t sr - - PowerPoint PPT Presentation

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Aug 23, 2023 31 likes •293 views

t sr r r Ps rt t r t

SLIDE 1

THE FRENCH AEROSPACE LAB

❆❞❛♣t✐✈❡ ♠❡❛s✉r❡✲✈❛❧✉❡❞ ❝♦✉♣❧✐♥❣ ♦❢ ♥♦♥✲❧✐♥❡❛r ❤②♣❡r❜♦❧✐❝ P❉❊s

❋❧♦r❡♥t ❘❡♥❛❝✶ ❏♦✐♥t ✇♦r❦ ✇✐t❤ ❈❧❛✉❞❡ ▼❛r♠✐❣♥♦♥✶ ❛♥❞ ❋ré❞ér✐❝ ❈♦q✉❡❧✷

✶❖◆❊❘❆ ❚❤❡ ❋r❡♥❝❤ ❆❡r♦s♣❛❝❡ ▲❛❜ ✭❋r❛♥❝❡✮ ✷❈◆❘❙ ✲ ❈▼❆P✱ ❊❝♦❧❡ P♦❧②t❡❝❤♥✐q✉❡ ✭❋r❛♥❝❡✮

❍❨P✷✵✶✷ ❏✉♥❡ ✷✺✲✷✾✱ ✷✵✶✷ P❛❞♦✈❛

❋✳ ❘❡♥❛❝ ❡t ❛❧✳ ✭❖◆❊❘❆ ✲ ❈▼❆P✮ ❆❞❛♣t✐✈❡ ❝♦✉♣❧✐♥❣ ♦❢ ❤②♣❡r❜♦❧✐❝ P❉❊s ❏✉♥❡ ✷✺✲✷✾✱ ✷✵✶✷✱ P❛❞♦✈❛ ✶ ✴ ✷✻

SLIDE 2

THE FRENCH AEROSPACE LAB

◆✉♠❡r✐❝❛❧ s✐♠✉❧❛t✐♦♥ ♦❢ s②st❡♠s ✇✐t❤ ♠✉❧t✐s❝❛❧❡ ♣❤❡♥♦♠❡♥❛

❈♦♥t❡①t✿ ❝♦♠♣❧❡① s②st❡♠s ❞❡❝♦♠♣♦s❡❞ ✐♥t♦ s✉❜✲s②st❡♠s s✐♠✉❧❛t❡❞ ❜② s♣❡❝✐✜❝ s♦❢t✇❛r❡s ✇✐t❤ ❞✐✛❡r❡♥t ♠♦❞❡❧✐♥❣s ♥❡❡❞ t♦ ❝♦✉♣❧❡ ♣r♦❜❧❡♠s ❝♦rr❡s♣♦♥❞✐♥❣ t♦ ❞✐st✐♥❝t ♠♦❞❡❧✐♥❣ ❧❡✈❡❧s ❊①❛♠♣❧❡s✿ ♠✉❧t✐♣❤❛s❡ ✢♦✇s✱ t✉r❜✉❧❡♥t ✢♦✇s✱ ♣♦r♦✉s✴♥♦♥✲♣♦r♦✉s ♠❡❞✐❛✱ ❦✐♥❡t✐❝✴❤②❞r♦❞②♥❛♠✐❝ r❡♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥s✱ ❡t❝✳ ❆✐♠✿ s✐♠✉❧❛t✐♥❣ t❤❡ ✇❤♦❧❡ s②st❡♠ ✇✐t❤ ❛♥ ❡✣❝✐❡♥t ❛♥❞ r❡❧✐❛❜❧❡ ❝♦✉♣❧✐♥❣ ♠❡t❤♦❞ ❬●♦❞❧❡✇s❦✐ ❡t ❛❧✳ ✬✵✹ ✬✵✺✱ ❆♠❜r♦s♦ ❡t ❛❧✳ ✬✵✽❪ ❝♦✉♣❧✐♥❣ ❤②♣❡r❜♦❧✐❝ s②st❡♠s ♦❢ ❝♦♥s❡r✈❛t✐♦♥ ❧❛✇s ✇✐t❤ ♥♦♥✲❤♦♠♦❣❡♥❡♦✉s ❝❧♦s✉r❡ ❧❛✇s ✭✐✳❡✳ ❞❡♣❡♥❞✐♥❣ ♦♥ s♣❛❝❡ ✈❛r✐❛❜❧❡s✮ ❆♣♣❧✐❝❛t✐♦♥✿ ♠♦❞❡❧❧✐♥❣ ✇✐t❤ ❛❞❛♣t✐✈❡ s✐♠♣❧✐✜❡❞ ❝❧♦s✉r❡ ❧❛✇s ❛♣♣❧✐❝❛t✐♦♥ t♦ ✐♥❝♦♠♣❧❡t❡ ❊❖❙ ❬▼❡♥✐❦♦✛ ✫ P❧♦❤r ✬✽✾❪

❋✳ ❘❡♥❛❝ ❡t ❛❧✳ ✭❖◆❊❘❆ ✲ ❈▼❆P✮ ❆❞❛♣t✐✈❡ ❝♦✉♣❧✐♥❣ ♦❢ ❤②♣❡r❜♦❧✐❝ P❉❊s ❏✉♥❡ ✷✺✲✷✾✱ ✷✵✶✷✱ P❛❞♦✈❛ ✷ ✴ ✷✻

SLIDE 3

THE FRENCH AEROSPACE LAB

❖✉t❧✐♥❡

✶

▼♦❞❡❧ ♣r♦❜❧❡♠ ❊✉❧❡r ❡q✉❛t✐♦♥s ◆♦♥✲❤♦♠♦❣❡♥❡♦✉s ❡q✉❛t✐♦♥ ♦❢ st❛t❡

✷

◆✉♠❡r✐❝❛❧ ♠❡t❤♦❞ ❈♦✉♣❧✐♥❣ ♣r♦❝❡❞✉r❡ ❘❡❧❛①❛t✐♦♥ ♠❡t❤♦❞ ❉✐s❝r❡t✐③❛t✐♦♥ ♠❡t❤♦❞

✸

◆✉♠❡r✐❝❛❧ ❡①♣❡r✐♠❡♥ts ❙✐♠♣❧✐✜❡❞ ❊❖❙ ❙♣❛❝❡ t✐♠❡ ❛❞❛♣t✐✈❡ ❊❖❙

✹

❈♦♥❝❧✉❞✐♥❣ r❡♠❛r❦s

❋✳ ❘❡♥❛❝ ❡t ❛❧✳ ✭❖◆❊❘❆ ✲ ❈▼❆P✮ ❆❞❛♣t✐✈❡ ❝♦✉♣❧✐♥❣ ♦❢ ❤②♣❡r❜♦❧✐❝ P❉❊s ❏✉♥❡ ✷✺✲✷✾✱ ✷✵✶✷✱ P❛❞♦✈❛ ✸ ✴ ✷✻

SLIDE 4

THE FRENCH AEROSPACE LAB

❖✉t❧✐♥❡

✶

▼♦❞❡❧ ♣r♦❜❧❡♠ ❊✉❧❡r ❡q✉❛t✐♦♥s ◆♦♥✲❤♦♠♦❣❡♥❡♦✉s ❡q✉❛t✐♦♥ ♦❢ st❛t❡

✷

◆✉♠❡r✐❝❛❧ ♠❡t❤♦❞ ❈♦✉♣❧✐♥❣ ♣r♦❝❡❞✉r❡ ❘❡❧❛①❛t✐♦♥ ♠❡t❤♦❞ ❉✐s❝r❡t✐③❛t✐♦♥ ♠❡t❤♦❞

✸

◆✉♠❡r✐❝❛❧ ❡①♣❡r✐♠❡♥ts ❙✐♠♣❧✐✜❡❞ ❊❖❙ ❙♣❛❝❡ t✐♠❡ ❛❞❛♣t✐✈❡ ❊❖❙

✹

❈♦♥❝❧✉❞✐♥❣ r❡♠❛r❦s

❋✳ ❘❡♥❛❝ ❡t ❛❧✳ ✭❖◆❊❘❆ ✲ ❈▼❆P✮ ❆❞❛♣t✐✈❡ ❝♦✉♣❧✐♥❣ ♦❢ ❤②♣❡r❜♦❧✐❝ P❉❊s ❏✉♥❡ ✷✺✲✷✾✱ ✷✵✶✷✱ P❛❞♦✈❛ ✹ ✴ ✷✻

SLIDE 5

THE FRENCH AEROSPACE LAB

❊✉❧❡r ❡q✉❛t✐♦♥s ✇✐t❤ ❤❡t❡r♦❣❡♥❡✐t② ✐♥ s♣❛❝❡

∂t✉ + ∂①❢(✉, ①) = ✵, ∀① ∈ D(t), t > ✵ ✉(①, ✵) = ✉✵(①), ∀① ∈ R ❚✐♠❡✲❞❡♣❡♥❞❛♥t s♣❛❝❡ ❞♦♠❛✐♥✿ D(t) =

♥(t)

✐=✶
❛✐−✶(t), ❛✐(t)
✇✐t❤

❛✵(t) = −∞, ❛♥(t)(t) = +∞, t > ✵ ❈♦♥s❡r✈❛t✐✈❡ ✈❛r✐❛❜❧❡s✿ ✉ = (ρ, ρ✉, ρ❊)⊤ ❍❡t❡r♦❣❡♥❡♦✉s ♣❤②s✐❝❛❧ ✢✉①❡s ✐♥ ① t❤r♦✉❣❤ ♣r❡ss✉r❡ ❞❡✜♥✐t✐♦♥✿ ❢(✉, ①) =   ρ✉ ρ✉✷ + ♣(✉, ①)

ρ❊ + ♣(✉, ①)
✉

  ❙❡t ♦❢ ❛❞♠✐ss✐❜❧❡ st❛t❡s✿ Ω =

✉ ∈ R✸ : ρ > ✵, ✉ ∈ R, ❡ = ❊ − ✉✷

✷ > ✵

❋✳ ❘❡♥❛❝ ❡t ❛❧✳

✭❖◆❊❘❆ ✲ ❈▼❆P✮ ❆❞❛♣t✐✈❡ ❝♦✉♣❧✐♥❣ ♦❢ ❤②♣❡r❜♦❧✐❝ P❉❊s ❏✉♥❡ ✷✺✲✷✾✱ ✷✵✶✷✱ P❛❞♦✈❛ ✺ ✴ ✷✻

SLIDE 6

THE FRENCH AEROSPACE LAB

◆♦♥✲❤♦♠♦❣❡♥❡♦✉s ❡q✉❛t✐♦♥ ♦❢ st❛t❡ ✭❊❖❙✮

♣(✉, ①) = ♣❡①(ρ, ❡) ✐❢ ✉(①, t) ∈ Ω\Ωs✐♠♣ ♣s✐♠♣(ρ, ρ❡) ✐❢ ✉(①, t) ∈ Ωs✐♠♣

ρe ρ Ω Ωsimp

p=pex(ρ,e) p=psimp,1(ρ,ρe) p=psimp,2(ρ,ρe)

x

pex(ρ,e) psimp,1(ρ,ρe) psimp,2(ρ,ρe) pex(ρ,e) ai+1(t) ai(t) ai-1(t)

❊❖❙✿

◮ ❡①❛❝t ✭❜✉t ❝♦♠♣❧❡①✮ ❊❖❙ ♣❡①(ρ, ❡) ◮ ✐♥❝♦♠♣❧❡t❡ ✭❜✉t s✐♠♣❧❡✮ ❊❖❙ ♣s✐♠♣(ρ, ρ❡) ❋✳ ❘❡♥❛❝ ❡t ❛❧✳ ✭❖◆❊❘❆ ✲ ❈▼❆P✮ ❆❞❛♣t✐✈❡ ❝♦✉♣❧✐♥❣ ♦❢ ❤②♣❡r❜♦❧✐❝ P❉❊s ❏✉♥❡ ✷✺✲✷✾✱ ✷✵✶✷✱ P❛❞♦✈❛ ✻ ✴ ✷✻

SLIDE 7

THE FRENCH AEROSPACE LAB

❖✉t❧✐♥❡

✶

▼♦❞❡❧ ♣r♦❜❧❡♠ ❊✉❧❡r ❡q✉❛t✐♦♥s ◆♦♥✲❤♦♠♦❣❡♥❡♦✉s ❡q✉❛t✐♦♥ ♦❢ st❛t❡

✷

◆✉♠❡r✐❝❛❧ ♠❡t❤♦❞ ❈♦✉♣❧✐♥❣ ♣r♦❝❡❞✉r❡ ❘❡❧❛①❛t✐♦♥ ♠❡t❤♦❞ ❉✐s❝r❡t✐③❛t✐♦♥ ♠❡t❤♦❞

✸

◆✉♠❡r✐❝❛❧ ❡①♣❡r✐♠❡♥ts ❙✐♠♣❧✐✜❡❞ ❊❖❙ ❙♣❛❝❡ t✐♠❡ ❛❞❛♣t✐✈❡ ❊❖❙

✹

❈♦♥❝❧✉❞✐♥❣ r❡♠❛r❦s

❋✳ ❘❡♥❛❝ ❡t ❛❧✳ ✭❖◆❊❘❆ ✲ ❈▼❆P✮ ❆❞❛♣t✐✈❡ ❝♦✉♣❧✐♥❣ ♦❢ ❤②♣❡r❜♦❧✐❝ P❉❊s ❏✉♥❡ ✷✺✲✷✾✱ ✷✵✶✷✱ P❛❞♦✈❛ ✼ ✴ ✷✻

SLIDE 8

THE FRENCH AEROSPACE LAB

❈♦✉♣❧✐♥❣ ♣r♦❝❡❞✉r❡

❈♦♥s✐❞❡r t❤❡ ♠♦❞❡❧ ♣r♦❜❧❡♠ ♣(✉, ①) = ♣−(✉) ✐❢ ① < ✵ ♣+(✉) ✐❢ ① > ✵ x

∂t u + ∂x f(u,x) = 0 p(u) = p-(u) ∂t u + ∂x f(u,x) = 0 p(u) = p+(u) x < 0 x > 0

❈♦✉♣❧✐♥❣ ♣r❡s❝r✐❜❡❞ ❜② ❛ ✈❡❝t♦r✲✈❛❧✉❡❞ ❉✐r❛❝ ♠❡❛s✉r❡ ❝♦♥❝❡♥tr❛t❡❞ ❛t ① = ✵✿ ∂t✉ + ∂①❢(✉, ①) = M

✉(✵+, t), ✉(✵−, t)
δ①=✵,

∀① ∈ R, t > ✵ ✉(①, ✵) = ✉✵(①), ∀① ∈ R

❋✳ ❘❡♥❛❝ ❡t ❛❧✳ ✭❖◆❊❘❆ ✲ ❈▼❆P✮ ❆❞❛♣t✐✈❡ ❝♦✉♣❧✐♥❣ ♦❢ ❤②♣❡r❜♦❧✐❝ P❉❊s ❏✉♥❡ ✷✺✲✷✾✱ ✷✵✶✷✱ P❛❞♦✈❛ ✽ ✴ ✷✻

SLIDE 9

THE FRENCH AEROSPACE LAB

❈♦✉♣❧✐♥❣ ♣r♦❝❡❞✉r❡ ✭❝♦♥t✳✮

❈♦✉♣❧✐♥❣ ❝♦♥❞✐t✐♦♥

M

✉(✵+, t), ✉(✵−, t)
= ❢
✉(✵+, t), ✵+

− ❢

✉(✵−, t), ✵−

, ∀t > ✵

❊①❛♠♣❧❡

❝♦♥s❡r✈❛t✐✈❡ ❝♦✉♣❧✐♥❣ ✭❝♦♥t✐♥✉✐t② ♦❢ ♣❤②s✐❝❛❧ ✢✉①❡s✮✿ ❢

✉(✵+, t), ✵+

= ❢

✉(✵−, t), ✵−

t❤✉s M ≡ ✵ ✈✲st❛t❡ ❝♦✉♣❧✐♥❣ ✭❝♦♥t✐♥✉✐t② ♦❢ ♣❤②s✐❝❛❧ ✈❛r✐❛❜❧❡s ✈ = γ−✶(✉))✿ γ−✶

✉(✵+, t)
= γ−✶

−

✉(✵−, t)
❡✳❣✳ ❢♦r ✈ = (ρ, ✉, ♣)⊤ ✇❡ ❣❡t

M =

✵, ✵, ρ❡(✵+, t)✉(✵+, t) − ρ❡(✵−, t)✉(✵−, t)

⊤ ❬●♦❞❧❡✇s❦✐ ❡t ❛❧✳ ✬✵✺✱ ❆♠❜r♦s♦ ❡t ❛❧✳ ✬✵✽❛✳ ✬✵✼✱ ●❛❧✐é ✬✵✾❪

❋✳ ❘❡♥❛❝ ❡t ❛❧✳ ✭❖◆❊❘❆ ✲ ❈▼❆P✮ ❆❞❛♣t✐✈❡ ❝♦✉♣❧✐♥❣ ♦❢ ❤②♣❡r❜♦❧✐❝ P❉❊s ❏✉♥❡ ✷✺✲✷✾✱ ✷✵✶✷✱ P❛❞♦✈❛ ✾ ✴ ✷✻

SLIDE 10

THE FRENCH AEROSPACE LAB

◆♦♥✲❝♦♥s❡r✈❛t✐✈❡ ❢r❛♠❡✇♦r❦

M =   Mρ Mρ✉ Mρ❊  

ρ1u1 S1 S2 > S1 Mρ = ρ2u2-ρ1u1 < 0

✭❛✮ s✉❞❞❡♥ ♣✐♣❡ ❡①♣❛♥s✐♦♥

Mρu = p2-p1 < 0

✭❜✮ ♣r❡ss✉r❡ ❧♦ss

MρΕ = ρuCv(T2-T1) > 0

✭❝✮ ❤❡❛t tr❛♥s❢❡rt

❋✳ ❘❡♥❛❝ ❡t ❛❧✳ ✭❖◆❊❘❆ ✲ ❈▼❆P✮ ❆❞❛♣t✐✈❡ ❝♦✉♣❧✐♥❣ ♦❢ ❤②♣❡r❜♦❧✐❝ P❉❊s ❏✉♥❡ ✷✺✲✷✾✱ ✷✵✶✷✱ P❛❞♦✈❛ ✶✵ ✴ ✷✻

SLIDE 11

THE FRENCH AEROSPACE LAB

❘❡❧❛①❛t✐♦♥ ♠❡t❤♦❞

❆♣♣r♦①✐♠❛t❡ t❤❡ ❊✉❧❡r ❡q✳ ✇✐t❤ ❛ ❙✉❧✐❝✐✉✬s r❡❧❛①❛t✐♦♥ ♣r♦❝❡❞✉r❡ ✭λ ≫ ✶✮✿ ∂t❯ + ∂①❋(❯, ①) = Mδ①=✵+λR(❯, ①), ∀① ∈ R, t > ✵ ❯(①, ✵) = ❯✵(①), ∀① ∈ R ✇✐t❤ ❯ = (ρ, ρ✉, ρ❊, ρπ)⊤ ❛♥❞ ❋(❯, ①) =     ρ✉ ρ✉✷ + π

ρ❊ + π)✉

(ρπ + ❛✷)✉     ❛♥❞ R(❯, ①) =

✵, ✵, ✵, ρ(♣(✉, ①) − π)

⊤ ❆❞✈❛♥t❛❣❡✿ t❤❡ s②st❡♠ ❤❛s ✹ ▲❉ ✜❡❧❞s {✉ − ❛τ, ✉, ✉, ✉ + ❛τ} ❲❤✐t❤❛♠ ❝♦♥❞✐t✐♦♥✿ ❛✷ > ♠❛①{−(∂τ♣)s : ❢♦r ❛❧❧ τ, s ✉♥❞❡r ❝♦♥s✐❞❡r❛t✐♦♥} ❬❏✐♥ ✫ ❳✐♥ ✬✾✺✱ ❙✉❧✐❝✐✉ ✬✾✽✱ ❆♠❜r♦s♦ ❡t ❛❧✳ ✬✵✽❜❪

❋✳ ❘❡♥❛❝ ❡t ❛❧✳ ✭❖◆❊❘❆ ✲ ❈▼❆P✮ ❆❞❛♣t✐✈❡ ❝♦✉♣❧✐♥❣ ♦❢ ❤②♣❡r❜♦❧✐❝ P❉❊s ❏✉♥❡ ✷✺✲✷✾✱ ✷✵✶✷✱ P❛❞♦✈❛ ✶✶ ✴ ✷✻

SLIDE 12

THE FRENCH AEROSPACE LAB

❉✐s❝r❡t✐③❛t✐♦♥ ♠❡t❤♦❞

◆✉♠❡r✐❝❛❧ s♦❧✉t✐♦♥

▲❡t

❥∈Z

[①❥−✶, ①❥) ❛ ♣❛rt✐t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ❞♦♠❛✐♥ R ✇✐t❤ ①❥ = ❥❤ ❛♥❞ ❤ > ✵ ▲♦♦❦ ❢♦r ❛ ♣✐❡❝❡✇✐s❡ ❝♦♥st❛♥t s♦❧✉t✐♦♥ ❯❤ ❛t t✐♠❡ st❡♣ t(♥) = ♥∆t✿ ❯❤(①, t(♥)) = ❯(♥)

❥− ✶

✷ ,

∀① ∈ (①❥−✶, ①❥), ♥ > ✵

xj-1 xj

j-½

h x < 0 x > 0 uh(x,t(n)) x1 x-1 x0

❋✳ ❘❡♥❛❝ ❡t ❛❧✳ ✭❖◆❊❘❆ ✲ ❈▼❆P✮ ❆❞❛♣t✐✈❡ ❝♦✉♣❧✐♥❣ ♦❢ ❤②♣❡r❜♦❧✐❝ P❉❊s ❏✉♥❡ ✷✺✲✷✾✱ ✷✵✶✷✱ P❛❞♦✈❛ ✶✷ ✴ ✷✻

SLIDE 13

THE FRENCH AEROSPACE LAB

❉✐s❝r❡t✐③❛t✐♦♥ ♠❡t❤♦❞ ❛✇❛② ❢r♦♠ t❤❡ ❝♦✉♣❧✐♥❣ ✐♥t❡r❢❛❝❡

✷✲st❡♣ ❛❧❣♦r✐t❤♠ ❢r♦♠ t(♥) t♦ t(♥+✶)

✶

s♦❧✈❡ t❤❡ r❡❧❛①❛t✐♦♥ s②st❡♠ ✇✐t❤ λ = ✵✿

◮ ❊✉❧❡r ♠❡t❤♦❞ ❢♦r t❤❡ t✐♠❡ ❞✐s❝r❡t✐③❛t✐♦♥ ◮ ❋✐♥✐t❡ ✈♦❧✉♠❡ ♠❡t❤♦❞ ❢♦r t❤❡ s♣❛❝❡ ❞✐s❝r❡t✐③❛t✐♦♥✿

❯(♥+✶)

❥− ✶

✷

= ❯(♥)

❥− ✶

✷ − ∆t

❤

❣−(❯(♥)

❥− ✶

✷ , ❯(♥)

❥+ ✶

✷ ) − ❣−(❯(♥)

❥− ✸

✷ , ❯(♥)

❥− ✶

✷ )

❥ < ✵ ❯(♥+✶)

❥+ ✶

✷

= ❯(♥)

❥+ ✶

✷ − ∆t

❤

❣+(❯(♥)

❥+ ✶

✷ , ❯(♥)

❥+ ✸

✷ ) − ❣+(❯(♥)

❥− ✶

✷ , ❯(♥)

❥+ ✶

✷ )

❥ > ✵

◮ ●♦❞✉♥♦✈ ♠❡t❤♦❞✿

❣±(·, ·) = ❋± W(✵, ·, ·)

✇✐t❤ W s♦❧✉t✐♦♥ ♦❢ ❛ ❧♦❝❛❧ ❘✐❡♠❛♥♥ ♣r♦❜❧❡♠

✷

♣r♦❥❡❝t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ s♦❧✉t✐♦♥ ♦♥t♦ t❤❡ ❡q✉✐❧✐❜r✐✉♠ st❛t❡ ❢♦r λ → ∞✿ ❧✐♠

λ→∞ π(♥+✶) − ♣(♥+✶) = ✵

❋✳ ❘❡♥❛❝ ❡t ❛❧✳ ✭❖◆❊❘❆ ✲ ❈▼❆P✮ ❆❞❛♣t✐✈❡ ❝♦✉♣❧✐♥❣ ♦❢ ❤②♣❡r❜♦❧✐❝ P❉❊s ❏✉♥❡ ✷✺✲✷✾✱ ✷✵✶✷✱ P❛❞♦✈❛ ✶✸ ✴ ✷✻

SLIDE 14

THE FRENCH AEROSPACE LAB

❉✐s❝r❡t✐③❛t✐♦♥ ♠❡t❤♦❞ ❛t ❛ ❝♦✉♣❧✐♥❣ ✐♥t❡r❢❛❝❡

❲❡ ❝♦♥s✐❞❡r W

t−t(♥) ; ❯(♥) − ✶

✷ , ❯(♥)

+ ✶

✷ , M(♥)) s♦❧✉t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ❘✐❡♠❛♥♥ ♣r♦❜❧❡♠✿

∂t❯ + ∂①❋(❯, ①) = M(♥), ∀① ∈ (①− ✶

✷

, ①+ ✶

✷

), t ∈ (t(♥), t(♥+✶)] ❯(①, t(♥)) =    ❯(♥)

− ✶

✷

① < ✵ ❯(♥)

+ ✶

✷

① > ✵ ❈♦✉♣❧✐♥❣ ❝♦♥❞✐t✐♦♥ ❛t ❞✐s❝r❡t❡ ❧❡✈❡❧✿ M(♥) = ❣+(❯(♥)

− ✶

✷ , ❯(♥) ✶ ✷ ) − ❣−(❯(♥)

− ✶

✷ , ❯(♥) ✶ ✷ ) ❋✳ ❘❡♥❛❝ ❡t ❛❧✳ ✭❖◆❊❘❆ ✲ ❈▼❆P✮ ❆❞❛♣t✐✈❡ ❝♦✉♣❧✐♥❣ ♦❢ ❤②♣❡r❜♦❧✐❝ P❉❊s ❏✉♥❡ ✷✺✲✷✾✱ ✷✵✶✷✱ P❛❞♦✈❛ ✶✹ ✴ ✷✻

SLIDE 15

THE FRENCH AEROSPACE LAB

❉✐s❝r❡t✐③❛t✐♦♥ ♠❡t❤♦❞ ❛t ❛ ❝♦✉♣❧✐♥❣ ✐♥t❡r❢❛❝❡ ✭❝♦♥t✳✮

❙tr✉❝t✉r❡ ♦❢ t❤❡ s♦❧✉t✐♦♥✿

x-xj t-t(n) Uj-½

(n)

Uj+½

(n)

λ1

r(Uj-½ (n))

λ2/3

r(UR)

λ4

r(Uj+½ (n))

U- UR λ0

U+

✭❛✮ λr

✷ > ✵

x-xj t-t(n) Uj-½

(n)

Uj+½

(n)

λ1

r(Uj-½ (n))

λ2/3

r(UL)

λ4

r(Uj+½ (n))

U- UL λ0

U+

✭❜✮ λr

✷ < ✵

❛❧✐é ❡t ❛❧✳ ✭✷✵✵✾✮ ♣r♦✈❡❞ ❡①✐st❡♥❝❡ ❛♥❞ ✉♥✐❝✐t② ♦❢ s❡❧❢✲s✐♠✐❧❛r s♦❧✉t✐♦♥ ❢♦r ♣ = ♣(ρ) ❛♥❞

M(♥) ✐♥ ❛ s✉✐t❛❜❧❡ ❞♦♠❛✐♥ ✇✐t❤ Mρ = ✵✳ ❊①t❡♥❞❡❞ t♦ Mρ = ✵ ✐♥ t❤❡ ♣r❡s❡♥t st✉❞②

❋✳ ❘❡♥❛❝ ❡t ❛❧✳ ✭❖◆❊❘❆ ✲ ❈▼❆P✮ ❆❞❛♣t✐✈❡ ❝♦✉♣❧✐♥❣ ♦❢ ❤②♣❡r❜♦❧✐❝ P❉❊s ❏✉♥❡ ✷✺✲✷✾✱ ✷✵✶✷✱ P❛❞♦✈❛ ✶✺ ✴ ✷✻

SLIDE 16

THE FRENCH AEROSPACE LAB

❖✉t❧✐♥❡

✶

▼♦❞❡❧ ♣r♦❜❧❡♠ ❊✉❧❡r ❡q✉❛t✐♦♥s ◆♦♥✲❤♦♠♦❣❡♥❡♦✉s ❡q✉❛t✐♦♥ ♦❢ st❛t❡

❈♦♠♣❛r✐s♦♥ ♦❢ ❝♦✉♣❧✐♥❣ ♠❡t❤♦❞s

◆✷

❞ s✉❜❞♦♠❛✐♥s ✐♥ Ωs✐♠♣✱ t = ✵.✶✸ ❛♥❞ ❤ = ✶/✶✵✵

❋✳ ❘❡♥❛❝ ❡t ❛❧✳ ✭❖◆❊❘❆ ✲ ❈▼❆P✮ ❆❞❛♣t✐✈❡ ❝♦✉♣❧✐♥❣ ♦❢ ❤②♣❡r❜♦❧✐❝ P❉❊s ❏✉♥❡ ✷✺✲✷✾✱ ✷✵✶✷✱ P❛❞♦✈❛ ✷✶ ✴ ✷✻

SLIDE 22

THE FRENCH AEROSPACE LAB

❙♣❛❝❡ t✐♠❡ ❛❞❛♣t✐✈❡ ❊❖❙

❈♦♥s❡r✈❛t✐✈❡ ❝♦✉♣❧✐♥❣ ✭M ≡ ✵✮✿ ❝♦♠♣✉t❛t✐♦♥ ✇✐t❤ ◆✷

❞ = ✻✹ ❞✐✛❡r❡♥t ❊❖❙ ✭❤ = ✶/✶✵✵✮

❆❞❛♣t✐✈❡ ❝♦✉♣❧✐♥❣ ❛❧❧♦✇s t♦✿ ✉s❡ s✐♠♣❧✐✜❡❞ ❊❖❙ ✐♥st❡❛❞ ♦❢ r❡❛❧ ❣❛s ❊❖❙ ✇✐t❤ ❝♦♠♣❧❡① t❤❡r♠♦❞②♥❛♠✐❝ ❧❛✇s r❡♣r♦❞✉❝❡ t❤❡ ❝♦rr❡❝t ❜❡❤❛✈✐♦✉r ♦❢ r❡❛❧ ❣❛s ❞②♥❛♠✐❝s ✉s❡ ❞✐✛❡r❡♥t ❝♦✉♣❧✐♥❣ ♠❡❤♦❞s ✭s♦✉r❝❡ t❡r♠ ♠❡❛s✉r❡ ♦✛❡rs ❛ ❣❡♥❡r❛❧ ❢r❛♠❡✇♦r❦✮ ❋✉t✉r❡ ✇♦r❦✿ ✉s❡ ♠✐①❡❞ ❝♦✉♣❧✐♥❣ ♠❡t❤♦❞s ❛❝❝♦r❞✐♥❣ t♦ ♣❤②s✐❝❛❧ r❡q✉✐r❡♠❡♥ts ♠✐♥✐♠✐③❛t✐♦♥ ♦❢ ❝♦♥✈❡① ♥♦♥✲❧✐♥❡❛r ❝♦st ❢✉♥❝t✐♦♥s ❜✉✐❧t ♦♥ t❤❡ ♠❛ss M ❛t t❤❡ ✐♥t❡r❢❛❝❡

❋✳ ❘❡♥❛❝ ❡t ❛❧✳ ✭❖◆❊❘❆ ✲ ❈▼❆P✮ ❆❞❛♣t✐✈❡ ❝♦✉♣❧✐♥❣ ♦❢ ❤②♣❡r❜♦❧✐❝ P❉❊s ❏✉♥❡ ✷✺✲✷✾✱ ✷✵✶✷✱ P❛❞♦✈❛ ✷✹ ✴ ✷✻

SLIDE 25

THE FRENCH AEROSPACE LAB

❚❤❛♥❦ ②♦✉ ❢♦r ②♦✉r ❛tt❡♥t✐♦♥

❋✳ ❘❡♥❛❝ ❡t ❛❧✳ ✭❖◆❊❘❆ ✲ ❈▼❆P✮ ❆❞❛♣t✐✈❡ ❝♦✉♣❧✐♥❣ ♦❢ ❤②♣❡r❜♦❧✐❝ P❉❊s ❏✉♥❡ ✷✺✲✷✾✱ ✷✵✶✷✱ P❛❞♦✈❛ ✷✺ ✴ ✷✻

SLIDE 26

THE FRENCH AEROSPACE LAB

❇✐❜❧✐♦❣r❛♣❤②

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