t s tst tr n - PowerPoint PPT Presentation

▼♦♠❡♥t ♠❛♣s ✐♥ n ✲♣❧❡❝t✐❝ ❣❡♦♠❡tr② ▲❡②❧✐ ▼❛♠♠❛❞♦✈❛ ▼♦♠❡♥t ♠❛♣s ✐♥ ♠✉❧t✐s②♠♣❧❡❝t✐❝ ❣❡♦♠❡tr② n ✲♣❧❡❝t✐❝ ❣❡♦♠❡tr② ❖❜s❡r✈❛❜❧❡s ❙②♠♣❧❡❝t✐❝ ❣❡♦♠❡tr②✿ t❤❡ ▲❡②❧✐ ▼❛♠♠❛❞♦✈❛ P♦✐ss♦♥ ❛❧❣❡❜r❛ C ∞ ( M ) n ✲♣❧❡❝t✐❝ ❣❡♦♠❡tr②✿ t❤❡ L ∞ ✲❛❧❣❡❜r❛ L ∞ ( M , ω ) ❚❤❡ ♠♦♠❡♥t ❙❡♣t❡♠❜❡r ✷✺✱ ✷✵✷✵ ♠❛♣s ▼♦♠❡♥t ♠❛♣ ✐♥ s②♠♣❧❡❝t✐❝ ❣❡♦♠❡tr② ▼♦♠❡♥t ♠❛♣ ✐♥ n ✲♣❧❡❝t✐❝ ❣❡♦♠❡tr② ❈♦♠♣❛r✐s♦♥ ❜❡t✇❡❡♥ t✇♦ ♥♦t✐♦♥s ♦❢ n ✲♣❧❡❝t✐❝ ♠♦♠❡♥t ♠❛♣s

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❊①❛♠♣❧❡s ▼♦♠❡♥t ♠❛♣s ✐♥ n ✲♣❧❡❝t✐❝ ❙②♠♣❧❡❝t✐❝ ♠❛♥✐❢♦❧❞s ❢♦r n = ✶ ❣❡♦♠❡tr② ❆♥ ♦r✐❡♥t❛❜❧❡ ♠❛♥✐❢♦❧❞ M t♦❣❡t❤❡r ✇✐t❤ ❛ ✈♦❧✉♠❡ ❢♦r♠✳ ▲❡②❧✐ ▼❛♠♠❛❞♦✈❛ ∧ n T ∗ M ✇✐t❤ ω = − d θ ✱ ✇❤❡r❡ θ ✐s t❤❡ ❝❛♥♦♥✐❝❛❧ n ✲❢♦r♠ n ✲♣❧❡❝t✐❝ ❞❡✜♥❡❞ ❜②✿ ❣❡♦♠❡tr② ❖❜s❡r✈❛❜❧❡s θ | ( m ,α ) ( v ✶ , ..., v n ) = α ( π ∗ v ✶ , ..., π ∗ v n ) . ❙②♠♣❧❡❝t✐❝ ❣❡♦♠❡tr②✿ t❤❡ P♦✐ss♦♥ ❛❧❣❡❜r❛ C ∞ ( M ) n ✲♣❧❡❝t✐❝ ❈♦♠♣❛❝t s❡♠✐✲s✐♠♣❧❡ ▲✐❡ ❣r♦✉♣ ● ✇✐t❤ ❣❡♦♠❡tr②✿ t❤❡ L ∞ ✲❛❧❣❡❜r❛ L ∞ ( M , ω ) ω = � θ, [ θ, θ ] � , ❚❤❡ ♠♦♠❡♥t ♠❛♣s ▼♦♠❡♥t ♠❛♣ ✐♥ s②♠♣❧❡❝t✐❝ ✇❤❡r❡ � , � ✐s ❛♥ Ad ✲✐♥✈❛r✐❛♥t ✐♥♥❡r ♣r♦❞✉❝t ♦♥ g ✱ ❛♥❞ θ ✐s ❣❡♦♠❡tr② ▼♦♠❡♥t ♠❛♣ ✐♥ t❤❡ ▼❛✉r❡r✲❈❛rt❛♥ ❢♦r♠✿ θ L g : T g G → T e G , v �→ L g − ✶ ∗ v ✳ n ✲♣❧❡❝t✐❝ ❣❡♦♠❡tr② ❈♦♠♣❛r✐s♦♥ ❜❡t✇❡❡♥ t✇♦ ♥♦t✐♦♥s ♦❢ n ✲♣❧❡❝t✐❝ ♠♦♠❡♥t ♠❛♣s

❍❛♠✐❧t♦♥✐❛♥ ✈❡❝t♦r ✜❡❧❞s ❛♥❞ ( n − ✶ ) ✲❢♦r♠s ▼♦♠❡♥t ❉❡✜♥✐t✐♦♥ ♠❛♣s ✐♥ n ✲♣❧❡❝t✐❝ ▲❡t ( M , ω ) ❜❡ ❛♥ n ✲♣❧❡❝t✐❝ ♠❛♥✐❢♦❧❞✳ ❆♥ ( n − ✶ ) ✲❢♦r♠ ❣❡♦♠❡tr② α ∈ Ω n − ✶ ( M ) ✐s ❍❛♠✐❧t♦♥✐❛♥ ✐✛ t❤❡r❡ ❡①✐sts ❛ ✈❡❝t♦r ✜❡❧❞ ▲❡②❧✐ ▼❛♠♠❛❞♦✈❛ v α ∈ X ( M ) s✉❝❤ t❤❛t n ✲♣❧❡❝t✐❝ ❣❡♦♠❡tr② d α = − ι v α ω. ❖❜s❡r✈❛❜❧❡s ❙②♠♣❧❡❝t✐❝ ❚❤❡ ✈❡❝t♦r ✜❡❧❞ v α ✐s t❤❡ ❍❛♠✐❧t♦♥✐❛♥ ✈❡❝t♦r ✜❡❧❞ ❝♦rr❡s♣♦♥❞✐♥❣ ❣❡♦♠❡tr②✿ t❤❡ P♦✐ss♦♥ ❛❧❣❡❜r❛ C ∞ ( M ) t♦ α ✳ n ✲♣❧❡❝t✐❝ ❣❡♦♠❡tr②✿ t❤❡ L ∞ ✲❛❧❣❡❜r❛ L ∞ ( M , ω ) ❲❡ ✇✐❧❧ ❞❡♥♦t❡ t❤❡ s❡t ♦❢ ❍❛♠✐❧t♦♥✐❛♥ ( n − ✶ ) ✲❢♦r♠s ❜② ❚❤❡ ♠♦♠❡♥t Ω n − ✶ Ham ( M ) ✳ ♠❛♣s ▼♦♠❡♥t ♠❛♣ ✐♥ s②♠♣❧❡❝t✐❝ ❊①❛♠♣❧❡ ❣❡♦♠❡tr② ▼♦♠❡♥t ♠❛♣ ✐♥ n ✲♣❧❡❝t✐❝ ❋♦r n = ✶ t❤❡ ❍❛♠✐❧t♦♥✐❛♥ ( n − ✶ ) ✲❢♦r♠s ❛r❡ t❤❡ s♠♦♦t❤ ❣❡♦♠❡tr② ❈♦♠♣❛r✐s♦♥ ❢✉♥❝t✐♦♥s ♦♥ M ✳ ❆♥② f ∈ C ∞ ( M ) ❤❛s ❛ ✉♥✐q✉❡ ❝♦rr❡s♣♦♥❞✐♥❣ ❜❡t✇❡❡♥ t✇♦ ♥♦t✐♦♥s ♦❢ n ✲♣❧❡❝t✐❝ ♠♦♠❡♥t ❍❛♠✐❧t♦♥✐❛♥ ✈❡❝t♦r ✜❡❧❞ v f ✿ ♠❛♣s

❙②♠♣❧❡❝t✐❝ ❣❡♦♠❡tr②✿ t❤❡ P♦✐ss♦♥ ❛❧❣❡❜r❛ C ∞ ( M ) ▼♦♠❡♥t ♠❛♣s ✐♥ n ✲♣❧❡❝t✐❝ ❣❡♦♠❡tr② ▲❡②❧✐ ▼❛♠♠❛❞♦✈❛ ❉❡✜♥✐t✐♦♥ n ✲♣❧❡❝t✐❝ ▲❡t ( M , ω ) ❜❡ ❛ s②♠♣❧❡❝t✐❝ ♠❛♥✐❢♦❧❞✳ ❚❤❡ P♦✐ss♦♥ ❛❧❣❡❜r❛ ♦❢ ❣❡♦♠❡tr② ♦❜s❡r✈❛❜❧❡s ♦♥ M ✐s C ∞ ( M ) ❡q✉✐♣♣❡❞ ✇✐t❤ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ❖❜s❡r✈❛❜❧❡s ❜r❛❝❦❡t ❙②♠♣❧❡❝t✐❝ ❣❡♦♠❡tr②✿ t❤❡ P♦✐ss♦♥ ❛❧❣❡❜r❛ { f , g } = ω ( v f , v g ) , C ∞ ( M ) n ✲♣❧❡❝t✐❝ ❣❡♦♠❡tr②✿ t❤❡ L ∞ ✲❛❧❣❡❜r❛ ✇❤❡r❡ v f ❛♥❞ v g ❛r❡ t❤❡ ❍❛♠✐❧t♦♥✐❛♥ ✈❡❝t♦r ✜❡❧❞s ❝♦rr❡s♣♦♥❞✐♥❣ L ∞ ( M , ω ) t♦ f ❛♥❞ g ✳ ❚❤❡ ♠♦♠❡♥t ♠❛♣s ▼♦♠❡♥t ♠❛♣ ✐♥ s②♠♣❧❡❝t✐❝ ❣❡♦♠❡tr② ▼♦♠❡♥t ♠❛♣ ✐♥ n ✲♣❧❡❝t✐❝ ❣❡♦♠❡tr② ❈♦♠♣❛r✐s♦♥ ❜❡t✇❡❡♥ t✇♦ ♥♦t✐♦♥s ♦❢ n ✲♣❧❡❝t✐❝ ♠♦♠❡♥t ♠❛♣s

n ✲♣❧❡❝t✐❝ ❣❡♦♠❡tr②✿ ▲✐❡ ❛❧❣❡❜r❛ ♦❢ ♦❜s❡r✈❛❜❧❡s❄❄ ▼♦♠❡♥t ♠❛♣s ✐♥ ❈❛♥❞✐❞❛t❡✿ ❍❛♠✐❧t♦♥✐❛♥ ( n − ✶ ) ✲❢♦r♠s n ✲♣❧❡❝t✐❝ ❣❡♦♠❡tr② ❈❛♥ tr②✿ ❢♦r α, β ∈ Ω n − ✶ Ham ( M ) ▲❡②❧✐ ▼❛♠♠❛❞♦✈❛ { α, β } = ι v β ι v α ω. n ✲♣❧❡❝t✐❝ ❣❡♦♠❡tr② ❲❤❛t ✇♦r❦s✿ ❖❜s❡r✈❛❜❧❡s ❙②♠♣❧❡❝t✐❝ d { α, β } = − ι [ v α , v β ] ω ❣❡♦♠❡tr②✿ t❤❡ P♦✐ss♦♥ ❛❧❣❡❜r❛ C ∞ ( M ) s❦❡✇✲s②♠♠❡tr② n ✲♣❧❡❝t✐❝ ❣❡♦♠❡tr②✿ t❤❡ L ∞ ✲❛❧❣❡❜r❛ ❲❤❛t ❞♦❡s ♥♦t ✇♦r❦✿ ❏❛❝♦❜✐ ✐❞❡♥t✐t②✦ L ∞ ( M , ω ) ❚❤❡ ♠♦♠❡♥t ♠❛♣s ▼♦♠❡♥t ♠❛♣ ✐♥ s②♠♣❧❡❝t✐❝ { α, { β, γ }} + { β, { γ, α }} + { γ, { α, β }} = − d ι v γ ι v β ι v α ω ❣❡♦♠❡tr② ▼♦♠❡♥t ♠❛♣ ✐♥ n ✲♣❧❡❝t✐❝ ❣❡♦♠❡tr② ❲❤❛t t♦ ❞♦❄ ❚❡❛s❡r✿ L ∞ ✲❛❧❣❡❜r❛s✦ ❈♦♠♣❛r✐s♦♥ ❜❡t✇❡❡♥ t✇♦ ♥♦t✐♦♥s ♦❢ n ✲♣❧❡❝t✐❝ ♠♦♠❡♥t ♠❛♣s