asymptotically accurate high order space and time schemes
play

Asymptotically accurate high-order space and time schemes for the - PowerPoint PPT Presentation

Asymptotically accurate high-order space and time schemes for the Euler system in the low Mach regime Victor Michel-Dansac SHARK-FV, 15-19 May 2017 Giacomo Dimarco, Univ. of Ferrara, Italy Raphal Loubre, Univ. of Bordeaux, CNRS, France


  1. Asymptotically accurate high-order space and time schemes for the Euler system in the low Mach regime Victor Michel-Dansac SHARK-FV, 15-19 May 2017 Giacomo Dimarco, Univ. of Ferrara, Italy Raphaël Loubère, Univ. of Bordeaux, CNRS, France Marie-Hélène Vignal, Univ. of Toulouse, France Funding : ANR MOONRISE

  2. Outline General context : multi-scale models and principle of AP schemes 1 An order 1 AP scheme for the Euler system in the low Mach limit 2 High order schemes in time 3 High order schemes in time and space 4 Works in progress en perspectives 5

  3. General context electron density (log scale) : t=0.1 0 2.4 −1 Multiscale model : M ε depends on a parameter ε 2.3 −2 2.2 −3 2.1 −4 2 In the (space-time) domain ε can −5 1.9 −6 1.8 −7 1.7 be small compared to the reference scale 1.6 −8 1.5 −9 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 ε be of same order as the reference scale 0 10 take intermediate values −5 10 When ε is small : M 0 = lim ε → 0 M ε asympt. model −10 10 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Difficulties : x Classical explicit schemes for M ε : stable and consistent if the mesh resolves all the scales of ε ⇒ huge cost Schemes for M 0 with meshes independent of ε ➠ M 0 not valid everywhere, needs ε ≪ 1 But : ➠ location of the interface, moving interface

  4. Principle of AP schemes A possible solution : AP schemes Use the multi-scale model M ε where you want. Discretize it with a scheme preserving the limit ε → 0 ➠ The mesh is independent of ε : Asymptotic stability . ➠ You recover an approximate solution of M 0 when ε → 0 : Asymptotic consistency Asymptotically stable and consistent scheme ⇒ Asymptotic preserving scheme (AP) ([S.Jin] kinetic → hydro) You can use the AP scheme only to reconnect M ε and M 0 M 0 ���� ���� �������������� �������������� ���� ���� ���� ���� �������������� �������������� ���� ���� ���� ���� �������������� �������������� ���� ���� ���� ���� �������������� �������������� ���� ���� ���� ���� �������������� �������������� ���� ���� ���� ���� �������������� �������������� ���� ���� ���� ���� �������������� �������������� ���� ���� ���� ���� �������������� �������������� ���� ���� class. scheme ���� ���� �������������� �������������� ���� ���� M ε ���� ���� �������������� �������������� ���� ���� ���� ���� �������������� �������������� ���� ���� ���� ���� �������������� �������������� ���� ���� ���� ���� �������������� �������������� ���� ���� ���� ���� �������������� �������������� ���� ���� ���� ���� �������������� �������������� ���� ���� intermediate ���� ���� �������������� �������������� ���� ���� ε = O ( 1 ) ���� ���� �������������� �������������� ���� ���� ε ≪ 1 class. scheme ���� ���� �������������� �������������� ���� ���� ���� ���� �������������� �������������� ���� ���� zone ���� ���� �������������� �������������� ���� ���� ���� ���� �������������� �������������� ���� ���� ���� ���� �������������� �������������� ���� ���� ���� ���� �������������� �������������� ���� ���� ���� ���� �������������� �������������� ���� ���� ���� ���� �������������� �������������� ���� ���� M ε ���� ���� �������������� �������������� ���� ���� ���� ���� �������������� �������������� ���� ���� ���� ���� �������������� �������������� ���� ���� ���� ���� �������������� �������������� ���� ���� ���� ���� �������������� �������������� ���� ���� ���� ���� �������������� �������������� ���� ���� ���� ���� �������������� �������������� ���� ���� ���� ���� �������������� �������������� ���� ���� AP scheme ���� ���� �������������� �������������� ���� ����

  5. Outline General context : multi-scale models and principle of AP schemes 1 An order 1 AP scheme for the Euler system in the low Mach limit 2 High order schemes in time 3 High order schemes in time and space 4 Works in progress en perspectives 5

  6. The multi-scale model and its asymptotic limit ➠ Isentropic Euler system in scaled variables x ∈ Ω ⊂ IR d , t ≥ 0 � ∂ t ρ + ∇ · ( ρ u ) = 0 , ( 1 ) ε ( M ε ) ∂ t ( ρ u )+ ∇ · ( ρ u ⊗ u )+ 1 ε ∇ p ( ρ ) = 0 , ( 2 ) ε Parameter : ε = M 2 = m | u | 2 / ( γ p ( ρ ) / ρ ) , M = Mach number Boundary and initial conditions : � ρ ( x , 0 ) = ρ 0 + ε ˜ ρ 0 ( x ) , u · n = 0 , on ∂ Ω , and u ( x , 0 ) = u 0 ( x )+ ε ˜ u 0 ( x ) , with ∇ · u 0 = 0 . The formal low Mach number limit ε → 0 ( 2 ) ε ⇒ ∇ p ( ρ ) = 0 , ⇒ ρ ( x , t ) = ρ ( t ) . � ( 1 ) ε ⇒ | Ω | ρ ′ ( t )+ ρ ( t ) u · n = 0 , ⇒ ρ ( t ) = ρ ( 0 ) = ρ 0 , ⇒ ∇ · u = 0 ∂ Ω

  7. The multi-scale model and its asymptotic limit The asymptotic model : Rigorous limit [Klainerman, Majda, 81]  ρ = cste = ρ 0 ,   ( M 0 ) ρ 0 ∇ · u = 0 , ( 1 ) 0   ρ 0 ∂ t u + ρ 0 ∇ · ( u ⊗ u )+ ∇π 1 = 0 , ( 2 ) 0 � � where 1 π 1 = lim p ( ρ ) − p ( ρ 0 ) . ε ε → 0 Explicit eq. for π 1 ∂ t ( 1 ) 0 − ∇ · ( 2 ) 0 ⇒ − ∆ π 1 = ρ 0 ∇ 2 :( u ⊗ u ) . The pressure wave eq. from M ε : ∂ tt ρ − 1 ε ∆ p ( ρ ) = ∇ 2 : ( ρ u ⊗ u ) ∂ t ( 1 ) ε − ∇ · ( 2 ) ε ⇒ ( 3 ) ε From a numerical point of view Explicit treatment of ( 3 ) ε ⇒ conditional stability ∆ t ≤ √ ε ∆ x Implicit treatment of ( 3 ) ε ⇒ uniform stability with respect to ε

  8. An order 1 AP scheme in the low Mach numb. limit Order 1 AP scheme in [Dimarco, Loubère, Vignal, SISC 2017] : If ρ n and u n are known at time t n  ρ n + 1 − ρ n + ∇ · ( ρ u ) n + 1 = 0 ,  ( 1 )  (AS)  ∆ t ( ρ u ) n + 1 − ( ρ u ) n + ∇ · ( ρ u ⊗ u ) n + 1  ε ∇ p ( ρ n + 1 ) = 0 .  ( 2 )  (AC) ∆ t ∇ · ( 2 ) inserted into ( 1 ) : gives an uncoupled formulation ρ n + 1 − ρ n + ∇ · ( ρ u ) n − ∆ t ε ∆ p ( ρ n + 1 ) − ∆ t ∇ 2 : ( ρ u ⊗ u ) n = 0 , ∆ t ➠ Results uniformly L ∞ stable if the space discretization is well chosen ➠ Framework of IMEX (IMplicit-EXplicit) schemes : � ρ u � � � � � ρ 0 ∂ t + ∇ · + ∇ · = 0 . p ( ρ ) ρ u ρ u ⊗ u ε Id � �� � � �� � � �� � W F e ( W ) F i ( W )

Download Presentation
Download Policy: The content available on the website is offered to you 'AS IS' for your personal information and use only. It cannot be commercialized, licensed, or distributed on other websites without prior consent from the author. To download a presentation, simply click this link. If you encounter any difficulties during the download process, it's possible that the publisher has removed the file from their server.

Recommend


More recommend