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• ❚❤❡ ✈✐s❝♦✉s s✉❜❧❛②❡r ✭0 ≤ y+ < 5✮ ✿ t❤✐♥ ❧❛②❡r ♥❡❛r t❤❡ ✇❛❧❧ ✇❤❡r❡ t❤❡ ✈❡❧♦❝✐t②

✐s ❧✐♥❡❛r ✇✐t❤ t❤❡ ❞✐st❛♥❝❡ ❢r♦♠ t❤❡ ✇❛❧❧ ✭✐❢ s❝❛❧❡❞ ♣r♦♣❡r❧②✮❀ ✐♥ t❤✐s r❡❣✐♦♥ t❤❡ ✈✐s❝♦✉s ❡✛❡❝ts ❛r❡ ❞♦♠✐♥❛♥t✳

• ❇✉✛❡r ❧❛②❡r ✭5 ≤ y+ < 30✮✿ ✐♥ t❤✐s r❡❣✐♦♥ t❤❡ ✢♦✇ ❜❡❣✐♥s t❤❡ tr❛♥s✐t✐♦♥ t♦ t❤❡

t✉r❜✉❧❡♥❝❡ ❛♥❞ t❤❡ ✈✐s❝♦✉s ❡✛❡❝ts ❛r❡ ♦❢ t❤❡ s❛♠❡ ♦r❞❡r ♦❢ t❤❡ ❝♦♥✈❡❝t✐✈❡ ♦♥❡✳ ❚❤❡ ✈❡❧♦❝✐t② ♣r♦✜❧❡ ✐s ♥♦ ❧♦♥❣❡r ❧✐♥❡❛r✳

• ❚❤❡ ▲♦❣✲❧❛✇ r❡❣✐♦♥ ✭30 ≤ y+ < 500✮✿ ❛❢t❡r t❤❡ ❜✉✛❡r r❡❣✐♦♥ t❤❡ tr❛♥s✐t✐♦♥ ✐s

❝♦♠♣❧❡t❡✱ t❤❡ ✢♦✇ ✐s ❢✉❧❧② t✉r❜✉❧❡♥t ❛♥❞ t❤❡ ❛✈❡r❛❣❡ ✢♦✇ ✈❡❧♦❝✐t② ✐s r❡❧❛t❡❞ t♦ t❤❡ ❧♦❣❛r✐t❤♠ ♦❢ t❤❡ ❞✐st❛♥❝❡ t♦ t❤❡ ✇❛❧❧✳ ❚❤✐s ✐s ❦♥♦✇♥ ❛s t❤❡ ❧♦❣✲❧❛✇ r❡❣✐♦♥ ❛♥❞ t❤❡ ❝♦♥✈❡❝t✐✈❡ ❡✛❡❝t ❛r❡ ❞♦♠✐♥❛♥t ♦♥ t❤❡ ✈✐s❝♦✉s✳ ■t ✐s ✐♥t❡r❡st✐♥❣ t♦ ♥♦t❡ t❤❛t r✐❜❧❡t ❛r❡ ❛❜♦✉t 10 − 15 ✉♥✐t ✇❛❧❧✱ s♦ t❤❡ ✈❛❧❧❡②s st❛② ✐♥ t❤❡ ✈✐s❝♦✉s s✉❧❛②❡r ❛♥❞ t✐♣s ✐♥ t❤❡ ❜✉✛❡r✳ ❲❡ ❛r❡ ✐♥t❡r❡st❡❞ t♦ t❤❡ ❧❛②❡r ❥✉st ❛❞❥❛❝❡♥t t♦ t❤❡ ✇❛❧❧✱ t❤❡ ✈✐s❝♦✉s s✉❜❧❛②❡r✳ ❲❤❡r❡❛s t❤❡ ♠❛✐♥ ♣❛rt ♦❢ ❛ t✉r❜✉❧❡♥t ❜♦✉♥❞❛r② ❧❛②❡r ❡①❤✐❜✐ts ❝❤❛♦t✐❝ ✢✉✐❞ ♠♦t✐♦♥✱ t❤❡ ✈✐s❝♦✉s s✉❜❧❛②❡r s❤♦✇s q✉✐t❡ r❡❣✉❧❛r ❧♦♥❣✐t✉❞✐♥❛❧ ✈♦rt❡①✱ ✇❤✐❝❤ ♣❧❛② ❛ ❢✉♥❞❛♠❡♥t❛❧ r♦❧❡ ✐♥ t❤❡ ♠♦♠❡♥t✉♠ ❡①❝❤❛♥❣❡ ❛♥❞ t❤❡ t✉r❜✉❧❡♥❝❡ ❣❡♥❡r❛t✐♦♥✳ ❚❤❡s❡ r❡❣✉❧❛r ♣❛tt❡r♥s ❧❡❛❞ t♦ t❤❡ ❣❡♥❡r❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ s♦ ❝❛❧❧❡❞ ❧♦✇✲s♣❡❡❞

❈❍❆P❚❊❘ ✷✳ ▼■❈❘❖❙❈❖P■❈ P❘❖❇▲❊▼ ✶✹ ❋✐❣✉r❡ ✷✳✶✿ ❙tr✉❝t✉r❡ ♦❢ t❤❡ t✉r❜✉❧❡♥t ❜♦✉♥❞❛r② ❧❛②❡r✳ str❡❛❦s✱ t❤❛t ✇✐❧❧ ❜✉rst ✐♥ t❤❡ ✉♣♣❡r ③♦♥❡s ♦❢ t❤❡ ❜♦✉♥❞❛r② ❧❛②❡r ❛♥❞ ✇✐❧❧ ♣r♦♠♦t❡ t✉r❜✉❧❡♥❝❡✳ ❚❤❡ r✐❜❧❡t ❛r❡ ❝❛♣❛❜❧❡ t♦ ♦❜st❛❝❧❡ t❤❡ ❝r♦ss ✢♦✇ t❤❛t ❣❡♥❡r❛t❡ s✉❝❤ ❛ str✉❝t✉r❡s✱ t❤❡r❡❜② t❤❡② ❝❛♥ ❤❛♠♣❡r t❤❡ t✉r❜✉❧❡♥❝❡ ♣r♦❞✉❝t✐♦♥ ❛♥❞ ✐♥❝r❡❛s❡ t❤❡ ✈✐s❝♦✉s s✉❜❧❛②❡r t❤✐❝❦♥❡ss✱ ❛s ❞❡♠♦♥str❛t❡❞ ❜② ❍♦♦s❤♠❛♥❞ ❬✶✵❪✳

❈❍❆P❚❊❘ ✷✳ ▼■❈❘❖❙❈❖P■❈ P❘❖❇▲❊▼ ✶✺

✷✳✷ ▼❛t❤❡♠❡t✐❝❛❧ ❢♦r♠✉❧❛t✐♦♥

✷✳✷✳✶ ❙t♦❦❡s ❡q✉❛t✐♦♥

■♥ t❤✐s s❡❝t✐♦♥ ✇❡ ♣r❡s❡♥t t❤❡ ♣❛ss❛❣❡s t❤❛t ❧❡❛❞ ✉s t♦ t❤❡ ❣♦✈❡r♥✐♥❣ ❡q✉❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ✢♦✇ ✐♥ t❤❡ ✈✐s❝♦✉s s✉❜❧❛②❡r✳ ❋✐rst ♦❢ ❛❧❧ ✇❡ ✇r✐t❡ t❤❡ ✇❡❧❧ ❦♥♦✇♥ ◆❛✈✐❡r✲❙t♦❦❡s ❡q✉❛t✐♦♥s ✉♥❞❡r t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ❤②♣♦t❤❡s✐s ✿ ◆❡✇t♦♥✐❛♥ ✢✉✐❞✱ ✐♥❝♦♠♣r❡ss✐❜❧❡ ✢✉✐❞ ❛♥❞ ✐s♦t❤❡r♠❛❧ ✢♦✇✳ ❚❤❛♥❦s t♦ t❤❡s❡ ❛ss✉♠♣t✐♦♥ ◆❛✈✐❡r✲❙t♦❦❡s ❡q✉❛t✐♦♥s ❝❛♥ ❜❡ ❡①♣r❡ss❡❞ ✐♥ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ❢♦r♠✿              ∇ · u = 0 ρ ∂u ∂t + (u · ∇) u

• = −∇p + µ∇2u.

✭✷✳✷✮ ❍♦✇❡✈❡r✱ ✇❡ ❢♦❝✉s t❤❡ ❛tt❡♥t✐♦♥ ♦♥ t❤❡ ✈✐s❝♦✉s s✉❜❧❛②❡r✱ t❤❡r❡❢♦r❡✱ ❢✉rt❤❡r s✐♠♣❧✐✜❝❛✲ t✐♦♥s ❛r❡ ♣♦ss✐❜❧❡✳ ■♥t♦ s✉❝❤ ❛ r❡❣✐♦♥✱ t❤❡ ❢♦r❝❡s ❞✉❡ t♦ t❤❡ ✈✐s❝♦s✐t② ♦❢ t❤❡ ✢✉✐❞ ❝♦♥tr♦❧ t❤❡ ✢♦✇✱ ❛♥❞ t❤❡ ✐♥❡rt✐❛❧ ❢♦r❝❡s ❜❡❝♦♠❡ ♥❡❣❧✐❣✐❜❧❡✳ ■♥ ♦r❞❡r t♦ ❡①♣❧♦✐t t❤✐s ❢❛❝t ❛♥❞ s✐♠♣❧✐❢② t❤❡ ❡q✉❛t✐♦♥s✱ ✐t ✐s ❝♦♥✈❡♥✐❡♥t t♦ ❛ss❡ss t❤❡ ✐♠♣♦rt❛♥❝❡ ♦❢ t❤❡ ✈❛r✐♦✉s t❡r♠s ✐♥ t❤❡ ❡q✉❛t✐♦♥ ♦❢ ♠♦t✐♦♥✳ ❚♦ ❛❝❤✐❡✈❡ t❤✐s ❣♦❛❧✱ ✐t ✐s ♥❡❝❡ss❛r② t♦ r❡✲✇r✐t❡ t❤❡ ❢♦r♠❡r ❡q✉❛t✐♦♥s ✷✳✷ ✐♥ t❤❡ ❞✐♠❡♥s✐♦♥❧❡ss ❢♦r♠✳ ❋✐rst ♦❢ ❛❧❧ ✇❡ ♥❡❡❞ t♦ ❝❤♦♦s❡ t❤❡ ❝❤❛r❛❝t❡r✐st✐❝ ❞✐♠❡♥s✐♦♥ t❤❛t ❛❧❧♦✇ ✉s t♦ ②✐❡❧❞s ❛❧❧ ✈❛r✐❛❜❧❡s ✐♥ ❞✐♠❡♥s✐♦♥❧❡ss ❢♦r♠❀ ❝❤♦♦s✐♥❣ L ❢♦r t❤❡ ❧❡♥❣t❤ s❝❛❧❡✱ U ❢♦r t❤❡ ✈❡❧♦❝✐t② ❛♥❞ T ❢♦r t❤❡ t✐♠❡✱ ✐t ✐s ♣♦ss✐❜❧❡ t♦ ✐♥tr♦❞✉❝❡ ❞✐♠❡♥s✐♦♥❧❡ss ✈❛r✐❛❜❧❡s ❛♥❞ ♦♣❡r❛t♦rs ❞❡♥♦t❡❞ ❜② ❛♥ ❤❛t✱ ❛♥❞ ❞❡✜♥❡❞ ❛s ˆ u ≡ u U , ˆ x ≡ x L, ˆ ∇ ≡ L ∇, ˆ t ≡ t T , ˆ p ≡ p L µ U . ✭✷✳✸✮ ❙♦❧✈✐♥❣ ❡q✉❛t✐♦♥s ✷✳✸ ❢♦r t❤❡ ♣❤②s✐❝❛❧ ✈❛r✐❛❜❧❡s ✐♥ t❡r♠s ♦❢ t❤❡ ❞✐♠❡♥s✐♦♥❧❡ss ♦♥❡s ❛♥❞ s✉❜st✐t✉t✐♥❣ ✐♥t♦ t❤❡ ❡q✉❛t✐♦♥ ♦❢ ♠♦t✐♦♥ ✷✳✷ r❡s✉❧ts ρfU ∂ˆ u ∂ˆ t + ρU 2 L

• ˆ

u · ˆ ∇

• ˆ

u = −µU L2 ˆ ∇ˆ p + µU L2 ˆ ∇2ˆ u. ✭✷✳✹✮

❈❍❆P❚❊❘ ✷✳ ▼■❈❘❖❙❈❖P■❈ P❘❖❇▲❊▼ ✶✻ ❊✈❡♥t✉❛❧❧② ♠✉❧t✐♣❧②✐♥❣ ❢♦r L/ρU 2 t❤❡ ❡q✉❛t✐♦♥ t❛❦❡ t❤❡ ❢♦r♠ St ∂ˆ u ∂ˆ t +

• ˆ

u · ˆ ∇

• ˆ

u = − 1 Re ˆ ∇ ˆ P + 1 Re ˆ ∇2ˆ u, ✭✷✳✺✮ ✇❤❡r❡ St = f L U , Re = ρUL µ . ✭✷✳✻✮ St ✐s ❝❛❧❧❡❞ ❙tr♦✉❤❛❧ ♥✉♠❜❡r ❛♥❞ r❡♣r❡s❡♥t t❤❡ ✉♥st❡❛❞② ❡✛❡❝t ❞✉❡ t♦ t❤❡ t✉r❜✉❧❡♥t ✢✉❝t✉❛t✐♦♥s✱ ❛♥❞ Re ✐s t❤❡ ❘❡②♥♦❧❞s ♥✉♠❜❡r✱ ✇❤♦s❡ ♣❤②s✐❝❛❧ ✐♥t❡r♣r❡t❛t✐♦♥ ✐s t❤❡ r❛t✐♦ ♦❢ t❤❡ ✐♥❡rt✐❛❧ ❢♦r❝❡s ❛♥❞ t❤❡ ✈✐s❝♦✉s ♦♥❡s✳ ❚❤❛♥❦s t♦ t❤✐s ❢♦r♠ ♦❢ t❤❡ ❡q✉❛t✐♦♥✱ ✐s ♥♦✇ ♣♦ss✐❜❧❡ t♦ ❡✈❛❧✉❛t❡ t❤❡ ✇❡✐❣❤t ♦❢ ❡❛❝❤ t❡r♠✳ ❇❡❝❤❡rt ❡t ❛❧✳ ❬✷✼❪ ❝♦♥❝❧✉❞❡✱ ❛❧s♦ ♦♥ t❤❡ ❜❛s✐s ♦❢ ❡①♣❡r✐♠❡♥t❛❧ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥ts ❜② ♦t❤❡r ❛✉t❤♦rs✱ t❤❛t t❤❡ ❢r❡q✉❡♥❝✐❡s t②♣✐❝❛❧❧② ❡♥❝♦✉♥t❡r❡❞ ✐♥ t✉r❜✉❧❡♥t ✢♦✇ ❛r❡ ❧♦✇ ❡♥♦✉❣❤ ❢♦r t❤❡ ✈✐s❝♦✉s s✉❜❧❛②❡r t♦ ❜❡ tr❡❛t❡❞ ❛s q✉❛s✐✲st❡❛❞②✳ ❚❤❡r❡❢♦r❡✱ ✇❡ s✉♣♣♦s❡ t❤❛t St ∼ 0 ❛♥❞ ✇❡ ♥❡❣❧❡❝t t❤❡ ✉♥st❡❛❞② t❡r♠✳ ❚❤❡ ♠♦st ✐♠♣♦rt❛♥t ❤②♣♦t❤❡s✐s✱ ✇❤✐❝❤ ✐s t❤❡ ❤❡❛rt ♦❢ t❤✐s st✉❞②✱ ❝♦♥❝❡r♥ t❤❡ r❡②♥♦❧❞s ♥✉♠❜❡r✳ ❆s ❡①♣❧❛✐♥❡❞ ✐♥ s❡❝t✐♦♥ ✷✳✶ ✐♥ t❤❡ ✈✐s❝♦✉s s✉❜❧❛②❡r t❤❡ ✈✐s❝♦✉s ❢♦r❝❡s ❛r❡ t❤❡ ♠♦st ✐♠♣♦rt❛♥t ♦♥❡s✱ t❤❡♥ ✐t ✐s ♣♦ss✐❜❧❡ t♦ ❛r❣✉❡ t❤❛t Re ∼ 0 ♦r 1/Re → ∞✳ ❚❤✐s ❜r✐♥❣ t♦ ❛ ✈❡r② str♦♥❣ s✐♠♣❧✐✜❝❛t✐♦♥✿ ❝♦♥✈❡❝t✐✈❡ t❡r♠ ✐s ♥❡❣❧✐❣✐❜❧❡ r❡s♣❡❝t t♦ t❤❡ ❞✐✛✉s✐♦♥ ❛♥❞ ♣r❡ss✉r❡ t❡r♠ ❧❡❛❞✐♥❣ t♦ ˆ ∇ ˆ P = ˆ ∇2ˆ u. ✭✷✳✼✮ ❚❤❡ r❡❧❛t✐♦♥ ✷✳✼✱ ❝❛❧❧❡❞ ❙t♦❦❡s ❡q✉❛t✐♦♥✱ ✐s t❤❡ ❣♦✈❡r♥✐♥❣ ❡q✉❛t✐♦♥ ❢♦r ❛❧❧ t❤❡ ❝r❡❡♣✲ ✐♥❣ ✢♦✇✱ ✐♥ ✇❤✐❝❤ t❤❡ ✈✐s❝♦✉s ❢♦r❝❡s ❛r❡ ❞♦♠✐♥❛♥t✳ ❋r♦♠ ♥♦✇ ♦♥✱ t❤❡ ❤❛t ♦✈❡r t❤❡ ❞✐♠❡♥s✐♦♥❧❡ss q✉❛♥t✐t✐❡s ✐s ❞r♦♣♣❡❞ ❢♦r ❜r❡✈✐t②✱ ❛♥❞ t❤❡ ✈❛r✐❛❜❧❡s ♠✉st ❜❡ ❝♦♥s✐❞❡r❡❞ ❞✐♠❡♥s✐♦♥❧❡ss✳

✷✳✷✳✷ ❉❡❝♦✉♣❧✐♥❣ ♦❢ t❤❡ ❙t♦❦❡s ❡q✉❛t✐♦♥

❲❡ ✇✐s❤ t♦ st✉❞② t❤❡ ❙t♦❦❡s ✢♦✇ ♦❢ ❛ ✈✐s❝♦✉s ✢✉✐❞ ❛❧♦♥❣s✐❞❡ ❛♥ ✐♥✜♥✐t❡ ❝♦rr✉❣❛t❡❞ ✇❛❧❧ ✐♥ t❤❡ ♣r❡s❡♥❝❡ ♦❢ ❛ ❣✐✈❡♥ s❤❡❛r✱ ♦r ✈❡❧♦❝✐t② ❣r❛❞✐❡♥t✱ ✐♥ t❤❡ r❡❣✐♦♥ ❢❛r ❢r♦♠ t❤❡ ✇❛❧❧✳ ❋♦r t❤❡ s❛❦❡ ♦❢ s✐♠♣❧✐❝✐t②✱ ✇❡ s❤❛❧❧ ❛ss✉♠❡ t❤❡ ✇❛❧❧ s✉r❢❛❝❡ t♦ ❜❡ tr❛♥s❧❛t✐♦♥✲✐♥✈❛r✐❛♥t

❈❍❆P❚❊❘ ✷✳ ▼■❈❘❖❙❈❖P■❈ P❘❖❇▲❊▼ ✶✼ ❋✐❣✉r❡ ✷✳✷✿ ❲❛❧❧ t❡①t✉r❡ ❛♥❞ t❤❡ r❡❢❡r❡♥❝❡ ❝♦♦r❞✐♥❛t❡s✳ ✐♥ t❤❡ z✲❞✐r❡❝t✐♦♥✱ ❛♥❞ ♣❡r✐♦❞✐❝ ❛❧♦♥❣ t❤❡ x✲❞✐r❡❝t✐♦♥✳ ❚❤❡ ❞✐r❡❝t✐♦♥ ♥♦r♠❛❧ t♦ t❤❡s❡ ✇✐❧❧ ❜❡ t❤❡ y✲❛①✐s ❛s s❤♦✇♥ ✐♥ ✜❣✉r❡ ✷✳✷✳ ❚❤❡ ❣❡♦♠❡tr✐❝ ✇❛❧❧ ✐♥✈❛r✐❛♥❝❡ ❛❧♦♥❣ t❤❡ z✲❛①✐s s✉❣❣❡st t❤❛t ♣❤②s✐❝❛❧ q✉❛♥t✐t✐❡s ❛r❡ t♦♦ ✐♥ t❤❡ s❛♠❡ ❞✐r❡❝t✐♦♥✳ ❯♥❞❡r t❤❡ ❛ss✉♠♣t✐♦♥ ❛❜♦✈❡✱ t❤❡ ❡q✉❛t✐♦♥s ✷✳✼ ❝❛♥ ❜❡ ❢✉rt❤❡r s✐♠♣❧✐✜❡❞ s❡tt✐♥❣ t♦ ③❡r♦ ❛❧❧ t❤❡ ❞❡r✐✈❛t✐✈❡s ✐♥ z              ∂P ∂x ∂P ∂y

✓ ✓ ✓

∂P ∂z              = µ               ∂2u ∂x2 + ∂2u ∂y2 +

✓ ✓ ✓

∂2u ∂z2 ∂2v ∂x2 + ∂2v ∂y2 +

✓ ✓ ✓

∂2v ∂z2 ∂2w ∂x2 + ∂2w ∂y2 +

• ∂2w

∂z2               ✭✷✳✽✮ ■t ✐s ❡❛s② t♦ ♦❜s❡r✈❡ t❤❛t t❤❡ ♣r♦❜❧❡♠ ❜❡❝♦♠❡ t✇♦ ❞✐♠❡♥s✐♦♥❛❧✱ ❢✉rt❤❡r♠♦r❡✱ t❤❡ ❡q✉❛✲ t✐♦♥ ❢♦r w ❞❡❝♦✉♣❧❡s ❢r♦♠ t❤❡ s②st❡♠ ❛♥❞ ✐t ✐s ❥✉st t❤❡ ▲❛♣❧❛❝❡ ❡q✉❛t✐♦♥✳ ❚❤❡r❡❢♦r❡✱ t❤❡ ♣❡r✐♦❞✐❝✐t② ❛❧❧♦✇s ✉s t♦ r❡❝❛st ❛♥ ✐♥✐t✐❛❧❧② ✸❉ ♣r♦❜❧❡♠ ❣♦✈❡r♥❡❞ ❜② t❤❡ ❙t♦❦❡s ❡q✉❛t✐♦♥ ✐♥ t✇♦ ❞❡❝♦✉♣❧❡❞ ❞✐✛❡r❡♥t✐❛❧ ♣r♦❜❧❡♠s✿ ✶✳ ❚❤❡ ❧♦♥❣✐t✉❞✐♥❛❧ ♣r♦❜❧❡♠ ❢♦r t❤❡ ✉♥❦♥♦✇♥ ✈❡❧♦❝✐t② w              ∇2w = 0 w(x, y0) = 0 wy(x, ∞) = 1 ✭✷✳✾✮ ✇❤❡r❡ y0 ✐s t❤❡ ♣❡r✐♦❞✐❝ ❢✉♥❝t✐♦♥ t❤❛t r❡♣r❡s❡♥t t❤❡ ♣r♦✜❧❡ ♦❢ t❤❡ ✇❛❧❧ ✐♥ t❤❡ ♣❧❛♥❡

❈❍❆P❚❊❘ ✷✳ ▼■❈❘❖❙❈❖P■❈ P❘❖❇▲❊▼ ✶✽ y x ❋✐❣✉r❡ ✷✳✸✿ ❉♦♠❛✐♥ ❝♦♥t♦✉r ✭r❡❞ ❧✐♥❡✮✳ ❚❤❡ ❛rr♦✇s ♦♥ t❤❡ ✉♣♣❡r ♣❛rt ♦❢ t❤❡ ❞♦♠❛✐♥ ✐♥❞✐❝❛t❡ t❤❛t ✐t ♠✉st ❜❡ ❝♦♥s✐❞❡r❡❞ ❢❛r ❢r♦♠ t❤❡ r✐❜❧❡t ✇❛❧❧✳ ✭x✱y✮✳ ✷✳ ❚❤❡ tr❛♥s✈❡rs❡ ♣r♦❜❧❡♠ ❢♦r t❤❡ ✉♥❦♥♦✇♥s u✱ v ❛♥❞ P              ∇p = ∇2u, u = (u, v) u(x, y0) = (0, 0) uy(x, ∞) = 1 ✭✷✳✶✵✮ ❚❤❡s❡ ❞✐✛❡r❡♥t✐❛❧ ♣r♦❜❧❡♠s ❤❛✈❡ ❜❡❡♥ s♦❧✈❡❞ ✐♥s✐❞❡ t❤❡ ❞♦♠❛✐♥ s❤♦✇♥ ✐♥ ✜❣✉r❡ ✷✳✸✳ ❚❤❡ ♥♦ s❧✐♣ ❜♦✉♥❞❛r② ❝♦♥❞✐t✐♦♥ ❤❛s ❜❡❡♥ ✉s❡❞ ❛t t❤❡ ✇❛❧❧✱ ❛♥❞ ❛ ❝♦♥st❛♥t s❤❡❛r ❤❛s ❜❡❡♥ ✐♠♣♦s❡❞ ❢❛r ❢r♦♠ t❤❡ ❝❛✈✐t②✳

❈❍❆P❚❊❘ ✷✳ ▼■❈❘❖❙❈❖P■❈ P❘❖❇▲❊▼ ✶✾

✷✳✸ Pr♦tr✉s✐♦♥ ❤❡✐❣❤ts

■t ✐s ✐♠♣♦rt❛♥t t♦ ❞❡✜♥❡ t❤❡ ❝♦♥❝❡♣t ♦❢ ♣r♦tr✉s✐♦♥ ❤❡✐❣❤ts ❜❡❝❛✉s❡ ✇❡ ✇✐❧❧ ✉s❡ t❤❡♠ ❛s ❜♦✉♥❞❛r✐❡s ❝♦♥❞✐t✐♦♥s ❢♦r t❤❡ ♠❛❝r♦s❝♦♣✐❝ ♣r♦❜❧❡♠✳ ❲❡ ❝❛♥ ❞❡✜♥❡ ♦♥❡ ♣r♦tr✉s✐♦♥ ❤❡✐❣❤t ❢♦r ❡❛❝❤ ♣r♦❜❧❡♠ ❞❡✜♥❡❞ ✐♥ s❡❝t✐♦♥ ✷✳✷✳✷✿ t❤❡ ♣r♦tr✉s✐♦♥ ❤❡✐❣❤t ❛ss♦❝✐❛t❡❞ ✇✐t❤ t❤❡ ♣❛r❛❧❧❡❧ ♣r♦❜❧❡♠ ✇✐❧❧ ❜❡ ❝❛❧❧❡❞ ♣❛r❛❧❧❡❧ ♣r♦tr✉s✐♦♥ ❤❡✐❣❤t✱ ❛♥❞ t❤❛t ❛ss♦❝✐❛t❡❞ ✇✐t❤ t❤❡ tr❛♥s✈❡rs❡ ♣r♦❜❧❡♠ ✇✐❧❧ ❜❡ ❝❛❧❧❡❞ ♣❡r♣❡♥❞✐❝✉❧❛r ♣r♦tr✉s✐♦♥ ❤❡✐❣❤t✳ ◆♦✇✱ ❧❡t ✉s ♣r♦❝❡❡❞ ✇✐t❤ t❤❡ ♠❛t❤❡♠❛t✐❝❛❧ ❞❡✜♥✐t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ♣❛r❛❧❧❡❧ ♣r♦tr✉s✐♦♥ ❤❡✐❣❤t ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ t❤❡ ▲✉❝❤✐♥✐✬s ♣❛ss❛❣❡s ❬✷✵❪✳ ❙✐♥❝❡ w ✐s ♣❡r✐♦❞✐❝ ❛❧♦♥❣ x✲❛①✐s✱ ✇❡ ❝❛♥ ❡①♣r❡ss ✐t ✉s✐♥❣ t❤❡ ❋♦✉r✐❡r s❡r✐❡s w =

+∞

• n=−∞

Wneinx, ✭✷✳✶✶✮ ✇❤❡r❡      Wn = ane−|n|y + bne|n|y, n = 0 Wn = a0 + b0y, n = 0. ✭✷✳✶✷✮ ❚❤❡ ❝♦♥❞✐t✐♦♥ t❤❛t wy = 1 ❢♦r y → +∞ ✜①❡s ❛❧❧ b✲❝♦❡✣❝✐❡♥ts ❛s b0 = 1 ❛♥❞ bn = 0 ❢♦r n = 0✱ ❛♥❞ ❧❡❛✈❡s t❤❡ a✲❝♦❡✣❝✐❡♥ts t♦ ❜❡ ❞❡t❡r♠✐♥❡❞ ❜② t❤❡ ❝♦♥❞✐t✐♦♥ ❛t t❤❡ ✇❛❧❧ s✉r❢❛❝❡✳ ❙✐♥❝❡ ❛❧❧ t❤❡ ❝♦❡✣❝✐❡♥ts ♦❢ t❤❡ s❡r✐❡s ✷✳✶✶ ❜✉t W0 ✈❛♥✐s❤ ❡①♣♦♥❡♥t✐❛❧❧② ❛t ✐♥✜♥✐t②✱ t❤❡ s♦❧✉t✐♦♥ ♦❜t❛✐♥❡❞ ✇✐❧❧ ❛♣♣r♦❛❝❤ t❤❡ ❧✐♥❡❛r ❜❡❤❛✈✐♦✉r w ∼ a0 + y✱ ❛♥❞ t❤✉s ✐t ✐♠✐t❛t❡s t❤❡ ❧✐♥❡❛r ✈❡❧♦❝✐t② ♣r♦✜❧❡ ♣r♦❞✉❝❡❞ ❜② ❛ ♣❧❛♥❡ ✇❛❧❧ ❧♦❝❛t❡❞ ❛t y = −a0✳ P❛r❛❧❧❡❧ ♣r♦tr✉s✐♦♥ ❤❡✐❣❤t ✐s ❞❡✜♥❡❞ ❛s h|| = a0✱ ❛♥❞ t❤❡r❡❢♦r❡ ✐t r❡♣r❡s❡♥ts t❤❡ ❞✐st❛♥❝❡ ♦❢ t❤❡ ❛❢♦r❡♠❡♥t✐♦♥❡❞ ✈✐rt✉❛❧ ♣❧❛♥❡ ✇❛❧❧ ❢r♦♠ t❤❡ y✲❛①✐s ♦r✐❣✐♥ ✭✇❤✐❝❤ ✐s ❧♦❝❛t❡❞ ♦♥ t❤❡ r✐❜❧❡t t✐♣s✮✳ ❚❤✐s q✉❛♥t✐t✐❡② ❤❛✈❡ ❜❡❡♥ ✜rst ❞❡r✐✈❡❞ ❜② ❇❡❝❤❡rt ❡t ❛❧✳ ❬✷✼❪✱ t❤❛t ❞❡✜♥❡❞ ✐t ❛s t❤❡ ❛♣♣❛r❡♥t ♦r✐❣✐♥ ♦❢ t❤❡ ✈❡❧♦❝✐t② ♣r♦✜❧❡ ♦♥ ❛ ❣r♦♦✈❡❞ s✉r❢❛❝❡✳ ▲✉❝❤✐♥✐ s❤♦✇s t❤❛t ❛ s✐♠✐❧❛r ♣r♦tr✉s✐♦♥ ❤❡✐❣❤t ♠❛② ❜❡ ❞❡✜♥❡❞ ❢♦r t❤❡ ❝r♦ss✲✢♦✇ ❛s ✇❡❧❧✱ t❤❡r❡❢♦r❡ ✐t ✐s ❡✈❡♥ ♣♦ss✐❜❧❡ t♦ ✇r✐t❡ w ∼ h|| + y ✭✷✳✶✸✮ u ∼ h⊥ + y ✭✷✳✶✹✮ ❜❡✐♥❣ h⊥ t❤❡ ♣❡r♣❡♥❞✐❝✉❧❛r ♣r♦tr✉s✐♦♥ ❤❡✐❣❤t✱ ❝♦♥❝❡♣t✉❛❧❧② ❞❡✜♥❡❞ ❛s t❤❡ ♣❛r❛❧❧❡❧ ♦♥❡✳ ❚❤❡② ❝❛♥ ❜❡ ✉s❡❞ t♦ r❡♣r❡s❡♥t t❤❡ ✐♥✢✉❡♥❝❡ ♦❢ t❤❡ r✐❜❧❡ts ♦♥ t❤❡ ✈✐s❝♦✉s s✉❜❧❛②❡r✳ ■♥

❈❍❆P❚❊❘ ✷✳ ▼■❈❘❖❙❈❖P■❈ P❘❖❇▲❊▼ ✷✵

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❋✐❣✉r❡ ✷✳✹✿ ❈r♦ss✲s❡❝t✐♦♥ ♦❢ ❛ r✐❜❧❡t ♣❧❛t❡s ❛♥❞ ♣r♦tr✉s✐♦♥ ❤❡✐❣❤ts✳ ✜❣✉r❡ ✷✳✹ ✐s s❤♦✇♥ t❤❡ ✈✐rt✉❛❧ ♣❧❛♥❡ ✇❛❧❧ ✇❤✐❝❤ ❝r❡❛t❡ t❤❡ ❧✐♥❡❛r ✈❡❧♦❝✐t② ♣r♦✜❧❡✳ ■t ✐s ✐♠♣♦rt❛♥t t♦ ♥♦t❡ t❤❛t t❤❡ ✈❛❧✉❡ ♦❢ ❜♦t❤ ♣❛r❛❧❧❡❧ ❛♥❞ ♣❡r♣❡♥❞✐❝✉❧❛r ♣r♦tr✉s✐♦♥ ❤❡✐❣❤t ❞❡♣❡♥❞s ♦♥ t❤❡ ♦r✐❣✐♥ ❢ t❤❡ ❝♦♦r❞✐♥❛t❡ s②st❡♠✱ ❤❡♥❝❡ ✇❡ ❞❡✜♥❡ ❛ ♥❡✇ q✉❛♥t✐t② ✇❤✐❝❤ ❞♦❡s ♥♦t ❞❡♣❡♥❞s ♦♥ ✐t ∆h = h|| − h⊥. ✭✷✳✶✺✮ ❚❤❡ ❞✐✛❡r❡♥❝❡ ❜❡t✇❡❡♥ t❤❡ t✇♦ ♣r♦tr✉s✐♦♥ ❤❡✐❣❤ts ✭∆h✮ ❤❛s ❜❡❡♥ r❡❧❛t❡❞ t♦ t❤❡ ❡✛❡❝✲ t✐✈❡♥❡ss ♦❢ r✐❜❧❡ts ✭▲✉❝❤✐♥✐ ❡t ❛❧✳ ❬✷✵❪✮✳ ❆♥ ❤✐❣❤ ✈❛❧✉❡ ♦❢ ✐t ✐♠♣❧② ❛♥ ❡✣❝✐❡♥t r✐❜❧❡t✱ ❤❡♥❝❡ ❛♥ ❤✐❣❤ ❞r❛❣ r❡❞✉❝t✐♦♥ ✭DR✮✳ ❖♥ t❤❡ ❝♦♥tr❛r②✱ ❛ ❧♦✇ ✈❛❧✉❡ ♦❢ ∆h ✐s ❛ss♦❝✐❛t❡❞ t♦ ❧♦✇❡r ❞r❛❣ r❡❞✉❝t✐♦♥✳ ❚❤✐s t❤❡♦r② ❝❛♥♥♦t r❡✈❡❛❧s t❤❡ ❞r❛❣ r❡❞✉❝t✐♦♥ ❛♠♦✉♥t✱ ❜✉t ✐t ❝❛♥ ❜❡ ✉s❡❞ ❢♦r ❛ q✉❛❧✐t❛t✐✈❡ ❛♥❛❧②s✐s✳ ■♥ t❤❡ ♣r❡s❡♥t ✇♦r❦ t❤❡ r❡❧❛t✐♦♥ ❜❡t✇❡❡♥ t❤❡ ❞r❛❣ r❡❞✉❝t✐♦♥ ❛♥❞ t❤❡ ♣r♦tr✉s✐♦♥ ❤❡✐❣❤t ❞✐✛❡r❡♥❝❡ ✐s ✉s❡❞ t♦ q✉❛❧✐t❛t✐✈❡❧② ❛♥❛❧②③❡ t❤❡ ❢r❛❝t❛❧ r✐❜❧❡t ❡✛❡❝t✐✈❡♥❡ss✱ ♠♦r❡♦✈❡r ✐♥ t❤❡ ❧❛st ❝❤❛♣t❡r✱ ❛ ✇❛② t♦ q✉❛♥t✐t❛t✐✈❡❧② r❡❧❛t❡ ∆h ❛♥❞ DR ✐s s❤♦✇♥✳

❈❍❆P❚❊❘ ✷✳ ▼■❈❘❖❙❈❖P■❈ P❘❖❇▲❊▼ ✷✶

✷✳✹ ❇♦✉♥❞❛r② ✐♥t❡❣r❛❧ ♠❡t❤♦❞

❖✈❡r t❤❡ ❧❛st ✸✵ ②❡❛rs✱ ❛ ✈❡r② ♣♦♣✉❧❛r ♠❡t❤♦❞ ❢♦r s♦❧✈✐♥❣ ♣❛rt✐❛❧ ❞✐✛❡r❡♥t✐❛❧ ❡q✉❛t✐♦♥s ❤❛s ❞❡✈❡❧♦♣❡❞ ❛♥❞ ♠❛t✉r❡❞✳ ❚❤✐s ❡❧❡❣❛♥t ❛♣♣r♦❛❝❤ ✐s t❤❡ ❇♦✉♥❞❛r② ■♥t❡❣r❛❧ ▼❡t❤♦❞ ✭❇■▼✮ ❛♥❞ ✐t ❝❛♥ ❜❡ ❛♣♣❧✐❡❞ ✐♥ ♠❛♥② ❛r❡❛s ♦❢ t❤❡ ❡♥❣✐♥❡❡r✐♥❣ ❛♥❞ s❝✐❡♥❝❡✱ ✐♥❝❧✉❞✐♥❣ ✢✉✐❞ ♠❡❝❤❛♥✐❝s✱ ❛❝♦✉st✐❝s✱ ❡❧❡❝tr♦♠❛❣♥❡t✐❝s ❛♥❞ ❢r❛❝t✉r❡ ♠❡❝❤❛♥✐❝s✳ ❚❤❡ ♠❡t❤♦❞ ❛✐♠ ❛t tr❛♥s❢♦r♠✐♥❣ ❛ ❞✐✛❡r❡♥t✐❛❧ ❡q✉❛t✐♦♥ ✐♥ ❛♥ ✐♥t❡❣r❛❧ ❡q✉❛t✐♦♥✱ ❝❛❧❧❡❞ ❇♦✉♥❞❛r② ■♥t❡❣r❛❧ ❊q✉❛t✐♦♥ ✭❇■❊✮✱ ✇❤✐❝❤ r❡❧❛t❡ t❤❡ ✉♥❦♥♦✇♥ ❢✉♥❝t✐♦♥ ✐♥t♦ t❤❡ ❞♦♠❛✐♥ t♦ ♦♥❧② t❤❡ ✈❛❧✉❡ ♦♥ t❤❡ ❜♦✉♥❞❛r② ✈❛❧✉❡s✳ ❲❡ ♥♦✇ ❞❡r✐✈❡ t❤❡ ❜♦✉♥❞❛r② ✐♥t❡❣r❛❧ ❡q✉❛t✐♦♥ ❢♦r t❤❡ ▲❛♣❧❛❝❡ ❛♥❞ t❤❡ ❙t♦❦❡s ❡q✉❛t✐♦♥✳

✷✳✹✳✶ ❇■❊ ❢♦r t❤❡ ▲❛♣❧❛❝❡ ❡q✉❛t✐♦♥

■♥ t❤✐s s❡❝t✐♦♥ ✇❡ t✉r♥ t❤❡ ▲❛♣❧❛❝❡ ❡q✉❛t✐♦♥✱ ❝♦♥s✐❞❡r❡❞ ✐♥t♦ ❛ ❞♦♠❛✐♥ ❉ ✇✐t❤ ❜♦✉♥❞❛r② ❈✱ ✐♥t♦ t❤❡ ✐♥t❡❣r❛❧ ❢♦r♠✳ ❚♦ ❞♦ s♦✱ ✇❡ ✐♥tr♦❞✉❝❡ t❤❡ ●r❡❡♥✬s s❡❝♦♥❞ ✐❞❡♥t✐t② ψ∇2w − w∇2ψ = ∇ · (ψ∇w − w∇ψ), ✭✷✳✶✻✮ ✇❤❡r❡ ψ ✐s ❛♥ ❛r❜✐tr❛r② s❝❛❧❛r ❢✉♥❝t✐♦♥✳ ❯s✉❛❧❧② ✇❡ s❡t ψ = G✱ ✇❤❡r❡ G ✐s t❤❡

• r❡❡♥✬s ❢✉♥❝t✐♦♥ ❢♦r t❤❡ ▲❛♣❧❛❝❡ ❡q✉❛t✐♦♥❀ ❜② ❞❡✜♥✐t✐♦♥ G s❛t✐s❢② t❤❡ s✐♥❣✉❧❛r✐t② ❢♦r❝❡❞

▲❛♣❧❛❝❡✬s ❡q✉❛t✐♦♥ ∇2G(x, x0) + δ(x − x0) = 0, ✭✷✳✶✼✮ ✇❤❡r❡

• x = (x, y) ✐s t❤❡ ❝♦♦r❞✐♥❛t❡ ✈❡❝t♦r✳
• x0 = (x0, y0) ✐s ❛ s♣❡❝✐✜❝ ♣♦✐♥t ✐♥t♦ t❤❡ ❞♦♠❛✐♥ ❝❛❧❧❡❞ ♣♦❧❡ ♦r s✐♥❣✉❧❛r✐t② ♣♦✐♥t

♦r ❥✉st t❤❡ s✐♥❣✉❧❛r✐t②✳

• δ(x − x0) ✐s t❤❡ ❉✐r❛❝✬s ❞❡❧t❛ ❢✉♥❝t✐♦♥ ✐♥ t✇♦ ❞✐♠❡♥s✐♦♥s✳

■♥ t❤❡ ♥❡①t st❡♣✱ ✇❡ ✐♥t❡❣r❛t❡ t❤❡ ●r❡❡♥✬s s❡❝♦♥❞ ✐❞❡♥t✐t② ✷✳✶✻ ♦✈❡r t❤❡ ❞♦♠❛✐♥ D′ = D −Dǫ✱ s❦❡t❝❤❡❞ ✐♥ ✜❣✉r❡ ✷✳✺❀ ✐♥ ❢❛❝t ✇❡ ❞❡❧❡t❡ ❢r♦♠ D ❛ s♠❛❧❧ ❞✐s❦ Dǫ ♦❢ r❛❞✐✉s ǫ ❛♥❞ ❝❡♥t❡r❡❞ ❛t x0✱ t♦ ❛✈♦✐❞ t❤❡ ❡♥❝❧♦s✐♥❣ ♦❢ t❤❡ ♣♦✐♥t x = x0✱ ✇❤✐❝❤ ❞♦❡s ♥♦t ❜❡❧♦♥❣ t♦ t❤❡ ●r❡❡♥✬s ❢✉♥❝t✐♦♥ ❞♦♠❛✐♥✳

❈❍❆P❚❊❘ ✷✳ ▼■❈❘❖❙❈❖P■❈ P❘❖❇▲❊▼ ✷✷

D D

dl dl

x0 C C

n

D'

❋✐❣✉r❡ ✷✳✺✿ ❉♦♠❛✐♥ ♦❢ ✐♥t❡❣r❛t✐♦♥ D′✳

• D′(G∇2w − w∇2G)dS =
• D′ ∇ · (G∇w − w∇G)dS.

✭✷✳✶✽✮ ▲❡❢t✲❤❛♥❞ s✐❞❡ ♦❢ t❤❡ ❡q✉❛t✐♦♥ ✷✳✶✽ ✐s ❡q✉❛❧ t♦ ③❡r♦✱ s✐♥❝❡ ∇2w = 0✱ ❛♥❞ ∇2G = 0 ✇❤❡♥ x = x0 ❜❡❝❛✉s❡ ♦❢ t❤❡ ❉✐r❛❝✬s ❞❡❧t❛ ❢✉♥❝t✐♦♥ ♣r♦♣❡rt✐❡s✳ ❆♣♣❧②✐♥❣ t❤❡ ❞✐✈❡r❣❡♥❝❡ t❤❡♦r❡♠ ❛t t❤❡ ❧❡❢t✲❤❛♥❞ s✐❞❡ ♦❢ t❤❡ ❡q✉❛t✐♦♥ ✷✳✶✽ ✇❡ ♦❜t❛✐♥

• C+Cǫ

(G∇w − w∇G) · ndl = 0, ✭✷✳✶✾✮ ✇❤❡r❡ C ✐s t❤❡ ❜♦✉♥❞❛r② t♦ D✱ Cǫ ✐s t❤❡ ❜♦✉♥❞❛r② t♦ Dǫ✱ ❛♥❞ l ♠❡❛s✉r❡s ❛r❝ ❧❡♥❣t❤ ❛❧♦♥❣ ❡✐t❤❡r C ♦r Cǫ✳ ❈♦♥s✐❞❡r✐♥❣ t❤❡ ✐♥t❡❣r❛❧ ❛❧♦♥❣ Cǫ ❛♥❞ ❞❡✜♥✐♥❣ r = |x − x0|✱ t❤✐s ❡①♣r❡ss✐♦♥ ❝❛♥ ❜❡ s✐♠♣❧✐✜❡❞ s✉❜st✐t✉t✐♥❣ t❤❡ s❝❛❧❛r ♣r♦❞✉❝t ❜❡t✇❡❡♥ n ❛♥❞ ❜♦t❤ t❤❡ ❣r❛❞✐❡♥ts✱ ✇✐t❤ t❤❡ r✲❞❡r✐✈❛t✐✈❡ ❛s ❢♦❧❧♦✇ Iǫ =

• Cǫ

(G∇w − w∇G) · ndl =

• Cǫ

(G∂w ∂r )dl −

• Cǫ

w∂G ∂r dl, ✭✷✳✷✵✮ ❚❤✐s ♣❛ss❛❣❡ ❝❛♥ ❜❡ ❞♦♥❡ ❜❡❝❛✉s❡ Cǫ ✐s ❛ ❝✐r❝✉♠❢❡r❡♥❝❡ ✇✐t❤ ♥♦r♠❛❧ n✳ ❲❤❡♥ x = x0 ♦r r = 0 t❤❡ s✐♥❣✉❧❛r ❢♦r❝❡❞ ▲❛♣❧❛❝❡✬s ❡q✉❛t✐♦♥ ❜❡❝♦♠❡ ∇2G = 0✱ ❛♥❞ ❛ss✉♠✐♥❣ G ❞❡♣❡♥❞❡♥t ♦♥❧② ♦♥ r✱ ✐t ❝❛♥ ❜❡ ❢♦✉♥❞ t❤❛t t❤❡ s♦❧✉t✐♦♥ r❡❛❞s G = λ❧♦❣r, ✭✷✳✷✶✮ ✇❤❡r❡ λ ✐s ❛♥ ❛r❜✐tr❛r② ❝♦♥st❛♥t✳ ❚❤✐s ❢✉♥❞❛♠❡♥t❛❧ s♦❧✉t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ❡q✉❛t✐♦♥ ✷✳✶✼ ✐s ❝❛❧❧❡❞ ❢r❡❡✲s♣❛❝❡ ●r❡❡♥✬s ❢✉♥❝t✐♦♥✳ ❲❡ ❝❛♥ ❡♠♣❧♦② t❤❡ ❢r❡❡✲s♣❛❝❡ ●r❡❡♥✬s ❢✉♥❝t✐♦♥ ✐♥

❈❍❆P❚❊❘ ✷✳ ▼■❈❘❖❙❈❖P■❈ P❘❖❇▲❊▼ ✷✸ ♦r❞❡r t♦ s✐♠♣❧✐❢② t❤❡ ❡①♣r❡ss✐♦♥ ♦❢ Iǫ✱ ✐♥ ❢❛❝t✱ s✉❜st✐t✉t✐♥❣ ✷✳✷✶ ✐♥t♦ ✷✳✷✵✱ ✇❡ ♦❜t❛✐♥ Iǫ =

• Cǫ

(λ❧♦❣r∂w ∂r )dl −

• Cǫ

wλ r dl. ✭✷✳✷✷✮ ❙✐♥❝❡ t❤❡ r❛❞✐✉s ♦❢ t❤❡ ❝✐r❝✉♠❢❡r❡♥❝❡ ✐s ❡q✉❛❧ t♦ ǫ✱ ❛♥❞ t❤❡ ✐♥t❡❣r❛❧ ✐s ♣❡r❢♦r♠❡❞ ♦♥ t❤❡ ❝✐r❝✉♠❢❡r❡♥❝❡✱ ✐t ✐s ♣♦ss✐❜❧❡ t♦ s✉❜st✐t✉t❡ r ✇✐t❤ ǫ✱ ♠♦r❡♦✈❡r✱ ❧❡tt✐♥❣ ǫ → 0 ✇❡ ✜♥❞ Iǫ = λ❧♦❣ǫ∂w(x0) ∂r

• Cǫ

dl − w(x0)λ ǫ

• Cǫ

dl = = λ❧♦❣ǫ∂w(x0) ∂r 2πǫ − w(x0)λ ǫ πǫ = −2πλw(x0). ✭✷✳✷✸✮ ❘❡t✉r♥✐♥❣ t♦ t❤❡ ❡q✉❛t✐♦♥ ✷✳✶✾✱ ✇❡ ❝❛♥ s✉❜st✐t✉t❡ t❤❡ ✐♥t❡❣r❛❧ ♦♥ Cǫ ✇✐t❤ t❤❡ ✷✳✷✸✱ ❛♥❞ ❝❤♦♦s❡ λ = −1/2π✳ ❲❡ ❞❡r✐✈❡ t❤❡ ✈❡❧♦❝✐t② w ❢r♦♠ ❡q✉❛t✐♦♥ ✷✳✶✾✱ t❤❛t ❜❡❝♦♠❡ t❤❡ ❇♦✉♥❞❛r② ■♥t❡❣r❛❧ ❊q✉❛t✐♦♥ ✭❇■❊✮ ❢♦r ♣♦t❡♥t✐❛❧ ✢♦✇ w(x0) =

• C

w(x)n · ∇G(x, x0)dl −

• C

G(x, x0)n · ∇w(x)dl, ✭✷✳✷✹✮ ❚❤✐s ✐s t❤❡ ✐♥t❡❣r❛❧ ❢♦r♠✉❧❛t✐♦♥ ❢♦r t❤❡ ▲❛♣❧❛❝❡ ❡q✉❛t✐♦♥❀ t❤❡ ✜rst ✐♥t❡❣r❛❧ ♦♥ t❤❡ r✐❣❤t✲❤❛♥❞ s✐❞❡ ✐s ❝❛❧❧❡❞ ❉♦✉❜❧❡✲▲❛②❡r P♦t❡♥t✐❛❧ ✭❉▲P✮ ❛♥❞ t❤❡ s❡❝♦♥❞ ♦♥❡ ✐s ❝❛❧❧❡❞ ❙✐♥❣❧❡✲▲❛②❡r P♦t❡♥t✐❛❧ ✭❙▲P✮✳ ❚❤❡ ❡q✉❛t✐♦♥ ✷✳✷✹ ❝❛♥ ❜❡ ✉s❡❞ t♦ s♦❧✈❡ t❤❡ ❧♦♥❣✐t✉❞✐♥❛❧ ♣r♦❜❧❡♠✱ ❛♥❞ ✜♥❞ t❤❡ ✈❡❧♦❝✐t② ✜❡❧❞ w ✐♥ ❛❧❧ t❤❡ ❞♦♠❛✐♥✳ ❲❡ ♥♦t❡ t❤❛t ♦♥ t❤❡ r✐❣❤t✲ ❤❛♥❞ s✐❞❡✱ t❤❡ ✉♥❦♥♦✇♥ ❢✉♥❝t✐♦♥ w ❛♣♣❡❛rs ✐♥s✐❞❡ ✐♥t❡❣r❛❧s ✇❤✐❝❤ ❛r❡ ❞❡✜♥❡❞ ♦✈❡r t❤❡ ❜♦✉♥❞❛r② C✳ ❙♦ t❤❡ r✐❣❤t✲❤❛♥❞ s✐❞❡ ✐♥✈♦❧✈❡ ♦♥❧② t❤❡ ❜♦✉♥❞❛r② ✈❛❧✉❡ ♦❢ w✳ ■♥ ❣❡♥❡r❛❧ ✇❤❡♥ ❛ ❞✐✛❡r❡♥t✐❛❧ ♣r♦❜❧❡♠ ♠✉st ❜❡ s♦❧✈❡❞✱ t❤❡ ❜♦✉♥❞❛r② ❝♦♥❞✐t✐♦♥ ❛r❡ ♣r♦✈✐❞❡❞ ❛♥❞ t❤✐s s✉❣❣❡st t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ✇❛② t♦ ♣r♦❝❡❡❞✱ t❤❛t r❡♣r❡s❡♥t t❤❡ ❤❡❛rt ♦❢ ❜♦✉♥❞❛r② ✐♥t❡❣r❛❧ ♠❡t❤♦❞✿ ✶✳ ❚❛❦❡ t❤❡ ♣♦✐♥t x0 t♦ ❧✐❡ ♦♥ t❤❡ ❜♦✉♥❞❛r② C✳ ❚❤❡♥ t❤❡ ✐♥t❡❣r❛❧ ❡q✉❛t✐♦♥ ✐♥✈♦❧✈❡s ♦♥❧② ✈❛❧✉❡s ♦♥ t❤❡ ❜♦✉♥❞❛r②✳ ✷✳ ❙♦❧✈❡ t❤❡ ✐♥t❡❣r❛❧ ❡q✉❛t✐♦♥ ❢♦r t❤❡ ✉♥❦♥♦✇♥s ❜♦✉♥❞❛r② ✈❛❧✉❡s✱ t❤❛t ❞❡♣❡♥❞s ❜② t❤❡ ❜♦✉♥❞❛r② ❝♦♥❞✐t✐♦♥ ♣r♦✈✐❞❡❞✳ ✸✳ ❈♦♠♣✉t❡ t❤❡ r✐❣❤t✲❤❛♥❞ s✐❞❡ ♦❢ ✷✳✷✹ ✐♥ ♦r❞❡r t♦ ✜♥❞ w ❛♥②✇❤❡r❡ ✐♥ t❤❡ ❞♦♠❛✐♥✳

❈❍❆P❚❊❘ ✷✳ ▼■❈❘❖❙❈❖P■❈ P❘❖❇▲❊▼ ✷✹ ❚❤❡ ✜rst st❡♣ r❡q✉✐r❡ ✉s t♦ t❛❦❡ t❤❡ s✐♥❣✉❧❛r✐t② t♦ ❧✐❡ ♦♥ C✳ ■t ❝❛♥ ❜❡ s❤♦✇♥ t❤❛t t❤❡ ❙▲P ✐s ❝♦♥t✐♥✉♦✉s ❛s t❤❡ ♣♦✐♥t x0 ❛♣♣r♦❛❝❤❡s ❛♥❞ t❤❡♥ ❝r♦ss❡s C✱ ✐♥ ❝♦♥tr❛st✱ ❛s x0 ❝r♦ss❡s C✱ t❤❡ ❉▲P ✉♥❞❡r❣♦❡s ❛ ❥✉♠♣ ❞✐s❝♦♥t✐♥✉✐t②✳ ■♥ ♦r❞❡r t♦ ✜♥❞ ❛♥ ❡①♣r❡ss✐♦♥ ❢♦r ❉▲P ✇❤❡♥ x0 ❧✐❡ ♦♥ C✱ ✇❡ t❛❦❡ t❤❡ ❧✐♠✐t x0 → C ❛♥❞ ✜♥❞ DLP = PV

C

w(x)n · ∇G(x, x0)dl ± 1 2w(x0), ✭✷✳✷✺✮ ✇❤❡r❡ PV ✐♥❞✐❝❛t❡s t❤❛t ✇❡ ❛r❡ t❛❦✐♥❣ t❤❡ ♣r✐♥❝✐♣❛❧ ✈❛❧✉❡ ♦❢ t❤❡ ✐♥t❡❣r❛❧✳ ■❢ x0 ❛♣✲ ♣r♦❛❝❤❡s t❤❡ ❜♦✉♥❞❛r② ❢r♦♠ t❤❡ ✐♥s✐❞❡ ♣❧✉s s✐❣♥ ✐s ✈❛❧✐❞✱ ❛♥❞ ✐❢ ✐t ❛♣♣r♦❛❝❤❡s ❢r♦♠ t❤❡ ♦✉ts✐❞❡ ✐t ♠✉st ❜❡ ❝❤♦s❡♥ t❤❡ ♠✐♥✉s s✐♥❣✳ ❙✉♣♣♦s✐♥❣ t♦ ❜❡ ✐♥ t❤❡ ❢♦r♠❡r s✐t✉❛t✐♦♥✱ ✇❡ ❝❛♥ s✉❜st✐t✉t❡ ✷✳✷✺ ✐♥ ✷✳✷✹ ✐♥ ♦r❞❡r t♦ ♦❜t❛✐♥ t❤❡ ❜♦✉♥❞❛r② ✐♥t❡❣r❛❧ ❡q✉❛t✐♦♥ ✇✐t❤ x0 ❧②✐♥❣ ♦♥ t❤❡ ❜♦✉♥❞❛r② 1 2w(x0) = PV

C

w(x)n · ∇G(x, x0)dl −

• C

G(x, x0)n · ∇w(x)dl. ✭✷✳✷✻✮ ❚❤✐s ❡q✉❛t✐♦♥ ♦♥❧② ✐♥✈♦❧✈❡s ✈❛❧✉❡s ♦♥ t❤❡ ❜♦✉♥❞❛r② ♦❢ t❤❡ ❞♦♠❛✐♥✳ ❚❤❡ s❡❝♦♥❞ st❡♣ ❞❡❛❧s ✇✐t❤ t❤❡ s♦❧✉t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ❡q✉❛t✐♦♥ ✷✳✷✻ ❛♥❞ t❤❡r❡ ❛r❡ t❤r❡❡ ♣♦ss✐❜❧❡ s✐t✉❛t✐♦♥s ❞❡♣❡♥❞✐♥❣ ♦♥ t❤❡ ❜♦✉♥❞❛r② ❝♦♥❞✐t✐♦♥

• ❉✐r✐❝❤❧❡t ❜♦✉♥❞❛r② ❝♦♥❞✐t✐♦♥✿ ❡q✉❛t✐♦♥ ✷✳✷✻ ✐s ✉s❡❞ t♦ ♦❜t❛✐♥ t❤❡ ✈❛❧✉❡s ♦❢ t❤❡

∇w ♦♥ t❤❡ ❜♦✉♥❞❛r②✳

• ◆❡✉♠❛♥♥ ❜♦✉♥❞❛r② ❝♦♥❞✐t✐♦♥✿ ❡q✉❛t✐♦♥ ✷✳✷✻ ✐s ✉s❡❞ t♦ ♦❜t❛✐♥ t❤❡ ✈❛❧✉❡s ♦❢ w ♦♥

t❤❡ ❜♦✉♥❞❛r②

• ❘♦❜✐♥ ❜♦✉♥❞❛r② ❝♦♥❞✐t✐♦♥✿ ❡q✉❛t✐♦♥ ✷✳✷✻ ✐s ✉s❡❞ t♦ ♦❜t❛✐♥ t❤❡ ✈❛❧✉❡ ♦❢ ∇w ✇❤❡r❡

✐s ❣✐✈❡♥ t❤❡ ✈❛❧✉❡s ♦❢ w ❛♥❞ ✈✐❝❡✈❡rs❛✳ ❖♥❝❡ t❤❡ st❡♣ t✇♦ ✐s ❞♦♥❡✱ ✐t ✐s ♣♦ss✐❜❧❡ t♦ s♦❧✈❡ ❡q✉❛t✐♦♥ ✷✳✷✹ ❢♦r t❤❡ ✉♥❦♥♦✇♥ w(x0) ✇✐t❤ x0 ∈ D✳ ■t ❝❛♥ ❜❡ ❤✐❣❤❧✐❣❤t❡❞ t❤❡ ♣r✐♥❝✐♣❛❧ ❢❡❛t✉r❡ ♦❢ t❤❡ ❇■▼✿ t❤❡ ✈❛❧✉❡ ♦❢ t❤❡ ✈❡❧♦❝✐t② ✐♥ ❛ s♣❡❝✐✜❝ ♣♦✐♥t ✐♥ t❤❡ ❞♦♠❛✐♥ ❝❛♥ ❜❡ ❢♦✉♥❞ ✉s✐♥❣ ♦♥❧② t❤❡ ❜♦✉♥❞❛r② ✈❛❧✉❡s✱ ✇✐t❤♦✉t s♦❧✈✐♥❣ ❢♦r ❛❧❧ t❤❡ ❞♦♠❛✐♥✳

❈❍❆P❚❊❘ ✷✳ ▼■❈❘❖❙❈❖P■❈ P❘❖❇▲❊▼ ✷✺

✷✳✹✳✷ ❇■❊ ❢♦r t❤❡ ❙t♦❦❡s ❡q✉❛t✐♦♥

❆s ✇❡❧❧ ❛s ❢♦r ▲❛♣❧❛❝❡✬s ❡q✉❛t✐♦♥✱ ✇❡ ❤❛✈❡ t♦ ✜♥❞ t❤❡ ✐♥t❡❣r❛❧ r❡♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ❙t♦❦❡s ❡q✉❛t✐♦♥ ∂p ∂xi = µ ∂2ui ∂xj∂xj . ✭✷✳✷✼✮ ❲❡ ✉s❡ t❤❡ ▲♦r❡♥t③ r❡❝✐♣r♦❝❛❧ r❡❧❛t✐♦♥✱ t❤❛t ❤❛s t❤❡ s❛♠❡ r♦❧❡ ♦❢ t❤❡ s❡❝♦♥❞ ●r❡❡♥✬s ✐❞❡♥t✐t② ✷✳✶✻ ♣r❡s❡♥t❡❞ ✐♥ t❤❡ ♣r❡✈✐♦✉s s❡❝t✐♦♥ ∂ ∂xj

• u′

iσij − uiσ′ ij

• = 0.

✭✷✳✷✽✮ u′

i ❛♥❞ σ′ ij ❛r❡ r❡s♣❡❝t✐✈❡❧② t❤❡ ✈❡❧♦❝✐t② ✈❡❝t♦r ❛♥❞ t❤❡ str❡ss t❡♥s♦r ♦❢ ❛ ❙t♦❦❡s ✢♦✇✱

✇❤❡r❡❛s ui ❛♥❞ σij ❛r❡ ❛❣❛✐♥ t❤❡ s❛♠❡ q✉❛♥t✐t✐❡s ❜✉t ❢♦r ❛♥♦t❤❡r ❞✐✛❡r❡♥t ❙t♦❦❡s ✢♦✇✳ ❚♦ ❞❡r✐✈❡ t❤❡ ❜♦✉♥❞❛r② ✐♥t❡❣r❛❧ r❡♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥ ♦❢ t✇♦ ❞✐♠❡♥s✐♦♥❛❧ ❙t♦❦❡s ✢♦✇✱ ✇❡ ❛♣♣❧② t❤✐s ✐❞❡♥t✐t② ❢♦r ❛ ♣❛rt✐❝✉❧❛r ❙t♦❦❡s ✢♦✇ ♦❢ ✐♥t❡r❡st ✇✐t❤ ✈❡❧♦❝✐t② ✈❡❝t♦r ui ❛♥❞ str❡ss t❡♥s♦r σij ❛♥❞ ❢♦r t❤❡ ✢♦✇ ❞✉❡ t♦ ❛ ♣♦✐♥t ❢♦r❝❡ (u′

i, σ′ ij)✳ ❚❤❡ ✈❡❧♦❝✐t② ❛♥❞ str❡ss

t❡♥s♦r ♦❢ t❤❡ ❧❛tt❡r ✢♦✇ ❝♦rr❡s♣♦♥❞s t♦ t❤❡ s♦❧✉t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ s✐♥❣✉❧❛r✐t② ❢♦r❝❡❞ ❙t♦❦❡s ❞✐✛❡r❡♥t✐❛❧ ❡q✉❛t✐♦♥ ∂p′ ∂xi − µ ∂2u′

i

∂xj∂xj + biδ(x − x0) = 0, ✭✷✳✷✾✮ ✇❤❡r❡ bi st❛♥❞s ❢♦r t❤❡ i✲t❤ ❝♦♠♣♦♥❡♥t ♦❢ t❤❡ ❝♦♥st❛♥t ✈❡❝t♦r t❤❛t ❞❡t❡r♠✐♥❡s t❤❡ str❡♥❣t❤ ❛♥❞ ♦r✐❡♥t❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ♣♦✐♥t ❢♦r❝❡✳ ❆s ❞❡s❝r✐❜❡❞ ✐♥ t❤❡ ♣r❡✈✐♦✉s s❡❝t✐♦♥✱ t❤❡ s♦❧✉t✐♦♥s ♦❢ ❛ s✐♥❣✉❧❛r✐t② ❢♦r❝❡❞ ❡q✉❛t✐♦♥ ❛r❡ ❝❛❧❧❡❞ ●r❡❡♥✬s ❢✉♥❝t✐♦♥✱ ❤❡♥❝❡ ✇❡ ❝❛♥ ❞❡✜♥❡ t❤❡ ✈❡❧♦❝✐t② ●r❡❡♥✬s ❢✉♥❝t✐♦♥ ❛♥❞ t❤❡ ♣r❡ss✉r❡ ●r❡❡♥✬s ❢✉♥❝t✐♦♥ ✇❤✐❝❤ ❛r❡ t❤❡ s♦❧✉t✐♦♥ ✜❡❧❞s ♦❢ ❡q✉❛t✐♦♥ ✷✳✷✾ u′

i(x) =

1 4πµGij(x, x0)bj, p′(x) = 1 4πpj(x, x0)bj. ✭✷✳✸✵✮ Gij ✐s ❛ s❡❝♦♥❞ ♦r❞❡r t❡♥s♦r ❝❛❧❧❡❞ ✈❡❧♦❝✐t② ●r❡❡♥✬s ❢✉♥❝t✐♦♥ ❛♥❞ pj ❛ ✈❡❝t♦r ❝❛❧❧❡❞ ♣r❡ss✉r❡ ●r❡❡♥✬s ❢✉♥❝t✐♦♥✳ ❚❤❡ str❡ss t❡♥s♦r ✐♥ ❡q✉❛t✐♦♥ ✷✳✸✵ ❝❛♥ ❜❡ ❡①♣r❡ss❡❞ ✉s✐♥❣ t❤❡ ❝♦♥st✐t✉t✐✈❡ ❧❛✇ ❢♦r ❛ ◆❡✇t♦♥✐❛♥ ✢✉✐❞✱ ✇❤✐❝❤ r❡❛❞s σ′

ij = −δijp′ + µ

∂u′

i

∂xj + ∂u′

j

∂xi

• .

✭✷✳✸✶✮

❈❍❆P❚❊❘ ✷✳ ▼■❈❘❖❙❈❖P■❈ P❘❖❇▲❊▼ ✷✻ ❙✉❜st✐t✉t✐♥❣ t❤❡ ❡q✉❛t✐♦♥s ✷✳✸✵ ✐♥t♦ t❤❡ ✷✳✸✶✱ ✇❡ ♦❜t❛✐♥ ❛ r❡♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ str❡ss t❡♥s♦r ✐♥ t❡r♠s ♦❢ ✈❡❧♦❝✐t② ❛♥❞ ♣r❡ss✉r❡ ●r❡❡♥ ❢✉♥❝t✐♦♥ σ′

ij = 1

4π

• −δijpk + ∂Gik

∂xj + ∂Gjk ∂xi

• bk.

✭✷✳✸✷✮ ❋♦r ❝♦♥✈❡♥✐❡♥❝❡✱ ✇❡ ❞❡✜♥❡ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ t❡♥s♦r Tijk = 1 4π

• −δijpk + ∂Gik

∂xj + ∂Gjk ∂xi

• ,

✭✷✳✸✸✮ t❤✉s σ′

ij(x) = Tijk(x, x0)bk.

✭✷✳✸✹✮ ❲❡ ❝❛♥ ♥♦✇ s✉❜st✐t✉t❡ t❤❡ r❡❧❛t✐♦♥ ✷✳✸✵ ❛♥❞ ✷✳✸✹ ✐♥t♦ t❤❡ ▲♦r❡♥t③ r❡❧❛t✐♦♥ ✷✳✷✽✱ ❛♥❞ ❞r♦♣♣✐♥❣ t❤❡ ✈❡❝t♦r bj/4π ✇❡ ♦❜t❛✐♥ ∂ ∂xj (Gikσij − µuiTijk) = 0. ✭✷✳✸✺✮ ■♥ t❤❡ ♥❡①t st❡♣✱ ✇❡ ✐♥t❡❣r❛t❡ ✷✳✸✺ ♦✈❡r ❛ ❞♦♠❛✐♥ D′ = D − Dǫ✱ s❦❡t❝❤❡❞ ✐♥ ✜❣✉r❡ ✷✳✺✱ ❛♥❞ ✉s❡ t❤❡ ❞✐✈❡r❣❡♥❝❡ t❤❡♦r❡♠✱ ♦❜t❛✐♥✐♥❣

• D′

∂ ∂xj (Gikσij − µuiTijk) dS = =

• C′ (Gikσij − µuiTijk) njdl = 0.

✭✷✳✸✻✮ ❙✐♥❝❡ t❤❡ ❜♦✉♥❞❛r② ♦❢ D′ ✐s C′ = C + Cǫ✱ t❤❡ ❧✐♥❡❛r✐t② ♦❢ t❤❡ ✐♥t❡❣r❛❧ ❛❧❧♦✇ ✉s t♦ s♣❧✐t t❤❡ ❧❡❢t✲❤❛♥❞ ♦❢ ✷✳✸✻ ✐♥ ❛♥ ✐♥t❡❣r❛❧ ♣❡r❢♦r♠❡❞ ♦♥ C ❛♥❞ ❛♥♦t❤❡r ✐♥t❡❣r❛❧ ♣❡r❢♦r♠❡❞ ♦♥ Cǫ✳ ■♥ ♦r❞❡r t♦ s✐♠♣❧✐❢② ❡q✉❛t✐♦♥ ✷✳✸✻✱ ✇❡ t❛❦❡ ✉♥❞❡r ❝♦♥s✐❞❡r❛t✐♦♥ t❤❡ ❧❛tt❡r ❡①♣r❡ss❡❞ ✐♥ ♣♦❧❛r ❝♦♦r❞✐♥❛t❡s Iǫ = 2π (Gikσij − µuiTijk) njrdθ, ✭✷✳✸✼✮ ❛♥❞ ✇❡ t❛❦❡ t❤❡ ❧✐♠✐t ǫ → 0✳ ❇❡❢♦r❡ t♦ ♣r♦❝❡❡❞ ✇✐t❤ t❤❡ ❧✐♠✐t ✇❡ ❞♦ s♦♠❡ ❝♦♥s✐❞❡r✲ ❛t✐♦♥s✳ ❚❤❡ ✐♥t❡❣r❛t✐♦♥ ❞♦♠❛✐♥ ♦❢ ✷✳✸✼ ❝♦rr❡s♣♦♥❞s t♦ t❤❡ ❝✐r❝✉♠❢❡r❡♥❝❡ ♦❢ r❛❞✐✉s ǫ✱ ❤❡♥❝❡ t❤❡ r❡❧❛t✐♦♥ ǫ = |x − x0| ✐s ✈❛❧✐❞✱ ❛♥❞ t❤❡r❡❢♦r❡✱ t❤❡ ❧✐♠✐t ǫ → 0 ♠❡❛♥s t❤❛t x ♠♦✈❡s ❝❧♦s❡r t♦ x0✱ ♦r ♠❛t❤❡♠❛t✐❝❛❧❧②✱ x → x0✳ ■❢ ✇❡ ❡①❛♠✐♥❡ Gij ❛♥❞ Tijk ❛s x → x0✱

❈❍❆P❚❊❘ ✷✳ ▼■❈❘❖❙❈❖P■❈ P❘❖❇▲❊▼ ✷✼ ✇❡ ✜♥❞ ♦✉t t❤❛t t❤❡s❡ ❛❧✇❛②s ❜❡❤❛✈❡ r❡s♣❡❝t✐✈❡❧② ❛s ❛ st♦❦❡s❧❡t ✈❡❧♦❝✐t② ●r❡❡♥✬s ❢✉♥❝✲ t✐♦♥ ❛♥❞ ❛ st♦❦❡s❧❡t str❡ss ●r❡❡♥✬s ❢✉♥❝t✐♦♥✱ ✇❤✐❝❤ r❡❛❞ r❡s♣❡❝t✐✈❡❧② ❛s ❢♦❧❧♦✇s Gij = δij❧♦❣r + ˆ xi ˆ xj r2 , Tijk = −4 ˆ xi ˆ xj ˆ xk r4 , ✭✷✳✸✽✮ ✇❤❡r❡ ˆ x = x − x0 ❛♥❞ r = |x − x0| = ǫ✳ ❊♠♣❧♦②✐♥❣ ❛❧❧ t❤❡s❡ ❝♦♥s✐❞❡r❛t✐♦♥ ✇❡ ❝❛♥ ✇r✐t❡ lim

ǫ→0 Iǫ = lim ǫ→0

• Cǫ
• δik❧♦❣ǫ + ˆ

xi ˆ xk ǫ2

• σij + 4µui

ˆ xi ˆ xj ˆ xk ǫ4

• njǫdrdθ =

= lim

ǫ→0

• Cǫ
• δikǫ❧♦❣ǫ + ˆ

xi ˆ xk ǫ

• σijnj +
• Cǫ

4µui ˆ xi ˆ xk ǫ3 ˆ xjnjdrdθ. ✭✷✳✸✾✮ ❖t❤❡r s✐♠♣❧✐✜❝❛t✐♦♥s ❝❛♥ ❜❡ ❛❝❤✐❡✈❡❞ ♦❜s❡r✈✐♥❣ t❤❛t lim

ǫ→0 ǫ❧♦❣ǫ = 0,

✭✷✳✹✵✮ ˆ xi ˆ xk ∼ ǫ2 ⇒ lim

ǫ→0

ˆ xi ˆ xk ǫ = 0, ✭✷✳✹✶✮ n = x − x0 |x − x0| = ˆ x ǫ ⇒ nj = ˆ xj ǫ ⇒ ˆ xjnj = ˆ xjˆ xj ǫ = |ˆ x|2 ǫ = ǫ2 ǫ = ǫ. ✭✷✳✹✷✮ ❆♣♣❧②✐♥❣ t❤❡s❡ t❤r❡❡ r❡❧❛t✐♦♥s t♦ t❤❡ ❡q✉❛t✐♦♥ ✷✳✸✾✱ ✇❡ ❤❛✈❡ lim

ǫ→0 Iǫ = lim ǫ→0

• Cǫ

4µui ˆ xi ˆ xk ǫ2 dθ. ✭✷✳✹✸✮ ❲❡ r❡♠❡♠❜❡r✐♥❣ t❤❛t ui ✐s ❛ ❢✉♥❝t✐♦♥ ♦❢ x✱ ❛♥❞ ǫ → 0 ✭✐✳❡✳ x → x0✮✱ t❤❡r❡❢♦r❡ lim

ǫ→0 ui(x) = ui(x0).

✭✷✳✹✹✮ ❚❤❡ i✲t❤ ❝♦♠♣♦♥❡♥t ♦❢ t❤❡ ✈❡❧♦❝✐t② ✈❡❝t♦r ❝♦♠♣✉t❡❞ ✐♥ t❤❡ s✐♥❣✉❧❛r✐t② ✐s ❛ ❝♦♥st❛♥t✱ ❛♥❞ ✐t ❝❛♥ ❞r♦♣ t❤❡ ✐♥t❡❣r❛❧ lim

ǫ→0 Iǫ = lim ǫ→0 4µui(x0)

• Cǫ

ˆ xi ˆ xk ǫ2 dθ ✭✷✳✹✺✮

❈❍❆P❚❊❘ ✷✳ ▼■❈❘❖❙❈❖P■❈ P❘❖❇▲❊▼ ✷✽ ❲❡ ✉s❡ t❤✐s r❡s✉❧t ✐♥ ♦r❞❡r t♦ r❡❛rr❛♥❣❡ t❤❡ r❡❧❛t✐♦♥ ✷✳✸✻ ❛♥❞ ❡①♣r❡ss t❤❡ ✈❡❧♦❝✐t② ✈❡❝t♦r ❝♦♠♣✉t❡❞ ♦♥ t❤❡ s✐♥❣✉❧❛r✐t② ui(x0) = 1 4π

• C

ui(x)Tijk(x, x0)njdl − 1 4πµ

• C

Gik(x, x0)σij(x)njdl. ✭✷✳✹✻✮ ❊q✉❛t✐♦♥ ✷✳✹✻ ✐s t❤❡ ✐♥t❡❣r❛❧ ❢♦r♠✉❧❛t✐♦♥ ❢♦r t❤❡ ❙t♦❦❡s ❡q✉❛t✐♦♥✱ ❛♥❞ ✐♥ ❧✐♥❡ ✇✐t❤ t❤❡ ✐♥t❡❣r❛❧ ❢♦r♠✉❧❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ▲❛♣❧❛❝❡ ❡q✉❛t✐♦♥✱ ✇❡ ❝❛♥ ❝❛❧❧ t❤❡ t❡r♠s ♦♥ t❤❡ r✐❣❤t✲❡♥❞ s✐❞❡ ❉▲P ❛♥❞ ❙▲P✳ ▼♦r❡♦✈❡r✱ ❛s ✇❡ s❛✇ ✐♥ s❡❝t✐♦♥ ✷✳✹✳✶✱ ✇❡ ❝❛♥ ♣✉t x0 ♦♥ t❤❡ ❜♦✉♥❞❛r② ❛♥❞ ❞❡r✐✈❡ ❛♥ ❡①♣r❡ss✐♦♥ t❤❛t ✐♥✈♦❧✈❡s ♦♥❧② ❜♦✉♥❞❛r② q✉❛♥t✐t✐❡s 1 2ui(x0) = 1 4π PV

C

ui(x)Tijk(x, x0)njdl − 1 4πµ

• C

Gik(x, x0)σij(x)njdl ✭✷✳✹✼✮ ❚❤❡ ❜♦✉♥❞❛r② ❝♦♥❞✐t✐♦♥s ❛❧❧♦✇ t♦ s♦❧✈❡ ❡q✉❛t✐♦♥ ✷✳✹✼✱ ❛♥❞ s✉❜s❡q✉❡♥t❧② t❤❡ s♦❧✉t✐♦♥ ❝❛♥ ❜❡ ❢♦✉♥❞ ✐♥ ❛❧❧ t❤❡ ❞♦♠❛✐♥ ✇✐t❤ t❤❡ ❡q✉❛t✐♦♥ ✷✳✹✻✳

❈❍❆P❚❊❘ ✷✳ ▼■❈❘❖❙❈❖P■❈ P❘❖❇▲❊▼ ✷✾

✷✳✺ ❇♦✉♥❞❛r② ❡❧❡♠❡♥t ♠❡t❤♦❞

❚❤❡ ✐♥t❡❣r❛❧ ❡q✉❛t✐♦♥s ♦❜t❛✐♥❡❞ ❢♦r t❤❡ ❧♦♥❣✐t✉❞✐♥❛❧ ❛♥❞ t❤❡ tr❛♥s✈❡rs❡ ♣r♦❜❧❡♠s ❛r❡ ♥✉♠❡r✐❝❛❧❧② s♦❧✈❡❞✳ ❚❤❡ ♥✉♠❡r✐❝❛❧ ❝♦✉♥t❡r♣❛rt ♦❢ t❤❡ ❇■▼ ✐s ❝❛❧❧❡❞ ❇♦✉♥❞❛r② ❊❧❡♠❡♥t ▼❡t❤♦❞ ✭❇❊▼✮✱ ❛♥❞ ❣❡♥❡r❛t❡ ❛ ♥✉♠❡r✐❝❛❧ s♦❧✉t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ✐♥t❡❣r❛❧ ❡q✉❛t✐♦♥s✳ ❚❤❡ ♥✉♠❡r✐❝❛❧ ✐♠♣❧❡♠❡♥t❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ❇❊▼ ✐♥✈♦❧✈❡s t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ st❡♣s✿ ✶✳ ❉✐s❝r❡t✐③❡ t❤❡ ❜♦✉♥❞❛r② ✐♥t♦ ❛ ❝♦❧❧❡❝t✐♦♥ ♦❢ ❞✐s❝r❡t❡ ❡❧❡♠❡♥ts✱ ❛♥❞ ❛♣♣r♦①✐♠❛t❡ t❤❡ ❜♦✉♥❞❛r② ✐♥t❡❣r❛❧s ✇✐t❤ t❤❡ s✉♠ ♦❢ t❤❡ ✐♥t❡❣r❛❧s ♦✈❡r ❡❛❝❤ t❤❡ ❜♦✉♥❞❛r② s❡❣♠❡♥ts✳ ✷✳ ■♥tr♦❞✉❝❡ ❛♥ ❛♣♣r♦①✐♠❛t✐♦♥s ❢♦r t❤❡ ✉♥❦♥♦✇♥ ❢✉♥❝t✐♦♥ ♦✈❡r t❤❡ ✐♥❞✐✈✐❞✉❛❧ ❜♦✉♥❞✲ ❛r② ❡❧❡♠❡♥t✳ ✸✳ ❆♣♣❧② t❤❡ ✐♥t❡❣r❛❧ ❡q✉❛t✐♦♥ ❛t s♦♠❡ ❝♦❧❧♦❝❛t✐♦♥ ♣♦✐♥ts ❧♦❝❛t❡❞ ♦✈❡r t❤❡ ❜♦✉♥❞❛r② ❡❧❡♠❡♥ts ✹✳ P❡r❢♦r♠ t❤❡ ✐♥t❡❣r❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ s✐♥❣❧❡✲ ❛♥❞ ❞♦✉❜❧❡✲❧❛②❡r ♣♦t❡♥t✐❛❧ ♦✈❡r t❤❡ ❜♦✉♥❞✲ ❛r② ❡❧❡♠❡♥ts✳ ✺✳ ❙♦❧✈❡ t❤❡ ❧✐♥❡❛r s②st❡♠ ❢♦r t❤❡ ✉♥❦♥♦✇♥ ❢✉♥❝t✐♦♥s ♦❢ ❛t t❤❡ ❝♦❧❧♦❝❛t✐♦♥ ♣♦✐♥t✳ ■♥ t❤❡ ♥❡①t s❡❝t✐♦♥s✱ ✇❡ s❤❡❧❧ ❞❡s❝r✐❜❡ ✐♥ ❞❡t❛✐❧s ❛❧❧ t❤❡s❡ st❡♣s❀ t❤❡ ✜rst ♦♥❡ ✐s t❤❡ s❛♠❡ ❢♦r ❜♦t❤ t❤❡ ▲❛♣❧❛❝❡ ❛♥❞ ❙t♦❦❡s ❡q✉❛t✐♦♥s ✭t❤❡ ❣❡♦♠❡tr② ♦✈❡r ✇❤✐❝❤ t❤❡ ❡q✉❛t✐♦♥s ❛r❡ ❛♣♣❧✐❡❞ ✐s t❤❡ s❛♠❡✮✱ ❜✉t ❛❧❧ t❤❡ ♥❡①t st❡♣s ❛r❡ s❧✐❣❤t❧② ❞✐✛❡r❡♥t✳ ❲❡ ❤❛✈❡ ❞❡❝✐❞❡❞ t♦ s❤♦✇ t❤❡ ❛♣♣❧✐❝❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ❜♦✉♥❞❛r② ❡❧❡♠❡♥t ♠❡t❤♦❞ ♦♥❧② ❢♦r t❤❡ ♣❛r❛❧❧❡❧ ♣r♦❜❧❡♠❀ t❤❡ ❛♣♣❧✐❝❛t✐♦♥ t♦ t❤❡ ♣❡r♣❡♥❞✐❝✉❧❛r ♣r♦❜❧❡♠ ✐s ❞♦♥❡ ✐♥ ❛ s✐♠✐❧❛r ❢❛s❤✐♦♥✱ ❤♦✇❡✈❡r ✐t ✐s ♠✉❝❤ ❤❛r❞❡r ❜❡❝❛✉s❡ ♦❢ t❤❡ ✈❡❝t♦r✐❛❧ ♥❛t✉r❡ ♦❢ t❤❡ ❙t♦❦❡s ❡q✉❛t✐♦♥✳

✷✳✺✳✶ ❇♦✉♥❞❛r② ❞✐s❝r❡t✐③❛t✐♦♥

❚❤❡ ❜♦✉♥❞❛r②✲❡❧❡♠❡♥t ♠❡t❤♦❞ ❞❡r✐✈❡s ✐ts ♥❛♠❡ ❢r♦♠ t❤❡ ♣r❛❝t✐❝❡ ♦❢ ❞❡s❝r✐❜✐♥❣ t❤❡ ❜♦✉♥❞❛r② ♦❢ ❛ s♦❧✉t✐♦♥ ❞♦♠❛✐♥ ✇✐t❤ ❛ ❝♦❧❧❡❝t✐♦♥ ♦❢ ❡❧❡♠❡♥t❛r② ❣❡♦♠❡tr✐❝❛❧ ✉♥✐ts ❝❛❧❧❡❞ ❜♦✉♥❞❛r② ❡❧❡♠❡♥ts✳ ❆ ✈❛r✐❡t② ♦❢ ❜♦✉♥❞❛r② ❡❧❡♠❡♥ts ❛r❡ ❛✈❛✐❧❛❜❧❡ ✐♥ t✇♦ ❞✐♠❡♥s✐♦♥s✳ ❚❤r❡❡ ♣♦♣✉❧❛r ❝❤♦✐❝❡s ❛r❡ ❧✐♥❡❛r ❡❧❡♠❡♥ts ✇✐t❤ str❛✐❣❤t s❤❛♣❡s✱ ❝✐r❝✉❧❛r ❛r❝s✱ ❛♥❞ ❡❧❡✲ ♠❡♥ts ♦❢ ❝✉❜✐❝ s♣❧✐♥❡s✳ ❙✐♥❝❡ t❤❡ ❧❛st ♦♥❡ ✐s t❤❡ ♠♦st ✢❡①✐❜❧❡ ✐♥ t❡r♠s ♦❢ r❡♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥ ♦❢ ❞✐✛❡r❡♥t ❣❡♦♠❡tr✐❡s✱ ✇❡ ❤❛✈❡ ❞❡❝✐❞❡❞ t♦ ❡♠♣❧♦② ✐t ✐♥ ♦✉r ✐♠♣❧❡♠❡♥t❛t✐♦♥✳

❈❍❆P❚❊❘ ✷✳ ▼■❈❘❖❙❈❖P■❈ P❘❖❇▲❊▼ ✸✵

x i x i +1 si

❋✐❣✉r❡ ✷✳✻✿ ❊①❛♠♣❧❡ ♦❢ t❤❡ ❞✐s❝r❡t✐③❡❞ ❞♦♠❛✐♥✳ ❚♦ ✐♠♣❧❡♠❡♥t t❤✐s ❞✐s❝r❡t✐③❛t✐♦♥✱ ❧❡t ✉s ❞❡s❝r✐❜❡ t❤❡ ❜♦✉♥❞❛r② ✇✐t❤ ◆ ♥♦❞❡s✱ ❛♥❞ ❞❡✜♥❡ si ❛s t❤❡ ❝✉rr❡♥t ❧❡♥❣t❤ ♦❢ t❤❡ ♣♦❧②❣♦♥❛❧ ❧✐♥❡ ❝♦♥♥❡❝t✐♥❣ s❡q✉❡♥t✐❛❧ ♥♦❞❡s ❢r♦♠ t❤❡ ✜rst ♥♦❞❡ ✭❛r❜✐tr❛r✐❧② ❝❤♦s❡♥✮ t♦ t❤❡ i✲t❤ ♥♦❞❡✳ ❆♥ ❡①❛♠♣❧❡ ♦❢ t❤❡ ❞✐s❝r❡t✐③❡❞ ❞♦♠❛✐♥ ✐s s❤♦✇♥ ✐♥ ✜❣✉r❡ ✷✳✻✳ ❚❤❡ i✲t❤ ❡❧❡♠❡♥t ♦❢ t❤❡ ❞✐s❝r❡t✐③❛t✐♦♥ ✐s ❜❡t✇❡❡♥ t❤❡ i✲t❤ ❛♥❞ t❤❡ (i + 1)✲t❤ ♥♦❞❡✱ ❛♥❞ ✐t ❝❛♥ ❜❡ ❞❡s❝r✐❜❡❞ ❜② t❤❡ t❤❡ ❝✉❜✐❝ ♣♦❧②♥♦♠✐❛❧ ❛s xi(s) = ax

i (s − si)3 + bx i (s − si)2 + cx i (s − si) + xG i ,

yi(s) = ay

i (s − si)3 + by i (s − si)2 + cy i (s − si) + yG i ,

✭✷✳✹✽✮ ✇✐t❤ xi = (xG

i , yG i ) t❤❡ ❣❧♦❜❛❧ ❈❛rt❡s✐❛♥ ❝♦♦r❞✐♥❛t❡s ♦❢ t❤❡ i✲t❤ ♥♦❞❡ ❛♥❞ si ≤ s ≤ si+1

t❤❡ ❝✉r✈✐❧✐♥❡❛r ❛❜s❝✐ss❛✳ ❈✉❜✐❝ s♣❧✐♥❡ ❞✐s❝r❡t✐③❛t✐♦♥ ✐♥✈♦❧✈❡s t❤r❡❡ ✉♥❦♥♦✇♥ ❝♦❡✣❝✐❡♥ts ❢♦r ❡❛❝❤ ❝♦♦r❞✐♥❛t❡ ♣❛r❛♠❡tr✐③❛t✐♦♥✱ t❤❡r❡❢♦r❡✱ ✇❡ ❤❛✈❡ s✐① ✉♥❦♥♦✇♥ ❝♦❡✣❝✐❡♥ts ❢♦r ❡❛❝❤ ❡❧❡♠❡♥ts✳ ❙✐♥❝❡ t❤❡ ♥✉♠❜❡r ♦❢ ❡❧❡♠❡♥ts ✐s N −1✱ t❤❡ t♦t❛❧ ♥✉♠❜❡r ♦❢ t❤❡ ✉♥❦♥♦✇♥ ❝♦❡✣❝✐❡♥ts ✐s 6(N −1)✳ ■♥ ♦r❞❡r t♦ ✜① ❛❧❧ t❤❡ ❝♦❡✣❝✐❡♥ts✱ ✇❡ ✐♠♣♦s❡ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ t❤r❡❡ ❝♦♥❞✐t✐♦♥s ❢♦r ❜♦t❤ t❤❡ x✲ ❛♥❞ y✲❝♦♦r❞✐♥❛t❡s❀ ✇❡ r❡♣♦rt t❤❡♠ ♦♥❧② ❢♦r t❤❡ x✲❝♦♦r❞✐♥❛t❡✿

• t❤❡ ❣❡♦♠❡tr② ❝♦♥t✐♥✉✐t②

xi(si+1) = xG

i+1 ⇒

⇒ ax

i h3 i + bx i h2 i + cx i hi + xG i = xG i+1,

i = 1, ..., N − 1 ✭✷✳✹✾✮

• t❤❡ s❧♦♣❡ ❝♦♥t✐♥✉✐t②

❈❍❆P❚❊❘ ✷✳ ▼■❈❘❖❙❈❖P■❈ P❘❖❇▲❊▼ ✸✶ dxi ds

• si+1

= dxi+1 ds

• si+1

⇒ ⇒ 3ax

i h2 i + 2bx i hi + cx i = cx i+1,

i = 1, ..., N − 2 ✭✷✳✺✵✮

• t❤❡ ❝✉r✈❛t✉r❡ ❝♦♥t✐♥✉✐t②

d2xi ds2

• si+1

= d2xi+1 ds2

• si+1

⇒ ⇒ 6ax

i hi + 2bx i + = 2bx i+1,

i = 1, ..., N − 2 ✭✷✳✺✶✮ ✇❤❡r❡ hi = si+1 − si✳ ❘❡❛rr❛♥❣✐♥❣ ♣r♦♣❡r❧② t❤❡s❡ r❡❧❛t✐♦♥s ✇❡ ❝❛♥ ✜♥❞ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ r❡❧❛t✐♦♥s ❢♦r t❤❡ ✉♥❦♥♦✇♥ ❝♦❡✣❝✐❡♥ts✿ ai = bi+1 − bi 3hi , ✭✷✳✺✷✮ ci = xG

i+1 − xG i

hi − 1 3hi(bi+1 + 2bi), ✭✷✳✺✸✮ hi 3 bi + 2hi + hi+1 3 bi+1 + hi+1 3 bi+2 = xG

i+2 − xG i+1

hi+1 − xG

i+1 − xG i

hi . ✭✷✳✺✹✮ ❚❤❡ s②st❡♠ ✷✳✺✹ ✐♥✈♦❧✈❡s N − 3 ❡q✉❛t✐♦♥s✱ ❛♥❞ t❤❡ ♥✉♠❜❡r ♦❢ b✲❝♦❡✣❝✐❡♥ts ✐s N − 1✱ t❤❡r❡❢♦r❡✱ t✇♦ ❛❞❞✐t✐♦♥❛❧ ❝♦♥❞✐t✐♦♥s ❛r❡ r❡q✉✐r❡❞✳ ■♥ t❤✐s ✇♦r❦ ✇❡ ✇✐❧❧ t❛❦❡ ✉♥❞❡r ❝♦♥✲ s✐❞❡r❛t✐♦♥ ❛ ❝❧♦s❡❞ ❜♦✉♥❞❛r②✱ ❤❡♥❝❡ ✇❡ ✐♠♣♦s❡ ♣❡r✐♦❞✐❝✐t② ❝♦♥❞✐t✐♦♥s ❢♦r t❤❡ ✜rst ❛♥❞ s❡❝♦♥❞ ❞❡r✐✈❛t✐✈❡ ❛t t❤❡ ✜rst ❛♥❞ ❧❛st ♥♦❞❡s ❡①♣r❡ss❡❞✱ r❡s♣❡❝t✐✈❡❧②✱ ❜② t❤❡ ❡q✉❛t✐♦♥s 3aN−1h2

N−1 + 2bN−1hN−1 + cN−1 = c1

✭✷✳✺✺✮ bN = b1 ✭✷✳✺✻✮ ◆♦✇ ✇❡ ❝❛♥ s♦❧✈❡ t❤❡ s②st❡♠ ✷✳✺✹ ❛♥❞ s✉❜s❡q✉❡♥t❧② ❞❡t❡r♠✐♥❡ a ❛♥❞ b✲❝♦❡✣❝✐❡♥ts t❤r♦✉❣❤ t❤❡ r❡❧❛t✐♦♥s ✷✳✺✸✳ ❆❢t❡r t❤❡s❡ ♣❛ss❛❣❡s ❛❧❧ t❤❡ ❝♦❡✣❝✐❡♥ts ❛r❡ ❦♥♦✇♥✱ ❛♥❞ ❤❡♥❝❡ t❤❡ ♣♦❧②♥♦♠✐❛❧ ❢♦r ❡❛❝❤ ❡❧❡♠❡♥t ♦❢ t❤❡ ❞✐s❝r❡t✐③❛t✐♦♥ ✐s ❦♥♦✇♥✳ ❆❢t❡r t❤❡ ❞✐s✲ ❝r❡t✐③❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ❜♦✉♥❞❛r②✱ ✇❤❛t❡✈❡r ❦✐♥❞ ✐t ✐s✱ ✇❡ ❝❛♥ ❡①♣❧♦✐t t❤❡ ❧✐♥❡❛r✐t② ♦❢ t❤❡ ✐♥t❡❣r❛❧ ✐♥ ♦r❞❡r t♦ ♦❜t❛✐♥ ❛ ❞✐s❝r❡t❡ r❡♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ❜♦✉♥❞❛r② ✐♥t❡❣r❛❧ ❡q✉❛t✐♦♥s✿

❈❍❆P❚❊❘ ✷✳ ▼■❈❘❖❙❈❖P■❈ P❘❖❇▲❊▼ ✸✷

✶

w(x0) =

N

• i=1
• Ei

w(x)n · ∇G(x, x0)dl −

N

• i=1
• Ei

G(x, x0)n · ∇w(x)dl, ✭✷✳✺✼✮ 1 2w(x0) =

N

• i=1
• Ei

w(x)n · ∇G(x, x0)dl −

N

• i=1
• Ei

G(x, x0)n · ∇w(x)dl. ✭✷✳✺✽✮ ◆❡①t st❡♣ ❞❡❛❧ ✇✐t❤ t❤❡ ✐♥t❡r♣♦❧❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ✉♥❦♥♦✇♥ ❢✉♥❝t✐♦♥s ✐♥s✐❞❡ t❤❡ ✐♥t❡❣r❛❧s✳

✷✳✺✳✷ ❆♣♣r♦①✐♠❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ❜♦✉♥❞❛r② q✉❛♥t✐t✐❡s

❖♥❝❡ t❤❡ ❜♦✉♥❞❛r② ❞✐s❝r❡t✐③❛t✐♦♥ ✐s ❝♦♠♣❧❡t❡❞✱ ✇❡ ❝❛♥ ♣❛ss t♦ t❤❡ s❡❝♦♥❞ st❡♣ ♦❢ t❤❡ ❜♦✉♥❞❛r② ❡❧❡♠❡♥t ♠❡t❤♦❞✿ t❤❡ ❛♣♣r♦①✐♠❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ✉♥❦♥♦✇♥ q✉❛♥t✐t✐❡s ✇❤✐❝❤ ❛♣♣❡❛r ✐♥s✐❞❡ t❤❡ ✐♥t❡❣r❛❧s ✭✐✳❡✳✱ ✐♥ t❤❡ ❝❛s❡ ♦❢ ▲❛♣❧❛❝❡✬s ❡q✉❛t✐♦♥✱ w(x) ❛♥❞ ∇w(x)✮✳ ❚❤❡ ❛♣♣r♦①✐♠❛t✐♦♥ ❛✐♠s ❛t ✇r✐t✐♥❣ t❤❡ ✉♥❦♥♦✇♥ ❢✉♥❝t✐♦♥s t❤r♦✉❣❤ t❤❡✐r ✈❛❧✉❡ ❡✈❛❧✉❛t❡❞ t♦ s♣❡❝✐✜❝ ♣♦✐♥ts ♦❢ t❤❡ ❜♦✉♥❞❛r②✳ ❚❤❡r❡❜②✱ ✐♥t❡❣r❛❧ ❡q✉❛t✐♦♥s ❜❡❝♦♠❡ ❛ ❧✐♥❡❛r ❛❧❣❡❜r❛✐❝ s②st❡♠✱ ❛♥❞✱ ❛s ✇❡ s❤❡❧❧ ❡①♣❧❛✐♥✱ ✐t ❝❛♥ ❜❡ ♥✉♠❡r✐❝❛❧❧② s♦❧✈❡❞✳ ❇❡❢♦r❡ ♣r♦❝❡❡❞✐♥❣ ✇✐t❤ t❤❡ ❛♣♣r♦①✐♠❛t✐♦♥✱ ✐t ✐s ✐♠♣♦rt❛♥t t♦ ♠❛♣ t❤❡ ❣❧♦❜❛❧ ❝♦♦r❞✐♥❛t❡ x ✐♥t♦ t❤❡ ❧♦❝❛❧ ❝♦♦r❞✐♥❛t❡ ξ ∈ [−1, 1] ❞❡✜♥❡❞ ♦✈❡r ❡❛❝❤ ❡❧❡♠❡♥t✳ ❚❤✐s ✐s ❛ ♥❡❝❡ss❛r② ❝♦♥❞✐t✐♦♥ ❢♦r t❤❡ ♥✉♠❡r✐❝❛❧ ❝❛❧❝✉❧❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ✐♥t❡❣r❛❧s✳ ❚♦ ❞♦ s♦✱ ✇❡ st❛rt ❜② ❡①♣r❡ss✐♥❣ t❤❡ ✐♥t❡❣r❛♥❞ ❢✉♥❝t✐♦♥ ✐♥ t❡r♠ ♦❢ t❤❡ ❝✉r✈✐❧✐♥❡❛r ❛❜s❝✐ss❛ ❞❡✜♥❡❞ ♦✈❡r ❛♥ ❡❧❡♠❡♥t Ei DLPi =

• Ei

w(x)n · ∇G(x, x0)dl = si+1

si

w[x(s)]n · ∇G[x(s), x0]hi(s)ds, ✭✷✳✺✾✮ SLPi =

• Ei

G(x, x0)n · ∇w(x)dl = si+1

si

G[x(s), x0]n · ∇w[x(s)]hi(s)ds, ✭✷✳✻✵✮ ✇❤❡r❡ hi(s) ✐s t❤❡ ♠❡tr✐❝ ❛ss♦❝✐❛t❡❞ ✇✐t❤ t❤❡ i✲t❤ ❡❧❡♠❡♥t✱ ✇❤✐❧❡ si ❛♥❞ si+1 ❛r❡ t❤❡ ♣♦❧②❣♦♥❛❧ ❛r❝❤ ❧❡♥❣t❤s ♦❢ t❤❡ ❡❧❡♠❡♥t ❛t st❛rt✐♥❣ ❛♥❞ ❡♥❞✐♥❣ ♣♦✐♥ts r❡s♣❡❝t✐✈❡❧②✳ ❋♦r ❛ ❝✉❜✐❝ s♣❧✐♥❡ ❡❧❡♠❡♥t✱ ❝❛❧❧✐♥❣ ∆s = s − si t❤❡ ♠❡tr✐❝ ❝♦❡✣❝✐❡♥ts t❛❦❡s t❤❡ ❢♦r♠✿ hi(s) = dxi ds 2 + dyi ds 2 = =

• (3ax

i ∆s2 + 2bx i ∆s + cx i )2 + (3ay i ∆s2 + 2by i ∆s + cy i )2.

✭✷✳✻✶✮

✶❚❤❡ s❛♠❡ ♣❛ss❛❣❡s ❝❛♥ ❜❡ ❞♦♥❡ ❢♦r t❤❡ st♦❦❡s ✐♥t❡❣r❛❧ ❡q✉❛t✐♦♥✳

❈❍❆P❚❊❘ ✷✳ ▼■❈❘❖❙❈❖P■❈ P❘❖❇▲❊▼ ✸✸ ❲❡ ❛♣♣❧② ❛♥♦t❤❡r ❝♦♦r❞✐♥❛t❡ tr❛♥s❢♦r♠❛t✐♦♥ ✇❤✐❝❤ ♠❛♣s ❛♥ ❡❧❡♠❡♥t ❢r♦♠ t❤❡ ❣❧♦❜❛❧ ❝♦♦r❞✐♥❛t❡ s②st❡♠ ❜❛s❡❞ ♦♥ t❤❡ ❝✉r✈✐❧✐♥❡❛r ❛❜s❝✐ss❛ t♦ ❛ ❧♦❝❛❧ ❝♦♦r❞✐♥❛t❡ s②st❡♠ s✉❝❤ t❤❛t t❤❡ i✲t❤ ❡❧❡♠❡♥t✬s ❜♦✉♥❞❛r② ♣♦✐♥ts ❛r❡ ♠❛♣♣❡❞ ✐♥t♦ t❤❡ ✐♥t❡✈❛❧ [−1, 1]✳ ❚❤✐s ♠❛♣♣✐♥❣ ✇✐❧❧ ❝❛♥ ❜❡ s✐♠♣❧② ❞♦♥❡ ✉s✐♥❣ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ r❡❧❛t✐♦♥ si(ξ) = si+1 + si 2 + si+1 + si 2 ξ = sm

i + sd i ξ,

✭✷✳✻✷✮ ❢r♦♠ ✇❤✐❝❤ ✇❡ ❝❛♥ ❡❛s✐❧② ❞❡✜♥❡ t❤❡ ❛ss♦❝✐❛t❡❞ ♠❡tr✐❝ hξ

i = sd i ✳ ■♥tr♦❞✉❝✐♥❣ t❤✐s ♥❡✇

♣❛r❛♠❡tr✐③❛t✐♦♥ ✐♥t♦ t❤❡ ✐♥t❡❣r❛❧s ✷✳✺✾ ❛♥❞ ✷✳✻✵ ✇❡ ♦❜t❛✐♥✿ DLPi = hξ

i

1

−1

w[x(s(ξ))]n · ∇G[x(s(ξ)), x0]hi(s(ξ))dξ = = hξ

i

1

−1

w(ξ)n · ∇G[ξ, x0]hi(ξ)dξ, ✭✷✳✻✸✮ SLPi = hξ

i

1

−1

G[x(s(ξ)), x0]n · ∇w[x(s(ξ))]hi(s(ξ))dξ = = hξ

i

1

−1

G[ξ, x0]n · ∇w(ξ)hi(ξ)dξ. ✭✷✳✻✹✮ ❯♥t✐❧ ♥♦✇✱ ♥♦ ❛ss✉♠♣t✐♦♥ ❛❜♦✉t t❤❡ ✐♥t❡r♣♦❧❛t✐♦♥ ♠❡t❤♦❞ ♦❢ t❤❡ ✉♥❦♥♦✇♥ ❢✉♥❝t✐♦♥s ♦✈❡r t❤❡ ❡❧❡♠❡♥t ❤❛s ❜❡❡♥ ❞♦♥❡✳ ❋♦r ♦✉r ♣✉r♣♦s❡s✱ ✇❡ ♣r♦♣♦s❡ t♦ ✉s❡ ❛ ♣✐❡❝❡✇✐s❡ ❧✐♥❡❛r ✈❛r✐❛t✐♦♥✱ ✇❤✐❝❤ ✐s ❛ ❣♦♦❞ ❝♦♠♣r♦♠✐s❡ ❜❡t✇❡❡♥ ❛❝❝✉r❛❝② ❛♥❞ ♣r♦❣r❛♠♠✐♥❣ ❞✐✣❝✉❧t②❀ t❤✉s ❧❡t ✉s ❝♦♥s✐❞❡r t❤❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ w(ξ) ❢♦r t❤❡ i✲t❤ ❡❧❡♠❡♥t ✐♥ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ❧✐♥❡❛r ❛♣♣r♦①✐♠❛t✐♦♥ wi(ξ) ≈ w(ξ2) − w(ξ1) ξ2 − ξ1 (ξ − ξ1) + w(ξ1) = = wi(ξ1) ξ1 − ξ ξ2 − ξ1 + 1

• + w(ξ2)

ξ − ξ1 ξ2 − ξ1

• =

= Ψ1(ξ)wi(ξ1) + Ψ2(ξ)wi(ξ2), ✭✷✳✻✺✮ ✇✐t❤ ξ1 ❛♥❞ ξ2 t❤❡ t✇♦ ❝♦❧❧♦❝❛t✐♦♥ ♣♦✐♥ts ✇❤❡r❡ t❤❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ ✐s ❡✈❛❧✉❛t❡❞ ♦♥ t❤❡ i✲t❤ ❡❧❡♠❡♥t✱ ❛♥❞ Ψ1(ξ) ❛♥❞ Ψ2(ξ) t❤❡ t✇♦ s❤❛♣❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s✳ ❚❤❡ s❛♠❡ ❧✐♥❡❛r ❛♣♣r♦①✐♠❛t✐♦♥ ❝❛♥ ❜❡ ✇r✐tt❡♥ ❢♦r t❤❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ f = ∇w(x) fi(ξ) ≈ Φ1(ξ)fi(ξ1) + Φ2(ξ)fi(ξ2). ✭✷✳✻✻✮

❈❍❆P❚❊❘ ✷✳ ▼■❈❘❖❙❈❖P■❈ P❘❖❇▲❊▼ ✸✹ ❋♦r t❤❡ s❡❡❦ ♦❢ s✐♠♣❧✐❝✐t②✱ ✇❡ ❝❛❧❧ wi1 = wi(ξ1), wi2 = wi(ξ2), fi1 = fi(ξ1), fi2 = fi(ξ2), ✭✷✳✻✼✮ ❛♥❞✱ s✉❜st✐t✉t✐♥❣ t❤❡ ❡q✉❛t✐♦♥ ✷✳✻✺ ❛♥❞ ✷✳✻✻ r❡s♣❡❝t✐✈❡❧② ✐♥t♦ t❤❡ ❞♦✉❜❧❡ ❛♥❞ s✐♥❣❧❡ ❧❛②❡r ♣♦t❡♥t✐❛❧✱ ✇❡ ♦❜t❛✐♥ DLPi = hξ

i

• wi1

1

−1

Ψ1n · ∇Ghidξ + wi2 1

−1

Ψ2n · ∇Ghidξ

• .

✭✷✳✻✽✮ SLPi = hξ

i

• fi1

1

−1

Φ1Ghidξ + fi2 1

−1

Φ2Ghidξ

• ✭✷✳✻✾✮

■t ✐s ♣♦ss✐❜❧❡ t♦ ♥♦t❡ t❤❛t ❛❧❧ t❤❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s ✐♥s✐❞❡ t❤❡ ✐♥t❡❣r❛❧s ♦❢ t❤❡ ✷✳✻✽ ❛♥❞ ✷✳✻✾ ❛r❡ ❦♥♦✇♥✱ t❤❡r❡❢♦r❡ t❤❡ ✐♥t❡❣r❛❧s ❝❛♥ ❜❡ ❝♦♠♣✉t❡❞ ♥✉♠❡r✐❝❛❧❧②✱ ❛♥❞ t❤❡ t✇♦ r❡❧❛t✐♦♥s ❜❡❝♦♠❡ ❧✐♥❡❛r✳ ■t ✐s ♥♦✇ ♣♦ss✐❜❧❡ t♦ ❞❡✜♥❡ t❤❡ ✐♥✢✉❡♥❝❡ ❝♦❡✣❝✐❡♥t ❛s ❛s ❢♦❧❧♦✇s W 1

i = hξ i

1

−1

Ψ1n · ∇Ghidξ, W 2

i = hξ i

1

−1

Ψ2n · ∇Ghidξ, F 1

i = hξ i

1

−1

Φ1Ghidξ, F 2

i = hξ i

1

−1

Φ2Ghidξ, ✭✷✳✼✵✮ ❛♥❞ s✉❜st✐t✉t✐♥❣ ❡q✉❛t✐♦♥s ✷✳✻✽ ❛♥❞ ✷✳✻✾ ✐♥ t❤❡ ❡q✉❛t✐♦♥ ✷✳✺✽✱ ✐t ✐s ♣♦ss✐❜❧❡ t♦ ✇r✐t❡ t❤❡ ✜♥❛❧ ❡q✉❛t✐♦♥ ❞❡r✐✈❡❞ ❜② t❤❡ ❞✐s❝r❡t✐③❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ❜♦✉♥❞❛r② ❛♥❞ t❤❡ ♣✐❡❝❡✇✐s❡ ❧✐♥❡❛r ❛♣♣r♦①✐♠❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ✉♥❦♥♦✇♥ ❢✉♥❝t✐♦♥s ♦♥ t❤❡ ❜♦✉♥❞❛r②✳ ❆t t❤❡ ❡♥❞ ♦❢ t❤❡ ♣r♦❝❡❞✉r❡ ✇❡ ❤❛✈❡ 1 2w(x0) =

N

• i=1
• w1iW 1

i + w2iW 2 i

• −

N

• i=1
• f1iF 1

i + f2iF 2 i

• .

✭✷✳✼✶✮ ❚♦ t❤❡ ❧❡❢t✲❤❛♥❞ s✐❞❡ ♦❢ t❤❡ ❡q✉❛t✐♦♥ ✷✳✼✶ t❤❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ w ✐s ❡✈❛❧✉❛t❡❞ ✐♥ x0✱ t❤❛t ✇❡ ❤❛✈❡ ❝❤♦s❡♥ t♦ ❧✐❡ ♦♥ t❤❡ ❜♦✉♥❞❛r②✳ ❚❤✐s ♠❡❛♥s t❤❛t ❛❧❧ t❤❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s ✐♥ ❡q✉❛t✐♦♥ ✷✳✼✶ ❛r❡ t♦ ❜❡ ❡✈❛❧✉❛t❡❞ ♦♥ t❤❡ ❜♦✉♥❞❛r②✱ ❛♥❞ t❤✐s ✐s t❤❡ s♣❡❝✐✜❝ ❢❡❛t✉r❡ t❤❛t ✇✐❧❧ ❛❧❧♦✇ ✉s t♦ s♦❧✈❡ t❤❡ ❡q✉❛t✐♦♥✳ ■t ✐s ♥♦✇ ✇♦rt❤ t♦ ♥♦t❡ t❤❡ r♦❧❡ ♦❢ ❝♦❧❧♦❝❛t✐♦♥ ♣♦✐♥ts✱ ✇❤✐❝❤ ❛r❡ t❤❡ ♣♦✐♥ts ✐♥ ✇❤✐❝❤ t❤❡ t✇♦ ✉♥❦♥♦✇♥ ❢✉♥❝t✐♦♥s ✇✐❧❧ ❜❡ ❡✈❛❧✉❛t❡❞ ✭✐✳❡✳ t❤❡ s♦❧✉t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ❧✐♥❡❛r s②st❡♠ ✇✐❧❧ ❣✐✈❡ ✉s t❤❡ ✈❛❧✉❡ ♦❢ t❤❡ ✉♥❦♥♦✇♥ ❢✉♥❝t✐♦♥s ✐♥ ❛❧❧ t❤❡ ❝♦❧❧♦❝❛t✐♦♥ ♣♦✐♥ts ♦♥ t❤❡ ❜♦✉♥❞❛r②✮✳ ■♥ ❣❡♥❡r❛❧ ✇❡ ✇✐❧❧ ❝❤♦♦s❡ t✇♦ ❝♦❧❧♦❝❛t✐♦♥ ♣♦✐♥ts ❢♦r ❡❛❝❤ ❡❧❡♠❡♥t✱

❈❍❆P❚❊❘ ✷✳ ▼■❈❘❖❙❈❖P■❈ P❘❖❇▲❊▼ ✸✺ ❧❛②✐♥❣ r❡s♣❡❝t✐✈❡❧② ❛t t❤❡ ❜❡❣✐♥♥✐♥❣ ❛♥❞ ❛t t❤❡ ❡♥❞ ♦❢ t❤❡ s❡❣♠❡♥t✳ ❍♦✇❡✈❡r✱ t❤❡r❡ ✐s t❤❡ s♣❡❝✐❛❧ ❝❛s❡ ♦❢ ❛ ❝♦r♥❡r✱ ❢♦r ✇❤✐❝❤ t❤❡ ❝❤♦✐❝❡ ♦❢ t❤❡♠ ✐s ❛ ❜✐t ❞✐✛❡r❡♥t✳ ❲❤❡♥ ❛ ❜♦✉♥❞❛r② ❡❧❡♠❡♥t ✐s ❛❞❥❛❝❡♥t t♦ ❛ tr✉❡ ❜♦✉♥❞❛r② ❝♦r♥❡r ✭❜✉t ♥♦t ❛♥ ❛rt✐✜❝✐❛❧ ❝♦r♥❡r ❞✉❡ t♦ t❤❡ ❞✐s❝r❡t✐③❛t✐♦♥✮✱ t❤❡ ❜♦✉♥❞❛r② ❞✐str✐❜✉t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ f ❛♥❞ ✐ts ♥♦r♠❛❧ ❞❡r✐✈❛t✐✈❡ ❛r❡ ❧✐❦❡❧② t♦ ❡①❤✐❜✐t ❞✐s❝♦♥t✐♥✉♦✉s ♦r s✐♥❣✉❧❛r ❜❡❤❛✈✐♦r✱ ❛♥❞ ❛ ❝♦♥t✐♥✉♦✉s ❞✐str✐❜✉t✐♦♥ ♦❢ t❤♦s❡ q✉❛♥t✐t✐❡s ✐s ♥♦ ♠♦r❡ ❛♣♣r♦♣r✐❛t❡✳ ❚❤❡ ✉s❡❞ ❛♣♣r♦❛❝❤ ✐♥✈♦❧✈❡s ❞✐str✐❜✉t✐♥❣ t❤❡ ♥❡❛r✲❝♦r♥❡r ♥♦❞❡s ❛t ♣♦s✐t✐♦♥s ❝♦rr❡s♣♦♥❞✐♥❣ t♦ t❤❡ r♦♦ts ♦❢ t❤❡ ❘❛❞❛✉ ♣♦❧②♥♦♠✐❛❧s ❞❡✜♥❡❞ ♦✈❡r t❤❡ ✐♥t❡r✈❛❧ [−1, 1]✳ ❚❤❡ ✜rst ❢❡✇ ♠❡♠❜❡rs ♦❢ t❤✐s ❢❛♠✐❧② ❛r❡ R0(ξ) = 1, R1(ξ) = 1 2(3ξ − 1) R2(ξ) = 1 2(5ξ2 − 2ξ − 1) R3(ξ) = 1 8(35ξ3 − 15ξ2 − 15ξ + 3) ✭✷✳✼✷✮ ❙✐♥❝❡ ✇❡ ❝❤♦♦s❡ t❤❡ ❧✐♥❡❛r ❛♣♣r♦①✐♠❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ❢✉♥❝t✐♦♥✱ ✇❡ ✇✐❧❧ ✉s❡ t❤❡ R1 ♣♦❧②♥♦♠✐❛❧✳ ❚❤❡ ❜♦✉♥❞❛r② ❝♦♥❞✐t✐♦♥s ✜① t❤❡ ❛❧❧ t❤❡ q✉❛♥t✐t✐❡s ❝♦♠♣✉t❡❞ ♦♥ t❤❡ ❜♦✉♥❞❛r②✳ ■♥ t❤❡ ❡♥❞✱ ✇❡ ❝❛♥ ❧♦❝❛t❡ t❤❡ s✐♥❣✉❧❛r✐t② ✐♥ ❞✐✛❡r❡♥t ♣♦✐♥ts✱ ✐♥ ♦r❞❡r t♦ ♦❜t❛✐♥ t❤❡ s❛♠❡ ♥✉♠❜❡r ♦❢ ❡q✉❛t✐♦♥ ❛♥❞ ✉♥❦♥♦✇♥s✳ ❆ s♦❧✈❛❜❧❡ ❧✐♥❡❛r s②st❡♠ ♦❢ ❡q✉❛t✐♦♥s ❤❛s ❜❡❡♥ ♦❜t❛✐♥❡❞✳

✷✳✺✳✸ ❙✐♥❣✉❧❛r ✐♥t❡❣r❛❧s

❆❧❧ t❤❡ ✐♥t❡❣r❛❧ ✐♥✈♦❧✈❡❞ ✐♥ t❤❡ ❝♦♠♣✉t❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ✐♥✢✉❡♥❝❡ ❝♦❡✣❝✐❡♥ts Fij ❛♥❞ t❤❡ ❦♥♦✇♥ t❡r♠s Wj ❛r❡ ♥✉♠❡r✐❝❛❧❧② s♦❧✈❡❞ ✇✐t❤ t❤❡ ✇❡❧❧ ❦♥♦✇♥ ●❛✉ss✲▲❡❣❡❞r❡ ♠❡t❤♦❞✳ ❍♦✇❡✈❡r✱ ✇❡ ❤❛✈❡ t♦ ♣❛② ❛tt❡♥t✐♦♥ t♦ s♦♠❡ ♣❛rt✐❝✉❧❛r ✐♥t❡❣r❛❧s✱ t❤❛t r❡s✉❧t t♦ ❜❡ s✐♥❣✉❧❛r✳ ❚❤❡ j✲t❤ ❧✐♥❡ ♦❢ t❤❡ s②st❡♠ r❡♣r❡s❡♥t t❤❡ ❡q✉❛t✐♦♥ ♦❜t❛✐♥❡❞ ❢r♦♠ t❤❡ ♣♦s✐t✐♦♥✐♥❣ ♦❢ t❤❡ s✐♥❣✉❧❛r✐t② ♦♥ t❤❡ j✲t❤ ❡❧❡♠❡♥t✳ ■♥ ♦r❞❡r t♦ ❝♦♠♣✉t❡ t❤❡ ❝♦❡✣❝✐❡♥ts ♦❢ t❤✐s j✲t❤ r♦✇ ♦❢ t❤❡ ♠❛tr✐① F✱ ✇❡ ❤❛✈❡ t♦ ♥✉♠❡r✐❝❛❧❧② s♦❧✈❡ ❢♦r ❡❛❝❤ ❡❧❡♠❡♥t t❤❡ ✐♥t❡❣r❛❧s ❣✐✈❡♥ ❜② t❤❡ ❡q✉❛t✐♦♥s ✷✳✼✵✳ ❚❤❡ ♣r♦❜❧❡♠ ♦❢ t❤❡ s✐♥❣✉❧❛r ✐♥t❡❣r❛❧ ❛r✐s❡ ✇❤❡♥ t❤❡ ❡❧❡♠❡♥t ♦♥ ✇❤✐❝❤ t❤❡ ✐♥t❡❣r❛t✐♦♥ ✐s ♣❡r❢♦r♠❡❞✱ ✐s t❤❡ s❛♠❡ ♦♥ ✇❤✐❝❤ t❤❡ s✐♥❣✉❧❛r✐t② ❧✐❡s✳ ❲❡ ❞❡❛❧ ✇✐t❤ t❤✐s s✐t✉❛t✐♦♥ ✇❤❡♥ t❤❡ s✉❜s❝r✐♣t i ✭t❤❛t ✐❞❡♥t✐❢② t❤❡ ❡❧❡♠❡♥t✮ ✐s ❡q✉❛❧ t♦ j ✭t❤❛t ✐❞❡♥t✐❢② t❤❡ ❡❧❡♠❡♥t ♦♥ ✇❤✐❝❤ t❤❡ s✐♥❣✉❧❛r✐t② ❧✐❡✮✳ ❚❤❡ s✐♥❣✉❧❛r ❜❡❤❛✈✐♦✉r ♦❢ t❤❡ ✐♥t❡❣r❛❧s ✐s ❞✉❡ t♦ t❤❡ ♣r❡s❡♥❝❡ ♦❢ t❤❡ ●r❡❡♥✬s ❢✉♥❝t✐♦♥ ✭✐♥s✐❞❡ t❤❡ F ❝♦❡✣❝✐❡♥ts✮ ❛♥❞

❈❍❆P❚❊❘ ✷✳ ▼■❈❘❖❙❈❖P■❈ P❘❖❇▲❊▼ ✸✻ ✐ts ❣r❛❞✐❡♥t ✭✐♥s✐❞❡ t❤❡ W ❝♦❡✣❝✐❡♥ts✮ ✐♥s✐❞❡ t❤❡♠✳ ■♥ ❢❛❝t ✐t ✐s ♣♦ss✐❜❧❡ t♦ ✇r✐t❡ x → x0 ⇒      G → +∞ ∇G → +∞ ✭✷✳✼✸✮ ❙✐♥❣✉❧❛r ✐♥t❡❣r❛❧s ♥❡❡❞ ❛ s♣❡❝✐❛❧ tr❡❛t♠❡♥t❀ t♦ ❝♦♠♣✉t❡ t❤❡♠ ✇❡ ❛❞❞ ❛♥❞ s✉❜tr❛❝t t❤❡ ❢r❡❡✲s♣❛❝❡ ❦❡r♥❡❧s ✐♥ t❤❡ ✐♥t❡❣r❛♥❞ ❛♥❞ s♣❧✐t t❤❡ ❡①♣r❡ss✐♦♥ ♦❢ F ❛♥❞ W ❝♦❡✣❝✐❡♥ts ✐♥ t✇♦ ✐♥t❡❣r❛❧s Fjj =

• Ej
• G(x, x0) + 1

2π ln |x − x0|

• dl − 1

2π

• Ej

ln |x − x0| dl, ✭✷✳✼✹✮ Wj = PV

Ej

• n · ∇G(x, x0) + 1

2π n · (x − x0) |x − x0|2

• dl − 1

2π PV

Ej

n · (x − x0) |x − x0|2 . ✭✷✳✼✺✮ ❚❤❡ ✜rst ✐♥t❡❣r❛❧s ♦♥ t❤❡ r✐❣❤t✲❤❛♥❞ s✐❞❡ ♦❢ t❤❡ ✷✳✼✹ ❛♥❞ ✷✳✼✺ ❛r❡ ♥♦♥✲s✐♥❣✉❧❛r ❛♥❞ ♠❛② ❜❡ ❝♦♠♣✉t❡❞ ✇✐t❤ ❤✐❣❤ ❛❝❝✉r❛❝② ✉s✐♥❣ ●❛✉ss✲▲❡❣❡♥❞r❡ q✉❛❞r❛t✉r❡✳ ▼♦r❡♦✈❡r✱ ❡✈❡♥ t❤❡ s❡❝♦♥❞ ✐♥t❡❣r❛❧ ♦♥ t❤❡ r✐❣❤t✲❤❛♥❞ s✐❞❡ ♦❢ t❤❡ ❡q✉❛t✐♦♥ ✷✳✼✺ ✐s ♥♦♥✲s✐♥❣✉❧❛r✱ ✐♥ ❢❛❝t✱ ❛s t❤❡ ✐♥t❡❣r❛t✐♦♥ ♣♦✐♥t x ❛♣♣r♦❛❝❤ t❤❡ s✐♥❣✉❧❛r✐t② x0✱ t❤❡ ♥♦r♠❛❧ ✈❡❝t♦r n t❡♥❞s t♦ ❜❡❝❛♠❡ t♦ t❤❡ ♥❡❛r❧② t❛♥❣❡♥t✐❛❧ ✈❡❝t♦r✐❛❧ ❞✐st❛♥❝❡ (x − x0)✳ ❈♦♥s❡q✉❡♥t❧②✱ t❤❡ ♥✉♠❡r❛t♦r ♦❢ t❤❡ ❢r❛❝t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ✐♥t❡❣r❛♥❞ ❜❡❤❛✈❡s q✉❛❞r❛t✐❝❛❧❧② ✇✐t❤ r❡s♣❡❝t t♦ t❤❡ s❝❛❧❛r ❞✐st❛♥❝❡ |x − x0|✱ ❛♥❞ t❤❡ s✐♥❣✉❧❛r✐t② ❞♦❡s ♥♦t ❛♣♣❡❛r✳ ❚❤✉s t❤❡ ♣r♦❜❧❡♠ ❤❛s ❜❡❡♥ r❡❞✉❝❡❞ t♦ ❝♦♠♣✉t❡ t❤❡ s❡❝♦♥❞ ✐♥t❡❣r❛❧ ♦❢ t❤❡ r✐❣❤t✲ ❤❛♥❞ s✐❞❡ ♦❢ t❤❡ ❡q✉❛t✐♦♥ ✷✳✼✹✳ ❚❤❡ tr❡❛t♠❡♥t ♦❢ t❤✐s t❡r♠ ❞❡♣❡♥❞ ♦♥ t❤❡ ❦✐♥❞ ♦❢ t❤❡ ❡❧❡♠❡♥t ❞✐s❝r❡t✐③❛t✐♦♥✱ s♦ ✇❡ s❤❡❧❧ ❞❡s❝r✐❜❡ t❤❡ ♣r♦❝❡❞✉r❡ ❢♦r t❤❡ ❝✉❜✐❝✲s♣❧✐♥❡ ❡❧❡♠❡♥ts✳ ■♥ ♦r❞❡r t♦ ❝♦♠♣✉t❡ t❤❡ ❦❡r♥❡❧ ✐♥ Fjj ✇❡ ❡①♣r❡ss ✐t ✐♥ t❤❡ ♣❛r❛♠❡tr✐❝ ❢♦r♠ ❛♥ k =

• Ej

ln |x − x0| dl = j+1

sj

ln |x(s) − x(s0)| hi(s)ds, ✭✷✳✼✻✮ ✇❤❡r❡ s0 r❡♣r❡s❡♥ts t❤❡ s✐♥❣✉❧❛r✐t② ♣♦s✐t✐♦♥ ✭sj < s0 < sj+1✮✳ ◆♦✇ ✐t ✐s ♣♦ss✐❜❧❡ t♦ s♣❧✐t t❤❡ ✐♥t❡❣r❛❧ ✇✐t❤ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ♣❛ss❛❣❡ k = j+1

sj

ln |x(s) − x(s0)| |s − s0|

• hi(s)ds +

j+1

sj

ln |s − s0| hi(s).ds ✭✷✳✼✼✮ ■♥ t❤✐s ❝❛s❡ t❤❡ ✜rst ♠❡♠❜❡r ❝❛♥ ❜❡ ✐♥t❡❣r❛t❡❞ ✇✐t❤ ♥✉♠❡r✐❝❛❧ ♣r♦❝❡❞✉r❡s✱ ❜✉t t❤❡

❈❍❆P❚❊❘ ✷✳ ▼■❈❘❖❙❈❖P■❈ P❘❖❇▲❊▼ ✸✼ s❡❝♦♥❞ ♦♥❡ r❡♠❛✐♥s s✐♥❣✉❧❛r✳ ❚❤❡r❡❢♦r❡ t❤❡ ❛❢t❡r✇❛r❞s tr❡❛t♠❡♥t ✐s ♥❡❝❡ss❛r②✳ j+1

sj

ln |s − s0| hi(s)ds = = j+1

sj

ln |s − s0| (hi(s) − hi(s0)) ds + hi(s0) j+1

sj

ln |s − s0| ds. ✭✷✳✼✽✮ ❚❤❡ ✜rst ♠❡♠❜❡r ✐s ♥✉♠❡r✐❝❛❧❧② ✐♥t❡❣r❛t❡❞✱ ✇❤❡r❡❛s t❤❡ s❡❝♦♥❞ ♦♥❡ ❝❛♥ ❜❡ ❝♦♠♣✉t❡❞ ❜② ❡❧❡♠❡♥t❛r② ❛♥❛❧②t✐❝❛❧ ♠❡t❤♦❞✳

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❋✐❣✉r❡ ✷✳✶✷✿ ●❡♦♠❡tr✐❡s ✉♥❞❡r ✐♥✈❡st✐❣❛t✐♦♥✳ ■♥ ♦r❞❡r t♦ ❤❛✈❡ ❛ r❡❢❡r❡♥❝❡ ✈❛❧✉❡ ❢♦r t❤❡ ♣r♦tr✉s✐♦♥ ❤❡✐❣❤ts ❛♥❞ t❤❡ ❞✐✛❡r❡♥❝❡ ❜❡t✇❡❡♥ t❤❡♠✱ ✇❡ ❤❛✈❡ t❛❦❡♥ ✉♥❞❡r ❝♦♥s✐❞❡r❛t✐♦♥ t❤❡ ❜❧❛❞❡ r✐❜❧❡t s❦❡t❝❤❡❞ ✐♥ ✜❣✉r❡ ✷✳✶✷❜✱ ✇✐t❤ t❤❡ s❛♠❡ ❞❡♣t❤ ♦❢ t❤❡ tr✐❛♥❣✉❧❛r ♦♥❡✳ ■♥ t❛❜❧❡ ✷✳✶ ❛r❡ r❡♣♦rt❡❞ t❤❡ ♣r♦tr✉s✐♦♥ ❤❡✐❣❤ts ❝♦♠♣✉t❡❞ ❢♦r t❤❡ tr✐❛♥❣✉❧❛r ❛♥❞ t❤❡ r❡❝t❛♥❣✉❧❛r r✐❜❧❡t❀ t❤❡ ❞❛t❛ s❤♦✇s t❤❛t t❤❡ ∆h ✐s ❤✐❣❤❡r ✐♥ t❤❡ ❜❧❛❞❡ r✐❜❧❡t ❝❛s❡✳ ❈❛s❡ h|| h⊥ ∆h ❇❧❛❞❡ r✐❜❧❡t 0.1723 0.0801 0.0922 ❚r✐❛♥❣✉❧❛r r✐❜❧❡t 0.1026 0.0704 0.0322 ❚❛❜❧❡ ✷✳✶✿ Pr♦tr✉s✐♦♥ ❤❡✐❣❤ts ♦❢ ❜❧❛❞❡✲r✐❜❧❡t ❛♥❞ 120◦ tr✐❛♥❣✉❧❛r r✐❜❧❡t✳ ■♥ ❧✐♥❡ ✇✐t❤ ▲✉❝❤✐♥✐✬s t❤❡♦r②✱ ✐t ✐s ♣♦ss✐❜❧❡ t♦ ✉♥❞❡rst❛♥❞ t❤❛t ❞r❛❣ r❡❞✉❝t✐♦♥ ❛❝❤✐❡✈❡❞ ✇✐t❤ t❤❡ tr✐❛♥❣✉❧❛r r✐❜❧❡t ✇✐❧❧ ❜❡ s♠❛❧❧❡r t❤❡♥ t❤❛t ♦❜t❛✐♥❡❞ ✇✐t❤ t❤❡ ❜❧❛❞❡ ♦♥❡✳ ❚❤❡ r❡s✉❧t ✐s ✐♥ ❛❝❝♦r❞❛♥❝❡ ✇✐t❤ ❛ ❧♦t ♦❢ ❡①♣❡r✐♠❡♥t ♣❡r❢♦r♠❡❞ ♦♥ t❤❡ t✇♦ r✐❜❧❡t s❤❛♣❡s ❛♥❞ ❡✈❡♥ ✇✐t❤ t❤❡ t❤❡♦r❡t✐❝❛❧ ✇♦r❦ ❜② ❇❡❝❤❡rt ❛♥❞ ❇❛rt❡✇❡r❢❡r ❬✷✼❪✳ ❋r♦♠ ❛ ♣❤②s✐❝❛❧ ♣♦✐♥t ♦❢ ✈✐❡✇✱ t❤❡ ✈✐s❝♦✉s ✢♦✇ ♦✈❡r tr✐❛♥❣✉❧❛r r✐❜❧❡t ❣❡♦♠❡tr② ❣❡♥❡r❛t❡s ❛♥ ❤✐❣❤❡r s❦✐♥ ❢r✐❝t✐♦♥ t❤❡♥ t❤❛t ♦✈❡r t❤❡ ❜❧❛❞❡ r✐❜❧❡t ❬✶❪✳ ■t ✐s ❡①tr❡♠❡❧② ✐♥t❡r❡st✐♥❣ t♦ ♥♦t❡ t❤❛t t❤❡

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Number of iteration

0.07 0.08 0.09 0.1 0.11 0.12

Protrusion height

h|| data fit h data fit

❋✐❣✉r❡ ✷✳✶✻✿ P❛r❛❧❧❡❧ ❛♥❞ ♣❡r♣❡♥❞✐❝✉❧❛r ♣r♦tr✉s✐♦♥ ❤❡✐❣❤ts ❢♦r ✐♥✇❛r❞ ❢r❛❝t❛❧s ✐t❡r❛t✐♦♥s ♦❢ t❤❡ 120◦ tr✐❛♥❣❧❡✳

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Number of iteration

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h

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Number of iteration

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❋✐❣✉r❡ ✷✳✷✼✿ ❈♦♥str✉❝t❡❞ ✐♥✇❛r❞ ❢r❛❝t❛❧s ❣❡♦♠❡tr✐❡s✳ ❊✈❡♥ ✐♥ t❤✐s ❝❛s❡ t❤❡ ❞❛t❛ r❡♣♦rt❡❞ ✐♥ t❛❜❧❡ ✷✳✻ ❛♥❞ s❤♦✇♥ ✐♥ ✜❣✉r❡ ✷✳✷✽ ❛♥❞ ✜❣✉r❡ ✷✳✷✾ ❝♦♥✜r♠s t❤❡ ♣r❡✈✐♦✉s r❡s✉❧ts✳ ■t❡r❛t✐♦♥ h|| h⊥ ∆h 0.1396 0.0788 0.0608 1 0.1464 0.0779 0.0685 2 0.1495 0.0782 0.0713 3 0.1506 0.0783 0.0723 ❚❛❜❧❡ ✷✳✻✿ Pr♦tr✉s✐♦♥ ❤❡✐❣❤ts ❢♦r ❛❧❧ ✐♥✇❛r❞ ❢r❛❝t❛❧s ✐t❡r❛t✐♦♥s ♦❢ t❤❡ 90◦ tr✐❛♥❣❧❡✳

❈❍❆P❚❊❘ ✷✳ ▼■❈❘❖❙❈❖P■❈ P❘❖❇▲❊▼ ✺✾

1 2 3

Number of iteration

0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16

Protrusion height

h|| data fit h data fit

❋✐❣✉r❡ ✷✳✷✽✿ P❛r❛❧❧❡❧ ❛♥❞ ♣❡r♣❡♥❞✐❝✉❧❛r ♣r♦tr✉s✐♦♥ ❤❡✐❣❤ts ❢♦r ✐♥✇❛r❞ ❢r❛❝t❛❧s ✐t❡r❛t✐♦♥s ❢♦r t❤❡ 90◦ tr✐❛♥❣❧❡✳

1 2 3

Number of iteration

0.06 0.062 0.064 0.066 0.068 0.07 0.072 0.074

h

h data fit

❋✐❣✉r❡ ✷✳✷✾✿ ❉✐✛❡r❡♥❝❡ ❜❡t✇❡❡♥ t✇♦ ♣r♦tr✉s✐♦♥ ❤❡✐❣❤ts ❢♦r ✐♥✇❛r❞ ❢r❛❝t❛❧s ✐t❡r❛t✐♦♥s ❢♦r t❤❡ 90◦ tr✐❛♥❣❧❡✳

❈❍❆P❚❊❘ ✷✳ ▼■❈❘❖❙❈❖P■❈ P❘❖❇▲❊▼ ✻✵ ❋✐❣✉r❡ ✷✳✸✵✿ ❙tr❡❛♠✲✇✐s❡ ✈❡❧♦❝✐t② ✜❡❧❞ ❢♦r t❤❡ s✐♠♣❧❡ 90◦ tr✐❛♥❣✉❧❛r r✐❜❧❡t✳ ❚❤❡ ✈❡❧♦❝✐t② ✜❡❧❞s ❤❛✈❡ ❜❡❡♥ ❝♦♠♣✉t❡❞✳ ❚❤❡ str❡❛♠✲✇✐s❡ ✈❡❧♦❝✐t② ✐s s❤♦✇♥ ✐♥ ✜❣✉r❡ ✷✳✸✵✱ ✜❣✉r❡ ✷✳✸✶ ❛♥❞ ✜❣✉r❡ ✷✳✸✷✳ ❈♦♠♣❛r✐♥❣ t❤❡ 90◦ ✢♦✇ ✜❡❧❞s ✇✐t❤ t❤❛t ♦❜t❛✐♥❡❞ ✐♥ t❤❡ ♣❛r❛❣r❛♣❤✱ ✐t ✐s ♣♦ss✐❜❧❡ t♦ ♣♦✐♥t ♦✉t s♦♠❡ ❞✐✛❡r❡♥❝❡s✳ ❚❤❡ ✈❡❧♦❝✐t② ❣r❛❞✐❡♥t ♦♥ t❤❡ ✈❛❧❧❡② ✐s s♠❛❧❧❡r✱ ❛♥❞ t❤✐s r❡❞✉❝❡s ✈✐s❝♦✉s s❦✐♥ ❢r✐❝t✐♦♥✳ ❚❤❡ ❡✛❡❝t ✐s ❞✉❡ t♦ t❤❡ ❡♥❤❛♥❝❡ ♦❢ t❤❡ r✐❜❧❡t ❝❛✈✐t②✱ t❤❛t ❛❧❧♦✇ ❛ ❞❡❡♣❡r ♣❡♥❡tr❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ✢♦✇✳ ❚❤❡ ❧♦✇ ✈❡❧♦❝✐t② ③♦♥❡ ✐s ✇✐❞❡r✱ s♦ ✐t ✐s ♣♦ss✐❜❧❡ t♦ s✉♣♣♦s❡ t❤❛t t❤❡ ❤✐❣❤ ✈❡❧♦❝✐t② s♣♦ts ❞✉❡ t♦ t❤❡ t✉r❜✉❧❡♥❝❡ ❛r❡ ❞✉♠♣❡❞ ✐♥ ❛ ❜❡tt❡r ✇❛②✳ ❚❤❡ ♥♦r♠❛❧ ✈❡❧♦❝✐t② ❝♦♥t♦✉r✱ s❤♦✇♥ ✐♥ ✜❣✉r❡ ✷✳✸✸✱ ✜❣✉r❡ ✷✳✸✹ ❛♥❞ ✜❣✉r❡ ✷✳✸✺✱ r❡✈❡❛❧ ❛ ❜✐❣❣❡r ❝♦r♥❡r ❡❞❞② ✐♥ ❛❧❧ t❤❡ ❝❛s❡s✳

❈❍❆P❚❊❘ ✷✳ ▼■❈❘❖❙❈❖P■❈ P❘❖❇▲❊▼ ✻✶ ❋✐❣✉r❡ ✷✳✸✶✿ ❙tr❡❛♠✲✇✐s❡ ✈❡❧♦❝✐t② ✜❡❧❞ ❢♦r t❤❡ t❤✐r❞ ♦✉t✇❛r❞ ❢r❛❝t❛❧ ✐t❡r❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ 90◦ tr✐❛♥❣✉❧❛r r✐❜❧❡t✳ ❋✐❣✉r❡ ✷✳✸✷✿ ❙tr❡❛♠✲✇✐s❡ ✈❡❧♦❝✐t② ✜❡❧❞ ❢♦r t❤❡ t❤✐r❞ ✐♥✇❛r❞ ❢r❛❝t❛❧ ✐t❡r❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ 90◦ tr✐❛♥❣✉❧❛r r✐❜❧❡t✳

❈❍❆P❚❊❘ ✷✳ ▼■❈❘❖❙❈❖P■❈ P❘❖❇▲❊▼ ✻✷ ❋✐❣✉r❡ ✷✳✸✸✿ y ✈❡❧♦❝✐t② ❝♦♠♣♦♥❡♥t ✜❡❧❞ ❢♦r t❤❡ s✐♠♣❧❡ 90◦ tr✐❛♥❣✉❧❛r r✐❜❧❡t✳ ❋✐❣✉r❡ ✷✳✸✹✿ y ✈❡❧♦❝✐t② ❝♦♠♣♦♥❡♥t ✜❡❧❞ ❢♦r t❤❡ t❤✐r❞ ♦✉t✇❛r❞ ❢r❛❝t❛❧ ✐t❡r❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ 90◦ tr✐❛♥❣✉❧❛r r✐❜❧❡t✳

❈❍❆P❚❊❘ ✷✳ ▼■❈❘❖❙❈❖P■❈ P❘❖❇▲❊▼ ✻✸ ❋✐❣✉r❡ ✷✳✸✺✿ y ✈❡❧♦❝✐t② ❝♦♠♣♦♥❡♥t ✜❡❧❞ ❢♦r t❤❡ t❤✐r❞ ✐♥✇❛r❞ ❢r❛❝t❛❧ ✐t❡r❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ 90◦ tr✐❛♥❣✉❧❛r r✐❜❧❡t✳

❈❤❛♣t❡r ✸ ▼❛❝r♦s❝♦♣✐❝ ♣r♦❜❧❡♠

✻✹

❈❍❆P❚❊❘ ✸✳ ▼❆❈❘❖❙❈❖P■❈ P❘❖❇▲❊▼ ✻✺

✸✳✶ ◆✉♠❡r✐❝❛❧ ♠❡t❤♦❞

❚❤❡ ♠❛❝r♦s❝♦♣✐❝ ♣r♦❜❧❡♠ r❡♣r❡s❡♥t t❤❡ s❡❝♦♥❞ ♣❛rt ♦❢ t❤✐s ✇♦r❦✳ ■t ❛✐♠ ❛t ❝❛rr②✐♥❣ ♦✉t t❤❡ ❞r❛❣ ♦✈❡r ❛ ❢r❛❝t❛❧ r✐❜❧❡t ♣❧❛t❡s✱ ❛♥❞ ❝♦♠♣❛r❡ ✐t ✇✐t❤ t❤❛t ♦❜t❛✐♥❡❞ ✇✐t❤ s✐♠♣❧❡ tr✐❛♥❣✉❧❛r r✐❜❧❡ts✳ ❚♦ ❞♦ s♦✱ ❛ r❡❝t❛♥❣✉❧❛r ❝❤❛♥♥❡❧ ✐s st✉❞✐❡❞ t❤r♦✉❣❤ ❞✐r❡❝t ♥✉♠❡r✐❝❛❧ s✐♠✉❧❛t✐♦♥✳

✸✳✶✳✶ ❋✐♥✐t❡ ✈♦❧✉♠❡ ♠❡t❤♦❞

❚❤❡ ❋✐♥✐t❡ ❱♦❧✉♠❡ ▼❡t❤♦❞ ✭❋❱▼✮ ✐s ❛ ❞✐s❝r❡t✐③❛t✐♦♥ ❛♣♣r♦❛❝❤ ✐♥ ✇❤✐❝❤ t❤❡ s♦❧✉t✐♦♥ ❞♦♠❛✐♥ ✐s s✉❜❞✐✈✐❞❡❞ ✐♥t♦ ❛ ✜♥✐t❡ ♥✉♠❜❡r ♦❢ ❝♦♥t✐❣✉♦✉s ❈♦♥tr♦❧ ❱♦❧✉♠❡s ✭❈❱s✮✱ ❛♥❞ t❤❡ ◆✲❙ ❡q✉❛t✐♦♥s ❛r❡ ❛♣♣❧✐❡❞ t♦ ❡❛❝❤ ❈❱✳ ❆t t❤❡ ❝❡♥tr♦✐❞ ♦❢ ❡❛❝❤ ❈❱ ❧❛②s ❛ ❝♦♠♣✉✲ t❛t✐♦♥❛❧ ♥♦❞❡ ❛t ✇❤✐❝❤ t❤❡ ✈❛r✐❛❜❧❡s ✈❛❧✉❡s ❛r❡ t♦ ❜❡ ❡✈❛❧✉❛t❡❞✳ ❇❡❢♦r❡ ♣r♦❝❡❡❞✐♥❣ t♦ t❤❡ ♠❛t❤❡♠❛t✐❝❛❧ ❞❡s❝r✐♣t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ♠❡t❤♦❞✱ ✇❡ s❤♦✇ t❤❡ ❡q✉❛t✐♦♥s ✸✳✶✱ t❤❛t ❛r❡ t❤❡ ❞✐♠❡♥s✐♦♥❧❡ss ❝♦♥t✐♥✉✐t② ❛♥❞ ♠♦♠❡♥t✉♠ ❡q✉❛t✐♦♥s ❤❡r❡✐♥ ✉s❡❞ t♦ ♣❡r❢♦r♠ t❤❡ ❞✐r❡❝t ♥✉♠❡r✐❝❛❧ s✐♠✉❧❛t✐♦♥✳                ∂ui ∂xi = 0 ∂ui ∂t + uj ∂ui ∂xj = − ∂p ∂xj + 1 Re ∂2ui ∂xj∂xj + fi. ✭✸✳✶✮ ❚❤❡ ✈❛r✐❛❜❧❡s ✉s❡❞ t♦ ②✐❡❧❞s ❞✐♠❡♥s✐♦♥❧❡ss ❡q✉❛t✐♦♥s ✸✳✶ ❛r❡ δ ❛♥❞ uτ✳ ❚❤❡ ✜rst ♦♥❡ r❡♣r❡s❡♥ts t❤❡ ❤❛❧❢ ✇✐❞t❤ ♦❢ t❤❡ ❝❤❛♥♥❡❧ ✐♥ t❤❡ y ❞✐r❡❝t✐♦♥✱ ✇❤❡r❡❛s t❤❡ s❡❝♦♥❞ ✐s t❤❡ s❤❡❛r ✈❡❧♦❝✐t② ❞❡✜♥❡❞ ❛s uτ =

• τwall/ρ✳ Re ❞❡♥♦t❡s t❤❡ ❘❡②♥♦❧❞s ♥✉♠❜❡r ❞❡✜♥❡❞ ❛s

Re = U0δ/ν✳ ❚❤❡ ✜rst st❡♣ ♦❢ t❤❡ ♠❡t❤♦❞ ❞❡❛❧s ✇✐t❤ t❤❡ ✐♥t❡❣r❛t✐♦♥ ♦❢ t❤✐s ❞✐♠❡♥s✐♦♥❧❡ss ◆✲ ❙ ❡q✉❛t✐♦♥s ♦✈❡r ❛ s✐♥❣❧❡ ❝♦♥tr♦❧ ✈♦❧✉♠❡ ❝❛❧❧❡❞ Ω✳ ❲❡ ✉s❡ ❛ ❈❛rt❡s✐❛♥ ❣r✐❞ ❛♥❞ ❛ ❝♦❧❧♦❝❛t❡❞ ❛rr❛♥❣❡♠❡♥t✱ t❤❡r❡❢♦r❡ ❛❧❧ t❤❡ ✈❛r✐❛❜❧❡ ❛r❡ ❝❛❧❝✉❧❛t❡❞ ✐♥ t❤❡ ❝❡❧❧ ❝❡♥t❡r✳ ■♥ ✜❣✉r❡ ✸✳✶ ✐s s❤♦✇♥ ❛ t❤r❡❡✲❞✐♠❡♥s✐♦♥❛❧ ❈❛rt❡s✐❛♥ ❝♦♥tr♦❧ ✈♦❧✉♠❡ t♦❣❡t❤❡r ✇✐t❤ t❤❡ ♥♦t❛t✐♦♥ ✉s❡❞✳ ❚❤❡ ❈❱ ❝♦♥s✐st ♦❢ s✐① ♣❧❛♥❡ ❢❛❝❡s✱ ❞❡♥♦t❡❞ ✇✐t❤ ❧♦✇❡r ❝❛s❡ ❧❡tt❡rs ✭❡✱✇✱♥✱s✱t✱❜✮ ❝♦rr❡s♣♦♥❞✐♥❣ t♦ t❤❡✐r ♦r✐❡♥t❛t✐♦♥ ✇✐t❤ r❡s♣❡❝t t♦ t❤❡ ❝❡♥tr❛❧ ♥♦❞❡ P✳

❈❍❆P❚❊❘ ✸✳ ▼❆❈❘❖❙❈❖P■❈ P❘❖❇▲❊▼ ✻✻

P S E W N B T

x z y s e t n w b

❋✐❣✉r❡ ✸✳✶✿ ❚❤r❡❡ ❞✐♠❡♥s✐♦♥❛❧ ❝♦♥tr♦❧ ✈♦❧✉♠❡ ❢♦r ❛ ❈❛rt❡s✐❛♥ ❣r✐❞✳ ❖♥❝❡ t❤❡ ✐♥t❡❣r❛t✐♦♥ ♦♥ t❤❡ ❝♦♥tr♦❧ ✈♦❧✉♠❡ ✸✳✶ ✐s ♣❡r❢♦r♠❡❞✱ t❤❡ ♠❡t❤♦❞ ❡①♣❧♦✐ts t❤❡

• ❛✉ss✬s t❤❡♦r❡♠ ✭❛♥❞ t❤❡ ✐♥❝♦♠♣r❡ss✐❜✐❧✐t② ❝♦♥❞✐t✐♦♥ ❢♦r t❤❡ ❞✐✛✉s✐✈❡ t❡r♠✮ t♦ ❞♦ t❤❡

❢♦❧❧♦✇✐♥❣ tr❛♥s❢♦r♠❛t✐♦♥s✿

• ❚❤❡ ❝♦♥t✐♥✉✐t② ❡q✉❛t✐♦♥ ❜❡❝❛♠❡
• ∇ · u❞Ω =
• S

u · n❞S = 0 ✭✸✳✷✮

• ❚❤❡ ❝♦♥✈❡❝t✐✈❡ t❡r♠ ♦❢ t❤❡ ♠♦♠❡♥t✉♠ ❡q✉❛t✐♦♥ ❜❡❝♦♠❡
• Ω

uj ∂ui ∂xj ❞Ω =

• S

uiu · n❞S ✭✸✳✸✮

• ❚❤❡ ❞✐✛✉s✐✈❡ t❡r♠ ♦❢ t❤❡ ♠♦♠❡♥t✉♠ ❡q✉❛t✐♦♥ ❜❡❝♦♠❡
• Ω

1 Re ∂2ui ∂xj∂xj ❞Ω =

• S

1 Re∇ui · n❞S ✭✸✳✹✮ ❆❢t❡r t❤❡ ✐♥t❡❣r❛t✐♦♥ ❛♥❞ t❤❡ ❛♣♣❧✐❝❛t✐♦♥ ♦❢ ❛❜♦✈❡ tr❛♥s❢♦r♠❛t✐♦♥✱ t❤❡ ◆✲❙ ❡q✉❛t✐♦♥s

❈❍❆P❚❊❘ ✸✳ ▼❆❈❘❖❙❈❖P■❈ P❘❖❇▲❊▼ ✻✼ r❡❛❞               

• S

u · n❞S = 0

• Ω

∂ui ∂t dΩ +

• S

uiu · ndS = −

• Ω

∂p ∂xj dΩ +

• S

1 Re∇ui · n +

• Ω

fidΩ. ✭✸✳✺✮ ❚❤❡ ❡q✉❛t✐♦♥ ✸✳✺ ♣r❡s❡♥ts ✐♥t❡❣r❛❧s ♣❡r❢♦r♠❡❞ ♦♥ t❤❡ ❈❱✬s s✉r❢❛❝❡ S ♦r ♦♥ t❤❡ ✈♦❧✉♠❡ Ω✱ ❛♥❞ ❜♦t❤ ♠✉st ❜❡ ❛♣♣r♦①✐♠❛t❡❞✳ ❋♦r t❤❡ ✜rst t②♣❡✱ ✇❡ ❝❛♥ ❝❛❧❧ t❤❡ ❣❡♥❡r✐❝ q✉❛♥t✐t② t❤❛t ✢♦✇s t❤r♦✉❣❤ t❤❡ s✉r❢❛❝❡ ❛s φ ❛♥❞ t❤❛♥❦s t♦ t❤❡ ❧✐♥❡❛r✐t② ♦❢ t❤❡ ✐♥t❡❣r❛❧ ✇❡ ❝❛♥ ✇r✐t❡

• S

φdS =

6

• k=1
• Sk

φdS, ✭✸✳✻✮ ✇❤❡r❡ ✻ ✐s t❤❡ ♥✉♠❜❡r ♦❢ ❝♦♥tr♦❧ ✈♦❧✉♠❡ ❢❛❝❡s ❛♥❞ φ ❝❛♥ ❜❡ ❜♦t❤ t❤❡ ❝♦♥✈❡❝t✐✈❡ ♦r ❞✐✛✉s✐✈❡ ✢✉①✳ ❊q✉❛t✐♦♥ ✸✳✻ ✐s st✐❧❧ ❡①❛❝t✱ ❜✉t ✇❡ ♥❡❡❞ ♥♦✇ t♦ ✐♥tr♦❞✉❝❡ t❤❡ ✜rst ❛♣♣r♦①✐♠❛t✐♦♥✳ ❚❤❡ s✉r❢❛❝❡ ✐♥t❡❣r❛❧ ♦❢ φ✱ ❢♦r ❛♥ ❛r❜✐tr❛r② ❢❛❝❡ k ✐s ❡st✐♠❛t❡❞ ✇✐t❤ t❤❡ ♠✐❞✲♣♦✐♥t r✉❧❡✱ t❤❛t ✐s t❤❡ ✐♥t❡❣r❛❧ ♦♥ t❤❡ sq✉❛r❡ s✉r❢❛❝❡ ✐s ❛♣♣r♦①✐♠❛t❡❞ ✇✐t❤ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣✿

• Sk

φdS ≈ φkSk, ✭✸✳✼✮ ✇❤❡r❡ Sk ✐s t❤❡ ❛r❡❛ ♦❢ t❤❡ k✲t❤ sq✉❛r❡ ❢❛❝❡ ♦❢ t❤❡ ❝✉❜❡✱ ❛♥❞ φk ✐s t❤❡ ✈❛❧✉❡ ♦❢ φ ❛t t❤❡ ❝❡♥t❡r ♦❢ t❤❡ sq✉❛r❡ ❢❛❝❡✳ ■t ✐s ♣♦ss✐❜❧❡ t♦ s❤♦✇ t❤❛t t❤✐s ❛♣♣r♦①✐♠❛t✐♦♥ ✐s ♦❢ s❡❝♦♥❞ ♦r❞❡r ❛❝❝✉r❛❝②✳ ❲❤❡r❡❛s Sk ✐s ❛ ❣❡♦♠❡tr✐❝❛❧ ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥ ❛♥❞ ✐t ❝❛♥ ❜❡ ❡❛s✐❧② ❝♦♠♣✉t❡❞✱ φk ❝♦♥t❛✐♥s t❤❡ ✉♥❦♥♦✇♥s t❤❛t ✇❡ ✇❛♥t t♦ ❞❡t❡r♠✐♥❡✳ ▼♦r❡♦✈❡r✱ s✐♥❝❡ φk ✐s t❛❦❡♥ ♦♥ t❤❡ sq✉❛r❡ ❢❛❝❡ ❝❡♥t❡r✱ t❤❡ ✉♥❦♥♦✇♥s ✐♥s✐❞❡ ✐t ❛r❡ t♦♦✱ t❤❡r❡❢♦r❡ ✇❡ ♠✉st ❡①♣r❡ss φk ✐♥ t❡r♠s ♦❢ t❤❡ ♥♦❞❛❧ ✈❛❧✉❡✳ ❚♦ ❞♦ s♦✱ ✇❡ ❝❛♥ ❞♦ ❛♥ ✐♥t❡r♣♦❧❛t✐♦♥ ❜❡t✇❡❡♥ t✇♦ ♥✉♠❡r✐❝❛❧ ♥♦❞❡s❀ ❢♦r ❡①❛♠♣❧❡✱ ✐❢ ✇❡ ✇❛♥t t♦ ❞❡t❡r♠✐♥❡ t❤❡ ✈❛❧✉❡ ♦❢ φk ♦♥ t❤❡ ❡❛st s✐❞❡✱ ✇❡ ❞♦ t❤❡ ✐♥t❡r♣♦❧❛t✐♦♥ ❜❡t✇❡❡♥ t❤❡ P ♥♦❞❡ ❛♥❞ t❤❡ ❊ ♥♦❞❡✳ ❍❡♥❝❡✱ r❡❢❡rr✐♥❣ t♦ t❤❡ ✜❣✉r❡ ✸✳✶✱ t❤❡ ✈❛❧✉❡ ♦❢ φ ❛t ❈❱✲❢❛❝❡ ❝❡♥t❡r ✐s ♦❜t❛✐♥ ❜② ❧✐♥❡❛r ✐♥t❡r♣♦❧❛t✐♦♥ ❜❡t✇❡❡♥ t❤❡ t✇♦ ♥❡❛r❡st ♥♦❞❡s✱ ❛s ❢♦❧❧♦✇s ✭❡✳❣ ❡ ❢❛❝❡✮✿ φe = λφP + (1 − λ)φE, λ = xe − xE xE − xP . ✭✸✳✽✮ ❚❤✐s s❝❤❡♠❡ ✐s ❝❛❧❧❡❞ ❝❡♥tr❛❧ ❞✐✛❡r❡♥❝❡ s❝❤❡♠❡ ✭❈❉❙✮ ❛♥❞ ✐t ✐s ♦❢ s❡❝♦♥❞ ♦r❞❡r ❛❝❝✉r❛❝②✳

❈❍❆P❚❊❘ ✸✳ ▼❆❈❘❖❙❈❖P■❈ P❘❖❇▲❊▼ ✻✽ ❋♦r ❝❧❛r✐t②✱ t❤❡ ❞✐s❝r❡t✐③❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ❝♦♥✈❡❝t✐✈❡ ✢✉①❡s ✇✐❧❧ ❜❡ s❤♦✇♥ ♦♥❧② ❢♦r t❤❡ ❡✲❢❛❝❡ ♦❢ t❤❡ ❈❛rt❡s✐❛♥ ❈❱ s❤♦✇♥ ✐♥ ✜❣✉r❡ ✸✳✶ ❛♥❞ ♦♥❧② ❢♦r t❤❡ ✜rst ❝♦♠♣♦♥❡♥t ♦❢ t❤❡ ✈❡❧♦❝✐t② ✈❡❝t♦r✳ ❚❤❡ ✢✉①❡s ❛t t❤❡ ♦t❤❡r s✉r❢❛❝❡s ❝❛♥ ❜❡ tr❡❛t❡❞ ✐♥ t❤❡ s❛♠❡ ❢❛s❤✐♦♥ ❛♣♣❧②✐♥❣ t❤❡ ❛♣♣r♦♣r✐❛t❡ s✉❜s❝r✐♣ts ♣❡r♠✉t❛t✐♦♥✳ ❇❡❢♦r❡ t♦ ❛♣♣❧② t❤❡ ❛❜♦✈❡ ❛♣♣r♦①✐♠❛t✐♦♥ ✇❡ ❤❛✈❡ t♦ ❡①♣❧❛✐♥ t❤❡ ♣❛rt✐❝✉❧❛r tr❡❛t♠❡♥t ♦❢ t❤❡ ♥♦♥✲❧✐♥❡❛r ❝♦♥✈❡❝t✐✈❡ t❡r♠❀ ✐♥s✐❞❡ ✐t t❤❡ ✈❡❧♦❝✐t② ✉♥❦♥♦✇♥ ❛♣♣❡❛r t✇♦ t✐♠❡s✱ ❛♥❞ ✐♥ ♦r❞❡r t♦ ❛✈♦✐❞ ♣r♦❜❧❡♠s✱ ✇❡ ❝♦♠♣✉t❡ t❤❡ t❡r♠ u · n ✇✐t❤ t❤❡ ✈❛❧✉❡ ❛t t❤❡ ♣r❡✈✐♦✉s t✐♠❡✲st❡♣✳ ❉♦✐♥❣ s♦✱ u · n ✐s ❛ ❝♦♥st❛♥t ❛♥❞ ✐t ❝❛♥ ❞r♦♣ t❤❡ ✐♥t❡❣r❛❧✳ ❚❤❡ ❞✐s❝r❡t❡ ❝♦♥✈❡❝t✐✈❡ ✢✉① r❡❛❞✿

• Se

uiu · ndS = u · n

• Se

uidS ≈ u · n

• S

[λφP + (1 − λ)φE] dS = = u · n

• S

dS [λφP + (1 − λ)φE] = ˙ me [λφP + (1 − λ)φE] , ✭✸✳✾✮ ❛♥❞ t❤❡ ❞✐✛✉s✐✈❡ ♦♥❡

• S

1 Re∇ui · ndS ≈ S(uE − uP) Re(xE − xP) ✭✸✳✶✵✮ ˙ me = u · n

• S

dS ✐s t❤❡ ♠❛ss ✢♦✇ r❛t❡ t❤r♦✉❣❤ t❤❡ s✉r❢❛❝❡ ❡✳ ❚❤❡ s♣❛t✐❛❧ ❞✐s❝r❡t✐③❛t✐♦♥ ✐s ❝♦♠♣❧❡t❡❞ ❜② t❤❡ ❛♣♣r♦①✐♠❛t✐♦♥ ♦❢ ♣r❡ss✉r❡ ❣r❛❞✐❡♥t ❛♥❞ ❜♦❞② ❢♦r❝❡s✱ ❛❧s♦ ❝❛❧❧❡❞ s♦✉r❝❡ t❡r♠s✳ ❋♦r ❛♥ ❛r❜✐tr❛r② s♦✉r❝❡ t❡r♠ q t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ❛♣♣r♦①✐♠❛t✐♦♥ ✐s ❛♣♣❧✐❡❞✿

• Ω

qdΩ = ∆ΩqP ✭✸✳✶✶✮ ❚❤❡ ✐♥t❡❣r❛❧ ✐s ❡st✐♠❛t❡❞ ❜② t❤❡ ♣r♦❞✉❝t ❜❡t✇❡❡♥ t❤❡ ❝❡♥tr❛❧ ✈❛❧✉❡ ♦❢ q ✐♥ t❤❡ ❝♦♥tr♦❧ ✈♦❧✉♠❡ ❝❡♥t❡r ❛♥❞ t❤❡ ❝❡❧❧ ✈♦❧✉♠❡✳ ❚❤✐s ✐s ❛❣❛✐♥ ❛ s❡❝♦♥❞ ♦r❞❡r ❛❝❝✉r❛t❡ ❛♣♣r♦①✐♠❛✲ t✐♦♥✳ ❆❢t❡r t❤❡ s♣❛❝❡ ❞✐s❝r❡t✐③❛t✐♦♥✱ ❛ t✐♠❡ ❛❞✈❛♥❝❡♠❡♥t str❛t❡❣② ✐s ♥❡❝❡ss❛r②✱ ❛♥❞ ✇❡ ✇✐❧❧ ❛♥❛❧②③❡ t❤❡ ♠❡t❤♦❞ ❤❡r❡✐♥ ❛❞♦♣t❡❞ ✐♥ t❤❡ ♥❡①t s❡❝t✐♦♥✳

✸✳✶✳✷ ❋r❛❝t✐♦♥❛❧ st❡♣

❚❤❡ ❢r❛❝t✐♦♥❛❧ st❡♣ ♠❡t❤♦❞ ✐s ❛ t❡❝❤♥✐q✉❡ t♦ ❛❞✈❛♥❝❡ ✐♥ t✐♠❡ t❤❡ ✢✉✐❞ ✢♦✇ ❣♦✈❡r♥✐♥❣ ❡q✉❛t✐♦♥s ❛♥❞ ✇❛s ✜rst❧② ❞❡✈❡❧♦♣❡❞ ❜② ❈❤♦r✐♥ ❬✻❪ ❛♥❞ t❤❡♥ ✐♠♣r♦✈❡❞ ❜② ♦t❤❡r ❛✉t❤♦rs✳ ❚❤❡ ❛❧❣♦r✐t❤♠ ✐s ❜❛s❡❞ ♦♥ ❍❡❧♠❤♦❧t③✕❍♦❞❣❡ ❞❡❝♦♠♣♦s✐t✐♦♥ ♦r s✐♠♣❧② ❍♦❞❣❡ ❞❡❝♦♠✲ ♣♦s✐t✐♦♥❀ ✐t st❛t❡s t❤❛t t❤❡ ✈❡❝t♦r ✜❡❧❞ u ❞❡✜♥❡❞ ♦♥ ❛ s✐♠♣❧② ❝♦♥♥❡❝t❡❞ ❞♦♠❛✐♥ ❝❛♥

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i , un−1 i

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• wall

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❈❍❆P❚❊❘ ✸✳ ▼❆❈❘❖❙❈❖P■❈ P❘❖❇▲❊▼ ✼✸ t❤❡ ♠✐❝r♦s❝♦♣✐❝ ♣r♦❜❧❡♠ ❢r♦♠ ✇❤✐❝❤ ✇❡ ❝❛rr✐❡❞ ♦✉t t❤❡ ♣r♦tr✉s✐♦♥ ❤❡✐❣❤ts✮ ❛r❡ ❞✐✛❡r❡♥t ❢r♦♠ t❤❛t ✉s❡❞ ❢♦r t❤❡ ◆❛✈✐❡r✲❙t♦❦❡s ❡q✉❛t✐♦♥s s♦❧✈❡❞ ✐♥ t❤❡ ❉◆❙✳ ❚❤❡r❡❢♦r❡ ✇❡ ❝❛♥♥♦t ❞✐r❡❝t❧② ❣✐✈❡ ✐♥ ✐♥♣✉t t❤❡ ✈❛❧✉❡ ❝❛rr✐❡❞ ♦✉t ✇✐t❤ t❤❡ ❜♦✉♥❞❛r② ❡❧❡♠❡♥t ♠❡t❤♦❞✱ ❜✉t ✇❡ ♠✉st ❛❞❥✉st ✐t s♦ t❤❛t ✐t r❡s✉❧ts ❛❞✐♠❡♥s✐♦♥❛❧✐③❡❞ t❤r♦✉❣❤ t❤❡ ❤❛❧❢ ❝❤❛♥♥❡❧ ✇✐❞t❤ δ ❛s ❢♦❧❧♦✇ h|| δ = b δhBEM

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■♥ ♦r❞❡r t♦ ✈❛❧✐❞❛t❡ t❤❡ ❝♦❞❡ ✐♠♣❧❡♠❡♥t❡❞ ❢♦r t❤❡ ❉◆❙✱ ✇❡ ❤❛✈❡ t❛❦❡♥ ❛s r❡❢❡r❡♥❝❡ t❤❡ st✉❞② ♣❡r❢♦r♠❡❞ ❜② ❑✐♠✱ ▼♦✐♥ ❛♥❞ ▼♦s❡r ✐♥ ✶✾✽✻ ❬✶✷❪ ❛t t❤❡ ◆❆❙❆ ❆♠❡s ❘❡s❡❛r❝❤ ❈❡♥t❡r✱ ✐♥ ✇❤✐❝❤ t❤❡② ❝❛rr✐❡❞ ♦✉t ♦♥❡ ♦❢ t❤❡ ✜rst ❞✐r❡❝t ♥✉♠❡r✐❝❛❧ s✐♠✉❧❛t✐♦♥ ♦❢ ❛ t✉r❜✉❧❡♥t ❝❤❛♥♥❡❧ ✢♦✇✳ ❚❤❡② ❝❤♦s❡ ❛ 4πδ × 2δ × 2πδ ❝❤❛♥♥❡❧✱ ✇❤❡r❡ δ ✐s t❤❡ ❝❤❛♥♥❡❧ ❤❛❧❢ ✇✐❞t❤ ✐♥ t❤❡ y✲❞✐r❡❝t✐♦♥✳ ❚❤❡② ♥✉♠❡r✐❝❛❧❧② s♦❧✈❡❞ t❤❡ ✉♥st❡❛❞② ◆❛✈✐❡r✲❙t♦❦❡s ❡q✉❛t✐♦♥s ✇✐t❤ ❛ ❘❡②♥♦❧❞s ♥✉♠❜❡r ♦❢ 2800✱ ❜❛s❡❞ ♦♥ t❤❡ ❜✉❧❦ ✈❡❧♦❝✐t② ❛♥❞ t❤❡ ❝❤❛♥♥❡❧ ❤❛❧❢✲✇✐❞t❤ δ ✭❛ ❘❡②♥♦❧❞s ♥✉♠❜❡r ♦❢ ✶✽✵ ❜❛s❡❞ ♦♥ t❤❡ ✇❛❧❧ s❤❡❛r ✈❡❧♦❝✐t② uτ✮✱ ✇✐t❤ ❛ ❣r✐❞ r❡s♦❧✉t✐♦♥ ♦❢ 192 × 129 × 160 ✐♥ x✱ y✱ z✳ ❲✐t❤ t❤✐s ❣r✐❞✱ t❤❡ s♣❛❝✐♥❣ ✐♥ t❤❡ str❡❛♠✲✇✐s❡ ❛♥❞ s♣❛♥✲✇✐s❡ ❞✐r❡❝t✐♦♥s ❛r❡ r❡s♣❡❝t✐✈❡❧② ∆x+ = 12 ✉✳✇✳ ❛♥❞ ∆z+ = 7 ✉✳✇✳✳ ▼♦r❡♦✈❡r✱ ❛ ♥♦♥✲✉♥✐❢♦r♠ ♠❡s❤ ✐s ✉s❡❞ ✐♥ t❤❡ ♥♦r♠❛❧ ❞✐r❡❝t✐♦♥✱ ❛♥❞ t❤❡ ✜rst ♠❡s❤ ♣♦✐♥t ❛✇❛② ❢r♦♠ t❤❡ ✇❛❧❧ ✐s ❛t y+ = 0.05✳ ❉♦✐♥❣ s♦ t❤❡② s♦❧✈❡❞ ❛❧❧ ❡ss❡♥t✐❛❧ t✉r❜✉❧❡♥❝❡ s❝❛❧❡s ♦♥ t❤❡ ❝♦♠♣✉t❛t✐♦♥❛❧ ❣r✐❞ ❛♥❞ ♥♦ s✉❜❣r✐❞ ♠♦❞❡❧ ✇❛s ✉s❡❞✳ ▼♦r❡♦✈❡r✱ t❤❡② ❝♦♠♣✉t❡❞ ❛ ❧❛r❣❡ ♥✉♠❜❡r ♦❢ t✉r❜✉❧❡♥❝❡ st❛t✐st✐❝s t❤❛t ❛r❡ ❡✈❡♥ ♥♦✇ ✐♥ ❛❣r❡❡♠❡♥t ✇✐t❤ t❤❡ ❡①♣❡r✐♠❡♥t❛❧ ❞❛t❛✳ ❚❤❡ ❝❛s❡ s♦❧✈❡❞ ✐♥ t❤❡ ♣r❡s❡♥t ✇♦r❦ ❤❛✈❡ s♦♠❡ ❞✐✛❡r❡♥❝❡s r❡s♣❡❝t t♦ t❤❡ ❑✐♠ ❛♥❞ ▼♦✐♥ ❝❛s❡✿ t❤❡ ❣r✐❞ ❤❡r❡✐♥ ✉s❡❞ ✐s ✜♥❡r t❤❡♥ ❑✐♠ ❛♥❞ ▼♦✐♥ ♦♥❡ ❛♥❞ t❤❡ ♠❡t❤♦❞ ✉s❡❞ t♦ s♦❧✈❡ t❤❡ ❡q✉❛t✐♦♥s ✐s ❞✐✛❡r❡♥t ✷✳ ■♥ ♦r❞❡r t♦ ✈❛❧✐❞❛t❡ t❤❡ ❞♥s ❝♦❞❡✱ ✇❡ ❤❛✈❡ ❝❛rr✐❡❞ ♦✉t t❤❡ ✈❡❧♦❝✐t② r♦♦t ♠❡❛♥ sq✉❛r❡ ✐♥ ❡❛❝❤ ❞✐r❡❝t✐♦♥ ❛♥❞ ✇❡ ❤❛✈❡ ❝♦♠♣❛r❡❞ t❤❡♠ ✇✐t❤ t❤❛t ♦❜t❛✐♥❡❞ ❜② ❑✐♠ ❛♥❞ ▼♦✐♥✱ ❛s ♣r❡s❡♥t❡❞ ✐♥ ✜❣✉r❡ ✸✳✻✱ ✸✳✼ ❛♥❞ ✸✳✽

✷■♥ ❬✶✷❪ ❛ s♣❡❝tr❛❧ ❝♦❞❡ ✇❛s ❡♠♣❧♦②❡❞✳

❈❍❆P❚❊❘ ✸✳ ▼❆❈❘❖❙❈❖P■❈ P❘❖❇▲❊▼ ✼✺

0.5 1 1.5 2

y

0.5 1 1.5 2 2.5 3

urms

Our code results Kim and Moin results

❋✐❣✉r❡ ✸✳✻✿ ❘♦♦t ♠❡❛♥ sq✉❛r❡ ♦❢ t❤❡ str❡❛♠✲✇✐s❡ ✈❡❧♦❝✐t② u′ ✢✉❝t✉❛t✐♦♥✳

0.5 1 1.5 2

y

0.5 1 1.5 2 2.5 3

vrms

Our code results Kim and Moin results

❋✐❣✉r❡ ✸✳✼✿ ❘♦♦t ♠❡❛♥ sq✉❛r❡ ♦❢ t❤❡ ♥♦r♠❛❧ ✈❡❧♦❝✐t② v′ ✢✉❝t✉❛t✐♦♥✳

❈❍❆P❚❊❘ ✸✳ ▼❆❈❘❖❙❈❖P■❈ P❘❖❇▲❊▼ ✼✻

0.5 1 1.5 2

y

0.5 1 1.5 2 2.5 3

wrms

Our code results Kim and Moin results

❋✐❣✉r❡ ✸✳✽✿ ❘♦♦t ♠❡❛♥ sq✉❛r❡ ♦❢ t❤❡ s♣❛♥✇✐s❡ ✈❡❧♦❝✐t② w′ ✢✉❝t✉❛t✐♦♥✳ ❚❤❡ ✜❣✉r❡s s❤♦✇ ❛ ✈❡r② s❛t✐s❢②✐♥❣ ❛❣r❡❡♠❡♥t ♦❢ t❤❡ r❡s✉❧ts✳

✸✳✺ ❘❡s✉❧ts

■♥ ♦r❞❡r t♦ ♣❡r❢♦r♠ t❤❡ ❞✐r❡❝t ♥✉♠❡r✐❝❛❧ s✐♠✉❧❛t✐♦♥s✱ ✇❡ ❤❛✈❡ t❛❦❡♥ ✉♥❞❡r ❝♦♥s✐❞❡r❛t✐♦♥ t❤❡ 90◦ tr✐❛♥❣✉❧❛r r✐❜❧❡t ❛♥❞ ✐ts t❤✐r❞ ✐♥✇❛r❞ ❢r❛❝t❛❧③❛t✐♦♥✱ ❜♦t❤ s❦❡t❝❤❡❞ ✐♥ ✜❣✉r❡ ✷✳✷✼✳ ▲✉❝❤✐♥✐✬s t❤❡♦r② r❡❧❛t❡ ❛♥ ❤✐❣❤ ✈❛❧✉❡ ♦❢ ∆h t♦ ❛♥ ❤✐❣❤ ❞r❛❣ r❡❞✉❝t✐♦♥❀ s✐♥❝❡ t❤❡ 90◦ s❤♦✇ ❛♥ ❤✐❣❤❡r ∆h t❤❡♥ t❤❡ 120◦ r✐❜❧❡t✱ ✐t s❡❡♠s t♦ ❜❡ t❤❡ ♠♦r❡ ♣r♦♠✐s✐♥❣ ❣❡♦♠❡tr✐❡s ✐♥ t❡r♠s ♦❢ ❞r❛❣ r❡❞✉❝t✐♦♥✳ ❚❤❡r❡❢♦r❡ ✇❡ ❤❛✈❡ ❝❤♦s❡♥ ✐t✳ ▼♦r❡♦✈❡r✱ t❤✐s s❤❛♣❡ s❤♦✇ t❤❡ ❤✐❣❤❡st ✐♥❝r❡❛s❡ ♦❢ t❤❡ ∆h ✈❛❧✉❡ ✇❤❡♥ t❤❡ ❢r❛❝t❛❧✐③❛t✐♦♥ ♣r♦❝❡❞✉r❡ ✐s ❛♣♣❧✐❡❞✳ ❚❤✐s ✐s ❛♥ ✐♠♣♦rt❛♥t ❢❡❛t✉r❡✱ ❜❡❝❛✉s❡ t❤❡ ❢r❛❝t❛❧✐③❛t✐♦♥ ♠♦❞✐❢② t❤❡ r✐❜❧❡t ❣❡♦♠❡tr② ♦♥ t❤❡ s❝❛❧❡ ♦❢ ♥❛♥♦♠❡t❡rs✱ ❤❡♥❝❡ ✇❡ ❝❛♥ s✉♣♣♦s❡ t♦ ❤❛✈❡ s♠❛❧❧ ✈❛r✐❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ✢♦✇✳ ❚❤❡r❡❢♦r❡✱ ❤✐❣❤❡r ✐s t❤❡ ❝❤❛♥❣❡ ✐♥ t❤❡ ∆h ❛♥❞ ❜❡tt❡r ✇❡ ❝❛♥ ❛♣♣r❡❝✐❛t❡ t❤❡ ❝❤❛♥❣✐♥❣ ✐♥ t❤❡ ✢♦✇✳ ❲❡ ❤❛✈❡ ♦♥❧② st✉❞✐❡❞ t❤❡ t❤✐r❞ ✐t❡r❛t✐♦♥ ❜❡❝❛✉s❡ ✐t r❡♣r❡s❡♥t t❤❡ ❧✐♠✐t ❛t ✇❤✐❝❤ t❤❡ ♣r♦tr✉s✐♦♥ ❤❡✐❣❤t ❞♦ ♥♦t ✈❛r② ❛♥②♠♦r❡✳ ■♥ t❛❜❧❡ ✸✳✶ ❛r❡ s❤♦✇♥ t❤❡ ✈❛❧✉❡ ♦❢ t❤❡ ♣r♦tr✉s✐♦♥ ❤❡✐❣❤ts ❢♦r t❤❡ s❡❧❡❝t❡❞ ❝❛s❡s✳

❈❍❆P❚❊❘ ✸✳ ▼❆❈❘❖❙❈❖P■❈ P❘❖❇▲❊▼ ✼✼ ■t❡r❛t✐♦♥ h|| h⊥ ∆h 0.1396 0.0788 0.0608 3 0.1506 0.0783 0.0723 ❚❛❜❧❡ ✸✳✶✿ Pr♦tr✉s✐♦♥ ❤❡✐❣❤ts ❢♦r t❤❡ 90◦ tr✐❛♥❣✉❧❛r r✐❜❧❡t ❛♥❞ ❢♦r ✐ts t❤✐r❞ ❢r❛❝t❛❧✐③❛t✐♦♥✳ ■♥ t❤✐s s❡❝t✐♦♥ t❤❡ ❉◆❙ r❡s✉❧ts ❛r❡ s❤♦✇♥ ❛♥❞ ❝♦♠♠❡♥t❡❞✳ ❚❤r❡❡ ❞✐✛❡r❡♥t ❝❤❛♥♥❡❧s ❤❛✈❡ ❜❡❡♥ st✉❞✐❡❞✿ t❤❡ ❝♦♠♣❧❡t❡❧② s♠♦♦t❤ ❝❤❛♥♥❡❧ ✭t❤❡ s❛♠❡ ✉s❡❞ ❢♦r t❤❡ ✈❛❧✐❞❛t✐♦♥✮✱ t❤❡ ❝❤❛♥♥❡❧ ✇✐t❤ s✐♠♣❧❡ 90◦ tr✐❛♥❣✉❧❛r r✐❜❧❡t ❛♥❞ t❤❡ ❝❤❛♥♥❡❧ ✇✐t❤ t❤❡ t❤✐r❞ ❢r❛❝t❛❧ ✐t❡r❛t✐♦♥ ❢♦r t❤❡ 90◦ r✐❜❧❡t✳ ■t ✐s ✇♦rt❤ t♦ r❡♠❡♠❜❡r t❤❛t t❤❡ ❧♦✇❡r ♣❧❛t❡s ♦❢ t❤❡ r✐❜❧❡t ❝❤❛♥♥❡❧s ✐s t❤❡ ♦♥❡ ✇✐t❤ t❤❡ ❣r♦♦✈❡❞ ✇❛❧❧✳ ❚❤❡ r❡s✉❧ts ♦❜t❛✐♥❡❞ ❛r❡ r❡♣♦rt❡❞ ✐♥ t❛❜❧❡ ✸✳✷✳ ❈❛s❡ Re |∂p/∂x| uτ τwall Reτ DR ❙♠♦♦t❤ 2777 0.00397 0.0634 0.0040 177 − ❚r✐❛♥❣✉❧❛r t✐❜❧❡t 2777 0.00376 0.0613 0.0038 170.4 5.3% ❋r❛❝t❛❧ r✐❜❧❡t 2777 0.00370 0.0608 0.037 168.9 6.8% ❚❛❜❧❡ ✸✳✷✿ ❘❡s✉❧ts ♦❜t❛✐♥❡❞ ❢r♦♠ t❤❡ ❉◆❙ s✐♠✉❧❛t✐♦♥✳ Re ✐s t❤❡ ❘❡②♥♦❧❞s ♥✉♠❜❡r ❜❛s❡❞ ♦♥ t❤❡ ❜✉❧❦ ✈❡❧♦❝✐t②✱ ∂p/∂x ✐s t❤ ♠❡❛♥ ♣r❡ss✉r❡ ❣r❛❞✐❡♥t✱ uτ ✐s t❤❡ ❢r✐❝t✐♦♥ ✈❡❧♦❝✐t②✱ τwall ✐s t❤❡ s❦✐♥ ❢r✐❝t✐♦♥✱ Reτ ✐s t❤❡ ❘❡②♥♦❧❞s ♥✉♠❜❡r ❜❛s❡❞ ♦♥ t❤❡ ❢r✐❝t✐♦♥ ✈❡❧♦❝✐t②✱ DR ✐s t❤❡ ❞r❛❣ r❡❞✉❝t✐♦♥ ♣❡r❝❡♥t❛❣❡✳ ❚❤❡ ✜rst ♣❛r❛♠❡t❡r t❛❦❡♥ ✉♥❞❡r ❝♦♥s✐❞❡r❛t✐♦♥ ✐s t❤❡ ♣r❡ss✉r❡ ❣r❛❞✐❡♥t ❜❡t✇❡❡♥ t❤❡ ♦✉t❧❡t ❛♥❞ t❤❡ ✐♥❧❡t✳ ■t ✐s ❢✉♥❞❛♠❡♥t❛❧ ❜❡❝❛✉s❡ ❛❧❧♦✇ ✉s t♦ ❝♦♠♣✉t❡ t❤❡ ❞r❛❣ ❛♣♣❧✐❡❞ ❜② t❤❡ ✢♦✇ ♦♥ t❤❡ ♣❧❛t❡s ♦❢ t❤❡ ❝❤❛♥♥❡❧✳ ■t ✐s ✇♦rt❤ t♦ ✉♥❞❡r❧✐❡ t❤❛t t❤❡ ❝♦❞❡ ❝♦♠♣✉t❡s t❤❡ ✈❛❧✉❡ ♦❢ t❤❡ ♣r❡ss✉r❡ ❣r❛❞✐❡♥t ❡✈❡r② ✐t❡r❛t✐♦♥✱ ❛♥❞ ✐t ❛✐♠ ❛t ♠❛✐♥t❛✐♥✐♥❣ t❤❡ ❜✉❧❦ ✈❡❧♦❝✐t②✱ ❝♦♠♣✉t❡❞ ❛s s❤♦✇♥ ✐♥ ❡q✉❛t✐♦♥ ✸✳✶✽✱ ❡q✉❛❧ t♦ ♦♥❡✳ Um = 1 2 2 ¯ ud(y/δ) ✭✸✳✶✽✮

❈❍❆P❚❊❘ ✸✳ ▼❆❈❘❖❙❈❖P■❈ P❘❖❇▲❊▼ ✼✽

100 200 300 400 500

Time step

• 5
• 4.5
• 4
• 3.5
• 3

dp/dx

10-3

❋✐❣✉r❡ ✸✳✾✿ Pr❡ss✉r❡ ❣r❛❞✐❡♥t t✐♠❡ ❤✐st♦r② ❢♦r t❤❡ ❝❤❛♥♥❡❧ ✇✐t❤ t❤❡ s♠♦♦t❤ ♣❧❛t❡s✳ ❚❤❡r❡❢♦r❡✱ ❣♦✐♥❣ ♦♥ ✇✐t❤ t❤❡ t✐♠❡st❡♣ t❤❡ ♣r❡ss✉r❡ ❣r❛❞✐❡♥t ♦s❝✐❧❧❛t❡ ✐♥ ♦r❞❡r t♦ ♣✉rs✉❡ t❤❡ ❛❢♦r❡♠❡♥t✐♦♥❡❞ ❝♦♥❞✐t✐♦♥✳ ❋✐❣✉r❡s ✸✳✾✱ ✸✳✶✵ ❛♥❞ ✸✳✶✶ s❤♦✇ t❤❡ ✢✉❝t✉❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ♣r❡ss✉r❡ ❣r❛❞✐❡♥t ❞❡♣❡♥❞✐♥❣ ♦♥ t❤❡ t✐♠❡✳ ■♥ ♦r❞❡r t♦ ♦❜t❛✐♥ t❤❡ ❞r❛❣ r❡❞✉❝t✐♦♥ ❢♦r ❡❛❝❤ ❝❛s❡✱ ✇❡ ♥❡❡❞ t♦ ❝♦♠♣✉t❡ t❤❡ ♠❡❛♥ ✈❛❧✉❡ ♦❢ t❤❡ ♣r❡ss✉r❡ ❣r❛❞✐❡♥t❀ ✐♥ ❢❛❝t✱ ✐t ✐s r❡❧❛t❡❞ t♦ t❤❡ ❞r❛❣ ♣❡r❢♦r♠❡❞ ❢r♦♠ t❤❡ t✇♦ ♣❧❛t❡s ♦♥ t❤❡ ✢♦✇✳ ❚❤❡ ❞r❛❣ r❡❞✉❝t✐♦♥ ❢♦r ❡❛❝❤ ❝❛s❡ ❤❛s ❜❡❡♥ ❝♦♠♣✉t❡❞ ❛s ❢♦❧❧♦✇✱ DR = ∂p ∂x

• − ∂p

∂x

• i

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• x100,

✭✸✳✶✾✮ ✇❤❡r❡ t❤❡ s✉❜s❝r✐♣ts 0 r❡❢❡rs t♦ t❤❡ ✈❛❧✐❞❛t✐♦♥ ❝❛s❡✱ ❛♥❞ t❤❡ s✉❜s❝r✐♣ts i ✐♥❞✐❝❛t❡s t❤❡ ❝❛s❡ ✉♥❞❡r ❝♦♥s✐❞❡r❛t✐♦♥✳ ❉❛t❛ r❡♣♦rt❡❞ ✐♥ t❛❜❧❡ ✸✳✷ r❡✈❡❛❧ t❤❛t t❤❡ s✐♠♣❧❡ tr✐❛♥❣✉❧❛r r✐❜❧❡t s✉r❢❛❝❡s ♣r♦❞✉❝❡ ❛ ♥♦t✐❝❡❛❜❧❡ ❞r❛❣ r❡❞✉❝t✐♦♥ r❡s♣❡❝t t♦ t❤❡ s♠♦♦t❤ ♣❧❛t❡s✳ ▼♦r❡✲ ♦✈❡r✱ ❛s ❡①♣❡❝t❡❞ ❢r♦♠ t❤❡ ✈❛❧✉❡ ♦❢ ∆h✱ t❤❡ ❢r❛❝t❛❧ r✐❜❧❡t ❣❡♥❡r❛t❡ ❛♥ ❡✈❡♥ ❤✐❣❤❡r ❞r❛❣ r❡❞✉❝t✐♦♥✳ ■t s❡❡♠s r❡❛s♦♥❛❜❧❡ t❤❡ ❤②♣♦t❤❡s✐s ♦❢ ▲✉❝❤✐♥✐ t❤❛t ❛♥ ❤✐❣❤❡r ∆h ♣r♦❞✉❝❡s ❛♥ ❤✐❣❤❡r ❞r❛❣ r❡❞✉❝t✐♦♥✳ ❲❡ r❡❝❛❧❧ t❤❛t t❤❡ ❞r❛❣ r❡❞✉❝t✐♦♥ ✐s ♦❜t❛✐♥❡❞ ❢r♦♠ t❤❡ s❧✐♣ ❝♦♥❞✐t✐♦♥ ♦♥ t❤❡ str❡❛♠✲✇✐s❡ ✈❡❧♦❝✐t②✱ t❤❛t ❣✐✈❡ t❤❡ ♠❡❛♥ ✈❡❧♦❝✐t② ♣r♦✜❧❡s s❦❡t❝❤❡❞ ✐♥ ✜❣✉r❡ ✸✳✶✷ ❛♥❞ ✜❣✉r❡ ✸✳✶✸✳ ■t ✐s ❝❧❡❛r ✐♥ ✜❣✉r❡ ✸✳✶✷ ❛♥❞ ✜❣✉r❡ ✸✳✶✸✱ t❤❛t t❤❡ str❡❛♠✲ ✇✐s❡ s❧✐♣ ❜♦✉♥❞❛r② ❝♦♥❞✐t✐♦♥ ❛✛❡❝ts t❤❡ ♠❡❛♥ ✈❡❧♦❝✐t② ♣r♦✜❧❡ ❛s ❡①♣❡❝t❡❞✱ ✐♥ ♣❛rt✐❝✉❧❛r

❈❍❆P❚❊❘ ✸✳ ▼❆❈❘❖❙❈❖P■❈ P❘❖❇▲❊▼ ✼✾

100 200 300 400 500

Time step

• 15
• 10
• 5

5

dp/dx

10-3

❋✐❣✉r❡ ✸✳✶✵✿ Pr❡ss✉r❡ ❣r❛❞✐❡♥t t✐♠❡ ❤✐st♦r② ❢♦r t❤❡ ❝❤❛♥♥❡❧ ✇✐t❤ t❤❡ 90◦ tr✐❛♥❣✉❧❛r r✐❜❧❡t ♣❧❛t❡✳

100 200 300 400 500

Time step

• 15
• 10
• 5

5

dp/dx

10-3

❋✐❣✉r❡ ✸✳✶✶✿ Pr❡ss✉r❡ ❣r❛❞✐❡♥t t✐♠❡ ❤✐st♦r② ❢♦r t❤❡ ❝❤❛♥♥❡❧ ✇✐t❤ t❤❡ t❤✐r❞ ❢r❛❝t❛❧ ✐t❡r❛t✐♦ 90◦ tr✐❛♥❣✉❧❛r r✐❜❧❡t ♣❧❛t❡✳

❈❍❆P❚❊❘ ✸✳ ▼❆❈❘❖❙❈❖P■❈ P❘❖❇▲❊▼ ✽✵

0.5 1 1.5 2

y

5 10 15 20

umean

Smooth case Triangular riblet Fractal riblet

❋✐❣✉r❡ ✸✳✶✷✿ ▼❡❛♥ str❡❛♠✲✇✐s❡ ✈❡❧♦❝✐t② ♣r♦✜❧❡s✳ t❤❡② ❛r❡ ✉♣✇❛r❞ s❤✐❢t❡❞✳ ❆❧❧ t❤❡ r✐❜❧❡tt❡❞ s✉r❢❛❝❡s ❛❧t❡r t❤❡ ❧♦❣❛r✐t❤♠✐❝ ❧❛✇ ❛s u+ = 1 klogy+ + C + ∆U +, ✭✸✳✷✵✮ ✇❤❡r❡ k ≈ 0.41 ✐s t❤❡ ✈♦♥ ❑ár♠á♥ ❝♦♥st❛♥t ❛♥❞ C ≈ 5.2 ❛♥❞ ∆U + ❝❤❛r❛❝t❡r✐③❡s t❤❡ s❤✐❢t ♦❢ t❤❡ ❧♦❣❛r✐t❤♠✐❝ r❡❣✐♦♥✳ ❆ ♣♦s✐t✐✈❡ s❤✐❢t ❝♦rr❡s♣♦♥❞s t♦ ❞r❛❣ r❡❞✉❝t✐♦♥✱ ✇❤❡r❡❛s ❛ ♥❡❣❛t✐✈❡ s❤✐❢t ❝♦rr❡s♣♦♥❞s t♦ ❛ ❞r❛❣ ✐♥❝r❡❛s❡✱ ❛s ♦♥ st❛♥❞❛r❞ r♦✉❣❤ s✉r❢❛❝❡s✳ ❚❤✐s ✈❡❧♦❝✐t② s❤✐❢t ✐s t❤❡ ❦❡② ♣❛r❛♠❡t❡r t♦ ❝❤❛r❛❝t❡r✐③❡ r✐❜❧❡t ❡✛❡❝ts ✭❆✉♣♦✐① ❬✷❪✮✱ ❛♥❞ t❤❡ ❜♦✉♥❞❛r② ❝♦♥❞✐t✐♦♥ ❛❞♦♣t❡❞ ❛r❡ ❛❜❧❡ t♦ r❡♣r♦❞✉❝❡ ✐t✳ ▲♦♦❦✐♥❣ ❛t ✜❣✉r❡ ✸✳✶✸ ✐t ✐s ♣♦ss✐❜❧❡ t♦ ♥♦t❡ t❤❛t t❤❡ ♣r♦✜❧❡ ♦❢ t❤❡ r✐❜❧❡t ❝❛s❡s ❛r❡ ♥♦t ♦♥❧② ✉♣✇❛r❞ s❤✐❢t❡❞✱ ✐♥ ❢❛❝t t❤❡ ❧♦❣❛r✐t❤♠✐❝ ③♦♥❡s ♦❢ t❤❡ ♣r♦✜❧❡s ❛r❡ ♥❡❛r❡r t♦ t❤❡ ✈❛❧✐❞❛t✐♦♥ ❝❛s❡ t❤❡♥ t❤❡ ♥❡❛r t❤❡ ✇❛❧❧ ♣r♦✜❧❡✳ ❆s ❝❛rr✐❡❞ ♦✉t ❜② ❚✳ ▼✐♥ ❛♥❞ ❏✳ ❑✐♠ ❬✷✹❪✱ t❤❡ ♣✉r❡ str❡❛♠✲✇✐s❡ s❧✐♣ ❝♦♥❞✐t✐♦♥ r❡✈❡❛❧s ❛ ♣❡r❢❡❝t❧② ✉♣✇❛r❞ s❤✐❢t❡❞ ♠❡❛♥ ✈❡❧♦❝✐t② ♣r♦✜❧❡✱ ✇❤❡r❡❛s ❢r♦♠ t❤❡ ♣✉r❡ s♣❛♥✲✇✐s❡ s❧✐♣ ❝♦♥❞✐t✐♦♥ ❛✛❡❝t t❤❡ ❧♦❣❛r✐t❤♠✐❝ r❡❣✐♦♥ ✇✐t❤ ❛ ❞♦✇♥✇❛r❞ s❤✐❢t✳ ❊✈❡♥t✉❛❧❧②✱ ✇❤❡♥ ❜♦t❤ t❤❡ s❧✐♣ ❝♦♥❞✐t✐♦♥s ❛r❡ ❛♣♣❧✐❡❞✱ ❛ ❝♦♠❜✐♥❛t✐♦♥ ♦❢ ❜❡❤❛✈✐♦r ❛r✐s❡✱ ❛s ✇❡ ❤❛✈❡ ♦❜t❛✐♥❡❞ ✐♥ ✜❣✉r❡ ✸✳✶✸✳ ❚❤❡ ✉♣✇❛r❞ s❤✐❢t ✐s ♥♦t✐❝❡❛❜❧❡ ❜❡t✇❡❡♥ t❤❡ s♠♦♦t❤ ❝❤❛♥♥❡❧ ❛♥❞ t❤❡ r✐❜❧❡t ❝❤❛♥♥❡❧s✱ ✇❤❡r❡❛s ✐t ✐s ❛❧♠♦st ③❡r♦ ❜❡t✇❡❡♥ t❤❡ ❢r❛❝t❛❧ ❛♥❞ t❤❡ s✐♠♣❧❡ r✐❜❧❡t ❝❤❛♥♥❡❧✳ ❚❤❡ q✉❛♥t✐t② t❤❛t r❡❛❧❧② ❝♦♥tr✐❜✉t❡ t♦ t❤❡ ❞r❛❣ r❡❞✉❝t✐♦♥ ✐s t❤❡ ❣r❛❞✐❡♥t ♦❢ t❤❡

❈❍❆P❚❊❘ ✸✳ ▼❆❈❘❖❙❈❖P■❈ P❘❖❇▲❊▼ ✽✶

100 101 102 103

y+

5 10 15 20

u+

Smooth case Triangular riblet Fractal riblet

❋✐❣✉r❡ ✸✳✶✸✿ ▼❡❛♥ str❡❛♠✲✇✐s❡ ✈❡❧♦❝✐t② ♣r♦✜❧❡s ♣❧♦tt❡❞ ♦♥ t❤❡ y+ ❝♦♦r❞✐♥❛t❡ ✭❡①♣r❡ss ✐♥ ✇❛❧❧ ✉♥✐ts✮ ✐♥ s❡♠✐✲❧♦❣❛r✐t♠✐❝ s❝❛❧❡✳ ✈❡❧♦❝✐t② ✐♥ t❤❡ y ❞✐r❡❝t✐♦♥✱ ✐♥ ❢❛❝t ✐t ✐s r❡❧❛t❡❞ t♦ t❤❡ s❦✐♥ ❢r✐❝t✐♦♥ ❜② ✇❡❧❧ ❦♥♦✇♥ r❡❧❛t✐♦♥ ✸✳✷✶ τwall = ρν ∂u ∂y

• wall

+ ρu′v′, ✭✸✳✷✶✮ ✇❤❡r❡ ∂u/∂y r❡♣r❡s❡♥t t❤❡ ♠❡❛♥ ♣r♦✜❧❡ s❧♦♣❡ ❛t t❤❡ ✇❛❧❧✳ ❆s s❦❡t❝❤❡❞ ✐♥ ✜❣✉r❡ ✸✳✶✹ ❢r❛❝t❛❧ r✐❜❧❡t s❤♦✇s t❤❡ ❧♦✇❡r s❧♦♣❡✳ ❆❣❛✐♥ t❤❡ ❞✐✛❡r❡♥❝❡ ❜❡t✇❡❡♥ t❤❡ t✇♦ r✐❜❧❡t ❝❤❛♥♥❡❧ ✐s q✉✐t❡ s♠❛❧❧✱ ❛♥❞ ✐t ❝❛♥♥♦t ❛❧♦♥❡ ❥✉st✐❢② t❤❡ ❞r❛❣ r❡❞✉❝t✐♦♥ ♦❜t❛✐♥❡❞ ✇✐t❤ t❤❛ ❢r❛❝t❛❧ r✐❜❧❡t✱ t❤❡r❡❢♦r❡ ✐t ✐s ✐♠♣♦rt❛♥t ❧♦♦❦✐♥❣ ❛t t❤❡ t✉r❜✉❧❡♥t ❡✛❡❝t✳ ❚❤❡ s❦✐♥ ❢r✐❝t✐♦♥ ✐s ❞✐r❡❝t❧② r❡❧❛t❡❞ t♦ t❤❡ s❤❡❛r ✈❡❧♦❝✐t②✱ τwall ρ = u2

τ,

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❈❍❆P❚❊❘ ✸✳ ▼❆❈❘❖❙❈❖P■❈ P❘❖❇▲❊▼ ✽✷

0.002 0.004 0.006 0.008 0.01

y

5 10 15 20 Smooth case Triangular riblet Fractal riblet

❋✐❣✉r❡ ✸✳✶✹✿ ◆❡❛r ✇❛❧❧ t❛♥❣❡♥ts t♦ t❤❡ ♠❡❛♥ str❡❛♠✲✇✐s❡ ✈❡❧♦❝✐t② ♣r♦✜❧❡s✳

100 200 300 400 500

Time step

0.05 0.055 0.06 0.065 0.07

Shear velocity

❋✐❣✉r❡ ✸✳✶✺✿ uτ t✐♠❡ ❤✐st♦r② ❢♦r t❤❡ s✐♠♣❧❡ 90◦ tr✐❛♥❣✉❧❛r r✐❜❧❡t✳

❈❍❆P❚❊❘ ✸✳ ▼❆❈❘❖❙❈❖P■❈ P❘❖❇▲❊▼ ✽✸

100 200 300 400 500

Time step

0.05 0.055 0.06 0.065 0.07

Shera velocity

❋✐❣✉r❡ ✸✳✶✻✿ uτ t✐♠❡ ❤✐st♦r② ❢♦r t❤❡ t❤✐r❞ ❢r❛❝t❛❧✐③❛t✐♦♥ ❢♦r t❤❡ 90◦ tr✐❛♥❣✉❧❛r r✐❜❧❡t✳

0.2 0.4 0.6 0.8 1

y

0.5 1 1.5 2 2.5 3

urms

Smooth case Triangular riblet Fractal riblet

❋✐❣✉r❡ ✸✳✶✼✿ ❘♦♦t ♠❡❛♥ sq✉❛r❡ ♦❢ t❤❡ str❡❛♠✲✇✐s❡ ✈❡❧♦❝✐t②✳ ❊❛❝❤ ❝❛s❡ ✐s ♥♦r♠❛❧✐③❡❞ ❜② t❤❡ ❛❝t✉❛❧ ✈❛❧✉❡ ♦❢ uτ✳

❈❍❆P❚❊❘ ✸✳ ▼❆❈❘❖❙❈❖P■❈ P❘❖❇▲❊▼ ✽✹

0.2 0.4 0.6 0.8 1

y

0.2 0.4 0.6 0.8 1

vrms

Smooth case Triangular riblet Fractal riblet

❋✐❣✉r❡ ✸✳✶✽✿ ❘♦♦t ♠❡❛♥ sq✉❛r❡ ♦❢ t❤❡ ♥♦r♠❛❧ ✈❡❧♦❝✐t②✳ ❊❛❝❤ ❝❛s❡ ✐s ♥♦r♠❛❧✐③❡❞ ❜② t❤❡ ❛❝t✉❛❧ ✈❛❧✉❡ ♦❢ uτ✳

0.2 0.4 0.6 0.8 1

y

0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

wrms

Smooth case Triangular riblet Fractal riblet

❋✐❣✉r❡ ✸✳✶✾✿ ❘♦♦t ♠❡❛♥ sq✉❛r❡ ♦❢ t❤❡ s♣❛♥✲✇✐s❡ ✈❡❧♦❝✐t②✳ ❊❛❝❤ ❝❛s❡ ✐s ♥♦r♠❛❧✐③❡❞ ❜② t❤❡ ❛❝t✉❛❧ ✈❛❧✉❡ ♦❢ uτ✳

❈❍❆P❚❊❘ ✸✳ ▼❆❈❘❖❙❈❖P■❈ P❘❖❇▲❊▼ ✽✺ ❋✐❣✉r❡ ✸✳✷✵✿ ❈♦♥t♦✉r ♦❢ t❤❡ str❡❛♠✲✇✐s❡ ✈♦rt✐❝✐t② ✐♥ t❤❡ z − y ♣❧❛♥❡ ❢♦r t❤❡ s✐♠♣❧❡ r✐❜❧❡t ❝❤❛♥♥❡❧✳ ❛♥ ❤✐❣❤❡r ✈❛❧✉❡✳ ■t ✐s ♣♦ss✐❜❧❡ t♦ ❛r❣✉❡ t❤❛t t❤❡ ◆❛✈✐❡r ❜♦✉♥❞❛r② ❝♦♥❞✐t✐♦♥ ❣❡♥❡r❛t❡ ❛♥ ✐♥❝r❡♠❡♥t ♦❢ t❤❡ t✉r❜✉❧❡♥t ✐♥t❡♥s✐t② ♦❢ t❤❡ str❡❛♠✲✇✐s❡ ❝♦♠♣♦♥❡♥ts ♦❢ t❤❡ ✈❡❧♦❝✐t②✳ ❚❤✐s s❡❡♠s t♦ ❜❡ ✐♥ ❝♦♥tr❛st ✇✐t❤ t❤❡ ❞r❛❣ r❡❞✉❝t✐♦♥✱ ❤♦✇❡✈❡r ✐❢ ✇❡ ❧♦♦❦ ❛t t❤❡ ✜❣✉r❡ ✸✳✶✽ ❛♥❞ ✜❣✉r❡ ✸✳✶✾ ✇❡ ❝❛♥ ✜❣✉r❡ ♦✉t t❤❡ ♣r♦❜❧❡♠✳ ■t ✐s ♣♦ss✐❜❧❡ t♦ ♥♦t❡ ✭✐♥ ❜♦t❤ t❤❡ ✜❣✉r❡✮ t❤❛t t❤❡ t❤r❡❡ ❝✉r✈❡s ♦❢ t❤❡ r♦♦t ♠❡❛♥ sq✉❛r❡ ♦❢ t❤❡ s♣❛♥✲✇✐s❡ ✈❡❧♦❝✐t✐❡s ❝♦✐♥❝✐❞❡ ♥❡❛r t❤❡ ✇❛❧❧✱ ❜✉t ❛t ❝❡rt❛✐♥ y ❝♦♦r❞✐♥❛t❡s t❤❡ s✐♠♣❧❡ r✐❜❧❡t r♦♦t ♠❡❛♥ sq✉❛r❡ ❣r♦✇ ✉♣ s❧♦✇❧② t❤❡♥ t❤❡ s♠♦♦t❤ ❝❛s❡✱ ❛♥❞ t❤❡ r♦♦t ♠❡❛♥ sq✉❛r❡ ♦❢ t❤❡ ❢r❛❝t❛❧ r✐❜❧❡t ❣r♦✇ ✉♣ ❡✈❡♥ ♠♦r❡ s❧♦✇❧② t❤❡♥ t❤❡ s✐♠♣❧❡ tr✐❛♥❣✉❧❛r r✐❜❧❡t✳ ❚❤❡ ✈❡❧♦❝✐t✐❡s ❝♦♠♣♦♥❡♥ts ♣❧♦tt❡❞ ✐♥ ✜❣✉r❡ ✸✳✶✽ ❛♥❞ ✸✳✶✾ ❛r❡ r❡s♣♦♥s✐❜❧❡ ♦❢ t❤❡ str❡❛♠✲✇✐s❡ ✈♦rt❡①✱ t❤❡r❡❢♦r❡ ❛ r❡❞✉❝t✐♦♥ ♦❢ ❜♦t❤ t❤❡ r♦♦t ♠❡❛♥ sq✉❛r❡ ✐♥❞✐❝❛t❡s ❛ ❞✉♠♣✐♥❣ ♦❢ t❤❡ ❝r♦ss ✢♦✇✳ ❚❤❡ r♠s ❢❡❛t✉r❡s r❡✈❡❛❧ t❤❛t t❤❡ s❧✐♣ ❝♦♥❞✐t✐♦♥ ❛r❡ ❛❜❧❡ t♦ r❡♣r♦❞✉❝❡ t❤❡ r✐❜❧❡t ❡✛❡❝t✱ ✇❤✐❝❤ ✇♦r❦s t❤r♦✉❣❤ t❤❡ r❡❞✉❝t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ❝r♦ss✲✢♦✇✳ ❚❤❡ r❡❞✉❝t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ t✉r❜✉❧❡♥❝❡ ❧❡✈❡❧ ❝❛♥ ❜❡ ❝♦♥✜r♠❡❞ ❜② t❤❡ ✈❛❧✉❡s ♦❢ t❤❡ str❡❛♠✲ ✇✐s❡ ❛♥❞ t❤❡ s♣❛♥✲✇✐s❡ ✈♦rt✐❝✐t②✳ ■♥ ✜❣✉r❡ ✸✳✷✵ ✐s ♣r❡s❡♥t❡❞ t❤❡ ❝♦♥t♦✉r ♦❢ t❤❡ str❡❛♠✲ ✇✐s❡ ✈♦rt✐❝✐t② ✐♥ t❤❡ z − y ♣❧❛♥❡❀ t❤❡ ❜♦tt♦♠ s✐❞❡ ♦❢ t❤❡ ❝❤❛♥♥❡❧ ♣r❡s❡♥t t❤❡ ❣r♦♦✈❡❞ s✉r❢❛❝❡ ✭❤❡r❡ ✐s ❛♣♣❧✐❡❞ t❤❡ s❧✐♣ ❝♦♥❞✐t✐♦♥✮✱ ❛♥❞ t❤❡ t♦♣ s✐❞❡ t❤❡ s♠♦♦t❤ ✇❛❧❧ ✭❤❡r❡ ✐s ❛♣♣❧✐❞❡ t❤❡ ♥♦✲s❧✐♣ ❝♦♥❞✐t✐♦♥✮✳ ■t ✐s ♣♦ss✐❜❧❡ t♦ ♥♦t❡ t❤❛t ♥❡❛r t❤❡ ♥♦✲s❧✐♣ ✇❛❧❧ ❛r❡ ❧♦❝❛t❡❞ ❛ ❧♦t ♦❢ s♣♦ts ♦❢ ❤✐❣❤ ✈♦rt✐❝✐t②✱ ✇❤❡r❡❛s t❤❡ r✐❜❧❡t s✉r❢❛❝❡s s❤♦✇ ❛ ❧♦✇❡r ❣❡♥❡r❛t✐♦♥ ♦❢ t✉r❜✉❧❡♥❝❡ s♣♦ts ❛♥❞ t❤❡ ♠❛❣♥✐t✉❞❡ ♦❢ ✈♦rt✐❝✐t② ✐s s♠❛❧❧❡r✳ ❚❤❡ ❜❡❤❛✈✐♦r ✐s ❞✉❡ t♦ t❤❡ r❡❞✉❝t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ❜✉rst✐♥❣ ❝②❝❧❡✳✳ ❋✐❣✉r❡ ✸✳✷✵ ❝♦♥✜r♠s t❤❛t t❤❡ t✉r❜✉❧❡♥t ✐♥t❡♥s✐t② ✐s r❡❞✉❝❡❞ ❜② t❤❡ r✐❜❧❡t ✇❛❧❧✳ ■♥ ✜❣✉r❡ ✸✳✷✶ ✐t ✐s ♣♦ss✐❜❧❡ t♦ ♦❜s❡r✈❡ t❤❡ s♣❛♥✲

❈❍❆P❚❊❘ ✸✳ ▼❆❈❘❖❙❈❖P■❈ P❘❖❇▲❊▼ ✽✻ ❋✐❣✉r❡ ✸✳✷✶✿ ❈♦♥t♦✉r ♦❢ t❤❡ s♣❛♥✲✇✐s❡ ✈♦rt✐❝✐t② ✐♥ t❤❡ x − y ♣❧❛♥❡ ❢♦r t❤❡ s✐♠♣❧❡ r✐❜❧❡t ❝❤❛♥♥❡❧✳ ✇✐s❡ ✈♦rt✐❝✐t② ✐♥ t❤❡ x−y ♣❧❛♥❡❀ ❛❣❛✐♥✱ t❤❡ ❧♦✇❡r ✇❛❧❧ ♣r❡s❡♥ts t❤❡ r✐❜❧❡t ❛♥❞ t❤❡ ✉♣♣❡r ♦♥❡ ✐s s♠♦♦t❤✳ ■t ✐s ❝❧❡❛r t❤❛t ✐♥ t❤❡ ✉♣♣❡r ③♦♥❡ ♦❢ t❤❡ ❝❤❛♥♥❡❧ ❛♥ ❤✐❣❤❡r ❞✐str✐❜✉t✐♦♥ ♦❢ ✈♦rt❡① ✐s ♣r❡s❡♥t✳ ❚❤✐s ❡✛❡❝t ❝❛♥ ❜❡ r❡❧❛t❡❞ t♦ t❤❡ ❣❡♥❡r❛t✐♦♥ ♦❢ ✈♦rt✐❝❡s ✐♥ t❤❡ ♥❡❛r ✇❛❧❧ r❡❣✐♦♥✳ ■♥ ♦r❞❡r t♦ ❛ss❡s t❤❡ ❡✛❡❝t ♦❢ t❤❡ r❡②♥♦❧❞s ♥✉♠❜❡r✱ t❤❡ ❉◆❙ ❤❛s ❜❡❡♥ ♣❡r❢♦r♠❡❞ ❛t Re = 2200 ❛♥❞ Re = 3500✳ ❚❤❡ r❡s✉❧ts ♦❜t❛✐♥❡❞ ❛r❡ ♣r❡s❡♥t❡❞ ✐♥ t❛❜❧❡ ✸✳✸ ❛♥❞ s❤♦✇♥ ✐♥ ✜❣✉r❡ ✸✳✷✷✳ ❈❛s❡ Re |∂p/∂x| uτ Reτ ❙♠♦♦t❤ 2200 0.00395 0.0628 142 ❙♠♦♦t❤ 2800 0.00397 0.0634 177 ❙♠♦♦t❤ 3500 0.00370 0.0607 217 ❘✐❜❧❡t 2200 0.00385 0.0621 141 ❘✐❜❧❡t 2800 0.00376 0.0631 170 ❘✐❜❧❡t 3500 0.00351 0.0652 232 ❚❛❜❧❡ ✸✳✸✿ ❉◆❙ r❡s✉❧ts ❢♦r t❤❡ s♠♦♦t❤ ❣❡♦♠❡tr② ❛♥❞ t❤❡ 90◦ tr✐❛♥❣✉❧❛r r✐❜❧❡t ❛t ❞✐❢✲ ❢❡r❡♥t r❡②♥♦❧❞s ♥✉♠❜❡r✳ ■t ✐s ♣♦ss✐❜❧❡ t♦ ♥♦t❡ t❤❡ ❧✐♥❡❛r tr❡♥❞ ❢♦r ❜♦t❤ t❤❡ s♠♦♦t❤ ❛♥❞ t❤❡ r✐❜❧❡t ♣❧❛t❡s✱ ✇❤✐❝❤

❈❍❆P❚❊❘ ✸✳ ▼❆❈❘❖❙❈❖P■❈ P❘❖❇▲❊▼ ✽✼

140 160 180 200 220 240

Re

3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 3.9 4 4.1 4.2

dp/dx

10-3 Smooth fit RIblet fit

❋✐❣✉r❡ ✸✳✷✷✿ Pr❡ss✉r❡ ❣r❛❞✐❡♥t ❛t ❞✐✛❡r❡♥t r❡②♥♦❧❞s ♥✉♠❜❡r✳ ✐♥❞✐❝❛t❡ ❛ r❡❞✉❝t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ❞r❛❣ ✇❤❡♥ t❤❡ ❘❡②♥♦❧❞s ♥✉♠❜❡r ✐♥❝r❡❛s❡✳ ❚❤❡ r✐❜❧❡t ♣❧❛t❡s r❡s✉❧ts s❤✐❢t❡❞ ❞♦✇♥✱ ❛♥❞ t❤✐s ❝♦♥✜r♠ t❤❛t ✐t ✐s ♣♦ss✐❜❧❡ t♦ ♦❜t❛✐♥ ❛ ❞r❛❣ r❡❞✉❝t✐♦♥ ❢♦r ❡❛❝❤ r❡②♥♦❧❞s ♥✉♠❜❡r ❤❡r❡✐♥ ❝♦♥s✐❞❡r❡❞✳

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