Quantum Control of Superconducting Circuits Liang Jiang Yale - - PowerPoint PPT Presentation

Quantum Control of Superconducting Circuits

Liang Jiang

Yale University, Applied Physics

Victor Albert, Stefan Krastanov, Chao Shen, Changling Zou Brian Vlastakis, Matt Reagor, Andrei Petrenko, Steven Touzard, Zaki Leghtas, Reinier Heeres, Wolfgang Pfaff Mazyar Mirrahimi, Michel Devoret, Rob Schoelkopf

City Tech Physics Seminar 2014.11.13

Supported ¡by: ¡DARPA, ¡ARO, ¡AFOSR, ¡Sloan, ¡Packard. ¡

45mm

Superconduc*ng ¡Cavity-­‑Qubit ¡System ¡

storage ¡cavity transmon ¡qubit coupler ¡port

Effec*ve ¡Hamiltonian: ¡

−χsa†a e e H = ω sa†a +ω q e e

readout ¡cavity

χs ≫κ s,γ q

Interac9on ¡strength ¡ dominates ¡photon ¡loss ¡& ¡ qubit ¡decoherence

κ s : ¡photon ¡decay ¡rate γ q : ¡qubit ¡decoh. ¡rate

• QND ¡readout ¡of ¡the ¡qubit ¡has ¡been ¡demonstrated ¡ ¡

in ¡many ¡groups ¡(e.g., ¡F>99.5% ¡in ¡300 ¡ns) ¡

• Long ¡lived ¡SC ¡cavity ¡(T>10 ¡ms ¡>> ¡Tqubit~100us) ¡

st storage ¡ ¡cavity

Manipulate ¡the ¡cavity ¡

H = ω s − χs e e

( )a†a +ω q e

e

, g β 0,

g

D g

β

We Weak ¡ ¡Drive: Condi9onal ¡cavity ¡displacement

0,e 0,

g

D e

β

β,g 0,e

in-­‑phase quadrature Phase-­‑space ¡diagram Quantum ¡circuit cavity qubit

g

Dβ

Str Strong ¡ ng ¡Driv Drive: : Uncondi9onal ¡cavity ¡displacement

β Dβ 0

• indep. of qubit state

in-­‑phase quadrature Phase-­‑space ¡diagram

θ β

Quantum ¡circuit cavity

Dβ

Create ¡superpo superposi4o si4on ¡of ¡cavity ¡state ¡depending ¡on ¡the ¡qubit.

+ε t

( )a† e

iωst + h.c.

st storage ¡ ¡cavity

Manipulate ¡the ¡qubit ¡

H = ω sa†a + ω q − χsa†a

( ) e e

Query ¡the ¡qubit: ¡‘Are ¡there ¡m ¡photons ¡in ¡the ¡cavity?’

Kirchmair ¡G. ¡et ¡al. ¡Nature ¡495 ¡205-­‑209 ¡2013 Johnson ¡B.R. ¡et ¡al. ¡Nature ¡Phys. ¡6, ¡663-­‑667 ¡2010 Integrated ¡Signal Spectroscopy ¡frequency ¡(GHz)

Qubit ¡Spectroscopy

χs

cavity qubit

Yπ

m

m,e Yπ

m m,g

Yπ

m n,g

n,g

n ≠ m

We Weak ¡ ¡Drive: Condi9onal ¡qubit ¡rota9on:

Yπ n,g n,e

for all n

Str Strong ¡ ng ¡Driv Drive: : Uncondi9onal ¡qubit ¡rota9on: qubit

Y

π

Quantum ¡circuit

+Ωm t

( ) e

g e

i ωq−mχs

( )t + h.c.

Determinis)c ¡qubit-­‑cavity ¡mapping ¡

Leghtas ¡et. ¡al ¡PRA ¡87, ¡042315 ¡(2013) Theory:

Transfer ¡arbitrary ¡state ¡ ¡ from ¡qubit ¡to ¡cavity ¡

Storage

Yπ/2 Yπ Dβ Cπ Dβ

†

Dβ

qubit

a g b e + a b β β + − g

Vlastakis ¡et. ¡al ¡Science ¡342, ¡6158 ¡ ¡(2013) Experiment:

0.0 ¡

• ­‑0.6 ¡

0.6 ¡

Measure ¡Wigner ¡func*on ¡ (based ¡on ¡QND ¡parity ¡meas) ¡

• ­‑ ¡ ¡Can ¡we ¡prepare ¡the ¡cavity ¡in ¡arbitrary ¡

superposiTon ¡of ¡photon ¡number ¡ states? ¡

( ) ( ) ( ) ( )

†

†

1

a a

W Tr D D α α ρ α ⎡ ⎤ = ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ −

• ­‑ ¡ ¡Can ¡we ¡robustly ¡encode ¡quantum ¡

informaTon ¡in ¡cavity? ¡

Theory of Cat Codes

Mo*va*ons: ¡ ¡

• 1. How ¡to ¡construct ¡robust ¡quantum ¡memory? ¡

a) Overcome ¡cavity ¡dephasing ¡errors ¡ b) Overcome ¡cavity ¡loss ¡errors ¡

• 2. How ¡to ¡control ¡such ¡robust ¡quantum ¡memory? ¡

a) Gates ¡over ¡single ¡logical ¡qubits ¡ b) Gates ¡between ¡two ¡logical ¡qubits ¡

† † † 1 1 1

1 1 2 2

loss

a a a a a a κ ρ κ ρ ρ ρ

−

⎛ ⎞ = − − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ D

Dominant ¡Errors ¡in ¡Cavity ¡Quantum ¡Memory ¡

2 2

1 1 2 2

dephase

n n n n

φ φ

κ ρ κ ρ ρ ρ ⎛ ⎞ = − − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ D

Dephasing ¡Error ¡ Photon ¡Loss ¡Error ¡

No ¡Change ¡in ¡photon ¡number! ¡ Reduce ¡photon ¡number ¡by ¡one! ¡ (Env. ¡is ¡probing ¡photon ¡number) ¡ (Env. ¡is ¡stealing ¡our ¡photons ¡one ¡by ¡one) ¡ Strategy: ¡quickly ¡shuffle ¡photon ¡number ¡… ¡ Strategy: ¡monitor ¡photon ¡parity ¡… ¡

generator Dissipation to Transmission line LC oscillator

I Q

D a ⎡ ⎣ ⎤ ⎦ρ = aρa† − 1 2 a†aρ − 1 2 ρa†a

Steady state:

ρ∞ = α ∞ α ∞ ,α ∞ = 2ε /κ

Driven ¡damped ¡harmonic ¡oscillator ¡

Driving ¡+ ¡DissipaTon ¡ à Pure ¡Steady ¡State ¡ à Suppress ¡dephasing ¡noise! ¡

d dt ρ = [εa† − ε *a,ρ]+κ1D a ⎡ ⎣ ⎤ ⎦ρ d dt ρ =κ1D a −α ∞ ⎡ ⎣ ⎤ ⎦ρ

† * d d

[ ( ) , ]

d d d d

d a a a dt ρ ε ε ρ κ ρ ⎡ ⎤ = − + ⎣ ⎦ D

Case d=2 : 2-dim steady state subspace!

{ }

2 2

, 2 / c ρ α α ε κ

∞ ± ∞ ∞

∈ ± =

∑

Case d=4 : 4-dim steady state subspace!

{ }

1/4 ( ) 4 4

( ) , (2 / )

i

c i ρ α α ε κ

∞ ± ∞ ∞

∈ ± =

∑

Mul*-­‑photon ¡Driven ¡& ¡Mul*-­‑photon ¡Damped ¡Oscillator ¡

I Q

I Q I Q

45mm ¡ Pump & Readout Cavity Storage Cavity Vertical Transmon Qubit Coupler Port

Mirrahimi, ¡Leghtas, ¡Albert, ¡et ¡al., ¡NJP ¡16, ¡045014 ¡(2014) ¡

d dt ρ =κ dD ad −α ∞

d

⎡ ⎣ ⎤ ⎦ρ

α ∞ = 2εd /κ d

( )

1/d

Ongoing ¡experiment ¡ ¡ in ¡Devoret’s ¡group ¡

𝑅 𝐽 𝑅 𝐽

Steady ¡states ¡dependent ¡on ¡ini*al ¡states ¡

Case d=2 : Two dimensional steady state subspace!

{ }

2 2

, 2 / c ρ α α ε κ

∞ ± ∞ ∞

∈ ± =

∑

2

( ) 2

n

N c n α α

∞ ∞

+ − = ∑

n =

i

e δφ α∞ α∞

1

Z Z

n n + = = − = =

Choice ¡of ¡memory ¡basis ¡(|n=0> ¡and ¡|n=1>) ¡

|+X⟩ ≈ |α⟩ |−X⟩ ≈ |−α⟩ |+Z⟩ = |C+

α ⟩

|−Z⟩ = |C−

α ⟩

Y ​|+𝑨⟩=​|0⟩ ¡ ​|−𝑨⟩=​|1⟩ ¡ ​|+𝑦⟩=​|0⟩+​|1⟩ ¡ ​|−𝑦⟩=​|0⟩−​|1⟩ ¡ Vulnerable ¡to ¡both ¡

• ­‑ ¡Dephasing ¡Errors ¡
• ­‑ ¡Photon ¡Loss ¡Errors ¡

|+X⟩ ≈ |α⟩ |−X⟩ ≈ |−α⟩ |+Z⟩ = |C+

α ⟩

|−Z⟩ = |C−

α ⟩

Y

2 2 1

( ) 2 ( ) 2 1

Z n Z n

C N c n C N c n

α α

α α α α

+

+ + = = + − = − − = = − − = +

∑ ∑

Choice ¡of ¡qubit ¡basis ¡(2-­‑photon ¡process) ¡

​|+𝒜⟩ 𝒜⟩=​|𝜷⟩+​|−𝜷⟩ ¡ ​|−𝒜⟩ 𝒜⟩=​|𝜷⟩−​|−𝜷⟩ ¡ ​|−𝒚⟩ 𝒚⟩=​|−𝜷⟩ ¡ ​|+𝒚⟩ 𝒚⟩=​|+𝜷⟩ ¡

2

| | 2

!

n n

c e n

α

α

−

=

+1

• 1

Parity

|+X⟩ ≈ |α⟩ |−X⟩ ≈ |−α⟩ |+Z⟩ = |C+

α ⟩

|−Z⟩ = |C−

α ⟩

Y

Choice ¡of ¡qubit ¡basis ¡(2-­‑photon ¡process) ¡

( )

| | | 1 |

n n n n n

x c n x c n

∞ = ∞ =

+ 〉 = 〉 − 〉 = − 〉

∑ ∑

with ¡

​|−𝒚⟩ 𝒚⟩=​|−𝜷⟩ ¡ ​|+𝒚⟩ 𝒚⟩=​|+𝜷⟩ ¡

2

| | 2

!

n n

c e n

α

α

−

=

|+X⟩ ≈ |α⟩ |−X⟩ ≈ |−α⟩ |+Z⟩ = |C+

α ⟩

|−Z⟩ = |C−

α ⟩

Y

Choice ¡of ¡qubit ¡basis ¡(2-­‑photon ¡process) ¡

​|−𝒚⟩ 𝒚⟩=​|−𝜷⟩ ¡ ​|+𝒚⟩ 𝒚⟩=​|+𝜷⟩ ¡ Key ¡property: ¡Difference ¡in ¡average ¡photon ¡number ¡<n> ¡is ¡exponen-ally ¡small, ¡ for ¡any ¡superposiTon ¡state ¡of ¡ ¡

e

−α 2

Cα

+ and Cα −

Choice ¡of ¡qubit ¡basis ¡(4-­‑photon ¡process) ¡

+Z = Cα

(0mod4) = N

α + −α

( )+ iα + −iα ( )

( ) =

c4n

∑

4n −Z = Cα

(2mod4) = N

α + −α

( )− iα + −iα ( )

( ) =

c4n+2

∑

4n + 2

|+Z⟩ = |C(0mod4)

α

⟩ |−Z⟩ = |C(2mod4)

α

⟩ |+X⟩ ≈ |C+

α ⟩

|−X⟩ ≈ |C+

iα⟩

Y +1

• 1

Parity

Key ¡property: ¡Difference ¡in ¡average ¡photon ¡number ¡<n> ¡is ¡exponen-ally ¡small, ¡ for ¡any ¡superposiTon ¡state ¡of ¡ ¡

e

−α 2/2

Cα

0mod4

( ) and Cα

2mod4

( )

Zaki ¡Leghtas ¡

Leghtas, et al., PRL 111, 120501 (2012).

No ¡change ¡in ¡photon ¡number ¡(modulo ¡2 ¡or ¡4) ¡ è ¡ Constant ¡populaTon ¡of ¡ ¡ è ¡ No ¡logical ¡bit-­‑flip ¡errors ¡

±Z

Effect ¡of ¡photon ¡dephasing ¡ ¡

(in ¡presence ¡of ¡driven ¡dissipa*ve ¡process) ¡ ¡

[ ]

2 2

1 1 2 2 n n n n n

φ φ

κ ρ κ ρ ρ ρ ⎛ ⎞ = − − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ D

|𝛽|

(a) Two-photon (b) Four-photon

𝛿/2𝜆 2𝛿/𝜆 |𝛽|

Suppression ¡of ¡cavity ¡dephasing ¡error ¡

• ­‑-­‑ ¡by ¡mul*-­‑photon ¡driven ¡dissipa*ve ¡process ¡ ¡

[ ]

† * d d

[ ( ) , ]

d d d d

d a a a n dt

φ

ρ ε ε ρ κ ρ κ ρ ⎡ ⎤ = − + + ⎣ ⎦ D D

MulT-­‑photon ¡driven ¡dissipaTon ¡ Dephasing ¡

/

d φ

κ κ

( )

1/ d

2 /

d d

α ε κ

∞ =

Two ¡Dimensionless ¡Para: ¡ Induced ¡phase-­‑flip ¡rate: ¡ ExponenTally ¡suppressed ¡with ¡the ¡cat ¡size ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡. ¡

α ∞

2

3]=

5 10 15 10-4 0.001 0.01 0.1 1 »a• 2

• 2gbit-flipêkf

5 10 15 10 4 0.001 0.01 »

2 Num: kfêk2 ph=1ê200 Num: kfêk2 ph=1ê20

2 4 6 8 10-6 10-5 10-4 0.001 0.01 0.1 1 »a• 2

• 2gbit-flipêkf

2 4 6 8 10 6 10 5 10 4 0.001 »

2

• Pert. Thry.

Num: kfêk2 ph=1ê200 Num: kfêk2 ph=1ê20

Victor ¡Albert ¡

† † † 1 1 1

1 1 2 2

loss

a a a a a a κ ρ κ ρ ρ ρ

−

⎛ ⎞ = − − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ D

Dominant ¡Errors ¡in ¡Cavity ¡Quantum ¡Memory ¡

2 2

1 1 2 2

dephase

n n n n

φ φ

κ ρ κ ρ ρ ρ ⎛ ⎞ = − − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ D

Dephasing ¡Error ¡ Photon ¡Loss ¡Error ¡

No ¡Change ¡in ¡photon ¡number! ¡ Reduce ¡photon ¡number ¡by ¡one! ¡ (Env. ¡is ¡probing ¡photon ¡number) ¡ (Env. ¡is ¡stealing ¡our ¡photons ¡one ¡by ¡one) ¡ Strategy: ¡quickly ¡shuffle ¡photon ¡number ¡… ¡ Strategy: ¡monitor ¡photon ¡parity ¡… ¡

QND ¡Measurement ¡of ¡Qubit! ¡

5

• 5

50 100 150 Time (ms)

Results from Devoret group, Yale: Hatridge et al., Science 2013* dispersive circuit QED readout + JJ paramp

Readout fidelity > 99.5% in ~ 300 nsec

Many groups now working with JJ paramps & feedback, including: Berkeley, Delft, JILA, ENS/Paris, IBM, Wisc., Saclay, UCSB, … *First jumps: R. Vijay et al., (UCB)

QND ¡Measurement ¡of ¡Photon ¡Number ¡Parity ¡

H = −χqsa†a e e

U T = π χqs ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ = g g + e e for even n g g − e e for odd n ⎧ ⎨ ⎪ ⎩ ⎪

Sun, Petrenko, et al, Nature 511, 444 (2014)

Effect ¡of ¡photon ¡loss ¡

(in ¡presence ¡of ¡driven ¡dissipa*ve ¡process) ¡ ¡

a Cα

+ → Cα − and a Cα − → Cα +

a Cα

(0mod4) → Cα (3mod4) = N

α − −α

( )+ i iα − −iα ( )

( )

a Cα

(2mod4) → Cα (1mod4) = N

α − −α

( )− i iα − −iα ( )

( )

For ¡two-­‑photon ¡process: ¡ ¡ ¡photon ¡loss ¡à ¡logical ¡bit-­‑flip ¡error ¡ For ¡four-­‑photon ¡process: ¡ ¡ ¡photon ¡loss ¡à ¡tractable ¡by ¡parity ¡measurement ¡

Summary ¡on ¡Quantum ¡Memory ¡

Two-­‑photon ¡process: ¡

1. Logical ¡qubit ¡basis ¡of ¡ ¡ 2. Photon ¡dephasing ¡induces ¡phase-­‑flip ¡errors ¡whose ¡rate ¡ is ¡exp. ¡suppressed ¡by ¡the ¡cat ¡size. ¡ 3. Photon ¡loss ¡induces ¡bit-­‑flip ¡errors. ¡

¡ ¡ Four-­‑photon ¡process: ¡

1. Logical ¡qubit ¡basis ¡of ¡ ¡ 2. Photon ¡dephasing ¡induces ¡phase-­‑flip ¡errors ¡whose ¡rate ¡is ¡

• exp. ¡suppressed ¡by ¡the ¡cat ¡size. ¡

3. Photon ¡loss ¡induces ¡errors ¡that ¡are ¡tractable ¡by ¡photon-­‑ number ¡parity ¡measurements. ¡

¡ ¡

How ¡to ¡achieve ¡universal ¡gates ¡on ¡encoded ¡quantum ¡memory? ¡

( )

† 2 2 2 2- 2- †

[ [ , ] [ , ] ]

ph X ph

i d a a a t a a d ρ ε ρ κ ε ρ ρ = + − + − + D

Quantum ¡Zeno ¡dynamics ¡for ¡ ¡ ¡

• 1. Resonant ¡drive ¡è ¡Small ¡displacement ¡ ¡
• 2. Two-­‑photon ¡process ¡è ¡ProjecTon ¡on ¡to ¡logical ¡space ¡ ¡ ¡

¡

D(iε) Cα

+ = N e−iεα −α + iε + eiεα α + iε

( )

Cα

+ , Cα −

{ }

N e−iεα −α +iε +eiεα α +iε

( ) → cos(εα) Cα

+ +isin(εα) Cα −

ε XΠ

Cα

+ , Cα − (a + a†)Π

Cα

+ , Cα − = (α +α∗)ε X

Cα

+

Cα

− + Cα −

Cα

+

( ) ∝ X L

2- X ph

ε κ <<

Steady ¡State ¡ ¡ Subspace ¡

¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡gates ¡(2-­‑ph ¡process) ¡

Xθ

Two-photon process: Four-photon process:

Decay ¡operator ¡

κ2-­‑pha2 ¡

Driving ¡Hamiltonian ¡

iε2-­‑ph ¡(a*2-­‑a2) ¡

Arbitrary ¡rot. ¡around ¡X ¡

εX(a*+a) ¡

π/2-­‑rotaTon ¡around ¡Z ¡

• ­‑χKerr(a*a)2 ¡

Two-­‑qubit ¡entanglement ¡ εXX(a1*a2+a2*a1) ¡ Decay ¡operator ¡

κ4-­‑pha4 ¡

Driving ¡Hamiltonian ¡

iε4-­‑ph ¡(a*4-­‑a4) ¡

Arbitrary ¡rot. ¡around ¡X ¡

εX(a*2+a2) ¡

π/2-­‑rotaTon ¡around ¡Z ¡

• ­‑χKerr(a*a)2 ¡

Two-­‑qubit ¡entanglement ¡ εXX(a1*2a2

2+a2*2a1 2) ¡

Universal ¡Gates ¡on ¡Quantum ¡Memory ¡

Mirrahimi, ¡Leghtas, ¡Albert, ¡et ¡al., ¡NJP ¡16, ¡045014 ¡(2014) ¡

Mazyar Mirrahimi

Summary ¡of ¡Cat ¡Codes ¡

• 1. How ¡to ¡construct ¡robust ¡quantum ¡memory? ¡

a) Overcome ¡cavity ¡dephasing ¡errors ¡ b) Overcome ¡cavity ¡loss ¡errors ¡

• 2. How ¡to ¡control ¡such ¡robust ¡quantum ¡memory? ¡

a) Single ¡qubit ¡gates ¡ b) Two ¡qubit ¡gates ¡

Autonomous ¡QEC ¡of ¡cat ¡code ¡ Quantum ¡Zeno ¡Dynamics ¡ ¡

Steady ¡State ¡ ¡ Subspace ¡

I Q

I Q

Symmetry ¡& ¡Conserved ¡Quan**es ¡in ¡Lindblad ¡Systems ¡

Q: ¡What ¡informaTon ¡from ¡iniTal ¡state ¡is ¡preserved ¡as ¡infinite ¡Tme? ¡

Albert, ¡L ¡J, ¡PRA ¡89,022118 ¡(2014); ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡Mirrahimi, ¡et ¡al., ¡NJP ¡16, ¡045014 ¡(2014) ¡ ¡ ¡

For open system d dt ρ = Lρ =κ 2D a2 −α ∞

2

⎡ ⎣ ⎤ ⎦ρ, initial state ρinit involves into ρ∞ = eLtρinit t→∞ , which is c++ c+− c−+ c−− ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ in the steady state basis Cα

+ , Cα −

{ }.

Each degree c jk is associated with a conserved quantity J jk, such that c jk = Tr J jk

† ρinit

⎡ ⎣ ⎤ ⎦. The corresponding quantities can be calculated:

which satisfies d dt J jk = L†J jk ≡ 0 with no evolution (conserved).

Key ¡result: ¡#(conserved ¡quanTTes) ¡= ¡#(degrees ¡in ¡steady ¡state ¡density ¡matrix) ¡

Conserved quantities: (1) efficient tool to compute steady state, (2) extract stored quantum information, (3) perturbative calculation for other decoherences,

Victor ¡Albert ¡

Outlook: ¡Two-­‑Qubit ¡Quantum ¡Modules ¡

Design ¡of ¡Two-­‑Qubit ¡Quantum ¡Modules ¡ ¡

• 1. Memory ¡Qubit ¡(m) ¡
• Long ¡coherence ¡Tme ¡

¡

• 2. CommunicaTon ¡Qubit ¡(c) ¡
• IniTalizaTon ¡
• Measurement ¡
• Entanglement ¡generaTon ¡

¡

• 3. Local ¡Two-­‑Qubit ¡Unitary ¡Gates ¡

𝑛 ¡

¡

𝑑 ¡

¡

Outlook: ¡Scalable ¡QC ¡

DiVincenzo’s ¡Criteria ¡

• A ¡scalable ¡physical ¡system ¡with ¡well ¡characterized ¡qubits ¡
• The ¡ability ¡to ¡ini*alize ¡the ¡state ¡of ¡the ¡qubits ¡
• The ¡ability ¡to ¡measure ¡specific ¡single ¡qubits ¡
• A ¡universal ¡set ¡of ¡quantum ¡gates ¡
• Long ¡relevant ¡decoherence ¡*me, ¡much ¡longer ¡than ¡the ¡gate ¡opera*on ¡*mes ¡

… ¡

Use ¡cavity ¡mode ¡for ¡ long-­‑lived ¡quantum ¡ memory! ¡

Outlook: ¡Scalable ¡QC ¡

DiVincenzo’s ¡Criteria ¡

• A ¡scalable ¡physical ¡system ¡with ¡well ¡characterized ¡qubits ¡
• The ¡ability ¡to ¡ini*alize ¡the ¡state ¡of ¡the ¡qubits ¡
• The ¡ability ¡to ¡measure ¡specific ¡single ¡qubits ¡
• A ¡universal ¡set ¡of ¡quantum ¡gates ¡(esp., ¡focusing ¡on ¡the ¡remote ¡gates) ¡
• Long ¡relevant ¡decoherence ¡*me, ¡much ¡longer ¡than ¡the ¡gate ¡opera*on ¡*mes ¡

… ¡ … ¡

Switchable Router

Acknowledgement ¡

Victor ¡Albert ¡ Stefan ¡Krastanov ¡ Chao ¡Shen ¡ Brian ¡Vlastakis ¡ Zaki ¡Leghtas ¡ Rob ¡Schoelkopf ¡ Michel ¡Devoret ¡ Mazyar ¡Mirrahimi ¡ Reinier ¡Heeres ¡