Stochas&c efficiencies G. Verley, M. Esposito, T. - - PowerPoint PPT Presentation

• G. ¡Verley, ¡M. ¡Esposito, ¡T. ¡Willaert ¡and ¡C. ¡Van ¡den ¡Broeck ¡

The ¡unlikely ¡Carnot ¡efficiency ¡ ¡ Nature ¡Communica?ons ¡DOI: ¡10.1038/ncomms5721 ¡ (2014) ¡ ¡

• G. ¡Verley, ¡M. ¡Esposito, ¡T. ¡Willaert ¡and ¡C. ¡Van ¡den ¡Broeck ¡

Universal ¡theory ¡of ¡efficiency ¡fluctua?ons ¡

• Phys. ¡Rev. ¡E ¡90, ¡052145 ¡(2014). ¡ ¡

¡

• K. ¡Proesmans, ¡B. ¡Cleuren ¡and ¡C. ¡Van ¡den ¡Broeck ¡

Stochas?c ¡efficiency ¡for ¡effusion ¡as ¡a ¡thermal ¡engine ¡ EPL ¡109, ¡20004 ¡(2015). ¡ ¡ ¡

• K. ¡Proesmans ¡and ¡C. ¡Van ¡den ¡Broeck ¡

Stochas?c ¡efficiency: ¡five ¡case ¡studies ¡ NJP ¡17, ¡065004 ¡(2015). ¡ ¡ ¡

¡ . ¡ ¡ ¡ chris&an.vandenbroeck@uhasselt.be ¡

Stochas&c ¡efficiencies ¡

• T. ¡R. ¡Gingrich, ¡G. ¡M. ¡Rotskoff, ¡S. ¡Vaikuntanathan, ¡and ¡P. ¡L. ¡

Geissler, ¡New ¡Journal ¡of ¡Physics ¡16, ¡102003 ¡(2014). ¡ ¡

• S. ¡Rana, ¡P. ¡Pal, ¡A. ¡Saha, ¡and ¡A. ¡Jayannavar, ¡ ¡

Physical ¡Review ¡E ¡90, ¡042146 ¡(2014). ¡ ¡

• M. ¡Pole`ni, ¡G. ¡Verley, ¡and ¡M. ¡Esposito, ¡ ¡

Physical ¡Review ¡Leaers ¡114, ¡050601 ¡(2015). ¡ ¡

• M. ¡Esposito, ¡M. ¡A. ¡Ochoa, ¡and ¡M. ¡Galperin, ¡ ¡

Physical ¡Review ¡B ¡91, ¡115417 ¡(2015). ¡ ¡ J.-­‑H. ¡Jiang, ¡B. ¡K. ¡Agarwalla, ¡and ¡D. ¡Segal, ¡ ¡ ¡arXiv:1503.04310 ¡(2015). ¡ ¡

• S. ¡Rana, ¡P. ¡Pal, ¡A. ¡Saha, ¡and ¡A. ¡Jayannavar, ¡

¡arXiv:1503.02559 ¡(2015). ¡

Yukawa ¡Interna?onal ¡Seminar ¡2015 ¡

¡ Ioco-­‑serium ¡naturae ¡et ¡ar/s, ¡sive ¡magiae ¡naturalis ¡centuriae ¡tres ¡(1666) ¡

Perpetuum ¡Mobile ¡ ¡ (mechanical ¡magne?c ¡chemical) ¡

¡PROPOSITIO ¡XXXII. ¡ ¡ Mobile ¡perpetuum ¡Alchymis?cum ¡ ¡ ACcipe ¡amalgama?s ¡(aeris) ¡drachmas ¡v. ¡aut ¡vi. ¡& ¡amal-­‑ ¡ gama?s ¡(stanni) ¡tantundem. ¡Tereomnia ¡cum ¡(Mer-­‑ ¡ curij) ¡sublima? ¡drachmis ¡x. ¡aut ¡xii. ¡& ¡pone ¡supra ¡marmor ¡in ¡

• cella. ¡Intra ¡spa?um ¡quatuor ¡horarum ¡fiet ¡instar ¡olei ¡oliva-­‑ ¡
• rum. ¡Hoc ¡dis?lla, ¡& ¡in ¡fine ¡daignem ¡for?ssimum: ¡tunc ¡sub-­‑ ¡

limatur ¡substan?a ¡sicca. ¡Aqua ¡dis?llata ¡vicissim ¡reaffunda-­‑ ¡ tur ¡in ¡terrae ¡in ¡fundo ¡alembici ¡residuae: ¡& ¡solve ¡quod ¡solvi ¡ potest; ¡ solutum ¡filtra, ¡deinde ¡dis?lla: ¡& ¡apparebunt ¡Subliffimi ¡atomi; ¡ qui ¡in ¡vitro ¡benè ¡clauso ¡in ¡sicco ¡asserventur: ¡Et ¡ecce ¡mirabilia ¡

• videbis. ¡

¡ Ex ¡Secre?s ¡Kircherianis, ¡uiappellatur ¡mobile ¡perpetuum. ¡ quod ¡hactenus ¡neque ¡per ¡aquam, ¡neque ¡perignem, ¡aut ¡instru-­‑ ¡ menta ¡invenieri ¡potuit. ¡Habeture?am ¡apud ¡Schvventerum ¡in ¡ delicijs ¡par. ¡16. ¡quaest. ¡3. ¡ut ¡tradidimus ¡Mechanica ¡ Hydro-­‑pneuma?ca ¡par. ¡2. ¡Classe ¡2. ¡ Machina ¡14. ¡

Villard ¡de ¡Honnecourt ¡ ¡ (about ¡1230) ¡ Pierre ¡de ¡Maricourt ¡ (about ¡1270) ¡ ¡

hap://www.lhup.edu/~dsimanek/museum/people/people.htm ¡

transmuta?on ¡ elements ¡ elixir ¡ ¡

• f ¡life ¡

η = output work W input heat Qh ≤ ηc =1 − Tc Th

Réflexions ¡sur ¡la ¡puissance ¡motrice ¡ du ¡feu ¡et ¡sur ¡les ¡machines ¡propres ¡a ¡ developer ¡ceae ¡puissance. ¡

Th ¡ Tc ¡

Qh ¡ Qc ¡ W ¡

1st law W = Qh − Qc − ΔE 2nd law ΔStot = −Qh Th + Qc Tc + ΔS ≥ 0 η = W Qh =

1st

1− Qc Qh ≤

2nd

ηC =1− Tc Th

engine ¡

Ueber ¡die ¡bewegende ¡Krap ¡der ¡Wärme ¡ ¡und ¡die ¡Gesetze, ¡welche ¡sich ¡daraus ¡ ¡für ¡die ¡Wärme ¡selbst ¡ableiten ¡lassen ¡

dQ T

qs

∫

= 0 ΔS = dQ T

qs

∫

ΔStot ≥ 0

Efficiency: ¡heat ¡to ¡work ¡

SMALL ¡ ¡ SCALE ¡ ENGINES? ¡

Szilard ¡engine ¡1 ¡bit=kTln2 ¡ Maxwell ¡demon ¡

Thomas ¡Graham ¡ Flux ¡ ¡1/ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡enrichment ¡ ¡ Energy ¡2kBT ¡ ¡cooling ¡ ¡ Cosine ¡law ¡ ¡ ¡deposi&on ¡ M Mar?n ¡Knudsen ¡ as a thermal engine Tc ¡ ¡ ¡nc Th ¡ ¡ ¡nh ¡ ¡

!

EFFUSION

• 20
• 15
• 10
• 5

5

µh/kBTh

• 20
• 15
• 10
• 5

5

µc/kBTh

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8

ΔN, ΔE

efficiency η η = W Qh = (µc −µh) ΔN Δe −µh ΔN ≤1− Tc Th =ηC

ΔE = Q +W W = µ ΔN

ηc =.8

EFFUSION as a thermal engine reaching Carnot efficiency?

Tc ¡ ¡ ¡nc Th ¡ ¡ ¡nh ¡ ¡

reversible operation: filter specific speed v particle density with speed v same left and right nc Tc

3/2 exp( − mv 2

2kTc )= nh Th

3/2 exp( − mv 2

2kTh )

µ = kT lnn h2 / 2πmkT

3

ΔN, ΔE

ΔE = ΔN mv2 2

η = W Qh = (µc −µh) ΔN Δe −µh ΔN = µc −µh mv2 / 2 −µh =ηC =1− Tc Th

e

−βc ( mv2 2 −µc ) = e −βh ( mv2 2 −µh ) µc −µh =ηc(mv2

2 −µh)

Brownian ¡par&cle ¡ ¡F1 ¡(load) ¡ ¡F2 ¡(driving)

efficiency η = Wload Wdriving = wload wdriving = − ! x . ! F

1

! x . ! F

2

= −( ! F

1 +

! F

2).

! F

1

( ! F

1 +

! F

2).

! F

2

≤1

load ¡ driving ¡

! x

! x = t( ! F

1 +

! F

2)

γ

F1 ¡ F2 ¡ ¡

reversible operation ! F

1 → −

! F

2

η =1=ηrev

Efficiency: ¡Work ¡to ¡Work ¡Engine ¡

Th ¡

Wload ¡ Q ¡ engine ¡

1st law Wload = Wdriving −Q − ΔE 2nd law ΔStot = Q T + ΔS ≥ 0 η = Wload Wdriving =

1st

1− Q Wdriving ≤

2nd

ηrev =1

Wdriving ¡ T ¡

1

F2,y F2,x

Stochas2c ¡efficiency ¡of ¡small ¡engines? η = W Qh = w qh versus η = w qh

Th ¡ Tc ¡

qh ¡ qc ¡ w ¡

1st law w = qh − qc − Δe 2nd law Δstot = −qh Th + qc Tc + Δs Δstot ≥ 0

engine ¡

η = w qh =

1st law

1− qc qh =

2nd law

ηC − TcΔstot qh

P

t(Δstot)

P

t(w,qh)

P

t(η)

Δstot = 0→ η =ηC

Heat ¡to ¡work: ¡ effusion ¡engine ¡

Tl ¡ ¡ ¡nl Tr ¡ ¡ ¡nr ¡ ¡ J(η) ¡

0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

• 2
• 1.5
• 1
• 0.5

0.5 1 1.5 2

η

J(η)/J(∞) Exact Gaussian 5 10 15 20 25

• 0.8
• 0.4

0.4

J(ηc)/J(∞) µc

(a)

Pt(η) ¡

(a)

1e-05 0.0001 0.001 0.01 0.1 1 10

• 3
• 2
• 1

1 2 3

P(η) η

t/t0 5 10 20

• 0.2

0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4

• 3
• 2
• 1

1 2 3

η

• 0.5

0.5 1 1.5 2 2.5

• 3 -2 -1 0 1 2 3

η

(b)

• 20
• 15
• 10
• 5

5

µh/kTh

• 20
• 15
• 10
• 5

5

µc/kTh

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8

η c ¡ = ¡0.8. ¡

η = w qh = (µc −µh) Δn Δe−µhΔn kinetic theory → P

t(Δn,Δe)→ P t(η)

P

t(η) ∝e−tJ(η)

large deviation function J(η) = −lim

t→∞

lnP

t(η)

t

Δn, Δe

ηc ¡= ¡.8 ¡

η η ≈.4

ηc=.8 ¡

load ¡ driving ¡

! x

Work ¡to ¡work: ¡ ¡ Brownian ¡par&cle ¡ F1 ¡(load) ¡ ¡ ¡ ¡F2 ¡(driving)

! x : Brownian motion in force field ! F= ! F

1 +

! F

2

! x bi-Gaussian ! x = ! F γ t δ! x . δ! x = 2Dt ! ! 1

η = − ! F

1 . !

x ! F

2 . !

x ratio of correlated Gaussians

P

t(η) ∝e−tJ(η)

η ≈.3

Pt(⌘) =

• ~

F1 ⇥ ~ F2

• e t

t0

⇡(~ F1 + ⌘ ~ F2)2 ⇣ 1 + p ⇡g(⌘)Erf hp g(⌘) i eg(η)⌘

g(⌘) = t t0 (1 ⌘)2 ⇣ ~ F1 ⇥ ~ F2 ⌘2 ~ F 2 ⇣ ~ F1 + ⌘ ~ F2 ⌘2 ,

J(⌘) = lim

t!1

1 t ln Pt(⌘) = µ2 4D h ( ~ F1 + ⌘ ~ F2) · ( ~ F1 + ~ F2) i2 ( ~ F1 + ⌘ ~ F2)2 .

• n has a minimum at the macroscop

ηrev =1

ηrev =1

η

− ln P

t (η)

t

Th ¡ Tc ¡

qh ¡ qc ¡ w ¡

1st law w = qh − qc − Δe 2nd law Δstot = −qh Th + qc Tc + Δs P(qh,w) P(−qh,−w) ∝eΔstot

?me ¡ symmetric ¡ engine ¡

I( ! qh, ! w) −I(− ! qh,− ! w) = −Δstot / t

P(qh,w)∝e−tI( !

qh, ! w)

J(η)= min

! qh, ! w η= ! w/ ! qh I( !

qh, ! w) = min

! qh I( !

qh,η ! qh) ≤ I(0,0)

&me ¡symmetric ¡ ¡ engine ¡

Stochas&c ¡thermodynamics ¡

Δstot = 0 → η = w / qh =ηc I( ! qh, ! w) symmetric → J(ηC) = min I( ! qh,ηc ! qh) = I(0,0) ≥ J(η)

P

t(η) ∝e−tJ(η)

η = w / qh = ! w / ! qh J(η)= min

! qh, ! w η= ! w/ ! qh I( !

qh, ! w)

The ¡Carnot ¡efficiency ¡is ¡the ¡least ¡likely ¡to ¡be ¡observed ¡in ¡the ¡long ¡&me ¡limit! ¡

P

t(η) ∝e−tJ(η)

J(η) ¡

η ¡

ηC

J(ηC) J(∞)

η

J(η) ¡ universal ¡shape ¡ close ¡to ¡equilibrium ¡ universal ¡scaling ¡form ¡

featuring ¡Onsager ¡coefficients ¡L11 ¡ ¡L22 ¡ ¡L12=L21 ¡

J(η) ¡unusual ¡ ¡ large ¡devia&on ¡func&on ¡ P(η)∝ P(w,0) | w | dw

∫

η2

Pt(η) = Z ∞

−∞

Z ∞

−∞

Pt(w, q)δ(η − w q )dwdq = Z ∞

−∞

Pt(w, w η )

• w

η2

• dw,

JðZÞ JðZCÞ ¼ ðZ ZÞ2 ðZ 2Z þ ZCÞðZ ZCÞ þ JðZCÞ

Jð1Þ ðZ ZCÞ2 :

Cqq ¼ 8JðZCÞ2T2

c

ð Z ZCÞ2Jð1Þ ; Cwq ¼ 8JðZCÞT2

c

Jð1Þ Z Jð1ÞZC þ ZCJðZCÞ Jð1Þð Z2 2 ZZC þ Z2

CÞ

; Cww ¼ 8JðZCÞT2

c

Jð1Þ Z2 þ Z2

CJðZCÞ Jð1ÞZ2 C

Jð1Þð Z2 2 ZZC þ Z2

CÞ

: 1 det C Cqq Cwq Cwq Cww

• _

W _ Q

• ¼

1=2Tc ZC=ð2TcÞ

• _

_ A B C D

! w

! q

&me ¡asymmetric ¡ ¡ engine ¡

J and ! J cross in ηc same asymptotes same maximum

1st law w = qh − qc − Δe 2nd law Δstot = −qh Th + qc Tc + Δs P(qh,w) ! P(−qh,−w) ∝eΔstot

P

t(η) ∝e−tJ(η) !

P

t(η) ∝e−t! J(η)

u Th Th l L Tc Tc u Tc Th

0.5 1.0 1.5 2.0

• 5
• 4
• 3
• 2
• 1

1 2 3 4 5 η J(η) n = 5 n = 10 n = 20 extrapolation n = 5 inverse n = 10 inverse n = 20 inverse extrapolation inverse 0.003 0.004 0.005 10 20 30 40 50 n η∗ − ηC

Figure 6: −(1/n) ln Pn(η) for 5 (blue), 10 (red) and 20 (green) cycles of the heat engine and its time-inverse, with Th = 2Tc (i.e. ηC = 1/2), u = 0.3 and x = 0.5. The purple curve is the extrapolation to the LDF. The macroscopic efficiency is given by ¯ η = −0.02 Inset: convergence of the intersections efficiency η∗ of forward and time-reverse curves to ηC as the number n of cycles increases. The dashed line is a power law fit of the form α/nβ, with α = 5.49 · 10−3 and β = 0.13

Single ¡par&cle ¡ ¡ Carnot ¡engine ¡

− ln P

t (η)

t

• 0.1

0.1 0.2 0.3 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 η J(η) 1 2 1 2 P10(η) η n = 10 n = 20 n = 50 extrapolation n = 10 inverse n = 20 inverse n = 50 inverse extrapolation inverse

Figure 5: −(1/n) ln Pn(η) for 10 (blue), 20 (red) and 50 (green) cycles of the Szilard engine and its time-inverse, with u = 0.1 and x = 0.7. The purple curve is the extrapolation to the LDF. The macroscopic efficiency is ¯ η = 0.80. The inset shows P10(η).

T T b) u u l L

Informa&on ¡to ¡work ¡ Szilard ¡engine ¡

η = w kBT ∆i.

Δi = −ln l L Δi = −ln L −l L

biomolecules ¡ polymers ¡ Brownian ¡ par?cles ¡ gas ¡(molecular ¡dynamics) ¡ electric ¡network ¡ quantum ¡dot ¡ single ¡electron ¡box ¡ Stochas2c ¡work ¡w ¡and ¡heat ¡q ¡hence ¡stochas2c ¡efficiency ¡η=w/q ¡can ¡be ¡measured! ¡

−0.5 0.5 1 1.5 100 200 300 400 1 2 3 4

10

• 3

10

• 2

10

• 1

10 1 10

η/ηC Number of cycles

ρτ,10(η/ηC) η/ηC

• FIG. 3:

Efficiency fluctuations at maximum power. Contour plot of the probability density function of the ef- ficiency ρτ=40 ms,i(η) computed summing over i = 1 to 400 cycles (left axis). The long-term efficiency (averaged over τexp = 50 s) is shown with a vertical blue dashed line. Su- per Carnot efficiencies appear even far from quasistatic driv-

• ing. Inset: Tails of the distribution for ρτ=40 ms,10(η) (blue

squares, positive tail; red circles, negative tail). The green line is a fit to a power-law to all the data shown, whose ex- ponent is γ = (1.9 ± 0.3).

bimodality ¡ P(η)∼1/η ¡

Brownian Carnot engine

Ignacio A. Mart´ ınez?,1,2 ´ Edgar Rold´ an∗,1,3,4 Luis Dinis,5,4 Dmitri Petrov,1 J. M. R. Parrondo,5,4 and Ra´ ul A. Rica†1

1

J(η) ¡ η ¡

η J(∞)

J(ηrev)

ηrev

stochas2c ¡efficiency ¡ first ¡+ ¡second ¡law ¡

¡ ¡ 2me ¡symmetric ¡engine: ¡ reversible ¡efficiency ¡is ¡least ¡likely ¡ universal ¡scaling ¡form ¡near ¡equilibrium ¡ ¡ 2me ¡asymmetric ¡engine: ¡ crossing ¡at ¡reversible ¡efficiency ¡ ¡maxima ¡equally ¡unlikely, ¡same ¡asymptotes ¡ ¡ absolute ¡temperature ¡measurement ¡ ¡ in ¡nonequilibrium ¡experiment ¡ ¡

P(Δstot) ! P(−Δstot) ∝eΔstot /kB

e−Δstot /kB =1

P(η) ∝ e−tJ(η )