s srttr - - PowerPoint PPT Presentation

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❚❛❜❧❡ ♦❢ ❈♦♥t❡♥ts ■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ❆ ❢❡✇ ❞❡✜♥✐t✐♦♥s ♦❢ ❜♦♥❞ ♣r✐❝✐♥❣ ✐♥ ❝♦♥t✐♥✉♦✉s t✐♠❡ ❛♥❞ ✐♥st❛♥t❛♥❡♦✉s s❤♦rt✲t❡r♠ ✐♥t❡r❡st r❛t❡ ❇♦♥❞ ♣r✐❝✐♥❣ ✐♥ ❝♦♥t✐♥✉♦✉s t✐♠❡ ❚❤❡ ❈♦①✱ ■♥❣❡rs♦❧❧ ❛♥❞ ❘♦ss ♠♦❞❡❧ ✭❈■❘✮ ❚❤❡ ♣r♦♣♦s❡❞ ♠♦❞❡❧ ❆♥ ❡st✐♠❛t✐♦♥ ♦❢ ♣❛r❛♠❡t❡rs ❛♥❞ st❛t❡ ✈❛r✐❛❜❧❡s ❙✐♠✉❧❛t✐♦♥s r❡s✉❧ts

❙❤♦rt t❡r♠ ✐♥t❡r❡st r❛t❡

❉❡✜♥✐t✐♦♥ ❚❤❡ s❤♦rt r❛t❡ rt✱ ❛t t✐♠❡ t ✐s t❤❡ r❛t❡ t❤❛t ❛♣♣❧✐❡s t♦ ❛♥ ✐♥✜♥✐t❡s✐♠❛❧❧② s❤♦rt ♣❡r✐♦❞ ♦❢ t✐♠❡ ❛t t✐♠❡ t✳ rt = lim

T →t+ R(t, T)

■t ✐s s♦♠❡t✐♠❡s r❡❢❡rr❡❞ t♦ ❛s t❤❡ ✐♥st❛♥t❛♥❡♦✉s s❤♦rt r❛t❡ ❲❡ ❝❛♥ ♥♦t✐❝❡ t❤❛t rt = lim

T →t+ −ln P(t, T) − ln P(t, t)

T − t = ∂ ∂T ln P(t, T) |T =t ✭✸✮

❚❛❜❧❡ ♦❢ ❈♦♥t❡♥ts ■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ❆ ❢❡✇ ❞❡✜♥✐t✐♦♥s ♦❢ ❜♦♥❞ ♣r✐❝✐♥❣ ✐♥ ❝♦♥t✐♥✉♦✉s t✐♠❡ ❛♥❞ ✐♥st❛♥t❛♥❡♦✉s s❤♦rt✲t❡r♠ ✐♥t❡r❡st r❛t❡ ❇♦♥❞ ♣r✐❝✐♥❣ ✐♥ ❝♦♥t✐♥✉♦✉s t✐♠❡ ❚❤❡ ❈♦①✱ ■♥❣❡rs♦❧❧ ❛♥❞ ❘♦ss ♠♦❞❡❧ ✭❈■❘✮ ❚❤❡ ♣r♦♣♦s❡❞ ♠♦❞❡❧ ❆♥ ❡st✐♠❛t✐♦♥ ♦❢ ♣❛r❛♠❡t❡rs ❛♥❞ st❛t❡ ✈❛r✐❛❜❧❡s ❙✐♠✉❧❛t✐♦♥s r❡s✉❧ts

❙❤♦rt t❡r♠ ✐♥t❡r❡st r❛t❡

❋♦❧❧♦✇✐♥❣ ✭❈♦① ❡t ❛❧✳ ✶✾✽✺✮ t❤❡ ♣r✐❝❡ ♦❢ ③❡r♦ ❝♦✉♣♦♥ ❜♦♥❞ ✐s P(t, T) = P(rt, δt) = A(δt)e−B(δt)rt, ✭✹✮ ✇❤❡r❡ δt = T − t ✐s ❛ ❜♦♥❞ t✐♠❡ t♦ ♠❛t✉r✐t②✳ ❉❡✜♥❡ ❛ ♥❡✇ ✈❛r✐❛❜❧❡ ˜ y(δt) = R(t, T), ❛♥❞ ❛ss✉♠❡ t❤❛t δt → 0✱ t❤❡♥ ✇❡ ❝❛♥ r❡✇r✐t❡ t❤❡ ❡q✉❛t✐♦♥ ✭✹✮ ❛♥❞ ❝❛t❝❤ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ r❡❧❛t✐♦♥✿ ˜ y(δt) = − ln A(δt) δt + B(δt) δt rt ✭✺✮ ❉❡s♣✐t❡ ❛ ❜❡✇✐❧❞❡r✐♥❣ ❛rr❛② ♦❢ ♠♦❞❡❧s✱ t❤❡r❡ ❛r❡ st✐❧❧ ♥❡✐t❤❡r ❞♦♠✐♥❛♥t ♠♦❞❡❧s ♥♦r ✇✐❞❡❧② ❛❝❝❡♣t❡❞ ♠❡t❤♦❞s ❢♦r ❡st✐♠❛t✐♦♥ ❢♦r t❤❡ t❡r♠ str✉❝t✉r❡✳

❚❛❜❧❡ ♦❢ ❈♦♥t❡♥ts ■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ❆ ❢❡✇ ❞❡✜♥✐t✐♦♥s ♦❢ ❜♦♥❞ ♣r✐❝✐♥❣ ✐♥ ❝♦♥t✐♥✉♦✉s t✐♠❡ ❛♥❞ ✐♥st❛♥t❛♥❡♦✉s s❤♦rt✲t❡r♠ ✐♥t❡r❡st r❛t❡ ❇♦♥❞ ♣r✐❝✐♥❣ ✐♥ ❝♦♥t✐♥✉♦✉s t✐♠❡ ❚❤❡ ❈♦①✱ ■♥❣❡rs♦❧❧ ❛♥❞ ❘♦ss ♠♦❞❡❧ ✭❈■❘✮ ❚❤❡ ♣r♦♣♦s❡❞ ♠♦❞❡❧ ❆♥ ❡st✐♠❛t✐♦♥ ♦❢ ♣❛r❛♠❡t❡rs ❛♥❞ st❛t❡ ✈❛r✐❛❜❧❡s ❙✐♠✉❧❛t✐♦♥s r❡s✉❧ts

▼♦❞❡❧ ❛♥❞ ❞❛t❛

❈♦①✱ ■♥❣❡rs♦❧❧ ❛♥❞ ❘♦ss ♣r❡s❡♥t❡❞ ❛♥ ❛✣♥❡ t❡r♠ str✉❝t✉r❡ ♠♦❞❡❧ ♦❢ r✐s❦✲❢r❡❡ ✐♥t❡r❡st r❛t❡s ✐♥ ❛♥ ❡q✉✐❧✐❜r✐✉♠ ❛♣♣r♦❛❝❤✳ ■♥ ✐ts ❜❛s✐❝ ❢♦r♠✱ t❤❡ ♠♦❞❡❧ ✐s ❛ ♦♥❡✲❢❛❝t♦r ♠♦❞❡❧ ✇❤✐❝❤ ❛ss✉♠❡s t❤❛t s❤♦rt✲t❡r♠ ✐♥t❡r❡st r❛t❡s ❝❛♥ ❜❡ r❡♣r❡s❡♥t❡❞ ❜② ❛ sq✉❛r❡ r♦♦t ❞✐✛✉s✐♦♥ ♠♦❞❡❧ ✇✐t❤ ❛ ♠❡❛♥ r❡✈❡rs✐♦♥✳ drt = κ(µ − rt)dt + σ√rtdWt ✭✻✮ ❚❤❡ r❛♥❞♦♠ ❝♦♠♣♦♥❡♥t ✐♥ ❈■❘ ✐s r❡♣r❡s❡♥t❡❞ ❜② t❤❡ ❲✐❡♥❡r ♣r♦❝❡ss ✐♥❝r❡♠❡♥t dWt ✳ ❚❤❡ ♣❛r❛♠❡t❡rs ✐♥ t❤✐s ❡q✉❛t✐♦♥ ❛r❡ ♣♦s✐t✐✈❡✱ κ > 0, µ > 0, σ > 0✳ ❆❞❞✐t✐♦♥❛❧❧②✱ κ ✐s t❤❡ r❛t❡ ♦❢ ♠❡❛♥ r❡✈❡rs✐♦♥✱ µ ✐s t❤❡ ❧♦♥❣ r✉♥ ♠❡❛♥✱ ❛♥❞ σ ❝♦rr❡s♣♦♥❞s t♦ ✈♦❧❛t✐❧✐t②✳ ■t ✐s ✇♦rt❤ ♥♦t✐♥❣ t❤❛t ✇❤❡♥ ✇❡ ✐♠♣♦s❡ t❤❡ ❝♦♥❞✐t✐♦♥ σ2 < 2κµ t❤❡♥ t❤❡ ✐♥t❡r❡st r❛t❡ ✐s ❛❧✇❛②s ♣♦s✐t✐✈❡✱ ♦t❤❡r✇✐s❡ ✇❡ ❝❛♥ ♦♥❧② ❣✉❛r❛♥t❡❡ t❤❛t ✐t ✐s ♥♦♥✲♥❡❣❛t✐✈❡ ✭✇✐t❤ ❛ ♣♦s✐t✐✈❡ ♣r♦❜❛❜✐❧✐t② t♦ t❡r♠✐♥❛t❡ ✐♥ ③❡r♦✮✳

❚❛❜❧❡ ♦❢ ❈♦♥t❡♥ts ■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ❆ ❢❡✇ ❞❡✜♥✐t✐♦♥s ♦❢ ❜♦♥❞ ♣r✐❝✐♥❣ ✐♥ ❝♦♥t✐♥✉♦✉s t✐♠❡ ❛♥❞ ✐♥st❛♥t❛♥❡♦✉s s❤♦rt✲t❡r♠ ✐♥t❡r❡st r❛t❡ ❇♦♥❞ ♣r✐❝✐♥❣ ✐♥ ❝♦♥t✐♥✉♦✉s t✐♠❡ ❚❤❡ ❈♦①✱ ■♥❣❡rs♦❧❧ ❛♥❞ ❘♦ss ♠♦❞❡❧ ✭❈■❘✮ ❚❤❡ ♣r♦♣♦s❡❞ ♠♦❞❡❧ ❆♥ ❡st✐♠❛t✐♦♥ ♦❢ ♣❛r❛♠❡t❡rs ❛♥❞ st❛t❡ ✈❛r✐❛❜❧❡s ❙✐♠✉❧❛t✐♦♥s r❡s✉❧ts

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❖♥❡ ❞r❛✇❜❛❝❦ ♦❢ t❤❡ ❈■❘ ♣r♦❝❡ss ✐s t❤❛t t❤❡ ❙❉❊ ✭✻✮ ✐s ♥♦t ❡①♣❧✐❝✐t❧② s♦❧✈❛❜❧❡✳ ■t ②✐❡❧❞s ❡①❛❝t❧② ♦♥❡ s♦❧✉t✐♦♥ ✇❤♦s❡ ❢♦r♠s ✐s ❞❡s❝r✐❜❡❞ ❜② rt = µ + (rs − µ)e−κ(t−s) + σe−κ(t−s) t

s

eκ(u−s)√rudWu ✭✼✮ ✇❤❡r❡ s ≤ t

❚❛❜❧❡ ♦❢ ❈♦♥t❡♥ts ■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ❆ ❢❡✇ ❞❡✜♥✐t✐♦♥s ♦❢ ❜♦♥❞ ♣r✐❝✐♥❣ ✐♥ ❝♦♥t✐♥✉♦✉s t✐♠❡ ❛♥❞ ✐♥st❛♥t❛♥❡♦✉s s❤♦rt✲t❡r♠ ✐♥t❡r❡st r❛t❡ ❇♦♥❞ ♣r✐❝✐♥❣ ✐♥ ❝♦♥t✐♥✉♦✉s t✐♠❡ ❚❤❡ ❈♦①✱ ■♥❣❡rs♦❧❧ ❛♥❞ ❘♦ss ♠♦❞❡❧ ✭❈■❘✮ ❚❤❡ ♣r♦♣♦s❡❞ ♠♦❞❡❧ ❆♥ ❡st✐♠❛t✐♦♥ ♦❢ ♣❛r❛♠❡t❡rs ❛♥❞ st❛t❡ ✈❛r✐❛❜❧❡s ❙✐♠✉❧❛t✐♦♥s r❡s✉❧ts

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❚❛❜❧❡ ♦❢ ❈♦♥t❡♥ts ■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ❆ ❢❡✇ ❞❡✜♥✐t✐♦♥s ♦❢ ❜♦♥❞ ♣r✐❝✐♥❣ ✐♥ ❝♦♥t✐♥✉♦✉s t✐♠❡ ❛♥❞ ✐♥st❛♥t❛♥❡♦✉s s❤♦rt✲t❡r♠ ✐♥t❡r❡st r❛t❡ ❇♦♥❞ ♣r✐❝✐♥❣ ✐♥ ❝♦♥t✐♥✉♦✉s t✐♠❡ ❚❤❡ ❈♦①✱ ■♥❣❡rs♦❧❧ ❛♥❞ ❘♦ss ♠♦❞❡❧ ✭❈■❘✮ ❚❤❡ ♣r♦♣♦s❡❞ ♠♦❞❡❧ ❆♥ ❡st✐♠❛t✐♦♥ ♦❢ ♣❛r❛♠❡t❡rs ❛♥❞ st❛t❡ ✈❛r✐❛❜❧❡s ❙✐♠✉❧❛t✐♦♥s r❡s✉❧ts

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❚❤❡ ♣♦♣✉❧❛r ❊✉❧❡r ❞✐s❝r❡t✐③❛t✐♦♥ ✐s ✐♥ ❣❡♥❡r❛❧ ❢❛st❡r t❤❛♥ t❤❡ ❡①❛❝t s✐♠✉❧❛t✐♦♥ ❜✉t ✐ts ❞r❛✇❜❛❝❦ ✐s t❤❛t ✐t ✐s ❛♥ ❛♣♣r♦①✐♠❛t✐♦♥ ♦❢ ❝♦♥t✐♥✉♦✉s✲t✐♠❡ ♣r♦❝❡ss ❜② ❞✐s❝r❡t❡✲t✐♠❡ ♣r♦❝❡ss✱ ❤❡♥❝❡ ✐t ✐♥tr♦❞✉❝❡s ❜✐❛s ✐♥t♦ t❤❡ s✐♠✉❧❛t✐♦♥ ❡st✐♠❛t♦r✳ ❚❤❡ ❛♣♣r♦①✐♠❛t✐♦♥ ♠❛② ♥♦t ❜❡ ✇❡❧❧✲❞❡✜♥❡❞ ❜❡❝❛✉s❡ ✐t ❝❛♥ ❧❡❛❞ t♦ ♥❡❣❛t✐✈❡ ✈❛r✐❛♥❝❡ ✈❛❧✉❡s ❢♦r ✇❤✐❝❤ t❤❡ sq✉❛r❡ r♦♦t ✐s ♥♦t ❞❡✜♥❡❞✳

❚❛❜❧❡ ♦❢ ❈♦♥t❡♥ts ■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ❆ ❢❡✇ ❞❡✜♥✐t✐♦♥s ♦❢ ❜♦♥❞ ♣r✐❝✐♥❣ ✐♥ ❝♦♥t✐♥✉♦✉s t✐♠❡ ❛♥❞ ✐♥st❛♥t❛♥❡♦✉s s❤♦rt✲t❡r♠ ✐♥t❡r❡st r❛t❡ ❇♦♥❞ ♣r✐❝✐♥❣ ✐♥ ❝♦♥t✐♥✉♦✉s t✐♠❡ ❚❤❡ ❈♦①✱ ■♥❣❡rs♦❧❧ ❛♥❞ ❘♦ss ♠♦❞❡❧ ✭❈■❘✮ ❚❤❡ ♣r♦♣♦s❡❞ ♠♦❞❡❧ ❆♥ ❡st✐♠❛t✐♦♥ ♦❢ ♣❛r❛♠❡t❡rs ❛♥❞ st❛t❡ ✈❛r✐❛❜❧❡s ❙✐♠✉❧❛t✐♦♥s r❡s✉❧ts

❚❤❡ ♣r♦♣♦s❡❞ ♠♦❞❡❧

❖✉r ❣♦❛❧ ✇❛s t♦ ❞❡✈❡❧♦♣ ❛ ♠❡t❤♦❞ t❤❛t ✇♦✉❧❞ ❜❡ ❝♦rr❡❝t✱ ❡✛❡❝t✐✈❡✱ ❜✉t ❛❧s♦ str❛✐❣❤t❢♦r✇❛r❞ ❢♦r ♣r❛❝t✐t✐♦♥❡rs✿ ❚❤❡ ❈■❘ ♠♦❞❡❧ ✐s ♥♦t ❡①♣❧✐❝✐t❧② s♦❧✈❛❜❧❡ ✲ ✇❡ ♥❡❡❞ t♦ ❛♣♣r♦①✐♠❛t❡ ❛ ♥✉♠❡r✐❝❛❧ s♦❧✉t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ❣✐✈❡♥ ❙❉❊✳ ❙✐♥❝❡ t❤❡ ♦❜s❡r✈❛t✐♦♥s ❛r❡ ♠❛❞❡ ✐♥ ❞✐s❝r❡t❡ t✐♠❡✱ ✇❡ ❞✐s❝r❡t✐③❡ t❤❡ s②st❡♠ ✭✺✮✱ ✭✻✮✱ ✇❤✐❝❤ ✐s ❛❞❞✐t✐♦♥❛❧❧② ♥❡❝❡ss❛r② ✐♥ ♦r❞❡r t♦ ❛♣♣❧② t❤❡ ♣❛rt✐❝❧❡ ✜❧t❡r✳ ❚♦ ❡st✐♠❛t❡ t❤❡ ♣❛r❛♠❡t❡rs ♦❢ t❤✐s ♠♦❞❡❧ ❜② t❤❡ ♠❛①✐♠✉♠ ❧✐❦❡❧✐❤♦♦❞ ♠❡t❤♦❞✱ ✐t ✐s ♥❡❝❡ss❛r② t♦ ✜♥❞ ❝♦♥❞✐t✐♦♥❛❧ ❞❡♥s✐t② ❢✉♥❝t✐♦♥✳

❚❛❜❧❡ ♦❢ ❈♦♥t❡♥ts ■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ❆ ❢❡✇ ❞❡✜♥✐t✐♦♥s ♦❢ ❜♦♥❞ ♣r✐❝✐♥❣ ✐♥ ❝♦♥t✐♥✉♦✉s t✐♠❡ ❛♥❞ ✐♥st❛♥t❛♥❡♦✉s s❤♦rt✲t❡r♠ ✐♥t❡r❡st r❛t❡ ❇♦♥❞ ♣r✐❝✐♥❣ ✐♥ ❝♦♥t✐♥✉♦✉s t✐♠❡ ❚❤❡ ❈♦①✱ ■♥❣❡rs♦❧❧ ❛♥❞ ❘♦ss ♠♦❞❡❧ ✭❈■❘✮ ❚❤❡ ♣r♦♣♦s❡❞ ♠♦❞❡❧ ❆♥ ❡st✐♠❛t✐♦♥ ♦❢ ♣❛r❛♠❡t❡rs ❛♥❞ st❛t❡ ✈❛r✐❛❜❧❡s ❙✐♠✉❧❛t✐♦♥s r❡s✉❧ts

❚❤❡ ♣r♦♣♦s❡❞ ♠♦❞❡❧

❖✉r ❣♦❛❧ ✇❛s t♦ ❞❡✈❡❧♦♣ ❛ ♠❡t❤♦❞ t❤❛t ✇♦✉❧❞ ❜❡ ❝♦rr❡❝t✱ ❡✛❡❝t✐✈❡✱ ❜✉t ❛❧s♦ str❛✐❣❤t❢♦r✇❛r❞ ❢♦r ♣r❛❝t✐t✐♦♥❡rs✿ ❚❤❡ ❈■❘ ♠♦❞❡❧ ✐s ♥♦t ❡①♣❧✐❝✐t❧② s♦❧✈❛❜❧❡ ✲ ✇❡ ♥❡❡❞ t♦ ❛♣♣r♦①✐♠❛t❡ ❛ ♥✉♠❡r✐❝❛❧ s♦❧✉t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ❣✐✈❡♥ ❙❉❊✳ ❙✐♥❝❡ t❤❡ ♦❜s❡r✈❛t✐♦♥s ❛r❡ ♠❛❞❡ ✐♥ ❞✐s❝r❡t❡ t✐♠❡✱ ✇❡ ❞✐s❝r❡t✐③❡ t❤❡ s②st❡♠ ✭✺✮✱ ✭✻✮✱ ✇❤✐❝❤ ✐s ❛❞❞✐t✐♦♥❛❧❧② ♥❡❝❡ss❛r② ✐♥ ♦r❞❡r t♦ ❛♣♣❧② t❤❡ ♣❛rt✐❝❧❡ ✜❧t❡r✳ ❚♦ ❡st✐♠❛t❡ t❤❡ ♣❛r❛♠❡t❡rs ♦❢ t❤✐s ♠♦❞❡❧ ❜② t❤❡ ♠❛①✐♠✉♠ ❧✐❦❡❧✐❤♦♦❞ ♠❡t❤♦❞✱ ✐t ✐s ♥❡❝❡ss❛r② t♦ ✜♥❞ ❝♦♥❞✐t✐♦♥❛❧ ❞❡♥s✐t② ❢✉♥❝t✐♦♥✳

❚❛❜❧❡ ♦❢ ❈♦♥t❡♥ts ■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ❆ ❢❡✇ ❞❡✜♥✐t✐♦♥s ♦❢ ❜♦♥❞ ♣r✐❝✐♥❣ ✐♥ ❝♦♥t✐♥✉♦✉s t✐♠❡ ❛♥❞ ✐♥st❛♥t❛♥❡♦✉s s❤♦rt✲t❡r♠ ✐♥t❡r❡st r❛t❡ ❇♦♥❞ ♣r✐❝✐♥❣ ✐♥ ❝♦♥t✐♥✉♦✉s t✐♠❡ ❚❤❡ ❈♦①✱ ■♥❣❡rs♦❧❧ ❛♥❞ ❘♦ss ♠♦❞❡❧ ✭❈■❘✮ ❚❤❡ ♣r♦♣♦s❡❞ ♠♦❞❡❧ ❆♥ ❡st✐♠❛t✐♦♥ ♦❢ ♣❛r❛♠❡t❡rs ❛♥❞ st❛t❡ ✈❛r✐❛❜❧❡s ❙✐♠✉❧❛t✐♦♥s r❡s✉❧ts

❚❤❡ ♣r♦♣♦s❡❞ ♠♦❞❡❧

❖✉r ❣♦❛❧ ✇❛s t♦ ❞❡✈❡❧♦♣ ❛ ♠❡t❤♦❞ t❤❛t ✇♦✉❧❞ ❜❡ ❝♦rr❡❝t✱ ❡✛❡❝t✐✈❡✱ ❜✉t ❛❧s♦ str❛✐❣❤t❢♦r✇❛r❞ ❢♦r ♣r❛❝t✐t✐♦♥❡rs✿ ❚❤❡ ❈■❘ ♠♦❞❡❧ ✐s ♥♦t ❡①♣❧✐❝✐t❧② s♦❧✈❛❜❧❡ ✲ ✇❡ ♥❡❡❞ t♦ ❛♣♣r♦①✐♠❛t❡ ❛ ♥✉♠❡r✐❝❛❧ s♦❧✉t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ❣✐✈❡♥ ❙❉❊✳ ❙✐♥❝❡ t❤❡ ♦❜s❡r✈❛t✐♦♥s ❛r❡ ♠❛❞❡ ✐♥ ❞✐s❝r❡t❡ t✐♠❡✱ ✇❡ ❞✐s❝r❡t✐③❡ t❤❡ s②st❡♠ ✭✺✮✱ ✭✻✮✱ ✇❤✐❝❤ ✐s ❛❞❞✐t✐♦♥❛❧❧② ♥❡❝❡ss❛r② ✐♥ ♦r❞❡r t♦ ❛♣♣❧② t❤❡ ♣❛rt✐❝❧❡ ✜❧t❡r✳ ❚♦ ❡st✐♠❛t❡ t❤❡ ♣❛r❛♠❡t❡rs ♦❢ t❤✐s ♠♦❞❡❧ ❜② t❤❡ ♠❛①✐♠✉♠ ❧✐❦❡❧✐❤♦♦❞ ♠❡t❤♦❞✱ ✐t ✐s ♥❡❝❡ss❛r② t♦ ✜♥❞ ❝♦♥❞✐t✐♦♥❛❧ ❞❡♥s✐t② ❢✉♥❝t✐♦♥✳

❚❛❜❧❡ ♦❢ ❈♦♥t❡♥ts ■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ❆ ❢❡✇ ❞❡✜♥✐t✐♦♥s ♦❢ ❜♦♥❞ ♣r✐❝✐♥❣ ✐♥ ❝♦♥t✐♥✉♦✉s t✐♠❡ ❛♥❞ ✐♥st❛♥t❛♥❡♦✉s s❤♦rt✲t❡r♠ ✐♥t❡r❡st r❛t❡ ❇♦♥❞ ♣r✐❝✐♥❣ ✐♥ ❝♦♥t✐♥✉♦✉s t✐♠❡ ❚❤❡ ❈♦①✱ ■♥❣❡rs♦❧❧ ❛♥❞ ❘♦ss ♠♦❞❡❧ ✭❈■❘✮ ❚❤❡ ♣r♦♣♦s❡❞ ♠♦❞❡❧ ❆♥ ❡st✐♠❛t✐♦♥ ♦❢ ♣❛r❛♠❡t❡rs ❛♥❞ st❛t❡ ✈❛r✐❛❜❧❡s ❙✐♠✉❧❛t✐♦♥s r❡s✉❧ts

❚❤❡ ♣r♦♣♦s❡❞ ♠♦❞❡❧

❖✉r ❣♦❛❧ ✇❛s t♦ ❞❡✈❡❧♦♣ ❛ ♠❡t❤♦❞ t❤❛t ✇♦✉❧❞ ❜❡ ❝♦rr❡❝t✱ ❡✛❡❝t✐✈❡✱ ❜✉t ❛❧s♦ str❛✐❣❤t❢♦r✇❛r❞ ❢♦r ♣r❛❝t✐t✐♦♥❡rs✿ ❚❤❡ ❈■❘ ♠♦❞❡❧ ✐s ♥♦t ❡①♣❧✐❝✐t❧② s♦❧✈❛❜❧❡ ✲ ✇❡ ♥❡❡❞ t♦ ❛♣♣r♦①✐♠❛t❡ ❛ ♥✉♠❡r✐❝❛❧ s♦❧✉t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ❣✐✈❡♥ ❙❉❊✳ ❙✐♥❝❡ t❤❡ ♦❜s❡r✈❛t✐♦♥s ❛r❡ ♠❛❞❡ ✐♥ ❞✐s❝r❡t❡ t✐♠❡✱ ✇❡ ❞✐s❝r❡t✐③❡ t❤❡ s②st❡♠ ✭✺✮✱ ✭✻✮✱ ✇❤✐❝❤ ✐s ❛❞❞✐t✐♦♥❛❧❧② ♥❡❝❡ss❛r② ✐♥ ♦r❞❡r t♦ ❛♣♣❧② t❤❡ ♣❛rt✐❝❧❡ ✜❧t❡r✳ ❚♦ ❡st✐♠❛t❡ t❤❡ ♣❛r❛♠❡t❡rs ♦❢ t❤✐s ♠♦❞❡❧ ❜② t❤❡ ♠❛①✐♠✉♠ ❧✐❦❡❧✐❤♦♦❞ ♠❡t❤♦❞✱ ✐t ✐s ♥❡❝❡ss❛r② t♦ ✜♥❞ ❝♦♥❞✐t✐♦♥❛❧ ❞❡♥s✐t② ❢✉♥❝t✐♦♥✳

❚❛❜❧❡ ♦❢ ❈♦♥t❡♥ts ■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ❆ ❢❡✇ ❞❡✜♥✐t✐♦♥s ♦❢ ❜♦♥❞ ♣r✐❝✐♥❣ ✐♥ ❝♦♥t✐♥✉♦✉s t✐♠❡ ❛♥❞ ✐♥st❛♥t❛♥❡♦✉s s❤♦rt✲t❡r♠ ✐♥t❡r❡st r❛t❡ ❇♦♥❞ ♣r✐❝✐♥❣ ✐♥ ❝♦♥t✐♥✉♦✉s t✐♠❡ ❚❤❡ ❈♦①✱ ■♥❣❡rs♦❧❧ ❛♥❞ ❘♦ss ♠♦❞❡❧ ✭❈■❘✮ ❚❤❡ ♣r♦♣♦s❡❞ ♠♦❞❡❧ ❆♥ ❡st✐♠❛t✐♦♥ ♦❢ ♣❛r❛♠❡t❡rs ❛♥❞ st❛t❡ ✈❛r✐❛❜❧❡s ❙✐♠✉❧❛t✐♦♥s r❡s✉❧ts

❚❤❡ ♣r♦♣♦s❡❞ ♠♦❞❡❧

❚♦ ❜❡ ❛❜❧❡ t♦ ❞♦ t❤❛t t❤❡ ♣r♦❝❡ss ✐s ❞✐✈✐❞❡❞ ✐♥t♦ s♠❛❧❧ ❣r✐❞s ❜❡t✇❡❡♥ ❛♥ ✐♥t❡r✈❛❧ [0, T] 0 = t0 < t1 < . . . < tn = T t❤❡ s✐③❡ ♦❢ t❤❡ t✐♠❡ st❡♣ ❜❡ ∆ ❛♥❞ ∆ = tk − tk−1✱ ❚❤❡♥ t❤❡ ❡①❛❝t s♦❧✉t✐♦♥ ♦♥ t❤❡ t✐♠❡ ❣r✐❞ ✇♦✉❧❞ ❜❡✿ rt = rt−1 + κ(µ − rt−1)∆ + σ

• ∆rt−1εt,

εt ∼ i.i.d.N(0, 1) ✭✽✮ ❚❤✐s s❝❤❡♠❛ ❝❛♥ ❧❡❛❞ t♦ ♥❡❣❛t✐✈❡ ✈❛❧✉❡s s✐♥❝❡ t❤❡ ●❛✉ss✐❛♥ ✐♥❝r❡♠❡♥t ✐s ♥♦t ❜♦✉♥❞❡❞ ❢r♦♠ ❜❡❧♦✇✳ ❚❤✉s✱ t❤✐s s✐♠♣❧❡ s❝❤❡♠❡ ✐s ♥♦t ✇❡❧❧ ❞❡✜♥❡❞✳

❚❛❜❧❡ ♦❢ ❈♦♥t❡♥ts ■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ❆ ❢❡✇ ❞❡✜♥✐t✐♦♥s ♦❢ ❜♦♥❞ ♣r✐❝✐♥❣ ✐♥ ❝♦♥t✐♥✉♦✉s t✐♠❡ ❛♥❞ ✐♥st❛♥t❛♥❡♦✉s s❤♦rt✲t❡r♠ ✐♥t❡r❡st r❛t❡ ❇♦♥❞ ♣r✐❝✐♥❣ ✐♥ ❝♦♥t✐♥✉♦✉s t✐♠❡ ❚❤❡ ❈♦①✱ ■♥❣❡rs♦❧❧ ❛♥❞ ❘♦ss ♠♦❞❡❧ ✭❈■❘✮ ❚❤❡ ♣r♦♣♦s❡❞ ♠♦❞❡❧ ❆♥ ❡st✐♠❛t✐♦♥ ♦❢ ♣❛r❛♠❡t❡rs ❛♥❞ st❛t❡ ✈❛r✐❛❜❧❡s ❙✐♠✉❧❛t✐♦♥s r❡s✉❧ts

❚❤❡ ♣r♦♣♦s❡❞ ♠♦❞❡❧

❚♦ ❝♦rr❡❝t t❤✐s ♣r♦❜❧❡♠ ✇❡ ✉s❡❞ t❤❡ ✬r❡✢❡❝t✐♦♥ s❝❤❡♠❡✬✱ ♣r♦♣♦s❡❞ ❜② ❇❡r❦❛♦✉✐✱ ❇♦ss② ❛♥❞ ❉✐♦♣ ✭✷✵✵✽✮✿ rt = |rt−1 + κ(µ − rt−1)∆ + σ

• ∆rt−1εt|

✭✾✮ ❖♥ t❤❡ ❜❛s✐s ♦❢ t❤❡ ❞❡♣❡♥❞❡♥❝❡ ❞❡s❝r✐❜❡❞ ❜② t❤❡ ❡q✉❛t✐♦♥ ✭✹✮ ✇❡ ❞❡✜♥❡ t❤❡ ♦❜s❡r✈❛t✐♦♥s ❛t t✐♠❡ t ♦♥ t❤❡ ✈❛❧✉❡ ♦❢ t❤❡ ❤✐❞❞❡♥ s❤♦rt✲t✐♠❡ r❛t❡ ♦❢ ✐♥t❡r❡st y(δt) = rt + ηt, ηt ∼ N(0, ση) ✭✶✵✮ ✇❤❡r❡ ♦❜s❡r✈❛t✐♦♥s yt(δt) ❛r❡ t❤❡ ♣r♦❝❡ss rt ♦❜s❡r✈❡❞ ✇✐t❤ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥t ❡rr♦rs✳ ❍❡♥❝❡❢♦rt❤✱ ✇❡ ✇✐❧❧ ❞❡♥♦t❡ t❤❡ ♣❛r❛♠❡t❡r ✈❡❝t♦r θ = (κ, µ, σ, ση)✳

❚❛❜❧❡ ♦❢ ❈♦♥t❡♥ts ■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ❆ ❢❡✇ ❞❡✜♥✐t✐♦♥s ♦❢ ❜♦♥❞ ♣r✐❝✐♥❣ ✐♥ ❝♦♥t✐♥✉♦✉s t✐♠❡ ❛♥❞ ✐♥st❛♥t❛♥❡♦✉s s❤♦rt✲t❡r♠ ✐♥t❡r❡st r❛t❡ ❇♦♥❞ ♣r✐❝✐♥❣ ✐♥ ❝♦♥t✐♥✉♦✉s t✐♠❡ ❚❤❡ ❈♦①✱ ■♥❣❡rs♦❧❧ ❛♥❞ ❘♦ss ♠♦❞❡❧ ✭❈■❘✮ ❚❤❡ ♣r♦♣♦s❡❞ ♠♦❞❡❧ ❆♥ ❡st✐♠❛t✐♦♥ ♦❢ ♣❛r❛♠❡t❡rs ❛♥❞ st❛t❡ ✈❛r✐❛❜❧❡s ❙✐♠✉❧❛t✐♦♥s r❡s✉❧ts

❊st✐♠❛t✐♦♥ ♦❢ ♣❛r❛♠❡t❡rs ❛♥❞ st❛t❡ ✈❛r✐❛❜❧❡s

❲❡ ♣r♦♣♦s❡ ❛♥ ❛❧❣♦r✐t❤♠ ❢♦r ♠❛①✐♠✉♠ ❧✐❦❡❧✐❤♦♦❞ ❡st✐♠❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ♣❛r❛♠❡t❡rs ♠♦❞❡❧ ✇❤✐❝❤ ✐s ❜❛s❡❞ ♦♥ ❝❛❧❝✉❧❛t✐♥❣ t❤❡ ❧♦❣✲❧✐❦❡❧✐❤♦♦❞ ✉s✐♥❣ t❤❡ ❊▼ ❛❧❣♦r✐t❤♠ ❝♦♠❜✐♥❡❞ ✇✐t❤ ♣❛rt✐❝❧❡ ✜❧t❡r✐♥❣ ❛♥❞ s♠♦♦t❤✐♥❣✿ Q(θ, θk) = E[log p(r0:T , y1:T |θ)|y1:T , θ] =

• log p(r0:T , y1:T |θ)p(r0:T |y1:T , θk)dr0:T

=

• log p(r0|y1:T , θ)p(r0|y1:T , θk)dr0

+

T

• t=1
• log p(rt|rt−1, θ)p(rt, rt−1|y1:T , θk)drt−1

+

T

• t=1
• log p(yt|rt, θ)p(rt|y1:T , θk)drt

✭✶✶✮

❚❛❜❧❡ ♦❢ ❈♦♥t❡♥ts ■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ❆ ❢❡✇ ❞❡✜♥✐t✐♦♥s ♦❢ ❜♦♥❞ ♣r✐❝✐♥❣ ✐♥ ❝♦♥t✐♥✉♦✉s t✐♠❡ ❛♥❞ ✐♥st❛♥t❛♥❡♦✉s s❤♦rt✲t❡r♠ ✐♥t❡r❡st r❛t❡ ❇♦♥❞ ♣r✐❝✐♥❣ ✐♥ ❝♦♥t✐♥✉♦✉s t✐♠❡ ❚❤❡ ❈♦①✱ ■♥❣❡rs♦❧❧ ❛♥❞ ❘♦ss ♠♦❞❡❧ ✭❈■❘✮ ❚❤❡ ♣r♦♣♦s❡❞ ♠♦❞❡❧ ❆♥ ❡st✐♠❛t✐♦♥ ♦❢ ♣❛r❛♠❡t❡rs ❛♥❞ st❛t❡ ✈❛r✐❛❜❧❡s ❙✐♠✉❧❛t✐♦♥s r❡s✉❧ts

❆♥ ❡st✐♠❛t✐♦♥ ♦❢ ♣❛r❛♠❡t❡rs ❛♥❞ st❛t❡ ✈❛r✐❛❜❧❡s

❍❡♥❝❡❢♦rt❤ ✇❡ ✇✐❧❧ ❞❡♥♦t❡ ❛ ✭s❡q✉❡♥t✐❛❧✮ ✐♠♣♦rt❛♥❝❡ ❞✐str✐❜✉t✐♦♥ q(r1:T ) Ep(r0:T |y1:T )[ϕ(r0:T )] =

• ϕ(r0:T )p(r0:T |y1:T )dr0:T

= c

• ϕ(r0:T )p(r0:T |y1:T )

q(r0:T ) q(r0:T )dr0:T = cEq(r0:T )[ϕ(r0:T )W(r0:T )] ✭✶✷✮

❚❛❜❧❡ ♦❢ ❈♦♥t❡♥ts ■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ❆ ❢❡✇ ❞❡✜♥✐t✐♦♥s ♦❢ ❜♦♥❞ ♣r✐❝✐♥❣ ✐♥ ❝♦♥t✐♥✉♦✉s t✐♠❡ ❛♥❞ ✐♥st❛♥t❛♥❡♦✉s s❤♦rt✲t❡r♠ ✐♥t❡r❡st r❛t❡ ❇♦♥❞ ♣r✐❝✐♥❣ ✐♥ ❝♦♥t✐♥✉♦✉s t✐♠❡ ❚❤❡ ❈♦①✱ ■♥❣❡rs♦❧❧ ❛♥❞ ❘♦ss ♠♦❞❡❧ ✭❈■❘✮ ❚❤❡ ♣r♦♣♦s❡❞ ♠♦❞❡❧ ❆♥ ❡st✐♠❛t✐♦♥ ♦❢ ♣❛r❛♠❡t❡rs ❛♥❞ st❛t❡ ✈❛r✐❛❜❧❡s ❙✐♠✉❧❛t✐♦♥s r❡s✉❧ts

❙■❘ ❆❧❣♦r✐t❤♠

❆t t✐♠❡ t = 0✱ ❢♦r i = 1, . . . , N s❛♠♣❧❡ r(i) ∼ q0(r0)✱ ❝♦♠♣✉t❡ t❤❡ ✇❡✐❣❤ts w(i)

0 (r(i) 0 ) = 1 N ✱

❋♦r t ≥ 1✱ i = 1, . . . , N ❙❛♠♣❧❡ r(i)

t|t−1 ∼ qt(rt|rt−1|t−1, yt) ❛♥❞ s❡t r(i) 0|t = (r(i) 0:t−1|t−1, r(i) t )✱

❈♦♠♣✉t❡ t❤❡ ✇❡✐❣❤ts w(i)

t

∝

p(yt|r(i)

t

)p(r(i)

t

|r(i)

t−1)

q(r(i)

t

|r(i)

t−1,yt)

✱ ■❢ ♥❡❝❡ss❛r② t❤❡♥ ❘❊❙❆▼P▲❊

• r(i)

0:t, w(i) t

• →
• r(i)

0:t|t, 1 N

• ✱

❡❧s❡ s❡t r(i)

0:t|t = r(i) 0:t✳

❚❛❜❧❡ ♦❢ ❈♦♥t❡♥ts ■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ❆ ❢❡✇ ❞❡✜♥✐t✐♦♥s ♦❢ ❜♦♥❞ ♣r✐❝✐♥❣ ✐♥ ❝♦♥t✐♥✉♦✉s t✐♠❡ ❛♥❞ ✐♥st❛♥t❛♥❡♦✉s s❤♦rt✲t❡r♠ ✐♥t❡r❡st r❛t❡ ❇♦♥❞ ♣r✐❝✐♥❣ ✐♥ ❝♦♥t✐♥✉♦✉s t✐♠❡ ❚❤❡ ❈♦①✱ ■♥❣❡rs♦❧❧ ❛♥❞ ❘♦ss ♠♦❞❡❧ ✭❈■❘✮ ❚❤❡ ♣r♦♣♦s❡❞ ♠♦❞❡❧ ❆♥ ❡st✐♠❛t✐♦♥ ♦❢ ♣❛r❛♠❡t❡rs ❛♥❞ st❛t❡ ✈❛r✐❛❜❧❡s ❙✐♠✉❧❛t✐♦♥s r❡s✉❧ts

❙■❘ ❆❧❣♦r✐t❤♠

■❢ ✇❡ s❛♠♣❧❡ N ✐♥❞❡♣❡♥❞❡♥t r❛♥❞♦♠ ✈❛r✐❛❜❧❡s ❢r♦♠ ❞✐str✐❜✉t✐♦♥ ✇✐t❤ ❛ ❞❡♥s✐t② ❢✉♥❝t✐♦♥ q(r(i)

0:T )✱ ✇❡ ❝❛♥ ❛♣♣r♦①✐♠❛t❡ t❤❡ ✜❧t❡r✐♥❣ ❞✐str✐❜✉t✐♦♥ ❜②

❞❡✜♥✐♥❣ ˆ pN(r0:T |y1:T ) =

N

• i=1

w(i)

t δri

0:T (r0:T )

✭✶✸✮

❚❛❜❧❡ ♦❢ ❈♦♥t❡♥ts ■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ❆ ❢❡✇ ❞❡✜♥✐t✐♦♥s ♦❢ ❜♦♥❞ ♣r✐❝✐♥❣ ✐♥ ❝♦♥t✐♥✉♦✉s t✐♠❡ ❛♥❞ ✐♥st❛♥t❛♥❡♦✉s s❤♦rt✲t❡r♠ ✐♥t❡r❡st r❛t❡ ❇♦♥❞ ♣r✐❝✐♥❣ ✐♥ ❝♦♥t✐♥✉♦✉s t✐♠❡ ❚❤❡ ❈♦①✱ ■♥❣❡rs♦❧❧ ❛♥❞ ❘♦ss ♠♦❞❡❧ ✭❈■❘✮ ❚❤❡ ♣r♦♣♦s❡❞ ♠♦❞❡❧ ❆♥ ❡st✐♠❛t✐♦♥ ♦❢ ♣❛r❛♠❡t❡rs ❛♥❞ st❛t❡ ✈❛r✐❛❜❧❡s ❙✐♠✉❧❛t✐♦♥s r❡s✉❧ts

❋♦r✇❛r❞ ❋✐❧t❡r✐♥❣ ❇❛❝❦✇❛r❞ ❙♠♦♦t❤❡r✱ ❋❋❇❙

❚❤❡ s♠♦♦t❤❡❞ ❞❡♥s✐t② p(rt|y1:T , θ) ❝❛♥ ❜❡ ❢❛❝t♦r❡❞ ❛s ❢♦❧❧♦✇s✿ p(rt|y1:T , θ) =

• p(rt, rt+1|y1:T , θ)drt+1

=

• p(rt+1|y1:T , θ)p(rt, rt+1|y1:T , θ)drt+1

= p(rt+1|rt, θ)p(rt|y1:t, θ)p(rt+1|y1:T , θ) p(rt+1|y1:t, θ) drt+1 ✭✶✹✮ ❚❤❡♥ t❤❡ ✐♠♣♦rt❛♥❝❡ ✇❡✐❣❤ts ❛r❡ ♦❜t❛✐♥❡❞ t❤r♦✉❣❤ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ❜❛❝❦✇❛r❞ r❡❝✉rs✐♦♥ w(i)

t|T = w(i) t N

• j=1

w(j)

t+1|T

p(r(j)

t+1|r(i) t , θ)

N

k=1 w(k) t

p(r(j)

t+1|r(k) t

, θ) ✭✶✺✮ ■♥ t❤✐s r❡s❡❛r❝❤ ✇❡ ♣r♦♣♦s❡ t❤❡ ♦✤✐♥❡ ❊▼✳ ■♥ ❛♥ ♦✤✐♥❡ ❢r❛♠❡✇♦r❦✱ t❤❡ ✐♥❢❡r❡♥❝❡ ♦♥ t❤❡ ♣❛r❛♠❡t❡rs ✐s ❝❛rr✐❡❞ ♦✉t ❜② ✐t❡r❛t✐♥❣ ♦✈❡r ❛ ✜①❡❞ s❡t ♦❢ ♦❜s❡r✈❛t✐♦♥s y1:T = (y1, y2, . . . , yT )

❚❛❜❧❡ ♦❢ ❈♦♥t❡♥ts ■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ❆ ❢❡✇ ❞❡✜♥✐t✐♦♥s ♦❢ ❜♦♥❞ ♣r✐❝✐♥❣ ✐♥ ❝♦♥t✐♥✉♦✉s t✐♠❡ ❛♥❞ ✐♥st❛♥t❛♥❡♦✉s s❤♦rt✲t❡r♠ ✐♥t❡r❡st r❛t❡ ❇♦♥❞ ♣r✐❝✐♥❣ ✐♥ ❝♦♥t✐♥✉♦✉s t✐♠❡ ❚❤❡ ❈♦①✱ ■♥❣❡rs♦❧❧ ❛♥❞ ❘♦ss ♠♦❞❡❧ ✭❈■❘✮ ❚❤❡ ♣r♦♣♦s❡❞ ♠♦❞❡❧ ❆♥ ❡st✐♠❛t✐♦♥ ♦❢ ♣❛r❛♠❡t❡rs ❛♥❞ st❛t❡ ✈❛r✐❛❜❧❡s ❙✐♠✉❧❛t✐♦♥s r❡s✉❧ts

❋❋❇❙✲❊▼ ❆❧❣♦r✐t❤♠

❆t t = 0, . . . , T, i = 1, . . . , N

✶

❙❡t ✭❣✉❡ss✮ ❛♥ ✐♥✐t✐❛❧ ♣❛r❛♠❡t❡r θ0

✷

P❡r❢♦r♠✐♥❣ ♣❛rt✐❝❧❡ ✜❧t❡r✐♥❣ ✭❙■❘ ❛❧❣♦r✐t❤♠✮ ❋♦r t = 0, . . . , T, i = 1, . . . , N✱ t♦ ♦❜t❛✐♥ t❤❡ s❡t ♦❢ ◆ ✇❡✐❣❤t❡❞ ♣❛rt✐❝❧❡s

• r(i)

1:t|t, w(i) t

• ✸

❙♠♦♦t❤✐♥❣ P❋

■♥✐t✐❛❧✐③❛t✐♦♥ ✱ ❢♦r i = 1, . . . , N✱ w(i)

T |T = w(i) T

❇❛❝❦✇❛r❞ s♠♦♦t❤✐♥❣ ❢♦r t = T − 1, . . . , 1, i = 1, . . . , N ❝♦♠♣✉t❡ w(i)

t|T

s❡❡ ✭✶✺✮ ■❢ ♥❡❝❡ss❛r② ❘❡s❛♠♣❧❡

✹

❊▼

❊ ❈❛❧❝✉❧❛t❡ t❤❡ ❛♣♣r♦①✐♠❛t✐♦♥ ♦❢ ❢✉♥❝t✐♦♥ ˆ Q(θ, θk) ✉s✐♥❣ t❤❡ ❢♦r♠✉❧❛ ✭✶✶✮ ▼ ❯♣❞❛t❡ t❤❡ ♣❛r❛♠❡t❡r ❡st✐♠❛t♦r ˆ θk+1 = arg maxθ∈Θ ˆ Q(θ, ˆ θk)

❉❡t❛✐❧❡❞ ❞✐s❝✉ss✐♦♥s ♦❢ ♦✤✐♥❡ ❛♥❞ ♦♥❧✐♥❡ ❊▼ ❛❧❣♦r✐t❤♠s ❢♦r ❧❛t❡♥t ❞❛t❛ ♠♦❞❡❧s ❝❛♥ ❜❡ ❢♦✉♥❞ ✐♥ ❈❛♣♣é✱ ▼♦✉❧✐♥❡s ✭✷✵✵✾✮✱ ❈❛♣♣é ✭✷✵✶✶✮✳

❚❛❜❧❡ ♦❢ ❈♦♥t❡♥ts ■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ❆ ❢❡✇ ❞❡✜♥✐t✐♦♥s ♦❢ ❜♦♥❞ ♣r✐❝✐♥❣ ✐♥ ❝♦♥t✐♥✉♦✉s t✐♠❡ ❛♥❞ ✐♥st❛♥t❛♥❡♦✉s s❤♦rt✲t❡r♠ ✐♥t❡r❡st r❛t❡ ❇♦♥❞ ♣r✐❝✐♥❣ ✐♥ ❝♦♥t✐♥✉♦✉s t✐♠❡ ❚❤❡ ❈♦①✱ ■♥❣❡rs♦❧❧ ❛♥❞ ❘♦ss ♠♦❞❡❧ ✭❈■❘✮ ❚❤❡ ♣r♦♣♦s❡❞ ♠♦❞❡❧ ❆♥ ❡st✐♠❛t✐♦♥ ♦❢ ♣❛r❛♠❡t❡rs ❛♥❞ st❛t❡ ✈❛r✐❛❜❧❡s ❙✐♠✉❧❛t✐♦♥s r❡s✉❧ts

❚❤❡ ❈■❘ ♠♦❞❡❧✱ ❛ s✐♠✉❧❛t✐♦♥ st✉❞②

❚♦ ♠❛①✐♠✐③❡ t❤❡ Q ❢✉♥❝t✐♦♥✱ ✇❡ ✉s❡ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ❡st✐♠❛t♦rs ♦❢ t❤❡ ♣❛r❛♠❡t❡rs✿ ˆ κ = TS2 + (S0 − S1)S4 − T 2 S0S4∆ − T∆ ˆ µ = S2S0 − TS1 TS2 + (S0 − S1)S4 − T 2 ˆ σ = 1 ∆T (S5 − 2ˆ κ∆(ˆ µ(S2 − T) + S1 − S0) + ˆ κ2∆2(ˆ µS

4 − 2T ˆ

µ + S0)) ˆ σ2

η = S8 − 2S7 + S2

T

❚❛❜❧❡ ♦❢ ❈♦♥t❡♥ts ■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ❆ ❢❡✇ ❞❡✜♥✐t✐♦♥s ♦❢ ❜♦♥❞ ♣r✐❝✐♥❣ ✐♥ ❝♦♥t✐♥✉♦✉s t✐♠❡ ❛♥❞ ✐♥st❛♥t❛♥❡♦✉s s❤♦rt✲t❡r♠ ✐♥t❡r❡st r❛t❡ ❇♦♥❞ ♣r✐❝✐♥❣ ✐♥ ❝♦♥t✐♥✉♦✉s t✐♠❡ ❚❤❡ ❈♦①✱ ■♥❣❡rs♦❧❧ ❛♥❞ ❘♦ss ♠♦❞❡❧ ✭❈■❘✮ ❚❤❡ ♣r♦♣♦s❡❞ ♠♦❞❡❧ ❆♥ ❡st✐♠❛t✐♦♥ ♦❢ ♣❛r❛♠❡t❡rs ❛♥❞ st❛t❡ ✈❛r✐❛❜❧❡s ❙✐♠✉❧❛t✐♦♥s r❡s✉❧ts

❲❡ ✉s❡ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ❛✉①✐❧✐❛r② s✉♠s ♦❢ ❝♦♥❞✐t✐♦♥❛❧ ❡①♣❡❝t❛t✐♦♥ ✇❤✐❝❤ ❛r❡ ❝♦♠♣✉t❡❞ r❡❧❛t✐✈❡ t♦ t❤❡ s♠♦♦t❤✐♥❣ ❝♦♥❞✐t✐♦♥❛❧ ❞✐str✐❜✉t✐♦♥ p(rt|y1:T , ˆ θk) S0 =

T

• t=1

E[rt−1|y1:T ], S1 =

T

• t=1

E[rt|y1:T ], S2 =

T

• t=1

E[r2

t |y1:T ], S3 = T

• t=1

E[ rt rt−1 |y1:T ], S4 =

T

• t=1

E[ 1 rt |y1:T ], S5 =

T

• t=1

E[(rt − rt−1)2 rt−1 |y1:T ], S6 =

T

• t=1

E[yt|y1:T ], S7 =

T

• t=1

E[ytrt|y1:T ], S8 =

T

• t=1

E[y2

t |y1:T ]

❚❛❜❧❡ ♦❢ ❈♦♥t❡♥ts ■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ❆ ❢❡✇ ❞❡✜♥✐t✐♦♥s ♦❢ ❜♦♥❞ ♣r✐❝✐♥❣ ✐♥ ❝♦♥t✐♥✉♦✉s t✐♠❡ ❛♥❞ ✐♥st❛♥t❛♥❡♦✉s s❤♦rt✲t❡r♠ ✐♥t❡r❡st r❛t❡ ❇♦♥❞ ♣r✐❝✐♥❣ ✐♥ ❝♦♥t✐♥✉♦✉s t✐♠❡ ❚❤❡ ❈♦①✱ ■♥❣❡rs♦❧❧ ❛♥❞ ❘♦ss ♠♦❞❡❧ ✭❈■❘✮ ❚❤❡ ♣r♦♣♦s❡❞ ♠♦❞❡❧ ❆♥ ❡st✐♠❛t✐♦♥ ♦❢ ♣❛r❛♠❡t❡rs ❛♥❞ st❛t❡ ✈❛r✐❛❜❧❡s ❙✐♠✉❧❛t✐♦♥s r❡s✉❧ts

❲❡ s✐♠✉❧❛t❡❞ ✶✵✵ ❞❛t❛s❡ts ❛♥❞ ❢♦r ❡❛❝❤ ♦❢ t❤❡♠ ♦❜t❛✐♥❡❞ ❡st✐♠❛t❡s ❜② ♠❡❛♥s ♦❢ t❤❡ ❊▼✲❛❧❣♦r✐t❤♠ ♣r♦♣♦s❡❞ ✐♥ t❤❡ ♣r❡s❡♥t r❡s❡❛r❝❤✳ ❊❛❝❤ ❞❛t❛ s❡t ✇❛s ♦❜t❛✐♥❡❞ ❜② s✐♠✉❧❛t✐♥❣ ❛ s❛♠♣❧❡ ♣❛t❤ ♦❢ ❧❡♥❣t❤ T = 1000✱ ❛♥❞ t❤❡♥ ❝❛❧❝✉❧❛t✐♥❣ ❞❛t❛ yi✱ ❜② ✭✶✵✮ ✇✐t❤ i = 1, . . . , T✳ ❲❡ ❝♦♥s✐❞❡r❡❞ t✇♦ ❞✐✛❡r❡♥t ✈❛❧✉❡s ♦❢ t❤❡ ❛ss✉♠❡❞ ❈■❘ ♠♦❞❡❧ ♣❛r❛♠❡t❡rs✿ ♠♦❞❡❧ ✶ κ = 1.2, µ = 0.6, σ = 0.5, ση = 0.8, ∆ = 1.0. ♠♦❞❡❧ ✷ κ = 0.6, µ = 3.6, σ = 2.0, ση = 1.0, ∆ = 1.0.

❚❛❜❧❡ ♦❢ ❈♦♥t❡♥ts ■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ❆ ❢❡✇ ❞❡✜♥✐t✐♦♥s ♦❢ ❜♦♥❞ ♣r✐❝✐♥❣ ✐♥ ❝♦♥t✐♥✉♦✉s t✐♠❡ ❛♥❞ ✐♥st❛♥t❛♥❡♦✉s s❤♦rt✲t❡r♠ ✐♥t❡r❡st r❛t❡ ❇♦♥❞ ♣r✐❝✐♥❣ ✐♥ ❝♦♥t✐♥✉♦✉s t✐♠❡ ❚❤❡ ❈♦①✱ ■♥❣❡rs♦❧❧ ❛♥❞ ❘♦ss ♠♦❞❡❧ ✭❈■❘✮ ❚❤❡ ♣r♦♣♦s❡❞ ♠♦❞❡❧ ❆♥ ❡st✐♠❛t✐♦♥ ♦❢ ♣❛r❛♠❡t❡rs ❛♥❞ st❛t❡ ✈❛r✐❛❜❧❡s ❙✐♠✉❧❛t✐♦♥s r❡s✉❧ts

❘❡s✉❧ts ♦❢ s✐♠✉❧❛t✐♦♥ st✉❞②

❚❤❡ ❊▼✲❛❧❣♦r✐t❤♠ ✇❛s r✉♥ ❢♦r ❚❂✶✵✵✵ ✇✐t❤ ◆❂✷✵✵ ♣❛rt✐❝❧❡s ❛♥❞ ✶✵✵ ✐t❡r❛t✐♦♥s ♦❢ ❊▼✳

❋✐❣✉r❡ ✶✿ ❋✐❧t❡r✐♥❣ r❡s✉❧ts ❢♦r s✐♠✉❧❛t❡❞ ❞❛t❛ ❢r♦♠ ♠♦❞❡❧ ✶ ❛♥❞ ♠♦❞❡❧ ✷✱

r❡s♣❡❝t✐✈❡❧② ❧❡❢t ❛♥❞ r✐❣❤t ❝♦❧✉♠♥

❚❛❜❧❡ ♦❢ ❈♦♥t❡♥ts ■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ❆ ❢❡✇ ❞❡✜♥✐t✐♦♥s ♦❢ ❜♦♥❞ ♣r✐❝✐♥❣ ✐♥ ❝♦♥t✐♥✉♦✉s t✐♠❡ ❛♥❞ ✐♥st❛♥t❛♥❡♦✉s s❤♦rt✲t❡r♠ ✐♥t❡r❡st r❛t❡ ❇♦♥❞ ♣r✐❝✐♥❣ ✐♥ ❝♦♥t✐♥✉♦✉s t✐♠❡ ❚❤❡ ❈♦①✱ ■♥❣❡rs♦❧❧ ❛♥❞ ❘♦ss ♠♦❞❡❧ ✭❈■❘✮ ❚❤❡ ♣r♦♣♦s❡❞ ♠♦❞❡❧ ❆♥ ❡st✐♠❛t✐♦♥ ♦❢ ♣❛r❛♠❡t❡rs ❛♥❞ st❛t❡ ✈❛r✐❛❜❧❡s ❙✐♠✉❧❛t✐♦♥s r❡s✉❧ts

❘❡s✉❧ts ♦❢ s✐♠✉❧❛t✐♦♥ st✉❞②

❋✐❣✉r❡ ✷✿ ❊st✐♠❛t✐♦♥ r❡s✉❧ts ❢♦r ❈■❘ ♠♦❞❡❧ ♣❛r❛♠❡t❡rs ✭❜❛s❡❞ ♦♥ ♦♥❡ s✐♠✉❧❛t✐♦♥✮

❚❛❜❧❡ ♦❢ ❈♦♥t❡♥ts ■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ❆ ❢❡✇ ❞❡✜♥✐t✐♦♥s ♦❢ ❜♦♥❞ ♣r✐❝✐♥❣ ✐♥ ❝♦♥t✐♥✉♦✉s t✐♠❡ ❛♥❞ ✐♥st❛♥t❛♥❡♦✉s s❤♦rt✲t❡r♠ ✐♥t❡r❡st r❛t❡ ❇♦♥❞ ♣r✐❝✐♥❣ ✐♥ ❝♦♥t✐♥✉♦✉s t✐♠❡ ❚❤❡ ❈♦①✱ ■♥❣❡rs♦❧❧ ❛♥❞ ❘♦ss ♠♦❞❡❧ ✭❈■❘✮ ❚❤❡ ♣r♦♣♦s❡❞ ♠♦❞❡❧ ❆♥ ❡st✐♠❛t✐♦♥ ♦❢ ♣❛r❛♠❡t❡rs ❛♥❞ st❛t❡ ✈❛r✐❛❜❧❡s ❙✐♠✉❧❛t✐♦♥s r❡s✉❧ts

❘❡s✉❧ts ♦❢ s✐♠✉❧❛t✐♦♥ st✉❞②

❋✐❣✉r❡ ✸✿ ❘❡s✉❧ts ♦❢ t❤❡ ❡st✐♠❛t❡s ✭❜❛s❡❞ ♦♥ ♦♥❡ s✐♠✉❧❛t✐♦♥✮ ✱ r❡s♣❡❝t✐✈❡❧② ❧❡❢t

❝♦❧✉♠♥ θ = (1.2, 0.6, 0.5, 0.8)✱ ❛♥❞ r✐❣❤t ❝♦❧✉♠♥ θ = (0.6, 3.6, 2.0, 1.0)✳

❚❛❜❧❡ ♦❢ ❈♦♥t❡♥ts ■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ❆ ❢❡✇ ❞❡✜♥✐t✐♦♥s ♦❢ ❜♦♥❞ ♣r✐❝✐♥❣ ✐♥ ❝♦♥t✐♥✉♦✉s t✐♠❡ ❛♥❞ ✐♥st❛♥t❛♥❡♦✉s s❤♦rt✲t❡r♠ ✐♥t❡r❡st r❛t❡ ❇♦♥❞ ♣r✐❝✐♥❣ ✐♥ ❝♦♥t✐♥✉♦✉s t✐♠❡ ❚❤❡ ❈♦①✱ ■♥❣❡rs♦❧❧ ❛♥❞ ❘♦ss ♠♦❞❡❧ ✭❈■❘✮ ❚❤❡ ♣r♦♣♦s❡❞ ♠♦❞❡❧ ❆♥ ❡st✐♠❛t✐♦♥ ♦❢ ♣❛r❛♠❡t❡rs ❛♥❞ st❛t❡ ✈❛r✐❛❜❧❡s ❙✐♠✉❧❛t✐♦♥s r❡s✉❧ts

❘❡s✉❧ts ♦❢ s✐♠✉❧❛t✐♦♥ st✉❞② ✲❛✈❡r❛❣❡ ❡st✐♠❛t❡s

▼♦❞❡❧ ✶ ▼♦❞❡❧ ✷ κ µ σ ση κ µ σ ση ♣❛r❛♠❡t❡r ✶✳✷ ✵✳✻ ✵✳✺ ✶✳✵ ✵✳✻✵ ✸✳✻ ✷✳✵ ✶✳✵ ❊st✐♠❛t♦r ✶✳✸✺ ✵✳✺✽ ✵✳✺✻ ✵✳✽✾ ✵✳✺✽ ✸✳✺✽ ✷✳✼✼ ✶✳✵✹ ❙t✳ ❞❡✈✐❛t✐♦♥ ✵✳✶✶ ✵✳✵✹ ✵✳✶✶ ✵✳✵✹ ✵✳✵✷ ✵✳✵✶ ✵✳✽✻ ✵✳✵✽

❚❛❜❧❡ ♦❢ ❈♦♥t❡♥ts ■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ❆ ❢❡✇ ❞❡✜♥✐t✐♦♥s ♦❢ ❜♦♥❞ ♣r✐❝✐♥❣ ✐♥ ❝♦♥t✐♥✉♦✉s t✐♠❡ ❛♥❞ ✐♥st❛♥t❛♥❡♦✉s s❤♦rt✲t❡r♠ ✐♥t❡r❡st r❛t❡ ❇♦♥❞ ♣r✐❝✐♥❣ ✐♥ ❝♦♥t✐♥✉♦✉s t✐♠❡ ❚❤❡ ❈♦①✱ ■♥❣❡rs♦❧❧ ❛♥❞ ❘♦ss ♠♦❞❡❧ ✭❈■❘✮ ❚❤❡ ♣r♦♣♦s❡❞ ♠♦❞❡❧ ❆♥ ❡st✐♠❛t✐♦♥ ♦❢ ♣❛r❛♠❡t❡rs ❛♥❞ st❛t❡ ✈❛r✐❛❜❧❡s ❙✐♠✉❧❛t✐♦♥s r❡s✉❧ts

❈♦♥❝❧✉s✐♦♥s

❲❡ ❤❛✈❡ tr✐❡❞ t♦ ❞❡♠♦♥str❛t❡ ❡♠♣✐r✐❝❛❧❧② t❤❛t t❤❡ ♦❜t❛✐♥❡❞ ❡st✐♠❛t♦rs ✭❛❧t❤♦✉❣❤ t❤❡ s✐♠✉❧❛t❡❞ s❛♠♣❧❡s ❛♥❞ t❤❡ ♥✉♠❜❡r ♦❢ t❤❡ ❇❛t❝❤ ❊▼ ✐t❡r❛t✐♦♥s ❛r❡ s♠❛❧❧✮ ❛r❡ ❝♦♥✈❡r❣❡♥t ❛♥❞ ❝❛♥ ❜❡ r❡❣❛r❞❡❞ ❛s s❛t✐s❢❛❝t♦r②✳ ❚❤❡r❡ ✐s ❛ ♣♦ss✐❜✐❧✐t② ♦❢ r❡❞✉❝✐♥❣ t❤❡ ❛♣♣❡❛r✐♥❣ ✐♥❡✣❝✐❡♥❝② ♦❢ ❊▼ ❡st✐♠❛t♦rs ❜② ✉s✐♥❣ ❧❛r❣❡r s❛♠♣❧❡s✳ ■t ✐s ✇♦rt❤ ♥♦t✐♥❣ t❤❛t ♦♥❡ s❡r✐♦✉s ❞✐✣❝✉❧t② ♦❢ ✉s✐♥❣ P❋ ✐s t❤❡ ❣❡♥❡r❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ s②st❡♠s ♣❛rt✐❝❧❡s ❜❡❝❛✉s❡ ❞✐s❝r❡t❡ ❛♣♣r♦①✐♠❛t✐♦♥s ♠❛② ❧❡❛❞ t♦ ♥❡❣❛t✐✈❡ s❛♠♣❧❡s✳ ■♥ ♣r❛❝t✐❝❡ ✐t ✐s ♣♦ss✐❜❧❡ ❜② ❛♣♣❧②✐♥❣ t❤❡ s♦✲❝❛❧❧❡❞ ✐♥tr❛✲❞❛② ❞❛t❛✳ ■♥ ❢✉t✉r❡ ✇♦r❦✱ ✇❡ ♣❧❛♥ ❛ ♥✉♠❜❡r ♦❢ ♠❡t❤♦❞♦❧♦❣✐❝❛❧ ❛♥❞ ❡♠♣✐r✐❝❛❧ ❡①t❡♥s✐♦♥s✿

t♦ ❛♣♣❧② t❤❡ ❖♥❧✐♥❡ ❊①♣❡❝t❛t✐♦♥✲▼❛①✐♠✐s❛t✐♦♥ ❛❧❣♦r✐t❤♠✱ t♦ ❡①t❡♥❞ ♣❛rt✐❝❧❡ ✜❧t❡r✐♥❣ t♦ ❝♦♥t✐♥✉♦✉s✲t✐♠❡ ♠♦❞❡❧s ✇✐t❤ ❥✉♠♣s✱ t♦ ❛❞♦♣t t❤❡ ♣❛rt✐❝❧❡ ▼❈▼❈ ✭P▼▼❈▼❈✮ ❛♣♣r♦❛❝❤ ✇❤✐❝❤ ♣r♦✈✐❞❡s ❛ ❣❡♥❡r✐❝ s❧♦✉t✐♦♥ t♦ ♣❛r❛♠❡t❡r ❡st✐♠❛t✐♦♥ ✐♥ ❜❛t❝❤ s❡t✉♣s✳

❚❛❜❧❡ ♦❢ ❈♦♥t❡♥ts ■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ❆ ❢❡✇ ❞❡✜♥✐t✐♦♥s ♦❢ ❜♦♥❞ ♣r✐❝✐♥❣ ✐♥ ❝♦♥t✐♥✉♦✉s t✐♠❡ ❛♥❞ ✐♥st❛♥t❛♥❡♦✉s s❤♦rt✲t❡r♠ ✐♥t❡r❡st r❛t❡ ❇♦♥❞ ♣r✐❝✐♥❣ ✐♥ ❝♦♥t✐♥✉♦✉s t✐♠❡ ❚❤❡ ❈♦①✱ ■♥❣❡rs♦❧❧ ❛♥❞ ❘♦ss ♠♦❞❡❧ ✭❈■❘✮ ❚❤❡ ♣r♦♣♦s❡❞ ♠♦❞❡❧ ❆♥ ❡st✐♠❛t✐♦♥ ♦❢ ♣❛r❛♠❡t❡rs ❛♥❞ st❛t❡ ✈❛r✐❛❜❧❡s ❙✐♠✉❧❛t✐♦♥s r❡s✉❧ts

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❆♥❞r✐❡✉ ❈✳✱ ▼♦✉❧✐♥❡s ❊✳✱ Pr✐♦✉r❡t P✳✱ ✭✷✵✵✺✮✱ ❙t❛❜✐❧✐t② ♦❢ st♦❝❤❛st✐❝ ❛♣♣r♦①✐♠❛t✐♦♥ ✉♥❞❡r ✈❡r✐✜❛❜❧❡ ❝♦♥❞✐t✐♦♥s✱ ❙■❆▼ ❏♦✉r♥❛❧ ♦♥ ❈♦♥tr♦❧ ❛♥❞ ❖♣t✐♠✐③❛t✐♦♥✱ ✹✹✭✶✮✱✷✽✸✲✸✶✷✳ ❇❡r❦❛♦✉✐✱ ❆✳✱ ❇♦ss②✱ ▼✳✱ ❛♥❞ ❉✐♦♣✱ ❆✳✱ ✭✷✵✵✽✮✱ ❊✉❧❡r s❝❤❡♠❡ ❢♦r ❙❉❊s ✇✐t❤ ♥♦♥✲▲✐♣s❝❤✐t③ ❞✐✛✉s✐♦♥ ❝♦❡✣❝✐❡♥t✿ str♦♥❣ ❝♦♥✈❡r❣❡♥❝❡✳ ❊❙❆■▼ Pr♦❜❛❜✐❧✐t② ❛♥❞ ❙t❛t✐st✐❝s ✶✷✱✶✿ ✶−✶✶✳ ❈❛♣♣é ❖✳✱ ▼♦✉❧✐♥❡s ❊✳✱ ✭✷✵✵✾❛✮✱ ❖♥❧✐♥❡ ❊▼ ❆❧❣♦r✐t❤♠ ❢♦r ▲❛t❡♥t ❉❛t❛ ▼♦❞❡❧s✱ ❏✳ ❘♦②✳ ❙t❛t✐st✳ ❙♦❝✳ ❙❡r✳ ❇✳ ❈❛♣♣é ❖✳✱ ✭✷✵✶✶✮✱ ❖♥❧✐♥❡ ❊▼ ❆❧❣♦r✐t❤♠ ❢♦r ❍✐❞❞❡♥ ▼❛r❦♦✈ ▼♦❞❡❧s✱ ❏♦✉r♥❛❧ ♦❢ ❈♦♠♣✉t❛t✐♦♥❛❧ ❛♥❞ ●r❛♣❤✐❝❛❧ ❙t❛t✐st✐❝s✱ ✷✵✭✸✮✿✼✷✽✲✼✹✾ ❈♦① ❏✳ ❈✳✱ ■♥❣❡rs♦❧❧ ❏✳❊✳✱ ❘♦ss ❙✳✱ ✭✶✾✽✺✮✱ ❆ t❤❡♦r② ♦❢ t❡r♠ str✉❝t✉r❡ ♦❢ ✐♥t❡r❡st r❛t❡s✱ ❊❝♦♥♦♠❡tr✐❝❛✱ ✺✸✱ ✸✽✺✲✹✵✼✳ ❉❡ ❘♦ss✐ ●✳✱ ✭✷✵✶✵✮✱ ▼❛①✐♠✉♠ ❧✐❦❡❧✐❤♦♦❞ ❡st✐♠❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ❈♦①✲■♥❣❡rs♦❧❧✲❘♦ss ♠♦❞❡❧ ✉s✐♥❣ ♣❛rt✐❝❧❡ ✜❧t❡r✳ ❈♦♠♣✉t❛t✐♦♥❛❧ ❊❝♦♥♦♠✐❝s✱ ✸✻✿✶−✶✻✳

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