ss t r - - PowerPoint PPT Presentation

❚❤❡ ❘❡❞✉❝❡❞ ❇❛s✐s ♠❡t❤♦❞ ❢♦r ❛❡r♦❛❝♦✉st✐❝ s✐♠✉❧❛t✐♦♥s s♦❧✈❡❞ ❜② ✐♥t❡❣r❛❧ ❡q✉❛t✐♦♥s

❋❛❜✐❡♥ ❈❛s❡♥❛✈❡ ❥♦✐♥t ✇♦r❦ ✇✐t❤ ❆❧❡①❛♥❞r❡ ❊r♥ ❛♥❞ ❚♦♥② ▲❡❧✐è✈r❡ ❆♣r✐❧ ✶✻✱ ✷✵✶✹

▼♦t✐✈❛t✐♦♥s

❆❡r♦❛❝♦✉st✐❝ ✐♥ ❝✐✈✐❧ ❛✈✐❛t✐♦♥

◆✉♠❡r✐❝❛❧ ♠❡t❤♦❞s ❢♦r ❝♦♠♣✉t✐♥❣ ❛❝♦✉st✐❝ s❝❛tt❡r✐♥❣ ✐♥ ❝✐✈✐❧ ❛✈✐❛t✐♦♥ ❝♦♥t❡①ts

▼♦t✐✈❛t✐♦♥s

P❛r❛♠❡tr✐❝ ♣r♦❜❧❡♠s

❉✐✛❡r❡♥t P❉❊✬s ❞❡♣❡♥❞✐♥❣ ♦♥ ♣❤②s✐❝❛❧ ❛ss✉♠♣t✐♦♥s✱ ❞✐✛❡r❡♥t ♣❛r❛♠❡t❡rs t♦ t❛❦❡ ✐♥t♦ ❛❝❝♦✉♥t ✭♣♦s✐t✐♦♥ ❛♥❞ ❢r❡q✉❡♥❝② ♦❢ t❤❡ ❛❝♦✉st✐❝ s♦✉r❝❡✱ ❛❜s♦r♣t✐♦♥ ❝♦❡✣❝✐❡♥ts✱ ✢♦✇✮

▲❛r❣❡ s❝❛❧❡ ❝♦♠♣✉t✐♥❣

❯♥❝❡rt❛✐♥t② ♣r♦♣❛❣❛t✐♦♥✱ ♦♣t✐♠✐③❛t✐♦♥✱ ♦r r❡❛❧✲t✐♠❡ ❝♦♠♣✉t❛t✐♦♥ ✿ ♥❡❡❞ t♦ s♦❧✈❡ ♣❛r❛♠❡tr✐❝ ♣r♦❜❧❡♠ ❢♦r ❛ ❧❛r❣❡ ♥✉♠❜❡r ♦❢ ♣❛r❛♠❡t❡r ✈❛❧✉❡s

• ♦❛❧

◆✉♠❡r✐❝❛❧ ♣r♦❝❡❞✉r❡ ❢♦r ❢❛st ❝♦♠♣✉t❛t✐♦♥s ♦❢ ❛♥ ❛♣♣r♦①✐♠❛t✐♦♥ t♦ t❤❡ s♦❧✉t✐♦♥ ♦❢ ❛ ❧❛r❣❡ ❝❧❛ss ♦❢ ♣❛r❛♠❡tr✐❝ ♣r♦❜❧❡♠✱ ✇✐t❤ ❢❛st ❛♥❞ ❛❝❝✉r❛t❡ q✉❛♥t✐✜❝❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ❛♣♣r♦①✐♠❛t✐♦♥ ❡rr♦r

❖✉t❧✐♥❡

❚✇♦ ❛❡r♦❛❝♦✉st✐❝ ♣r♦❜❧❡♠s s♦❧✈❡❞ ❜② ✐♥t❡❣r❛❧ ❡q✉❛t✐♦♥s ❆❝♦✉st✐❝ s❝❛tt❡r✐♥❣ ❜② ✐♠♣❡❞❛♥t ♦❜❥❡❝ts ✐♥ t❤❡ ❛✐r ❛t r❡st ❆❝♦✉st✐❝ s❝❛tt❡r✐♥❣ ✐♥ ♠♦✈✐♥❣ ❛✐r ❙♦♠❡ ❝♦♥tr✐❜✉t✐♦♥s t♦ t❤❡ ❘❡❞✉❝❡❞ ❇❛s✐s ♠❡t❤♦❞ ✭❆ q✉✐❝❦ r❡♠✐♥❞❡r ♦♥✮ ❚❤❡ r❡❞✉❝❡❞ ❜❛s✐s ♠❡t❤♦❞ ❆♥ ❛❝❝✉r❛t❡ ❛♥❞ ♦♥❧✐♥❡✲❡✣❝✐❡♥t ❡✈❛❧✉❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ❡rr♦r ❜♦✉♥❞ ❆ ♥♦♥✐♥tr✉s✐✈❡ t❡❝❤♥✐q✉❡ ❢♦r t❤❡ ❘❇ ♠❡t❤♦❞ ❙♦♠❡ ♥✉♠❡r✐❝❛❧ ✐❧❧✉str❛t✐♦♥s

❖✉t❧✐♥❡

❚✇♦ ❛❡r♦❛❝♦✉st✐❝ ♣r♦❜❧❡♠s s♦❧✈❡❞ ❜② ✐♥t❡❣r❛❧ ❡q✉❛t✐♦♥s ❆❝♦✉st✐❝ s❝❛tt❡r✐♥❣ ❜② ✐♠♣❡❞❛♥t ♦❜❥❡❝ts ✐♥ t❤❡ ❛✐r ❛t r❡st ❆❝♦✉st✐❝ s❝❛tt❡r✐♥❣ ✐♥ ♠♦✈✐♥❣ ❛✐r ❙♦♠❡ ❝♦♥tr✐❜✉t✐♦♥s t♦ t❤❡ ❘❡❞✉❝❡❞ ❇❛s✐s ♠❡t❤♦❞ ✭❆ q✉✐❝❦ r❡♠✐♥❞❡r ♦♥✮ ❚❤❡ r❡❞✉❝❡❞ ❜❛s✐s ♠❡t❤♦❞ ❆♥ ❛❝❝✉r❛t❡ ❛♥❞ ♦♥❧✐♥❡✲❡✣❝✐❡♥t ❡✈❛❧✉❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ❡rr♦r ❜♦✉♥❞ ❆ ♥♦♥✐♥tr✉s✐✈❡ t❡❝❤♥✐q✉❡ ❢♦r t❤❡ ❘❇ ♠❡t❤♦❞ ❙♦♠❡ ♥✉♠❡r✐❝❛❧ ✐❧❧✉str❛t✐♦♥s

❆❝♦✉st✐❝ s❝❛tt❡r✐♥❣ ❜② ✐♠♣❡❞❛♥t ♦❜❥❡❝ts ✐♥ t❤❡ ❛✐r ❛t r❡st

❆❝♦✉st✐❝s ♣r♦❜❧❡♠

❱❛r✐❛t✐♦♥❛❧ ❢♦r♠✉❧❛t✐♦♥

❋✐♥❞ χ, λ : Γ → C s✳t✳ ❢♦r ❛❧❧ χt, λt       

• ◆χ − ✐❦

✷µχ, χt

• +
• ˜

❉λ, χt =

• γ✶♣✐♥❝, χt

,

• ❉χ, λt

−

• ❙λ + ✐µ

✷❦ λ, λt

• = −
• γ✵♣✐♥❝, λt

,

• µ ✐s t❤❡ ✐♠♣❡❞❛♥t ❝♦❡✣❝✐❡♥t✱ q✉❛♥t✐✜❡s t❤❡ ❛❜s♦r❜❡❞ ❛♥❞ s❝❛tt❡r❡❞ ♣❛rts

♦❢ t❤❡ ❛❝♦✉st✐❝ ♣r❡ss✉r❡ ✜❡❧❞

• ◆✱ ❉✱ ˜

❉ ❛♥❞ ❙ ❛r❡ ✐♥t❡❣r❛❧ ♦♣❡r❛t♦rs ✐♥✈♦❧✈✐♥❣ t❤❡ ●r❡❡♥ ❦❡r♥❡❧ ❛ss♦❝✐❛t❡❞ t♦ t❤❡ ❍❡❧♠❤♦❧t③ ❡q✉❛t✐♦♥

• (①, ②) = ❡①♣(✐❦|① − ②|)

✹π|① − ②|

• ♣✐♥❝(①) = ❆❡①♣(✐❦|① − ①❙|)

✹π|① − ①❙| ❢♦r ❛ ♠♦♥♦♣♦❧❡ s♦✉r❝❡ ♦❢ ❛♠♣❧✐t✉❞❡ ❆ ❧♦❝❛t❡❞ ❛t ①❙

• ❦ = ✷π❢

❝ ✱ ✇✐t❤ ❢ t❤❡ ❢r❡q✉❡♥❝② ♦❢ t❤❡ s♦✉r❝❡

❆❝♦✉st✐❝ s❝❛tt❡r✐♥❣ ✐♥ ♠♦✈✐♥❣ ❛✐r

✉♥✐❢♦r♠ ✢♦✇ ❡①t❡r✐♦r ❞♦♠❛✐♥ ♣♦t❡♥t✐❛❧ ✢♦✇ ✐♥t❡r✐♦r ❞♦♠❛✐♥ s♦❧✐❞ ♦❜❥❡❝t ✐♥❝♦♠✐♥❣ ❤❛r♠♦♥✐❝ ❛❝♦✉st✐❝ ✜❡❧❞

❆❡r♦❛❝♦✉st✐❝s ♣r♦❜❧❡♠

❈❤❛r❛❝t❡r✐st✐❝s

• ❛❝♦✉st✐❝s ✐♥ ❛ ♠❡❛♥ ✢♦✇ ♥♦t ❛t r❡st
• ✉♥❜♦✉♥❞❡❞ ❞♦♠❛✐♥ ♦❢ ♣r♦♣❛❣❛t✐♦♥

❚♦♦❧s

• ▲✐♥❡❛r✐③❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ❊✉❧❡r ❡q✉❛t✐♦♥s → ❝♦♥✈❡❝t❡❞ ❍❡❧♠❤♦❧t③ ❡q✉❛t✐♦♥
• Pr❛♥❞t❧✕●❧❛✉❡rt tr❛♥s❢♦r♠❛t✐♦♥ ❬●❧❛✉❡rt ✭✶✾✷✽✮✱ ❆♠✐❡t ❛♥❞ ❙❡❛rs ✭✶✾✼✵✮❪

→ tr❛♥s❢♦r♠s t❤❡ ✉♥✐❢♦r♠❧② ❝♦♥✈❡❝t❡❞ ❍❡❧♠❤♦❧t③ ❡q✳ ✐♥t♦ t❤❡ ❝❧❛ss✐❝❛❧ ❍❡❧♠❤♦❧t③ ❡q✳ ✐♥ t❤❡ ❡①t❡r✐♦r ❞♦♠❛✐♥

• ❈♦✉♣❧❡❞ ❇❊▼✲❋❊▼ ❬▼❝❉♦♥❛❧❞ ❛♥❞ ❲❡①❧❡r ✭✶✾✼✷✮✱ ❩✐❡♥❦✐❡✇✐❝③✱ ❑❡❧❧② ❛♥❞

❇❡tt❡ss ✭✶✾✼✼✮✱ ❏♦❤♥s♦♥ ❛♥❞ ◆é❞é❧❡❝ ✭✶✾✽✵✮❪

• ❙t❛❜✐❧✐③❛t✐♦♥ ✇✐t❤ r❡s♣❡❝t t♦ r❡s♦♥❛♥t ❢r❡q✉❡♥❝✐❡s ❬❇✉✛❛ ❛♥❞ ❍✐♣t♠❛✐r

✭✷✵✵✺✮✱ ❍✐♣t♠❛✐r ❛♥❞ ▼❡✉r② ✭✷✵✵✻✮❪

❱❛r✐❛t✐♦♥❛❧ ❢♦r♠✉❧❛t✐♦♥

                   V(❢ , ❢ t) +

• ◆(γ✵❢ ), γ✵❢ t

Γ∞ +

• ˜

❉ − ✶ ✷■

• (λ), γ✵❢ t
• Γ∞

=

• γ✶❢✐♥❝, γ✵❢ t

Γ∞

• ❉ − ✶

✷■

• (γ✵❢ ), λt
• Γ∞

−

• ❙(λ), λt

Γ∞ + ✐

• ♣, λt

Γ∞ = −

• γ✵❢✐♥❝, λt

Γ∞

• ◆(γ✵❢ ), ♣t

Γ∞ +

• ˜

❉ + ✶ ✷■

• (λ), ♣t
• Γ∞

− (♣, ♣t)❍✶(Γ∞) =

• γ✶❢✐♥❝, ♣t

Γ∞

• V(❢ , ❢ t) =
• Ω− rΞ∇❢ · ∇❢ t −
• Ω− r❦✷β❢ ❢ t + ✐
• Ω− r❦❱ ·
• ❢ ∇❢ t − ❢ t∇❢
• ◆✱ ❉✱ ˜

❉ ❛♥❞ ❙ ❛r❡ ✐♥t❡❣r❛❧ ♦♣❡r❛t♦rs

• ❢✐♥❝(①) = ❆❡①♣(✐❦|① − ①❙|)

✹π|① − ①❙| ❢♦r ❛ ♠♦♥♦♣♦❧❡ s♦✉r❝❡ ♦❢ ❛♠♣❧✐t✉❞❡ ❆ ❧♦❝❛t❡❞ ❛t ①❙

• ❦ = ✷π❢

❝ ✱ ✇✐t❤ ❢ t❤❡ ❢r❡q✉❡♥❝② ♦❢ t❤❡ s♦✉r❝❡

❲❡❧❧✲♣♦s❡❞ ❢♦r♠✉❧❛t✐♦♥

❋r❡❞❤♦❧♠ ❛❧t❡r♥❛t✐✈❡

• ✉♥✐q✉❡♥❡ss ✿ ❘❡❧❧✐❝❤ ❧❡♠♠❛ ❛♥❞ ✉♥✐q✉❡ ❝♦♥t✐♥✉❛t✐♦♥ ♣r♦♣❡rt②✱ ✇✐t❤ ✏✇❡❛❦❧②

r❡❣✉❧❛r✑ ❝♦❡✣❝✐❡♥ts ❬●❛r♦❢❛❧♦ ❡t ▲✐♥ ✭✶✾✽✼✮❪

• ✐s♦❧❛t❡ ❛ ❝♦❡r❝✐✈❡ ♣❛rt ♦❢ t❤❡ s❡sq✉✐❧✐♥❡❛r ❢♦r♠ ✭✐♥❝❧✉❞✐♥❣ st❛❜✐❧✐③❛t✐♦♥✮
• ❝♦♠♣❛❝t ♣❡rt✉r❜❛t✐♦♥

❋✐♥✐t❡ ❞✐♠❡♥s✐♦♥ ❛♣♣r♦①✐♠❛t✐♦♥

• t❡tr❛❤❡❞r❛❧ ♠❡s❤✱ ♠❡s❤s✐③❡ ❤
• ✜♥✐t❡ ❡❧❡♠❡♥ts P✶ ❢♦r ❢ ❛♥❞ ♣✱ ❛♥❞ ✜♥✐t❡ ❡❧❡♠❡♥ts P✵ ❢♦r λ
• ✐♥❢✲s✉♣ st❛❜❧❡ ❞✐s❝r❡t❡ ❢♦r♠✉❧❛t✐♦♥ ✭❢♦r ❤ s♠❛❧❧ ❡♥♦✉❣❤✮

❈♦♥❝❧✉s✐♦♥

• ❉✐r❡❝t ✉s❡ ♦❢ ❇❊▼ ❝♦❞❡s ❢♦r ❍❡❧♠❤♦t③
• ◆✉♠❡r✐❝❛❧ ♠❡t❤♦❞ ✈❛❧✐❞ ❢♦r ❛❧❧ ❢r❡q✉❡♥❝✐❡s ♦❢ t❤❡ s♦✉r❝❡

❲❡❧❧✲♣♦s❡❞ ✈❛r✐❛t✐♦♥❛❧ ❢♦r♠✉❧❛t✐♦♥

❬❋✳❈✳✱ ❆✳ ❊r♥ ❛♥❞ ●✳ ❙②❧✈❛♥❞ ✭✷✵✶✹✮❪

◆✉♠❡r✐❝❛❧ ✐❧❧✉str❛t✐♦♥

❈♦♠♣✉t❛t✐♦♥ ❜② ❆✐r❜✉s ✭✸✺✵❦ ❞♦❢✱ ❋▼▼ ✿ ✶❤✸✵ s✉r ✸✷ ♣r♦❝✮

❆❝♦✉st✐❝ s❝❛tt❡r✐♥❣ ❜② ❛ t✉r❜♦❥❡t

❈♦♠♣✉t❛t✐♦♥ ❜② ❆✐r❜✉s ✭✹.✼▼ ❞❞❧✱ ❋▼▼ ✿ ✶❤✸✵ s✉r ✶✻✵ ♣r♦❝✮

❖✉t❧✐♥❡

❚✇♦ ❛❡r♦❛❝♦✉st✐❝ ♣r♦❜❧❡♠s s♦❧✈❡❞ ❜② ✐♥t❡❣r❛❧ ❡q✉❛t✐♦♥s ❆❝♦✉st✐❝ s❝❛tt❡r✐♥❣ ❜② ✐♠♣❡❞❛♥t ♦❜❥❡❝ts ✐♥ t❤❡ ❛✐r ❛t r❡st ❆❝♦✉st✐❝ s❝❛tt❡r✐♥❣ ✐♥ ♠♦✈✐♥❣ ❛✐r ❙♦♠❡ ❝♦♥tr✐❜✉t✐♦♥s t♦ t❤❡ ❘❡❞✉❝❡❞ ❇❛s✐s ♠❡t❤♦❞ ✭❆ q✉✐❝❦ r❡♠✐♥❞❡r ♦♥✮ ❚❤❡ r❡❞✉❝❡❞ ❜❛s✐s ♠❡t❤♦❞ ❆♥ ❛❝❝✉r❛t❡ ❛♥❞ ♦♥❧✐♥❡✲❡✣❝✐❡♥t ❡✈❛❧✉❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ❡rr♦r ❜♦✉♥❞ ❆ ♥♦♥✐♥tr✉s✐✈❡ t❡❝❤♥✐q✉❡ ❢♦r t❤❡ ❘❇ ♠❡t❤♦❞ ❙♦♠❡ ♥✉♠❡r✐❝❛❧ ✐❧❧✉str❛t✐♦♥s

❚❤❡ r❡❞✉❝❡❞ ❜❛s✐s ♠❡t❤♦❞

P❛r❛♠❡tr✐③❡❞ ♣r♦❜❧❡♠ ✲ ✐❞❡❛❧✐③❡❞ ❝❛s❡

❛µ(✉µ, ✈) = ❜(✈) ∀✈ ∈ V ✇❤❡r❡

• µ ∈ P ✐s t❤❡ ♣❛r❛♠❡t❡r
• ❛µ ✐s ❛ ❝♦♥t✐♥✉♦✉s ❛♥❞ ❝♦❡r❝✐✈❡ ❜✐❧✐♥❡❛r ❢♦r♠ ✭✉♥✐❢♦r♠❧② ✐♥ µ✮
• ❜ ✐s ❛ ❝♦♥t✐♥✉♦✉s ❧✐♥❡❛r ❢♦r♠
• V ✐s ❛ ◆✲❞✐♠❡♥s✐♦♥❛❧ ❧✐♥❡❛r s♣❛❝❡✱ ❛♣♣r♦①✳ ♦❢ ❛ ❍✐❧❜❡rt s♣❛❝❡ ❍✱ ◆ ≫ ✶
• ♦❛❧

❈♦♠♣✉t❡ ❛♥ ❛♣♣r♦①✐♠❛t✐♦♥ ˆ ✉µ ♦❢ ✉µ ❛♥❞ ✭s❤❛r♣✮ ✉♣♣❡r ❜♦✉♥❞ ♦❢ |ˆ ✉µ − ✉µ| ✐♥ ❝♦♠♣❧❡①✐t② ✐♥❞❡♣❡♥❞❡♥t ♦❢ ◆

❙♦♠❡ ❡❛r❧② r❡❢❡r❡♥❝❡s

❬▼❛❝❤✐❡❧s✱ ▼❛❞❛②✱ ❖❧✐✈❡✐r❛✱ P❛t❡r❛ ❛♥❞ ❘♦✈❛s ✭✷✵✵✵✮❪ ❬Pr✉❞✬❤♦♠♠❡✱ ❘♦✈❛s✱ ❱❡r♦②✱ ▼❛❝❤✐❡❧s✱ ▼❛❞❛②✱ P❛t❡r❛ ❛♥❞ ❚✉r✐♥✐❝✐ ✭✷✵✵✷✮❪

Pr✐♥❝✐♣❧❡s

❖✤✐♥❡ st❛❣❡

• s♦♠❡ ♣❛r❛♠❡t❡r ✈❛❧✉❡s (µ✐)✶≤✐≤ ˆ

◆ ❛r❡ ❝❤♦s❡♥ ✐♥ Ptr✐❛❧ ⊂ P ❜② ❛ ❣r❡❡❞②

❛❧❣♦r✐t❤♠✱ ˆ ◆ ≪ ◆

• t❤❡ ❢✉❧❧ s♦❧✉t✐♦♥s ✉µ✐ ❛r❡ ❝♦♠♣✉t❡❞ ❢♦r ❛❧❧ ✶ ≤ ✐ ≤ ˆ

◆

• ❛♣♣r♦①✐♠❛t✐♦♥ s♣❛❝❡ ˆ

V ˆ

◆ = ❱❡❝t{✉µ✶, · · · , ✉µ ˆ

◆}

❖♥❧✐♥❡ ♣r♦❜❧❡♠

• ❛❧❡r❦✐♥ ♣r♦❝❡❞✉r❡ ♦♥ ˆ

V ˆ

◆

❛µ(ˆ ✉µ, ✉µ❥ ) = ❜(✉µ❥ ) ∀❥ ∈ {✶, ..., ˆ ◆} ❚❤❡ ❞❡❝♦♠♣♦s✐t✐♦♥ ♦❢ ˆ ✉µ ✐♥ ˆ V ˆ

◆ ✐s ❞❡♥♦t❡❞

ˆ ✉µ =

ˆ ◆

• ✐=✶

γ✐(µ)✉µ✐

❆ ♣♦st❡r✐♦r✐ ❡rr♦r ❜♦✉♥❞

❘❡s✐❞✉❛❧

▲❡t ●µ : ❍ → ❍ s✉❝❤ t❤❛t

• µ✉, ✈❍ = ❛µ(✉, ✈) − ❜(✈)

✇❤❡r❡ ·, ·❍ ✐s t❤❡ ✐♥♥❡r ♣r♦❞✉❝t ♦❢ ❍

❆ ♣♦st❡r✐♦r✐ ❡rr♦r ❜♦✉♥❞

E(µ) = ●µˆ ✉µ❍ β ≥ ˆ ✉µ − ✉µ❍ ✇❤❡r❡ β ✐s t❤❡ ❝♦❡r❝✐✈✐t② ❝♦♥st❛♥t ♦❢ ❛µ ❛♥❞ ✉❍ =

• ✉, ✉❍
• ♦❛❧✲♦r✐❡♥t❡❞

◆❡❡❞ t♦ ✐♥tr♦❞✉❝❡ ❛ ❞✉❛❧ ♣r♦❜❧❡♠

❖♥❧✐♥❡✲❡✣❝✐❡♥❝②

❆✣♥❡ ❞❡♣❡♥❞❡♥❝❡

❛µ(·, ·) ❤❛s ❛♥ ❛✣♥❡ ❞❡♣❡♥❞❡♥❝❡ ✐♥ µ ✐❢ t❤❡r❡ ❡①✐sts µ → α❦(µ) ❛♥❞ ❛❦(·, ·)✱ ✶ ≤ ❦ ≤ ❞✱ s✉❝❤ t❤❛t ❛µ(·, ·) = ❞

❦=✶ α❦(µ)❛❦(·, ·)

❚❤❡ ❦❡② ❛ss✉♠♣t✐♦♥

❆✣♥❡ ❞❡♣❡♥❞❡♥❝❡ ❛❧❧♦✇s t♦ ❝♦♥str✉❝t t❤❡ ♦♥❧✐♥❡ ♣r♦❜❧❡♠ ❛♥❞ ❝♦♠♣✉t❡ t❤❡ ❡rr♦r ❜♦✉♥❞ ✐♥ ❝♦♠♣❧❡①✐t② ✐♥❞❡♣❡♥❞❡♥t ♦❢ ◆✱ s✐♥❝❡ ❛µ(✉µ✐ , ✉µ❥ ) =

❞

• ❦=✶

α❦(µ)❛❦(✉µ✐ , ✉µ❥ ) E(µ) = ✶ β  ❏❜, ❏❜❍ − ✷

❞

• ❦=✶

ˆ ◆

• ✐=✶

α❦(µ)γ✐(µ)❏❜, ❏❛❦(✉µ✐ , ·)❍ +

❞

• ❦=✶

❞

• ❧=✶

ˆ ◆

• ✐=✶

ˆ ◆

• ❥=✶

α❦(µ)γ✐(µ)α❧(µ)γ❥(µ)

• ❏❛❦(✉µ✐ , ·), ❏❛♣(✉µ❥ , ·)
• ❍

 

✶ ✷

✇❤❡r❡ t❤❡ ♦♥❧② ◆✲❞❡♣❡♥❞❡♥t q✉❛♥t✐t✐❡s ❛r❡ µ✲✐♥❞❡♣❡♥❞❡♥t✱ ❛♥❞ t❤❡r❡❢♦r❡ ❝❛♥ ❜❡ ♣r❡❝♦♠♣✉t❡❞ ❞✉r✐♥❣ t❤❡ ♦✤✐♥❡ st❛❣❡

❚✇♦ ❜♦tt❧❡♥❡❝❦s ❛r❡ ✐♥✈❡st✐❣❛t❡❞

✶ ✲ t❤❡ ❢♦r♠✉❧❛ ❢♦r t❤❡ ❡rr♦r ❜♦✉♥❞ ✐s ✈❡r② s❡♥s✐t✐✈❡ t♦ r♦✉♥❞✲♦✛ ❡rr♦rs

❉❡♥♦t❡

• E✶(µ) = ●µˆ

✉µ❍ β

• E✷(µ) = ♦♥❧✐♥❡✲❡✣❝✐❡♥t ❢♦r♠✉❧❛

E✶(µ) = E✷(µ) ✐♥ ❡①❛❝t ❛r✐t❤♠❡t✐❝s

❙✐♠♣❧❡ ❡①❛♠♣❧❡

−✉′′ + µ✉ = ✶ ♦♥ ]✵, ✶[ ✇✐t❤ ✉(✵) = ✉(✶) = ✵

20 40 60 80 100

¹

−15 −14 −13 −12 −11 −10 −9 −8 −7

log10(error bound(¹)) E1(¹) E2(¹)

✷ ✲ t❤❡ ❘❇ ♠❡t❤♦❞ ✐s ✐♥tr✉s✐✈❡

❚❤❡ ♣r❡❝♦♠♣✉t❛t✐♦♥s ✐♥ ❛µ(✉µ✐ , ✉µ❥ ) = ❞

❦=✶ α❦(µ)❛❦(✉µ✐ , ✉µ❥ ) s✉♣♣♦s❡ t❤❛t

✇❡ ❝❛♥ ♠♦❞✐❢② t❤❡ ❡❧❡♠❡♥t❛r② ❛ss❡♠❜❧② r♦✉t✐♥❡s ♦❢ t❤❡ ❝♦❞❡

◆❡✇ ❢♦r♠✉❧❛ ❢♦r ❝♦♠♣✉t✐♥❣ t❤❡ ❡rr♦r ❜♦✉♥❞

❘❡✇r✐t✐♥❣ ♦❢ E✷

❉❡✜♥❡

• ①(µ) ∈ R❞ ˆ

◆✱ ✇✐t❤ ❝♦♠♣♦♥❡♥ts α❦(µ)γ✐(µ)✱ ✶ ≤ ❦ ≤ ❞✱ ✶ ≤ ✐ ≤ ˆ

◆

• σ = ✶ + ❞ ˆ

◆ + ✶

✷❞ ˆ

◆(❞ ˆ ◆ + ✶)

• ❳(µ) ∈ Rσ✱ ✇✐t❤ ❝♦♠♣♦♥❡♥ts (✶, ①■(µ), ①■(µ)①❏(µ))✱ ✶ ≤ ■ ≤ ❏ ≤ ❞ ˆ

◆ (βE(µ))✷ ✐s ❛ ❧✐♥❡❛r ❢♦r♠ ✐♥ ❳(µ) ✿ ∃q ∈ Rσ✱ ✐♥❞❡♣❡♥❞❡♥t ♦❢ µ✱ s✳t✳ (βE(µ))✷ =

σ

• ♣=✶

q♣❳♣(µ)

❙❡♣❛r❛t❡❞ r❡♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥ ♦❢ ❳♣(µ)

❊♠♣✐r✐❝❛❧ ■♥t❡r♣♦❧❛t✐♦♥ ▼❡t❤♦❞ ✭❊■▼✮ ❬❇❛rr❛✉❧t✱ ▼❛❞❛②✱ ◆❣✉②❡♥✱ P❛t❡r❛ ✭✷✵✵✹✮❪

❊♠♣✐r✐❝❛❧ ■♥t❡r♣♦❧❛t✐♦♥ ▼❡t❤♦❞ ❢♦r ❳♣(µ)

• ■♥✐t✐❛❧✐③❛t✐♦♥ ❦ = ✶
• ❈♦♠♣✉t❡ ♣✶ :=

❛r❣♠❛①

♣∈{✶,...,s}

❳♣(·)ℓ∞(Ptr✐❛❧)

• ❈♦♠♣✉t❡ µ✶ := ❛r❣♠❛①

µ∈Ptr✐❛❧

|❳♣✶(µ)| ❛♥❞ s❡t P✐♥t❡r = {µ✶}

• ❙❡t q✶(·) :=

❳♣✶(·) ❳♣✶(µ✶) ❛♥❞ ❇✶

✶✶ := ✶

• ❲❤✐❧❡ ❦ < ˆ

σ

• ❈♦♠♣✉t❡ ♣❦+✶ :=

❛r❣♠❛①

♣∈{✶,...,s}

(δ❦❳)♣(·)ℓ∞(Ptr✐❛❧)

• ❈♦♠♣✉t❡ µ❦+✶ := ❛r❣♠❛①

µ∈Ptr✐❛❧

|(δ❦❳)♣❦+✶(µ)| ❛♥❞ s❡t P✐♥t❡r := P✐♥t❡r ∪ {µ❦+✶}

• ❙❡t q❦+✶(·) :=

(δ❦❳)♣❦+✶(·) (δ❦❳)♣❦+✶(µ❦+✶) ❛♥❞ ❇❦+✶

✐❥

:= q❥(µ✐)✱ ✶ ≤ ✐, ❥ ≤ ❦ + ✶

• ❦ ← ❦ + ✶

✇❤❡r❡ δ❦ := ■❞ − ■ ❦ ❛♥❞ ■ ❦❳(µ) :=

❦

• r=✶

λ❦

r (µ)❳(µr),

✇✐t❤ λ❦(µ) ∈ C❦ s♦❧✈❡s ❇❦λ❦(µ) = q❦(µ)

❊♠♣✐r✐❝❛❧ ■♥t❡r♣♦❧❛t✐♦♥ ▼❡t❤♦❞ ❢♦r ❳♣(µ)

❈❤❛♥❣❡ ♦❢ ❜❛s❡

❙✐♥❝❡ ❱❡❝t

✶≤♠≤❦ (q♠(·)) = ❱❡❝t ✶≤♠≤❦ (❳♣♠(·))✱ t❤❡r❡ ❡①✐sts ❛ ♠❛tr✐① Γ ∈ R❦×❦ s✉❝❤

t❤❛t✱ ❢♦r ❛❧❧ ✶ ≤ ❧ ≤ ❦✱

❦

• ♠=✶

Γ❧♠q♠(µ) = ❳♣♠(µ), ∀µ ∈ P Γ ✐s ❝♦♥str✉❝t❡❞ r❡❝✉rs✐✈❡❧② ✿

• ❦ = ✶ ✿

Γ✶,✶ = ❳♣✶(µ✶),

• ❦ → ❦ + ✶ ✿

Γ❦+✶,❦+✶ = (δ❦❳)♣❦+✶(µ❦+✶), Γ❧,❦+✶ = ✵, ∀✶ ≤ ❧ ≤ ❦, Γ❦+✶,❧ = κ❧, ∀✶ ≤ ❧ ≤ ❦, ✇❤❡r❡ κ ✐s s✉❝❤ t❤❛t ❦

♠=✶ ❇❧♠κ♠ = ❳♣❦+✶(µ❧)✱ ❢♦r ❛❧❧ ✶ ≤ ❧ ≤ ❦

◆❡✇ ❢♦r♠✉❧❛ ❢♦r ❝♦♠♣✉t✐♥❣ t❤❡ ❡rr♦r ❜♦✉♥❞

❙❡♣❛r❛t❡❞ r❡♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥ ♦❢ ❳♣(µ)

❳♣(µ) ≈ (■ ˆ

σ❳)♣(µ) = ˆ σ

• ✐=✶

ˆ σ

• ❥=✶

∆✐❥❳♣❥ (µ)❳♣(µ✐) ˆ σ ≤ σ ✇❤❡r❡ ∆ := ❇−t∆−✶

◆❡✇ ♦♥❧✐♥❡ ❡st✐♠❛t♦r

❯s✐♥❣ t❤❡ s❡♣❛r❛t❡❞ r❡♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥ ♦❢ ❳(µ) ❛♥❞ ❡①❝❤❛♥❣✐♥❣ s✉♠♠❛t✐♦♥ ♦r❞❡r (βE(µ))✷ ≈

σ

• ♣=✶

q♣   

ˆ σ

• ✐=✶

ˆ σ

• ❥=✶

∆✐❥❳♣❥ (µ)❳♣(µ✐)    =

ˆ σ

• ✐=✶

  

ˆ σ

• ❥=✶

∆✐❥❳♣❥ (µ)   

• λ✐ (µ)

σ

• ♣=✶

q♣❳♣(µ✐)

• (βE(µ✐ ))✷

❧❡❛❞✐♥❣ t♦ E✸(µ) := ✶ β

• ˆ

σ

• ✐=✶

λ✐(µ) (βE✶(µ✐))✷ ✶

✷

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❆♥ ♦♥❧✐♥❡✲❡✣❝✐❡♥t ❢♦r♠✉❧❛

❚❤❡ ❛❝❝✉r❛t❡ ❡✈❛❧✉❛t✐♦♥s E✶(µ✐)✱ ✶ ≤ ✐ ≤ ˆ σ✱ ❛r❡ ♣r❡❝♦♠♣✉t❡❞ ❞✉r✐♥❣ t❤❡ ♦✤✐♥❡ st❛❣❡ ❛♥❞ λ✐(µ) ❛r❡ ❝♦♠♣✉t❡❞ ✐♥ ❝♦♠♣❧❡①✐t② ✐♥❞❡♣❡♥❞❡♥t ♦❢ ◆

❙✉♠♠❛r②

E✶(µ) E✷(µ) E✸(µ) ❆❝❝✉r❛❝② s❝❛❧❡s ❧✐❦❡ ǫ √ǫ ǫ ❖♥❧✐♥❡ ❡✣❝✐❡♥❝② ◆♦ ❨❡s ❨❡s ✇❤❡r❡ ǫ ✐s t❤❡ ♠❛❝❤✐♥❡ ♣r❡❝✐s✐♦♥

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• ❜❛❞ st❛❜✐❧✐t② ❝♦♥st❛♥t ✭❝❛♥ ❜❡ t❤❡ ❝❛s❡ ❢♦r t❤❡ ❍❡❧♠❤♦❧t③ ❡q✉❛t✐♦♥✮
• ♥♦♥❧✐♥❡❛r ♣r♦❜❧❡♠s✳ ❇r❡③③✐✲❘❛♣♣❛③✲❘❛✈✐❛rt t❤❡♦r② ✿ ♥♦ ❡rr♦r ❜♦✉♥❞ ✐s

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❘❡❢❡r❡♥❝❡s

❬❋✳❈✳ ✭✷✵✶✷✮❪ ❬❋✳❈✳✱ ❆✳ ❊r♥ ❛♥❞ ❚✳ ▲❡❧✐è✈r❡ ✭✷✵✶✸✮❪

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❇❛❝❦ t♦ t❤❡ s✐♠♣❧❡ ♣r♦❜❧❡♠

−✉′′ + µ✉ = ✶ ♦♥ ]✵, ✶[ ✇✐t❤ ✉(✵) = ✉(✶) = ✵

• ❞ = ✷✱ ˆ

◆ = ✼ = ⇒ σ = ✶✷✵

• ˆ

σ = ✷✸

20 40 60 80 100

¹

−15 −14 −13 −12 −11 −10 −9 −8 −7

log10(error bound(¹)) E1(¹) E2(¹) E3(¹)

❆❝♦✉st✐❝s ♣r♦❜❧❡♠

Γ1

acoustic monopole

Γ2

      

• ◆χ − ✐❦

✷µχ, χt

• +
• ˜

❉λ, χt =

• γ✶♣✐♥❝, χt

,

• ❉χ, λt

−

• ❙λ + ✐µ

✷❦ λ, λt

• = −
• γ✵♣✐♥❝, λt

,

❆❝♦✉st✐❝s ♣r♦❜❧❡♠

0.990 0.995 1.000 1.005 1.010 0.990 0.995 1.000 1.005 1.010 −26 −24 −22 −20 −18 −16

E✶

0.990 0.995 1.000 1.005 1.010 0.990 0.995 1.000 1.005 1.010 −14.2 −14.0 −13.8 −13.6 −13.4 −13.2

E✷

0.990 0.995 1.000 1.005 1.010 0.990 0.995 1.000 1.005 1.010 −26 −24 −22 −20 −18 −16

E✸ ❚✇♦ s❝❛tt❡r✐♥❣ ❜❛❧❧s✱ s✳t✳

• ❞ = ✺✱ ˆ

◆ = ✽ = ⇒ σ = ✶✻✽✶ ✭❝♦♠♣❧❡①✮

• ˆ

σ = ✻✵

◆♦♥✐♥tr✉s✐✈✐t② ♦❢ r❡❞✉❝❡❞ ♣r♦❜❧❡♠ ❝♦♥str✉❝t✐♦♥

❊①❛♠♣❧❡ ♦❢ ❛✣♥❡ ❞❡❝♦♠♣♦s✐t✐♦♥

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• Ω

∇ϕ✐ · ∇ϕ❥❞①

• :=❆✵✐❥

+µ

• Ω

ϕ✐ϕ❥❞①

• :=❆✶✐❥

, ✶ ≤ ✐, ❥ ≤ ◆ ❈♦♠♣✉t✐♥❣ ❆✵ ❛♥❞ ❆✶ r❡q✉✐r❡s ❡♥t❡r✐♥❣ t❤❡ ❛ss❡♠❜❧② r♦✉t✐♥❡s ♦❢ t❤❡ ❝♦❞❡

• ♥♦t ❢❡❛s❛❜❧❡ ❢♦r ❧❛r❣❡ ✐♥❞✉str✐❛❧ ❝♦❞❡s
• ♥♦♥✐♥tr✉s✐✈✐t② ✿ ✉s❡ ♦♥❧② ❢✉❧❧ ♠❛tr✐① ❆µ ❛t ✉s❡r✲s❡❧❡❝t❡❞ µ✬s

❙✐♠♣❧❡ ✜①

❙❡❧❡❝t t✇♦ ✈❛❧✉❡s ♦❢ t❤❡ ♣❛r❛♠❡t❡r ❛♥❞ ♦❜s❡r✈❡ t❤❛t ❆µ = µ✷ − µ µ✷ − µ✶ ❆µ✶ + µ − µ✶ µ✷ − µ✶ ❆µ✷

• ♦❛❧ ✶

❊①t❡♥❞ t❤✐s ✐❞❡❛ ❢♦r ♠♦r❡ ❝♦♠♣❧❡① ♣❛r❛♠❡t❡r ❞❡♣❡♥❞❡♥❝✐❡s

❋r♦♠ ❛✣♥❡ ❞❡♣❡♥❞❡♥❝❡ t♦ ♥♦♥✐♥tr✉s✐✈✐t②

• ❡♥❡r❛❧ ❛✣♥❡ ❞❡♣❡♥❞❡♥❝❡

❆µ,✐❥ =

ς

• s=✶

❣s(µ)

• Ω

ψs,✐❥(①)❞① ✭♣r❡✈✐♦✉s ❡①❛♠♣❧❡ ✿ ς = ✷✱ ❣✶(µ) = ✶✱ ψ✶,✐❥(①) = ∇ϕ✐(①) · ∇ϕ❥(①)✱ ❣✷(µ) = µ✱ ψ✷,✐❥(①) = ϕ✐(①)ϕ❥(①)✮

❑❡② ✐❞❡❛

❙❡♣❛r❛t❡ µ ❛♥❞ s ✐♥ ❣s(µ) ✉s✐♥❣ ❊■▼ ✭♦❢ r❛♥❦ ❞ ≤ ς✮ ❣s(µ) ≈ (■❞❣)(µ, s) =

❞

• ❦=✶

❞

• ❧=✶

∆❦❧❣s❧ (µ)

• :=β❦(µ)

❣s(µ❦)

◆♦♥✐♥tr✉s✐✈❡ ❛♣♣r♦①✐♠❛t✐♦♥

❊①❝❤❛♥❣❡ s✉♠♠❛t✐♦♥ ♦r❞❡r ❆µ,✐❥ ≈

ς

• s=✶

(■❞❣)(µ, s)

• Ω

ψs,✐❥(①)❞① =

❞

• ❦=✶

β❦(µ)❆µ❦,✐❥

◆♦♥❛✣♥❡ ♣❛r❛♠❡t❡r ❞❡♣❡♥❞❡♥❝✐❡s

• ❡♥❡r❛❧ ❝❛s❡

❆µ,✐❥ =

ς

• s=✶
• Ω

❣s(µ, ①)ψs,✐❥(①)❞①

• ♦❛❧ ✷

❆❝❤✐❡✈❡ ♥♦♥✐♥tr✉s✐✈✐t② ✐♥ t❤✐s ❣❡♥❡r❛❧ s❡tt✐♥❣

❙t❡♣ ✶ ✲ ❝❧❛ss✐❝❛❧

❯s❡ ς ❊■▼✬s ✭s❛♠❡ r❛♥❦ ❞ ❢♦r s✐♠♣❧✐❝✐t②✮ t♦ s❡♣❛r❛t❡ (µ, ①) ✐♥ t❤❡ ❣s✬s ✿ ❆♣♣r♦①✐♠❛t❡ ❆µ,✐❥ ≈ ■ ❣

❞ ❆µ,✐❥ ✇✐t❤

■ ❣

❞ ❆µ,✐❥ = ς

• s=✶

❞

• ❦=✶

❞

• ❧=✶

∆s,❦❧❣s(µ, ①s,♠)

• :=③s❦(µ)
• Ω

❣s(µs,❦, ①)ψs,✐❥(①)❞①

• :=◗s❦,✐❥

◆♦♥❛✣♥❡ ♣❛r❛♠❡t❡r ❞❡♣❡♥❞❡♥❝✐❡s

❘❡❣r♦✉♣ ✐♥❞✐❝❡s

s ❛♥❞ ❦ t♦ ✇r✐t❡ ✭❞ ♣ = ς❞✮ ■ ❣

❞ ❆µ,✐❥ = ❞♣

• ♣=✶

③♣(µ)◗♣,✐❥

❙t❡♣ ✷ ✲ ❦❡② ✐❞❡❛

❙❡♣❛r❛t❡ (µ, ♣) ✐♥ ③♣(µ) ✉s✐♥❣ ❛ s❡❝♦♥❞ ❊■▼ ✭r❛♥❦ ❞ ③ ≤ ❞ ♣✮ ③♣(µ) ≈

❞③

• ❦=✶

❞③

• ❧=✶

∆(③)

❦❧ ③♣(µ)

❧

(µ)③♣(µ(µ)

❦ )

◆♦♥❛✣♥❡ ♣❛r❛♠❡t❡r ❞❡♣❡♥❞❡♥❝✐❡s

◆♦♥✐♥tr✉s✐✈❡ ❢♦r♠✉❧❛

❊①❝❤❛♥❣✐♥❣ s✉♠♠❛t✐♦♥ ♦r❞❡r ❆µ,✐❥ ≈ ■ ❣

❞ ❆µ,✐❥ = ❞♣

• ♣=✶

❞③

• ❦=✶

❞③

• ❧=✶

∆(③)

❦❧ ③♣(µ)

❧

(µ)③♣(µ(③)

❦ )

• ◗♣,✐❥

=

❞③

• ❦=✶

❞③

• ❧=✶

∆(③)

❦❧ ③♣(③)

❧

(µ)

• :=β(③)

❦

(µ)

❞♣

• ♣=✶

③♣(µ(③)

❦ )◗♣,✐❥

• =■ ❣

❞ ❆ µ(③) ❦ ,✐❥ ≈❆ µ(③) ❦ ,✐❥

≈

❞③

• ❦=✶

β(③)

❦ (µ)❆µ(③)

❦ ,✐❥

✏◆♦♥✐♥tr✉s✐✈❡✑ ❘❡❞✉❝❡❞ ❇❛s✐s

◆♦t ❜❧❛❝❦✲❜♦①

❈♦❡✣❝✐❡♥ts ♦❢ t❤❡ r❡❞✉❝❡❞ ♠❛tr✐① ˆ ❆µ,✐❥ =

❞③

• ❦=✶

β(③)

❦ (µ)ˆ

❯t

✐ ❆µ(③)

❦

ˆ ❯❥ ◆♦♥✐♥tr✉s✐✈❡ ✐♥ t❤❡ s❡♥s❡ t❤❛t ✇❡ ♦♥❧② ♥❡❡❞

• t❤❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ (µ, ❱ ) → ❆µ❱ ✭q✉✐t❡ ❛ ♠✐❧❞ ❛ss✉♠♣t✐♦♥✮✳ ❆♥② ♦♣t✐♠✐③❡❞

♠❛tr✐①✲✈❡❝t♦r ♣r♦❞✉❝t ❛✈❛✐❧❛❜❧❡ ✐♥ t❤❡ ✐♥❞✉str✐❛❧ ❝♦❞❡ ❝❛♥ ❜❡ ❞✐r❡❝t❧② ✉s❡❞

• t♦ ❦♥♦✇ t❤❡ t❡r♠s ♦❢ t❤❡ ✈❛r✐❛t✐♦♥❛❧ ❢♦r♠✉❧❛t✐♦♥

❘❡❢❡r❡♥❝❡

❬❋✳❈✳✱ ❆✳ ❊r♥ ❛♥❞ ❚✳ ▲❡❧✐è✈r❡❪✱ s✉❜♠✐tt❡❞

❖✉t❧✐♥❡

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❆❝♦✉st✐❝ s❝❛tt❡r✐♥❣ ❜② ✐♠♣❡❞❛♥t ♦❜❥❡❝ts ✐♥ t❤❡ ❛✐r ❛t r❡st

▼❡s❤✱ ✷✷✹✵ ❞♦❢ P❛r❛♠❡tr✐❝ ♣r♦❜❧❡♠

• ♣❛r❛♠❡t❡rs ✿ ❢r❡q✉❡♥❝② ♦❢ t❤❡ s♦✉r❝❡ ✭♣❧❛♥❡ ✇❛✈❡✮✱ ✸ ✐♠♣❡❞❛♥t ❝♦❡✣❝✐❡♥ts
• q✉❛♥t✐t② ♦❢ ✐♥t❡r❡st ✿ ❢❛r✲✜❡❧❞ ❛❝♦✉st✐❝ s❝❛tt❡r❡❞ ✜❡❧❞ ♦♥ t❤❡ ❛①✐s ♦❢

s②♠♠❡tr②

❆❝♦✉st✐❝ s❝❛tt❡r✐♥❣ ❜② ✐♠♣❡❞❛♥t ♦❜❥❡❝ts ✐♥ t❤❡ ❛✐r ❛t r❡st

❘❡❞✉❝❡❞ ❜❛s✐s

• ❛♣♣r♦①✐♠❛t✐♦♥ ❢♦r♠✉❧❛ ❢♦r t❤❡ ♠❛tr✐① ✿ ✷✵ t❡r♠s✱ ❢♦r t❤❡ r✐❣❤t✲❤❛♥❞ s✐❞❡ ♦❢

t❤❡ ❞✐r❡❝t ❛♥❞ ❞✉❛❧ ♣r♦❜❧❡♠s ✿ ✶✸ t❡r♠s

• ✷✵ ❜❛s✐s ✈❡❝t♦rs ✭♠❛① ♦❢ t❤❡ ❡rr♦r ❜♦✉♥❞ ✶✵−✻✮
• s♣❡❡❞✲✉♣ ❢❛❝t♦r ❃ ✶✵✹ ✭ ✷.✽ ♠s ✈s ✸✵ s✮

❆❝♦✉st✐❝ s❝❛tt❡r✐♥❣ ✐♥ ♠♦✈✐♥❣ ❛✐r

▼❡s❤✱ ✶✼✶✶ ❞♦❢ P❛r❛♠❡tr✐❝ ♣r♦❜❧❡♠

• ♣❛r❛♠❡t❡rs ✿ ❢r❡q✉❡♥❝② ♦❢ t❤❡ s♦✉r❝❡ ✭♠♦♥♦♣♦❧❡✮✱ ✉♥✐❢♦r♠ ♣❡rt✉r❜❛t✐♦♥ ♦❢

t❤❡ ✢♦✇ ✭✸ ❝♦♠♣♦♥❡♥ts✮

• q✉❛♥t✐t② ♦❢ ✐♥t❡r❡st ✿ ❛❝♦✉st✐❝ ♣♦t❡♥t✐❛❧ ❛t ❛ ♣♦✐♥t

❆❝♦✉st✐❝ s❝❛tt❡r✐♥❣ ✐♥ ♠♦✈✐♥❣ ❛✐r

❋r❡q✉❡♥❝②✲❞❡♣❡♥❞❡♥t t❡r♠s ❋❧♦✇✲❞❡♣❡♥❞❡♥t t❡r♠s                    V(❢ , ❢ t) +

• ◆(γ✵❢ ), γ✵❢ t

Γ∞ +

• ˜

❉ − ✶ ✷■

• (λ), γ✵❢ t
• Γ∞

=

• γ✶❢✐♥❝, γ✵❢ t

Γ∞

• ❉ − ✶

✷■

• (γ✵❢ ), λt
• Γ∞

−

• ❙(λ), λt

Γ∞ + ✐

• ♣, λt

Γ∞ = −

• γ✵❢✐♥❝, λt

Γ∞

• ◆(γ✵❢ ), ♣t

Γ∞ +

• ˜

❉ + ✶ ✷■

• (λ), ♣t
• Γ∞

− (♣, ♣t)❍✶(Γ∞) =

• γ✶❢✐♥❝, ♣t

Γ∞

✇✐t❤ V(❢ , ❢ t) =

• Ω− rΞ∇❢ · ∇❢ t −
• Ω− r❦✷β❢ ❢ t + ✐
• Ω− r❦❱ ·
• ❢ ∇❢ t − ❢ t∇❢

❆❝♦✉st✐❝ s❝❛tt❡r✐♥❣ ✐♥ ♠♦✈✐♥❣ ❛✐r

❘❡❞✉❝❡❞ ❜❛s✐s

• ❛♣♣r♦①✐♠❛t✐♦♥ ❢♦r♠✉❧❛ ❢♦r t❤❡ ♠❛tr✐① ✿ ✷✺ t❡r♠s✱ ❢♦r t❤❡ r✐❣❤t✲❤❛♥❞ s✐❞❡ ♦❢

t❤❡ ❞✐r❡❝t ❛♥❞ ❞✉❛❧ ♣r♦❜❧❡♠s ✿ ✶✽ t❡r♠s

• ✷✵ ❜❛s✐s ✈❡❝t♦rs ✭♠❛① ♦❢ t❤❡ ❡rr♦r ❜♦✉♥❞ ✶✵−✼✮
• s♣❡❡❞✲✉♣ ❢❛❝t♦r ❃ ✺ × ✶✵✸ ✭ ✷.✽ ♠s ✈s ✶✹ s✮

❚♦✇❛r❞s ✐♥❞✉str✐❛❧ ❛♣♣❧✐❝❛t✐♦♥s

✏❙❝❛❧❛❜❧❡✑ ✐♠♣❧❡♠❡♥t❛t✐♦♥

• ♥❡✈❡r s❛✈❡ ❛ ♠❛tr✐① ♦♥ ❤❛r❞✲❞r✐✈❡
• ❢❛st ♠❛tr✐①✲✈❡❝t♦r ♣r♦❞✉❝ts ✭♣❛r❛❧❧❡❧ ❋▼▼✮
• ♣❛r❛❧❧❡❧ ❡①♣❧♦r❛t✐♦♥ ♦❢ Ptr✐❛❧

▼❡s❤✱ ✻✵✽✻✻ ❞♦❢

♣❛r❛♠❡t❡rs ✿ ❢r❡q✉❡♥❝② ♦❢ t❤❡ s♦✉r❝❡ ✭♠♦♥♦♣♦❧❡✮✱ ✸ ✐♠♣❡❞❛♥t ❝♦❡✣❝✐❡♥ts

❚♦✇❛r❞s ✐♥❞✉str✐❛❧ ❛♣♣❧✐❝❛t✐♦♥s

❘❡❞✉❝❡❞ ❜❛s✐s

• ❛♣♣r♦①✐♠❛t✐♦♥ ❢♦r♠✉❧❛ ❢♦r t❤❡ ♠❛tr✐① ✿ ✺✵ t❡r♠s✱ ❢♦r t❤❡ r✐❣❤t✲❤❛♥❞ s✐❞❡ ♦❢

t❤❡ ❞✐r❡❝t ♣r♦❜❧❡♠ ✿ ✻✵ t❡r♠s

• ✸✵ ❜❛s✐s ✈❡❝t♦rs
• ♦✤✐♥❡ st❛❣❡ ✿ ≈ ✷ ❞❛②s✱ ❡①♣❧♦r❛t✐♦♥ ♦❢ Ptr✐❛❧ ≈ ✶ ❤♦✉r ❛t t❤❡ ✸✵t❤ ❧♦♦♣
• s♣❡❡❞✲✉♣ ❢❛❝t♦r ≈ ✶.✻ × ✶✵✺ ✭ ✶✺ ♠s ✈s ✹✵ ♠✐♥✮
• ❛❧❧ ❝♦♠♣✉t❛t✐♦♥s ♦❢ t❤✐s ❧❛♣t♦♣ ✇✐t❤ ✹ ❈P❯s ❛♥❞ ✹ ●❇ ♦❢ ❘❆▼

❚♦✇❛r❞s ✐♥❞✉str✐❛❧ ❛♣♣❧✐❝❛t✐♦♥s

❋✐❣✉r❡✿ ▲❡❢t ✿ ❞✐r❡❝t s♦❧✉t✐♦♥✱ r✐❣❤t ✿ ❞✐✛❡r❡♥❝❡ ❜❡t✇❡❡♥ ❞✐r❡❝t ❛♥❞ ❘❇ s♦❧✉t✐♦♥s

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