Singular foliations by tori . . . with some additional structure - - PowerPoint PPT Presentation

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Singular foliations by tori

. . . with some additional structure

Gerardo Mendoza Microlocal and Global Analysis, Interactions with Geometry Potsdam, March 2019

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The central object of this talk will be a compact manifold N without boundary together with a nowhere vanishing real vector field T which is a Killing field for some Riemannian metric. The specific metric is not important.

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The central object of this talk will be a compact manifold N without boundary together with a nowhere vanishing real vector field T which is a Killing field for some Riemannian metric. The specific metric is not important. The vector field T gives raise to a foliation by tori:

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The central object of this talk will be a compact manifold N without boundary together with a nowhere vanishing real vector field T which is a Killing field for some Riemannian metric. The specific metric is not important. The vector field T gives raise to a foliation by tori: Why tori?

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The central object of this talk will be a compact manifold N without boundary together with a nowhere vanishing real vector field T which is a Killing field for some Riemannian metric. The specific metric is not important. The vector field T gives raise to a foliation by tori: Why tori? Let at be the one-parameter group of diffeomorphisms generated by T , let Op be the orbit through p. The sets Op partition N, each Op is diffeomorphic to a torus. (The dimensions may change with p.)

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The central object of this talk will be a compact manifold N without boundary together with a nowhere vanishing real vector field T which is a Killing field for some Riemannian metric. The specific metric is not important. The vector field T gives raise to a foliation by tori: Why tori? Let at be the one-parameter group of diffeomorphisms generated by T , let Op be the orbit through p. The sets Op partition N, each Op is diffeomorphic to a torus. (The dimensions may change with p.)

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The central object of this talk will be a compact manifold N without boundary together with a nowhere vanishing real vector field T which is a Killing field for some Riemannian metric. The specific metric is not important. The vector field T gives raise to a foliation by tori: Why tori? Let at be the one-parameter group of diffeomorphisms generated by T , let Op be the orbit through p. The sets Op partition N, each Op is diffeomorphic to a torus. (The dimensions may change with p.) The at are isometries for the metric and the closure of {at : t ∈ R} in the group of all isometries is (isomorphic to a) torus G: Op = G · p

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The central object of this talk will be a compact manifold N without boundary together with a nowhere vanishing real vector field T which is a Killing field for some Riemannian metric. The specific metric is not important. The vector field T gives raise to a foliation by tori: Why tori? Let at be the one-parameter group of diffeomorphisms generated by T , let Op be the orbit through p. The sets Op partition N, each Op is diffeomorphic to a torus. (The dimensions may change with p.) The at are isometries for the metric and the closure of {at : t ∈ R} in the group of all isometries is (isomorphic to a) torus G: Op = G · p The next few slides give some motivation (why look at this?), then state a classification theorem for pairs (N, T ) similar to the classification

• f line bundles by their Chern class, then do some analysis.

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Suppose M is a compact manifold with boundary N. Suppose that its b-tangent bundle comes with an almost complex structure J: J : bTM → bTM, J2 = −I.

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Suppose M is a compact manifold with boundary N. Suppose that its b-tangent bundle comes with an almost complex structure J: J : bTM → bTM, J2 = −I. If x is a defining function for ∂M, then x∂x is a canonical section of bTM along N that spans ker ev.

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Suppose M is a compact manifold with boundary N. Suppose that its b-tangent bundle comes with an almost complex structure J: J : bTM → bTM, J2 = −I. If x is a defining function for ∂M, then x∂x is a canonical section of bTM along N that spans ker ev.

ev : bTM→TM

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Suppose M is a compact manifold with boundary N. Suppose that its b-tangent bundle comes with an almost complex structure J: J : bTM → bTM, J2 = −I. If x is a defining function for ∂M, then x∂x is a canonical section of bTM along N that spans ker ev.

ev : bTM→TM

So J(x∂x) is also canonical.

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Suppose M is a compact manifold with boundary N. Suppose that its b-tangent bundle comes with an almost complex structure J: J : bTM → bTM, J2 = −I. If x is a defining function for ∂M, then x∂x is a canonical section of bTM along N that spans ker ev.

ev : bTM→TM

So J(x∂x) is also canonical. From the independence x∂x and J(x∂x) we get that ev J(x∂x) is nonzero along N:

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Suppose M is a compact manifold with boundary N. Suppose that its b-tangent bundle comes with an almost complex structure J: J : bTM → bTM, J2 = −I. If x is a defining function for ∂M, then x∂x is a canonical section of bTM along N that spans ker ev.

ev : bTM→TM

So J(x∂x) is also canonical. From the independence x∂x and J(x∂x) we get that ev J(x∂x) is nonzero along N: T = ev J(x∂x) ∈ C ∞(N; TN)

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Suppose M is a compact manifold with boundary N. Suppose that its b-tangent bundle comes with an almost complex structure J: J : bTM → bTM, J2 = −I. If x is a defining function for ∂M, then x∂x is a canonical section of bTM along N that spans ker ev.

ev : bTM→TM

So J(x∂x) is also canonical. From the independence x∂x and J(x∂x) we get that ev J(x∂x) is nonzero along N: T = ev J(x∂x) ∈ C ∞(N; TN)

• Example. Let E → B be a Hermitian holomorphic line bundle over

a compact complex manifold B.

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Suppose M is a compact manifold with boundary N. Suppose that its b-tangent bundle comes with an almost complex structure J: J : bTM → bTM, J2 = −I. If x is a defining function for ∂M, then x∂x is a canonical section of bTM along N that spans ker ev.

ev : bTM→TM

So J(x∂x) is also canonical. From the independence x∂x and J(x∂x) we get that ev J(x∂x) is nonzero along N: T = ev J(x∂x) ∈ C ∞(N; TN)

• Example. Let E → B be a Hermitian holomorphic line bundle over

a compact complex manifold B. The spherical blow-up of its zero section is M = {η ∈ E : |η|2 ≥ 1} The boundary N is the circle bundle of E and T is the infinitesimal generator of at(η) = e ˙

ιtη, η ∈ N.

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Suppose M is a compact manifold with boundary N. Suppose that its b-tangent bundle comes with an almost complex structure J: J : bTM → bTM, J2 = −I. If x is a defining function for ∂M, then x∂x is a canonical section of bTM along N that spans ker ev.

ev : bTM→TM

So J(x∂x) is also canonical. From the independence x∂x and J(x∂x) we get that ev J(x∂x) is nonzero along N: T = ev J(x∂x) ∈ C ∞(N; TN)

• Example. Let E → B be a Hermitian holomorphic line bundle over

a compact complex manifold B. The spherical blow-up of its zero section is M = {η ∈ E : |η|2 ≥ 1} The boundary N is the circle bundle of E and T is the infinitesimal generator of at(η) = e ˙

ιtη, η ∈ N.

Another example . . .

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Suppose M is a compact manifold with boundary N. Suppose that its b-tangent bundle comes with an almost complex structure J: J : bTM → bTM, J2 = −I. If x is a defining function for ∂M, then x∂x is a canonical section of bTM along N that spans ker ev.

ev : bTM→TM

So J(x∂x) is also canonical. From the independence x∂x and J(x∂x) we get that ev J(x∂x) is nonzero along N: T = ev J(x∂x) ∈ C ∞(N; TN)

• Example. Let E → B be a Hermitian holomorphic line bundle over

a compact complex manifold B. The spherical blow-up of its zero section is M = {η ∈ E : |η|2 ≥ 1} The boundary N is the circle bundle of E and T is the infinitesimal generator of at(η) = e ˙

ιtη, η ∈ N.

Another example . . .

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Suppose M is a compact manifold with boundary N. Suppose that its b-tangent bundle comes with an almost complex structure J: J : bTM → bTM, J2 = −I. If x is a defining function for ∂M, then x∂x is a canonical section of bTM along N that spans ker ev.

ev : bTM→TM

So J(x∂x) is also canonical. From the independence x∂x and J(x∂x) we get that ev J(x∂x) is nonzero along N: T = ev J(x∂x) ∈ C ∞(N; TN)

• Example. Let E → B be a Hermitian holomorphic line bundle over

a compact complex manifold B. The spherical blow-up of its zero section is M = {η ∈ E : |η|2 ≥ 1} The boundary N is the circle bundle of E and T is the infinitesimal generator of at(η) = e ˙

ιtη, η ∈ N.

Another example . . .

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Suppose M is a compact manifold with boundary N. Suppose that its b-tangent bundle comes with an almost complex structure J: J : bTM → bTM, J2 = −I. If x is a defining function for ∂M, then x∂x is a canonical section of bTM along N that spans ker ev.

ev : bTM→TM

So J(x∂x) is also canonical. From the independence x∂x and J(x∂x) we get that ev J(x∂x) is nonzero along N: T = ev J(x∂x) ∈ C ∞(N; TN)

• Example. Let E → B be a Hermitian holomorphic line bundle over

a compact complex manifold B. The spherical blow-up of its zero section is M = {η ∈ E : |η|2 ≥ 1} The boundary N is the circle bundle of E and T is the infinitesimal generator of at(η) = e ˙

ιtη, η ∈ N.

Another example . . .

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In the context of complex b-structures, the boundary also has a canonical vector subbundle V ⊂ CTN inherited form the subbundle

bT 0,1M of which T is a section.

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. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Complex b-structures

In the context of complex b-structures, the boundary also has a canonical vector subbundle V ⊂ CTN inherited form the subbundle

bT 0,1M of which T is a section. Each defining function x determines

a CR structure K ⊂ V invariant under at.

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In the context of complex b-structures, the boundary also has a canonical vector subbundle V ⊂ CTN inherited form the subbundle

bT 0,1M of which T is a section. Each defining function x determines

a CR structure K ⊂ V invariant under at. The vector field T acts by Lie derivative in each degree of the CR complex.

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. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Complex b-structures

In the context of complex b-structures, the boundary also has a canonical vector subbundle V ⊂ CTN inherited form the subbundle

bT 0,1M of which T is a section. Each defining function x determines

a CR structure K ⊂ V invariant under at. The vector field T acts by Lie derivative in each degree of the CR complex.

LT :C ∞(N, qK

∗)→C ∞(N,

qK

∗)

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In the context of complex b-structures, the boundary also has a canonical vector subbundle V ⊂ CTN inherited form the subbundle

bT 0,1M of which T is a section. Each defining function x determines

a CR structure K ⊂ V invariant under at. The vector field T acts by Lie derivative in each degree of the CR complex.

LT :C ∞(N, qK

∗)→C ∞(N,

qK

∗)

At such it acts on the kernel of the Kohn Laplacian as a selfadjoint operators with compact resolvent.

4

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In the context of complex b-structures, the boundary also has a canonical vector subbundle V ⊂ CTN inherited form the subbundle

bT 0,1M of which T is a section. Each defining function x determines

a CR structure K ⊂ V invariant under at. The vector field T acts by Lie derivative in each degree of the CR complex.

LT :C ∞(N, qK

∗)→C ∞(N,

qK

∗)

At such it acts on the kernel of the Kohn Laplacian as a selfadjoint operators with compact

• resolvent. The spectrum is related to the boundary spectrum of the

Dolbeault complex of M.

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In the context of complex b-structures, the boundary also has a canonical vector subbundle V ⊂ CTN inherited form the subbundle

bT 0,1M of which T is a section. Each defining function x determines

a CR structure K ⊂ V invariant under at. The vector field T acts by Lie derivative in each degree of the CR complex.

LT :C ∞(N, qK

∗)→C ∞(N,

qK

∗)

At such it acts on the kernel of the Kohn Laplacian as a selfadjoint operators with compact

• resolvent. The spectrum is related to the boundary spectrum of the

Dolbeault complex of M. When M is the blow-up of the zero section of a holomorphic line bundle, the spectrum and eigenspaces are in one-to-one correspondence with the Dolbeault cohomology (= eigenspaces) with coefficients in the tensor powers (= spectrum) of the line bundle.

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In the context of complex b-structures, the boundary also has a canonical vector subbundle V ⊂ CTN inherited form the subbundle

bT 0,1M of which T is a section. Each defining function x determines

a CR structure K ⊂ V invariant under at. The vector field T acts by Lie derivative in each degree of the CR complex.

LT :C ∞(N, qK

∗)→C ∞(N,

qK

∗)

At such it acts on the kernel of the Kohn Laplacian as a selfadjoint operators with compact

• resolvent. The spectrum is related to the boundary spectrum of the

Dolbeault complex of M. When M is the blow-up of the zero section of a holomorphic line bundle, the spectrum and eigenspaces are in one-to-one correspondence with the Dolbeault cohomology (= eigenspaces) with coefficients in the tensor powers (= spectrum) of the line bundle. So looking at N with T and possibly additional structure generalizes some parts of complex geometry in a non-standard direction.

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F = family of pairs (N, T ) . . .

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F = family of pairs (N, T ) . . .

(N, T ), (N ′, T ′) ∈ F are: – Globally equivalent if there is an equivariant diffeomorphism h : N ′ → N – Locally equivalent if there are open covers {Ua}a∈A of N and {U′

a}a∈A

• f N ′ by T , resp. T ′-invariant open sets and equivariant diffeomorphisms

ha : U′

a → Ua for each a ∈ A such that

hah−1

b (p) ∈ Op

for every a, b ∈ A and p ∈ Ua ∩ Ub.

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F = family of pairs (N, T ) . . .

(N, T ), (N ′, T ′) ∈ F are: – Globally equivalent if there is an equivariant diffeomorphism h : N ′ → N – Locally equivalent if there are open covers {Ua}a∈A of N and {U′

a}a∈A

• f N ′ by T , resp. T ′-invariant open sets and equivariant diffeomorphisms

ha : U′

a → Ua for each a ∈ A such that

hah−1

b (p) ∈ Op

for every a, b ∈ A and p ∈ Ua ∩ Ub. If (N, T ) ∈ F then the set {Op : p ∈ N} is a Hausdorff space BN .

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F = family of pairs (N, T ) . . .

(N, T ), (N ′, T ′) ∈ F are: – Globally equivalent if there is an equivariant diffeomorphism h : N ′ → N – Locally equivalent if there are open covers {Ua}a∈A of N and {U′

a}a∈A

• f N ′ by T , resp. T ′-invariant open sets and equivariant diffeomorphisms

ha : U′

a → Ua for each a ∈ A such that

hah−1

b (p) ∈ Op

for every a, b ∈ A and p ∈ Ua ∩ Ub. If (N, T ) ∈ F then the set {Op : p ∈ N} is a Hausdorff space BN . If (N, T ), (N ′, T ′) ∈ F are locally equivalent, then BN and BN ′ are homeomorphic.

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(*) hab = hah−1

b (p) ∈ Op for every a, b ∈ A and

p ∈ Ua ∩ Ub.

Let (N, T ) ∈ F. There is an exact sequence 0 → Z

ι

− → C ∞(B, g)

Exp

− − → I ∞(N) → 0

• f sheaves in which every (N ′, T ′) which is locally equivalent to (N, T )

defines an element in the first ˇ Cech cohomology group ˇ H1(B; I ∞(N)) via (*).

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(*) hab = hah−1

b (p) ∈ Op for every a, b ∈ A and

p ∈ Ua ∩ Ub.

Let (N, T ) ∈ F. There is an exact sequence 0 → Z

ι

− → C ∞(B, g)

Exp

− − → I ∞(N) → 0

• f sheaves in which every (N ′, T ′) which is locally equivalent to (N, T )

defines an element in the first ˇ Cech cohomology group ˇ H1(B; I ∞(N)) via (*). For V ⊂ B open let NV be the part of N over B.

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(*) hab = hah−1

b (p) ∈ Op for every a, b ∈ A and

p ∈ Ua ∩ Ub.

Let (N, T ) ∈ F. There is an exact sequence 0 → Z

ι

− → C ∞(B, g)

Exp

− − → I ∞(N) → 0

• f sheaves in which every (N ′, T ′) which is locally equivalent to (N, T )

defines an element in the first ˇ Cech cohomology group ˇ H1(B; I ∞(N)) via (*). For V ⊂ B open let NV be the part of N over B. – I∞(NV ) be the set of smooth T -equivariant diffeomorphisms h : NV → NV such that h(p) ∈ Op for all p ∈ NV I ∞(N) → 0 is the corresponding sheaf.

6

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Classification, cont.

(*) hab = hah−1

b (p) ∈ Op for every a, b ∈ A and

p ∈ Ua ∩ Ub.

Let (N, T ) ∈ F. There is an exact sequence 0 → Z

ι

− → C ∞(B, g)

Exp

− − → I ∞(N) → 0

• f sheaves in which every (N ′, T ′) which is locally equivalent to (N, T )

defines an element in the first ˇ Cech cohomology group ˇ H1(B; I ∞(N)) via (*). For V ⊂ B open let NV be the part of N over B. – I∞(NV ) be the set of smooth T -equivariant diffeomorphisms h : NV → NV such that h(p) ∈ Op for all p ∈ NV I ∞(N) → 0 is the corresponding sheaf. – C ∞(V , g) be the space of smooth functions NV → g which are constant on the orbits of T and C ∞(B, g) is the corresponding sheaf.

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. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Classification, cont.

(*) hab = hah−1

b (p) ∈ Op for every a, b ∈ A and

p ∈ Ua ∩ Ub.

Let (N, T ) ∈ F. There is an exact sequence 0 → Z

ι

− → C ∞(B, g)

Exp

− − → I ∞(N) → 0

• f sheaves in which every (N ′, T ′) which is locally equivalent to (N, T )

defines an element in the first ˇ Cech cohomology group ˇ H1(B; I ∞(N)) via (*). For V ⊂ B open let NV be the part of N over B. – I∞(NV ) be the set of smooth T -equivariant diffeomorphisms h : NV → NV such that h(p) ∈ Op for all p ∈ NV I ∞(N) → 0 is the corresponding sheaf. – C ∞(V , g) be the space of smooth functions NV → g which are constant on the orbits of T and C ∞(B, g) is the corresponding sheaf. Z → B be the sheaf of locally constant z-valued functions on B, with z = ker(exp : g → G). C ∞(B, g) is a fine sheaf, so the long exact sequence in cohomology gives an isomorphism ˇ H1(B, I ∞(N)) → ˇ H2(B, Z ) ≈ H2(B, Zd) (d = dim G).

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. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Classification, cont.

(*) hab = hah−1

b (p) ∈ Op for every a, b ∈ A and

p ∈ Ua ∩ Ub.

Let (N, T ) ∈ F. There is an exact sequence 0 → Z

ι

− → C ∞(B, g)

Exp

− − → I ∞(N) → 0

• f sheaves in which every (N ′, T ′) which is locally equivalent to (N, T )

defines an element in the first ˇ Cech cohomology group ˇ H1(B; I ∞(N)) via (*). For V ⊂ B open let NV be the part of N over B. – I∞(NV ) be the set of smooth T -equivariant diffeomorphisms h : NV → NV such that h(p) ∈ Op for all p ∈ NV I ∞(N) → 0 is the corresponding sheaf. – C ∞(V , g) be the space of smooth functions NV → g which are constant on the orbits of T and C ∞(B, g) is the corresponding sheaf. Z → B be the sheaf of locally constant z-valued functions on B, with z = ker(exp : g → G). C ∞(B, g) is a fine sheaf, so the long exact sequence in cohomology gives an isomorphism ˇ H1(B, I ∞(N)) → ˇ H2(B, Z ) ≈ H2(B, Zd) (d = dim G). There is a bijection between the elements of ˇ H2(B, Z ) and the global equivalence classes of elements of F which are locally equivalent to N.

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. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Gysin sequence

Let (N, T ) ∈ F, let B be the base space of N and let ρ : N → B be the projection map. There is an exact sequence · · · → Hq−2

dR (B) e∧·

− − → Hq

dR(B) ρ∗

− → Hq

dR(N) ρ∗

− → Hq−1

dR (B) → · · · .

in which Hq

dR(N) are the de Rham cohomology groups of N,

the groups Hq

dR(B) are the cohomology groups of the complex

· · · → C ∞(B; qB)

dB

− → C ∞(B; q+1B) → · · · with C ∞(B; qB) = {φ ∈ C ∞(N; qN) : iTφ = LTφ = 0}.

dB = restriction of d

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. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Gysin sequence

Let (N, T ) ∈ F, let B be the base space of N and let ρ : N → B be the projection map. There is an exact sequence · · · → Hq−2

dR (B) e∧·

− − → Hq

dR(B) ρ∗

− → Hq

dR(N) ρ∗

− → Hq−1

dR (B) → · · · .

in which Hq

dR(N) are the de Rham cohomology groups of N,

the groups Hq

dR(B) are the cohomology groups of the complex

· · · → C ∞(B; qB)

dB

− → C ∞(B; q+1B) → · · · with C ∞(B; qB) = {φ ∈ C ∞(N; qN) : iTφ = LTφ = 0}.

dB = restriction of d LT φ = iT dφ + diT φ. LT φ = 0 & iT φ = 0 ⇒ diT φ = 0. LT dφ = 0 because LT d = dLT .

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. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Gysin sequence

Let (N, T ) ∈ F, let B be the base space of N and let ρ : N → B be the projection map. There is an exact sequence · · · → Hq−2

dR (B) e∧·

− − → Hq

dR(B) ρ∗

− → Hq

dR(N) ρ∗

− → Hq−1

dR (B) → · · · .

in which Hq

dR(N) are the de Rham cohomology groups of N,

the groups Hq

dR(B) are the cohomology groups of the complex

· · · → C ∞(B; qB)

dB

− → C ∞(B; q+1B) → · · · with C ∞(B; qB) = {φ ∈ C ∞(N; qN) : iTφ = LTφ = 0}.

dB = restriction of d LT φ = iT dφ + diT φ. LT φ = 0 & iT φ = 0 ⇒ diT φ = 0. LT dφ = 0 because LT d = dLT .

The map ρ∗ is induced by the inclusion C ∞(B; qB) ֒ → C ∞(N; qN). I’ll skip the definition of ρ∗.

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. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Gysin sequence

Let (N, T ) ∈ F, let B be the base space of N and let ρ : N → B be the projection map. There is an exact sequence · · · → Hq−2

dR (B) e∧·

− − → Hq

dR(B) ρ∗

− → Hq

dR(N) ρ∗

− → Hq−1

dR (B) → · · · .

in which Hq

dR(N) are the de Rham cohomology groups of N,

the groups Hq

dR(B) are the cohomology groups of the complex

· · · → C ∞(B; qB)

dB

− → C ∞(B; q+1B) → · · · with C ∞(B; qB) = {φ ∈ C ∞(N; qN) : iTφ = LTφ = 0}.

dB = restriction of d LT φ = iT dφ + diT φ. LT φ = 0 & iT φ = 0 ⇒ diT φ = 0. LT dφ = 0 because LT d = dLT .

The map ρ∗ is induced by the inclusion C ∞(B; qB) ֒ → C ∞(N; qN). I’ll skip the definition of ρ∗. What is e?

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. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Gysin sequence

Let (N, T ) ∈ F, let B be the base space of N and let ρ : N → B be the projection map. There is an exact sequence · · · → Hq−2

dR (B) e∧·

− − → Hq

dR(B) ρ∗

− → Hq

dR(N) ρ∗

− → Hq−1

dR (B) → · · · .

in which Hq

dR(N) are the de Rham cohomology groups of N,

the groups Hq

dR(B) are the cohomology groups of the complex

· · · → C ∞(B; qB)

dB

− → C ∞(B; q+1B) → · · · with C ∞(B; qB) = {φ ∈ C ∞(N; qN) : iTφ = LTφ = 0}.

dB = restriction of d LT φ = iT dφ + diT φ. LT φ = 0 & iT φ = 0 ⇒ diT φ = 0. LT dφ = 0 because LT d = dLT .

The map ρ∗ is induced by the inclusion C ∞(B; qB) ֒ → C ∞(N; qN). I’ll skip the definition of ρ∗. What is e? Let g be a metric invariant under T . Can assume g(T , T ) = 1. Let θ, v = g(T , v). Then LT dθ = 0,

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. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Gysin sequence

Let (N, T ) ∈ F, let B be the base space of N and let ρ : N → B be the projection map. There is an exact sequence · · · → Hq−2

dR (B) e∧·

− − → Hq

dR(B) ρ∗

− → Hq

dR(N) ρ∗

− → Hq−1

dR (B) → · · · .

in which Hq

dR(N) are the de Rham cohomology groups of N,

the groups Hq

dR(B) are the cohomology groups of the complex

· · · → C ∞(B; qB)

dB

− → C ∞(B; q+1B) → · · · with C ∞(B; qB) = {φ ∈ C ∞(N; qN) : iTφ = LTφ = 0}.

dB = restriction of d LT φ = iT dφ + diT φ. LT φ = 0 & iT φ = 0 ⇒ diT φ = 0. LT dφ = 0 because LT d = dLT .

The map ρ∗ is induced by the inclusion C ∞(B; qB) ֒ → C ∞(N; qN). I’ll skip the definition of ρ∗. What is e? Let g be a metric invariant under T . Can assume g(T , T ) = 1. Let θ, v = g(T , v). Then LT dθ = 0,

LT dθ = dLT θ and LT θ = 0

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. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Gysin sequence

Let (N, T ) ∈ F, let B be the base space of N and let ρ : N → B be the projection map. There is an exact sequence · · · → Hq−2

dR (B) e∧·

− − → Hq

dR(B) ρ∗

− → Hq

dR(N) ρ∗

− → Hq−1

dR (B) → · · · .

in which Hq

dR(N) are the de Rham cohomology groups of N,

the groups Hq

dR(B) are the cohomology groups of the complex

· · · → C ∞(B; qB)

dB

− → C ∞(B; q+1B) → · · · with C ∞(B; qB) = {φ ∈ C ∞(N; qN) : iTφ = LTφ = 0}.

dB = restriction of d LT φ = iT dφ + diT φ. LT φ = 0 & iT φ = 0 ⇒ diT φ = 0. LT dφ = 0 because LT d = dLT .

The map ρ∗ is induced by the inclusion C ∞(B; qB) ֒ → C ∞(N; qN). I’ll skip the definition of ρ∗. What is e? Let g be a metric invariant under T . Can assume g(T , T ) = 1. Let θ, v = g(T , v). Then LT dθ = 0,

LT dθ = dLT θ and LT θ = 0

so dθ ∈ C ∞(B; 2B):

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. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Gysin sequence

Let (N, T ) ∈ F, let B be the base space of N and let ρ : N → B be the projection map. There is an exact sequence · · · → Hq−2

dR (B) e∧·

− − → Hq

dR(B) ρ∗

− → Hq

dR(N) ρ∗

− → Hq−1

dR (B) → · · · .

in which Hq

dR(N) are the de Rham cohomology groups of N,

the groups Hq

dR(B) are the cohomology groups of the complex

· · · → C ∞(B; qB)

dB

− → C ∞(B; q+1B) → · · · with C ∞(B; qB) = {φ ∈ C ∞(N; qN) : iTφ = LTφ = 0}.

dB = restriction of d LT φ = iT dφ + diT φ. LT φ = 0 & iT φ = 0 ⇒ diT φ = 0. LT dφ = 0 because LT d = dLT .

The map ρ∗ is induced by the inclusion C ∞(B; qB) ֒ → C ∞(N; qN). I’ll skip the definition of ρ∗. What is e? Let g be a metric invariant under T . Can assume g(T , T ) = 1. Let θ, v = g(T , v). Then LT dθ = 0,

LT dθ = dLT θ and LT θ = 0

so dθ ∈ C ∞(B; 2B): e = [dθ]

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. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Gysin sequence

Let (N, T ) ∈ F, let B be the base space of N and let ρ : N → B be the projection map. There is an exact sequence · · · → Hq−2

dR (B) e∧·

− − → Hq

dR(B) ρ∗

− → Hq

dR(N) ρ∗

− → Hq−1

dR (B) → · · · .

in which Hq

dR(N) are the de Rham cohomology groups of N,

the groups Hq

dR(B) are the cohomology groups of the complex

· · · → C ∞(B; qB)

dB

− → C ∞(B; q+1B) → · · · with C ∞(B; qB) = {φ ∈ C ∞(N; qN) : iTφ = LTφ = 0}.

dB = restriction of d LT φ = iT dφ + diT φ. LT φ = 0 & iT φ = 0 ⇒ diT φ = 0. LT dφ = 0 because LT d = dLT .

The map ρ∗ is induced by the inclusion C ∞(B; qB) ֒ → C ∞(N; qN). I’ll skip the definition of ρ∗. What is e? Let g be a metric invariant under T . Can assume g(T , T ) = 1. Let θ, v = g(T , v). Then LT dθ = 0,

LT dθ = dLT θ and LT θ = 0

so dθ ∈ C ∞(B; 2B): e = [dθ] If φ ∈ C ∞(B; q−2B) and dφ = 0 then dθ ∧ φ ∈ C ∞(B; qB) and d(dθ ∧ φ) = 0.

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. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Gysin sequence

Let (N, T ) ∈ F, let B be the base space of N and let ρ : N → B be the projection map. There is an exact sequence · · · → Hq−2

dR (B) e∧·

− − → Hq

dR(B) ρ∗

− → Hq

dR(N) ρ∗

− → Hq−1

dR (B) → · · · .

in which Hq

dR(N) are the de Rham cohomology groups of N,

the groups Hq

dR(B) are the cohomology groups of the complex

· · · → C ∞(B; qB)

dB

− → C ∞(B; q+1B) → · · · with C ∞(B; qB) = {φ ∈ C ∞(N; qN) : iTφ = LTφ = 0}.

dB = restriction of d LT φ = iT dφ + diT φ. LT φ = 0 & iT φ = 0 ⇒ diT φ = 0. LT dφ = 0 because LT d = dLT .

The map ρ∗ is induced by the inclusion C ∞(B; qB) ֒ → C ∞(N; qN). I’ll skip the definition of ρ∗. What is e? Let g be a metric invariant under T . Can assume g(T , T ) = 1. Let θ, v = g(T , v). Then LT dθ = 0,

LT dθ = dLT θ and LT θ = 0

so dθ ∈ C ∞(B; 2B): e = [dθ] If φ ∈ C ∞(B; q−2B) and dφ = 0 then dθ ∧ φ ∈ C ∞(B; qB) and d(dθ ∧ φ) = 0. ρ∗(dθ ∧ φ) = d(θ ∧ φ)

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Let (N, T ) ∈ F, let B be the base space of N and let ρ : N → B be the projection map. There is an exact sequence · · · → Hq−2

dR (B) e∧·

− − → Hq

dR(B) ρ∗

− → Hq

dR(N) ρ∗

− → Hq−1

dR (B) → · · · .

in which Hq

dR(N) are the de Rham cohomology groups of N,

the groups Hq

dR(B) are the cohomology groups of the complex

· · · → C ∞(B; qB)

dB

− → C ∞(B; q+1B) → · · · with C ∞(B; qB) = {φ ∈ C ∞(N; qN) : iTφ = LTφ = 0}.

dB = restriction of d LT φ = iT dφ + diT φ. LT φ = 0 & iT φ = 0 ⇒ diT φ = 0. LT dφ = 0 because LT d = dLT .

The map ρ∗ is induced by the inclusion C ∞(B; qB) ֒ → C ∞(N; qN). I’ll skip the definition of ρ∗. What is e? Let g be a metric invariant under T . Can assume g(T , T ) = 1. Let θ, v = g(T , v). Then LT dθ = 0,

LT dθ = dLT θ and LT θ = 0

so dθ ∈ C ∞(B; 2B): e = [dθ] If φ ∈ C ∞(B; q−2B) and dφ = 0 then dθ ∧ φ ∈ C ∞(B; qB) and d(dθ ∧ φ) = 0. ρ∗(dθ ∧ φ) = d(θ ∧ φ) ρ∗ is such that ρ∗φ and dφ = 0 implies φ = dθ ∧ ψ

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Let (N, T ) ∈ F. Then there is a positive integer N, an embedding F : N → CN with image contained in the sphere S2N−1, and positive numbers τj such that F∗T = ˙ ι N

j=1 τj

• zj ∂

∂zj − zj ∂ ∂zj

• .

No component of F is flat at any point of N.

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Let (N, T ) ∈ F. Then there is a positive integer N, an embedding F : N → CN with image contained in the sphere S2N−1, and positive numbers τj such that F∗T = ˙ ι N

j=1 τj

• zj ∂

∂zj − zj ∂ ∂zj

• .

No component of F is flat at any point of N. The 1-parameter group generated by T ′ is a′

t(z) = (e ˙ ιτ1tz1, e ˙ ιτ2tz2, . . . , e ˙ ιτNtzN)

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Let (N, T ) ∈ F. Then there is a positive integer N, an embedding F : N → CN with image contained in the sphere S2N−1, and positive numbers τj such that F∗T = ˙ ι N

j=1 τj

• zj ∂

∂zj − zj ∂ ∂zj

• .

No component of F is flat at any point of N. The 1-parameter group generated by T ′ is a′

t(z) = (e ˙ ιτ1tz1, e ˙ ιτ2tz2, . . . , e ˙ ιτNtzN)

The closure of at in the group of isometries of N is isomorphic to the closure of {(e ˙

ιτ1t, e ˙ ιτ2t, . . . , e ˙ ιτNt) : t ∈ R} ⊂ S1 × S1 · · · × S1.

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T ′ = ˙ ι N

j=1 τj

• zj

∂ ∂zj − zj ∂ ∂zj

• Suppose (N, T ) ∈ F and fix some T -invariant Riemannian metric g on N,

let ∆ be the Laplace-Beltrami operator. ∆ commutes with T because LT g = 0. The operator −˙ ιT leaves the eigenspaces of ∆ invariant and acts as a selfadjoint operator, (real eigenvalues). Let Eτ,λ = {φ ∈ C ∞(N) : −˙ ιT φ = τφ, ∆φ = λφ} The set sp(−˙ ιT , ∆) = {(τ, λ) : Eτ,λ = 0} is a discrete subset of R2. The map F = (f 1, . . . , f N) : N → CN satisfies F∗T = T ′ iff T f j = ˙ ιτjf j which suggests using (non-zero) functions in the Eτ,λ as f j’s. Let φτ,λ,j, j = 1, . . . , Nτ,λ, be an orthonormal basis of Eτ,λ Properties:

• 1. CT ∗

p0N = span{dφτ,λ,j(p0) : (τ, λ) ∈ sp(−˙

ιT , ∆), j = 1, . . . , Nτ,λ};

• 2. The φτ,λ,j, (τ, λ) ∈ sp(−˙

ιT , ∆), j = 1, . . . , Nτ,λ, separate points of N.

∆φ = ∆φ gives (τ, λ) ∈ sp(−˙ ιT , ∆) = ⇒ (−τ, λ) ∈ sp(−˙ ιT , ∆): can take all τ of the same sign.

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T ′ = ˙ ι N

j=1 τj

• zj

∂ ∂zj − zj ∂ ∂zj

• Suppose (N, T ) ∈ F and fix some T -invariant Riemannian metric g on N,

let ∆ be the Laplace-Beltrami operator. ∆ commutes with T because LT g = 0. The operator −˙ ιT leaves the eigenspaces of ∆ invariant and acts as a selfadjoint operator, (real eigenvalues). Let Eτ,λ = {φ ∈ C ∞(N) : −˙ ιT φ = τφ, ∆φ = λφ} The set sp(−˙ ιT , ∆) = {(τ, λ) : Eτ,λ = 0} is a discrete subset of R2. The map F = (f 1, . . . , f N) : N → CN satisfies F∗T = T ′ iff T f j = ˙ ιτjf j which suggests using (non-zero) functions in the Eτ,λ as f j’s. Let φτ,λ,j, j = 1, . . . , Nτ,λ, be an orthonormal basis of Eτ,λ Properties:

• 1. CT ∗

p0N = span{dφτ,λ,j(p0) : (τ, λ) ∈ sp(−˙

ιT , ∆), j = 1, . . . , Nτ,λ};

• 2. The φτ,λ,j, (τ, λ) ∈ sp(−˙

ιT , ∆), j = 1, . . . , Nτ,λ, separate points of N.

∆φ = ∆φ gives (τ, λ) ∈ sp(−˙ ιT , ∆) = ⇒ (−τ, λ) ∈ sp(−˙ ιT , ∆): can take all τ of the same sign.

This is elementary.

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T ′ = ˙ ι N

j=1 τj

• zj

∂ ∂zj − zj ∂ ∂zj

• Suppose (N, T ) ∈ F and fix some T -invariant Riemannian metric g on N,

let ∆ be the Laplace-Beltrami operator. ∆ commutes with T because LT g = 0. The operator −˙ ιT leaves the eigenspaces of ∆ invariant and acts as a selfadjoint operator, (real eigenvalues). Let Eτ,λ = {φ ∈ C ∞(N) : −˙ ιT φ = τφ, ∆φ = λφ} The set sp(−˙ ιT , ∆) = {(τ, λ) : Eτ,λ = 0} is a discrete subset of R2. The map F = (f 1, . . . , f N) : N → CN satisfies F∗T = T ′ iff T f j = ˙ ιτjf j which suggests using (non-zero) functions in the Eτ,λ as f j’s. Let φτ,λ,j, j = 1, . . . , Nτ,λ, be an orthonormal basis of Eτ,λ Properties:

• 1. CT ∗

p0N = span{dφτ,λ,j(p0) : (τ, λ) ∈ sp(−˙

ιT , ∆), j = 1, . . . , Nτ,λ};

• 2. The φτ,λ,j, (τ, λ) ∈ sp(−˙

ιT , ∆), j = 1, . . . , Nτ,λ, separate points of N.

∆φ = ∆φ gives (τ, λ) ∈ sp(−˙ ιT , ∆) = ⇒ (−τ, λ) ∈ sp(−˙ ιT , ∆): can take all τ of the same sign.

This is elementary. No component is flat by Aronszajn’s unique continuation theorem.

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The End