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✳ ❉✐s❝r❡t❡ ♥♦♥✲❝r♦ss✐♥❣ ♠♦❞❡❧s ❚❤❡ ❝♦♥t✐♥✉♦✉s ♠♦❞❡❧ Pr♦✈✐♥❣ t❤❡ ❝♦♥✈❡r❣❡♥❝❡ ❆♣♣❧✐❝❛t✐♦♥ t♦ ✉♥✐❢♦r♠ ❞✐ss❡❝t✐♦♥s ❇r✐❡❢ r❡❝❛♣ ♦♥ ●❛❧t♦♥✲❲❛ts♦♥ tr❡❡s Pr♦♣♦s✐t✐♦♥ ▲❡t ν ❜❡ ❞❡✜♥❡❞ ❜② ν ( k ) = 1 / 2 k + 1 ❢♦r k � 0 ✳ ❚❤❡♥ t❤❡ ❧❛✇ ♦❢ ❛ ✉♥✐❢♦r♠❧② ❞✐str✐❜✉t❡❞ tr❡❡ ✇✐t❤ n ✈❡rt✐❝❡s ✐s t❤❡ ❧❛✇ ♦❢ ❛ GW ν tr❡❡ ❝♦♥❞✐t✐♦♥❡❞ ♦♥ ❤❛✈✐♥❣ n ✈❡rt✐❝❡s✳ Pr♦♦❢✳ ▲❡t τ ❜❡ ❛ tr❡❡ ✇✐t❤ n ✈❡rt✐❝❡s✳ ■t s✉✣❝❡s t♦ ♣r♦✈❡ t❤❛t P ν [ τ ] ❞❡♣❡♥❞s ♦♥❧② ♦♥ n ✳ ❲❡ ❤❛✈❡ ✭ k u ❜❡✐♥❣ t❤❡ ♥✉♠❜❡r ♦❢ ❝❤✐❧❞r❡♥ ♦❢ u ✮✿ � ( k u + 1 ) − � � 1 u ∈ τ P ν [ τ ] = ν k u = 2 k u + 1 = 2 u ∈ τ u ∈ τ ■❣♦r ❑♦rt❝❤❡♠s❦✐ ❯♥✐✈❡rs❛❧✐t② ♦❢ t❤❡ ❇r♦✇♥✐❛♥ tr✐❛♥❣✉❧❛t✐♦♥
✳ ❉✐s❝r❡t❡ ♥♦♥✲❝r♦ss✐♥❣ ♠♦❞❡❧s ❚❤❡ ❝♦♥t✐♥✉♦✉s ♠♦❞❡❧ Pr♦✈✐♥❣ t❤❡ ❝♦♥✈❡r❣❡♥❝❡ ❆♣♣❧✐❝❛t✐♦♥ t♦ ✉♥✐❢♦r♠ ❞✐ss❡❝t✐♦♥s ❇r✐❡❢ r❡❝❛♣ ♦♥ ●❛❧t♦♥✲❲❛ts♦♥ tr❡❡s Pr♦♣♦s✐t✐♦♥ ▲❡t ν ❜❡ ❞❡✜♥❡❞ ❜② ν ( k ) = 1 / 2 k + 1 ❢♦r k � 0 ✳ ❚❤❡♥ t❤❡ ❧❛✇ ♦❢ ❛ ✉♥✐❢♦r♠❧② ❞✐str✐❜✉t❡❞ tr❡❡ ✇✐t❤ n ✈❡rt✐❝❡s ✐s t❤❡ ❧❛✇ ♦❢ ❛ GW ν tr❡❡ ❝♦♥❞✐t✐♦♥❡❞ ♦♥ ❤❛✈✐♥❣ n ✈❡rt✐❝❡s✳ Pr♦♦❢✳ ▲❡t τ ❜❡ ❛ tr❡❡ ✇✐t❤ n ✈❡rt✐❝❡s✳ ■t s✉✣❝❡s t♦ ♣r♦✈❡ t❤❛t P ν [ τ ] ❞❡♣❡♥❞s ♦♥❧② ♦♥ n ✳ ❲❡ ❤❛✈❡ ✭ k u ❜❡✐♥❣ t❤❡ ♥✉♠❜❡r ♦❢ ❝❤✐❧❞r❡♥ ♦❢ u ✮✿ � ( k u + 1 ) − � � 1 u ∈ τ P ν [ τ ] = ν k u = 2 k u + 1 = 2 u ∈ τ u ∈ τ � ( k u + 1 ) = 3 + 3 + 1 + 1 + 1 = 9 u ∈ τ = 2 × 5 − 1 ■❣♦r ❑♦rt❝❤❡♠s❦✐ ❯♥✐✈❡rs❛❧✐t② ♦❢ t❤❡ ❇r♦✇♥✐❛♥ tr✐❛♥❣✉❧❛t✐♦♥
❉✐s❝r❡t❡ ♥♦♥✲❝r♦ss✐♥❣ ♠♦❞❡❧s ❚❤❡ ❝♦♥t✐♥✉♦✉s ♠♦❞❡❧ Pr♦✈✐♥❣ t❤❡ ❝♦♥✈❡r❣❡♥❝❡ ❆♣♣❧✐❝❛t✐♦♥ t♦ ✉♥✐❢♦r♠ ❞✐ss❡❝t✐♦♥s ❇r✐❡❢ r❡❝❛♣ ♦♥ ●❛❧t♦♥✲❲❛ts♦♥ tr❡❡s Pr♦♣♦s✐t✐♦♥ ▲❡t ν ❜❡ ❞❡✜♥❡❞ ❜② ν ( k ) = 1 / 2 k + 1 ❢♦r k � 0 ✳ ❚❤❡♥ t❤❡ ❧❛✇ ♦❢ ❛ ✉♥✐❢♦r♠❧② ❞✐str✐❜✉t❡❞ tr❡❡ ✇✐t❤ n ✈❡rt✐❝❡s ✐s t❤❡ ❧❛✇ ♦❢ ❛ GW ν tr❡❡ ❝♦♥❞✐t✐♦♥❡❞ ♦♥ ❤❛✈✐♥❣ n ✈❡rt✐❝❡s✳ Pr♦♦❢✳ ▲❡t τ ❜❡ ❛ tr❡❡ ✇✐t❤ n ✈❡rt✐❝❡s✳ ■t s✉✣❝❡s t♦ ♣r♦✈❡ t❤❛t P ν [ τ ] ❞❡♣❡♥❞s ♦♥❧② ♦♥ n ✳ ❲❡ ❤❛✈❡ ✭ k u ❜❡✐♥❣ t❤❡ ♥✉♠❜❡r ♦❢ ❝❤✐❧❞r❡♥ ♦❢ u ✮✿ � ( k u + 1 ) − � � 1 = 2 − 2 n + 1 ✳ u ∈ τ P ν [ τ ] = ν k u = 2 k u + 1 = 2 u ∈ τ u ∈ τ � ( k u + 1 ) = 3 + 3 + 1 + 1 + 1 = 9 u ∈ τ = 2 × 5 − 1 ■❣♦r ❑♦rt❝❤❡♠s❦✐ ❯♥✐✈❡rs❛❧✐t② ♦❢ t❤❡ ❇r♦✇♥✐❛♥ tr✐❛♥❣✉❧❛t✐♦♥
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