B o u n d a r y T e n s o r R e n o r m a l i - - PowerPoint PPT Presentation

SLIDE 1

B

• u

n d a r y T e n s

• r

R e n

• r

m a l i z a t i

• n

G r

• u

p

S h u m p e i I i n

• ,

S a t

• s

h i Mo r i t a , a n d N a

• k

i K a w a s h i m a J u l y 2 2 , 2 1 9 @ C A Q MP s y m p

• s

i u m

a r X i v : 1 9 5 . 2 3 5 1 t

• a

p p e a r i n P R B

SLIDE 2

✔

Wh a t i s t e n s

• r

r e n

• r

m a l i z a t i

• n

g r

• u

p ( T R G ) ?

• R

G

• f

t e n s

• r

n e t w

• r

k s , f i x e d p

• i

n t t e n s

• r

s

✔

B

• u

n d a r y T R G ( B T R G ) a l g

• r

i t h m

• T

R G f

• r
• p

e n

• b
• u

n d a r y s y s t e m s

✔

N u m e r i c a l r e s u l t s

• f

B T R G

• 2

d I s i n g , 3

• s

t a t e P

• t

t s m

• d

e l s

O u t l i n e

SLIDE 3

✔

1 D c l a s s i c a l s t a t i s t i c a l m

• d

e l s = > t r a n s f e r m a t r i x r e p .

T e n s

• r

n e t w

• r

k r e p r e s e n t a t i

• n

SLIDE 4

✔

1 D c l a s s i c a l s t a t i s t i c a l m

• d

e l s = > t r a n s f e r m a t r i x r e p .

✔

2 ( 1 + 1 ) D m

• d

e l s = > t e n s

• r

n e t w

• r

k r e p .

T e n s

• r

n e t w

• r

k r e p r e s e n t a t i

• n

* T h e r a n k

• f

a t e n s

• r

d e p e n d s

• n

t h e l a t t i c e g e

• m

e t r y

SLIDE 5

✔

T e n s

• r

r e n

• r

m a l i z a t i

• n

g r

• u

p ( T R G )

• Z

= ( c

• n

t r a c t i

• n
• f

t h e N t e n s

• r

s )

• R

G g i v e s a n e f f i c i e n t c

• n

t r a c t i

• n

s c h e m e

T e n s

• r

r e n

• r

m a l i z a t i

• n

g r

• u

p

[ L e v i n , N a v e ( 2 7 ) ]

SLIDE 6

✔

T e n s

• r

r e n

• r

m a l i z a t i

• n

g r

• u

p ( T R G )

• Z

= ( c

• n

t r a c t i

• n
• f

t h e N t e n s

• r

s )

• R

G g i v e s a n e f f i c i e n t c

• n

t r a c t i

• n

s c h e m e

T e n s

• r

r e n

• r

m a l i z a t i

• n

g r

• u

p

[ L e v i n , N a v e ( 2 7 ) ]

SLIDE 7

T e n s

• r

r e n

• r

m a l i z a t i

• n

g r

• u

p

e x . ) 2 D I s i n g m

• d

e l T h e m a g n e t i z a t i

• n

c a n b e c

• m

p u t e d b y c

• n

t r a c t i n g a n e t w

• r

k :

= 1 6 χ=17

B y h i g h e r

• r

d e r T R G [ X i e e t a l . ( 2 1 2 ) ]

SLIDE 8

✔

U n d e r T R G , t e n s

• r

s c

• n

v e r g e t

• f

i x e d p

• i

n t s ( F P )

• I

n t r i v i a l p h a s e , t h e F P t e n s

• r

i s t r i v i a l

• A

t c r i t i c a l i t y , t h e F P t e n s

• r

i s c

• n

f

• r

m a l l y i n v a r i a n t

T e n s

• r

r e n

• r

m a l i z a t i

• n

g r

• u

p

[ G u a n d W e n ( 2 9 ) ]

SLIDE 9

✔

U n d e r T R G , t e n s

• r

s c

• n

v e r g e t

• f

i x e d p

• i

n t s ( F P )

• I

n t r i v i a l p h a s e , t h e F P t e n s

• r

i s t r i v i a l

• A

t c r i t i c a l i t y , t h e F P t e n s

• r

i s c

• n

f

• r

m a l l y i n v a r i a n t

✔

e x . ) 2 D I s i n g m

• d

e l a t t h e c r i t i c a l p

• i

n t

T e n s

• r

r e n

• r

m a l i z a t i

• n

g r

• u

p

T h e s p e c t r u m

• f

t h e s c a l i n g d i m e n s i

• n

s i s c

• n

s i s t e n t w i t h t h e I s i n g C F T !

[ G u a n d W e n ( 2 9 ) ]

= 7 2 χ=17

SLIDE 10

✔

W e c

• n

s i d e r T R G f

• r

t h e s y s t e m w i t h

• p

e n b

• u

n d a r i e s

✔ P

r e v i

• u

s T R G s t u d i e s i m p l i c i t l y a s s u m e p e r i

• d

i c b . c .

c f . ) b

• u

n d a r y ME R A [ E v e n b l y e t a l . ( 2 1 ) ]

R e n

• r

m a l i z a t i

• n
• f

b

• u

n d a r y

SLIDE 11

✔

W e c

• n

s i d e r T R G f

• r

t h e s y s t e m w i t h

• p

e n b

• u

n d a r i e s

✔ P

r e v i

• u

s T R G s t u d i e s i m p l i c i t l y a s s u m e p e r i

• d

i c b . c .

c f . ) b

• u

n d a r y ME R A [ E v e n b l y e t a l . ( 2 1 ) ]

✔ Wh

a t w e w a n t t

• d
• i

s :

• c
• m

p u t e s u r f a c e p h y s i c a l q u a n t i t i e s

• a

n a l y z e F P t e n s

• r

s b y b

• u

n d a r y C F T ( B C F T )

R e n

• r

m a l i z a t i

• n
• f

b

• u

n d a r y

SLIDE 12

✔

W e c

• n

s i d e r T R G f

• r

t h e s y s t e m w i t h

• p

e n b

• u

n d a r i e s

✔ P

r e v i

• u

s T R G s t u d i e s i m p l i c i t l y a s s u m e p e r i

• d

i c b . c .

c f . ) b

• u

n d a r y ME R A [ E v e n b l y e t a l . ( 2 1 ) ]

✔ Wh

a t w e w a n t t

• d
• i

s :

• c
• m

p u t e s u r f a c e p h y s i c a l q u a n t i t i e s

• a

n a l y z e F P t e n s

• r

s b y b

• u

n d a r y C F T ( B C F T )

✔

H

• w

c a n w e p e r f

• r

m R G f

• r
• p

e n

• b
• u

n d a r y s y s t e m s ?

R e n

• r

m a l i z a t i

• n
• f

b

• u

n d a r y

SLIDE 13

B

• u

n d a r y T R G

T e n s

• r

n e t w

• r

k i n a f i n i t e c y l i n d e r : ・a ( b u l k t e n s

• r

) ・b 1 ( u p p e r b

• u

n d a r y t e n s

• r

) ・b 2 ( l

• w

e r b

• u

n d a r y t e n s

• r

)

SLIDE 14

B

• u

n d a r y T R G

T e n s

• r

n e t w

• r

k i n a f i n i t e c y l i n d e r : ・a ( b u l k t e n s

• r

) ・b 1 ( u p p e r b

• u

n d a r y t e n s

• r

) ・b 2 ( l

• w

e r b

• u

n d a r y t e n s

• r

) T h e p r

• j

e c t

• r

s a r e d e t e r m i n e d s

• a

s t

• m

i n i m i z e t h e c

• s

t :

SLIDE 15

✔

Mo d e l : 2 , 3

• s

t a t e f e r r

• P
• t

t s m

• d

e l

• n

a f i n i t e c y l i n d e r

B e n c h m a r k c

• m

p u t a t i

• n

SLIDE 16

✔

Mo d e l : 2 , 3

• s

t a t e f e r r

• P
• t

t s m

• d

e l

• n

a f i n i t e c y l i n d e r

B e n c h m a r k c

• m

p u t a t i

• n

q = 2 , K

s

= K b

• n

d d i m = 1 6

SLIDE 17

✔

Mo d e l : 2 , 3

• s

t a t e f e r r

• P
• t

t s m

• d

e l

• n

a f i n i t e c y l i n d e r

✔

Wh e n t h e b u l k i s n

• t
• r

d e r e d , t h e b

• u

n d a r y s t a t e i s

• K

s

< : d i s

• r

d e r e d (

• f

r e e b . c . )

• K

s

= : s p

• n

t a n e

• u

s l y

• r

d e r e d (

• f

i x e d b . c . )

B e n c h m a r k c

• m

p u t a t i

• n

q = 2 , K

s

= K b

• n

d d i m = 1 6

SLIDE 18

✔

T h e p a r t i t i

• n

f u n c t i

• n
• n

a f i n i t e c y l i n d e r a t c r i t i c a l i t y :

* I n B C F T , t h e r e i s

• n

l y h

• l
• m
• r

p h i c p a r t i n t h e V i r a s

• r
• a

l g e b r a

B

• u

n d a r y C F T

SLIDE 19

✔

T h e p a r t i t i

• n

f u n c t i

• n
• n

a f i n i t e c y l i n d e r a t c r i t i c a l i t y :

* I n B C F T , t h e r e i s

• n

l y h

• l
• m
• r

p h i c p a r t i n t h e V i r a s

• r
• a

l g e b r a ✔

I n B C F T , n

• t

a l l t h e p r i m a r y f i e l d s a p p e a r . T h e

• p

e r a t

• r

c

• n

t e n t d e p e n d s

• n

t h e b . c .

e x . ) T h

• u

g h t h e p r i m a r y f i e l d s f

• r

I s i n g C F T a r e { 1 , , } , ε, σ}- σ}-

B

• u

n d a r y C F T

SLIDE 20

✔

Wh e n t h e b

• t

h e d g e s a r e f r e e b . c . ( K

s

= K = K

c

)

F i x e d

• p
• i

n t b

• u

n d a r y t e n s

• r

T h e c

• n

f

• r

m a l s p e c t r u m = T h e e i g e n v a l u e s p e c t r u m

• f

t h e t r a n s f e r m a t r i x B

SLIDE 21

F i x e d

• p
• i

n t b

• u

n d a r y t e n s

• r

SLIDE 22

✔

3

• s

t a t e P

• t

t s ( M

6 , 5

) B C F T : 8 c

• n

f

• r

m a l l y i n v a r i a n t b . c .

✔ 3

f i x e d b . c . b y a s i n g l e s p i n ( A , B , C )

✔ 3

f i x e d b . c . b y t w

• s

p i n s ( A B , B C , C A )

✔ 1

d i s

• r

d e r e d ( f r e e ) b . c .

3

• s

t a t e P

• t

t s B C F T

[ A f f l e c k , O s h i k a w a , S a l e u r ( 1 9 9 8 ) ]

SLIDE 23

✔

3

• s

t a t e P

• t

t s ( M

6 , 5

) B C F T : 8 c

• n

f

• r

m a l l y i n v a r i a n t b . c .

✔ 3

f i x e d b . c . b y a s i n g l e s p i n ( A , B , C )

✔ 3

f i x e d b . c . b y t w

• s

p i n s ( A B , B C , C A )

✔ 1

d i s

• r

d e r e d ( f r e e ) b . c .

✔

T h e l a s t b . c . i s n

• n
• p

h y s i c a l b . c . ( c a l l e d ` n e w b . c . ’ )

• B
• l

t z m a n n w e i g h t a t t h e b

• u

n d a r y i s

→! Mo n t e C a r l

• s

u f f e r s f r

• m

t h e n e g a t i v e s i g n p r

• b

l e m , b u t B T R G c a n e a s i l y c

• m

p u t e t h i s w e i g h t

3

• s

t a t e P

• t

t s B C F T

[ A f f l e c k , O s h i k a w a , S a l e u r ( 1 9 9 8 ) ] [ B e h r e n d , P e a r c e ( 2 1 ) ]

SLIDE 24

B T R G f

• r

3

• s

t a t e P

• t

t s

= 8 1 χ=17

SLIDE 25

✔

W e e x p l a i n h

• w

t

• a

p p l y t h e T R G m e t h

• d

t

• p

e n b

• u

n d a r y s y s t e m s ( B

• u

n d a r y T R G ; B T R G )

✔

B T R G c a n c

• m

p u t e t h e s u r f a c e

• r

d e r p a r a m e t e r a c c u r a t e l y

✔

B T R G c a n c

• m

p u t e t h e c

• r

r e c t c

• n

f

• r

m a l s p e c t r u m f

• r

g i v e n b

• u

n d a r y c

• n

d i t i

• n

s

✔

F u t u r e w

• r

k :

• E

l i m i n a t e t h e s h

• r

t

• r

a n g e e n t a n g l e m e n t

• A

p p l y t

• m
• r

e i n t e r e s t i n g p r

• b

l e m s

• r

3 d s y s t e m s

C

• n

c l u s i

• n

SLIDE 26

✔

B

• u

n d a r y c

• n

d i t i

• n

: f r e e

• f

r e e

T h e s c a l i n g d i m s i s c

• m

p u t e d a t t h e 5 t h R G s t e p

F l

• w
• f

s c a l i n g d i m s

* F

• r

f u r t h e r a c c u r a c y a n d s t a b i l i t y , i t i s n e c e s s a r y t

• e

l i m i n a t e t h e s h

• r

t c

• r

r e l a t i

• n

= 7 2 χ=17