S k e w h e a p s H e a p s w i t h m e r g i - PowerPoint PPT Presentation

S k e w h e a p s

H e a p s w i t h m e r g i n g A n o t h e r u s e f u l o p e r a t i o n i s m e r g i n g t w o h e a p s i n t o o n e T o d o t h i s , l e t ' s g o b a c k t o b i n a r y t r e e s w i t h t h e h e a p p r o p e r t y ( n o c o m p l e t e n e s s ) : 8 1 8 2 9 2 0 3 9 6 6 2 8 3 7 3 2 8 9 W e c a n i m p l e m e n t t h e o t h e r p r i o r i t y q u e u e o p e r a t i o n s i n t e r m s o f m e r g i n g !

I n s e r t i o n T o i n s e r t a s i n g l e e l e m e n t : ● b u i l d a h e a p c o n t a i n i n g j u s t t h a t o n e e l e m e n t ● m e r g e i t i n t o t h e e x i s t i n g h e a p ! E . g . , i n s e r t i n g 1 2 A t r e e w i t h j u s t o n e n o d e 8 6 + 1 2 1 8 2 9 3 9 6 2 0 2 8 3 7 3 2 8 9

D e l e t e m i n i m u m T o d e l e t e t h e m i n i m u m e l e m e n t : ● t a k e t h e l e f t a n d r i g h t b r a n c h e s o f t h e t r e e ● t h e s e c o n t a i n e v e r y e l e m e n t e x c e p t t h e s m a l l e s t ● m e r g e t h e m ! E . g . , d e l e t i n g 8 f r o m t h e p r e v i o u s h e a p 2 9 1 8 + 3 9 6 6 2 0 2 8 8 9 3 7 3 2

N a i v e m e r g i n g H o w t o m e r g e t h e s e t w o h e a p s ? 2 9 1 8 B = A = 3 9 6 6 2 0 2 8 8 9 3 7 3 2 I d e a : r o o t o f r e s u l t i n g h e a p m u s t b e 1 8 T a k e h e a p A . P i c k o n e o f i t s c h i l d r e n . R e c u r s i v e l y m e r g e B i n t o t h a t c h i l d . L e t ' s u s e A ' s r i g h t c h i l d f o r n o p a r t i c u l a r r e a s o n

N a i v e m e r g i n g T o m e r g e t w o n o n - e m p t y h e a p s : P i c k t h e h e a p w i t h t h e s m a l l e s t r o o t : x A B L e t C b e t h e o t h e r h e a p R e c u r s i v e l y m e r g e B a n d C ! → + C x x A B A B + C

E x a m p l e 1 8 < 2 9 s o p i c k 1 8 a s t h e r o o t o f t h e m e r g e d t r e e 2 9 1 8 + 3 9 6 6 2 0 2 8 7 48 9 3 7 3 2

N a i v e m e r g i n g t h e r i g h t b r a n c h o f 1 8 R e c u r s i v e l y m e r g e a n d t h e 2 9 t r e e 1 8 2 0 2 9 + 3 7 2 8 3 9 6 6 3 2 7 48 9

N a i v e m e r g i n g 2 8 < 2 9 s o p i c k 2 8 a s t h e r o o t o f t h e m e r g e d t r e e 1 8 2 0 2 9 + 3 7 2 8 3 9 6 6 3 2 7 48 9

N a i v e m e r g i n g R e c u r s i v e l y m e r g e t h e r i g h t b r a n c h o f 2 8 a n d t h e 2 9 t r e e 1 8 2 0 2 8 3 7 2 9 + 3 2 3 9 6 6 7 48 9

N a i v e m e r g i n g 2 9 < 3 2 s o p i c k 2 9 a s t h e r o o t o f t h e m e r g e d t r e e 1 8 2 0 2 8 3 7 2 9 + 3 2 3 9 6 6 7 48 9

N a i v e m e r g i n g R e c u r s i v e l y m e r g e t h e r i g h t b r a n c h o f 2 9 w i t h 3 2 1 8 2 0 2 8 3 7 2 9 3 9 + 3 2 6 6 7 48 9

N a i v e m e r g i n g B a s e c a s e : m e r g e 6 6 w i t h t h e e m p t y t r e e 1 8 2 0 2 8 3 7 2 9 3 2 3 9 6 6 7 48 9 N o t i c e t h a t t h e t r e e l o o k s p r e t t y “ r i g h t - h e a v y ”

W o r s t c a s e f o r n a i v e m e r g i n g A r i g h t - h e a v y t r e e : U n f o r t u n a t e l y , y o u g e t t h i s j u s t b y d o i n g i n s e r t i o n s ! S o i n s e r t t a k e s O ( n ) t i m e . . . H o w c a n w e s t o p t h e t r e e f r o m b e c o m i n g r i g h t - h e a v y ?

S k e w m e r g i n g I n a s k e w h e a p , a f t e r m a k i n g a r e c u r s i v e c a l l t o m e r g e , w e : s w a p t h e t w o c h i l d r e n → → + C x x x A B A B + C B + C A A m a z i n g l y , t h i s s m a l l c h a n g e c o m p l e t e l y fj x e s t h e p e r f o r m a n c e o f m e r g e ! W e n e v e r e n d u p w i t h r i g h t - h e a v y t r e e s . W e g e t O ( l o g n ) a m o r t i s e d c o m p l e x i t y .

N a i v e m e r g i n g i n c o d e data Heap a = Nil | Node a (Heap a) (Heap a) root (Node x _ _) = x Ma k e s u r e t h a t fj r s t a r g u m e n t h a s merge x Nil = x s m a l l e s t r o o t merge Nil x = x merge x y | root x > root y = merge y x merge (Node x a b) c = Node x a (merge b c)

S k e w m e r g i n g i n c o d e data Heap a = Nil | Node a (Heap a) (Heap a) root (Node x _ _) = x merge x Nil = x merge Nil x = x merge x y | root x > root y = merge y x merge (Node x a b) c = Node x (merge b c) a

E x a m p l e O n e w a y t o d o s k e w m e r g e i s t o fj r s t d o n a i v e m e r g e , t h e n g o u p t h e t r e e s w a p p i n g l e f t a n d r i g h t c h i l d r e n . . . 2 9 1 8 1 8 → + 3 9 6 6 2 0 2 8 2 0 2 8 7 48 9 3 7 3 7 3 2 2 9 3 2 3 9 6 6 N a i v e m e r g e 7 48 9

E x a m p l e . . . l i k e t h i s : 8 → 1 8 8 → 1 8 1 8 2 0 2 2 0 2 0 2 8 2 3 7 2 9 3 7 3 7 2 9 2 9 3 2 3 2 3 2 3 9 3 9 3 9 6 6 6 6 6 6 7 48 9 7 48 9 7 48 9

E x a m p l e . . . l i k e t h i s : 1 8 1 8 1 8 → → 2 0 2 8 2 0 2 8 2 0 2 8 3 7 2 9 3 7 3 7 2 9 2 9 3 2 3 9 3 2 3 2 3 9 3 9 6 6 6 6 7 48 9 6 6 7 48 9 7 48 9

S k e w h e a p s I m p l e m e n t a t i o n o f p r i o r i t y q u e u e s : ● b i n a r y t r e e s w i t h h e a p p r o p e r t y ● s k e w m e r g i n g a v o i d s r i g h t - h e a v y t r e e s , g i v e s O ( l o g n ) a m o r t i s e d c o m p l e x i t y ● o t h e r o p e r a t i o n s a r e b a s e d o n m e r g e A g o o d fj t f o r f u n c t i o n a l l a n g u a g e s : ● b a s e d o n t r e e s r a t h e r t h a n a r r a y s O t h e r d a t a s t r u c t u r e s b a s e d o n n a i v e m e r g i n g + a v o i d i n g r i g h t h e a v y t r e e s : ● l e f t i s t h e a p s ( s w a p c h i l d r e n w h e n n e e d e d ) ● m e l d a b l e h e a p s ( s w a p c h i l d r e n a t r a n d o m ) S e e w e b p a g e f o r l i n k t o v i s u a l i s a t i o n s i t e !