r t s rt - - PowerPoint PPT Presentation

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❊❧s❛ ❉✉♣r❛③

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❙❡♥s♦r ♥❡t✇♦r❦s

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❚✇♦ s❡♥s♦rs✱ ✶ ❝♦❧❧❡❝t✐♦♥ ♣♦✐♥t

❚✇♦ s♦✉r❝❡s✿ (❳,❨ )∼ P(❳,❨ ) ❚r❛♥s♠✐ss✐♦♥ ❝♦st ♦❢ ❘ ♦♥ ❧✐♥❦ ✐ ✿ µ✐❘ ❬❈❇▲❱✵✺❪

X Y S

❈♦♥t❡①t P ❳ ❨ ♥♦t ♣❡r❢❡❝t❧② ❦♥♦✇♥

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❚✇♦ s❡♥s♦rs✱ ✶ ❝♦❧❧❡❝t✐♦♥ ♣♦✐♥t

❚✇♦ s♦✉r❝❡s✿ (❳,❨ )∼ P(❳,❨ ) ❚r❛♥s♠✐ss✐♦♥ ❝♦st ♦❢ ❘ ♦♥ ❧✐♥❦ ✐ ✿ µ✐❘ ❬❈❇▲❱✵✺❪

X Y S

❈♦♥t❡①t P(❳,❨ ) ♥♦t ♣❡r❢❡❝t❧② ❦♥♦✇♥

✸✴✹✾

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❚❤❡ s♦✉r❝❡ ❝♦❞✐♥❣ ♣r♦❜❧❡♠

■♥ t❤✐s ✇♦r❦ P ❨ ❳ ♣❛rt❧② ✉♥❦♥♦✇♥ t♦ ❜♦t❤ ❡♥❝♦❞❡r ❛♥❞ ❞❡❝♦❞❡r ◆♦ ❢❡❡❞❜❛❝❦ ❬❆❩●✵✷✱ ❨❍✶✵❪ ❖❜❥❡❝t✐✈❡s P❡r❢♦r♠❛♥❝❡ ❛♥❛❧②s✐s ❊✣❝✐❡♥t ❝♦❞✐♥❣ s❝❤❡♠❡s r♦❜✉st t♦ ✉♥❝❡rt❛✐♥t② ♦♥ P ❨ ❳

✹✴✹✾

❙♦✉r❝❡ ❝♦❞✐♥❣ ✇✐t❤ s✐❞❡ ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥ ❛♥❞ ✉♥❝❡rt❛✐♥ ❝♦rr❡❧❛t✐♦♥ ❦♥♦✇❧❡❞❣❡ ■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥

❚❤❡ s♦✉r❝❡ ❝♦❞✐♥❣ ♣r♦❜❧❡♠

■♥ t❤✐s ✇♦r❦ P(❨ |❳) ♣❛rt❧② ✉♥❦♥♦✇♥ t♦ ❜♦t❤ ❡♥❝♦❞❡r ❛♥❞ ❞❡❝♦❞❡r ◆♦ ❢❡❡❞❜❛❝❦ ❬❆❩●✵✷✱ ❨❍✶✵❪ ❖❜❥❡❝t✐✈❡s P❡r❢♦r♠❛♥❝❡ ❛♥❛❧②s✐s ❊✣❝✐❡♥t ❝♦❞✐♥❣ s❝❤❡♠❡s r♦❜✉st t♦ ✉♥❝❡rt❛✐♥t② ♦♥ P(❨ |❳)

✹✴✹✾

❙♦✉r❝❡ ❝♦❞✐♥❣ ✇✐t❤ s✐❞❡ ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥ ❛♥❞ ✉♥❝❡rt❛✐♥ ❝♦rr❡❧❛t✐♦♥ ❦♥♦✇❧❡❞❣❡ ■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥

✶

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥

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◆♦♥✲❜✐♥❛r② ▲❉P❈ ❝♦❞❡s ◆♦♥✲❜✐♥❛r② ▲❉P❈ ❝♦❞❡s ❢♦r ❙❲ ❝♦❞✐♥❣ ❉❡♥s✐t② ❡✈♦❧✉t✐♦♥ ❢♦r ❙❲ ❝♦❞✐♥❣

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❙❧❡♣✐❛♥✲❲♦❧❢ ❝♦❞✐♥❣ ✇✐t❤ ✉♥❝❡rt❛✐♥t② P❡r❢♦r♠❛♥❝❡ Pr❛❝t✐❝❛❧ s❝❤❡♠❡

✹

❲②♥❡r✲❩✐✈ ❝♦❞✐♥❣ ✇✐t❤ ♠❡♠♦r② P❡r❢♦r♠❛♥❝❡ Pr❛❝t✐❝❛❧ s❝❤❡♠❡

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❈♦♥❝❧✉s✐♦♥ ❛♥❞ ♣❡rs♣❡❝t✐✈❡s

✺✴✹✾

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◆♦♥✲❜✐♥❛r② ▲❉P❈ ❝♦❞❡s ◆♦♥✲❜✐♥❛r② ▲❉P❈ ❝♦❞❡s ❢♦r ❙❲ ❝♦❞✐♥❣ ❉❡♥s✐t② ❡✈♦❧✉t✐♦♥ ❢♦r ❙❲ ❝♦❞✐♥❣ ❈♦❞✐♥❣ s❝❤❡♠❡ ❢♦r t❤❡ ❧♦ss❧❡ss ❝❛s❡ P(❳,❨ ) ♣❡r❢❡❝t❧② ❦♥♦✇♥✱ ❳ ✐♥ ●❋✭q✮

✻✴✹✾

❙♦✉r❝❡ ❝♦❞✐♥❣ ✇✐t❤ s✐❞❡ ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥ ❛♥❞ ✉♥❝❡rt❛✐♥ ❝♦rr❡❧❛t✐♦♥ ❦♥♦✇❧❡❞❣❡ ◆❇ ▲❉P❈ ◆♦♥✲❜✐♥❛r② ▲❉P❈ ❝♦❞❡s ❢♦r ❙❲ ❝♦❞✐♥❣

◆♦♥✲❜✐♥❛r② ▲❉P❈ ❝♦❞❡s ❢♦r ❙❲ ❝♦❞✐♥❣ ❬▲❋❑✵✾✱ ▲❳●✵✷❪

P(❳,❨ ) ✐s ♣❡r❢❡❝t❧② ❦♥♦✇♥✱ ❳ ✐♥ ●❋✭q✮ ❊♥❝♦❞✐♥❣ ✐♥ ●❋✭q✮ ✭♠ < ♥✮ s♠ = ❍❚①♥ ▼❆P ❞❡❝♦❞✐♥❣ ♦❢ ①♥ ❢r♦♠ s♠ ❛♥❞ ②♥ ①♥ ❛r❣ ♠❛①

❦ ●❋ q P ❳♥

❦ ❨♥ ②♥ s♠

✼✴✹✾

❙♦✉r❝❡ ❝♦❞✐♥❣ ✇✐t❤ s✐❞❡ ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥ ❛♥❞ ✉♥❝❡rt❛✐♥ ❝♦rr❡❧❛t✐♦♥ ❦♥♦✇❧❡❞❣❡ ◆❇ ▲❉P❈ ◆♦♥✲❜✐♥❛r② ▲❉P❈ ❝♦❞❡s ❢♦r ❙❲ ❝♦❞✐♥❣

◆♦♥✲❜✐♥❛r② ▲❉P❈ ❝♦❞❡s ❢♦r ❙❲ ❝♦❞✐♥❣ ❬▲❋❑✵✾✱ ▲❳●✵✷❪

P(❳,❨ ) ✐s ♣❡r❢❡❝t❧② ❦♥♦✇♥✱ ❳ ✐♥ ●❋✭q✮ ❊♥❝♦❞✐♥❣ ✐♥ ●❋✭q✮ ✭♠ < ♥✮ s♠ = ❍❚①♥

VN CN

▼❆P ❞❡❝♦❞✐♥❣ ♦❢ ①♥ ❢r♦♠ s♠ ❛♥❞ ②♥ ˆ ①♥ = ❛r❣ ♠❛①

❦∈●❋(q)P(❳♥ = ❦|❨♥ = ②♥,s♠)

✼✴✹✾

❙♦✉r❝❡ ❝♦❞✐♥❣ ✇✐t❤ s✐❞❡ ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥ ❛♥❞ ✉♥❝❡rt❛✐♥ ❝♦rr❡❧❛t✐♦♥ ❦♥♦✇❧❡❞❣❡ ◆❇ ▲❉P❈ ◆♦♥✲❜✐♥❛r② ▲❉P❈ ❝♦❞❡s ❢♦r ❙❲ ❝♦❞✐♥❣

▲❉P❈ ❞❡❝♦❞✐♥❣ ❬▲❋❑✵✾✱ ▲❳●✵✷❪

■♥✐t✐❛❧ ♠❡ss❛❣❡s ♠(✵)

♥

∈ Rq ♠(✵)

♥,❦ = ❧♦❣ P(❳♥ = ✵|❨♥ = ②♥)

P(❳♥ = ❦|❨♥ = ②♥) ▼❡ss❛❣❡s ❢r♦♠ ❈◆ t♦ ❱◆ ♠❝

♥

s❝

✶ ♥

❝ ♥

❲ ❤♥ ❝ ♠

✶ ♥ ❝

▼❡ss❛❣❡s ❢r♦♠ ❱◆ t♦ ❈◆ ♠♥

❝ ❝

♥ ❝

♠❝

♥

♠ ✵

♥

✽✴✹✾

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▲❉P❈ ❞❡❝♦❞✐♥❣ ❬▲❋❑✵✾✱ ▲❳●✵✷❪

■♥✐t✐❛❧ ♠❡ss❛❣❡s ♠(✵)

♥

∈ Rq ♠(✵)

♥,❦ = ❧♦❣ P(❳♥ = ✵|❨♥ = ②♥)

P(❳♥ = ❦|❨♥ = ②♥) ▼❡ss❛❣❡s ❢r♦♠ ❈◆ t♦ ❱◆ ♠(ℓ)

❝→♥ = A [s❝]F −✶

• ∏

♥′∈N❝\♥

F

• ❲
• ❤♥′,❝
• ♠(ℓ−✶)

♥′→❝

• ▼❡ss❛❣❡s ❢r♦♠ ❱◆ t♦ ❈◆

♠♥

❝ ❝

♥ ❝

♠❝

♥

♠ ✵

♥

✽✴✹✾

❙♦✉r❝❡ ❝♦❞✐♥❣ ✇✐t❤ s✐❞❡ ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥ ❛♥❞ ✉♥❝❡rt❛✐♥ ❝♦rr❡❧❛t✐♦♥ ❦♥♦✇❧❡❞❣❡ ◆❇ ▲❉P❈ ◆♦♥✲❜✐♥❛r② ▲❉P❈ ❝♦❞❡s ❢♦r ❙❲ ❝♦❞✐♥❣

▲❉P❈ ❞❡❝♦❞✐♥❣ ❬▲❋❑✵✾✱ ▲❳●✵✷❪

■♥✐t✐❛❧ ♠❡ss❛❣❡s ♠(✵)

♥

∈ Rq ♠(✵)

♥,❦ = ❧♦❣ P(❳♥ = ✵|❨♥ = ②♥)

P(❳♥ = ❦|❨♥ = ②♥) ▼❡ss❛❣❡s ❢r♦♠ ❈◆ t♦ ❱◆ ♠(ℓ)

❝→♥ = A [s❝]F −✶

• ∏

♥′∈N❝\♥

F

• ❲
• ❤♥′,❝
• ♠(ℓ−✶)

♥′→❝

• ▼❡ss❛❣❡s ❢r♦♠ ❱◆ t♦ ❈◆

♠(ℓ)

♥→❝ =

∑

❝′∈N♥\❝

♠(ℓ)

❝′→♥ +♠(✵) ♥

✽✴✹✾

❙♦✉r❝❡ ❝♦❞✐♥❣ ✇✐t❤ s✐❞❡ ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥ ❛♥❞ ✉♥❝❡rt❛✐♥ ❝♦rr❡❧❛t✐♦♥ ❦♥♦✇❧❡❞❣❡ ◆❇ ▲❉P❈ ❉❡♥s✐t② ❡✈♦❧✉t✐♦♥ ❢♦r ❙❲ ❝♦❞✐♥❣

Pr❛❝t✐❝❛❧ s❝❤❡♠❡

✷

◆♦♥✲❜✐♥❛r② ▲❉P❈ ❝♦❞❡s ◆♦♥✲❜✐♥❛r② ▲❉P❈ ❝♦❞❡s ❢♦r ❙❲ ❝♦❞✐♥❣ ❉❡♥s✐t② ❡✈♦❧✉t✐♦♥ ❢♦r ❙❲ ❝♦❞✐♥❣

✾✴✹✾

❙♦✉r❝❡ ❝♦❞✐♥❣ ✇✐t❤ s✐❞❡ ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥ ❛♥❞ ✉♥❝❡rt❛✐♥ ❝♦rr❡❧❛t✐♦♥ ❦♥♦✇❧❡❞❣❡ ◆❇ ▲❉P❈ ❉❡♥s✐t② ❡✈♦❧✉t✐♦♥ ❢♦r ❙❲ ❝♦❞✐♥❣

❈♦❞❡ ❞❡❣r❡❡ ❞✐str✐❜✉t✐♦♥s ❬❘❙❯✵✶❪

s♠ = ❍❚①♥ ❉❡❣r❡❡ ❞✐str✐❜✉t✐♦♥s ❢♦r ❍ λ(①) = ∑✐≥✷ λ✐①✐−✶✱ ρ(①) = ∑✐≥✷ ρ✐①✐−✶ r(λ,ρ) = ∑✐≥✷ λ✐/✐

∑✐≥✷ ρ❥/❥

① ① ♥❡❡❞ t♦ ❜❡ ♦♣t✐♠✐③❡❞

✶✵✴✹✾

❙♦✉r❝❡ ❝♦❞✐♥❣ ✇✐t❤ s✐❞❡ ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥ ❛♥❞ ✉♥❝❡rt❛✐♥ ❝♦rr❡❧❛t✐♦♥ ❦♥♦✇❧❡❞❣❡ ◆❇ ▲❉P❈ ❉❡♥s✐t② ❡✈♦❧✉t✐♦♥ ❢♦r ❙❲ ❝♦❞✐♥❣

❈♦❞❡ ❞❡❣r❡❡ ❞✐str✐❜✉t✐♦♥s ❬❘❙❯✵✶❪

s♠ = ❍❚①♥ ❉❡❣r❡❡ ❞✐str✐❜✉t✐♦♥s ❢♦r ❍ λ(①) = ∑✐≥✷ λ✐①✐−✶✱ ρ(①) = ∑✐≥✷ ρ✐①✐−✶ r(λ,ρ) = ∑✐≥✷ λ✐/✐

∑✐≥✷ ρ❥/❥

(λ(①),ρ(①)) ♥❡❡❞ t♦ ❜❡ ♦♣t✐♠✐③❡❞

✶✵✴✹✾

❙♦✉r❝❡ ❝♦❞✐♥❣ ✇✐t❤ s✐❞❡ ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥ ❛♥❞ ✉♥❝❡rt❛✐♥ ❝♦rr❡❧❛t✐♦♥ ❦♥♦✇❧❡❞❣❡ ◆❇ ▲❉P❈ ❉❡♥s✐t② ❡✈♦❧✉t✐♦♥ ❢♦r ❙❲ ❝♦❞✐♥❣

Pr✐♥❝✐♣❧❡ ♦❢ ❞❡♥s✐t② ❡✈♦❧✉t✐♦♥ ❬❇❇✵✻✱ ▲❋❑✵✾❪

▼❡ss❛❣❡s r❡♣r❡s❡♥t❡❞ ❜② r❛♥❞♦♠ ✈❛r✐❛❜❧❡s

(▼(✵)

♥ |❳♥ = ❦) ∼ P❦ (✵)✱ (▼(ℓ) ❝→♥|❳♥ = ❦) ∼ P❦ (ℓ)✱ (▼(ℓ) ♥→❝|❳♥ = ❦) ∼ ◗❦ (ℓ)

❝②❝❧❡✲❢r❡❡ ❛ss✉♠♣t✐♦♥✿ ✐♥❞❡♣❡♥❞❡♥t r❛♥❞♦♠ ✈❛r✐❛❜❧❡s ❊①❛♠♣❧❡✿ ❢r♦♠ ❱◆ t♦ ❈◆

♠♥

❝ ❝

♥ ❝

♠❝

♥

♠ ✵

♥

P❦

✐ ✷ ✐

P❦

✵

◗❦

✶ ✐ ✶

❚❤❡♥ P❡ ❢r♦♠ P❦ ❛♥❞ ◗❦

✶✶✴✹✾

❙♦✉r❝❡ ❝♦❞✐♥❣ ✇✐t❤ s✐❞❡ ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥ ❛♥❞ ✉♥❝❡rt❛✐♥ ❝♦rr❡❧❛t✐♦♥ ❦♥♦✇❧❡❞❣❡ ◆❇ ▲❉P❈ ❉❡♥s✐t② ❡✈♦❧✉t✐♦♥ ❢♦r ❙❲ ❝♦❞✐♥❣

Pr✐♥❝✐♣❧❡ ♦❢ ❞❡♥s✐t② ❡✈♦❧✉t✐♦♥ ❬❇❇✵✻✱ ▲❋❑✵✾❪

▼❡ss❛❣❡s r❡♣r❡s❡♥t❡❞ ❜② r❛♥❞♦♠ ✈❛r✐❛❜❧❡s

(▼(✵)

♥ |❳♥ = ❦) ∼ P❦ (✵)✱ (▼(ℓ) ❝→♥|❳♥ = ❦) ∼ P❦ (ℓ)✱ (▼(ℓ) ♥→❝|❳♥ = ❦) ∼ ◗❦ (ℓ)

❝②❝❧❡✲❢r❡❡ ❛ss✉♠♣t✐♦♥✿ ✐♥❞❡♣❡♥❞❡♥t r❛♥❞♦♠ ✈❛r✐❛❜❧❡s ❊①❛♠♣❧❡✿ ❢r♦♠ ❱◆ t♦ ❈◆

♠(ℓ)

♥→❝ =

∑

❝′∈N♥\❝

♠(ℓ)

❝′→♥ +♠(✵) ♥

P❦

(ℓ) = ∑ ✐≤✷

λ✐

• P❦

(✵) ⊗

• ◗❦

(ℓ−✶)⊗(✐−✶)

❚❤❡♥ P(ℓ)

❡ (λ,ρ) ❢r♦♠ P(ℓ) ❦

❛♥❞ ◗(ℓ)

❦

✶✶✴✹✾

❙♦✉r❝❡ ❝♦❞✐♥❣ ✇✐t❤ s✐❞❡ ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥ ❛♥❞ ✉♥❝❡rt❛✐♥ ❝♦rr❡❧❛t✐♦♥ ❦♥♦✇❧❡❞❣❡ ◆❇ ▲❉P❈ ❉❡♥s✐t② ❡✈♦❧✉t✐♦♥ ❢♦r ❙❲ ❝♦❞✐♥❣

Pr✐♥❝✐♣❧❡ ♦❢ ❞❡♥s✐t② ❡✈♦❧✉t✐♦♥ ❬❇❇✵✻✱ ▲❋❑✵✾❪

▼❡ss❛❣❡s r❡♣r❡s❡♥t❡❞ ❜② r❛♥❞♦♠ ✈❛r✐❛❜❧❡s

(▼(✵)

♥ |❳♥ = ❦) ∼ P❦ (✵)✱ (▼(ℓ) ❝→♥|❳♥ = ❦) ∼ P❦ (ℓ)✱ (▼(ℓ) ♥→❝|❳♥ = ❦) ∼ ◗❦ (ℓ)

❝②❝❧❡✲❢r❡❡ ❛ss✉♠♣t✐♦♥✿ ✐♥❞❡♣❡♥❞❡♥t r❛♥❞♦♠ ✈❛r✐❛❜❧❡s ❊①❛♠♣❧❡✿ ❢r♦♠ ❱◆ t♦ ❈◆

♠(ℓ)

♥→❝ =

∑

❝′∈N♥\❝

♠(ℓ)

❝′→♥ +♠(✵) ♥

P❦

(ℓ) = ∑ ✐≤✷

λ✐

• P❦

(✵) ⊗

• ◗❦

(ℓ−✶)⊗(✐−✶)

❚❤❡♥ P(ℓ)

❡ (λ,ρ) ❢r♦♠ P(ℓ) ❦

❛♥❞ ◗(ℓ)

❦

Pr♦❜❧❡♠✿ t❤❡ ♣r♦❜❛❜✐❧✐t✐❡s ❞❡♣❡♥❞ ♦♥ t❤❡ ✐♥♣✉t ❝♦❞❡✇♦r❞

✶✷✴✹✾

❙♦✉r❝❡ ❝♦❞✐♥❣ ✇✐t❤ s✐❞❡ ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥ ❛♥❞ ✉♥❝❡rt❛✐♥ ❝♦rr❡❧❛t✐♦♥ ❦♥♦✇❧❡❞❣❡ ◆❇ ▲❉P❈ ❉❡♥s✐t② ❡✈♦❧✉t✐♦♥ ❢♦r ❙❲ ❝♦❞✐♥❣

❙②♠♠❡tr✐❝ ❝❤❛♥♥❡❧

❙②♠♠❡tr② ✭❳,❨ ✐♥ ●❋✭q✮✮✶

P(❨ |❳) ✐s s②♠♠❡tr✐❝ ✐❢ t❤❡r❡ ❡①✐sts ❛ ❜✐❥❡❝t✐✈❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ ❤ : ●❋(q) → ●❋(q) s✳t✳

P(❨ = ②|❳ = ①) = P(❨ = ❤−✶(❤(②)⊕①)|❳ = ✵)

❳ ✵ ❳ ✶ ❳ ✷ ❨ ✵ ♣✵ ♣✶ ♣✷ ❨ q ✷ ♣q

✷

♣q

✶

♣✵ ❨ q ✶ ♣q

✶

♣✵ ♣✶

❊①❛♠♣❧❡s✿ ❨ ❳ ❩✱ ❛♥② ❧✐♥❡❛r ❝❤❛♥♥❡❧✱ ❇❙❈✱ q✲❛r② s②♠✳✱ ❡t❝✳

✶❊❧s❛ ❉✉♣r❛③✱ ❱❛❧❡♥t✐♥ ❙❛✈✐♥✱ ❆❧✐♥❡ ❘♦✉♠②✱ ▼✐❝❤❡❧ ❑✐❡✛❡r ❉❡♥s✐t② ❊✈♦❧✉t✐♦♥ ❢♦r t❤❡ ❉❡s✐❣♥ ♦❢

◆♦♥✲❇✐♥❛r② ▲♦✇ ❉❡♥s✐t② P❛r✐t② ❈❤❡❝❦ ❈♦❞❡s ❢♦r ❙❧❡♣✐❛♥✲❲♦❧❢ ❈♦❞✐♥❣✱ ❚❡❝❤♥✐❝❛❧ r❡♣♦rt ✶✸✴✹✾

❙♦✉r❝❡ ❝♦❞✐♥❣ ✇✐t❤ s✐❞❡ ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥ ❛♥❞ ✉♥❝❡rt❛✐♥ ❝♦rr❡❧❛t✐♦♥ ❦♥♦✇❧❡❞❣❡ ◆❇ ▲❉P❈ ❉❡♥s✐t② ❡✈♦❧✉t✐♦♥ ❢♦r ❙❲ ❝♦❞✐♥❣

❙②♠♠❡tr✐❝ ❝❤❛♥♥❡❧

❙②♠♠❡tr② ✭❳,❨ ✐♥ ●❋✭q✮✮✶

P(❨ |❳) ✐s s②♠♠❡tr✐❝ ✐❢ t❤❡r❡ ❡①✐sts ❛ ❜✐❥❡❝t✐✈❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ ❤ : ●❋(q) → ●❋(q) s✳t✳

P(❨ = ②|❳ = ①) = P(❨ = ❤−✶(❤(②)⊕①)|❳ = ✵)

❳ = ✵ ❳ = ✶ ❳ = ✷ ... ❨ = ✵ ♣✵ ♣✶ ♣✷ ... ... ... ... ... ... ❨ = q −✷ ♣q−✷ ♣q−✶ ♣✵ ... ❨ = q −✶ ♣q−✶ ♣✵ ♣✶ ...

❊①❛♠♣❧❡s✿ ❨ = ❳ ⊕❩✱ ❛♥② ❧✐♥❡❛r ❝❤❛♥♥❡❧✱ ❇❙❈✱ q✲❛r② s②♠✳✱ ❡t❝✳

✶❊❧s❛ ❉✉♣r❛③✱ ❱❛❧❡♥t✐♥ ❙❛✈✐♥✱ ❆❧✐♥❡ ❘♦✉♠②✱ ▼✐❝❤❡❧ ❑✐❡✛❡r ❉❡♥s✐t② ❊✈♦❧✉t✐♦♥ ❢♦r t❤❡ ❉❡s✐❣♥ ♦❢

◆♦♥✲❇✐♥❛r② ▲♦✇ ❉❡♥s✐t② P❛r✐t② ❈❤❡❝❦ ❈♦❞❡s ❢♦r ❙❧❡♣✐❛♥✲❲♦❧❢ ❈♦❞✐♥❣✱ ❚❡❝❤♥✐❝❛❧ r❡♣♦rt ✶✸✴✹✾

❙♦✉r❝❡ ❝♦❞✐♥❣ ✇✐t❤ s✐❞❡ ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥ ❛♥❞ ✉♥❝❡rt❛✐♥ ❝♦rr❡❧❛t✐♦♥ ❦♥♦✇❧❡❞❣❡ ◆❇ ▲❉P❈ ❉❡♥s✐t② ❡✈♦❧✉t✐♦♥ ❢♦r ❙❲ ❝♦❞✐♥❣

❆❧❧✲③❡r♦ ❝♦❞❡✇♦r❞ ❛ss✉♠♣t✐♦♥ ❬▲❋❑✵✾❪

❆❧❧✲③❡r♦ ❝♦❞❡✇♦r❞ ❛ss✉♠♣t✐♦♥ ■❢ P(❳,❨ ) s✳t✳ ❳ ❞✐str✐❜✉t❡❞ ✉♥✐❢♦r♠❧② P(❨ |❳) s②♠♠❡tr✐❝ t❤❡♥ P(ℓ)

❦ ,◗(ℓ) ❦

❛r❡ ✐♥❞❡♣❡♥❞❡♥t ♦❢ ① ❚❤❡ ❛❧❧✲③❡r♦ ❝♦❞❡✇♦r❞ ✐s ❛ss✉♠❡❞ Pr♦❜❧❡♠✿ ❛ss✉♠♣t✐♦♥s ♦♥ P ❳ ❨ ♥♦t r❡❛s♦♥❛❜❧❡ ✐♥ ❙❲ ❝♦❞✐♥❣

✶✹✴✹✾

❙♦✉r❝❡ ❝♦❞✐♥❣ ✇✐t❤ s✐❞❡ ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥ ❛♥❞ ✉♥❝❡rt❛✐♥ ❝♦rr❡❧❛t✐♦♥ ❦♥♦✇❧❡❞❣❡ ◆❇ ▲❉P❈ ❉❡♥s✐t② ❡✈♦❧✉t✐♦♥ ❢♦r ❙❲ ❝♦❞✐♥❣

❆❧❧✲③❡r♦ ❝♦❞❡✇♦r❞ ❛ss✉♠♣t✐♦♥ ❬▲❋❑✵✾❪

❆❧❧✲③❡r♦ ❝♦❞❡✇♦r❞ ❛ss✉♠♣t✐♦♥ ■❢ P(❳,❨ ) s✳t✳ ❳ ❞✐str✐❜✉t❡❞ ✉♥✐❢♦r♠❧② P(❨ |❳) s②♠♠❡tr✐❝ t❤❡♥ P(ℓ)

❦ ,◗(ℓ) ❦

❛r❡ ✐♥❞❡♣❡♥❞❡♥t ♦❢ ① ❚❤❡ ❛❧❧✲③❡r♦ ❝♦❞❡✇♦r❞ ✐s ❛ss✉♠❡❞ Pr♦❜❧❡♠✿ ❛ss✉♠♣t✐♦♥s ♦♥ P(❳,❨ ) ♥♦t r❡❛s♦♥❛❜❧❡ ✐♥ ❙❲ ❝♦❞✐♥❣

✶✹✴✹✾

❙♦✉r❝❡ ❝♦❞✐♥❣ ✇✐t❤ s✐❞❡ ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥ ❛♥❞ ✉♥❝❡rt❛✐♥ ❝♦rr❡❧❛t✐♦♥ ❦♥♦✇❧❡❞❣❡ ◆❇ ▲❉P❈ ❉❡♥s✐t② ❡✈♦❧✉t✐♦♥ ❢♦r ❙❲ ❝♦❞✐♥❣

❙♦✉r❝❡ ❡q✉✐✈❛❧❡♥❝❡

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✶❊❧s❛ ❉✉♣r❛③✱ ❱❛❧❡♥t✐♥ ❙❛✈✐♥✱ ❆❧✐♥❡ ❘♦✉♠②✱ ▼✐❝❤❡❧ ❑✐❡✛❡r ❉❡♥s✐t② ❊✈♦❧✉t✐♦♥ ❢♦r t❤❡ ❉❡s✐❣♥ ♦❢

◆♦♥✲❇✐♥❛r② ▲♦✇ ❉❡♥s✐t② P❛r✐t② ❈❤❡❝❦ ❈♦❞❡s ❢♦r ❙❧❡♣✐❛♥✲❲♦❧❢ ❈♦❞✐♥❣✱ ❚❡❝❤♥✐❝❛❧ r❡♣♦rt ✶✺✴✹✾

❙♦✉r❝❡ ❝♦❞✐♥❣ ✇✐t❤ s✐❞❡ ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥ ❛♥❞ ✉♥❝❡rt❛✐♥ ❝♦rr❡❧❛t✐♦♥ ❦♥♦✇❧❡❞❣❡ ◆❇ ▲❉P❈ ❉❡♥s✐t② ❡✈♦❧✉t✐♦♥ ❢♦r ❙❲ ❝♦❞✐♥❣

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◆♦♥✲❇✐♥❛r② ▲♦✇ ❉❡♥s✐t② P❛r✐t② ❈❤❡❝❦ ❈♦❞❡s ❢♦r ❙❧❡♣✐❛♥✲❲♦❧❢ ❈♦❞✐♥❣✱ ❚❡❝❤♥✐❝❛❧ r❡♣♦rt ✶✻✴✹✾

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◆♦♥✲❇✐♥❛r② ▲♦✇ ❉❡♥s✐t② P❛r✐t② ❈❤❡❝❦ ❈♦❞❡s ❢♦r ❙❧❡♣✐❛♥✲❲♦❧❢ ❈♦❞✐♥❣✱ ❚❡❝❤♥✐❝❛❧ r❡♣♦rt ✶✻✴✹✾

❙♦✉r❝❡ ❝♦❞✐♥❣ ✇✐t❤ s✐❞❡ ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥ ❛♥❞ ✉♥❝❡rt❛✐♥ ❝♦rr❡❧❛t✐♦♥ ❦♥♦✇❧❡❞❣❡ ◆❇ ▲❉P❈ ❉❡♥s✐t② ❡✈♦❧✉t✐♦♥ ❢♦r ❙❲ ❝♦❞✐♥❣

◆✉♠❡r✐❝❛❧ r❡s✉❧ts

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• ❋✭✹✮✱ ❳

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• ❋✭✶✻✮✱ ❳

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▼❛① ❱◆ ❞❡❣✳ ✶✵ ✶✺ ✷✵ ❘❡❣ ♣ ✵ ✸✶✾ ✵ ✸✷✺ ✵ ✸✷✹ ✵ ✶✾✽ ❍ ♣ ✵ ✹✺✷ ✵ ✹✺✽ ✵ ✹✺✼ ✵ ✸✷

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◆✉♠❡r✐❝❛❧ r❡s✉❧ts

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• ❋✭✹✮✱ ❳ ∼ [✵.✺,✵.✷✺,✵.✶✷✺,✵.✶✷✺]✱ r = ✶/✷✱ ♣ = ✵.✷✷✺

▼❛① ❱◆ ❞❡❣✳ ✻ ✶✵ ✶✺ ❘❡❣ ♣ ✵.✷✶✹ ✵.✷✷✵ ✵.✷✷✶ ✵.✵✽✸ ❍(♣) ✵.✹✽✸ ✵.✹✾✷ ✵.✹✾✹ ✵.✷✹✻

• ❋✭✶✻✮✱ ❳ ∼ [✵.✹,✵.✵✹,...,✵.✵✹]✱ r = ✶/✷✱ ♣ = ✵.✸✻✼

▼❛① ❱◆ ❞❡❣✳ ✶✵ ✶✺ ✷✵ ❘❡❣ ♣ ✵.✸✶✾ ✵.✸✷✺ ✵.✸✷✹ ✵.✶✾✽ ❍(♣) ✵.✹✺✷ ✵.✹✺✽ ✵.✹✺✼ ✵.✸✷

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❙♦✉r❝❡ ❝♦❞✐♥❣ ✇✐t❤ s✐❞❡ ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥ ❛♥❞ ✉♥❝❡rt❛✐♥ ❝♦rr❡❧❛t✐♦♥ ❦♥♦✇❧❡❞❣❡ ◆❇ ▲❉P❈ ❉❡♥s✐t② ❡✈♦❧✉t✐♦♥ ❢♦r ❙❲ ❝♦❞✐♥❣

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◆❇ ▲❉P❈ ❞❡❣r❡❡ ❞✐str✐❜✉t✐♦♥ ❞❡s✐❣♥ ♠❡t❤♦❞ ❢♦r ❙❲ ❝♦❞✐♥❣ ❉❡❣r❡❡ ❞✐str✐❜✉t✐♦♥ ♦♣t✐♠✐③❛t✐♦♥ ✉s✐♥❣ ▼❈▼❈ s✐♠✉❧❛t✐♦♥s

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❙♦✉r❝❡ ❝♦❞✐♥❣ ✇✐t❤ s✐❞❡ ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥ ❛♥❞ ✉♥❝❡rt❛✐♥ ❝♦rr❡❧❛t✐♦♥ ❦♥♦✇❧❡❞❣❡ ❙❲ ❝♦❞✐♥❣

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❙❧❡♣✐❛♥✲❲♦❧❢ ❝♦❞✐♥❣ ✇✐t❤ ✉♥❝❡rt❛✐♥t② P❡r❢♦r♠❛♥❝❡ Pr❛❝t✐❝❛❧ s❝❤❡♠❡ ❈♦❞✐♥❣ s❝❤❡♠❡ ❢♦r t❤❡ ❧♦ss❧❡ss ❝❛s❡✱ ❳ ✐♥ ●❋✭q✮ ❯♥❝❡rt❛✐♥ ❦♥♦✇❧❡❞❣❡ ♦❢ P(❳,❨ )

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❙♦✉r❝❡ ❝♦❞✐♥❣ ✇✐t❤ s✐❞❡ ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥ ❛♥❞ ✉♥❝❡rt❛✐♥ ❝♦rr❡❧❛t✐♦♥ ❦♥♦✇❧❡❞❣❡ ❙❲ ❝♦❞✐♥❣ P❡r❢♦r♠❛♥❝❡

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P(❳,❨ ) ♣❡r❢❡❝t❧② ❦♥♦✇♥ ❈♦♥❞✐t✐♦♥❛❧ ❝♦❞✐♥❣ ❚♦ ❣✉❛r❛♥t❡❡ ❡rr♦r ♣r♦❜❛❜✐❧✐t② ❛s②♠♣t♦t✐❝❛❧❧② ❝❧♦s❡ t♦ ✵ ✿ ❘ ❍ ❳ ❨ ❜✐t✴s②♠❜✳ ❬●▲✼✷❪

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❙♦✉r❝❡ ❝♦❞✐♥❣ ✇✐t❤ s✐❞❡ ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥ ❛♥❞ ✉♥❝❡rt❛✐♥ ❝♦rr❡❧❛t✐♦♥ ❦♥♦✇❧❡❞❣❡ ❙❲ ❝♦❞✐♥❣ P❡r❢♦r♠❛♥❝❡

P❡r❢♦r♠❛♥❝❡ ✇❤❡♥ t❤❡ ❥♦✐♥t ❞✐str✐❜✉t✐♦♥ ✐s ❦♥♦✇♥

P(❳,❨ ) ♣❡r❢❡❝t❧② ❦♥♦✇♥ ❈♦♥❞✐t✐♦♥❛❧ ❝♦❞✐♥❣ ❚♦ ❣✉❛r❛♥t❡❡ ❡rr♦r ♣r♦❜❛❜✐❧✐t② ❛s②♠♣t♦t✐❝❛❧❧② ❝❧♦s❡ t♦ ✵ ✿ ❘ ≥ ❍(❳|❨ ) ❜✐t✴s②♠❜✳ ❬●▲✼✷❪

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❙♦✉r❝❡ ❝♦❞✐♥❣ ✇✐t❤ s✐❞❡ ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥ ❛♥❞ ✉♥❝❡rt❛✐♥ ❝♦rr❡❧❛t✐♦♥ ❦♥♦✇❧❡❞❣❡ ❙❲ ❝♦❞✐♥❣ P❡r❢♦r♠❛♥❝❡

P❡r❢♦r♠❛♥❝❡ ✇❤❡♥ t❤❡ ❥♦✐♥t ❞✐str✐❜✉t✐♦♥ ✐s ❦♥♦✇♥

P(❳,❨ ) ♣❡r❢❡❝t❧② ❦♥♦✇♥ ❈♦♥❞✐t✐♦♥❛❧ ❝♦❞✐♥❣ ❉✐str✐❜✉t❡❞ ❝♦❞✐♥❣ ❚♦ ❣✉❛r❛♥t❡❡ ❡rr♦r ♣r♦❜❛❜✐❧✐t② ❛s②♠♣t♦t✐❝❛❧❧② ❝❧♦s❡ t♦ ✵ ✿ ❘ ≥ ❍(❳|❨ ) ❜✐t✴s②♠❜✳ ❬●▲✼✷❪ ❘ ≥ ❍(❳|❨ ) ❜✐t✴s②♠❜✳ ❬❙❲✼✸❪

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❙♦✉r❝❡ ❝♦❞✐♥❣ ✇✐t❤ s✐❞❡ ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥ ❛♥❞ ✉♥❝❡rt❛✐♥ ❝♦rr❡❧❛t✐♦♥ ❦♥♦✇❧❡❞❣❡ ❙❲ ❝♦❞✐♥❣ P❡r❢♦r♠❛♥❝❡

❯♥❝❡rt❛✐♥ ❝♦rr❡❧❛t✐♦♥ ❦♥♦✇❧❡❞❣❡

❉❡✜♥✐t✐♦♥✿ (❳,❨ ) ∼ P(❳,❨ |θ) = P(❳)P(❨ |❳,θ) θ ∈ Pθ✿ ✜①❡❞ ❜✉t ✉♥❦♥♦✇♥ ♣❛r❛♠❡t❡r ❊①❛♠♣❧❡✿ ✐✳✐✳❞✳ ❜✐♥❛r② s♦✉r❝❡s ✵ P ❳ ✶ ✶ ✷ ❇❙❈✭ ✮✿ P ❨ ✶ ❳ ✵ P ❨ ✵ ❳ ✶

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❙♦✉r❝❡ ❝♦❞✐♥❣ ✇✐t❤ s✐❞❡ ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥ ❛♥❞ ✉♥❝❡rt❛✐♥ ❝♦rr❡❧❛t✐♦♥ ❦♥♦✇❧❡❞❣❡ ❙❲ ❝♦❞✐♥❣ P❡r❢♦r♠❛♥❝❡

❯♥❝❡rt❛✐♥ ❝♦rr❡❧❛t✐♦♥ ❦♥♦✇❧❡❞❣❡

❉❡✜♥✐t✐♦♥✿ (❳,❨ ) ∼ P(❳,❨ |θ) = P(❳)P(❨ |❳,θ) θ ∈ Pθ✿ ✜①❡❞ ❜✉t ✉♥❦♥♦✇♥ ♣❛r❛♠❡t❡r ❊①❛♠♣❧❡✿ ✐✳✐✳❞✳ ❜✐♥❛r② s♦✉r❝❡s θ ∈ [✵,θ] P(❳ = ✶) = ✶/✷ ❇❙❈✭θ✮✿ P(❨ = ✶|❳ = ✵,θ) = P(❨ = ✵|❳ = ✶,θ) = θ

✷✷✴✹✾

❙♦✉r❝❡ ❝♦❞✐♥❣ ✇✐t❤ s✐❞❡ ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥ ❛♥❞ ✉♥❝❡rt❛✐♥ ❝♦rr❡❧❛t✐♦♥ ❦♥♦✇❧❡❞❣❡ ❙❲ ❝♦❞✐♥❣ P❡r❢♦r♠❛♥❝❡

P❡r❢♦r♠❛♥❝❡ ✇✐t❤ ✉♥❝❡rt❛✐♥ ❝♦rr❡❧❛t✐♦♥ ❦♥♦✇❧❡❞❣❡

❯♥❝❡rt❛✐♥ ❝♦rr❡❧❛t✐♦♥ ❦♥♦✇❧❡❞❣❡ (❳,❨ ) ∼ P(❳,❨ |θ)✶ ❈♦♥❞✐t✐♦♥❛❧ ❝♦❞✐♥❣ ❚♦ ❣✉❛r❛♥t❡❡ ❡rr✳ ♣r♦❜✳ ❛s②♠♣t♦t✐❝❛❧❧② ❝❧♦s❡ t♦ ✵ ✿ ❘ ❍ ❳ ❨ ❜✐t✴s②♠❜✳

✶❊❧s❛ ❉✉♣r❛③✱ ❆❧✐♥❡ ❘♦✉♠②✱ ▼✐❝❤❡❧ ❑✐❡✛❡r ❈♦❞✐♥❣ str❛t❡❣✐❡s ❢♦r s♦✉r❝❡ ❝♦❞✐♥❣ ✇✐t❤ s✐❞❡ ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥

❛♥❞ ✉♥❝❡rt❛✐♥ ❦♥♦✇❧❡❞❣❡ ♦❢ t❤❡ ❝♦rr❡❧❛t✐♦♥ ❙✉❜♠✐tt❡❞ ❛t ■❊❊❊ ❚r❛♥s❛❝t✐♦♥s ♦♥ ■♥❢♦r♠❛t✐♦♥ ❚❤❡♦r②✱ ▼❛r❝❤ ✷✵✶✸ ✷✸✴✹✾

❙♦✉r❝❡ ❝♦❞✐♥❣ ✇✐t❤ s✐❞❡ ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥ ❛♥❞ ✉♥❝❡rt❛✐♥ ❝♦rr❡❧❛t✐♦♥ ❦♥♦✇❧❡❞❣❡ ❙❲ ❝♦❞✐♥❣ P❡r❢♦r♠❛♥❝❡

P❡r❢♦r♠❛♥❝❡ ✇✐t❤ ✉♥❝❡rt❛✐♥ ❝♦rr❡❧❛t✐♦♥ ❦♥♦✇❧❡❞❣❡

❯♥❝❡rt❛✐♥ ❝♦rr❡❧❛t✐♦♥ ❦♥♦✇❧❡❞❣❡ (❳,❨ ) ∼ P(❳,❨ |θ)✶ ❈♦♥❞✐t✐♦♥❛❧ ❝♦❞✐♥❣ ❚♦ ❣✉❛r❛♥t❡❡ ❡rr✳ ♣r♦❜✳ ❛s②♠♣t♦t✐❝❛❧❧② ❝❧♦s❡ t♦ ✵ ✿ ❘ ≥ ❍(❳|❨ ,Θ = θ) ❜✐t✴s②♠❜✳

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❛♥❞ ✉♥❝❡rt❛✐♥ ❦♥♦✇❧❡❞❣❡ ♦❢ t❤❡ ❝♦rr❡❧❛t✐♦♥ ❙✉❜♠✐tt❡❞ ❛t ■❊❊❊ ❚r❛♥s❛❝t✐♦♥s ♦♥ ■♥❢♦r♠❛t✐♦♥ ❚❤❡♦r②✱ ▼❛r❝❤ ✷✵✶✸ ✷✸✴✹✾

❙♦✉r❝❡ ❝♦❞✐♥❣ ✇✐t❤ s✐❞❡ ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥ ❛♥❞ ✉♥❝❡rt❛✐♥ ❝♦rr❡❧❛t✐♦♥ ❦♥♦✇❧❡❞❣❡ ❙❲ ❝♦❞✐♥❣ P❡r❢♦r♠❛♥❝❡

P❡r❢♦r♠❛♥❝❡ ✇✐t❤ ✉♥❝❡rt❛✐♥ ❝♦rr❡❧❛t✐♦♥ ❦♥♦✇❧❡❞❣❡

❯♥❝❡rt❛✐♥ ❝♦rr❡❧❛t✐♦♥ ❦♥♦✇❧❡❞❣❡ (❳,❨ ) ∼ P(❳,❨ |θ)✶ ❈♦♥❞✐t✐♦♥❛❧ ❝♦❞✐♥❣ ❉✐str✐❜✉t❡❞ ❝♦❞✐♥❣ ❚♦ ❣✉❛r❛♥t❡❡ ❡rr✳ ♣r♦❜✳ ❛s②♠♣t♦t✐❝❛❧❧② ❝❧♦s❡ t♦ ✵ ✿ ❘ ≥ ❍(❳|❨ ,Θ = θ) ❜✐t✴s②♠❜✳ ❘ ≥ s✉♣θ∈Pθ ❍(❳|❨ ,Θ = θ) ❜✐t✴s②♠❜✳

✶❊❧s❛ ❉✉♣r❛③✱ ❆❧✐♥❡ ❘♦✉♠②✱ ▼✐❝❤❡❧ ❑✐❡✛❡r ❈♦❞✐♥❣ str❛t❡❣✐❡s ❢♦r s♦✉r❝❡ ❝♦❞✐♥❣ ✇✐t❤ s✐❞❡ ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥

❛♥❞ ✉♥❝❡rt❛✐♥ ❦♥♦✇❧❡❞❣❡ ♦❢ t❤❡ ❝♦rr❡❧❛t✐♦♥ ❙✉❜♠✐tt❡❞ ❛t ■❊❊❊ ❚r❛♥s❛❝t✐♦♥s ♦♥ ■♥❢♦r♠❛t✐♦♥ ❚❤❡♦r②✱ ▼❛r❝❤ ✷✵✶✸ ✷✹✴✹✾

❙♦✉r❝❡ ❝♦❞✐♥❣ ✇✐t❤ s✐❞❡ ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥ ❛♥❞ ✉♥❝❡rt❛✐♥ ❝♦rr❡❧❛t✐♦♥ ❦♥♦✇❧❡❞❣❡ ❙❲ ❝♦❞✐♥❣ P❡r❢♦r♠❛♥❝❡

❚❤❡ t❤r❡❡ ♥♦❞❡s ♥❡t✇♦r❦

❈♦♥❞✐t✐♦♥❛❧ ♦r ❞✐str✐❜✉t❡❞ ❝♦❞✐♥❣❄

X Y S

❘ ≥ ❍(❳|❨ ,Θ = θ) ❘ ≥ s✉♣θ∈Pθ ❍(❳|❨ ,Θ = θ)

✷✺✴✹✾

❙♦✉r❝❡ ❝♦❞✐♥❣ ✇✐t❤ s✐❞❡ ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥ ❛♥❞ ✉♥❝❡rt❛✐♥ ❝♦rr❡❧❛t✐♦♥ ❦♥♦✇❧❡❞❣❡ ❙❲ ❝♦❞✐♥❣ P❡r❢♦r♠❛♥❝❡

❚❤❡ t❤r❡❡ ♥♦❞❡s ♥❡t✇♦r❦

❈♦♥❞✐t✐♦♥❛❧ ♦r ❞✐str✐❜✉t❡❞ ❝♦❞✐♥❣❄

X Y S

❘ ≥ ❍(❳|❨ ,Θ = θ) ❘ ≥ s✉♣θ∈Pθ ❍(❳|❨ ,Θ = θ)

✷✻✴✹✾

❙♦✉r❝❡ ❝♦❞✐♥❣ ✇✐t❤ s✐❞❡ ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥ ❛♥❞ ✉♥❝❡rt❛✐♥ ❝♦rr❡❧❛t✐♦♥ ❦♥♦✇❧❡❞❣❡ ❙❲ ❝♦❞✐♥❣ P❡r❢♦r♠❛♥❝❡

❚❤❡ t❤r❡❡ ♥♦❞❡s ♥❡t✇♦r❦

❈♦♥❞✐t✐♦♥❛❧ ♦r ❞✐str✐❜✉t❡❞ ❝♦❞✐♥❣❄

X Y S

❘ ≥ ❍(❳|❨ ,Θ = θ) ❘ ≥ s✉♣θ∈Pθ ❍(❳|❨ ,Θ = θ)

✷✼✴✹✾

❙♦✉r❝❡ ❝♦❞✐♥❣ ✇✐t❤ s✐❞❡ ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥ ❛♥❞ ✉♥❝❡rt❛✐♥ ❝♦rr❡❧❛t✐♦♥ ❦♥♦✇❧❡❞❣❡ ❙❲ ❝♦❞✐♥❣ P❡r❢♦r♠❛♥❝❡

❚❤❡ t❤r❡❡ ♥♦❞❡s ♥❡t✇♦r❦

❈♦♥❞✐t✐♦♥❛❧ ♦r ❞✐str✐❜✉t❡❞ ❝♦❞✐♥❣❄

X Y S

❘ ≥ ❍(❳|❨ ,Θ = θ) ❘ ≥ s✉♣θ∈Pθ ❍(❳|❨ ,Θ = θ)

❚❤❡ ❜❡st str❛t❡❣② ❞❡♣❡♥❞s ♦♥ t❤❡ tr✉❡ ✈❛❧✉❡ ♦❢ θ

✷✽✴✹✾

❙♦✉r❝❡ ❝♦❞✐♥❣ ✇✐t❤ s✐❞❡ ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥ ❛♥❞ ✉♥❝❡rt❛✐♥ ❝♦rr❡❧❛t✐♦♥ ❦♥♦✇❧❡❞❣❡ ❙❲ ❝♦❞✐♥❣ P❡r❢♦r♠❛♥❝❡

❚❤❡ t❤r❡❡ ♥♦❞❡s ♥❡t✇♦r❦

❇❙❈✭θ✮✱ θ ∈ [✵,θ]

• dist. coding

conditional coding

X Y S

µ✷ = µ✸ = ✶

✷✾✴✹✾

❙♦✉r❝❡ ❝♦❞✐♥❣ ✇✐t❤ s✐❞❡ ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥ ❛♥❞ ✉♥❝❡rt❛✐♥ ❝♦rr❡❧❛t✐♦♥ ❦♥♦✇❧❡❞❣❡ ❙❲ ❝♦❞✐♥❣ P❡r❢♦r♠❛♥❝❡

❚❤❡ t❤r❡❡ ♥♦❞❡s ♥❡t✇♦r❦

❇❙❈✭θ✮✱ θ ∈ [✵,θ]

• dist. coding

conditional coding

X Y S

µ✷ = µ✸ = ✶

0.2 0.4 0.6 0.8 1 0.2 0.4 0.6 0.8 1 = 0.05 conditional coding distributed coding = 0.1 = 0.2

✸✵✴✹✾

❙♦✉r❝❡ ❝♦❞✐♥❣ ✇✐t❤ s✐❞❡ ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥ ❛♥❞ ✉♥❝❡rt❛✐♥ ❝♦rr❡❧❛t✐♦♥ ❦♥♦✇❧❡❞❣❡ ❙❲ ❝♦❞✐♥❣ Pr❛❝t✐❝❛❧ s❝❤❡♠❡

✸

❙❧❡♣✐❛♥✲❲♦❧❢ ❝♦❞✐♥❣ ✇✐t❤ ✉♥❝❡rt❛✐♥t② P❡r❢♦r♠❛♥❝❡ Pr❛❝t✐❝❛❧ s❝❤❡♠❡

✸✶✴✹✾

❙♦✉r❝❡ ❝♦❞✐♥❣ ✇✐t❤ s✐❞❡ ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥ ❛♥❞ ✉♥❝❡rt❛✐♥ ❝♦rr❡❧❛t✐♦♥ ❦♥♦✇❧❡❞❣❡ ❙❲ ❝♦❞✐♥❣ Pr❛❝t✐❝❛❧ s❝❤❡♠❡

Pr❛❝t✐❝❛❧ ❞❡❝♦❞❡r✶

❚✇♦✲st❡♣ ❊▼✲❜❛s❡❞ ❛♣♣r♦❛❝❤✿ (①(ℓ),θ (ℓ)) ❛t ✐t❡r❛t✐♦♥ ℓ ▲❉P❈ ❞❡❝♦❞✐♥❣ ✇✐t❤ ❡st✐♠❛t❡

✶ t♦ ♦❜t❛✐♥

P ❳♥ ❦ ②♥ s

✶

❯♣❞❛t❡ ♦❢ t❤❡ ❢♦r ❨ ❳ ❩✱ P ❩ ❦

❦

❦ ◆ ♥ ✶

P ❳♥ ②♥ ❦ ②♥ s

✶ ◆ ♥ ✶ q ✶ ❦ ✵

P ❳♥ ②♥ ❦ ②♥ s

✶ ✶❊❧s❛ ❉✉♣r❛③✱ ❆❧✐♥❡ ❘♦✉♠②✱ ▼✐❝❤❡❧ ❑✐❡✛❡r ❙♦✉r❝❡ ❝♦❞✐♥❣ ✇✐t❤ s✐❞❡ ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥ ❛t t❤❡ ❞❡❝♦❞❡r ❛♥❞

✉♥❝❡rt❛✐♥ ❦♥♦✇❧❡❞❣❡ ♦❢ t❤❡ ❝♦rr❡❧❛t✐♦♥ ❚♦ ❛♣♣❡❛r ✐♥ ■❊❊❊ ❚r❛♥s❛❝t✐♦♥s ♦♥ ❈♦♠♠✉♥✐❝❛t✐♦♥s ✸✷✴✹✾

❙♦✉r❝❡ ❝♦❞✐♥❣ ✇✐t❤ s✐❞❡ ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥ ❛♥❞ ✉♥❝❡rt❛✐♥ ❝♦rr❡❧❛t✐♦♥ ❦♥♦✇❧❡❞❣❡ ❙❲ ❝♦❞✐♥❣ Pr❛❝t✐❝❛❧ s❝❤❡♠❡

Pr❛❝t✐❝❛❧ ❞❡❝♦❞❡r✶

❚✇♦✲st❡♣ ❊▼✲❜❛s❡❞ ❛♣♣r♦❛❝❤✿ (①(ℓ),θ (ℓ)) ❛t ✐t❡r❛t✐♦♥ ℓ ▲❉P❈ ❞❡❝♦❞✐♥❣ ✇✐t❤ ❡st✐♠❛t❡ θ (ℓ−✶) t♦ ♦❜t❛✐♥

P(❳♥ = ❦|②♥,s,θ (ℓ−✶))

❯♣❞❛t❡ ♦❢ t❤❡ ❢♦r ❨ ❳ ❩✱ P ❩ ❦

❦

❦ ◆ ♥ ✶

P ❳♥ ②♥ ❦ ②♥ s

✶ ◆ ♥ ✶ q ✶ ❦ ✵

P ❳♥ ②♥ ❦ ②♥ s

✶ ✶❊❧s❛ ❉✉♣r❛③✱ ❆❧✐♥❡ ❘♦✉♠②✱ ▼✐❝❤❡❧ ❑✐❡✛❡r ❙♦✉r❝❡ ❝♦❞✐♥❣ ✇✐t❤ s✐❞❡ ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥ ❛t t❤❡ ❞❡❝♦❞❡r ❛♥❞

✉♥❝❡rt❛✐♥ ❦♥♦✇❧❡❞❣❡ ♦❢ t❤❡ ❝♦rr❡❧❛t✐♦♥ ❚♦ ❛♣♣❡❛r ✐♥ ■❊❊❊ ❚r❛♥s❛❝t✐♦♥s ♦♥ ❈♦♠♠✉♥✐❝❛t✐♦♥s ✸✷✴✹✾

❙♦✉r❝❡ ❝♦❞✐♥❣ ✇✐t❤ s✐❞❡ ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥ ❛♥❞ ✉♥❝❡rt❛✐♥ ❝♦rr❡❧❛t✐♦♥ ❦♥♦✇❧❡❞❣❡ ❙❲ ❝♦❞✐♥❣ Pr❛❝t✐❝❛❧ s❝❤❡♠❡

Pr❛❝t✐❝❛❧ ❞❡❝♦❞❡r✶

❚✇♦✲st❡♣ ❊▼✲❜❛s❡❞ ❛♣♣r♦❛❝❤✿ (①(ℓ),θ (ℓ)) ❛t ✐t❡r❛t✐♦♥ ℓ ▲❉P❈ ❞❡❝♦❞✐♥❣ ✇✐t❤ ❡st✐♠❛t❡ θ (ℓ−✶) t♦ ♦❜t❛✐♥

P(❳♥ = ❦|②♥,s,θ (ℓ−✶))

❯♣❞❛t❡ ♦❢ t❤❡ θ (ℓ) ❢♦r ❨ = ❳ ⊕❩✱ P(❩ = ❦) = θ❦

θ (ℓ)

❦

=

◆

∑

♥=✶

P(❳♥ = ②♥ ⊖❦|②♥,s,θ (ℓ−✶))

◆

∑

♥=✶ q−✶

∑

❦′=✵

P(❳♥ = ②♥ ⊖❦′|②♥,s,θ (ℓ−✶))

✶❊❧s❛ ❉✉♣r❛③✱ ❆❧✐♥❡ ❘♦✉♠②✱ ▼✐❝❤❡❧ ❑✐❡✛❡r ❙♦✉r❝❡ ❝♦❞✐♥❣ ✇✐t❤ s✐❞❡ ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥ ❛t t❤❡ ❞❡❝♦❞❡r ❛♥❞

✉♥❝❡rt❛✐♥ ❦♥♦✇❧❡❞❣❡ ♦❢ t❤❡ ❝♦rr❡❧❛t✐♦♥ ❚♦ ❛♣♣❡❛r ✐♥ ■❊❊❊ ❚r❛♥s❛❝t✐♦♥s ♦♥ ❈♦♠♠✉♥✐❝❛t✐♦♥s ✸✷✴✹✾

❙♦✉r❝❡ ❝♦❞✐♥❣ ✇✐t❤ s✐❞❡ ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥ ❛♥❞ ✉♥❝❡rt❛✐♥ ❝♦rr❡❧❛t✐♦♥ ❦♥♦✇❧❡❞❣❡ ❙❲ ❝♦❞✐♥❣ Pr❛❝t✐❝❛❧ s❝❤❡♠❡

◆✉♠❡r✐❝❛❧ r❡s✉❧ts

❙②♠❜♦❧s ✐♥ ●❋✭✹✮✱ r = ✸/✹✱ ❨ = ❳ ⊕❩✱ θ = [θ✵,...,θ✸]✱ Pr(❩ = ❦) = θ❦ ❛♥❞ ∀θ ∈ Pθ✱ θ✵ ≥ ♣

10-6 10-5 10-4 10-3 10-2 10-1 100 0.67 0.675 0.68 0.685 0.69 0.695 0.7 0.705 0.71

Error Rate p Deterministic Initialization at random Proper initialization Genie-aided

✸✸✴✹✾

❙♦✉r❝❡ ❝♦❞✐♥❣ ✇✐t❤ s✐❞❡ ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥ ❛♥❞ ✉♥❝❡rt❛✐♥ ❝♦rr❡❧❛t✐♦♥ ❦♥♦✇❧❡❞❣❡ ❙❲ ❝♦❞✐♥❣ Pr❛❝t✐❝❛❧ s❝❤❡♠❡

❙✉♠♠❛r②

P❡r❢♦r♠❛♥❝❡ ❛♥❛❧②s✐s

✐♥ t❤❡ ❝❛s❡ ✇✐t❤ ✉♥❝❡rt❛✐♥t② ✇❤❡♥ ❡st✐♠❛t❡❞ ♣❛r❛♠❡t❡rs ❛r❡ ❛✈❛✐❧❛❜❧❡ ✇❤❡♥ ❛♥ ♦✉t❛❣❡ ✐s ❛✉t❤♦r✐③❡❞

❈♦❞✐♥❣ s❝❤❡♠❡ ❜❛s❡❞ ♦♥ ◆❇ ▲❉P❈ ❝♦❞❡s ❛❜❧❡ t♦ ❞❡❛❧ ✇✐t❤ t❤❡ ✉♥❝❡rt❛✐♥t②

✸✹✴✹✾

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✹

❲②♥❡r✲❩✐✈ ❝♦❞✐♥❣ ✇✐t❤ ♠❡♠♦r② P❡r❢♦r♠❛♥❝❡ Pr❛❝t✐❝❛❧ s❝❤❡♠❡ ❈♦❞✐♥❣ s❝❤❡♠❡ ❢♦r t❤❡ ❧♦ss② ❝❛s❡✱ ❳ ❛♥❞ ❨ ❝♦♥t✐♥✉♦✉s ▼❡♠♦r② ♦♥ t❤❡ ❝♦rr❡❧❛t✐♦♥ ❝❤❛♥♥❡❧

✸✺✴✹✾

❙♦✉r❝❡ ❝♦❞✐♥❣ ✇✐t❤ s✐❞❡ ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥ ❛♥❞ ✉♥❝❡rt❛✐♥ ❝♦rr❡❧❛t✐♦♥ ❦♥♦✇❧❡❞❣❡ ❲❩ ❝♦❞✐♥❣ P❡r❢♦r♠❛♥❝❡

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❙♦✉r❝❡ ♠♦❞❡❧

❍✐❞❞❡♥ ▼❛r❦♦✈ ♠♦❞❡❧ ✇✐t❤ ●❛✉ss✐❛♥ ❡♠✐ss✐♦♥s ❨ = ❳ +❩✱ ❳ ∼ N (✵,σ✷

① )

❩ ✿ ❍▼▼ ♦❢ ❤✐❞❞❡♥ st❛t❡ ❙

P(❙❦ = ❥|❙❦−✶ = ✐) = P✐,❥✱ ✭❩|❙ = s) ∼ N (✵,σ ✷

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10

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11

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❉✐st♦rt✐♦♥ ♠❡❛s✉r❡ ❞(❳♥, ˆ ❳♥) = ❳♥ − ˆ ❳♥✷ ❘❛t❡✲❞✐st♦rt✐♦♥ ❢✉♥❝t✐♦♥ ❘❳ ❨ ❉ ❧✐♠

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❘❛t❡✲❞✐st♦rt✐♦♥ ♣❡r❢♦r♠❛♥❝❡ ❬■✇❛✵✷❪

❉✐st♦rt✐♦♥ ♠❡❛s✉r❡ ❞(❳♥, ˆ ❳♥) = ❳♥ − ˆ ❳♥✷ ❘❛t❡✲❞✐st♦rt✐♦♥ ❢✉♥❝t✐♦♥ ❘❳|❨ (❉) = ❧✐♠

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❘❛t❡✲❞✐st♦rt✐♦♥ ♣❡r❢♦r♠❛♥❝❡ ❬■✇❛✵✷❪

❉✐st♦rt✐♦♥ ♠❡❛s✉r❡ ❞(❳♥, ˆ ❳♥) = ❳♥ − ˆ ❳♥✷ ❘❛t❡✲❞✐st♦rt✐♦♥ ❢✉♥❝t✐♦♥ ❘❳|❨ (❉) = ❧✐♠

♥→∞✐♥❢ ✶

♥■(❳♥;❯♥|❨♥)

✐♥❢ ♦♥ ❯♥ s✳t✳ ❯♥ ↔ ❳♥ ↔ ❨♥ ❛♥❞ ∃ ❢♥ : U ♥ ×Y ♥ → X ♥ s✳t✳ ❊ ✶

♥ ❞(❳♥,❢♥(❯♥,❨♥))

• ≤ ❉

Pr♦❜❧❡♠✿ ❞✐✣❝✉❧t t♦ ♦❜t❛✐♥ ✐♥ ❝❧♦s❡❞✲❢♦r♠ ❡①♣r❡ss✐♦♥

✸✼✴✹✾

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• ❡♥✐❡✲❛✐❞❡❞ s❡t✉♣✶

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♣s ♠❛① ✵ ✶ ✷ ❧♦❣✷

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❜✉rst② ❝♦rr❡❧❛t✐♦♥✳ ■❈❆❙❙P ✷✵✶✷ ✿ ✷✾✼✸✲✷✾✼✻✱ ❑②♦t♦✱ ❏❛♣❛♥ ✸✽✴✹✾

❙♦✉r❝❡ ❝♦❞✐♥❣ ✇✐t❤ s✐❞❡ ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥ ❛♥❞ ✉♥❝❡rt❛✐♥ ❝♦rr❡❧❛t✐♦♥ ❦♥♦✇❧❡❞❣❡ ❲❩ ❝♦❞✐♥❣ P❡r❢♦r♠❛♥❝❡

• ❡♥✐❡✲❛✐❞❡❞ s❡t✉♣✶

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❜✉rst② ❝♦rr❡❧❛t✐♦♥✳ ■❈❆❙❙P ✷✵✶✷ ✿ ✷✾✼✸✲✷✾✼✻✱ ❑②♦t♦✱ ❏❛♣❛♥ ✸✽✴✹✾

❙♦✉r❝❡ ❝♦❞✐♥❣ ✇✐t❤ s✐❞❡ ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥ ❛♥❞ ✉♥❝❡rt❛✐♥ ❝♦rr❡❧❛t✐♦♥ ❦♥♦✇❧❡❞❣❡ ❲❩ ❝♦❞✐♥❣ P❡r❢♦r♠❛♥❝❡

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♠✐♥ ❧✐♠

❦

❍ ❙❦ ❙❦

✶

❤ ❧✐♠

❦

❤ ❩❦ ❙❦

✶❊❧s❛ ❉✉♣r❛③✱ ❋r❛♥❝❡s❝❛ ❇❛ss✐✱ ❚❤♦♠❛s ❘♦❞❡t✱ ▼✐❝❤❡❧ ❑✐❡✛❡r ❉✐str✐❜✉t❡❞ ❝♦❞✐♥❣ ♦❢ s♦✉r❝❡s ✇✐t❤

❜✉rst② ❝♦rr❡❧❛t✐♦♥✳ ■❈❆❙❙P ✷✵✶✷ ✿ ✷✾✼✸✲✷✾✼✻✱ ❑②♦t♦✱ ❏❛♣❛♥ ✸✾✴✹✾

❙♦✉r❝❡ ❝♦❞✐♥❣ ✇✐t❤ s✐❞❡ ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥ ❛♥❞ ✉♥❝❡rt❛✐♥ ❝♦rr❡❧❛t✐♦♥ ❦♥♦✇❧❡❞❣❡ ❲❩ ❝♦❞✐♥❣ P❡r❢♦r♠❛♥❝❡

❇♦✉♥❞s ♦♥ t❤❡ r❛t❡✲❞✐st♦rt✐♦♥ ❢✉♥❝t✐♦♥✶

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• ✶+

❉ σ✷

❳|❨ ,✵

• Λ❳|❨ = ♠✐♥
• ❧✐♠

❦→∞❍(❙❦|❙❦−✶), ❤(Z )− ❧✐♠ ❦→∞❤(❩❦|❙❦)

• ✶❊❧s❛ ❉✉♣r❛③✱ ❋r❛♥❝❡s❝❛ ❇❛ss✐✱ ❚❤♦♠❛s ❘♦❞❡t✱ ▼✐❝❤❡❧ ❑✐❡✛❡r ❉✐str✐❜✉t❡❞ ❝♦❞✐♥❣ ♦❢ s♦✉r❝❡s ✇✐t❤

❜✉rst② ❝♦rr❡❧❛t✐♦♥✳ ■❈❆❙❙P ✷✵✶✷ ✿ ✷✾✼✸✲✷✾✼✻✱ ❑②♦t♦✱ ❏❛♣❛♥ ✸✾✴✹✾

❙♦✉r❝❡ ❝♦❞✐♥❣ ✇✐t❤ s✐❞❡ ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥ ❛♥❞ ✉♥❝❡rt❛✐♥ ❝♦rr❡❧❛t✐♦♥ ❦♥♦✇❧❡❞❣❡ ❲❩ ❝♦❞✐♥❣ P❡r❢♦r♠❛♥❝❡

❊①❛♠♣❧❡s

✷ st❛t❡s✱ σ✷

① = ✶✱ ♣✵ = ✵.✺

• 40
• 35
• 30
• 25
• 20
• 15
• 10
• 5

1 2 3 4 5 6

D [dB] R [bit/symbol] Upper bound Lower bound

µ = ✵.✾✾✱ σ✷

✵ = ✵.✵✺✱ σ✷ ✶ = ✶

• 40
• 35
• 30
• 25
• 20
• 15
• 10
• 5

1 2 3 4 5 6 7

D [dB] R [bit/symbol] Upper bound Lower bound

µ = ✵.✾✾✱ σ✷

✵ = ✵.✺✱ σ✷ ✶ = ✶

• 40
• 35
• 30
• 25
• 20
• 15
• 10
• 5

1 2 3 4 5 6

D [dB] R [bit/symbol] Upper bound Lower bound

µ = ✵.✽✱ σ✷

✵ = ✵.✵✺✱ σ✷ ✶ = ✶

• 40
• 35
• 30
• 25
• 20
• 15
• 10
• 5

1 2 3 4 5 6 7

D [dB] R [bit/symbol] Upper bound Lower bound

µ = ✵.✽✱ σ✷

✵ = ✵.✺✱ σ✷ ✶ = ✶

✹✵✴✹✾

❙♦✉r❝❡ ❝♦❞✐♥❣ ✇✐t❤ s✐❞❡ ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥ ❛♥❞ ✉♥❝❡rt❛✐♥ ❝♦rr❡❧❛t✐♦♥ ❦♥♦✇❧❡❞❣❡ ❲❩ ❝♦❞✐♥❣ Pr❛❝t✐❝❛❧ s❝❤❡♠❡

✹

❲②♥❡r✲❩✐✈ ❝♦❞✐♥❣ ✇✐t❤ ♠❡♠♦r② P❡r❢♦r♠❛♥❝❡ Pr❛❝t✐❝❛❧ s❝❤❡♠❡

✹✶✴✹✾

❙♦✉r❝❡ ❝♦❞✐♥❣ ✇✐t❤ s✐❞❡ ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥ ❛♥❞ ✉♥❝❡rt❛✐♥ ❝♦rr❡❧❛t✐♦♥ ❦♥♦✇❧❡❞❣❡ ❲❩ ❝♦❞✐♥❣ Pr❛❝t✐❝❛❧ s❝❤❡♠❡

Pr❛❝t✐❝❛❧ s❝❤❡♠❡✶

H

SP

est

MMSE Slepian-Wolf chain

• 1

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✶❊❧s❛ ❉✉♣r❛③✱ ❋r❛♥❝❡s❝❛ ❇❛ss✐✱ ❚❤♦♠❛s ❘♦❞❡t✱ ❆❧✐♥❡ ❘♦✉♠②✱ ▼✐❝❤❡❧ ❑✐❡✛❡r ❲②♥❡r✲❩✐✈ ❝♦❞✐♥❣ ❢♦r

• ❛✉ss✐❛♥ s♦✉r❝❡s ✇✐t❤ ❍✐❞❞❡♥ ❙t❛t❡ ▼❛r❦♦✈✐❛♥ ❈♦rr❡❧❛t✐♦♥

❚❡❝❤♥✐❝❛❧ r❡♣♦rt ✹✷✴✹✾

❙♦✉r❝❡ ❝♦❞✐♥❣ ✇✐t❤ s✐❞❡ ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥ ❛♥❞ ✉♥❝❡rt❛✐♥ ❝♦rr❡❧❛t✐♦♥ ❦♥♦✇❧❡❞❣❡ ❲❩ ❝♦❞✐♥❣ Pr❛❝t✐❝❛❧ s❝❤❡♠❡

◆✉♠❡r✐❝❛❧ r❡s✉❧ts

µ = ✶−♣✵✶ −♣✶✵ = ✵.✾✽✱ σ✷

① = ✶✱

σ✷

✵ = ✵.✶, σ✷ ✶ = ✵.✵✶, ♣✵ = ✵.✾✽✹✹✱ ◆ = ✶✵✵✵✵

• 30
• 25
• 20
• 15
• 10

0.5 1 1.5 2 2.5

D [dB] R [bit/symbol]

1 - Complete scheme 2 - MMSE without memory 3 - Scalar quantization + MMSE 4 - Upper bound 1 2 3 4 6 5 5 - MMSE 6 - Lower bound ✹✸✴✹✾

❙♦✉r❝❡ ❝♦❞✐♥❣ ✇✐t❤ s✐❞❡ ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥ ❛♥❞ ✉♥❝❡rt❛✐♥ ❝♦rr❡❧❛t✐♦♥ ❦♥♦✇❧❡❞❣❡ ❲❩ ❝♦❞✐♥❣ Pr❛❝t✐❝❛❧ s❝❤❡♠❡

❙✉♠♠❛r②

❇♦✉♥❞s ♦♥ t❤❡ r❛t❡✲❞✐st♦rt✐♦♥ ❢✉♥❝t✐♦♥ Pr❛❝t✐❝❛❧ ❝♦❞✐♥❣ s❝❤❡♠❡ ❛❜❧❡ t♦ ❡①♣❧♦✐t t❤❡ ♠❡♠♦r② ♦♥ t❤❡ s♦✉r❝❡s

✹✹✴✹✾

❙♦✉r❝❡ ❝♦❞✐♥❣ ✇✐t❤ s✐❞❡ ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥ ❛♥❞ ✉♥❝❡rt❛✐♥ ❝♦rr❡❧❛t✐♦♥ ❦♥♦✇❧❡❞❣❡ ❈♦♥❝❧✉s✐♦♥

✶

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✷

◆♦♥✲❜✐♥❛r② ▲❉P❈ ❝♦❞❡s ◆♦♥✲❜✐♥❛r② ▲❉P❈ ❝♦❞❡s ❢♦r ❙❲ ❝♦❞✐♥❣ ❉❡♥s✐t② ❡✈♦❧✉t✐♦♥ ❢♦r ❙❲ ❝♦❞✐♥❣

✸

❙❧❡♣✐❛♥✲❲♦❧❢ ❝♦❞✐♥❣ ✇✐t❤ ✉♥❝❡rt❛✐♥t② P❡r❢♦r♠❛♥❝❡ Pr❛❝t✐❝❛❧ s❝❤❡♠❡

✹

❲②♥❡r✲❩✐✈ ❝♦❞✐♥❣ ✇✐t❤ ♠❡♠♦r② P❡r❢♦r♠❛♥❝❡ Pr❛❝t✐❝❛❧ s❝❤❡♠❡

✺

❈♦♥❝❧✉s✐♦♥ ❛♥❞ ♣❡rs♣❡❝t✐✈❡s

✹✺✴✹✾

❙♦✉r❝❡ ❝♦❞✐♥❣ ✇✐t❤ s✐❞❡ ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥ ❛♥❞ ✉♥❝❡rt❛✐♥ ❝♦rr❡❧❛t✐♦♥ ❦♥♦✇❧❡❞❣❡ ❈♦♥❝❧✉s✐♦♥

❙✉♠♠❛r②

◆❇ ▲❉P❈ ❝♦❞❡ ❞❡s✐❣♥ ❉❡❣✳ ❞✐str✐❜✳ ❞❡s✐❣♥ ♠❡t❤♦❞ ❢♦r ◆❇ ▲❉P❈ ❝♦❞❡s ✐♥ ❙❲ ❝♦❞✐♥❣ ❙❲ ❝♦❞✐♥❣ ✇✐t❤ ✉♥❝❡rt❛✐♥t② P❡r❢♦r♠❛♥❝❡ ❛♥❛❧②s✐s ❢♦r ❙❲ ❝♦❞✐♥❣ ✐♥ t❤❡ ❝❛s❡ ✇✐t❤ ✉♥❝❡rt❛✐♥t② Pr❛❝t✐❝❛❧ ❝♦❞✐♥❣ s❝❤❡♠❡ ❢♦r ❙❲ ❝♦❞✐♥❣ ❛❜❧❡ t♦ ❞❡❛❧ ✇✐t❤ t❤❡ ✉♥❝❡rt❛✐♥t② ❲❩ ❝♦❞✐♥❣ ✇✐t❤ ♠❡♠♦r② P❡r❢♦r♠❛♥❝❡ ❛♥❛❧②s✐s ❢♦r ❲❩ ❝♦❞✐♥❣ ✐♥ t❤❡ ❝❛s❡ ✇✐t❤ ♠❡♠♦r② Pr❛❝t✐❝❛❧ ❝♦❞✐♥❣ s❝❤❡♠❡ ❢♦r ❲❩ ❝♦❞✐♥❣ ❛❜❧❡ t♦ ❞❡❛❧ ✇✐t❤ t❤❡ ♠❡♠♦r②

✹✻✴✹✾

❙♦✉r❝❡ ❝♦❞✐♥❣ ✇✐t❤ s✐❞❡ ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥ ❛♥❞ ✉♥❝❡rt❛✐♥ ❝♦rr❡❧❛t✐♦♥ ❦♥♦✇❧❡❞❣❡ ❈♦♥❝❧✉s✐♦♥

P❡rs♣❡❝t✐✈❡s

❙❲ ❝♦❞✐♥❣ ♠✐♥✲s✉♠ ❞❡❝♦❞✐♥❣ ❢♦r t❤❡ ❙❲ s❡t✉♣ ❉❡♥s✐t② ❡✈♦❧✉t✐♦♥ ✐♥ t❤❡ ❝❛s❡ ✇✐t❤ ✉♥❝❡rt❛✐♥t② ▼♦❞❡❧ ✉♥❝❡rt❛✐♥t② ▼♦r❡ ❝♦♠♣❧❡① ♠♦❞❡❧s ❖t❤❡r ❝♦❞✐♥❣ s✐t✉❛t✐♦♥s

• ❡♥❡r❛❧✐③❛t✐♦♥ t♦ ♠♦r❡ ❝♦♠♣❧❡① ♥❡t✇♦r❦s

P❡r❢♦r♠❛♥❝❡ ❛♥❛❧②s✐s ❈♦❞❡ ❝♦♥str✉❝t✐♦♥ ❖t❤❡r ❝♦❞✐♥❣ str❛t❡❣✐❡s

✹✼✴✹✾

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