r trt rs - - PowerPoint PPT Presentation

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❉✐s❝r❡t❡ ♥♦♥✲❝r♦ss✐♥❣ ♠♦❞❡❧s ❚❤❡ ❝♦♥t✐♥✉♦✉s ♠♦❞❡❧ Pr♦✈✐♥❣ t❤❡ ❝♦♥✈❡r❣❡♥❝❡ ❆♣♣❧✐❝❛t✐♦♥ t♦ ✉♥✐❢♦r♠ ❞✐ss❡❝t✐♦♥s

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❊①❛♠♣❧❡ ♦❢ ❛ ♥♦♥✲❝r♦ss✐♥❣ tr❡❡ ♦❢ P10✿

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❉✐s❝r❡t❡ ♥♦♥✲❝r♦ss✐♥❣ ♠♦❞❡❧s ❚❤❡ ❝♦♥t✐♥✉♦✉s ♠♦❞❡❧ Pr♦✈✐♥❣ t❤❡ ❝♦♥✈❡r❣❡♥❝❡ ❆♣♣❧✐❝❛t✐♦♥ t♦ ✉♥✐❢♦r♠ ❞✐ss❡❝t✐♦♥s

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❉✐s❝r❡t❡ ♥♦♥✲❝r♦ss✐♥❣ ♠♦❞❡❧s ❚❤❡ ❝♦♥t✐♥✉♦✉s ♠♦❞❡❧ Pr♦✈✐♥❣ t❤❡ ❝♦♥✈❡r❣❡♥❝❡ ❆♣♣❧✐❝❛t✐♦♥ t♦ ✉♥✐❢♦r♠ ❞✐ss❡❝t✐♦♥s

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◆♦♥✲❝r♦ss✐♥❣ ♣❛✐r ♣❛rt✐t✐♦♥s

❊①❛♠♣❧❡ ♦❢ ❛ ♥♦♥✲❝r♦ss✐♥❣ ♣❛✐r✲♣❛rt✐t✐♦♥ ♦❢ P20✿

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• X12

< ∞✳ ❙❡t ✳ ❚❤❡♥✿ ✇❤❡r❡ ✐s ❛ ❝♦♥t✐♥✉♦✉s r❛♥❞♦♠ ❢✉♥❝t✐♦♥ ❝❛❧❧❡❞ ❇r♦✇♥✐❛♥ ♠♦t✐♦♥ ✭✇❤✐❝❤ ❞♦❡s ♥♦t ❞❡♣❡♥❞ ♦♥ ✮✳ ❢♦r ✳ ✿

■❣♦r ❑♦rt❝❤❡♠s❦✐ ❯♥✐✈❡rs❛❧✐t② ♦❢ t❤❡ ❇r♦✇♥✐❛♥ tr✐❛♥❣✉❧❛t✐♦♥

❉✐s❝r❡t❡ ♥♦♥✲❝r♦ss✐♥❣ ♠♦❞❡❧s ❚❤❡ ❝♦♥t✐♥✉♦✉s ♠♦❞❡❧ Pr♦✈✐♥❣ t❤❡ ❝♦♥✈❡r❣❡♥❝❡ ❆♣♣❧✐❝❛t✐♦♥ t♦ ✉♥✐❢♦r♠ ❞✐ss❡❝t✐♦♥s

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❚❤❡♦r❡♠ ✭❉♦♥s❦❡r✮

▲❡t (Xn)n1 ❜❡ ❛ s❡q✉❡♥❝❡ ♦❢ ✐✳✐✳❞ r❛♥❞♦♠ ✈❛r✐❛❜❧❡s ✇✐t❤ E [X1] = 0 ❛♥❞ σ2 = E

• X12

< ∞✳ ❙❡t Sn = X1 + X2 + · · · + Xn✳ ❚❤❡♥✿ ✇❤❡r❡ ✐s ❛ ❝♦♥t✐♥✉♦✉s r❛♥❞♦♠ ❢✉♥❝t✐♦♥ ❝❛❧❧❡❞ ❇r♦✇♥✐❛♥ ♠♦t✐♦♥ ✭✇❤✐❝❤ ❞♦❡s ♥♦t ❞❡♣❡♥❞ ♦♥ ✮✳ ❢♦r ✳ ✿

■❣♦r ❑♦rt❝❤❡♠s❦✐ ❯♥✐✈❡rs❛❧✐t② ♦❢ t❤❡ ❇r♦✇♥✐❛♥ tr✐❛♥❣✉❧❛t✐♦♥

❉✐s❝r❡t❡ ♥♦♥✲❝r♦ss✐♥❣ ♠♦❞❡❧s ❚❤❡ ❝♦♥t✐♥✉♦✉s ♠♦❞❡❧ Pr♦✈✐♥❣ t❤❡ ❝♦♥✈❡r❣❡♥❝❡ ❆♣♣❧✐❝❛t✐♦♥ t♦ ✉♥✐❢♦r♠ ❞✐ss❡❝t✐♦♥s

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❚❤❡♦r❡♠ ✭❉♦♥s❦❡r✮

▲❡t (Xn)n1 ❜❡ ❛ s❡q✉❡♥❝❡ ♦❢ ✐✳✐✳❞ r❛♥❞♦♠ ✈❛r✐❛❜❧❡s ✇✐t❤ E [X1] = 0 ❛♥❞ σ2 = E

• X12

< ∞✳ ❙❡t Sn = X1 + X2 + · · · + Xn✳ ❚❤❡♥✿ Snt σ√n, t 0

• (d)

− →

n→∞

✇❤❡r❡ ✐s ❛ ❝♦♥t✐♥✉♦✉s r❛♥❞♦♠ ❢✉♥❝t✐♦♥ ❝❛❧❧❡❞ ❇r♦✇♥✐❛♥ ♠♦t✐♦♥ ✭✇❤✐❝❤ ❞♦❡s ♥♦t ❞❡♣❡♥❞ ♦♥ ✮✳ ❢♦r ✳ ✿

■❣♦r ❑♦rt❝❤❡♠s❦✐ ❯♥✐✈❡rs❛❧✐t② ♦❢ t❤❡ ❇r♦✇♥✐❛♥ tr✐❛♥❣✉❧❛t✐♦♥

❉✐s❝r❡t❡ ♥♦♥✲❝r♦ss✐♥❣ ♠♦❞❡❧s ❚❤❡ ❝♦♥t✐♥✉♦✉s ♠♦❞❡❧ Pr♦✈✐♥❣ t❤❡ ❝♦♥✈❡r❣❡♥❝❡ ❆♣♣❧✐❝❛t✐♦♥ t♦ ✉♥✐❢♦r♠ ❞✐ss❡❝t✐♦♥s

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❚❤❡♦r❡♠ ✭❉♦♥s❦❡r✮

▲❡t (Xn)n1 ❜❡ ❛ s❡q✉❡♥❝❡ ♦❢ ✐✳✐✳❞ r❛♥❞♦♠ ✈❛r✐❛❜❧❡s ✇✐t❤ E [X1] = 0 ❛♥❞ σ2 = E

• X12

< ∞✳ ❙❡t Sn = X1 + X2 + · · · + Xn✳ ❚❤❡♥✿ Snt σ√n, t 0

• (d)

− →

n→∞

(Wt, t 0), ✇❤❡r❡ ✐s ❛ ❝♦♥t✐♥✉♦✉s r❛♥❞♦♠ ❢✉♥❝t✐♦♥ ❝❛❧❧❡❞ ❇r♦✇♥✐❛♥ ♠♦t✐♦♥ ✭✇❤✐❝❤ ❞♦❡s ♥♦t ❞❡♣❡♥❞ ♦♥ ✮✳ ❢♦r ✳ ✿

■❣♦r ❑♦rt❝❤❡♠s❦✐ ❯♥✐✈❡rs❛❧✐t② ♦❢ t❤❡ ❇r♦✇♥✐❛♥ tr✐❛♥❣✉❧❛t✐♦♥

❉✐s❝r❡t❡ ♥♦♥✲❝r♦ss✐♥❣ ♠♦❞❡❧s ❚❤❡ ❝♦♥t✐♥✉♦✉s ♠♦❞❡❧ Pr♦✈✐♥❣ t❤❡ ❝♦♥✈❡r❣❡♥❝❡ ❆♣♣❧✐❝❛t✐♦♥ t♦ ✉♥✐❢♦r♠ ❞✐ss❡❝t✐♦♥s

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▲❡t (Xn)n1 ❜❡ ❛ s❡q✉❡♥❝❡ ♦❢ ✐✳✐✳❞ r❛♥❞♦♠ ✈❛r✐❛❜❧❡s ✇✐t❤ E [X1] = 0 ❛♥❞ σ2 = E

• X12

< ∞✳ ❙❡t Sn = X1 + X2 + · · · + Xn✳ ❚❤❡♥✿ Snt σ√n, t 0

• (d)

− →

n→∞

(Wt, t 0), ✇❤❡r❡ (Wt, t 0) ✐s ❛ ❝♦♥t✐♥✉♦✉s r❛♥❞♦♠ ❢✉♥❝t✐♦♥ ❝❛❧❧❡❞ ❇r♦✇♥✐❛♥ ♠♦t✐♦♥ ✭✇❤✐❝❤ ❞♦❡s ♥♦t ❞❡♣❡♥❞ ♦♥ σ✮✳ ❢♦r ✳ ✿

■❣♦r ❑♦rt❝❤❡♠s❦✐ ❯♥✐✈❡rs❛❧✐t② ♦❢ t❤❡ ❇r♦✇♥✐❛♥ tr✐❛♥❣✉❧❛t✐♦♥

❉✐s❝r❡t❡ ♥♦♥✲❝r♦ss✐♥❣ ♠♦❞❡❧s ❚❤❡ ❝♦♥t✐♥✉♦✉s ♠♦❞❡❧ Pr♦✈✐♥❣ t❤❡ ❝♦♥✈❡r❣❡♥❝❡ ❆♣♣❧✐❝❛t✐♦♥ t♦ ✉♥✐❢♦r♠ ❞✐ss❡❝t✐♦♥s

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▲❡t (Xn)n1 ❜❡ ❛ s❡q✉❡♥❝❡ ♦❢ ✐✳✐✳❞ r❛♥❞♦♠ ✈❛r✐❛❜❧❡s ✇✐t❤ E [X1] = 0 ❛♥❞ σ2 = E

• X12

< ∞✳ ❙❡t Sn = X1 + X2 + · · · + Xn✳ ❚❤❡♥✿ Snt σ√n, t 0

• (d)

− →

n→∞

(Wt, t 0), ✇❤❡r❡ (Wt, t 0) ✐s ❛ ❝♦♥t✐♥✉♦✉s r❛♥❞♦♠ ❢✉♥❝t✐♦♥ ❝❛❧❧❡❞ ❇r♦✇♥✐❛♥ ♠♦t✐♦♥ ✭✇❤✐❝❤ ❞♦❡s ♥♦t ❞❡♣❡♥❞ ♦♥ σ✮✳ Snt σ√n, 0 t 1

• ❢♦r n = 100 :

❢♦r ✳ ✿

■❣♦r ❑♦rt❝❤❡♠s❦✐ ❯♥✐✈❡rs❛❧✐t② ♦❢ t❤❡ ❇r♦✇♥✐❛♥ tr✐❛♥❣✉❧❛t✐♦♥

❉✐s❝r❡t❡ ♥♦♥✲❝r♦ss✐♥❣ ♠♦❞❡❧s ❚❤❡ ❝♦♥t✐♥✉♦✉s ♠♦❞❡❧ Pr♦✈✐♥❣ t❤❡ ❝♦♥✈❡r❣❡♥❝❡ ❆♣♣❧✐❝❛t✐♦♥ t♦ ✉♥✐❢♦r♠ ❞✐ss❡❝t✐♦♥s

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▲❡t (Xn)n1 ❜❡ ❛ s❡q✉❡♥❝❡ ♦❢ ✐✳✐✳❞ r❛♥❞♦♠ ✈❛r✐❛❜❧❡s ✇✐t❤ E [X1] = 0 ❛♥❞ σ2 = E

• X12

< ∞✳ ❙❡t Sn = X1 + X2 + · · · + Xn✳ ❚❤❡♥✿ Snt σ√n, t 0

• (d)

− →

n→∞

(Wt, t 0), ✇❤❡r❡ (Wt, t 0) ✐s ❛ ❝♦♥t✐♥✉♦✉s r❛♥❞♦♠ ❢✉♥❝t✐♦♥ ❝❛❧❧❡❞ ❇r♦✇♥✐❛♥ ♠♦t✐♦♥ ✭✇❤✐❝❤ ❞♦❡s ♥♦t ❞❡♣❡♥❞ ♦♥ σ✮✳ Snt σ√n, 0 t 1

• ❢♦r n = 100✳000✿

■❣♦r ❑♦rt❝❤❡♠s❦✐ ❯♥✐✈❡rs❛❧✐t② ♦❢ t❤❡ ❇r♦✇♥✐❛♥ tr✐❛♥❣✉❧❛t✐♦♥

❉✐s❝r❡t❡ ♥♦♥✲❝r♦ss✐♥❣ ♠♦❞❡❧s ❚❤❡ ❝♦♥t✐♥✉♦✉s ♠♦❞❡❧ Pr♦✈✐♥❣ t❤❡ ❝♦♥✈❡r❣❡♥❝❡ ❆♣♣❧✐❝❛t✐♦♥ t♦ ✉♥✐❢♦r♠ ❞✐ss❡❝t✐♦♥s

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▲❡t (Xn)n1 ❜❡ ❛ s❡q✉❡♥❝❡ ♦❢ ✐✳✐✳❞✳ r❛♥❞♦♠ ✈❛r✐❛❜❧❡s ✇✐t❤ E [X1] = 0 ❛♥❞ σ2 = E

• X12

< ∞✳ ❙❡t ✳ ❚❤❡♥✿ ❡ ✇❤❡r❡ ❡ ✐s ❛ ❝♦♥t✐♥✉♦✉s r❛♥❞♦♠ ❢✉♥❝t✐♦♥ ❝❛❧❧❡❞ t❤❡ ❇r♦✇♥✐❛♥ ❡①❝✉rs✐♦♥✳ ❚❤❡ ❇r♦✇♥✐❛♥ ❡①❝✉rs✐♦♥ ❝❛♥ ❜❡ s❡❡♥ ❛s ❇r♦✇♥✐❛♥ ♠♦t✐♦♥ ❝♦♥❞✐t✐♦♥❡❞ ♦♥ ❛♥❞ ❢♦r ✳

■❣♦r ❑♦rt❝❤❡♠s❦✐ ❯♥✐✈❡rs❛❧✐t② ♦❢ t❤❡ ❇r♦✇♥✐❛♥ tr✐❛♥❣✉❧❛t✐♦♥

❉✐s❝r❡t❡ ♥♦♥✲❝r♦ss✐♥❣ ♠♦❞❡❧s ❚❤❡ ❝♦♥t✐♥✉♦✉s ♠♦❞❡❧ Pr♦✈✐♥❣ t❤❡ ❝♦♥✈❡r❣❡♥❝❡ ❆♣♣❧✐❝❛t✐♦♥ t♦ ✉♥✐❢♦r♠ ❞✐ss❡❝t✐♦♥s

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▲❡t (Xn)n1 ❜❡ ❛ s❡q✉❡♥❝❡ ♦❢ ✐✳✐✳❞✳ r❛♥❞♦♠ ✈❛r✐❛❜❧❡s ✇✐t❤ E [X1] = 0 ❛♥❞ σ2 = E

• X12

< ∞✳ ❙❡t Sn = X1 + X2 + · · · + Xn✳ ❚❤❡♥✿ ❡ ✇❤❡r❡ ❡ ✐s ❛ ❝♦♥t✐♥✉♦✉s r❛♥❞♦♠ ❢✉♥❝t✐♦♥ ❝❛❧❧❡❞ t❤❡ ❇r♦✇♥✐❛♥ ❡①❝✉rs✐♦♥✳ ❚❤❡ ❇r♦✇♥✐❛♥ ❡①❝✉rs✐♦♥ ❝❛♥ ❜❡ s❡❡♥ ❛s ❇r♦✇♥✐❛♥ ♠♦t✐♦♥ ❝♦♥❞✐t✐♦♥❡❞ ♦♥ ❛♥❞ ❢♦r ✳

■❣♦r ❑♦rt❝❤❡♠s❦✐ ❯♥✐✈❡rs❛❧✐t② ♦❢ t❤❡ ❇r♦✇♥✐❛♥ tr✐❛♥❣✉❧❛t✐♦♥

❉✐s❝r❡t❡ ♥♦♥✲❝r♦ss✐♥❣ ♠♦❞❡❧s ❚❤❡ ❝♦♥t✐♥✉♦✉s ♠♦❞❡❧ Pr♦✈✐♥❣ t❤❡ ❝♦♥✈❡r❣❡♥❝❡ ❆♣♣❧✐❝❛t✐♦♥ t♦ ✉♥✐❢♦r♠ ❞✐ss❡❝t✐♦♥s

❚❤❡♦r❡♠ ✭❉♦♥s❦❡r✱ ❝♦♥❞✐t✐♦♥❡❞ ✈❡rs✐♦♥✮

▲❡t (Xn)n1 ❜❡ ❛ s❡q✉❡♥❝❡ ♦❢ ✐✳✐✳❞✳ r❛♥❞♦♠ ✈❛r✐❛❜❧❡s ✇✐t❤ E [X1] = 0 ❛♥❞ σ2 = E

• X12

< ∞✳ ❙❡t Sn = X1 + X2 + · · · + Xn✳ ❚❤❡♥✿ Snt σ√n, t 0

• Sn = 0, Si 0 for i < n
• (d)

− →

n→∞

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■❣♦r ❑♦rt❝❤❡♠s❦✐ ❯♥✐✈❡rs❛❧✐t② ♦❢ t❤❡ ❇r♦✇♥✐❛♥ tr✐❛♥❣✉❧❛t✐♦♥

❉✐s❝r❡t❡ ♥♦♥✲❝r♦ss✐♥❣ ♠♦❞❡❧s ❚❤❡ ❝♦♥t✐♥✉♦✉s ♠♦❞❡❧ Pr♦✈✐♥❣ t❤❡ ❝♦♥✈❡r❣❡♥❝❡ ❆♣♣❧✐❝❛t✐♦♥ t♦ ✉♥✐❢♦r♠ ❞✐ss❡❝t✐♦♥s

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▲❡t (Xn)n1 ❜❡ ❛ s❡q✉❡♥❝❡ ♦❢ ✐✳✐✳❞✳ r❛♥❞♦♠ ✈❛r✐❛❜❧❡s ✇✐t❤ E [X1] = 0 ❛♥❞ σ2 = E

• X12

< ∞✳ ❙❡t Sn = X1 + X2 + · · · + Xn✳ ❚❤❡♥✿ Snt σ√n, t 0

• Sn = 0, Si 0 for i < n
• (d)

− →

n→∞

(❡t, t 0), ✇❤❡r❡ ❡ ✐s ❛ ❝♦♥t✐♥✉♦✉s r❛♥❞♦♠ ❢✉♥❝t✐♦♥ ❝❛❧❧❡❞ t❤❡ ❇r♦✇♥✐❛♥ ❡①❝✉rs✐♦♥✳ ❚❤❡ ❇r♦✇♥✐❛♥ ❡①❝✉rs✐♦♥ ❝❛♥ ❜❡ s❡❡♥ ❛s ❇r♦✇♥✐❛♥ ♠♦t✐♦♥ ❝♦♥❞✐t✐♦♥❡❞ ♦♥ ❛♥❞ ❢♦r ✳

■❣♦r ❑♦rt❝❤❡♠s❦✐ ❯♥✐✈❡rs❛❧✐t② ♦❢ t❤❡ ❇r♦✇♥✐❛♥ tr✐❛♥❣✉❧❛t✐♦♥

❉✐s❝r❡t❡ ♥♦♥✲❝r♦ss✐♥❣ ♠♦❞❡❧s ❚❤❡ ❝♦♥t✐♥✉♦✉s ♠♦❞❡❧ Pr♦✈✐♥❣ t❤❡ ❝♦♥✈❡r❣❡♥❝❡ ❆♣♣❧✐❝❛t✐♦♥ t♦ ✉♥✐❢♦r♠ ❞✐ss❡❝t✐♦♥s

❚❤❡♦r❡♠ ✭❉♦♥s❦❡r✱ ❝♦♥❞✐t✐♦♥❡❞ ✈❡rs✐♦♥✮

▲❡t (Xn)n1 ❜❡ ❛ s❡q✉❡♥❝❡ ♦❢ ✐✳✐✳❞✳ r❛♥❞♦♠ ✈❛r✐❛❜❧❡s ✇✐t❤ E [X1] = 0 ❛♥❞ σ2 = E

• X12

< ∞✳ ❙❡t Sn = X1 + X2 + · · · + Xn✳ ❚❤❡♥✿ Snt σ√n, t 0

• Sn = 0, Si 0 for i < n
• (d)

− →

n→∞

(❡t, t 0), ✇❤❡r❡ (❡t, t 0) ✐s ❛ ❝♦♥t✐♥✉♦✉s r❛♥❞♦♠ ❢✉♥❝t✐♦♥ ❝❛❧❧❡❞ t❤❡ ❇r♦✇♥✐❛♥ ❡①❝✉rs✐♦♥✳ ❚❤❡ ❇r♦✇♥✐❛♥ ❡①❝✉rs✐♦♥ ❝❛♥ ❜❡ s❡❡♥ ❛s ❇r♦✇♥✐❛♥ ♠♦t✐♦♥ ❝♦♥❞✐t✐♦♥❡❞ ♦♥ ❛♥❞ ❢♦r ✳

■❣♦r ❑♦rt❝❤❡♠s❦✐ ❯♥✐✈❡rs❛❧✐t② ♦❢ t❤❡ ❇r♦✇♥✐❛♥ tr✐❛♥❣✉❧❛t✐♦♥

❉✐s❝r❡t❡ ♥♦♥✲❝r♦ss✐♥❣ ♠♦❞❡❧s ❚❤❡ ❝♦♥t✐♥✉♦✉s ♠♦❞❡❧ Pr♦✈✐♥❣ t❤❡ ❝♦♥✈❡r❣❡♥❝❡ ❆♣♣❧✐❝❛t✐♦♥ t♦ ✉♥✐❢♦r♠ ❞✐ss❡❝t✐♦♥s

❚❤❡♦r❡♠ ✭❉♦♥s❦❡r✱ ❝♦♥❞✐t✐♦♥❡❞ ✈❡rs✐♦♥✮

▲❡t (Xn)n1 ❜❡ ❛ s❡q✉❡♥❝❡ ♦❢ ✐✳✐✳❞✳ r❛♥❞♦♠ ✈❛r✐❛❜❧❡s ✇✐t❤ E [X1] = 0 ❛♥❞ σ2 = E

• X12

< ∞✳ ❙❡t Sn = X1 + X2 + · · · + Xn✳ ❚❤❡♥✿ Snt σ√n, t 0

• Sn = 0, Si 0 for i < n
• (d)

− →

n→∞

(❡t, t 0), ✇❤❡r❡ (❡t, t 0) ✐s ❛ ❝♦♥t✐♥✉♦✉s r❛♥❞♦♠ ❢✉♥❝t✐♦♥ ❝❛❧❧❡❞ t❤❡ ❇r♦✇♥✐❛♥ ❡①❝✉rs✐♦♥✳ ❚❤❡ ❇r♦✇♥✐❛♥ ❡①❝✉rs✐♦♥ ❝❛♥ ❜❡ s❡❡♥ ❛s ❇r♦✇♥✐❛♥ ♠♦t✐♦♥ ❝♦♥❞✐t✐♦♥❡❞ ♦♥ ❛♥❞ ❢♦r ✳

■❣♦r ❑♦rt❝❤❡♠s❦✐ ❯♥✐✈❡rs❛❧✐t② ♦❢ t❤❡ ❇r♦✇♥✐❛♥ tr✐❛♥❣✉❧❛t✐♦♥

❉✐s❝r❡t❡ ♥♦♥✲❝r♦ss✐♥❣ ♠♦❞❡❧s ❚❤❡ ❝♦♥t✐♥✉♦✉s ♠♦❞❡❧ Pr♦✈✐♥❣ t❤❡ ❝♦♥✈❡r❣❡♥❝❡ ❆♣♣❧✐❝❛t✐♦♥ t♦ ✉♥✐❢♦r♠ ❞✐ss❡❝t✐♦♥s

❚❤❡♦r❡♠ ✭❉♦♥s❦❡r✱ ❝♦♥❞✐t✐♦♥❡❞ ✈❡rs✐♦♥✮

▲❡t (Xn)n1 ❜❡ ❛ s❡q✉❡♥❝❡ ♦❢ ✐✳✐✳❞✳ r❛♥❞♦♠ ✈❛r✐❛❜❧❡s ✇✐t❤ E [X1] = 0 ❛♥❞ σ2 = E

• X12

< ∞✳ ❙❡t Sn = X1 + X2 + · · · + Xn✳ ❚❤❡♥✿ Snt σ√n, t 0

• Sn = 0, Si 0 for i < n
• (d)

− →

n→∞

(❡t, t 0), ✇❤❡r❡ (❡t, t 0) ✐s ❛ ❝♦♥t✐♥✉♦✉s r❛♥❞♦♠ ❢✉♥❝t✐♦♥ ❝❛❧❧❡❞ t❤❡ ❇r♦✇♥✐❛♥ ❡①❝✉rs✐♦♥✳ ❚❤❡ ❇r♦✇♥✐❛♥ ❡①❝✉rs✐♦♥ ❝❛♥ ❜❡ s❡❡♥ ❛s ❇r♦✇♥✐❛♥ ♠♦t✐♦♥ (Wt, 0 t 1) ❝♦♥❞✐t✐♦♥❡❞ ♦♥ W1 = 0 ❛♥❞ Wt > 0 ❢♦r t ∈ (0, 1)✳

■❣♦r ❑♦rt❝❤❡♠s❦✐ ❯♥✐✈❡rs❛❧✐t② ♦❢ t❤❡ ❇r♦✇♥✐❛♥ tr✐❛♥❣✉❧❛t✐♦♥

❉✐s❝r❡t❡ ♥♦♥✲❝r♦ss✐♥❣ ♠♦❞❡❧s ❚❤❡ ❝♦♥t✐♥✉♦✉s ♠♦❞❡❧ Pr♦✈✐♥❣ t❤❡ ❝♦♥✈❡r❣❡♥❝❡ ❆♣♣❧✐❝❛t✐♦♥ t♦ ✉♥✐❢♦r♠ ❞✐ss❡❝t✐♦♥s

❈♦♥str✉❝t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ❧✐♠✐t✐♥❣ ♦❜❥❡❝t

❲❡ st❛rt ❢r♦♠ t❤❡ ❇r♦✇♥✐❛♥ ❡①❝✉rs✐♦♥ ❡✿

■❣♦r ❑♦rt❝❤❡♠s❦✐ ❯♥✐✈❡rs❛❧✐t② ♦❢ t❤❡ ❇r♦✇♥✐❛♥ tr✐❛♥❣✉❧❛t✐♦♥

❉✐s❝r❡t❡ ♥♦♥✲❝r♦ss✐♥❣ ♠♦❞❡❧s ❚❤❡ ❝♦♥t✐♥✉♦✉s ♠♦❞❡❧ Pr♦✈✐♥❣ t❤❡ ❝♦♥✈❡r❣❡♥❝❡ ❆♣♣❧✐❝❛t✐♦♥ t♦ ✉♥✐❢♦r♠ ❞✐ss❡❝t✐♦♥s

❈♦♥str✉❝t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ❧✐♠✐t✐♥❣ ♦❜❥❡❝t

❲❡ st❛rt ❢r♦♠ t❤❡ ❇r♦✇♥✐❛♥ ❡①❝✉rs✐♦♥ ❡✿

0.2 0. 4 0. 6 0. 8 1 0.

■❣♦r ❑♦rt❝❤❡♠s❦✐ ❯♥✐✈❡rs❛❧✐t② ♦❢ t❤❡ ❇r♦✇♥✐❛♥ tr✐❛♥❣✉❧❛t✐♦♥

❉✐s❝r❡t❡ ♥♦♥✲❝r♦ss✐♥❣ ♠♦❞❡❧s ❚❤❡ ❝♦♥t✐♥✉♦✉s ♠♦❞❡❧ Pr♦✈✐♥❣ t❤❡ ❝♦♥✈❡r❣❡♥❝❡ ❆♣♣❧✐❝❛t✐♦♥ t♦ ✉♥✐❢♦r♠ ❞✐ss❡❝t✐♦♥s

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❲❡ st❛rt ❢r♦♠ t❤❡ ❇r♦✇♥✐❛♥ ❡①❝✉rs✐♦♥ ❡✿

0.2 0. 4 0. 6 0. 8 1 0.

▲❡t t ❜❡ ❛ ❧♦❝❛❧ ♠✐♥✐♠✉♠ t✐♠❡✳

■❣♦r ❑♦rt❝❤❡♠s❦✐ ❯♥✐✈❡rs❛❧✐t② ♦❢ t❤❡ ❇r♦✇♥✐❛♥ tr✐❛♥❣✉❧❛t✐♦♥

❉✐s❝r❡t❡ ♥♦♥✲❝r♦ss✐♥❣ ♠♦❞❡❧s ❚❤❡ ❝♦♥t✐♥✉♦✉s ♠♦❞❡❧ Pr♦✈✐♥❣ t❤❡ ❝♦♥✈❡r❣❡♥❝❡ ❆♣♣❧✐❝❛t✐♦♥ t♦ ✉♥✐❢♦r♠ ❞✐ss❡❝t✐♦♥s

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❲❡ st❛rt ❢r♦♠ t❤❡ ❇r♦✇♥✐❛♥ ❡①❝✉rs✐♦♥ ❡✿

0.2 0. 4 0. 6 0. 8 1 0.

t ▲❡t t ❜❡ ❛ ❧♦❝❛❧ ♠✐♥✐♠✉♠ t✐♠❡✳

■❣♦r ❑♦rt❝❤❡♠s❦✐ ❯♥✐✈❡rs❛❧✐t② ♦❢ t❤❡ ❇r♦✇♥✐❛♥ tr✐❛♥❣✉❧❛t✐♦♥

❉✐s❝r❡t❡ ♥♦♥✲❝r♦ss✐♥❣ ♠♦❞❡❧s ❚❤❡ ❝♦♥t✐♥✉♦✉s ♠♦❞❡❧ Pr♦✈✐♥❣ t❤❡ ❝♦♥✈❡r❣❡♥❝❡ ❆♣♣❧✐❝❛t✐♦♥ t♦ ✉♥✐❢♦r♠ ❞✐ss❡❝t✐♦♥s

❈♦♥str✉❝t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ❧✐♠✐t✐♥❣ ♦❜❥❡❝t

❲❡ st❛rt ❢r♦♠ t❤❡ ❇r♦✇♥✐❛♥ ❡①❝✉rs✐♦♥ ❡✿

0.2 0. 4 0. 6 0. 8 1 0.

t ▲❡t t ❜❡ ❛ ❧♦❝❛❧ ♠✐♥✐♠✉♠ t✐♠❡✳ ❙❡t gt = sup{s < t❀ ❡s = ❡t} ❛♥❞ dt = inf{s > t❀ ❡s = ❡t}✳

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❉✐s❝r❡t❡ ♥♦♥✲❝r♦ss✐♥❣ ♠♦❞❡❧s ❚❤❡ ❝♦♥t✐♥✉♦✉s ♠♦❞❡❧ Pr♦✈✐♥❣ t❤❡ ❝♦♥✈❡r❣❡♥❝❡ ❆♣♣❧✐❝❛t✐♦♥ t♦ ✉♥✐❢♦r♠ ❞✐ss❡❝t✐♦♥s

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❲❡ st❛rt ❢r♦♠ t❤❡ ❇r♦✇♥✐❛♥ ❡①❝✉rs✐♦♥ ❡✿

0.2 0. 4 0. 6 0. 8 1 0.gt

dt

t ▲❡t t ❜❡ ❛ ❧♦❝❛❧ ♠✐♥✐♠✉♠ t✐♠❡✳ ❙❡t gt = sup{s < t❀ ❡s = ❡t} ❛♥❞ dt = inf{s > t❀ ❡s = ❡t}✳

■❣♦r ❑♦rt❝❤❡♠s❦✐ ❯♥✐✈❡rs❛❧✐t② ♦❢ t❤❡ ❇r♦✇♥✐❛♥ tr✐❛♥❣✉❧❛t✐♦♥

❉✐s❝r❡t❡ ♥♦♥✲❝r♦ss✐♥❣ ♠♦❞❡❧s ❚❤❡ ❝♦♥t✐♥✉♦✉s ♠♦❞❡❧ Pr♦✈✐♥❣ t❤❡ ❝♦♥✈❡r❣❡♥❝❡ ❆♣♣❧✐❝❛t✐♦♥ t♦ ✉♥✐❢♦r♠ ❞✐ss❡❝t✐♦♥s

❈♦♥str✉❝t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ❧✐♠✐t✐♥❣ ♦❜❥❡❝t

❲❡ st❛rt ❢r♦♠ t❤❡ ❇r♦✇♥✐❛♥ ❡①❝✉rs✐♦♥ ❡✿

0.2 0. 4 0. 6 0. 8 1 0.gt

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t ▲❡t t ❜❡ ❛ ❧♦❝❛❧ ♠✐♥✐♠✉♠ t✐♠❡✳ ❙❡t gt = sup{s < t❀ ❡s = ❡t} ❛♥❞ dt = inf{s > t❀ ❡s = ❡t}✳ ❚❤❡♥ ❞r❛✇ t❤❡ ❝❤♦r❞s

• e−2iπgt, e−2iπt

✱

• e−2iπt, e−2iπdt

❛♥❞

• e−2iπgt, e−2iπdt

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■❣♦r ❑♦rt❝❤❡♠s❦✐ ❯♥✐✈❡rs❛❧✐t② ♦❢ t❤❡ ❇r♦✇♥✐❛♥ tr✐❛♥❣✉❧❛t✐♦♥

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e−2iπgt

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▲❡t t ❜❡ ❛ ❧♦❝❛❧ ♠✐♥✐♠✉♠ t✐♠❡✳ ❙❡t gt = sup{s < t❀ ❡s = ❡t} ❛♥❞ dt = inf{s > t❀ ❡s = ❡t}✳ ❚❤❡♥ ❞r❛✇ t❤❡ ❝❤♦r❞s

• e−2iπgt, e−2iπt

✱

• e−2iπt, e−2iπdt

❛♥❞

• e−2iπgt, e−2iπdt

✳

■❣♦r ❑♦rt❝❤❡♠s❦✐ ❯♥✐✈❡rs❛❧✐t② ♦❢ t❤❡ ❇r♦✇♥✐❛♥ tr✐❛♥❣✉❧❛t✐♦♥

❉✐s❝r❡t❡ ♥♦♥✲❝r♦ss✐♥❣ ♠♦❞❡❧s ❚❤❡ ❝♦♥t✐♥✉♦✉s ♠♦❞❡❧ Pr♦✈✐♥❣ t❤❡ ❝♦♥✈❡r❣❡♥❝❡ ❆♣♣❧✐❝❛t✐♦♥ t♦ ✉♥✐❢♦r♠ ❞✐ss❡❝t✐♦♥s

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• e−2iπgt, e−2iπt

✱

• e−2iπt, e−2iπdt

❛♥❞

• e−2iπgt, e−2iπdt

✳ ❘❡♣❡❛t t❤✐s ♦♣❡r❛t✐♦♥ ❢♦r ❛❧❧ ❧♦❝❛❧ ♠✐♥✐♠✉♠ t✐♠❡s✳

■❣♦r ❑♦rt❝❤❡♠s❦✐ ❯♥✐✈❡rs❛❧✐t② ♦❢ t❤❡ ❇r♦✇♥✐❛♥ tr✐❛♥❣✉❧❛t✐♦♥

❉✐s❝r❡t❡ ♥♦♥✲❝r♦ss✐♥❣ ♠♦❞❡❧s ❚❤❡ ❝♦♥t✐♥✉♦✉s ♠♦❞❡❧ Pr♦✈✐♥❣ t❤❡ ❝♦♥✈❡r❣❡♥❝❡ ❆♣♣❧✐❝❛t✐♦♥ t♦ ✉♥✐❢♦r♠ ❞✐ss❡❝t✐♦♥s

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0.2 0. 4 0. 6 0. 8 1 0.

▲❡t t ❜❡ ❛ ❧♦❝❛❧ ♠✐♥✐♠✉♠ t✐♠❡✳ ❙❡t gt = sup{s < t❀ ❡s = ❡t} ❛♥❞ dt = inf{s > t❀ ❡s = ❡t}✳ ❚❤❡♥ ❞r❛✇ t❤❡ ❝❤♦r❞s

• e−2iπgt, e−2iπt

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• e−2iπt, e−2iπdt

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■❣♦r ❑♦rt❝❤❡♠s❦✐ ❯♥✐✈❡rs❛❧✐t② ♦❢ t❤❡ ❇r♦✇♥✐❛♥ tr✐❛♥❣✉❧❛t✐♦♥

❉✐s❝r❡t❡ ♥♦♥✲❝r♦ss✐♥❣ ♠♦❞❡❧s ❚❤❡ ❝♦♥t✐♥✉♦✉s ♠♦❞❡❧ Pr♦✈✐♥❣ t❤❡ ❝♦♥✈❡r❣❡♥❝❡ ❆♣♣❧✐❝❛t✐♦♥ t♦ ✉♥✐❢♦r♠ ❞✐ss❡❝t✐♦♥s

❇r✐❡❢ r❡❝❛♣ ♦♥ ●❛❧t♦♥✲❲❛ts♦♥ tr❡❡s

Pr♦♣♦s✐t✐♦♥

▲❡t ν ❜❡ ❞❡✜♥❡❞ ❜② ν(k) = 1/2k+1 ❢♦r k 0✳ ❚❤❡♥ t❤❡ ❧❛✇ ♦❢ ❛ ✉♥✐❢♦r♠❧② ❞✐str✐❜✉t❡❞ tr❡❡ ✇✐t❤ n ✈❡rt✐❝❡s ✐s t❤❡ ❧❛✇ ♦❢ ❛ GWν tr❡❡ ❝♦♥❞✐t✐♦♥❡❞ ♦♥ ❤❛✈✐♥❣ n ✈❡rt✐❝❡s✳

Pr♦♦❢✳

▲❡t ❜❡ ❛ tr❡❡ ✇✐t❤ ✈❡rt✐❝❡s✳ ■t s✉✣❝❡s t♦ ♣r♦✈❡ t❤❛t ❞❡♣❡♥❞s ♦♥❧② ♦♥ ✳ ❲❡ ❤❛✈❡ ✭ ❜❡✐♥❣ t❤❡ ♥✉♠❜❡r ♦❢ ❝❤✐❧❞r❡♥ ♦❢ ✮✿ ✳

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❉✐s❝r❡t❡ ♥♦♥✲❝r♦ss✐♥❣ ♠♦❞❡❧s ❚❤❡ ❝♦♥t✐♥✉♦✉s ♠♦❞❡❧ Pr♦✈✐♥❣ t❤❡ ❝♦♥✈❡r❣❡♥❝❡ ❆♣♣❧✐❝❛t✐♦♥ t♦ ✉♥✐❢♦r♠ ❞✐ss❡❝t✐♦♥s

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Pr♦♣♦s✐t✐♦♥

▲❡t ν ❜❡ ❞❡✜♥❡❞ ❜② ν(k) = 1/2k+1 ❢♦r k 0✳ ❚❤❡♥ t❤❡ ❧❛✇ ♦❢ ❛ ✉♥✐❢♦r♠❧② ❞✐str✐❜✉t❡❞ tr❡❡ ✇✐t❤ n ✈❡rt✐❝❡s ✐s t❤❡ ❧❛✇ ♦❢ ❛ GWν tr❡❡ ❝♦♥❞✐t✐♦♥❡❞ ♦♥ ❤❛✈✐♥❣ n ✈❡rt✐❝❡s✳

Pr♦♦❢✳

▲❡t τ ❜❡ ❛ tr❡❡ ✇✐t❤ n ✈❡rt✐❝❡s✳ ■t s✉✣❝❡s t♦ ♣r♦✈❡ t❤❛t Pν[τ] ❞❡♣❡♥❞s ♦♥❧② ♦♥ n✳ ❲❡ ❤❛✈❡ ✭ ❜❡✐♥❣ t❤❡ ♥✉♠❜❡r ♦❢ ❝❤✐❧❞r❡♥ ♦❢ ✮✿ ✳

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❉✐s❝r❡t❡ ♥♦♥✲❝r♦ss✐♥❣ ♠♦❞❡❧s ❚❤❡ ❝♦♥t✐♥✉♦✉s ♠♦❞❡❧ Pr♦✈✐♥❣ t❤❡ ❝♦♥✈❡r❣❡♥❝❡ ❆♣♣❧✐❝❛t✐♦♥ t♦ ✉♥✐❢♦r♠ ❞✐ss❡❝t✐♦♥s

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Pr♦♣♦s✐t✐♦♥

▲❡t ν ❜❡ ❞❡✜♥❡❞ ❜② ν(k) = 1/2k+1 ❢♦r k 0✳ ❚❤❡♥ t❤❡ ❧❛✇ ♦❢ ❛ ✉♥✐❢♦r♠❧② ❞✐str✐❜✉t❡❞ tr❡❡ ✇✐t❤ n ✈❡rt✐❝❡s ✐s t❤❡ ❧❛✇ ♦❢ ❛ GWν tr❡❡ ❝♦♥❞✐t✐♦♥❡❞ ♦♥ ❤❛✈✐♥❣ n ✈❡rt✐❝❡s✳

Pr♦♦❢✳

▲❡t τ ❜❡ ❛ tr❡❡ ✇✐t❤ n ✈❡rt✐❝❡s✳ ■t s✉✣❝❡s t♦ ♣r♦✈❡ t❤❛t Pν[τ] ❞❡♣❡♥❞s ♦♥❧② ♦♥ n✳ ❲❡ ❤❛✈❡ ✭ku ❜❡✐♥❣ t❤❡ ♥✉♠❜❡r ♦❢ ❝❤✐❧❞r❡♥ ♦❢ u✮✿ Pν[τ] =

• u∈τ

νku ✳

■❣♦r ❑♦rt❝❤❡♠s❦✐ ❯♥✐✈❡rs❛❧✐t② ♦❢ t❤❡ ❇r♦✇♥✐❛♥ tr✐❛♥❣✉❧❛t✐♦♥

❉✐s❝r❡t❡ ♥♦♥✲❝r♦ss✐♥❣ ♠♦❞❡❧s ❚❤❡ ❝♦♥t✐♥✉♦✉s ♠♦❞❡❧ Pr♦✈✐♥❣ t❤❡ ❝♦♥✈❡r❣❡♥❝❡ ❆♣♣❧✐❝❛t✐♦♥ t♦ ✉♥✐❢♦r♠ ❞✐ss❡❝t✐♦♥s

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Pr♦♣♦s✐t✐♦♥

▲❡t ν ❜❡ ❞❡✜♥❡❞ ❜② ν(k) = 1/2k+1 ❢♦r k 0✳ ❚❤❡♥ t❤❡ ❧❛✇ ♦❢ ❛ ✉♥✐❢♦r♠❧② ❞✐str✐❜✉t❡❞ tr❡❡ ✇✐t❤ n ✈❡rt✐❝❡s ✐s t❤❡ ❧❛✇ ♦❢ ❛ GWν tr❡❡ ❝♦♥❞✐t✐♦♥❡❞ ♦♥ ❤❛✈✐♥❣ n ✈❡rt✐❝❡s✳

Pr♦♦❢✳

▲❡t τ ❜❡ ❛ tr❡❡ ✇✐t❤ n ✈❡rt✐❝❡s✳ ■t s✉✣❝❡s t♦ ♣r♦✈❡ t❤❛t Pν[τ] ❞❡♣❡♥❞s ♦♥❧② ♦♥ n✳ ❲❡ ❤❛✈❡ ✭ku ❜❡✐♥❣ t❤❡ ♥✉♠❜❡r ♦❢ ❝❤✐❧❞r❡♥ ♦❢ u✮✿ Pν[τ] =

• u∈τ

νku =

• u∈τ

1 2ku+1 ✳

■❣♦r ❑♦rt❝❤❡♠s❦✐ ❯♥✐✈❡rs❛❧✐t② ♦❢ t❤❡ ❇r♦✇♥✐❛♥ tr✐❛♥❣✉❧❛t✐♦♥

❉✐s❝r❡t❡ ♥♦♥✲❝r♦ss✐♥❣ ♠♦❞❡❧s ❚❤❡ ❝♦♥t✐♥✉♦✉s ♠♦❞❡❧ Pr♦✈✐♥❣ t❤❡ ❝♦♥✈❡r❣❡♥❝❡ ❆♣♣❧✐❝❛t✐♦♥ t♦ ✉♥✐❢♦r♠ ❞✐ss❡❝t✐♦♥s

❇r✐❡❢ r❡❝❛♣ ♦♥ ●❛❧t♦♥✲❲❛ts♦♥ tr❡❡s

Pr♦♣♦s✐t✐♦♥

▲❡t ν ❜❡ ❞❡✜♥❡❞ ❜② ν(k) = 1/2k+1 ❢♦r k 0✳ ❚❤❡♥ t❤❡ ❧❛✇ ♦❢ ❛ ✉♥✐❢♦r♠❧② ❞✐str✐❜✉t❡❞ tr❡❡ ✇✐t❤ n ✈❡rt✐❝❡s ✐s t❤❡ ❧❛✇ ♦❢ ❛ GWν tr❡❡ ❝♦♥❞✐t✐♦♥❡❞ ♦♥ ❤❛✈✐♥❣ n ✈❡rt✐❝❡s✳

Pr♦♦❢✳

▲❡t τ ❜❡ ❛ tr❡❡ ✇✐t❤ n ✈❡rt✐❝❡s✳ ■t s✉✣❝❡s t♦ ♣r♦✈❡ t❤❛t Pν[τ] ❞❡♣❡♥❞s ♦♥❧② ♦♥ n✳ ❲❡ ❤❛✈❡ ✭ku ❜❡✐♥❣ t❤❡ ♥✉♠❜❡r ♦❢ ❝❤✐❧❞r❡♥ ♦❢ u✮✿ Pν[τ] =

• u∈τ

νku =

• u∈τ

1 2ku+1 = 2

−

• u∈τ

(ku + 1) ✳

■❣♦r ❑♦rt❝❤❡♠s❦✐ ❯♥✐✈❡rs❛❧✐t② ♦❢ t❤❡ ❇r♦✇♥✐❛♥ tr✐❛♥❣✉❧❛t✐♦♥

❉✐s❝r❡t❡ ♥♦♥✲❝r♦ss✐♥❣ ♠♦❞❡❧s ❚❤❡ ❝♦♥t✐♥✉♦✉s ♠♦❞❡❧ Pr♦✈✐♥❣ t❤❡ ❝♦♥✈❡r❣❡♥❝❡ ❆♣♣❧✐❝❛t✐♦♥ t♦ ✉♥✐❢♦r♠ ❞✐ss❡❝t✐♦♥s

❇r✐❡❢ r❡❝❛♣ ♦♥ ●❛❧t♦♥✲❲❛ts♦♥ tr❡❡s

Pr♦♣♦s✐t✐♦♥

▲❡t ν ❜❡ ❞❡✜♥❡❞ ❜② ν(k) = 1/2k+1 ❢♦r k 0✳ ❚❤❡♥ t❤❡ ❧❛✇ ♦❢ ❛ ✉♥✐❢♦r♠❧② ❞✐str✐❜✉t❡❞ tr❡❡ ✇✐t❤ n ✈❡rt✐❝❡s ✐s t❤❡ ❧❛✇ ♦❢ ❛ GWν tr❡❡ ❝♦♥❞✐t✐♦♥❡❞ ♦♥ ❤❛✈✐♥❣ n ✈❡rt✐❝❡s✳

Pr♦♦❢✳

▲❡t τ ❜❡ ❛ tr❡❡ ✇✐t❤ n ✈❡rt✐❝❡s✳ ■t s✉✣❝❡s t♦ ♣r♦✈❡ t❤❛t Pν[τ] ❞❡♣❡♥❞s ♦♥❧② ♦♥ n✳ ❲❡ ❤❛✈❡ ✭ku ❜❡✐♥❣ t❤❡ ♥✉♠❜❡r ♦❢ ❝❤✐❧❞r❡♥ ♦❢ u✮✿ Pν[τ] =

• u∈τ

νku =

• u∈τ

1 2ku+1 = 2

−

• u∈τ

(ku + 1) ✳

■❣♦r ❑♦rt❝❤❡♠s❦✐ ❯♥✐✈❡rs❛❧✐t② ♦❢ t❤❡ ❇r♦✇♥✐❛♥ tr✐❛♥❣✉❧❛t✐♦♥

❉✐s❝r❡t❡ ♥♦♥✲❝r♦ss✐♥❣ ♠♦❞❡❧s ❚❤❡ ❝♦♥t✐♥✉♦✉s ♠♦❞❡❧ Pr♦✈✐♥❣ t❤❡ ❝♦♥✈❡r❣❡♥❝❡ ❆♣♣❧✐❝❛t✐♦♥ t♦ ✉♥✐❢♦r♠ ❞✐ss❡❝t✐♦♥s

❇r✐❡❢ r❡❝❛♣ ♦♥ ●❛❧t♦♥✲❲❛ts♦♥ tr❡❡s

Pr♦♣♦s✐t✐♦♥

▲❡t ν ❜❡ ❞❡✜♥❡❞ ❜② ν(k) = 1/2k+1 ❢♦r k 0✳ ❚❤❡♥ t❤❡ ❧❛✇ ♦❢ ❛ ✉♥✐❢♦r♠❧② ❞✐str✐❜✉t❡❞ tr❡❡ ✇✐t❤ n ✈❡rt✐❝❡s ✐s t❤❡ ❧❛✇ ♦❢ ❛ GWν tr❡❡ ❝♦♥❞✐t✐♦♥❡❞ ♦♥ ❤❛✈✐♥❣ n ✈❡rt✐❝❡s✳

Pr♦♦❢✳

▲❡t τ ❜❡ ❛ tr❡❡ ✇✐t❤ n ✈❡rt✐❝❡s✳ ■t s✉✣❝❡s t♦ ♣r♦✈❡ t❤❛t Pν[τ] ❞❡♣❡♥❞s ♦♥❧② ♦♥ n✳ ❲❡ ❤❛✈❡ ✭ku ❜❡✐♥❣ t❤❡ ♥✉♠❜❡r ♦❢ ❝❤✐❧❞r❡♥ ♦❢ u✮✿ Pν[τ] =

• u∈τ

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• u∈τ

1 2ku+1 = 2

−

• u∈τ

(ku + 1) ✳

• u∈τ

(ku + 1) = 3 + 3 + 1 + 1 + 1 = 9 = 2 × 5 − 1

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Pr♦♣♦s✐t✐♦♥

▲❡t ν ❜❡ ❞❡✜♥❡❞ ❜② ν(k) = 1/2k+1 ❢♦r k 0✳ ❚❤❡♥ t❤❡ ❧❛✇ ♦❢ ❛ ✉♥✐❢♦r♠❧② ❞✐str✐❜✉t❡❞ tr❡❡ ✇✐t❤ n ✈❡rt✐❝❡s ✐s t❤❡ ❧❛✇ ♦❢ ❛ GWν tr❡❡ ❝♦♥❞✐t✐♦♥❡❞ ♦♥ ❤❛✈✐♥❣ n ✈❡rt✐❝❡s✳

Pr♦♦❢✳

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• u∈τ

νku =

• u∈τ

1 2ku+1 = 2

−

• u∈τ

(ku + 1) = 2−2n+1✳

• u∈τ

(ku + 1) = 3 + 3 + 1 + 1 + 1 = 9 = 2 × 5 − 1

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• ❛❧t♦♥✲❲❛ts♦♥ tr❡❡❄

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❚❤❡♦r❡♠ ✭❆❧❞♦✉s ✬✾✸✮

▲❡t ❜❡ ❛ r❛♥❞♦♠ tr❡❡ ❞✐str✐❜✉t❡❞ ❛❝❝♦r❞✐♥❣ t♦ ✳ ▲❡t ❜❡ t❤❡ ✈❛r✐❛♥❝❡ ♦❢ ✳ ❚❤❡♥✿ ❡ ✳ ■❞❡❛✿ t❤❡ ❝♦♥t♦✉r ❢✉♥❝t✐♦♥ ♦❢ ❛ ●❛❧t♦♥✲❲❛ts♦♥ tr❡❡ ❜❡❤❛✈❡s ❛s ❛ r❛♥❞♦♠ ✇❛❧❦✳ ■t ❢♦❧❧♦✇s t❤❛t ✉♥✐❢♦r♠ ♥♦♥✲❝r♦ss✐♥❣ ♣❛✐r✲♣❛rt✐t✐♦♥s ♦❢ ❝♦♥✈❡r❣❡ t♦✇❛r❞s t❤❡ ❇r♦✇♥✐❛♥ tr✐❛♥❣✉❧❛t✐♦♥✳

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▲❡t ❜❡ ❛ r❛♥❞♦♠ tr❡❡ ❞✐str✐❜✉t❡❞ ❛❝❝♦r❞✐♥❣ t♦ ✳ ▲❡t ❜❡ t❤❡ ✈❛r✐❛♥❝❡ ♦❢ ✳ ❚❤❡♥✿ ❡ ✳ ■❞❡❛✿ t❤❡ ❝♦♥t♦✉r ❢✉♥❝t✐♦♥ ♦❢ ❛ ●❛❧t♦♥✲❲❛ts♦♥ tr❡❡ ❜❡❤❛✈❡s ❛s ❛ r❛♥❞♦♠ ✇❛❧❦✳ ■t ❢♦❧❧♦✇s t❤❛t ✉♥✐❢♦r♠ ♥♦♥✲❝r♦ss✐♥❣ ♣❛✐r✲♣❛rt✐t✐♦♥s ♦❢ ❝♦♥✈❡r❣❡ t♦✇❛r❞s t❤❡ ❇r♦✇♥✐❛♥ tr✐❛♥❣✉❧❛t✐♦♥✳

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▲❡t ❜❡ ❛ r❛♥❞♦♠ tr❡❡ ❞✐str✐❜✉t❡❞ ❛❝❝♦r❞✐♥❣ t♦ ✳ ▲❡t ❜❡ t❤❡ ✈❛r✐❛♥❝❡ ♦❢ ✳ ❚❤❡♥✿ ❡ ✳ ■❞❡❛✿ t❤❡ ❝♦♥t♦✉r ❢✉♥❝t✐♦♥ ♦❢ ❛ ●❛❧t♦♥✲❲❛ts♦♥ tr❡❡ ❜❡❤❛✈❡s ❛s ❛ r❛♥❞♦♠ ✇❛❧❦✳ ■t ❢♦❧❧♦✇s t❤❛t ✉♥✐❢♦r♠ ♥♦♥✲❝r♦ss✐♥❣ ♣❛✐r✲♣❛rt✐t✐♦♥s ♦❢ ❝♦♥✈❡r❣❡ t♦✇❛r❞s t❤❡ ❇r♦✇♥✐❛♥ tr✐❛♥❣✉❧❛t✐♦♥✳

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❉✐s❝r❡t❡ ♥♦♥✲❝r♦ss✐♥❣ ♠♦❞❡❧s ❚❤❡ ❝♦♥t✐♥✉♦✉s ♠♦❞❡❧ Pr♦✈✐♥❣ t❤❡ ❝♦♥✈❡r❣❡♥❝❡ ❆♣♣❧✐❝❛t✐♦♥ t♦ ✉♥✐❢♦r♠ ❞✐ss❡❝t✐♦♥s

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❚❤❡♦r❡♠ ✭❆❧❞♦✉s ✬✾✸✮

▲❡t tn ❜❡ ❛ r❛♥❞♦♠ tr❡❡ ❞✐str✐❜✉t❡❞ ❛❝❝♦r❞✐♥❣ t♦ PGeom(1/2)[ · | ζ(τ) = n + 1]✳ ▲❡t σ2 ❜❡ t❤❡ ✈❛r✐❛♥❝❡ ♦❢ Geom(1/2)✳ ❚❤❡♥✿ σ 2√nC2nt(tn), 0 t 1

• (d)

− →

n→∞

(❡t, 0 t 1)✳ ■❞❡❛✿ t❤❡ ❝♦♥t♦✉r ❢✉♥❝t✐♦♥ ♦❢ ❛ ●❛❧t♦♥✲❲❛ts♦♥ tr❡❡ ❜❡❤❛✈❡s ❛s ❛ r❛♥❞♦♠ ✇❛❧❦✳ ■t ❢♦❧❧♦✇s t❤❛t ✉♥✐❢♦r♠ ♥♦♥✲❝r♦ss✐♥❣ ♣❛✐r✲♣❛rt✐t✐♦♥s ♦❢ ❝♦♥✈❡r❣❡ t♦✇❛r❞s t❤❡ ❇r♦✇♥✐❛♥ tr✐❛♥❣✉❧❛t✐♦♥✳

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❉✐s❝r❡t❡ ♥♦♥✲❝r♦ss✐♥❣ ♠♦❞❡❧s ❚❤❡ ❝♦♥t✐♥✉♦✉s ♠♦❞❡❧ Pr♦✈✐♥❣ t❤❡ ❝♦♥✈❡r❣❡♥❝❡ ❆♣♣❧✐❝❛t✐♦♥ t♦ ✉♥✐❢♦r♠ ❞✐ss❡❝t✐♦♥s

❈♦♥s✐❞❡r t❤❡ ❞✉❛❧ ♦❢ ❛ ✉♥✐❢♦r♠ ♥♦♥✲❝r♦ss✐♥❣ ♣❛✐r✲♣❛rt✐t✐♦♥ ♦❢ P2n✿ ■t ✐s ❛ ✉♥✐❢♦r♠ tr❡❡ ✇✐t❤ n ❡❞❣❡s✳ ❍❡♥❝❡ t❤❡ ❧❛✇ ♦❢ ❛ ❝♦♥❞✐t✐♦♥❡❞ ●❛❧t♦♥✲❲❛ts♦♥ tr❡❡ ✇✐t❤ ♦✛s♣r✐♥❣ ❞✐str✐❜✉t✐♦♥ Geom(1/2)✱ ❝♦♥✲ ❞✐t✐♦♥❡❞ ♦♥ ❤❛✈✐♥❣ n ❡❞❣❡s✳

❚❤❡♦r❡♠ ✭❆❧❞♦✉s ✬✾✸✮

▲❡t tn ❜❡ ❛ r❛♥❞♦♠ tr❡❡ ❞✐str✐❜✉t❡❞ ❛❝❝♦r❞✐♥❣ t♦ PGeom(1/2)[ · | ζ(τ) = n + 1]✳ ▲❡t σ2 ❜❡ t❤❡ ✈❛r✐❛♥❝❡ ♦❢ Geom(1/2)✳ ❚❤❡♥✿ σ 2√nC2nt(tn), 0 t 1

• (d)

− →

n→∞

(❡t, 0 t 1)✳ ■❞❡❛✿ t❤❡ ❝♦♥t♦✉r ❢✉♥❝t✐♦♥ ♦❢ ❛ ●❛❧t♦♥✲❲❛ts♦♥ tr❡❡ ❜❡❤❛✈❡s ❛s ❛ r❛♥❞♦♠ ✇❛❧❦✳ ■t ❢♦❧❧♦✇s t❤❛t ✉♥✐❢♦r♠ ♥♦♥✲❝r♦ss✐♥❣ ♣❛✐r✲♣❛rt✐t✐♦♥s ♦❢ ❝♦♥✈❡r❣❡ t♦✇❛r❞s t❤❡ ❇r♦✇♥✐❛♥ tr✐❛♥❣✉❧❛t✐♦♥✳

■❣♦r ❑♦rt❝❤❡♠s❦✐ ❯♥✐✈❡rs❛❧✐t② ♦❢ t❤❡ ❇r♦✇♥✐❛♥ tr✐❛♥❣✉❧❛t✐♦♥

❉✐s❝r❡t❡ ♥♦♥✲❝r♦ss✐♥❣ ♠♦❞❡❧s ❚❤❡ ❝♦♥t✐♥✉♦✉s ♠♦❞❡❧ Pr♦✈✐♥❣ t❤❡ ❝♦♥✈❡r❣❡♥❝❡ ❆♣♣❧✐❝❛t✐♦♥ t♦ ✉♥✐❢♦r♠ ❞✐ss❡❝t✐♦♥s

❈♦♥s✐❞❡r t❤❡ ❞✉❛❧ ♦❢ ❛ ✉♥✐❢♦r♠ ♥♦♥✲❝r♦ss✐♥❣ ♣❛✐r✲♣❛rt✐t✐♦♥ ♦❢ P2n✿ ■t ✐s ❛ ✉♥✐❢♦r♠ tr❡❡ ✇✐t❤ n ❡❞❣❡s✳ ❍❡♥❝❡ t❤❡ ❧❛✇ ♦❢ ❛ ❝♦♥❞✐t✐♦♥❡❞ ●❛❧t♦♥✲❲❛ts♦♥ tr❡❡ ✇✐t❤ ♦✛s♣r✐♥❣ ❞✐str✐❜✉t✐♦♥ Geom(1/2)✱ ❝♦♥✲ ❞✐t✐♦♥❡❞ ♦♥ ❤❛✈✐♥❣ n ❡❞❣❡s✳

❚❤❡♦r❡♠ ✭❆❧❞♦✉s ✬✾✸✮

▲❡t tn ❜❡ ❛ r❛♥❞♦♠ tr❡❡ ❞✐str✐❜✉t❡❞ ❛❝❝♦r❞✐♥❣ t♦ PGeom(1/2)[ · | ζ(τ) = n + 1]✳ ▲❡t σ2 ❜❡ t❤❡ ✈❛r✐❛♥❝❡ ♦❢ Geom(1/2)✳ ❚❤❡♥✿ σ 2√nC2nt(tn), 0 t 1

• (d)

− →

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(❡t, 0 t 1)✳ ■❞❡❛✿ t❤❡ ❝♦♥t♦✉r ❢✉♥❝t✐♦♥ ♦❢ ❛ ●❛❧t♦♥✲❲❛ts♦♥ tr❡❡ ❜❡❤❛✈❡s ❛s ❛ r❛♥❞♦♠ ✇❛❧❦✳ ■t ❢♦❧❧♦✇s t❤❛t ✉♥✐❢♦r♠ ♥♦♥✲❝r♦ss✐♥❣ ♣❛✐r✲♣❛rt✐t✐♦♥s ♦❢ P2n ❝♦♥✈❡r❣❡ t♦✇❛r❞s t❤❡ ❇r♦✇♥✐❛♥ tr✐❛♥❣✉❧❛t✐♦♥✳

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❉✐s❝r❡t❡ ♥♦♥✲❝r♦ss✐♥❣ ♠♦❞❡❧s ❚❤❡ ❝♦♥t✐♥✉♦✉s ♠♦❞❡❧ Pr♦✈✐♥❣ t❤❡ ❝♦♥✈❡r❣❡♥❝❡ ❆♣♣❧✐❝❛t✐♦♥ t♦ ✉♥✐❢♦r♠ ❞✐ss❡❝t✐♦♥s

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❉✐s❝r❡t❡ ♥♦♥✲❝r♦ss✐♥❣ ♠♦❞❡❧s ❚❤❡ ❝♦♥t✐♥✉♦✉s ♠♦❞❡❧ Pr♦✈✐♥❣ t❤❡ ❝♦♥✈❡r❣❡♥❝❡ ❆♣♣❧✐❝❛t✐♦♥ t♦ ✉♥✐❢♦r♠ ❞✐ss❡❝t✐♦♥s

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■❣♦r ❑♦rt❝❤❡♠s❦✐ ❯♥✐✈❡rs❛❧✐t② ♦❢ t❤❡ ❇r♦✇♥✐❛♥ tr✐❛♥❣✉❧❛t✐♦♥

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2

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n→∞

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❉✐s❝r❡t❡ ♥♦♥✲❝r♦ss✐♥❣ ♠♦❞❡❧s ❚❤❡ ❝♦♥t✐♥✉♦✉s ♠♦❞❡❧ Pr♦✈✐♥❣ t❤❡ ❝♦♥✈❡r❣❡♥❝❡ ❆♣♣❧✐❝❛t✐♦♥ t♦ ✉♥✐❢♦r♠ ❞✐ss❡❝t✐♦♥s

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Dn ✿ ✉♥✐❢♦r♠ ❞✐ss❡❝t✐♦♥ ♦❢ Pn✳ ❘❡❝❛❧❧ t❤❛t✿ t❤❡ ❞✉❛❧ ♦❢ Dn ✐s ❛ tr❡❡ ✇✐t❤ ❧❛✇ Pµ0 [ · | λ(τ) = n − 1]✱ ✇❤❡r❡ ✭i 2✮✿ µ0(0) = 2 − √ 2 2 , µ0(1) = 0, µ0(i) = (2 − √ 2)i−1✳ ❆♣♣❧✐❝❛t✐♦♥ ✶ ✭❈♦✉♥t✐♥❣ ❞✐ss❡❝t✐♦♥s✮✳ Pr♦❜❛❜✐❧✐st✐❝ ♣r♦♦❢ ♦❢ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ r❡s✉❧t✿

❚❤❡♦r❡♠ ✭❋❧❛❥♦❧❡t ✫ ◆♦② ✬✾✾✮

▲❡t an ❜❡ t❤❡ ♥✉♠❜❡r ♦❢ ❞✐ss❡❝t✐♦♥s ♦❢ Pn✳ ❚❤❡♥✿ an ∼

n→∞

✳

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Dn ✿ ✉♥✐❢♦r♠ ❞✐ss❡❝t✐♦♥ ♦❢ Pn✳ ❘❡❝❛❧❧ t❤❛t✿ t❤❡ ❞✉❛❧ ♦❢ Dn ✐s ❛ tr❡❡ ✇✐t❤ ❧❛✇ Pµ0 [ · | λ(τ) = n − 1]✱ ✇❤❡r❡ ✭i 2✮✿ µ0(0) = 2 − √ 2 2 , µ0(1) = 0, µ0(i) = (2 − √ 2)i−1✳ ❆♣♣❧✐❝❛t✐♦♥ ✶ ✭❈♦✉♥t✐♥❣ ❞✐ss❡❝t✐♦♥s✮✳ Pr♦❜❛❜✐❧✐st✐❝ ♣r♦♦❢ ♦❢ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ r❡s✉❧t✿

❚❤❡♦r❡♠ ✭❋❧❛❥♦❧❡t ✫ ◆♦② ✬✾✾✮

▲❡t an ❜❡ t❤❡ ♥✉♠❜❡r ♦❢ ❞✐ss❡❝t✐♦♥s ♦❢ Pn✳ ❚❤❡♥✿ an ∼

n→∞

1 4

• 99

√ 2 − 140 π n−3/2(3 + 2 √ 2)n✳

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Dn ✿ ✉♥✐❢♦r♠ ❞✐ss❡❝t✐♦♥ ♦❢ Pn✳ ❘❡❝❛❧❧ t❤❛t✿ t❤❡ ❞✉❛❧ ♦❢ Dn ✐s ❛ tr❡❡ ✇✐t❤ ❧❛✇ Pµ0 [ · | λ(τ) = n − 1]✱ ✇❤❡r❡ ✭i 2✮✿ µ0(0) = 2 − √ 2 2 , µ0(1) = 0, µ0(i) = (2 − √ 2)i−1✳ ❆♣♣❧✐❝❛t✐♦♥ ✷ ✭❙t✉❞② ♦❢ t❤❡ ♠❛①✐♠❛❧ ❢❛❝❡ ❞❡❣r❡❡✮✳ ❉❡♥♦t❡ ❜② D(n) t❤❡ ♠❛①✐♠❛❧ ❢❛❝❡ ❞❡❣r❡❡ ♦❢ Dn✳

❚❤❡♦r❡♠ ✭❈✉r✐❡♥ ✫ ❑✳ ✬✶✷✮

❙❡t ✳ ❋♦r ❡✈❡r② ✱ ✇❡ ❤❛✈❡✿ ✳

■❣♦r ❑♦rt❝❤❡♠s❦✐ ❯♥✐✈❡rs❛❧✐t② ♦❢ t❤❡ ❇r♦✇♥✐❛♥ tr✐❛♥❣✉❧❛t✐♦♥

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Dn ✿ ✉♥✐❢♦r♠ ❞✐ss❡❝t✐♦♥ ♦❢ Pn✳ ❘❡❝❛❧❧ t❤❛t✿ t❤❡ ❞✉❛❧ ♦❢ Dn ✐s ❛ tr❡❡ ✇✐t❤ ❧❛✇ Pµ0 [ · | λ(τ) = n − 1]✱ ✇❤❡r❡ ✭i 2✮✿ µ0(0) = 2 − √ 2 2 , µ0(1) = 0, µ0(i) = (2 − √ 2)i−1✳ ❆♣♣❧✐❝❛t✐♦♥ ✷ ✭❙t✉❞② ♦❢ t❤❡ ♠❛①✐♠❛❧ ❢❛❝❡ ❞❡❣r❡❡✮✳ ❉❡♥♦t❡ ❜② D(n) t❤❡ ♠❛①✐♠❛❧ ❢❛❝❡ ❞❡❣r❡❡ ♦❢ Dn✳

❚❤❡♦r❡♠ ✭❈✉r✐❡♥ ✫ ❑✳ ✬✶✷✮

❙❡t β = 2 + √ 2✳ ❋♦r ❡✈❡r② c > 0✱ ✇❡ ❤❛✈❡✿ P(logβ(n) − c logβ logβ(n) D(n) logβ(n) + c logβ logβ(n)) − − − →

n→∞

1✳

■❣♦r ❑♦rt❝❤❡♠s❦✐ ❯♥✐✈❡rs❛❧✐t② ♦❢ t❤❡ ❇r♦✇♥✐❛♥ tr✐❛♥❣✉❧❛t✐♦♥

❉✐s❝r❡t❡ ♥♦♥✲❝r♦ss✐♥❣ ♠♦❞❡❧s ❚❤❡ ❝♦♥t✐♥✉♦✉s ♠♦❞❡❧ Pr♦✈✐♥❣ t❤❡ ❝♦♥✈❡r❣❡♥❝❡ ❆♣♣❧✐❝❛t✐♦♥ t♦ ✉♥✐❢♦r♠ ❞✐ss❡❝t✐♦♥s

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Dn ✿ ✉♥✐❢♦r♠ ❞✐ss❡❝t✐♦♥ ♦❢ Pn✳ ❘❡❝❛❧❧ t❤❛t✿ t❤❡ ❞✉❛❧ ♦❢ Dn ✐s ❛ tr❡❡ ✇✐t❤ ❧❛✇ Pµ0 [ · | λ(τ) = n − 1]✱ ✇❤❡r❡ ✭i 2✮✿ µ0(0) = 2 − √ 2 2 , µ0(1) = 0, µ0(i) = (2 − √ 2)i−1✳ ❆♣♣❧✐❝❛t✐♦♥ ✸ ✭❙t✉❞② ♦❢ t❤❡ ✈❡rt❡① ❞❡❣r❡❡✮✳

❚❤❡♦r❡♠ ✭❈✉r✐❡♥ ✫ ❑✳ ✬✶✷✮

▲❡t ∂(n) ❜❡ t❤❡ ♥✉♠❜❡r ♦❢ ❞✐❛❣♦♥❛❧s ❡♥❞✐♥❣ ❛t t❤❡ ✈❡rt❡① ✇✐t❤ ❛✣① 1 ✐♥ Dn✳ ❚❤❡♥ ❝♦♥✈❡r❣❡s ✐♥ ❞✐str✐❜✉t✐♦♥ t♦✇❛r❞s t❤❡ s✉♠ ♦❢ t✇♦ ✐♥❞❡♣❡♥❞❡♥t r❛♥❞♦♠ ✈❛r✐❛❜❧❡s✱ ✐✳❡✳ ❢♦r ✿ ✳

■❣♦r ❑♦rt❝❤❡♠s❦✐ ❯♥✐✈❡rs❛❧✐t② ♦❢ t❤❡ ❇r♦✇♥✐❛♥ tr✐❛♥❣✉❧❛t✐♦♥

❉✐s❝r❡t❡ ♥♦♥✲❝r♦ss✐♥❣ ♠♦❞❡❧s ❚❤❡ ❝♦♥t✐♥✉♦✉s ♠♦❞❡❧ Pr♦✈✐♥❣ t❤❡ ❝♦♥✈❡r❣❡♥❝❡ ❆♣♣❧✐❝❛t✐♦♥ t♦ ✉♥✐❢♦r♠ ❞✐ss❡❝t✐♦♥s

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Dn ✿ ✉♥✐❢♦r♠ ❞✐ss❡❝t✐♦♥ ♦❢ Pn✳ ❘❡❝❛❧❧ t❤❛t✿ t❤❡ ❞✉❛❧ ♦❢ Dn ✐s ❛ tr❡❡ ✇✐t❤ ❧❛✇ Pµ0 [ · | λ(τ) = n − 1]✱ ✇❤❡r❡ ✭i 2✮✿ µ0(0) = 2 − √ 2 2 , µ0(1) = 0, µ0(i) = (2 − √ 2)i−1✳ ❆♣♣❧✐❝❛t✐♦♥ ✸ ✭❙t✉❞② ♦❢ t❤❡ ✈❡rt❡① ❞❡❣r❡❡✮✳

❚❤❡♦r❡♠ ✭❈✉r✐❡♥ ✫ ❑✳ ✬✶✷✮

▲❡t ∂(n) ❜❡ t❤❡ ♥✉♠❜❡r ♦❢ ❞✐❛❣♦♥❛❧s ❡♥❞✐♥❣ ❛t t❤❡ ✈❡rt❡① ✇✐t❤ ❛✣① 1 ✐♥ Dn✳ ❚❤❡♥ ∂(n) ❝♦♥✈❡r❣❡s ✐♥ ❞✐str✐❜✉t✐♦♥ t♦✇❛r❞s t❤❡ s✉♠ ♦❢ t✇♦ ✐♥❞❡♣❡♥❞❡♥t Geom( √ 2 − 1) r❛♥❞♦♠ ✈❛r✐❛❜❧❡s✱ ✐✳❡✳ ❢♦r k 0✿ P(∂(n) = k) − − − →

n→∞

(k + 1)µ2

0(1 − µ0)k✳

■❣♦r ❑♦rt❝❤❡♠s❦✐ ❯♥✐✈❡rs❛❧✐t② ♦❢ t❤❡ ❇r♦✇♥✐❛♥ tr✐❛♥❣✉❧❛t✐♦♥

❉✐s❝r❡t❡ ♥♦♥✲❝r♦ss✐♥❣ ♠♦❞❡❧s ❚❤❡ ❝♦♥t✐♥✉♦✉s ♠♦❞❡❧ Pr♦✈✐♥❣ t❤❡ ❝♦♥✈❡r❣❡♥❝❡ ❆♣♣❧✐❝❛t✐♦♥ t♦ ✉♥✐❢♦r♠ ❞✐ss❡❝t✐♦♥s

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Dn ✿ ✉♥✐❢♦r♠ ❞✐ss❡❝t✐♦♥ ♦❢ Pn✳ ❘❡❝❛❧❧ t❤❛t✿ t❤❡ ❞✉❛❧ ♦❢ Dn ✐s ❛ tr❡❡ ✇✐t❤ ❧❛✇ Pµ0 [ · | λ(τ) = n − 1]✱ ✇❤❡r❡ ✭i 2✮✿ µ0(0) = 2 − √ 2 2 , µ0(1) = 0, µ0(i) = (2 − √ 2)i−1✳ ❆♣♣❧✐❝❛t✐♦♥ ✹ ✭❙t✉❞② ♦❢ t❤❡ ♠❛①✐♠❛❧ ✈❡rt❡① ❞❡❣r❡❡✮✳ Pr♦♦❢ ♦❢ ❛ ❝♦♥❥❡❝t✉r❡ ❜② ❇❡r♥❛s❝♦♥✐✱ P❛♥❛❣✐♦t♦✉ ✫ ❙t❡❣❡r✿

❚❤❡♦r❡♠ ✭❈✉r✐❡♥ ✫ ❑✳ ✬✶✷✮

▲❡t ∆(n) ❜❡ t❤❡ ♠❛①✐♠❛❧ ♥✉♠❜❡r ♦❢ ❞✐❛❣♦♥❛❧s ❡♥❞✐♥❣ ❛t ❛♥② ✈❡rt❡① ✐♥ Dn✳ ❙❡t ✳ ❚❤❡♥ ❢♦r ❡✈❡r② ✱ ✇❡ ❤❛✈❡ ✳

■❣♦r ❑♦rt❝❤❡♠s❦✐ ❯♥✐✈❡rs❛❧✐t② ♦❢ t❤❡ ❇r♦✇♥✐❛♥ tr✐❛♥❣✉❧❛t✐♦♥

❉✐s❝r❡t❡ ♥♦♥✲❝r♦ss✐♥❣ ♠♦❞❡❧s ❚❤❡ ❝♦♥t✐♥✉♦✉s ♠♦❞❡❧ Pr♦✈✐♥❣ t❤❡ ❝♦♥✈❡r❣❡♥❝❡ ❆♣♣❧✐❝❛t✐♦♥ t♦ ✉♥✐❢♦r♠ ❞✐ss❡❝t✐♦♥s

❆♣♣❧✐❝❛t✐♦♥ t♦ t❤❡ st✉❞② ♦❢ ✉♥✐❢♦r♠ ❞✐ss❡❝t✐♦♥s

Dn ✿ ✉♥✐❢♦r♠ ❞✐ss❡❝t✐♦♥ ♦❢ Pn✳ ❘❡❝❛❧❧ t❤❛t✿ t❤❡ ❞✉❛❧ ♦❢ Dn ✐s ❛ tr❡❡ ✇✐t❤ ❧❛✇ Pµ0 [ · | λ(τ) = n − 1]✱ ✇❤❡r❡ ✭i 2✮✿ µ0(0) = 2 − √ 2 2 , µ0(1) = 0, µ0(i) = (2 − √ 2)i−1✳ ❆♣♣❧✐❝❛t✐♦♥ ✹ ✭❙t✉❞② ♦❢ t❤❡ ♠❛①✐♠❛❧ ✈❡rt❡① ❞❡❣r❡❡✮✳ Pr♦♦❢ ♦❢ ❛ ❝♦♥❥❡❝t✉r❡ ❜② ❇❡r♥❛s❝♦♥✐✱ P❛♥❛❣✐♦t♦✉ ✫ ❙t❡❣❡r✿

❚❤❡♦r❡♠ ✭❈✉r✐❡♥ ✫ ❑✳ ✬✶✷✮

▲❡t ∆(n) ❜❡ t❤❡ ♠❛①✐♠❛❧ ♥✉♠❜❡r ♦❢ ❞✐❛❣♦♥❛❧s ❡♥❞✐♥❣ ❛t ❛♥② ✈❡rt❡① ✐♥ Dn✳ ❙❡t b = √ 2 + 1✳ ❚❤❡♥ ❢♦r ❡✈❡r② c > 0✱ ✇❡ ❤❛✈❡ P(∆(n) logb(n) + (1 + c) logb logb(n)) − − − →

n→∞

0✳

■❣♦r ❑♦rt❝❤❡♠s❦✐ ❯♥✐✈❡rs❛❧✐t② ♦❢ t❤❡ ❇r♦✇♥✐❛♥ tr✐❛♥❣✉❧❛t✐♦♥

❉✐s❝r❡t❡ ♥♦♥✲❝r♦ss✐♥❣ ♠♦❞❡❧s ❚❤❡ ❝♦♥t✐♥✉♦✉s ♠♦❞❡❧ Pr♦✈✐♥❣ t❤❡ ❝♦♥✈❡r❣❡♥❝❡ ❆♣♣❧✐❝❛t✐♦♥ t♦ ✉♥✐❢♦r♠ ❞✐ss❡❝t✐♦♥s

❈♦♥❥❡❝t✉r❡

▲❡t ∆(n) ❜❡ t❤❡ ♠❛①✐♠✉♠ ♥✉♠❜❡r ♦❢ ❞✐❛❣♦♥❛❧s ❡♥❞✐♥❣ ❛t s♦♠❡ ✈❡rt❡① ♦❢ Dn✳ ❙❡t b = √ 2 + 1✳ ❋♦r ❡✈❡r② c > 0✿ P

• ∆(n) − (logb(n) + logb logb(n))
• > c logb logb(n)
• −

− − →

n→∞

0✳ ❚❤✐s ✐s s❛t✐s✜❡❞ ❢♦r ❛♥♦t❤❡r ✈❛❧✉❡ ♦❢ b ✐♥ t❤❡ ❝❛s❡ ♦❢ ✉♥✐❢♦r♠ tr✐❛♥❣✉❧❛t✐♦♥s ✭❉❡✈r♦②❡✱ ❋❧❛❥♦❧❡t✱ ❍✉rt❛❞♦✱ ◆♦② ✫ ❙t❡✐❣❡r ✬✾✾ ❡t ●❛♦ ✫ ❲♦r♠❛❧❞ ✬✵✵✮

■❣♦r ❑♦rt❝❤❡♠s❦✐ ❯♥✐✈❡rs❛❧✐t② ♦❢ t❤❡ ❇r♦✇♥✐❛♥ tr✐❛♥❣✉❧❛t✐♦♥

❉✐s❝r❡t❡ ♥♦♥✲❝r♦ss✐♥❣ ♠♦❞❡❧s ❚❤❡ ❝♦♥t✐♥✉♦✉s ♠♦❞❡❧ Pr♦✈✐♥❣ t❤❡ ❝♦♥✈❡r❣❡♥❝❡ ❆♣♣❧✐❝❛t✐♦♥ t♦ ✉♥✐❢♦r♠ ❞✐ss❡❝t✐♦♥s

❈♦♥❥❡❝t✉r❡

▲❡t ∆(n) ❜❡ t❤❡ ♠❛①✐♠✉♠ ♥✉♠❜❡r ♦❢ ❞✐❛❣♦♥❛❧s ❡♥❞✐♥❣ ❛t s♦♠❡ ✈❡rt❡① ♦❢ Dn✳ ❙❡t b = √ 2 + 1✳ ❋♦r ❡✈❡r② c > 0✿ P

• ∆(n) − (logb(n) + logb logb(n))
• > c logb logb(n)
• −

− − →

n→∞

0✳ ❚❤✐s ✐s s❛t✐s✜❡❞ ❢♦r ❛♥♦t❤❡r ✈❛❧✉❡ ♦❢ b ✐♥ t❤❡ ❝❛s❡ ♦❢ ✉♥✐❢♦r♠ tr✐❛♥❣✉❧❛t✐♦♥s ✭❉❡✈r♦②❡✱ ❋❧❛❥♦❧❡t✱ ❍✉rt❛❞♦✱ ◆♦② ✫ ❙t❡✐❣❡r ✬✾✾ ❡t ●❛♦ ✫ ❲♦r♠❛❧❞ ✬✵✵✮

Thank you for your attention!

■❣♦r ❑♦rt❝❤❡♠s❦✐ ❯♥✐✈❡rs❛❧✐t② ♦❢ t❤❡ ❇r♦✇♥✐❛♥ tr✐❛♥❣✉❧❛t✐♦♥