B o u n d a r y T e n s o r R e n o r m a l i - PowerPoint PPT Presentation

B o u n d a r y T e n s o r R e n o r m a l i z a t i o n G r o u p a r X i v : 1 9 0 5 . 0 2 3 5 1 t o a p p e a r i n P R B S h u m p e i I i n o , S a t o s h i Mo r i t a , a n d N a o k i K a w a s h i m a J u l y 2 2 , 2 0 1 9 @ C A Q MP s y m p o s i u m

O u t l i n e ✔ Wh a t i s t e n s o r r e n o r m a l i z a t i o n g r o u p ( T R G ) ? - R G o f t e n s o r n e t w o r k s , f i x e d p o i n t t e n s o r s ✔ B o u n d a r y T R G ( B T R G ) a l g o r i t h m - T R G f o r o p e n - b o u n d a r y s y s t e m s ✔ N u m e r i c a l r e s u l t s o f B T R G - 2 d I s i n g , 3 - s t a t e P o t t s m o d e l s

T e n s o r n e t w o r k r e p r e s e n t a t i o n ✔ 1 D c l a s s i c a l s t a t i s t i c a l m o d e l s = > t r a n s f e r m a t r i x r e p .

T e n s o r n e t w o r k r e p r e s e n t a t i o n ✔ 1 D c l a s s i c a l s t a t i s t i c a l m o d e l s = > t r a n s f e r m a t r i x r e p . ✔ 2 ( 1 + 1 ) D m o d e l s = > t e n s o r n e t w o r k r e p . * T h e r a n k o f a t e n s o r d e p e n d s o n t h e l a t t i c e g e o m e t r y

T e n s o r r e n o r m a l i z a t i o n g r o u p ✔ T e n s o r r e n o r m a l i z a t i o n g r o u p ( ) T R G [ L e v i n , N a v e ( 2 0 0 7 ) ] - Z = ( c o n t r a c t i o n o f t h e N t e n s o r s ) - R G g i v e s a n e f f i c i e n t c o n t r a c t i o n s c h e m e

T e n s o r r e n o r m a l i z a t i o n g r o u p ✔ T e n s o r r e n o r m a l i z a t i o n g r o u p ( ) T R G [ L e v i n , N a v e ( 2 0 0 7 ) ] - Z = ( c o n t r a c t i o n o f t h e N t e n s o r s ) - R G g i v e s a n e f f i c i e n t c o n t r a c t i o n s c h e m e

T e n s o r r e n o r m a l i z a t i o n g r o u p e x . ) 2 D I s i n g m o d e l B y h i g h e r o r d e r T R G [ X i e e t a l . ( 2 0 1 2 ) ] T h e m a g n e t i z a t i o n c a n b e c o m p u t e d χ=17 = 1 6 b y c o n t r a c t i n g a n e t w o r k :

T e n s o r r e n o r m a l i z a t i o n g r o u p ✔ U n d e r T R G , t e n s o r s c o n v e r g e t o ( F P ) f i x e d p o i n t s - I n t r i v i a l p h a s e , t h e F P t e n s o r i s t r i v i a l - A t c r i t i c a l i t y , t h e F P t e n s o r i s c o n f o r m a l l y i n v a r i a n t [ G u a n d W e n ( 2 0 0 9 ) ]

T e n s o r r e n o r m a l i z a t i o n g r o u p ✔ U n d e r T R G , t e n s o r s c o n v e r g e t o ( F P ) f i x e d p o i n t s - I n t r i v i a l p h a s e , t h e F P t e n s o r i s t r i v i a l - A t c r i t i c a l i t y , t h e F P t e n s o r i s c o n f o r m a l l y i n v a r i a n t [ G u a n d W e n ( 2 0 0 9 ) ] ✔ e x . ) 2 D I s i n g m o d e l a t t h e c r i t i c a l p o i n t χ=17 = 7 2 T h e s p e c t r u m o f t h e s c a l i n g d i m e n s i o n s i s c o n s i s t e n t w i t h t h e I s i n g C F T !

R e n o r m a l i z a t i o n o f b o u n d a r y ✔ W e c o n s i d e r T R G f o r t h e s y s t e m w i t h o p e n b o u n d a r i e s ✔ P r e v i o u s T R G s t u d i e s i m p l i c i t l y a s s u m e p e r i o d i c b . c . c f . ) b o u n d a r y ME R A [ E v e n b l y e t a l . ( 2 0 1 0 ) ]

R e n o r m a l i z a t i o n o f b o u n d a r y ✔ W e c o n s i d e r T R G f o r t h e s y s t e m w i t h o p e n b o u n d a r i e s ✔ P r e v i o u s T R G s t u d i e s i m p l i c i t l y a s s u m e p e r i o d i c b . c . c f . ) b o u n d a r y ME R A [ E v e n b l y e t a l . ( 2 0 1 0 ) ] ✔ Wh a t w e w a n t t o d o i s : - c o m p u t e s u r f a c e p h y s i c a l q u a n t i t i e s - a n a l y z e F P t e n s o r s b y b o u n d a r y C F T ( B C F T )

R e n o r m a l i z a t i o n o f b o u n d a r y ✔ W e c o n s i d e r T R G f o r t h e s y s t e m w i t h o p e n b o u n d a r i e s ✔ P r e v i o u s T R G s t u d i e s i m p l i c i t l y a s s u m e p e r i o d i c b . c . c f . ) b o u n d a r y ME R A [ E v e n b l y e t a l . ( 2 0 1 0 ) ] ✔ Wh a t w e w a n t t o d o i s : - c o m p u t e s u r f a c e p h y s i c a l q u a n t i t i e s - a n a l y z e F P t e n s o r s b y b o u n d a r y C F T ( B C F T ) ✔ H o w c a n w e p e r f o r m R G f o r o p e n - b o u n d a r y s y s t e m s ?

B o u n d a r y T R G T e n s o r n e t w o r k i n a f i n i t e c y l i n d e r : ・ a ( b u l k t e n s o r ) ・ b 1 ( u p p e r b o u n d a r y t e n s o r ) ・ b 2 ( l o w e r b o u n d a r y t e n s o r )

B o u n d a r y T R G T e n s o r n e t w o r k i n a f i n i t e c y l i n d e r : ・ a ( b u l k t e n s o r ) ・ b 1 ( u p p e r b o u n d a r y t e n s o r ) ・ b 2 ( l o w e r b o u n d a r y t e n s o r ) T h e p r o j e c t o r s a r e d e t e r m i n e d s o a s t o m i n i m i z e t h e c o s t :

B e n c h m a r k c o m p u t a t i o n ✔ Mo d e l : 2 , 3 - s t a t e f e r r o P o t t s m o d e l o n a f i n i t e c y l i n d e r

B e n c h m a r k c o m p u t a t i o n ✔ Mo d e l : 2 , 3 - s t a t e f e r r o P o t t s m o d e l o n a f i n i t e c y l i n d e r q = 2 , K = K s b o n d d i m = 1 6

B e n c h m a r k c o m p u t a t i o n ✔ Mo d e l : 2 , 3 - s t a t e f e r r o P o t t s m o d e l o n a f i n i t e c y l i n d e r q = 2 , K = K s b o n d d i m = 1 6 ✔ Wh e n t h e b u l k i s n o t o r d e r e d , t h e b o u n d a r y s t a t e i s � - K < : d i s o r d e r e d ( ) f r e e b . c . s � - K = : s p o n t a n e o u s l y o r d e r e d ( ) f i x e d b . c . s

B o u n d a r y C F T ✔ T h e p a r t i t i o n f u n c t i o n o n a f i n i t e c y l i n d e r a t c r i t i c a l i t y : * I n B C F T , t h e r e i s o n l y h o l o m o r p h i c p a r t i n t h e V i r a s o r o a l g e b r a

B o u n d a r y C F T ✔ T h e p a r t i t i o n f u n c t i o n o n a f i n i t e c y l i n d e r a t c r i t i c a l i t y : * I n B C F T , t h e r e i s o n l y h o l o m o r p h i c p a r t i n t h e V i r a s o r o a l g e b r a ✔ I n B C F T , n o t a l l t h e p r i m a r y f i e l d s a p p e a r . T h e o p e r a t o r c o n t e n t d e p e n d s o n t h e b . c . ε, σ}- σ}- e x . ) T h o u g h t h e p r i m a r y f i e l d s f o r I s i n g C F T a r e { , , } , 1

F i x e d - p o i n t b o u n d a r y t e n s o r ✔ Wh e n t h e b o t h e d g e s a r e f r e e b . c . ( K = K = K ) s c T h e c o n f o r m a l s p e c t r u m = T h e e i g e n v a l u e s p e c t r u m o f t h e t r a n s f e r m a t r i x B

F i x e d - p o i n t b o u n d a r y t e n s o r