r r ts Pt - - PowerPoint PPT Presentation

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❈♦♥✈❡♥t✐♦♥❛❧ ❈❛♠❡r❛ ▼♦❞❡❧ xc yc zc Fc P = (X Y Z)⊤ u v x y z = f

x y m ♣r✐♥❝✐♣❛❧ ♣♦✐♥t ♦♣t✐❝❛❧ ❛①✐s

❋✐❣✉r❡ ✕ P✐♥❤♦❧❡ ❝❛♠❡r❛ ♣r♦❥❡❝t✐♦♥

▲❡t ✉s ❝♦♥s✐❞❡r P ∈ R3 ✇✐t❤ ❝♦♦r❞✐♥❛t❡s ✿ P = (X Y Z)⊤ ■ts ♣r♦❥❡❝t✐♦♥ ✐♥ t❤❡ ✐♠❛❣❡ ♣❧❛♥❡ ✿ m = 1 Z P =

• x

y 1 ⊤

✶✶t❤ ❲♦r❦s❤♦♣ ♦♥ P❧❛♥♥✐♥❣✱ P❡r❝❡♣t✐♦♥ ❛♥❞ ◆❛✈✐❣❛t✐♦♥ ❢♦r ■♥t❡❧❧✐❣❡♥t ❱❡❤✐❝❧❡s ✻ ✴ ✸✵

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❈♦♥✈❡♥t✐♦♥❛❧ ❈❛♠❡r❛ ▼♦❞❡❧ xc yc zc Fc P = (X Y Z)⊤ u v x y z = f

x y m ♣r✐♥❝✐♣❛❧ ♣♦✐♥t ♦♣t✐❝❛❧ ❛①✐s

❋✐❣✉r❡ ✕ P✐♥❤♦❧❡ ❝❛♠❡r❛ ♣r♦❥❡❝t✐♦♥

▲❡t ✉s ❝♦♥s✐❞❡r P ∈ R3 ✇✐t❤ ❝♦♦r❞✐♥❛t❡s ✿ P = (X Y Z)⊤ ■ts ♣r♦❥❡❝t✐♦♥ ✐♥ t❤❡ ✐♠❛❣❡ ♣❧❛♥❡ ✿ m = 1 Z P =

• x

y 1 ⊤

✶✶t❤ ❲♦r❦s❤♦♣ ♦♥ P❧❛♥♥✐♥❣✱ P❡r❝❡♣t✐♦♥ ❛♥❞ ◆❛✈✐❣❛t✐♦♥ ❢♦r ■♥t❡❧❧✐❣❡♥t ❱❡❤✐❝❧❡s ✻ ✴ ✸✵

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ❙②st❡♠ ▼♦❞❡❧ ❖❜s❡r✈❡r ❉❡s✐❣♥ ❙✐♠✉❧❛t✐♦♥ ❘❡s✉❧ts ❈♦♥❝❧✉s✐♦♥

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❈♦♥✈❡♥t✐♦♥❛❧ ❈❛♠❡r❛ ▼♦❞❡❧ xc yc zc Fc P = (X Y Z)⊤ u v x y z = f

x y m ♣r✐♥❝✐♣❛❧ ♣♦✐♥t ♦♣t✐❝❛❧ ❛①✐s

❋✐❣✉r❡ ✕ P✐♥❤♦❧❡ ❝❛♠❡r❛ ♣r♦❥❡❝t✐♦♥

▲❡t ✉s ❝♦♥s✐❞❡r P ∈ R3 ✇✐t❤ ❝♦♦r❞✐♥❛t❡s ✿ P = (X Y Z)⊤ ■ts ♣r♦❥❡❝t✐♦♥ ✐♥ t❤❡ ✐♠❛❣❡ ♣❧❛♥❡ ✿ m = 1 Z P =

• x

y 1 ⊤

✶✶t❤ ❲♦r❦s❤♦♣ ♦♥ P❧❛♥♥✐♥❣✱ P❡r❝❡♣t✐♦♥ ❛♥❞ ◆❛✈✐❣❛t✐♦♥ ❢♦r ■♥t❡❧❧✐❣❡♥t ❱❡❤✐❝❧❡s ✻ ✴ ✸✵

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❈♦♥✈❡♥t✐♦♥❛❧ ❈❛♠❡r❛ ▼♦❞❡❧

˙ P =

• −I

[P]×

• u = −υ + P × ω

u =

• υ⊤ ω⊤⊤ ✿ ❈❛♠❡r❛ ❙♣❡❝✐❛❧ ❱❡❧♦❝✐t②

✇✐t❤ ✿ υ = (υx υy υz)⊤ ❛♥❞ ω = (ωx ωy ωz)⊤

✶✶t❤ ❲♦r❦s❤♦♣ ♦♥ P❧❛♥♥✐♥❣✱ P❡r❝❡♣t✐♦♥ ❛♥❞ ◆❛✈✐❣❛t✐♦♥ ❢♦r ■♥t❡❧❧✐❣❡♥t ❱❡❤✐❝❧❡s ✼ ✴ ✸✵

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ❙②st❡♠ ▼♦❞❡❧ ❖❜s❡r✈❡r ❉❡s✐❣♥ ❙✐♠✉❧❛t✐♦♥ ❘❡s✉❧ts ❈♦♥❝❧✉s✐♦♥

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❈♦♥✈❡♥t✐♦♥❛❧ ❈❛♠❡r❛ ▼♦❞❡❧

˙ P =

• −I

[P]×

• u = −υ + P × ω

u =

• υ⊤ ω⊤⊤ ✿ ❈❛♠❡r❛ ❙♣❡❝✐❛❧ ❱❡❧♦❝✐t②

✇✐t❤ ✿ υ = (υx υy υz)⊤ ❛♥❞ ω = (ωx ωy ωz)⊤ ❲❡ ❞❡✜♥❡ ✿ χ = 1

Z

❛♥❞ s =

• x

y ⊤ ˙ s = −χ x χ x y −(1 + x2) y −χ y χ (1 + y2) −x y −x

• u

d χ dt =

• −χ2

−y χ x χ

• u

✶✶t❤ ❲♦r❦s❤♦♣ ♦♥ P❧❛♥♥✐♥❣✱ P❡r❝❡♣t✐♦♥ ❛♥❞ ◆❛✈✐❣❛t✐♦♥ ❢♦r ■♥t❡❧❧✐❣❡♥t ❱❡❤✐❝❧❡s ✽ ✴ ✸✵

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❙②st❡♠ ▼♦❞❡❧

❈♦♥✈❡♥t✐♦♥❛❧ ❈❛♠❡r❛ ▼♦❞❡❧

❚❤❡ s②st❡♠ ❞②♥❛♠✐❝s ✐s ✇r✐tt❡♥ ❛s ✿ ˙ s = fm(s, u) + ΩT(s, u) χ ˙ χ = fu(s, χ, u) s = (x y)⊤ ∈ R2 ✐s ❛ ♠❡❛s✉r❛❜❧❡ ✈❡❝t♦r χ ∈ R ✐s t❤❡ ✉♥♠❡❛s✉r❛❜❧❡ ✈❛r✐❛❜❧❡ t♦ ❜❡ ❡st✐♠❛t❡❞✳            fm(s, u) = x y −(1 + x2) y 1 + y2 −x y −x

• ω

ΩT(s, u) =

• −vx + x vz

−vy + y vz

• fu(s, χ, u)

= vzχ2 + (y ωx − x ωy)χ

✶✶t❤ ❲♦r❦s❤♦♣ ♦♥ P❧❛♥♥✐♥❣✱ P❡r❝❡♣t✐♦♥ ❛♥❞ ◆❛✈✐❣❛t✐♦♥ ❢♦r ■♥t❡❧❧✐❣❡♥t ❱❡❤✐❝❧❡s ✾ ✴ ✸✵

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ❙②st❡♠ ▼♦❞❡❧ ❖❜s❡r✈❡r ❉❡s✐❣♥ ❙✐♠✉❧❛t✐♦♥ ❘❡s✉❧ts ❈♦♥❝❧✉s✐♦♥

❙②st❡♠ ▼♦❞❡❧

❈♦♥✈❡♥t✐♦♥❛❧ ❈❛♠❡r❛ ▼♦❞❡❧

❚❤❡ s②st❡♠ ❞②♥❛♠✐❝s ✐s ✇r✐tt❡♥ ❛s ✿ ˙ s = fm(s, u) + ΩT(s, u) χ ˙ χ = fu(s, χ, u) s = (x y)⊤ ∈ R2 ✐s ❛ ♠❡❛s✉r❛❜❧❡ ✈❡❝t♦r χ ∈ R ✐s t❤❡ ✉♥♠❡❛s✉r❛❜❧❡ ✈❛r✐❛❜❧❡ t♦ ❜❡ ❡st✐♠❛t❡❞✳            fm(s, u) = x y −(1 + x2) y 1 + y2 −x y −x

• ω

ΩT(s, u) =

• −vx + x vz

−vy + y vz

• fu(s, χ, u)

= vzχ2 + (y ωx − x ωy)χ

✶✶t❤ ❲♦r❦s❤♦♣ ♦♥ P❧❛♥♥✐♥❣✱ P❡r❝❡♣t✐♦♥ ❛♥❞ ◆❛✈✐❣❛t✐♦♥ ❢♦r ■♥t❡❧❧✐❣❡♥t ❱❡❤✐❝❧❡s ✾ ✴ ✸✵

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ❙②st❡♠ ▼♦❞❡❧ ❖❜s❡r✈❡r ❉❡s✐❣♥ ❙✐♠✉❧❛t✐♦♥ ❘❡s✉❧ts ❈♦♥❝❧✉s✐♦♥

❙②st❡♠ ▼♦❞❡❧

P♦❧②t♦♣✐❝ ❋♦r♠

❲❡ ❝♦♥s✐❞❡r t❤❡ st❛t❡ ✈❡❝t♦r ✿ ① = s χ

• ❲✐t❤ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ❙t❛t❡ ❙♣❛❝❡ ❢♦r♠ ✿

˙ ① = A(①, u) ① + B(y) ω + F d y = C① ✇❤❡r❡ y r❡♣r❡s❡♥ts t❤❡ ♦✉t♣✉t ♦❢ t❤❡ s②st❡♠ ✇✐t❤ ✿ C = 1 1

• ✶✶t❤ ❲♦r❦s❤♦♣ ♦♥ P❧❛♥♥✐♥❣✱ P❡r❝❡♣t✐♦♥ ❛♥❞ ◆❛✈✐❣❛t✐♦♥ ❢♦r ■♥t❡❧❧✐❣❡♥t ❱❡❤✐❝❧❡s

✶✵ ✴ ✸✵

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ❙②st❡♠ ▼♦❞❡❧ ❖❜s❡r✈❡r ❉❡s✐❣♥ ❙✐♠✉❧❛t✐♦♥ ❘❡s✉❧ts ❈♦♥❝❧✉s✐♦♥

❙②st❡♠ ▼♦❞❡❧

P♦❧②t♦♣✐❝ ❋♦r♠

˙ ① = A(①, u) ① + B(y) ω + F d y = C① ✇❤❡r❡ ✿ A(①, u) =   xυz yυz yωx xωy χυz + ωxy − xωy   d = −χυx −χυy

• B(y) =

  xy −(1 + x2) y 1 + y2 −xy −x   F =   1 1  

✶✶t❤ ❲♦r❦s❤♦♣ ♦♥ P❧❛♥♥✐♥❣✱ P❡r❝❡♣t✐♦♥ ❛♥❞ ◆❛✈✐❣❛t✐♦♥ ❢♦r ■♥t❡❧❧✐❣❡♥t ❱❡❤✐❝❧❡s ✶✶ ✴ ✸✵

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ❙②st❡♠ ▼♦❞❡❧ ❖❜s❡r✈❡r ❉❡s✐❣♥ ❙✐♠✉❧❛t✐♦♥ ❘❡s✉❧ts ❈♦♥❝❧✉s✐♦♥

❙②st❡♠ ▼♦❞❡❧

P♦❧②t♦♣✐❝ ❋♦r♠

▲❡t ✉s ❝♦♥s✐❞❡r t❤❡ ❞✐s❝r❡t❡✲t✐♠❡ ❢♦r♠ ♦❢ t❤❡ ❚❛❦❛❣✐✲❙✉❣❡♥♦ ✭❚✲❙✮ s②st❡♠ r❡♣r❡s❡♥t❡❞ ❜② ✿

   ①(k + 1) =

r

• i=1

µi(①(k))

• Ai ①(k) + B(y(k)) ω(k) + F d(k)
• y(k) = C①(k)

❚❤❡ ✇❡✐❣❤t✐♥❣ ❢✉♥❝t✐♦♥s µi✱ i = 1, . . . , r s❛t✐s❢② ✿    0 µi 1

r

• i=1

µi = 1

✶✶t❤ ❲♦r❦s❤♦♣ ♦♥ P❧❛♥♥✐♥❣✱ P❡r❝❡♣t✐♦♥ ❛♥❞ ◆❛✈✐❣❛t✐♦♥ ❢♦r ■♥t❡❧❧✐❣❡♥t ❱❡❤✐❝❧❡s ✶✷ ✴ ✸✵

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ❙②st❡♠ ▼♦❞❡❧ ❖❜s❡r✈❡r ❉❡s✐❣♥ ❙✐♠✉❧❛t✐♦♥ ❘❡s✉❧ts ❈♦♥❝❧✉s✐♦♥

❙②st❡♠ ▼♦❞❡❧

P♦❧②t♦♣✐❝ ❋♦r♠

▲❡t ✉s ❝♦♥s✐❞❡r t❤❡ ❞✐s❝r❡t❡✲t✐♠❡ ❢♦r♠ ♦❢ t❤❡ ❚❛❦❛❣✐✲❙✉❣❡♥♦ ✭❚✲❙✮ s②st❡♠ r❡♣r❡s❡♥t❡❞ ❜② ✿

   ①(k + 1) =

r

• i=1

µi(①(k))

• Ai ①(k) + B(y(k)) ω(k) + F d(k)
• y(k) = C①(k)

❚❤❡ ✇❡✐❣❤t✐♥❣ ❢✉♥❝t✐♦♥s µi✱ i = 1, . . . , r s❛t✐s❢② ✿    0 µi 1

r

• i=1

µi = 1

✶✶t❤ ❲♦r❦s❤♦♣ ♦♥ P❧❛♥♥✐♥❣✱ P❡r❝❡♣t✐♦♥ ❛♥❞ ◆❛✈✐❣❛t✐♦♥ ❢♦r ■♥t❡❧❧✐❣❡♥t ❱❡❤✐❝❧❡s ✶✷ ✴ ✸✵

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ❙②st❡♠ ▼♦❞❡❧ ❖❜s❡r✈❡r ❉❡s✐❣♥ ❙✐♠✉❧❛t✐♦♥ ❘❡s✉❧ts ❈♦♥❝❧✉s✐♦♥

❖❜s❡r✈❡r ❉❡s✐❣♥

❆♥❛❧②s❡ t❤❡ ❡①✐st❡♥❝❡ ♦❢ t❤❡ ❖❜s❡r✈❡r

❚❤❡ ♦❜s❡r✈❡r ❡①✐sts ✉♥❞❡r t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ❝♦♥❞✐t✐♦♥s ✿

✶ rank(C F) = rank(F)✳ ✷ ❚❤❡ s②st❡♠ ✐s str♦♥❣❧② ❞❡t❡❝t❛❜❧❡

❚❤❡♦r❡♠ ✭❙tr♦♥❣ ❉❡t❡❝t❛❜✐❧✐t② ❈♦♥❞✐t✐♦♥✮ ❆ s②st❡♠ ✐s str♦♥❣❧② ❞❡t❡❝t❛❜❧❡ ✐❢ ✿ lim

t→∞ y(t) = 0 ⇒ lim t→∞ x(t) = 0

✐rr❡s♣❡❝t✐✈❡ ♦❢ t❤❡ ✐♥♣✉t ❛♥❞ t❤❡ ✐♥✐t✐❛❧ st❛t❡✳

✶✶t❤ ❲♦r❦s❤♦♣ ♦♥ P❧❛♥♥✐♥❣✱ P❡r❝❡♣t✐♦♥ ❛♥❞ ◆❛✈✐❣❛t✐♦♥ ❢♦r ■♥t❡❧❧✐❣❡♥t ❱❡❤✐❝❧❡s ✶✸ ✴ ✸✵

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ❙②st❡♠ ▼♦❞❡❧ ❖❜s❡r✈❡r ❉❡s✐❣♥ ❙✐♠✉❧❛t✐♦♥ ❘❡s✉❧ts ❈♦♥❝❧✉s✐♦♥

❖❜s❡r✈❡r ❉❡s✐❣♥

❯♥❦♥♦✇♥ ■♥♣✉t ❖❜s❡r✈❡r

❚❤❡ ♣r♦♣♦s❡❞ ❯♥❦♥♦✇♥ ■♥♣✉t ♦❜s❡r✈❡r ✐s ❣✐✈❡♥ ❜② ✿

   ③(k + 1) =

32

• i=1

µi(ˆ ①(k))

• Ni③(k) + Gi ω(k) + Li y(k)
• ˆ

①(k) = ③(k) − E y(k)

❚❤❡ st❛t❡ ❡st✐♠❛t✐♦♥ ❡rr♦r ✐s ❣✐✈❡♥ ❜② ✿ e(k) = ①(k) − ˆ ①(k) = T ˆ ①(k) − ③(k) ❲✐t❤ T = I + E C✳ ❲❡ ❞❡♥♦t❡ e(k) = ek✳

✶✶t❤ ❲♦r❦s❤♦♣ ♦♥ P❧❛♥♥✐♥❣✱ P❡r❝❡♣t✐♦♥ ❛♥❞ ◆❛✈✐❣❛t✐♦♥ ❢♦r ■♥t❡❧❧✐❣❡♥t ❱❡❤✐❝❧❡s ✶✹ ✴ ✸✵

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ❙②st❡♠ ▼♦❞❡❧ ❖❜s❡r✈❡r ❉❡s✐❣♥ ❙✐♠✉❧❛t✐♦♥ ❘❡s✉❧ts ❈♦♥❝❧✉s✐♦♥

❖❜s❡r✈❡r ❉❡s✐❣♥

❯♥❦♥♦✇♥ ■♥♣✉t ❖❜s❡r✈❡r

❚❤❡ ♣r♦♣♦s❡❞ ❯♥❦♥♦✇♥ ■♥♣✉t ♦❜s❡r✈❡r ✐s ❣✐✈❡♥ ❜② ✿

   ③(k + 1) =

32

• i=1

µi(ˆ ①(k))

• Ni③(k) + Gi ω(k) + Li y(k)
• ˆ

①(k) = ③(k) − E y(k)

❚❤❡ st❛t❡ ❡st✐♠❛t✐♦♥ ❡rr♦r ✐s ❣✐✈❡♥ ❜② ✿ e(k) = ①(k) − ˆ ①(k) = T ˆ ①(k) − ③(k) ❲✐t❤ T = I + E C✳ ❲❡ ❞❡♥♦t❡ e(k) = ek✳

✶✶t❤ ❲♦r❦s❤♦♣ ♦♥ P❧❛♥♥✐♥❣✱ P❡r❝❡♣t✐♦♥ ❛♥❞ ◆❛✈✐❣❛t✐♦♥ ❢♦r ■♥t❡❧❧✐❣❡♥t ❱❡❤✐❝❧❡s ✶✹ ✴ ✸✵

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ❙②st❡♠ ▼♦❞❡❧ ❖❜s❡r✈❡r ❉❡s✐❣♥ ❙✐♠✉❧❛t✐♦♥ ❘❡s✉❧ts ❈♦♥❝❧✉s✐♦♥

❖❜s❡r✈❡r ❉❡s✐❣♥

❯♥❦♥♦✇♥ ■♥♣✉t ❖❜s❡r✈❡r

❚❤❡ ♣r♦♣♦s❡❞ ❯♥❦♥♦✇♥ ■♥♣✉t ♦❜s❡r✈❡r ✐s ❣✐✈❡♥ ❜② ✿

   ③(k + 1) =

32

• i=1

µi(ˆ ①(k))

• Ni③(k) + Gi ω(k) + Li y(k)
• ˆ

①(k) = ③(k) − E y(k)

❚❤❡ st❛t❡ ❡st✐♠❛t✐♦♥ ❡rr♦r ✐s ❣✐✈❡♥ ❜② ✿ e(k) = ①(k) − ˆ ①(k) = T ˆ ①(k) − ③(k) ❲✐t❤ T = I + E C✳ ❲❡ ❞❡♥♦t❡ e(k) = ek✳

✶✶t❤ ❲♦r❦s❤♦♣ ♦♥ P❧❛♥♥✐♥❣✱ P❡r❝❡♣t✐♦♥ ❛♥❞ ◆❛✈✐❣❛t✐♦♥ ❢♦r ■♥t❡❧❧✐❣❡♥t ❱❡❤✐❝❧❡s ✶✹ ✴ ✸✵

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ❙②st❡♠ ▼♦❞❡❧ ❖❜s❡r✈❡r ❉❡s✐❣♥ ❙✐♠✉❧❛t✐♦♥ ❘❡s✉❧ts ❈♦♥❝❧✉s✐♦♥

❖❜s❡r✈❡r ❉❡s✐❣♥

❯♥❦♥♦✇♥ ■♥♣✉t ❖❜s❡r✈❡r

ek+1 = T ˆ ①k+1 − ③k+1 =

r

• i=1

µi(ˆ ①k)

• Niek + (T Ai − Ki C −

Ni) ①k + T F dk + (T Bi − Gi) ωk

• + ∆

✇❤❡r❡ ✿

∆(.) = T (µi(①k) − µi(ˆ ①k))(Ai ①k + Bi ωk + F dk) Ki = Ni F − Li

✶✶t❤ ❲♦r❦s❤♦♣ ♦♥ P❧❛♥♥✐♥❣✱ P❡r❝❡♣t✐♦♥ ❛♥❞ ◆❛✈✐❣❛t✐♦♥ ❢♦r ■♥t❡❧❧✐❣❡♥t ❱❡❤✐❝❧❡s ✶✺ ✴ ✸✵

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ❙②st❡♠ ▼♦❞❡❧ ❖❜s❡r✈❡r ❉❡s✐❣♥ ❙✐♠✉❧❛t✐♦♥ ❘❡s✉❧ts ❈♦♥❝❧✉s✐♦♥

❖❜s❡r✈❡r ❉❡s✐❣♥

❯♥❦♥♦✇♥ ■♥♣✉t ❖❜s❡r✈❡r

❚❤❡ st❛❜✐❧✐t② ♦❢ t❤❡ ❡rr♦r r❡q✉✐r❡s ✿

✶ ❚❤❡ s②st❡♠ ❞❡✜♥❡❞ ❜❡❧♦✇ ✐s st❛❜❧❡ ✇❤❡r❡ ✿

Ni =

32

• i=1

µi(ˆ ①k) Ni✳ ek+1 = Niek + ∆(.)

✷ T Ai − Ki C − Ni = 0 ✸ T Bi − Gi = 0 ✹ T F = 0

(T = I + E C)

✶✶t❤ ❲♦r❦s❤♦♣ ♦♥ P❧❛♥♥✐♥❣✱ P❡r❝❡♣t✐♦♥ ❛♥❞ ◆❛✈✐❣❛t✐♦♥ ❢♦r ■♥t❡❧❧✐❣❡♥t ❱❡❤✐❝❧❡s ✶✻ ✴ ✸✵

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ❙②st❡♠ ▼♦❞❡❧ ❖❜s❡r✈❡r ❉❡s✐❣♥ ❙✐♠✉❧❛t✐♦♥ ❘❡s✉❧ts ❈♦♥❝❧✉s✐♦♥

❖❜s❡r✈❡r ❉❡s✐❣♥

❯♥❦♥♦✇♥ ■♥♣✉t ❖❜s❡r✈❡r

❚❤❡ st❛❜✐❧✐t② ♦❢ t❤❡ ❡rr♦r r❡q✉✐r❡s ✿

✶ ❊♥s✉r✐♥❣ t❤❡ s②st❡♠ ❞❡✜♥❡❞ ❜❡❧♦✇ ✐s st❛❜❧❡✳

ek+1 = Niek + ∆(.) ✇❤❡r❡ Ni =

32

• i=1

µi(ˆ ①k) Ni✳

✷ T Ai − Ki C − Ni = 0 ✸ T Bi − Gi = 0 ✹ T F = 0

(T = I + E C)

✶✶t❤ ❲♦r❦s❤♦♣ ♦♥ P❧❛♥♥✐♥❣✱ P❡r❝❡♣t✐♦♥ ❛♥❞ ◆❛✈✐❣❛t✐♦♥ ❢♦r ■♥t❡❧❧✐❣❡♥t ❱❡❤✐❝❧❡s ✶✼ ✴ ✸✵

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ❙②st❡♠ ▼♦❞❡❧ ❖❜s❡r✈❡r ❉❡s✐❣♥ ❙✐♠✉❧❛t✐♦♥ ❘❡s✉❧ts ❈♦♥❝❧✉s✐♦♥

❖❜s❡r✈❡r ❉❡s✐❣♥

▲②❛♣✉♥♦✈ ❚❤❡♦r②

▲❡t ✉s ❝♦♥s✐❞❡r t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ q✉❛❞r❛t✐❝ ▲②❛♣✉♥♦✈ ❢✉♥❝t✐♦♥ ✿

Vk = eT

k Pek

P = PT > 0

■t ❢♦❧❧♦✇s t❤❛t ✿

Vk+1 − Vk = eT

k+1Pek+1 − eT k Pek

= eT

k N T e PNeek + ∆(.)T k (①, ˆ

①)PNeek + eT N T

e P∆(.) + ∆(.)T P∆(.)

❲❡ ❛ss✉♠❡ t❤❛t ∆(ˆ ①k, ①k) ✐s ❧♦❝❛❧❧② ▲✐♣s❝❤✐t③ ✿

∆(.)T ∆(.) = (∆(.)2 < α2 ˆ ①k − ①k2 = α2 ek2

✶✶t❤ ❲♦r❦s❤♦♣ ♦♥ P❧❛♥♥✐♥❣✱ P❡r❝❡♣t✐♦♥ ❛♥❞ ◆❛✈✐❣❛t✐♦♥ ❢♦r ■♥t❡❧❧✐❣❡♥t ❱❡❤✐❝❧❡s ✶✽ ✴ ✸✵

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ❙②st❡♠ ▼♦❞❡❧ ❖❜s❡r✈❡r ❉❡s✐❣♥ ❙✐♠✉❧❛t✐♦♥ ❘❡s✉❧ts ❈♦♥❝❧✉s✐♦♥

❖❜s❡r✈❡r ❉❡s✐❣♥

▲②❛♣✉♥♦✈ ❚❤❡♦r②

▲❡t ✉s ❝♦♥s✐❞❡r t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ q✉❛❞r❛t✐❝ ▲②❛♣✉♥♦✈ ❢✉♥❝t✐♦♥ ✿

Vk = eT

k Pek

P = PT > 0

■t ❢♦❧❧♦✇s t❤❛t ✿

Vk+1 − Vk = eT

k+1Pek+1 − eT k Pek

= eT

k N T e PNeek + ∆(.)T k (①, ˆ

①)PNeek + eT N T

e P∆(.) + ∆(.)T P∆(.)

❲❡ ❛ss✉♠❡ t❤❛t ∆(ˆ ①k, ①k) ✐s ❧♦❝❛❧❧② ▲✐♣s❝❤✐t③ ✿

∆(.)T ∆(.) = (∆(.)2 < α2 ˆ ①k − ①k2 = α2 ek2

✶✶t❤ ❲♦r❦s❤♦♣ ♦♥ P❧❛♥♥✐♥❣✱ P❡r❝❡♣t✐♦♥ ❛♥❞ ◆❛✈✐❣❛t✐♦♥ ❢♦r ■♥t❡❧❧✐❣❡♥t ❱❡❤✐❝❧❡s ✶✽ ✴ ✸✵

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ❙②st❡♠ ▼♦❞❡❧ ❖❜s❡r✈❡r ❉❡s✐❣♥ ❙✐♠✉❧❛t✐♦♥ ❘❡s✉❧ts ❈♦♥❝❧✉s✐♦♥

❖❜s❡r✈❡r ❉❡s✐❣♥

▲②❛♣✉♥♦✈ ❚❤❡♦r②

▲❡t ✉s ❝♦♥s✐❞❡r t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ q✉❛❞r❛t✐❝ ▲②❛♣✉♥♦✈ ❢✉♥❝t✐♦♥ ✿

Vk = eT

k Pek

P = PT > 0

■t ❢♦❧❧♦✇s t❤❛t ✿

Vk+1 − Vk = eT

k+1Pek+1 − eT k Pek

= eT

k N T e PNeek + ∆(.)T k (①, ˆ

①)PNeek + eT N T

e P∆(.) + ∆(.)T P∆(.)

❲❡ ❛ss✉♠❡ t❤❛t ∆(ˆ ①k, ①k) ✐s ❧♦❝❛❧❧② ▲✐♣s❝❤✐t③ ✿

∆(.)T ∆(.) = (∆(.)2 < α2 ˆ ①k − ①k2 = α2 ek2

✶✶t❤ ❲♦r❦s❤♦♣ ♦♥ P❧❛♥♥✐♥❣✱ P❡r❝❡♣t✐♦♥ ❛♥❞ ◆❛✈✐❣❛t✐♦♥ ❢♦r ■♥t❡❧❧✐❣❡♥t ❱❡❤✐❝❧❡s ✶✽ ✴ ✸✵

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ❙②st❡♠ ▼♦❞❡❧ ❖❜s❡r✈❡r ❉❡s✐❣♥ ❙✐♠✉❧❛t✐♦♥ ❘❡s✉❧ts ❈♦♥❝❧✉s✐♦♥

❖❜s❡r✈❡r ❉❡s✐❣♥

▲②❛♣✉♥♦✈ ❚❤❡♦r②

❲❡ ❞❡✜♥❡ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ L2✲❣❛✐♥ ✐♥❡q✉❛❧✐t② ✿

sup

∆(.))2=0

ek2 ∆(.))2 < γ2 ⇒ eT

k ek − γ2∆T ∆ < 0

❇② ❝♦♥s✐❞❡r✐♥❣ ✿

∆T PNeek + eT

k N T e P∆ < ǫ∆T ∆ + 1

ǫ eT

k N T e PT PNeek

❲❡ ❞❡❞✉❝❡ ✿ eT

k (N T e PNe − P + I + 1

ǫ eT

k N T e PT PNe+

αǫI − α2γ2I + α2P)ek < 0

✶✶t❤ ❲♦r❦s❤♦♣ ♦♥ P❧❛♥♥✐♥❣✱ P❡r❝❡♣t✐♦♥ ❛♥❞ ◆❛✈✐❣❛t✐♦♥ ❢♦r ■♥t❡❧❧✐❣❡♥t ❱❡❤✐❝❧❡s ✶✾ ✴ ✸✵

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ❙②st❡♠ ▼♦❞❡❧ ❖❜s❡r✈❡r ❉❡s✐❣♥ ❙✐♠✉❧❛t✐♦♥ ❘❡s✉❧ts ❈♦♥❝❧✉s✐♦♥

❖❜s❡r✈❡r ❉❡s✐❣♥

▲②❛♣✉♥♦✈ ❚❤❡♦r②

❲❡ ❞❡✜♥❡ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ L2✲❣❛✐♥ ✐♥❡q✉❛❧✐t② ✿

sup

∆(.))2=0

ek2 ∆(.))2 < γ2 ⇒ eT

k ek − γ2∆T ∆ < 0

❇② ❝♦♥s✐❞❡r✐♥❣ ✿

∆T PNeek + eT

k N T e P∆ < ǫ∆T ∆ + 1

ǫ eT

k N T e PT PNeek

❲❡ ❞❡❞✉❝❡ ✿ eT

k (N T e PNe − P + I + 1

ǫ eT

k N T e PT PNe+

αǫI − α2γ2I + α2P)ek < 0

✶✶t❤ ❲♦r❦s❤♦♣ ♦♥ P❧❛♥♥✐♥❣✱ P❡r❝❡♣t✐♦♥ ❛♥❞ ◆❛✈✐❣❛t✐♦♥ ❢♦r ■♥t❡❧❧✐❣❡♥t ❱❡❤✐❝❧❡s ✶✾ ✴ ✸✵

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ❙②st❡♠ ▼♦❞❡❧ ❖❜s❡r✈❡r ❉❡s✐❣♥ ❙✐♠✉❧❛t✐♦♥ ❘❡s✉❧ts ❈♦♥❝❧✉s✐♦♥

❖❜s❡r✈❡r ❉❡s✐❣♥

▲②❛♣✉♥♦✈ ❚❤❡♦r②

❲❡ ❞❡✜♥❡ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ L2✲❣❛✐♥ ✐♥❡q✉❛❧✐t② ✿

sup

∆(.))2=0

ek2 ∆(.))2 < γ2 ⇒ eT

k ek − γ2∆T ∆ < 0

❇② ❝♦♥s✐❞❡r✐♥❣ ✿

∆T PNeek + eT

k N T e P∆ < ǫ∆T ∆ + 1

ǫ eT

k N T e PT PNeek

❲❡ ❞❡❞✉❝❡ ✿ eT

k (N T e PNe − P + I + 1

ǫ eT

k N T e PT PNe+

αǫI − α2γ2I + α2P)ek < 0

✶✶t❤ ❲♦r❦s❤♦♣ ♦♥ P❧❛♥♥✐♥❣✱ P❡r❝❡♣t✐♦♥ ❛♥❞ ◆❛✈✐❣❛t✐♦♥ ❢♦r ■♥t❡❧❧✐❣❡♥t ❱❡❤✐❝❧❡s ✶✾ ✴ ✸✵

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ❙②st❡♠ ▼♦❞❡❧ ❖❜s❡r✈❡r ❉❡s✐❣♥ ❙✐♠✉❧❛t✐♦♥ ❘❡s✉❧ts ❈♦♥❝❧✉s✐♦♥

❖❜s❡r✈❡r ❉❡s✐❣♥

▲✐♥❡❛r ▼❛tr✐① ■♥❡q✉❛❧✐t②

¯ λ = α2γ2✱ ¯ η = α2ǫ✱ Q = αP ❛♥❞ Wi = PKi ❲❡ ❞❡r✐✈❡ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ▲▼■s ❝♦♥str❛✐♥ts ✿     I − P + ¯ η − ¯ λ Q Ψ T P Ψ T P Q −P PΨ ǫ PΨ −P     < 0 ✇❤❡r❡ Ψ = T Ai + WiC →❚❤❡ r❡s✉❧t✐♥❣ ♦❜s❡r✈❡r ❣❛✐♥s ❛r❡ ❣✐✈❡♥ ❜② Ki = P−1Wi

Ni = T Ai − Ki C Li = Ni E − Ki

✶✶t❤ ❲♦r❦s❤♦♣ ♦♥ P❧❛♥♥✐♥❣✱ P❡r❝❡♣t✐♦♥ ❛♥❞ ◆❛✈✐❣❛t✐♦♥ ❢♦r ■♥t❡❧❧✐❣❡♥t ❱❡❤✐❝❧❡s ✷✵ ✴ ✸✵

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ❙②st❡♠ ▼♦❞❡❧ ❖❜s❡r✈❡r ❉❡s✐❣♥ ❙✐♠✉❧❛t✐♦♥ ❘❡s✉❧ts ❈♦♥❝❧✉s✐♦♥

❖❜s❡r✈❡r ❉❡s✐❣♥

❘❡❝♦♥str❛❝t ❚❤❡ ▲✐♥❡❛r ❱❡❧♦❝✐t✐❡s

yk+1 = C

r

• i=1

µi(①k)

• Ai ①k + B(yk) ωk + F dk
• ■t ❢♦❧❧♦✇s t❤❛t ✿

ˆ dk = (CF)−1 [ yk+1 − C

r

• i=1

µi(ˆ ①k)

• Ai ˆ

①k + B(yk) ωk

• ]

dk = −χυx −χυy

• ❚❤❡ ❡st✐♠❛t❡❞ ❧✐♥❡❛r ✈❡❧♦❝✐t② ✐s ♦❜t❛✐♥❡❞ ❛s ❢♦❧❧♦✇s ✿

ˆ vx ˆ vy

• = −ˆ

dk ˆ χ−1

✶✶t❤ ❲♦r❦s❤♦♣ ♦♥ P❧❛♥♥✐♥❣✱ P❡r❝❡♣t✐♦♥ ❛♥❞ ◆❛✈✐❣❛t✐♦♥ ❢♦r ■♥t❡❧❧✐❣❡♥t ❱❡❤✐❝❧❡s ✷✶ ✴ ✸✵

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ❙②st❡♠ ▼♦❞❡❧ ❖❜s❡r✈❡r ❉❡s✐❣♥ ❙✐♠✉❧❛t✐♦♥ ❘❡s✉❧ts ❈♦♥❝❧✉s✐♦♥

❖❜s❡r✈❡r ❉❡s✐❣♥

❘❡❝♦♥str❛❝t ❚❤❡ ▲✐♥❡❛r ❱❡❧♦❝✐t✐❡s

yk+1 = C

r

• i=1

µi(①k)

• Ai ①k + B(yk) ωk + F dk
• ■t ❢♦❧❧♦✇s t❤❛t ✿

ˆ dk = (CF)−1 [ yk+1 − C

r

• i=1

µi(ˆ ①k)

• Ai ˆ

①k + B(yk) ωk

• ]

dk = −χυx −χυy

• ❚❤❡ ❡st✐♠❛t❡❞ ❧✐♥❡❛r ✈❡❧♦❝✐t② ✐s ♦❜t❛✐♥❡❞ ❛s ❢♦❧❧♦✇s ✿

ˆ vx ˆ vy

• = −ˆ

dk ˆ χ−1

✶✶t❤ ❲♦r❦s❤♦♣ ♦♥ P❧❛♥♥✐♥❣✱ P❡r❝❡♣t✐♦♥ ❛♥❞ ◆❛✈✐❣❛t✐♦♥ ❢♦r ■♥t❡❧❧✐❣❡♥t ❱❡❤✐❝❧❡s ✷✶ ✴ ✸✵

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ❙②st❡♠ ▼♦❞❡❧ ❖❜s❡r✈❡r ❉❡s✐❣♥ ❙✐♠✉❧❛t✐♦♥ ❘❡s✉❧ts ❈♦♥❝❧✉s✐♦♥

❖❜s❡r✈❡r ❉❡s✐❣♥

❘❡❝♦♥str❛❝t ❚❤❡ ▲✐♥❡❛r ❱❡❧♦❝✐t✐❡s

yk+1 = C

r

• i=1

µi(①k)

• Ai ①k + B(yk) ωk + F dk
• ■t ❢♦❧❧♦✇s t❤❛t ✿

ˆ dk = (CF)−1 [ yk+1 − C

r

• i=1

µi(ˆ ①k)

• Ai ˆ

①k + B(yk) ωk

• ]

dk = −χυx −χυy

• ❚❤❡ ❡st✐♠❛t❡❞ ❧✐♥❡❛r ✈❡❧♦❝✐t② ✐s ♦❜t❛✐♥❡❞ ❛s ❢♦❧❧♦✇s ✿

ˆ vx ˆ vy

• = −ˆ

dk ˆ χ−1

✶✶t❤ ❲♦r❦s❤♦♣ ♦♥ P❧❛♥♥✐♥❣✱ P❡r❝❡♣t✐♦♥ ❛♥❞ ◆❛✈✐❣❛t✐♦♥ ❢♦r ■♥t❡❧❧✐❣❡♥t ❱❡❤✐❝❧❡s ✷✶ ✴ ✸✵

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ❙②st❡♠ ▼♦❞❡❧ ❖❜s❡r✈❡r ❉❡s✐❣♥ ❙✐♠✉❧❛t✐♦♥ ❘❡s✉❧ts ❈♦♥❝❧✉s✐♦♥

❖❜s❡r✈❡r ❉❡s✐❣♥

❘❡❝♦♥str❛❝t ❚❤❡ ▲✐♥❡❛r ❱❡❧♦❝✐t✐❡s

yk+1 = C

r

• i=1

µi(①k)

• Ai ①k + B(yk) ωk + F dk
• ■t ❢♦❧❧♦✇s t❤❛t ✿

ˆ dk = (CF)−1 [ yk+1 − C

r

• i=1

µi(ˆ ①k)

• Ai ˆ

①k + B(yk) ωk

• ]

dk = −χυx −χυy

• ❚❤❡ ❡st✐♠❛t❡❞ ❧✐♥❡❛r ✈❡❧♦❝✐t② ✐s ♦❜t❛✐♥❡❞ ❛s ❢♦❧❧♦✇s ✿

ˆ vx ˆ vy

• = −ˆ

dk ˆ χ−1

✶✶t❤ ❲♦r❦s❤♦♣ ♦♥ P❧❛♥♥✐♥❣✱ P❡r❝❡♣t✐♦♥ ❛♥❞ ◆❛✈✐❣❛t✐♦♥ ❢♦r ■♥t❡❧❧✐❣❡♥t ❱❡❤✐❝❧❡s ✷✶ ✴ ✸✵

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ❙②st❡♠ ▼♦❞❡❧ ❖❜s❡r✈❡r ❉❡s✐❣♥ ❙✐♠✉❧❛t✐♦♥ ❘❡s✉❧ts ❈♦♥❝❧✉s✐♦♥

❙✐♠✉❧❛t✐♦♥ ❘❡s✉❧ts

❈♦♥s✐❞❡r✐♥❣ t✇♦ s❡t ♦❢ s②♥t❤❡t✐❝ ✐♠❛❣❡s ❣❡♥❡r❛t❡❞ ✭20fps✮ ✉s✐♥❣ ❛ ❦♥♦✇♥ ❝❛♠❡r❛ ♠♦t✐♦♥✳ ❚❤❡ ❝♦♠♣✉t❡❞ ❣❛✐♥s ❛r❡ ✿ ǫ = 2.7666, ¯ λ = 4.5048, ¯ η = 1.6908 P =   2.1209 2.1209 1.1217   Q = 10−11   0.0093 0.1220 −0.0001 0.1220 0.0296 −0.0035 −0.0001 −0.0035  

✶✶t❤ ❲♦r❦s❤♦♣ ♦♥ P❧❛♥♥✐♥❣✱ P❡r❝❡♣t✐♦♥ ❛♥❞ ◆❛✈✐❣❛t✐♦♥ ❢♦r ■♥t❡❧❧✐❣❡♥t ❱❡❤✐❝❧❡s ✷✷ ✴ ✸✵

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ❙②st❡♠ ▼♦❞❡❧ ❖❜s❡r✈❡r ❉❡s✐❣♥ ❙✐♠✉❧❛t✐♦♥ ❘❡s✉❧ts ❈♦♥❝❧✉s✐♦♥

❙✐♠✉❧❛t✐♦♥ ❘❡s✉❧ts

❈♦♥s✐❞❡r✐♥❣ t✇♦ s❡t ♦❢ s②♥t❤❡t✐❝ ✐♠❛❣❡s ❣❡♥❡r❛t❡❞ ✭20fps✮ ✉s✐♥❣ ❛ ❦♥♦✇♥ ❝❛♠❡r❛ ♠♦t✐♦♥✳ ❚❤❡ ❝♦♠♣✉t❡❞ ❣❛✐♥s ❛r❡ ✿ ǫ = 2.7666, ¯ λ = 4.5048, ¯ η = 1.6908 P =   2.1209 2.1209 1.1217   Q = 10−11   0.0093 0.1220 −0.0001 0.1220 0.0296 −0.0035 −0.0001 −0.0035  

✶✶t❤ ❲♦r❦s❤♦♣ ♦♥ P❧❛♥♥✐♥❣✱ P❡r❝❡♣t✐♦♥ ❛♥❞ ◆❛✈✐❣❛t✐♦♥ ❢♦r ■♥t❡❧❧✐❣❡♥t ❱❡❤✐❝❧❡s ✷✷ ✴ ✸✵

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ❙②st❡♠ ▼♦❞❡❧ ❖❜s❡r✈❡r ❉❡s✐❣♥ ❙✐♠✉❧❛t✐♦♥ ❘❡s✉❧ts ❈♦♥❝❧✉s✐♦♥

❙✐♠✉❧❛t✐♦♥ ❘❡s✉❧ts

❋✐rst ❙❡t ♦❢ ■♠❛❣❡s

υx = 0.2 sin (πt) υy = −0.2 + 0.1t υz = −0.7 ωx = 0.1 ωy = −0.2 ωz = 0

✭❛✮ ✭❜✮

❋✐❣✉r❡ ✕ ✭❛✮ t❤❡ ♦r✐❣✐♥❛❧ ❛♥❞ ✭❜✮ t❤❡ ✜♥❛❧ ✐♠❛❣❡s ♦❢ t❤❡ ✜rst s❡t✳

✶✶t❤ ❲♦r❦s❤♦♣ ♦♥ P❧❛♥♥✐♥❣✱ P❡r❝❡♣t✐♦♥ ❛♥❞ ◆❛✈✐❣❛t✐♦♥ ❢♦r ■♥t❡❧❧✐❣❡♥t ❱❡❤✐❝❧❡s ✷✸ ✴ ✸✵

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ❙②st❡♠ ▼♦❞❡❧ ❖❜s❡r✈❡r ❉❡s✐❣♥ ❙✐♠✉❧❛t✐♦♥ ❘❡s✉❧ts ❈♦♥❝❧✉s✐♦♥

❙✐♠✉❧❛t✐♦♥ ❘❡s✉❧ts

❋✐rst ❙❡t ♦❢ ■♠❛❣❡s

0.5 1 1.5 2 2.5 3

• 0.04
• 0.035
• 0.03
• 0.025
• 0.02
• 0.015
• 0.01
• 0.005

0.005

❋✐❣✉r❡ ✕ ❙✐♠✉❧❛t✐♦♥ r❡s✉❧ts ♦❢ t❤❡ ❡st✐♠❛t✐♦♥ ❡rr♦r

0.5 1 1.5 2 2.5 3 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

❋✐❣✉r❡ ✕ ❙✐♠✉❧❛t✐♦♥ r❡s✉❧ts ♦❢ t❤❡ r❡❛❧ ❛♥❞ ❡st✐♠❛t❡❞ ❞❡♣t❤✳

✶✶t❤ ❲♦r❦s❤♦♣ ♦♥ P❧❛♥♥✐♥❣✱ P❡r❝❡♣t✐♦♥ ❛♥❞ ◆❛✈✐❣❛t✐♦♥ ❢♦r ■♥t❡❧❧✐❣❡♥t ❱❡❤✐❝❧❡s ✷✹ ✴ ✸✵

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ❙②st❡♠ ▼♦❞❡❧ ❖❜s❡r✈❡r ❉❡s✐❣♥ ❙✐♠✉❧❛t✐♦♥ ❘❡s✉❧ts ❈♦♥❝❧✉s✐♦♥

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❋✐rst ❙❡t ♦❢ ■♠❛❣❡s

0.5 1 1.5 2 2.5 3

• 0.2
• 0.15
• 0.1
• 0.05

0.05 0.1 0.15 0.2

✭❛✮

0.5 1 1.5 2 2.5 3

• 0.3
• 0.25
• 0.2
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0.05 0.1

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❋✐❣✉r❡ ✕ ❘❡❛❧ ❛♥ ❡st✐♠❛t❡❞ ❧✐♥❡❛r ✈❡❧♦❝✐t✐❡s ✿✭❛✮ υx ❛♥❞ ✭❜✮ υy✳

✶✶t❤ ❲♦r❦s❤♦♣ ♦♥ P❧❛♥♥✐♥❣✱ P❡r❝❡♣t✐♦♥ ❛♥❞ ◆❛✈✐❣❛t✐♦♥ ❢♦r ■♥t❡❧❧✐❣❡♥t ❱❡❤✐❝❧❡s ✷✺ ✴ ✸✵

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❙❡❝♦♥❞ ❙❡t ♦❢ ■♠❛❣❡s

υx = 0.4 cos (2πt) υy = 0.5 cos (πt) υz = −0.7 cos (πt) − 0.3 ωx = 0.1 ωy = −0.1 ωz = 0.1

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❙❡❝♦♥❞ ❙❡t ♦❢ ■♠❛❣❡s

0.5 1 1.5 2 2.5 3

• 0.04
• 0.035
• 0.03
• 0.025
• 0.02
• 0.015
• 0.01
• 0.005

0.005

❋✐❣✉r❡ ✕ ❙✐♠✉❧❛t✐♦♥ r❡s✉❧ts ♦❢ t❤❡ ❡st✐♠❛t✐♦♥ ❡rr♦r

0.5 1 1.5 2 2.5 3 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

❋✐❣✉r❡ ✕ ❙✐♠✉❧❛t✐♦♥ r❡s✉❧ts ♦❢ t❤❡ r❡❛❧ ❛♥❞ ❡st✐♠❛t❡❞ ❞❡♣t❤✳

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❙✐♠✉❧❛t✐♦♥ ❘❡s✉❧ts

❙❡❝♦♥❞ ❙❡t ♦❢ ■♠❛❣❡s

0.5 1 1.5 2 2.5 3

• 0.4
• 0.3
• 0.2
• 0.1

0.1 0.2 0.3 0.4

✭❛✮

0.5 1 1.5 2 2.5 3

• 0.6
• 0.4
• 0.2

0.2 0.4 0.6

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❋✐❣✉r❡ ✕ ❘❡❛❧ ❛♥ ❡st✐♠❛t❡❞ ❧✐♥❡❛r ✈❡❧♦❝✐t✐❡s ✿✭❛✮ υx ❛♥❞ ✭❜✮ υy✳

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❲❡ ❤❛✈❡ ♣r❡s❡♥t❡❞ ✿ ✲ ❚❤❡ ❝♦♥t❡①t ✭❈♦♥tr♦❧ ❈♦♦r❞✐♥❛t✐♦♥ ♦❢ ♠✉❧t✐✲❛❣❡♥t s②st❡♠✮ ✲ ❚❤❡ ♦❜❥❡❝t✐✈❡ ✭♦♥✲❜♦❛r❞ ✈✐s✐♦♥ s②st❡♠✮✳ ❊st✐♠❛t✐♦♥ ❛♣♣r♦❛❝❤ ✿ ❯♥❦♥♦✇♥ ■♥♣✉t ❖❜s❡r✈❡r✭♦♥❜♦❛r❡❞ ✈✐s✐♦♥ s②st❡♠✮ ❙✐♠✉❧❛t✐♦♥ r❡s✉❧ts ♣r♦✈❡❞ t❤❡ ❡✛❡❝t✐✈❡♥❡ss ❡st✐♠❛t✐♦♥ ❛♣♣r♦❛❝❤✳

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