Applications of Variational Bayes & DAGs in Neuroimaging - - PowerPoint PPT Presentation
Applications of Variational Bayes & DAGs in Neuroimaging ECE 6504: Advanced Topics in Machine Learning Rosalyn Moran rosalynj@vtc.vt.edu
ECE ¡6504: ¡ ¡ Advanced ¡Topics ¡in ¡Machine ¡Learning ¡ ¡ ¡ ¡ Rosalyn ¡Moran ¡ rosalynj@vtc.vt.edu ¡
Friston ¡et ¡al ¡2003; ¡Stephan ¡et ¡al ¡2008 ¡ Kiebel ¡et ¡al, ¡2006; ¡Garrido ¡et ¡al, ¡2007 ¡ David ¡et ¡al, ¡2006; ¡Moran ¡et ¡al, ¡2007 ¡ ¡
Time ¡Series ¡ DCM ¡is ¡not ¡intended ¡for ¡‘modelling’ ¡ ¡ ¡ DCM ¡is ¡an ¡analysis ¡framework ¡for ¡empirical ¡data ¡ ¡ DCM ¡uses ¡a ¡Fmes ¡series ¡to ¡test ¡mechanisFc ¡hypotheses ¡ ¡ Hypotheses ¡are ¡constrained ¡by ¡the ¡underlying ¡dynamic ¡ generaFve ¡(biological) ¡model ¡
) , , ( θ u x F dt dx =
Neural state equation: Electromagnetic forward model: neural activity→EEG MEG LFP simple neuronal model complicated forward model complicated neuronal model simple forward model
fMRI EEG/MEG
Hemodynamic forward model: neural activity→BOLD
u1 ¡
A(1,1) ¡ ¡ ¡ ¡ A(2,1) ¡ ¡ ¡ ¡ A(1,2) ¡ ¡ ¡ ¡ A(2,2) ¡ ¡ ¡ ¡
u2 ¡
B(1,2) ¡ ¡ ¡ ¡
H{1} ¡
H{2} ¡
C(1) ¡
x1 ¡ x2 ¡ x3 ¡
System ¡states ¡xt ¡ ConnecFvity ¡parameters ¡θ ¡ Inputs ¡ut ¡
State ¡changes ¡are ¡dependent ¡
– the ¡current ¡state ¡x ¡ – external ¡inputs ¡u ¡ – its ¡connecFvity ¡θ ¡
Visual ¡input ¡in ¡the ¡ ¡visual ¡field ¡ ¡-‑ ¡le\ ¡(LVF) ¡ ¡-‑ ¡right ¡(RVF) ¡ ¡ LG ¡= ¡lingual ¡gyrus ¡ FG ¡= ¡fusiform ¡gyrus ¡
LG ¡ le\ ¡ LG ¡ right ¡
RVF ¡ LVF ¡
FG ¡ right ¡ FG ¡ le\ ¡
x1 ¡ x2 ¡ x4 ¡ x3 ¡ u2 ¡ u1 ¡
x1 = a11x1 + a12x2 + a13x3 + c12u2 x2 = a21x1 + a22x2 + a24x4 + c21u1 x3 = a31x1 + a33x3 + a34x4 x4 = a42x2 + a43x3 + a44x4
Visual ¡input ¡in ¡the ¡ ¡visual ¡field ¡ ¡-‑ ¡le\ ¡(LVF) ¡ ¡-‑ ¡right ¡(RVF) ¡ ¡ LG ¡= ¡lingual ¡gyrus ¡ FG ¡= ¡fusiform ¡gyrus ¡
LG ¡ le\ ¡ LG ¡ right ¡
RVF ¡ LVF ¡
FG ¡ right ¡ FG ¡ le\ ¡
x1 ¡ x2 ¡ x4 ¡ x3 ¡ u2 ¡ u1 ¡
Visual ¡input ¡in ¡the ¡ ¡ visual ¡field ¡ ¡-‑ ¡le\ ¡(LVF) ¡ ¡-‑ ¡right ¡(RVF) ¡ ¡ LG ¡= ¡lingual ¡gyrus ¡ FG ¡= ¡fusiform ¡gyrus ¡
state changes effective connectivity external inputs system state input parameters
x1 x2 x3 x4 ! " # # # # # # $ % & & & & & & = a11 a12 a13 a21 a22 a24 a31 a33 a34 a42 a43 a44 ! " # # # # # # $ % & & & & & & x1 x2 x3 x4 ! " # # # # # # $ % & & & & & & + c21 c12 ! " # # # # # $ % & & & & & u1 u2 ! " # # $ % & &
LG ¡ le\ ¡ LG ¡ right ¡
RVF ¡ LVF ¡
FG ¡ right ¡ FG ¡ le\ ¡
x1 ¡ x2 ¡ x4 ¡ x3 ¡ u2 ¡ u1 ¡
LG ¡ le\ ¡ LG ¡ right ¡
RVF ¡ LVF ¡
FG ¡ right ¡ FG ¡ le\ ¡
x1 ¡ x2 ¡ x4 ¡ x3 ¡ u2 ¡ u1 ¡
ATTENTION ¡
u3 ¡
j=1 m
x1 x2 x3 x4 ! " # # # # # # $ % & & & & & & = a11 a12 a13 a21 a22 a24 a31 a33 a34 a42 a43 a44 ! " # # # # # # $ % & & & & & & +u3 b
12 (3)
b34
(3)
! " # # # # # $ % & & & & & ' ( ) ) ) * ) ) ) + , ) ) )
) ) x1 x2 x3 x4 ! " # # # # # # $ % & & & & & & + c21 c12 ! " # # # # # $ % & & & & & u1 u2 u3 ! " # # # # $ % & & & &
Cu x B u A dt dx
m i i i
+ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + =
=1 ) (
Bilinear state equation: driving input modulation
2
Simply a two-dimensional taylor expansion (around x0=0, u0=0):
2 f
stimulus u1 context u2
x1 x
2
21
( ) ( )
2 1 11 2 1 2 21 2 2 1 22 21 11 2 1 2 2
endogenous ¡ connecFvity ¡ direct ¡inputs ¡ modulaFon ¡of ¡ connecFvity ¡ Neural ¡state ¡equaFon ¡
Cu x B u A x
j j
+ + =
) (
) (
u x C x x u B x x A
j j
∂ ∂ = ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ =
) (
hemodynamic ¡ model ¡
integraFon ¡
Stephan & Friston (2007), Handbook of Brain Connectivity
BOLD ¡ y ¡ y ¡ y ¡
ac#vity ¡ x1(t) ¡ ac#vity ¡ x2(t) ¡ ac#vity ¡ x3(t) ¡
Neuronal ¡ states ¡
t ¡
driving ¡ input ¡u1(t) ¡ modulatory ¡ input ¡u2(t) ¡
t ¡
ì
Cognitive system is modelled at its underlying neuronal level (not directly accessible for fMRI).
ì
The modelled neuronal dynamics (x) are transformed into area-specific BOLD signals (y) by a hemodynamic model (λ).
ì
Overcomes regional variability at the hemodynamic level
ì
DCM not based on temporal precedence at measurement level
hemodynamic ¡ model ¡
integraFon ¡
ì
3 ¡ hemodynamic ¡ parameters ¡
ì
Region-‑specific ¡ HRFs ¡
ì
Important ¡for ¡ model ¡fibng, ¡ but ¡of ¡no ¡ interest ¡
Z: neuronal activity Y: BOLD response y ¡represents ¡the ¡simulated ¡
including ¡noise, ¡i.e. ¡ ¡ y ¡= ¡h(u,θ)+e ¡
BOLD (with noise added) BOLD (with noise added)
y1 y2
u1 u2
z1 z2
20 40 60 2 4 20 40 60 2 4 seconds
blue: neuronal
y1 y2
u1 u2
x1 x2
¡EsFmate ¡neural ¡& ¡ ¡hemodynamic ¡ parameters ¡such ¡that ¡the ¡ MODELLED ¡and ¡MEASURED ¡BOLD ¡ signals ¡are ¡similar ¡(model ¡evidence ¡ is ¡opFmised), ¡using ¡variaFonal ¡bayes ¡ under ¡mean ¡field: ¡ ¡P(X, ¡λ, ¡A, ¡B, ¡C ¡| ¡Y) ¡ ¡
How ¡do ¡we ¡store ¡P(X1, ¡ ¡X2, ¡…, ¡XN) ¡
What ¡does ¡my ¡model ¡mean/imply/assume? ¡(SemanFcs) ¡ ¡
How ¡do ¡I ¡answer ¡quesFons/queries ¡with ¡my ¡model, ¡such ¡as ¡
Marginal ¡EsFmaFon: ¡P(X5 ¡| ¡X1, ¡X4) ¡
Most ¡Probable ¡ExplanaFon: ¡argmax ¡P(X1, ¡ ¡X2, ¡…, ¡XN) ¡ ¡
How ¡do ¡we ¡learn ¡parameters ¡and ¡structure ¡of ¡P(X1, ¡ ¡X2, ¡…, ¡XN) ¡from ¡data ¡
¡What ¡is ¡the ¡right ¡model ¡for ¡my ¡data? ¡ VB: ¡A ¡procedure ¡to ¡do ¡inference: ¡ ¡ That ¡implicitly ¡‘does ¡double ¡duty’ ¡in ¡Directed ¡Graphs! ¡ ¡
¡
distribuFon ¡over ¡X: ¡ ¡q(X) ¡which ¡is ¡closest ¡in ¡p(X) ¡“in ¡the ¡KL ¡sense” ¡ ¡ ¡
Which ¡can ¡be ¡maximized ¡
¡ ¡
¡ ¡
) | ( ln p q KL Z F − =
q H F
q +
=∑
φ
φ ln
equal ¡to ¡the ¡probability ¡of ¡the ¡evidence ¡in ¡directed ¡graphs ¡
q ¡ ¡(ie. ¡giving ¡a ¡proper ¡joint ¡distribuFon), ¡at ¡the ¡expense ¡of ¡capturing ¡all ¡the ¡ informaFon ¡in ¡p. ¡ ¡
parameters ¡-‑ ¡where ¡this ¡factorizaFon ¡is ¡a ¡relaxaBon ¡(a ¡superspace) ¡of ¡the ¡space ¡of ¡ true ¡marginals. ¡ ¡ ¡ ¡
¡ ¡
¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡using ¡fixed ¡point ¡soluFons ¡ ¡ ¡
¡
=
i i
x q X q ) ( ) (
Z x I x q
i i
)] ( exp[ ) ( = ) | ( ln p q KL Z F − =
y1 y2
u1 u2
x1 x2
b12 ¡ a12 ¡
Dynamics ¡
y1(t) ¡ x1(t) ¡
y1 y2
u1 u2
x1 x2
b12 ¡ a12 ¡
y1(t+1) ¡ x1(t+1) ¡ y1(t+2) ¡ y2(t) ¡ y2(t+1) ¡ y2(t+2) ¡ x1(t+2) ¡ x2(t+1) ¡ x2(t+2) ¡ x2(t) ¡ Dynamics ¡
Causal ¡Links ¡expressed ¡through ¡implicit ¡delays, ¡ ¡ which ¡makes ¡the ¡graph ¡a ¡Directed ¡Acyclic ¡Graph ¡
DAG ¡
y1 y2
u1 u2
x1 x2
b12 ¡ a12 ¡
y ¡ x ¡
Dynamics ¡
A ¡ B ¡ H ¡ C ¡ λ ¡
) ), , , , , ( ( ) , , , , ( I H X C B A f N H X C B A y p λ →
N ¡ N ¡ N ¡=Time ¡steps ¡ ¡x ¡# ¡Regions ¡ DAG ¡
y1 y2
u1 u2
x1 x2
b12 ¡ a12 ¡
y ¡
Dynamics ¡
A ¡ B ¡ H ¡ C ¡ λ ¡
) ), , , , , ( ( ) , , , , ( I H X C B A f N H X C B A y p λ →
N ¡ N ¡=Time ¡steps ¡ ¡x ¡# ¡Regions ¡ Bayes ¡Net: ¡PGM ¡
y1 y2
u1 u2
x1 x2
b12 ¡ a12 ¡
y ¡
Dynamics ¡
A ¡ B ¡ H ¡ C ¡ λ ¡
) ), , , , , ( ( ) , , , , ( I H X C B A f N H X C B A y p λ →
N ¡ N ¡=Time ¡steps ¡ ¡x ¡# ¡Regions ¡ ¡Bayes ¡Net: ¡ ¡ ProbabilisFc ¡Graphical ¡Model ¡
y1 y2
u1 u2
x1 x2
b12 ¡ a12 ¡
y ¡
Dynamics ¡
θ ¡ λ ¡
Goal: ¡Find ¡the ¡set ¡of ¡latent ¡ variables ¡θ, ¡given ¡y: ¡p(θ|y) ¡
Query ¡for ¡the ¡marginal ¡ distribuFon ¡of ¡the ¡ connecFvity ¡parameters ¡given ¡ data, ¡marginalized ¡w.r.t ¡noise ¡ parameter ¡
y1 y2
u1 u2
x1 x2
b12 ¡ a12 ¡
y ¡
Dynamics ¡
θ ¡ λ ¡ Given ¡this ¡type ¡of ¡graph ¡we ¡know: ¡
) ( ) , ( ) ( ) ( ) , ( y p y p p p y p λ θ λ θ λ θ =
¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡θ ¡ ¡ ¡ ¡λ ¡|y ¡
Goal: ¡Find ¡the ¡set ¡of ¡latent ¡ variables ¡θ, ¡given ¡y: ¡p(θ|y) ¡
Query ¡for ¡the ¡marginal ¡ distribuFon ¡of ¡the ¡ connecFvity ¡parameters ¡given ¡ data, ¡marginalized ¡w.r.t ¡noise ¡ parameter ¡
y1 y2
u1 u2
x1 x2
b12 ¡ a12 ¡
y ¡
Dynamics ¡
θ ¡ λ ¡ Given ¡this ¡type ¡of ¡graph ¡we ¡know: ¡
) ( ) , ( ) ( ) ( ) , ( y p y p p p y p λ θ λ θ λ θ =
and ¡θ ¡ ¡ ¡ ¡λ ¡|y ¡ But ¡Employ ¡ApproximaFng ¡Density ¡q, ¡ ¡ Using ¡the ¡mean ¡field ¡structure: ¡ Where: ¡
Goal: ¡Find ¡the ¡set ¡of ¡latent ¡ variables ¡θ, ¡given ¡y: ¡p(θ|y) ¡
Query ¡for ¡the ¡marginal ¡ distribuFon ¡of ¡the ¡ connecFvity ¡parameters ¡given ¡ data, ¡marginalized ¡w.r.t ¡noise ¡ parameter ¡
y1 y2
u1 u2
x1 x2
b12 ¡ a12 ¡
y ¡
Dynamics ¡
θ ¡ λ ¡ But ¡Employ ¡ApproximaFng ¡Density ¡q, ¡ ¡ Using ¡the ¡mean ¡field ¡structure: ¡ Given ¡this ¡type ¡of ¡graph ¡we ¡know: ¡ Where: ¡ ) ( ) , ( ) ( ) ( ) , ( y p y p p p y p λ θ λ θ λ θ =
) ( ) ( ) , ( y q y q y p λ θ λ θ =
) , ( ) ( ) , ( ) ( I N y q N y q λ λ µ θ → ∑ →
Goal: ¡Find ¡the ¡set ¡of ¡latent ¡ variables ¡θ, ¡given ¡y: ¡p(θ|y) ¡
Query ¡for ¡the ¡marginal ¡ distribuFon ¡of ¡the ¡ connecFvity ¡parameters ¡given ¡ data, ¡marginalized ¡w.r.t ¡noise ¡ parameter ¡
y1 y2
u1 u2
x1 x2
b12 ¡ a12 ¡
Dynamics ¡
y ¡
θ ¡ λ ¡ But ¡Employ ¡ApproximaFng ¡Density ¡q, ¡ ¡ Using ¡the ¡mean ¡field ¡structure: ¡ Given ¡this ¡type ¡of ¡graph ¡we ¡know: ¡ Where: ¡ ) ( ) , ( ) ( ) ( ) , ( y p y p p p y p λ θ λ θ λ θ =
) ( ) ( ) , ( y q y q y p λ θ λ θ =
) , ( ) ( ) , ( ) ( I N y q N y q λ λ µ θ → ∑ →
Goal: ¡Find ¡the ¡set ¡of ¡latent ¡ variables ¡θ, ¡given ¡y: ¡p(θ|y) ¡
Query ¡for ¡the ¡marginal ¡ distribuFon ¡of ¡the ¡ connecFvity ¡parameters ¡given ¡ data, ¡marginalized ¡w.r.t ¡noise ¡ parameter ¡
y ¡
θ ¡ λ ¡ Goal: ¡Find ¡the ¡set ¡of ¡ latent ¡variables ¡θ, ¡ given ¡y, ¡
Daunizeau ¡et ¡al. ¡2009 ¡
) , ( y p λ θ ) ( ) ( y q y q λ θ
) ( y q θ ) ( y q λ
( ) ( )
exp exp ln , , exp exp ln , ,
q q
q I p y q I p y
θ λ λ θ
θ θ λ λ θ λ ⎡ ⎤ ∝ = ⎣ ⎦ ⎡ ⎤ ∝ = ⎣ ⎦
¡ ¡IteraFve ¡updaFng ¡of ¡sufficient ¡staFsFcs ¡of ¡approx. ¡posteriors ¡by ¡ gradient ¡ascent. ¡ ¡ ¡Mean ¡field ¡approx. ¡ ¡ ¡Free-‑energy ¡approx. ¡ to ¡model ¡evidence. ¡ Fixed ¡point ¡soluFons ¡ for ¡two ¡factors ¡ ¡ ¡
) ) | , ( ) | , ( ( ) , , ( ln y p y q KL y p F
q
λ θ λ θ λ θ − = ) ( ) ( ) , ( y q y q y p λ θ λ θ =
5 10 15 20 25 30 35 40 5 10 15 20 25 30 35 40
0.2 0.4 0.6 0.8 1
A ¡ B ¡ C ¡ θh ¡ ε
Stephan et al. (2007) NeuroImage
) , ( ) ( Σ → µ θ N y q
Regional ¡responses ¡ Specify ¡generaFve ¡forward ¡model ¡ ¡ (with ¡prior ¡distribuFons ¡of ¡parameters) ¡ ¡ VariaFonal ¡ExpectaFon-‑MaximizaFon ¡algorithm ¡ IteraFve ¡procedure: ¡
¡current ¡set ¡of ¡parameters ¡
parameters ¡ ¡
ì Gaussian ¡assumpFons ¡about ¡the ¡posterior ¡distribuFons ¡of ¡the ¡
parameters ¡
ì posterior ¡probability ¡that ¡a ¡certain ¡parameter ¡(or ¡contrast ¡of ¡
parameters) ¡is ¡above ¡a ¡chosen ¡threshold ¡γ: ¡
ì By ¡default, ¡γ ¡is ¡chosen ¡as ¡zero ¡– ¡the ¡prior ¡("does ¡the ¡effect ¡exist?"). ¡
N i i N i N
y y N i y y y y N i y y y ,..., | 1 | 1 | ,..., | 1 1 | 1 ,..., |
1 1 1
θ θ θ θ θ θ
µ µ Σ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ Σ = Σ = Σ
= − = − −
group posterior covariance individual posterior covariances group posterior mean individual posterior covariances and means
FFX ¡group ¡analysis ¡
ì
Likelihood ¡distribuFons ¡from ¡different ¡subjects ¡are ¡independent ¡
ì
Under ¡Gaussian ¡assumpFons, ¡this ¡is ¡easy ¡to ¡compute ¡
ì
Simply ¡‘weigh’ ¡each ¡subject’s ¡contribuFon ¡by ¡your ¡certainty ¡of ¡the ¡parameter ¡
Separate ¡fibng ¡of ¡idenFcal ¡ models ¡for ¡each ¡subject ¡ SelecFon ¡of ¡parameters ¡of ¡ interest ¡
¡ parameter ¡> ¡0 ¡? ¡ paired ¡t-‑test: ¡ ¡ parameter ¡1 ¡> ¡ ¡ parameter ¡2 ¡? ¡ rmANOVA: ¡ ¡ e.g. ¡in ¡case ¡of ¡mulFple ¡ sessions ¡per ¡subject ¡
ì ‘Summary ¡StaFsFc ¡Approach’ ¡
k k
2 1 2 , 1
Fixed Effects Model selection via log Group Bayes factor: accounts ¡for ¡both ¡accuracy ¡and ¡complexity ¡of ¡the ¡model ¡ allows ¡for ¡inference ¡about ¡structure ¡(generalisability) ¡of ¡the ¡model ¡
( | , ) p r y α
Random Effects Model selection via Model probability:
) (
1 K k q k
r α α α + + = …
ì Prior ¡/ ¡instead ¡of ¡to ¡inference ¡on ¡parameters ¡ ì Which ¡of ¡various ¡mechanisms ¡/ ¡models ¡best ¡
ì Use ¡model ¡evidence ¡
2 1 12
B12 p(m1|y) Evidence
1 to 3 50-75% weak 3 to 20 75-95% positive 20 to 150 95-99% strong ≥ 150 ≥ 99% Very strong
Kass ¡& ¡Ra\ery ¡1995, ¡J. ¡Am. ¡Stat. ¡Assoc. ¡
2 1 12)
Ketamine ¡modulates: ¡
arrows) ¡: ¡use ¡log ¡bayes ¡factors ¡
¡
One ¡other ¡way ¡to ¡view ¡F!! ¡ ¡
m y p q KL m y p F , | , ) | ( log θ θ − =
[ ]
θ θ θ θ θ θ θ
µ µ µ µ θ θ − Σ − + Σ − Σ =
− y T y y
m p q KL
| 1 | |
2 1 ln 2 1 ln 2 1 ) | ( ), (
Accuracy ¡ ¡ ¡-‑ ¡ ¡ ¡Complexity ¡
The ¡complexity ¡term ¡of ¡F ¡is ¡higher ¡
the ¡more ¡independent ¡the ¡prior ¡parameters ¡(↑ ¡effective ¡DFs) ¡ the ¡more ¡dependent ¡the ¡posterior ¡parameters ¡ the ¡more ¡the ¡posterior ¡mean ¡deviates ¡from ¡the ¡prior ¡mean ¡
¡
y1 y2
u1 u2
z1 z2
Friston et al. (2003) NeuroImage
V1 V5 SPC
Photic Motion
Time [s]
Attention
We used this model to assess the site of attention modulation during visual motion processing in an fMRI paradigm reported by Büchel & Friston.
iston et al. 2003, roImage
+ photic V1
+ motion V5
+ attention V5 + parietal cortex
m1 m2
V1 V5 stim PPC Modulation By attention V1 V5 External stim PPC Modulation By attention
m3
V1 V5 stim PPC Modulation By attention
m4
V1 V5 stim PPC Modulation By attention
V1 V5
stim
PPC
attention
1.25 0.13 0.46 0.39 0.26 0.26 0.10
estimated effective synaptic strengths for best model (m4) models marginal likelihood ln p y m
( )
V1 V5 stim PPC attention motion
1 2 3 4 5 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8
1 , 5
PPC V V 1.25 0.13 0.46 0.39 0.26 0.50 0.26 0.10
MAP = 1.25
Stephan et al. 2008, NeuroImage
V1 ¡ V5 ¡ PPC ¡
fiNed ¡ moFon ¡& ¡ aNenFon ¡ moFon ¡& ¡ no ¡aNenFon ¡ staFc ¡ ¡ dots ¡
ì
Specific ¡sensory ¡sFmuli ¡lead ¡to ¡unusual, ¡addiFonal ¡experiences ¡
ì
Grapheme-‑color ¡synesthesia: ¡color ¡ ¡
ì
Involuntary, ¡automaFc; ¡stable ¡over ¡Fme, ¡prevalence ¡~4% ¡
ì
PotenFal ¡cause: ¡aberrant ¡cross-‑ac#va#on ¡between ¡brain ¡areas ¡
ì
grapheme ¡encoding ¡area ¡
ì
color ¡area ¡V4 ¡ ¡
ì
superior ¡parietal ¡lobule ¡(SPL) ¡
Hubbard, 2007
Can ¡changes ¡in ¡effecFve ¡connecFvity ¡explain ¡synesthesia ¡acFvity ¡ in ¡V4? ¡
Models ¡
Hubbard, 2007
Van Leeuwen, den Ouden, Hagoort (2011) JNeurosci
Van Leeuwen, den Ouden, Hagoort (2011) JNeurosci
Model ¡Evidence: ¡ ¡F ¡≤ ¡Z ¡
Van Leeuwen, den Ouden, Hagoort (2011) JNeurosci
fMRI ¡data ¡ posterior ¡ ¡ parameters ¡ neuronal ¡ ¡ dynamics ¡ haemodynamics ¡ model ¡ ¡ comparison ¡ ¡ Bayesian ¡Model ¡ ¡ Inversion ¡ ¡ ¡ state-‑space ¡ ¡ model ¡ priors ¡
electrophysiological ¡validaFon ¡(2008). ¡David ¡et ¡al. ¡PLoS ¡Biol. ¡6 ¡2683–2697 ¡
38:387-‑401 ¡
39:269-‑278 ¡
5 10 15 20 25 30 35 40 5 10 15 20 25 30 35 40
0.2 0.4 0.6 0.8 1
A ¡ B ¡ C ¡ θh ¡ ε
Stephan et al. (2007) NeuroImage