B o u n d a r y T e n s o r R e n o r m a l i - - PowerPoint PPT Presentation

b o u n d a r y t e n s o r r e n o r m a l i z a t i o n
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B o u n d a r y T e n s o r R e n o r m a l i - - PowerPoint PPT Presentation

B o u n d a r y T e n s o r R e n o r m a l i z a t i o n G r o u p a r X i v : 1 9 0 5 . 0 2 3 5 1 t o a p p e a r i n P R B S h u m p e i I i n o , S a t o s h i Mo


slide-1
SLIDE 1

B

  • u

n d a r y T e n s

  • r

R e n

  • r

m a l i z a t i

  • n

G r

  • u

p

S h u m p e i I i n

  • ,

S a t

  • s

h i Mo r i t a , a n d N a

  • k

i K a w a s h i m a J u l y 2 2 , 2 1 9 @ C A Q MP s y m p

  • s

i u m

a r X i v : 1 9 5 . 2 3 5 1 t

  • a

p p e a r i n P R B

slide-2
SLIDE 2

Wh a t i s t e n s

  • r

r e n

  • r

m a l i z a t i

  • n

g r

  • u

p ( T R G ) ?

  • R

G

  • f

t e n s

  • r

n e t w

  • r

k s , f i x e d p

  • i

n t t e n s

  • r

s

B

  • u

n d a r y T R G ( B T R G ) a l g

  • r

i t h m

  • T

R G f

  • r
  • p

e n

  • b
  • u

n d a r y s y s t e m s

N u m e r i c a l r e s u l t s

  • f

B T R G

  • 2

d I s i n g , 3

  • s

t a t e P

  • t

t s m

  • d

e l s

O u t l i n e

slide-3
SLIDE 3

1 D c l a s s i c a l s t a t i s t i c a l m

  • d

e l s = > t r a n s f e r m a t r i x r e p .

T e n s

  • r

n e t w

  • r

k r e p r e s e n t a t i

  • n
slide-4
SLIDE 4

1 D c l a s s i c a l s t a t i s t i c a l m

  • d

e l s = > t r a n s f e r m a t r i x r e p .

2 ( 1 + 1 ) D m

  • d

e l s = > t e n s

  • r

n e t w

  • r

k r e p .

T e n s

  • r

n e t w

  • r

k r e p r e s e n t a t i

  • n

* T h e r a n k

  • f

a t e n s

  • r

d e p e n d s

  • n

t h e l a t t i c e g e

  • m

e t r y

slide-5
SLIDE 5

T e n s

  • r

r e n

  • r

m a l i z a t i

  • n

g r

  • u

p ( T R G )

  • Z

= ( c

  • n

t r a c t i

  • n
  • f

t h e N t e n s

  • r

s )

  • R

G g i v e s a n e f f i c i e n t c

  • n

t r a c t i

  • n

s c h e m e

T e n s

  • r

r e n

  • r

m a l i z a t i

  • n

g r

  • u

p

[ L e v i n , N a v e ( 2 7 ) ]

slide-6
SLIDE 6

T e n s

  • r

r e n

  • r

m a l i z a t i

  • n

g r

  • u

p ( T R G )

  • Z

= ( c

  • n

t r a c t i

  • n
  • f

t h e N t e n s

  • r

s )

  • R

G g i v e s a n e f f i c i e n t c

  • n

t r a c t i

  • n

s c h e m e

T e n s

  • r

r e n

  • r

m a l i z a t i

  • n

g r

  • u

p

[ L e v i n , N a v e ( 2 7 ) ]

slide-7
SLIDE 7

T e n s

  • r

r e n

  • r

m a l i z a t i

  • n

g r

  • u

p

e x . ) 2 D I s i n g m

  • d

e l T h e m a g n e t i z a t i

  • n

c a n b e c

  • m

p u t e d b y c

  • n

t r a c t i n g a n e t w

  • r

k :

= 1 6 χ=17

B y h i g h e r

  • r

d e r T R G [ X i e e t a l . ( 2 1 2 ) ]

slide-8
SLIDE 8

U n d e r T R G , t e n s

  • r

s c

  • n

v e r g e t

  • f

i x e d p

  • i

n t s ( F P )

  • I

n t r i v i a l p h a s e , t h e F P t e n s

  • r

i s t r i v i a l

  • A

t c r i t i c a l i t y , t h e F P t e n s

  • r

i s c

  • n

f

  • r

m a l l y i n v a r i a n t

T e n s

  • r

r e n

  • r

m a l i z a t i

  • n

g r

  • u

p

[ G u a n d W e n ( 2 9 ) ]

slide-9
SLIDE 9

U n d e r T R G , t e n s

  • r

s c

  • n

v e r g e t

  • f

i x e d p

  • i

n t s ( F P )

  • I

n t r i v i a l p h a s e , t h e F P t e n s

  • r

i s t r i v i a l

  • A

t c r i t i c a l i t y , t h e F P t e n s

  • r

i s c

  • n

f

  • r

m a l l y i n v a r i a n t

e x . ) 2 D I s i n g m

  • d

e l a t t h e c r i t i c a l p

  • i

n t

T e n s

  • r

r e n

  • r

m a l i z a t i

  • n

g r

  • u

p

T h e s p e c t r u m

  • f

t h e s c a l i n g d i m e n s i

  • n

s i s c

  • n

s i s t e n t w i t h t h e I s i n g C F T !

[ G u a n d W e n ( 2 9 ) ]

= 7 2 χ=17

slide-10
SLIDE 10

W e c

  • n

s i d e r T R G f

  • r

t h e s y s t e m w i t h

  • p

e n b

  • u

n d a r i e s

✔ P

r e v i

  • u

s T R G s t u d i e s i m p l i c i t l y a s s u m e p e r i

  • d

i c b . c .

c f . ) b

  • u

n d a r y ME R A [ E v e n b l y e t a l . ( 2 1 ) ]

R e n

  • r

m a l i z a t i

  • n
  • f

b

  • u

n d a r y

slide-11
SLIDE 11

W e c

  • n

s i d e r T R G f

  • r

t h e s y s t e m w i t h

  • p

e n b

  • u

n d a r i e s

✔ P

r e v i

  • u

s T R G s t u d i e s i m p l i c i t l y a s s u m e p e r i

  • d

i c b . c .

c f . ) b

  • u

n d a r y ME R A [ E v e n b l y e t a l . ( 2 1 ) ]

✔ Wh

a t w e w a n t t

  • d
  • i

s :

  • c
  • m

p u t e s u r f a c e p h y s i c a l q u a n t i t i e s

  • a

n a l y z e F P t e n s

  • r

s b y b

  • u

n d a r y C F T ( B C F T )

R e n

  • r

m a l i z a t i

  • n
  • f

b

  • u

n d a r y

slide-12
SLIDE 12

W e c

  • n

s i d e r T R G f

  • r

t h e s y s t e m w i t h

  • p

e n b

  • u

n d a r i e s

✔ P

r e v i

  • u

s T R G s t u d i e s i m p l i c i t l y a s s u m e p e r i

  • d

i c b . c .

c f . ) b

  • u

n d a r y ME R A [ E v e n b l y e t a l . ( 2 1 ) ]

✔ Wh

a t w e w a n t t

  • d
  • i

s :

  • c
  • m

p u t e s u r f a c e p h y s i c a l q u a n t i t i e s

  • a

n a l y z e F P t e n s

  • r

s b y b

  • u

n d a r y C F T ( B C F T )

H

  • w

c a n w e p e r f

  • r

m R G f

  • r
  • p

e n

  • b
  • u

n d a r y s y s t e m s ?

R e n

  • r

m a l i z a t i

  • n
  • f

b

  • u

n d a r y

slide-13
SLIDE 13

B

  • u

n d a r y T R G

T e n s

  • r

n e t w

  • r

k i n a f i n i t e c y l i n d e r : ・a ( b u l k t e n s

  • r

) ・b 1 ( u p p e r b

  • u

n d a r y t e n s

  • r

) ・b 2 ( l

  • w

e r b

  • u

n d a r y t e n s

  • r

)

slide-14
SLIDE 14

B

  • u

n d a r y T R G

T e n s

  • r

n e t w

  • r

k i n a f i n i t e c y l i n d e r : ・a ( b u l k t e n s

  • r

) ・b 1 ( u p p e r b

  • u

n d a r y t e n s

  • r

) ・b 2 ( l

  • w

e r b

  • u

n d a r y t e n s

  • r

) T h e p r

  • j

e c t

  • r

s a r e d e t e r m i n e d s

  • a

s t

  • m

i n i m i z e t h e c

  • s

t :

slide-15
SLIDE 15

Mo d e l : 2 , 3

  • s

t a t e f e r r

  • P
  • t

t s m

  • d

e l

  • n

a f i n i t e c y l i n d e r

B e n c h m a r k c

  • m

p u t a t i

  • n
slide-16
SLIDE 16

Mo d e l : 2 , 3

  • s

t a t e f e r r

  • P
  • t

t s m

  • d

e l

  • n

a f i n i t e c y l i n d e r

B e n c h m a r k c

  • m

p u t a t i

  • n

q = 2 , K

s

= K b

  • n

d d i m = 1 6

slide-17
SLIDE 17

Mo d e l : 2 , 3

  • s

t a t e f e r r

  • P
  • t

t s m

  • d

e l

  • n

a f i n i t e c y l i n d e r

Wh e n t h e b u l k i s n

  • t
  • r

d e r e d , t h e b

  • u

n d a r y s t a t e i s

  • K

s

< : d i s

  • r

d e r e d (

  • f

r e e b . c . )

  • K

s

= : s p

  • n

t a n e

  • u

s l y

  • r

d e r e d (

  • f

i x e d b . c . )

B e n c h m a r k c

  • m

p u t a t i

  • n

q = 2 , K

s

= K b

  • n

d d i m = 1 6

slide-18
SLIDE 18

T h e p a r t i t i

  • n

f u n c t i

  • n
  • n

a f i n i t e c y l i n d e r a t c r i t i c a l i t y :

* I n B C F T , t h e r e i s

  • n

l y h

  • l
  • m
  • r

p h i c p a r t i n t h e V i r a s

  • r
  • a

l g e b r a

B

  • u

n d a r y C F T

slide-19
SLIDE 19

T h e p a r t i t i

  • n

f u n c t i

  • n
  • n

a f i n i t e c y l i n d e r a t c r i t i c a l i t y :

* I n B C F T , t h e r e i s

  • n

l y h

  • l
  • m
  • r

p h i c p a r t i n t h e V i r a s

  • r
  • a

l g e b r a ✔

I n B C F T , n

  • t

a l l t h e p r i m a r y f i e l d s a p p e a r . T h e

  • p

e r a t

  • r

c

  • n

t e n t d e p e n d s

  • n

t h e b . c .

e x . ) T h

  • u

g h t h e p r i m a r y f i e l d s f

  • r

I s i n g C F T a r e { 1 , , } , ε, σ}- σ}-

B

  • u

n d a r y C F T

slide-20
SLIDE 20

Wh e n t h e b

  • t

h e d g e s a r e f r e e b . c . ( K

s

= K = K

c

)

F i x e d

  • p
  • i

n t b

  • u

n d a r y t e n s

  • r

T h e c

  • n

f

  • r

m a l s p e c t r u m = T h e e i g e n v a l u e s p e c t r u m

  • f

t h e t r a n s f e r m a t r i x B

slide-21
SLIDE 21

F i x e d

  • p
  • i

n t b

  • u

n d a r y t e n s

  • r
slide-22
SLIDE 22

3

  • s

t a t e P

  • t

t s ( M

6 , 5

) B C F T : 8 c

  • n

f

  • r

m a l l y i n v a r i a n t b . c .

✔ 3

f i x e d b . c . b y a s i n g l e s p i n ( A , B , C )

✔ 3

f i x e d b . c . b y t w

  • s

p i n s ( A B , B C , C A )

✔ 1

d i s

  • r

d e r e d ( f r e e ) b . c .

3

  • s

t a t e P

  • t

t s B C F T

[ A f f l e c k , O s h i k a w a , S a l e u r ( 1 9 9 8 ) ]

slide-23
SLIDE 23

3

  • s

t a t e P

  • t

t s ( M

6 , 5

) B C F T : 8 c

  • n

f

  • r

m a l l y i n v a r i a n t b . c .

✔ 3

f i x e d b . c . b y a s i n g l e s p i n ( A , B , C )

✔ 3

f i x e d b . c . b y t w

  • s

p i n s ( A B , B C , C A )

✔ 1

d i s

  • r

d e r e d ( f r e e ) b . c .

T h e l a s t b . c . i s n

  • n
  • p

h y s i c a l b . c . ( c a l l e d ` n e w b . c . ’ )

  • B
  • l

t z m a n n w e i g h t a t t h e b

  • u

n d a r y i s

→! Mo n t e C a r l

  • s

u f f e r s f r

  • m

t h e n e g a t i v e s i g n p r

  • b

l e m , b u t B T R G c a n e a s i l y c

  • m

p u t e t h i s w e i g h t

3

  • s

t a t e P

  • t

t s B C F T

[ A f f l e c k , O s h i k a w a , S a l e u r ( 1 9 9 8 ) ] [ B e h r e n d , P e a r c e ( 2 1 ) ]

slide-24
SLIDE 24

B T R G f

  • r

3

  • s

t a t e P

  • t

t s

= 8 1 χ=17

slide-25
SLIDE 25

W e e x p l a i n h

  • w

t

  • a

p p l y t h e T R G m e t h

  • d

t

  • p

e n b

  • u

n d a r y s y s t e m s ( B

  • u

n d a r y T R G ; B T R G )

B T R G c a n c

  • m

p u t e t h e s u r f a c e

  • r

d e r p a r a m e t e r a c c u r a t e l y

B T R G c a n c

  • m

p u t e t h e c

  • r

r e c t c

  • n

f

  • r

m a l s p e c t r u m f

  • r

g i v e n b

  • u

n d a r y c

  • n

d i t i

  • n

s

F u t u r e w

  • r

k :

  • E

l i m i n a t e t h e s h

  • r

t

  • r

a n g e e n t a n g l e m e n t

  • A

p p l y t

  • m
  • r

e i n t e r e s t i n g p r

  • b

l e m s

  • r

3 d s y s t e m s

C

  • n

c l u s i

  • n
slide-26
SLIDE 26

B

  • u

n d a r y c

  • n

d i t i

  • n

: f r e e

  • f

r e e

T h e s c a l i n g d i m s i s c

  • m

p u t e d a t t h e 5 t h R G s t e p

F l

  • w
  • f

s c a l i n g d i m s

* F

  • r

f u r t h e r a c c u r a c y a n d s t a b i l i t y , i t i s n e c e s s a r y t

  • e

l i m i n a t e t h e s h

  • r

t c

  • r

r e l a t i

  • n

= 7 2 χ=17