t ts - - PowerPoint PPT Presentation

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❈♦♥t❡①t

▲❡t (Zt)t∈T ❛ r❛♥❞♦♠ ✜❡❧❞ ♦❜s❡r✈❡❞ ✐♥ n ♣♦✐♥ts t✶, ..., tn✳

❆♥t♦✐♥❡ ❯ss❡❣❧✐♦✲❈❛r❧❡✈❡ ❖♥ ❈♦♥❞✐t✐♦♥❛❧ ◗✉❛♥t✐❧❡s ❆♣♣r♦①✐♠❛t✐♦♥ ❢♦r ❊❧❧✐♣t✐❝❛❧ ❘❛♥❞♦♠ ❋✐❡❧❞s

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❈♦♥t❡①t

▲❡t (Zt)t∈T ❛ r❛♥❞♦♠ ✜❡❧❞ ♦❜s❡r✈❡❞ ✐♥ n ♣♦✐♥ts t✶, ..., tn✳

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❈♦♥t❡①t

❑r✐❣✐♥❣ ✭❑r✐❣❡✱ ✶✾✺✷ ❬✺❪✱ ▼❛t❤❡r♦♥✱ ✶✾✻✸ ❬✻❪✮ ❡st✐♠❛t❡s t❤❡ ❝♦♥❞✐t✐♦♥❛❧ ♠❡❛♥ ♦❢ t❤❡ ♣r♦❝❡ss ❛t ♣♦✐♥t x ∈ T✱ ✉s✐♥❣ ✿ ˆ E[Zx|Z] = β∗TZ ✇❤❡r❡ Z = (Zt✶, ..., Ztn)✱ ❛♥❞ β∗ ✐s t❤❡ s♦❧✉t✐♦♥ ♦❢ ✿ ❛r❣ ♠✐♥

β∈Rn

E[(Zx − βTZ)✷] ✐✳❡ β∗ = E[Z TZ]−✶E[ZZx]✳

❆♥t♦✐♥❡ ❯ss❡❣❧✐♦✲❈❛r❧❡✈❡ ❖♥ ❈♦♥❞✐t✐♦♥❛❧ ◗✉❛♥t✐❧❡s ❆♣♣r♦①✐♠❛t✐♦♥ ❢♦r ❊❧❧✐♣t✐❝❛❧ ❘❛♥❞♦♠ ❋✐❡❧❞s

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❈♦♥t❡①t

❇❛❝❦ t♦ ♦✉r ❡①❛♠♣❧❡✳

❆♥t♦✐♥❡ ❯ss❡❣❧✐♦✲❈❛r❧❡✈❡ ❖♥ ❈♦♥❞✐t✐♦♥❛❧ ◗✉❛♥t✐❧❡s ❆♣♣r♦①✐♠❛t✐♦♥ ❢♦r ❊❧❧✐♣t✐❝❛❧ ❘❛♥❞♦♠ ❋✐❡❧❞s

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❈♦♥t❡①t

❇❛❝❦ t♦ ♦✉r ❡①❛♠♣❧❡✳

❆♥t♦✐♥❡ ❯ss❡❣❧✐♦✲❈❛r❧❡✈❡ ❖♥ ❈♦♥❞✐t✐♦♥❛❧ ◗✉❛♥t✐❧❡s ❆♣♣r♦①✐♠❛t✐♦♥ ❢♦r ❊❧❧✐♣t✐❝❛❧ ❘❛♥❞♦♠ ❋✐❡❧❞s

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❈♦♥t❡①t

◗✉❡st✐♦♥ ✿ ❈❛♥ ✇❡ ❡st✐♠❛t❡ ❝♦♥❞✐t✐♦♥❛❧ q✉❛♥t✐❧❡s qα(Zx|Z)✱ ❢♦r ♥♦♥ ♥❡❝❡ss❛r✐❧② ❣❛✉ss✐❛♥ r❛♥❞♦♠ ✜❡❧❞s ❄

❆♥t♦✐♥❡ ❯ss❡❣❧✐♦✲❈❛r❧❡✈❡ ❖♥ ❈♦♥❞✐t✐♦♥❛❧ ◗✉❛♥t✐❧❡s ❆♣♣r♦①✐♠❛t✐♦♥ ❢♦r ❊❧❧✐♣t✐❝❛❧ ❘❛♥❞♦♠ ❋✐❡❧❞s

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ❊❧❧✐♣t✐❝❛❧ ❉✐str✐❜✉t✐♦♥s ◗✉❛♥t✐❧❡ ❘❡❣r❡ss✐♦♥ ❊①tr❡♠❛❧ ◗✉❛♥t✐❧❡s ◆✉♠❡r✐❝❛❧ st✉❞② ❉❡✜♥✐t✐♦♥s ❊①❛♠♣❧❡s ❈♦♥❞✐t✐♦♥❛❧ ❊❧❧✐♣t✐❝❛❧ ❉✐str✐❜✉t✐♦♥s ❙♦♠❡ ❈♦♥❞✐t✐♦♥❛❧ ◗✉❛♥t✐❧❡s

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✷

❊❧❧✐♣t✐❝❛❧ ❉✐str✐❜✉t✐♦♥s

✸

◗✉❛♥t✐❧❡ ❘❡❣r❡ss✐♦♥

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❊①tr❡♠❛❧ ◗✉❛♥t✐❧❡s

✺

◆✉♠❡r✐❝❛❧ st✉❞②

❆♥t♦✐♥❡ ❯ss❡❣❧✐♦✲❈❛r❧❡✈❡ ❖♥ ❈♦♥❞✐t✐♦♥❛❧ ◗✉❛♥t✐❧❡s ❆♣♣r♦①✐♠❛t✐♦♥ ❢♦r ❊❧❧✐♣t✐❝❛❧ ❘❛♥❞♦♠ ❋✐❡❧❞s

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❊❧❧✐♣t✐❝❛❧ ❉✐str✐❜✉t✐♦♥

❉❡✜♥✐t✐♦♥ ▲❡t X ❛ d−❞✐♠❡♥s✐♦♥❛❧ r❛♥❞♦♠ ✈❡❝t♦r✳ X ✐s ❡❧❧✐♣t✐❝❛❧ ✐❢ ❛♥❞ ♦♥❧② ✐❢ t❤❡r❡ ❡①✐sts ❛ ✉♥✐q✉❡ µ ∈ Rd✱ ❛ s❡♠✐✲♣♦s✐t✐✈❡ ❞❡✜♥✐t❡ ♠❛tr✐① Σ ∈ Rd×d✱ ❛♥❞ ❛ ❢✉♥❝t✐♦♥ Φ : R+ → R s✉❝❤ t❤❛t t❤❡ ❝❤❛r❛❝t❡r✐st✐❝ ❢✉♥❝t✐♦♥ ♦❢ X − µ ❝❛♥ ❜❡ ✇r✐tt❡♥ E

• eit(X−µ)

= Φ(t′Σt)✳ ❉❡✜♥✐t✐♦♥ X ✐s s❛✐❞ ❝♦♥s✐st❡♥t ✭♦r ❤❛s t❤❡ ❝♦♥s✐st❡♥❝② ♣r♦♣❡rt②✮ ✐❢ Φ ✐s ✉♥r❡❧❛t❡❞ t♦ d✳

❆♥t♦✐♥❡ ❯ss❡❣❧✐♦✲❈❛r❧❡✈❡ ❖♥ ❈♦♥❞✐t✐♦♥❛❧ ◗✉❛♥t✐❧❡s ❆♣♣r♦①✐♠❛t✐♦♥ ❢♦r ❊❧❧✐♣t✐❝❛❧ ❘❛♥❞♦♠ ❋✐❡❧❞s

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ❊❧❧✐♣t✐❝❛❧ ❉✐str✐❜✉t✐♦♥s ◗✉❛♥t✐❧❡ ❘❡❣r❡ss✐♦♥ ❊①tr❡♠❛❧ ◗✉❛♥t✐❧❡s ◆✉♠❡r✐❝❛❧ st✉❞② ❉❡✜♥✐t✐♦♥s ❊①❛♠♣❧❡s ❈♦♥❞✐t✐♦♥❛❧ ❊❧❧✐♣t✐❝❛❧ ❉✐str✐❜✉t✐♦♥s ❙♦♠❡ ❈♦♥❞✐t✐♦♥❛❧ ◗✉❛♥t✐❧❡s

❘❡♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥ t❤❡♦r❡♠

❚❤❡♦r❡♠ ✭❈❛♠❜❛♥✐s✱ ❍✉❛♥❣✱ ❙✐♠♦♥s✱ ✶✾✽✶ ❬✶❪✮ X ∼ Ed(µ, Σ) ✐❢ ❛♥❞ ♦♥❧② ✐❢ ✿ X

d

= µ + RΛU(d) ✇✐t❤ ΛΛT = Σ✱ U(d) ✐s ❛ d−❞✐♠❡♥s✐♦♥❛❧ r❛♥❞♦♠ ✈❡❝t♦r ✉♥✐❢♦r♠❧② ❞✐str✐❜✉t❡❞ ♦♥ Sd−✶ ✭t❤❡ ✉♥✐t ❞✐s❦ ♦❢ ❞✐♠❡♥s✐♦♥ d✮✱ R ✐s ❛ ♥♦♥✲♥❡❣❛t✐✈❡ r❛♥❞♦♠ ✈❛r✐❛❜❧❡ ❜❡✐♥❣ st♦❝❤❛st✐❝❛❧❧② ✐♥❞❡♣❡♥❞❡♥t ♦❢ U(d)✳ R ✐s ❝❛❧❧❡❞ t❤❡ r❛❞✐✉s ♦❢ X✳

❆♥t♦✐♥❡ ❯ss❡❣❧✐♦✲❈❛r❧❡✈❡ ❖♥ ❈♦♥❞✐t✐♦♥❛❧ ◗✉❛♥t✐❧❡s ❆♣♣r♦①✐♠❛t✐♦♥ ❢♦r ❊❧❧✐♣t✐❝❛❧ ❘❛♥❞♦♠ ❋✐❡❧❞s

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ❊❧❧✐♣t✐❝❛❧ ❉✐str✐❜✉t✐♦♥s ◗✉❛♥t✐❧❡ ❘❡❣r❡ss✐♦♥ ❊①tr❡♠❛❧ ◗✉❛♥t✐❧❡s ◆✉♠❡r✐❝❛❧ st✉❞② ❉❡✜♥✐t✐♦♥s ❊①❛♠♣❧❡s ❈♦♥❞✐t✐♦♥❛❧ ❊❧❧✐♣t✐❝❛❧ ❉✐str✐❜✉t✐♦♥s ❙♦♠❡ ❈♦♥❞✐t✐♦♥❛❧ ◗✉❛♥t✐❧❡s

❈♦♥s✐st❡♥t ❡❧❧✐♣t✐❝❛❧ r❛❞✐✉s

❚❤❡♦r❡♠ ✭❑❛♥♦✱ ✶✾✾✹ ❬✸❪✮ X ∼ Ed(µ, Σ, R) ❤❛s t❤❡ ❝♦♥s✐st❡♥❝② ♣r♦♣❡rt② ✐❢ ❛♥❞ ♦♥❧② ✐❢ ✿ R

d

= χd

ǫ

✇❤❡r❡ ǫ ✐s ❛ ♣♦s✐t✐✈❡ r❛♥❞♦♠ ✈❛r✐❛❜❧❡ ✉♥r❡❧❛t❡❞ t♦ d ❛♥❞ χd✳

❆♥t♦✐♥❡ ❯ss❡❣❧✐♦✲❈❛r❧❡✈❡ ❖♥ ❈♦♥❞✐t✐♦♥❛❧ ◗✉❛♥t✐❧❡s ❆♣♣r♦①✐♠❛t✐♦♥ ❢♦r ❊❧❧✐♣t✐❝❛❧ ❘❛♥❞♦♠ ❋✐❡❧❞s

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ❊❧❧✐♣t✐❝❛❧ ❉✐str✐❜✉t✐♦♥s ◗✉❛♥t✐❧❡ ❘❡❣r❡ss✐♦♥ ❊①tr❡♠❛❧ ◗✉❛♥t✐❧❡s ◆✉♠❡r✐❝❛❧ st✉❞② ❉❡✜♥✐t✐♦♥s ❊①❛♠♣❧❡s ❈♦♥❞✐t✐♦♥❛❧ ❊❧❧✐♣t✐❝❛❧ ❉✐str✐❜✉t✐♦♥s ❙♦♠❡ ❈♦♥❞✐t✐♦♥❛❧ ◗✉❛♥t✐❧❡s

❊❧❧✐♣t✐❝❛❧ ❉✐str✐❜✉t✐♦♥

❚❤❡♦r❡♠ ✭❊❧❧✐♣t✐❝❛❧ ❞❡♥s✐t②✮ ■❢ X ∼ Ed(µ, Σ, R)✱ t❤❡♥ X ❤❛s t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ❢♦r♠ ♦❢ ❞❡♥s✐t② ✿ fX(x) =

cd | ❞❡t(Σ)|

✶ ✷ gd ((x − µ)Σ−✶(x − µ))

✇❤❡r❡ gd(t) =

Γ( d

✷)

✷π

d ✷

√t

−(d−✶)fR(√t)✱ ❛♥❞ fR(t) ✐s t❤❡ ♣✳❞✳❢ ♦❢

R✳ gd ✐s ❝❛❧❧❡❞ t❤❡ ❣❡♥❡r❛t♦r ♦❢ X✳

❆♥t♦✐♥❡ ❯ss❡❣❧✐♦✲❈❛r❧❡✈❡ ❖♥ ❈♦♥❞✐t✐♦♥❛❧ ◗✉❛♥t✐❧❡s ❆♣♣r♦①✐♠❛t✐♦♥ ❢♦r ❊❧❧✐♣t✐❝❛❧ ❘❛♥❞♦♠ ❋✐❡❧❞s

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ❊❧❧✐♣t✐❝❛❧ ❉✐str✐❜✉t✐♦♥s ◗✉❛♥t✐❧❡ ❘❡❣r❡ss✐♦♥ ❊①tr❡♠❛❧ ◗✉❛♥t✐❧❡s ◆✉♠❡r✐❝❛❧ st✉❞② ❉❡✜♥✐t✐♦♥s ❊①❛♠♣❧❡s ❈♦♥❞✐t✐♦♥❛❧ ❊❧❧✐♣t✐❝❛❧ ❉✐str✐❜✉t✐♦♥s ❙♦♠❡ ❈♦♥❞✐t✐♦♥❛❧ ◗✉❛♥t✐❧❡s

❊①❛♠♣❧❡s

❉✐str✐❜✉t✐♦♥ ❈♦❡✣❝✐❡♥t cd

• ❡♥❡r❛t♦r gd(t)

❘❛❞✐✉s R

• ❛✉ss✐❛♥

✶ (✷π)

d ✷

❡①♣(− t

✷)

χd ❙t✉❞❡♥t✱ ν > ✵

Γ( d+ν

✷ )

Γ( ν

✷ )

✶ (νπ)

d ✷

• ✶ + t

ν

− d+ν

✷

√νχd χν

• ❛✉ss✐❛♥ ▼✐①t✉r❡

✶ (✷π)

d ✷

n

• k=✶

πkθd

k ❡①♣

• − θ✷

k

✷ t

• χd

n

• k=✶

πkθk

❯♥✐❢♦r♠ ▼✐①t✉r❡

Γ( d+✶

✷ )

√ ✷π

d ✷

χ✷

d+✶(t)

t

d+✶ ✷

χd U(]✵,✶[)

❆♥t♦✐♥❡ ❯ss❡❣❧✐♦✲❈❛r❧❡✈❡ ❖♥ ❈♦♥❞✐t✐♦♥❛❧ ◗✉❛♥t✐❧❡s ❆♣♣r♦①✐♠❛t✐♦♥ ❢♦r ❊❧❧✐♣t✐❝❛❧ ❘❛♥❞♦♠ ❋✐❡❧❞s

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ❊❧❧✐♣t✐❝❛❧ ❉✐str✐❜✉t✐♦♥s ◗✉❛♥t✐❧❡ ❘❡❣r❡ss✐♦♥ ❊①tr❡♠❛❧ ◗✉❛♥t✐❧❡s ◆✉♠❡r✐❝❛❧ st✉❞② ❉❡✜♥✐t✐♦♥s ❊①❛♠♣❧❡s ❈♦♥❞✐t✐♦♥❛❧ ❊❧❧✐♣t✐❝❛❧ ❉✐str✐❜✉t✐♦♥s ❙♦♠❡ ❈♦♥❞✐t✐♦♥❛❧ ◗✉❛♥t✐❧❡s

❊①❛♠♣❧❡s

❆♥t♦✐♥❡ ❯ss❡❣❧✐♦✲❈❛r❧❡✈❡ ❖♥ ❈♦♥❞✐t✐♦♥❛❧ ◗✉❛♥t✐❧❡s ❆♣♣r♦①✐♠❛t✐♦♥ ❢♦r ❊❧❧✐♣t✐❝❛❧ ❘❛♥❞♦♠ ❋✐❡❧❞s

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ❊❧❧✐♣t✐❝❛❧ ❉✐str✐❜✉t✐♦♥s ◗✉❛♥t✐❧❡ ❘❡❣r❡ss✐♦♥ ❊①tr❡♠❛❧ ◗✉❛♥t✐❧❡s ◆✉♠❡r✐❝❛❧ st✉❞② ❉❡✜♥✐t✐♦♥s ❊①❛♠♣❧❡s ❈♦♥❞✐t✐♦♥❛❧ ❊❧❧✐♣t✐❝❛❧ ❉✐str✐❜✉t✐♦♥s ❙♦♠❡ ❈♦♥❞✐t✐♦♥❛❧ ◗✉❛♥t✐❧❡s

❆✣♥❡ tr❛♥s❢♦r♠❛t✐♦♥

Pr♦♣♦s✐t✐♦♥ ✭❆✣♥❡ tr❛♥s❢♦r♠❛t✐♦♥✮ ▲❡t X ❛ ❝♦♥s✐st❡♥t (R, d)−❡❧❧✐♣t✐❝❛❧ r❛♥❞♦♠ ✈❡❝t♦r ✇✐t❤ ♣❛r❛♠❡t❡rs µ ❛♥❞ Σ✳ ❚❤❡♥ ∀c ∈ Rd, b ∈ R✱ cTX + b ✐s (R, ✶)−❡❧❧✐♣t✐❝❛❧ ✇✐t❤ ♣❛r❛♠❡t❡rs cTµ + b ❛♥❞ cTΣc✳

❆♥t♦✐♥❡ ❯ss❡❣❧✐♦✲❈❛r❧❡✈❡ ❖♥ ❈♦♥❞✐t✐♦♥❛❧ ◗✉❛♥t✐❧❡s ❆♣♣r♦①✐♠❛t✐♦♥ ❢♦r ❊❧❧✐♣t✐❝❛❧ ❘❛♥❞♦♠ ❋✐❡❧❞s

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ❊❧❧✐♣t✐❝❛❧ ❉✐str✐❜✉t✐♦♥s ◗✉❛♥t✐❧❡ ❘❡❣r❡ss✐♦♥ ❊①tr❡♠❛❧ ◗✉❛♥t✐❧❡s ◆✉♠❡r✐❝❛❧ st✉❞② ❉❡✜♥✐t✐♦♥s ❊①❛♠♣❧❡s ❈♦♥❞✐t✐♦♥❛❧ ❊❧❧✐♣t✐❝❛❧ ❉✐str✐❜✉t✐♦♥s ❙♦♠❡ ❈♦♥❞✐t✐♦♥❛❧ ◗✉❛♥t✐❧❡s

❙✉❜✈❡❝t♦rs ❞✐str✐❜✉t✐♦♥s

Pr♦♣♦s✐t✐♦♥ ✭❙✉❜✈❡❝t♦rs ❞✐str✐❜✉t✐♦♥s✮ ▲❡t X ❛ ❝♦♥s✐st❡♥t (R, d)−❡❧❧✐♣t✐❝❛❧ r❛♥❞♦♠ ✈❡❝t♦r ✇✐t❤ ♣❛r❛♠❡t❡rs µ ❛♥❞ Σ✳ ❲❡ ❞❡✜♥❡ X✶ ❛♥❞ X✷ r❡s♣❡❝t✐✈❡❧② d✶ ❛♥❞ d✷−❞✐♠❡♥s✐♦♥❛❧ s✉❜✈❡❝t♦rs ♦❢ X✱ s✉❝❤ ❛s d✶ + d✷ = d✳ ▲❡t ✉s ✇r✐t❡ Σ ✿ Σ = Σ✶✶ Σ✶✷ Σ✷✶ Σ✷✷

• ❚❤❡♥ X✶ ❛♥❞ X✷ ❛r❡ r❡s♣❡❝t✐✈❡❧② (R, d✶)− ❛♥❞

(R, d✷)−❡❧❧✐♣t✐❝❛❧ ✇✐t❤ ♣❛r❛♠❡t❡rs µ✶✱ Σ✶✶ ❛♥❞ µ✷✱ Σ✷✷✱ r❡s♣❡❝t✐✈❡❧②✳

❆♥t♦✐♥❡ ❯ss❡❣❧✐♦✲❈❛r❧❡✈❡ ❖♥ ❈♦♥❞✐t✐♦♥❛❧ ◗✉❛♥t✐❧❡s ❆♣♣r♦①✐♠❛t✐♦♥ ❢♦r ❊❧❧✐♣t✐❝❛❧ ❘❛♥❞♦♠ ❋✐❡❧❞s

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ❊❧❧✐♣t✐❝❛❧ ❉✐str✐❜✉t✐♦♥s ◗✉❛♥t✐❧❡ ❘❡❣r❡ss✐♦♥ ❊①tr❡♠❛❧ ◗✉❛♥t✐❧❡s ◆✉♠❡r✐❝❛❧ st✉❞② ❉❡✜♥✐t✐♦♥s ❊①❛♠♣❧❡s ❈♦♥❞✐t✐♦♥❛❧ ❊❧❧✐♣t✐❝❛❧ ❉✐str✐❜✉t✐♦♥s ❙♦♠❡ ❈♦♥❞✐t✐♦♥❛❧ ◗✉❛♥t✐❧❡s

❈♦♥❞✐t✐♦♥❛❧ ❞✐str✐❜✉t✐♦♥s

Pr♦♣♦s✐t✐♦♥ ✭❈♦♥❞✐t✐♦♥❛❧ ❞✐str✐❜✉t✐♦♥✮

❲❡ ❝♦♥s✐❞❡r t❤❡ ♣r❡✈✐♦✉s ❤②♣♦t❤❡s✐s✳ ❲❡ ❝❛♥ ❞❡❞✉❝❡ t❤❡ ❝♦♥❞✐t✐♦♥❛❧ ♣❛r❛♠❡t❡rs ♦❢ X✷|(X✶ = x✶) ✿

• µ✷|✶ =

µ✷ + Σ✷✶Σ−✶

✶✶ (x✶ − µ✶)

Σ✷|✶ = Σ✷✷ − Σ✷✶Σ−✶

✶✶ Σ✶✷

❋✉rt❤❡r♠♦r❡✱ X✷|(X✶ = x✶) ✐s st✐❧❧ ❡❧❧✐♣t✐❝❛❧✱ ✇✐t❤ r❛❞✐✉s R∗ ❣✐✈❡♥ ❜② ✿ R∗ d = R√✶ − β|

• R√βU(d) = C −✶

✶✶ (x✶ − µ✶)

• ✇❤❡r❡ C✶✶ ✐s t❤❡ ❈❤♦❧❡s❦② r♦♦t ♦❢ Σ✶✶✱ ❛♥❞ β ∼ Beta( d✶

✷ , d✷ ✷ )✳

❆♥t♦✐♥❡ ❯ss❡❣❧✐♦✲❈❛r❧❡✈❡ ❖♥ ❈♦♥❞✐t✐♦♥❛❧ ◗✉❛♥t✐❧❡s ❆♣♣r♦①✐♠❛t✐♦♥ ❢♦r ❊❧❧✐♣t✐❝❛❧ ❘❛♥❞♦♠ ❋✐❡❧❞s

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ❊❧❧✐♣t✐❝❛❧ ❉✐str✐❜✉t✐♦♥s ◗✉❛♥t✐❧❡ ❘❡❣r❡ss✐♦♥ ❊①tr❡♠❛❧ ◗✉❛♥t✐❧❡s ◆✉♠❡r✐❝❛❧ st✉❞② ❉❡✜♥✐t✐♦♥s ❊①❛♠♣❧❡s ❈♦♥❞✐t✐♦♥❛❧ ❊❧❧✐♣t✐❝❛❧ ❉✐str✐❜✉t✐♦♥s ❙♦♠❡ ❈♦♥❞✐t✐♦♥❛❧ ◗✉❛♥t✐❧❡s

❈♦♥❞✐t✐♦♥❛❧ ❞✐str✐❜✉t✐♦♥s

Pr♦♣♦s✐t✐♦♥ ❆t ❧❛st✱ t❤❡ ❝♦♥❞✐t✐♦♥❛❧ ❞❡♥s✐t② ♦❢ X✷|(X✶ = x✶) ✐s ❣✐✈❡♥ ❜② ✿ fX✷|X✶(x✷|x✶) =

c✷|✶ |Σ✷|✶|

✶ ✷ gd

• q✶ + (x✷ − µ✷|✶)TΣ−✶

✷|✶(x✷ − µ✷|✶)

• ✇✐t❤ c✷|✶ =

cd cd✶gd✶(q✶)✱ ❛♥❞ q✶ = (x✶ − µ✶)TΣ−✶ ✶✶ (x✶ − µ✶)✳

❆♥t♦✐♥❡ ❯ss❡❣❧✐♦✲❈❛r❧❡✈❡ ❖♥ ❈♦♥❞✐t✐♦♥❛❧ ◗✉❛♥t✐❧❡s ❆♣♣r♦①✐♠❛t✐♦♥ ❢♦r ❊❧❧✐♣t✐❝❛❧ ❘❛♥❞♦♠ ❋✐❡❧❞s

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ❊❧❧✐♣t✐❝❛❧ ❉✐str✐❜✉t✐♦♥s ◗✉❛♥t✐❧❡ ❘❡❣r❡ss✐♦♥ ❊①tr❡♠❛❧ ◗✉❛♥t✐❧❡s ◆✉♠❡r✐❝❛❧ st✉❞② ❉❡✜♥✐t✐♦♥s ❊①❛♠♣❧❡s ❈♦♥❞✐t✐♦♥❛❧ ❊❧❧✐♣t✐❝❛❧ ❉✐str✐❜✉t✐♦♥s ❙♦♠❡ ❈♦♥❞✐t✐♦♥❛❧ ◗✉❛♥t✐❧❡s

❈♦♥❞✐t✐♦♥❛❧ ◗✉❛♥t✐❧❡s

■❢ ✇❡ ❞❡✜♥❡ ✿ ΦR(x) = P

• RU(✶) ≤ x
• Pr♦♣♦s✐t✐♦♥ ✭❈♦♥❞✐t✐♦♥❛❧ ❡❧❧✐♣t✐❝❛❧ q✉❛♥t✐❧❡✮

▲❡t X ❛ (R, N + ✶)−❡❧❧✐♣t✐❝❛❧ r❛♥❞♦♠ ✈❡❝t♦r ✇✐t❤ ♣❛r❛♠❡t❡rs µ ❛♥❞ Σ✳ ❲❡ ❞❡✜♥❡ X✶ ❛♥❞ X✷ r❡s♣❡❝t✐✈❡❧② N ❛♥❞ ✶−❞✐♠❡♥s✐♦♥❛❧ s✉❜✈❡❝t♦rs ♦❢ X✳ ▲❡t ✉s ✇r✐t❡ Σ ✿ Σ =

• Σ✶✶

Σ✶✷ Σ✷✶ Σ✷✷

• ❚❤❡♥ t❤❡ α−q✉❛♥t✐❧❡ ♦❢ X✷|(X✶ = x✶) ✐s ❣✐✈❡♥ ❜② ✿

qα (X✷|X✶ = x✶) = µ✷|✶ + Σ✷|✶Φ−✶

R∗ (α)

❆♥t♦✐♥❡ ❯ss❡❣❧✐♦✲❈❛r❧❡✈❡ ❖♥ ❈♦♥❞✐t✐♦♥❛❧ ◗✉❛♥t✐❧❡s ❆♣♣r♦①✐♠❛t✐♦♥ ❢♦r ❊❧❧✐♣t✐❝❛❧ ❘❛♥❞♦♠ ❋✐❡❧❞s

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ❊❧❧✐♣t✐❝❛❧ ❉✐str✐❜✉t✐♦♥s ◗✉❛♥t✐❧❡ ❘❡❣r❡ss✐♦♥ ❊①tr❡♠❛❧ ◗✉❛♥t✐❧❡s ◆✉♠❡r✐❝❛❧ st✉❞② ❉❡✜♥✐t✐♦♥s ❊①❛♠♣❧❡s ❈♦♥❞✐t✐♦♥❛❧ ❊❧❧✐♣t✐❝❛❧ ❉✐str✐❜✉t✐♦♥s ❙♦♠❡ ❈♦♥❞✐t✐♦♥❛❧ ◗✉❛♥t✐❧❡s

• ❛✉ss✐❛♥ ❡①❛♠♣❧❡

X✷|(X✶ = x✶) ∼ N(µ✷|✶, Σ✷|✶)

❋✐❣✉r❡✿ ✵.✾✺ ❛♥❞ ✵.✵✺−q✉❛♥t✐❧❡s ❢♦r ❛ ❝♦♥❞✐t✐♦♥❛❧ ❣❛✉ss✐❛♥ ♣r♦❝❡ss ✿ ✐❧❧✉str❛t✐♦♥ ✐♥ t❤❡ ❞✐♠❡♥s✐♦♥ d = ✶

❆♥t♦✐♥❡ ❯ss❡❣❧✐♦✲❈❛r❧❡✈❡ ❖♥ ❈♦♥❞✐t✐♦♥❛❧ ◗✉❛♥t✐❧❡s ❆♣♣r♦①✐♠❛t✐♦♥ ❢♦r ❊❧❧✐♣t✐❝❛❧ ❘❛♥❞♦♠ ❋✐❡❧❞s

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ❊❧❧✐♣t✐❝❛❧ ❉✐str✐❜✉t✐♦♥s ◗✉❛♥t✐❧❡ ❘❡❣r❡ss✐♦♥ ❊①tr❡♠❛❧ ◗✉❛♥t✐❧❡s ◆✉♠❡r✐❝❛❧ st✉❞② ❉❡✜♥✐t✐♦♥s ❊①❛♠♣❧❡s ❈♦♥❞✐t✐♦♥❛❧ ❊❧❧✐♣t✐❝❛❧ ❉✐str✐❜✉t✐♦♥s ❙♦♠❡ ❈♦♥❞✐t✐♦♥❛❧ ◗✉❛♥t✐❧❡s

❙t✉❞❡♥t ❡①❛♠♣❧❡

▲❡♠♠❛

▲❡t X ❛ d−❞✐♠❡♥s✐♦♥❛❧ ❙t✉❞❡♥t ❞✐str✐❜✉t✐♦♥ ✇✐t❤ ν ❞❡❣r❡❡s ♦❢ ❢r❡❡❞♦♠✱ ❛♥❞ ♣❛r❛♠❡t❡rs µ ∈ Rd ❛♥❞ Σ ∈ Rd×d✳ ▲❡t X✶ ❛♥❞ X✷✱ r❡s♣❡❝t✐✈❡❧② d✶ ❛♥❞ d✷−❞✐♠❡♥s✐♦♥❛❧ s✉❜✈❡❝t♦rs ♦❢ X✱ s✉❝❤ ❛s d✶ + d✷ = d✳ ❚❤❡♥ t❤❡ ❞❡♥s✐t② ❢✉♥❝t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ❝♦♥❞✐t✐♦♥❛❧ r❛♥❞♦♠ ✈❛r✐❛❜❧❡ X✷|(X✶ = x✶) ✐s ✿ fX✷|X✶(x✷|x✶) =

Γ( ν+d

✷ )

((ν+d✶)π)

d✷ ✷ Γ( ν+d✶ ✷ )|Σ✷|✶| ✶ ✷

• ✶ + ✶

ν q✷|✶(x✷) ✶+ ✶

ν q✶

− ν+d

✷ ν+d✶ ν

✶+ ✶

ν q✶

d✷

✷

✇❤❡r❡ q✷|✶(x✷) ❛♥❞ q✶ ❛r❡ t❤❡ ▼❛❤❛❧❛♥♦❜✐s ❞✐st❛♥❝❡s ✿ q✷|✶(x✷) = (x✷ − µ✷|✶)TΣ−✶

✷|✶(x✷ − µ✷|✶)

q✶ = (x✶ − µ✶)TΣ−✶

✶✶ (x✶ − µ✶)

❆♥t♦✐♥❡ ❯ss❡❣❧✐♦✲❈❛r❧❡✈❡ ❖♥ ❈♦♥❞✐t✐♦♥❛❧ ◗✉❛♥t✐❧❡s ❆♣♣r♦①✐♠❛t✐♦♥ ❢♦r ❊❧❧✐♣t✐❝❛❧ ❘❛♥❞♦♠ ❋✐❡❧❞s

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ❊❧❧✐♣t✐❝❛❧ ❉✐str✐❜✉t✐♦♥s ◗✉❛♥t✐❧❡ ❘❡❣r❡ss✐♦♥ ❊①tr❡♠❛❧ ◗✉❛♥t✐❧❡s ◆✉♠❡r✐❝❛❧ st✉❞② ❉❡✜♥✐t✐♦♥s ❊①❛♠♣❧❡s ❈♦♥❞✐t✐♦♥❛❧ ❊❧❧✐♣t✐❝❛❧ ❉✐str✐❜✉t✐♦♥s ❙♦♠❡ ❈♦♥❞✐t✐♦♥❛❧ ◗✉❛♥t✐❧❡s

❙t✉❞❡♥t ❡①❛♠♣❧❡

Pr♦♣♦s✐t✐♦♥ ✭❈♦♥❞✐t✐♦♥❛❧ ❙t✉❞❡♥t q✉❛♥t✐❧❡✮ ❚❤❡ ❝♦♥❞✐t✐♦♥❛❧ α−q✉❛♥t✐❧❡ ♦❢ X✷|(X✶ = x✶)✱ X✷ ∈ R✱ X✶ ∈ RN✱ ✐s ✿ qα(X✷|X✶ = x✶) = µ✷|✶ + Σ✷|✶

• ν

ν+N

• ✶ + ✶

νq✶Φ−✶ ν+N(α)

❆♥t♦✐♥❡ ❯ss❡❣❧✐♦✲❈❛r❧❡✈❡ ❖♥ ❈♦♥❞✐t✐♦♥❛❧ ◗✉❛♥t✐❧❡s ❆♣♣r♦①✐♠❛t✐♦♥ ❢♦r ❊❧❧✐♣t✐❝❛❧ ❘❛♥❞♦♠ ❋✐❡❧❞s

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ❊❧❧✐♣t✐❝❛❧ ❉✐str✐❜✉t✐♦♥s ◗✉❛♥t✐❧❡ ❘❡❣r❡ss✐♦♥ ❊①tr❡♠❛❧ ◗✉❛♥t✐❧❡s ◆✉♠❡r✐❝❛❧ st✉❞② ❉❡✜♥✐t✐♦♥s ❊①❛♠♣❧❡s ❈♦♥❞✐t✐♦♥❛❧ ❊❧❧✐♣t✐❝❛❧ ❉✐str✐❜✉t✐♦♥s ❙♦♠❡ ❈♦♥❞✐t✐♦♥❛❧ ◗✉❛♥t✐❧❡s

❙t✉❞❡♥t ❡①❛♠♣❧❡

❋✐❣✉r❡✿ ✵.✾✺ ❛♥❞ ✵.✵✺−q✉❛♥t✐❧❡s ❢♦r ❛ ❝♦♥❞✐t✐♦♥❛❧ ❙t✉❞❡♥t ♣r♦❝❡ss ✇✐t❤ ν = ✸ ✿ ✐❧❧✉str❛t✐♦♥ ✐♥ t❤❡ ❞✐♠❡♥s✐♦♥ d = ✶

❆♥t♦✐♥❡ ❯ss❡❣❧✐♦✲❈❛r❧❡✈❡ ❖♥ ❈♦♥❞✐t✐♦♥❛❧ ◗✉❛♥t✐❧❡s ❆♣♣r♦①✐♠❛t✐♦♥ ❢♦r ❊❧❧✐♣t✐❝❛❧ ❘❛♥❞♦♠ ❋✐❡❧❞s

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ❊❧❧✐♣t✐❝❛❧ ❉✐str✐❜✉t✐♦♥s ◗✉❛♥t✐❧❡ ❘❡❣r❡ss✐♦♥ ❊①tr❡♠❛❧ ◗✉❛♥t✐❧❡s ◆✉♠❡r✐❝❛❧ st✉❞② Pr♦❜❧❡♠ ❙♦❧✉t✐♦♥ ❊①❛♠♣❧❡s

✶

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥

✷

❊❧❧✐♣t✐❝❛❧ ❉✐str✐❜✉t✐♦♥s

✸

◗✉❛♥t✐❧❡ ❘❡❣r❡ss✐♦♥

✹

❊①tr❡♠❛❧ ◗✉❛♥t✐❧❡s

✺

◆✉♠❡r✐❝❛❧ st✉❞②

❆♥t♦✐♥❡ ❯ss❡❣❧✐♦✲❈❛r❧❡✈❡ ❖♥ ❈♦♥❞✐t✐♦♥❛❧ ◗✉❛♥t✐❧❡s ❆♣♣r♦①✐♠❛t✐♦♥ ❢♦r ❊❧❧✐♣t✐❝❛❧ ❘❛♥❞♦♠ ❋✐❡❧❞s

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ❊❧❧✐♣t✐❝❛❧ ❉✐str✐❜✉t✐♦♥s ◗✉❛♥t✐❧❡ ❘❡❣r❡ss✐♦♥ ❊①tr❡♠❛❧ ◗✉❛♥t✐❧❡s ◆✉♠❡r✐❝❛❧ st✉❞② Pr♦❜❧❡♠ ❙♦❧✉t✐♦♥ ❊①❛♠♣❧❡s

◗✉❛♥t✐❧❡ ❘❡❣r❡ss✐♦♥ ❬✹❪

ˆ qα(X✷|X✶ = x✶) = β∗Tx✶ + β∗

✵

✇❤❡r❡ β∗ ❛♥❞ β∗

✵ ❛r❡ t❤❡ s♦❧✉t✐♦♥s ♦❢ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣

♠✐♥✐♠✐③❛t✐♦♥ ♣r♦❜❧❡♠ ✿ (β∗, β∗

✵) = ❛r❣ ♠✐♥ β∈RN,β✵∈R

E[φα(X✷ − βTX✶ − β✵)] ✇✐t❤ t❤❡ s❝♦r✐♥❣ ❢✉♥❝t✐♦♥ φα ✿ φα(x) = (α − ✶)x1{x<✵} + αx1{x>✵}

❆♥t♦✐♥❡ ❯ss❡❣❧✐♦✲❈❛r❧❡✈❡ ❖♥ ❈♦♥❞✐t✐♦♥❛❧ ◗✉❛♥t✐❧❡s ❆♣♣r♦①✐♠❛t✐♦♥ ❢♦r ❊❧❧✐♣t✐❝❛❧ ❘❛♥❞♦♠ ❋✐❡❧❞s

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ❊❧❧✐♣t✐❝❛❧ ❉✐str✐❜✉t✐♦♥s ◗✉❛♥t✐❧❡ ❘❡❣r❡ss✐♦♥ ❊①tr❡♠❛❧ ◗✉❛♥t✐❧❡s ◆✉♠❡r✐❝❛❧ st✉❞② Pr♦❜❧❡♠ ❙♦❧✉t✐♦♥ ❊①❛♠♣❧❡s

◗✉❛♥t✐❧❡ ❘❡❣r❡ss✐♦♥

Pr♦♣♦s✐t✐♦♥ ✭❖♣t✐♠❛❧ β∗✮ ❚❤❡ ♦♣t✐♠❛❧ β∗ ✐s ❣✐✈❡♥ ❜② ✿ β∗ = Σ−✶

✶✶ Σ✶✷

❆♥t♦✐♥❡ ❯ss❡❣❧✐♦✲❈❛r❧❡✈❡ ❖♥ ❈♦♥❞✐t✐♦♥❛❧ ◗✉❛♥t✐❧❡s ❆♣♣r♦①✐♠❛t✐♦♥ ❢♦r ❊❧❧✐♣t✐❝❛❧ ❘❛♥❞♦♠ ❋✐❡❧❞s

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ❊❧❧✐♣t✐❝❛❧ ❉✐str✐❜✉t✐♦♥s ◗✉❛♥t✐❧❡ ❘❡❣r❡ss✐♦♥ ❊①tr❡♠❛❧ ◗✉❛♥t✐❧❡s ◆✉♠❡r✐❝❛❧ st✉❞② Pr♦❜❧❡♠ ❙♦❧✉t✐♦♥ ❊①❛♠♣❧❡s

◗✉❛♥t✐❧❡ ❘❡❣r❡ss✐♦♥

❚❤❡♦r❡♠ ✭◗✉❛♥t✐❧❡ ❘❡❣r❡ss✐♦♥ ❊st✐♠❛t♦r✮

❚❤❡ q✉❛♥t✐❧❡ r❡❣r❡ss✐♦♥ ✈❡❝t♦r (β∗, β∗

✵) ♦❢ X✷|(X✶ = x✶) ✐s ❣✐✈❡♥ ❜② t❤❡

❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ❢♦r♠✉❧❛s ✿ β∗ = Σ−✶

✶✶ Σ✶✷

β∗

✵ =

µ✷ − Σ✷✶Σ−✶

✶✶ µ✶ + σ✷|✶Φ−✶ R (α)

❚❤❡♥ t❤❡ ◗✉❛♥t✐❧❡ ❘❡❣r❡ss✐♦♥ ❊st✐♠❛t♦r ✇✐t❤ ❧❡✈❡❧ α ∈ [✵, ✶] ✐s ❣✐✈❡♥ ❜② ✿ ˆ qα(X✷|X✶ = x✶) = µ✷|✶ + σ✷|✶Φ−✶

R (α)

❋✉rt❤❡r♠♦r❡✱ ˆ qα(X✷|X✶) ∼ E✶

• µ✷ + σ✷|✶Φ−✶

R (α), Σ✷✶Σ−✶ ✶✶ Σ✶✷, R

• ❆♥t♦✐♥❡ ❯ss❡❣❧✐♦✲❈❛r❧❡✈❡

❖♥ ❈♦♥❞✐t✐♦♥❛❧ ◗✉❛♥t✐❧❡s ❆♣♣r♦①✐♠❛t✐♦♥ ❢♦r ❊❧❧✐♣t✐❝❛❧ ❘❛♥❞♦♠ ❋✐❡❧❞s

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ❊❧❧✐♣t✐❝❛❧ ❉✐str✐❜✉t✐♦♥s ◗✉❛♥t✐❧❡ ❘❡❣r❡ss✐♦♥ ❊①tr❡♠❛❧ ◗✉❛♥t✐❧❡s ◆✉♠❡r✐❝❛❧ st✉❞② Pr♦❜❧❡♠ ❙♦❧✉t✐♦♥ ❊①❛♠♣❧❡s

• ❛✉ss✐❛♥ ❡①❛♠♣❧❡

qα(X✷|X✶ = x✶) = µ✷|✶ + σ✷|✶Φ−✶(α) ˆ qα(X✷|X✶ = x✶) = µ✷|✶ + σ✷|✶Φ−✶(α) ❚❤❡ ◗✉❛♥t✐❧❡ ❘❡❣r❡ss✐♦♥ ❊st✐♠❛t♦r ✭◗❘❊✮ ❣✐✈❡s ❡①❛❝t❧② t❤❡ ❝♦♥❞✐t✐♦♥❛❧ q✉❛♥t✐❧❡s✳

❆♥t♦✐♥❡ ❯ss❡❣❧✐♦✲❈❛r❧❡✈❡ ❖♥ ❈♦♥❞✐t✐♦♥❛❧ ◗✉❛♥t✐❧❡s ❆♣♣r♦①✐♠❛t✐♦♥ ❢♦r ❊❧❧✐♣t✐❝❛❧ ❘❛♥❞♦♠ ❋✐❡❧❞s

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ❊❧❧✐♣t✐❝❛❧ ❉✐str✐❜✉t✐♦♥s ◗✉❛♥t✐❧❡ ❘❡❣r❡ss✐♦♥ ❊①tr❡♠❛❧ ◗✉❛♥t✐❧❡s ◆✉♠❡r✐❝❛❧ st✉❞② Pr♦❜❧❡♠ ❙♦❧✉t✐♦♥ ❊①❛♠♣❧❡s

❙t✉❞❡♥t ❡①❛♠♣❧❡

• qα(X✷|X✶ = x✶) =

µ✷|✶ + σ✷|✶

• ν

ν+N

• ✶ + ✶

νq✶Φ−✶ ν+N(α)

ˆ qα(X✷|X✶ = x✶) = µ✷|✶ + σ✷|✶Φ−✶

ν (α)

❚❤❡ ❡rr♦r ♠❛② ❜❡ ❤✉❣❡✱ ❡s♣❡❝✐❛❧❧② ✐❢ t❤❡ ▼❛❤❛❧❛♥♦❜✐s ❞✐st❛♥❝❡ q✶ = (x✶ − µ✶)TΣ−✶

✶✶ (x✶ − µ✶) ✐s t❛❧❧✳

❆♥t♦✐♥❡ ❯ss❡❣❧✐♦✲❈❛r❧❡✈❡ ❖♥ ❈♦♥❞✐t✐♦♥❛❧ ◗✉❛♥t✐❧❡s ❆♣♣r♦①✐♠❛t✐♦♥ ❢♦r ❊❧❧✐♣t✐❝❛❧ ❘❛♥❞♦♠ ❋✐❡❧❞s

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ❊❧❧✐♣t✐❝❛❧ ❉✐str✐❜✉t✐♦♥s ◗✉❛♥t✐❧❡ ❘❡❣r❡ss✐♦♥ ❊①tr❡♠❛❧ ◗✉❛♥t✐❧❡s ◆✉♠❡r✐❝❛❧ st✉❞② Pr♦❜❧❡♠ ❙♦❧✉t✐♦♥ ❊①❛♠♣❧❡s

❙t✉❞❡♥t ❡①❛♠♣❧❡

❋✐❣✉r❡✿ ❚❤❡♦r❡t✐❝❛❧ q✉❛♥t✐❧❡s ✐♥ ❜❧✉❡✱ q✉❛♥t✐❧❡s ❣❡t ✇✐t❤ t❤❡ ❘ ♣❛❝❦❛❣❡ ✐♥ ❣r❡❡♥✱ ❛♥❞ ◗❘❊ ✐♥ r❡❞✱ ❢♦r ❧❡✈❡❧s α = ✵.✵✺ ❛♥❞ α = ✵.✾✺

❆♥t♦✐♥❡ ❯ss❡❣❧✐♦✲❈❛r❧❡✈❡ ❖♥ ❈♦♥❞✐t✐♦♥❛❧ ◗✉❛♥t✐❧❡s ❆♣♣r♦①✐♠❛t✐♦♥ ❢♦r ❊❧❧✐♣t✐❝❛❧ ❘❛♥❞♦♠ ❋✐❡❧❞s

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ❊❧❧✐♣t✐❝❛❧ ❉✐str✐❜✉t✐♦♥s ◗✉❛♥t✐❧❡ ❘❡❣r❡ss✐♦♥ ❊①tr❡♠❛❧ ◗✉❛♥t✐❧❡s ◆✉♠❡r✐❝❛❧ st✉❞② Pr♦❜❧❡♠ ❙♦❧✉t✐♦♥ ❊①❛♠♣❧❡s

• ❛✉ss✐❛♥ ▼✐①t✉r❡ ❡①❛♠♣❧❡

❋✐❣✉r❡✿ ❚❤❡♦r❡t✐❝❛❧ q✉❛♥t✐❧❡s ✐♥ ❜❧✉❡✱ q✉❛♥t✐❧❡s ❣❡t ✇✐t❤ t❤❡ ❘ ♣❛❝❦❛❣❡ ✐♥ ❣r❡❡♥✱ ❛♥❞ ◗❘❊ ✐♥ r❡❞✱ ❢♦r ❧❡✈❡❧s α = ✵.✵✺ ❛♥❞ α = ✵.✾✺

❆♥t♦✐♥❡ ❯ss❡❣❧✐♦✲❈❛r❧❡✈❡ ❖♥ ❈♦♥❞✐t✐♦♥❛❧ ◗✉❛♥t✐❧❡s ❆♣♣r♦①✐♠❛t✐♦♥ ❢♦r ❊❧❧✐♣t✐❝❛❧ ❘❛♥❞♦♠ ❋✐❡❧❞s

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ❊❧❧✐♣t✐❝❛❧ ❉✐str✐❜✉t✐♦♥s ◗✉❛♥t✐❧❡ ❘❡❣r❡ss✐♦♥ ❊①tr❡♠❛❧ ◗✉❛♥t✐❧❡s ◆✉♠❡r✐❝❛❧ st✉❞② Pr♦❜❧❡♠ ❙♦❧✉t✐♦♥ ❊①❛♠♣❧❡s

❯♥✐❢♦r♠ ▼✐①t✉r❡ ❡①❛♠♣❧❡

❋✐❣✉r❡✿ ❚❤❡♦r❡t✐❝❛❧ q✉❛♥t✐❧❡s ✐♥ ❜❧✉❡✱ q✉❛♥t✐❧❡s ❣❡t ✇✐t❤ t❤❡ ❘ ♣❛❝❦❛❣❡ ✐♥ ❣r❡❡♥✱ ❛♥❞ ◗❘❊ ✐♥ r❡❞✱ ❢♦r ❧❡✈❡❧s α = ✵.✵✺ ❛♥❞ α = ✵.✾✺

❆♥t♦✐♥❡ ❯ss❡❣❧✐♦✲❈❛r❧❡✈❡ ❖♥ ❈♦♥❞✐t✐♦♥❛❧ ◗✉❛♥t✐❧❡s ❆♣♣r♦①✐♠❛t✐♦♥ ❢♦r ❊❧❧✐♣t✐❝❛❧ ❘❛♥❞♦♠ ❋✐❡❧❞s

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ❊❧❧✐♣t✐❝❛❧ ❉✐str✐❜✉t✐♦♥s ◗✉❛♥t✐❧❡ ❘❡❣r❡ss✐♦♥ ❊①tr❡♠❛❧ ◗✉❛♥t✐❧❡s ◆✉♠❡r✐❝❛❧ st✉❞② ▼♦t✐✈❛t✐♦♥ ❆♥❛❧②s✐s ❊①❛♠♣❧❡s

✶

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥

✷

❊❧❧✐♣t✐❝❛❧ ❉✐str✐❜✉t✐♦♥s

✸

◗✉❛♥t✐❧❡ ❘❡❣r❡ss✐♦♥

✹

❊①tr❡♠❛❧ ◗✉❛♥t✐❧❡s

✺

◆✉♠❡r✐❝❛❧ st✉❞②

❆♥t♦✐♥❡ ❯ss❡❣❧✐♦✲❈❛r❧❡✈❡ ❖♥ ❈♦♥❞✐t✐♦♥❛❧ ◗✉❛♥t✐❧❡s ❆♣♣r♦①✐♠❛t✐♦♥ ❢♦r ❊❧❧✐♣t✐❝❛❧ ❘❛♥❞♦♠ ❋✐❡❧❞s

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ❊❧❧✐♣t✐❝❛❧ ❉✐str✐❜✉t✐♦♥s ◗✉❛♥t✐❧❡ ❘❡❣r❡ss✐♦♥ ❊①tr❡♠❛❧ ◗✉❛♥t✐❧❡s ◆✉♠❡r✐❝❛❧ st✉❞② ▼♦t✐✈❛t✐♦♥ ❆♥❛❧②s✐s ❊①❛♠♣❧❡s

▼♦t✐✈❛t✐♦♥

◗✉❛♥t✐❧❡ ❘❡❣r❡ss✐♦♥ ❊st✐♠❛t♦r ❞♦❡s ♥♦t ❧❡❛❞ t♦ ❝♦♥❞✐t✐♦♥❛❧ q✉❛♥t✐❧❡s✱ ✐♥ ❣❡♥❡r❛❧ ❈❛♥ ✇❡ ♣r♦♣♦s❡ ❛ ❝♦rr❡❝t✐♦♥✱ ❛t ❧❡❛st ❢♦r ❡①tr❡♠❛❧ ❧❡✈❡❧s ♦❢ α ❄ ˆ qα(X✷|X✶ = x✶) = µ✷|✶ + σ✷|✶Φ−✶

R (α)

qα(X✷|X✶ = x✶) = µ✷|✶ + σ✷|✶Φ−✶

R∗(α)

❈❛♥ ✇❡ ✜♥❞ ❛s②♠♣t♦t✐❝ ❡q✉✐✈❛❧❡♥❝❡s ❜❡t✇❡❡♥ Φ−✶

R (α) ❛♥❞

Φ−✶

R∗(α) ❄

❆♥t♦✐♥❡ ❯ss❡❣❧✐♦✲❈❛r❧❡✈❡ ❖♥ ❈♦♥❞✐t✐♦♥❛❧ ◗✉❛♥t✐❧❡s ❆♣♣r♦①✐♠❛t✐♦♥ ❢♦r ❊❧❧✐♣t✐❝❛❧ ❘❛♥❞♦♠ ❋✐❡❧❞s

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ❊❧❧✐♣t✐❝❛❧ ❉✐str✐❜✉t✐♦♥s ◗✉❛♥t✐❧❡ ❘❡❣r❡ss✐♦♥ ❊①tr❡♠❛❧ ◗✉❛♥t✐❧❡s ◆✉♠❡r✐❝❛❧ st✉❞② ▼♦t✐✈❛t✐♦♥ ❆♥❛❧②s✐s ❊①❛♠♣❧❡s

❆ss✉♠♣t✐♦♥

❆ss✉♠♣t✐♦♥ ❚❤❡r❡ ❡①✐st ✵ < ℓ < +∞ ❛♥❞ γ ∈ R s✉❝❤ ❛s ✿ ❧✐♠

x→+∞ ✶−ΦR∗(x) ✶−ΦR(xγ) =

❧✐♠

x→+∞ cN+✶gN+✶(q✶+x✷) c✶cNgN(q✶)γxγ−✶g✶(x✷γ) = ℓ

❑✐♥❞ ♦❢ ❡q✉✐✈❛❧❡♥❝❡ ❜❡t✇❡❡♥ t❤❡ ❞✐str✐❜✉t✐♦♥ ❢✉♥❝t✐♦♥s ΦR ❛♥❞ ΦR∗ ❲❡ ♥❡❡❞ ❛♥ ❡q✉✐✈❛❧❡♥❝❡ ❜❡t✇❡❡♥ Φ−✶

R

❛♥❞ Φ−✶

R∗ ✭❉❥✉r↔✐➣✱

❚♦r❣❛➨❡✈✱ ✷✵✵✶ ❬✷❪✮

❆♥t♦✐♥❡ ❯ss❡❣❧✐♦✲❈❛r❧❡✈❡ ❖♥ ❈♦♥❞✐t✐♦♥❛❧ ◗✉❛♥t✐❧❡s ❆♣♣r♦①✐♠❛t✐♦♥ ❢♦r ❊❧❧✐♣t✐❝❛❧ ❘❛♥❞♦♠ ❋✐❡❧❞s

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ❊❧❧✐♣t✐❝❛❧ ❉✐str✐❜✉t✐♦♥s ◗✉❛♥t✐❧❡ ❘❡❣r❡ss✐♦♥ ❊①tr❡♠❛❧ ◗✉❛♥t✐❧❡s ◆✉♠❡r✐❝❛❧ st✉❞② ▼♦t✐✈❛t✐♦♥ ❆♥❛❧②s✐s ❊①❛♠♣❧❡s

❉❥✉r↔✐➣✱ ❚♦r❣❛➨❡✈✱ ✷✵✵✶ ❬✷❪

❉❡✜♥✐t✐♦♥ ❆ ❢✉♥❝t✐♦♥ f ✐s ❛ ϕ−❢✉♥❝t✐♦♥ ✐❢ f : [✵, +∞[→ [✵, +∞[✱ f (✵) = ✵✱ f ✐s ❝♦♥t✐♥✉♦✉s✱ ♥♦♥ ❞❡❝r❡❛s✐♥❣ ♦♥ [✵, +∞[✱ ❛♥❞ f (x) → +∞ ✇❤❡♥ x → +∞✳ ❉❡✜♥✐t✐♦♥ Kc ✐s t❤❡ s❡t ♦❢ ❛❧❧ ϕ−❢✉♥❝t✐♦♥s f ✇✐t❤ t❤❡ ♣r♦♣❡rt② ✿ ❧✐♠

x→+∞

λ→✶

f (λx) f (x) = ✶

❆♥t♦✐♥❡ ❯ss❡❣❧✐♦✲❈❛r❧❡✈❡ ❖♥ ❈♦♥❞✐t✐♦♥❛❧ ◗✉❛♥t✐❧❡s ❆♣♣r♦①✐♠❛t✐♦♥ ❢♦r ❊❧❧✐♣t✐❝❛❧ ❘❛♥❞♦♠ ❋✐❡❧❞s

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ❊❧❧✐♣t✐❝❛❧ ❉✐str✐❜✉t✐♦♥s ◗✉❛♥t✐❧❡ ❘❡❣r❡ss✐♦♥ ❊①tr❡♠❛❧ ◗✉❛♥t✐❧❡s ◆✉♠❡r✐❝❛❧ st✉❞② ▼♦t✐✈❛t✐♦♥ ❆♥❛❧②s✐s ❊①❛♠♣❧❡s

❉❥✉r↔✐➣✱ ❚♦r❣❛➨❡✈✱ ✷✵✵✶ ❬✷❪

▲❡♠♠❛ ✭❉❥✉r↔✐➣✱ ❚♦r❣❛➨❡✈✱ ✷✵✵✶ ❬✷❪✮ ❙✉♣♣♦s❡ t❤❛t f ❛♥❞ g ❛r❡ t✇♦ str✐❝t❧② ✐♥❝r❡❛s✐♥❣ ϕ−❢✉♥❝t✐♦♥s✱ ❛t ❧❡❛st ♦♥❡ ♦❢ t❤❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s f −✶✱ g −✶ ❜❡❧♦♥❣s t♦ t❤❡ ❝❧❛ss Kc✱ ❛♥❞ f (x) ∼

x→∞ g(x)✳ ❚❤❡♥ f −✶(x) ∼ x→∞ g −✶(x)

❆♥t♦✐♥❡ ❯ss❡❣❧✐♦✲❈❛r❧❡✈❡ ❖♥ ❈♦♥❞✐t✐♦♥❛❧ ◗✉❛♥t✐❧❡s ❆♣♣r♦①✐♠❛t✐♦♥ ❢♦r ❊❧❧✐♣t✐❝❛❧ ❘❛♥❞♦♠ ❋✐❡❧❞s

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ❊❧❧✐♣t✐❝❛❧ ❉✐str✐❜✉t✐♦♥s ◗✉❛♥t✐❧❡ ❘❡❣r❡ss✐♦♥ ❊①tr❡♠❛❧ ◗✉❛♥t✐❧❡s ◆✉♠❡r✐❝❛❧ st✉❞② ▼♦t✐✈❛t✐♦♥ ❆♥❛❧②s✐s ❊①❛♠♣❧❡s

❊①tr❡♠❛❧ ◗✉❛♥t✐❧❡ ❊st✐♠❛t♦rs

❉❡✜♥✐t✐♦♥ ✭❊①tr❡♠❡ ❈♦♥❞✐t✐♦♥❛❧ ◗✉❛♥t✐❧❡s ❊st✐♠❛t♦rs✮        ˆ ˆ qα↑(X✷|X✶ = x✶) = µ✷|✶ + σ✷|✶

• Φ−✶

R

• ✶ −

✶

ℓ ✶−α +✷(✶−ℓ)

✶

γ

ˆ ˆ qα↓(X✷|X✶ = x✶) = µ✷|✶ − σ✷|✶

• Φ−✶

R

• ✶ −

✶

ℓ α +✷(✶−ℓ)

✶

γ

❚❤❡♦r❡♠ ✭❊q✉✐✈❛❧❡♥❝❡s ♦❢ ❊❈◗❊✮ qα(X✷|X✶ = x✶) ∼

α→✶

ˆ ˆ qα↑(X✷|X✶ = x✶) qα(X✷|X✶ = x✶) ∼

α→✵

ˆ ˆ qα↓(X✷|X✶ = x✶)

❆♥t♦✐♥❡ ❯ss❡❣❧✐♦✲❈❛r❧❡✈❡ ❖♥ ❈♦♥❞✐t✐♦♥❛❧ ◗✉❛♥t✐❧❡s ❆♣♣r♦①✐♠❛t✐♦♥ ❢♦r ❊❧❧✐♣t✐❝❛❧ ❘❛♥❞♦♠ ❋✐❡❧❞s

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ❊❧❧✐♣t✐❝❛❧ ❉✐str✐❜✉t✐♦♥s ◗✉❛♥t✐❧❡ ❘❡❣r❡ss✐♦♥ ❊①tr❡♠❛❧ ◗✉❛♥t✐❧❡s ◆✉♠❡r✐❝❛❧ st✉❞② ▼♦t✐✈❛t✐♦♥ ❆♥❛❧②s✐s ❊①❛♠♣❧❡s

❊①❛♠♣❧❡s

❉✐str✐❜✉t✐♦♥ γ ℓ

• ❛✉ss✐❛♥

✶ ✶ ❙t✉❞❡♥t✱ ν > ✵

N+ν ν Γ( ν+N+✶

✷

)Γ( ν

✷ )

Γ( ν+N

✷ )Γ( ν+✶ ✷ )

• ✶ + q✶

ν

N+ν

✷

ν

N ✷ +✶

ν+N

• ❛✉ss✐❛♥ ▼✐①t✉r❡

✶

♠✐♥(θ✶,...,θn)N ❡①♣

• − ♠✐♥(θ✶,...,θn)✷

✷

q✶

• n
• k=✶

πkθN

k ❡①♣

• −

θ✷ k ✷ q✶

• ❯♥✐❢♦r♠ ▼✐①t✉r❡

N + ✶

Γ( N+✷

✷ )q N+✶ ✷ ✶

√ ✷ Γ( N+✶

✷ )(N+✶)χ✷ N+✶(q✶)

❆♥t♦✐♥❡ ❯ss❡❣❧✐♦✲❈❛r❧❡✈❡ ❖♥ ❈♦♥❞✐t✐♦♥❛❧ ◗✉❛♥t✐❧❡s ❆♣♣r♦①✐♠❛t✐♦♥ ❢♦r ❊❧❧✐♣t✐❝❛❧ ❘❛♥❞♦♠ ❋✐❡❧❞s

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ❊❧❧✐♣t✐❝❛❧ ❉✐str✐❜✉t✐♦♥s ◗✉❛♥t✐❧❡ ❘❡❣r❡ss✐♦♥ ❊①tr❡♠❛❧ ◗✉❛♥t✐❧❡s ◆✉♠❡r✐❝❛❧ st✉❞② ▼♦t✐✈❛t✐♦♥ ❆♥❛❧②s✐s ❊①❛♠♣❧❡s

• ❛✉ss✐❛♥ ❡①❛♠♣❧❡

γ = ℓ = ✶✳ ❍❡♥❝❡ ✿ ˆ ˆ qα↑(X✷|X✶ = x✶) = µ✷|✶ + σ✷|✶Φ−✶

R (α)

ˆ ˆ qα↓(X✷|X✶ = x✶) = µ✷|✶ + σ✷|✶Φ−✶

R (α)

ˆ ˆ qα↑ ❛♥❞ ˆ ˆ qα↓ ❛r❡ ❡①❛❝t❧② t❤❡ t❤❡♦r❡t✐❝❛❧ q✉❛♥t✐❧❡s

❆♥t♦✐♥❡ ❯ss❡❣❧✐♦✲❈❛r❧❡✈❡ ❖♥ ❈♦♥❞✐t✐♦♥❛❧ ◗✉❛♥t✐❧❡s ❆♣♣r♦①✐♠❛t✐♦♥ ❢♦r ❊❧❧✐♣t✐❝❛❧ ❘❛♥❞♦♠ ❋✐❡❧❞s

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ❊❧❧✐♣t✐❝❛❧ ❉✐str✐❜✉t✐♦♥s ◗✉❛♥t✐❧❡ ❘❡❣r❡ss✐♦♥ ❊①tr❡♠❛❧ ◗✉❛♥t✐❧❡s ◆✉♠❡r✐❝❛❧ st✉❞② ▼♦t✐✈❛t✐♦♥ ❆♥❛❧②s✐s ❊①❛♠♣❧❡s

❙t✉❞❡♥t ❡①❛♠♣❧❡

❋✐❣✉r❡✿ ❚❤❡♦r❡t✐❝❛❧ q✉❛♥t✐❧❡s ✐♥ ❜❧✉❡✱ ❡①tr❡♠❛❧ ❡st✐♠❛t♦rs ✐♥ ❜❧❛❝❦✱ ❛♥❞ ◗❘❊ ✐♥ r❡❞✱ ❢♦r α = ✵.✾✾✺ ❛♥❞ ✵.✵✵✺

❆♥t♦✐♥❡ ❯ss❡❣❧✐♦✲❈❛r❧❡✈❡ ❖♥ ❈♦♥❞✐t✐♦♥❛❧ ◗✉❛♥t✐❧❡s ❆♣♣r♦①✐♠❛t✐♦♥ ❢♦r ❊❧❧✐♣t✐❝❛❧ ❘❛♥❞♦♠ ❋✐❡❧❞s

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ❊❧❧✐♣t✐❝❛❧ ❉✐str✐❜✉t✐♦♥s ◗✉❛♥t✐❧❡ ❘❡❣r❡ss✐♦♥ ❊①tr❡♠❛❧ ◗✉❛♥t✐❧❡s ◆✉♠❡r✐❝❛❧ st✉❞② ▼♦t✐✈❛t✐♦♥ ❆♥❛❧②s✐s ❊①❛♠♣❧❡s

• ❛✉ss✐❛♥ ▼✐①t✉r❡ ❡①❛♠♣❧❡

❋✐❣✉r❡✿ ❚❤❡♦r❡t✐❝❛❧ q✉❛♥t✐❧❡s ✐♥ ❜❧✉❡✱ ❡①tr❡♠❛❧ ❡st✐♠❛t♦rs ✐♥ ❜❧❛❝❦✱ ❛♥❞ ◗❘❊ ✐♥ r❡❞✱ ❢♦r ❧❡✈❡❧s α = ✵.✵✵✺ ❛♥❞ α = ✵.✾✾✺

❆♥t♦✐♥❡ ❯ss❡❣❧✐♦✲❈❛r❧❡✈❡ ❖♥ ❈♦♥❞✐t✐♦♥❛❧ ◗✉❛♥t✐❧❡s ❆♣♣r♦①✐♠❛t✐♦♥ ❢♦r ❊❧❧✐♣t✐❝❛❧ ❘❛♥❞♦♠ ❋✐❡❧❞s

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ❊❧❧✐♣t✐❝❛❧ ❉✐str✐❜✉t✐♦♥s ◗✉❛♥t✐❧❡ ❘❡❣r❡ss✐♦♥ ❊①tr❡♠❛❧ ◗✉❛♥t✐❧❡s ◆✉♠❡r✐❝❛❧ st✉❞② ▼♦t✐✈❛t✐♦♥ ❆♥❛❧②s✐s ❊①❛♠♣❧❡s

❯♥✐❢♦r♠ ▼✐①t✉r❡ ❡①❛♠♣❧❡

❋✐❣✉r❡✿ ❚❤❡♦r❡t✐❝❛❧ q✉❛♥t✐❧❡s ✐♥ ❜❧✉❡✱ ❡①tr❡♠❛❧ ❡st✐♠❛t♦rs ✐♥ ❜❧❛❝❦✱ ❛♥❞ ◗❘❊ ✐♥ r❡❞✱ ❢♦r ❧❡✈❡❧s α = ✵.✵✵✺ ❛♥❞ α = ✵.✾✾✺

❆♥t♦✐♥❡ ❯ss❡❣❧✐♦✲❈❛r❧❡✈❡ ❖♥ ❈♦♥❞✐t✐♦♥❛❧ ◗✉❛♥t✐❧❡s ❆♣♣r♦①✐♠❛t✐♦♥ ❢♦r ❊❧❧✐♣t✐❝❛❧ ❘❛♥❞♦♠ ❋✐❡❧❞s

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ❊❧❧✐♣t✐❝❛❧ ❉✐str✐❜✉t✐♦♥s ◗✉❛♥t✐❧❡ ❘❡❣r❡ss✐♦♥ ❊①tr❡♠❛❧ ◗✉❛♥t✐❧❡s ◆✉♠❡r✐❝❛❧ st✉❞②

✶

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥

✷

❊❧❧✐♣t✐❝❛❧ ❉✐str✐❜✉t✐♦♥s

✸

◗✉❛♥t✐❧❡ ❘❡❣r❡ss✐♦♥

✹

❊①tr❡♠❛❧ ◗✉❛♥t✐❧❡s

✺

◆✉♠❡r✐❝❛❧ st✉❞②

❆♥t♦✐♥❡ ❯ss❡❣❧✐♦✲❈❛r❧❡✈❡ ❖♥ ❈♦♥❞✐t✐♦♥❛❧ ◗✉❛♥t✐❧❡s ❆♣♣r♦①✐♠❛t✐♦♥ ❢♦r ❊❧❧✐♣t✐❝❛❧ ❘❛♥❞♦♠ ❋✐❡❧❞s

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ❊❧❧✐♣t✐❝❛❧ ❉✐str✐❜✉t✐♦♥s ◗✉❛♥t✐❧❡ ❘❡❣r❡ss✐♦♥ ❊①tr❡♠❛❧ ◗✉❛♥t✐❧❡s ◆✉♠❡r✐❝❛❧ st✉❞②

◆✉♠❡r✐❝❛❧ st✉❞②

❲❡ ❞❡✜♥❡ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ RMSEs ✿

           RMSE(ˆ qα) =

• ✶

n n

• i=✶
• qα(X (i)

✷ |X✶ = x✶) − ˆ

qα(X (i)

✷ |X✶ = x✶)

✷ RMSE(ˆ ˆ qα) =

• ✶

n n

• i=✶
• qα(X (i)

✷ |X✶ = x✶) − ˆ

ˆ qα(X (i)

✷ |X✶ = x✶)

✷

❆♥t♦✐♥❡ ❯ss❡❣❧✐♦✲❈❛r❧❡✈❡ ❖♥ ❈♦♥❞✐t✐♦♥❛❧ ◗✉❛♥t✐❧❡s ❆♣♣r♦①✐♠❛t✐♦♥ ❢♦r ❊❧❧✐♣t✐❝❛❧ ❘❛♥❞♦♠ ❋✐❡❧❞s

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ❊❧❧✐♣t✐❝❛❧ ❉✐str✐❜✉t✐♦♥s ◗✉❛♥t✐❧❡ ❘❡❣r❡ss✐♦♥ ❊①tr❡♠❛❧ ◗✉❛♥t✐❧❡s ◆✉♠❡r✐❝❛❧ st✉❞②

◆✉♠❡r✐❝❛❧ st✉❞②

α ❙t✉❞❡♥t ❯●▼ ❯♥✐❢♦r♠ RMSE(ˆ qα) RMSE(ˆ ˆ qα) RMSE(ˆ qα) RMSE(ˆ ˆ qα) RMSE(ˆ qα) RMSE(ˆ ˆ qα) ✵.✺ ✵ ✵ ✵ ✵ ✵ ✵ ✵.✻ ✵✳✵✷✼✶✼✵✽✷ ✵✳✸✼✶✻✻✽✷ ✵✳✵✵✶✹✻✼✹✸ ✵✳✵✶✽✻✽✽✻✽ ✵✳✵✻✻✾✶✺✶✶ ✵✳✸✸✸✺✼✻✺ ✵.✼ ✵✳✵✺✾✵✷✻✵✻ ✵✳✸✼✺✽✺✾✶ ✵✳✵✵✸✷✸✸✽✻✻ ✵✳✵✸✺✻✷✸✻✻ ✵✳✶✺✶✶✽✷✽ ✵✳✸✵✵✽✺✹✺ ✵.✽ ✵✳✶✵✹✹✼✷✼ ✵✳✸✺✽✸✻✼✺ ✵✳✵✵✺✾✷✻✽✽✾ ✵✳✵✺✵✺✹✶✽✸ ✵✳✷✾✻✽✾✻✹ ✵✳✷✹✾✹✾✼✸ ✵.✾ ✵✳✶✾✺✷✹✶✹ ✵✳✸✷✷✶✽✺ ✵✳✵✶✷✷✸✺✺✻ ✵✳✵✻✶✵✾✵✾✻ ✵✳✼✼✵✶✵✺✾ ✵✳✶✼✻✻✼✶✾ ✵.✾✺ ✵✳✸✶✸✻✶✶✽ ✵✳✷✽✽✽✵✾✼ ✵✳✵✷✸✻✸✽✼ ✵✳✵✻✶✵✹✺✷ ✶✳✽✽✵✸✶✸ ✵✳✶✷✸✹✸✽✸ ✵.✾✾✾✺ ✷✳✽✽✵✸✵✽ ✵✳✶✹✼✽✼✼✺ ✵✳✶✻✷✽✹✶✹ ✵✳✵✵✵✸✼✾✺✸✺✾ ✷✺✵✳✶✼✶✼ ✵✳✵✷✵✷✷✾✾✺ ✵.✾✾✾✾✾✺ ✶✻✳✺✹✺✼✽ ✵✳✵✽✵✻✷✽✷✹ ✵✳✶✵✾✸✾✹✷ ✼✳✶✸✵✷✹✸❡✲✵✻ ✷✺✶✼✽✳✺✸ ✵✳✵✵✽✶✷✵✺✼ ❆♥t♦✐♥❡ ❯ss❡❣❧✐♦✲❈❛r❧❡✈❡ ❖♥ ❈♦♥❞✐t✐♦♥❛❧ ◗✉❛♥t✐❧❡s ❆♣♣r♦①✐♠❛t✐♦♥ ❢♦r ❊❧❧✐♣t✐❝❛❧ ❘❛♥❞♦♠ ❋✐❡❧❞s

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ❊❧❧✐♣t✐❝❛❧ ❉✐str✐❜✉t✐♦♥s ◗✉❛♥t✐❧❡ ❘❡❣r❡ss✐♦♥ ❊①tr❡♠❛❧ ◗✉❛♥t✐❧❡s ◆✉♠❡r✐❝❛❧ st✉❞②

❍✐❣❤❡r ❞✐♠❡♥s✐♦♥s

❆❧❧ t❤❡ ❡①❛♠♣❧❡s ❛r❡ ✐♥ ❞✐♠❡♥s✐♦♥ d = ✶✱ ❜✉t t❤❡ r❡s✉❧ts ❛r❡ tr✉❡ ✐♥ ❤✐❣❤❡r ❞✐♠❡♥s✐♦♥s✳

❆♥t♦✐♥❡ ❯ss❡❣❧✐♦✲❈❛r❧❡✈❡ ❖♥ ❈♦♥❞✐t✐♦♥❛❧ ◗✉❛♥t✐❧❡s ❆♣♣r♦①✐♠❛t✐♦♥ ❢♦r ❊❧❧✐♣t✐❝❛❧ ❘❛♥❞♦♠ ❋✐❡❧❞s

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ❊❧❧✐♣t✐❝❛❧ ❉✐str✐❜✉t✐♦♥s ◗✉❛♥t✐❧❡ ❘❡❣r❡ss✐♦♥ ❊①tr❡♠❛❧ ◗✉❛♥t✐❧❡s ◆✉♠❡r✐❝❛❧ st✉❞②

❘❡❢❡r❡♥❝❡s ■

❈❛♠❜❛♥✐s✱ ❙✳✱ ❍✉❛♥❣✱ ❙✳✱ ❙✐♠♦♥s✱ ●✳ ✭✶✾✽✶✮✳ ❖♥ t❤❡ t❤❡♦r② ♦❢ ❡❧❧✐♣t✐❝❛❧❧② ❝♦♥t♦✉r❡❞ ❞✐str✐❜✉t✐♦♥s✱ ❏♦✉r♥❛❧ ♦❢ ▼✉❧t✐✈❛r✐❛t❡ ❆♥❛❧②s✐s✱ ◆♦✳ ✶✶✱ ♣♣✳ ✸✻✽✲✸✽✺✳ ❉❥✉r↔✐➣✱ ❉✳✱ ❚♦r❣❛➨❡✈✱ ❆✳ ✭✷✵✵✶✮✳ ❙tr♦♥❣ ❆s②♠♣t♦t✐❝ ❊q✉✐✈❛❧❡♥❝❡ ❛♥❞ ■♥✈❡rs✐♦♥ ♦❢ ❋✉♥❝t✐♦♥s ✐♥ t❤❡ ❈❧❛ss Kc✱ ❏♦✉r♥❛❧ ♦❢ ▼❛t❤❡♠❛t✐❝❛❧ ❆♥❛❧②s✐s ❛♥❞ ❆♣♣❧✐❝❛t✐♦♥s ✷✺✺✱ ✸✽✸✕✸✾✵✳ ❑❛♥♦✱ ❨✳ ✭✶✾✾✹✮✳ ❈♦♥s✐st❡♥❝② Pr♦♣❡rt② ♦❢ ❊❧❧✐♣t✐❝❛❧ Pr♦❜❛❜✐❧✐t② ❉❡♥s✐t② ❋✉♥❝t✐♦♥s✱ ❏♦✉r♥❛❧ ♦❢ ▼✉❧t✐✈❛r✐❛t❡ ❆♥❛❧②s✐s✱ ❱♦❧✉♠❡ ✺✶✱ P❛❣❡s ✶✸✾✲✶✹✼✳

❆♥t♦✐♥❡ ❯ss❡❣❧✐♦✲❈❛r❧❡✈❡ ❖♥ ❈♦♥❞✐t✐♦♥❛❧ ◗✉❛♥t✐❧❡s ❆♣♣r♦①✐♠❛t✐♦♥ ❢♦r ❊❧❧✐♣t✐❝❛❧ ❘❛♥❞♦♠ ❋✐❡❧❞s

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ❊❧❧✐♣t✐❝❛❧ ❉✐str✐❜✉t✐♦♥s ◗✉❛♥t✐❧❡ ❘❡❣r❡ss✐♦♥ ❊①tr❡♠❛❧ ◗✉❛♥t✐❧❡s ◆✉♠❡r✐❝❛❧ st✉❞②

❘❡❢❡r❡♥❝❡s ■■

❑♦❡♥❦❡r✱ ❘✳✱ ❇❛ss❡tt✱ ●✳ ❏r✳ ✭✶✾✼✽✮✳ ❘❡❣r❡ss✐♦♥ ◗✉❛♥t✐❧❡s✱ ❊❝♦♥♦♠❡tr✐❝❛✱ ❱♦❧✳ ✹✻✱ ◆♦✳ ✶✱ ♣♣✳ ✸✸✲✺✵✳ ❑r✐❣❡✱ ❉✳ ✭✶✾✺✶✮✳ ❆ st❛t✐st✐❝❛❧ ❛♣♣r♦❛❝❤ t♦ s♦♠❡ ❜❛s✐❝ ♠✐♥❡ ✈❛❧✉❛t✐♦♥ ♣r♦❜❧❡♠s ♦♥ t❤❡ ✇✐t✇❛t❡rsr❛♥❞✱ ❏♦✉r♥❛❧ ♦❢ t❤❡ ❈❤❡♠✐❝❛❧✱ ▼❡t❛❧❧✉r❣✐❝❛❧ ❛♥❞ ▼✐♥✐♥❣ ❙♦❝✐❡t②✱ ❱♦❧✉♠❡ ✺✷✱ P❛❣❡s ✶✶✾✲✶✸✾✳ ▼❛t❤❡r♦♥✱ ●✳ ✭✶✾✻✸✮✳ ❚r❛✐té ❞❡ ❣é♦st❛t✐st✐q✉❡ ❛♣♣❧✐q✉é❡✱ ▼é♠♦✐r❡s ❞✉ ❇✉r❡❛✉ ❞❡ ❘❡❝❤❡r❝❤❡s ●é♦❧♦❣✐q✉❡s ❡t ▼✐♥✐èr❡s✱ ◆♦✳ ✷✹✳

❆♥t♦✐♥❡ ❯ss❡❣❧✐♦✲❈❛r❧❡✈❡ ❖♥ ❈♦♥❞✐t✐♦♥❛❧ ◗✉❛♥t✐❧❡s ❆♣♣r♦①✐♠❛t✐♦♥ ❢♦r ❊❧❧✐♣t✐❝❛❧ ❘❛♥❞♦♠ ❋✐❡❧❞s

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ❊❧❧✐♣t✐❝❛❧ ❉✐str✐❜✉t✐♦♥s ◗✉❛♥t✐❧❡ ❘❡❣r❡ss✐♦♥ ❊①tr❡♠❛❧ ◗✉❛♥t✐❧❡s ◆✉♠❡r✐❝❛❧ st✉❞②

❘❡❢❡r❡♥❝❡s ■■■

▼❛✉♠❡✲❉❡s❝❤❛♠♣s✱ ❱✳✱ ❘✉❧❧✐èr❡✱ ❉✳✱ ❯ss❡❣❧✐♦✲❈❛r❧❡✈❡✱ ❆✳ ✭✷✵✶✻✮✳ ❖♥ ❈♦♥❞✐t✐♦♥❛❧ ◗✉❛♥t✐❧❡s ❆♣♣r♦①✐♠❛t✐♦♥ ❢♦r ❊❧❧✐♣t✐❝❛❧ ❉✐str✐❜✉t✐♦♥s✱ ✇♦r❦✐♥❣ ♣❛♣❡r ♦♥ ♣r❡♣r✐♥t✳

❆♥t♦✐♥❡ ❯ss❡❣❧✐♦✲❈❛r❧❡✈❡ ❖♥ ❈♦♥❞✐t✐♦♥❛❧ ◗✉❛♥t✐❧❡s ❆♣♣r♦①✐♠❛t✐♦♥ ❢♦r ❊❧❧✐♣t✐❝❛❧ ❘❛♥❞♦♠ ❋✐❡❧❞s

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ❊❧❧✐♣t✐❝❛❧ ❉✐str✐❜✉t✐♦♥s ◗✉❛♥t✐❧❡ ❘❡❣r❡ss✐♦♥ ❊①tr❡♠❛❧ ◗✉❛♥t✐❧❡s ◆✉♠❡r✐❝❛❧ st✉❞②

❚❤❛♥❦ ②♦✉ ❢♦r ②♦✉r ❛tt❡♥t✐♦♥ ✦

❆♥t♦✐♥❡ ❯ss❡❣❧✐♦✲❈❛r❧❡✈❡ ❖♥ ❈♦♥❞✐t✐♦♥❛❧ ◗✉❛♥t✐❧❡s ❆♣♣r♦①✐♠❛t✐♦♥ ❢♦r ❊❧❧✐♣t✐❝❛❧ ❘❛♥❞♦♠ ❋✐❡❧❞s