t rt r r - - PowerPoint PPT Presentation

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• ❇♦❜ ✐s ♥♦✇ ❝♦♥✈✐♥❝❡❞ ❆❧✐❝❡ ♣♦ss❡ss❡s ❛ s❡❝r❡t ① ∈ L✳

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• ❇♦❜ ❝❛♥✬t ❞❡❝✐❞❡ ✇❤✐❝❤ s❡❝r❡t ✐s ❦♥♦✇♥ ❜② ❆❧✐❝❡✱ ❞❡s♣✐t❡ ❤✐s

❦♥♦✇❧❡❞❣❡ ♦❢ ❚✳

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❇✐❧✐♥❡❛r ●r♦✉♣s

G✶, G✷, G❚ ✜♥✐t❡ ❝②❝❧✐❝ ❣r♦✉♣s ♦❢ ♦r❞❡r ♣ ❣✶ ❣❡♥❡r❛t❡s G✶✱ ❣✷ ❣❡♥❡r❛t❡s G✷ ❡ : G✶ × G✷ → G❚ ❡(❣✶, ❣✷) ❣❡♥❡r❛t❡s G❚ ❡(❣❛

✶, ❣❜ ✷ ) = ❡(❣✶, ❣✷)❛❜

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❙❳❉❍✴ ❉▲■◆ ❛ss✉♠♣t✐♦♥s

❙❳❉❍

• ✐✈❡♥ (♣, G✶, G✷, G❚, ❡, ❣✶, ❣✷)✱

(✉, ✉①, ✉②, ✉③) ❛♥❞ (✉, ✉①, ✉②, ✉①·②) ❛r❡ ❝♦♠♣✉t❛t✐♦♥❛❧❧② ✐♥❞✐st✐♥❣✉✐s❤❛❜❧❡✳✭❉❉❍ ✐s ❤❛r❞ ✐♥ ❜♦t❤ ❣r♦✉♣✮ ❉▲■◆

• ✐✈❡♥ (♣, G, G❚, ❡, ❣)✱

(✉, ✈, ✇, ✉❛, ✈❜, ✇❝) ❛♥❞ (✉, ✈, ✇, ✉❛, ✈❜, ✇❛+❜) ❛r❡ ❝♦♠♣✉t❛t✐♦♥❛❧❧② ✐♥❞✐st✐♥❣✉✐s❤❛❜❧❡✳

✼ ✴ ✷✷

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• r♦t❤ ❙❛❤❛✐ Pr♦♦❢ ❙②st❡♠

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❜ ∈ Z ♥

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A, B ∈ G♥✳

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• ❛,

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✐=✶ B❛✐ ✐

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× G♥×❦

✷

→ G❦×❦

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ℓ=✶ ❡(❝ℓ,✐, ❞ℓ,❥))✶≤✐,❥≤❦

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• : G♥×✸ × G♥×✸ → G✸×✸

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• ❝

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❞ := ♥

ℓ=✶ ❡(❝ℓ,✐, ❞ℓ,❥)✶/✷❡(❝ℓ,❥, ❞ℓ,✐)✶/✷ ✶≤✐,❥≤✸

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P❛✐r✐♥❣✲♣r♦❞✉❝t ❡q✉❛t✐♦♥✿ A, Y · X, B · X, Γ Y = t❚ ▼✉❧t✐✲s❝❛❧❛r ♠✉❧t✐♣❧✐❝❛t✐♦♥ ❡q✉❛t✐♦♥ ✭✐♥ G✶✮✿

• ①,

B · ❛, Y · ①, Γ Y = ❚ ◗✉❛❞r❛t✐❝ ❡q✉❛t✐♦♥ ✐♥ Z◆

• ❛,

② + ①, ❜ + ①, Γ ② = t

✶✵ ✴ ✷✷

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❇❛t❝❤ ❆♣♣❧✐❝❛t✐♦♥s ❈♦♥❝❧✉s✐♦♥ ◆♦t❛t✐♦♥ ❚②♣❡s ♦❢ ❊q✉❛t✐♦♥s Pr♦♦❢ ❡❧❡♠❡♥ts

✭❉▲■◆✮ P❛✐r✐♥❣ Pr♦❞✉❝t ❊q✉❛t✐♦♥✿ A, Y · Y, Γ Y = t❚ ❚❤❡ ✈❡r✐✜❝❛t✐♦♥ r❡❧❛t✐♦♥ ♦❢ ❛ ♣r♦♦❢ ( ❞, φ) ∈ G♥×✸ × G✸×✸ ✐s t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣✿

• ι(

A)

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❞

• ⊙
• ❞

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• Γ

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• = ι❚(t❚) ⊙
• ✉

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• ✶✶ ✴ ✷✷

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✶

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥

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• r♦t❤ ❙❛❤❛✐ Pr♦♦❢ ❙②st❡♠

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❆♣♣❧✐❝❛t✐♦♥s

✶✷ ✴ ✷✷

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• ❙

❇❛t❝❤ ❆♣♣❧✐❝❛t✐♦♥s ❈♦♥❝❧✉s✐♦♥ ❙♠❛❧❧ ❊①♣ ❋♦r ❛ ❢❡✇ ♣❛✐r✐♥❣s ❧❡ss ❖✉r ❘❡s✉❧t

❙♠❛❧❧ ❊①♣♦♥❡♥ts ❚❡st✱ ❇●❘ ❊❈✬✾✽

   ❦✶

✐=✶ ❡(❢✐,✶, ❤✐,✶)❝✐,✶ = ❆✶

. . . ❦♥

✐=✶ ❡(❢✐,♥, ❤✐,♥)❝✐,♥ = ❆♥

✶✸ ✴ ✷✷

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❇❛t❝❤ ❆♣♣❧✐❝❛t✐♦♥s ❈♦♥❝❧✉s✐♦♥ ❙♠❛❧❧ ❊①♣ ❋♦r ❛ ❢❡✇ ♣❛✐r✐♥❣s ❧❡ss ❖✉r ❘❡s✉❧t

❙♠❛❧❧ ❊①♣♦♥❡♥ts ❚❡st✱ ❇●❘ ❊❈✬✾✽

   ❦✶

✐=✶ ❡(❢✐,✶, ❤✐,✶)❝✐,✶ = ❆✶

. . . ❦♥

✐=✶ ❡(❢✐,♥, ❤✐,♥)❝✐,♥ = ❆♥

P✐❝❦ s♠❛❧❧ r❛♥❞♦♠ ❡①♣♦♥❡♥ts δ✶, . . . , δ♥ ❈❤❡❝❦ ♥

❥=✶

❦❥

✐=✶ ❡(❢✐,❥, ❤✐,❥)❝✐,❥δ❥ = ♠ ❥=✶ ❆δ❥ ❥

✶✸ ✴ ✷✷

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❙♠❛❧❧ ❊①♣♦♥❡♥ts ❚❡st✱ ❇●❘ ❊❈✬✾✽

   ❦✶

✐=✶ ❡(❢✐,✶, ❤✐,✶)❝✐,✶ = ❆✶

. . . ❦♥

✐=✶ ❡(❢✐,♥, ❤✐,♥)❝✐,♥ = ❆♥

P✐❝❦ s♠❛❧❧ r❛♥❞♦♠ ❡①♣♦♥❡♥ts δ✶, . . . , δ♥ ❈❤❡❝❦ ♥

❥=✶

❦❥

✐=✶ ❡(❢✐,❥, ❤✐,❥)❝✐,❥δ❥ = ♠ ❥=✶ ❆δ❥ ❥

❚❤❡♦r❡♠ ✭❋❡rr❛r❛✱ ●r❡❡♥✱ ❍♦❤❡♥❜❡r❣❡r ❛♥❞ P❡❞❡rs❡♥✱ ❈❚✲❘❙❆ ✵✾✮

• ✐✈❡♥ ♠ ♣❛✐r✐♥❣✲❜❛s❡❞ ✈❡r✐✜❝❛t✐♦♥ ❡q✉❛t✐♦♥s✱ t❤❡ ✈❡r✐✜❡r ✇✐t❤

r❛♥❞♦♠ ❡①♣♦♥❡♥ts δ✶, . . . , δ♠ ♦❢ ℓ ❜✐ts ❛❝❝❡♣ts ❛♥ ✐♥✈❛❧✐❞ ❜❛t❝❤ ✇✐t❤ ♣r♦❜❛❜✐❧✐t② ❛t ♠♦st ✷−ℓ ✳

✶✸ ✴ ✷✷

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❇❛t❝❤ ❆♣♣❧✐❝❛t✐♦♥s ❈♦♥❝❧✉s✐♦♥ ❙♠❛❧❧ ❊①♣ ❋♦r ❛ ❢❡✇ ♣❛✐r✐♥❣s ❧❡ss ❖✉r ❘❡s✉❧t ✶ ▼♦✈❡ t❤❡ ❡①♣♦♥❡♥t ✐♥t♦ t❤❡ ♣❛✐r✐♥❣✿

❡(❢✐, ❤✐)δ✐ → ❡(❢ δ✐

✐ , ❤✐)

✷ ▼♦✈❡ t❤❡ ♣r♦❞✉❝t ✐♥t♦ t❤❡ ♣❛✐r✐♥❣✿

♠ ❥ ✶❡ ❢

❥

❥

❤✐ ❡

♠ ❥ ✶❢

❥

❥

❤✐

✸ ❙✇✐t❝❤ t✇♦ ♣r♦❞✉❝ts✿

❦ ✐ ✶❡ ♠ ❥ ✶❢

✐ ❥

❥

❤✐

♠ ❥ ✶❡

❢❥

❦ ✐ ✶❤

✐ ❥

✐

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❇❛t❝❤ ❆♣♣❧✐❝❛t✐♦♥s ❈♦♥❝❧✉s✐♦♥ ❙♠❛❧❧ ❊①♣ ❋♦r ❛ ❢❡✇ ♣❛✐r✐♥❣s ❧❡ss ❖✉r ❘❡s✉❧t ✶ ▼♦✈❡ t❤❡ ❡①♣♦♥❡♥t ✐♥t♦ t❤❡ ♣❛✐r✐♥❣✿

❡(❢✐, ❤✐)δ✐ → ❡(❢ δ✐

✐ , ❤✐)

✷ ▼♦✈❡ t❤❡ ♣r♦❞✉❝t ✐♥t♦ t❤❡ ♣❛✐r✐♥❣✿

♠

❥=✶❡(❢ δ❥ ❥ , ❤✐) → ❡

♠

❥=✶❢ δ❥ ❥ , ❤✐

• ✸ ❙✇✐t❝❤ t✇♦ ♣r♦❞✉❝ts✿

❦ ✐ ✶❡ ♠ ❥ ✶❢

✐ ❥

❥

❤✐

♠ ❥ ✶❡

❢❥

❦ ✐ ✶❤

✐ ❥

✐

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❇❛t❝❤ ❆♣♣❧✐❝❛t✐♦♥s ❈♦♥❝❧✉s✐♦♥ ❙♠❛❧❧ ❊①♣ ❋♦r ❛ ❢❡✇ ♣❛✐r✐♥❣s ❧❡ss ❖✉r ❘❡s✉❧t ✶ ▼♦✈❡ t❤❡ ❡①♣♦♥❡♥t ✐♥t♦ t❤❡ ♣❛✐r✐♥❣✿

❡(❢✐, ❤✐)δ✐ → ❡(❢ δ✐

✐ , ❤✐)

✷ ▼♦✈❡ t❤❡ ♣r♦❞✉❝t ✐♥t♦ t❤❡ ♣❛✐r✐♥❣✿

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❥=✶❡(❢ δ❥ ❥ , ❤✐) → ❡

♠

❥=✶❢ δ❥ ❥ , ❤✐

• ✸ ❙✇✐t❝❤ t✇♦ ♣r♦❞✉❝ts✿

❦

✐=✶❡

♠

❥=✶❢ δ✐,❥ ❥

, ❤✐

• ↔ ♠

❥=✶❡

• ❢❥, ❦

✐=✶❤δ✐,❥ ✐

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                       

♥

• ✐=✶

❡(❞✐,✶, ❞

γ✐,❦ ❦,✶ )✷ ♥

• ✐=✶

❡(❞✐,✶, ❞

γ✐,❦ ❦,✷ ) ♥

• ✐=✶

❡(A✐, ❞✐,✶)❡(❞✐,✶, ❞

γ✐,❦ ❦,✸ )

·❡(❞✐,✷, ❞

γ✐,❦ ❦,✶ )

·❡(❞✐,✸, ❞

γ✐,❦ ❦,✶ ) ♥

• ✐=✶

❡(❞✐,✷, ❞

γ✐,❦ ❦,✶ ) ♥

• ✐=✶

❡(❞✐,✷, ❞

γ✐,❦ ❦,✷ )✷ ♥

• ✐=✶

❡(A✐, ❞✐,✷)❡(❞✐,✷, ❞

γ✐,❦ ❦,✸ )

·❡(❞✐,✶, ❞

γ✐,❦ ❦,✷ )

·❡(❞✐,✸, ❞

γ✐,❦ ❦,✷ ) ♥

• ✐=✶

❡(A✐, ❞✐,✶)

♥

• ✐=✶

❡(A✐, ❞✐,✷)

♥

• ✐=✶

❡(A✐, ❞✐,✸)✷ ·❡(❞✐,✸, ❞

γ✐,❦ ❦,✶ )

·❡(❞✐,✸, ❞

γ✐,❦ ❦,✷ )

·❡(❞✐,✸, ❞

γ✐,❦ ❦,✸ )✷

·❡(❞✐,✶, ❞

γ✐,❦ ❦,✸ )

·❡(❞✐,✷, ❞

γ✐,❦ ❦,✸ )

                       

✶✺ ✴ ✷✷

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• ❙

❇❛t❝❤ ❆♣♣❧✐❝❛t✐♦♥s ❈♦♥❝❧✉s✐♦♥ ❙♠❛❧❧ ❊①♣ ❋♦r ❛ ❢❡✇ ♣❛✐r✐♥❣s ❧❡ss ❖✉r ❘❡s✉❧t

♥

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• ❞✐,✶, A

r✶,✸+r✸,✶ ✐

❞

γ✐,❦✷·r✶,✶ ❦,✶

❞

γ✐,❦(r✶,✷+r✷,✶) ❦,✷

❞

γ✐,❦(r✶,✸+r✸,✶) ❦,✸

• ·

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• ❞✐,✷, A

r✷,✸+r✸,✷ ✐

❞

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❞

γ✐,❦✷·r✷,✷ ❦,✷

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• ·

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• ❞✐,✸, A

✷·r✸,✸ ✐

❞

γ✐,❦(r✶,✸+r✸,✶) ❦,✶

❞

γ✐,❦(r✷,✸+r✸,✷) ❦,✷

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γ✐,❦✷·r✸,✸ ❦,✸

• ✶✺ ✴ ✷✷

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• ❙

❇❛t❝❤ ❆♣♣❧✐❝❛t✐♦♥s ❈♦♥❝❧✉s✐♦♥ ❙♠❛❧❧ ❊①♣ ❋♦r ❛ ❢❡✇ ♣❛✐r✐♥❣s ❧❡ss ❖✉r ❘❡s✉❧t

◆❛✐✈❡ ❇❛t❝❤ ❙❳❉❍ P❛✐r✐♥❣✲♣r♦❞✉❝t ✺♠ + ✸♥ + ✶✻ ♠ + ✷♥ + ✽

▼✉❧t✐✲s❝❛❧❛r ✐♥ G✶

✽♠ + ✷♥ + ✶✹ ♠✐♥(✷♥ + ✾, ✷♠ + ♥ + ✼)

▼✉❧t✐✲s❝❛❧❛r ✐♥ G✷

✽♥ + ✷♠ + ✶✹ ♠✐♥(✷♠ + ✾, ✷♥ + ♠ + ✼) ◗✉❛❞r❛t✐❝ ✽♠ + ✽♥ + ✶✷ ✷ ♠✐♥(♠, ♥) + ✽ ❉▲■◆ P❛✐r✐♥❣✲♣r♦❞✉❝t ✶✷♥ + ✷✼ ✸♥ + ✻

▼✉❧t✐✲s❝❛❧❛r

✾♥ + ✶✷♠ + ✷✼ ✸♥ + ✸♠ + ✻ ◗✉❛❞r❛t✐❝ ✶✽♥ + ✷✹ ✸♥ + ✻

✶✻ ✴ ✷✷

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• r♦t❤ ●r♦✉♣ ❙✐❣♥❛t✉r❡

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✶

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥

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• r♦t❤ ❙❛❤❛✐ Pr♦♦❢ ❙②st❡♠

✸

❇❛t❝❤✐♥❣ ❚❡❝❤♥✐q✉❡

✹

❆♣♣❧✐❝❛t✐♦♥s

• r♦t❤ ●r♦✉♣ ❙✐❣♥❛t✉r❡

❇❈❑▲ P✲❙✐❣♥❛t✉r❡

✶✼ ✴ ✷✷

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• r♦t❤ ●r♦✉♣ ❙✐❣♥❛t✉r❡

❇❈❑▲ P✲❙✐❣♥❛t✉r❡

♣❦ = (❢ , ❤, ❚) ∈ G✷ × G❚ ✭♠s❦✿③ ∈ G s✉❝❤ t❤❛t ❡(❢ , ③) = ❚✮ ❈✐ ❛ ❜ s❛t✐s❢②✐♥❣ ❡ ❛ ✈❤ ❡ ❢ ❜ ❚✱ ✇❤❡r❡ ♣❦✐ ✈ ❣①✐ s❦✐ ①✐ ❚♦ s✐❣♥ ♠

♣✱ ❝♦♠♣✉t❡s

❣✶

①✐ ♠ ❀ ❛♥❞ ❢♦r♠s ●❙

❝♦♠♠✐t♠❡♥ts ❞✈✱ ❞❜ ❛♥❞ ❞ ✱ ▼❛❦❡ ❛ ♣r♦♦❢ t❤❛t t❤❡ ❛ss♦❝✐❛t❡❞ ♣❧❛✐♥t❡①ts s❛t✐s❢② t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣✿ ❡ ❛ ✈❤ ❡ ❢ ❜ ❚ ❛♥❞ ❡ ❣♠✈ ❡ ❣ ❣

✶✽ ✴ ✷✷

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❇❛t❝❤ ❆♣♣❧✐❝❛t✐♦♥s ❈♦♥❝❧✉s✐♦♥

• r♦t❤ ●r♦✉♣ ❙✐❣♥❛t✉r❡

❇❈❑▲ P✲❙✐❣♥❛t✉r❡

♣❦ = (❢ , ❤, ❚) ∈ G✷ × G❚ ✭♠s❦✿③ ∈ G s✉❝❤ t❤❛t ❡(❢ , ③) = ❚✮ ❈✐ = (❛, ❜) s❛t✐s❢②✐♥❣ ❡(❛, ✈❤) ❡(❢ , ❜) = ❚✱ ✇❤❡r❡ ♣❦✐ = ✈ = ❣①✐ ∈ G, s❦✐ = ①✐ ❚♦ s✐❣♥ ♠

♣✱ ❝♦♠♣✉t❡s

❣✶

①✐ ♠ ❀ ❛♥❞ ❢♦r♠s ●❙

❝♦♠♠✐t♠❡♥ts ❞✈✱ ❞❜ ❛♥❞ ❞ ✱ ▼❛❦❡ ❛ ♣r♦♦❢ t❤❛t t❤❡ ❛ss♦❝✐❛t❡❞ ♣❧❛✐♥t❡①ts s❛t✐s❢② t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣✿ ❡ ❛ ✈❤ ❡ ❢ ❜ ❚ ❛♥❞ ❡ ❣♠✈ ❡ ❣ ❣

✶✽ ✴ ✷✷

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