st t r r - - PowerPoint PPT Presentation

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i=✵ pi(u✶, u✷)t✷i✳ ✶ ❋♦r ❛♥② ✜①❡❞ ✶ ✷ t❤❡ r♦♦ts ♦❢ ✶ ✷

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✳

✷ ❋♦r ✜①❡❞ ✱ t❤❡ ❧❡✈❡❧ s❡ts ❛r❡ ❞❡✜♥❡❞ ❜② ✶ ✷

✵✳ ❉❡✜♥✐t✐♦♥ ✭❉r❛✐s♠❛✲❍♦r♦❜❡➭✲❖✲❙t✉r♠❢❡❧s✲❚❤♦♠❛s✱ ❖✲❙♦❞♦♠❛❝♦✮ ❲❡ ❝❛❧❧ ❊❉♣♦❧②

✷

t❤❡ ♣♦❧②♥♦♠✐❛❧ ✇✐t❤ t❤❡ ❛❜♦✈❡ ♣r♦♣❡rt✐❡s ❝♦rr❡s♣♦♥❞✐♥❣ t♦ ❛ ✈❛r✐❡t② ✳ ■ts ❞❡❣r❡❡ ✐s ❞❡♥♦t❡❞ ❊❉❞❡❣r❡❡ ❛♥❞ ✐t ❝♦✉♥ts t❤❡ ♥✉♠❜❡r ♦❢ ❝r✐t✐❝❛❧ ♣♦✐♥ts ♦❢ t❤❡ ❞✐st❛♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ t♦ ❢r♦♠ ❛ ❣❡♥❡r❛❧ ✳

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❚❤❡ ❞✐st❛♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ ❢r♦♠ ❛♥ ❛❧❣❡❜r❛✐❝ ✈❛r✐❡t②✳ ✼ ✴ ✷✾

❚❤❡ ❞✐st❛♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ ✐s ❛♥ ❛❧❣❡❜r❛✐❝ ❢✉♥❝t✐♦♥

❚❤❡ ❜❡st ✇❛② t♦ ❞❡s❝r✐❜❡ t❤❡ ❞✐st❛♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ ✐s ❛s ❛♥ ❛❧❣❡❜r❛✐❝ ❢✉♥❝t✐♦♥ ✭✏❛ ❢✉♥❝t✐♦♥ ✇✐t❤ ♠✉❧t✐♣❧❡ ✈❛❧✉❡s✑✮✳ ■♥ t❤❡ ❝❛s❡ ♦❢ t❤❡ ❡❧❧✐♣s❡ E ✇❡ ❣❡t P(u✶, u✷, t) = ✹

i=✵ pi(u✶, u✷)t✷i✳ ✶ ❋♦r ❛♥② ✜①❡❞ (u✶, u✷) t❤❡ r♦♦ts ♦❢ P(u✶, u✷, t) = ✵ ❛r❡ t❤❡

s✐❣♥❡❞ ❞✐st❛♥❝❡s ❢r♦♠ (u✶, u✷) t♦ t❤❡ ❝r✐t✐❝❛❧ ♣♦✐♥ts✳ ❚❤❡ s♠❛❧❧❡st ♣♦s✐t✐✈❡ r❡❛❧ r♦♦t ✐s t❤❡ ❞✐st❛♥❝❡ ❢r♦♠ (u✶, u✷) t♦ E✳

✷ ❋♦r ✜①❡❞ ✱ t❤❡ ❧❡✈❡❧ s❡ts ❛r❡ ❞❡✜♥❡❞ ❜② ✶ ✷

✵✳ ❉❡✜♥✐t✐♦♥ ✭❉r❛✐s♠❛✲❍♦r♦❜❡➭✲❖✲❙t✉r♠❢❡❧s✲❚❤♦♠❛s✱ ❖✲❙♦❞♦♠❛❝♦✮ ❲❡ ❝❛❧❧ ❊❉♣♦❧②

✷

t❤❡ ♣♦❧②♥♦♠✐❛❧ ✇✐t❤ t❤❡ ❛❜♦✈❡ ♣r♦♣❡rt✐❡s ❝♦rr❡s♣♦♥❞✐♥❣ t♦ ❛ ✈❛r✐❡t② ✳ ■ts ❞❡❣r❡❡ ✐s ❞❡♥♦t❡❞ ❊❉❞❡❣r❡❡ ❛♥❞ ✐t ❝♦✉♥ts t❤❡ ♥✉♠❜❡r ♦❢ ❝r✐t✐❝❛❧ ♣♦✐♥ts ♦❢ t❤❡ ❞✐st❛♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ t♦ ❢r♦♠ ❛ ❣❡♥❡r❛❧ ✳

• ✐♦r❣✐♦ ❖tt❛✈✐❛♥✐

❚❤❡ ❞✐st❛♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ ❢r♦♠ ❛♥ ❛❧❣❡❜r❛✐❝ ✈❛r✐❡t②✳ ✼ ✴ ✷✾

❚❤❡ ❞✐st❛♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ ✐s ❛♥ ❛❧❣❡❜r❛✐❝ ❢✉♥❝t✐♦♥

❚❤❡ ❜❡st ✇❛② t♦ ❞❡s❝r✐❜❡ t❤❡ ❞✐st❛♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ ✐s ❛s ❛♥ ❛❧❣❡❜r❛✐❝ ❢✉♥❝t✐♦♥ ✭✏❛ ❢✉♥❝t✐♦♥ ✇✐t❤ ♠✉❧t✐♣❧❡ ✈❛❧✉❡s✑✮✳ ■♥ t❤❡ ❝❛s❡ ♦❢ t❤❡ ❡❧❧✐♣s❡ E ✇❡ ❣❡t P(u✶, u✷, t) = ✹

i=✵ pi(u✶, u✷)t✷i✳ ✶ ❋♦r ❛♥② ✜①❡❞ (u✶, u✷) t❤❡ r♦♦ts ♦❢ P(u✶, u✷, t) = ✵ ❛r❡ t❤❡

s✐❣♥❡❞ ❞✐st❛♥❝❡s ❢r♦♠ (u✶, u✷) t♦ t❤❡ ❝r✐t✐❝❛❧ ♣♦✐♥ts✳ ❚❤❡ s♠❛❧❧❡st ♣♦s✐t✐✈❡ r❡❛❧ r♦♦t ✐s t❤❡ ❞✐st❛♥❝❡ ❢r♦♠ (u✶, u✷) t♦ E✳

✷ ❋♦r ✜①❡❞ t✱ t❤❡ ❧❡✈❡❧ s❡ts ❛r❡ ❞❡✜♥❡❞ ❜② P(u✶, u✷, t) = ✵✳

❉❡✜♥✐t✐♦♥ ✭❉r❛✐s♠❛✲❍♦r♦❜❡➭✲❖✲❙t✉r♠❢❡❧s✲❚❤♦♠❛s✱ ❖✲❙♦❞♦♠❛❝♦✮ ❲❡ ❝❛❧❧ ❊❉♣♦❧②

✷

t❤❡ ♣♦❧②♥♦♠✐❛❧ ✇✐t❤ t❤❡ ❛❜♦✈❡ ♣r♦♣❡rt✐❡s ❝♦rr❡s♣♦♥❞✐♥❣ t♦ ❛ ✈❛r✐❡t② ✳ ■ts ❞❡❣r❡❡ ✐s ❞❡♥♦t❡❞ ❊❉❞❡❣r❡❡ ❛♥❞ ✐t ❝♦✉♥ts t❤❡ ♥✉♠❜❡r ♦❢ ❝r✐t✐❝❛❧ ♣♦✐♥ts ♦❢ t❤❡ ❞✐st❛♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ t♦ ❢r♦♠ ❛ ❣❡♥❡r❛❧ ✳

• ✐♦r❣✐♦ ❖tt❛✈✐❛♥✐

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❚❤❡ ❞✐st❛♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ ✐s ❛♥ ❛❧❣❡❜r❛✐❝ ❢✉♥❝t✐♦♥

❚❤❡ ❜❡st ✇❛② t♦ ❞❡s❝r✐❜❡ t❤❡ ❞✐st❛♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ ✐s ❛s ❛♥ ❛❧❣❡❜r❛✐❝ ❢✉♥❝t✐♦♥ ✭✏❛ ❢✉♥❝t✐♦♥ ✇✐t❤ ♠✉❧t✐♣❧❡ ✈❛❧✉❡s✑✮✳ ■♥ t❤❡ ❝❛s❡ ♦❢ t❤❡ ❡❧❧✐♣s❡ E ✇❡ ❣❡t P(u✶, u✷, t) = ✹

i=✵ pi(u✶, u✷)t✷i✳ ✶ ❋♦r ❛♥② ✜①❡❞ (u✶, u✷) t❤❡ r♦♦ts ♦❢ P(u✶, u✷, t) = ✵ ❛r❡ t❤❡

s✐❣♥❡❞ ❞✐st❛♥❝❡s ❢r♦♠ (u✶, u✷) t♦ t❤❡ ❝r✐t✐❝❛❧ ♣♦✐♥ts✳ ❚❤❡ s♠❛❧❧❡st ♣♦s✐t✐✈❡ r❡❛❧ r♦♦t ✐s t❤❡ ❞✐st❛♥❝❡ ❢r♦♠ (u✶, u✷) t♦ E✳

✷ ❋♦r ✜①❡❞ t✱ t❤❡ ❧❡✈❡❧ s❡ts ❛r❡ ❞❡✜♥❡❞ ❜② P(u✶, u✷, t) = ✵✳

❉❡✜♥✐t✐♦♥ ✭❉r❛✐s♠❛✲❍♦r♦❜❡➭✲❖✲❙t✉r♠❢❡❧s✲❚❤♦♠❛s✱ ❖✲❙♦❞♦♠❛❝♦✮ ❲❡ ❝❛❧❧ ❊❉♣♦❧②X,u(t✷) = P(u, t) t❤❡ ♣♦❧②♥♦♠✐❛❧ ✇✐t❤ t❤❡ ❛❜♦✈❡ ♣r♦♣❡rt✐❡s ❝♦rr❡s♣♦♥❞✐♥❣ t♦ ❛ ✈❛r✐❡t② X✳ ■ts ❞❡❣r❡❡ ✐s ❞❡♥♦t❡❞ ❊❉❞❡❣r❡❡(X) ❛♥❞ ✐t ❝♦✉♥ts t❤❡ ♥✉♠❜❡r ♦❢ ❝r✐t✐❝❛❧ ♣♦✐♥ts ♦❢ t❤❡ ❞✐st❛♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ t♦ X ❢r♦♠ ❛ ❣❡♥❡r❛❧ u ∈ Rn✳

• ✐♦r❣✐♦ ❖tt❛✈✐❛♥✐

❚❤❡ ❞✐st❛♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ ❢r♦♠ ❛♥ ❛❧❣❡❜r❛✐❝ ✈❛r✐❡t②✳ ✼ ✴ ✷✾

❙t❡♣s t♦ ❝♦♠♣✉t❡ t❤❡ ❊❉ ♣♦❧②♥♦♠✐❛❧ ✇✐t❤ ❛ ❈♦♠♣✉t❡r ❆❧❣❡❜r❛ ❙②st❡♠ ❧✐❦❡ ▼❛❝❛✉❧❛②✷✱ ❙✐♥❣✉❧❛r✱ ❈♦❈♦❆✱ ❙❛❣❡✱. . .

▲❡t q(x) = n

i=✵ x✷ i ❜❡ t❤❡ ❊✉❝❧✐❞❡❛♥ q✉❛❞r❛t✐❝❛❧ ❢♦r♠✳ ✶ P✐❝❦ t❤❡ r✐♥❣ Q[u✵, . . . , un, x✵, . . . , xn, t] ✷ ■♥♣✉t ✐s t❤❡ ✐❞❡❛❧ IX ✇✐t❤ ❣❡♥❡r❛t♦rs f = (f✶, . . . , fm) ✸ ▲❡t c = ❝♦❞✐♠ X ✹ ❈♦♠♣✉t❡ IXsing s✐♥❣✉❧❛r ❧♦❝✉s✱ ❜② c✲♠✐♥♦rs ♦❢ Jac(f )✳ ✺ ❈♦♠♣✉t❡ t❤❡ ❝r✐t✐❝❛❧ ✐❞❡❛❧ ❛s

Iu :=

• IX + (c + ✶)✲♠✐♥♦rs ♦❢

u − x Jac(f )

• :
• IXsing

∞

✻ ❊❧✐♠✐♥❛t❡ x✵, . . . , xn ✐♥ Iu +

• t✷ − q(x − u)
• ✱ ❣❡t

❊❉♣♦❧②X,u(t✷)✳

• ✐♦r❣✐♦ ❖tt❛✈✐❛♥✐

❚❤❡ ❞✐st❛♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ ❢r♦♠ ❛♥ ❛❧❣❡❜r❛✐❝ ✈❛r✐❡t②✳ ✽ ✴ ✷✾

❖✛s❡t ❝✉r✈❡s ♦❢ ❛ ❝♦♥✐❝

❆rt❤✉r ❈❛②❧❡② ❈❛②❧❡② ❝♦♠♣✉t❡❞ ✐♥ ❳■❳ ❝❡♥t✉r② t❤❡ ❊❉♣♦❧②♥♦♠✐❛❧ ♦❢ ❝♦♥✐❝s✱ ❜② ✉s✐♥❣ ✐♥✈❛r✐❛♥t t❤❡♦r②✳ ❍✐s r❡s✉❧t ✐s ❚❤❡♦r❡♠ ✭❈❛②❧❡②✮ ❊❉❞❡❣r❡❡(E) = ✷ ⇐ ⇒ E ✐s ❛ ❝✐r❝❧❡✳ ❊❉❞❡❣r❡❡(E) = ✸ ⇐ ⇒ E ✐s ❛ ♣❛r❛❜♦❧❛✳ ❊❉❞❡❣r❡❡(E) = ✹ ❢♦r ❛❧❧ ♦t❤❡r s♠♦♦t❤ ❝♦♥✐❝s✳

• ✐♦r❣✐♦ ❖tt❛✈✐❛♥✐

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❈❛②❧❡② ❡✈❡♥ ❝♦♠♣✉t❡❞ t❤❡ ❞✐s❝r✐♠✐♥❛♥t ♦❢ ❊❉♣♦❧②✳

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L✸x✷y✷, ✇❤❡r❡ c✷ = a✷ − b✷✱ L ✐s t❤❡ ❡✈♦❧✉t❡ ✇✐t❤ ❡q✉❛t✐♦♥ t❤❡ ▲❛♠é s❡①t✐❝ L = (a✷x✷ + b✷y✷ − c✹)✸ + ✷✼a✷b✷c✹x✷y✷ ◆♦t❡ t❤❡ t✇♦ s②♠♠❡tr② ❛①✐s x✱ y ❛♣♣❡❛r ✐♥ t❤❡ ❞✐s❝r✐♠✐♥❛♥t✳ ❚❤✐s ✐s ❛♥♦t❤❡r ❣❡♥❡r❛❧ ♣❤❡♥♦♠❡♥♦♥✱ t❤❡ ❊❉ ♣♦❧②♥♦♠✐❛❧ ❝♦♥t❛✐♥s ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥s ♦♥ t❤❡ s②♠♠❡tr② ❛①✐s✳

• ✐♦r❣✐♦ ❖tt❛✈✐❛♥✐

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❊♥✈❡❧♦♣❡ ♦❢ t❤❡ ♥♦r♠❛❧s✱ t❤❡ ❡✈♦❧✉t❡

❚❤❡ ❡✈♦❧✉t❡ ♦❢ t❤❡ ❡❧❧✐♣s❡ ✐s t❤❡ ▲❛♠é s❡①t✐❝ ✐♥ ❣r❡❡♥✳ ❚❤❡ ♥✉♠❜❡r ♦❢ r❡❛❧ ♥♦r♠❛❧s ✐s ✹ ✐♥s✐❞❡ t❤❡ ❣r❡❡♥ ❝✉r✈❡✱ ✐s ✷ ♦✉ts✐❞❡ t❤❡ ❣r❡❡♥ ❝✉r✈❡✳

• ✐♦r❣✐♦ ❖tt❛✈✐❛♥✐

❚❤❡ ❞✐st❛♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ ❢r♦♠ ❛♥ ❛❧❣❡❜r❛✐❝ ✈❛r✐❡t②✳ ✶✶ ✴ ✷✾

Pr♦❥❡❝t✐✈❡ ✈❛r✐❡t✐❡s

❋♦r ♣r♦❥❡❝t✐✈❡ ✈❛r✐❡t✐❡s ✇❡ ❝♦♠♣✉t❡ t❤❡✐r ❊❉♣♦❧② ❛♥❞ ❊❉❞❡❣r❡❡ ❢r♦♠ t❤❡✐r ❝♦♥❡✳ ❊①❛♠♣❧❡ ❋♦r t❤❡ ♣r♦❥❡❝t✐✈❡ ❡❧❧✐♣s❡ ✇✐t❤ ❡q✉❛t✐♦♥ x✷ a✷ + y✷ b✷ − z✷ ✇❡ ❝♦♥s✐❞❡r t❤❡ ❞✐st❛♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ ✐♥❞✉❝❡❞ ❜② t❤❡ q✉❛❞r❛t✐❝ ❢♦r♠ x✷ + y✷ + z✷✳ ❘❡❝❛❧❧ t♦ s❛t✉r❛t❡ t❤❡ ✈❡rt❡① ♦❢ t❤❡ ❝♦♥❡ (x, y, z)✳ ❚❤❡ ❞✐s❝r✐♠✐♥❛♥t ♦❢ ❊❉♣♦❧② ♥♦✇ ❝♦♥t❛✐♥s L✸ ✇❤❡r❡

L =

• a✷(b✷ + ✶)✷x✷ + b✷(a✷ + ✶)✷y ✷ − c✹z✷✸+✷✼a✷b✷c✹(a✷+✶)✷(b✷+✶)✷x✷y ✷z✷

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• ✐♦r❣✐♦ ❖tt❛✈✐❛♥✐

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• ✐♦r❣✐♦ ❖tt❛✈✐❛♥✐

❚❤❡ ❞✐st❛♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ ❢r♦♠ ❛♥ ❛❧❣❡❜r❛✐❝ ✈❛r✐❡t②✳ ✶✸ ✴ ✷✾

❉✉❛❧✐t② ♣r♦♣❡rt② ♦❢ ❊❉ ♣♦❧②♥♦♠✐❛❧

❚❤❡♦r❡♠ ✭❉r❛✐s♠❛✲❍♦r♦❜❡➭✲❖✲❙t✉r♠❢❡❧s✲❚❤♦♠❛s✱ ❖✲❙♦❞♦♠❛❝♦✮ ▲❡t X ❜❡ ❛ ♣r♦❥❡❝t✐✈❡ ✈❛r✐❡t② ❛♥❞ X ∨ ✐ts ❞✉❛❧✳ ▲❡t q(u) ❜❡ t❤❡ ❊✉❝❧✐❞❡❛♥ q✉❛❞r❛t✐❝ ❢♦r♠✳ ❚❤❡♥ ❢♦r ❛♥② ❞❛t❛ ♣♦✐♥t u ∈ V

✶ ❊❉♣♦❧②X,u(t✷) = ❊❉♣♦❧②X ∨,u(q(u) − t✷). ✷ ❊❉❞❡❣r❡❡(X) = ❊❉❞❡❣r❡❡(X ∨)

❚❤❡ ❚❤❡♦r❡♠ ♠❡❛♥s t❤❛t ♣r♦❥❡❝t✐✈❡ ❞✉❛❧✐t② ❝♦rr❡s♣♦♥❞s t♦ ✈❛r✐❛❜❧❡ r❡✢❡❝t✐♦♥ ❢♦r t❤❡ ❊❉ ♣♦❧②♥♦♠✐❛❧✳

• ✐♦r❣✐♦ ❖tt❛✈✐❛♥✐

❚❤❡ ❞✐st❛♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ ❢r♦♠ ❛♥ ❛❧❣❡❜r❛✐❝ ✈❛r✐❡t②✳ ✶✹ ✴ ✷✾

❉✉❛❧✐t② ❢♦r t❤❡ ❡❧❧✐♣s❡

▲❡t X ❜❡ t❤❡ ♣r♦❥❡❝t✐✈❡ ❡❧❧✐♣s❡ ✇✐t❤ ❡q✉❛t✐♦♥ x✷ + ✹y✷ − ✹z✷ = ✵✳ ❚❤❡♥ ❊❉♣♦❧②X,(x,y,z)(t✷) = (x✷ + ✹y✷ − ✹z✷)✷(✹x✹ +✷✵x✷y✷ +✷✺y✹ −✶✷x✷z✷ +✸✵y✷z✷ +✾z✹)+ (. . .)t✷ + (. . .)t✹ + (✹x✷ − ✺✺y✷ − ✸✾z✷)(✻✵)t✻ + ✾✵✵t✽✳ ❙✉❜st✐t✉t❡

✷ ✷ ✷ ✷ ✷ ✐♥ t❤❡ ❛❜♦✈❡ ♣♦❧②♥♦♠✐❛❧✱ ❣❡t

❊❉♣♦❧②

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✽✵ ✷

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✻✹ ✷ ✺ ✷ ✷✶ ✷ ✻✵

✻

✾✵✵ ✽✳ ◆♦t❡ ✐♥ r❡❞ t❤❡ ❡q✉❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ❞✉❛❧ ❡❧❧✐♣s❡✳

• ✐♦r❣✐♦ ❖tt❛✈✐❛♥✐

❚❤❡ ❞✐st❛♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ ❢r♦♠ ❛♥ ❛❧❣❡❜r❛✐❝ ✈❛r✐❡t②✳ ✶✺ ✴ ✷✾

❉✉❛❧✐t② ❢♦r t❤❡ ❡❧❧✐♣s❡

▲❡t X ❜❡ t❤❡ ♣r♦❥❡❝t✐✈❡ ❡❧❧✐♣s❡ ✇✐t❤ ❡q✉❛t✐♦♥ x✷ + ✹y✷ − ✹z✷ = ✵✳ ❚❤❡♥ ❊❉♣♦❧②X,(x,y,z)(t✷) = (x✷ + ✹y✷ − ✹z✷)✷(✹x✹ +✷✵x✷y✷ +✷✺y✹ −✶✷x✷z✷ +✸✵y✷z✷ +✾z✹)+ (. . .)t✷ + (. . .)t✹ + (✹x✷ − ✺✺y✷ − ✸✾z✷)(✻✵)t✻ + ✾✵✵t✽✳ ❙✉❜st✐t✉t❡ t✷ → −t✷ + (x✷ + y✷ + z✷) ✐♥ t❤❡ ❛❜♦✈❡ ♣♦❧②♥♦♠✐❛❧✱ ❣❡t ❊❉♣♦❧②

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✽✵ ✷

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✻✹ ✷ ✺ ✷ ✷✶ ✷ ✻✵

✻

✾✵✵ ✽✳ ◆♦t❡ ✐♥ r❡❞ t❤❡ ❡q✉❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ❞✉❛❧ ❡❧❧✐♣s❡✳

• ✐♦r❣✐♦ ❖tt❛✈✐❛♥✐

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❉✉❛❧✐t② ❢♦r t❤❡ ❡❧❧✐♣s❡

▲❡t X ❜❡ t❤❡ ♣r♦❥❡❝t✐✈❡ ❡❧❧✐♣s❡ ✇✐t❤ ❡q✉❛t✐♦♥ x✷ + ✹y✷ − ✹z✷ = ✵✳ ❚❤❡♥ ❊❉♣♦❧②X,(x,y,z)(t✷) = (x✷ + ✹y✷ − ✹z✷)✷(✹x✹ +✷✵x✷y✷ +✷✺y✹ −✶✷x✷z✷ +✸✵y✷z✷ +✾z✹)+ (. . .)t✷ + (. . .)t✹ + (✹x✷ − ✺✺y✷ − ✸✾z✷)(✻✵)t✻ + ✾✵✵t✽✳ ❙✉❜st✐t✉t❡ t✷ → −t✷ + (x✷ + y✷ + z✷) ✐♥ t❤❡ ❛❜♦✈❡ ♣♦❧②♥♦♠✐❛❧✱ ❣❡t ❊❉♣♦❧②X ∨,(x,y,z)(t✷) = (✹x✷ + y✷ − z✷)✷(✻✹x✹ +✽✵x✷y✷ +✷✺y✹ +✹✽x✷z✷ −✸✵y✷z✷ +✾z✹)+ (. . .)t✷ + (. . .)t✹ + (✻✹x✷ + ✺y✷ + ✷✶z✷)(−✻✵)t✻ + ✾✵✵t✽✳ ◆♦t❡ ✐♥ r❡❞ t❤❡ ❡q✉❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ❞✉❛❧ ❡❧❧✐♣s❡✳

• ✐♦r❣✐♦ ❖tt❛✈✐❛♥✐

❚❤❡ ❞✐st❛♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ ❢r♦♠ ❛♥ ❛❧❣❡❜r❛✐❝ ✈❛r✐❡t②✳ ✶✺ ✴ ✷✾

❈♦r❛♥❦ ♦♥❡ ♠❛tr✐❝❡s✱ ❙❱❉

❚❤❡r❡ ✐s ❛ s✐❣♥✐✜❝❛♥t ❝❛s❡ ✇❤❡r❡ t❤❡ ❊❉ ♣♦❧②♥♦♠✐❛❧ ❤❛s ❛ ♥✐❝❡ ❢♦r♠✳ ■♥ t❤❡ s♣❛❝❡ ♦❢ n × m ♠❛tr✐❝❡s ❡q✉✐♣♣❡❞ ✇✐t❤ t❤❡ L✷✲♥♦r♠ q(A) = tr(AAt) ✱ ❧❡t X = ✈❛r✐❡t② ♦❢ ❝♦r❛♥❦ ♦♥❡ ♠❛tr✐❝❡s✳ ❍❡r❡ t❤❡ ❊❉ ♣♦❧②♥♦♠✐❛❧ ✐s ❊❉♣♦❧②X,A(t✷) = ❞❡t(AAt − t✷I), ✇✐t❤ r♦♦ts ± σ✶, . . . , ±σn ❋♦r ❣❡♥❡r❛❧ ♠❛tr✐❝❡s A ♦❢ s✐③❡ n × m✱ ✇✐t❤ n ≤ m✱ t❤❡r❡ ❛r❡ n ❝r✐t✐❝❛❧ ♣♦✐♥ts σivi ⊗ wi ✭s✐♥❣✉❧❛r ♣❛✐rs✮ ♦❢ t❤❡ ❞✐st❛♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ t♦ t❤❡ ✈❛r✐❡t② ♦❢ r❛♥❦ ♦♥❡ ♠❛tr✐❝❡s✳ A =

i σivi ⊗ wt i ✐s t❤❡ ❙✐♥❣✉❧❛r ❱❛❧✉❡ ❉❡❝♦♠♣♦s✐t✐♦♥ ✭❙❱❉✮ ♦❢ A✳

• ✐♦r❣✐♦ ❖tt❛✈✐❛♥✐

❚❤❡ ❞✐st❛♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ ❢r♦♠ ❛♥ ❛❧❣❡❜r❛✐❝ ✈❛r✐❡t②✳ ✶✻ ✴ ✷✾

❙②♠♠❡tr✐❝ ♠❛tr✐❝❡s✱ ❙♣❡❝tr❛❧ ❚❤❡♦r❡♠

■❢ A ✐s ❛ s②♠♠❡tr✐❝ ♠❛tr✐①✱ ✇❡ ❣❡t t❤❡ s♣❧✐tt✐♥❣ ❞❡t(AAt − t✷I) = ❞❡t(A − tI) ❞❡t(A + tI), t❤❡ ❝r✐t✐❝❛❧ ♣♦✐♥ts ❛r❡ vivt

i ✇❤❡r❡ vi ❛r❡ ❡✐❣❡♥✈❡❝t♦rs ♦❢ A✳

❲❡ ❣❡t t❤❡ s♣❡❝tr❛❧ ❞❡❝♦♠♣♦s✐t✐♦♥ A =

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λivi ⊗ vt

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✇❤❡r❡ λi ❛r❡ t❤❡ ❡✐❣❡♥✈❛❧✉❡s ♦❢ A✳

• ✐♦r❣✐♦ ❖tt❛✈✐❛♥✐

❚❤❡ ❞✐st❛♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ ❢r♦♠ ❛♥ ❛❧❣❡❜r❛✐❝ ✈❛r✐❡t②✳ ✶✼ ✴ ✷✾

❚❤❡ ❞✐st❛♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ ✐♥ ❛ t❡♥s♦r s♣❛❝❡

▲❡t Vi ❜❡ r❡❛❧ ✈❡❝t♦r s♣❛❝❡s ❡q✉✐♣♣❡❞ ✇✐t❤ ❛ s❝❛❧❛r ♣r♦❞✉❝t qi : Vi × Vi → R✱ ❡q✉✐✈❛❧❡♥t❧② ❛ ♣♦s✐t✐✈❡ ❞❡✜♥✐t❡ q✉❛❞r❛t✐❝ ❢♦r♠ qi : Vi → R✳ ❊①❛♠♣❧❡✿ Vi ≃ Rni ✇✐t❤ qi(x) = x✷

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❚❤❡ ❢♦r♠s qi ❛❧t♦❣❡t❤❡r ❞❡✜♥❡ ❛ q✉❛❞r❛t✐❝ ❢♦r♠ ♦♥ V✶ ⊗ . . . ⊗ Vd ❜② q(v✶ ⊗ . . . ⊗ vd) := q✶(v✶) · · · qd(vd)✱ t❤❡♥ ❡①t❡♥❞❡❞ ❜② ❧✐♥❡❛r✐t②✳ ❚❤✐s ✐s ❝❛❧❧❡❞ t❤❡ ❇♦♠❜✐❡r✐✲❲❡②❧ ♥♦r♠✳ ❋♦r ✷ ♠❛tr✐❝❡s✱ ✇❡ ❣❡t t❤❡ ✇❡❧❧ ❦♥♦✇♥

✷✲♣r♦❞✉❝t✱ ❞❡✜♥❡❞ ❜②

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• ✐♦r❣✐♦ ❖tt❛✈✐❛♥✐

❚❤❡ ❞✐st❛♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ ❢r♦♠ ❛♥ ❛❧❣❡❜r❛✐❝ ✈❛r✐❡t②✳ ✶✽ ✴ ✷✾

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▲❡t Vi ❜❡ r❡❛❧ ✈❡❝t♦r s♣❛❝❡s ❡q✉✐♣♣❡❞ ✇✐t❤ ❛ s❝❛❧❛r ♣r♦❞✉❝t qi : Vi × Vi → R✱ ❡q✉✐✈❛❧❡♥t❧② ❛ ♣♦s✐t✐✈❡ ❞❡✜♥✐t❡ q✉❛❞r❛t✐❝ ❢♦r♠ qi : Vi → R✳ ❊①❛♠♣❧❡✿ Vi ≃ Rni ✇✐t❤ qi(x) = x✷

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❚❤❡ ❢♦r♠s qi ❛❧t♦❣❡t❤❡r ❞❡✜♥❡ ❛ q✉❛❞r❛t✐❝ ❢♦r♠ ♦♥ V✶ ⊗ . . . ⊗ Vd ❜② q(v✶ ⊗ . . . ⊗ vd) := q✶(v✶) · · · qd(vd)✱ t❤❡♥ ❡①t❡♥❞❡❞ ❜② ❧✐♥❡❛r✐t②✳ ❚❤✐s ✐s ❝❛❧❧❡❞ t❤❡ ❇♦♠❜✐❡r✐✲❲❡②❧ ♥♦r♠✳ ❋♦r d = ✷ ♠❛tr✐❝❡s✱ ✇❡ ❣❡t t❤❡ ✇❡❧❧ ❦♥♦✇♥ L✷✲♣r♦❞✉❝t✱ ❞❡✜♥❡❞ ❜② q(A) = tr(AAt) = tr(AtA) = a✷

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❆ t❡♥s♦r ✐s ✐s♦tr♦♣✐❝ ✐❢ ✵✱ t❤❡② ✜❧❧ t❤❡ ✐s♦tr♦♣✐❝ q✉❛❞r✐❝ ✳

• ✐♦r❣✐♦ ❖tt❛✈✐❛♥✐

❚❤❡ ❞✐st❛♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ ❢r♦♠ ❛♥ ❛❧❣❡❜r❛✐❝ ✈❛r✐❡t②✳ ✶✽ ✴ ✷✾

❚❤❡ ❞✐st❛♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ ✐♥ ❛ t❡♥s♦r s♣❛❝❡

▲❡t Vi ❜❡ r❡❛❧ ✈❡❝t♦r s♣❛❝❡s ❡q✉✐♣♣❡❞ ✇✐t❤ ❛ s❝❛❧❛r ♣r♦❞✉❝t qi : Vi × Vi → R✱ ❡q✉✐✈❛❧❡♥t❧② ❛ ♣♦s✐t✐✈❡ ❞❡✜♥✐t❡ q✉❛❞r❛t✐❝ ❢♦r♠ qi : Vi → R✳ ❊①❛♠♣❧❡✿ Vi ≃ Rni ✇✐t❤ qi(x) = x✷

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❚❤❡ ❢♦r♠s qi ❛❧t♦❣❡t❤❡r ❞❡✜♥❡ ❛ q✉❛❞r❛t✐❝ ❢♦r♠ ♦♥ V✶ ⊗ . . . ⊗ Vd ❜② q(v✶ ⊗ . . . ⊗ vd) := q✶(v✶) · · · qd(vd)✱ t❤❡♥ ❡①t❡♥❞❡❞ ❜② ❧✐♥❡❛r✐t②✳ ❚❤✐s ✐s ❝❛❧❧❡❞ t❤❡ ❇♦♠❜✐❡r✐✲❲❡②❧ ♥♦r♠✳ ❋♦r d = ✷ ♠❛tr✐❝❡s✱ ✇❡ ❣❡t t❤❡ ✇❡❧❧ ❦♥♦✇♥ L✷✲♣r♦❞✉❝t✱ ❞❡✜♥❡❞ ❜② q(A) = tr(AAt) = tr(AtA) = a✷

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❆ t❡♥s♦r t ✐s ✐s♦tr♦♣✐❝ ✐❢ q(t) = ✵✱ t❤❡② ✜❧❧ t❤❡ ✐s♦tr♦♣✐❝ q✉❛❞r✐❝ Q✳

• ✐♦r❣✐♦ ❖tt❛✈✐❛♥✐

❚❤❡ ❞✐st❛♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ ❢r♦♠ ❛♥ ❛❧❣❡❜r❛✐❝ ✈❛r✐❡t②✳ ✶✽ ✴ ✷✾

❚❤❡ s✐♥❣✉❧❛r d✲♣❧❡s

❆♥② t❡♥s♦r t ∈ Rm✶ ⊗ . . . ⊗ Rmd ❞❡✜♥❡s ❛ ❞✐st❛♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ ft : X = Pm✶−✶ × . . . × Pmd−✶ → R ♦✈❡r t❤❡ ❙❡❣r❡ ✈❛r✐❡t② X ♦❢ ❞❡❝♦♠♣♦s❛❜❧❡ t❡♥s♦rs✳ ❚❤❡♦r❡♠ ✭▲✐♠✱ ◗✐✮ ❚❤❡ ❝r✐t✐❝❛❧ ♣♦✐♥ts ♦❢ ft ❝♦rr❡s♣♦♥❞s t♦ t❡♥s♦rs (x✶, . . . , xd) ∈ X s✉❝❤ t❤❛t t(x✶, . . . , ˆ xi, . . . , xd) = λixi ✇❤✐❝❤ ❛r❡ ❝❛❧❧❡❞ s✐♥❣✉❧❛r d✲♣❧❡s✳ ❘❡❢❡r❡♥❝❡ ❜♦♦❦✿ ◗✐✱ ▲✉♦✱ ✏❚❡♥s♦r ❆♥❛❧②s✐s ❛♥❞ ❙♣❡❝tr❛❧ ❚❤❡♦r②✑✱ ❙■❆▼✱ ✷✵✶✼✳

• ✐♦r❣✐♦ ❖tt❛✈✐❛♥✐

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❚❤❡ ♥✉♠❜❡r ♦❢ s✐♥❣✉❧❛r d✲♣❧❡s

❚❤❡♦r❡♠ ✭❋r✐❡❞❧❛♥❞✲❖✱ ❊❉❞❡❣r❡❡ ♦❢ ❙❡❣r❡ ✈❛r✐❡t②✮ ❚❤❡ ♥✉♠❜❡r ♦❢ s✐♥❣✉❧❛r d✲♣❧❡s ♦❢ ❛ ❣❡♥❡r❛❧ t❡♥s♦r t ♦✈❡r C ♦❢ ❢♦r♠❛t m✶ × . . . × md ✐s t❤❡ ❝♦❡✣❝✐❡♥t ♦❢ d

i=✶ tmi−✶ i

✐♥ t❤❡ ♣♦❧②♥♦♠✐❛❧

d

• i=✶

ˆ ti

mi − tmi i

ˆ ti − ti ✇❤❡r❡ ˆ ti =

j=i tj✳ ❚❤✐s ♥✉♠❜❡r ✐s

❊❉❞❡❣r❡❡(Pm✶−✶ × . . . × Pmd−✶) ❚❤❡♦r❡♠ ✭❙♣❡❝✐❛❧ ❝❛s❡ ♦❢ ❜✐♥❛r② t❡♥s♦rs✮ ❊❉❞❡❣r❡❡(P✶ × . . . × P✶

• d

) = d! ◗✉❡st✐♦♥✿ ❛r❡ t❤❡r❡ s✐♠♣❧❡r ✇❛②s t♦ ❡①♣r❡ss t❤❡s❡ ♥✉♠❜❡rs ❄

• ✐♦r❣✐♦ ❖tt❛✈✐❛♥✐

❚❤❡ ❞✐st❛♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ ❢r♦♠ ❛♥ ❛❧❣❡❜r❛✐❝ ✈❛r✐❡t②✳ ✷✵ ✴ ✷✾

❚❤❡ ♥✉♠❜❡r ♦❢ s✐♥❣✉❧❛r d✲♣❧❡s

❚❤❡♦r❡♠ ✭❋r✐❡❞❧❛♥❞✲❖✱ ❊❉❞❡❣r❡❡ ♦❢ ❙❡❣r❡ ✈❛r✐❡t②✮ ❚❤❡ ♥✉♠❜❡r ♦❢ s✐♥❣✉❧❛r d✲♣❧❡s ♦❢ ❛ ❣❡♥❡r❛❧ t❡♥s♦r t ♦✈❡r C ♦❢ ❢♦r♠❛t m✶ × . . . × md ✐s t❤❡ ❝♦❡✣❝✐❡♥t ♦❢ d

i=✶ tmi−✶ i

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• i=✶

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) = d! ◗✉❡st✐♦♥✿ ❛r❡ t❤❡r❡ s✐♠♣❧❡r ✇❛②s t♦ ❡①♣r❡ss t❤❡s❡ ♥✉♠❜❡rs ❄

• ✐♦r❣✐♦ ❖tt❛✈✐❛♥✐

❚❤❡ ❞✐st❛♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ ❢r♦♠ ❛♥ ❛❧❣❡❜r❛✐❝ ✈❛r✐❡t②✳ ✷✵ ✴ ✷✾

❚❤❡ ❣❡♥❡r❛t✐♥❣ ❢✉♥❝t✐♦♥ ❛♥❞ ❛ ✜rst ❛s②♠♣t♦t✐❝s

❚❤❡♦r❡♠ ✭❩❡✐❧❜❡r❣❡r✮ ▲❡t ad(k✶, . . . , kd) ❜❡ t❤❡ ♥✉♠❜❡r ♦❢ ❝r✐t✐❝❛❧ ♣♦✐♥ts ♦❢ ❢♦r♠❛t d

i=✶(ki + ✶) t❤❡♥

• k∈Nd

ad(k✶, . . . , kd)①k = ✶

• ✶ − d

i=✷(i − ✶)ei(①)

• d
• i=✶

xi ✶ − xi ✇❤❡r❡ ei ✐s t❤❡ i✲t❤ ❡❧❡♠❡♥t❛r② s②♠♠❡tr✐❝ ❢✉♥❝t✐♦♥✳ ❚❤❡♦r❡♠ ✭❩❡✐❧❜❡r❣❡r✱ P❛♥t♦♥❡✮ a✸(n, n, n) ∼ ✷ √ ✸π ✽n n ❢♦r n → ∞

• ✐♦r❣✐♦ ❖tt❛✈✐❛♥✐

❚❤❡ ❞✐st❛♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ ❢r♦♠ ❛♥ ❛❧❣❡❜r❛✐❝ ✈❛r✐❡t②✳ ✷✶ ✴ ✷✾

❚❡♥s♦r ❊✐❣❡♥✈❡❝t♦rs ✐♥ t❤❡ s②♠♠❡tr✐❝ ❝❛s❡

❚❤❡ ❝r✐t✐❝❛❧ ♣♦✐♥ts ♦❢ t❤❡ ❞✐st❛♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ ❢r♦♠ ❛ s②♠♠❡tr✐❝ t❡♥s♦r A ∈ ❙②♠dV t♦ t❤❡ ❱❡r♦♥❡s❡ ✈❛r✐❡t② ❤❛✈❡ t❤❡ ❢♦r♠ λvd✱ v s✉❝❤ t❤❛t q(v) = ✶ ✐s ❡✐❣❡♥✈❡❝t♦r ✇✐t❤ ❡✐❣❡♥✈❛❧✉❡ λ✳ ❚❤❡♦r❡♠ ✭❋♦r♥❛❡ss✲❙✐❜♦♥②✱ ❈❛rt✇r✐❣❤t✲❙t✉r♠❢❡❧s✮ ❚❤❡ ♥✉♠❜❡r ♦❢ ❡✐❣❡♥✈❡❝t♦rs ♦❢ ❛ s②♠♠❡tr✐❝ t❡♥s♦r A ∈ ❙②♠dCm ✐s ✭❢♦r d ≥ ✷✮ (d − ✶)m − ✶ d − ✷ ❚❤✐s ♥✉♠❜❡r ✐s ❊❉❞❡❣r❡❡ ♦❢ d✲❱❡r♦♥❡s❡ ❡♠❜❡❞❞✐♥❣ ♦❢ Pm−✶✳ ❚❤❡♦r❡♠ ✭◗✐✮ ■❢ X = ❞✐s❝r✐♠✐♥❛♥t ❤②♣❡rs✉r❢❛❝❡✱ ❛♥❞ d ✐s ❡✈❡♥✱ ❊❉♣♦❧②X,f (t✷) = ∆d

• f (x) − tq(x)d/✷

∆d

• f (x) + tq(x)d/✷

.

• ✐♦r❣✐♦ ❖tt❛✈✐❛♥✐

❚❤❡ ❞✐st❛♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ ❢r♦♠ ❛♥ ❛❧❣❡❜r❛✐❝ ✈❛r✐❡t②✳ ✷✷ ✴ ✷✾

❈❛t❛♥❡s❡✲❚r✐❢♦❣❧✐ ❢♦r♠✉❧❛

▲❡t X s♠♦♦t❤ ♣r♦❥❡❝t✐✈❡✱ ❞✐♠ X = m ❚❤❡♦r❡♠ ✭❈❛t❛♥❡s❡✲❚r✐❢♦❣❧✐✮ ■❢ X ✐s tr❛♥s✈❡rs❛❧ t♦ Q t❤❡♥ ❊❉❞❡❣r❡❡(X) =

m

• i=✵

(−✶)i(✷m+✶−i − ✶)ci(X) ✇❤❡r❡ ci ❛r❡ ❈❤❡r♥ ❝❧❛ss❡s✳ ■❢ X ✐s ❛✣♥❡✱ tr❛♥s✈❡rs❛❧✐t② ✐s ♥❡❡❞❡❞ ✇✐t❤ ❜♦t❤ t❤❡ ❤②♣❡r♣❧❛♥❡ ❛t ✐♥✜♥✐t② ❛♥❞ t❤❡ q✉❛❞r✐❝ ❛t ✐♥✜♥✐t②✳ ❚❤✐s ❡①♣❧❛✐♥s t❤❡ ❞✐✛❡r❡♥t ❜❡❤❛✈✐♦✉r ♣r♦✈❡❞ ❜② ❈❛②❧❡② ❝♦♥❝❡r♥✐♥❣ ❝✐r❝❧❡✱ ♣❛r❛❜♦❧❛ ❛♥❞ ❣❡♥❡r❛❧ ❝♦♥✐❝✳

• ✐♦r❣✐♦ ❖tt❛✈✐❛♥✐

❚❤❡ ❞✐st❛♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ ❢r♦♠ ❛♥ ❛❧❣❡❜r❛✐❝ ✈❛r✐❡t②✳ ✷✸ ✴ ✷✾

❚❤❡ s✐♥❣✉❧❛r ❝❛s❡

❚❤❡♦r❡♠ ✭P✐❡♥❡✱ ❆❧✉✣✮ ▲❡t X ⊂ PN ♣♦ss✐❜❧② s✐♥❣✉❧❛r✳ ❆ss✉♠❡ t❤❛t Q ✐s tr❛♥s✈❡rs❛❧ t♦ ❛ ❲❤✐t♥❡② str❛t✐✜❝❛t✐♦♥ ♦❢ X✳ ❚❤❡♥ t❤❡ s❛♠❡ ❢♦r♠✉❧❛ ❤♦❧❞s ❊❉❞❡❣r❡❡(X) =

m

• i=✵

(−✶)i(✷m+✶−i − ✶)cM

i (X)

✇❤❡r❡ cM

i

❛r❡ ❈❤❡r♥✲▼❛t❤❡r ❝❧❛ss❡s✳

• ✐♦r❣✐♦ ❖tt❛✈✐❛♥✐

❚❤❡ ❞✐st❛♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ ❢r♦♠ ❛♥ ❛❧❣❡❜r❛✐❝ ✈❛r✐❡t②✳ ✷✹ ✴ ✷✾

❈r❛s❤ ❝♦✉rs❡ ♦♥ ❈❤❡r♥✲▼❛t❤❡r ❝❧❛ss❡s

▲❡t X Gr(Pm, PN) ❜❡ t❤❡ ●❛✉ss ♠❛♣ ❞❡✜♥❡❞ ♦♥ s♠♦♦t❤ ♣♦✐♥ts✳ ❈♦♥s✐❞❡r t❤❡ ❝❧♦s✉r❡ ♦❢ t❤❡ ❣r❛♣❤ ✐♥ X × Gr(Pm, PN)✱ ✇✐t❤ ✐ts ♣r♦❥❡❝t✐♦♥ t♦ X ✐s t❤❡ ◆❛s❤ ❜❧♦✇✲✉♣ ˜ X ♦❢ X✳ ❈♦♥s✐❞❡r t❤❡ ❈❤❡r♥ ❝❧❛ss❡s ♦❢ t❤❡ ✉♥✐✈❡rs❛❧ ❜✉♥❞❧❡✱ ♣✉❧❧❜❛❝❦ t❤❡♠ t♦ ˜ X✳ ❚❤❡✐r ♣✉s❤✲❢♦r✇❛r❞ t♦ X ❛r❡ t❤❡ ❈❤❡r♥✲▼❛t❤❡r ❝❧❛ss❡s ✭✐♥ t❤❡ ❈❤♦✇ r✐♥❣ ♦❢ X✮✳ ■❢ X ✐s s♠♦♦t❤ t❤❡ ●❛✉ss ♠❛♣ ✐s ❞❡✜♥❡❞ ❡✈❡r②✇❤❡r❡ ❛♥❞ ✇❡ ❤❛✈❡ ci(X) = cM

i (X)✳

• ✐♦r❣✐♦ ❖tt❛✈✐❛♥✐

❚❤❡ ❞✐st❛♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ ❢r♦♠ ❛♥ ❛❧❣❡❜r❛✐❝ ✈❛r✐❡t②✳ ✷✺ ✴ ✷✾

❚❤❡ ❤✐❣❤❡st t❡r♠ ♦❢ ❊❉ ♣♦❧②♥♦♠✐❛❧

Pr♦♣♦s✐t✐♦♥ ✭❖✲❙♦❞♦♠❛❝♦✮ ▲❡t X ⊂ P(V )✱ ♣♦ss✐❜❧② s✐♥❣✉❧❛r✱ ❜❡ tr❛♥s✈❡rs❛❧ t♦ t❤❡ ✐s♦tr♦♣✐❝ q✉❛❞r✐❝ Q✱ t❤❡♥ ❊❉♣♦❧②X,u(t✷) =

d

• i=✵

pi(u)t✷i, ✇❤❡r❡ d = ❊❉❞❡❣r❡❡(X) ❛♥❞ pi(u) ✐s ❤♦♠♦❣❡♥❡♦✉s ♦❢ ❞❡❣r❡❡ ✷d − ✷i✳ ■♥ ♣❛rt✐❝✉❧❛r t❤❡ ❊❉ ♣♦❧②♥♦♠✐❛❧ ♦❢ X ✐s ♠♦♥✐❝✳ ❚❤❡ tr❛♥s✈❡rs❛❧✐t② ❛ss✉♠♣t✐♦♥ ✐♠♣❧✐❡s t❤❛t t❤❡ ❞✐st❛♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ ✐s ❛ ✐♥t❡❣r❛❧ ❡❧❡♠❡♥t ✐♥ t❤❡ ❛❧❣❡❜r❛✐❝ r✐♥❣ ❡①t❡♥s✐♦♥✳

• ✐♦r❣✐♦ ❖tt❛✈✐❛♥✐

❚❤❡ ❞✐st❛♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ ❢r♦♠ ❛♥ ❛❧❣❡❜r❛✐❝ ✈❛r✐❡t②✳ ✷✻ ✴ ✷✾

❚r❛♥s✈❡rs❛❧✐t② ✐s ♥❡❝❡ss❛r② ❢♦r ✐♥t❡❣r❛❧✐t②

❚❤❡ tr❛♥s✈❡rs❛❧✐t② ❛ss✉♠♣t✐♦♥ ✐s ♥❡❝❡ss❛r② ✐♥ t❤❡ ♣r❡✈✐♦✉s ❚❤❡♦r❡♠✱ ❛s ✐t ✐s s❤♦✇♥ ❜② ❚❤❡♦r❡♠ ✭❙♦❞♦♠❛❝♦✮ ◆♦t❛t✐♦♥s ❛s ❛❜♦✈❡✱ ❧❡t X ❜❡ t❤❡ ❱❡r♦♥❡s❡ ✈❛r✐❡t② vd(Pn)✳ ❚❤❡♥ p✵(u) = Disc✷(u) pmax(u) = ∆d−✷

˜ Q

(u) ✇❤❡r❡ ˜ Q ✐s t❤❡ d✲❱❡r♦♥❡s❡ ❡♠❜❡❞❞✐♥❣ ♦❢ Q ❛♥❞ ∆ ˜

Q ✐s ✐ts ❞✉❛❧✳

❆ ❈♦r♦❧❧❛r② ✐s t❤❡ r❛t✐♦♥❛❧ ❢♦r♠✉❧❛ ±

Disc(u) ∆(d−✷)/✷

˜ Q

(u) ❢♦r t❤❡ ♣r♦❞✉❝t ♦❢

❡✐❣❡♥✈❛❧✉❡s✱ ❣❡♥❡r❛❧✐③✐♥❣ t♦ t❡♥s♦rs t❤❡ ❢❛❝t t❤❛t ♣r♦❞✉❝t ♦❢ ❡✐❣❡♥✈❛❧✉❡s ♦❢ ❛ ♠❛tr✐① ✐s t❤❡ ❞❡t❡r♠✐♥❛♥t✳

• ✐♦r❣✐♦ ❖tt❛✈✐❛♥✐

❚❤❡ ❞✐st❛♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ ❢r♦♠ ❛♥ ❛❧❣❡❜r❛✐❝ ✈❛r✐❡t②✳ ✷✼ ✴ ✷✾

❚❤❡ ❧♦✇❡st t❡r♠ ♦❢ ❊❉♣♦❧②♥♦♠✐❛❧✱ ♣♦✐♥ts ❛t ✏③❡r♦ ❞✐st❛♥❝❡✑ ✦

❚❤❡♦r❡♠ ▲❡t X ⊂ P(V ) ❜❡ ✐rr❡❞✉❝✐❜❧❡✱ ♣♦ss✐❜❧② s✐♥❣✉❧❛r✱ s✉♣♣♦s❡ t❤❛t X ❛♥❞ X ∨ ❛r❡ tr❛♥s✈❡rs❛❧ t♦ Q✳ ▲❡t u ∈ V ❛♥❞ g ❜❡ t❤❡ ❡q✉❛t✐♦♥ ♦❢ (X ∨ ∩ Q)∨✳

✶ ■❢ ❝♦❞✐♠(X) ≥ ✷✱ t❤❡♥

❊❉♣♦❧②X,u(✵) = g.

✷ ■❢ X ✐s ❛ ❤②♣❡rs✉r❢❛❝❡✱ t❤❡♥

❊❉♣♦❧②X,u(✵) = f ✷g ✇❤❡r❡ f ✐s t❤❡ ❡q✉❛t✐♦♥ ♦❢ X✳

• ✐♦r❣✐♦ ❖tt❛✈✐❛♥✐

❚❤❡ ❞✐st❛♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ ❢r♦♠ ❛♥ ❛❧❣❡❜r❛✐❝ ✈❛r✐❡t②✳ ✷✽ ✴ ✷✾

❚❤❛♥❦s

❚❤❛♥❦s ❢♦r ②♦✉r ❛tt❡♥t✐♦♥ ✦✦

• ✐♦r❣✐♦ ❖tt❛✈✐❛♥✐

❚❤❡ ❞✐st❛♥❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ ❢r♦♠ ❛♥ ❛❧❣❡❜r❛✐❝ ✈❛r✐❡t②✳ ✷✾ ✴ ✷✾