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❊①❛♠♣❧❡ ▲✐sts ▲✐st❈ : ❙❡t → ❉❡s❝ ▲✐st❈ ❆ = ❛r❣ [❝♥✐❧ ❝❝♦♥s] ❭① → ❝❛s❡ ① ♦❢ ❝♥✐❧ → ❞♦♥❡ ❝❝♦♥s → ❛r❣ ❆ ❭❴ → ✐♥❞ 1 ❞♦♥❡ ♥✐❧ : {❆ : ❙❡t} → µ (▲✐st❈ ❆) ♥✐❧ : ✐♥tr♦ (❝♥✐❧, ) ❝♦♥s : {❆ : ❙❡t} → ❆ → µ (▲✐st❈ ❆) → µ (▲✐st❈ ❆) ❝♦♥s ❛ ❛s = ✐♥tr♦ (❝❝♦♥s, (❛, ❛s, ))

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❊❧✐♠✐♥❛t✐♦♥

■♥❞✉❝t✐♦♥

: (φ : ❉❡s❝) (❉ : ❙❡t) (P : ❉ → ❙❡t) (✈ : φ ❉) → ❙❡t ❞♦♥❡ ❉ P ✈ = 1 (❛r❣ ❆ φ) ❉ P (❛, ❜) = (φ ❛) ❉ P ❜ (✐♥❞ ❍ φ) ❉ P (❛, ❜) = Σ ((❤ : ❍) → P (❛ ❤)) ❭❴ → φ ❉ P ❜ ♠❛♣ : (φ : ❉❡s❝) (❉ : ❙❡t) (P : ❉ → ❙❡t) (♣ : (❞ : ❉) → P ❞) (✈ : φ ❉) → φ ❉ P ✈ ♠❛♣ ❞♦♥❡ ❉ P ♣ ✈ = ♠❛♣ (❛r❣ ❆ φ) ❉ P ♣ (❛, ❜) = ♠❛♣ (φ ❛) ❉ P ♣ ❜ ♠❛♣ (✐♥❞ ❍ φ) ❉ P ♣ (❛, ❜) = (❭❤ → ♣ (❛ ❤)), ♠❛♣ φ ❉ P ♣ ❜ ❡❧✐♠ : (φ : ❉❡s❝) (P : µ φ → ❙❡t) (♣ : (① : φ (µ φ)) → φ (µ φ) P ① → P (✐♥tr♦ ①)) (✈ : µ φ) → P ✈ ❡❧✐♠ φ P ♣ (✐♥tr♦ ✈) = ♣ ✈ (♠❛♣ φ (µ φ) P (❡❧✐♠ φ P ♣) ✈)

❯♥✐✈❡rs❡s ❯♥✐✈❡rs❡s ♦❢ ❉❛t❛ ■♥❞✉❝t✐✈❡ ❋❛♠✐❧✐❡s

❚❤❡ ❙②♥t❛① ♦❢ ■♥❞✉❝t✐✈❡ ❋❛♠✐❧✐❡s

❲❡ ❝❛♥ ❡①t❡♥❞ ♦✉r s②♥t❛① t♦ ✐♥❝❧✉❞❡ t❤❡ ♥❡❝❡ss❛r② ✐♥❞❡①✐♥❣ ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥✿ ❆ s②♥t❛① ❞❛t❛ ❉❡s❝ (■ : ❙❡t) : ❙❡t ✇❤❡r❡ ❞♦♥❡ : ■ → ❉❡s❝ ■ ❛r❣ : (❆ : ❙❡t) → (φ : ❆ → ❉❡s❝ ■) → ❉❡s❝ ■ ✐♥❞ : (❍ : ❙❡t) → (✐s : ❍ → ■) → (φ : ❉❡s❝ ■) → ❉❡s❝ ■ ❊✈❡r② ❞❡s❝r✐♣t✐♦♥ ❣✐✈❡s r✐s❡ t♦ ❛♥ ■✲✐♥❞❡①❡❞ ❢✉♥❝t♦r✿ ■♥t❡r♣r❡t✐♥❣ t❤❡ s②♥t❛① ❴ : {■ : ❙❡t} → ❉❡s❝ ■ → (■ → ❙❡t) → (■ → ❙❡t) ❞♦♥❡ ❥ ❉ ✐ = ✐ ≡ ❥ ❛r❣ ❆ φ ❉ ✐ = Σ ❆ ❭❛ → φ ❛ ❉ ✐ ✐♥❞ ❍ ✐s φ ❉ ✐ = Σ ((❤ : ❍) → ❉ (✐s ❤)) ❭❤ → φ ❉ ✐

❯♥✐✈❡rs❡s ❯♥✐✈❡rs❡s ♦❢ ❉❛t❛ ■♥❞✉❝t✐✈❡ ❋❛♠✐❧✐❡s

❚❤❡ ❙②♥t❛① ♦❢ ■♥❞✉❝t✐✈❡ ❋❛♠✐❧✐❡s ✭✷✮

❚❤❡ ✐♥✐t✐❛❧ ❛❧❣❡❜r❛s ♦❢ t❤❡s❡ ❢✉♥❝t♦rs ❛r❡ ♦✉r ❞❛t❛ t②♣❡s✿ ■♥✐t✐❛❧ ❆❧❣❡❜r❛s ❞❛t❛ µ {■ : ❙❡t} (φ : ❉❡s❝ ■) : ■ → ❙❡t ✇❤❡r❡ ✐♥tr♦ : {✐ : ■} → φ (µ φ) ✐ → µ φ ✐ ❇② ❛❞❞✐♥❣ t❤✐s ❛s ❛ r✉❧❡ t♦ ♦✉r ❚❚ ✇❡ ❡♥❝♦❞❡ ✐♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ r✉❧❡s ❢♦r ❛❧❧ ✐♥❞✉❝t✐✈❡ ❢❛♠✐❧✐❡s ✐♥ ♦♥❡ ❣♦✳

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❊①❛♠♣❧❡ ❱❡❝t♦rs ❱❡❝❈ : ❙❡t → ❉❡s❝ ◆❛t ❱❡❝❈ ❆ = ❛r❣ [❝♥✐❧ ❝❝♦♥s] ❭① → ❝❛s❡ ① ♦❢ ❝♥✐❧ → ❞♦♥❡ ③❡r♦ ❝❝♦♥s → ❛r❣ ◆❛t ❭♥ → ❛r❣ ❆ ❭❴ → ✐♥❞ 1 (❭❴ → ♥) ❞♦♥❡ (s✉❝❝ ♥) ♥✐❧ : {❆ : ❙❡t} → µ (❱❡❝❈ ❆) ③❡r♦ ♥✐❧ : ✐♥tr♦ (❝♥✐❧, r❡✢) ❝♦♥s : ∀ {♥ ❆} → ❆ → µ (❱❡❝❈ ❆) ♥ → µ (❱❡❝❈ ❆) (s✉❝❝ ♥) ❝♦♥s {♥} ❛ ❛s = ✐♥tr♦ (❝❝♦♥s, (♥, ❛, ❛s, r❡✢))

❯♥✐✈❡rs❡s ❯♥✐✈❡rs❡s ♦❢ ❉❛t❛ ■♥❞✉❝t✐✈❡ ❋❛♠✐❧✐❡s

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: {■ : ❙❡t} (φ : ❉❡s❝ ■) (❉ : ■ → ❙❡t) (P : {✐ : ■} → ❉ ✐ → ❙❡t) {✐ : ■} → (✈ : φ ❉ ✐) → ❙❡t (❞♦♥❡ ✐) ❉ P r❡✢ = 1 (❛r❣ ❆ φ) ❉ P (❛, ❜) = (φ ❛) ❉ P ❜ (✐♥❞ ❍ ✐s φ) ❉ P (❛, ❜) = Σ ((❤ : ❍) → P (❛ ❤)) ❭❴ → φ ❉ P ❜ ♠❛♣ : {■ : ❙❡t} (φ : ❉❡s❝ ■) (❉ : ■ → ❙❡t) (P : {✐ : ■} → ❉ ✐ → ❙❡t) (♣ : {✐ : ■} (❞ : ❉ ✐) → P ❞) {✐ : ■} (✈ : φ ❉ ✐) → φ ❉ P ✈ ♠❛♣ (❞♦♥❡ ✐) ❉ P ♣ r❡✢ = ♠❛♣ (❛r❣ ❆ φ) ❉ P ♣ (❛, ❜) = ♠❛♣ (φ ❛) ❉ P ♣ ❜ ♠❛♣ (✐♥❞ ❍ ✐s φ) ❉ P ♣ (❛, ❜) = (❭❤ → ♣ (❛ ❤)), ♠❛♣ φ ❉ P ♣ ❜ ❡❧✐♠ : {■ : ❙❡t} (φ : ❉❡s❝ ■) (P : {✐ : ■} → µ φ ✐ → ❙❡t) (♣ : {✐ : ■} (① : φ (µ φ) ✐) → φ (µ φ) P ① → P (✐♥tr♦ ①)) {✐ : ■} (✈ : µ φ ✐) → P ✈ ❡❧✐♠ φ P ♣ (✐♥tr♦ ✈) = ♣ ✈ (♠❛♣ φ (µ φ) P (❡❧✐♠ φ P ♣) ✈)

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❲❤❛t ❞♦❡s t❤✐s ❜✉② ✉s❄

• ✐✈❡♥ ❛ ❚②♣❡ ❚❤❡♦r② ✇✐t❤ ✜♥✐t❡ t②♣❡s ❛♥❞ s✐❣♠❛ t②♣❡s ✇❡ ❝❛♥

❛❞❞ ❞❛t❛t②♣❡s ❜② ❛❞❞✐♥❣ t❤❡ r✉❧❡s ❢♦r t❤❡ ✉♥✐✈❡rs❡ ❞❡s❝r✐❜❡❞ ❛❜♦✈❡✳ ❚❤✐s ♥❡✇ t②♣❡ t❤❡♦r② ✐s ❝❧♦s❡❞ ✉♥❞❡r t❤❡ ❞❡✜♥✐t✐♦♥ ♦❢ ♥❡✇ ❞❛t❛✲t②♣❡s✱ ✐♥ s♦♠❡ s❡♥s❡ t❤❡② ❛r❡ ❛❧r❡❛❞② ♣r❡s❡♥t ✐♥ t❤❡ t❤❡♦r②✳ ■♥ ❢❛❝t✱ ✇❡ ❝❛♥ ❣♦ ❢✉rt❤❡r✱ s✐♥❝❡ t❤❡ ❞❛t❛ t②♣❡s ❉❡s❝ ❛♥❞ µ ❛r❡ t❤❡♠s❡❧✈❡s ✐♥❞✉❝t✐✈❡ ❢❛♠✐❧✐❡s✱ ✇❡ s❤♦✉❧❞ ❜❡ ❛❜❧❡ t♦ ❞❡✜♥❡ t❤❡♠ ❛s ❝♦❞❡s ✐♥ t❤❡ ❉❡s❝ ✉♥✐✈❡rs❡✳ ❇✉t t❤❛t✬s ❛ ❜✐t ❝✐r❝✉❧❛r✱ s♦ ✇❡ ♥❡❡❞ ❛ ❤✐❡r❛r❝❤② ♦❢ ❞❛t❛ ✉♥✐✈❡rs❡s Desci : Desci+1✳ ■♥ t❤✐s ✇❛② ✇❡ ♦♥❧② ❤❛✈❡ t♦ ❛❞❞ r✉❧❡s t♦ ♦✉r ❚❚ ❢♦r ❴ ❛♥❞ ❡❧✐♠✳

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