♦♥s❡r✈❡❞ s❡♣❛r❛t❡❧②✦ ❊q✉✐❧✐❜r✐✉♠ ♣♦❧❛r✐③❛t✐♦♥ ✈❛♥✐s❤❡s✳ ✧❚❤❡r❡ ✐s ❛♥♦t❤❡r ❡✛❡❝t ✇❤✐❝❤ ✇❡ ❝❛♥♥♦t ❞❡s❝r✐❜❡ ✇✐t❤ ❛ ❧♦❝❛❧ ❝♦❧❧✐s✐♦♥ ♦♣❡r❛t♦r ✭❡✈❡♥ ✐♥ t❤❡r♠❛❧ ❡q✉✐❧✐❜r✐✉♠✮ ✿ t❤❡ ♦r✐❡♥t❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ s♣✐♥ ❜② ❛ ❧♦❝❛❧ ♦r ✉♥✐❢♦r♠ r♦t❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ s②st❡♠ ✭❇❆❘◆❊❚❚ ❡✛❡❝t✮✧✳

❙✳ ❍❡ss ❛♥❞ ▲✳ ❲❛❧❞♠❛♥♥✱ ❩❡✐ts❝❤r✐❢t ❢ür ◆❛t✉r❢♦rs❝❤✉♥❣ ❆ ✷✻✱ ✶✵✺✼ ✭✶✾✼✶✮

▼♦❞✐❢② s②♠♠❡tr✐❝ str❡ss t❡♥s♦r ❜② ❤❛♥❞✿ ✧❛♥t✐s②♠♠❡tr✐❝ ♣❛rt ♦❢ str❡ss t❡♥s♦r ∝ s♣✐♥ ♣♦❧❛r✐③❛t✐♦♥ ✲ ✈♦rt✐❝✐t②✳✧ P❤❡♥♦♠❡♥♦❧♦❣✐❝❛❧ tr❡❛t♠❡♥t ♦❢ s♣✐♥✲✈♦rt✐❝✐t② t❡r♠ ✐♥ ❡q✉❛t✐♦♥s ♦❢ ♠♦t✐♦♥✳

✷✽ ✴ ✺✼

❑✐♥❡t✐❝ t❤❡♦r② ❛♥❞ ❤②❞r♦❞②♥❛♠✐❝s ❢♦r s♣✐♥✲✶✴✷ ♣❛rt✐❝❧❡s ✇✐t❤ ♥♦♥❧♦❝❛❧ ❝♦❧❧✐s✐♦♥s ◆♦♥r❡❧❛t✐✈✐st✐❝ ❝❛s❡

P♦❧❛r✐③❛t✐♦♥ ❢r♦♠ ✈♦rt✐❝✐t②❄

CRC

• TR

▲❛r❣❡ ❣❧♦❜❛❧ ❛♥❣✉❧❛r ♠♦♠❡♥t✉♠ ❝r❡❛t❡❞ ✐♥ ♥♦♥❝❡♥tr❛❧ ❤❡❛✈②✲✐♦♥ ❝♦❧❧✐s✐♦♥s✳ ■s ♦r❜✐t❛❧ ❛♥❣✉❧❛r ♠♦♠❡♥t✉♠ ❝♦♥✈❡rt❡❞ ✐♥t♦ s♣✐♥❄ ❉♦❡s t❤✐s ❣❡♥❡r❛t❡ s♣✐♥ ♣♦❧❛r✐③❛t✐♦♥ ✐♥ ❤♦t ❛♥❞ ❞❡♥s❡ ♠❛tt❡r❄ ❨❡s✦ ❈♦♥♥❡❝t s♣✐♥ ♣♦❧❛r✐③❛t✐♦♥ ❛♥❞ ✈♦rt✐❝✐t②✦ ❍♦✇ t♦ ❞❡s❝r✐❜❡ t❤✐s ✇✐t❤ ✢✉✐❞ ❞②♥❛♠✐❝s❄

❆♥t✐s②♠♠❡tr✐❝ ♣❛rt ♦❢ ❡♥❡r❣②✲♠♦♠❡♥t✉♠ t❡♥s♦r ❈♦✉♣❧❡ str❡ss t❡♥s♦r

❍♦✇ t♦ ❞❡r✐✈❡ t❤✐s ❢r♦♠ ♠✐❝r♦s❝♦♣✐❝ t❤❡♦r②❄

❑✐♥❡t✐❝ t❤❡♦r② ✇✐t❤ ♥♦♥❧♦❝❛❧ ❝♦❧❧✐s✐♦♥s ❊q✉✐❧✐❜r✐✉♠ ❝♦♥❞✐t✐♦♥s❄ ❈❛❧❝✉❧❛t❡ ♥♦♥❧♦❝❛❧ ❝♦❧❧✐s✐♦♥ t❡r♠ ❢r♦♠ q✉❛♥t✉♠ ✜❡❧❞ t❤❡♦r②✳ ❯s❡ ❲✐❣♥❡r ❢✉♥❝t✐♦♥✳

✷✾ ✴ ✺✼

❑✐♥❡t✐❝ t❤❡♦r② ❛♥❞ ❤②❞r♦❞②♥❛♠✐❝s ❢♦r s♣✐♥✲✶✴✷ ♣❛rt✐❝❧❡s ✇✐t❤ ♥♦♥❧♦❝❛❧ ❝♦❧❧✐s✐♦♥s ◆♦♥r❡❧❛t✐✈✐st✐❝ ❝❛s❡

P♦❧❛r✐③❛t✐♦♥ ❢r♦♠ ✈♦rt✐❝✐t②❄

CRC

• TR

▲❛r❣❡ ❣❧♦❜❛❧ ❛♥❣✉❧❛r ♠♦♠❡♥t✉♠ ❝r❡❛t❡❞ ✐♥ ♥♦♥❝❡♥tr❛❧ ❤❡❛✈②✲✐♦♥ ❝♦❧❧✐s✐♦♥s✳ ■s ♦r❜✐t❛❧ ❛♥❣✉❧❛r ♠♦♠❡♥t✉♠ ❝♦♥✈❡rt❡❞ ✐♥t♦ s♣✐♥❄ ❉♦❡s t❤✐s ❣❡♥❡r❛t❡ s♣✐♥ ♣♦❧❛r✐③❛t✐♦♥ ✐♥ ❤♦t ❛♥❞ ❞❡♥s❡ ♠❛tt❡r❄ ❨❡s✦ ❈♦♥♥❡❝t s♣✐♥ ♣♦❧❛r✐③❛t✐♦♥ ❛♥❞ ✈♦rt✐❝✐t②✦ ❍♦✇ t♦ ❞❡s❝r✐❜❡ t❤✐s ✇✐t❤ ✢✉✐❞ ❞②♥❛♠✐❝s❄

❆♥t✐s②♠♠❡tr✐❝ ♣❛rt ♦❢ ❡♥❡r❣②✲♠♦♠❡♥t✉♠ t❡♥s♦r ❈♦✉♣❧❡ str❡ss t❡♥s♦r

❍♦✇ t♦ ❞❡r✐✈❡ t❤✐s ❢r♦♠ ♠✐❝r♦s❝♦♣✐❝ t❤❡♦r②❄

❑✐♥❡t✐❝ t❤❡♦r② ✇✐t❤ ♥♦♥❧♦❝❛❧ ❝♦❧❧✐s✐♦♥s ❊q✉✐❧✐❜r✐✉♠ ❝♦♥❞✐t✐♦♥s❄ ❈❛❧❝✉❧❛t❡ ♥♦♥❧♦❝❛❧ ❝♦❧❧✐s✐♦♥ t❡r♠ ❢r♦♠ q✉❛♥t✉♠ ✜❡❧❞ t❤❡♦r②✳ ❯s❡ ❲✐❣♥❡r ❢✉♥❝t✐♦♥✳

✷✾ ✴ ✺✼

❑✐♥❡t✐❝ t❤❡♦r② ❛♥❞ ❤②❞r♦❞②♥❛♠✐❝s ❢♦r s♣✐♥✲✶✴✷ ♣❛rt✐❝❧❡s ✇✐t❤ ♥♦♥❧♦❝❛❧ ❝♦❧❧✐s✐♦♥s ◆♦♥r❡❧❛t✐✈✐st✐❝ ❝❛s❡

P♦❧❛r✐③❛t✐♦♥ ❢r♦♠ ✈♦rt✐❝✐t②❄

CRC

• TR

▲❛r❣❡ ❣❧♦❜❛❧ ❛♥❣✉❧❛r ♠♦♠❡♥t✉♠ ❝r❡❛t❡❞ ✐♥ ♥♦♥❝❡♥tr❛❧ ❤❡❛✈②✲✐♦♥ ❝♦❧❧✐s✐♦♥s✳ ■s ♦r❜✐t❛❧ ❛♥❣✉❧❛r ♠♦♠❡♥t✉♠ ❝♦♥✈❡rt❡❞ ✐♥t♦ s♣✐♥❄ ❉♦❡s t❤✐s ❣❡♥❡r❛t❡ s♣✐♥ ♣♦❧❛r✐③❛t✐♦♥ ✐♥ ❤♦t ❛♥❞ ❞❡♥s❡ ♠❛tt❡r❄ ❨❡s✦ ❈♦♥♥❡❝t s♣✐♥ ♣♦❧❛r✐③❛t✐♦♥ ❛♥❞ ✈♦rt✐❝✐t②✦ ❍♦✇ t♦ ❞❡s❝r✐❜❡ t❤✐s ✇✐t❤ ✢✉✐❞ ❞②♥❛♠✐❝s❄

❆♥t✐s②♠♠❡tr✐❝ ♣❛rt ♦❢ ❡♥❡r❣②✲♠♦♠❡♥t✉♠ t❡♥s♦r ❈♦✉♣❧❡ str❡ss t❡♥s♦r

❍♦✇ t♦ ❞❡r✐✈❡ t❤✐s ❢r♦♠ ♠✐❝r♦s❝♦♣✐❝ t❤❡♦r②❄

❑✐♥❡t✐❝ t❤❡♦r② ✇✐t❤ ♥♦♥❧♦❝❛❧ ❝♦❧❧✐s✐♦♥s ❊q✉✐❧✐❜r✐✉♠ ❝♦♥❞✐t✐♦♥s❄ ❈❛❧❝✉❧❛t❡ ♥♦♥❧♦❝❛❧ ❝♦❧❧✐s✐♦♥ t❡r♠ ❢r♦♠ q✉❛♥t✉♠ ✜❡❧❞ t❤❡♦r②✳ ❯s❡ ❲✐❣♥❡r ❢✉♥❝t✐♦♥✳

✷✾ ✴ ✺✼

❑✐♥❡t✐❝ t❤❡♦r② ❛♥❞ ❤②❞r♦❞②♥❛♠✐❝s ❢♦r s♣✐♥✲✶✴✷ ♣❛rt✐❝❧❡s ✇✐t❤ ♥♦♥❧♦❝❛❧ ❝♦❧❧✐s✐♦♥s ❑✐♥❡t✐❝ t❤❡♦r② ✇✐t❤ ♥♦♥❧♦❝❛❧ ❝♦❧❧✐s✐♦♥s

■♥❝❧✉❞✐♥❣ t❤❡ ❝♦❧❧✐s✐♦♥ t❡r♠

CRC

• TR

❉✐r❛❝ ❡q✉❛t✐♦♥ ✇✐t❤ ❣❡♥❡r❛❧ ✐♥t❡r❛❝t✐♦♥✿ (iγ · ∂ − m) ψ = ρ ❘❡♠✐♥❞❡r✿ ❡q✉❛t✐♦♥ ♦❢ ♠♦t✐♦♥ ❢♦r ❲✐❣♥❡r ❢✉♥❝t✐♦♥

❙✳ ❘✳ ❉❡ ●r♦♦t✱ ❲✳ ❆✳ ❱❛♥ ▲❡❡✉✇❡♥✱ ❛♥❞ ❈✳ ●✳ ❱❛♥ ❲❡❡rt✱ ❘❡❧❛t✐✈✐st✐❝ ❑✐♥❡t✐❝ ❚❤❡♦r②✳ Pr✐♥❝✐♣❧❡s ❛♥❞ ❆♣♣❧✐❝❛t✐♦♥s ✭◆♦rt❤✲❍♦❧❧❛♥❞✱ ✶✾✽✵✮ ❉✳ ❱❛s❛❦✱ ▼✳ ●②✉❧❛ss②✱ ❛♥❞ ❍✳ ❚✳ ❊❧③❡✱ ❆P ✶✼✸✱ ✹✻✷ ✭✶✾✽✼✮

• γ ·
• p + i

✷∂

• − m
• W = C

❝♦❧❧✐s✐♦♥ t❡r♠ Cαβ ≡

• d✹y

(✷π)✹ e− i

p·y

: ¯ ψβ(x✶)ρα(x✷) :

• .

◆♦✇✿ ■♥❝❧✉❞❡ ♥♦♥❧♦❝❛❧ ❝♦❧❧✐s✐♦♥ t❡r♠ C✱ ♥❡❣❧❡❝t ❡❧❡❝tr♦♠❛❣♥❡t✐❝ ♠❡❛♥ ✜❡❧❞s✳

◆❲✱ ❊✳ ❙♣❡r❛♥③❛✱ ❳✳✲❧✳ ❙❤❡♥❣✱ ◗✳ ❲❛♥❣✱ ❛♥❞ ❉✳❍✳ ❘✐s❝❤❦❡✱ ❛r❳✐✈✿✷✵✵✺✳✵✶✺✵✻ ✭✷✵✷✵✮

■❞❡❛✿ ❊①♣❛♥❞ ❲✐❣♥❡r ❢✉♥❝t✐♦♥ ❛♥❞ ❝♦❧❧✐s✐♦♥ t❡r♠ ✉♣ t♦ ✜rst ♦r❞❡r ✐♥ ❣r❛❞✐❡♥ts ✭❡q✉✐✈❛❧❡♥t t♦ ❡①♣❛♥s✐♦♥✮✳

✸✵ ✴ ✺✼

❑✐♥❡t✐❝ t❤❡♦r② ❛♥❞ ❤②❞r♦❞②♥❛♠✐❝s ❢♦r s♣✐♥✲✶✴✷ ♣❛rt✐❝❧❡s ✇✐t❤ ♥♦♥❧♦❝❛❧ ❝♦❧❧✐s✐♦♥s ❑✐♥❡t✐❝ t❤❡♦r② ✇✐t❤ ♥♦♥❧♦❝❛❧ ❝♦❧❧✐s✐♦♥s

❈♦♠♣♦♥❡♥t ❡q✉❛t✐♦♥s

CRC

• TR

❲❛♥t t♦ ❞❡t❡r♠✐♥❡ ✈❡❝t♦r ❝✉rr❡♥t Vµ ❛♥❞ ❛①✐❛❧✲✈❡❝t♦r ❝✉rr❡♥t Aµ ❢r♦♠ ❡q✉❛t✐♦♥ ♦❢ ♠♦t✐♦♥✳ ❆❣❛✐♥ ♦❜t❛✐♥ ✸✷ ❝♦✉♣❧❡❞ ❞✐✛❡r❡♥t✐❛❧ ❡q✉❛t✐♦♥s ❢r♦♠ ❈❧✐✛♦r❞ ❞❡❝♦♠♣♦s✐t✐♦♥✳ ■❢ s♣✐♥ ❡✛❡❝ts ❛r❡ ❛t ❧❡❛st O() Vµ = ✶ m pµ ¯ F + O(✷) ✇❤❡r❡ ¯ F ≡ F − m✷ pµ❘❡❚r(γµC) ❘❡❧❡✈❛♥t tr❛♥s♣♦rt ❡q✉❛t✐♦♥s✿ p · ∂ ¯ F = m CF, p · ∂Aµ = m C µ

A

✇✐t❤ CF = ✷■♠ ❚r(C), C µ

A ≡ − ✶

m ǫµναβpν■♠ ❚r(σαβC)

✸✶ ✴ ✺✼

❑✐♥❡t✐❝ t❤❡♦r② ❛♥❞ ❤②❞r♦❞②♥❛♠✐❝s ❢♦r s♣✐♥✲✶✴✷ ♣❛rt✐❝❧❡s ✇✐t❤ ♥♦♥❧♦❝❛❧ ❝♦❧❧✐s✐♦♥s ❑✐♥❡t✐❝ t❤❡♦r② ✇✐t❤ ♥♦♥❧♦❝❛❧ ❝♦❧❧✐s✐♦♥s

❙♣✐♥ ✐♥ ♣❤❛s❡ s♣❛❝❡

CRC

• TR

■♥ ♦r❞❡r t♦ ❛❝❝♦✉♥t ❢♦r s♣✐♥ ❞②♥❛♠✐❝s ❡♥❧❛r❣❡ ♣❤❛s❡ s♣❛❝❡

❏✳ ❩❛♠❛♥✐❛♥✱ ▼✳ ▼❛r❦❧✉♥❞✱ ❛♥❞ ●✳ ❇r♦❞✐♥✱ ◆❏P ✶✷✱ ✵✹✸✵✶✾ ✭✷✵✶✵✮ ❲✳ ❋❧♦r❦♦✇s❦✐✱ ❘✳ ❘②❜❧❡✇s❦✐✱ ❛♥❞ ❆✳ ❑✉♠❛r✱ Pr♦❣✳ P❛rt✳ ◆✉❝❧✳ P❤②s✳ ✶✵✽✱ ✶✵✸✼✵✾ ✭✷✵✶✾✮

■♥tr♦❞✉❝❡ ♥❡✇ ♣❤❛s❡✲s♣❛❝❡ ✈❛r✐❛❜❧❡ sµ f(x, p, s) ≡ ✶ ✷ ¯ F(x, p) − s · A(x, p)

• .

❖❜t❛✐♥ ¯ F ❛♥❞ Aµ ✈✐❛ ¯ F =

• dS(p) f(x, p, s) ,

Aµ =

• dS(p) sµf(x, p, s)

✇✐t❤ dS(p) ≡ √

p✷ √ ✸π d✹s δ(s✷ + ✸)δ(p · s)✳

❇♦❧t③♠❛♥♥ ❡q✉❛t✐♦♥ p · ∂ f(x, p, s) = m C[f] , C[f] ≡ ✶ ✷(CF − s · CA). ❆❧❧ ❞②♥❛♠✐❝s ✐♥ ♦♥❡ s❝❛❧❛r ❡q✉❛t✐♦♥✦

✸✷ ✴ ✺✼

❑✐♥❡t✐❝ t❤❡♦r② ❛♥❞ ❤②❞r♦❞②♥❛♠✐❝s ❢♦r s♣✐♥✲✶✴✷ ♣❛rt✐❝❧❡s ✇✐t❤ ♥♦♥❧♦❝❛❧ ❝♦❧❧✐s✐♦♥s ❑✐♥❡t✐❝ t❤❡♦r② ✇✐t❤ ♥♦♥❧♦❝❛❧ ❝♦❧❧✐s✐♦♥s

◆♦♥❧♦❝❛❧ ❝♦❧❧✐s✐♦♥s

CRC

• TR

❲❛♥t t♦ ♦❜t❛✐♥ ❝♦❧❧✐s✐♦♥ t❡r♠ ✉♣ t♦ ✜rst ♦r❞❡r ✐♥ ❣r❛❞✐❡♥ts C[f] = Cl[f] + Cnl[f] . ▲♦❝❛❧ ❝♦♥tr✐❜✉t✐♦♥ ✰ ◆♦♥❧♦❝❛❧ ❝♦♥tr✐❜✉t✐♦♥ ❙t❛rt✐♥❣ ♣♦✐♥t✿

❙✳ ❘✳ ❉❡ ●r♦♦t✱ ❲✳ ❆✳ ❱❛♥ ▲❡❡✉✇❡♥✱ ❛♥❞ ❈✳ ●✳ ❱❛♥ ❲❡❡rt✱ ❘❡❧❛t✐✈✐st✐❝ ❑✐♥❡t✐❝ ❚❤❡♦r②✳ Pr✐♥❝✐♣❧❡s ❛♥❞ ❆♣♣❧✐❝❛t✐♦♥s ✭◆♦rt❤✲❍♦❧❧❛♥❞✱ ✶✾✽✵✮

p · ∂W = C ✇✐t❤ Cαβ = i ✷

• d✹y

(✷π)✹ e− i

p·y

[¯ ρ (x✶) (−iγ · ← − ∂ + m)]βψα (x✷) − ¯ ψβ (x✶) [(iγ · ∂ + m)ρ (x✷)]α

• .

✸✸ ✴ ✺✼

❑✐♥❡t✐❝ t❤❡♦r② ❛♥❞ ❤②❞r♦❞②♥❛♠✐❝s ❢♦r s♣✐♥✲✶✴✷ ♣❛rt✐❝❧❡s ✇✐t❤ ♥♦♥❧♦❝❛❧ ❝♦❧❧✐s✐♦♥s ❑✐♥❡t✐❝ t❤❡♦r② ✇✐t❤ ♥♦♥❧♦❝❛❧ ❝♦❧❧✐s✐♦♥s

❈❛❧❝✉❧❛t✐♦♥ ♦❢ ❝♦❧❧✐s✐♦♥ t❡r♠ C

CRC

• TR

❊①♣❛♥❞ ❡♥s❡♠❜❧❡ ❛✈❡r❛❣❡ ✐♥ ✐♥✐t✐❛❧ ♥✲♣❛rt✐❝❧❡ s❝❛tt❡r✐♥❣ st❛t❡s✳ ◆❡❣❧❡❝t ✐♥✐t✐❛❧ ❝♦rr❡❧❛t✐♦♥s ✭♠♦❧❡❝✉❧❛r ❝❤❛♦s ✐♥ ✐♥✜♥✐t❡ ♣❛st✮✳ ❆ss✉♠❡ ❜✐♥❛r② s❝❛tt❡r✐♥❣ ✭n = ✷✮✳ ▲♦✇✲❞❡♥s✐t② ❛♣♣r♦①✐♠❛t✐♦♥✿ ■❞❡♥t✐❢② ✐♥✐t✐❛❧ ❲✐❣♥❡r ❢✉♥❝t✐♦♥ ✐♥ ❝♦❧❧✐s✐♦♥ t❡r♠ ✇✐t❤ ✐♥t❡r❛❝t✐♥❣ ❲✐❣♥❡r ❢✉♥❝t✐♦♥ W ✳ Cαβ = (✷π)✻ ✷(✹m✹)

• r✶,r✷,s✶,s✷
• d✹p✶d✹p✷d✹u✶d✹u✷

× ✐♥p✶ − ✶ ✷u✶, p✷ − ✶ ✷u✷; r✶, r✷|Φαβ(p)|p✶ + ✶ ✷u✷, p✷ + ✶ ✷u✷; s✶, s✷✐♥ ×

✷

• j=✶

¯ usj (pj + ✶ ✷uj)

• W (x, pj)δ(✹)(uj) − i(∂µ

uj δ(✹)(uj))∂xµW (x, pj)

• urj (pj − ✶

✷uj) ❈♦♥s✐❞❡r ❝♦♥tr✐❜✉t✐♦♥ ❢r♦♠ ③❡r♦t❤ ❛♥❞ ✜rst ♦r❞❡r ✐♥ ❣r❛❞✐❡♥ts✳ ◆♦t❡✿ ❝♦♥st❛♥t s♣✐♥ q✉❛♥t✐③❛t✐♦♥ ❞✐r❡❝t✐♦♥✱ s♣✐♥♦rs us(p) ✐♥❞❡♣❡♥❞❡♥t ♦❢ s♣❛❝❡✲t✐♠❡✳

✸✹ ✴ ✺✼

❑✐♥❡t✐❝ t❤❡♦r② ❛♥❞ ❤②❞r♦❞②♥❛♠✐❝s ❢♦r s♣✐♥✲✶✴✷ ♣❛rt✐❝❧❡s ✇✐t❤ ♥♦♥❧♦❝❛❧ ❝♦❧❧✐s✐♦♥s ❑✐♥❡t✐❝ t❤❡♦r② ✇✐t❤ ♥♦♥❧♦❝❛❧ ❝♦❧❧✐s✐♦♥s

◆♦♥❧♦❝❛❧ ❝♦❧❧✐s✐♦♥ t❡r♠✿ r❡s✉❧t

CRC

• TR

▲♦♥❣ ❝❛❧❝✉❧❛t✐♦♥ → ✐♥t✉✐t✐✈❡ r❡s✉❧t✿ C[f] =

• dΓ✶dΓ✷dΓ′ W [f(x + ∆✶, p✶, s✶)

×f(x + ∆✷, p✷, s✷) − f(x + ∆, p, s)f(x + ∆′, p′, s′)] +

• dΓ✷ dS✶(p) W f(x + ∆✶, p, s✶)f(x + ∆✷, p✷, s✷)

dΓ ≡ d✹p dS(p)

❙tr✉❝t✉r❡✿ ▼♦♠❡♥t✉♠ ❛♥❞ s♣✐♥ ❡①❝❤❛♥❣❡ ✰ ❙♣✐♥ ❡①❝❤❛♥❣❡ ♦♥❧② ❈♦❧❧✐s✐♦♥ ♥♦♥❧♦❝❛❧✱ ♣❛rt✐❝❧❡ ♣♦s✐t✐♦♥s ❞✐s♣❧❛❝❡❞ ❜② ∆µ = −

• ✷m(p · ˆ

t + m) ǫµναβpνˆ tαsβ ✇✐t❤ ˆ t = (✶, ✵)✳ W✱ W tr❛♥s✐t✐♦♥ ♣r♦❜❛❜✐❧✐t✐❡s✱ ❞❡♣❡♥❞ ♦♥ ♣❤❛s❡✲s♣❛❝❡ s♣✐♥s✳ ◆❡❣❧❡❝t❡❞ ♠♦♠❡♥t✉♠ ❞❡r✐✈❛t✐✈❡s ♦❢ s❝❛tt❡r✐♥❣ ❛♠♣❧✐t✉❞❡s✳

✸✺ ✴ ✺✼

❑✐♥❡t✐❝ t❤❡♦r② ❛♥❞ ❤②❞r♦❞②♥❛♠✐❝s ❢♦r s♣✐♥✲✶✴✷ ♣❛rt✐❝❧❡s ✇✐t❤ ♥♦♥❧♦❝❛❧ ❝♦❧❧✐s✐♦♥s ❊q✉✐❧✐❜r✐✉♠ ✇✐t❤ ♥♦♥❧♦❝❛❧ ❝♦❧❧✐s✐♦♥s

❊q✉✐❧✐❜r✐✉♠ ✭♥♦♥❧♦❝❛❧ ❝♦❧❧✐s✐♦♥s✮ ■

CRC

• TR

❊q✉✐❧✐❜r✐✉♠ ❝♦♥❞✐t✐♦♥✿ ❈♦❧❧✐s✐♦♥ t❡r♠ ❤❛s t♦ ✈❛♥✐s❤✳ ❆♥s❛t③ ❢♦r ❞✐str✐❜✉t✐♦♥ ❢✉♥❝t✐♦♥

❋✳ ❇❡❝❛tt✐♥✐✱ ❱✳ ❈❤❛♥❞r❛✱ ▲✳ ❉❡❧ ❩❛♥♥❛✱ ❛♥❞ ❊✳ ●r♦ss✐✱ ❆P✳ ✸✸✽✱ ✸✷ ✭✷✵✶✸✮ ❲✳ ❋❧♦r❦♦✇s❦✐✱ ❘✳ ❘②❜❧❡✇s❦✐✱ ❛♥❞ ❆✳ ❑✉♠❛r✱ Pr♦❣✳ P❛rt✳ ◆✉❝❧✳ P❤②s✳ ✶✵✽✱ ✶✵✸✼✵✾ ✭✷✵✶✾✮

feq(x, p, s) = m (✷π)✸ exp

• −β(x) · p +

✹Ωµν(x)Σµν

s

• δ(p✷ − M✷)

βµ ✲ ▲❛❣r❛♥❣❡ ♠✉❧t✐♣❧✐❡r ❢♦r ✹✲♠♦♠❡♥t✉♠ ❝♦♥s❡r✈❛t✐♦♥ ❙♣✐♥ ♣♦t❡♥t✐❛❧ Ωµν ✲ ▲❛❣r❛♥❣❡ ♠✉❧t✐♣❧✐❡r ❢♦r t♦t❛❧ ❛♥❣✉❧❛r ♠♦♠❡♥t✉♠ ❝♦♥s❡r✈❛t✐♦♥ M ✲ ♠❛ss ♣♦ss✐❜❧② ♠♦❞✐✜❡❞ ❜② ✐♥t❡r❛❝t✐♦♥s ❉✐♣♦❧❡✲♠♦♠❡♥t t❡♥s♦r Σµν

s

≡ − ✶ m ǫµναβpαsβ

■♥s❡rt ✐♥t♦ C[f] ❛♥❞ ❡①♣❛♥❞ ✉♣ t♦ ✜rst ♦r❞❡r ✐♥ ✳ = ⇒ ❩❡r♦t❤✲♦r❞❡r ❝♦❧❧✐s✐♦♥ t❡r♠ ✈❛♥✐s❤❡s ❞✉❡ t♦ ♠♦♠❡♥t✉♠ ❝♦♥s❡r✈❛t✐♦♥

✸✻ ✴ ✺✼

❑✐♥❡t✐❝ t❤❡♦r② ❛♥❞ ❤②❞r♦❞②♥❛♠✐❝s ❢♦r s♣✐♥✲✶✴✷ ♣❛rt✐❝❧❡s ✇✐t❤ ♥♦♥❧♦❝❛❧ ❝♦❧❧✐s✐♦♥s ❊q✉✐❧✐❜r✐✉♠ ✇✐t❤ ♥♦♥❧♦❝❛❧ ❝♦❧❧✐s✐♦♥s

❊q✉✐❧✐❜r✐✉♠ ✭♥♦♥❧♦❝❛❧ ❝♦❧❧✐s✐♦♥s✮ ■■

CRC

• TR

❆t ✜rst ♦r❞❡r ✐♥ ✿ C[feq] = −

• dΓ′dΓ✶dΓ✷

W e−β·(p✶+p✷) ×

• ∂µβν
• ∆µ

✶ pν ✶ + ∆µ ✷ pν ✷ − ∆µpν − ∆′µp′ν

− ✶ ✷Ωµν ✷

• Σµν

s✶ + Σµν s✷ − Σµν s

− Σµν

s′

• −
• dΓ✷ dS✶(p)dS′(p✷) W e−β·(p+p✷)

×

• ∂µβν
• (∆µ

✶ − ∆µ)pν + (∆µ ✷ − ∆′µ)pν ✷

• − ✶

✷Ωµν ✷(Σµν

s✶ + Σµν s✷ − Σµν s

− Σµν

s′ )

• .

❈♦♥s❡r✈❛t✐♦♥ ♦❢ t♦t❛❧ ❛♥❣✉❧❛r ♠♦♠❡♥t✉♠ ✭♦r❜✐t❛❧✰s♣✐♥✮ ✐♥ ❛ ❝♦❧❧✐s✐♦♥ Jµν = ∆µpν − ∆νpµ + ✷Σµν

s

❈♦♥❞✐t✐♦♥s ❢♦r ✈❛♥✐s❤✐♥❣ ♦❢ ❝♦❧❧✐s✐♦♥ t❡r♠ ❛t ✜rst ♦r❞❡r✿ ∂µβν + ∂νβµ= ✵ Ωµν = ̟µν≡ −✶ ✷∂[µβν] = ❝♦♥st.

a[µbν] ≡ aµbν − aνbµ

✸✼ ✴ ✺✼

❑✐♥❡t✐❝ t❤❡♦r② ❛♥❞ ❤②❞r♦❞②♥❛♠✐❝s ❢♦r s♣✐♥✲✶✴✷ ♣❛rt✐❝❧❡s ✇✐t❤ ♥♦♥❧♦❝❛❧ ❝♦❧❧✐s✐♦♥s ❊q✉✐❧✐❜r✐✉♠ ✇✐t❤ ♥♦♥❧♦❝❛❧ ❝♦❧❧✐s✐♦♥s

❊q✉✐❧✐❜r✐✉♠ ✭♥♦♥❧♦❝❛❧ ❝♦❧❧✐s✐♦♥s✮ ■■■

CRC

• TR

❉✐s❝✉ss✐♦♥ ❈♦❧❧✐s✐♦♥ t❡r♠ ✈❛♥✐s❤❡s ✉♥❞❡r ❝♦♥❞✐t✐♦♥s ❢♦r ❣❧♦❜❛❧ ❡q✉✐❧✐❜r✐✉♠✦ ◆♦ ✭st❛♥❞❛r❞✮ ❧♦❝❛❧ ❡q✉✐❧✐❜r✐✉♠ ✇✐t❤ ♥♦♥❧♦❝❛❧ ❝♦❧❧✐s✐♦♥s✳ ❈♦♥✜r♠ ❦♥♦✇♥ r❡s✉❧t ❢r♦♠ st❛t✐st✐❝❛❧ q✉❛♥t✉♠ ✜❡❧❞ t❤❡♦r②✿ ■♥ ❡q✉✐❧✐❜r✐✉♠ s♣✐♥ ♣♦t❡♥t✐❛❧ ❡q✉❛❧ t♦ t❤❡r♠❛❧ ✈♦rt✐❝✐t②✳

❋✳ ❇❡❝❛tt✐♥✐✱ P❘▲ ✶✵✽✱ ✷✹✹✺✵✷ ✭✷✵✶✷✮

■♥t❡r♣r❡t❛t✐♦♥✿ ❲❤❡♥ ❛♣♣r♦❛❝❤✐♥❣ ❡q✉✐❧✐❜r✐✉♠✱ ♥♦♥✲✈❛♥✐s❤✐♥❣ ✈♦rt✐❝✐t② ❝♦♥✈❡rts ♦r❜✐t❛❧ ❛♥❣✉❧❛r ♠♦♠❡♥t✉♠ ✐♥t♦ s♣✐♥ t❤r♦✉❣❤ ♥♦♥❧♦❝❛❧ ❝♦❧❧✐s✐♦♥s = ⇒■♥✐t✐❛❧❧② ✉♥♣♦❧❛r✐③❡❞ ✢✉✐❞ ❣❡ts ♣♦❧❛r✐③❡❞✱ ❇❛r♥❡tt ❡✛❡❝t✦

✸✽ ✴ ✺✼

❑✐♥❡t✐❝ t❤❡♦r② ❛♥❞ ❤②❞r♦❞②♥❛♠✐❝s ❢♦r s♣✐♥✲✶✴✷ ♣❛rt✐❝❧❡s ✇✐t❤ ♥♦♥❧♦❝❛❧ ❝♦❧❧✐s✐♦♥s ❙♣✐♥ ❤②❞r♦❞②♥❛♠✐❝s ❛♥❞ ♣s❡✉❞♦✲❣❛✉❣❡s

P♦❧❛r✐③❛t✐♦♥ ❢r♦♠ ✈♦rt✐❝✐t②❄

CRC

• TR

▲❛r❣❡ ❣❧♦❜❛❧ ❛♥❣✉❧❛r ♠♦♠❡♥t✉♠ ❝r❡❛t❡❞ ✐♥ ♥♦♥❝❡♥tr❛❧ ❤❡❛✈②✲✐♦♥ ❝♦❧❧✐s✐♦♥s✳ ■s ♦r❜✐t❛❧ ❛♥❣✉❧❛r ♠♦♠❡♥t✉♠ ❝♦♥✈❡rt❡❞ ✐♥t♦ s♣✐♥❄ ❉♦❡s t❤✐s ❣❡♥❡r❛t❡ s♣✐♥ ♣♦❧❛r✐③❛t✐♦♥ ✐♥ ❤♦t ❛♥❞ ❞❡♥s❡ ♠❛tt❡r❄ ❨❡s✦ ❈♦♥♥❡❝t s♣✐♥ ♣♦❧❛r✐③❛t✐♦♥ ❛♥❞ ✈♦rt✐❝✐t②✦ ❍♦✇ t♦ ❞❡s❝r✐❜❡ t❤✐s ✇✐t❤ ✢✉✐❞ ❞②♥❛♠✐❝s❄

❆♥t✐s②♠♠❡tr✐❝ ♣❛rt ♦❢ ❡♥❡r❣②✲♠♦♠❡♥t✉♠ t❡♥s♦r ❈♦✉♣❧❡ str❡ss t❡♥s♦r

❍♦✇ t♦ ❞❡r✐✈❡ t❤✐s ❢r♦♠ ♠✐❝r♦s❝♦♣✐❝ t❤❡♦r②❄

❑✐♥❡t✐❝ t❤❡♦r② ✇✐t❤ ♥♦♥❧♦❝❛❧ ❝♦❧❧✐s✐♦♥s ❈❛❧❝✉❧❛t❡ ♥♦♥❧♦❝❛❧ ❝♦❧❧✐s✐♦♥ t❡r♠ ❢r♦♠ q✉❛♥t✉♠ ✜❡❧❞ t❤❡♦r②✳ ❊q✉✐❧✐❜r✐✉♠ ❝♦♥❞✐t✐♦♥s

✸✾ ✴ ✺✼

❑✐♥❡t✐❝ t❤❡♦r② ❛♥❞ ❤②❞r♦❞②♥❛♠✐❝s ❢♦r s♣✐♥✲✶✴✷ ♣❛rt✐❝❧❡s ✇✐t❤ ♥♦♥❧♦❝❛❧ ❝♦❧❧✐s✐♦♥s ❙♣✐♥ ❤②❞r♦❞②♥❛♠✐❝s ❛♥❞ ♣s❡✉❞♦✲❣❛✉❣❡s

❙♣✐♥ ❤②❞r♦❞②♥❛♠✐❝s

CRC

• TR

❈♦♥s❡r✈❛t✐♦♥ ♦❢ t♦t❛❧ ❛♥❣✉❧❛r ♠♦♠❡♥t✉♠ t❡♥s♦r Jλ,µν ≡ xµT λν − xνT λµ + Sλ,µν ❊♥❡r❣②✲♠♦♠❡♥t✉♠ t❡♥s♦r T µν ❆❞❞✐t✐♦♥❛❧ ❞②♥❛♠✐❝❛❧ t❡♥s♦r✿ ❙♣✐♥ t❡♥s♦r Sλ,µν

❲✳ ❋❧♦r❦♦✇s❦✐✱ ❇✳ ❋r✐♠❛♥✱ ❆✳ ❏❛✐s✇❛❧✱ ❛♥❞ ❊✳ ❙♣❡r❛♥③❛✱ P❘❈ ✾✼✱ ♥♦✳ ✹✱ ✵✹✶✾✵✶ ✭✷✵✶✽✮ ❲✳ ❋❧♦r❦♦✇s❦✐✱ ❇✳ ❋r✐♠❛♥✱ ❆✳ ❏❛✐s✇❛❧✱ ❘✳ ❘②❜❧❡✇s❦✐✱ ❛♥❞ ❊✳ ❙♣❡r❛♥③❛✱ P❘❉ ✾✼✱ ♥♦✳ ✶✶✱ ✶✶✻✵✶✼ ✭✷✵✶✽✮ ❲✳ ❋❧♦r❦♦✇s❦✐✱ ❋✳ ❇❡❝❛tt✐♥✐✱ ❛♥❞ ❊✳ ❙♣❡r❛♥③❛✱ ❆P❇ ✹✾✱ ✶✹✵✾ ✭✷✵✶✽✮ ❲✳ ❋❧♦r❦♦✇s❦✐✱ ❋✳ ❇❡❝❛tt✐♥✐✱ ❛♥❞ ❊✳ ❙♣❡r❛♥③❛✱ P▲❇ ✼✽✾✱ ✹✶✾ ✭✷✵✶✾✮ ❑✳ ❍❛tt♦r✐✱ ▼✳ ❍♦♥❣♦✱ ❳✳✲●✳ ❍✉❛♥❣✱ ▼✳ ▼❛ts✉♦✱ ❛♥❞ ❍✳ ❚❛②❛✱ P▲❇✼✾✺✱ ✶✵✵ ✭✷✵✶✾✮

❊q✉❛t✐♦♥s ♦❢ ♠♦t✐♦♥✿ ∂µT µν = ✵ ∂λSλ,µν = T νµ − T µν ❉❡✜♥✐t✐♦♥ ♦❢ T µν ❛♥❞ Sλ,µν ❞❡♣❡♥❞s ♦♥ ❝❤♦✐❝❡ ♦❢ ♣s❡✉❞♦✲❣❛✉❣❡✳

❋✳ ❲✳ ❍❡❤❧✱ ❘❡♣t✳ ▼❛t❤✳ P❤②s✳ ✾✱ ✺✺ ✭✶✾✼✻✮ ❊✳ ▲❡❛❞❡r ❛♥❞ ❈✳ ▲♦r❝❡✱ P❤②s✳ ❘❡♣t✳ ✺✹✶✱ ✶✻✸ ✭✷✵✶✹✮ ❋✳ ❇❡❝❛tt✐♥✐✱ ❲✳ ❋❧♦r❦♦✇s❦✐✱ ❛♥❞ ❊✳ ❙♣❡r❛♥③❛✱ P▲❇✼✽✾✱ ✹✶✾ ✭✷✵✶✾✮ ❊✳ ❙♣❡r❛♥③❛✱ ◆❲✱ ❛r❳✐✈✿✷✵✵✼✳✵✵✶✸✽ ✭✷✵✷✵✮ ▲✳ ❚✐♥t✐✱ ❲✳ ❋❧♦r❦♦✇s❦✐✱ ❛r❳✐✈✿ ✷✵✵✼✳✵✹✵✷✾ ✭✷✵✷✵✮ ✹✵ ✴ ✺✼

❑✐♥❡t✐❝ t❤❡♦r② ❛♥❞ ❤②❞r♦❞②♥❛♠✐❝s ❢♦r s♣✐♥✲✶✴✷ ♣❛rt✐❝❧❡s ✇✐t❤ ♥♦♥❧♦❝❛❧ ❝♦❧❧✐s✐♦♥s ❙♣✐♥ ❤②❞r♦❞②♥❛♠✐❝s ❛♥❞ ♣s❡✉❞♦✲❣❛✉❣❡s

Ps❡✉❞♦✲❣❛✉❣❡ tr❛♥s❢♦r♠❛t✐♦♥s

CRC

• TR

Ps❡✉❞♦✲❣❛✉❣❡ tr❛♥s❢♦r♠❛t✐♦♥✿

❋✳ ❲✳ ❍❡❤❧✱ ❘❡♣t✳ ▼❛t❤✳ P❤②s✳ ✾✱ ✺✺ ✭✶✾✼✻✮

T ′µν = T µν + ✷∂λ(Φλ,µν + Φν,µλ + Φµ,νλ), S′λ,µν = Sλ,µν − Φλ,µν + ∂ρZ µν,λρ. ❊q✉❛t✐♦♥s ♦❢ ♠♦t✐♦♥ ✐♥✈❛r✐❛♥t✿ ∂µT ′µν = ✵ ∂λS

′λ,µν = T ′νµ − T ′µν

❚♦t❛❧ ❝❤❛r❣❡s ✐♥✈❛r✐❛♥t Pν ≡

• dΣµT µν =
• dΣµT ′µν

Jµν≡

• dΣλJλ,µν =
• dΣλJ′λ,µν

❍②❞r♦❞②♥❛♠✐❝s✿ ❉❡♥s✐t✐❡s T µν ❛♥❞ Sλ,µν ❛r❡ ❞②♥❛♠✐❝❛❧ ✈❛r✐❛❜❧❡s = ⇒ Ps❡✉❞♦✲❣❛✉❣❡ ❝❤♦✐❝❡ ❡①♣❡❝t❡❞ t♦ ❜❡ ✐♠♣♦rt❛♥t✦

✹✶ ✴ ✺✼

❑✐♥❡t✐❝ t❤❡♦r② ❛♥❞ ❤②❞r♦❞②♥❛♠✐❝s ❢♦r s♣✐♥✲✶✴✷ ♣❛rt✐❝❧❡s ✇✐t❤ ♥♦♥❧♦❝❛❧ ❝♦❧❧✐s✐♦♥s ❙♣✐♥ ❤②❞r♦❞②♥❛♠✐❝s ❛♥❞ ♣s❡✉❞♦✲❣❛✉❣❡s

❈❛♥♦♥✐❝❛❧ ♣s❡✉❞♦✲❣❛✉❣❡

CRC

• TR

❆♣♣❧② ◆♦❡t❤❡r✬s t❤❡♦r❡♠ t♦ ❉✐r❛❝ ▲❛❣r❛♥❣✐❛♥ T µν

C

=

• d✹p pνVµ =
• dΓ pµpνf + O(✷),

Sλ,µν

C

= − ✶ ✷ǫµνλρ

• d✹p Aρ = −✶

✷ǫµνλρ

• dΓ sρf

❊q✉❛t✐♦♥s ♦❢ ♠♦t✐♦♥ ✉♣ t♦ ✜rst ♦r❞❡r ∂µT µν

C

=

• dΓ pν C[f] = ✵,

▼♦♠❡♥t✉♠✿ ❝♦❧❧✐s✐♦♥❛❧ ✐♥✈❛r✐❛♥t ∂λSλ,µν

C

=

• dΓ

✷

• Σµν

s

C[f] + p[µΣν]λ

s

∂λf(x, p, s)

• = T [νµ]

C

❙♣✐♥✿ ❝♦❧❧✐s✐♦♥❛❧ ✐♥✈❛r✐❛♥t ♦♥❧② ❢♦r ❧♦❝❛❧ ❝♦❧❧✐s✐♦♥s ❆♥t✐s②♠♠❡tr✐❝ ♣❛rt ♦❢ ❡♥❡r❣②✲♠♦♠❡♥t✉♠ t❡♥s♦r✿ ♥♦♥③❡r♦ ❡✈❡♥ ✐♥ ❛❜s❡♥❝❡ ♦❢ ✐♥t❡r❛❝t✐♦♥s ❛♥❞ ✐♥ ❣❧♦❜❛❧ ❡q✉✐❧✐❜r✐✉♠✦ ◆♦t ❝♦♥s✐st❡♥t ✇✐t❤ ♣❤②s✐❝❛❧ ♣✐❝t✉r❡✿ ❈♦♥✈❡rs✐♦♥ ❜❡t✇❡❡♥ s♣✐♥ ❛♥❞ ♦r❜✐t❛❧ ❛♥❣✉❧❛r ♠♦♠❡♥t✉♠ ♦♥❧② t❤r♦✉❣❤ ✐♥t❡r❛❝t✐♦♥s ✉♥t✐❧ ❣❧♦❜❛❧ ❡q✉✐❧✐❜r✐✉♠ ✐s r❡❛❝❤❡❞✳

✹✷ ✴ ✺✼

❑✐♥❡t✐❝ t❤❡♦r② ❛♥❞ ❤②❞r♦❞②♥❛♠✐❝s ❢♦r s♣✐♥✲✶✴✷ ♣❛rt✐❝❧❡s ✇✐t❤ ♥♦♥❧♦❝❛❧ ❝♦❧❧✐s✐♦♥s ❙♣✐♥ ❤②❞r♦❞②♥❛♠✐❝s ❛♥❞ ♣s❡✉❞♦✲❣❛✉❣❡s

❇❡❧✐♥❢❛♥t❡ ♣s❡✉❞♦✲❣❛✉❣❡

CRC

• TR

❈❤♦♦s❡ Φλ,µν = Sλ,µν

C

❘❡s✉❧t✐♥❣ s❡t ♦❢ t❡♥s♦rs✿ T µν

B

= ✶ ✷

• d✹p (pνVµ + pµVν) =
• dΓ pµpνf + O(✷),

Sλ,µν

B

= ✵ ❊♥❡r❣②✲♠♦♠❡♥t✉♠ t❡♥s♦r s②♠♠❡tr✐❝✳ ❇✉t✿ ❙♣✐♥ t❡♥s♦r ✈❛♥✐s❤❡s✳ ❙♣✐♥ ❞❡❣r❡❡s ♦❢ ❢r❡❡❞♦♠ ❝❛♥♥♦t ❜❡ ❞❡s❝r✐❜❡❞ t❤r♦✉❣❤ ❡♥❡r❣②✲♠♦♠❡♥t✉♠ t❡♥s♦r ♦♥❧②✳ ■s t❤❡r❡ ❛ ♣♦ss✐❜✐❧✐t② t♦ ❤❛✈❡ ❛ s②♠♠❡tr✐❝ ❡♥❡r❣②✲♠♦♠❡♥t✉♠ t❡♥s♦r✱ ❜✉t ♥♦♥③❡r♦ s♣✐♥ t❡♥s♦r❄

✹✸ ✴ ✺✼

❑✐♥❡t✐❝ t❤❡♦r② ❛♥❞ ❤②❞r♦❞②♥❛♠✐❝s ❢♦r s♣✐♥✲✶✴✷ ♣❛rt✐❝❧❡s ✇✐t❤ ♥♦♥❧♦❝❛❧ ❝♦❧❧✐s✐♦♥s ❙♣✐♥ ❤②❞r♦❞②♥❛♠✐❝s ❛♥❞ ♣s❡✉❞♦✲❣❛✉❣❡s

❍❲ ♣s❡✉❞♦✲❣❛✉❣❡

CRC

• TR

■❞❡❛ ❢♦r ❢r❡❡ ✜❡❧❞s✿ ❆♣♣❧② ◆♦❡t❤❡r✬s t❤❡♦r❡♠ t♦ ❑❧❡✐♥✲●♦r❞♦♥ ▲❛❣r❛♥❣✐❛♥ ❢♦r s♣✐♥♦rs

❏✳ ❍✐❧❣❡✈♦♦r❞ ❛♥❞ ❙✳ ❲♦✉t❤✉②s❡♥✱ ◆✉❝❧❡❛r P❤②s✐❝s ✹✵✱ ✶ ✭✶✾✻✸✮

LKG = ✶ ✷m (✷∂µ ¯ ψ∂µψ − m✷ ¯ ψψ) ❘❡s✉❧t✿ T µν

HW = ✶

m

• d✹p
• pµpν + ✷

✹ ∂µ∂ν − ✷ ✹ g µν∂✷

• F

Sλ,µν

HW

= ✶ ✷m

• d✹p pλSµν

❊♥❡r❣②✲♠♦♠❡♥t✉♠ t❡♥s♦r s②♠♠❡tr✐❝ ❢♦r ❢r❡❡ ✜❡❧❞s✳ ❈♦♥s❡r✈❡❞ ✭♥♦♥③❡r♦✮ s♣✐♥ t❡♥s♦r✳ P❤②s✐❝❛❧ ✐♥t❡r♣r❡t❛t✐♦♥❄

✹✹ ✴ ✺✼

❑✐♥❡t✐❝ t❤❡♦r② ❛♥❞ ❤②❞r♦❞②♥❛♠✐❝s ❢♦r s♣✐♥✲✶✴✷ ♣❛rt✐❝❧❡s ✇✐t❤ ♥♦♥❧♦❝❛❧ ❝♦❧❧✐s✐♦♥s ❙♣✐♥ ❤②❞r♦❞②♥❛♠✐❝s ❛♥❞ ♣s❡✉❞♦✲❣❛✉❣❡s

Ps❡✉❞♦✲❣❛✉❣❡ ❛♥❞ ❢r❛♠❡ ❝❤♦✐❝❡ ■

CRC

• TR

◆♦♥r❡❧❛t✐✈✐st✐❝ s♣✐♥ ♦♣❡r❛t♦r ❣✐✈❡♥ ❜② P❛✉❧✐ ♠❛tr✐❝❡s✿ ✶

✷σ

❍♦✇ t♦ ❣❡♥❡r❛❧✐③❡ t♦ r❡❧❛t✐✈✐st✐❝ t❤❡♦r②❄ ❙♣✐♥ ✈❡❝t♦r ❙ ❝♦♥♥❡❝t❡❞ t♦ ❣❧♦❜❛❧ s♣✐♥ ❜② Sij = ǫijkSk. ❖❜✈✐♦✉s❧② ♥♦ ▲♦r❡♥t③ t❡♥s♦r✳ ▼❛❦❡ t❤✐s ❝♦✈❛r✐❛♥t✿ Sµν

n

= −ǫµναβnαSβ ❙♣✐♥ ❞❡✜♥❡❞ ✐♥ t❤❡ ❢r❛♠❡ ♠♦✈✐♥❣ ✇✐t❤ ❢♦✉r✲✈❡❧♦❝✐t② nµ ⇐ ⇒nµSµν

n

= ✵✳ ❉✐✛❡r❡♥t ❝❤♦✐❝❡s ♦❢ ♣s❡✉❞♦✲❣❛✉❣❡✿ ❞✐✛❡r❡♥t ❝❤♦✐❝❡s ♦❢ ❢r❛♠❡ ✈❡❝t♦r✳

▼✳ ❍✳ ▲✳ Pr②❝❡✱ Pr♦❝✳ ❘♦②✳ ❙♦❝✳ ▲♦♥❞✳✱ ❆✶✾✺✿✻✷✕✽✶✱ ✶✾✹✽ ❈✳ ▲♦r❝é✱ ❊✉r✳ P❤②s✳ ❏✳ ❈ ✭✷✵✶✽✮ ✼✽✿✼✽✺ ❊✳ ❙♣❡r❛♥③❛✱ ◆❲✱ ❛r❳✐✈✿✷✵✵✼✳✵✵✶✸✽ ✭✷✵✷✵✮

❖♥❡ ♣r❡❢❡rr❡❞ r❡❢❡r❡♥❝❡ ❢r❛♠❡ ❢♦r ♠❛ss✐✈❡ ♣❛rt✐❝❧❡s✿ r❡st ❢r❛♠❡✳

✹✺ ✴ ✺✼

❑✐♥❡t✐❝ t❤❡♦r② ❛♥❞ ❤②❞r♦❞②♥❛♠✐❝s ❢♦r s♣✐♥✲✶✴✷ ♣❛rt✐❝❧❡s ✇✐t❤ ♥♦♥❧♦❝❛❧ ❝♦❧❧✐s✐♦♥s ❙♣✐♥ ❤②❞r♦❞②♥❛♠✐❝s ❛♥❞ ♣s❡✉❞♦✲❣❛✉❣❡s

Ps❡✉❞♦✲❣❛✉❣❡ ❛♥❞ ❢r❛♠❡ ❝❤♦✐❝❡ ■■

CRC

• TR
• ❧♦❜❛❧ s♣✐♥ ❢r♦♠ s♣✐♥ t❡♥s♦r✿

Sµν ≡

• d✸x S✵,µν

❈❛♥♦♥✐❝❛❧ ❝❤♦✐❝❡✿ = ⇒ ❙♣✐♥ t❡♥s♦r ♥♦t ❝♦♥s❡r✈❡❞ ❢♦r ❢r❡❡ ✜❡❧❞s = ⇒ ●❧♦❜❛❧ s♣✐♥ ♥♦ ▲♦r❡♥t③ t❡♥s♦r = ⇒ ❊q✉❛❧ t♦ ♥♦♥r❡❧❛t✐✈✐st✐❝ s♣✐♥ ✐♥ ❛♥② ❢r❛♠❡✱ S✵ν

C

= ✵, nµ

C = (✶, ✵, ✵, ✵).

❍❲ ❝❤♦✐❝❡✿ = ⇒ ❙♣✐♥ t❡♥s♦r ❝♦♥s❡r✈❡❞ ❢♦r ❢r❡❡ ✜❡❧❞s = ⇒ ●❧♦❜❛❧ s♣✐♥ ✐s ▲♦r❡♥t③ t❡♥s♦r = ⇒ ❊q✉❛❧ t♦ ♥♦♥r❡❧❛t✐✈✐st✐❝ s♣✐♥ ✐♥ r❡st ❢r❛♠❡✱ PµSµν

HW = ✵,

nµ

HW = ✶

m Pµ.

✹✻ ✴ ✺✼

❑✐♥❡t✐❝ t❤❡♦r② ❛♥❞ ❤②❞r♦❞②♥❛♠✐❝s ❢♦r s♣✐♥✲✶✴✷ ♣❛rt✐❝❧❡s ✇✐t❤ ♥♦♥❧♦❝❛❧ ❝♦❧❧✐s✐♦♥s ❙♣✐♥ ❤②❞r♦❞②♥❛♠✐❝s ❛♥❞ ♣s❡✉❞♦✲❣❛✉❣❡s

❍❲ ♣s❡✉❞♦✲❣❛✉❣❡ ❢♦r ✐♥t❡r❛❝t✐♥❣ ❝❛s❡

CRC

• TR

■♥t❡r❛❝t✐♥❣ ❝❛s❡✿

◆❲✱ ❊✳ ❙♣❡r❛♥③❛✱ ❳✳✲❧✳ ❙❤❡♥❣✱ ◗✳ ❲❛♥❣✱ ❛♥❞ ❉✳❍✳ ❘✐s❝❤❦❡✱ ❛r❳✐✈✿✷✵✵✺✳✵✶✺✵✻ ✭✷✵✷✵✮

❖❜t❛✐♥ ❡♥❡r❣②✲♠♦♠❡♥t✉♠ ❛♥❞ s♣✐♥ t❡♥s♦r ❜② ♣s❡✉❞♦✲❣❛✉❣❡ tr❛♥s❢♦r♠❛t✐♦♥ ❢r♦♠ ❝❛♥♦♥✐❝❛❧ t❡♥s♦rs✳ ❈❤♦✐❝❡ ♦❢ Φλ,µν✿

❘❡❝♦✈❡r ❍❲ t❡♥s♦rs ❢♦r ③❡r♦ ✐♥t❡r❛❝t✐♦♥s✳ ❖❜t❛✐♥ ♣❤②s✐❝❛❧❧② ♠❡❛♥✐♥❣❢✉❧ ❡q✉❛t✐♦♥s ♦❢ ♠♦t✐♦♥ ✭s❡❡ ♥❡①t s❧✐❞❡✮✳

❘❡s✉❧t✿ T µν

HW

=

• dΓpµpνf(x, p, s) + O(✷) ,

Sλ,µν

HW

=

• dΓpλ

✶ ✷Σµν

s

−

• ✹m✷ p[µ∂ν]
• f(x, p, s) + O(✷) .

✹✼ ✴ ✺✼

❑✐♥❡t✐❝ t❤❡♦r② ❛♥❞ ❤②❞r♦❞②♥❛♠✐❝s ❢♦r s♣✐♥✲✶✴✷ ♣❛rt✐❝❧❡s ✇✐t❤ ♥♦♥❧♦❝❛❧ ❝♦❧❧✐s✐♦♥s ❙♣✐♥ ❤②❞r♦❞②♥❛♠✐❝s ❛♥❞ ♣s❡✉❞♦✲❣❛✉❣❡s

❊q✉❛t✐♦♥s ♦❢ ♠♦t✐♦♥ ✇✐t❤ ❝♦❧❧s✐♦♥s

CRC

• TR

❯s✐♥❣ ❇♦❧t③♠❛♥♥ ❡q✉❛t✐♦♥ ∂µT µν

HW =

• dΓ pν C[f] = ✵ ,

∂λSλ,µν

HW

=

• dΓ

✷Σµν

s

C[f] = T [νµ]

HW .

❊♥❡r❣②✲♠♦♠❡♥t✉♠ ❝♦♥s❡r✈❡❞ ✐♥ ❛ ❝♦❧❧✐s✐♦♥ ❙♣✐♥ ♥♦t ❝♦♥s❡r✈❡❞ ✐♥ ♥♦♥❧♦❝❛❧ ❝♦❧❧✐s✐♦♥s ⇔ T [νµ]

❍❲ = ✵

⇒ ❈♦♥✈❡rs✐♦♥ ❜❡t✇❡❡♥ s♣✐♥ ❛♥❞ ♦r❜✐t❛❧ ❛♥❣✉❧❛r ♠♦♠❡♥t✉♠ T [νµ]

❍❲ = ✵

✭✐✮ ❢♦r ❧♦❝❛❧ ❝♦❧❧✐s✐♦♥s✱ ❛s s♣✐♥ ✐s ❝♦❧❧✐s✐♦♥❛❧ ✐♥✈❛r✐❛♥t ✭✐✐✮ ✐♥ ❣❧♦❜❛❧ ❡q✉✐❧✐❜r✐✉♠✱ ❛s ❝♦❧❧✐s✐♦♥ t❡r♠ ✈❛♥✐s❤❡s ❲✐t❤ ♥♦♥❧♦❝❛❧ ❝♦❧❧✐s✐♦♥s ♦✉t ♦❢ ❣❧♦❜❛❧ ❡q✉✐❧✐❜r✐✉♠✿ ❞②♥❛♠✐❝s ❞✐ss✐♣❛t✐✈❡

✹✽ ✴ ✺✼

❑✐♥❡t✐❝ t❤❡♦r② ❛♥❞ ❤②❞r♦❞②♥❛♠✐❝s ❢♦r s♣✐♥✲✶✴✷ ♣❛rt✐❝❧❡s ✇✐t❤ ♥♦♥❧♦❝❛❧ ❝♦❧❧✐s✐♦♥s ❙♣✐♥ ❤②❞r♦❞②♥❛♠✐❝s ❛♥❞ ♣s❡✉❞♦✲❣❛✉❣❡s

P♦❧❛r✐③❛t✐♦♥ ❢r♦♠ ✈♦rt✐❝✐t②❄

CRC

• TR

▲❛r❣❡ ❣❧♦❜❛❧ ❛♥❣✉❧❛r ♠♦♠❡♥t✉♠ ❝r❡❛t❡❞ ✐♥ ♥♦♥❝❡♥tr❛❧ ❤❡❛✈②✲✐♦♥ ❝♦❧❧✐s✐♦♥s✳ ■s ♦r❜✐t❛❧ ❛♥❣✉❧❛r ♠♦♠❡♥t✉♠ ❝♦♥✈❡rt❡❞ ✐♥t♦ s♣✐♥❄ ❉♦❡s t❤✐s ❣❡♥❡r❛t❡ s♣✐♥ ♣♦❧❛r✐③❛t✐♦♥ ✐♥ ❤♦t ❛♥❞ ❞❡♥s❡ ♠❛tt❡r❄ ❨❡s✦ ❈♦♥♥❡❝t s♣✐♥ ♣♦❧❛r✐③❛t✐♦♥ ❛♥❞ ✈♦rt✐❝✐t②✦ ❍♦✇ t♦ ❞❡s❝r✐❜❡ t❤✐s ✇✐t❤ ✢✉✐❞ ❞②♥❛♠✐❝s❄

❆♥t✐s②♠♠❡tr✐❝ ♣❛rt ♦❢ ❡♥❡r❣②✲♠♦♠❡♥t✉♠ t❡♥s♦r ❈♦✉♣❧❡ str❡ss t❡♥s♦r = ⇒ ◆♦♥r❡❧❛t✐✈✐st✐❝ ❧✐♠✐t✦

❍♦✇ t♦ ❞❡r✐✈❡ t❤✐s ❢r♦♠ ♠✐❝r♦s❝♦♣✐❝ t❤❡♦r②❄

❑✐♥❡t✐❝ t❤❡♦r② ✇✐t❤ ♥♦♥❧♦❝❛❧ ❝♦❧❧✐s✐♦♥s ❈❛❧❝✉❧❛t❡ ♥♦♥❧♦❝❛❧ ❝♦❧❧✐s✐♦♥ t❡r♠ ❢r♦♠ q✉❛♥t✉♠ ✜❡❧❞ t❤❡♦r②✳ ❊q✉✐❧✐❜r✐✉♠ ❝♦♥❞✐t✐♦♥s

✹✾ ✴ ✺✼

❑✐♥❡t✐❝ t❤❡♦r② ❛♥❞ ❤②❞r♦❞②♥❛♠✐❝s ❢♦r s♣✐♥✲✶✴✷ ♣❛rt✐❝❧❡s ✇✐t❤ ♥♦♥❧♦❝❛❧ ❝♦❧❧✐s✐♦♥s ◆♦♥r❡❧❛t✐✈✐st✐❝ ❧✐♠✐t

◆♦♥r❡❧❛t✐✈✐st✐❝ ❧✐♠✐t

CRC

• TR

pµ → m(✶, ✈)✱ Σµν

s

→ ǫijksk T [ji]

HW = mǫijk∂✵

✷sk + mǫijk∂l v l ✷sk ✇✐t❤ ... ≡ (m✷/✷π √ ✸)

• d✸v d✸s δ(s✷ − ✸) (...)f

❆❣r❡❡♠❡♥t ✇✐t❤ ♣❤❡♥♦♠❡♥♦❧♦❣✐❝❛❧ r❡s✉❧t ♦❢ ♥♦♥r❡❧❛t✐✈✐st✐❝ ❦✐♥❡t✐❝ t❤❡♦r②✳

❙✳ ❍❡ss ❛♥❞ ▲✳ ❲❛❧❞♠❛♥♥✱ ❩❡✐ts❝❤r✐❢t ❢ür ◆❛t✉r❢♦rs❝❤✉♥❣ ❆ ✷✻✱ ✶✵✺✼ ✭✶✾✼✶✮

❈♦♠♣❛r✐s♦♥ ✇✐t❤ ♠✐❝r♦♣♦❧❛r ✢✉✐❞s

• ✳ ▲✉❦❛s③❡✇✐❝③✱ ▼✐❝r♦♣♦❧❛r ❋❧✉✐❞s✱ ❚❤❡♦r② ❛♥❞ ❆♣♣❧✐❝❛t✐♦♥s ✭❇✐r❦❤ä✉s❡r ❇♦st♦♥✱ ✶✾✾✾✮

ρ

• ∂✵ + uj∂j

ℓi = ∂jC ji + ǫijkT jk = ⇒ ■♥t❡r♥❛❧ ❛♥❣✉❧❛r ♠♦♠❡♥t✉♠ ρ ℓi = m

• ✷si

, = ⇒ ❈♦✉♣❧❡ str❡ss t❡♥s♦r C ji = −

• ✷sipj

+ m

• ✷si

uj .

✺✵ ✴ ✺✼

❑✐♥❡t✐❝ t❤❡♦r② ❛♥❞ ❤②❞r♦❞②♥❛♠✐❝s ❢♦r s♣✐♥✲✶✴✷ ♣❛rt✐❝❧❡s ✇✐t❤ ♥♦♥❧♦❝❛❧ ❝♦❧❧✐s✐♦♥s ❈♦♥❝❧✉s✐♦♥s

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CRC

• TR

❉❡r✐✈❛t✐♦♥ ♦❢ ♥♦♥❧♦❝❛❧ ❝♦❧❧✐s✐♦♥s ❢r♦♠ q✉❛♥t✉♠ ✜❡❧❞ t❤❡♦r②

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• ✳❙✳ ❉❡♥✐❝♦❧✱ ❍✳ ◆✐❡♠✐✱ ❊✳ ▼♦❧♥❛r✱ ❉✳❍✳ ❘✐s❝❤❦❡✱ P❘❉ ✽✺ ✭✷✵✶✷✮ ✶✶✹✵✹✼

✺✶ ✴ ✺✼

❑✐♥❡t✐❝ t❤❡♦r② ❛♥❞ ❤②❞r♦❞②♥❛♠✐❝s ❢♦r s♣✐♥✲✶✴✷ ♣❛rt✐❝❧❡s ✇✐t❤ ♥♦♥❧♦❝❛❧ ❝♦❧❧✐s✐♦♥s ❇❛❝❦✲✉♣

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✺✷ ✴ ✺✼

❑✐♥❡t✐❝ t❤❡♦r② ❛♥❞ ❤②❞r♦❞②♥❛♠✐❝s ❢♦r s♣✐♥✲✶✴✷ ♣❛rt✐❝❧❡s ✇✐t❤ ♥♦♥❧♦❝❛❧ ❝♦❧❧✐s✐♦♥s ❇❛❝❦✲✉♣

❈♦❧❧✐s♦♥❧❡ss ❦✐♥❡t✐❝ ❡q✉❛t✐♦♥s

CRC

• TR

❑✐♥❡t✐❝ ❡q✉❛t✐♦♥s ❢♦r V ❛♥❞ ¯ Σµν✿ ✵ = δ(p✷ − m✷)

• p · ∇V +

✹(∂α

x F µν)∂pα ¯

Σµν

• −

✷δ′(p✷ − m✷)F αβ p · ∇¯ Σαβ + O(✷), ✵ = δ(p✷ − m✷)

• p · ∇¯

Σµν − F α

[µ ¯

Σν]α + ✷(∂xαFµν)∂α

p V

• −δ′(p✷ − m✷)Fµν p · ∇V + O(✷).

❈❛♥ ✇❡ ❣❡t r✐❞ ♦❢ ✏δ′✲t❡r♠s✑❄ δ(p✷ − m✷)p · ∇V ∈ O(✷),

✺✸ ✴ ✺✼

❑✐♥❡t✐❝ t❤❡♦r② ❛♥❞ ❤②❞r♦❞②♥❛♠✐❝s ❢♦r s♣✐♥✲✶✴✷ ♣❛rt✐❝❧❡s ✇✐t❤ ♥♦♥❧♦❝❛❧ ❝♦❧❧✐s✐♦♥s ❇❛❝❦✲✉♣

❖♠✐tt✐♥❣ ♦✛✲s❤❡❧❧ t❡r♠

CRC

• TR

❲✐❣♥❡r ❢✉♥❝t✐♦♥ ❛♥❞ ❦✐♥❡t✐❝ ❡q✉❛t✐♦♥s ✐♥✈❛r✐❛♥t ✉♥❞❡r tr❛♥s❢♦r♠❛t✐♦♥✿ V → ˆ V = V + (p✷ − m✷)δV , ¯ Σµν → ˆ ¯ Σµν = ¯ Σµν − FµνδV . ❋✐♥❞ tr❛♥s❢♦r♠❛t✐♦♥ s✉❝❤ t❤❛t

• dp✵ δ′(p✷ − m✷)G(x, p) p · ∇ ˆ

V ∈ O() ❢♦r ❛r❜✐tr❛r② G(x, p)✳ ❆♥❛❧♦❣♦✉s❧② ❢♦r p · ∇¯ Σαβ✳ ❉r♦♣ ✏δ′✲t❡r♠s✑ ✐♥ ❦✐♥❡t✐❝ ❡q✉❛t✐♦♥s ✇✐t❤♦✉t ❧♦ss ♦❢ ❣❡♥❡r❛❧✐t②✦

✺✹ ✴ ✺✼

❑✐♥❡t✐❝ t❤❡♦r② ❛♥❞ ❤②❞r♦❞②♥❛♠✐❝s ❢♦r s♣✐♥✲✶✴✷ ♣❛rt✐❝❧❡s ✇✐t❤ ♥♦♥❧♦❝❛❧ ❝♦❧❧✐s✐♦♥s ❇❛❝❦✲✉♣

P♦✇❡r ❝♦✉♥t✐♥❣

CRC

• TR

❖✉r ✲❡①♣❛♥s✐♦♥ ✐s ❡q✉✐✈❛❧❡♥t t♦ ❣r❛❞✐❡♥t ❡①♣❛♥s✐♦♥✳ ❲❡ tr❡❛t ❛❧❧ ❣r❛❞✐❡♥ts ♦♥ t❤❡ s❛♠❡ ❧❡✈❡❧✱ ✐✳❡✳

❣r❛❞✐❡♥ts ✐♥ ❢♦r♠❛❧ ✲❡①♣❛♥s✐♦♥ ♦❢ ❲✐❣♥❡r ❢✉♥❝t✐♦♥ W = W (✵) + W (✶) + O(✷), ❣r❛❞✐❡♥ts ✐♥ ♥♦♥❧♦❝❛❧ ❡①♣❛♥s✐♦♥ ♦❢ ❝♦❧❧✐s✐♦♥ t❡r♠ C = Cl + Cnl + O(✷), ❛♥❞ ❣r❛❞✐❡♥ts ✐♥ ❡①♣❛♥s✐♦♥ ♦❢ ❞✐str✐❜✉t✐♦♥ ❢✉♥❝t✐♦♥ ❛r♦✉♥❞ ❡q✉✐❧✐❜r✐✉♠ f = feq + δf

❛r❡ ❝♦♥s✐❞❡r❡❞ t♦ ❜❡ ♦❢ s❛♠❡ ♦r❞❡r✳ ❚❤✐s ✐♠♣❧✐❡s t❤❛t f (✵) ❝♦♥t❛✐♥s ♦♥❧② ❡q✉✐❧✐❜r✐✉♠ ❝♦♥tr✐❜✉t✐♦♥s✳ f (✶) ❝♦♥t❛✐♥s ❡q✉✐❧✐❜r✐✉♠ ❛♥❞ ♦✛✲❡q✉✐❧✐❜r✐✉♠ ❝♦♥tr✐❜✉t✐♦♥s✳ Cnl ✐s ❛ ❢✉♥❝t✐♦♥❛❧ ♦♥❧② ♦❢ f (✵)✱ Cnl[f (✶)] ✇♦✉❧❞ ❡♥t❡r ❝♦❧❧✐s✐♦♥ t❡r♠ ❛t s❡❝♦♥❞ ♦r❞❡r✳

✺✺ ✴ ✺✼