rss s rsr rtrs - - PowerPoint PPT Presentation

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❈♦♥✈❡♥t✐♦♥s

❆ ✲ ❛ ✉♥✐t❛❧ ❈ ∗✲❛❧❣❡❜r❛✳ α : ❆ → ❆ ✲ ❛ ✉♥✐t❛❧✱ ✐♥❥❡❝t✐✈❡ ❡♥❞♦♠♦r♣❤✐s♠✳ ❉❡✜♥✐t✐♦♥ ❆ tr❛♥s❢❡r ♦♣❡r❛t♦r ❢♦r α ✐s ❛ ❝♦♠♣❧❡t❡❧② ♣♦s✐t✐✈❡ ♠❛♣ τ : ❆ → ❆ s✉❝❤ t❤❛t τ(α(❛)❜) = ❛τ(❜) ❢♦r ❛❧❧ ❛,❜ ∈ ❆✳ ❯♥❞❡r ♦✉r ❝♦♥✈❡♥t✐♦♥s✱ t❤✐s ✐s ❡q✉✐✈❛❧❡♥t t♦✿ τ ✐s ❛ ❧❡❢t ✐♥✈❡rs❡ ♦❢ α✳ ❆❧s♦ τ(❜α(❛)) = τ(❜)❛✳

❊♥❞♦♠♦r♣❤✐s♠s ❛♥❞ ❚r❛♥s❢❡r ❖♣❡r❛♦rs P✳❙✳ ▼✉❤❧② ❚❤❡ ❙❡tt✐♥❣

❈ ∗✲ ❝♦rr❡s♣♦♥❞❡♥❝❡s ❛♥❞ t❤❡✐r ❈✉♥t③✲ P✐♠s♥❡r ❆❧❣❡❜r❛s ❚❤❡ ❙tr✉❝t✉r❡ ♦❢ ● ❛♥❞ ❈ ∗(●) ❚❤❡ ✉♥✐✈❡rs❛❧ ✐s♦♠❡tr② ✐♥ ❈ ∗(●)

▼✐♥✐♠❛❧ ❯♥✐t❛r② ❊①t❡♥s✐♦♥s ♦❢ ❙ ✐♥ ❛ ▼♦r✐t❛ ❊q✉✐✈❛❧❡♥t ❈∗✲❛❧❣❡❜r❛

❆❞❞✐t✐♦♥❛❧ ❘❛t✐♦♥❛❧❡ ❘❡❝♦❧❧❡❝t✐♦♥s ❢r♦♠ ❑▼❘❲ ❬❑▼❘❲✾✽❪ ❙t❛❜✐❧✐③✐♥❣ ●

❚✇♦ ❈ ∗✲❝♦rr❡s♣♦♥❞❡♥❝❡s

α❆ ✲ ❆ ✇✐t❤ ❜✐♠♦❞✉❧❡ str✉❝t✉r❡✱

❛ ·ξ ·❜ := α(❛)ξ❜ ❛♥❞ ✐♥♥❡r ♣r♦❞✉❝t ξ,η := ξ ∗η. ❆τ ✲ ❆ ✇✐t❤ ❜✐♠♦❞✉❧❡ str✉❝t✉r❡✱ ❛ ·ξ ·❜ := ❛ξα(❜) ❛♥❞ ✐♥♥❡r ♣r♦❞✉❝t ξ,η := τ(ξ ∗η). ❍♦✇ ❛r❡ t❤❡ ❈✉♥t③✲P✐♠s♥❡r ❆❧❣❡❜r❛s O( α❆) ❛♥❞ O(❆τ) r❡❧❛t❡❞❄

❊♥❞♦♠♦r♣❤✐s♠s ❛♥❞ ❚r❛♥s❢❡r ❖♣❡r❛♦rs P✳❙✳ ▼✉❤❧② ❚❤❡ ❙❡tt✐♥❣

❈ ∗✲ ❝♦rr❡s♣♦♥❞❡♥❝❡s ❛♥❞ t❤❡✐r ❈✉♥t③✲ P✐♠s♥❡r ❆❧❣❡❜r❛s ❚❤❡ ❙tr✉❝t✉r❡ ♦❢ ● ❛♥❞ ❈ ∗(●) ❚❤❡ ✉♥✐✈❡rs❛❧ ✐s♦♠❡tr② ✐♥ ❈ ∗(●)

▼✐♥✐♠❛❧ ❯♥✐t❛r② ❊①t❡♥s✐♦♥s ♦❢ ❙ ✐♥ ❛ ▼♦r✐t❛ ❊q✉✐✈❛❧❡♥t ❈∗✲❛❧❣❡❜r❛

❆❞❞✐t✐♦♥❛❧ ❘❛t✐♦♥❛❧❡ ❘❡❝♦❧❧❡❝t✐♦♥s ❢r♦♠ ❑▼❘❲ ❬❑▼❘❲✾✽❪ ❙t❛❜✐❧✐③✐♥❣ ●

❚❤❡ ❈✉♥t③✲P✐♠s♥❡r ❆❧❣❡❜r❛ O(α❆)

❚❤❡♦r❡♠ ✭❑❤♦s❤❦❛♠ ❛♥❞ ❙❦❛♥❞❛❧✐s ❬❑❙✾✼❪✮ O( α❆) ≃ ❆∞ ⋊α∞ Z✳ ❍❡r❡ ❆∞ ✐s t❤❡ ❧✐♠✐t ♦❢ t❤❡ s②st❡♠ ··· → ❆ → ❆ → ❆ → ··· ✇❤❡r❡ t❤❡ ❝♦♥♥❡❝t✐♥❣ ♠❛♣s ❛r❡ ❛❧❧ α✱ ❛♥❞ α∞ ✐s t❤❡ ✐♥❞✉❝❡❞ ❛✉t♦♠♦r♣❤✐s♠ ♦❢ ❆∞✳ ■♥ ♣❛rt✐❝✉❧❛r✱ ✐❢ ❆ = ❈(❳) ❛♥❞ α(❢ ) = ❢ ◦σ✱ σ ✲ ❛ ❧♦❝❛❧ ❤♦♠❡♦♠♦r♣❤✐s♠✱ t❤❡♥ ❆∞ = ❈(❳∞)✱ ❳∞ = {(①✵,①✶,···) | ①♥−✶ = σ(①♥)} ❛♥❞ α∞(❢ ) = ❢ ◦σ∞✱ σ∞(①✵,①✶,···) = (σ(①✵),σ(①✶),···)✳

❊♥❞♦♠♦r♣❤✐s♠s ❛♥❞ ❚r❛♥s❢❡r ❖♣❡r❛♦rs P✳❙✳ ▼✉❤❧② ❚❤❡ ❙❡tt✐♥❣

❈ ∗✲ ❝♦rr❡s♣♦♥❞❡♥❝❡s ❛♥❞ t❤❡✐r ❈✉♥t③✲ P✐♠s♥❡r ❆❧❣❡❜r❛s ❚❤❡ ❙tr✉❝t✉r❡ ♦❢ ● ❛♥❞ ❈ ∗(●) ❚❤❡ ✉♥✐✈❡rs❛❧ ✐s♦♠❡tr② ✐♥ ❈ ∗(●)

▼✐♥✐♠❛❧ ❯♥✐t❛r② ❊①t❡♥s✐♦♥s ♦❢ ❙ ✐♥ ❛ ▼♦r✐t❛ ❊q✉✐✈❛❧❡♥t ❈∗✲❛❧❣❡❜r❛

❆❞❞✐t✐♦♥❛❧ ❘❛t✐♦♥❛❧❡ ❘❡❝♦❧❧❡❝t✐♦♥s ❢r♦♠ ❑▼❘❲ ❬❑▼❘❲✾✽❪ ❙t❛❜✐❧✐③✐♥❣ ●

❯♥✐✈❡rs❛❧ Pr♦♣❡rt②

O( α❆) ✐s ✉♥✐✈❡rs❛❧ ❢♦r ♣❛✐rs (π,❯)✱ ✇❤❡r❡ π ✐s ❛ ❈ ∗✲r❡♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥ ♦❢ ❆ ♦♥ ❛ ❍✐❧❜❡rt s♣❛❝❡ ❍ ❛♥❞ ❯ ✐s ❛ ✉♥✐t❛r② ♦♥ ❍ s✉❝❤ t❤❛t ❯π(❛)❯−✶ = π(α(❛)), ❛ ∈ ❆, ✐✳❡✳ O( α❆) ✐s ✉♥✐✈❡rs❛❧ ❢♦r ✉♥✐t❛r② ❝♦✈❛r✐❛♥t r❡♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥s ♦❢ (❆,α)✳ ❲❡ ❝❛❧❧ s✉❝❤ ❛ ♣❛✐r (π,❯) ❛ ✉♥✐t❛r② α✲❝♦✈❛r✐❛♥t r❡♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥ ♦❢ (❆,α)✳

❊♥❞♦♠♦r♣❤✐s♠s ❛♥❞ ❚r❛♥s❢❡r ❖♣❡r❛♦rs P✳❙✳ ▼✉❤❧② ❚❤❡ ❙❡tt✐♥❣

❈ ∗✲ ❝♦rr❡s♣♦♥❞❡♥❝❡s ❛♥❞ t❤❡✐r ❈✉♥t③✲ P✐♠s♥❡r ❆❧❣❡❜r❛s ❚❤❡ ❙tr✉❝t✉r❡ ♦❢ ● ❛♥❞ ❈ ∗(●) ❚❤❡ ✉♥✐✈❡rs❛❧ ✐s♦♠❡tr② ✐♥ ❈ ∗(●)

▼✐♥✐♠❛❧ ❯♥✐t❛r② ❊①t❡♥s✐♦♥s ♦❢ ❙ ✐♥ ❛ ▼♦r✐t❛ ❊q✉✐✈❛❧❡♥t ❈∗✲❛❧❣❡❜r❛

❆❞❞✐t✐♦♥❛❧ ❘❛t✐♦♥❛❧❡ ❘❡❝♦❧❧❡❝t✐♦♥s ❢r♦♠ ❑▼❘❲ ❬❑▼❘❲✾✽❪ ❙t❛❜✐❧✐③✐♥❣ ●

❚r❛♥s❢❡r ❖♣❡r❛t♦rs ❢♦r ▲♦❝❛❧ ❍♦♠❡♦♠♦r♣❤✐s♠s

❙✉♣♣♦s❡ σ ✐s ❛ ❧♦❝❛❧ ❤♦♠❡♦♠♦r♣❤✐s♠ ♦❢ ❛ ❝♦♠♣❛❝t ❍❛✉s❞♦r✛ s♣❛❝❡ ❳✳ ❆ss✉♠❡ σ ✐s s✉r❥❡❝t✐✈❡✳ ❚❤❡ st❛♥❞❛r❞ tr❛♥s❢❡r ♦♣❡r❛t♦r✿ τ(❢ )(①) := ✶ |σ−✶(①)| ∑

σ(②)=①

❢ (②). ▼♦st ❣❡♥❡r❛❧✿ ❚❛❦❡ ❛ ♥♦♥✲♥❡❣❛t✐✈❡ ❝♦♥t✐♥✉♦✉s ❢✉♥❝t✐♦♥ ❉ ♦♥ ❳ s✉❝❤ t❤❛t τ(❉) = ✶ ❛♥❞ s❡t τ❉(❢ ) := τ(❉❢ )✳

❊♥❞♦♠♦r♣❤✐s♠s ❛♥❞ ❚r❛♥s❢❡r ❖♣❡r❛♦rs P✳❙✳ ▼✉❤❧② ❚❤❡ ❙❡tt✐♥❣

❈ ∗✲ ❝♦rr❡s♣♦♥❞❡♥❝❡s ❛♥❞ t❤❡✐r ❈✉♥t③✲ P✐♠s♥❡r ❆❧❣❡❜r❛s ❚❤❡ ❙tr✉❝t✉r❡ ♦❢ ● ❛♥❞ ❈ ∗(●) ❚❤❡ ✉♥✐✈❡rs❛❧ ✐s♦♠❡tr② ✐♥ ❈ ∗(●)

▼✐♥✐♠❛❧ ❯♥✐t❛r② ❊①t❡♥s✐♦♥s ♦❢ ❙ ✐♥ ❛ ▼♦r✐t❛ ❊q✉✐✈❛❧❡♥t ❈∗✲❛❧❣❡❜r❛

❆❞❞✐t✐♦♥❛❧ ❘❛t✐♦♥❛❧❡ ❘❡❝♦❧❧❡❝t✐♦♥s ❢r♦♠ ❑▼❘❲ ❬❑▼❘❲✾✽❪ ❙t❛❜✐❧✐③✐♥❣ ●

❚❤❡ ❈✉♥t③✲P✐♠s♥❡r ❆❧❣❡❜r❛ O(❈(❳)τ)

• ♦❛❧

❚♦ ❡①❤✐❜✐t O(❈(❳)τ) ❛s ❈ ∗(●)✱ ✇❤❡r❡ ● ✐s t❤❡ ❉❡❛❝♦♥✉✲❘❡♥❛✉❧t ❣r♦✉♣♦✐❞

• = {(①,♥,②) ∈ ❳ ×Z×❳ | σ❦(①) = σ❧(②),♥ = ❦ −❧}.

❲❤❡♥ σ ✐s ❛ ❤♦♠❡♦♠♦r♣❤✐s♠✱ ● ✐s ✐s♦♠♦r♣❤✐❝ t♦ t❤❡ tr❛♥s❢♦r♠❛t✐♦♥ ❣r♦✉♣ ❳ ×Z✳

• ❝❛rr✐❡s ❛❧❧ t❤❡ ❞②♥❛♠✐❝❛❧ ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥ ❛❜♦✉t σ✳

❊♥❞♦♠♦r♣❤✐s♠s ❛♥❞ ❚r❛♥s❢❡r ❖♣❡r❛♦rs P✳❙✳ ▼✉❤❧② ❚❤❡ ❙❡tt✐♥❣

❈ ∗✲ ❝♦rr❡s♣♦♥❞❡♥❝❡s ❛♥❞ t❤❡✐r ❈✉♥t③✲ P✐♠s♥❡r ❆❧❣❡❜r❛s ❚❤❡ ❙tr✉❝t✉r❡ ♦❢ ● ❛♥❞ ❈ ∗(●) ❚❤❡ ✉♥✐✈❡rs❛❧ ✐s♦♠❡tr② ✐♥ ❈ ∗(●)

▼✐♥✐♠❛❧ ❯♥✐t❛r② ❊①t❡♥s✐♦♥s ♦❢ ❙ ✐♥ ❛ ▼♦r✐t❛ ❊q✉✐✈❛❧❡♥t ❈∗✲❛❧❣❡❜r❛

❆❞❞✐t✐♦♥❛❧ ❘❛t✐♦♥❛❧❡ ❘❡❝♦❧❧❡❝t✐♦♥s ❢r♦♠ ❑▼❘❲ ❬❑▼❘❲✾✽❪ ❙t❛❜✐❧✐③✐♥❣ ●

❚❤❡ t♦♣♦❧♦❣② ♦♥ ●

❇❛s✐s ❢♦r t❤❡ t♦♣♦❧♦❣② ♦♥ ●✿ ❩(❯,❱ ,❦,❧) := {(①,❦ −❧,②) ∈ ● | ① ∈ ❯,② ∈ ❱ }, ✇❤❡r❡ σ❦|❯✱ σ❧|❱ ❛r❡ ❤♦♠❡♦♠♦r♣❤✐s♠s ❛♥❞ σ❦(❯) = σ❧(❱ )✳ ❩(❯,❱ ,❦,❧) ✏✐s✑ t❤❡ ❣r❛♣❤ ♦❢ (σ❧|❱ )−✶ ◦(σ❦|❯) ✲ ❛ ●✲s❡t✳ ❚❤❡ ●✲s❡ts ♦❢ ● ❢♦r♠ ❛ ♣s❡✉❞♦❣r♦✉♣ ✲ t❤❡ ♣s❡✉❞♦❣r♦✉♣ ❣❡♥❡r❛t❡❞ ❜② σ✳ ❚❤❡ s❡ts ❩(❯,❱ ,❦,❧) ❢♦r♠ ❛ ❜❛s✐s ❢♦r t❤✐s ♣s❡✉❞♦❣r♦✉♣✳

❊♥❞♦♠♦r♣❤✐s♠s ❛♥❞ ❚r❛♥s❢❡r ❖♣❡r❛♦rs P✳❙✳ ▼✉❤❧② ❚❤❡ ❙❡tt✐♥❣

❈ ∗✲ ❝♦rr❡s♣♦♥❞❡♥❝❡s ❛♥❞ t❤❡✐r ❈✉♥t③✲ P✐♠s♥❡r ❆❧❣❡❜r❛s ❚❤❡ ❙tr✉❝t✉r❡ ♦❢ ● ❛♥❞ ❈ ∗(●) ❚❤❡ ✉♥✐✈❡rs❛❧ ✐s♦♠❡tr② ✐♥ ❈ ∗(●)

▼✐♥✐♠❛❧ ❯♥✐t❛r② ❊①t❡♥s✐♦♥s ♦❢ ❙ ✐♥ ❛ ▼♦r✐t❛ ❊q✉✐✈❛❧❡♥t ❈∗✲❛❧❣❡❜r❛

❆❞❞✐t✐♦♥❛❧ ❘❛t✐♦♥❛❧❡ ❘❡❝♦❧❧❡❝t✐♦♥s ❢r♦♠ ❑▼❘❲ ❬❑▼❘❲✾✽❪ ❙t❛❜✐❧✐③✐♥❣ ●

❈ ∗(●)

❋♦r ❢ ,❣ ∈ ❈❝(●) ❞❡✜♥❡ ❢ ∗❣(①,❦ −❧,②) =∑❢ (①,♠−♥,③)❣(③,(♥+❦)−(♠+❧),②), ✇❤❡r❡ t❤❡ s✉♠ r❛♥❣❡s ♦✈❡r ❛❧❧ ♠✱ ♥✱ ❛♥❞ ③ s✉❝❤ t❤❛t σ♠① = σ♥③✱ ❛♥❞ σ♥+❦③ = σ♠+❧②✱ ❛♥❞ ❞❡✜♥❡ ❢ ∗(①,❦ −❧,②) = ❢ (②,❧ −❦,①). ❈ ∗(●) ✐s ❛ ❝♦♠♣❧❡t✐♦♥ ♦❢ ❈❝(●) ❜✉✐❧t ❢r♦♠ t❤❡ ❍✐❧❜❡rt s♣❛❝❡ r❡♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥s ♦❢ ●✳

❊♥❞♦♠♦r♣❤✐s♠s ❛♥❞ ❚r❛♥s❢❡r ❖♣❡r❛♦rs P✳❙✳ ▼✉❤❧② ❚❤❡ ❙❡tt✐♥❣

❈ ∗✲ ❝♦rr❡s♣♦♥❞❡♥❝❡s ❛♥❞ t❤❡✐r ❈✉♥t③✲ P✐♠s♥❡r ❆❧❣❡❜r❛s ❚❤❡ ❙tr✉❝t✉r❡ ♦❢ ● ❛♥❞ ❈ ∗(●) ❚❤❡ ✉♥✐✈❡rs❛❧ ✐s♦♠❡tr② ✐♥ ❈ ∗(●)

▼✐♥✐♠❛❧ ❯♥✐t❛r② ❊①t❡♥s✐♦♥s ♦❢ ❙ ✐♥ ❛ ▼♦r✐t❛ ❊q✉✐✈❛❧❡♥t ❈∗✲❛❧❣❡❜r❛

❆❞❞✐t✐♦♥❛❧ ❘❛t✐♦♥❛❧❡ ❘❡❝♦❧❧❡❝t✐♦♥s ❢r♦♠ ❑▼❘❲ ❬❑▼❘❲✾✽❪ ❙t❛❜✐❧✐③✐♥❣ ●

❙♣❡❝✐❛❧ ❈❧♦♣❡♥ ❘❡❧❛t✐♦♥s ✏♦♥✑ ❳

▲❡t ❘♥,♠ = {(①,♥ −♠,②) ∈ ● : σ♥① = σ♠②}. ❘✵,✵ ≃ ∆ ✲ t❤❡ ❞✐❛❣♦♥❛❧ ✐♥ ❳ ×❳✳ ❘❦,❦ ≃ ❳ ∗σ❦ ❳✳ ❘✵,✵ ⊂ ❘✶,✶ ⊂ ❘✷,✷ ⊂ ··· ❙♦ ❈ ∗(❘❦,❦) ⊂ ❈ ∗(❘❦+✶,❦+✶)✳ ❚❤❡ ❡q✉✐✈❛❧❡♥❝❡ r❡❧❛t✐♦♥ ❘∞ = {(①,✵,②) : σ♥① = σ♥② ❢♦r s♦♠❡ ♥} = ❘❦,❦✳ ❚❤❡♥ ❈ ∗(❘∞) = ❧✐♠ − →❈ ∗(❘❦,❦)✳

❊♥❞♦♠♦r♣❤✐s♠s ❛♥❞ ❚r❛♥s❢❡r ❖♣❡r❛♦rs P✳❙✳ ▼✉❤❧② ❚❤❡ ❙❡tt✐♥❣

❈ ∗✲ ❝♦rr❡s♣♦♥❞❡♥❝❡s ❛♥❞ t❤❡✐r ❈✉♥t③✲ P✐♠s♥❡r ❆❧❣❡❜r❛s ❚❤❡ ❙tr✉❝t✉r❡ ♦❢ ● ❛♥❞ ❈ ∗(●) ❚❤❡ ✉♥✐✈❡rs❛❧ ✐s♦♠❡tr② ✐♥ ❈ ∗(●)

▼✐♥✐♠❛❧ ❯♥✐t❛r② ❊①t❡♥s✐♦♥s ♦❢ ❙ ✐♥ ❛ ▼♦r✐t❛ ❊q✉✐✈❛❧❡♥t ❈∗✲❛❧❣❡❜r❛

❆❞❞✐t✐♦♥❛❧ ❘❛t✐♦♥❛❧❡ ❘❡❝♦❧❧❡❝t✐♦♥s ❢r♦♠ ❑▼❘❲ ❬❑▼❘❲✾✽❪ ❙t❛❜✐❧✐③✐♥❣ ●

❙

❉❡✜♥✐t✐♦♥ ❲❡ ❧❡t ❙ ∈ ❈❝(●) ⊆ ❈ ∗(●) ❜❡ ❞❡✜♥❡❞ ❜② ❙(①,♠ −♥,②) =   

✶

√

|σ−✶(σ①)|,

✐❢ ♠ = ✶,♥ = ✵,σ① = ②, ✵ ♦t❤❡r✇✐s❡✳ Pr♦♣♦s✐t✐♦♥ ❙ ✐s ❛♥ ✐s♦♠❡tr② ❛♥❞ ❙❙∗(①,❦ −❧,②) = ✶ |σ−✶(σ①)|✶❘✶,✶(①,❦ −❧,②)

❊♥❞♦♠♦r♣❤✐s♠s ❛♥❞ ❚r❛♥s❢❡r ❖♣❡r❛♦rs P✳❙✳ ▼✉❤❧② ❚❤❡ ❙❡tt✐♥❣

❈ ∗✲ ❝♦rr❡s♣♦♥❞❡♥❝❡s ❛♥❞ t❤❡✐r ❈✉♥t③✲ P✐♠s♥❡r ❆❧❣❡❜r❛s ❚❤❡ ❙tr✉❝t✉r❡ ♦❢ ● ❛♥❞ ❈ ∗(●) ❚❤❡ ✉♥✐✈❡rs❛❧ ✐s♦♠❡tr② ✐♥ ❈ ∗(●)

▼✐♥✐♠❛❧ ❯♥✐t❛r② ❊①t❡♥s✐♦♥s ♦❢ ❙ ✐♥ ❛ ▼♦r✐t❛ ❊q✉✐✈❛❧❡♥t ❈∗✲❛❧❣❡❜r❛

❆❞❞✐t✐♦♥❛❧ ❘❛t✐♦♥❛❧❡ ❘❡❝♦❧❧❡❝t✐♦♥s ❢r♦♠ ❑▼❘❲ ❬❑▼❘❲✾✽❪ ❙t❛❜✐❧✐③✐♥❣ ●

❚❤❡ ✐s♦♠♦r♣❤✐s♠ O(❈(❳)τ) ≃ ❈ ∗(●)✳

❚❤❡♦r❡♠ ✭❉❡❛❝♦♥✉✱ ❑✉♠❥✐❛♥ ❛♥❞ ▼ ❬❉❑▼✵✶❪✮ ❉❡✜♥❡ ι : ❈(❳) → ❈ ∗(●)✱ ι(ϕ)(①,❦ −❧,②) = ϕ(①)✶❘✵,✵(①,❦ −❧,②) ❛♥❞ ψ : ❈(❳)τ → ❈ ∗(●)✱ ψ(ξ) = ι(ξ)❙✳ ❚❤❡♥ (✐,ψ) ✐s ❛ ❢❛✐t❤❢✉❧ ❈✉♥t③✲P✐♠s♥❡r r❡♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥ ♦❢ (❈(❳),❈(❳)τ) ✐♥ ❈ ∗(●) t❤❛t ❣❡♥❡r❛t❡s ❈ ∗(●) ❛♥❞ ❣✐✈❡s ❛♥ ✐s♦♠♦r♣❤✐s♠ ❜❡t✇❡❡♥ ❈ ∗(●) ❛♥❞ O(❈(❳)τ)✳

❊♥❞♦♠♦r♣❤✐s♠s ❛♥❞ ❚r❛♥s❢❡r ❖♣❡r❛♦rs P✳❙✳ ▼✉❤❧② ❚❤❡ ❙❡tt✐♥❣

❈ ∗✲ ❝♦rr❡s♣♦♥❞❡♥❝❡s ❛♥❞ t❤❡✐r ❈✉♥t③✲ P✐♠s♥❡r ❆❧❣❡❜r❛s ❚❤❡ ❙tr✉❝t✉r❡ ♦❢ ● ❛♥❞ ❈ ∗(●) ❚❤❡ ✉♥✐✈❡rs❛❧ ✐s♦♠❡tr② ✐♥ ❈ ∗(●)

▼✐♥✐♠❛❧ ❯♥✐t❛r② ❊①t❡♥s✐♦♥s ♦❢ ❙ ✐♥ ❛ ▼♦r✐t❛ ❊q✉✐✈❛❧❡♥t ❈∗✲❛❧❣❡❜r❛

❆❞❞✐t✐♦♥❛❧ ❘❛t✐♦♥❛❧❡ ❘❡❝♦❧❧❡❝t✐♦♥s ❢r♦♠ ❑▼❘❲ ❬❑▼❘❲✾✽❪ ❙t❛❜✐❧✐③✐♥❣ ●

❯♥✐✈❡rs❛❧ Pr♦♣❡rt②

❚❤❡♦r❡♠ ❋✉rt❤❡r✱ ❈ ∗(●) ✐s ✉♥✐✈❡rs❛❧ ❢♦r ❛❧❧ ♣❛✐rs (π,❱ ) ✇❤❡r❡ π ✐s ❛ r❡♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥ ♦❢ ❈(❳) ♦♥ ❛ ❍✐❧❜❡rt s♣❛❝❡ ❍ ❛♥❞ ✇❤❡r❡ ❱ ✐s ❛♥ ✐s♦♠❡tr② ♦♥ ❍ t❤❛t s❛t✐s✜❡s✿

✶ ❱ π(❢ ) = π(❢ ◦σ)❱ ,

❢ ∈ ❈(❳).

✷ ❱ ∗π(❢ )❱ = π(τ(❢ )),

❢ ∈ ❈(❳).

✸ ∑π(ξ✐)❱❱ ∗π(ξ✐)∗ = ■❍✱ ✇❤❡r❡ {ξ✐} ✐s s♦♠❡ ✭❛♥❞ t❤❡r❡❢♦r❡

❛♥②✮ ✜♥✐t❡ s❡t ✐♥ ❈(❳)τ s✉❝❤ t❤❛t ∑ξ✐ ⊗ξ ∗

✐ = ■ ✐♥

K (❈(❳)τ) = L (❈(❳)τ)✳ ❉❡✜♥✐t✐♦♥ ❲❡ ❝❛❧❧ (π,❱ ) ❛ τ✲❝♦✈❛r✐❛♥t r❡♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥ ♦❢ (❆,α,τ)✳

❊♥❞♦♠♦r♣❤✐s♠s ❛♥❞ ❚r❛♥s❢❡r ❖♣❡r❛♦rs P✳❙✳ ▼✉❤❧② ❚❤❡ ❙❡tt✐♥❣

❈ ∗✲ ❝♦rr❡s♣♦♥❞❡♥❝❡s ❛♥❞ t❤❡✐r ❈✉♥t③✲ P✐♠s♥❡r ❆❧❣❡❜r❛s ❚❤❡ ❙tr✉❝t✉r❡ ♦❢ ● ❛♥❞ ❈ ∗(●) ❚❤❡ ✉♥✐✈❡rs❛❧ ✐s♦♠❡tr② ✐♥ ❈ ∗(●)

▼✐♥✐♠❛❧ ❯♥✐t❛r② ❊①t❡♥s✐♦♥s ♦❢ ❙ ✐♥ ❛ ▼♦r✐t❛ ❊q✉✐✈❛❧❡♥t ❈∗✲❛❧❣❡❜r❛

❆❞❞✐t✐♦♥❛❧ ❘❛t✐♦♥❛❧❡ ❘❡❝♦❧❧❡❝t✐♦♥s ❢r♦♠ ❑▼❘❲ ❬❑▼❘❲✾✽❪ ❙t❛❜✐❧✐③✐♥❣ ●

❊♥❞♦♠♦r♣❤✐s♠ ♦❢ ❈ ∗(❘∞)

▲❡t β : ❈ ∗(❘∞) → ❈ ∗(❘∞) ❜❡ ❞❡✜♥❡❞ ❜② β(❢ )(①,✵,②) = ✶

• |σ−✶(σ(①))||σ−✶(σ(②))|

❢ (σ①,✵,σ②), ❢ ∈ ❈❝(❘∞)✳ ❚❤❡♥ β ✐s ❛♥ ❡♥❞♦♠♦r♣❤✐s♠ ♦❢ ❈ ∗(❘∞) ❛♥❞ β(❢ ) = ❙❢❙∗.

❊♥❞♦♠♦r♣❤✐s♠s ❛♥❞ ❚r❛♥s❢❡r ❖♣❡r❛♦rs P✳❙✳ ▼✉❤❧② ❚❤❡ ❙❡tt✐♥❣

❈ ∗✲ ❝♦rr❡s♣♦♥❞❡♥❝❡s ❛♥❞ t❤❡✐r ❈✉♥t③✲ P✐♠s♥❡r ❆❧❣❡❜r❛s ❚❤❡ ❙tr✉❝t✉r❡ ♦❢ ● ❛♥❞ ❈ ∗(●) ❚❤❡ ✉♥✐✈❡rs❛❧ ✐s♦♠❡tr② ✐♥ ❈ ∗(●)

▼✐♥✐♠❛❧ ❯♥✐t❛r② ❊①t❡♥s✐♦♥s ♦❢ ❙ ✐♥ ❛ ▼♦r✐t❛ ❊q✉✐✈❛❧❡♥t ❈∗✲❛❧❣❡❜r❛

❆❞❞✐t✐♦♥❛❧ ❘❛t✐♦♥❛❧❡ ❘❡❝♦❧❧❡❝t✐♦♥s ❢r♦♠ ❑▼❘❲ ❬❑▼❘❲✾✽❪ ❙t❛❜✐❧✐③✐♥❣ ●

❘❡♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥s ♦❢ ❈ ∗(●) ❛♥❞ ❈ ∗(❘∞)

❚❤❡♦r❡♠ ✭■♦♥❡s❝✉ ❛♥❞ ▼ ❬■▼✵✽❪✮ ❈ ∗(●) ✐s t❤❡ ✉♥✐✈❡rs❛❧ ❈ ∗✲❛❧❣❡❜r❛ ❣❡♥❡r❛t❡❞ ❜② ❈ ∗(❘∞)✱ β✱ ❛♥❞ ❙✿ ■❢ ˜ π : ❈ ∗(●) → B(❍) ✐s ❛ r❡♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥✱ ✐❢ π = ˜ π|❈ ∗(❘∞)✱ ❛♥❞ ✐❢ ❙+ = ˜ π(❙)✱ t❤❡♥

✶ π(β(❢ ))❙+ = ❙+π(❢ )✳ ✷ π(L (❢ )) = ❙∗

+π(❢ )❙+✱ ✇❤❡r❡ L (❢ ) = ❙∗❢❙ ✐s t❤❡ tr❛♥s❢❡r

♦♣❡r❛t♦r ❛ss♦❝✐❛t❡❞ ✇✐t❤ β✱ L (❢ )(①,❦ −❧,②) = ✶

• |σ−✶(①)||σ−✶(②)| ∑

σ✉=①

σ✈=②

❢ (✉,❦ −❧,✈). ❈♦♥✈❡rs❡❧②✱ ❣✐✈❡♥ (π,❙+)✱ ✇❤❡r❡ π : ❈ ∗(❘∞) → B(❍)✱ ❙+ ✐s ❛♥ ✐s♦♠❡tr② ♦♥ ❍ s❛t✐s❢②✐♥❣ ✶✳ ❛♥❞ ✷✳✱ t❤❡♥ t❤❡r❡ ✐s ❛ ✉♥✐q✉❡ r❡♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥ ˜ π : ❈ ∗(●) → B(❍) s✉❝❤ t❤❛t ˜ π(❢ ) = π(❢ ) ❢♦r ❛❧❧ ❢ ∈ ❈ ∗(❘∞) ❛♥❞ ˜ π(❙) = ❙+✳

❊♥❞♦♠♦r♣❤✐s♠s ❛♥❞ ❚r❛♥s❢❡r ❖♣❡r❛♦rs P✳❙✳ ▼✉❤❧② ❚❤❡ ❙❡tt✐♥❣

❈ ∗✲ ❝♦rr❡s♣♦♥❞❡♥❝❡s ❛♥❞ t❤❡✐r ❈✉♥t③✲ P✐♠s♥❡r ❆❧❣❡❜r❛s ❚❤❡ ❙tr✉❝t✉r❡ ♦❢ ● ❛♥❞ ❈ ∗(●) ❚❤❡ ✉♥✐✈❡rs❛❧ ✐s♦♠❡tr② ✐♥ ❈ ∗(●)

▼✐♥✐♠❛❧ ❯♥✐t❛r② ❊①t❡♥s✐♦♥s ♦❢ ❙ ✐♥ ❛ ▼♦r✐t❛ ❊q✉✐✈❛❧❡♥t ❈∗✲❛❧❣❡❜r❛

❆❞❞✐t✐♦♥❛❧ ❘❛t✐♦♥❛❧❡ ❘❡❝♦❧❧❡❝t✐♦♥s ❢r♦♠ ❑▼❘❲ ❬❑▼❘❲✾✽❪ ❙t❛❜✐❧✐③✐♥❣ ●

■♥tr✐♥s✐❝ ✈s ❊①tr✐♥s✐❝❄

■♥ t❤❡ st✉❞② ♦❢ ✇❛✈❡❧❡ts ✲ ❝❧❛ss✐❝❛❧ ❛♥❞ ❢r❛❝t❛❧ ✲ r❡♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥s ♦❢ ❈ ∗(●) ♣❧❛② ❛ ❢✉♥❞❛♠❡♥t❛❧ r♦❧❡✱ ❡✈❡♥ t❤♦✉❣❤ ❈ ∗(●) ♠❛② ♥♦t ❜❡ ♠❡♥t✐♦♥❡❞ ❡①♣❧✐❝✐t❧②✳ ❋✉rt❤❡r✱ ♣❛r❛♠❡t❡rs t❤❛t ❧❛❜❡❧ t❤❡ r❡♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥s ♦❢ ❈ ∗(●) ❛r❡ s♦♠❡t✐♠❡s ✐♥tr♦❞✉❝❡❞ ✐♥ ❛ ❢❛s❤✐♦♥ t❤❛t ❛r❡ ♦❜s❝✉r❡❞ ❢r♦♠ t❤❡✐r r❡❧❛t✐♦♥s ✇✐t❤ t❤❡ ❞②♥❛♠✐❝s ♦❢ σ✱ ✇❤✐❝❤ ❛r❡ ❝♦❞✐✜❡❞ ✐♥ ❈ ∗(●)✳ ▼❛r✐✉s ❛♥❞ ■ ❤❛✈❡ ❜❡❡♥ tr②✐♥❣ t♦ ♠❛❦❡ ♠♦r❡ ❝❧❡❛r t❤❡ r♦❧❡ t❤❡ r❡♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥ t❤❡♦r② ♦❢ ❈ ∗(●) ♣❧❛②s✳ ❆s ❛♥ ✐❧❧✉str❛t✐♦♥✱ ❣✐✈❡♥ π : ❈ ∗(●) → ❇(❍)✱ ❛✉t❤♦rs ❢r❡q✉❡♥t❧② ❢♦r♠ t❤❡ ♠✐♥✐♠❛❧ ✉♥✐t❛r② ❡①t❡♥s✐♦♥ ❯ ♦❢ ❙+ = π(❙)✳ ✭❊❣✳✱ ▲❛rs❡♥ ❛♥❞ ❘❛❡❜✉r♥ ❬▲❘✵✻✱ ▲❘✵✼❪✱ ❉✉t❦❛② ❛♥❞ ❏♦r❣❡♥s❡♥ ❬❉❏✵✼❪✱...✮ ❍♦✇ ❞♦❡s ❯ ❞❡♣❡♥❞ ✉♣♦♥ π❄ ❍♦✇ ✐s ✐t r❡❧❛t❡❞ t♦ ❈ ∗(●)❄

❊♥❞♦♠♦r♣❤✐s♠s ❛♥❞ ❚r❛♥s❢❡r ❖♣❡r❛♦rs P✳❙✳ ▼✉❤❧② ❚❤❡ ❙❡tt✐♥❣

❈ ∗✲ ❝♦rr❡s♣♦♥❞❡♥❝❡s ❛♥❞ t❤❡✐r ❈✉♥t③✲ P✐♠s♥❡r ❆❧❣❡❜r❛s ❚❤❡ ❙tr✉❝t✉r❡ ♦❢ ● ❛♥❞ ❈ ∗(●) ❚❤❡ ✉♥✐✈❡rs❛❧ ✐s♦♠❡tr② ✐♥ ❈ ∗(●)

▼✐♥✐♠❛❧ ❯♥✐t❛r② ❊①t❡♥s✐♦♥s ♦❢ ❙ ✐♥ ❛ ▼♦r✐t❛ ❊q✉✐✈❛❧❡♥t ❈∗✲❛❧❣❡❜r❛

❆❞❞✐t✐♦♥❛❧ ❘❛t✐♦♥❛❧❡ ❘❡❝♦❧❧❡❝t✐♦♥s ❢r♦♠ ❑▼❘❲ ❬❑▼❘❲✾✽❪ ❙t❛❜✐❧✐③✐♥❣ ●

Pr❡❧✉❞❡ t♦ Pr♦♣♦s✐t✐♦♥ ✺✳✷

▲❡t ● ❜❡ ❛ ❧♦❝❛❧❧② ❝♦♠♣❛❝t ❣r♦✉♣♦✐❞ ✇✐t❤ ❍❛❛r s②st❡♠ {λ ✉}✉∈● (✵) ❛♥❞ ❨ ❜❡ ❛ ❧♦❝❛❧❧② ❝♦♠♣❛❝t s♣❛❝❡✳ ■❢ φ : ❨ → ● (✵) ✐s ♦♣❡♥ ❛♥❞ ❝♦♥t✐♥✉♦✉s✱ ✇❡ ❣❡t ❛ ❢r❡❡ ❛♥❞ ♣r♦♣❡r r✐❣❤t ●✲s♣❛❝❡✱ ❩ := ❨ ∗● = {(②,γ) | φ(②) = r(γ)}✱ ❩ ∗● → ❩ ✈✐❛ ((②,γ),α) → (②,γα)✳ ❈❤♦♦s❡ ❛ φ✲s②st❡♠ ♦❢ ♠❡❛s✉r❡s {ν✉}✉∈● ✵ ♦♥ ❨ ❛♥❞ s❡t κ✉(❢ ) :=

• ❨ ❢ (②,γ)❞νr(γ)❞λ✉(γ),

❣❡tt✐♥❣ ❛♥ ❡q✉✐✈❛r✐❛♥t s✲s②st❡♠ ♦♥ ❩✳

❊♥❞♦♠♦r♣❤✐s♠s ❛♥❞ ❚r❛♥s❢❡r ❖♣❡r❛♦rs P✳❙✳ ▼✉❤❧② ❚❤❡ ❙❡tt✐♥❣

❈ ∗✲ ❝♦rr❡s♣♦♥❞❡♥❝❡s ❛♥❞ t❤❡✐r ❈✉♥t③✲ P✐♠s♥❡r ❆❧❣❡❜r❛s ❚❤❡ ❙tr✉❝t✉r❡ ♦❢ ● ❛♥❞ ❈ ∗(●) ❚❤❡ ✉♥✐✈❡rs❛❧ ✐s♦♠❡tr② ✐♥ ❈ ∗(●)

▼✐♥✐♠❛❧ ❯♥✐t❛r② ❊①t❡♥s✐♦♥s ♦❢ ❙ ✐♥ ❛ ▼♦r✐t❛ ❊q✉✐✈❛❧❡♥t ❈∗✲❛❧❣❡❜r❛

❆❞❞✐t✐♦♥❛❧ ❘❛t✐♦♥❛❧❡ ❘❡❝♦❧❧❡❝t✐♦♥s ❢r♦♠ ❑▼❘❲ ❬❑▼❘❲✾✽❪ ❙t❛❜✐❧✐③✐♥❣ ●

Pr♦♣♦s✐t✐♦♥ ✺✳✷

Pr♦♣♦s✐t✐♦♥ ❚❤❡ s②st❡♠ ♦❢ ♠❡❛s✉r❡s {δ③ ×κs(③)}③∈❩ ✐s ❛ ❍❛❛r s②st❡♠ ❢♦r t❤❡ ✐♠♣r✐♠✐t✐✈✐t② ❣r♦✉♣♦✐❞ ❩ ∗● ❩ op ≃ ❨ ∗● ∗❨ ✳

❊♥❞♦♠♦r♣❤✐s♠s ❛♥❞ ❚r❛♥s❢❡r ❖♣❡r❛♦rs P✳❙✳ ▼✉❤❧② ❚❤❡ ❙❡tt✐♥❣

❈ ∗✲ ❝♦rr❡s♣♦♥❞❡♥❝❡s ❛♥❞ t❤❡✐r ❈✉♥t③✲ P✐♠s♥❡r ❆❧❣❡❜r❛s ❚❤❡ ❙tr✉❝t✉r❡ ♦❢ ● ❛♥❞ ❈ ∗(●) ❚❤❡ ✉♥✐✈❡rs❛❧ ✐s♦♠❡tr② ✐♥ ❈ ∗(●)

▼✐♥✐♠❛❧ ❯♥✐t❛r② ❊①t❡♥s✐♦♥s ♦❢ ❙ ✐♥ ❛ ▼♦r✐t❛ ❊q✉✐✈❛❧❡♥t ❈∗✲❛❧❣❡❜r❛

❆❞❞✐t✐♦♥❛❧ ❘❛t✐♦♥❛❧❡ ❘❡❝♦❧❧❡❝t✐♦♥s ❢r♦♠ ❑▼❘❲ ❬❑▼❘❲✾✽❪ ❙t❛❜✐❧✐③✐♥❣ ●

• ∞

❚❛❦❡ ❳∞ := {(①✵,①✶,···) | ①♥−✶ = σ(①♥)} ❛♥❞ π✵(①✵,①✶,···) = ①✵✳ ❚❛❦❡ {µ✈}✈∈❳ ✲ ❛ π✵✲s②st❡♠ ♦♥ ❳∞✳ ✭❘❡❝❛❧❧✿ ❳ = ● (✵).)

• ❡t ❍❛❛r s②st❡♠ ♦♥ ●∞ := ❳∞ ∗● ∗❳∞✱ {(λ ∗ µ)①}①∈❳∞✳
• ❢ (③,γ,②)❞(λ ∗ µ)① =

∑

(①✵,♥−♠,②✵)

• ❳∞

❢ (①,♥ −♠,②)❞µ②✵(②).

❊♥❞♦♠♦r♣❤✐s♠s ❛♥❞ ❚r❛♥s❢❡r ❖♣❡r❛♦rs P✳❙✳ ▼✉❤❧② ❚❤❡ ❙❡tt✐♥❣

❈ ∗✲ ❝♦rr❡s♣♦♥❞❡♥❝❡s ❛♥❞ t❤❡✐r ❈✉♥t③✲ P✐♠s♥❡r ❆❧❣❡❜r❛s ❚❤❡ ❙tr✉❝t✉r❡ ♦❢ ● ❛♥❞ ❈ ∗(●) ❚❤❡ ✉♥✐✈❡rs❛❧ ✐s♦♠❡tr② ✐♥ ❈ ∗(●)

▼✐♥✐♠❛❧ ❯♥✐t❛r② ❊①t❡♥s✐♦♥s ♦❢ ❙ ✐♥ ❛ ▼♦r✐t❛ ❊q✉✐✈❛❧❡♥t ❈∗✲❛❧❣❡❜r❛

❆❞❞✐t✐♦♥❛❧ ❘❛t✐♦♥❛❧❡ ❘❡❝♦❧❧❡❝t✐♦♥s ❢r♦♠ ❑▼❘❲ ❬❑▼❘❲✾✽❪ ❙t❛❜✐❧✐③✐♥❣ ●

❚❛♥❣❡♥t✐❛❧ ◗✉❡st✐♦♥s

❲❤✐❝❤ ❍❛❛r s②st❡♠s ♦♥ ●∞ ❝♦♠❡ t❤✐s ✇❛②❄ ❲❤✐❝❤ ❍❛❛r s②st❡♠s ♦❢ t❤✐s ❢♦r♠ ♦♥ ●∞ ❛r❡ σ∞ ✐♥✈❛r✐❛♥t❄ ❚❤❛t ✐s✱ ✇❤❡♥ ❞♦❡s µ✈ ◦σ∞ = µσ(✈)?

❊♥❞♦♠♦r♣❤✐s♠s ❛♥❞ ❚r❛♥s❢❡r ❖♣❡r❛♦rs P✳❙✳ ▼✉❤❧② ❚❤❡ ❙❡tt✐♥❣

❈ ∗✲ ❝♦rr❡s♣♦♥❞❡♥❝❡s ❛♥❞ t❤❡✐r ❈✉♥t③✲ P✐♠s♥❡r ❆❧❣❡❜r❛s ❚❤❡ ❙tr✉❝t✉r❡ ♦❢ ● ❛♥❞ ❈ ∗(●) ❚❤❡ ✉♥✐✈❡rs❛❧ ✐s♦♠❡tr② ✐♥ ❈ ∗(●)

▼✐♥✐♠❛❧ ❯♥✐t❛r② ❊①t❡♥s✐♦♥s ♦❢ ❙ ✐♥ ❛ ▼♦r✐t❛ ❊q✉✐✈❛❧❡♥t ❈∗✲❛❧❣❡❜r❛

❆❞❞✐t✐♦♥❛❧ ❘❛t✐♦♥❛❧❡ ❘❡❝♦❧❧❡❝t✐♦♥s ❢r♦♠ ❑▼❘❲ ❬❑▼❘❲✾✽❪ ❙t❛❜✐❧✐③✐♥❣ ●

▼❛r❦♦✈ Pr♦❝❡ss❡s

■❢ P ✐s ❛ ▼❛r❦♦✈ ♦♣❡r❛t♦r ♦♥ ❈(❳) ❛♥❞ ✐❢ ν✵ ✐s ❛ ✏st❛rt✐♥❣ ♠❡❛s✉r❡✑ ♦♥ ❳✱ ❣❡t ❛ ♠❡❛s✉r❡ νP

✵ ♦♥ ❳ N ✈✐❛

• ❳∞ ❢✵(①✵)❢✶(①✶)···❢♥(①♥)❞νP

✵ :=

• ❳ ❢✵(①✵)P(❢✶ ···❢♥−✶(P❢♥)···)(①✵)❞ν✵.

❚❤❡♦r❡♠ ■❢ µ✈ := δ τ❉

✈ ✱ t❤❡♥ {µ✈}✈∈● (✵) ✐s ❛ π✵✲s②st❡♠ s✉♣♣♦rt❡❞ ♦♥ ❳∞

❛♥❞ {(λ ∗ µ)①}①∈❳∞ ✐s ❛ σ∞✲✐♥✈❛r✐❛♥t ❍❛❛r s②st❡♠✳

❊♥❞♦♠♦r♣❤✐s♠s ❛♥❞ ❚r❛♥s❢❡r ❖♣❡r❛♦rs P✳❙✳ ▼✉❤❧② ❚❤❡ ❙❡tt✐♥❣

❈ ∗✲ ❝♦rr❡s♣♦♥❞❡♥❝❡s ❛♥❞ t❤❡✐r ❈✉♥t③✲ P✐♠s♥❡r ❆❧❣❡❜r❛s ❚❤❡ ❙tr✉❝t✉r❡ ♦❢ ● ❛♥❞ ❈ ∗(●) ❚❤❡ ✉♥✐✈❡rs❛❧ ✐s♦♠❡tr② ✐♥ ❈ ∗(●)

▼✐♥✐♠❛❧ ❯♥✐t❛r② ❊①t❡♥s✐♦♥s ♦❢ ❙ ✐♥ ❛ ▼♦r✐t❛ ❊q✉✐✈❛❧❡♥t ❈∗✲❛❧❣❡❜r❛

❆❞❞✐t✐♦♥❛❧ ❘❛t✐♦♥❛❧❡ ❘❡❝♦❧❧❡❝t✐♦♥s ❢r♦♠ ❑▼❘❲ ❬❑▼❘❲✾✽❪ ❙t❛❜✐❧✐③✐♥❣ ●

❚❤❡ ▼✐♥✐♠❛❧ ❯♥✐t❛r② ❊①t❡♥s✐♦♥

❘❡❝❛❧❧ t❤❛t t❤❡ ✐s♦♠❡tr② ❙ ✐♥ ❈ ∗(●) ✐s ❙(①,♠ −♥,②) =   

✶

√

|σ−✶(σ(①))|,

✐❢ ♠ = ✶,♥ = ✵,σ① = ②, ✵ ♦t❤❡r✇✐s❡✳ ❚❤❡♦r❡♠ ▲❡t ❯ ❜❡ t❤❡ ❝❤❛r❛❝t❡r✐st✐❝ ❢✉♥❝t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ s❡t {(①,①✵,✶,✵,②✵,②) ∈ ●∞ | ② = σ∞(①)}. ❚❤❡♥ ❯ ✐s ❛ ✉♥✐t❛r② ❡❧❡♠❡♥t ✐♥ t❤❡ ♠✉❧t✐♣❧✐❡r ❛❧❣❡❜r❛ ▼(❈ ∗(●∞)) ♦❢ ❈ ∗(●∞)✳ ❯ ✐s t❤❡ ♠✐♥✐♠❛❧ ✉♥✐t❛r② ❡①t❡♥s✐♦♥ ♦❢ ❙✳ ❲❤❛t ❞♦❡s t❤✐s ♠❡❛♥❄

❊♥❞♦♠♦r♣❤✐s♠s ❛♥❞ ❚r❛♥s❢❡r ❖♣❡r❛♦rs P✳❙✳ ▼✉❤❧② ❚❤❡ ❙❡tt✐♥❣

❈ ∗✲ ❝♦rr❡s♣♦♥❞❡♥❝❡s ❛♥❞ t❤❡✐r ❈✉♥t③✲ P✐♠s♥❡r ❆❧❣❡❜r❛s ❚❤❡ ❙tr✉❝t✉r❡ ♦❢ ● ❛♥❞ ❈ ∗(●) ❚❤❡ ✉♥✐✈❡rs❛❧ ✐s♦♠❡tr② ✐♥ ❈ ∗(●)

▼✐♥✐♠❛❧ ❯♥✐t❛r② ❊①t❡♥s✐♦♥s ♦❢ ❙ ✐♥ ❛ ▼♦r✐t❛ ❊q✉✐✈❛❧❡♥t ❈∗✲❛❧❣❡❜r❛

❆❞❞✐t✐♦♥❛❧ ❘❛t✐♦♥❛❧❡ ❘❡❝♦❧❧❡❝t✐♦♥s ❢r♦♠ ❑▼❘❲ ❬❑▼❘❲✾✽❪ ❙t❛❜✐❧✐③✐♥❣ ●

❆ ❍✐❧❜❡rt ❈ ∗(●)✲♠♦❞✉❧❡

❳∞ ∗● ✐s ❛ ●∞✲● ❡q✉✐✈❛❧❡♥❝❡✳ ❈♦♥s❡q✉❡♥t❧②✱ ❈❝(❳∞ ∗●) ♠❛② ❜❡ ❝♦♠♣❧❡t❡❞ t♦ ❛ ❈ ∗(●∞) ✲ ❈ ∗(●) str♦♥❣ ▼♦r✐t❛ ❡q✉✐✈❛❧❡♥❝❡ ❜✐♠♦❞✉❧❡ X ✳ ❬▼❘❲✽✼❪ ❍❡♥❝❡✱ ❯ ❧✐✈❡s ✐♥ L (X ) = ▼(❈ ∗(●∞))✳ ❲❡ ✇❛♥t t♦ r❡❛❧✐③❡ X❈ ∗(●) ❛s ❛♥ ✏✐♥❞✉❝t✐✈❡ ❧✐♠✐t✑ ✐♥ s✉❝❤ ❛ ✇❛② t❤❛t ❙ ✐s ♣r♦♠♦t❡❞ t♦ ❯✳

❊♥❞♦♠♦r♣❤✐s♠s ❛♥❞ ❚r❛♥s❢❡r ❖♣❡r❛♦rs P✳❙✳ ▼✉❤❧② ❚❤❡ ❙❡tt✐♥❣

❈ ∗✲ ❝♦rr❡s♣♦♥❞❡♥❝❡s ❛♥❞ t❤❡✐r ❈✉♥t③✲ P✐♠s♥❡r ❆❧❣❡❜r❛s ❚❤❡ ❙tr✉❝t✉r❡ ♦❢ ● ❛♥❞ ❈ ∗(●) ❚❤❡ ✉♥✐✈❡rs❛❧ ✐s♦♠❡tr② ✐♥ ❈ ∗(●)

▼✐♥✐♠❛❧ ❯♥✐t❛r② ❊①t❡♥s✐♦♥s ♦❢ ❙ ✐♥ ❛ ▼♦r✐t❛ ❊q✉✐✈❛❧❡♥t ❈∗✲❛❧❣❡❜r❛

❆❞❞✐t✐♦♥❛❧ ❘❛t✐♦♥❛❧❡ ❘❡❝♦❧❧❡❝t✐♦♥s ❢r♦♠ ❑▼❘❲ ❬❑▼❘❲✾✽❪ ❙t❛❜✐❧✐③✐♥❣ ●

❚❤❡ ■♥❞✉❝t✐✈❡ ❙②st❡♠

❙❡t ❩♥ := {(①,γ) ∈ ❳ ×● | σ♥(①) = r(γ)} ❛♥❞

• ♥ := ❩♥ ∗● ❩ op

♥ ✳

❉❡✜♥❡ κ✉

♥ ✈✐❛

• ❩♥

❢ (①,γ)❞κ✉

♥ :=

• τ♥

❉(❢ (·,γ))(r(γ))❞λ✉(γ),

σ♥(①) = r(γ)✱ ❛♥❞ ❧❡t λ ③

♥ := δ③ ×κs(③) ♥

✱ ❣✐✈✐♥❣ t❤❡ ❍❛❛r s②st❡♠ ♦♥ ●♥✳ ❋♦r ϕ,ψ ∈ ❈❝(❩♥)✱ ❞❡✜♥❡ ϕ,ψ❈ ∗(●)(η) =

• ♥

ϕ(γ−✶ ①)ψ(γ−✶ ①η)❞λ r(

①) ♥

(γ), s( ①) = r(η), ① ∈ ❩♥✱ ① = (①,α)✱ s(α) = r(η)✱ σ♥(①) = r(α)✱ r(①,α) = (①,r(α))✳

❊♥❞♦♠♦r♣❤✐s♠s ❛♥❞ ❚r❛♥s❢❡r ❖♣❡r❛♦rs P✳❙✳ ▼✉❤❧② ❚❤❡ ❙❡tt✐♥❣

❈ ∗✲ ❝♦rr❡s♣♦♥❞❡♥❝❡s ❛♥❞ t❤❡✐r ❈✉♥t③✲ P✐♠s♥❡r ❆❧❣❡❜r❛s ❚❤❡ ❙tr✉❝t✉r❡ ♦❢ ● ❛♥❞ ❈ ∗(●) ❚❤❡ ✉♥✐✈❡rs❛❧ ✐s♦♠❡tr② ✐♥ ❈ ∗(●)

▼✐♥✐♠❛❧ ❯♥✐t❛r② ❊①t❡♥s✐♦♥s ♦❢ ❙ ✐♥ ❛ ▼♦r✐t❛ ❊q✉✐✈❛❧❡♥t ❈∗✲❛❧❣❡❜r❛

❆❞❞✐t✐♦♥❛❧ ❘❛t✐♦♥❛❧❡ ❘❡❝♦❧❧❡❝t✐♦♥s ❢r♦♠ ❑▼❘❲ ❬❑▼❘❲✾✽❪ ❙t❛❜✐❧✐③✐♥❣ ●

❚❤❡ ■♥❞✉❝t✐✈❡ ❙②st❡♠

X♥ ✲ t❤❡ ❝♦♠♣❧❡t✐♦♥ ♦❢ ❈❝(❩♥) ✐♥ t❤❡ ✐♥❞✐❝❛t❡❞ ❈ ∗(●) ✲ ✈❛❧✉❡❞ ✐♥♥❡r ♣r♦❞✉❝t✳ ❱♥+✶,♥ : X♥ → X♥+✶ ✐s ❣✐✈❡♥ ❜②✿ ❱♥+✶,♥(ϕ)(①,(①✵,♠−❦,②✵)) := ϕ(σ(①),(①✵,♠−❦,②✵)), σ♥+✶(①) = ①✵✳ ❱∞,♥ : X♥ → X ✐s ❣✐✈❡♥ ❜② ❱∞,♥(ϕ)(①,(①✵,♠ −❦,②✵)) = ϕ(①♥,(①✵,♠ −❦,②✵)).

❊♥❞♦♠♦r♣❤✐s♠s ❛♥❞ ❚r❛♥s❢❡r ❖♣❡r❛♦rs P✳❙✳ ▼✉❤❧② ❚❤❡ ❙❡tt✐♥❣

❈ ∗✲ ❝♦rr❡s♣♦♥❞❡♥❝❡s ❛♥❞ t❤❡✐r ❈✉♥t③✲ P✐♠s♥❡r ❆❧❣❡❜r❛s ❚❤❡ ❙tr✉❝t✉r❡ ♦❢ ● ❛♥❞ ❈ ∗(●) ❚❤❡ ✉♥✐✈❡rs❛❧ ✐s♦♠❡tr② ✐♥ ❈ ∗(●)

▼✐♥✐♠❛❧ ❯♥✐t❛r② ❊①t❡♥s✐♦♥s ♦❢ ❙ ✐♥ ❛ ▼♦r✐t❛ ❊q✉✐✈❛❧❡♥t ❈∗✲❛❧❣❡❜r❛

❆❞❞✐t✐♦♥❛❧ ❘❛t✐♦♥❛❧❡ ❘❡❝♦❧❧❡❝t✐♦♥s ❢r♦♠ ❑▼❘❲ ❬❑▼❘❲✾✽❪ ❙t❛❜✐❧✐③✐♥❣ ●

❚❤❡ ▲✐♠✐t

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