rs rs r rs t - - PowerPoint PPT Presentation

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■♥✈❡rs❡ ♣r♦❜❧❡♠s ❢♦r ❛ ❙❡❧❧❡rs t②♣❡ ❝❧✐♠❛t❡ ♠♦❞❡❧

❏❛❝q✉❡s ❚❖❘❚ ✐♥ ❝♦❧❧❛❜♦r❛t✐♦♥ ✇✐t❤ ❏✉❞✐t❤ ❱❛♥❝♦st❡♥♦❜❧❡

■♥st✐t✉t ❞❡ ▼❛t❤é♠❛t✐q✉❡s ❞❡ ❚♦✉❧♦✉s❡ ❯♥✐✈❡rs✐té P❛✉❧ ❙❛❜❛t✐❡r✱ ❚♦✉❧♦✉s❡ ■■■

❍❈❉❚❊✱ ❙■❙❙❆✱ ❚r✐❡st❡ ✱ ❏✉❧② ✵✹✲✵✽✱ ✷✵✶✶

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P❛rt ♦❢ t❤❡ ✇♦r❦ ✐♥ ❝♦❧❧❛❜♦r❛t✐♦♥ ✇✐t❤

P✳ ❈❛♥♥❛rs❛✱ ❯♥✐✈❡rs✐t② ❚♦r ❱❡❣❛t❛✱ ❘♦♠❛✳ ▼✳ ❨❛♠❛♠♦t♦✱ ❯♥✐✈❡rs✐t② ♦❢ ❚♦❦②♦

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❈♦♥t❡♥ts

■✳ ❚❤❡ ❇✉❞②❦♦✲❙❡❧❧❡rs ❝❧✐♠❛t❡ ♠♦❞❡❧ ■■✳ ❆♥ ♦✈❡r✈✐❡✇ ♦❢ ▲✐♣s❝❤✐t③ st❛❜✐❧✐t② r❡s✉❧ts ❢♦r ♣❛r❛❜♦❧✐❝ ❡q✉❛t✐♦♥s ■■■✳ ❆ ❝❧❛ss ♦❢ ❧✐♥❡❛r ❞❡❣❡♥❡r❛t❡ ✶✲❉ ♣❛r❛❜♦❧✐❝ ❡q✉❛t✐♦♥s ■❱✳ ■♥✈❡rs❡ Pr♦❜❧❡♠s ❢♦r t❤❡ ❧✐♥❡❛r ✶✲❉ ❞❡❣❡♥❡r❛t❡ ❡q✉❛t✐♦♥ ❱✳ ❲❡❧❧✲♣♦s❡❞♥❡ss ❢♦r t❤❡ ✶✲❉ ❙❡❧❧❡rs ♠♦❞❡❧ ❱■✳ ❆ ✉♥✐q✉❡♥❡ss ❛♥❞ ▲✐♣s❝❤✐t③ st❛❜✐❧✐t② r❡s✉❧t ❢♦r t❤❡ ✐♥s♦❧❛t✐♦♥ ❢✉♥❝t✐♦♥ ❱■■✳ ❙♦♠❡ r❡❧❛t❡❞ ✇♦r❦s ❛♥❞ ♣❡rs♣❡❝t✐✈❡s

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■✳ ❚❤❡ ❇✉❞②❦♦✲❙❡❧❧❡rs ❝❧✐♠❛t❡ ♠♦❞❡❧ ✭✶✾✻✾✮

❚❤❡ ♠♦❞❡❧

❈❧✐♠❛t❡ ✿ ✉❂ ❊❛rt❤ s✉r❢❛❝❡ t❡♠♣❡r❛t✉r❡✳ ❊✈♦❧✉t✐♦♥ ♦❢ ✐❝❡ ❝♦✈❡r✐♥❣✳ ▲♦♥❣ t✐♠❡ s❝❛❧❡ ♦r s❡❛s♦♥❛❧ ♠♦❞❡❧✳ ■♠♣❛❝t ♦❢ ♣♦❧❧✉t✐♦♥✳

❚❤❡ ♠♦❞❡❧ ❡q✉❛t✐♦♥

✉t − ❞✐✈M(❦(①)∇✉) = ❘❛(t, ①, ✉) − ❘❡(t, ①, ✉), ✉(✵) = ✉✵.

M ❂ ❊❛rt❤ s✉r❢❛❝❡ ✭r✐❡♠❛♥♥✐❛♥ ♠❛♥✐❢♦❧❞✮

✹✴✸✷

■✳ ❚❤❡ ❇✉❞②❦♦✲❙❡❧❧❡rs ❝❧✐♠❛t❡ ♠♦❞❡❧ ✭✶✾✻✾✮

❚❤❡ ♠♦❞❡❧

❈❧✐♠❛t❡ ✿ ✉❂ ❊❛rt❤ s✉r❢❛❝❡ t❡♠♣❡r❛t✉r❡✳ ❊✈♦❧✉t✐♦♥ ♦❢ ✐❝❡ ❝♦✈❡r✐♥❣✳ ▲♦♥❣ t✐♠❡ s❝❛❧❡ ♦r s❡❛s♦♥❛❧ ♠♦❞❡❧✳ ■♠♣❛❝t ♦❢ ♣♦❧❧✉t✐♦♥✳

❚❤❡ ♠♦❞❡❧ ❡q✉❛t✐♦♥

✉t − ❞✐✈M(❦(①)∇✉) = ❘❛(t, ①, ✉) − ❘❡(t, ①, ✉), ✉(✵) = ✉✵.

M ❂ ❊❛rt❤ s✉r❢❛❝❡ ✭r✐❡♠❛♥♥✐❛♥ ♠❛♥✐❢♦❧❞✮

✺✴✸✷

■✳ ❚❤❡ ❇✉❞②❦♦✲❙❡❧❧❡rs ❝❧✐♠❛t❡ ♠♦❞❡❧ ✭✶✾✻✾✮

◆♦♥ ❧✐♥❡❛r t❡r♠s ❘❛ ❛♥❞ ❘❡

❘❛(t, ①, ✉) = ◗(t, ①)β(✉)✳

◮ ◗ = ✐♥s♦❧❛t✐♦♥ ❢✉♥❝t✐♦♥✳ ◮ β = ❛❧❜❡❞♦✳

❘❡(✉) = ǫ✉|✉|✸ ✿ ❡♠✐tt❡❞ ❡♥❡r❣② ✭❣r❡❡♥❤♦✉s❡ ❣❛③❡s✱✳✳✳✮✳

❊①♣r❡ss✐♦♥s ♦❢ t❤❡ ❛❧❜❡❞♦

❙❡❧❧❡rs ♠♦❞❡❧ ✿ ▲✐♣s❝❤✐t③ ❝♦♥t✐♥✉♦✉s ❢✉♥❝t✐♦♥ ❇✉❞②❦♦ ♠♦❞❡❧ ✿ ▼❛①✐♠❛❧ ♠♦♥♦t♦♥❡ ❣r❛♣❤

▼♦r❡ ❝♦♠♣❧✐❝❛t❡❞ ♠♦❞❡❧ ✭◆♦rt❤✱ ✶✾✼✷✮

❦ r❡♣❧❛❝❡❞ ❜② |∇✉|♣−✷ ⇒ ♣✲▲❛♣❧❛❝❡ ♦♣❡r❛t♦r

✻✴✸✷

■✳ ❚❤❡ ❇✉❞②❦♦✲❙❡❧❧❡rs ❝❧✐♠❛t❡ ♠♦❞❡❧ ✭✶✾✻✾✮

▼❛t❤❡♠❛t✐❝❛❧ st✉❞② ♦❢ t❤❡ ♠♦❞❡❧ ✿ ❲❡❧❧✲♣♦s❡❞♥❡ss✱ st❛t✐♦♥❛r② s♦❧✉t✐♦♥s✱ ❢r❡❡ ❜♦✉♥❞❛r② ♣r♦❜❧❡♠s✱ ❛♣♣r♦①✐♠❛t❡ ❝♦♥tr♦❧❧❛❜✐❧✐t②✱ ♥✉♠❡r✐❝s✳✳✳

❍❡t③❡r✭✶✾✽✾✱✳✳✳✮ ❉✐❛③✭✶✾✾✸✱✳✳✳✮ ❉✐❛③✲❍❡r♥❛♥❞❡③✲❚❡❧❧♦ ✭✶✾✾✼✮✱ ❍❡t③❡r✲❚❡❧❧♦ ✭✷✵✵✶✮ ❉✐❛③✲❍❡t③❡r✲❚❡❧❧♦ ✭✷✵✵✺✮✱ ❇❡r♠❡❥♦✲❈❛r♣✐♦✲❉✐❛③✲❚❡❧❧♦ ✭✷✵✵✾✮

✼✴✸✷

■✳ ❚❤❡ ❇✉❞②❦♦✲❙❡❧❧❡rs ❝❧✐♠❛t❡ ♠♦❞❡❧ ✭✶✾✻✾✮

❊①❡♠♣❧❡ ✿ M := S✷

▲♦❝❛❧ ❢♦r♠✉❧❛ ❢♦r ▲❛♣❧❛❝❡ ♦♣❡r❛t♦r ✐♥ s♣❤❡r✐❝❛❧ ❝♦♦r❞✐♥❛t❡s ✭❧♦♥❣✐t✉❞❡✱ ❧❛t✐t✉❞❡✮ ❧♦♥❣✐t✉❞❡❂ ❝♦♥st❛♥t✱ ①❂s✐♥✭❧❛t✐t✉❞❡✮ ⇒ ✶✲❉ ❞❡❣❡♥❡r❛t❡ ♥♦♥ ❧✐♥❡❛r ♣❛r❛❜♦❧✐❝ ❡q✉❛t✐♦♥    ✉t − (❦(①)(✶ − ①✷)✉①)① = ❘❛(t, ①, ✉) − ❘❡(t, ①, ✉), ((✶ − ①✷)✉①)(t, −✶) = ((✶ − ①✷)✉①)(t, ✶) = ✵, ✉(✵, ①) = ✉✵(①). −✶ ❛♥❞ ✶ r❡♣r❡s❡♥t t❤❡ ◆♦rt❤✴❙♦✉t❤ ♣♦❧❡s✳

■♥✈❡rs❡ ♣r♦❜❧❡♠s ❢♦r t❤❡ ✶✲❉ ❙❡❧❧❡rs ♠♦❞❡❧

❈♦❡✣❝✐❡♥ts ✐♥ t❤❡ ♠♦❞❡❧ ✿ ❡♠♣✐r✐❝❛❧ ❞❛t❛✳

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■■✳ ❆♥ ♦✈❡r✈✐❡✇ ♦❢ ▲✐♣s❝❤✐t③ st❛❜✐❧✐t② r❡s✉❧ts

▼♦❞❡❧ ♣r♦❜❧❡♠

❊①❛♠♣❧❡ ♦❢ t❤❡ ❤❡❛t ❡q✉❛t✐♦♥

     ✉t − ∆✉ = ❣ Ω × (✵, ❚) ✉(t, .) = ❤ ∂Ω × (✵, ❚) ✉(t = ✵) = ✉✵ Ω

• ♦❛❧ ✿ ❞❡t❡r♠✐♥❡ s♦✉r❝❡ t❡r♠ ❣ ❢r♦♠ ♠❡❛s✉r❡♠❡♥ts ♦❢ ✉

❯s✉❛❧ ✐ss✉❡s

▲♦❝❛❧✴❣❧♦❜❛❧ ✉♥✐q✉❡♥❡ss ❙t❛❜✐❧✐t② r❡s✉❧ts ✭▲♦❣❛r✐t❤♠✐❝✱❍ö❧❞❡r ♦r ▲✐♣s❝❤✐t③ st❛❜✐❧✐t②✮ ◆✉♠❡r✐❝❛❧ r❡❝♦♥str✉❝t✐♦♥s

✾✴✸✷

■■✳ ❆♥ ♦✈❡r✈✐❡✇ ♦❢ ▲✐♣s❝❤✐t③ st❛❜✐❧✐t② r❡s✉❧ts

▼❡t❤♦❞ ❢♦r ▲✐♣s❝❤✐t③ st❛❜✐❧✐t② r❡s✉❧ts

■❞❡❛ t♦ ❣❡t ▲✐♣s❝❤✐t③ st❛❜✐❧✐t② ❂ ✉s❡ ♦❢ ❣❧♦❜❛❧ ❈❛r❧❡♠❛♥ ❡st✐♠❛t❡ ■♥tr♦❞✉❝❡❞ ❢♦r t❤❡ ✇❛✈❡ ❡q✉❛t✐♦♥ ❜② P✉❡❧✲❨❛♠❛♠♦t♦ ✭✶✾✾✻✲✶✾✾✼✮ ❋♦✉♥❞✐♥❣ ♣❛♣❡r ❢♦r ♣❛r❛❜♦❧✐❝ ❡q✉❛t✐♦♥s ✿ ■♠❛♥✉✈✐❧♦✈✲❨❛♠❛♠♦t♦ ✭✶✾✾✽✮ ❖t❤❡r ▲✐♣s❝❤✐t③ st❛❜✐❧✐t② r❡s✉❧ts ❢♦r ♣❛r❛❜♦❧✐❝ ❡q✉❛t✐♦♥s

❨❛♠❛♠♦t♦✲❩♦✉ ✭✷✵✵✶✮ ❇❡♥❛❜❞❛❧❧❛❤✲❉❡r♠❡♥❥✐❛♥✲▲❡ ❘♦✉ss❡❛✉ ✭✷✵✵✼✮✱ ❇❡♥❛❜❞❛❧❧❛❤✲●❛✐t❛♥✲▲❡ ❘♦✉ss❡❛✉ ✭✷✵✵✾✮ ❱❛♥❝♦st❡♥♦❜❧❡ ✭✷✵✶✵✮

✾✴✸✷

■■✳ ❆♥ ♦✈❡r✈✐❡✇ ♦❢ ▲✐♣s❝❤✐t③ st❛❜✐❧✐t② r❡s✉❧ts

▼❡t❤♦❞ ❢♦r ▲✐♣s❝❤✐t③ st❛❜✐❧✐t② r❡s✉❧ts

■❞❡❛ t♦ ❣❡t ▲✐♣s❝❤✐t③ st❛❜✐❧✐t② ❂ ✉s❡ ♦❢ ❣❧♦❜❛❧ ❈❛r❧❡♠❛♥ ❡st✐♠❛t❡ ■♥tr♦❞✉❝❡❞ ❢♦r t❤❡ ✇❛✈❡ ❡q✉❛t✐♦♥ ❜② P✉❡❧✲❨❛♠❛♠♦t♦ ✭✶✾✾✻✲✶✾✾✼✮ ❋♦✉♥❞✐♥❣ ♣❛♣❡r ❢♦r ♣❛r❛❜♦❧✐❝ ❡q✉❛t✐♦♥s ✿ ■♠❛♥✉✈✐❧♦✈✲❨❛♠❛♠♦t♦ ✭✶✾✾✽✮ ❖t❤❡r ▲✐♣s❝❤✐t③ st❛❜✐❧✐t② r❡s✉❧ts ❢♦r ♣❛r❛❜♦❧✐❝ ❡q✉❛t✐♦♥s

❨❛♠❛♠♦t♦✲❩♦✉ ✭✷✵✵✶✮ ❇❡♥❛❜❞❛❧❧❛❤✲❉❡r♠❡♥❥✐❛♥✲▲❡ ❘♦✉ss❡❛✉ ✭✷✵✵✼✮✱ ❇❡♥❛❜❞❛❧❧❛❤✲●❛✐t❛♥✲▲❡ ❘♦✉ss❡❛✉ ✭✷✵✵✾✮ ❱❛♥❝♦st❡♥♦❜❧❡ ✭✷✵✶✵✮

✶✵✴✸✷

■■✳ ❆♥ ♦✈❡r✈✐❡✇ ♦❢ ▲✐♣s❝❤✐t③ st❛❜✐❧✐t② r❡s✉❧ts

▼❡t❤♦❞ ❢♦r ▲✐♣s❝❤✐t③ st❛❜✐❧✐t② r❡s✉❧ts

❋♦r ♣❛r❛❜♦❧✐❝ s②st❡♠s

❈r✐st♦❢♦❧✲●❛✐t❛♥✲❘❛♠♦✉❧ ✭✷✵✵✻✮ ❇❡♥❛❜❞❛❧❧❛❤✲❈r✐st♦❢♦❧✲●❛✐t❛♥✲❨❛♠❛♠♦t♦ ✭✷✵✵✾✮ ❇❡♥❛❜❞❛❧❧❛❤✲❈r✐st♦❢♦❧✲●❛✐t❛♥✲❉❡ ❚❡r❡s❛ ✭✷✵✶✵✮

❋♦r ♦t❤❡r ❡q✉❛t✐♦♥s

❍②♣❡r❜♦❧✐❝ ❡q✉❛t✐♦♥s ✿ ■♠❛♥✉✈✐❧♦✈✲❨❛♠❛♠♦t♦ ✭✷✵✵✶✮✱ ❇❡❧❧❛ss♦✉❡❞✲❨❛♠❛♠♦t♦ ✭✷✵✵✻✮✳✳✳ ❙❝❤rö❞✐♥❣❡r ❡q✉❛t✐♦♥ ✿ ❇❛✉❞♦✉✐♥✲P✉❡❧ ✭✷✵✵✷✮✱ ▼❡r❝❛❞♦✲❖ss❡s✲❘♦s✐❡r ✭✷✵✵✽✮✱ ❇❛✉❞♦✉✐♥✲▼❡r❝❛❞♦ ✭✷✵✵✽✮✱ ❈❛r❞♦✉❧✐s✲●❛✐t❛♥ ✭✷✵✶✵✮✱✳✳✳

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■■■✳ ❆ ❝❧❛ss ♦❢ ❧✐♥❡❛r ❞❡❣❡♥❡r❛t❡ ♣❛r❛❜♦❧✐❝ ❡q✉❛t✐♦♥s

❋✉♥❝t✐♦♥❛❧ ❢r❛♠❡✇♦r❦

❈♦♥s✐❞❡r

✉t − (❛✉①)① = ✵ (✵, ❚) × (✵, ✶)

✇✐t❤

❛ (①) = ①α α ∈ [✵, ✷)

❈❧❛ss✐❝❛❧ t❤❡♦r② ❢♦r ♣❛r❛❜♦❧✐❝ ❡q✉❛t✐♦♥s ❢❛✐❧s s✐♥❝❡ ❛(✵) = ✵ ❆❞❛♣t❡❞ ❙♦❜♦❧❡✈ s♣❛❝❡s

▼❡②❡r ✭✶✾✻✼✮✱ ❆❞❛♠s ✭✶✾✼✺✮✱ ❈❛♠♣✐t✐✲▼❡t❛❢✉♥❡✲P❛❧❧❛r❛ ✭✶✾✾✽✮ ❍✶

❛ (✵, ✶) :=

• ✉ ∈ ▲✷ (✵, ✶)
• √❛✉① ∈ ▲✷ (✵, ✶)

✶✷✴✸✷

■■■✳ ❆ ❝❧❛ss ♦❢ ❧✐♥❡❛r ❞❡❣❡♥❡r❛t❡ ♣❛r❛❜♦❧✐❝ ❡q✉❛t✐♦♥s

❋✉♥❝t✐♦♥❛❧ ❢r❛♠❡✇♦r❦

❇♦✉♥❞❛r② ✈❛❧✉❡ ✿ t✇♦ ❝❛s❡s

✵ ≤ α < ✶ ❍✶

❛,✵ (✵, ✶) :=

• ✉ ∈ ❍✶

❛ (✵, ✶) |✉ (✵) = ✉ (✶) = ✵

• ✶ ≤ α < ✷

❍✶

❛,✵ (✵, ✶) :=

• ✉ ∈ ❍✶

❛ (✵, ✶) |✉ (✶) = ✵

• ❉❡❣❡♥❡r❛t❡ ✉♥❜♦✉♥❞❡❞ ♦♣❡r❛t♦r

❉(❆) :=

• ✉ ∈ ❍✶

❛,✵ (✵, ✶)

• ❛✉① ∈ ❍✶ (✵, ✶)
• ∀✉ ∈ ❉(❆),

❆✉ := − (❛✉①)①

✶✷✴✸✷

■■■✳ ❆ ❝❧❛ss ♦❢ ❧✐♥❡❛r ❞❡❣❡♥❡r❛t❡ ♣❛r❛❜♦❧✐❝ ❡q✉❛t✐♦♥s

❋✉♥❝t✐♦♥❛❧ ❢r❛♠❡✇♦r❦

❇♦✉♥❞❛r② ✈❛❧✉❡ ✿ t✇♦ ❝❛s❡s

✵ ≤ α < ✶ ❍✶

❛,✵ (✵, ✶) :=

• ✉ ∈ ❍✶

❛ (✵, ✶) |✉ (✵) = ✉ (✶) = ✵

• ✶ ≤ α < ✷

❍✶

❛,✵ (✵, ✶) :=

• ✉ ∈ ❍✶

❛ (✵, ✶) |✉ (✶) = ✵

• ❉❡❣❡♥❡r❛t❡ ✉♥❜♦✉♥❞❡❞ ♦♣❡r❛t♦r

❉(❆) :=

• ✉ ∈ ❍✶

❛,✵ (✵, ✶)

• ❛✉① ∈ ❍✶ (✵, ✶)
• ∀✉ ∈ ❉(❆),

❆✉ := − (❛✉①)①

✶✸✴✸✷

■■■✳ ❆ ❝❧❛ss ♦❢ ❧✐♥❡❛r ❞❡❣❡♥❡r❛t❡ ♣❛r❛❜♦❧✐❝ ❡q✉❛t✐♦♥s

❆♥ ✐♥✐t✐❛❧✲❜♦✉♥❞❛r② ✈❛❧✉❡ ♣r♦❜❧❡♠

■♥✐t✐❛❧✲❜♦✉♥❞❛r② ✈❛❧✉❡ ♣r♦❜❧❡♠

       ✉t − (❛✉①)① = ❣ (✵, ❚) × (✵, ✶) ✉(t, ✶) = ✵ ❛♥❞ ✉(t, ✵) = ✵ ❢♦r ✵ ≤ α < ✶ ❛✉①(t, ✵) = ✵ ❢♦r ✶ ≤ α < ✷ (✵, ❚) ✉(t = ✵) = ✉✵ (✵, ✶)

❲❡❧❧✲♣♦s❡❞♥❡ss

❆♥❛❧②t✐❝ s❡♠✐❣r♦✉♣✳ ❙t❛♥❞❛r❞ ✇❡❧❧✲♣♦s❡❞♥❡ss r❡s✉❧ts

✶✸✴✸✷

■■■✳ ❆ ❝❧❛ss ♦❢ ❧✐♥❡❛r ❞❡❣❡♥❡r❛t❡ ♣❛r❛❜♦❧✐❝ ❡q✉❛t✐♦♥s

❆♥ ✐♥✐t✐❛❧✲❜♦✉♥❞❛r② ✈❛❧✉❡ ♣r♦❜❧❡♠

■♥✐t✐❛❧✲❜♦✉♥❞❛r② ✈❛❧✉❡ ♣r♦❜❧❡♠

       ✉t − (❛✉①)① = ❣ (✵, ❚) × (✵, ✶) ✉(t, ✶) = ✵ ❛♥❞ ✉(t, ✵) = ✵ ❢♦r ✵ ≤ α < ✶ ❛✉①(t, ✵) = ✵ ❢♦r ✶ ≤ α < ✷ (✵, ❚) ✉(t = ✵) = ✉✵ (✵, ✶)

❲❡❧❧✲♣♦s❡❞♥❡ss

❆♥❛❧②t✐❝ s❡♠✐❣r♦✉♣✳ ❙t❛♥❞❛r❞ ✇❡❧❧✲♣♦s❡❞♥❡ss r❡s✉❧ts

✶✹✴✸✷

■■■✳ ❆ ❝❧❛ss ♦❢ ❧✐♥❡❛r ❞❡❣❡♥❡r❛t❡ ♣❛r❛❜♦❧✐❝ ❡q✉❛t✐♦♥s

❈♦♥tr♦❧❧❛❜✐❧✐t② ❛s♣❡❝ts

❚❤❡♦r❡♠ ✭❈❛♥♥❛rs❛✲▼❛rt✐♥❡③✲❱❛♥❝♦st❡♥♦❜❧❡✱ ✷✵✵✺✲✷✵✵✽✮

▲❡t ✵ ≤ α < ✷ ❛♥❞ ω ⊂ (✵, ✶)✳ ❋♦r ❛❧❧ ✉✵ ∈ ▲✷(✵, ✶)✱ t❤❡r❡ ❡①✐sts ❣ ∈ ▲✷((✵, ❚) × ω) s✉❝❤ t❤❛t ✉❣(❚) = ✵✳

❈❛r❧❡♠❛♥ ❡st✐♠❛t❡ ✇✐t❤ ✇❡✐❣❤ts ❛❞❛♣t❡❞ t♦ t❤❡ ❞❡❣❡♥❡r❛❝②

❈❛♥♥❛rs❛✲▼❛rt✐♥❡③✲❱❛♥❝♦st❡♥♦❜❧❡✱ ✷✵✵✺✲✷✵✵✽

❙♦♠❡ ❡①t❡♥s✐♦♥s

❉❡❣❡♥❡r❛❝② ❛t ❜♦t❤ ❡①tr❡♠❡ ♣♦✐♥ts ✿ ▼❛rt✐♥❡③✲❱❛♥❝♦st❡♥♦❜❧❡ ✭✷✵✵✻✮ ❙❡♠✐❧✐♥❡❛r ❡q✉❛t✐♦♥s ✿ ❆❧❛❜❛✉✲❈❛♥♥❛rs❛✲❋r❛❣♥❡❧❧✐ ✭✷✵✵✻✮ ❉❡❣❡♥❡r❛t❡ ♦♣❡r❛t♦r ✐♥ ♥♦♥ ❞✐✈❡r❣❡♥❝❡ ❢♦r♠ ✿ ❈❛♥♥❛rs❛✲❋r❛❣♥❡❧❧✐✲❘♦❝❤❡tt✐ ✭✷✵✵✽✮

✶✹✴✸✷

■■■✳ ❆ ❝❧❛ss ♦❢ ❧✐♥❡❛r ❞❡❣❡♥❡r❛t❡ ♣❛r❛❜♦❧✐❝ ❡q✉❛t✐♦♥s

❈♦♥tr♦❧❧❛❜✐❧✐t② ❛s♣❡❝ts

❚❤❡♦r❡♠ ✭❈❛♥♥❛rs❛✲▼❛rt✐♥❡③✲❱❛♥❝♦st❡♥♦❜❧❡✱ ✷✵✵✺✲✷✵✵✽✮

▲❡t ✵ ≤ α < ✷ ❛♥❞ ω ⊂ (✵, ✶)✳ ❋♦r ❛❧❧ ✉✵ ∈ ▲✷(✵, ✶)✱ t❤❡r❡ ❡①✐sts ❣ ∈ ▲✷((✵, ❚) × ω) s✉❝❤ t❤❛t ✉❣(❚) = ✵✳

❈❛r❧❡♠❛♥ ❡st✐♠❛t❡ ✇✐t❤ ✇❡✐❣❤ts ❛❞❛♣t❡❞ t♦ t❤❡ ❞❡❣❡♥❡r❛❝②

❈❛♥♥❛rs❛✲▼❛rt✐♥❡③✲❱❛♥❝♦st❡♥♦❜❧❡✱ ✷✵✵✺✲✷✵✵✽

❙♦♠❡ ❡①t❡♥s✐♦♥s

❉❡❣❡♥❡r❛❝② ❛t ❜♦t❤ ❡①tr❡♠❡ ♣♦✐♥ts ✿ ▼❛rt✐♥❡③✲❱❛♥❝♦st❡♥♦❜❧❡ ✭✷✵✵✻✮ ❙❡♠✐❧✐♥❡❛r ❡q✉❛t✐♦♥s ✿ ❆❧❛❜❛✉✲❈❛♥♥❛rs❛✲❋r❛❣♥❡❧❧✐ ✭✷✵✵✻✮ ❉❡❣❡♥❡r❛t❡ ♦♣❡r❛t♦r ✐♥ ♥♦♥ ❞✐✈❡r❣❡♥❝❡ ❢♦r♠ ✿ ❈❛♥♥❛rs❛✲❋r❛❣♥❡❧❧✐✲❘♦❝❤❡tt✐ ✭✷✵✵✽✮

✶✺✴✸✷

■❱✳ ■♥✈❡rs❡ Pr♦❜❧❡♠s ❢♦r t❤❡ ❧✐♥❡❛r ✶✲❉ ❞❡❣❡♥❡r❛t❡ ❡q✉❛t✐♦♥

❆♥ ✐♥✈❡rs❡ s♦✉r❝❡ ♣r♦❜❧❡♠ t♦ s♦❧✈❡

❚❤❡ ✐♥✐t✐❛❧✲❜♦✉♥❞❛r② ✈❛❧✉❡ ♣r♦❜❧❡♠

       ✉t − (❛✉①)① = ❣ ◗❚ ✉(t, ✶) = ✵ ❛♥❞ ✉(t, ✵) = ✵ ❢♦r ✵ ≤ α < ✶ ❛✉①(t, ✵) = ✵ ❢♦r ✶ ≤ α < ✷ (✵, ❚) ✉(t = ✵) = ✉✵ (✵, ✶) ✵ < t✵ < ❚✱ ❚ ′ = ❚ + t✵ ✷ ✱ ω := (❛, ❜) ✇✐t❤ ✵ < ❛ < ❜ < ✶

• ♦❛❧

❉❡t❡r♠✐♥❡ s♦✉r❝❡ t❡r♠ ❣ ✐♥ t✇♦ ❞✐✛❡r❡♥t ❝❛s❡s ✿ (❛✉①)①(❚ ′, .) ❛♥❞ ✉t①(., ✶)|(t✵,❚) ✭❜♦✉♥❞❛r② ♦❜s❡r✈❛t✐♦♥✮ (❛✉①)①(❚ ′, .) ❛♥❞ ✉t|(t✵,❚)×ω ✭❧♦❝✳ ❞✐str✐❜✉t❡❞ ♦❜s❡r✈❛t✐♦♥✮

✶✻✴✸✷

■❱✳ ■♥✈❡rs❡ Pr♦❜❧❡♠s ❢♦r t❤❡ ❧✐♥❡❛r ✶✲❉ ❞❡❣❡♥❡r❛t❡ ❡q✉❛t✐♦♥

❆♥ ✐♥✈❡rs❡ s♦✉r❝❡ ♣r♦❜❧❡♠ t♦ s♦❧✈❡

❘❡♠❛r❦

◆♦♥✲✉♥✐q✉❡♥❡ss ♦❢ ❣ ✐♥ ▲✷(✵, ❚; ▲✷(✵, ✶)) ✭❝♦♥tr♦❧❧❛❜✐❧✐t② ❛r❣✉♠❡♥ts✮

■♥tr♦❞✉❝❡ ❈✵ > ✵ ❛♥❞ ❛❞♠✐ss✐❜❧❡ s✉❜s❡t

G (❈✵) :=

• ❣ ∈ ❍✶(✵, ❚; ▲✷ (✵, ✶))
• |❣t(t, ①)| ≤ ❈✵
• ❣(❚ ′, ①)
• ❛✳❡✳ ✐♥ ◗t✵

❚

• ❊①❛♠♣❧❡ ✿ ❣(t, ①) = r(t, ①)❢ (①)

r ❦♥♦✇♥ ❢✉♥❝t✐♦♥✱ r ∈ ❈ ✶([✵, ❚] × [✵, ✶])✱ r ♣♦s✐t✐✈❡ ❛t t✐♠❡ t = ❚ ′✳ ❢ ∈ ▲✷(✵, ✶) ✐s t❤❡ ✉♥❦♥♦✇♥ ❝♦❡✣❝✐❡♥t t♦ r❡❝♦✈❡r

✶✼✴✸✷

■❱✳ ■♥✈❡rs❡ Pr♦❜❧❡♠s ❢♦r t❤❡ ❧✐♥❡❛r ✶✲❉ ❞❡❣❡♥❡r❛t❡ ❡q✉❛t✐♦♥

❙t❛t❡♠❡♥t ♦❢ t❤❡ r❡s✉❧t

❚❤❡♦r❡♠ ✶ ✭❈❛♥♥❛rs❛✲❚♦rt✲❨❛♠❛♠♦t♦✱ ✷✵✶✵✮

▲❡t ✉✵ ∈ ▲✷ (✵, ✶)✳ ∃❈ = ❈(❚, t✵, ❈✵, α) > ✵ s✳t✳ ∀❣✶ = r❢✶✱ ∀❣✷ = r❢✷✱ ❢✶ − ❢✷✷

▲✷(✵,✶) ≤ ❈

• (❛ (✉✶ − ✉✷)①)①
• ❚ ′, .
• ✷

▲✷(✵,✶)

+

• ((✉✶ − ✉✷)t)① (., ✶)
• ✷

▲✷(t✵,❚)

• ✭✶✮

❚❤❡♦r❡♠ ✷ ✭❈❛♥♥❛rs❛✲❚♦rt✲❨❛♠❛♠♦t♦✱ ✷✵✶✵✮

▲❡t ✉✵ ∈ ▲✷ (✵, ✶)✳ ∃❈ = ❈(❚, t✵, ω, ❈✵, α) > ✵ s✳t✳ ∀❣✶ = r❢✶✱ ∀❣✷ = r❢✷✱ ❢✶ − ❢✷✷

▲✷(✵,✶) ≤ ❈

• (❛ (✉✶ − ✉✷)①)①
• ❚ ′, .
• ✷

▲✷(✵,✶)

+(✉✶ − ✉✷)t✷

▲✷(t✵,❚;▲✷(ω))

• ✭✷✮

✶✽✴✸✷

■❱✳ ■♥✈❡rs❡ Pr♦❜❧❡♠s ❢♦r t❤❡ ❧✐♥❡❛r ✶✲❉ ❞❡❣❡♥❡r❛t❡ ❡q✉❛t✐♦♥

▼❛✐♥ t♦♦❧ ✿ ❛ ❣❧♦❜❛❧ ❈❛r❧❡♠❛♥ ❡st✐♠❛t❡ ❢♦r ❞❡❣❡♥❡r❛t❡ ♦♣❡r❛t♦rs

❲❡✐❣❤t ❢✉♥❝t✐♦♥s

❘ ❛ ♣♦s✐t✐✈❡ ♣❛r❛♠❡t❡r θ ❛ t✐♠❡ ✇❡✐❣❤t ❢✉♥❝t✐♦♥ θ(t) := ✶ (t(❚ − t))✹ ♣ ❛ s♣❛❝❡ ✇❡✐❣❤t ❢✉♥❝t✐♦♥ ❛❞❛♣t❡❞ t♦ t❤❡ ❞❡❣❡♥❡r❛❝② ❛♥❞ t❤❡ ♦❜s❡r✈❛t✐♦♥ σ = θ♣ β(t) := ❚ + t✵ − ✷t

▲❡t ③ ❜❡ ❛ s♦❧✉t✐♦♥ ♦❢

   ③t − (❛③①)① = ❤ ◗❚ ③(t, ✶) = ✵ ❛♥❞ ③(t, ✵) = ✵ ❢♦r ✵ ≤ α < ✶ ❛③①(t, ✵) = ✵ ❢♦r ✶ ≤ α < ✷ (✵, ❚)

✶✾✴✸✷

■❱✳ ■♥✈❡rs❡ Pr♦❜❧❡♠s ❢♦r t❤❡ ❧✐♥❡❛r ✶✲❉ ❞❡❣❡♥❡r❛t❡ ❡q✉❛t✐♦♥

▼❛✐♥ t♦♦❧ ✿ ❛ ❣❧♦❜❛❧ ❈❛r❧❡♠❛♥ ❡st✐♠❛t❡ ❢♦r ❞❡❣❡♥❡r❛t❡ ♦♣❡r❛t♦rs

Pr♦♣♦s✐t✐♦♥ ✭❈❛♥♥❛rs❛✲❚♦rt✲❨❛♠❛♠♦t♦✱ ✷✵✶✵✮

∃❈✶ = ❈✶(❚, t✵, α) > ✵✱ ∃❘✵ = ❘✵ (❚, t✵, α) > ✵ s✳ t✳ ∀❘ ≥ ❘✵,

• ◗t✵

❚

• ❘✸θ✸①✷−α③✷ + ❘θ①α③✷

① + ✶

❘θ③✷

t + ❘θ

✸ ✷ |β|♣③✷

• ❡−✷❘σ❞①❞t

≤ ❈ ✶

• ◗t✵

❚

❤✷❡−✷❘σ❞①❞t + ❚

t✵

❘θ③✷

① (t, ✶) ❡−✷❘σ(t,✶)❞t

• ✭✸✮

■♥ ❈❛♥♥❛rs❛✲▼❛rt✐♥❡③✲❱❛♥❝♦st❡♥♦❜❧❡ ✭✷✵✵✽✮✱ ❡st✐♠❛t❡ ♦❢ t❤❡ t✇♦ ✜rst t❡r♠s

✷✵✴✸✷

■❱✳ ■♥✈❡rs❡ Pr♦❜❧❡♠s ❢♦r t❤❡ ❧✐♥❡❛r ✶✲❉ ❞❡❣❡♥❡r❛t❡ ❡q✉❛t✐♦♥

Pr♦♦❢ ♦❢ ❚❤❡♦r❡♠ ✶

❚❛❦❡ ❢✶ ❛♥❞ ❢✷ ✐♥ ▲✷(✵, ✶) ❀ ✉✶ ❛♥❞ ✉✷ ❝♦rr❡s♣♦♥❞✐♥❣ s♦❧✉t✐♦♥s ✇ := ✉✶ − ✉✷ s❛t✐s✜❡s

       ✇t − (❛✇①)① = r(❢✶ − ❢✷) ◗❚ ✇(t, ✶) = ✵ ❛♥❞ ✇(t, ✵) = ✵ ❢♦r ✵ ≤ α < ✶ ❛✇①(t, ✵) = ✵ ❢♦r ✶ ≤ α < ✷ (✵, ❚) ✇(✵, ①) = ✵ (✵, ✶)

❈❧❛ss✐❝❛❧ ❡st✐♠❛t❡s ✐♥ t❤❡ ✇r♦♥❣ ❞✐r❡❝t✐♦♥✳✳✳

❆♣♣❧② ❈❛r❧❡♠❛♥ ❡st✐♠❛t❡ t♦ ③ := ✇t✳

✷✶✴✸✷

■❱✳ ■♥✈❡rs❡ Pr♦❜❧❡♠s ❢♦r t❤❡ ❧✐♥❡❛r ✶✲❉ ❞❡❣❡♥❡r❛t❡ ❡q✉❛t✐♦♥

Pr♦♦❢ ♦❢ ❚❤❡♦r❡♠ ✶ ✿ ❛♥ ✐♠♣♦rt❛♥t t♦♦❧

▲❡♠♠❛ ✭❍❛r❞②✲t②♣❡ ✐♥❡q✉❛❧✐t②✮

▲❡t ✶ < α⋆ < ✷ ❛♥❞ ❧❡t ❛⋆(①) = ①α⋆✳ ✶

✵

①α⋆−✷❢ ✷ ≤ ✹ (✶ − α⋆)✷ ✶

✵

①α⋆❢ ✷

①

∀❢ ∈ ❍✶

❛⋆,✵ (✵, ✶) .

✷✷✴✸✷

❱✳ ❲❡❧❧✲♣♦s❡❞♥❡ss ❢♦r t❤❡ ✶✲❉ ❙❡❧❧❡rs ♠♦❞❡❧

❚❤❡ ✶✲❉ ❙❡❧❧❡rs ♠♦❞❡❧

❚❤❡ ✐♥✐t✐❛❧✲❜♦✉♥❞❛r② ✈❛❧✉❡ ♣r♦❜❧❡♠

   ✉t − ((✶ − ①✷)✉①)① = ◗(t, ①)β(✉) − ǫ(✉)✉|✉|✸, ((✶ − ①✷)✉①)(t, −✶) = ((✶ − ①✷)✉①)(t, ✶) = ✵, ✉(✵, ①) = ✉✵(①), ✭✹✮ ① ∈ ■ := (−✶, ✶), t ∈ (✵, ❚).

❙❡t ❛(①) := ✶ − ①✷ = (✶ + ①)(✶ − ①)

❉❡❣❡♥❡r❛❝② ❛t ❜♦t❤ ❡①tr❡♠❡ ♣♦✐♥ts −✶ ❛♥❞ ✶✳ ❊❛❝❤ ❞❡❣❡♥❡r❛❝② ❡q✉✐✈❛❧❡♥t t♦ ①α ❛t ✵ ✭s❡❝t✐♦♥ ■■✮ ✇✐t❤ α = ✶✳

❙❛♠❡ ♥♦t❛t✐♦♥s ❛♥❞ r❡s✉❧ts ❛s ✐♥ s❡❝t✐♦♥ ■■

❆♥❛❧②t✐❝ s❡♠✐❣r♦✉♣ ✦

✷✸✴✸✷

❱✳ ❲❡❧❧✲♣♦s❡❞♥❡ss ❢♦r t❤❡ ✶✲❉ ❙❡❧❧❡rs ♠♦❞❡❧

❆ss✉♠♣t✐♦♥s ♦♥ t❤❡ ♠♦❞❡❧

❆ss✉♠♣t✐♦♥s ♦♥ t❤❡ ❛❧❜❡❞♦ β

β s♠♦♦t❤ ✭≈ ❈ ✷(R)✮ ❛♥❞ ❜♦✉♥❞❡❞✳ β(✉) ≥ β✶ > ✵✳

❆ss✉♠♣t✐♦♥s ♦♥ ǫ ✐♥ ❘❡

ǫ s♠♦♦t❤ ✭≈ ❈ ✷(R)✮ ❛♥❞ ❜♦✉♥❞❡❞✳ ǫ(✉) ≥ ǫ✶ > ✵✳

❆ss✉♠♣t✐♦♥s ♦♥ t❤❡ ✐♥s♦❧❛t✐♦♥ ❢✉♥❝t✐♦♥ ◗

◗(t, ①) = r(t)q(①) r ∈ ❈ ✶(R) τ✲♣❡r✐♦❞✐❝✳ q ∈ ▲∞(−✶, ✶)✱ q ≥ ✵✳

✷✸✴✸✷

❱✳ ❲❡❧❧✲♣♦s❡❞♥❡ss ❢♦r t❤❡ ✶✲❉ ❙❡❧❧❡rs ♠♦❞❡❧

❆ss✉♠♣t✐♦♥s ♦♥ t❤❡ ♠♦❞❡❧

❆ss✉♠♣t✐♦♥s ♦♥ t❤❡ ❛❧❜❡❞♦ β

β s♠♦♦t❤ ✭≈ ❈ ✷(R)✮ ❛♥❞ ❜♦✉♥❞❡❞✳ β(✉) ≥ β✶ > ✵✳

❆ss✉♠♣t✐♦♥s ♦♥ ǫ ✐♥ ❘❡

ǫ s♠♦♦t❤ ✭≈ ❈ ✷(R)✮ ❛♥❞ ❜♦✉♥❞❡❞✳ ǫ(✉) ≥ ǫ✶ > ✵✳

❆ss✉♠♣t✐♦♥s ♦♥ t❤❡ ✐♥s♦❧❛t✐♦♥ ❢✉♥❝t✐♦♥ ◗

◗(t, ①) = r(t)q(①) r ∈ ❈ ✶(R) τ✲♣❡r✐♦❞✐❝✳ q ∈ ▲∞(−✶, ✶)✱ q ≥ ✵✳

✷✹✴✸✷

❱✳ ❲❡❧❧✲♣♦s❡❞♥❡ss ❢♦r t❤❡ ✶✲❉ ❙❡❧❧❡rs ♠♦❞❡❧

❲❡❧❧✲♣♦s❡❞♥❡ss r❡s✉❧t

❆ s♣❛❝❡ ♦❢ ✐♥✐t✐❛❧ ❝♦♥❞✐t✐♦♥s

U := {✉✵ ∈ ❉(❆) ∩ ▲∞(■) : ❆✉✵ ∈ ▲∞(■)} .

❚❤❡♦r❡♠ ✭❉✐❛③✱ ✶✾✾✸ ❀ ❚♦rt✲❱❛♥❝♦st❡♥♦❜❧❡ ✭✷✵✶✶✮✮

▲❡t ✉✵ ∈ U ❛♥❞ ❚ > ✵✳ ❚❤❡♥ ♣r♦❜❧❡♠ ✭✹✮ ❤❛s ❛ ✉♥✐q✉❡ ❝❧❛ss✐❝❛❧ s♦❧✉t✐♦♥ ✉ ∈ ❈([✵, ❚]; ❉(❆)) ∩ ❈ ✶([✵, ❚]; ▲✷(✵, ✶). ▼♦r❡♦✈❡r ✉ ❛♥❞ ✉t ❜❡❧♦♥❣ t♦ ▲∞((✵, ❚) × (✵, ✶)) ✭♠❛①✐♠✉♠ ♣r✐♥❝✐♣❧❡✮✳

• ❧♦❜❛❧ r❡❣✉❧❛r s♦❧✉t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ✶✲❉ ❙❡❧❧❡rs ♠♦❞❡❧

■♠♣♦rt❛♥t ❢♦r ✐♥✈❡rs❡ ❝♦❡✣❝✐❡♥t ♣r♦❜❧❡♠s✳

✷✺✴✸✷

❱■✳ ❆ ✉♥✐q✉❡♥❡ss ❛♥❞ st❛❜✐❧✐t② r❡s✉❧t ❢♦r t❤❡ ✐♥s♦❧❛t✐♦♥ ❢✉♥❝t✐♦♥

❚❤❡ ✐♥✈❡rs❡ ♣r♦❜❧❡♠ t♦ s♦❧✈❡

❚❤❡ ✐♥✐t✐❛❧✲❜♦✉♥❞❛r② ✈❛❧✉❡ ♣r♦❜❧❡♠

   ✉t − ((✶ − ①✷)✉①)① = r(t)q(①)β(✉) − ǫ(✉)✉|✉|✸, ((✶ − ①✷)✉①)(t, −✶) = ((✶ − ①✷)✉①)(t, ✶) = ✵, ✉(✵, ①) = ✉✵(①).

❉❡t❡r♠✐♥❡ ✐♥s♦❧❛t✐♦♥ s♣❛❝❡ ❞✐str✐❜✉t✐♦♥ q ▼❡❛s✉r❡♠❡♥ts ♦❢ ✉

(❛✉①)①(❚ ′, .) ❛♥❞ ✉t|(t✵,❚)×ω ✭❧♦❝✳ ❞✐str✐❜✉t❡❞ ♦❜s❡r✈❛t✐♦♥✮ ✵ < t✵ < ❚✱ ❚ ′ = ❚ + t✵ ✷ ✱ ω := (❛, ❜) ✇✐t❤ −✶ < ❛ < ❜ < ✶

✷✻✴✸✷

❱■✳ ❆ ✉♥✐q✉❡♥❡ss ❛♥❞ st❛❜✐❧✐t② r❡s✉❧t ❢♦r t❤❡ ✐♥s♦❧❛t✐♦♥ ❢✉♥❝t✐♦♥

❙t❛t❡♠❡♥t ♦❢ t❤❡ ♠❛✐♥ r❡s✉❧t

❆❞♠✐ss✐❜❧❡ s❡t ♦❢ ✉♥❦♥♦✇♥ ❝♦❡✣❝✐❡♥t

Q❉ :=

• q ∈ ▲∞(■) : q▲∞(■) ≤ ❉
• ,

❉ > ✵. ❯♥✐❢♦r♠ ❜♦✉♥❞ ❢♦r ❝♦rr❡s♣♦♥❞✐♥❣ s♦❧✉t✐♦♥s

❚❤❡♦r❡♠ ✭❚♦rt✲❱❛♥❝♦st❡♥♦❜❧❡✱ ✷✵✶✶✮

▲❡t ✉✵ ∈ U ❛♥❞ ω := (▲✶, ▲✷) ✇✐t❤ −✶ < ▲✶ < ▲✷ < ✶✳ ❚❤❡r❡ ❡①✐sts ❈ > ✵ s✳ t✳ ❢♦r ❛❧❧ q✶ ❛♥❞ q✷ ❜❡❧♦♥❣✐♥❣ t♦ Q❉✱ t❤❡ ❝♦rr❡s♣♦♥❞✐♥❣ s♦❧✉t✐♦♥s ✉✶ ❛♥❞ ✉✷ ♦❢ ✭✹✮ s❛t✐s❢② ✿ q✶ − q✷✷

▲∞(■) ≤ ❈(

• (✉✶ − ✉✷)(❚ ′, .)
• ✷

❉(❆)+✉✶ − ✉✷✷ ▲✷((t✵,❚)×ω)).

✷✼✴✸✷

❱■✳ ❆ ✉♥✐q✉❡♥❡ss ❛♥❞ st❛❜✐❧✐t② r❡s✉❧t ❢♦r t❤❡ ✐♥s♦❧❛t✐♦♥ ❢✉♥❝t✐♦♥

❋r♦♠ ♥♦♥ ❧✐♥❡❛r t♦ ❧✐♥❡❛r ❡q✉❛t✐♦♥

✇ := ✉✶ − ✉✷ s♦❧✉t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ❧✐♥❡❛r ❡q✉❛t✐♦♥

   ✇t − ((✶ − ①✷)✇①)① = r(q✶ − q✷)β(✉✶) + ❣✷ + ❣✸ ((✶ − ①✷)✇①)(t, −✶) = ((✶ − ①✷)✇①)(t, ✶) = ✵, ✇(✵, ①) = ✵. ❉❡t❡r♠✐♥❛t✐♦♥ ♦❢ ❛ s♦✉r❝❡ t❡r♠ ✐♥ ❛ ❧✐♥❡❛r ❞❡❣❡♥❡r❛t❡ ♣❛r❛❜♦❧✐❝ ❡q✉❛t✐♦♥

❙❦❡❧❡t♦♥ ♦❢ t❤❡ ♣r♦♦❢

❆❞❛♣t t❤❡ r❡s✉❧t ❜② ❈❛♥♥❛rs❛✲❚♦rt✲❨❛♠❛♠♦t♦ t♦ ❞❡❣❡♥❡r❛❝✐❡s ❛t ❜♦t❤ ❡①tr❡♠❡ ♣♦✐♥ts✳ r(q✶ − q✷)β(✉✶) ❛❞♠✐ss✐❜❧❡ s♦✉r❝❡ t❡r♠✳ ❆❜s♦r❜ ❣✷ ❛♥❞ ❣✸ t❤❛♥❦s t♦ ❈❛r❧❡♠❛♥ ❡st✐♠❛t❡✳

✷✽✴✸✷

❱■■✳ ❙♦♠❡ r❡❧❛t❡❞ ✇♦r❦s ❛♥❞ ♣❡rs♣❡❝t✐✈❡s

❆♥ ✐♥✈❡rs❡ ❞✐✛✉s✐♦♥ ❝♦❡✣❝✐❡♥t ♣r♦❜❧❡♠ ✭✷✵✶✶✮

❚❤❡ ✐♥✐t✐❛❧✲❜♦✉♥❞❛r② ✈❛❧✉❡ ♣r♦❜❧❡♠

       ✉t − (λ❛✉①)① = ❤ ◗❚ ✉(t, ✶) = ✵ ❛♥❞ ✉(t, ✵) = ✵ ❢♦r ✵ ≤ α < ✶ ❛✉①(t, ✵) = ✵ ❢♦r ✶ ≤ α < ✷ (✵, ❚) ✉(t = ✵) = ✉✵ (✵, ✶)

• ♦❛❧

❉❡t❡r♠✐♥❡ ❞✐✛✉s✐♦♥ ❝♦♥st❛♥t λ ✐♥ t✇♦ ❞✐✛❡r❡♥t ❝❛s❡s ✿ (❛✉①)①(❚ ′, .) ❛♥❞ ✉t①(., ✶)|(t✵,❚) ✭❜♦✉♥❞❛r② ♦❜s❡r✈❛t✐♦♥✮ (❛✉①)①(❚ ′, .) ❛♥❞ ✉t|(t✵,❚)×ω ✭❧♦❝✳ ❞✐str✐❜✉t❡❞ ♦❜s❡r✈❛t✐♦♥✮

✷✾✴✸✷

❱■■✳ ❙♦♠❡ r❡❧❛t❡❞ ✇♦r❦s ❛♥❞ ♣❡rs♣❡❝t✐✈❡s

❆♥ ✐♥✈❡rs❡ ❞✐✛✉s✐♦♥ ❝♦❡✣❝✐❡♥t ♣r♦❜❧❡♠ ✭✷✵✶✶✮

• ♦❛❧ ✿ ✉s❡ ♣r❡✈✐♦✉s r❡s✉❧ts ❢♦r s♦✉r❝❡ t❡r♠s

❋✐① ✵ < Λ✵ < Λ✶ ❛♥❞ t❛❦❡ λ✱ µ ✐♥ (Λ✵, Λ✶)

✉λ ❛♥❞ ✉µ ❝♦rr❡s♣♦♥❞✐♥❣ s♦❧✉t✐♦♥s✳ ❙❡t ✇ := ✉λ − ✉µ✳

✇ ✐s t❤❡ s♦❧✉t✐♦♥ ♦❢

       ✇t − (λ①α✇①)① = (λ − µ)(①α✉µ,①)① ◗❚ ✇(t, ✶) = ✵ ❛♥❞ ✇(t, ✵) = ✵ ❢♦r ✵ ≤ α < ✶ ❛✇①(t, ✵) = ✵ ❢♦r ✶ ≤ α < ✷ (✵, ❚) ✇(t = ✵) = ✵ (✵, ✶)

✸✵✴✸✷

❱■■✳ ❙♦♠❡ r❡❧❛t❡❞ ✇♦r❦s ❛♥❞ ♣❡rs♣❡❝t✐✈❡s

❆♥ ✐♥✈❡rs❡ ❞✐✛✉s✐♦♥ ❝♦❡✣❝✐❡♥t ♣r♦❜❧❡♠ ✭✷✵✶✶✮

(λ − µ)(①α✉µ,①)① ✿ ❛❞♠✐ss✐❜❧❡ s♦✉r❝❡ t❡r♠

❘❡❣✉❧❛r✐t② ♦❢ (①α✉µ,①)① ❄ P♦s✐t✐✈✐t② ♦❢ (①α✉µ,①)①(❚ ′, .) ❄

❆❞❛♣t❡❞ s♣❛❝❡ ♦❢ ✐♥✐t✐❛❧ ❞❛t❛ U ❛♥❞ ♦❢ s♦✉r❝❡ t❡r♠ H ❚❤❡♦r❡♠ ✭❚♦rt✱ ✷✵✶✶✮

▲❡t α ∈ [✵, ✷)✱ ✉✵ ∈ U ❛♥❞ ❤ ∈ H✳ ❚❤❡r❡ ❡①✐sts ❈ > ✵✱ s✉❝❤ t❤❛t ❢♦r ❛❧❧ λ ❛♥❞ µ ✐♥ (Λ✵, Λ✶)✱ ✉λ ❛♥❞ ✉µ s❛t✐s❢② |λ − µ|✷ ≤ ❈

• ①α (✉λ − ✉µ)①
• ①
• ❚ ′, .
• ✷

▲✷(✵,✶)

+

• (✉λ − ✉µ)t① (., ✶)
• ✷

▲✷(t✵,❚)

• .

✸✶✴✸✷

❱■■✳ ❙♦♠❡ r❡❧❛t❡❞ ✇♦r❦s ❛♥❞ ♣❡rs♣❡❝t✐✈❡s

❆♥ ✐♥✈❡rs❡ ♣r♦❜❧❡♠ ❢♦r t❤❡ ✷✲❉ ❙❡❧❧❡rs ❝❧✐♠❛t❡ ♠♦❞❡❧✱ ✐♥ ♣r❡♣❛r❛t✐♦♥

✷✲❉ ♠♦❞❡❧ ♦♥ ❛ ❘✐❡♠❛♥♥✐❛♥ ♠❛♥✐❢♦❧❞ M

✉t − ∆M✉ = ◗(t, ①)β(✉) − ✉|✉|✸ (✵, ❚) × M ✉(✵, ①) = ✉✵(①) M

❘❡❝♦✈❡r ✐♥s♦❧❛t✐♦♥ ❢✉♥❝t✐♦♥ ◗ ❉✐✣❝✉❧t✐❡s

❉❡r✐✈❛t✐♦♥s ❛♥❞ ♦♣❡r❛t♦rs ♦♥ ❛ r✐❡♠❛♥♥✐❛♥ ♠❛♥✐❢♦❧❞✳ ❘❡❣✉❧❛r✐t② ♦❢ s♦❧✉t✐♦♥s ✭❙♦❜♦❧❡✈ s♣❛❝❡s ♦♥ r✐❡♠❛♥♥✐❛♥ ♠❛♥✐❢♦❧❞s✱✳✳✳✮

✸✷✴✸✷

❱■■✳ ❙♦♠❡ r❡❧❛t❡❞ ✇♦r❦s ❛♥❞ ♣❡rs♣❡❝t✐✈❡s

P❡rs♣❡❝t✐✈❡s ✿ ♠♦❞❡❧s ✐♥✈♦❧✈✐♥❣ ♣✲▲❛♣❧❛❝❡ ♦♣❡r❛t♦r

✶✲❉ ♠♦❞❡❧

   ✉t − ((✶ − ①✷)|✉①|♣−✷✉①)① = ◗(t, ①)β(✉) − ǫ(✉)✉|✉|✸, ((✶ − ①✷)✉①)(t, −✶) = ((✶ − ①✷)✉①)(t, ✶) = ✵, ✉(✵, ①) = ✉✵(①).

▼♦❞❡❧ ♦♥ ❛ r✐❡♠❛♥♥✐❛♥ ♠❛♥✐❢♦❧❞ M

✉t − ❞✐✈M(|∇✉|♣−✷∇✉) = ◗(t, ①)β(✉) − ✉|✉|✸ (✵, ❚) × M, ✉(✵, ①) = ✉✵(①) M.

❙♦♠❡ r❡s✉❧ts ♦♥ ❝♦♥tr♦❧❧❛❜✐❧✐t② ❡①✐st ✭❉✐❛③✱ ✷✵✵✵✮