ttt rs t s - - PowerPoint PPT Presentation

SLIDE 1

✶

❚❤❡ t✇❡♥t✐❡t❤ ✇♦r❦s❤♦♣ ❲❤❛t ❈♦♠❡s ❇❡②♦♥❞ t❤❡ ❙t❛♥❞❛r❞ ▼♦❞❡❧s❄

❏✉❧② ✾✕✶✼✱ ✷✵✶✼✱ ❇❧❡❞✱ ❙❧♦✈❡♥✐❛

❑✳❱✳❙t❡♣❛♥②❛♥t③

▼♦s❝♦✇ ❙t❛t❡ ❯♥✐✈❡rs✐t②✱ P❤②s✐❝❛❧ ❋❛❝✉❧t②✱ ❉❡♣❛rt♠❡♥t ♦❢ ❚❤❡♦r❡t✐❝❛❧ P❤②s✐❝s

❙tr✉❝t✉r❡ ♦❢ q✉❛♥t✉♠ ❝♦rr❡❝t✐♦♥s ✐♥ N = 1 s✉♣❡rs②♠♠❡tr✐❝ ❣❛✉❣❡ t❤❡♦r✐❡s

❑✳❱✳❙t❡♣❛♥②❛♥t③ ❙tr✉❝t✉r❡ ♦❢ q✉❛♥t✉♠ ❝♦rr❡❝t✐♦♥s ✐♥ N = 1

SLIDE 2

✷

❙t❛♥❞❛r❞ ▼♦❞❡❧

❚❤❡ ❙t❛♥❞❛r❞ ▼♦❞❡❧ ✭❙▼✮ ✐s ❛ ❣❛✉❣❡ t❤❡♦r② ✇✐t❤ t❤❡ ❣r♦✉♣ SU(3) × SU(2) × U(1) ❛♥❞ ❝❤✐r❛❧ ❢❡r♠✐♦♥s✱ ✇❤✐❝❤ ✈❡r② s✉❝❝❡ss❢✉❧❧② ❞❡s❝r✐❜❡s t❤❡ str♦♥❣ ❛♥❞ ❡❧❡❝tr♦✇❡❛❦ ✐♥t❡r❛❝t✐♦♥s✳ ❚❤❡ ❣❛✉❣❡ s②♠♠❡tr② ✐s s♣♦♥t❛♥❡♦✉s❧② ❜r♦❦❡♥ ❜② t❤❡ ❤❡❧♣ ♦❢ t❤❡ ❍✐❣❣s ♠❡❝❤❛♥✐s♠✱ SU(3) × SU(2) × U(1) → SU(3) × U(1)em, ♣r♦❞✉❝✐♥❣ t❤❡ ♠❛ss✐✈❡ Z✲ ❛♥❞ W ±✲❜♦s♦♥s t♦❣❡t❤❡r ✇✐t❤ t❤❡ ❍✐❣❣s ❜♦s♦♥✳ ❚❤❡✐r ❡①♣❡r✐♠❡♥t❛❧ ❞✐s❝♦✈❡r✐❡s ❤❛✈❡ ❜❡❡♥ ❡①❝❡❧❧❡♥t ❝♦♥✜r♠❛t✐♦♥s ♦❢ t❤❡ ❙t❛♥❞❛r❞ ▼♦❞❡❧✳ ❋r♦♠ t❤❡ t❤❡♦r❡t✐❝❛❧ ♣♦✐♥t ♦❢ ✈✐❡✇✱ ✐t ✐s ❛ r❡♥♦r♠❛❧✐③❛❜❧❡ ♠♦❞❡❧✱ ✐♥ ✇❤✐❝❤ ❛♥♦♠❛❧✐❡s ✐♥tr♦❞✉❝❡❞ ❜② ❝❤✐r❛❧ ❢❡r♠✐♦♥s ❝❛♥❝❡❧✳ ❍♦✇❡✈❡r✱ ✐t ✐s ✇✐❞❡❧② ❜❡❧✐❡✈❡❞ t❤❛t t❤❡ ❙▼ ✐s ♥♦t ❛♥ ✉❧t✐♠❛t❡ t❤❡♦r②✳ ◗✉❛♥t✉♠ ♥✉♠❜❡rs ♦❢ q✉❛r❦s ❛♥❞ ❧❡♣t♦♥s ✐♠♣❧② t❤❛t t❤❡ ❣❛✉❣❡ ❣r♦✉♣ SU(3) × SU(2) × U(1) ❝❛♥ ❜❡ ❛ r❡♠♥❛♥t ♦❢ ❛ ✇✐❞❡r ❣❛✉❣❡ ❣r♦✉♣✱ ❡✳❣✳✱ SU(3) × SU(2) × U(1) ⊂ SU(5). ❚❤❡ SO(10) ❣r♦✉♣ ❛❧❧♦✇s t♦ ♣❧❛❝❡ ❛❧❧ ❢❡r♠✐♦♥s ♦❢ ♦♥❡ ❣❡♥❡r❛t✐♦♥ ✭✐♥❝❧✉❞✐♥❣ t❤❡ r✐❣❤t ♥❡✉tr✐♥♦s✮ t♦ t❤❡ ✐rr❡❞✉❝✐❜❧❡ r❡♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥ 16✳

❑✳❱✳❙t❡♣❛♥②❛♥t③ ❙tr✉❝t✉r❡ ♦❢ q✉❛♥t✉♠ ❝♦rr❡❝t✐♦♥s ✐♥ N = 1

SLIDE 3

✸

■♥❝♦♠♣❧❡t❡♥❡ss ♦❢ t❤❡ ❙t❛♥❞❛r❞ ▼♦❞❡❧

❍♦✇❡✈❡r✱ t❤❡ ❡✈♦❧✉t✐♦♥ ♦❢ r✉♥♥✐♥❣ ❝♦✉♣❧✐♥❣ ❝♦♥st❛♥ts ✐♥ ❙▼ ✐s ♥♦t ❝♦♠♣❛t✐❜❧❡ ✇✐t❤ t❤❡ ♣r❡❞✐❝t✐♦♥ ♦❢ ●r❛♥❞ ❯♥✐✜❝❛t✐♦♥ ❚❤❡♦r✐❡s✳ ▼♦r❡♦✈❡r✱ t❤❡ ✉♥✐✜❝❛t✐♦♥ ♠❛ss MX ∼ 1015GeV ❧❡❛❞s t♦ ✉♥❛❝❝❡♣t❛❜❧② r❛♣✐❞ ♣r♦t♦♥ ❞❡❝❛②✳ ❋r♦♠ t❤❡ t❤❡♦r❡t✐❝❛❧ ♣♦✐♥t ♦❢ ✈✐❡✇✱ q✉❛❞r❛t✐❝❛❧❧② ❞✐✈❡r❣❡♥t q✉❛♥t✉♠ ❝♦rr❡❝t✐♦♥s t♦ t❤❡ ♠❛ss ♦❢ t❤❡ ❍✐❣❣s ❜♦s♦♥ ♣r♦❞✉❝❡ t❤❡ ♣r♦❜❧❡♠ ♦❢ ❍✐❣❣s ♠❛ss ✜♥❡ t✉♥✐♥❣✳

α−1

i

ln µ/1GeV

10 20 30 40 50 60 2 4 6 8 10 12 14 16 18

❑✳❱✳❙t❡♣❛♥②❛♥t③ ❙tr✉❝t✉r❡ ♦❢ q✉❛♥t✉♠ ❝♦rr❡❝t✐♦♥s ✐♥ N = 1

SLIDE 4

✹

❙✉♣❡rs②♠♠❡tr② ❛♥❞ t❤❡ ❙t❛♥❞❛r❞ ▼♦❞❡❧

❆ ✈❡r② ♣r♦♠✐s✐♥❣ ✇❛② t♦ s♦❧✈❡ t❤❡ ❛❜♦✈❡ ♣r♦❜❧❡♠s ✐s t♦ ❝♦♥s✐❞❡r N = 1 s✉♣❡rs②♠♠❡tr✐❝ ❡①t❡♥s✐♦♥s ♦❢ ❙▼✳ ■♥ t❤❡ s✉♣❡rs②♠♠❡tr✐❝ ✈❡rs✐♦♥ ♦❢ ❙▼ r✉♥♥✐♥❣ ♦❢ t❤❡ ❣❛✉❣❡ ❝♦✉♣❧✐♥❣ ❝♦♥st❛♥ts ❛❣r❡❡ ✇✐t❤ t❤❡ ♣r❡❞✐❝t✐♦♥s ♦❢ ●r❛♥❞ ❯♥✐✜❡❞ ❚❤❡♦r✐❡s ✭●❯❚✮✳ ■♥❝r❡❛s✐♥❣ ♦❢ t❤❡ ✉♥✐✜❝❛t✐♦♥ ♠❛ss ❡ss❡♥t✐❛❧❧② ✐♥❝r❡❛s❡s t❤❡ ♣r♦t♦♥ ❧✐❢❡ t✐♠❡✱ τ ∼ M 4

X✳ ❚❤❡r❡ ❛r❡ ♥♦ q✉❛❞r❛t✐❝❛❧❧② ❞✐✈❡r❣❡♥t q✉❛♥t✉♠ ❝♦rr❡❝t✐♦♥s t♦ t❤❡

❍✐❣❣s ♠❛ss✳

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10 20 30 40 50 60 2 4 6 8 10 12 14 16 18

❑✳❱✳❙t❡♣❛♥②❛♥t③ ❙tr✉❝t✉r❡ ♦❢ q✉❛♥t✉♠ ❝♦rr❡❝t✐♦♥s ✐♥ N = 1

SLIDE 5

✺

❙✉♣❡rs②♠♠❡tr② ❛♥❞ t❤❡ ❙t❛♥❞❛r❞ ▼♦❞❡❧

❙✉♣❡rs②♠♠❡tr✐❝ ♠♦❞❡❧s ♣r❡❞✐❝t ❛ ❧♦t ♦❢ ♥❡✇ ♣❛rt✐❝❧❡s✳ ❚❤❡r❡ ❛r❡ s✉♣❡r♣❛rt♥❡rs ♦❢ q✉❛r❦s✱ ❧❡♣t♦♥s✱ ❛♥❞ ❣❛✉❣❡ ❜♦s♦♥s✳ ❙✉♣❡rs②♠♠❡tr② ❛❧s♦ r❡q✉✐r❡s t✇♦ ❍✐❣❣s ❞♦✉❜❧❡ts✱ ✇❤✐❝❤ ♣r♦❞✉❝❡s 2 × 2 × 2 − 3 = 5 ❍✐❣❣s ❜♦s♦♥s✳ ❚♦ ♠❛❦❡ ♠❛ss❡s ♦❢ s✉♣❡r♣❛rt♥❡rs s✉✣❝✐❡♥t❧② ❧❛r❣❡✱ ✐t ✐s ♥❡❝❡ss❛r② t♦ ❜r❡❛❦ s✉♣❡rs②♠♠❡tr②✳ ❆❧t❤♦✉❣❤ ✐t ✐s ❤✐❣❤❧② ❞❡s✐r❛❜❧❡ t♦ ❜r❡❛❦ s✉♣❡rs②♠♠❡tr② s♣♦♥t❛♥❡♦✉s❧②✱ t❤❡ s✐♠♣❧❡st ♠♦❞❡❧s ✭❧✐❦❡ ▼❙❙▼✮ ✐♥❝❧✉❞❡ s♦❢t t❡r♠s✱ ✇❤✐❝❤ ❡①♣❧✐❝✐t❧② ❜r❡❛❦ s✉♣❡rs②♠♠❡tr②✱ ❜✉t ❞♦ ♥♦t ♣r♦❞✉❝❡ q✉❛❞r❛t✐❝ ❞✐✈❡r❣❡♥❝❡s✳ ❚❤❡r❡ ❛r❡ ✹ t②♣❡s ♦❢ t❤❡ s♦❢t t❡r♠s✱ ✐♥❝❧✉❞✐♥❣✱ ❡✳❣✳✱ ❣❛✉❣✐♥♦ ♠❛ss❡s✳ ■♥ ●❯❚ t❤❡♦r✐❡s r✉♥♥✐♥❣ ❣❛✉❣✐♥♦ ♠❛ss❡s ❝❛♥ ❜❡ ✉♥✐✜❡❞✳ ■♥✈❡st✐❣❛t✐♦♥ ♦❢ q✉❛♥t✉♠ ❝♦rr❡❝t✐♦♥s ✐♥ ❙❯❙❨ t❤❡♦r✐❡s ❛♥❞ t❤❡♦r✐❡s ✇✐t❤ s♦❢t❧② ❜r♦❦❡♥ ❙❯❙❨ ❛♥❞ ❝♦♠♣❛r✐♥❣ t❤❡♠ ✇✐t❤ ❡①♣❡r✐♠❡♥t❛❧ ❞❛t❛ ❝❛♥ ❣✐✈❡ ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥ ❛❜♦✉t ♣❤②s✐❝s ❜❡②♦♥❞ ❙▼✳

❑✳❱✳❙t❡♣❛♥②❛♥t③ ❙tr✉❝t✉r❡ ♦❢ q✉❛♥t✉♠ ❝♦rr❡❝t✐♦♥s ✐♥ N = 1

SLIDE 6

✻

N = 1 s✉♣❡rs②♠♠❡tr✐❝ ❣❛✉❣❡ t❤❡♦r✐❡s

■t ✐s ❝♦♥✈❡♥✐❡♥t t♦ ❞❡s❝r✐❜❡ N = 1 ❙❯❙❨ t❤❡♦r✐❡s ✉s✐♥❣ N = 1 s✉♣❡r✜❡❧❞s✱ ❜❡❝❛✉s❡ ✐♥ t❤✐s ❝❛s❡ s✉♣❡rs②♠♠❡tr② ✐s ♠❛♥✐❢❡st✳ ■♥ t❤✐s ❧❛♥❣✉❛❣❡✱ t❤❡ N = 1 ❙❨▼ t❤❡♦r② ✐s ❣✐✈❡♥ ❜② t❤❡ ❛❝t✐♦♥ S = 1 2e2 ❘❡ tr

• d4x d2θ W aWa + 1

4

• d4x d4θ φ∗i(e2V )i

jφj

+ d4x d2θ 1 4mij

0 φiφj + 1

6λijk

0 φiφjφk

• + ❝✳❝✳
• ,

✇❤❡r❡ θ ❞❡♥♦t❡s ❛♥ ❛✉①✐❧✐❛r② ●r❛ss♠❛♥♥✐❛♥ ❝♦♦r❞✐♥❛t❡s✳ V (x, θ, ¯ θ) ✐s t❤❡ ❣❛✉❣❡ s✉♣❡r✜❡❧❞ ❛♥❞ t❤❡ s✉♣❡rs②♠♠❡tr✐❝ ❣❛✉❣❡ ✜❡❧❞ str❡♥❣t❤ ✐s ❞❡✜♥❡❞ ❛s Wa = 1 8 ¯ D2 e−2V Dae2V . φi(yµ, θ) ❛r❡ ❝❤✐r❛❧ ♠❛tt❡r s✉♣❡r✜❡❧❞s✱ ¯ D˙

aφi = 0✱ ✇❤❡r❡ yµ ≡ xµ +

i¯ θ ˙

a(γµ)˙ abθb ✐s t❤❡ ❝❤✐r❛❧ ❝♦♦r❞✐♥❛t❡ ❛♥❞ Da ❛♥❞ ¯

D˙

a ❛r❡ t❤❡ r✐❣❤t ❛♥❞

❧❡❢t s✉♣❡rs②♠♠❡tr✐❝ ❝♦✈❛r✐❛♥t ❞❡r✐✈❛t✐✈❡s✱ r❡s♣❡❝t✐✈❡❧②✳

❑✳❱✳❙t❡♣❛♥②❛♥t③ ❙tr✉❝t✉r❡ ♦❢ q✉❛♥t✉♠ ❝♦rr❡❝t✐♦♥s ✐♥ N = 1

SLIDE 7

✼

N = 1 s✉♣❡rs②♠♠❡tr✐❝ ❣❛✉❣❡ t❤❡♦r✐❡s

❲❡ ❛ss✉♠❡ t❤❛t t❤❡ t❤❡♦r② ✐s ✐♥✈❛r✐❛♥t ✉♥❞❡r t❤❡ ❣❛✉❣❡ tr❛♥s❢♦r♠❛t✐♦♥s φ → eAφ; e2V → e−A+e2V e−A, ✇❤❡r❡ t❤❡ ♣❛r❛♠❡t❡r A = ie0ABT B ✐s ❛♥ ❛r❜✐tr❛r② ❝❤✐r❛❧ s✉♣❡r✜❡❧❞✳ ❚❤✐s ❣✐✈❡s t❤❡ r❡str✐❝t✐♦♥s t♦ t❤❡ ♠❛ss❡s ❛♥❞ ❨✉❦❛✇❛ ❝♦✉♣❧✐♥❣s✱ mim

0 (T A)m j + mmj 0 (T A)m i = 0;

λijm (T A)m

k + λimk

(T A)m

j + λmjk

(T A)m

i = 0.

❋♦r r❡♥♦r♠❛❧✐③❛❜❧❡ t❤❡♦r✐❡s t❤❡ s✉♣❡r♣♦t❡♥t✐❛❧ ❝❛♥♥♦t ❜❡ ♠♦r❡ t❤❛♥ ❝✉❜✐❝ ✐♥ t❤❡ ❝❤✐r❛❧ ♠❛tt❡r s✉♣❡r✜❡❧❞s✳ ■t ✐s ✇❡❧❧✲❦♥♦✇♥ t❤❛t ✉❧tr❛✈✐♦❧❡t ❜❡❤❛✈✐♦✉r ♦❢ s✉♣❡rs②♠♠❡tr✐❝ t❤❡♦r✐❡s ✐s ❜❡tt❡r t❤❛♥ ✐♥ t❤❡ ♥♦♥✲s✉♣❡rs②♠♠❡tr✐❝ ❝❛s❡✳ ❋♦r ❡①❛♠♣❧❡✱ t❤❡r❡ ❛r❡ ♥♦ q✉❛❞r❛t✐❝ ❞✐✈❡r❣❡♥❝❡s ✐♥ N = 1 s✉♣❡rs②♠♠❡tr✐❝ ❨❛♥❣✕▼✐❧❧s t❤❡♦r✐❡s ✭❙❨▼✮ ✇✐t❤ ♠❛tt❡r✳ ❆s ✇❡ ❛❧r❡❛❞② ♠❡♥t✐♦♥❡❞✱ t❤✐s ✐s ✈❡r② ✐♠♣♦t❡♥t ❢♦r ♣❤❡♥♦♠❡♥♦❧♦❣②✳

❑✳❱✳❙t❡♣❛♥②❛♥t③ ❙tr✉❝t✉r❡ ♦❢ q✉❛♥t✉♠ ❝♦rr❡❝t✐♦♥s ✐♥ N = 1

SLIDE 8

✽

◆♦♥✲r❡♥♦r♠❛❧✐③❛t✐♦♥ t❤❡♦r❡♠s ✐♥ D = 4 s✉♣❡rs②♠♠❡tr✐❝ t❤❡♦r✐❡s

■t ✐s ✇❡❧❧ ❦♥♦✇♥ t❤❛t t❤❡ ❯❱ ❜❡❤❛✈✐♦r ♦❢ s✉♣❡rs②♠♠❡tr✐❝ t❤❡♦r✐❡s ✐s ❜❡tt❡r ❞✉❡ t♦ s♦♠❡ ♥♦♥✲r❡♥♦r♠❛❧✐③❛t✐♦♥ t❤❡♦r❡♠s✳ N = 4 s✉♣❡rs②♠♠❡tr✐❝ ❨❛♥❣✕▼✐❧❧s ✭❙❨▼✮ t❤❡♦r② ✐s ✜♥✐t❡ ✐♥ ❛❧❧ ♦r❞❡rs✳ ❉✐✈❡r❣❡♥❝✐❡s ✐♥ N = 2 ❙❨▼ t❤❡♦r✐❡s ❡①✐st ♦♥❧② ✐♥ t❤❡ ♦♥❡✲❧♦♦♣ ❛♣♣r♦①✐♠❛t✐♦♥✳ N = 2 ❤②♣❡r♠✉❧t✐♣❧❡ts ❛r❡ ♥♦t r❡♥♦r♠❛❧✐③❡❞✳ ❚❤❡ s✉♣❡r♣♦t❡♥t✐❛❧ ✐♥ N = 1 s✉♣❡rs②♠♠❡tr✐❝ t❤❡♦r✐❡s ❤❛s ♥♦ ❞✐✈❡r❣❡♥t q✉❛♥t✉♠ ❝♦rr❡❝t✐♦♥s✳ ❚❤❡ β✲❢✉♥❝t✐♦♥ ♦❢ N = 1 ❙❨▼ t❤❡♦r✐❡s ✐s r❡❧❛t❡❞ t♦ t❤❡ ❛♥♦♠❛❧♦✉s ❞✐♠❡♥s✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ♠❛tt❡r s✉♣❡r✜❡❧❞s ❜② t❤❡ s♦✲❝❛❧❧❡❞ ◆❙❱❩ β✲❢✉♥❝t✐♦♥✳ ❋♦r t❤❡ ♣✉r❡ N = 1 ❙❨▼ t❤❡♦r② ✐t ❣✐✈❡s t❤❡ ❡①❛❝t ❡①♣r❡ss✐♦♥ ❢♦r t❤❡ β✲❢✉♥❝t✐♦♥ ✐♥ t❤❡ ❢♦r♠ ♦❢ t❤❡ ❣❡♦♠❡tr✐❝ s❡r✐❡s✳ ■♥ t❤✐s t❛❧❦ ✐t ✇✐❧❧ ❜❡ ❛❧s♦ ❛r❣✉❡❞ t❤❛t ✐♥ N = 1 ❙❨▼ t❤❡♦r✐❡s t❤❡ t❤r❡❡✲ ♣♦✐♥t ❣❤♦st✲❣❛✉❣❡ ✈❡rt✐❝❡s ❛r❡ ✜♥✐t❡✳

❑✳❱✳❙t❡♣❛♥②❛♥t③ ❙tr✉❝t✉r❡ ♦❢ q✉❛♥t✉♠ ❝♦rr❡❝t✐♦♥s ✐♥ N = 1

SLIDE 9

✾

◆❙❱❩ β✲❢✉♥❝t✐♦♥ ✐♥ N = 1 s✉♣❡rs②♠♠❡tr✐❝ t❤❡♦r✐❡s

■♥ N = 1 s✉♣❡rs②♠♠❡tr✐❝ t❤❡♦r✐❡s t❤❡ β✲❢✉♥❝t✐♦♥ ✐s r❡❧❛t❡❞ t♦ t❤❡ ❛♥♦♠❛❧♦✉s ❞✐♠❡♥s✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ♠❛tt❡r s✉♣❡r✜❡❧❞s ❜② t❤❡ ❡q✉❛t✐♦♥ β(α, λ) = − α2 3C2 − T(R) + C(R)ijγji(α, λ)/r

• 2π(1 − C2α/2π)

, ✇❤❡r❡ tr (T AT B) ≡ T(R) δAB; (T A)i

k(T A)k j ≡ C(R)i j;

f ACDf BCD ≡ C2δAB; r ≡ δAA.

❱✳◆♦✈✐❦♦✈✱ ▼✳❆✳❙❤✐❢♠❛♥✱ ❆✳❱❛✐♥s❤t❡✐♥✱ ❱✳■✳❩❛❦❤❛r♦✈✱ ◆✉❝❧✳P❤②s✳ ❇ ✷✷✾ ✭✶✾✽✸✮ ✸✽✶❀ P❤②s✳▲❡tt✳ ❇ ✶✻✻ ✭✶✾✽✺✮ ✸✷✾❀ ▼✳❆✳❙❤✐❢♠❛♥✱ ❆✳■✳❱❛✐♥s❤t❡✐♥✱ ◆✉❝❧✳P❤②s✳ ❇ ✷✼✼ ✭✶✾✽✻✮ ✹✺✻❀ ❉✳❘✳❚✳❏♦♥❡s✱ P❤②s✳▲❡tt✳ ❇ ✶✷✸ ✭✶✾✽✸✮ ✹✺✳

❚❤❡ ◆❙❱❩ β✲❢✉♥❝t✐♦♥ ✇❛s ♦❜t❛✐♥❡❞ ❢r♦♠ ❞✐✛❡r❡♥t ❛r❣✉♠❡♥ts✿ ✐♥st❛♥t♦♥s✱ ❛♥♦♠❛❧✐❡s ❡t❝✳

❑✳❱✳❙t❡♣❛♥②❛♥t③ ❙tr✉❝t✉r❡ ♦❢ q✉❛♥t✉♠ ❝♦rr❡❝t✐♦♥s ✐♥ N = 1

SLIDE 10

✶✵

◆❙❱❩ β✲❢✉♥❝t✐♦♥ ❛♥❞ ❝❛❧❝✉❧❛t✐♦♥s ✐♥ t❤❡ ❧♦✇❡st ❧♦♦♣s

❚❤❡ ◆❙❱❩ β✲❢✉♥❝t✐♦♥ ❝❛♥ ❜❡ ❝♦♠♣❛r❡❞ ✇✐t❤ t❤❡ r❡s✉❧ts ♦❢ ❝❛❧❝✉❧❛t✐♦♥s ✐♥ t❤❡ ❧♦✇❡st ♦r❞❡rs ♦❢ t❤❡ ♣❡rt✉r❜❛t✐♦♥ t❤❡♦r②✳ ❚♦ ♠❛❦❡ s✉❝❤ ❝❛❧❝✉❧❛t✐♦♥s✱ ❛ t❤❡♦r② s❤♦✉❧❞ ❜❡ r❡❣✉❧❛r✐③❡❞✳ ❚❤❡ ❞✐♠❡♥s✐♦♥❛❧ r❡❣✉❧❛r✐③❛t✐♦♥ ❜r❡❛❦s t❤❡ s✉♣❡rs②♠♠❡tr② ❛♥❞ ✐s ♥♦t ❝♦♥✈❡♥✐❡♥t ❢♦r ❝❛❧❝✉❧❛t✐♦♥s ✐♥ s✉♣❡rs②♠♠❡tr✐❝ t❤❡♦r✐❡s✳ ❚❤❛t ✐s ✇❤② s✉♣❡rs②♠♠❡tr✐❝ t❤❡♦r✐❡s ❛r❡ ♠♦st❧② r❡❣✉❧❛r✐③❡❞ ❜② t❤❡ ❞✐♠❡♥s✐♦♥❛❧ r❡❞✉❝t✐♦♥✳ ❍♦✇❡✈❡r✱ t❤❡ ❞✐♠❡♥s✐♦♥❛❧ r❡❞✉❝t✐♦♥ ✐s ♥♦t s❡❧❢✲❝♦♥s✐st❡♥t✳

❲✳❙✐❡❣❡❧✱ P❤②s✳▲❡tt✳ ❇ ✽✹ ✭✶✾✼✾✮ ✶✾✸❀ ❇ ✾✹ ✭✶✾✽✵✮ ✸✼✳

❘❡♠♦✈✐♥❣ ♦❢ t❤❡ ✐♥❝♦♥s✐st❡♥❝✐❡s ❧❡❛❞s t♦ t❤❡ ❧♦ss ♦❢ ❡①♣❧✐❝✐t s✉♣❡rs②♠♠❡tr②✿

▲✳❱✳❆✈❞❡❡✈✱ ●✳❆✳❈❤♦❝❤✐❛✱ ❆✳❆✳❱❧❛❞✐♠✐r♦✈✱ P❤②s✳▲❡tt✳ ❇ ✶✵✺ ✭✶✾✽✶✮ ✷✼✷✳

❆s ❛ ❝♦♥s❡q✉❡♥❝❡✱ s✉♣❡rs②♠♠❡tr② ❝❛♥ ❜❡ ❜r♦❦❡♥ ❜② q✉❛♥t✉♠ ❝♦rr❡❝t✐♦♥s ✐♥ ❤✐❣❤❡r ❧♦♦♣s✳

▲✳❱✳❆✈❞❡❡✈✱ P❤②s✳▲❡tt✳ ❇ ✶✶✼ ✭✶✾✽✷✮ ✸✶✼❀ ▲✳❱✳❆✈❞❡❡✈✱ ❆✳❆✳❱❧❛❞✐♠✐r♦✈✱ ◆✉❝❧✳P❤②s✳ ❇ ✷✶✾ ✭✶✾✽✸✮ ✷✻✷✳

❑✳❱✳❙t❡♣❛♥②❛♥t③ ❙tr✉❝t✉r❡ ♦❢ q✉❛♥t✉♠ ❝♦rr❡❝t✐♦♥s ✐♥ N = 1

SLIDE 11

✶✶

◆❙❱❩ β✲❢✉♥❝t✐♦♥ ❛♥❞ ❝❛❧❝✉❧❛t✐♦♥s ✐♥ t❤❡ ❧♦✇❡st ❧♦♦♣s

❯s✐♥❣ t❤❡ ❞✐♠❡♥s✐♦♥❛❧ r❡❞✉❝t✐♦♥ ❛♥❞ ❉❘✲s❝❤❡♠❡ ❛ β✲❢✉♥❝t✐♦♥ ♦❢ N = 1 s✉♣❡rs②♠♠❡tr✐❝ t❤❡♦r✐❡s ✇❛s ❝❛❧❝✉❧❛t❡❞ ✉♣ t♦ t❤❡ ❢♦✉r✲❧♦♦♣ ❛♣♣r♦①✐♠❛t✐♦♥✿

▲✳❱✳❆✈❞❡❡✈✱ ❖✳❱✳❚❛r❛s♦✈✱ P❤②s✳▲❡tt✳ ❇ ✶✶✷ ✭✶✾✽✷✮ ✸✺✻❀ ■✳❏❛❝❦✱ ❉✳❘✳❚✳❏♦♥❡s✱ ❈✳●✳◆♦rt❤✱ P❤②s✳▲❡tt✳ ❇ ✸✽✻ ✭✶✾✾✻✮ ✶✸✽❀ ◆✉❝❧✳P❤②s✳ ❇ ✹✽✻ ✭✶✾✾✼✮ ✹✼✾❀ ❘✳❱✳❍❛r❧❛♥❞❡r✱ ❉✳❘✳❚✳❏♦♥❡s✱ P✳❑❛♥t✱ ▲✳▼✐❤❛✐❧❛✱ ▼✳❙t❡✐♥❤❛✉s❡r✱ ❏❍❊P ✵✻✶✷ ✭✷✵✵✻✮ ✵✷✹✳

❚❤❡ r❡s✉❧t ❝♦✐♥❝✐❞❡s ✇✐t❤ t❤❡ ◆❙❱❩ β✲❢✉♥❝t✐♦♥ ♦♥❧② ✐♥ ♦♥❡✲ ❛♥❞ t✇♦✲❧♦♦♣ ❛♣♣r♦①✐♠❛t✐♦♥s✳ ■♥ t❤❡ ❤✐❣❤❡r ❧♦♦♣s ✐t ✐s ♥❡❝❡ss❛r② t♦ ♠❛❦❡ ❛ s♣❡❝✐❛❧ t✉♥✐♥❣ ♦❢ t❤❡ ❝♦✉♣❧✐♥❣ ❝♦♥st❛♥t✳ ❚❤✉s✱ ✉s✐♥❣ ♦❢ ♦t❤❡r r❡❣✉❧❛r✐③❛t✐♦♥s ✐s ❛❧s♦ ✐♥t❡r❡st✐♥❣✿

▼✳❆✳❙❤✐❢♠❛♥✱ ❆✳■✳❱❛✐♥s❤t❡✐♥✱ ❙♦✈✳❏✳◆✉❝❧✳P❤②s✳ ✹✹ ✭✶✾✽✻✮ ✸✷✶❀ ❏✳▼❛s✱ ▼✳P❡r❡③✲❱✐❝t♦r✐❛✱ ❈✳❙❡✐❥❛s✱ ❏❍❊P✱ ✵✷✵✸ ✭✷✵✵✷✮ ✵✹✾✳

❯s✉❛❧❧② ✐♥ s✉♣❡rs②♠♠❡tr✐❝ t❤❡♦r✐❡s ♦t❤❡r r❡❣✉❧❛r✐③❛t✐♦♥s ❛r❡ ✉s❡❞ ❢♦r ❝❛❧❝✉❧❛t✐♥❣ ❛ β✲❢✉♥❝t✐♦♥ ♦♥❧② ✐♥ ♦♥❡✲ ❛♥❞ t✇♦✲❧♦♦♣ ❛♣♣r♦①✐♠❛t✐♦♥s✳

❑✳❱✳❙t❡♣❛♥②❛♥t③ ❙tr✉❝t✉r❡ ♦❢ q✉❛♥t✉♠ ❝♦rr❡❝t✐♦♥s ✐♥ N = 1

SLIDE 12

✶✷

❍✐❣❤❡r ❝♦✈❛r✐❛♥t ❞❡r✐✈❛t✐✈❡ r❡❣✉❧❛r✐③❛t✐♦♥

❚❤❡ ❤✐❣❤❡r ❝♦✈❛r✐❛♥t ❞❡r✐✈❛t✐✈❡ r❡❣✉❧❛r✐③❛t✐♦♥ ✐s ❛ ❝♦♥s✐st❡♥t r❡❣✉❧❛r✐③❛t✐♦♥✱ ✇❤✐❝❤ ❞♦❡s ♥♦t ❜r❡❛❦ s✉♣❡rs②♠♠❡tr②✳

❆✳❆✳❙❧❛✈♥♦✈✱ ◆✉❝❧✳P❤②s✳✱ ❇ ✸✶ ✭✶✾✼✶✮ ✸✵✶❀ ❚❤❡♦r✳▼❛t❤✳P❤②s✳ ✶✸ ✭✶✾✼✷✮ ✶✵✻✹✳

■♥ ♦r❞❡r t♦ r❡❣✉❧❛r✐③❡ ❛ t❤❡♦r② ❜② ❤✐❣❤❡r ❞❡r✐✈❛t✐✈❡s ✐t ✐s ♥❡❝❡ss❛r② t♦ ❛❞❞ ❛ t❡r♠ ✇✐t❤ ❤✐❣❤❡r ❞❡❣r❡❡s ♦❢ ❝♦✈❛r✐❛♥t ❞❡r✐✈❛t✐✈❡s✳ ❚❤❡♥ ❞✐✈❡r❣❡♥❝❡s r❡♠❛✐♥ ♦♥❧② ✐♥ t❤❡ ♦♥❡✲❧♦♦♣ ❛♣♣r♦①✐♠❛t✐♦♥✳ ❚❤❡s❡ r❡♠❛✐♥✐♥❣ ❞✐✈❡r❣❡♥❝❡s ❛r❡ r❡❣✉❧❛r✐③❡❞ ❜② ✐♥s❡rt✐♥❣ t❤❡ P❛✉❧✐✕❱✐❧❧❛rs ❞❡t❡r♠✐♥❛♥ts✳

❆✳❆✳❙❧❛✈♥♦✈✱ ❚❤❡♦r✳▼❛t❤✳P❤②s✳ ✸✸ ✭✶✾✼✼✮ ✾✼✼✳

❚❤❡ ❤✐❣❤❡r ❝♦✈❛r✐❛♥t ❞❡r✐✈❛t✐✈❡ r❡❣✉❧❛r✐③❛t✐♦♥ ❝❛♥ ❜❡ ❣❡♥❡r❛❧✐③❡❞ t♦ t❤❡ N = 1 s✉♣❡rs②♠♠❡tr✐❝ ❝❛s❡

❱✳❑✳❑r✐✈♦s❤❝❤❡❦♦✈✱ ❚❤❡♦r✳▼❛t❤✳P❤②s✳ ✸✻ ✭✶✾✼✽✮ ✼✹✺❀ P✳❲❡st✱ ◆✉❝❧✳P❤②s✳ ❇ ✷✻✽ ✭✶✾✽✻✮ ✶✶✸✳

■♥ t❤✐s t❛❧❦ ✇❡ ✇✐❧❧ ♠♦st❧② ❞✐s❝✉ss q✉❛♥t✉♠ ❝♦rr❡❝t✐♦♥s ✐♥ ❙❯❙❨ t❤❡♦r✐❡s r❡❣✉❧❛r✐③❡❞ ❜② ❤✐❣❤❡r ❝♦✈❛r✐❛♥t ❞❡r✐✈❛t✐✈❡s✳

❑✳❱✳❙t❡♣❛♥②❛♥t③ ❙tr✉❝t✉r❡ ♦❢ q✉❛♥t✉♠ ❝♦rr❡❝t✐♦♥s ✐♥ N = 1

SLIDE 13

✶✸

◆❙❱❩ β✲❢✉♥❝t✐♦♥ ❢♦r N = 1 ❙◗❊❉ ✇✐t❤ Nf ✢❛✈♦rs

❚❤❡ s✐♠♣❧❡st ♣❛rt✐❝✉❧❛r ❝❛s❡ ♦❢ t❤❡ N = 1 ❙❨▼ t❤❡♦r② ✐s t❤❡ N = 1 s✉♣❡rs②♠♠❡tr✐❝ ❡❧❡❝tr♦❞②♥❛♠✐❝s ✭❙◗❊❉✮ ✇✐t❤ Nf ✢❛✈♦rs✱ ✇❤✐❝❤ ✭✐♥ t❤❡ ♠❛ss❧❡ss ❝❛s❡✮ ✐s ❞❡s❝r✐❜❡❞ ❜② t❤❡ ❛❝t✐♦♥ S = 1 4e2 ❘❡

• d4x d2θ W aWa+

Nf

• f=1

1 4

• d4x d4θ
• φ∗

fe2V φf+

φ∗

fe−2V

φf

• ,

✇❤❡r❡ V ✐s ❛ r❡❛❧ ❣❛✉❣❡ s✉♣❡r✜❡❧❞✱ φf ❛♥❞ φf ✇✐t❤ f = 1, . . . , Nf ❛r❡ ❝❤✐r❛❧ ♠❛tt❡r s✉♣❡r✜❡❧❞s✱ ❛♥❞ Wa = ¯ D2DaV/4✳ ❚❤✐s ❝❛s❡ ❝♦rr❡s♣♦♥❞s t♦ C2 = 0; C(R) = I; T(R) = 2Nf r = 1, ✇❤❡r❡ I ✐s t❤❡ 2Nf × 2Nf ✉♥✐t ♠❛tr✐①✳ ❚❤❡r❡❢♦r❡✱ ❢♦r N = 1 ❙◗❊❉ ✇✐t❤ Nf ✢❛✈♦rs t❤❡ ◆❙❱❩ β✲❢✉♥❝t✐♦♥ ❤❛s t❤❡ ❢♦r♠ β(α) = α2Nf π

• 1 − γ(α)
• .

▼✳❆✳❙❤✐❢♠❛♥✱ ❆✳■✳❱❛✐♥s❤t❡✐♥✱ ❱✳■✳❩❛❦❤❛r♦✈✱ ❏❊❚P ▲❡tt✳ ✹✷ ✭✶✾✽✺✮ ✷✷✹❀ P❤②s✳▲❡tt✳ ❇ ✶✻✻ ✭✶✾✽✻✮ ✸✸✹✳

❑✳❱✳❙t❡♣❛♥②❛♥t③ ❙tr✉❝t✉r❡ ♦❢ q✉❛♥t✉♠ ❝♦rr❡❝t✐♦♥s ✐♥ N = 1

SLIDE 14

✶✹

N = 1 ❙◗❊❉ ✇✐t❤ Nf ✢❛✈♦rs✱ r❡❣✉❧❛r✐③❡❞ ❜② ❤✐❣❤❡r ❞❡r✐✈❛t✐✈❡s

■♥ ♦r❞❡r t♦ r❡❣✉❧❛r✐③❡ t❤❡ t❤❡♦r② ❜② ❤✐❣❤❡r ❞❡r✐✈❛t✐✈❡s✱ ✐t ✐s ♥❡❝❡ss❛r② t♦ ❛❞❞ t❤❡ ❤✐❣❤❡r ❞❡r✐✈❛t✐✈❡ t❡r♠ t♦ t❤❡ ❛❝t✐♦♥✿ Sr❡❣ = 1 4e2 ❘❡

• d4x d2θ W aR(∂2/Λ2)Wa

+

Nf

• f=1

1 4

• d4x d4θ
• φ∗

fe2V φf +

φ∗

fe−2V

φf

• ,

✇❤❡r❡ R(∂2/Λ2) ✐s ❛ r❡❣✉❧❛t♦r✱ ❡✳❣✳ R = 1 + ∂2n/Λ2n. ❆❞❞✐♥❣ t❤❡ ❤✐❣❤❡r ❞❡r✐✈❛t✐✈❡ t❡r♠ ❛❧❧♦✇s t♦ r❡♠♦✈❡ ❛❧❧ ❞✐✈❡r❣❡♥❝❡s ❜❡②♦♥❞ t❤❡ ♦♥❡✲❧♦♦♣ ❛♣♣r♦①✐♠❛t✐♦♥✳ ❚♦ r❡♠♦✈❡ ♦♥❡✲❧♦♦♣ ❞✐✈❡r❣❡♥❝❡s✱ ✇❡ ✐♥s❡rt ✐♥ t❤❡ ❣❡♥❡r❛t✐♥❣ ❢✉♥❝t✐♦♥❛❧ t❤❡ P❛✉❧✐✕❱✐❧❧❛rs ❞❡t❡r♠✐♥❛♥ts✿ Z[J] =

• Dµ
• I
• det PV (V, MI)

Nf cI exp

• iSr❡❣ + iS❣❢ + ❙♦✉r❝❡s
• ,
• I

cI = 1❀

I

cIM 2

I = 0❀ MI = aIΛ✱ ✇❤❡r❡ aI = aI(e0)✳

❑✳❱✳❙t❡♣❛♥②❛♥t③ ❙tr✉❝t✉r❡ ♦❢ q✉❛♥t✉♠ ❝♦rr❡❝t✐♦♥s ✐♥ N = 1

SLIDE 15

✶✺

❘❡♥♦r♠❛❧✐③❛t✐♦♥

Γ(2) =

• d4p

(2π)4 d4θ

• −

1 16π V (−p) ∂2Π1/2V (p) d−1(α0, Λ/p) +1 4

Nf

• f=1
• φ∗

f(−p, θ)φf(p, θ) +

φ∗

f(−p, θ)

φf(p, θ)

• G(α0, Λ/p)
• .

✇❤❡r❡ ∂2Π1/2 ≡ −Da ¯ D2Da/8 ✐s ❛ s✉♣❡rs②♠♠❡tr✐❝ tr❛♥s✈❡rs❛❧ ♣r♦❥❡❝t✐♦♥ ♦♣❡r❛t♦r✳ ❚❤❡ r❡♥♦r♠❛❧✐③❡❞ ❝♦✉♣❧✐♥❣ ❝♦♥st❛♥t α(α0, Λ/µ) ✐s ❞❡✜♥❡❞ ❜② r❡q✉✐r✐♥❣ t❤❛t t❤❡ ✐♥✈❡rs❡ ✐♥✈❛r✐❛♥t ❝❤❛r❣❡ d−1(α0(α, Λ/µ), Λ/p) ✐s ✜♥✐t❡ ✐♥ t❤❡ ❧✐♠✐t Λ → ∞✳ ❚❤❡ r❡♥♦r♠❛❧✐③❛t✐♦♥ ❝♦♥st❛♥t Z3 ✐s ❞❡✜♥❡❞ ❜② 1 α0 ≡ Z3(α, Λ/µ) α . ❚❤❡ r❡♥♦r♠❛❧✐③❛t✐♦♥ ❝♦♥st❛♥t Z ✐s ❝♦♥str✉❝t❡❞ ❜② r❡q✉✐r✐♥❣ t❤❛t t❤❡ r❡♥♦r♠❛❧✐③❡❞ t✇♦✲♣♦✐♥t ●r❡❡♥ ❢✉♥❝t✐♦♥ ZG ✐s ✜♥✐t❡ ✐♥ t❤❡ ❧✐♠✐t Λ → ∞✿ Gr❡♥(α, µ/p) = lim

Λ→∞ Z(α, Λ/µ)G(α0, Λ/p).

❑✳❱✳❙t❡♣❛♥②❛♥t③ ❙tr✉❝t✉r❡ ♦❢ q✉❛♥t✉♠ ❝♦rr❡❝t✐♦♥s ✐♥ N = 1

SLIDE 16

✶✻

❚❤❡ r❡♥♦r♠❛❧✐③❛t✐♦♥ ❣r♦✉♣ ❢✉♥❝t✐♦♥s ❞❡✜♥❡❞ ✐♥ t❡r♠s ♦❢ t❤❡ ❜❛r❡ ❝♦✉♣❧✐♥❣ ❝♦♥st❛♥t

■♥ ♠♦st ♦r✐❣✐♥❛❧ ♣❛♣❡rs

❱✳◆♦✈✐❦♦✈✱ ▼✳❆✳❙❤✐❢♠❛♥✱ ❆✳❱❛✐♥s❤t❡✐♥✱ ❱✳■✳❩❛❦❤❛r♦✈✱ ◆✉❝❧✳P❤②s✳ ❇ ✷✷✾ ✭✶✾✽✸✮ ✸✽✶❀ P❤②s✳▲❡tt✳ ❇ ✶✻✻ ✭✶✾✽✺✮ ✸✷✾❀ ▼✳❆✳❙❤✐❢♠❛♥✱ ❆✳■✳❱❛✐♥s❤t❡✐♥✱ ❱✳■✳❩❛❦❤❛r♦✈✱ ❏❊❚P ▲❡tt✳ ✹✷ ✭✶✾✽✺✮ ✷✷✹❀ P❤②s✳▲❡tt✳ ❇ ✶✻✻ ✭✶✾✽✻✮ ✸✸✹✳

t❤❡ ◆❙❱❩ β✲❢✉♥❝t✐♦♥ ✇❛s ❞❡r✐✈❡❞ ❢♦r t❤❡ r❡♥♦r♠❛❧✐③❛t✐♦♥ ❣r♦✉♣ ❢✉♥❝t✐♦♥s ❞❡✜♥❡❞ ✐♥ t❡r♠s ♦❢ t❤❡ ❜❛r❡ ❝♦✉♣❧✐♥❣ ❝♦♥st❛♥t β

• α0(α, Λ/µ)
• ≡ dα0(α, Λ/µ)

d ln Λ

• α=❝♦♥st;

γ

• α0(α, Λ/µ)
• ≡ −d ln Z(α, Λ/µ)

d ln Λ

• α=❝♦♥st

❚❤❡s❡ r❡♥♦r♠❛❧✐③❛t✐♦♥ ❣r♦✉♣ ❢✉♥❝t✐♦♥s ✶✳ ❛r❡ s❝❤❡♠❡ ✐♥❞❡♣❡♥❞❡♥t ❢♦r ❛ ✜①❡❞ r❡❣✉❧❛r✐③❛t✐♦♥❀ ✷✳ ❞❡♣❡♥❞ ♦♥ t❤❡ r❡❣✉❧❛r✐③❛t✐♦♥❀ ✷✳ ✐♥ ❛❧❧ ❧♦♦♣s s❛t✐s❢② t❤❡ ◆❙❱❩ r❡❧❛t✐♦♥ ✐♥ t❤❡ ❝❛s❡ ♦❢ N = 1 ❙◗❊❉ ✇✐t❤ Nf ✢❛✈♦rs✱ r❡❣✉❧❛r✐③❡❞ ❜② ❤✐❣❤❡r ❞❡r✐✈❛t✐✈❡s✳

❑✳❱✳❙t❡♣❛♥②❛♥t③ ❙tr✉❝t✉r❡ ♦❢ q✉❛♥t✉♠ ❝♦rr❡❝t✐♦♥s ✐♥ N = 1

SLIDE 17

✶✼

❚❤❡ r❡♥♦r♠❛❧✐③❛t✐♦♥ ❣r♦✉♣ ❢✉♥❝t✐♦♥s ❞❡✜♥❡❞ ✐♥ t❡r♠s ♦❢ t❤❡ ❜❛r❡ ❝♦✉♣❧✐♥❣ ❝♦♥st❛♥t

❚❤❡ ❛❜♦✈❡ ❘● ❢✉♥❝t✐♦♥s ❞♦ ♥♦t ❞❡♣❡♥❞ ♦♥ t❤❡ r❡♥♦r♠❛❧✐③❛t✐♦♥ ♣r❡s❝r✐♣t✐♦♥✱ ❜❡❝❛✉s❡ t❤❡② ❝❛♥ ❜❡ ❡①♣r❡ss❡❞ ✈✐❛ ✉♥r❡♥♦r♠❛❧✐③❡❞ ●r❡❡♥ ❢✉♥❝t✐♦♥s✿ 0 = lim

p→0

dd−1(α0, Λ/p) d ln Λ

• α=❝♦♥st = lim

p→0

∂d−1(α0, Λ/p) ∂α0 β(α0)−∂d−1(α0, Λ/p) ∂ ln p

• ✇❤❡r❡ ✐♥ t❤❡ ❧❛st ❡q✉❛❧✐t② α0 ❛♥❞ p ❛r❡ ❝♦♥s✐❞❡r❡❞ ❛s ✐♥❞❡♣❡♥❞❡♥t ✈❛r✐❛❜❧❡s✳

❙✐♠✐❧❛r❧②✱ ❞✐✛❡r❡♥t✐❛t✐♥❣ ln G(α0, Λ/q) = ln Gr❡♥(α, µ/q) − ln Z(α, Λ/µ) +✭t❡r♠s ✈❛♥✐s❤✐♥❣ ✐♥ t❤❡ ❧✐♠✐t q → 0✮ ✇✐t❤ r❡s♣❡❝t t♦ ln Λ ❛t ❛ ✜①❡❞ ✈❛❧✉❡ ♦❢ α✱ ✐♥ t❤❡ ❧✐♠✐t q → 0 ✇❡ ♦❜t❛✐♥ γ(α0) = lim

q→0

∂ ln G(α0, Λ/q) ∂α0 β(α0) − ∂ ln G(α0, Λ/q) ∂ ln q

• .

❚❤❡r❡❢♦r❡✱ β(α0) ❛♥❞ γ(α0) ❞♦ ♥♦t ❞❡♣❡♥❞ ♦♥ ❛♥ ❛r❜✐tr❛r✐♥❡ss ♦❢ ❝❤♦♦s✐♥❣ t❤❡ r❡♥♦r♠❛❧✐③❛t✐♦♥ ❝♦♥st❛♥ts✳

❑✳❱✳❙t❡♣❛♥②❛♥t③ ❙tr✉❝t✉r❡ ♦❢ q✉❛♥t✉♠ ❝♦rr❡❝t✐♦♥s ✐♥ N = 1

SLIDE 18

✶✽

❚❤❡ ◆❙❱❩ r❡❧❛t✐♦♥ ✇✐t❤ t❤❡ ❍❉ r❡❣✉❧❛r✐③❛t✐♦♥

❲✐t❤ t❤❡ ❤✐❣❤❡r ❝♦✈❛r✐❛♥t ❞❡r✐✈❛t✐✈❡ r❡❣✉❧❛r✐③❛t✐♦♥ ❧♦♦♣ ✐♥t❡❣r❛❧s ❣✐✈✐♥❣ ❛ β✲❢✉♥❝t✐♦♥ ❞❡✜♥❡❞ ✐♥ t❡r♠s ♦❢ t❤❡ ❜❛r❡ ❝♦✉♣❧✐♥❣ ❝♦♥st❛♥t ❛r❡ ✐♥t❡❣r❛❧s ♦❢ t♦t❛❧ ❞❡r✐✈❛t✐✈❡s

❆✳❙♦❧♦s❤❡♥❦♦✱ ❑✳❙✳✱ ❤❡♣✲t❤✴✵✸✵✹✵✽✸✳

❛♥❞ ❡✈❡♥ ✐♥t❡❣r❛❧s ♦❢ ❞♦✉❜❧❡ t♦t❛❧ ❞❡r✐✈❛t✐✈❡s

❆✳❱✳❙♠✐❧❣❛✱ ❆✳■✳❱❛✐♥s❤t❡✐♥✱ ◆✉❝❧✳P❤②s✳ ❇ ✼✵✹ ✭✷✵✵✺✮ ✹✹✺✳

❚❤✐s ❛❧❧♦✇s t♦ ❝❛❧❝✉❧❛t❡ ♦♥❡ ♦❢ t❤❡ ❧♦♦♣ ✐♥t❡❣r❛❧s ❛♥❛❧②t✐❝❛❧❧② ❛♥❞ t♦ ♦❜t❛✐♥ t❤❡ ◆❙❱❩ r❡❧❛t✐♦♥ ❢♦r t❤❡ ❘● ❢✉♥❝t✐♦♥s ❞❡✜♥❡❞ ✐♥ t❡r♠s ♦❢ t❤❡ ❜❛r❡ ❝♦✉♣❧✐♥❣ ❝♦♥st❛♥t✳ ■♥ t❤❡ ❆❜❡❧✐❛♥ ❝❛s❡ t❤✐s ❤❛s ❜❡❡♥ ❞♦♥❡ ✐♥ ❛❧❧ ❧♦♦♣s

❑✳❙✳✱ ◆✉❝❧✳P❤②s✳ ❇ ✽✺✷ ✭✷✵✶✶✮ ✼✶❀ ❏❍❊P ✶✹✵✽ ✭✷✵✶✹✮ ✵✾✻✳

β(α0) α2 = d d ln Λ

• d−1(α0, Λ/p) − α−1
• p=0

= Nf π

• 1 −

d d ln Λ ln G(α0, Λ/q)

• q=0
• = Nf

π

• 1 − γ(α0)
• .

❑✳❱✳❙t❡♣❛♥②❛♥t③ ❙tr✉❝t✉r❡ ♦❢ q✉❛♥t✉♠ ❝♦rr❡❝t✐♦♥s ✐♥ N = 1

SLIDE 19

✶✾

❚❤r❡❡✲❧♦♦♣ ❝❛❧❝✉❧❛t✐♦♥ ❢♦r N = 1 ❙◗❊❉

β(α0) α2 = Nf d d ln Λ

• 2π
• I

cI

• d4q

(2π)4 ∂ ∂qµ ∂ ∂qµ ln(q2 + M 2) q2 + 4π

• d4q

(2π)4 d4k (2π)4 e2 k2R2

k

× ∂ ∂qµ ∂ ∂qµ

• 1

q2(k + q)2 −

• I

cI 1 (q2 + M 2

I )((k + q)2 + M 2 I )

• Rk
• 1 + e2Nf

4π2 ln Λ µ

• −2e2Nf

d4t (2π)4 1 t2(k + t)2 −

• J

cJ

• d4t

(2π)4 1 (t2 + M 2

J)((k + t)2 + M 2 J)

• +4π
• d4q

(2π)4 d4k (2π)4 d4l (2π)4 e4 k2Rkl2Rl ∂ ∂qµ ∂ ∂qµ

• −

2k2 q2(q + k)2(q + l)2(q + k + l)2 + 2 q2(q + k)2(q + l)2

• −
• I

cI

• −

2(k2 + M 2

I )

(q2 + M 2

I )((q + k)2 + M 2 I )((q + l)2 + M 2 I )

× 1 ((q + k + l)2 + M 2

I ) +

2 (q2 + M 2

I )((q + k)2 + M 2 I )((q + l)2 + M 2 I ) −

1 (q2 + M 2

I )2

× 4M 2

I

((q + k)2 + M 2

I )((q + l)2 + M 2 I )

• ❑✳❱✳❙t❡♣❛♥②❛♥t③

❙tr✉❝t✉r❡ ♦❢ q✉❛♥t✉♠ ❝♦rr❡❝t✐♦♥s ✐♥ N = 1

SLIDE 20

✷✵

❉♦✉❜❧❡ t♦t❛❧ ❞❡r✐✈❛t✐✈❡s

❚❤❡ ✐♥t❡❣r❛❧s ♦❢ ❞♦✉❜❧❡ t♦t❛❧ ❞❡r✐✈❛t✐✈❡s ❞♦ ♥♦t ✈❛♥✐s❤ ❞✉❡ t♦ s✐♥❣✉❧❛r✐t✐❡s ♦❢ t❤❡ ✐♥t❡❣r❛♥❞✳ ❚❤✐s ❝❛♥ ❜❡ ✐❧❧✉str❛t❡❞ ❜② ❛ s✐♠♣❧❡ ❡①❛♠♣❧❡

• d4q

(2π)4 ∂ ∂qµ qµ q4 f(q2)

• = − 1

8π2 f(0), ✇❤❡r❡ ✇❡ ❛ss✉♠❡ t❤❛t t❤❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ f(q2) ❤❛s ❛ s✉✣❝✐❡♥t❧② r❛♣✐❞ ❢❛❧❧✲♦✛ ❛t ✐♥✜♥✐t②✳ ❚❤❡ s✉♠ ♦❢ s✐♥❣✉❧❛r ❝♦♥tr✐❜✉t✐♦♥s ❛♣♣❡❛rs t♦ ❜❡ ♣r♦♣♦rt✐♦♥❛❧ t♦ t❤❡ ❛♥♦♠❛❧♦✉s ❞✐♠❡♥s✐♦♥✳ ❇❡❧♦✇ ✇❡ ❜r✐❡✢② ❡①♣❧❛✐♥✱ ❤♦✇ ♦♥❡ ❝❛♥ ♣r♦✈❡ t❤❡ ❢❛❝t♦r✐③❛t✐♦♥ ♦❢ ✐♥t❡❣r❛❧s ❞❡✜♥✐♥❣ t❤❡ β✲❢✉♥❝t✐♦♥ ✐♥t♦ ✐♥t❡❣r❛❧s ♦❢ ❞♦✉❜❧❡ t♦t❛❧ ❞❡r✐✈❛t✐✈❡s✱ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ t❤❡ ♠❡t❤♦❞ ♣r♦♣♦s❡❞ ✐♥

❑✳❙✳✱ ◆✉❝❧✳P❤②s✳ ❇ ✽✺✷ ✭✷✵✶✶✮ ✼✶✳

■t ✐s ❝♦♥✈❡♥✐❡♥t t♦ ✉s❡ t❤❡ ❜❛❝❦❣r♦✉♥❞ ✜❡❧❞ ♠❡t❤♦❞✳ ■♥ t❤❡ ❆❜❡❧✐❛♥ ❝❛s❡ ✐t ✐s ✐♥tr♦❞✉❝❡❞ ❜② ♠❛❦✐♥❣ t❤❡ r❡♣❧❛❝❡♠❡♥t V → V + V , ✇❤❡r❡ V ✐s t❤❡ ❜❛❝❦❣r♦✉♥❞ ❣❛✉❣❡ s✉♣❡r✜❡❧❞✳

❑✳❱✳❙t❡♣❛♥②❛♥t③ ❙tr✉❝t✉r❡ ♦❢ q✉❛♥t✉♠ ❝♦rr❡❝t✐♦♥s ✐♥ N = 1

SLIDE 21

✷✶

▼❛✐♥ st❡♣s ♦❢ t❤❡ ❛❧❧✲❧♦♦♣ ❞❡r✐✈❛t✐♦♥

✶✳ ❚❤❡ ✐♥t❡❣r❛❧ ♦✈❡r t❤❡ ♠❛tt❡r s✉♣❡r✜❡❧❞ ✐s ●❛✉ss✐❛♥ ❛♥❞ ❝❛♥ ❜❡ ❝❛❧❝✉❧❛t❡❞ ❡①❛❝t❧②✿ exp

• iΓ[V ]
• =
• DV

m

• I=0

Nf

• f=1

det(⋆I,f)cI/2 exp

• i
• S❣❛✉❣❡ + SΛ + S❣❢
• ,

✇❤❡r❡ c0 = −1✱ M0 = 0 ❝♦rr❡s♣♦♥❞s t♦ ✉s✉❛❧ s✉♣❡r✜❡❧❞s ✐♥ t❤❡ ♠❛ss❧❡ss ❧✐♠✐t✱ ❛♥❞ t❤❡ ♦♣❡r❛t♦r ⋆ ❡♥❝♦❞❡s s❡q✉❡♥❝❡s ♦❢ t❤❡ ✈❡rt✐❝❡s ❛♥❞ ♣r♦♣❛❣❛t♦rs✳ ❚❡r♠s q✉❛❞r❛t✐❝ ✐♥ t❤❡ s✉♣❡r✜❡❧❞ V ✐♥ t❤✐s ❡①♣r❡ss✐♦♥ ❤❛✈❡ t❤❡ ❢♦r♠ ∆Γ(2) = − i 2N 2

f

m

• I=0

cI❚r(VQJ0⋆)I 2

✶P■

+iNf

m

• I=0

cI

• ❚r(VQJ0 ⋆ VQJ0⋆) + ❚r(V2J0⋆)
• I,✶P■,

✇❤❡r❡ QJ0 ❞❡♥♦t❡s t❤❡ ❡✛❡❝t✐✈❡ ✈❡rt❡① ❛♥❞ ⋆ ❞♦❡s ♥♦t ❝♦♥t❛✐♥ V ✳

❑✳❱✳❙t❡♣❛♥②❛♥t③ ❙tr✉❝t✉r❡ ♦❢ q✉❛♥t✉♠ ❝♦rr❡❝t✐♦♥s ✐♥ N = 1

SLIDE 22

✷✷

• r❛♣❤✐❝❛❧ ✐♥t❡r♣r❡t❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ♦♣❡r❛t♦r ⋆

❚❤❡ ♦♣❡r❛t♦r ⋆ ❡♥❝♦❞❡s s❡q✉❡♥❝❡s ♦❢ ✈❡rt✐❝❡s B ❛♥❞ ♣r♦♣❛❣❛t♦rs P✱ ❚❤❡ tr❛❝❡ ♠❛❦❡s ❛ ❝✐r❝❧❡ ❢r♦♠ t❤❡ ♠❛tt❡r ❧✐♥❡✳

❑✳❱✳❙t❡♣❛♥②❛♥t③ ❙tr✉❝t✉r❡ ♦❢ q✉❛♥t✉♠ ❝♦rr❡❝t✐♦♥s ✐♥ N = 1

SLIDE 23

✷✸

• r❛♣❤✐❝❛❧ ✐♥t❡r♣r❡t❛t✐♦♥ ♦❢ ❛♥❣✉❧❛r ❜r❛❝❦❡ts

❆♥❣✉❧❛r ❜r❛❝❦❡ts ❞❡♥♦t❡ t❤❡ ❢✉♥❝t✐♦♥❛❧ ✐♥t❡❣r❛t✐♦♥✱ A[V ] ≡

• DV A[V ]

m

• I=0

Nf

• f=1

det(⋆I)cI/2 exp

• i
• S❣❛✉❣❡ + SΛ + S❣❢
• DV

m

• I=0

Nf

• f=1

det(⋆I)cI/2 exp

• i
• S❣❛✉❣❡ + SΛ + S❣❢
• .

❚❤❡ ❛♥❣✉❧❛r ❜r❛❝❦❡ts ♠❛❦❡ ♣r♦♣❛❣❛t♦rs ♦❢ t❤❡ q✉❛♥t✉♠ ❣❛✉❣❡ s✉♣❡r✜❡❧❞s V ❢r♦♠ V ✲s ✐♥s✐❞❡ t❤❡ ♦♣❡r❛t♦r ⋆✳ ❚❤✉s✱ ♥♦♥✲tr✐✈✐❛❧ ❝♦♥tr✐❜✉t✐♦♥s t♦ t❤❡ ❡✛❡❝t✐✈❡ ❛❝t✐♦♥ ❝❛♥ ❛♣♣❡❛r ❢r♦♠ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ❡✛❡❝t✐✈❡ ❞✐❛❣r❛♠s✿

❑✳❱✳❙t❡♣❛♥②❛♥t③ ❙tr✉❝t✉r❡ ♦❢ q✉❛♥t✉♠ ❝♦rr❡❝t✐♦♥s ✐♥ N = 1

SLIDE 24

✷✹

▼❛✐♥ st❡♣s ♦❢ t❤❡ ❛❧❧✲❧♦♦♣ ❞❡r✐✈❛t✐♦♥

✷✳ ❚❤❡ β✲❢✉♥❝t✐♦♥ ❞❡✜♥❡❞ ✐♥ t❡r♠s ♦❢ t❤❡ ❜❛r❡ ❝♦✉♣❧✐♥❣ ❝♦♥st❛♥t ❝❛♥ ❜❡ ♦❜t❛✐♥❡❞ ❢r♦♠ ∆Γ(2) ❜② t❤❡ s✉❜st✐t✉t✐♦♥ V (x, θ) → θ4, ❛❢t❡r ✇❤✐❝❤ 1 2π V4·β(α0) α2 = 1 2π V4· d d ln Λ

• d−1(α0, Λ/p)−α0
• p→0 = d(∆Γ(2))

d ln Λ

• V =θ4,

✇❤❡r❡ V4 ✐s t❤❡ ✭♣r♦♣❡r❧② r❡❣✉❧❛r✐③❡❞✮ s♣❛❝❡✲t✐♠❡ ✈♦❧✉♠❡✳ ❆❢t❡r t❤❡ ❛❜♦✈❡ s✉❜st✐t✉t✐♦♥ ✇❡ ♣r❡s❡♥t t❤❡ ❡①♣r❡ss✐♦♥ ❣✐✈❡♥ ❡❛r❧✐❡r ✐♥ t❤❡ ❢♦r♠ ♦❢ ❛♥ ✐♥t❡❣r❛❧ ♦❢ ❛ ❞♦✉❜❧❡ t♦t❛❧ ❞❡r✐✈❛t✐✈❡✳ ■♥ t❤❡ ❝♦♦r❞✐♥❛t❡ r❡♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥ t❤❡ ✐♥t❡❣r❛❧ ♦❢ ❛ t♦t❛❧ ❞❡r✐✈❛t✐✈❡ ✐s ❣✐✈❡♥ ❜② t❤❡ ❡①♣r❡ss✐♦♥ ❚r

• [xµ, ❙♦♠❡t❤✐♥❣]
• = 0.

❑✳❱✳❙t❡♣❛♥②❛♥t③ ❙tr✉❝t✉r❡ ♦❢ q✉❛♥t✉♠ ❝♦rr❡❝t✐♦♥s ✐♥ N = 1

SLIDE 25

✷✺

▼❛✐♥ st❡♣s ♦❢ t❤❡ ❛❧❧✲❧♦♦♣ ❞❡r✐✈❛t✐♦♥

✸✳ ❉✐❛❣r❛♠s ✐♥ ✇❤✐❝❤ t❤❡ ❡①t❡r♥❛❧ ❧✐♥❡s ❛r❡ ❛tt❛❝❤❡❞ t♦ ❞✐✛❡r❡♥t ♠❛tt❡r ❧♦♦♣s ❆❢t❡r s♦♠❡ ❛❧❣❡❜r❛✐❝ tr❛♥s❢♦r♠❛t✐♦♥s t❤❡ ❝♦rr❡s♣♦♥❞✐♥❣ ❝♦♥tr✐❜✉t✐♦♥ ❝❛♥ ❜❡ ♣r❡s❡♥t❡❞ ✐♥ t❤❡ ❢♦r♠ − i 2N 2

f

m

• I=0

cI❚r(VQJ0⋆)I 2

✶P■

• V =θ4

= i 2N 2

f

m

• I=0

cI ❚r ¯ θ ˙

a(γν)˙ a bθb

Q [y∗

ν, ln(⋆I)]

2 = 0, ✇❤❡r❡ y∗

µ = xµ − i¯

θ ˙

a(γµ)˙ abθb✳

❋r♦♠ t❤✐s ❡①♣r❡ss✐♦♥ ✇❡ s❡❡ t❤❛t t❤❡ ❝♦♥s✐❞❡r❡❞ ❝♦♥tr✐❜✉t✐♦♥ ✐s ❣✐✈❡♥ ❜② ❛♥ ✐♥t❡❣r❛❧ ♦❢ ❛ ❞♦✉❜❧❡ t♦t❛❧ ❞❡r✐✈❛t✐✈❡ ✳ ■t ✈❛♥✐s❤❡s✱ ❜❡❝❛✉s❡ t❤❡ ✐♥t❡❣r❛♥❞ ❞♦❡s ♥♦t ❝♦♥t❛✐♥ s✐♥❣✉❧❛r✐t✐❡s✳

❑✳❱✳❙t❡♣❛♥②❛♥t③ ❙tr✉❝t✉r❡ ♦❢ q✉❛♥t✉♠ ❝♦rr❡❝t✐♦♥s ✐♥ N = 1

SLIDE 26

✷✻

▼❛✐♥ st❡♣s ♦❢ t❤❡ ❛❧❧✲❧♦♦♣ ❞❡r✐✈❛t✐♦♥

✹✳ ❚❤❡ ♠❛✐♥ ✭♥♦♥✲s✐♥❣❧❡t✮ ❝♦♥tr✐❜✉t✐♦♥ ❙✐♠✐❧❛r❧②✱ t❤❡ ♥♦♥✲s✐♥❣❧❡t ❝♦♥tr✐❜✉t✐♦♥ ✭✇❤✐❝❤ ❝♦rr❡s♣♦♥❞s t♦ ❞✐❛❣r❛♠s ✐♥ ✇❤✐❝❤ ❡①t❡r♥❛❧ ❧✐♥❡s ❛r❡ ❛tt❛❝❤❡❞ t♦ ❛ s✐♥❣❧❡ ❧♦♦♣ ♦❢ t❤❡ ♠❛tt❡r s✉♣❡r✜❡❧❞s✮ ❝❛♥ ❜❡ ✇r✐tt❡♥ ❛s i d d ln ΛNf

m

• I=0

cI

• ❚r(VQJ0 ⋆ VQJ0⋆)
• I
• V =θ4

= ❖♥❡✲❧♦♦♣ r❡s✉❧t − i 2Nf d d ln Λ

m

• I=0

cI ❚r

• θ4

y∗

µ,

• (yµ)∗, ln(⋆)
• I

−s✐♥❣✉❧❛r t❡r♠s ❝♦♥t❛✐♥✐♥❣ δ✲❢✉♥❝t✐♦♥s, ❚❤✉s✱ t❤❡ s✉♠ ♦❢ t❤❡ ❝♦♥s✐❞❡r❡❞ ❞✐❛❣r❛♠s ✐s ❛♥ ✐♥t❡❣r❛❧ ♦❢ ❛ ❞♦✉❜❧❡ t♦t❛❧ ❞❡r✐✈❛t✐✈❡✳ ❍♦✇❡✈❡r✱ t❤❡ r❡s✉❧t ❞♦❡s ♥♦t ✈❛♥✐s❤ ❞✉❡ t♦ s✐♥❣✉❧❛r✐t✐❡s ♦❢ t❤❡ ✐♥t❡❣r❛♥❞✿ [xµ, ∂µ ∂4 ] = [−i ∂ ∂Pµ , −iP µ P 4 ] = −2π2δ4(P) = −2π2iδ4(p).

❑✳❱✳❙t❡♣❛♥②❛♥t③ ❙tr✉❝t✉r❡ ♦❢ q✉❛♥t✉♠ ❝♦rr❡❝t✐♦♥s ✐♥ N = 1

SLIDE 27

✷✼

▼❛✐♥ st❡♣s ♦❢ t❤❡ ❛❧❧✲❧♦♦♣ ❞❡r✐✈❛t✐♦♥

✺✳ ❚❤❡ s✉♠ ♦❢ s✐♥❣✉❧❛r✐t✐❡s ❊✈✐❞❡♥t❧②✱ s✐♥❣✉❧❛r ❝♦♥tr✐❜✉t✐♦♥s ❝❛♥ ❜❡ ♣r❡s❡♥t ♦♥❧② ✐♥ t❤❡ ♠❛ss❧❡ss ❝❛s❡✳ ❚❤❡r❡❢♦r❡✱ t❤❡r❡ ❛r❡ ♥♦ s✐♥❣✉❧❛r✐t✐❡s ❢♦r t❤❡ P❛✉❧✐✕❱✐❧❧❛rs s✉♣❡r✜❡❧❞s✳ ❙✐♥❣✉❧❛r✐t✐❡s ♣r♦♣♦rt✐♦♥❛❧ t♦ δ✲❢✉♥❝t✐♦♥s ❧❡❛❞ t♦ ❝✉tt✐♥❣ t❤❡ ❞✐❛❣r❛♠s ✭✇✐t❤♦✉t ❡①t❡r♥❛❧ ❧❡❣s✮✳ ❆s ❛ r❡s✉❧t ✇❡ ♦❜t❛✐♥ ❣r❛♣❤s ❝♦rr❡s♣♦♥❞✐♥❣ t♦ t❤❡ t✇♦✲♣♦✐♥t ●r❡❡♥ ❢✉♥❝t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ♠❛tt❡r s✉♣❡r✜❡❧❞s

❆✳❱✳❙♠✐❧❣❛✱ ❆✳■✳❱❛✐♥s❤t❡✐♥✱ ◆✉❝❧✳P❤②s✳ ❇ ✼✵✹ ✭✷✵✵✺✮ ✹✹✺✳

✲ + + . . . ■t ✐s ♣♦ss✐❜❧❡ t♦ r❡❧❛t❡ t❤❡ s✉♠ ♦❢ s✐♥❣✉❧❛r✐t✐❡s ✇✐t❤ t❤❡ t✇♦✲♣♦✐♥t ●r❡❡♥ ❢✉♥❝t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ♠❛tt❡r s✉♣❡r✜❡❧❞s✳

❑✳❱✳❙t❡♣❛♥②❛♥t③ ❙tr✉❝t✉r❡ ♦❢ q✉❛♥t✉♠ ❝♦rr❡❝t✐♦♥s ✐♥ N = 1

SLIDE 28

✷✽

▼❛✐♥ st❡♣s ♦❢ t❤❡ ❛❧❧✲❧♦♦♣ ❞❡r✐✈❛t✐♦♥

✻✳ ❚❤❡ r❡s✉❧t ❆❢t❡r s✉♠♠✐♥❣ s✐♥❣✉❧❛r✐t✐❡s ❛♥❞ ❛❞❞✐♥❣ t❤❡ ♦♥❡✲❧♦♦♣ r❡s✉❧t ✇❡ ♦❜t❛✐♥ d∆Γ(2) d ln Λ

• V =θ4 = Nf

2π2 V4 ·

• 1 − d ln G

d ln Λ

• q=0
• .

❚❤❡ ❡①♣r❡ss✐♦♥ d ln G d ln Λ

• q=0 =

d d ln Λ

• ln(ZG) − ln Z
• q=0 = −d ln Z

d ln Λ = γ(α0) ✐s t❤❡ ❛♥♦♠❛❧♦✉s ❞✐♠❡♥s✐♦♥ ✭❞❡✜♥❡❞ ✐♥ t❡r♠s ♦❢ t❤❡ ❜❛r❡ ❝♦✉♣❧✐♥❣ ❝♦♥st❛♥t✮✳ ❚❤❡r❡❢♦r❡✱ t❤❡ ✜♥❛❧ ❡①❛❝t ❡①♣r❡ss✐♦♥ ❢♦r t❤❡ β✲❢✉♥❝t✐♦♥ ❞❡✜♥❡❞ ✐♥ t❡r♠s ♦❢ t❤❡ ❜❛r❡ ❝♦✉♣❧✐♥❣ ❝♦♥st❛♥t ❢♦r t❤❡ ❝♦♥s✐❞❡r❡❞ t❤❡♦r② ❤❛s t❤❡ ❢♦r♠ β(α0) α2 = Nf π

• 1 − γ(α0)
• .

❑✳❱✳❙t❡♣❛♥②❛♥t③ ❙tr✉❝t✉r❡ ♦❢ q✉❛♥t✉♠ ❝♦rr❡❝t✐♦♥s ✐♥ N = 1

SLIDE 29

✷✾

❉❡r✐✈❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ◆❙❱❩ β✲❢✉♥❝t✐♦♥ ✐♥ t❤❡ ❆❜❡❧✐❛♥ ❝❛s❡ ❜② s✉♠♠✐♥❣ s✉♣❡r❣r❛♣❤s

◗✉❛❧✐t❛t✐✈❡ ♣✐❝t✉r❡✿

❆✳❱✳❙♠✐❧❣❛✱ ❆✳■✳❱❛✐♥s❤t❡✐♥✱ ◆✉❝❧✳P❤②s✳ ❇ ✼✵✹ ✭✷✵✵✺✮ ✹✹✺✳

❑✳❱✳❙t❡♣❛♥②❛♥t③ ❙tr✉❝t✉r❡ ♦❢ q✉❛♥t✉♠ ❝♦rr❡❝t✐♦♥s ✐♥ N = 1

SLIDE 30

✸✵

❚❤❡ ❘● ❢✉♥❝t✐♦♥s ❞❡✜♥❡❞ ✐♥ t❡r♠s ♦❢ t❤❡ r❡♥♦r♠❛❧✐③❡❞ ❝♦✉♣❧✐♥❣ ❝♦♥st❛♥t

❘● ❢✉♥❝t✐♦♥s ❞❡✜♥❡❞ ✐♥ t❡r♠s ♦❢ t❤❡ ❜❛r❡ ❝♦✉♣❧✐♥❣ ❝♦♥st❛♥t ❛r❡ s❝❤❡♠❡ ✐♥❞❡♣❡♥❞❡♥t ❢♦r ❛ ✜①❡❞ r❡❣✉❧❛r✐③❛t✐♦♥✳ ❍♦✇❡✈❡r✱ ❘● ❢✉♥❝t✐♦♥s ❛r❡ ✉s✉❛❧❧② ❞❡✜♥❡❞ ❜② ❛ ❞✐✛❡r❡♥t ✇❛②✱ ✐♥ t❡r♠s ♦❢ t❤❡ r❡♥♦r♠❛❧✐③❡❞ ❝♦✉♣❧✐♥❣ ❝♦♥st❛♥t✱

• β
• α(α0, Λ/µ)
• ≡ dα(α0, Λ/µ)

d ln µ

• α0=❝♦♥st;
• γ
• α(α0, Λ/µ)
• ≡ d ln Z(α(α0, Λ/µ), Λ/µ)

d ln µ

• α0=❝♦♥st.

❚❤❡s❡ ❘● ❢✉♥❝t✐♦♥s ❛r❡ s❝❤❡♠❡✲❞❡♣❡♥❞❡♥t✳ ❚❤❡② ❝♦✐♥❝✐❞❡ ✇✐t❤ t❤❡ ❘● ❢✉♥❝t✐♦♥s ❞❡✜♥❡❞ ✐♥ t❡r♠s ♦❢ t❤❡ ❜❛r❡ ❝♦✉♣❧✐♥❣ ❝♦♥st❛♥t✱ ✐❢ t❤❡ ❜♦✉♥❞❛r② ❝♦♥❞✐t✐♦♥s Z3(α, x0) = 1; Z(α, x0) = 1 ❛r❡ ✐♠♣♦s❡❞ ♦♥ t❤❡ r❡♥♦r♠❛❧✐③❛t✐♦♥ ❝♦♥st❛♥ts✱ ✇❤❡r❡ x0 ✐s ❛♥ ❛r❜✐tr❛r② ✜①❡❞ ✈❛❧✉❡ ♦❢ ln Λ/µ✳

❆✳▲✳❑❛t❛❡✈ ❛♥❞ ❑✳❙✳✱ ◆✉❝❧✳P❤②s✳ ❇ ✽✼✺ ✭✷✵✶✸✮ ✹✺✾❀ P❤②s✳▲❡tt✳ ❇ ✼✸✵ ✭✷✵✶✹✮ ✶✽✹❀ ❚❤❡♦r✳▼❛t❤✳P❤②s✳ ✶✽✶ ✭✷✵✶✹✮ ✶✺✸✶✳

❑✳❱✳❙t❡♣❛♥②❛♥t③ ❙tr✉❝t✉r❡ ♦❢ q✉❛♥t✉♠ ❝♦rr❡❝t✐♦♥s ✐♥ N = 1

SLIDE 31

✸✶

❚❤❡ ◆❙❱❩✲s❝❤❡♠❡ ✇✐t❤ t❤❡ ❤✐❣❤❡r ❞❡r✐✈❛t✐✈❡s ✐♥ t❤❡ ❆❜❡❧✐❛♥ ❝❛s❡

• γ (α(α0, x)) = −d ln Z (α(α0, x), x)

dx = −∂ ln Z(α, x) ∂α · ∂α(α0, x) ∂x − ∂ ln Z (α(α0, x), x) ∂x , ✇❤❡r❡ t❤❡ t♦t❛❧ ❞❡r✐✈❛t✐✈❡ ✇✐t❤ r❡s♣❡❝t t♦ x = ln Λ/µ ❛❧s♦ ❛❝ts ♦♥ x ✐♥s✐❞❡ α✳ ❈❛❧❝✉❧❛t✐♥❣ t❤❡s❡ ❡①♣r❡ss✐♦♥s ❛t t❤❡ ♣♦✐♥t x = x0 ❛♥❞ t❛❦✐♥❣ ✐♥t♦ ❛❝❝♦✉♥t t❤❛t ∂ ln Z(α, x0)/∂α = 0 ✇❡ ♦❜t❛✐♥

• γ(α0) = γ(α0).

❚❤❡ ❡q✉❛❧✐t② ❢♦r t❤❡ β✲❢✉♥❝t✐♦♥s ❝❛♥ ❜❡ ♣r♦✈❡❞ s✐♠✐❧❛r❧②✳ ❚❤❡ ❘● ❢✉♥❝t✐♦♥s β ❛♥❞ γ ✭❞❡✜♥❡❞ ✐♥ t❡r♠s ♦❢ t❤❡ r❡♥♦r♠❛❧✐③❡❞ ❝♦✉♣❧✐♥❣ ❝♦♥st❛♥t✮ ❛r❡ s❝❤❡♠❡✲❞❡♣❡♥❞❡♥t✳ ❚❤❡② s❛t✐s❢② t❤❡ ◆❙❱❩ r❡❧❛t✐♦♥ ♦♥❧② ✐♥ ❛ ❝❡rt❛✐♥ s✉❜tr❛❝t✐♦♥ s❝❤❡♠❡✱ ❝❛❧❧❡❞ t❤❡ ◆❙❱❩ s❝❤❡♠❡✱ ✇❤✐❝❤ ✐s ❡✈✐❞❡♥t❧② ✜①❡❞ ✐♥ ❛❧❧ ❧♦♦♣s ❜② t❤❡ ❜♦✉♥❞❛r② ❝♦♥❞✐t✐♦♥s (Z3)◆❙❱❩(α◆❙❱❩, x0) = 1; Z◆❙❱❩(α◆❙❱❩, x0) = 1, ✐❢ t❤❡ t❤❡♦r② ✐s r❡❣✉❧❛r✐③❡❞ ❜② ❤✐❣❤❡r ❞❡r✐✈❛t✐✈❡s✳

❑✳❱✳❙t❡♣❛♥②❛♥t③ ❙tr✉❝t✉r❡ ♦❢ q✉❛♥t✉♠ ❝♦rr❡❝t✐♦♥s ✐♥ N = 1

SLIDE 32

✸✷

❚❤❡ s❝❤❡♠❡ ❞❡♣❡♥❞❡♥❝❡ ✐♥ t❤❡ t❤r❡❡✲❧♦♦♣ ❛♣♣r♦①✐♠❛t✐♦♥

❚❤❡ ✭t❤r❡❡✲❧♦♦♣✮ r❡♥♦r♠❛❧✐③❡❞ ❝♦✉♣❧✐♥❣ ❝♦♥st❛♥t ❢♦r N = 1 ❙◗❊❉ ❝❛♥ ❜❡ ❝❛❧❝✉❧❛t❡❞ ✐♥ t❤❡ ❝❛s❡ Rk = 1 + k2n/Λ2n✿ 1 α0 = 1 α − Nf π

• ln Λ

µ + b1

• − αNf

π2

• ln Λ

µ + b2

• − α2Nf

π3 Nf 2 ln2 Λ µ − ln Λ µ

• Nf

n

• I=1

cI ln aI + Nf + 1 2 − Nfb1

• + b3
• + O(α3),

✇❤❡r❡ bi ❛r❡ ❛r❜✐tr❛r② ✜♥✐t❡ ❝♦♥st❛♥ts✳ ❙✐♠✐❧❛r❧②✱ t❤❡ r❡♥♦r♠❛❧✐③❛t✐♦♥ ❝♦♥st❛♥t Z ✭✐♥ t❤❡ t✇♦✲❧♦♦♣ ❛♣♣r♦①✐♠❛t✐♦♥✮ ❢♦r t❤❡ ♠❛tt❡r s✉♣❡r✜❡❧❞s ✐s ♥♦t ❛❧s♦ ✉♥✐q✉❡❧② ❞❡✜♥❡❞✿ Z = 1 + α π

• ln Λ

µ + g1

• + α2(Nf + 1)

2π2 ln2 Λ µ −α2 π2 ln Λ µ

• Nf

n

• I=1

cI ln aI − Nfb1 + Nf + 1 2 − g1

• + α2g2

π2 + O(α3), ✇❤❡r❡ gi ❛r❡ ♦t❤❡r ❛r❜✐tr❛r② ✜♥✐t❡ ❝♦♥st❛♥ts✳ ❚❤❡ s✉❜tr❛❝t✐♦♥ s❝❤❡♠❡ ✐s ✜①❡❞ ❜② ✈❛❧✉❡s ♦❢ t❤❡ ❝♦♥st❛♥ts bi ❛♥❞ gi✳

❑✳❱✳❙t❡♣❛♥②❛♥t③ ❙tr✉❝t✉r❡ ♦❢ q✉❛♥t✉♠ ❝♦rr❡❝t✐♦♥s ✐♥ N = 1

SLIDE 33

✸✸

❚❤❡ s❝❤❡♠❡ ❞❡♣❡♥❞❡♥❝❡ ✐♥ t❤❡ t❤r❡❡✲❧♦♦♣ ❛♣♣r♦①✐♠❛t✐♦♥

❚❤❡ ❘● ❢✉♥❝t✐♦♥s ❞❡✜♥❡❞ ✐♥ t❡r♠s ♦❢ t❤❡ ❜❛r❡ ❝♦✉♣❧✐♥❣ ❝♦♥st❛♥t ❛r❡ β(α0) α2 = Nf π + α0Nf π2 − α2

0Nf

π3

• Nf

n

• I=1

cI ln aI + Nf + 1 2

• + O(α3

0);

γ(α0) = −α0 π + α2 π2

• Nf

n

• I=1

cI ln aI + Nf + 1 2

• + O(α3

0).

❚❤❡② ❞♦ ♥♦t ❞❡♣❡♥❞ ♦♥ t❤❡ ✜♥✐t❡ ❝♦♥st❛♥ts bi ❛♥❞ gi ✭✐✳❡✳ t❤❡② ❛r❡ s❝❤❡♠❡✲ ✐♥❞❡♣❡♥❞❡♥t✮ ❛♥❞ s❛t✐s❢② t❤❡ ◆❙❱❩ r❡❧❛t✐♦♥✳ ❚❤❡ ❘● ❢✉♥❝t✐♦♥s ❞❡✜♥❡❞ ✐♥ t❡r♠s ♦❢ t❤❡ r❡♥♦r♠❛❧✐③❡❞ ❝♦✉♣❧✐♥❣ ❝♦♥st❛♥t ❛r❡

• β(α)

α2 = Nf π + αNf π2 − α2Nf π3

• Nf

n

• I=1

cI ln aI + Nf + 1 2 + Nf(b2 − b1)

• + O(α3)
• γ(α) = −α

π + α2 π2

• Nf + 1

2 + Nf

n

• I=1

cI ln aI − Nfb1 + Nfg1

• + O(α3)

❛♥❞ ❞❡♣❡♥❞ ♦♥ ❛ s✉❜tr❛❝t✐♦♥ s❝❤❡♠❡✳

❑✳❱✳❙t❡♣❛♥②❛♥t③ ❙tr✉❝t✉r❡ ♦❢ q✉❛♥t✉♠ ❝♦rr❡❝t✐♦♥s ✐♥ N = 1

SLIDE 34

✸✹

❚❤❡ ◆❙❱❩ s❝❤❡♠❡ ✐♥ t❤❡ t❤r❡❡✲❧♦♦♣ ❛♣♣r♦①✐♠❛t✐♦♥

❚❤❡ ◆❙❱❩ s❝❤❡♠❡ ✐s ❞❡t❡r♠✐♥❡❞ ❜② t❤❡ ❝♦♥❞✐t✐♦♥s α0(α◆❙❱❩, x0) = α◆❙❱❩; Z◆❙❱❩(α◆❙❱❩, x0) = 1 ❋♦r s✐♠♣❧✐❝✐t② ✇❡ s❡t g1 = 0 ✭t❤✐s ❝♦♥st❛♥t ❝❛♥ ❜❡ ❡①❝❧✉❞❡❞ ❜② ❛ r❡❞❡✜♥✐t✐♦♥ ♦❢ µ✮✳ ■♥ t❤✐s ❝❛s❡ x0 = 0 ❛♥❞ t❤❡ ❛❜♦✈❡ ❝♦♥❞✐t✐♦♥s ✭❢♦r t❤❡ ◆❙❱❩ s❝❤❡♠❡✮ ❣✐✈❡ g2 = b1 = b2 = b3 = 0. ■♥ t❤✐s ❝❛s❡ ✐♥ t❤❡ ❝♦♥s✐❞❡r❡❞ ❛♣♣r♦①✐♠❛t✐♦♥s

• β(α)

α2 = Nf π + αNf π2 − α2Nf π3

• Nf

n

• I=1

cI ln aI + Nf + 1 2

• + O(α3) = β(α)

α2 ;

• γ(α) = dln Z

d ln µ = −α π + α2 π2

• Nf + 1

2 + Nf

n

• I=1

cI ln aI

• + O(α3) = γ(α).

❈♦♥s❡q✉❡♥t❧②✱ ✐♥ t❤✐s s❝❤❡♠❡ t❤❡ ◆❙❱❩ r❡❧❛t✐♦♥ ✐s s❛t✐s✜❡❞✳

❑✳❱✳❙t❡♣❛♥②❛♥t③ ❙tr✉❝t✉r❡ ♦❢ q✉❛♥t✉♠ ❝♦rr❡❝t✐♦♥s ✐♥ N = 1

SLIDE 35

✸✺

❘● ❢✉♥❝t✐♦♥ ❢♦r N = 1 ❙◗❊❉ ✐♥ ❞✐✛❡r❡♥t s✉❜tr❛❝t✐♦♥ s❝❤❡♠❡s

◆❙❱❩✲s❝❤❡♠❡ ✇✐t❤ t❤❡ ❤✐❣❤❡r ❞❡r✐✈❛t✐✈❡s

• γ◆❙❱❩(α) = −α

π + α2 π2 1 2 + Nf

n

• I=1

cI ln aI + Nf

• + O(α3);
• β◆❙❱❩(α) = α2Nf

π

• 1 + α

π − α2 π2 1 2 + Nf

n

• I=1

cI ln aI + Nf

• + O(α3)
• .

▼❖▼✲s❝❤❡♠❡ ✭❚❤❡ r❡s✉❧ts ✇✐t❤ t❤❡ ❞✐♠❡♥s✐♦♥❛❧ r❡❞✉❝t✐♦♥ ❛♥❞ ✇✐t❤ t❤❡ ❤✐❣❤❡r ❞❡r✐✈❛t✐✈❡ r❡❣✉❧❛r✐③❛t✐♦♥ ❝♦✐♥❝✐❞❡✳✮

• γ▼❖▼(α) = −α

π + α2(1 + Nf) 2π2 + O(α3);

• β▼❖▼(α) = α2Nf

π

• 1 + α

π − α2 2π2

• 1 + 3Nf (1 − ζ(3))
• + O(α3)
• .

❉❘✲s❝❤❡♠❡

• γ❉❘(α) = −α

π + α2(2 + 2Nf) 4π2 + O(α3);

• β❉❘(α) = α2Nf

π

• 1 + α

π − α2(2 + 3Nf) 4π2 + O(α3)

• .

❑✳❱✳❙t❡♣❛♥②❛♥t③ ❙tr✉❝t✉r❡ ♦❢ q✉❛♥t✉♠ ❝♦rr❡❝t✐♦♥s ✐♥ N = 1

SLIDE 36

✸✻

❚❤❡ ◆❙❱❩ r❡❧❛t✐♦♥ ❛♥❞ t❤❡ ❞✐♠❡♥s✐♦♥❛❧ r❡❞✉❝t✐♦♥

■♥ t❤❡ ❉❘✲s❝❤❡♠❡ t❤❡ ◆❙❱❩ r❡❧❛t✐♦♥ ✐s ♥♦t ✈❛❧✐❞ st❛rt✐♥❣ ❢r♦♠ t❤❡ t❤r❡❡✲ ❧♦♦♣ ❛♣♣r♦①✐♠❛t✐♦♥

▲✳❱✳❆✈❞❡❡✈✱ ❖✳❱✳❚❛r❛s♦✈✱ P❤②s✳▲❡tt✳ ❇ ✶✶✷ ✭✶✾✽✷✮ ✸✺✻❀ ■✳❏❛❝❦✱ ❉✳❘✳❚✳❏♦♥❡s✱ ❈✳●✳◆♦rt❤✱ P❤②s✳▲❡tt✳ ❇ ✸✽✻ ✭✶✾✾✻✮ ✶✸✽❀ ◆✉❝❧✳P❤②s✳ ❇ ✹✽✻ ✭✶✾✾✼✮ ✹✼✾❀ ❘✳❱✳❍❛r❧❛♥❞❡r✱ ❉✳❘✳❚✳❏♦♥❡s✱ P✳❑❛♥t✱ ▲✳▼✐❤❛✐❧❛✱ ▼✳❙t❡✐♥❤❛✉s❡r✱ ❏❍❊P ✵✻✶✷ ✭✷✵✵✻✮ ✵✷✹✳

❞✉❡ t♦ t❤❡ s❝❤❡♠❡✲❞❡♣❡♥❞❡♥❝❡✳ ❲❤② t❤❡ ❤✐❣❤❡r ❞❡r✐✈❛t✐✈❡ r❡❣✉❧❛r✐③❛t✐♦♥ ♥❛t✉r❛❧❧② ❣✐✈❡s ◆❙❱❩ ❛♥❞ t❤❡ ❞✐♠❡♥s✐♦♥❛❧ r❡❞✉❝t✐♦♥ ❞♦❡s ♥♦t❄ ■♥ t❤❡ ❛❜♦✈❡ ❞❡r✐✈❛t✐♦♥ ✇❡ ❡ss❡♥t✐❛❧❧② ✉s❡ t❤❡ ♣♦ss✐❜✐❧✐t② t♦ t❛❦❡ t❤❡ ❧✐♠✐t p → 0✳ ❚❤✐s ❢♦❧❧♦✇s ❢r♦♠ t❤❡ ❢❛❝t t❤❛t t❤❡ ❤✐❣❤❡r ❞❡r✐✈❛t✐✈❡ t❡r♠s ❛♥❞ t❤❡ ❞❡r✐✈❛t✐✈❡ ✇✐t❤ r❡s♣❡❝t t♦ ln Λ ♠❛❦❡ t❤❡ ✐♥t❡❣r❛❧s ✐♥ t❤✐s ❧✐♠✐t ✇❡❧❧✲❞❡✜♥❡❞✳ ■♥ t❤❡ ❝❛s❡ ♦❢ ✉s✐♥❣ t❤❡ ❞✐♠❡♥s✐♦♥❛❧ r❡❞✉❝t✐♦♥ t❤❡ ❧✐♠✐t p → 0 ✐s ♥♦t ✇❡❧❧✲ ❞❡✜♥❡❞✳ ❍♦✇❡✈❡r✱ ✐t ✐s ♣♦ss✐❜❧❡ t♦ ♠❛❦❡ ❝❛❧❝✉❧❛t✐♦♥s s✐♠✐❧❛r t♦ t❤❡ ❝❛s❡ ♦❢ ✉s✐♥❣ t❤❡ ❤✐❣❤❡r ❞❡r✐✈❛t✐✈❡ r❡❣✉❧❛r✐③❛t✐♦♥

❙✳❙✳❆❧❡s❤✐♥✱ ❆✳▲✳❑❛t❛❡✈✱ ❑✳❙✳✱ ❏❊❚P ▲❡tt✳ ✶✵✸ ✭✷✵✶✻✮ ✼✼❀ ❙✳❙✳❆❧❡s❤✐♥✱ ■✳❖✳●♦r✐❛❝❤✉❦✱ ❆✳▲✳❑❛t❛❡✈✱ ❑✳❙✳✱ P❤②s✳▲❡tt✳ ❇✼✻✹ ✭✷✵✶✼✮ ✷✷✷✳

❑✳❱✳❙t❡♣❛♥②❛♥t③ ❙tr✉❝t✉r❡ ♦❢ q✉❛♥t✉♠ ❝♦rr❡❝t✐♦♥s ✐♥ N = 1

SLIDE 37

✸✼

❚❤❡ ◆❙❱❩ r❡❧❛t✐♦♥ ❛♥❞ t❤❡ ❞✐♠❡♥s✐♦♥❛❧ r❡❞✉❝t✐♦♥

❲✐t❤ t❤❡ ❞✐♠❡♥s✐♦♥❛❧ r❡❞✉❝t✐♦♥ ✐♥ t❤❡ t❤r❡❡ ❧♦♦♣ ❛♣♣r♦①✐♠❛t✐♦♥ d−1(α0, Λ/p, ε) − α−1 = 8πNfΛε

• ddq

(2π)d 1 q2(q + p)2 −8πNfΛε ε 1 − ε

• ddq

(2π)d 1 q2(q + p)2 (ln G(α0, q/Λ, ε))✶✲❧♦♦♣ −8πNfΛε 2ε 1 − 3ε/2

• ddq

(2π)d 1 q2(q + p)2 (ln G(α0, q/Λ, ε))✷✲❧♦♦♣,Nf +✜♥✐t❡ t❡r♠s + O(α2

0Nf) + O(α3 0),

❚❤❡♥ t❤❡ ❜♦✉♥❞❛r② ❝♦♥❞✐t✐♦♥s ❛♥❛❧♦❣♦✉s t♦ t❤❡ ❝❛s❡ ♦❢ ❍❉ ✭❛t t❤❡ t❤r❡❡✲ ❧♦♦♣ ❧❡✈❡❧✮ ❛r❡ lim

ε→∞ α0(α′, ε, x0 = 0) = α′−α′3Nf

4π2 +O(α′4); lim

ε→∞ Z′(α′, ε, x0 = 0) = 1.

❚❤❡② ❛r❡ ❡q✉✐✈❛❧❡♥t t♦ t❤❡ ❝♦✉♣❧✐♥❣ ❝♦♥st❛♥t r❡❞❡✜♥✐t✐♦♥ ✭α′ ∼ ◆❙❱❩ ❛♥❞ α ∼ ❉❘✮ α′ = α + α3Nf 4π2 + O(α4).

❑✳❱✳❙t❡♣❛♥②❛♥t③ ❙tr✉❝t✉r❡ ♦❢ q✉❛♥t✉♠ ❝♦rr❡❝t✐♦♥s ✐♥ N = 1

SLIDE 38

✸✽

❘❡♥♦r♠❛❧✐③❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ♣❤♦t✐♥♦ ♠❛ss ✐♥ s♦❢t❧② ❜r♦❦❡♥ N = 1 ❙◗❊❉

❚❤❡ ✐♥t❡❣r❛❧s ❞❡✜♥✐♥❣ t❤❡ ❛♥♦♠❛❧♦✉s ❞✐♠❡♥s✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ♣❤♦t✐♥♦ ♠❛ss γm(α0) ≡ d ln m0 d ln Λ ✐♥ s♦❢t❧② ❜r♦❦❡♥ N = 1 ❙◗❊❉ r❡❣✉❧❛r✐③❡❞ ❜② ❤✐❣❤❡r ❞❡r✐✈❛t✐✈❡s ❛r❡ ❛❧s♦ ✐♥t❡❣r❛❧s ♦❢ ❞♦✉❜❧❡ t♦t❛❧ ❞❡r✐✈❛t✐✈❡s ✐♥ ❛❧❧ ❧♦♦♣s✳

■✳❱✳◆❛rts❡✈✱ ❑✳❙✳✱ ❏❍❊P ✶✼✵✹ ✭✷✵✶✼✮ ✵✹✼❀ ❏❊❚P ▲❡tt✳ ✶✵✺ ✭✷✵✶✼✮ ✻✾✳

❚❤✐s ❝❛♥ ❜❡ ♣r♦✈❡❞ ❜② t❤❡ ❣❡♥❡r❛❧✐③❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ♠❡t❤♦❞ ❞❡s❝r✐❜❡❞ ❛❜♦✈❡ ❛♥❞ ❧❡❛❞s t♦ t❤❡ ◆❙❱❩✲❧✐❦❡ r❡❧❛t✐♦♥ γm(α0) = α0Nf π

• 1 −

d dα0

• α0γ(α0)
• .

❏✳❍✐s❛♥♦✱ ▼✳❆✳❙❤✐❢♠❛♥✱ P❤②s✳❘❡✈✳ ❉✺✻ ✭✶✾✾✼✮ ✺✹✼✺❀ ■✳❏❛❝❦✱ ❉✳❘✳❚✳❏♦♥❡s✱ P❤②s✳▲❡tt✳ ❇✹✶✺ ✭✶✾✾✼✮ ✸✽✸❀ ▲✳❱✳❆✈❞❡❡✈✱ ❉✳■✳❑❛③❛❦♦✈✱ ■✳◆✳❑♦♥❞r❛s❤✉❦✱ ◆✉❝❧✳P❤②s✳ ❇✺✶✵ ✭✶✾✾✽✮ ✷✽✾✳

❚❤❡ ◆❙❱❩✲❧✐❦❡ s❝❤❡♠❡ ✭❢♦r t❤❡ ❘● ❢✉♥❝t✐♦♥s ❞❡✜♥❡❞ ✐♥ t❡r♠s ♦❢ t❤❡ r❡♥♦r♠❛❧✐③❡❞ ❝♦✉♣❧✐♥❣ ❝♦♥st❛♥t✮ ✐♥ t❤✐s ❝❛s❡ ✐s ❞❡✜♥❡❞ ❜② t❤❡ ❝♦♥❞✐t✐♦♥s Z3(α, x0) = 1; Z(α, x0) = 1; Zm(α, x0) = 1.

❑✳❱✳❙t❡♣❛♥②❛♥t③ ❙tr✉❝t✉r❡ ♦❢ q✉❛♥t✉♠ ❝♦rr❡❝t✐♦♥s ✐♥ N = 1

SLIDE 39

✸✾

❙✐♠♣❧❡ ♥♦♥✲❆❜❡❧✐❛♥ ❡①❛♠♣❧❡✿ ❡①❛❝t ❡①♣r❡ss✐♦♥ ❢♦r t❤❡ ❆❞❧❡r D✲❢✉♥❝t✐♦♥ ✐♥ N = 1 ❙◗❈❉

▼✳❆✳❙❤✐❢♠❛♥ ❛♥❞ ❑✳❙✳✱ P❤②s✳❘❡✈✳▲❡tt✳ ✶✶✹ ✭✷✵✶✺✮ ✵✺✶✻✵✶❀ P❤②s✳❘❡✈✳ ❉ ✾✶ ✭✷✵✶✺✮ ✶✵✺✵✵✽✳

▲❡t ✉s ❝♦♥s✐❞❡r N = 1 ❙◗❈❉ ✐♥t❡r❛❝t✐♥❣ ✇✐t❤ t❤❡ ❆❜❡❧✐❛♥ ❣❛✉❣❡ ✜❡❧❞✳ ❚❤✐s t❤❡♦r② ✐s ❞❡s❝r✐❜❡❞ ❜② t❤❡ ❛❝t✐♦♥ S = 1 2g2 tr ❘❡

• d4x d2θ W aWa +

1 4e2 ❘❡

• d4x d2θ W aW a

+

Nf

• f=1
• 1

4

• d4x d4θ
• φ+

f e2qfV +2V φf +

φ+

f e−2qfV −2V t

φf

• +

1 2

• d4x d2θ m0f

φt

fφf + ❝✳❝✳

• .

❲❡ ❛ss✉♠❡ t❤❛t t❤❡ ❣❛✉❣❡ ❣r♦✉♣ ✐s SU(Nc)✱ ❛♥❞ ♠❛tt❡r s✉♣❡r✜❡❧❞s ❜❡❧♦♥❣ t♦ t❤❡ ✭❛♥t✐✮❢✉♥❞❛♠❡♥t❛❧ r❡♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥✳ ❚❤✐s t❤❡♦r② ✐s ❛ s✉♣❡rs②♠♠❡tr✐❝ ❣❡♥❡r❛❧✐③❛t✐♦♥ ♦❢ ◗❈❉✱ ✐♥ ✇❤✐❝❤ ♦♥❡ t❛❦❡s ✐♥t♦ ❛❝❝♦✉♥t ✐♥t❡r❛❝t✐♦♥ ♦❢ q✉❛r❦s ✇✐t❤ t❤❡ ❡❧❡❝tr♦♠❛❣♥❡t✐❝ ✜❡❧❞✳

❑✳❱✳❙t❡♣❛♥②❛♥t③ ❙tr✉❝t✉r❡ ♦❢ q✉❛♥t✉♠ ❝♦rr❡❝t✐♦♥s ✐♥ N = 1

SLIDE 40

✹✵

◆♦t❛t✐♦♥s

V ✐s t❤❡ ♥♦♥✲❆❜❡❧✐❛♥ SU(Nc) ❣❛✉❣❡ s✉♣❡r✜❡❧❞ ✭❣❧✉♦♥s ✰ s✉♣❡r♣❛rt♥❡rs✮ V ✐s t❤❡ ❆❜❡❧✐❛♥ U(1) ❣❛✉❣❡ s✉♣❡r✜❡❧❞ ✭♣❤♦t♦♥ ✰ s✉♣❡r♣❛rt♥❡r✮ φf ❛♥❞ φf ❛r❡ t❤❡ ❝❤✐r❛❧ ♠❛tt❡r s✉♣❡r✜❡❧❞s ✇✐t❤ t❤❡ ❝❤❛r❣❡s qfe ❛♥❞ −qfe ✇✐t❤ r❡s♣❡❝t t♦ t❤❡ ❣r♦✉♣ U(1)✱ r❡s♣❡❝t✐✈❡❧② ✭r✐❣❤t ❛♥❞ ❧❡❢t q✉❛r❦s ✰ s✉♣❡r♣❛rt♥❡rs✮✳ ❚❤❡ str❡♥❣t❤ ♦❢ t❤❡ ♥♦♥✲❆❜❡❧✐❛♥ ❣❛✉❣❡ s✉♣❡r✜❡❧❞ ✐s ❞❡♥♦t❡❞ ❜② Wa ≡ 1 8 ¯ D2(e−2V Dae2V ), ❛♥❞ t❤❡ str❡♥❞❣t❤ ♦❢ t❤❡ ❆❜❡❧✐❛♥ ❣❛✉❣❡ s✉♣❡r✜❡❧❞ ✐s W a = 1 4 ¯ D2DaV . ❚❤❡ ❝♦♥s✐❞❡r❡❞ t❤❡♦r② ❝♦♥t❛✐♥s t✇♦ ❝♦✉♣❧✐♥❣ ❝♦♥st❛♥ts✿ αs = g2 4π ❛♥❞ α = e2 4π .

❑✳❱✳❙t❡♣❛♥②❛♥t③ ❙tr✉❝t✉r❡ ♦❢ q✉❛♥t✉♠ ❝♦rr❡❝t✐♦♥s ✐♥ N = 1

SLIDE 41

✹✶

❚❤❡ ❆❞❧❡r D✲❢✉♥❝t✐♦♥

❲❡ ❝♦♥s✐❞❡r q✉❛♥t✉♠ ❝♦rr❡❝t✐♦♥s t♦ t❤❡ ❡❧❡❝tr♦♠❛❣♥❡t✐❝ ❝♦✉♣❧✐♥❣ ❝♦♥t❛♥t α✱ ✇❤✐❝❤ ❛♣♣❡❛r ❞✉❡ t♦ t❤❡ q✉❛r❦ ❧♦♦♣ ✇✐t❤ ✐♥t❡r♥❛❧ ❣❧✉♦♥ ❛♥❞ q✉❛r❦ ❧✐♥❡s✳ ❚❤❡ ❞✐❛❣r❛♠s ❝♦♥t❛✐♥✐♥❣ ✐♥t❡r♥❛❧ ♣❤♦t♦♥ ❧✐♥❡s ❛r❡ ♦♠✐tt❡❞✳ ✭❚❤✉s✱ t❤❡ ❡❧❡❝tr♦♠❛❣♥❡t✐❝ ✜❡❧❞ V ✐s ❝♦♥s✐❞❡r❡❞ ❛s ❛♥ ❡①t❡r♥❛❧ ✜❡❧❞✳✮ ❉✉❡ t♦ t❤❡ ❲❛r❞ ✐❞❡♥t✐t② t❤❡ t✇♦✲♣♦✐♥t ●r❡❡♥ ❢✉♥❝t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ s✉♣❡r✜❡❧❞ V ✐s tr❛♥s✈❡rs❛❧✿ ∆Γ(2) = − 1 16π

• d4p

(2π)4 d4θ V ∂2Π1/2V

• d−1(α0, α0s, Λ/p) − α−1
• .

❲❡ ❝❛❧❝✉❧❛t❡ t❤❡ ❆❞❧❡r ❢✉♥❝t✐♦♥✱ ✇❤✐❝❤ ✐s ❞❡✜♥❡❞ ✐♥ t❡r♠s ♦❢ t❤❡ ❜❛r❡ ❝♦✉♣❧✐♥❣ ❝♦♥st❛♥t ❜② t❤❡ ❡q✉❛t✐♦♥ D(α0s) = 3π 2 d d ln Λ

• d−1(α0, α0s, Λ/p) − α−1
• p=0 = 3π

2α2 dα0 d ln Λ. ❚❤✉s✱ ✐t ❞❡♣❡♥❞s ♦♥ r❡❣✉❧❛r✐③❛t✐♦♥✱ ❜✉t ✐s ✐♥❞❡♣❡♥❞❡♥t ♦❢ ❛ s✉❜tr❛❝t✐♦♥ s❝❤❡♠❡✳

❑✳❱✳❙t❡♣❛♥②❛♥t③ ❙tr✉❝t✉r❡ ♦❢ q✉❛♥t✉♠ ❝♦rr❡❝t✐♦♥s ✐♥ N = 1

SLIDE 42

✹✷

❚❤❡ ❤✐❣❤❡r ❝♦✈❛r✐❛♥t ❞❡r✐✈❛t✐✈❡ r❡❣✉❧❛r✐③❛t✐♦♥

❲❡ ❛❞❞ t♦ t❤❡ ❛❝t✐♦♥ t❤❡ ❤✐❣❤❡r ❞❡r✐✈❛t✐✈❡ t❡r♠✱ ❡✳❣✳✱ SΛ = 1 2g2 tr ❘❡

• d4x d2θ (eΩW ae−Ω)
• R
• −

¯ ∇2∇2 16Λ2

• − 1
• (eΩWae−Ω).

❚❤❡ ❝♦✈❛r✐❛♥t ❞❡r✐✈❛t✐✈❡s ❤❛✈❡ t❤❡ ❢♦r♠ ∇a = e−Ω+DaeΩ+; ¯ ∇˙

a = eΩ ¯

D˙

ae−Ω,

✇❤❡r❡ e2V = eΩ+eΩ, Λ ✐s ❛ ❞✐♠❡♥s✐♦♥❢✉❧ ♣❛r❛♠❡t❡r✱ ❛♥❞ R−1 ✐s ❛ r❡❣✉❧❛t♦r✱ s✉❝❤ ❛s R(0)−1 = 0 ❛♥❞ R(x) → ∞ ❢♦r x → ∞✱ ❢♦r ❡①❛♠♣❧❡✱ R(x) = 1 + xn✳ ❘❡♠❛✐♥✐♥❣ ♦♥❡✲❧♦♦♣ ✭s✉❜✮❞✐✈❡r❣❡♥❝❡s ❛r❡ r❡❣✉❧❛r✐③❡❞ ❜② ✐♥s❡rt✐♥❣ t❤❡ P❛✉❧✐✕❱✐❧❧❛rs ❞❡t❡r♠✐♥❛♥ts ✐♥t♦ t❤❡ ❣❡♥❡r❛t✐♥❣ ❢✉♥❝t✐♦♥❛❧✿ Γ[V ] = −i ln

• DV DΦD

Φ

m

• I=1

det(V, V , MI)cI exp

• i(S+SΛ+S❣❢+S❣❤♦sts)
• ,

✇❤❡r❡ MI = aIΛ ❛♥❞ aI ❞♦ ♥♦t ❞❡♣❡♥❞ ♦♥ α0s✳

❑✳❱✳❙t❡♣❛♥②❛♥t③ ❙tr✉❝t✉r❡ ♦❢ q✉❛♥t✉♠ ❝♦rr❡❝t✐♦♥s ✐♥ N = 1

SLIDE 43

✹✸

❊①❛❝t ❡①♣r❡ss✐♦♥ ❢♦r t❤❡ ❆❞❧❡r ❢✉♥❝t✐♦♥

■t ✐s ♣♦ss✐❜❧❡ t♦ ❞❡r✐✈❡ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ◆❙❱❩✲❧✐❦❡ ❡①❛❝t ❡①♣r❡ss✐♦♥ ❢♦r t❤❡ ❆❞❧❡r ❢✉♥❝t✐♦♥ ❢♦r t❤❡ ❝♦♥s✐❞❡r❡❞ t❤❡♦r② D(α0s) = 3 2

• f

q2

f · Nc

• 1 − γ(α0s)
• .

◆♦t❡ t❤❛t✱ ✐♥ ❣❡♥❡r❛❧✱ t❤❡ ❆❞❧❡r D✲❢✉♥❝t✐♦♥ ❝♦♥s✐sts ♦❢ t✇♦ ❝♦♥tr✐❜✉t✐♦♥s D(α0s) =

• f

q2

f D1(α0s) + f

qf 2 D2(α0s), ✇❤✐❝❤ ❝♦rr❡s♣♦♥❞ t♦ t✇♦ ❞✐✛❡r❡♥t t②♣❡s ♦❢ ❞✐❛❣r❛♠s✿

❑✳❱✳❙t❡♣❛♥②❛♥t③ ❙tr✉❝t✉r❡ ♦❢ q✉❛♥t✉♠ ❝♦rr❡❝t✐♦♥s ✐♥ N = 1

SLIDE 44

✹✹

◆♦♥✲❆❜❡❧✐❛♥ N = 1 s✉♣❡rs②♠♠❡tr✐❝ ❣❛✉❣❡ t❤❡♦r✐❡s

■♥✈❡st✐❣❛t✐♦♥ ♦❢ ♥♦♥✲❆❜❡❧✐❛♥ N = 1 ❙❨▼ t❤❡♦r✐❡s ✇✐t❤ ♠❛tt❡r ✐s ♠✉❝❤ ♠♦r❡ ❝♦♠♣❧✐❝❛t❡❞✳ ▲❡t ✉s ❝♦♥s✐❞❡r t❤❡ t❤❡♦r② S = 1 2e2 ❘❡ tr

• d4x d2θ W aWa + 1

4

• d4x d4θ φ∗i(e2V )i

jφj

+ d4x d2θ 1 4mij

0 φiφj + 1

6λijk

0 φiφjφk

• + ❝✳❝✳
• ,

✇❤❡r❡ ♠❛tt❡r s✉♣❡r✜❡❧❞s ❜❡❧♦♥❣ t♦ ❛ r❡♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥ R ♦❢ t❤❡ ❣❛✉❣❡ ❣r♦✉♣✱ ❛♥❞ ❨✉❦❛✇❛ ❝♦✉♣❧✐♥❣s λ0 s❛t✐s❢② t❤❡ ❝♦♥❞✐t✐♦♥ λijm (T A)m

k + λimk

(T A)m

j + λmjk

(T A)m

i = 0.

■t ✐s ✐♥✈❛r✐❛♥t ✉♥❞❡r t❤❡ ❣❛✉❣❡ tr❛♥s❢♦r♠❛t✐♦♥s φ → eAφ; e2V → e−A+e2V e−A, ✇❤❡r❡ t❤❡ ♣❛r❛♠❡t❡r A ✐s ❛♥ ❛r❜✐tr❛r② ❝❤✐r❛❧ s✉♣❡r✜❡❧❞✳

❑✳❱✳❙t❡♣❛♥②❛♥t③ ❙tr✉❝t✉r❡ ♦❢ q✉❛♥t✉♠ ❝♦rr❡❝t✐♦♥s ✐♥ N = 1

SLIDE 45

✹✺

❚❤❡ ❜❛❝❦❣r♦✉♥❞ ✜❡❧❞ ♠❡t❤♦❞✱ r❡❣✉❧❛r✐③❛t✐♦♥✱ ❛♥❞ ❣❛✉❣❡ ✜①✐♥❣

◗✉❛♥t✉♠✲❜❛❝❦❣r♦✉♥❞ s♣❧✐tt✐♥❣ ✐s ♠❛❞❡ ❜② t❤❡ s✉❜st✐t✉t✐♦♥ e2V → eΩ+e2V eΩ. ❚❤❡ ❜❛❝❦❣r♦✉♥❞ s✉♣❡r✜❡❧❞ V ✐s ❞❡✜♥❡❞ ❜② e2V = eΩ+eΩ✳ ❲❡ ❝❤♦♦s❡ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ❤✐❣❤❡r ❞❡r✐✈❛t✐✈❡ t❡r♠ SΛ = 1 2e2 ❘❡ tr

• d4x d2θ eΩeΩW ae−Ωe−Ω

R

• −

¯ ∇2∇2 16Λ2

• − 1
• Adj

×eΩeΩWae−Ωe−Ω + 1 4

• d4x d4θ φ+eΩ+eΩ+

F

• −

¯ ∇2∇2 16Λ2

• − 1
• eΩeΩφ,

❛♥❞ t❤❡ ❣❛✉❣❡ ✜①✐♥❣ t❡r♠ S❣❢ = 1 e2 tr

• d4x d4θ
• 16ξ0 f +

eΩ+K−1 − ¯ ∇2∇2 16Λ2

• eΩ

Adjf

+eΩfe−Ω∇2V + e−Ω+f +eΩ+ ¯ ∇2V

• ,

✇❤❡r❡ t❤❡ r❡❣✉❧❛t♦rs R✱ F✱ ❛♥❞ K ❤❛✈❡ ❛ r❛♣✐❞ ❣r♦✇t❤ ❛t ✐♥✜♥✐t②✳

❑✳❱✳❙t❡♣❛♥②❛♥t③ ❙tr✉❝t✉r❡ ♦❢ q✉❛♥t✉♠ ❝♦rr❡❝t✐♦♥s ✐♥ N = 1

SLIDE 46

✹✻

• ❤♦st ▲❛❣r❛♥❣✐❛♥ ❛♥❞ ❇❘❙❚ ✐♥✈❛r✐❛♥❝❡

❆❝t✐♦♥s ❢♦r t❤❡ ❋❛❞❞❡❡✈✕P♦♣♦✈ ❛♥❞ ◆✐❡❧s❡♥✕❑❛❧❧♦s❤ ❣❤♦sts ❤❛✈❡ t❤❡ ❢♦r♠ S❋P = 1 e2 tr

• d4x d4θ
• eΩ¯

ce−Ω + e−Ω+¯ c+eΩ+ ×

• V

1 − e2V

• Adj
• e−Ω+c+eΩ+

+

• V

1 − e−2V

• Adj
• eΩce−Ω

; S◆❑ = 1 2e2 tr

• d4x d4θ b+

eΩ+K

• −

¯ ∇2∇2 16Λ2

• eΩ

Adjb.

❚❤❡ t♦t❛❧ ❛❝t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ❣❛✉❣❡ ✜①❡❞ t❤❡♦r② ✐s ✐♥✈❛r✐❛♥t ✉♥❞❡r t❤❡ ❇❘❙❚ tr❛♥s❢♦r♠❛t✐♦♥s δV = −ε

• V

1 − e2V

• Adj
• e−Ω+c+eΩ+

+

• V

1 − e−2V

• Adj
• eΩce−Ω

; δφ = εcφ; δ¯ c = ε ¯ D2(e−2V f +e2V ); δ¯ c+ = εD2(e2V fe−2V ); δc = εc2; δc+ = ε(c+)2; δf = 0; δb = 0; δΩ = 0, ✇❤❡r❡ ε ✐s ❛♥ ❛♥t✐❝♦♠♠✉t✐♥❣ s❝❛❧❛r ♣❛r❛♠❡t❡r✳

❑✳❱✳❙t❡♣❛♥②❛♥t③ ❙tr✉❝t✉r❡ ♦❢ q✉❛♥t✉♠ ❝♦rr❡❝t✐♦♥s ✐♥ N = 1

SLIDE 47

✹✼

❘❡♥♦r♠❛❧✐③❛t✐♦♥

■♥ ♦✉r ♥♦t❛t✐♦♥ t❤❡ r❡♥♦r♠❛❧✐③❛t✐♦♥ ❝♦♥st❛♥ts ❛r❡ ❞❡✜♥❡❞ ❜② t❤❡ ❡q✉❛t✐♦♥s 1 α0 = Zα α ; 1 ξ0 = Zξ ξ ; V = VR; V = ZV Z−1/2

α

VR; b =

• ZbbR;

¯ cc = ZcZ−1

α ¯

cRcR; φi = (

• Zφ)i

j(φR)j;

mij = mmn (Zm)m

i(Zm)n j;

λijk = λmnp (Zλ)m

i(Zλ)n j(Zλ)p k.

❚❤❡ s✉❜s❝r✐♣t R ❞❡♥♦t❡s r❡♥♦r♠❛❧✐③❡❞ s✉♣❡r✜❡❧❞s✱ α✱ λ✱ ❛♥❞ ξ ❛r❡ t❤❡ r❡♥♦r♠❛❧✐③❡❞ ❝♦✉♣❧✐♥❣ ❝♦♥st❛♥t✱ t❤❡ ❨✉❦❛✇❛ ❝♦✉♣❧✐♥❣s✱ ❛♥❞ t❤❡ ❣❛✉❣❡ ♣❛r❛♠❡t❡r✱ r❡s♣❡❝t✐✈❡❧②❀ m ❞❡♥♦t❡s r❡♥♦r♠❛❧✐③❡❞ ♠❛ss❡s✳ ■t ✐s ♣♦ss✐❜❧❡ t♦ ✐♠♣♦s❡ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ❝♦♥str❛✐♥s t♦ t❤❡s❡ r❡♥♦r♠❛❧✐③❛t✐♦♥ ❝♦♥st❛♥ts✿ (Zm)i

j = (Zλ)i j = (

• Zφ)i

j;

Zξ = Z−2

V ;

Zb = Z−1

α .

❑✳❱✳❙t❡♣❛♥②❛♥t③ ❙tr✉❝t✉r❡ ♦❢ q✉❛♥t✉♠ ❝♦rr❡❝t✐♦♥s ✐♥ N = 1

SLIDE 48

✹✽

◆♦♥✲r❡♥♦r♠❛❧✐③❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ✈❡rt✐❝❡s ✇✐t❤ t✇♦ ❣❤♦st ❧❡❣s ❛♥❞ ♦♥❡ ❧❡❣ ♦❢ t❤❡ q✉❛♥t✉♠ ❣❛✉❣❡ s✉♣❡r✜❡❧❞

❲❡ ✇✐❧❧ ♣r♦✈❡ t❤❛t t❤❡ t❤r❡❡✲♣♦✐♥t ✈❡rt✐❝❡s ✇✐t❤ t✇♦ ❣❤♦st ❧❡❣s ❛♥❞ ❛ s✐♥❣❧❡ ❧❡❣ ♦❢ t❤❡ q✉❛♥t✉♠ ❣❛✉❣❡ s✉♣❡r✜❡❧❞ ❛r❡ ✜♥✐t❡ ✐♥ ❛❧❧ ♦r❞❡rs✳

❑✳❙✳✱ ◆✉❝❧✳P❤②s✳ ❇✾✵✾ ✭✷✵✶✻✮ ✸✶✻✳

❚❤❡r❡ ❛r❡ ✹ s✉❝❤ ✈❡rt✐❝❡s✱ ¯ c V c✱ ¯ c+V c✱ ¯ c V c+✱ ❛♥❞ ¯ c+V c+✳ ❚❤❡② ❤❛✈❡ t❤❡ s❛♠❡ r❡♥♦r♠❛❧✐③❛t✐♦♥ ❝♦♥st❛♥t Z−1/2

α

ZcZV ✳ ❚❤❡r❡❢♦r❡✱ t❤❡ ❛❜♦✈❡ st❛t❡♠❡♥t ❝❛♥ ❜❡ r❡✇r✐tt❡♥ ❛s d d ln Λ(Z−1/2

α

ZcZV ) = 0. ■♥ t❤❡ ♦♥❡✲❧♦♦♣ ❛♣♣r♦①✐♠❛t✐♦♥ t❤✐s ❤❛s ✜rst ❜❡❡♥ ♥♦t❡❞ ✐♥ t❤❡ ♣❛♣❡r

❙✳❙✳❆❧❡s❤✐♥✱ ❆✳❊✳❑❛③❛♥ts❡✈✱ ▼✳❇✳❙❦♦♣s♦✈✱ ❑✳❙✳✱ ❏❍❊P ✶✻✵✺ ✭✷✵✶✻✮ ✵✶✹✳

❈♦♥s❡q✉❡♥t❧②✱ t❤❡r❡ ✐s ❛ s✉❜tr❛❝t✐♦♥ s❝❤❡♠❡ ✐♥ ✇❤✐❝❤ −1 2 ln Zα + ln Zc + ln ZV = 0. ■♠♣♦rt❛♥t✿ ❇❡❧♦✇ ✇❡ ✇✐❧❧ ❞❡♠♦♥str❛t❡ t❤❛t Zc ✐s ❞✐✈❡r❣❡♥t✳ ❚❤❡r❡❢♦r❡✱ ❚❤❡

• r❡❡♥ ❢✉♥❝t✐♦♥s ♦❢ t❤❡ str✉❝t✉r❡ ¯

c V nc ❛r❡ ❞✐✈❡r❣❡♥t ❢♦r n = 1✳

❑✳❱✳❙t❡♣❛♥②❛♥t③ ❙tr✉❝t✉r❡ ♦❢ q✉❛♥t✉♠ ❝♦rr❡❝t✐♦♥s ✐♥ N = 1

SLIDE 49

✹✾

❙❧❛✈♥♦✈✕❚❛②❧♦r ✐❞❡♥t✐t✐❡s

❚❤❡ ❙❧❛✈♥♦✈✕❚❛②❧♦r ✐❞❡♥t✐t② ❝❛♥ ❜❡ ❞❡r✐✈❡❞ ❜② ♠❛❦✐♥❣ t❤❡ s✉❜st✐t✉t✐♦♥ ❝♦✐♥❝✐❞✐♥❣ ✇✐t❤ t❤❡ ❇❘❙❚ tr❛♥s❢♦r♠❛t✐♦♥s ✐♥ t❤❡ ❣❡♥❡r❛t✐♥❣ ❢✉♥❝t✐♦♥❛❧ ❛♥❞ ✐s ✇r✐tt❡♥ ❛s 0 =

• d4x d4θx

δΓ δV A

x

• δV A

x

• +
• d4x d2θx

δ¯ cA

x

δΓ δ¯ cA

x

+

• δcA

x

δΓ δcA

x

+ δφi δΓ δφi

• +
• d4x d2¯

θx δ¯ c∗A

x

δΓ δ¯ c∗A

x

+

• δc∗A

x

δΓ δc∗A

x

+

• δφ∗i δΓ

δφ∗i

• ,

✇❤❡r❡ ✇❡ ❦❡❡♣ t❤❡ ε✲❞❡♣❡♥❞❡♥❝❡✳ ❆❧s♦ ✇❡ ✇✐❧❧ ✉s❡ t❤❡ ✐❞❡♥t✐t② ♦❜t❛✐♥❡❞ ❜② ♠❛❦✐♥❣ t❤❡ s✉❜st✐t✉t✐♦♥ ¯ c → ¯ c+a✱ ✇❤❡r❡ a ✐s ❛♥ ❛r❜✐tr❛r② ❝❤✐r❛❧ s✉♣❡r✜❡❧❞✿ ε δΓ δ¯ cA

x

= 1 4 ¯ D2 δV A

x

• ;

ε δΓ δ¯ c∗A

x

= 1 4D2 δV A

x

• ,

✇❤❡r❡✱ ❢♦r s✐♠♣❧✐❝✐t②✱ t❤❡ ❜❛❝❦❣r♦✉♥❞ s✉♣❡r✜❡❧❞ ✐s s❡t t♦ ✵✳

❑✳❱✳❙t❡♣❛♥②❛♥t③ ❙tr✉❝t✉r❡ ♦❢ q✉❛♥t✉♠ ❝♦rr❡❝t✐♦♥s ✐♥ N = 1

SLIDE 50

✺✵

❙❧❛✈♥♦✈✕❚❛②❧♦r ✐❞❡♥t✐t✐❡s ❢♦r t❤❡ t❤r❡❡✲♣♦✐♥t ❢✉♥❝t✐♦♥s

▲❡t ✉s ❞✐✛❡r❡♥t✐❛t❡ t❤❡ ❙❧❛✈♥♦✈✕❚❛②❧♦r ✐❞❡♥t✐t② ✇✐t❤ r❡s♣❡❝t t♦ ¯ c∗B

y ✱ cC z ✱

❛♥❞ cD

w✱ s❡t t❤❡ ✜❡❧❞s t♦ ✵✱ ❛♥❞ ✉s❡ t❤❡ ❡q✉❛t✐♦♥s

δ2Γ δ¯ c∗B

y δcA x

= −D2

y ¯

D2

x

16 Gcδ8

xyδAB;

δ δcA

x

• δV B

y

• = −ε · 1

4Gc ¯ D2δ8

xyδAB.

❆s ❛ r❡s✉❧t ✇❡ ♦❜t❛✐♥ t❤❡ ✐❞❡♥t✐t② ε · Gc(∂2

w/Λ2) ¯

D2

w

δ3Γ δ¯ c∗B

y δV D w δcC z

− ε · Gc(∂2

z/Λ2) ¯

D2

z

δ3Γ δ¯ c∗B

y δV C z δcD w

+1 2Gc

• ∂2

y/Λ2

D2

y

δ2 δcC

z δcD w

• δcB

y

• = 0.

❙✐♠✐❧❛r❧②✱ ❞✐✛❡r❡♥t✐❛t✐♥❣ ✇✐t❤ r❡s♣❡❝t t♦ ¯ c∗B

y ✱ c∗C z ✱ ❛♥❞ cD w ❣✐✈❡s

ε · Gc(∂2

w/Λ2) ¯

D2

w

δ3Γ δ¯ c∗B

y δV D w δc∗C z

+ ε · Gc(∂2

z/Λ2)D2 z

δ3Γ δ¯ c∗B

y δV C z δcD w

+1 2Gc

• ∂2

y/Λ2

D2

y

δ2 δc∗C

z δcD w

• δcB

y

• = 0.

❑✳❱✳❙t❡♣❛♥②❛♥t③ ❙tr✉❝t✉r❡ ♦❢ q✉❛♥t✉♠ ❝♦rr❡❝t✐♦♥s ✐♥ N = 1

SLIDE 51

✺✶

❊①♣❧✐❝✐t ❡①♣r❡ss✐♦♥s ❢♦r t❤❡ t❤r❡❡✲♣♦✐♥t ❣❤♦st✲❣❛✉❣❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s

❚♦ s✐♠♣❧✐❢② t❤❡s❡ ✐❞❡♥t✐t✐❡s ✇❡ ✉s❡ ❡①♣❧✐❝✐t ❡①♣r❡ss✐♦♥s ❢♦r t❤❡

• r❡❡♥ ❢✉♥❝t✐♦♥s✳ ❚❤❡② ❝❛♥ ❜❡ ❞❡r✐✈❡❞ ✉s✐♥❣ ❞✐♠❡♥s✐♦♥❛❧ ❛♥❞ ❝❤✐r❛❧✐t②

❝♦♥s✐❞❡r❛t✐♦♥s✿ δ3Γ δ¯ c∗A

x δV B y δcC z

= −ie0 16 f ABC

• d4p

(2π)4 d4q (2π)4

• f(p, q)∂2Π1/2

−Fµ(p, q)(γµ)˙

a b ¯

D ˙

aDb + F(p, q)

• y
• D2

xδ8 xy(q + p) ¯

D2

zδ8 yz(q)

• ;

δ3Γ δ¯ c∗A

x δV B y δc∗C z

= −ie0 16 f ABC

• d4p

(2π)4 d4q (2π)4 F(p, q)D2

xδ8 xy(q + p)D2 zδ8 yz(q),

✇❤❡r❡ ∂2Π1/2 ≡ −Da ¯ D2Da/8 ✐s t❤❡ s✉♣❡rs②♠♠❡tr✐❝ ♣r♦❥❡❝t✐♦♥ ♦♣❡r❛t♦r✱ ❛♥❞ δ8

xy(p) ≡ δ4(θx − θy)eipα(xα−yα).

❚❤✐s ✐♠♣❧✐❡s t❤❛t q + p ✐s t❤❡ ♠♦♠❡♥t✉♠ ♦❢ ¯ c∗✱ −p ✐s t❤❡ ♠♦♠❡♥t✉♠ ♦❢ V ✱ ❛♥❞ −q ✐s t❤❡ ♠♦♠❡♥t✉♠ ♦❢ c ✭♦r c∗✮✳

❑✳❱✳❙t❡♣❛♥②❛♥t③ ❙tr✉❝t✉r❡ ♦❢ q✉❛♥t✉♠ ❝♦rr❡❝t✐♦♥s ✐♥ N = 1

SLIDE 52

✺✷

❊①♣❧✐❝✐t ❡①♣r❡ss✐♦♥s ❢♦r t❤❡ ❣❤♦st ❝♦rr❡❧❛t♦r

▲❡t ✉s ✐♥tr♦❞✉❝❡ t❤❡ ❝❤✐r❛❧ s♦✉r❝❡ J ❛♥❞ ❛❞❞ t❤❡ t❡r♠ −e0 2

• d4x d2θ f ABCJ AcBcC + ❝✳❝✳

t♦ t❤❡ ❛❝t✐♦♥✳ ❋r♦♠ ❞✐♠❡♥s✐♦♥❛❧ ❛♥❞ ❝❤✐r❛❧✐t② ❝♦♥s✐❞❡r❛t✐♦♥s ✇❡ ♦❜t❛✐♥ δ2 δcC

z δcD w

• δcB

y

• = −iε ·

δ3Γ δcC

z δcD wδJ B y

= −ie0ε 4 f BCD

• d4p

(2π)4 d4q (2π)4 H(p, q) ¯ D2

zδ8 zy(q + p) ¯

D2

wδ8 yw(q);

✇❤❡r❡ [H(p, q)] = 1✱ ❛♥❞✱ ❜② ❝♦♥str✉❝t✐♦♥✱ H(p, q) = H(p, −q − p). ❙✉❜st✐t✉t✐♥❣ ❡①♣❧✐❝✐t ❡①♣r❡ss✐♦♥s ❢♦r t❤❡ ●r❡❡♥ ❢✉♥❝t✐♦♥s ✐♥t♦ t❤❡ ✜rst ❙❧❛✈♥♦✈✕❚❛②❧♦r ✐❞❡♥t✐t②✱ ✇❡ ❝❛♥ r❡✇r✐t❡ ✐t ✐♥ t❤❡ ❢♦r♠ Gc(q)F(q, p) + Gc(p)F(p, q) = 2Gc(q + p)H(−q − p, q);

❑✳❱✳❙t❡♣❛♥②❛♥t③ ❙tr✉❝t✉r❡ ♦❢ q✉❛♥t✉♠ ❝♦rr❡❝t✐♦♥s ✐♥ N = 1

SLIDE 53

✺✸

❋✐♥✐t❡♥❡ss ♦❢ t❤❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ H

❋✐rst✱ ❧❡t ✉s ♣r♦✈❡ t❤❛t t❤❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ H(p, q) ✐s ✜♥✐t❡✳ H ✐s ❝♦♥tr✐❜✉t❡❞ ❜② ❞✐❛❣r❛♠s ✐♥ ✇❤✐❝❤ ♦♥❡ ❧❡❣ ❝♦rr❡s♣♦♥❞s t♦ t❤❡ ❝❤✐r❛❧ s♦✉r❝❡ J ❛♥❞ t✇♦ ♦t❤❡r ❧❡❣s ❝♦rr❡s♣♦♥❞ t♦ ❝❤✐r❛❧ ❣❤♦st s✉♣❡r✜❡❧❞s c✳ ❚❤❡s❡ ❞✐❛❣r❛♠s ❝♦♥t❛✐♥

• d4y d2θy J A

y ·

¯ D2

yD2 y

4∂2 δ8

y1·

¯ D2

yD2 y

4∂2 δ8

y2 = −2

• d4y d4θy J A

y · D2 y

4∂2 δ8

y1·

¯ D2

yD2 y

4∂2 δ8

y2.

❚❤❡r❡❢♦r❡✱ t❤❡ ❝♦♥s✐❞❡r❡❞ ❝♦♥tr✐❜✉t✐♦♥ ❝❛♥ ❜❡ ♣r❡s❡♥t❡❞ ❛s ❛♥ ✐♥t❡❣r❛❧ ♦✈❡r t❤❡ t♦t❛❧ s✉♣❡rs♣❛❝❡✱ ✇❤✐❝❤ ✐♥❝❧✉❞❡s ✐♥t❡❣r❛t✐♦♥ ♦✈❡r

• d4θ = −1

2

• d2θ ¯

D2 + t♦t❛❧ ❞❡r✐✈❛t✐✈❡s ✐♥ t❤❡ ❝♦♦r❞✐♥❛t❡ s♣❛❝❡ . ❚❤✐s ✐♠♣❧✐❡s t❤❛t t✇♦ ❧❡❢t s♣✐♥♦r ❞❡r✐✈❛t✐✈❡s s❤♦✉❧❞ ❛❝t t♦ t❤❡ ❝❤✐r❛❧ ❡①t❡r♥❛❧ ❧✐♥❡s✳ ❚❤❡r❡❢♦r❡✱ t❤❡ ♥♦♥✲✈❛♥✐s❤✐♥❣ r❡s✉❧t ❝❛♥ ❜❡ ♦❜t❛✐♥❡❞ ♦♥❧② ✐❢ t✇♦ r✐❣❤t s♣✐♥♦r ❞❡r✐✈❛t✐✈❡s ❛❧s♦ ❛❝t t♦ t❤❡ ❡①t❡r♥❛❧ ❧✐♥❡s✳ ❈♦♥s❡q✉❡♥t❧②✱ t❤❡ r❡s✉❧t s❤♦✉❧❞ ❜❡ ♣r♦♣♦rt✐♦♥❛❧ t♦✱ ❛t ❧❡❛st✱ t❤❡ s❡❝♦♥❞ ❞❡❣r❡❡ ♦❢ t❤❡ ❡①t❡r♥❛❧ ♠♦♠❡♥t❛ ❛♥❞ ✐s ✜♥✐t❡ ✐♥ t❤❡ ✉❧tr❛✈✐♦❧❡t r❡❣✐♦♥✳ ❚❤✉s✱ t❤❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ H(p, q) ✐s ❯❱ ✜♥✐t❡✳

❑✳❱✳❙t❡♣❛♥②❛♥t③ ❙tr✉❝t✉r❡ ♦❢ q✉❛♥t✉♠ ❝♦rr❡❝t✐♦♥s ✐♥ N = 1

SLIDE 54

✺✹

◆♦♥✲r❡♥♦r♠❛❧✐③❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ t❤r❡❡✲♣♦✐♥t ❣❤♦st✲❣❛✉❣❡ ✈❡rt✐❝❡s

▲❡t ✉s ♠✉❧t✐♣❧② t❤❡ ❙❧❛✈♥♦✈✕❚❛②❧♦r ✐❞❡♥t✐t② t♦ t❤❡ r❡♥♦r♠❛❧✐③❛t✐♦♥ ❝♦♥st❛♥t Zc ✭s✉❝❤ t❤❛t (Gc)R = ZcG ✐s ✜♥✐t❡✮✱ ❞✐✛❡r❡♥t✐❛t❡ t❤❡ r❡s✉❧t ✇✐t❤ r❡s♣❡❝t t♦ ln Λ✱ ❛♥❞ t❛❦❡ t❤❡ ❧✐♠✐t Λ → ∞✳ ❉✉❡ t♦ ✜♥✐t❡♥❡ss ♦❢ (Gc)R ❛♥❞ H t❤❡ r❡s✉❧t ✐s ✇r✐tt❡♥ ❛s

• (Gc)R(q)

d d ln ΛF(q, p) + (Gc)R(p) d d ln ΛF(p, q)

• Λ→∞ = 0.

❙❡tt✐♥❣ p = −q✱ ✇❡ ♦❜t❛✐♥ d d ln ΛF(−q, q)

• Λ→∞ = 0.

❚❤❡r❡❢♦r❡✱ t❤❡ ❝♦rr❡s♣♦♥❞✐♥❣ r❡♥♦r♠❛❧✐③❛t✐♦♥ ❝♦♥st❛♥t ✐s ✜♥✐t❡ d d ln Λ(Z−1/2

α

ZcZV ) = 0. ❚❤✉s✱ t❤❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ F(p, q) ✐s ❛❧s♦ ✜♥✐t❡✳ ❚❤✐s ✐♠♣❧✐❡s t❤❛t ❛❧❧ t❤r❡❡✲♣♦✐♥t ❣❤♦st✲❣❛✉❣❡ ✈❡rt✐❝❡s ❛r❡ ✜♥✐t❡✳

❑✳❱✳❙t❡♣❛♥②❛♥t③ ❙tr✉❝t✉r❡ ♦❢ q✉❛♥t✉♠ ❝♦rr❡❝t✐♦♥s ✐♥ N = 1

SLIDE 55

✺✺

❖♥❡✲❧♦♦♣ ❝❛❧❝✉❧❛t✐♦♥✿ t✇♦✲♣♦✐♥t ❣❤♦st ●r❡❡♥ ❢✉♥❝t✐♦♥

■♥ t❤❡ ❊✉❝❧✐❞❡❛♥ s♣❛❝❡ ❛❢t❡r t❤❡ ❲✐❝❦ r♦t❛t✐♦♥ Gc(p) = 1 + e2

0C2

• d4k

(2π)4 ξ0 Kk − 1 Rk

• −

1 6k4 + 1 2k2(k + p)2 − p2 2k4(k + p)2

• + O(e4

0, e2 0λ2 0),

✇❤❡r❡ Rk ≡ R(k2/Λ) ❛♥❞ Kk ≡ K(k2/Λ2)✳ ❲❡ s❡❡ t❤❛t t❤✐s ❢✉♥❝t✐♦♥ ✐s ❞✐✈❡r❣❡♥t ✐♥ t❤❡ ✉❧tr❛✈✐♦❧❡t r❡❣✐♦♥ ✭❛t ✐♥✜♥✐t❡ Λ✮✳ γc(α0, λ0) = d ln Gc d ln Λ

• p=0; α,λ=❝♦♥st

= −α0C2(1 − ξ0) 6π + O(α2

0, α0λ2 0).

❑✳❱✳❙t❡♣❛♥②❛♥t③ ❙tr✉❝t✉r❡ ♦❢ q✉❛♥t✉♠ ❝♦rr❡❝t✐♦♥s ✐♥ N = 1

SLIDE 56

✺✻

❖♥❡✲❧♦♦♣ ❝❛❧❝✉❧❛t✐♦♥✿ t❤r❡❡✲♣♦✐♥t ❣❛✉❣❡✲❣❤♦st ●r❡❡♥ ❢✉♥❝t✐♦♥s

ie0 4 f ABC

• d4θ d4p

(2π)4 d4q (2π)4 ¯ c∗A(θ, p + q)

• f(p, q)∂2Π1/2V B(θ, −p)

+Fµ(p, q)(γµ)˙

a bDb ¯

D ˙

aV B(θ, −p) + F(p, q)V B(θ, −p)

• cC(θ, −q);

ie0 4 f ABC

• d4θ d4p

(2π)4 d4q (2π)4 ¯ c∗A(θ, p + q) F(p, q)V B(θ, −p)c∗C(θ, −q).

❑✳❱✳❙t❡♣❛♥②❛♥t③ ❙tr✉❝t✉r❡ ♦❢ q✉❛♥t✉♠ ❝♦rr❡❝t✐♦♥s ✐♥ N = 1

SLIDE 57

✺✼

❖♥❡✲❧♦♦♣ ❝❛❧❝✉❧❛t✐♦♥✿ t❤❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s F ❛♥❞ F

❈❛❧❝✉❧❛t✐♥❣ t❤❡s❡ ❞✐❛❣r❛♠s ❣✐✈❡s

F(p, q) = 1 + e2

0C2

4

• d4k

(2π)4

• −

(q + p)2 Rkk2(k + p)2(k − q)2 − ξ0 p2 Kkk2(k + q)2(k + q + p)2 + ξ0 q2 Kkk2(k + p)2(k + q + p)2 + ξ0 Kk − 1 Rk − 2(q + p)2 k4(k + q + p)2 + 2 k2(k + q + p)2 − 1 k2(k + q)2 − 1 k2(k + p)2 + O(α2

0, α0λ2 0).

• F(p, q) = 1 − e2

0C2

4

• d4k

(2π)4

• p2

Rkk2(k + q)2(k + q + p)2 + ξ0 (q + p)2 Kkk2(k − p)2(k + q)2 + ξ0 q2 Kkk2(k + p)2(k + q + p)2 + 2ξ0 Kkk2(k + p)2 − 2ξ0 Kkk2(k + q + p)2 + ξ0 Kk − 1 Rk

• ×
• 2q2

k4(k + q)2 + 1 k2(k + q + p)2 − 1 k2(k + q)2 + O(α2

0, α0λ2 0).

❲❡ s❡❡ t❤❛t t❤❡s❡ ❡①♣r❡ss✐♦♥s ❛r❡ ✜♥✐t❡ ✐♥ t❤❡ ✉❧tr❛✈✐♦❧❡t r❡❣✐♦♥✳

❑✳❱✳❙t❡♣❛♥②❛♥t③ ❙tr✉❝t✉r❡ ♦❢ q✉❛♥t✉♠ ❝♦rr❡❝t✐♦♥s ✐♥ N = 1

SLIDE 58

✺✽

❖♥❡✲❧♦♦♣ ❝❛❧❝✉❧❛t✐♦♥✿ t❤❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ f

❚❤❡ ❡①♣r❡ss✐♦♥s ❢♦r t❤❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s f ❛♥❞ Fµ ❛r❡ ✈❡r② ❧❛r❣❡ ❛♥❞ ✐♥ ✇r✐t✐♥❣ t❤❡♠ ✇❡ ✇✐❧❧ ✉s❡ t❤❡ ♥♦t❛t✐♦♥ ∆q ≡ ξ0 Kq − 1 Rq . ❚❤❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ f ❤❛s t❤❡ ❢♦r♠

f(p, q) = 1 4

• d4k

(2π)4 e2

0C2

k2(k + q)2(k + q + p)2 2kµqµ (k + q)2 ∆k+q + 2k2 (k + q + p)2 ∆k+q+p +Rp

• 2kµ(q + p)µ

(k + q + p)2Rk+q ∆k+q+p + 2k2 (k + q)2Rk+q+p ∆k+q + kµ(k + q + p)µ (k + q + p)2 +kµ(k + q)µ (k + q)2

• ∆k+q∆k+q+p
• − 2kµ(k + q)µ

Rk+qRk+q+p · Rk+q+p − Rk+q (k + q + p)2 − (k + q)2 − 2(Rk+q+p − Rp) (k + q + p)2 − p2 · 1 Rk+q+p kµqµ(k + q + p)2 − kµqµp2 (k + q)2 ∆k+q + kµpµ Rk+q

• −2(Rk+q − Rp)

(k + q)2 − p2 · 1 Rk+q k2(k + q)2 − k2p2 (k + q + p)2 ∆k+q+p + kµ(k + q)µ Rk+q+p

• + O(e4

0, e2 0λ2 0). ❑✳❱✳❙t❡♣❛♥②❛♥t③ ❙tr✉❝t✉r❡ ♦❢ q✉❛♥t✉♠ ❝♦rr❡❝t✐♦♥s ✐♥ N = 1

SLIDE 59

✺✾

❖♥❡✲❧♦♦♣ ❝❛❧❝✉❧❛t✐♦♥✿ t❤❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ Fµ

Fµ(p, q) = 1 16

• d4k

(2π)4 e2

0C2

k2(k + q)2(k + q + p)2 2 k2 ∆k

• (q + p)µ kα(k + q)α + qµ kα

×(k + q + p)α + kµ

• k2 − q2 − qαpα

− 4kµ Rk+q + 2 (k + q)2 ∆k+q

• − qµkαpα + pµk2

+kµqαpα − kµ(k + q)2 + kαqα(2q + 2k + p)µ

• +

2 (k + q + p)2 ∆k+q+p

• qµkα(q + p)α

+(q + p)µkαqα − kµ(q2 + qαpα + k2) − pµk2 − Rk+q+p − Rk+q (k + q + p)2 − (k + q)2 (2q + 2k + p)µ × 4kαqα Rk+qRk+q+p + 2Rp (k + q)2(k + q + p)2 ∆k+q+p∆k+q

• (pµpν − δν

µp2)

• (k2 + q2)(kν + qν)

−(k + q)2qν

• + p2(qµkαpα − kµqαpα)
• +

4Rp (k + q)2Rk+q+p ∆k+q (qµkαpα − kµqαpα) +4(Rk+q − Rp) (k + q)2 − p2 (kµqαpα − qµkαpα) Rk+qRk+q+p + 4(Rk+q+p − Rp) (k + q + p)2 − p2 (pµpν − δν

µp2)kν

Rk+q+pRk+q + ∆k+q ×

• (k + q + p)2 − p2

(k + q)2Rk+q+p

• qµkαpα − kµqαpα

+ O(e4

0, e2 0λ2 0). ❑✳❱✳❙t❡♣❛♥②❛♥t③ ❙tr✉❝t✉r❡ ♦❢ q✉❛♥t✉♠ ❝♦rr❡❝t✐♦♥s ✐♥ N = 1

SLIDE 60

✻✵

❖♥❡✲❧♦♦♣ ❝❛❧❝✉❧❛t✐♦♥✿ ✜♥✐t❡♥❡ss ♦❢ t❤❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ H

H(p, q) = 1 − e2

0C2

4

• d4k

(2π)4

• p2

Rkk2(k + q)2(k + q + p)2 + (q + p)2 k4(k + q + p)2 ξ0 Kk − 1 Rk

• +

q2 k4(k + q)2 ξ0 Kk − 1 Rk

• + O(e4

0, e2 0λ2 0);

• H(p, q) = e2

0C2

4

• d4k

(2π)4 1 Kkk2(k + q)2(k + q + p)2 + O(e4

0, e2 0λ2 0).

❲❡ s❡❡ t❤❛t t❤❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ H ✐s ✜♥✐t❡ ✐♥ t❤❡ ✉❧tr❛✈✐♦❧❡t r❡❣✐♦♥ ❛♥❞ ✐s q✉❛❞r❛t✐❝ ✐♥ ❡①t❡r♥❛❧ ♠♦♠❡♥t❛✳

❑✳❱✳❙t❡♣❛♥②❛♥t③ ❙tr✉❝t✉r❡ ♦❢ q✉❛♥t✉♠ ❝♦rr❡❝t✐♦♥s ✐♥ N = 1

SLIDE 61

✻✶

❘❡♥♦r♠❛❧✐③❛t✐♦♥ ❣r♦✉♣ ❢✉♥❝t✐♦♥s ❞❡✜♥❡❞ ✐♥ t❡r♠s ♦❢ t❤❡ ❜❛r❡ ❝♦✉♣❧✐♥❣s

❲❡ ✇✐❧❧ ❞❡✜♥❡ t❤❡ ❘● ❢✉♥❝t✐♦♥s ✐♥ t❡r♠s ♦❢ t❤❡ ❜❛r❡ ❝♦✉♣❧✐♥❣s ❜② t❤❡ ❡q✉❛t✐♦♥s β(α0, λ0) ≡ dα0 d ln Λ; (γφ)i

j(α0, λ0) ≡ −d ln(Zφ)ij(α, λ, Λ/µ)

d ln Λ ; γV (α0, λ0) ≡ −d ln ZV (α, λ, Λ/µ) d ln Λ ; γc(α0, λ0) ≡ −d ln Zc(α, λ, Λ/µ) d ln Λ . ✇❤❡r❡ t❤❡ ❞✐✛❡r❡♥t✐❛t✐♦♥ ✐s ♠❛❞❡ ❛t ✜①❡❞ ✈❛❧✉❡s ♦❢ α ❛♥❞ λijk✳ ❚❤❡r❡ r❡♥♦r♠❛❧✐③❛t✐♦♥ ❣r♦✉♣ ❢✉♥❝t✐♦♥s ❛r❡ ✶✳ s❝❤❡♠❡ ✐♥❞❡♣❡♥❞❡♥t ❛t ❛ ✜①❡❞ r❡❣✉❧❛r✐③❛t✐♦♥❀ ✷✳ ❞❡♣❡♥❞ ♦♥ ❛ r❡❣✉❧❛r✐③❛t✐♦♥❀ ✷✳ s❛t✐s❢② t❤❡ ◆❙❱❩ r❡❧❛t✐♦♥ ✐♥ ❛❧❧ ♦r❞❡rs ❢♦r N = 1 ❙◗❊❉ ✇✐t❤ Nf ✢❛✈♦rs✱ r❡❣✉❧❛r✐③❡❞ ❜② ❤✐❣❤❡r ❞❡r✐✈❛t✐✈❡s✳

❑✳❱✳❙t❡♣❛♥②❛♥t③ ❙tr✉❝t✉r❡ ♦❢ q✉❛♥t✉♠ ❝♦rr❡❝t✐♦♥s ✐♥ N = 1

SLIDE 62

✻✷

◆❡✇ ❢♦r♠ ♦❢ t❤❡ ◆❙❱❩ β✲❢✉♥❝t✐♦♥

❚❤❡ ◆❙❱❩ β✲❢✉♥❝t✐♦♥ ❝❛♥ ❜❡ ❡q✉✐✈❛❧❡♥t❧② r❡✇r✐tt❡♥ ✐♥ t❤❡ ❢♦r♠ β(α0, λ0) α2 = −3C2 − T(R) + C(R)ij(γφ)ji(α0, λ0)/r 2π + C2 2π · β(α0, λ0) α0 . ▲❡t ✉s ❡①♣r❡ss t❤❡ β✲❢✉♥❝t✐♦♥ ✐♥ t❤❡ r✐❣❤t ❤❛♥❞ s✐❞❡ ✐♥ t❡r♠s ♦❢ t❤❡ r❡♥♦r♠❛❧✐③❛t✐♦♥ ❝♦♥st❛♥t Zα✿ β(α0, λ0) = dα0(α, λ, Λ/µ) d ln Λ

• α,λ=❝♦♥st = −α0

d ln Zα d ln Λ

• α,λ=❝♦♥st.

❚❤❡♥✱ ✉s✐♥❣ t❤❡ ✐❞❡♥t✐t② d(Z−1/2

α

ZV Zc)/d ln Λ = 0 ✇❡ ♦❜t❛✐♥ β(α0, λ0) = −2α0 d ln(ZcZV ) d ln Λ

• α,λ=❝♦♥st = 2α0
• γc(α0, λ0)+γV (α0, λ0)
• ,

✇❤❡r❡ γc ❛♥❞ γV ❛r❡ ❛♥♦♠❛❧♦✉s ❞✐♠❡♥s✐♦♥s ♦❢ t❤❡ ❋❛❞❞❡❡✈✕P♦♣♦✈ ❣❤♦sts ❛♥❞ ♦❢ t❤❡ q✉❛♥t✉♠ ❣❛✉❣❡ s✉♣❡r✜❡❧❞ ✭❞❡✜♥❡❞ ✐♥ t❡r♠s ♦❢ t❤❡ ❜❛r❡ ❝♦✉♣❧✐♥❣ ❝♦♥st❛♥ts✮✱ r❡s♣❡❝t✐✈❡❧②✳

❑✳❱✳❙t❡♣❛♥②❛♥t③ ❙tr✉❝t✉r❡ ♦❢ q✉❛♥t✉♠ ❝♦rr❡❝t✐♦♥s ✐♥ N = 1

SLIDE 63

✻✸

◆❡✇ ❢♦r♠ ♦❢ t❤❡ ◆❙❱❩ β✲❢✉♥❝t✐♦♥ ❛♥❞ ✐ts ❣r❛♣❤✐❝❛❧ ✐♥t❡r♣r❡t❛t✐♦♥

❙✉❜st✐t✉t✐♥❣ t❤✐s ❡①♣r❡ss✐♦♥ ✐♥t♦ t❤❡ r✐❣❤t ❤❛♥❞ s✐❞❡ ♦❢ t❤❡ ◆❙❱❩ r❡❧❛t✐♦♥ ✇❡ ♦❜t❛✐♥ β(α0, λ0) α2 = − 1 2π

• 3C2 − T(R) − 2C2γc(α0, λ0)

−2C2γV (α0, λ0) + C(R)i

j(γφ)j i(α0, λ0)/r

• .

❋r♦♠ t❤✐s ❢♦r♠ ♦❢ t❤❡ ◆❙❱❩ β✲❢✉♥❝t✐♦♥ ✇❡ s❡❡ t❤❛t t❤❡ ♠❛tt❡r s✉♣❡r✜❡❧❞s ❛♥❞ ❣❤♦sts s✐♠✐❧❛r❧② ❝♦♥tr✐❜✉t❡ t♦ t❤❡ r✐❣❤t ❤❛♥❞ s✐❞❡✳

❑✳❱✳❙t❡♣❛♥②❛♥t③ ❙tr✉❝t✉r❡ ♦❢ q✉❛♥t✉♠ ❝♦rr❡❝t✐♦♥s ✐♥ N = 1

SLIDE 64

✻✹

❘❡♥♦r♠❛❧✐③❛t✐♦♥ ❣r♦✉♣ ❢✉♥❝t✐♦♥s ❞❡✜♥❡❞ ✐♥ t❡r♠s ♦❢ t❤❡ r❡♥♦r♠❛❧✐③❡❞ ❝♦✉♣❧✐♥❣s

❚❤❡ ❘● ❢✉♥❝t✐♦♥s ❛r❡ ❞❡✜♥❡❞ ✐♥ t❡r♠s ♦❢ t❤❡ r❡♥♦r♠❛❧✐③❡❞ ❝♦✉♣❧✐♥❣s ❜② t❤❡ ❡q✉❛t✐♦♥s

• β(α, λ) ≡

dα d ln µ; ( γφ)i

j(α, λ) ≡ d ln(Zφ)ij(α0, λ0, Λ/µ)

d ln µ ;

• γV (α, λ) ≡ d ln ZV (α0, λ0, Λ/µ)

d ln µ ;

• γc(α, λ) ≡ d ln Zc(α0, λ0, Λ/µ)

d ln µ . ✇❤❡r❡ t❤❡ ❞✐✛❡r❡♥t✐❛t✐♦♥ ✐s ♠❛❞❡ ❛t ✜①❡❞ ✈❛❧✉❡s ♦❢ α0 ❛♥❞ λijk

0 ✳

❚❤❡r❡ r❡♥♦r♠❛❧✐③❛t✐♦♥ ❣r♦✉♣ ❢✉♥❝t✐♦♥s ❛r❡ ✶✳ s❝❤❡♠❡ ❛♥❞ r❡❣✉❧❛r✐③❛t✐♦♥ ❞❡♣❡♥❞❡♥t❀ ✷✳ s❛t✐s❢② t❤❡ ◆❙❱❩ r❡❧❛t✐♦♥ ♦♥❧② ❢♦r ❛ s♣❡❝✐❛❧ r❡♥♦r♠❛❧✐③❛t✐♦♥ ♣r❡s❝r✐♣t✐♦♥✱ ❝❛❧❧❡❞ t❤❡ ◆❙❱❩ s❝❤❡♠❡✳

❑✳❱✳❙t❡♣❛♥②❛♥t③ ❙tr✉❝t✉r❡ ♦❢ q✉❛♥t✉♠ ❝♦rr❡❝t✐♦♥s ✐♥ N = 1

SLIDE 65

✻✺

❚❤❡ ◆❙❱❩ s❝❤❡♠❡ ✐♥ t❤❡ ♥♦♥✲❆❜❡❧✐❛♥ ❝❛s❡

❚❤❡ ❘● ❢✉♥❝t✐♦♥s ❞❡✜♥❡❞ ✐♥ t❡r♠s ♦❢ t❤❡ r❡♥♦r♠❛❧✐③❡❞ ❝♦✉♣❧✐♥❣ ❝♦♥st❛♥t ❛r❡ s❝❤❡♠❡ ❞❡♣❡♥❞❡♥t ❛♥❞ s❛t✐s❢② t❤❡ ◆❙❱❩ r❡❧❛t✐♦♥ ♦♥❧② ✐♥ ❛ ❝❡rt❛✐♥ s✉❜tr❛❝t✐♦♥ s❝❤❡♠❡✳ ❙✐♠✐❧❛r❧② t♦

❆✳▲✳❑❛t❛❡✈ ❛♥❞ ❑✳❙✳✱ ◆✉❝❧✳P❤②s✳ ❇✽✼✺ ✭✷✵✶✸✮ ✹✺✾❀ P❤②s✳▲❡tt✳ ❇✼✸✵ ✭✷✵✶✹✮ ✶✽✹✳

✇❡ s❡❡ t❤❛t ✐♥ t❤❡ ♥♦♥✲❆❜❡❧✐❛♥ ❝❛s❡ t❤❡ ❘● ❢✉♥❝t✐♦♥s ❞❡✜♥❡❞ ✐♥ t❡r♠s ♦❢ t❤❡ ❜❛r❡ ❝♦✉♣❧✐♥❣ ❝♦♥st❛♥t ❝♦✐♥❝✐❞❡ ✇✐t❤ ♦♥❡s ❞❡✜♥❡❞ ✐♥ t❡r♠s ♦❢ t❤❡ r❡♥♦r♠❛❧✐③❡❞ ❝♦✉♣❧✐♥❣ ❝♦♥st❛♥ts ✐❢ t❤❡ ❜♦✉♥❞❛r② ❝♦♥❞✐t✐♦♥s Zα(α, λ, x0) = 1; (Zφ)i

j(α, λ, x0) = δi j;

Zc(α, λ, x0) = 1, ✇❤❡r❡ x0 ✐s ❛ ✜①❡❞ ✈❛❧✉❡ ♦❢ ln Λ/µ✱ ❛r❡ ✐♠♣♦s❡❞ ♦♥ t❤❡ r❡♥♦r♠❛❧✐③❛t✐♦♥ ❝♦♥st❛♥ts✳ ✭❋♦r x0 = 0 ✇❡ ♦❜t❛✐♥ ♠✐♥✐♠❛❧ s✉❜tr❛❝t✐♦♥s✳✮ ❲❡ ❛❧s♦ ❛ss✉♠❡ t❤❛t t❤❡ r❡♥♦r♠❛❧✐③❛t✐♦♥ ❝♦♥st❛♥ts s❛t✐s❢② t❤❡ ❡q✉❛t✐♦♥ ZV = Z1/2

α

Z−1

c ,

P♦ss✐❜❧②✱ t❤❡s❡ ❝♦♥❞✐t✐♦♥s ❣✐✈❡ t❤❡ ◆❙❱❩ s❝❤❡♠❡ ✇✐t❤ t❤❡ ❤✐❣❤❡r ❝♦✈❛r✐❛♥t ❞❡r✐✈❛t✐✈❡ r❡❣✉❧❛r✐③❛t✐♦♥✳

❑✳❱✳❙t❡♣❛♥②❛♥t③ ❙tr✉❝t✉r❡ ♦❢ q✉❛♥t✉♠ ❝♦rr❡❝t✐♦♥s ✐♥ N = 1

SLIDE 66

✻✻

❚❤r❡❡✲❧♦♦♣ t❡r♠s q✉❛rt✐❝ ✐♥ t❤❡ ❨✉❦❛✇❛ ❝♦✉♣❧✐♥❣s

❚♦ ✈❡r✐❢② t❤❡ ❛❜♦✈❡ r❡s✉❧ts ✇❡ ❝♦♥s✐❞❡r t❤❡ t❤r❡❡✲❧♦♦♣ t❡r♠s q✉❛rt✐❝ ✐♥ t❤❡ ❨✉❦❛✇❛ ❝♦✉♣❧✐♥❣s✳ ❚❤❡② ❝♦rr❡s♣♦♥❞ t♦ t❤❡ ❣r❛♣❤s

❱✳❨✉✳❙❤❛❦❤♠❛♥♦✈✱ ❑✳❙✳✱ ◆✉❝❧✳P❤②s✳✱ ❇✾✷✵✱ ✭✷✵✶✼✮✱ ✸✹✺✳

❆tt❛❝❤✐♥❣ t✇♦ ❡①t❡r♥❛❧ ❧✐♥❡s ♦❢ t❤❡ ❜❛❝❦❣r♦✉♥❞ ❣❛✉❣❡ s✉♣❡r✜❡❧❞ ✇❡ ♦❜t❛✐♥ t❤❡ ❞✐❛❣r❛♠s ❝♦♥tr✐❜✉t✐♥❣ t♦ t❤❡ β✲❢✉♥❝t✐♦♥✳

❑✳❱✳❙t❡♣❛♥②❛♥t③ ❙tr✉❝t✉r❡ ♦❢ q✉❛♥t✉♠ ❝♦rr❡❝t✐♦♥s ✐♥ N = 1

SLIDE 67

✻✼

❚❤r❡❡✲❧♦♦♣ ◆❙❱❩ ✐♥ t❡r♠s ♦❢ t❤❡ ❜❛r❡ ❨✉❦❛✇❛ ❝♦✉♣❧✐♥❣s

❚❤❡ ❝♦rr❡s♣♦♥❞✐♥❣ ❝♦♥tr✐❜✉t✐♦♥ t♦ t❤❡ ❛♥♦♠❛❧♦✉s ❞✐♠❡♥s✐♦♥ ✐s ❣✐✈❡♥ ❜② t❤❡ ❞✐❛❣r❛♠s ❚❤❡ ❝❛❧❝✉❧❛t✐♦♥ ❣✐✈❡s t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ r❡s✉❧t✿

∆β(α0, λ0) α2 = −2π r C(R)i

j

d d ln Λ

• d4k

(2π)4 d4q (2π)4 λimn λ∗

0jmn

∂ ∂qµ ∂ ∂qµ ×

• 1

k2Fk q2Fq (q + k)2Fq+k

• + 4π

r C(R)i

j

d d ln Λ

• d4k

(2π)4 d4l (2π)4 d4q (2π)4 ×

• λiab

0 λ∗ 0kabλkcd

λ∗

0jcd

∂ ∂kµ ∂ ∂kµ − ∂ ∂qµ ∂ ∂qµ

• + 2λiab

0 λ∗ 0jacλcde

λ∗

0bde

∂ ∂qµ ∂ ∂qµ

• ×

1 k2F 2

k q2Fq (q + k)2Fq+k l2Fl (l + k)2Fl+k = − 1

2πr C(R)i

j∆γφ(λ0)j i. ❑✳❱✳❙t❡♣❛♥②❛♥t③ ❙tr✉❝t✉r❡ ♦❢ q✉❛♥t✉♠ ❝♦rr❡❝t✐♦♥s ✐♥ N = 1

SLIDE 68

✻✽

❊①♣❧✐❝✐t ❢♦r♠ ♦❢ t❤❡ ❘● ❢✉♥❝t✐♦♥s ❞❡✜♥❡❞ ✐♥ t❡r♠s ♦❢ t❤❡ ❜❛r❡ ❝♦✉♣❧✐♥❣s

❚❤❡ s✐♠♣❧❡st r❡❣✉❧❛t♦r ❤❛s t❤❡ ❢♦r♠ F(k2/Λ2) = 1 + k2/Λ2✳ ■♥ t❤✐s ❝❛s❡ ∆γφ(α0, λ0)j

i =

1 4π2 λiab

0 λ∗ 0jab −

1 16π4 λiab

0 λ∗ 0jacλcde

λ∗

0bde;

β(α0, λ0) α2 = − 1 2π

• 3C2 − T(R)
• −

1 2πr C(R)i

j∆γφ(λ0)j i + O(α0) + O(λ6 0).

❛♥❞ t❤❡ ◆❙❱❩ r❡❧❛t✐♦♥ ✐s ✈❛❧✐❞ ❢♦r t❤❡ ❘● ❢✉♥❝t✐♦♥s ❞❡✜♥❡❞ ✐♥ t❡r♠s ♦❢ t❤❡ ❜❛r❡ ❝♦✉♣❧✐♥❣s ✇✐t❤ t❤❡ ❍❉ r❡❣✉❧❛r✐③❛t✐♦♥✳ (ln Zφ)j

i = − 1

4π2 λiab

0 λ∗ 0jab

• ln Λ

µ + g1

• +

1 32π4 λiab

0 λ∗ 0kabλkcd

λ∗

0jcd

• ln2 Λ

µ +2g1 ln Λ µ + 2g2

1 −

g2

• +

1 16π4 λiab

0 λ∗ 0jacλcde

λ∗

0bde

• ln Λ

µ + ln2 Λ µ + 2g1 ln Λ µ +2g2

1 − g2

• + O(α0) + O(λ6

0);

1 α0 = 1 α + 1 2π

• 3C2 − T(R)
• ln Λ

µ + b1

• +

1 2πr C(R)i

j

1 4π2 λiabλ∗

jab

• ln Λ

µ + b2

• +

1 32π4 λiabλ∗

kabλkcdλ∗ jcd

• ln2 Λ

µ + 2g1 ln Λ µ + b3

• +

1 16π4 λiabλ∗

jacλcdeλ∗ bde

• − ln Λ

µ + ln2 Λ µ + 2g1 ln Λ µ + b3

• + O(α) + O(λ6).

❑✳❱✳❙t❡♣❛♥②❛♥t③ ❙tr✉❝t✉r❡ ♦❢ q✉❛♥t✉♠ ❝♦rr❡❝t✐♦♥s ✐♥ N = 1

SLIDE 69

✻✾

❘● ❢✉♥❝t✐♦♥s ❞❡✜♥❡❞ ✐♥ t❡r♠s ♦❢ t❤❡ r❡♥♦r♠❛❧✐③❡❞ ❝♦✉♣❧✐♥❣s

❚❤❡ ❘● ❢✉♥❝t✐♦♥s ❞❡✜♥❡❞ ✐♥ t❡r♠s ♦❢ t❤❡ r❡♥♦r♠❛❧✐③❡❞ ❝♦✉♣❧✐♥❣s ❛r❡

• γφ(α, λ)j

i =

1 4π2 λiabλ∗

jab −

1 16π4 λiabλ∗

jacλcdeλ∗ bde + O(α) + O(λ6).

• β(α, λ)

α2 = − 1 2π

• 3C2 − T(R)
• +

1 2πrC(R)i

j

− 1 4π2 λiabλ∗

jab +

1 16π4 ×λiabλ∗

kabλkcdλ∗ jcd

• b2 − g1
• +

1 16π4 λiabλ∗

jacλcdeλ∗ bde

• 1 + 2b2 − 2g1
• +O(α) + O(λ6).

❲❡ s❡❡ t❤❛t t❤❡ ❝♦♥s✐❞❡r❡❞ ♣❛rt ♦❢ t❤✐s β✲❢✉♥❝t✐♦♥ ✐s s❝❤❡♠❡✲❞❡♣❡♥❞❡♥t✳ ■♠♣♦s✐♥❣ t❤❡ ❜♦✉♥❞❛r② ❝♦♥❞✐t✐♦♥s Zφ(α, λ, x0)i

j = δi j;

Zα(α, λ, x0) = α/α0 = 1 ✇❡ ♦❜t❛✐♥ g1 = b1 = b2 = −x0✳ ❚❤❡r❡❢♦r❡✱ b2 − g1 = 0.

❑✳❱✳❙t❡♣❛♥②❛♥t③ ❙tr✉❝t✉r❡ ♦❢ q✉❛♥t✉♠ ❝♦rr❡❝t✐♦♥s ✐♥ N = 1

SLIDE 70

✼✵

❚❤❡ ◆❙❱❩ s❝❤❡♠❡ ✐♥ t❤❡ ♥♦♥✲❆❜❡❧✐❛♥ ❝❛s❡

❚❤✐s ✐♠♣❧✐❡s t❤❛t t❤❡ ◆❙❱❩ r❡❧❛t✐♦♥ β(α0, λ0) α2 = − 1 2π

• 3C2 − T(R) − 2C2γc(α0, λ0)

−2C2γV (α0, λ0) + C(R)i

j(γφ)j i(α0, λ0)/r

• .

✐s r❡❛❧❧② ✈❛❧✐❞ ❢♦r t❤❡ ❘● ❢✉♥❝t✐♦♥s ❞❡✜♥❡❞ ✐♥ t❡r♠s ♦❢ t❤❡ r❡♥♦r♠❛❧✐③❡❞ ❝♦✉♣❧✐♥❣s✱

• β(α, λ)

α2 = − 1 2π

• 3C2 − T(R)
• +

1 2πrC(R)i

j

− 1 4π2 λiabλ∗

jab

+ 1 16π4 λiabλ∗

jacλcdeλ∗ bde

• + O(α) + O(λ6)

= − 1 2π

• 3C2 − T(R)
• −

1 2πrC(R)i

j

γφ(α, λ)i

j + O(α) + O(λ6).

❆❧s♦ ✇❡ s❡❡ t❤❛t t❤❡ ◆❙❱❩ s❝❤❡♠❡ ✐s ❛❝t✉❛❧❧② ♦❜t❛✐♥❡❞ ✇✐t❤ t❤❡ ❤✐❣❤❡r ❝♦✈❛r✐❛♥t ❞❡r✐✈❛t✐✈❡ r❡❣✉❧❛r✐③❛t✐♦♥ s✉♣♣❧❡♠❡♥t❡❞ ❜② ♠✐♥✐♠❛❧ s✉❜tr❛❝t✐♦♥s✳

❑✳❱✳❙t❡♣❛♥②❛♥t③ ❙tr✉❝t✉r❡ ♦❢ q✉❛♥t✉♠ ❝♦rr❡❝t✐♦♥s ✐♥ N = 1

SLIDE 71

✼✶

❈♦♥❝❧✉s✐♦♥

■♥ t❤❡ ❝❛s❡ ♦❢ ✉s✐♥❣ t❤❡ ❤✐❣❤❡r ❝♦✈❛r✐❛♥t ❞❡r✐✈❛t✐✈❡ r❡❣✉❧❛r✐③❛t✐♦♥ t❤❡ ✐♥t❡❣r❛❧s ❞❡✜♥✐♥❣ t❤❡ β✲❢✉♥❝t✐♦♥ ❛r❡ ✐♥t❡❣r❛❧s ♦❢ ❞♦✉❜❧❡ t♦t❛❧ ❞❡r✐✈❛t✐✈❡s ✐♥ t❤❡ ♠♦♠❡♥t✉♠ s♣❛❝❡✳ ❚❤✐s ❤❛s ❜❡❡♥ ♣r♦✈❡❞ ✐♥ s♦♠❡ t❤❡♦r✐❡s ✐♥ ❛❧❧ ❧♦♦♣s✳ ❋♦r ❣❡♥❡r❛❧ ♥♦♥✲❆❜❡❧✐❛♥ ❙❨▼ t❤❡r❡ ❛r❡ str♦♥❣ ❡✈✐❞❡♥❝❡s ✐♥ ❢❛✈♦✉r ♦❢ t❤✐s✳ ❚❤❡ ❢❛❝t♦r✐③❛t✐♦♥ ✐♥t♦ ❞♦✉❜❧❡ t♦t❛❧ ❞❡r✐✈❛t✐✈❡s ♥❛t✉r❛❧❧② ❧❡❛❞s t♦ t❤❡ ◆❙❱❩ r❡❧❛t✐♦♥ ❢♦r ❘● ❢✉♥❝t✐♦♥s ❞❡✜♥❡❞ ✐♥ t❡r♠s ♦❢ t❤❡ ❜❛r❡ ❝♦✉♣❧✐♥❣ ❝♦♥st❛♥t✱ ✇❤✐❝❤ ✐s ✈❛❧✐❞ ✐♥❞❡♣❡♥❞❡♥t❧② ♦❢ t❤❡ s✉❜tr❛❝t✐♦♥ s❝❤❡♠❡ ✇✐t❤ t❤❡ ❍❉ r❡❣✉❧❛r✐③❛t✐♦♥✳ ❋♦r ❘● ❢✉♥❝t✐♦♥s ❞❡✜♥❡❞ ✐♥ t❡r♠s ♦❢ t❤❡ r❡♥♦r♠❛❧✐③❡❞ ❝♦✉♣❧✐♥❣ ❝♦♥st❛♥t t❤❡ ◆❙❱❩ s❝❤❡♠❡ ❝❛♥ ❜❡ ❝♦♥str✉❝t❡❞ ❜② ✐♠♣♦s✐♥❣ s✐♠♣❧❡ ❜♦✉♥❞❛r② ❝♦♥❞✐t✐♦♥s ♦♥ t❤❡ r❡♥♦r♠❛❧✐③❛t✐♦♥ ❝♦♥st❛♥ts ✐♥ t❤❡ ❝❛s❡ ♦❢ ✉s✐♥❣ t❤❡ ❍❉ r❡❣✉❧❛r✐③❛t✐♦♥✳ ❚❤❡ ◆❙❱❩ s❝❤❡♠❡ ♦❜t❛✐♥❡❞ ✐♥ t❤✐s ✇❛② ❝❛♥ ❜❡ ❝♦♥s✐❞❡r❡❞ ❛s ♠✐♥✐♠❛❧ s✉❜tr❛❝t✐♦♥s✳ ❚❤❡ ♥♦♥✲tr✐✈✐❛❧ t❤r❡❡✲❧♦♦♣ ❝❛❧❝✉❧❛t✐♦♥ ❢♦r t❤❡ t❡r♠s q✉❛rt✐❝ ✐♥ t❤❡ ❨✉❦❛✇❛ ❝♦✉♣❧✐♥❣s ❝♦♥✜r♠s t❤✐s ♣r♦♣♦s❛❧ ❢♦r t❤❡ ◆❙❱❩ s❝❤❡♠❡✳ ❋♦r N = 1 ❙❨▼ t❤❡ ❞❡r✐✈❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ◆❙❱❩ r❡❧❛t✐♦♥ s❡❡♠s t♦ ✐♥✈♦❧✈❡ t❤❡ ♥♦♥✲r❡♥♦r♠❛❧✐③❛t✐♦♥ t❤❡♦r❡♠ ❢♦r t❤❡ t❤r❡❡✲♣♦✐♥t ✈❡rt✐❝❡s ✇✐t❤ t✇♦ ❣❤♦st ❧❡❣s ❛♥❞ ❛ s✐♥❣❧❡ ❧❡❣ ♦❢ t❤❡ q✉❛♥t✉♠ ❣❛✉❣❡ s✉♣❡r✜❡❧❞✳

❑✳❱✳❙t❡♣❛♥②❛♥t③ ❙tr✉❝t✉r❡ ♦❢ q✉❛♥t✉♠ ❝♦rr❡❝t✐♦♥s ✐♥ N = 1

SLIDE 72

✼✷

❚❤❛♥❦ ②♦✉ ❢♦r t❤❡ ❛tt❡♥t✐♦♥✦

❑✳❱✳❙t❡♣❛♥②❛♥t③ ❙tr✉❝t✉r❡ ♦❢ q✉❛♥t✉♠ ❝♦rr❡❝t✐♦♥s ✐♥ N = 1