ss r rt - - PowerPoint PPT Presentation

❊❧❛st✐❝ ❝♦♥t❛❝t ♣r♦❜❧❡♠ ❆❜str❛❝t ♠♦❞❡❧ ♣r♦❜❧❡♠ ❚❤❡ r❡❞✉❝❡❞✲❜❛s✐s ♠♦❞❡❧ ■♥❞✉str✐❛❧ ❝♦♥t❡①t ❱❛r✐❛t✐♦♥❛❧ ✐♥❡q✉❛❧✐t✐❡s ✇✐t❤ ❧✐♥❡❛r ❝♦♥str❛✐♥ts

❘❡❞✉❝❡❞ ❜❛s✐s ❢♦r ✈❛r✐❛t✐♦♥❛❧ ✐♥❡q✉❛❧✐t✐❡s ❆♣♣❧✐❝❛t✐♦♥ t♦ ❝♦♥t❛❝t ♠❡❝❤❛♥✐❝s

❆♠✐♥❛ ❇❡♥❛❝❡✉r1,2,3✱ ❱✳ ❊❤r❧❛❝❤❡r1 ❛♥❞ ❆✳ ❊r♥1

♠❡

1▼❛ss❛❝❤✉s❡tts ■♥st✐t✉t❡ ♦❢ ❚❡❝❤♥♦❧♦❣②✱ ❯❙❆ 2❯♥✐✈❡rs✐t② P❛r✐s✲❊st✱ ❈❊❘▼■❈❙ ✭❊◆P❈✮ ❛♥❞ ■◆❘■❆ P❛r✐s✱ ❋r❛♥❝❡ 3❊❉❋ ❘✫❉❣✱ ❋r❛♥❝❡

❋❡❜r✉❛r② 19th✱ 2020

❆♠✐♥❛ ❇❡♥❛❝❡✉r ❆ ❘❇▼ ❢♦r ✈❛r✐❛t✐♦♥❛❧ ✐♥❡q✉❛❧✐t✐❡s

❊❧❛st✐❝ ❝♦♥t❛❝t ♣r♦❜❧❡♠ ❆❜str❛❝t ♠♦❞❡❧ ♣r♦❜❧❡♠ ❚❤❡ r❡❞✉❝❡❞✲❜❛s✐s ♠♦❞❡❧ ■♥❞✉str✐❛❧ ❝♦♥t❡①t ❱❛r✐❛t✐♦♥❛❧ ✐♥❡q✉❛❧✐t✐❡s ✇✐t❤ ❧✐♥❡❛r ❝♦♥str❛✐♥ts

▼♦t✐✈❛t✐♦♥s ❢♦r ❝♦♥t❛❝t ✌ ▲♦♥❣✲st❛♥❞✐♥❣ q✉❡st✐♦♥ ✐♥ ♠❛♥② ❝♦♥t❡①ts✳✳✳ ✌ Pr❡s❡♥t ✐♥❞✉str✐❛❧ ❝♦♥t❡①t

✌ ❇❡❤❛✈✐♦r ♦❢ ✈❛❧✈❡ ❝♦♠♣♦♥❡♥ts ✌ ❈♦st❧② s✐♠✉❧❛t✐♦♥s ✭✓ ✶✷❤ ✉s✐♥❣ ❵❝♦❞❡❴❛st❡r✬✮

✌ ◆♦♥❧✐♥❡❛r✐t✐❡s✱ ❝♦♥str❛✐♥ts ❈❤❛❧❧❡♥❣❡ ✌ ❊①♣❡♥s✐✈❡ ❢♦r ♣❛r❛♠❡t❡r✐③❡❞ st✉❞✐❡s

• ♦❛❧

✌ ◆♦♥❧✐♥❡❛r❧② ❝♦♥str❛✐♥❡❞ ♠♦❞❡❧ r❡❞✉❝t✐♦♥

❆♠✐♥❛ ❇❡♥❛❝❡✉r ❆ ❘❇▼ ❢♦r ✈❛r✐❛t✐♦♥❛❧ ✐♥❡q✉❛❧✐t✐❡s ✶✴✷✾

❊❧❛st✐❝ ❝♦♥t❛❝t ♣r♦❜❧❡♠ ❆❜str❛❝t ♠♦❞❡❧ ♣r♦❜❧❡♠ ❚❤❡ r❡❞✉❝❡❞✲❜❛s✐s ♠♦❞❡❧ ■♥❞✉str✐❛❧ ❝♦♥t❡①t ❱❛r✐❛t✐♦♥❛❧ ✐♥❡q✉❛❧✐t✐❡s ✇✐t❤ ❧✐♥❡❛r ❝♦♥str❛✐♥ts

❱❛r✐❛t✐♦♥❛❧ ✐♥❡q✉❛❧✐t✐❡s ✇✐t❤ ❧✐♥❡❛r ❝♦♥str❛✐♥ts

❘❡❞✉❝❡❞ ❜❛s✐s ♣r♦❝❡❞✉r❡s

❍❛❛s❞♦♥❦✱ ❙❛❧♦♠♦♥✱ ❲♦❤❧♠✉t❤✳ ❆ r❡❞✉❝❡❞ ❜❛s✐s ♠❡t❤♦❞ ❢♦r ♣❛r❛♠❡tr✐③❡❞ ✈❛r✐❛t✐♦♥❛❧ ✐♥❡q✉❛❧✐t✐❡s✳ ✷✵✶✷✳ ❇❛❧❛❥❡✇✐❝③✱ ❆♠s❛❧❧❡♠✱ ❋❛r❤❛t✳ Pr♦❥❡❝t✐♦♥✲❜❛s❡❞ ♠♦❞❡❧ r❡❞✉❝t✐♦♥ ❢♦r ❝♦♥t❛❝t ♣r♦❜❧❡♠s✳ ✷✵✶✻✳ ❋❛✉q✉❡✱ ❘❛♠✐èr❡✱ ❘②❝❦❡❧②♥❝❦✳ ❍②❜r✐❞ ❤②♣❡r✲r❡❞✉❝❡❞ ♠♦❞❡❧✐♥❣ ❢♦r ❝♦♥t❛❝t ♠❡❝❤❛♥✐❝s ♣r♦❜❧❡♠s✳ ✷✵✶✽✳

❘❡❧❛t❡❞ ✇♦r❦

❇✉r❦♦✈s❦❛✱ ❍❛❛s❞♦♥❦✱ ❙❛❧♦♠♦♥✱ ❲♦❤❧♠✉t❤✳ ❘❡❞✉❝❡❞ ❜❛s✐s ♠❡t❤♦❞s ❢♦r ♣r✐❝✐♥❣ ♦♣t✐♦♥s ✇✐t❤ t❤❡ ❇❧❛❝❦✲❙❝❤♦❧❡s ❛♥❞ ❍❡st♦♥ ♠♦❞❡❧s✳ ✷✵✶✹✳

• ❧❛s✱ ❯r❜❛♥✳ ◆✉♠❡r✐❝❛❧ ✐♥✈❡st✐❣❛t✐♦♥s ♦❢ ❛♥ ❡rr♦r ❜♦✉♥❞ ❢♦r r❡❞✉❝❡❞ ❜❛s✐s

❛♣♣r♦①✐♠❛t✐♦♥s ♦❢ ♥♦♥❝♦❡r❝✐❝❡ ✈❛r✐❛t✐♦♥❛❧ ✐♥❡q✉❛❧✐t✐❡s✳ ✷✵✶✺✳ ❇❛❞❡r✱ ❩❤❛♥❣✱ ❱❡r♦②✳ ❆♥ ❡♠♣✐r✐❝❛❧ ✐♥t❡r♣♦❧❛t✐♦♥ ❛♣♣r♦❛❝❤ t♦ r❡❞✉❝❡❞ ❜❛s✐s ❛♣♣r♦①✐♠❛t✐♦♥s ❢♦r ✈❛r✐❛t✐♦♥❛❧ ✐♥❡q✉❛❧✐t✐❡s✱ ✷✵✶✻✳ ❇✉r❦♦✈s❦❛✳ P❤❉ t❤❡s✐s✳ ✷✵✶✻✳

❆♠✐♥❛ ❇❡♥❛❝❡✉r ❆ ❘❇▼ ❢♦r ✈❛r✐❛t✐♦♥❛❧ ✐♥❡q✉❛❧✐t✐❡s ✷✴✷✾

❊❧❛st✐❝ ❝♦♥t❛❝t ♣r♦❜❧❡♠ ❆❜str❛❝t ♠♦❞❡❧ ♣r♦❜❧❡♠ ❚❤❡ r❡❞✉❝❡❞✲❜❛s✐s ♠♦❞❡❧ ■♥❞✉str✐❛❧ ❝♦♥t❡①t ❱❛r✐❛t✐♦♥❛❧ ✐♥❡q✉❛❧✐t✐❡s ✇✐t❤ ❧✐♥❡❛r ❝♦♥str❛✐♥ts

❖✉t❧✐♥❡

✶ ❊❧❛st✐❝ ❝♦♥t❛❝t ♣r♦❜❧❡♠ ✷ ❆❜str❛❝t ♠♦❞❡❧ ♣r♦❜❧❡♠ ✸ ❚❤❡ r❡❞✉❝❡❞✲❜❛s✐s ♠♦❞❡❧

❊❧❛st✐❝ ❝♦♥t❛❝t ♣r♦❜❧❡♠ ❆❜str❛❝t ♠♦❞❡❧ ♣r♦❜❧❡♠ ❚❤❡ r❡❞✉❝❡❞✲❜❛s✐s ♠♦❞❡❧ ❊❧❛st✐❝ ❡q✉❛t✐♦♥ ◆♦♥✲✐♥t❡r♣❡♥❡tr❛t✐♦♥ ❝♦♥❞✐t✐♦♥

❊❧❛st✐❝ ❝♦♥t❛❝t ♣r♦❜❧❡♠

❙tr❛✐♥ t❡♥s♦r ε♣vq :✏ 1 2♣∇v ∇vT q ❙tr❡ss t❡♥s♦r σ♣vq ✏ Eν ♣1 νq♣1 2νqtr♣ε♣vqqI E ♣1 νqε♣vq E✿ ❨♦✉♥❣ ♠♦❞✉❧✉s ν✿ P♦✐ss♦♥ ❝♦❡✣❝✐❡♥t P❛r❛♠❡tr✐❝ ❡q✉✐❧✐❜r✐✉♠ ❝♦♥❞✐t✐♦♥ ∇ ☎ σ♣u♣µqq ✏ ℓ♣µq ✐♥ Ω♣µq a♣µ; v, wq ✏ ➺

Ω♣µq

σ♣vq : ε♣wq ❛♥❞ f♣µ; wq ✏ ➺

Ω♣µq

ℓ♣µqw ❖t❤❡r ♥♦♥❧✐♥❡❛r✐t✐❡s ❝❛♥ ❜❡ ❤❛♥❞❧❡❞

❆♠✐♥❛ ❇❡♥❛❝❡✉r ❆ ❘❇▼ ❢♦r ✈❛r✐❛t✐♦♥❛❧ ✐♥❡q✉❛❧✐t✐❡s ✸✴✷✾

❊❧❛st✐❝ ❝♦♥t❛❝t ♣r♦❜❧❡♠ ❆❜str❛❝t ♠♦❞❡❧ ♣r♦❜❧❡♠ ❚❤❡ r❡❞✉❝❡❞✲❜❛s✐s ♠♦❞❡❧ ❊❧❛st✐❝ ❡q✉❛t✐♦♥ ◆♦♥✲✐♥t❡r♣❡♥❡tr❛t✐♦♥ ❝♦♥❞✐t✐♦♥

◆♦♥✲✐♥t❡r♣❡♥❡tr❛t✐♦♥ ❝♦♥❞✐t✐♦♥

■♥✐t✐❛❧ ❝♦♥✜❣✉r❛t✐♦♥ ❉❡❢♦r♠❡❞ ❝♦♥✜❣✉r❛t✐♦♥ ❈♦♥s✐❞❡r ♣ q ✏ ♣ ♣ qq ✂ ♣ ♣ qq ❆❞♠✐ss✐❜❧❡ s♦❧✉t✐♦♥s ❛r❡ ❞❡♥♦t❡❞ ♣ q ✏ ♣ ♣ q ♣ qq P ♣ q

❋♦r ❛❧❧ P ♣ q ♣ ♣ q♣ q ✁ ♣ ♣ q ✆ ♣ ♣ qqq ♣ qq ❧♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♠♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♥ ☎r ♣ ♣ qq♣ q ➙

• ♣

♣ qq♣ q ✁ ✟ ❧♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♠♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♥ ☎r ♣ ♣ qq♣ q ù ñ Pr♦♦❢✿ ❇❡♥❛❝❡✉r✱ P❤❉✱ ✷✵✶✽✳

❆♠✐♥❛ ❇❡♥❛❝❡✉r ❆ ❘❇▼ ❢♦r ✈❛r✐❛t✐♦♥❛❧ ✐♥❡q✉❛❧✐t✐❡s ✹✴✷✾

❊❧❛st✐❝ ❝♦♥t❛❝t ♣r♦❜❧❡♠ ❆❜str❛❝t ♠♦❞❡❧ ♣r♦❜❧❡♠ ❚❤❡ r❡❞✉❝❡❞✲❜❛s✐s ♠♦❞❡❧ ❊❧❛st✐❝ ❡q✉❛t✐♦♥ ◆♦♥✲✐♥t❡r♣❡♥❡tr❛t✐♦♥ ❝♦♥❞✐t✐♦♥

◆♦♥✲✐♥t❡r♣❡♥❡tr❛t✐♦♥ ❝♦♥❞✐t✐♦♥

■♥✐t✐❛❧ ❝♦♥✜❣✉r❛t✐♦♥ ❉❡❢♦r♠❡❞ ❝♦♥✜❣✉r❛t✐♦♥ ❈♦♥s✐❞❡r V♣µq ✏ H1♣Ω1♣µqq ✂ H1♣Ω2♣µqq ❆❞♠✐ss✐❜❧❡ s♦❧✉t✐♦♥s ❛r❡ ❞❡♥♦t❡❞ u♣µq ✏ ♣u1♣µq, u2♣µqq P V♣µq

❋♦r ❛❧❧ z P Γc

1♣µq

♣u1♣µq♣zq ✁ ♣u2♣µq ✆ ρ♣µ, u♣µqqq ♣zqq ❧♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♠♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♥

displacement difference

☎r n2♣µ, u♣µqq♣zq ➙

• ρ♣µ, u♣µqq♣zq ✁ z

✟ ❧♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♠♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♥

initial gap

☎r n2♣µ, u♣µqq♣zq ù ñ Pr♦♦❢✿ ❇❡♥❛❝❡✉r✱ P❤❉✱ ✷✵✶✽✳

❆♠✐♥❛ ❇❡♥❛❝❡✉r ❆ ❘❇▼ ❢♦r ✈❛r✐❛t✐♦♥❛❧ ✐♥❡q✉❛❧✐t✐❡s ✹✴✷✾

❊❧❛st✐❝ ❝♦♥t❛❝t ♣r♦❜❧❡♠ ❆❜str❛❝t ♠♦❞❡❧ ♣r♦❜❧❡♠ ❚❤❡ r❡❞✉❝❡❞✲❜❛s✐s ♠♦❞❡❧ ❊❧❛st✐❝ ❡q✉❛t✐♦♥ ◆♦♥✲✐♥t❡r♣❡♥❡tr❛t✐♦♥ ❝♦♥❞✐t✐♦♥

◆♦♥✲✐♥t❡r♣❡♥❡tr❛t✐♦♥ ❝♦♥❞✐t✐♦♥

■♥✐t✐❛❧ ❝♦♥✜❣✉r❛t✐♦♥ ❉❡❢♦r♠❡❞ ❝♦♥✜❣✉r❛t✐♦♥ ❈♦♥s✐❞❡r V♣µq ✏ H1♣Ω1♣µqq ✂ H1♣Ω2♣µqq ❆❞♠✐ss✐❜❧❡ s♦❧✉t✐♦♥s ❛r❡ ❞❡♥♦t❡❞ u♣µq ✏ ♣u1♣µq, u2♣µqq P V♣µq

❋♦r ❛❧❧ z P Γc

1♣µq

♣u1♣µq♣zq ✁ ♣u2♣µq ✆ ρ♣µ, u♣µqqq ♣zqq ☎ r n2♣µ, u♣µqq♣zq ❧♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♠♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♥

✁k♣µ,u♣µq;u♣µqq

➙

• ρ♣µ, u♣µqq♣zq ✁ z

✟ ☎ r n2♣µ, u♣µqq♣zq ❧♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♠♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♥

✁g♣µ,u♣µqq

ù ñ Pr♦♦❢✿ ❇❡♥❛❝❡✉r✱ P❤❉✱ ✷✵✶✽✳

❆♠✐♥❛ ❇❡♥❛❝❡✉r ❆ ❘❇▼ ❢♦r ✈❛r✐❛t✐♦♥❛❧ ✐♥❡q✉❛❧✐t✐❡s ✹✴✷✾

❊❧❛st✐❝ ❝♦♥t❛❝t ♣r♦❜❧❡♠ ❆❜str❛❝t ♠♦❞❡❧ ♣r♦❜❧❡♠ ❚❤❡ r❡❞✉❝❡❞✲❜❛s✐s ♠♦❞❡❧ ❆❜str❛❝t ♠♦❞❡❧ ♣r♦❜❧❡♠ ▲❛❣r❛♥❣✐❛♥ ❢♦r♠✉❧❛t✐♦♥ ❉✐s❝r❡t❡ ❋❊▼ ❢♦r♠✉❧❛t✐♦♥

▼♦❞❡❧ ♣r♦❜❧❡♠

Ω♣µq ✿ ❜♦✉♥❞❡❞ ❞♦♠❛✐♥ ✐♥ Rd ✇✐t❤ ❛ ❝♦♥t❛❝t ❜♦✉♥❞❛r② Γc

1♣µq ⑨ ❇Ω♣µq

V♣µq ✿ ❍✐❧❜❡rt s♣❛❝❡ ♦♥ Ω♣µq P✿ ♣❛r❛♠❡t❡r s❡t ❋♦r ♠❛♥② ✈❛❧✉❡s µ P P✿ ❋✐♥❞ u♣µq P V s✉❝❤ t❤❛t u♣µq ✏ argmin

vPV♣µq

1 2a♣µ; v, vq ✁ f♣µ; vq k♣µ, u♣µq; u♣µqq ↕ g♣µ, u♣µqq ❛✳❡✳ ♦♥ Γc

1♣µq

k♣µ, ☎; ☎q ✐s s❡♠✐✲❧✐♥❡❛r ✿ ♥❛t✉r❛❧ ❢♦r ❝♦♥t❛❝t ♣r♦❜❧❡♠s ❤❛♥❞② ❢♦r ✐t❡r❛t✐✈❡ s♦❧✉t✐♦♥ ♠❡t❤♦❞s

❆♠✐♥❛ ❇❡♥❛❝❡✉r ❆ ❘❇▼ ❢♦r ✈❛r✐❛t✐♦♥❛❧ ✐♥❡q✉❛❧✐t✐❡s ✺✴✷✾

❊❧❛st✐❝ ❝♦♥t❛❝t ♣r♦❜❧❡♠ ❆❜str❛❝t ♠♦❞❡❧ ♣r♦❜❧❡♠ ❚❤❡ r❡❞✉❝❡❞✲❜❛s✐s ♠♦❞❡❧ ❆❜str❛❝t ♠♦❞❡❧ ♣r♦❜❧❡♠ ▲❛❣r❛♥❣✐❛♥ ❢♦r♠✉❧❛t✐♦♥ ❉✐s❝r❡t❡ ❋❊▼ ❢♦r♠✉❧❛t✐♦♥

▲❛❣r❛♥❣✐❛♥ ❢♦r♠✉❧❛t✐♦♥

❲❡ ❝♦♥s✐❞❡r ✌ t❤❡ ❝♦♥✈❡① ❝♦♥❡ W♣µq :✏ L2♣Γc

1♣µq, Rq

✌ t❤❡ ▲❛❣r❛♥❣✐❛♥ L♣µq : V♣µq ✂ W♣µq Ñ R ❞❡✜♥❡❞ ❛s L♣µq♣v, ηq :✏ 1

2a♣µ; v, vq ✁ f♣µ; vq

✁➩

Γc

1♣µq k♣µ, v; vqη ✁

➩

Γc

1♣µq g♣µ, vqη

✠ ❋✐♥❞ ♣u♣µq, λ♣µqq P V♣µq ✂ W♣µq s✉❝❤ t❤❛t ♣u♣µq, λ♣µqq ✏ arg minmax

vPV♣µq,ηPW♣µq L♣µq♣v, ηq

u♣µq ✐s t❤❡ ♣r✐♠❛❧ s♦❧✉t✐♦♥✱ λ♣µq ✐s t❤❡ ❞✉❛❧ s♦❧✉t✐♦♥

❆♠✐♥❛ ❇❡♥❛❝❡✉r ❆ ❘❇▼ ❢♦r ✈❛r✐❛t✐♦♥❛❧ ✐♥❡q✉❛❧✐t✐❡s ✻✴✷✾

❊❧❛st✐❝ ❝♦♥t❛❝t ♣r♦❜❧❡♠ ❆❜str❛❝t ♠♦❞❡❧ ♣r♦❜❧❡♠ ❚❤❡ r❡❞✉❝❡❞✲❜❛s✐s ♠♦❞❡❧ ❆❜str❛❝t ♠♦❞❡❧ ♣r♦❜❧❡♠ ▲❛❣r❛♥❣✐❛♥ ❢♦r♠✉❧❛t✐♦♥ ❉✐s❝r❡t❡ ❋❊▼ ❢♦r♠✉❧❛t✐♦♥

❉✐s❝r❡t❡ ❋❊▼ ❢♦r♠✉❧❛t✐♦♥

✶ ❋❊▼ s♣❛❝❡ ✭N ✧ 1✮

VN ♣µq :✏ spantφ1♣µq, . . . , φN ♣µq✉ ⑨ V♣µq

✷ ❋❊▼ ❝♦♥✈❡① ❝♦♥❡ ✭R ✧ 1✮

WR♣µq :✏ spantψ1♣µq, . . . , ψR♣µq✉ ⑨ W♣µq ❆❧❣❡❜r❛✐❝ ❋❊▼ ❢♦r♠✉❧❛t✐♦♥ ♣ ♣ q ♣ qq ✏

P P

• ✦

♣ q ✁ ♣ q

• ♣

q ✁ ♣ q ✟✮ ♣ q ✏ ♣ ♣ q ♣ qq ♣ q ✏ ➺

♣ q

♣ ♣ qq ♣ q ❆❞❞✐t✐♦♥❛❧ ♥♦♥❧✐♥❡❛r✐t② ❝❛✉s❡❞ ❜② s♣❛t✐❛❧ ❞✐❝r❡t✐③❛t✐♦♥

❆♠✐♥❛ ❇❡♥❛❝❡✉r ❆ ❘❇▼ ❢♦r ✈❛r✐❛t✐♦♥❛❧ ✐♥❡q✉❛❧✐t✐❡s ✼✴✷✾

❊❧❛st✐❝ ❝♦♥t❛❝t ♣r♦❜❧❡♠ ❆❜str❛❝t ♠♦❞❡❧ ♣r♦❜❧❡♠ ❚❤❡ r❡❞✉❝❡❞✲❜❛s✐s ♠♦❞❡❧ ❆❜str❛❝t ♠♦❞❡❧ ♣r♦❜❧❡♠ ▲❛❣r❛♥❣✐❛♥ ❢♦r♠✉❧❛t✐♦♥ ❉✐s❝r❡t❡ ❋❊▼ ❢♦r♠✉❧❛t✐♦♥

❉✐s❝r❡t❡ ❋❊▼ ❢♦r♠✉❧❛t✐♦♥

✶ ❋❊▼ s♣❛❝❡ ✭N ✧ 1✮

VN ♣µq :✏ spantφ1♣µq, . . . , φN ♣µq✉ ⑨ V♣µq

✷ ❋❊▼ ❝♦♥✈❡① ❝♦♥❡ ✭R ✧ 1✮

WR♣µq :✏ spantψ1♣µq, . . . , ψR♣µq✉ ⑨ W♣µq ❆❧❣❡❜r❛✐❝ ❋❊▼ ❢♦r♠✉❧❛t✐♦♥ ♣u♣µq, λ♣µqq ✏ arg minmax

vPRN ,ηPRR

• ✦1

2vT A♣µqv ✁ vT f♣µq ηT K♣µ, vqv ✁ g♣µ, vq ✟✮ A♣µqij ✏ a♣µ; φj♣µq, φi♣µqq K♣µ, wqij ✏ ➺

Γc

1♣µq

k♣µ, w; φj♣µqqψi♣µq ❆❞❞✐t✐♦♥❛❧ ♥♦♥❧✐♥❡❛r✐t② ❝❛✉s❡❞ ❜② s♣❛t✐❛❧ ❞✐❝r❡t✐③❛t✐♦♥

❆♠✐♥❛ ❇❡♥❛❝❡✉r ❆ ❘❇▼ ❢♦r ✈❛r✐❛t✐♦♥❛❧ ✐♥❡q✉❛❧✐t✐❡s ✼✴✷✾

❊❧❛st✐❝ ❝♦♥t❛❝t ♣r♦❜❧❡♠ ❆❜str❛❝t ♠♦❞❡❧ ♣r♦❜❧❡♠ ❚❤❡ r❡❞✉❝❡❞✲❜❛s✐s ♠♦❞❡❧ ❆❜str❛❝t ♠♦❞❡❧ ♣r♦❜❧❡♠ ▲❛❣r❛♥❣✐❛♥ ❢♦r♠✉❧❛t✐♦♥ ❉✐s❝r❡t❡ ❋❊▼ ❢♦r♠✉❧❛t✐♦♥

❚❤❡ ❑❛↔❛♥♦✈ ♠❡t❤♦❞

✌ ■t❡r❛t✐✈❡ ♣r♦❝❡❞✉r❡ ✌ ❈♦♥s✐sts ✐♥ s♦❧✈✐♥❣ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ♣r♦❜❧❡♠s ✿ ❋♦r ❛❧❧ k ➙ 1 ♣uk♣µq, λk♣µqq ✏ arg minmax

vPRN ,ηPRR

• 1

2vT A♣µqv ✁ vT f♣µq ηT K♣µ, uk✁1♣µqqv ✁ g♣µ, λk✁1♣µqq ✟ ✌ ❙t♦♣♣✐♥❣ ❝r✐t❡r✐❛ ⑥uk♣µq ✁ uk✁1♣µq⑥RN ⑥uk✁1♣µq⑥RN ↕ ǫpr

ka

⑥λk♣µq ✁ λk✁1♣µq⑥RN ⑥λk✁1♣µq⑥RN ↕ ǫdu

ka

❆♠✐♥❛ ❇❡♥❛❝❡✉r ❆ ❘❇▼ ❢♦r ✈❛r✐❛t✐♦♥❛❧ ✐♥❡q✉❛❧✐t✐❡s ✽✴✷✾

❊❧❛st✐❝ ❝♦♥t❛❝t ♣r♦❜❧❡♠ ❆❜str❛❝t ♠♦❞❡❧ ♣r♦❜❧❡♠ ❚❤❡ r❡❞✉❝❡❞✲❜❛s✐s ♠♦❞❡❧ ❘❡❢❡r❡♥❝❡ ❝♦♥✜❣✉r❛t✐♦♥ ❘❡❞✉❝❡❞ ❜❛s✐s s♣❛❝❡s ❘❡❞✉❝❡❞ ♣r♦❜❧❡♠ ❖✤✐♥❡✴♦♥❧✐♥❡ s❡♣❛r❛t✐♦♥ ❇❛s✐s ❝♦♥str✉❝t✐♦♥s

❚❤❡ r❡❞✉❝❡❞✲❜❛s✐s ♠♦❞❡❧✿ ❘❡❢❡r❡♥❝❡ ❝♦♥✜❣✉r❛t✐♦♥

• ❡♦♠❡tr✐❝ ♠❛♣♣✐♥❣ h♣µq ❞❡✜♥❡❞ ♦♥ ❛ r❡❢❡r❡♥❝❡ ❞♦♠❛✐♥ q

Ω ✭✇✐t❤ I ✏ 2✮ h♣µq : q Ω Ñ Ω♣µq x ÞÑ

I

➳

i✏1

hi♣µ, xq1q

Ωi♣xq

♣ q ✏ ♣ q♣q q ❅ P t ✉ ♣ q ✏ ♣ q♣q q ❅ P t ✉ ❘❡❢❡r❡♥❝❡ ❍✐❧❜❡rt s♣❛❝❡ q ✏ ♣q q P❛r❛♠❡tr✐❝ ❍✐❧❜❡rt s♣❛❝❡ ♣ q✏ q ✆ ♣ q✁ ❘❡❢❡r❡♥❝❡ ❝♦♥✈❡① ❝♦♥❡ ⑤ ✏ ♣q

q

P❛r❛♠❡tr✐❝ ❝♦♥✈❡① ❝♦♥❡ ♣ q ✏ ⑤ ✆ ♣ q✁

⑤ ♣ q

❆♠✐♥❛ ❇❡♥❛❝❡✉r ❆ ❘❇▼ ❢♦r ✈❛r✐❛t✐♦♥❛❧ ✐♥❡q✉❛❧✐t✐❡s ✾✴✷✾

❊❧❛st✐❝ ❝♦♥t❛❝t ♣r♦❜❧❡♠ ❆❜str❛❝t ♠♦❞❡❧ ♣r♦❜❧❡♠ ❚❤❡ r❡❞✉❝❡❞✲❜❛s✐s ♠♦❞❡❧ ❘❡❢❡r❡♥❝❡ ❝♦♥✜❣✉r❛t✐♦♥ ❘❡❞✉❝❡❞ ❜❛s✐s s♣❛❝❡s ❘❡❞✉❝❡❞ ♣r♦❜❧❡♠ ❖✤✐♥❡✴♦♥❧✐♥❡ s❡♣❛r❛t✐♦♥ ❇❛s✐s ❝♦♥str✉❝t✐♦♥s

❚❤❡ r❡❞✉❝❡❞✲❜❛s✐s ♠♦❞❡❧✿ ❘❡❢❡r❡♥❝❡ ❝♦♥✜❣✉r❛t✐♦♥

• ❡♦♠❡tr✐❝ ♠❛♣♣✐♥❣ h♣µq ❞❡✜♥❡❞ ♦♥ ❛ r❡❢❡r❡♥❝❡ ❞♦♠❛✐♥ q

Ω ✭✇✐t❤ I ✏ 2✮ h♣µq : q Ω Ñ Ω♣µq x ÞÑ

I

➳

i✏1

hi♣µ, xq1q

Ωi♣xq

Ωi♣µq ✏ h♣µq♣q Ωiq ❅i P t1, 2✉ Γc

i♣µq ✏ h♣µq♣q

Γc

iq

❅i P t1, 2✉ ❘❡❢❡r❡♥❝❡ ❍✐❧❜❡rt s♣❛❝❡ q V :✏ H1♣q Ω; Rdq P❛r❛♠❡tr✐❝ ❍✐❧❜❡rt s♣❛❝❡ V♣µq✏ q V ✆ h♣µq✁1 ❘❡❢❡r❡♥❝❡ ❝♦♥✈❡① ❝♦♥❡ ⑤ W :✏ L2♣q Γc

1; Rq

P❛r❛♠❡tr✐❝ ❝♦♥✈❡① ❝♦♥❡ W♣µq ✏ ⑤ W ✆ h♣µq✁1

⑤Γc

1♣µq ❆♠✐♥❛ ❇❡♥❛❝❡✉r ❆ ❘❇▼ ❢♦r ✈❛r✐❛t✐♦♥❛❧ ✐♥❡q✉❛❧✐t✐❡s ✾✴✷✾

❊❧❛st✐❝ ❝♦♥t❛❝t ♣r♦❜❧❡♠ ❆❜str❛❝t ♠♦❞❡❧ ♣r♦❜❧❡♠ ❚❤❡ r❡❞✉❝❡❞✲❜❛s✐s ♠♦❞❡❧ ❘❡❢❡r❡♥❝❡ ❝♦♥✜❣✉r❛t✐♦♥ ❘❡❞✉❝❡❞ ❜❛s✐s s♣❛❝❡s ❘❡❞✉❝❡❞ ♣r♦❜❧❡♠ ❖✤✐♥❡✴♦♥❧✐♥❡ s❡♣❛r❛t✐♦♥ ❇❛s✐s ❝♦♥str✉❝t✐♦♥s

❘❡❞✉❝❡❞ ❜❛s✐s s♣❛❝❡s

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♣♣ u♣µq, ♣ λ♣µqq ✏ arg minmax

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• ✦1

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♣♣ u♣µq, ♣ λ♣µqq ✏ arg minmax

♣ vPRN, ♣ ηPRR

• ✦1

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