[PPT] - Rainbow cycles through specified vertices Henry Liu Central South PowerPoint Presentation

SLIDE 1

Rainbow cycles through specified vertices

Henry Liu Central South University Workshop on Colored Notions of Connectivity in Graphs, Nankai University, 29-31 May 2017

SLIDE 2

◮ Let G be a finite, simple graph such that any k vertices lie on

a cycle in G. Let Fk denote all graphs G with this property.

◮ Fk contains many important families of graphs, such as

Hamiltonian and pancyclic graphs on at least k vertices. For k ≥ 2, Dirac’s famous result (1960) implies that Fk contains all k-connected graphs. Conversely, if G ∈ Fk (k ≥ 2), then G must necessarily be 2-connected. For k ≥ 3, no simple characterisation of Fk is known.

◮ An edge-coloured graph is rainbow if its edges have distinct

colours.

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Introduction General graphs Wheels Complete, complete bipartite and multipartite graphs Discrete Cube

Introduction

◮ Let G be a finite, simple graph such that any k vertices lie on

a cycle in G. Let Fk denote all graphs G with this property.

◮ Fk contains many important families of graphs, such as

Hamiltonian and pancyclic graphs on at least k vertices. For k ≥ 2, Dirac’s famous result (1960) implies that Fk contains all k-connected graphs. Conversely, if G ∈ Fk (k ≥ 2), then G must necessarily be 2-connected. For k ≥ 3, no simple characterisation of Fk is known.

◮ An edge-coloured graph is rainbow if its edges have distinct

colours. For G ∈ Fk, the k-rainbow cycle index of G, denoted

by crxk(G), is the least number of colours needed to colour the edges of G so that every k vertices lie on a rainbow cycle.

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Introduction General graphs Wheels Complete, complete bipartite and multipartite graphs Discrete Cube

Motivations ...

Henry Liu Rainbow cycles through specified vertices

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Introduction General graphs Wheels Complete, complete bipartite and multipartite graphs Discrete Cube

Motivations ...

◮ The study of crxk(G) can be classified as a “cycles through

specified vertices” type problem.

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Introduction General graphs Wheels Complete, complete bipartite and multipartite graphs Discrete Cube

Motivations ...

◮ The study of crxk(G) can be classified as a “cycles through

specified vertices” type problem.

◮ The study of rainbow subgraphs in coloured graphs is also very

important,

Henry Liu Rainbow cycles through specified vertices

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Introduction General graphs Wheels Complete, complete bipartite and multipartite graphs Discrete Cube

Motivations ...

◮ The study of crxk(G) can be classified as a “cycles through

specified vertices” type problem.

◮ The study of rainbow subgraphs in coloured graphs is also very

important, e.g., anti-Ramsey numbers (Erd˝

s, Simonovits,

S´

s, 1973), and rainbow Tur´

an numbers (Keevash, Mubayi, Sudakov, Verstra¨ ete, 2007).

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Introduction General graphs Wheels Complete, complete bipartite and multipartite graphs Discrete Cube

Motivations ...

◮ The study of crxk(G) can be classified as a “cycles through

specified vertices” type problem.

◮ The study of rainbow subgraphs in coloured graphs is also very

important, e.g., anti-Ramsey numbers (Erd˝

s, Simonovits,

S´

s, 1973), and rainbow Tur´

an numbers (Keevash, Mubayi, Sudakov, Verstra¨ ete, 2007). For both parameters, the case of rainbow cycles is significantly interesting.

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Introduction General graphs Wheels Complete, complete bipartite and multipartite graphs Discrete Cube

Motivations ...

◮ The study of crxk(G) can be classified as a “cycles through

specified vertices” type problem.

◮ The study of rainbow subgraphs in coloured graphs is also very

important, e.g., anti-Ramsey numbers (Erd˝

s, Simonovits,

S´

s, 1973), and rainbow Tur´

an numbers (Keevash, Mubayi, Sudakov, Verstra¨ ete, 2007). For both parameters, the case of rainbow cycles is significantly interesting.

◮ An edge-coloured Kn is b-bounded if no colour occurs more

than b = b(n) times.

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Introduction General graphs Wheels Complete, complete bipartite and multipartite graphs Discrete Cube

Motivations ...

◮ The study of crxk(G) can be classified as a “cycles through

specified vertices” type problem.

◮ The study of rainbow subgraphs in coloured graphs is also very

important, e.g., anti-Ramsey numbers (Erd˝

s, Simonovits,

S´

s, 1973), and rainbow Tur´

an numbers (Keevash, Mubayi, Sudakov, Verstra¨ ete, 2007). For both parameters, the case of rainbow cycles is significantly interesting.

◮ An edge-coloured Kn is b-bounded if no colour occurs more

than b = b(n) times. Erd˝

s, Neˇ

setˇ ril, R¨

dl (1983) asked: How

large can b be so that any b-bounded Kn contains a rainbow Hamilton cycle?

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Introduction General graphs Wheels Complete, complete bipartite and multipartite graphs Discrete Cube

Motivations ...

◮ The study of crxk(G) can be classified as a “cycles through

specified vertices” type problem.

◮ The study of rainbow subgraphs in coloured graphs is also very

important, e.g., anti-Ramsey numbers (Erd˝

s, Simonovits,

S´

s, 1973), and rainbow Tur´

an numbers (Keevash, Mubayi, Sudakov, Verstra¨ ete, 2007). For both parameters, the case of rainbow cycles is significantly interesting.

◮ An edge-coloured Kn is b-bounded if no colour occurs more

than b = b(n) times. Erd˝

s, Neˇ

setˇ ril, R¨

dl (1983) asked: How

large can b be so that any b-bounded Kn contains a rainbow Hamilton cycle? Hahn and Thomassen (1986) conjectured: b can be linear in n. Settled by Albert, Frieze, Reed (1995).

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Introduction General graphs Wheels Complete, complete bipartite and multipartite graphs Discrete Cube

Motivations ...

◮ The study of crxk(G) can be classified as a “cycles through

specified vertices” type problem.

◮ The study of rainbow subgraphs in coloured graphs is also very

important, e.g., anti-Ramsey numbers (Erd˝

s, Simonovits,

S´

s, 1973), and rainbow Tur´

an numbers (Keevash, Mubayi, Sudakov, Verstra¨ ete, 2007). For both parameters, the case of rainbow cycles is significantly interesting.

◮ An edge-coloured Kn is b-bounded if no colour occurs more

than b = b(n) times. Erd˝

s, Neˇ

setˇ ril, R¨

dl (1983) asked: How

large can b be so that any b-bounded Kn contains a rainbow Hamilton cycle? Hahn and Thomassen (1986) conjectured: b can be linear in n. Settled by Albert, Frieze, Reed (1995).

◮ Many more related problems and results ...

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Introduction General graphs Wheels Complete, complete bipartite and multipartite graphs Discrete Cube

◮ Application: A certain country has various transport modes

between certain pairs of cities. A travelling salesman wishes to visit k designated cities, in no particular order, and return to his originating city. He can travel via other cities, but he does not wish to visit any city, or use the same mode of transport, more than once. How few transport modes are needed so that this is possible for any choice of k cities? The answer is precisely crxk(G).

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Introduction General graphs Wheels Complete, complete bipartite and multipartite graphs Discrete Cube

◮ Application: A certain country has various transport modes

between certain pairs of cities. A travelling salesman wishes to visit k designated cities, in no particular order, and return to his originating city. He can travel via other cities, but he does not wish to visit any city, or use the same mode of transport, more than once. How few transport modes are needed so that this is possible for any choice of k cities? The answer is precisely crxk(G).

◮ crxk(G) is the “cycle version” of the rainbow index rxk(G)

(Chartrand, Okamoto, Zhang, 2010), i.e., rxk(G) is the least number of colours needed to colour the edges of a connected graph G so that every k vertices lie in a rainbow tree.

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Introduction General graphs Wheels Complete, complete bipartite and multipartite graphs Discrete Cube

◮ Application: A certain country has various transport modes

between certain pairs of cities. A travelling salesman wishes to visit k designated cities, in no particular order, and return to his originating city. He can travel via other cities, but he does not wish to visit any city, or use the same mode of transport, more than once. How few transport modes are needed so that this is possible for any choice of k cities? The answer is precisely crxk(G).

◮ crxk(G) is the “cycle version” of the rainbow index rxk(G)

(Chartrand, Okamoto, Zhang, 2010), i.e., rxk(G) is the least number of colours needed to colour the edges of a connected graph G so that every k vertices lie in a rainbow tree.

◮ 3 ≤ girth(G) ≤ crx1(G) ≤ crx2(G) ≤ · · · ≤ crxk(G) ≤ e(G).

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Introduction General graphs Wheels Complete, complete bipartite and multipartite graphs Discrete Cube

◮ Application: A certain country has various transport modes

between certain pairs of cities. A travelling salesman wishes to visit k designated cities, in no particular order, and return to his originating city. He can travel via other cities, but he does not wish to visit any city, or use the same mode of transport, more than once. How few transport modes are needed so that this is possible for any choice of k cities? The answer is precisely crxk(G).

◮ crxk(G) is the “cycle version” of the rainbow index rxk(G)

(Chartrand, Okamoto, Zhang, 2010), i.e., rxk(G) is the least number of colours needed to colour the edges of a connected graph G so that every k vertices lie in a rainbow tree.

◮ 3 ≤ girth(G) ≤ crx1(G) ≤ crx2(G) ≤ · · · ≤ crxk(G) ≤ e(G). ◮ G, H ∈ Fk, H ⊂ G spanning subgraph ⇒ crxk(G) ≤ crxk(H).

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Introduction General graphs Wheels Complete, complete bipartite and multipartite graphs Discrete Cube

General graphs

Proposition 1

(a) F1 is the family of all graphs such that, every vertex belongs to a 2-connected block in the block decomposition. (b) F2 is the family of all 2-connected graphs.

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Introduction General graphs Wheels Complete, complete bipartite and multipartite graphs Discrete Cube

General graphs

Proposition 1

(a) F1 is the family of all graphs such that, every vertex belongs to a 2-connected block in the block decomposition. (b) F2 is the family of all 2-connected graphs.

Theorem 2 (L. 2017+)

Let G be a graph of order n ≥ 3. (a) Let G ∈ F1. Then crx1(G) = e(G) if and only if G = Cn. (b) Let G ∈ F2. Then crx2(G) = e(G) if and only if G is minimally 2-connected. (c) Let G ∈ Fn (i.e., G is Hamiltonian), and 1 ≤ k ≤ n. Then crxk(G) = e(G) if and only if G = Cn.

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Introduction General graphs Wheels Complete, complete bipartite and multipartite graphs Discrete Cube

Sketch proof of (b).

(⇒): Easy.

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Introduction General graphs Wheels Complete, complete bipartite and multipartite graphs Discrete Cube

Sketch proof of (b).

(⇒): Easy. (⇐):

◮ Let G be minimally 2-connected, and suppose we have an

edge-colouring with less than e(G) colours, say e, e′ ∈ E(G) have the same colour.

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Introduction General graphs Wheels Complete, complete bipartite and multipartite graphs Discrete Cube

Sketch proof of (b).

(⇒): Easy. (⇐):

◮ Let G be minimally 2-connected, and suppose we have an

edge-colouring with less than e(G) colours, say e, e′ ∈ E(G) have the same colour.

◮ Want to show that there are two vertices x, y such that any

cycle containing them must use both e and e′.

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Introduction General graphs Wheels Complete, complete bipartite and multipartite graphs Discrete Cube

Sketch proof of (b).

(⇒): Easy. (⇐):

◮ Let G be minimally 2-connected, and suppose we have an

edge-colouring with less than e(G) colours, say e, e′ ∈ E(G) have the same colour.

◮ Want to show that there are two vertices x, y such that any

cycle containing them must use both e and e′.

◮ Block decomposition of G − e is a chain of blocks.

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Introduction General graphs Wheels Complete, complete bipartite and multipartite graphs Discrete Cube

Sketch proof of (b).

(⇒): Easy. (⇐):

◮ Let G be minimally 2-connected, and suppose we have an

edge-colouring with less than e(G) colours, say e, e′ ∈ E(G) have the same colour.

◮ Want to show that there are two vertices x, y such that any

cycle containing them must use both e and e′.

◮ Block decomposition of G − e is a chain of blocks. ◮ Can assume e′ lies in a 2-connected block B.

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Introduction General graphs Wheels Complete, complete bipartite and multipartite graphs Discrete Cube

Sketch proof of (b).

(⇒): Easy. (⇐):

◮ Let G be minimally 2-connected, and suppose we have an

edge-colouring with less than e(G) colours, say e, e′ ∈ E(G) have the same colour.

◮ Want to show that there are two vertices x, y such that any

cycle containing them must use both e and e′.

◮ Block decomposition of G − e is a chain of blocks. ◮ Can assume e′ lies in a 2-connected block B. ◮ Then B − e′ has a similar structure. Can easily find x, y.

Henry Liu

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Introduction General graphs Wheels Complete, complete bipartite and multipartite graphs Discrete Cube

k = n − 1?

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Introduction General graphs Wheels Complete, complete bipartite and multipartite graphs Discrete Cube

k = n − 1?

Theorem 3 (L. 2017+)

(a) If P10 = Petersen graph, then crx9(P10) = e(P10) = 15. (b) If G is a hypohamiltonian graph of order n, where 11 ≤ n ≤ 17, then crxn−1(G) < e(G).

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Introduction General graphs Wheels Complete, complete bipartite and multipartite graphs Discrete Cube

Sketch proof of (b).

Aldred, McKay, Wormald (1995) showed that all hypohamiltonian graphs of order at most 17 are:

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P10

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H13

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H15

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H1

16

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H2

16

Easy to check that for G ∈ {H13, H15, H16, H′

16}, G − v contains a

Hamilton cycle not using both red edges, for all v ∈ V (G).

Henry Liu

Rainbow cycles through specified vertices

SLIDE 35

Introduction General graphs Wheels Complete, complete bipartite and multipartite graphs Discrete Cube

Problem 4

Let 3 ≤ k < n. Characterise the graphs G ∈ Fk of order n with crxk(G) = e(G).

Henry Liu Rainbow cycles through specified vertices

SLIDE 36

Introduction General graphs Wheels Complete, complete bipartite and multipartite graphs Discrete Cube

Problem 4

Let 3 ≤ k < n. Characterise the graphs G ∈ Fk of order n with crxk(G) = e(G). In particular, when k = n − 1, does there exist G such that crxn−1(G) = e(G), other than G = Cn, or n = 10 and G = Petersen graph?

Henry Liu Rainbow cycles through specified vertices

SLIDE 37

Introduction General graphs Wheels Complete, complete bipartite and multipartite graphs Discrete Cube

Wheels

For n ≥ 3, the wheel Wn = Cn + v.

Henry Liu Rainbow cycles through specified vertices

SLIDE 38

Introduction General graphs Wheels Complete, complete bipartite and multipartite graphs Discrete Cube

Wheels

For n ≥ 3, the wheel Wn = Cn + v. crxk(Wn) exists for all 1 ≤ k ≤ n + 1 since Wn is Hamiltonian.

Henry Liu Rainbow cycles through specified vertices

SLIDE 39

Introduction General graphs Wheels Complete, complete bipartite and multipartite graphs Discrete Cube

Wheels

For n ≥ 3, the wheel Wn = Cn + v. crxk(Wn) exists for all 1 ≤ k ≤ n + 1 since Wn is Hamiltonian.

Theorem 5 (L. 2017+)

(a) crx1(Wn) = 3 for n ≥ 3. (b) crx2(W3) = 3, and crx2(Wn) = ⌈ n

2⌉ + 2 for n ≥ 4.

(c) crx3(Wn) =      n if 3 ≤ n ≤ 7, n − 1 if 8 ≤ n ≤ 11, n − 2 if n ≥ 12.

Henry Liu Rainbow cycles through specified vertices

SLIDE 40

Introduction General graphs Wheels Complete, complete bipartite and multipartite graphs Discrete Cube

(d) For k ≥ 4 and n + 1 ≥ k, we have crxk(Wn) =

n + 1

if n < 2k, n if n ≥ 2k.

Henry Liu Rainbow cycles through specified vertices

SLIDE 41

Introduction General graphs Wheels Complete, complete bipartite and multipartite graphs Discrete Cube

(d) For k ≥ 4 and n + 1 ≥ k, we have crxk(Wn) =

n + 1

if n < 2k, n if n ≥ 2k.

Sketch proof of (d).

◮ Obviously crxk(Wn) ≤ n + 1 since Wn is Hamiltonian.

Henry Liu Rainbow cycles through specified vertices

SLIDE 42

Introduction General graphs Wheels Complete, complete bipartite and multipartite graphs Discrete Cube

(d) For k ≥ 4 and n + 1 ≥ k, we have crxk(Wn) =

n + 1

if n < 2k, n if n ≥ 2k.

Sketch proof of (d).

◮ Obviously crxk(Wn) ≤ n + 1 since Wn is Hamiltonian. ◮ For n ≥ 2k, not hard to define an edge-colouring which gives

crxk(Wn) ≤ n.

Henry Liu Rainbow cycles through specified vertices

SLIDE 43

Introduction General graphs Wheels Complete, complete bipartite and multipartite graphs Discrete Cube

(d) For k ≥ 4 and n + 1 ≥ k, we have crxk(Wn) =

n + 1

if n < 2k, n if n ≥ 2k.

Sketch proof of (d).

◮ Obviously crxk(Wn) ≤ n + 1 since Wn is Hamiltonian. ◮ For n ≥ 2k, not hard to define an edge-colouring which gives

crxk(Wn) ≤ n.

◮ crxk(Wn) ≥ n for all n ≥ k + 1: If we use ≤ n − 1 colours in

an edge-colouring, then ∃ e, e′ ∈ E(Cn) with the same colour. Pick S with |S| = k containing the end-vertices of e, e′. Then no rainbow cycle can contain S.

Henry Liu Rainbow cycles through specified vertices

SLIDE 44

Introduction General graphs Wheels Complete, complete bipartite and multipartite graphs Discrete Cube

◮ crxk(Wn) ≥ n + 1 for all n < 2k:

Henry Liu Rainbow cycles through specified vertices

SLIDE 45

Introduction General graphs Wheels Complete, complete bipartite and multipartite graphs Discrete Cube

◮ crxk(Wn) ≥ n + 1 for all n < 2k: Suppose we have a good

edge-colouring with n colours.

Henry Liu Rainbow cycles through specified vertices

SLIDE 46

Introduction General graphs Wheels Complete, complete bipartite and multipartite graphs Discrete Cube

◮ crxk(Wn) ≥ n + 1 for all n < 2k: Suppose we have a good

edge-colouring with n colours. The Cn must be rainbow coloured.

Henry Liu Rainbow cycles through specified vertices

SLIDE 47

Introduction General graphs Wheels Complete, complete bipartite and multipartite graphs Discrete Cube

◮ crxk(Wn) ≥ n + 1 for all n < 2k: Suppose we have a good

edge-colouring with n colours. The Cn must be rainbow

coloured. We consider cycles C containing v of two types –

either |V (C)| ≥ ⌈ n

2⌉ + 2 or not.

Henry Liu Rainbow cycles through specified vertices

SLIDE 48

Introduction General graphs Wheels Complete, complete bipartite and multipartite graphs Discrete Cube

◮ crxk(Wn) ≥ n + 1 for all n < 2k: Suppose we have a good

edge-colouring with n colours. The Cn must be rainbow

coloured. We consider cycles C containing v of two types –

either |V (C)| ≥ ⌈ n

2⌉ + 2 or not. We can choose a set S of k

vertices containing v such that, no rainbow cycle of either type can contain S, a contradiction.

Henry Liu

Rainbow cycles through specified vertices

SLIDE 49

Proposition 6 (L. 2017+)

crx1(Kn) = crx2(Kn) = 3 for n ≥ 3.

Proof.

Suffices to show: crx2(Kn) ≤ 3. Use induction on n. n = 3: Rainbow colour K3. n ≥ 4, even:

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Henry Liu Rainbow cycles through specified vertices

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Introduction General graphs Wheels Complete, complete bipartite and multipartite graphs Discrete Cube

Complete, complete bipartite and multipartite graphs

Proposition 6 (L. 2017+)

crx1(Kn) = crx2(Kn) = 3 for n ≥ 3.

Proof.

Suffices to show: crx2(Kn) ≤ 3. Use induction on n. n = 3: Rainbow colour K3. n ≥ 4, even:

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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Henry Liu Rainbow cycles through specified vertices

SLIDE 55

Introduction General graphs Wheels Complete, complete bipartite and multipartite graphs Discrete Cube

Complete, complete bipartite and multipartite graphs

Proposition 6 (L. 2017+)

crx1(Kn) = crx2(Kn) = 3 for n ≥ 3.

Proof.

Suffices to show: crx2(Kn) ≤ 3. Use induction on n. n = 3: Rainbow colour K3. n ≥ 4, even:

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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n ≥ 4 odd: Similar.

Henry Liu

Rainbow cycles through specified vertices

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Introduction General graphs Wheels Complete, complete bipartite and multipartite graphs Discrete Cube

Theorem 7 (L. 2017+)

For k ≥ 3, crxk(Kn) = 2k − 1 for n ≥ N(k) sufficiently large.

Henry Liu Rainbow cycles through specified vertices

SLIDE 57

Introduction General graphs Wheels Complete, complete bipartite and multipartite graphs Discrete Cube

Theorem 7 (L. 2017+)

For k ≥ 3, crxk(Kn) = 2k − 1 for n ≥ N(k) sufficiently large.

Proof.

Henry Liu Rainbow cycles through specified vertices

SLIDE 58

Introduction General graphs Wheels Complete, complete bipartite and multipartite graphs Discrete Cube

Theorem 7 (L. 2017+)

For k ≥ 3, crxk(Kn) = 2k − 1 for n ≥ N(k) sufficiently large.

Proof.

(≥): Let n ≥ R2k−2(k), the Ramsey number for 2k − 2 Kk’s.

Henry Liu Rainbow cycles through specified vertices

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Introduction General graphs Wheels Complete, complete bipartite and multipartite graphs Discrete Cube

Theorem 7 (L. 2017+)

For k ≥ 3, crxk(Kn) = 2k − 1 for n ≥ N(k) sufficiently large.

Proof.

(≥): Let n ≥ R2k−2(k), the Ramsey number for 2k − 2 Kk’s. ⇒ If E(Kn) is r-coloured, r ≤ 2k − 2, ∃ monochromatic Kk on some {v1, . . . , vk}.

Henry Liu Rainbow cycles through specified vertices

SLIDE 60

Introduction General graphs Wheels Complete, complete bipartite and multipartite graphs Discrete Cube

Theorem 7 (L. 2017+)

For k ≥ 3, crxk(Kn) = 2k − 1 for n ≥ N(k) sufficiently large.

Proof.

(≥): Let n ≥ R2k−2(k), the Ramsey number for 2k − 2 Kk’s. ⇒ If E(Kn) is r-coloured, r ≤ 2k − 2, ∃ monochromatic Kk on some {v1, . . . , vk}. ⇒ no rainbow cycle ⊃ {v1, . . . , vk}.

Henry Liu Rainbow cycles through specified vertices

SLIDE 61

Introduction General graphs Wheels Complete, complete bipartite and multipartite graphs Discrete Cube

Theorem 7 (L. 2017+)

For k ≥ 3, crxk(Kn) = 2k − 1 for n ≥ N(k) sufficiently large.

Proof.

(≥): Let n ≥ R2k−2(k), the Ramsey number for 2k − 2 Kk’s. ⇒ If E(Kn) is r-coloured, r ≤ 2k − 2, ∃ monochromatic Kk on some {v1, . . . , vk}. ⇒ no rainbow cycle ⊃ {v1, . . . , vk}. ⇒ crxk(Kn) ≥ 2k − 1.

Henry Liu Rainbow cycles through specified vertices

SLIDE 62

Introduction General graphs Wheels Complete, complete bipartite and multipartite graphs Discrete Cube

(≤): Randomly (2k − 1)-colour E(Kn).

Henry Liu Rainbow cycles through specified vertices

SLIDE 63

Introduction General graphs Wheels Complete, complete bipartite and multipartite graphs Discrete Cube

(≤): Randomly (2k − 1)-colour E(Kn). For A ⊂ V (Kn), |A| = k, let EA = event that no rainbow cycle ⊃ A. Done if P(EA) = o(n−k), since then P(

A EA) < 1.

Henry Liu Rainbow cycles through specified vertices

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Introduction General graphs Wheels Complete, complete bipartite and multipartite graphs Discrete Cube

(≤): Randomly (2k − 1)-colour E(Kn). For A ⊂ V (Kn), |A| = k, let EA = event that no rainbow cycle ⊃ A. Done if P(EA) = o(n−k), since then P(

A EA) < 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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A k B1 k − 1 B2 k − 1 Bt k − 1

Henry Liu Rainbow cycles through specified vertices

SLIDE 65

Introduction General graphs Wheels Complete, complete bipartite and multipartite graphs Discrete Cube

(≤): Randomly (2k − 1)-colour E(Kn). For A ⊂ V (Kn), |A| = k, let EA = event that no rainbow cycle ⊃ A. Done if P(EA) = o(n−k), since then P(

A EA) < 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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A k B1 k − 1 B2 k − 1 Bt k − 1 EA occurs ⇒ no A ∪ Bi contains a rainbow cycle ⊃ A.

Henry Liu Rainbow cycles through specified vertices

SLIDE 66

Introduction General graphs Wheels Complete, complete bipartite and multipartite graphs Discrete Cube

(≤): Randomly (2k − 1)-colour E(Kn). For A ⊂ V (Kn), |A| = k, let EA = event that no rainbow cycle ⊃ A. Done if P(EA) = o(n−k), since then P(

A EA) < 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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A k B1 k − 1 B2 k − 1 Bt k − 1 EA occurs ⇒ no A ∪ Bi contains a rainbow cycle ⊃ A. P(EA) ≤ dkct(2k − 1)(n−k

2 )/(2k − 1)(n 2) = o(n−k), where dk and

c < (2k − 1)k(k−1) are constants

Henry Liu Rainbow cycles through specified vertices

SLIDE 67

Introduction General graphs Wheels Complete, complete bipartite and multipartite graphs Discrete Cube

(≤): Randomly (2k − 1)-colour E(Kn). For A ⊂ V (Kn), |A| = k, let EA = event that no rainbow cycle ⊃ A. Done if P(EA) = o(n−k), since then P(

A EA) < 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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A k B1 k − 1 B2 k − 1 Bt k − 1 EA occurs ⇒ no A ∪ Bi contains a rainbow cycle ⊃ A. P(EA) ≤ dkct(2k − 1)(n−k

2 )/(2k − 1)(n 2) = o(n−k), where dk and

c < (2k − 1)k(k−1) are constants ⇒ crxk(Kn) ≤ 2k − 1.

Henry Liu

Rainbow cycles through specified vertices

SLIDE 68

Introduction General graphs Wheels Complete, complete bipartite and multipartite graphs Discrete Cube

Theorem 8 (L. 2017+)

(a) For k ≥ 3, crxk(Kn,n) = 2k for n ≥ N(k) sufficiently large. (b) For k, t ≥ 2, crxk(Kt×n) = 2k for n ≥ N(k, t) sufficiently large.

Henry Liu Rainbow cycles through specified vertices

SLIDE 69

Introduction General graphs Wheels Complete, complete bipartite and multipartite graphs Discrete Cube

Theorem 8 (L. 2017+)

(a) For k ≥ 3, crxk(Kn,n) = 2k for n ≥ N(k) sufficiently large. (b) For k, t ≥ 2, crxk(Kt×n) = 2k for n ≥ N(k, t) sufficiently large.

Proof.

(≥): Easy; consider k vertices in one class.

Henry Liu Rainbow cycles through specified vertices

SLIDE 70

Introduction General graphs Wheels Complete, complete bipartite and multipartite graphs Discrete Cube

Theorem 8 (L. 2017+)

(a) For k ≥ 3, crxk(Kn,n) = 2k for n ≥ N(k) sufficiently large. (b) For k, t ≥ 2, crxk(Kt×n) = 2k for n ≥ N(k, t) sufficiently large.

Proof.

(≥): Easy; consider k vertices in one class. (≤): Similar random method as in Theorem 7.

Henry Liu

Rainbow cycles through specified vertices

SLIDE 71

Introduction General graphs Wheels Complete, complete bipartite and multipartite graphs Discrete Cube

Theorem 8 (L. 2017+)

(a) For k ≥ 3, crxk(Kn,n) = 2k for n ≥ N(k) sufficiently large. (b) For k, t ≥ 2, crxk(Kt×n) = 2k for n ≥ N(k, t) sufficiently large.

Proof.

(≥): Easy; consider k vertices in one class. (≤): Similar random method as in Theorem 7.

Problem 9

What is crxk(Km,n) for 1 ≤ k ≤ m ≤ n?

Henry Liu Rainbow cycles through specified vertices

SLIDE 72

Introduction General graphs Wheels Complete, complete bipartite and multipartite graphs Discrete Cube

Discrete Cube

Recall: The discrete cube Qn consists of 2n vertices labelled by all (0, 1)-vectors of length n, and x ∼ y iff x and y differ in exactly

ne coordinate.

Henry Liu Rainbow cycles through specified vertices

SLIDE 73

Introduction General graphs Wheels Complete, complete bipartite and multipartite graphs Discrete Cube

Discrete Cube

Recall: The discrete cube Qn consists of 2n vertices labelled by all (0, 1)-vectors of length n, and x ∼ y iff x and y differ in exactly

ne coordinate. e.g., Q1 ∼

= K2 and Q2 ∼ = C4.

Henry Liu Rainbow cycles through specified vertices

SLIDE 74

Introduction General graphs Wheels Complete, complete bipartite and multipartite graphs Discrete Cube

Discrete Cube

Recall: The discrete cube Qn consists of 2n vertices labelled by all (0, 1)-vectors of length n, and x ∼ y iff x and y differ in exactly

ne coordinate. e.g., Q1 ∼

= K2 and Q2 ∼ = C4.

. . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Q1 Q2 Q3

Henry Liu Rainbow cycles through specified vertices

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Introduction General graphs Wheels Complete, complete bipartite and multipartite graphs Discrete Cube

Aim: To determine crxk(Qn).

Henry Liu Rainbow cycles through specified vertices

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Introduction General graphs Wheels Complete, complete bipartite and multipartite graphs Discrete Cube

Aim: To determine crxk(Qn). Related results:

Henry Liu Rainbow cycles through specified vertices

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Introduction General graphs Wheels Complete, complete bipartite and multipartite graphs Discrete Cube

Aim: To determine crxk(Qn). Related results:

◮ Faudree, Gy´

arf´ as, Lesniak, Schelp (1993) proved that for n ≥ 4, n = 5, there exists an edge-colouring of Qn, using n colours, such that every C4 is rainbow.

Henry Liu Rainbow cycles through specified vertices

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Introduction General graphs Wheels Complete, complete bipartite and multipartite graphs Discrete Cube

Aim: To determine crxk(Qn). Related results:

◮ Faudree, Gy´

arf´ as, Lesniak, Schelp (1993) proved that for n ≥ 4, n = 5, there exists an edge-colouring of Qn, using n colours, such that every C4 is rainbow.

◮ Mubayi and Stading (2013) proved that for ℓ ≡ 0 (mod 4),

there exists an edge-colouring of Qn with Θn(nℓ/4) colours such that, every copy of Cℓ is rainbow, and moreover, Θn(nℓ/4) colours are also necessary.

Henry Liu Rainbow cycles through specified vertices

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Introduction General graphs Wheels Complete, complete bipartite and multipartite graphs Discrete Cube

Aim: To determine crxk(Qn). Related results:

◮ Faudree, Gy´

arf´ as, Lesniak, Schelp (1993) proved that for n ≥ 4, n = 5, there exists an edge-colouring of Qn, using n colours, such that every C4 is rainbow.

◮ Mubayi and Stading (2013) proved that for ℓ ≡ 0 (mod 4),

there exists an edge-colouring of Qn with Θn(nℓ/4) colours such that, every copy of Cℓ is rainbow, and moreover, Θn(nℓ/4) colours are also necessary.

◮ Many others ...

Henry Liu Rainbow cycles through specified vertices

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Introduction General graphs Wheels Complete, complete bipartite and multipartite graphs Discrete Cube

Theorem 10 (L. 2017+)

For n ≥ 2,

Henry Liu Rainbow cycles through specified vertices

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Introduction General graphs Wheels Complete, complete bipartite and multipartite graphs Discrete Cube

Theorem 10 (L. 2017+)

For n ≥ 2, (a) crx1(Qn) = 4,

Henry Liu Rainbow cycles through specified vertices

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Introduction General graphs Wheels Complete, complete bipartite and multipartite graphs Discrete Cube

Theorem 10 (L. 2017+)

For n ≥ 2, (a) crx1(Qn) = 4, (b) crx2(Qn) = crx3(Qn) = 2n,

Henry Liu Rainbow cycles through specified vertices

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Introduction General graphs Wheels Complete, complete bipartite and multipartite graphs Discrete Cube

Theorem 10 (L. 2017+)

For n ≥ 2, (a) crx1(Qn) = 4, (b) crx2(Qn) = crx3(Qn) = 2n, (c) crxk(Qn) = 2n for 2n−1 ≤ k ≤ 2n.

Henry Liu Rainbow cycles through specified vertices

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Introduction General graphs Wheels Complete, complete bipartite and multipartite graphs Discrete Cube

Theorem 10 (L. 2017+)

For n ≥ 2, (a) crx1(Qn) = 4, (b) crx2(Qn) = crx3(Qn) = 2n, (c) crxk(Qn) = 2n for 2n−1 ≤ k ≤ 2n.

Proof of (b).

crx2(Qn) ≥ 2n: Shortest cycle containing (0, . . . , 0) and (1, . . . , 1) has length 2n.

Henry Liu Rainbow cycles through specified vertices

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Introduction General graphs Wheels Complete, complete bipartite and multipartite graphs Discrete Cube

crx3(Qn) ≤ 2n: Induction on n.

Henry Liu Rainbow cycles through specified vertices

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Introduction General graphs Wheels Complete, complete bipartite and multipartite graphs Discrete Cube

crx3(Qn) ≤ 2n: Induction on n. n = 2: Rainbow colour Q2.

Henry Liu Rainbow cycles through specified vertices

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Introduction General graphs Wheels Complete, complete bipartite and multipartite graphs Discrete Cube

crx3(Qn) ≤ 2n: Induction on n. n = 2: Rainbow colour Q2. n ≥ 3:

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Qn−1 Qn−1 u u′

Henry Liu Rainbow cycles through specified vertices

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Introduction General graphs Wheels Complete, complete bipartite and multipartite graphs Discrete Cube

crx3(Qn) ≤ 2n: Induction on n. n = 2: Rainbow colour Q2. n ≥ 3:

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Qn−1 Qn−1 u u′ Each Qn−1 coloured with colours 1, . . . , 2n − 2.

Henry Liu Rainbow cycles through specified vertices

SLIDE 89

Introduction General graphs Wheels Complete, complete bipartite and multipartite graphs Discrete Cube

crx3(Qn) ≤ 2n: Induction on n. n = 2: Rainbow colour Q2. n ≥ 3:

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Qn−1 Qn−1 u u′ Each Qn−1 coloured with colours 1, . . . , 2n − 2. Colour uu′ with colour 2n − 1 if

i<n ui = i<n u′ i is odd, and with colour 2n if

even.

Henry Liu Rainbow cycles through specified vertices

SLIDE 90

Introduction General graphs Wheels Complete, complete bipartite and multipartite graphs Discrete Cube

crx3(Qn) ≤ 2n: Induction on n. n = 2: Rainbow colour Q2. n ≥ 3:

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Qn−1 Qn−1 u u′ Each Qn−1 coloured with colours 1, . . . , 2n − 2. Colour uu′ with colour 2n − 1 if

i<n ui = i<n u′ i is odd, and with colour 2n if

even. Easy to check that this is a good colouring for Qn.
Henry Liu

Rainbow cycles through specified vertices

SLIDE 91

Introduction General graphs Wheels Complete, complete bipartite and multipartite graphs Discrete Cube

Theorem 11 (L. 2017+)

Let k ≥ 4 and n ≥ 4k2. Then there exist constants ck, Ck > 0 (depending only on k) such that ckn ≤ crxk(Qn) ≤ Ckn Thus, we have crxk(Qn) = Θn(n).

Henry Liu Rainbow cycles through specified vertices

SLIDE 92

Introduction General graphs Wheels Complete, complete bipartite and multipartite graphs Discrete Cube

Sketch of proof.

Lower bound.

Henry Liu Rainbow cycles through specified vertices

SLIDE 93

Introduction General graphs Wheels Complete, complete bipartite and multipartite graphs Discrete Cube

Sketch of proof.

Lower bound.

◮ We prove that crxk(Qn) > kn 2 for n ≥ 4k2. We will find k

vertices in Qn such that every pair is at distance > n

2.

Henry Liu Rainbow cycles through specified vertices

SLIDE 94

Introduction General graphs Wheels Complete, complete bipartite and multipartite graphs Discrete Cube

Sketch of proof.

Lower bound.

◮ We prove that crxk(Qn) > kn 2 for n ≥ 4k2. We will find k

vertices in Qn such that every pair is at distance > n

2. ◮ Recall that a Hadamard matrix is a (−1, 1) matrix where

every two column vectors are orthogonal, i.e., number of agreeing coordinates = number of differing coordinates.

Henry Liu Rainbow cycles through specified vertices

SLIDE 95

Introduction General graphs Wheels Complete, complete bipartite and multipartite graphs Discrete Cube

Sketch of proof.

Lower bound.

◮ We prove that crxk(Qn) > kn 2 for n ≥ 4k2. We will find k

vertices in Qn such that every pair is at distance > n

2. ◮ Recall that a Hadamard matrix is a (−1, 1) matrix where

every two column vectors are orthogonal, i.e., number of agreeing coordinates = number of differing coordinates.

◮ Let k′ be the smallest power of 2 with k′ ≥ k, and Hk′ be a

k′ × k′ Hadamard matrix (exists by Sylvester’s construction).

Henry Liu Rainbow cycles through specified vertices

SLIDE 96

Introduction General graphs Wheels Complete, complete bipartite and multipartite graphs Discrete Cube

Sketch of proof.

Lower bound.

◮ We prove that crxk(Qn) > kn 2 for n ≥ 4k2. We will find k

vertices in Qn such that every pair is at distance > n

2. ◮ Recall that a Hadamard matrix is a (−1, 1) matrix where

every two column vectors are orthogonal, i.e., number of agreeing coordinates = number of differing coordinates.

◮ Let k′ be the smallest power of 2 with k′ ≥ k, and Hk′ be a

k′ × k′ Hadamard matrix (exists by Sylvester’s construction).

◮ Delete the all 1’s row, replace all −1 with 0, and take k of the

column (k′ − 1)-vectors.

Henry Liu Rainbow cycles through specified vertices

SLIDE 97

Introduction General graphs Wheels Complete, complete bipartite and multipartite graphs Discrete Cube

Sketch of proof.

Lower bound.

◮ We prove that crxk(Qn) > kn 2 for n ≥ 4k2. We will find k

vertices in Qn such that every pair is at distance > n

2. ◮ Recall that a Hadamard matrix is a (−1, 1) matrix where

every two column vectors are orthogonal, i.e., number of agreeing coordinates = number of differing coordinates.

◮ Let k′ be the smallest power of 2 with k′ ≥ k, and Hk′ be a

k′ × k′ Hadamard matrix (exists by Sylvester’s construction).

◮ Delete the all 1’s row, replace all −1 with 0, and take k of the

column (k′ − 1)-vectors.

◮ “Blow up” the (k′ − 1)-vectors to n-vectors.

Henry Liu Rainbow cycles through specified vertices

SLIDE 98

Introduction General graphs Wheels Complete, complete bipartite and multipartite graphs Discrete Cube

Upper bound.

Henry Liu Rainbow cycles through specified vertices

SLIDE 99

Introduction General graphs Wheels Complete, complete bipartite and multipartite graphs Discrete Cube

Upper bound.

◮ We will prove a stronger assertion: For n ≥ 11k and

Ck = 222k−1, there is an edge-colouring with at most Ckn colours such that, for any S = (v1, . . . , vk) ∈ V (Qn)k, there exists a closed walk containing S such that if Pi connects vi and vi+1, then Pi has length at least 2 or is trivial (if vi = vi+1), with the Pi disjoint.

Henry Liu Rainbow cycles through specified vertices

SLIDE 100

Introduction General graphs Wheels Complete, complete bipartite and multipartite graphs Discrete Cube

Upper bound.

◮ We will prove a stronger assertion: For n ≥ 11k and

Ck = 222k−1, there is an edge-colouring with at most Ckn colours such that, for any S = (v1, . . . , vk) ∈ V (Qn)k, there exists a closed walk containing S such that if Pi connects vi and vi+1, then Pi has length at least 2 or is trivial (if vi = vi+1), with the Pi disjoint.

◮ Recall: A graph is k-linked if it has at least 2k vertices, and

for any sequence s1, . . . , sk, t1, . . . , tk of distinct vertices, there are disjoint paths P1, . . . , Pk where Pi connects si and ti.

Henry Liu Rainbow cycles through specified vertices

SLIDE 101

Introduction General graphs Wheels Complete, complete bipartite and multipartite graphs Discrete Cube

Upper bound.

◮ We will prove a stronger assertion: For n ≥ 11k and

Ck = 222k−1, there is an edge-colouring with at most Ckn colours such that, for any S = (v1, . . . , vk) ∈ V (Qn)k, there exists a closed walk containing S such that if Pi connects vi and vi+1, then Pi has length at least 2 or is trivial (if vi = vi+1), with the Pi disjoint.

◮ Recall: A graph is k-linked if it has at least 2k vertices, and

for any sequence s1, . . . , sk, t1, . . . , tk of distinct vertices, there are disjoint paths P1, . . . , Pk where Pi connects si and ti.

◮ Thomas and Wollan (2005) proved that if G is

10k-connected, then G is k-linked.

Henry Liu Rainbow cycles through specified vertices

SLIDE 102

Introduction General graphs Wheels Complete, complete bipartite and multipartite graphs Discrete Cube

Upper bound.

◮ We will prove a stronger assertion: For n ≥ 11k and

Ck = 222k−1, there is an edge-colouring with at most Ckn colours such that, for any S = (v1, . . . , vk) ∈ V (Qn)k, there exists a closed walk containing S such that if Pi connects vi and vi+1, then Pi has length at least 2 or is trivial (if vi = vi+1), with the Pi disjoint.

◮ Recall: A graph is k-linked if it has at least 2k vertices, and

for any sequence s1, . . . , sk, t1, . . . , tk of distinct vertices, there are disjoint paths P1, . . . , Pk where Pi connects si and ti.

◮ Thomas and Wollan (2005) proved that if G is

10k-connected, then G is k-linked.

◮ Using this, we can show that for S ∈ V (Qn)k, there exists

such a closed walk in Qn containing S.

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SLIDE 103

Introduction General graphs Wheels Complete, complete bipartite and multipartite graphs Discrete Cube

Upper bound.

◮ We will prove a stronger assertion: For n ≥ 11k and

Ck = 222k−1, there is an edge-colouring with at most Ckn colours such that, for any S = (v1, . . . , vk) ∈ V (Qn)k, there exists a closed walk containing S such that if Pi connects vi and vi+1, then Pi has length at least 2 or is trivial (if vi = vi+1), with the Pi disjoint.

◮ Recall: A graph is k-linked if it has at least 2k vertices, and

for any sequence s1, . . . , sk, t1, . . . , tk of distinct vertices, there are disjoint paths P1, . . . , Pk where Pi connects si and ti.

◮ Thomas and Wollan (2005) proved that if G is

10k-connected, then G is k-linked.

◮ Using this, we can show that for S ∈ V (Qn)k, there exists

such a closed walk in Qn containing S.

◮ For n = 11ak, Qn = Q11(a−1)k ⊕ Q11k. Use induction on a.

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SLIDE 104

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We proved Theorem 11 with ck = k

2 and Ck = 222k−1.

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SLIDE 105

Introduction General graphs Wheels Complete, complete bipartite and multipartite graphs Discrete Cube

We proved Theorem 11 with ck = k

2 and Ck = 222k−1.

Problem 12

For n ≥ 4, determine crxk(Qn) for every 4 ≤ k < 2n−1. Or, improve the constants ck, Ck in Theorem 11.

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SLIDE 106

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Thank you!

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