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r(α, β) = ♠✐♥{♥ ∈ N | ❛♥ = ❜♥} ✐❢ α = β ∞ ✐❢ α = β ❛♥❞ ❞(α, β) = ✷−r(α,β) ❚❤❡♥ (❆∞

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P❡❞r♦ ❱✳ ❙✐❧✈❛ ❋✐①❡❞ ♣♦✐♥ts ♦❢ ❡♥❞♦♠♦r♣❤✐s♠s ♦✈❡r s♣❡❝✐❛❧ ❝♦♥✢✉❡♥t r❡✇r✐t✐♥❣ s②st❡♠s

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• r♦✉♣s

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• r♦✉♣s

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❈♦♥t✐♥✉♦✉s ❡①t❡♥s✐♦♥s

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❘✳ ❚❤❡♥ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣

❝♦♥❞✐t✐♦♥s ❛r❡ ❡q✉✐✈❛❧❡♥t ❛♥❞ ❞❡❝✐❞❛❜❧❡✿ ✭✐✮ ϕ ❝❛♥ ❜❡ ❡①t❡♥❞❡❞ t♦ ❛ ❝♦♥t✐♥✉♦✉s ♠❛♣♣✐♥❣ Φ : ❆∞

❘ → ❆∞ ❘

✭✐✐✮ ϕ ✐s ✉♥✐❢♦r♠❧② ❝♦♥t✐♥✉♦✉s ❢♦r t❤❡ ♣r❡✜① ♠❡tr✐❝ ✭✐✐✐✮ ✇ϕ−✶ ✐s ✜♥✐t❡ ❢♦r ❡✈❡r② ✇ ∈ ❆∗

❘

❋✐①ϕ = {✉ ∈ ❆∗

❘ | ✉ϕ = ✉} ≤ ❆∗ ❘

❋✐①Φ = {α ∈ ❆∞

❘ | αΦ = α}

P❡❞r♦ ❱✳ ❙✐❧✈❛ ❋✐①❡❞ ♣♦✐♥ts ♦❢ ❡♥❞♦♠♦r♣❤✐s♠s ♦✈❡r s♣❡❝✐❛❧ ❝♦♥✢✉❡♥t r❡✇r✐t✐♥❣ s②st❡♠s

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ❘❡✇r✐t✐♥❣ s②st❡♠s ❆✉t♦♠❛t❛ ❋✐♥✐t❡♥❡ss

• r♦✉♣s

❊♥❞♦♠♦r♣❤✐s♠s ❈♦♠♣✉t❛❜✐❧✐t②

❚❤❡ ❜♦✉♥❞❡❞ r❡❞✉❝t✐♦♥ ♣r♦♣❡rt②

Pr♦♣♦s✐t✐♦♥ ▲❡t ϕ ∈ ❊♥❞❆∗

❘ ❜❡ ✉♥✐❢♦r♠❧② ❝♦♥t✐♥✉♦✉s ❢♦r t❤❡ ♣r❡✜① ♠❡tr✐❝✳ ❚❤❡♥

t❤❡r❡ ❡①✐sts s♦♠❡ ▼ϕ > ✵ s✉❝❤ t❤❛t✱ ✇❤❡♥❡✈❡r ✉✈ ∈ ❆∗

❘✱ t❤❡

r❡❞✉❝t✐♦♥ ♦❢ (✉ϕ)(✈ϕ) ✐♥✈♦❧✈❡s ❛t ♠♦st ▼ϕ ❧❡tt❡rs ❢r♦♠ ✉ϕ ❛♥❞ ▼ϕ ❧❡tt❡rs ❢r♦♠ ✈ϕ✳ ✉ϕ ✈ϕ r❡♠❛✐♥s ≤ ▼ϕ ≤ ▼ϕ r❡♠❛✐♥s Pr♦✈❡❞ ❜② ❈♦♦♣❡r ✭✶✾✽✼✮ ❢♦r ❢r❡❡ ❣r♦✉♣ ❛✉t♦♠♦r♣❤✐s♠s

P❡❞r♦ ❱✳ ❙✐❧✈❛ ❋✐①❡❞ ♣♦✐♥ts ♦❢ ❡♥❞♦♠♦r♣❤✐s♠s ♦✈❡r s♣❡❝✐❛❧ ❝♦♥✢✉❡♥t r❡✇r✐t✐♥❣ s②st❡♠s

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ❘❡✇r✐t✐♥❣ s②st❡♠s ❆✉t♦♠❛t❛ ❋✐♥✐t❡♥❡ss

• r♦✉♣s

❊♥❞♦♠♦r♣❤✐s♠s ❈♦♠♣✉t❛❜✐❧✐t②

❉❡✜♥✐♥❣ ❛ q✉♦t✐❡♥t

❋✐① ϕ : ❆∗

❘ → ❆∗ ❘ ✉♥✐❢♦r♠❧② ❝♦♥t✐♥✉♦✉s

▲❛❞r❛ ❛♥❞ ❙✐❧✈❛ ✷✵✵✼✿

≤▼ϕ

✉

σ(✉) τ(✉)

• σ′′(✉)
• ✉ϕ

σ(✉) ρ(✉)

• P❡❞r♦ ❱✳ ❙✐❧✈❛

❋✐①❡❞ ♣♦✐♥ts ♦❢ ❡♥❞♦♠♦r♣❤✐s♠s ♦✈❡r s♣❡❝✐❛❧ ❝♦♥✢✉❡♥t r❡✇r✐t✐♥❣ s②st❡♠s

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ❘❡✇r✐t✐♥❣ s②st❡♠s ❆✉t♦♠❛t❛ ❋✐♥✐t❡♥❡ss

• r♦✉♣s

❊♥❞♦♠♦r♣❤✐s♠s ❈♦♠♣✉t❛❜✐❧✐t②

❉❡✜♥✐♥❣ ❛ q✉♦t✐❡♥t

λ(✉)σ′′(✉)τ(✉) ✐s t❤❡ s❤♦rt❡st s✉✣① ♦❢ ✉ s❛t✐s❢②✐♥❣ |λ(✉)σ′′(✉)τ(✉)| ≥ t❘ − ✶ ♦r λ(✉)σ′′(✉)τ(✉) = ✉ ✳✳✳s♦ t❤❛t λ(✉) ✐s ❛ s✉✣① ♦❢ σ′(✉) ♦❢ ❜♦✉♥❞❡❞ ❧❡♥❣t❤ ✇r✐t❡ ❈ ✉ ✉ ✉ ✉ ✉ ▲❡♠♠❛ ▲❡t ✉ ✈ ❆❘ ❜❡ s✉❝❤ t❤❛t ❈ ✉ ❈ ✈ ❛♥❞ ✉❛ ❆❘✳ ❚❤❡♥ ✈❛ ❆❘ ❛♥❞ ❈ ✉❛ ❈ ✈❛ ✳

P❡❞r♦ ❱✳ ❙✐❧✈❛ ❋✐①❡❞ ♣♦✐♥ts ♦❢ ❡♥❞♦♠♦r♣❤✐s♠s ♦✈❡r s♣❡❝✐❛❧ ❝♦♥✢✉❡♥t r❡✇r✐t✐♥❣ s②st❡♠s

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ❘❡✇r✐t✐♥❣ s②st❡♠s ❆✉t♦♠❛t❛ ❋✐♥✐t❡♥❡ss

• r♦✉♣s

❊♥❞♦♠♦r♣❤✐s♠s ❈♦♠♣✉t❛❜✐❧✐t②

❉❡✜♥✐♥❣ ❛ q✉♦t✐❡♥t

λ(✉)σ′′(✉)τ(✉) ✐s t❤❡ s❤♦rt❡st s✉✣① ♦❢ ✉ s❛t✐s❢②✐♥❣ |λ(✉)σ′′(✉)τ(✉)| ≥ t❘ − ✶ ♦r λ(✉)σ′′(✉)τ(✉) = ✉ ✳✳✳s♦ t❤❛t λ(✉) ✐s ❛ s✉✣① ♦❢ σ′(✉) ♦❢ ❜♦✉♥❞❡❞ ❧❡♥❣t❤ ✇r✐t❡ ❈(✉) = (λ(✉), σ′′(✉), τ(✉), ρ(✉)) ▲❡♠♠❛ ▲❡t ✉ ✈ ❆❘ ❜❡ s✉❝❤ t❤❛t ❈ ✉ ❈ ✈ ❛♥❞ ✉❛ ❆❘✳ ❚❤❡♥ ✈❛ ❆❘ ❛♥❞ ❈ ✉❛ ❈ ✈❛ ✳

P❡❞r♦ ❱✳ ❙✐❧✈❛ ❋✐①❡❞ ♣♦✐♥ts ♦❢ ❡♥❞♦♠♦r♣❤✐s♠s ♦✈❡r s♣❡❝✐❛❧ ❝♦♥✢✉❡♥t r❡✇r✐t✐♥❣ s②st❡♠s

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ❘❡✇r✐t✐♥❣ s②st❡♠s ❆✉t♦♠❛t❛ ❋✐♥✐t❡♥❡ss

• r♦✉♣s

❊♥❞♦♠♦r♣❤✐s♠s ❈♦♠♣✉t❛❜✐❧✐t②

❉❡✜♥✐♥❣ ❛ q✉♦t✐❡♥t

λ(✉)σ′′(✉)τ(✉) ✐s t❤❡ s❤♦rt❡st s✉✣① ♦❢ ✉ s❛t✐s❢②✐♥❣ |λ(✉)σ′′(✉)τ(✉)| ≥ t❘ − ✶ ♦r λ(✉)σ′′(✉)τ(✉) = ✉ ✳✳✳s♦ t❤❛t λ(✉) ✐s ❛ s✉✣① ♦❢ σ′(✉) ♦❢ ❜♦✉♥❞❡❞ ❧❡♥❣t❤ ✇r✐t❡ ❈(✉) = (λ(✉), σ′′(✉), τ(✉), ρ(✉)) ▲❡♠♠❛ ▲❡t ✉, ✈ ∈ ❆∗

❘ ❜❡ s✉❝❤ t❤❛t ❈(✉) = ❈(✈) ❛♥❞ ✉❛ ∈ ❆∗ ❘✳ ❚❤❡♥

✈❛ ∈ ❆∗

❘ ❛♥❞ ❈(✉❛) = ❈(✈❛)✳

P❡❞r♦ ❱✳ ❙✐❧✈❛ ❋✐①❡❞ ♣♦✐♥ts ♦❢ ❡♥❞♦♠♦r♣❤✐s♠s ♦✈❡r s♣❡❝✐❛❧ ❝♦♥✢✉❡♥t r❡✇r✐t✐♥❣ s②st❡♠s

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ❘❡✇r✐t✐♥❣ s②st❡♠s ❆✉t♦♠❛t❛ ❋✐♥✐t❡♥❡ss

• r♦✉♣s

❊♥❞♦♠♦r♣❤✐s♠s ❈♦♠♣✉t❛❜✐❧✐t②

❆♥ ❛✉t♦♠❛t♦♥ ❢♦r ❋✐①Φ✳✳✳

❲❡ ❜✉✐❧❞ ❛ ❞❡t❡r♠✐♥✐st✐❝ ❆✲❛✉t♦♠❛t♦♥ A′

ϕ = (◗′, q✵, ❚ ′, ❊ ′) ❜②

t❛❦✐♥❣ ◗′ = {❈(✉) | ✉ ≤ α ❢♦r s♦♠❡ α ∈ ❋✐①Φ} q✵ = ❈(✶) ❚ ′ = {❈(✉) ∈ ◗′ | τ(✉) = ρ(✉) = ✶} ❊ ′ = {(❈(✉), ❛, ❈(✈)) ∈ ◗′ × ❆ × ◗′ | ✈ = ✉❛} Pr♦♣♦s✐t✐♦♥ ❋✐① ▲ ✳✳✳✇❤❡r❡ ▲ ✐s t❤❡ s❡t ♦❢ ❧❛❜❡❧s ♦❢ ✐♥✜♥✐t❡ ♣❛t❤s q✵ ❛♥❞ ▲ ▲ ▲

P❡❞r♦ ❱✳ ❙✐❧✈❛ ❋✐①❡❞ ♣♦✐♥ts ♦❢ ❡♥❞♦♠♦r♣❤✐s♠s ♦✈❡r s♣❡❝✐❛❧ ❝♦♥✢✉❡♥t r❡✇r✐t✐♥❣ s②st❡♠s

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ❘❡✇r✐t✐♥❣ s②st❡♠s ❆✉t♦♠❛t❛ ❋✐♥✐t❡♥❡ss

• r♦✉♣s

❊♥❞♦♠♦r♣❤✐s♠s ❈♦♠♣✉t❛❜✐❧✐t②

❆♥ ❛✉t♦♠❛t♦♥ ❢♦r ❋✐①Φ✳✳✳

❲❡ ❜✉✐❧❞ ❛ ❞❡t❡r♠✐♥✐st✐❝ ❆✲❛✉t♦♠❛t♦♥ A′

ϕ = (◗′, q✵, ❚ ′, ❊ ′) ❜②

t❛❦✐♥❣ ◗′ = {❈(✉) | ✉ ≤ α ❢♦r s♦♠❡ α ∈ ❋✐①Φ} q✵ = ❈(✶) ❚ ′ = {❈(✉) ∈ ◗′ | τ(✉) = ρ(✉) = ✶} ❊ ′ = {(❈(✉), ❛, ❈(✈)) ∈ ◗′ × ❆ × ◗′ | ✈ = ✉❛} Pr♦♣♦s✐t✐♦♥ ❋✐①Φ = ▲∞(A′

ϕ)

✳✳✳✇❤❡r❡ ▲ω(A′

ϕ) ✐s t❤❡ s❡t ♦❢ ❧❛❜❡❧s ♦❢ ✐♥✜♥✐t❡ ♣❛t❤s q✵ α

− → . . . ❛♥❞ ▲∞(A′

ϕ) = ▲(A′ ϕ) ∪ ▲ω(A′ ϕ)

P❡❞r♦ ❱✳ ❙✐❧✈❛ ❋✐①❡❞ ♣♦✐♥ts ♦❢ ❡♥❞♦♠♦r♣❤✐s♠s ♦✈❡r s♣❡❝✐❛❧ ❝♦♥✢✉❡♥t r❡✇r✐t✐♥❣ s②st❡♠s

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ❘❡✇r✐t✐♥❣ s②st❡♠s ❆✉t♦♠❛t❛ ❋✐♥✐t❡♥❡ss

• r♦✉♣s

❊♥❞♦♠♦r♣❤✐s♠s ❈♦♠♣✉t❛❜✐❧✐t②

✳✳✳❛♥❞ ❛♥♦t❤❡r ❢♦r ❋✐①ϕ

▲❡t ❙ = {q ∈ ◗′ | q ❤❛s ♦✉t❞❡❣r❡❡ ≥ ✷} ▲❡t ◗ = {q ∈ ◗′ | ∃ ❛ ♣❛t❤ q− →♣ ∈ ❙ ∪ ❚ ′} ❲❡ ❞❡✜♥❡ Aϕ = (◗, q✵, ❚, ❊) ❜② t❛❦✐♥❣ ❚ = ❚ ′ ∩ ◗, ❊ = ❊ ′ ∩ (◗ × ❆ × ◗) Pr♦♣♦s✐t✐♦♥ ❋✐① ▲

P❡❞r♦ ❱✳ ❙✐❧✈❛ ❋✐①❡❞ ♣♦✐♥ts ♦❢ ❡♥❞♦♠♦r♣❤✐s♠s ♦✈❡r s♣❡❝✐❛❧ ❝♦♥✢✉❡♥t r❡✇r✐t✐♥❣ s②st❡♠s

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ❘❡✇r✐t✐♥❣ s②st❡♠s ❆✉t♦♠❛t❛ ❋✐♥✐t❡♥❡ss

• r♦✉♣s

❊♥❞♦♠♦r♣❤✐s♠s ❈♦♠♣✉t❛❜✐❧✐t②

✳✳✳❛♥❞ ❛♥♦t❤❡r ❢♦r ❋✐①ϕ

▲❡t ❙ = {q ∈ ◗′ | q ❤❛s ♦✉t❞❡❣r❡❡ ≥ ✷} ▲❡t ◗ = {q ∈ ◗′ | ∃ ❛ ♣❛t❤ q− →♣ ∈ ❙ ∪ ❚ ′} ❲❡ ❞❡✜♥❡ Aϕ = (◗, q✵, ❚, ❊) ❜② t❛❦✐♥❣ ❚ = ❚ ′ ∩ ◗, ❊ = ❊ ′ ∩ (◗ × ❆ × ◗) Pr♦♣♦s✐t✐♦♥ ❋✐①ϕ = ▲(Aϕ)

P❡❞r♦ ❱✳ ❙✐❧✈❛ ❋✐①❡❞ ♣♦✐♥ts ♦❢ ❡♥❞♦♠♦r♣❤✐s♠s ♦✈❡r s♣❡❝✐❛❧ ❝♦♥✢✉❡♥t r❡✇r✐t✐♥❣ s②st❡♠s

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ❘❡✇r✐t✐♥❣ s②st❡♠s ❆✉t♦♠❛t❛ ❋✐♥✐t❡♥❡ss

• r♦✉♣s

❊♥❞♦♠♦r♣❤✐s♠s ❈♦♠♣✉t❛❜✐❧✐t②

❋✐♥✐t❡✲s♣❧✐tt✐♥❣

❲❡ s❛② t❤❛t ϕ ✐s ✜♥✐t❡✲s♣❧✐tt✐♥❣ ✐❢ ❙ ✐s ✜♥✐t❡ ❚❤❡♦r❡♠ ❋■◆ ■❢ ϕ ✐s ❛ ✜♥✐t❡✲s♣❧✐tt✐♥❣ ✉♥✐❢♦r♠❧② ❝♦♥t✐♥✉♦✉s ❡♥❞♦♠♦r♣❤✐s♠✱ t❤❡♥ ❋✐① ϕ ✐s r❛t✐♦♥❛❧ ❚❤❡♦r❡♠ ■◆❋ ■❢ ✐s ❛ ✜♥✐t❡✲s♣❧✐tt✐♥❣ ✉♥✐❢♦r♠❧② ❝♦♥t✐♥✉♦✉s ❡♥❞♦♠♦r♣❤✐s♠✱ t❤❡♥ t❤❡r❡ ❡①✐st ▲ ▲✶ ▲s ❘❛t ❆ ❛♥❞

✶ s

❆❘ s✉❝❤ t❤❛t ❋✐① ▲❝ ▲✶

✶

▲s

s

✇❤❡r❡ ▲❝ ❞❡♥♦t❡s t❤❡ t♦♣♦❧♦❣✐❝❛❧ ❝❧♦s✉r❡ ♦❢ ▲

P❡❞r♦ ❱✳ ❙✐❧✈❛ ❋✐①❡❞ ♣♦✐♥ts ♦❢ ❡♥❞♦♠♦r♣❤✐s♠s ♦✈❡r s♣❡❝✐❛❧ ❝♦♥✢✉❡♥t r❡✇r✐t✐♥❣ s②st❡♠s

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ❘❡✇r✐t✐♥❣ s②st❡♠s ❆✉t♦♠❛t❛ ❋✐♥✐t❡♥❡ss

• r♦✉♣s

❊♥❞♦♠♦r♣❤✐s♠s ❈♦♠♣✉t❛❜✐❧✐t②

❋✐♥✐t❡✲s♣❧✐tt✐♥❣

❲❡ s❛② t❤❛t ϕ ✐s ✜♥✐t❡✲s♣❧✐tt✐♥❣ ✐❢ ❙ ✐s ✜♥✐t❡ ❚❤❡♦r❡♠ ❋■◆ ■❢ ϕ ✐s ❛ ✜♥✐t❡✲s♣❧✐tt✐♥❣ ✉♥✐❢♦r♠❧② ❝♦♥t✐♥✉♦✉s ❡♥❞♦♠♦r♣❤✐s♠✱ t❤❡♥ ❋✐① ϕ ✐s r❛t✐♦♥❛❧ ❚❤❡♦r❡♠ ■◆❋ ■❢ ϕ ✐s ❛ ✜♥✐t❡✲s♣❧✐tt✐♥❣ ✉♥✐❢♦r♠❧② ❝♦♥t✐♥✉♦✉s ❡♥❞♦♠♦r♣❤✐s♠✱ t❤❡♥ t❤❡r❡ ❡①✐st ▲, ▲✶, . . . , ▲s ∈ ❘❛t ❆∗ ❛♥❞ α✶, . . . , αs ∈ ❆ω

❘ s✉❝❤ t❤❛t

❋✐① Φ = ▲❝ ∪ ▲✶α✶ ∪ . . . ∪ ▲sαs, ✇❤❡r❡ ▲❝ ❞❡♥♦t❡s t❤❡ t♦♣♦❧♦❣✐❝❛❧ ❝❧♦s✉r❡ ♦❢ ▲

P❡❞r♦ ❱✳ ❙✐❧✈❛ ❋✐①❡❞ ♣♦✐♥ts ♦❢ ❡♥❞♦♠♦r♣❤✐s♠s ♦✈❡r s♣❡❝✐❛❧ ❝♦♥✢✉❡♥t r❡✇r✐t✐♥❣ s②st❡♠s

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ❘❡✇r✐t✐♥❣ s②st❡♠s ❆✉t♦♠❛t❛ ❋✐♥✐t❡♥❡ss

• r♦✉♣s

❊♥❞♦♠♦r♣❤✐s♠s ❈♦♠♣✉t❛❜✐❧✐t②

A′

ϕ ❛♥❞ Aϕ

A′

ϕ ✐s ❛ ✜♥✐t❡ ❛✉t♦♠❛t♦♥ ✇✐t❤ ❛ ❢❡✇ ✐♥✜♥✐t❡ ❤❛✐rs ❛❞❥♦✐♥❡❞

• α✶

. . .

. . .

• α✷
• ❚♦ ❣❡t

✱ ✇❡ r❡♠♦✈❡ t❤❡ ❤❛✐rs ❢r♦♠ t❤❡ t❡r♠✐♥❛❧ ✈❡rt✐❝❡s ♦♥✇❛r❞s ❛♥❞ ❡✈❡♥t✉❛❧❧② ❛ ❢❡✇ ♦t❤❡r ✈❡rt✐❝❡s ❚❤❡ ✭✐♥✜♥✐t❡✮ ❤❛✐rs ❝♦rr❡s♣♦♥❞ t♦ ✭▲②❛♣✉♥♦✈ st❛❜❧❡✮ ❛ttr❛❝t♦rs ♦r r❡♣❡❧❧❡rs

P❡❞r♦ ❱✳ ❙✐❧✈❛ ❋✐①❡❞ ♣♦✐♥ts ♦❢ ❡♥❞♦♠♦r♣❤✐s♠s ♦✈❡r s♣❡❝✐❛❧ ❝♦♥✢✉❡♥t r❡✇r✐t✐♥❣ s②st❡♠s

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ❘❡✇r✐t✐♥❣ s②st❡♠s ❆✉t♦♠❛t❛ ❋✐♥✐t❡♥❡ss

• r♦✉♣s

❊♥❞♦♠♦r♣❤✐s♠s ❈♦♠♣✉t❛❜✐❧✐t②

A′

ϕ ❛♥❞ Aϕ

A′

ϕ ✐s ❛ ✜♥✐t❡ ❛✉t♦♠❛t♦♥ ✇✐t❤ ❛ ❢❡✇ ✐♥✜♥✐t❡ ❤❛✐rs ❛❞❥♦✐♥❡❞

• α✶

. . .

. . .

• α✷
• ❚♦ ❣❡t Aϕ✱ ✇❡ r❡♠♦✈❡ t❤❡ ❤❛✐rs ❢r♦♠ t❤❡ t❡r♠✐♥❛❧ ✈❡rt✐❝❡s

♦♥✇❛r❞s ❛♥❞ ❡✈❡♥t✉❛❧❧② ❛ ❢❡✇ ♦t❤❡r ✈❡rt✐❝❡s ❚❤❡ ✭✐♥✜♥✐t❡✮ ❤❛✐rs ❝♦rr❡s♣♦♥❞ t♦ ✭▲②❛♣✉♥♦✈ st❛❜❧❡✮ ❛ttr❛❝t♦rs ♦r r❡♣❡❧❧❡rs

P❡❞r♦ ❱✳ ❙✐❧✈❛ ❋✐①❡❞ ♣♦✐♥ts ♦❢ ❡♥❞♦♠♦r♣❤✐s♠s ♦✈❡r s♣❡❝✐❛❧ ❝♦♥✢✉❡♥t r❡✇r✐t✐♥❣ s②st❡♠s

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ❘❡✇r✐t✐♥❣ s②st❡♠s ❆✉t♦♠❛t❛ ❋✐♥✐t❡♥❡ss

• r♦✉♣s

❊♥❞♦♠♦r♣❤✐s♠s ❈♦♠♣✉t❛❜✐❧✐t②

❲❤❛t ✐s ✜♥✐t❡✲s♣❧✐tt✐♥❣ ❛♥②✇❛②❄

❋✐♥✐t❡✲s♣❧✐tt✐♥❣ ✐s ❛ ♣r♦♣❡rt② ♦❢ ✐♥✜♥✐t❡ ❛✉t♦♠❛t❛ ✇❤✐❝❤ ❛r❡ ♥♦t ❝♦♥str✉❝t✐❜❧❡✳✳✳ ✳✳✳s♦ ✇❤♦ ❝❛♥ t❡❧❧ ✇❤❡♥ ❞♦❡s s✉❝❤ ❛ ♣r♦♣❡rt② ♦❝❝✉r❄ ❲❡ ❝❛♥✬t✦ ❙♦ t❤❡ ♣❧❛♥ ✐s t♦ ✐❞❡♥t✐❢② ♥✐❝❡ s✉❜❝❧❛ss❡s ♦❢ ✜♥✐t❡✲s♣❧✐tt✐♥❣ ❡♥❞♦♠♦r♣❤✐s♠s ✇✐t❤ ❣♦♦❞ ♣r♦♣❡rt✐❡s

P❡❞r♦ ❱✳ ❙✐❧✈❛ ❋✐①❡❞ ♣♦✐♥ts ♦❢ ❡♥❞♦♠♦r♣❤✐s♠s ♦✈❡r s♣❡❝✐❛❧ ❝♦♥✢✉❡♥t r❡✇r✐t✐♥❣ s②st❡♠s

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• r♦✉♣s

❊♥❞♦♠♦r♣❤✐s♠s ❈♦♠♣✉t❛❜✐❧✐t②

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• r♦✉♣s

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✶

❛♥❞ t❤❡r❡ ❡①✐st ♠❛ ≥ ✷ ❢♦r ❡✈❡r② ❛ ∈ ❆✵ s✉❝❤ t❤❛t ❘ = {(❛♠❛, ✶) | ❛ ∈ ❆✵} ∪ {(❛❛−✶, ✶), (❛−✶❛, ✶) | ❛ ∈ ❆✶} ❋♦r ❡✈❡r② ❛ ∈ ❆✵✱ ✇r✐t❡ ❛−✶ = ❛♠❛−✶

P❡❞r♦ ❱✳ ❙✐❧✈❛ ❋✐①❡❞ ♣♦✐♥ts ♦❢ ❡♥❞♦♠♦r♣❤✐s♠s ♦✈❡r s♣❡❝✐❛❧ ❝♦♥✢✉❡♥t r❡✇r✐t✐♥❣ s②st❡♠s

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• r♦✉♣s

❊♥❞♦♠♦r♣❤✐s♠s ❈♦♠♣✉t❛❜✐❧✐t②

❇✉✐❧❞✐♥❣ ❛✉t♦♠❛t❛

❋♦r ❡✈❡r② ❣ ∈ ●✱ ❧❡t ◗(❣) = ❣−✶(❣ϕ) ❚❤❡♥ ❣ ∈ ❋✐①ϕ ✐❢ ❛♥❞ ♦♥❧② ✐❢ ◗(❣) = ✶ ❲❡ ❞❡✜♥❡ ❛♥ ❆✲❛✉t♦♠❛t♦♥ ◗ ✶ ✶ ❊ ❜②

◗ ◗ ❣ ❣

• ❊

◗ ❣ ❛ ◗ ❣❛ ❣

• ❛

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❈❧❡❛r❧②✱ ✐s ❛ ❝♦♠♣❧❡t❡ ❛❝❝❡ss✐❜❧❡ ❞❡t❡r♠✐♥✐st✐❝ ❛✉t♦♠❛t♦♥ ❛♥❞ ▲ ❋✐①

✶

❲❡ ❞❡✜♥❡ ❛ s✉❜❛✉t♦♠❛t♦♥ ◗ ✶ ✶ ❊ t❤r♦✉❣❤ ❊ ♣ ❛ q ❊ ❛q ✐s ✐rr❡❞✉❝✐❜❧❡

P❡❞r♦ ❱✳ ❙✐❧✈❛ ❋✐①❡❞ ♣♦✐♥ts ♦❢ ❡♥❞♦♠♦r♣❤✐s♠s ♦✈❡r s♣❡❝✐❛❧ ❝♦♥✢✉❡♥t r❡✇r✐t✐♥❣ s②st❡♠s

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• r♦✉♣s

❊♥❞♦♠♦r♣❤✐s♠s ❈♦♠♣✉t❛❜✐❧✐t②

❇✉✐❧❞✐♥❣ ❛✉t♦♠❛t❛

❋♦r ❡✈❡r② ❣ ∈ ●✱ ❧❡t ◗(❣) = ❣−✶(❣ϕ) ❚❤❡♥ ❣ ∈ ❋✐①ϕ ✐❢ ❛♥❞ ♦♥❧② ✐❢ ◗(❣) = ✶ ❲❡ ❞❡✜♥❡ ❛♥ ❆✲❛✉t♦♠❛t♦♥ Aϕ = (◗, ✶, ✶, ❊) ❜②

◗ = {◗(❣) | ❣ ∈ ●} ❊ = {(◗(❣), ❛, ◗(❣❛)) | ❣ ∈ ●, ❛ ∈ ❆}

❈❧❡❛r❧②✱ Aϕ ✐s ❛ ❝♦♠♣❧❡t❡ ❛❝❝❡ss✐❜❧❡ ❞❡t❡r♠✐♥✐st✐❝ ❛✉t♦♠❛t♦♥ ❛♥❞ ▲(Aϕ) = (❋✐①ϕ)π−✶ ❲❡ ❞❡✜♥❡ ❛ s✉❜❛✉t♦♠❛t♦♥ ◗ ✶ ✶ ❊ t❤r♦✉❣❤ ❊ ♣ ❛ q ❊ ❛q ✐s ✐rr❡❞✉❝✐❜❧❡

P❡❞r♦ ❱✳ ❙✐❧✈❛ ❋✐①❡❞ ♣♦✐♥ts ♦❢ ❡♥❞♦♠♦r♣❤✐s♠s ♦✈❡r s♣❡❝✐❛❧ ❝♦♥✢✉❡♥t r❡✇r✐t✐♥❣ s②st❡♠s

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ❘❡✇r✐t✐♥❣ s②st❡♠s ❆✉t♦♠❛t❛ ❋✐♥✐t❡♥❡ss

• r♦✉♣s

❊♥❞♦♠♦r♣❤✐s♠s ❈♦♠♣✉t❛❜✐❧✐t②

❇✉✐❧❞✐♥❣ ❛✉t♦♠❛t❛

❋♦r ❡✈❡r② ❣ ∈ ●✱ ❧❡t ◗(❣) = ❣−✶(❣ϕ) ❚❤❡♥ ❣ ∈ ❋✐①ϕ ✐❢ ❛♥❞ ♦♥❧② ✐❢ ◗(❣) = ✶ ❲❡ ❞❡✜♥❡ ❛♥ ❆✲❛✉t♦♠❛t♦♥ Aϕ = (◗, ✶, ✶, ❊) ❜②

◗ = {◗(❣) | ❣ ∈ ●} ❊ = {(◗(❣), ❛, ◗(❣❛)) | ❣ ∈ ●, ❛ ∈ ❆}

❈❧❡❛r❧②✱ Aϕ ✐s ❛ ❝♦♠♣❧❡t❡ ❛❝❝❡ss✐❜❧❡ ❞❡t❡r♠✐♥✐st✐❝ ❛✉t♦♠❛t♦♥ ❛♥❞ ▲(Aϕ) = (❋✐①ϕ)π−✶ ❲❡ ❞❡✜♥❡ ❛ s✉❜❛✉t♦♠❛t♦♥ A′

ϕ = (◗, ✶, ✶, ❊ ′) t❤r♦✉❣❤

❊ ′ = {(♣, ❛, q) ∈ ❊ | ❛q ✐s ✐rr❡❞✉❝✐❜❧❡}

P❡❞r♦ ❱✳ ❙✐❧✈❛ ❋✐①❡❞ ♣♦✐♥ts ♦❢ ❡♥❞♦♠♦r♣❤✐s♠s ♦✈❡r s♣❡❝✐❛❧ ❝♦♥✢✉❡♥t r❡✇r✐t✐♥❣ s②st❡♠s

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ❘❡✇r✐t✐♥❣ s②st❡♠s ❆✉t♦♠❛t❛ ❋✐♥✐t❡♥❡ss

• r♦✉♣s

❊♥❞♦♠♦r♣❤✐s♠s ❈♦♠♣✉t❛❜✐❧✐t②

❚❤❡ r❡s✉❧ts

▲❡t ❞ϕ = ♠❛①{|❛ϕ|; ❛ ∈ ❆} ❛♥❞ ♠❘ = ♠❛①{♠❛ | ❛ ∈ ❆✵} ■❢ q ♠❘ ✶ ❞ ✱ t❤❡♥ q ❤❛s ♦✉t❞❡❣r❡❡ ✶ ✐♥ ■❢ ♣ ❛ q ❊ ❊ ❛♥❞ ♥♦ ♣❛t❤ ♦❢ ❧❡♥❣t❤ s ♠❘ ❝♦♥♥❡❝ts ✶ t♦ ♣ ♦r q ✐♥ ✱ t❤❡♥ t❤❡r❡ ❡①✐sts ❛ ♣❛t❤ q ❛

✶

♣ ✐♥ ❚❤❡♦r❡♠ ▲❡t ❜❡ ❛♥ ❡♥❞♦♠♦r♣❤✐s♠ ♦❢ ❛ ❢✳❣✳ ❙❈ ❣r♦✉♣✳ ❚❤❡♥ ❋✐① ✐s ❢✳❣✳ ❈♦r♦❧❧❛r② ▲❡t ❜❡ ❛♥ ❡♥❞♦♠♦r♣❤✐s♠ ♦❢ ❛ ❢✳❣✳ ❢r❡❡ ♣r♦❞✉❝t ♦❢ ❛ ❢r❡❡ ♠♦♥♦✐❞ ❛♥❞ ❝②❝❧✐❝ ❣r♦✉♣s✳ ❚❤❡♥ ❋✐① ✐s r❛t✐♦♥❛❧✳

P❡❞r♦ ❱✳ ❙✐❧✈❛ ❋✐①❡❞ ♣♦✐♥ts ♦❢ ❡♥❞♦♠♦r♣❤✐s♠s ♦✈❡r s♣❡❝✐❛❧ ❝♦♥✢✉❡♥t r❡✇r✐t✐♥❣ s②st❡♠s

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ❘❡✇r✐t✐♥❣ s②st❡♠s ❆✉t♦♠❛t❛ ❋✐♥✐t❡♥❡ss

• r♦✉♣s

❊♥❞♦♠♦r♣❤✐s♠s ❈♦♠♣✉t❛❜✐❧✐t②

❚❤❡ r❡s✉❧ts

▲❡t ❞ϕ = ♠❛①{|❛ϕ|; ❛ ∈ ❆} ❛♥❞ ♠❘ = ♠❛①{♠❛ | ❛ ∈ ❆✵} ■❢ |q| > (♠❘ − ✶)❞ϕ✱ t❤❡♥ q ❤❛s ♦✉t❞❡❣r❡❡ ≤ ✶ ✐♥ A′

ϕ

■❢ ♣ ❛ q ❊ ❊ ❛♥❞ ♥♦ ♣❛t❤ ♦❢ ❧❡♥❣t❤ s ♠❘ ❝♦♥♥❡❝ts ✶ t♦ ♣ ♦r q ✐♥ ✱ t❤❡♥ t❤❡r❡ ❡①✐sts ❛ ♣❛t❤ q ❛

✶

♣ ✐♥ ❚❤❡♦r❡♠ ▲❡t ❜❡ ❛♥ ❡♥❞♦♠♦r♣❤✐s♠ ♦❢ ❛ ❢✳❣✳ ❙❈ ❣r♦✉♣✳ ❚❤❡♥ ❋✐① ✐s ❢✳❣✳ ❈♦r♦❧❧❛r② ▲❡t ❜❡ ❛♥ ❡♥❞♦♠♦r♣❤✐s♠ ♦❢ ❛ ❢✳❣✳ ❢r❡❡ ♣r♦❞✉❝t ♦❢ ❛ ❢r❡❡ ♠♦♥♦✐❞ ❛♥❞ ❝②❝❧✐❝ ❣r♦✉♣s✳ ❚❤❡♥ ❋✐① ✐s r❛t✐♦♥❛❧✳

P❡❞r♦ ❱✳ ❙✐❧✈❛ ❋✐①❡❞ ♣♦✐♥ts ♦❢ ❡♥❞♦♠♦r♣❤✐s♠s ♦✈❡r s♣❡❝✐❛❧ ❝♦♥✢✉❡♥t r❡✇r✐t✐♥❣ s②st❡♠s

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ❘❡✇r✐t✐♥❣ s②st❡♠s ❆✉t♦♠❛t❛ ❋✐♥✐t❡♥❡ss

• r♦✉♣s

❊♥❞♦♠♦r♣❤✐s♠s ❈♦♠♣✉t❛❜✐❧✐t②

❚❤❡ r❡s✉❧ts

▲❡t ❞ϕ = ♠❛①{|❛ϕ|; ❛ ∈ ❆} ❛♥❞ ♠❘ = ♠❛①{♠❛ | ❛ ∈ ❆✵} ■❢ |q| > (♠❘ − ✶)❞ϕ✱ t❤❡♥ q ❤❛s ♦✉t❞❡❣r❡❡ ≤ ✶ ✐♥ A′

ϕ

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ϕ

❚❤❡♦r❡♠ ▲❡t ❜❡ ❛♥ ❡♥❞♦♠♦r♣❤✐s♠ ♦❢ ❛ ❢✳❣✳ ❙❈ ❣r♦✉♣✳ ❚❤❡♥ ❋✐① ✐s ❢✳❣✳ ❈♦r♦❧❧❛r② ▲❡t ❜❡ ❛♥ ❡♥❞♦♠♦r♣❤✐s♠ ♦❢ ❛ ❢✳❣✳ ❢r❡❡ ♣r♦❞✉❝t ♦❢ ❛ ❢r❡❡ ♠♦♥♦✐❞ ❛♥❞ ❝②❝❧✐❝ ❣r♦✉♣s✳ ❚❤❡♥ ❋✐① ✐s r❛t✐♦♥❛❧✳

P❡❞r♦ ❱✳ ❙✐❧✈❛ ❋✐①❡❞ ♣♦✐♥ts ♦❢ ❡♥❞♦♠♦r♣❤✐s♠s ♦✈❡r s♣❡❝✐❛❧ ❝♦♥✢✉❡♥t r❡✇r✐t✐♥❣ s②st❡♠s

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• r♦✉♣s

❊♥❞♦♠♦r♣❤✐s♠s ❈♦♠♣✉t❛❜✐❧✐t②

❚❤❡ r❡s✉❧ts

▲❡t ❞ϕ = ♠❛①{|❛ϕ|; ❛ ∈ ❆} ❛♥❞ ♠❘ = ♠❛①{♠❛ | ❛ ∈ ❆✵} ■❢ |q| > (♠❘ − ✶)❞ϕ✱ t❤❡♥ q ❤❛s ♦✉t❞❡❣r❡❡ ≤ ✶ ✐♥ A′

ϕ

■❢ (♣, ❛, q) ∈ ❊ \ ❊ ′ ❛♥❞ ♥♦ ♣❛t❤ ♦❢ ❧❡♥❣t❤ ≤ s − ♠❘ ❝♦♥♥❡❝ts ✶ t♦ ♣ ♦r q ✐♥ Aϕ✱ t❤❡♥ t❤❡r❡ ❡①✐sts ❛ ♣❛t❤ q ❛−✶ − →♣ ✐♥ A′

ϕ

❚❤❡♦r❡♠ ▲❡t ϕ ❜❡ ❛♥ ❡♥❞♦♠♦r♣❤✐s♠ ♦❢ ❛ ❢✳❣✳ ❙❈ ❣r♦✉♣✳ ❚❤❡♥ ❋✐①ϕ ✐s ❢✳❣✳ ❈♦r♦❧❧❛r② ▲❡t ❜❡ ❛♥ ❡♥❞♦♠♦r♣❤✐s♠ ♦❢ ❛ ❢✳❣✳ ❢r❡❡ ♣r♦❞✉❝t ♦❢ ❛ ❢r❡❡ ♠♦♥♦✐❞ ❛♥❞ ❝②❝❧✐❝ ❣r♦✉♣s✳ ❚❤❡♥ ❋✐① ✐s r❛t✐♦♥❛❧✳

P❡❞r♦ ❱✳ ❙✐❧✈❛ ❋✐①❡❞ ♣♦✐♥ts ♦❢ ❡♥❞♦♠♦r♣❤✐s♠s ♦✈❡r s♣❡❝✐❛❧ ❝♦♥✢✉❡♥t r❡✇r✐t✐♥❣ s②st❡♠s

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• r♦✉♣s

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▲❡t ❞ϕ = ♠❛①{|❛ϕ|; ❛ ∈ ❆} ❛♥❞ ♠❘ = ♠❛①{♠❛ | ❛ ∈ ❆✵} ■❢ |q| > (♠❘ − ✶)❞ϕ✱ t❤❡♥ q ❤❛s ♦✉t❞❡❣r❡❡ ≤ ✶ ✐♥ A′

ϕ

■❢ (♣, ❛, q) ∈ ❊ \ ❊ ′ ❛♥❞ ♥♦ ♣❛t❤ ♦❢ ❧❡♥❣t❤ ≤ s − ♠❘ ❝♦♥♥❡❝ts ✶ t♦ ♣ ♦r q ✐♥ Aϕ✱ t❤❡♥ t❤❡r❡ ❡①✐sts ❛ ♣❛t❤ q ❛−✶ − →♣ ✐♥ A′

ϕ

❚❤❡♦r❡♠ ▲❡t ϕ ❜❡ ❛♥ ❡♥❞♦♠♦r♣❤✐s♠ ♦❢ ❛ ❢✳❣✳ ❙❈ ❣r♦✉♣✳ ❚❤❡♥ ❋✐①ϕ ✐s ❢✳❣✳ ❈♦r♦❧❧❛r② ▲❡t ϕ ❜❡ ❛♥ ❡♥❞♦♠♦r♣❤✐s♠ ♦❢ ❛ ❢✳❣✳ ❢r❡❡ ♣r♦❞✉❝t ♦❢ ❛ ❢r❡❡ ♠♦♥♦✐❞ ❛♥❞ ❝②❝❧✐❝ ❣r♦✉♣s✳ ❚❤❡♥ ❋✐①ϕ ✐s r❛t✐♦♥❛❧✳

P❡❞r♦ ❱✳ ❙✐❧✈❛ ❋✐①❡❞ ♣♦✐♥ts ♦❢ ❡♥❞♦♠♦r♣❤✐s♠s ♦✈❡r s♣❡❝✐❛❧ ❝♦♥✢✉❡♥t r❡✇r✐t✐♥❣ s②st❡♠s

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• r♦✉♣s

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❋r❡❡ ♠♦♥♦✐❞ ❡♥❞♦♠♦r♣❤✐s♠s

• ✐✈❡♥ ϕ ∈ ❊♥❞❆∗✱ ✇r✐t❡ ♠ = |❆| ❛♥❞ ❞❡✜♥❡

❆✷ = {❛ ∈ ❆ | ❛ϕ♥ = ✶ ❢♦r s♦♠❡ ♥ ≥ ✶} ❆✸ = ❆ \ ❆✷ ❆✹ = {❛ ∈ ❆✸ | ❛ϕ ∈ ❆∗

✷❛❆∗ ✷}

▲❡t ❜❡ t❤❡ ❞✐r❡❝t❡❞ ❣r❛♣❤ ✇✐t❤ ✈❡rt❡① s❡t ❆ ❛♥❞ ❡❞❣❡s ❛ ❜ ✇❤❡♥❡✈❡r ❜ ♦❝❝✉rs ✐♥ ❛ ❚❤❡♥ ❛ ❆✷ ✐✛ t❤❡r❡ ❡①✐sts ♥♦ ✐♥✜♥✐t❡ ♣❛t❤ ❛ ✐♥ ❚❤✐s ✐s ❡q✉✐✈❛❧❡♥t t♦ s❛② t❤❡r❡ ✐s ♥♦ ♣❛t❤ ❛ ✐♥ ♦❢ ❧❡♥❣t❤ ♠✱ ❤❡♥❝❡ ❆✷ ❛ ❆ ❛

♠

✶ ❚❤❡r❡❢♦r❡ ❆✷ ✐s ❡✛❡❝t✐✈❡❧② ❝♦♠♣✉t❛❜❧❡✱ ❛♥❞ s♦ ❛r❡ ❆✸ ❛♥❞ ❆✹

P❡❞r♦ ❱✳ ❙✐❧✈❛ ❋✐①❡❞ ♣♦✐♥ts ♦❢ ❡♥❞♦♠♦r♣❤✐s♠s ♦✈❡r s♣❡❝✐❛❧ ❝♦♥✢✉❡♥t r❡✇r✐t✐♥❣ s②st❡♠s

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• r♦✉♣s

❊♥❞♦♠♦r♣❤✐s♠s ❈♦♠♣✉t❛❜✐❧✐t②

❋r❡❡ ♠♦♥♦✐❞ ❡♥❞♦♠♦r♣❤✐s♠s

• ✐✈❡♥ ϕ ∈ ❊♥❞❆∗✱ ✇r✐t❡ ♠ = |❆| ❛♥❞ ❞❡✜♥❡

❆✷ = {❛ ∈ ❆ | ❛ϕ♥ = ✶ ❢♦r s♦♠❡ ♥ ≥ ✶} ❆✸ = ❆ \ ❆✷ ❆✹ = {❛ ∈ ❆✸ | ❛ϕ ∈ ❆∗

✷❛❆∗ ✷}

▲❡t Γ ❜❡ t❤❡ ❞✐r❡❝t❡❞ ❣r❛♣❤ ✇✐t❤ ✈❡rt❡① s❡t ❆ ❛♥❞ ❡❞❣❡s ❛− →❜ ✇❤❡♥❡✈❡r ❜ ♦❝❝✉rs ✐♥ ❛ϕ ❚❤❡♥ ❛ ∈ ❆✷ ✐✛ t❤❡r❡ ❡①✐sts ♥♦ ✐♥✜♥✐t❡ ♣❛t❤ ❛− → · · · ✐♥ Γ ❚❤✐s ✐s ❡q✉✐✈❛❧❡♥t t♦ s❛② t❤❡r❡ ✐s ♥♦ ♣❛t❤ ❛− → · · · ✐♥ Γ ♦❢ ❧❡♥❣t❤ ♠✱ ❤❡♥❝❡ ❆✷ = {❛ ∈ ❆ | ❛ϕ♠ = ✶} ❚❤❡r❡❢♦r❡ ❆✷ ✐s ❡✛❡❝t✐✈❡❧② ❝♦♠♣✉t❛❜❧❡✱ ❛♥❞ s♦ ❛r❡ ❆✸ ❛♥❞ ❆✹

P❡❞r♦ ❱✳ ❙✐❧✈❛ ❋✐①❡❞ ♣♦✐♥ts ♦❢ ❡♥❞♦♠♦r♣❤✐s♠s ♦✈❡r s♣❡❝✐❛❧ ❝♦♥✢✉❡♥t r❡✇r✐t✐♥❣ s②st❡♠s

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• r♦✉♣s

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❋r❡❡ ♠♦♥♦✐❞ ❡♥❞♦♠♦r♣❤✐s♠s

• ✐✈❡♥ ϕ ∈ ❊♥❞❆∗✱ ✇r✐t❡ ♠ = |❆| ❛♥❞ ❞❡✜♥❡

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▲❡t Γ ❜❡ t❤❡ ❞✐r❡❝t❡❞ ❣r❛♣❤ ✇✐t❤ ✈❡rt❡① s❡t ❆ ❛♥❞ ❡❞❣❡s ❛− →❜ ✇❤❡♥❡✈❡r ❜ ♦❝❝✉rs ✐♥ ❛ϕ ❚❤❡♥ ❛ ∈ ❆✷ ✐✛ t❤❡r❡ ❡①✐sts ♥♦ ✐♥✜♥✐t❡ ♣❛t❤ ❛− → · · · ✐♥ Γ ❚❤✐s ✐s ❡q✉✐✈❛❧❡♥t t♦ s❛② t❤❡r❡ ✐s ♥♦ ♣❛t❤ ❛− → · · · ✐♥ Γ ♦❢ ❧❡♥❣t❤ ♠✱ ❤❡♥❝❡ ❆✷ = {❛ ∈ ❆ | ❛ϕ♠ = ✶} ❚❤❡r❡❢♦r❡ ❆✷ ✐s ❡✛❡❝t✐✈❡❧② ❝♦♠♣✉t❛❜❧❡✱ ❛♥❞ s♦ ❛r❡ ❆✸ ❛♥❞ ❆✹

P❡❞r♦ ❱✳ ❙✐❧✈❛ ❋✐①❡❞ ♣♦✐♥ts ♦❢ ❡♥❞♦♠♦r♣❤✐s♠s ♦✈❡r s♣❡❝✐❛❧ ❝♦♥✢✉❡♥t r❡✇r✐t✐♥❣ s②st❡♠s

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• r♦✉♣s

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• ✐✈❡♥ ❇ ⊆ ❆✱ ✇❡ ❞❡♥♦t❡ ❜② θ❆,❇ t❤❡ r❡tr❛❝t✐♦♥ ❡♥❞♦♠♦r♣❤✐s♠

❆∗ → ❇∗ ❞❡✜♥❡❞ ❜② ❛θ = ❛ ✐❢ ❛ ∈ ❇ ✶ ♦t❤❡r✇✐s❡ ▲❡♠♠❛ ▲❡t ❊♥❞❆ ❛♥❞ ♠ ❆ ✳ ❚❤❡♥ ❋✐① ❆✹

♠

✳ ◆♦t❡ t❤❛t✱ ❣✐✈❡♥ ❛♥ ❡♥❞♦♠♦r♣❤✐s♠ ♦❢ ❆

• ✱ ✇❤❡r❡ ● ✐s ❛

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• ✐s ❛♥ ❡♥❞♦♠♦r♣❤✐s♠ ♦❢ ●

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