tt r stt - - PowerPoint PPT Presentation

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s❡✈❡r❛❧ str❛♥❞s ♦❢ t❤❡ ❧✐t❡r❛t✉r❡

▼❈▼ ❡♥❛❜❧❡s ❛♥❛❧②s✐♥❣ ❞②♥❛♠✐❝ st♦❝❤❛st✐❝ ♣r♦❝❡ss ✇✐t❤✐♥ ❛ ❣✐✈❡♥ ♣♦♣✉❧❛t✐♦♥ ✭❢✉t✉r❡ st❛t❡s ❞❡♣❡♥❞ ♦♥ t❤❡ ♣❛st ❛❝❝♦r❞✐♥❣❧② t♦ s♦♠❡ ♣r♦❜❛❜✐❧✐t✐❡s✮ ◆✉♠❡r♦✉s ❛♣♣❧✐❝❛t✐♦♥s ✐♥ ❡❝♦♥♦♠✐❝s ✭✜r♠ ❞②♥❛♠✐❝s✱ ✉♥❡♠♣❧♦②♠❡♥t✱ ✳✳✳✮✱ ♠❡❞✐❝✐♥❡ ✭✐❧❧♥❡ss tr❡❛t♠❡♥t✮✱ s♦❝✐♦❧♦❣② ✭♣♦♣✉❧❛t✐♦♥ ♠♦❜✐❧✐t②✮✱ ✳✳✳

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❖✣❝✐❛❧ ❝♦♠♠❛♥❞s ✭❢♠♠✮ ❯s❡rs ✇r✐tt❡♥ ❝♦♠♠❛♥❞s ✭❣❧❧❛♠♠✱ ❧❝❧♦❣✐t✱ ✳✳✳✮

◮ ■♠♣♦ss✐❜❧❡ t♦ ❡st✐♠❛t❡ ❞✐r❡❝t❧② ❛ ♠✐①t✉r❡ ♦❢ ▼❛r❦♦✈ ❝❤❛✐♥ ♠♦❞❡❧s ✉s✐♥❣

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◮ ▼▼❈▼ ❞❡s❝r✐❜❡s t❤❡ ❞②♥❛♠✐❝s ♦❢ N ❛❣❡♥ts ♦♥ ❛ ✜♥✐t❡ st❛t❡ s♣❛❝❡ K ♦✈❡r

❛ t✐♠❡ ♣❡r✐♦❞ T ✇✐t❤ ❤❡t❡r♦❣❡♥❡♦✉s tr❛♥s✐t✐♦♥ ♣r♦❝❡ss❡s

◮ Pr♦❜❛❜✐❧✐t② ❞❡♥s✐t② ❢✉♥❝t✐♦♥ ♦❢ ▼❈▼

f(yi) =

Ti

• t=1

P(yit = k|yit−1 = j), ∀i ∈ N; ∀j, k ∈ K

yi = (yi0, yi1, · · · , yiTi ); Ti ≤ T

Pr♦❜❛❜✐❧✐t② ❞❡♥s✐t② ❢✉♥❝t✐♦♥ ♦❢ ▼▼❈▼

✿ ♣r♦❜❛❜✐❧✐t② ♦❢ ❜❡❧♦♥❣✐♥❣ t♦ t②♣❡

❚❤❡ ♠✐①❡❞ ▼❛r❦♦✈ ❝❤❛✐♥ ♠♦❞❡❧ ✭▼▼❈▼✮

◮ ▼▼❈▼ ❞❡s❝r✐❜❡s t❤❡ ❞②♥❛♠✐❝s ♦❢ N ❛❣❡♥ts ♦♥ ❛ ✜♥✐t❡ st❛t❡ s♣❛❝❡ K ♦✈❡r

❛ t✐♠❡ ♣❡r✐♦❞ T ✇✐t❤ ❤❡t❡r♦❣❡♥❡♦✉s tr❛♥s✐t✐♦♥ ♣r♦❝❡ss❡s

◮ Pr♦❜❛❜✐❧✐t② ❞❡♥s✐t② ❢✉♥❝t✐♦♥ ♦❢ ▼❈▼

f(yi) =

Ti

• t=1

P(yit = k|yit−1 = j), ∀i ∈ N; ∀j, k ∈ K

yi = (yi0, yi1, · · · , yiTi ); Ti ≤ T ◮ Pr♦❜❛❜✐❧✐t② ❞❡♥s✐t② ❢✉♥❝t✐♦♥ ♦❢ ▼▼❈▼

f(yi) =

G

• g=1

πgfg(yi)

0 ≤ πg ≤ 1✿ ♣r♦❜❛❜✐❧✐t② ♦❢ ❜❡❧♦♥❣✐♥❣ t♦ t②♣❡ g

❚❤❡ ♠♦❞❡❧ s♣❡❝✐✜❝❛t✐♦♥

◮ ▼✉❧t✐♥♦♠✐❛❧ ❧♦❣✐t s♣❡❝✐✜❝❛t✐♦♥ ♦❢ tr❛♥s✐t✐♦♥ ♣r♦❜❛❜✐❧✐t✐❡s

P (yit = k|yit−1 = j, g) = exp(β

′ jk|gxit−1)

K

l=1 exp(β′ jl|gxit−1)

βjj|g = 0 ❢♦r ✐❞❡♥t✐✜❝❛t✐♦♥

Pr♦❜❛❜✐❧✐t② ♦❢ t②♣❡ ♠❡♠❜❡rs❤✐♣

❋r❛❝t✐♦♥❛❧ ♠✉❧t✐♥♦♠✐❛❧ ❧♦❣✐t ❢♦r ♣❛r❛♠❡tr✐❝ s♣❡❝✐✜❝❛t✐♦♥ ◆♦♥✲♣❛r❛♠❡tr✐❝ ❡st✐♠❛t✐♦♥ ✐♠♣❧✐❡s t❤❛t ❛r❡ t❤❡ s❛♠❡ ❢♦r ❛❧❧ ❛❣❡♥ts

❚❤❡ ♠♦❞❡❧ s♣❡❝✐✜❝❛t✐♦♥

◮ ▼✉❧t✐♥♦♠✐❛❧ ❧♦❣✐t s♣❡❝✐✜❝❛t✐♦♥ ♦❢ tr❛♥s✐t✐♦♥ ♣r♦❜❛❜✐❧✐t✐❡s

P (yit = k|yit−1 = j, g) = exp(β

′ jk|gxit−1)

K

l=1 exp(β′ jl|gxit−1)

βjj|g = 0 ❢♦r ✐❞❡♥t✐✜❝❛t✐♦♥ ◮ Pr♦❜❛❜✐❧✐t② ♦❢ t②♣❡ ♠❡♠❜❡rs❤✐♣

❋r❛❝t✐♦♥❛❧ ♠✉❧t✐♥♦♠✐❛❧ ❧♦❣✐t ❢♦r ♣❛r❛♠❡tr✐❝ s♣❡❝✐✜❝❛t✐♦♥

P (gi = g|zi) = exp(λ

′ gzi)

G

h=1 exp(λ′ hzi)

(∀g ∈ G − 1)

◆♦♥✲♣❛r❛♠❡tr✐❝ ❡st✐♠❛t✐♦♥ ✐♠♣❧✐❡s t❤❛t P(gi = g) ❛r❡ t❤❡ s❛♠❡ ❢♦r ❛❧❧ ❛❣❡♥ts

❚❤❡ ❊▼ ❛❧❣♦r✐t❤♠ ✉♥❞❡r ✐♥❝♦♠♣❧❡t❡ ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥

◮ ❊✲st❡♣✿ ❈♦♠♣✉t❡ t❤❡ ♣r♦❜❛❜✐❧✐t② ♦❢ ❜❡❧♦♥❣✐♥❣ t♦ t②♣❡ g

v(p+1)

i|g

= P (gi = g)(p) Ti

t=1

K

j,k

• P (xit−1; β(p)

jk|g)

dijkt G

h=1 P (hi = h)(p) Ti t=1

K

j,k

• P (xit−1; β(p)

jk|h)

dijkt dijkt = 1 ✐❢ ❛❣❡♥t i ♠♦✈❡ ❢r♦♠ j t♦ k

▼✲st❡♣✿ ▼❛①✐♠✐③❡ t❤❡ ❝♦♥❞✐t✐♦♥❛❧ ❧♦❣✲❧✐❦❡❧✐❤♦♦❞

P❛r❛♠❡t❡rs ♦❢ t❤❡ tr❛♥s✐t✐♦♥ ♣r♦❜❛❜✐❧✐t✐❡s P❛r❛♠❡t❡rs ♦❢ t❤❡ ♠✐①✐♥❣ ❞✐str✐❜✉t✐♦♥

P❛r❛♠❡tr✐❝❛❧❧②✿ ◆♦♥✲♣❛r❛♠❡tr✐❝❛❧❧②✿

❚❤❡ ❊▼ ❛❧❣♦r✐t❤♠ ✉♥❞❡r ✐♥❝♦♠♣❧❡t❡ ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥

◮ ❊✲st❡♣✿ ❈♦♠♣✉t❡ t❤❡ ♣r♦❜❛❜✐❧✐t② ♦❢ ❜❡❧♦♥❣✐♥❣ t♦ t②♣❡ g

v(p+1)

i|g

= P (gi = g)(p) Ti

t=1

K

j,k

• P (xit−1; β(p)

jk|g)

dijkt G

h=1 P (hi = h)(p) Ti t=1

K

j,k

• P (xit−1; β(p)

jk|h)

dijkt dijkt = 1 ✐❢ ❛❣❡♥t i ♠♦✈❡ ❢r♦♠ j t♦ k

◮ ▼✲st❡♣✿ ▼❛①✐♠✐③❡ t❤❡ ❝♦♥❞✐t✐♦♥❛❧ ❧♦❣✲❧✐❦❡❧✐❤♦♦❞

P❛r❛♠❡t❡rs ♦❢ t❤❡ tr❛♥s✐t✐♦♥ ♣r♦❜❛❜✐❧✐t✐❡s

β(p+1) = argmaxβ

N

• i=1

G

• g=1

v(p+1)

i|g Ti

• t=1

K

• j,k

dijktln

• P (xit−1; βjk|g)
• P❛r❛♠❡t❡rs ♦❢ t❤❡ ♠✐①✐♥❣ ❞✐str✐❜✉t✐♦♥
• P❛r❛♠❡tr✐❝❛❧❧②✿ λ(p+1) = argmaxλ

N

i=1

G

g=1 v(p+1) i|g

ln[P (zi; λg)]

• ◆♦♥✲♣❛r❛♠❡tr✐❝❛❧❧②✿ π(p+1)

g

=

N i=1 v(p+1) i|g N i=1 G h=1 v(p+1) i|h

❚❤❡ ♠✐①♠❝♠ ❝♦♠♠❛♥❞

◮ ❚❤❡ ❣❡♥❡r✐❝ s②♥t❛① ❢♦r ♠✐①♠❝♠✿

♠✐①♠❝♠ ❞❡♣✈❛r ❬✐♥❞❡♣✈❛rs❪ ❬✐❢ ❪ ❬✐♥❪ ❬✇❡✐❣❤t❪✱ ✐❞✭✈❛r♥❛♠❡✮ t✐♠❡✈❛r✭✈❛r♥❛♠❡✮ ❬♦♣t✐♦♥s❪

◮ ❚❤❡ ♦♣t✐♦♥s ❢♦r ♠✐①♠❝♠✿

✯ ✐❞✭✈❛r♥❛♠❡✮✿ ♥✉♠❡r✐❝ ✈❛r✐❛❜❧❡ ✐❞❡♥t✐❢②✐♥❣ ❛❣❡♥ts ✯ t✐♠❡✈❛r✭✈❛r♥❛♠❡✮✿ ♥✉♠❡r✐❝ ✈❛r✐❛❜❧❡ ✐❞❡♥t✐❢②✐♥❣ t✐♠❡ ♥❝♦♠♣♦♥❡♥ts✭★✶ ★✷✱ s❡❧❝r✐t✭♥❛♠❡✮ ❣r❛♣❤✭♥❛♠❡❧✐st✱ t✇♦✇❛②❴♦♣t✐♦♥s✮ ❢♦r❝❡ s❛✈❡✭✜❧❡♥❛♠❡✱ r❡♣❧❛❝❡ ❞❡t❛✐❧✮✮ ♠❡♠❜❡rs❤✐♣✭✈❛r❧✐st✱ ❢♠❧♦❣✐t❴♦♣t✐♦♥s✮ ❡♠✐t❡r❛t❡✭❧r✭★✶ ★✷✱ ❡♣s✮ sr✭★✶ ★✷✮ s❡❡❞✭♥✉♠❧✐st✮ ❡♠❧♦❣✮✮ ♥♦❝♦♥st❛♥t✿ s✉♣♣r❡ss ❝♦♥st❛♥t t❡r♠ ✐♥ t❤❡ s♣❡❝✐✜❝❛t✐♦♥ ♦❢ tr❛♥s✐t✐♦♥ ♣r♦❜❛❜✐❧✐t✐❡s ❝♦♥str❛✐♥ts✭♣❴★❝♦♠♣♦♥❡♥t❴✐♥✐t✐❛❧st❛t❡❴✜♥❛❧st❛t❡✮

❚❤❡ ♠✐①♠❝♠ ❝♦♠♠❛♥❞

◮ ❚❤❡ ❣❡♥❡r✐❝ s②♥t❛① ❢♦r ♠✐①♠❝♠✿

♠✐①♠❝♠ ❞❡♣✈❛r ❬✐♥❞❡♣✈❛rs❪ ❬✐❢ ❪ ❬✐♥❪ ❬✇❡✐❣❤t❪✱ ✐❞✭✈❛r♥❛♠❡✮ t✐♠❡✈❛r✭✈❛r♥❛♠❡✮ ❬♦♣t✐♦♥s❪

◮ ❚❤❡ ♦♣t✐♦♥s ❢♦r ♠✐①♠❝♠✿

✯ ✐❞✭✈❛r♥❛♠❡✮✿ ♥✉♠❡r✐❝ ✈❛r✐❛❜❧❡ ✐❞❡♥t✐❢②✐♥❣ ❛❣❡♥ts ✯ t✐♠❡✈❛r✭✈❛r♥❛♠❡✮✿ ♥✉♠❡r✐❝ ✈❛r✐❛❜❧❡ ✐❞❡♥t✐❢②✐♥❣ t✐♠❡ ♥❝♦♠♣♦♥❡♥ts✭★✶ ★✷✱ s❡❧❝r✐t✭♥❛♠❡✮ ❣r❛♣❤✭♥❛♠❡❧✐st✱ t✇♦✇❛②❴♦♣t✐♦♥s✮ ❢♦r❝❡ s❛✈❡✭✜❧❡♥❛♠❡✱ r❡♣❧❛❝❡ ❞❡t❛✐❧✮✮ ♠❡♠❜❡rs❤✐♣✭✈❛r❧✐st✱ ❢♠❧♦❣✐t❴♦♣t✐♦♥s✮ ❡♠✐t❡r❛t❡✭❧r✭★✶ ★✷✱ ❡♣s✮ sr✭★✶ ★✷✮ s❡❡❞✭♥✉♠❧✐st✮ ❡♠❧♦❣✮✮ ♥♦❝♦♥st❛♥t✿ s✉♣♣r❡ss ❝♦♥st❛♥t t❡r♠ ✐♥ t❤❡ s♣❡❝✐✜❝❛t✐♦♥ ♦❢ tr❛♥s✐t✐♦♥ ♣r♦❜❛❜✐❧✐t✐❡s ❝♦♥str❛✐♥ts✭♣❴★❝♦♠♣♦♥❡♥t❴✐♥✐t✐❛❧st❛t❡❴✜♥❛❧st❛t❡✮

❆♣♣❧✐❝❛t✐♦♥

◮ ❉❛t❛ ❝♦♠❡ ❢r♦♠ t❤❡ ❢r❡❡ ♦♥❧✐♥❡ ✈❡rs✐♦♥ ♦❢ ❘■❈❆ t❤❡ ❋r❡♥❝❤

✐♠♣❧❡♠❡♥t❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ❋❆❉◆ ♦♥ ❝♦♠♠❡r❝✐❛❧ ❢❛r♠s ❢r♦♠ ✷✵✵✵ t♦ ✷✵✶✵

◮ ❙♦♠❡ ♠♦❞✐✜❝❛t✐♦♥s ♦❢ t❤❡ ❞❛t❛ t♦ ✐❞❡♥t✐❢② ▼❛r❦♦✈ st❛t❡s ❛♥❞ t♦ ❣❡♥❡r❛t❡

s♦♠❡ ❡①♣❧❛♥❛t♦r② ✈❛r✐❛❜❧❡s ❚❤❡ t❡♥ ✜rst ❧✐♥❡s ♦❢ t❤❡ ❞❛t❛s❡t

✐❞♥✉♠ ②❡❛r ❡❜❡①♣✭❈✮ s✉❜❡①✭❈✮ ❞❡❜t✭✪✮ ❡❞✉❝❛t✐♦♥ ❝♦r♣♦r❛t❡ ❝❛t❡❣♦r② ✾✻✸ ✷✵✵✵ ✸✻✽✵✹✳✸✾ ✶✾✼✾✽✳✹✵ ✺✳✸✺ ✶ ✵ ♠❡❞✐✉♠ ✾✻✸ ✷✵✵✶ ✷✽✽✻✶✳✵✵ ✷✸✷✾✵✳✵✵ ✺✳✸✺ ✶ ✵ ♠❡❞✐✉♠ ✾✻✸ ✷✵✵✷ ✸✵✵✵✵✳✶✷ ✷✺✾✾✵✳✸✸ ✺✳✸✺ ✶ ✵ ♠❡❞✐✉♠ ✾✻✸ ✷✵✵✸ ✺✶✺✾✳✸✶ ✶✼✺✷✼✳✺✽ ✺✳✸✺ ✶ ✵ ♠❡❞✐✉♠ ✶✺✷✺ ✷✵✵✻ ✺✽✽✾✺✳✵✵ ✶✼✺✹✷✳✵✵ ✷✵✳✹✵ ✶ ✶ ❧❛r❣❡ ✶✺✷✺ ✷✵✵✼ ✺✶✼✷✻✳✵✵ ✶✻✷✽✹✳✵✵ ✷✵✳✹✵ ✶ ✶ ✈❡r②❧❛r❣❡ ✶✺✷✺ ✷✵✵✽ ✺✹✾✹✵✳✵✵ ✷✻✹✾✶✳✵✵ ✷✵✳✹✵ ✶ ✶ ✈❡r②❧❛r❣❡ ✶✺✷✺ ✷✵✵✾ ✺✶✽✽✸✳✵✵ ✶✻✵✶✺✳✵✵ ✷✵✳✹✵ ✶ ✶ ✈❡r②❧❛r❣❡ ✶✺✷✺ ✷✵✶✵ ✽✽✻✽✺✳✵✵ ✶✹✾✵✵✳✵✵ ✷✵✳✹✵ ✶ ✶ ✈❡r②❧❛r❣❡ ✶✺✸✹ ✷✵✵✻ ✾✵✵✺✶✳✵✵ ✼✽✹✵✷✳✵✵ ✹✼✳✾✵ ✶ ✶ ✈❡r②❧❛r❣❡

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◮ ❉❛t❛ ❝♦♠❡ ❢r♦♠ t❤❡ ❢r❡❡ ♦♥❧✐♥❡ ✈❡rs✐♦♥ ♦❢ ❘■❈❆ t❤❡ ❋r❡♥❝❤

✐♠♣❧❡♠❡♥t❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ❋❆❉◆ ♦♥ ❝♦♠♠❡r❝✐❛❧ ❢❛r♠s ❢r♦♠ ✷✵✵✵ t♦ ✷✵✶✵

◮ ❙♦♠❡ ♠♦❞✐✜❝❛t✐♦♥s ♦❢ t❤❡ ❞❛t❛ t♦ ✐❞❡♥t✐❢② ▼❛r❦♦✈ st❛t❡s ❛♥❞ t♦ ❣❡♥❡r❛t❡

s♦♠❡ ❡①♣❧❛♥❛t♦r② ✈❛r✐❛❜❧❡s

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❖✉t♣✉t r❡s✉❧ts

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