Prst rst rr rst - - PowerPoint PPT Presentation

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Aug 26, 2023 154 likes •877 views

Prst rst rr Prst Prst rst rr rst rr

SLIDE 1

Pr♦♣♦s✐t✐♦♥❛❧ ❛♥❞ ❋✐rst ❖r❞❡r ▲♦❣✐❝ Pr♦♣♦s✐t✐♦♥❛❧ ▲♦❣✐❝ ❋✐rst ❖r❞❡r ▲♦❣✐❝

Pr♦♣♦s✐t✐♦♥❛❧ ❛♥❞ ❋✐rst ❖r❞❡r ▲♦❣✐❝

❇❛❝❦❣r♦✉♥❞ ❑♥♦✇❧❡❞❣❡

SLIDE 2

Pr♦♣♦s✐t✐♦♥❛❧ ❛♥❞ ❋✐rst ❖r❞❡r ▲♦❣✐❝ Pr♦♣♦s✐t✐♦♥❛❧ ▲♦❣✐❝ ❋✐rst ❖r❞❡r ▲♦❣✐❝

❙✉♠♠❛r②

Pr♦♣♦s✐t✐♦♥❛❧ ▲♦❣✐❝ ❬❈❤❛♥❣✲▲❡❡ ❈❤✳ ✷❪ ❋✐rst ❖r❞❡r ▲♦❣✐❝ ❬❈❤❛♥❣✲▲❡❡ ❈❤✳ ✸❪

SLIDE 3

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Pr♦♣♦s✐t✐♦♥❛❧ ▲♦❣✐❝

❙✉♠♠❛r② ❙②♥t❛① ❙❡♠❛♥t✐❝s ◆♦r♠❛❧ ❋♦r♠s ❉❡❞✉❝t✐♦♥ ❛♥❞ ❘❡❢✉t❛t✐♦♥

SLIDE 4

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❇❛s✐❝ ❈♦♥❝❡♣ts

Pr♦♣♦s✐t✐♦♥❛❧ ❧♦❣✐❝ ✐s t❤❡ s✐♠♣❧❡st ❧♦❣✐❝✖✐❧❧✉str❛t❡s ❜❛s✐❝ ✐❞❡❛s ✉s✐♥❣ ♣r♦♣♦s✐t✐♦♥s P✶ ❙♥♦✇ ✐s ✇❤②t❡ P✷ ❚♦❞❛② ✐t ✐s r❛✐♥✐♥❣ P✸ ❚❤✐s ❛✉t♦♠❛t❡❞ r❡❛s♦♥✐♥❣ ❝♦✉rs❡ ✐s ❜♦r✐♥❣ P✐ ✐s ❛♥ ❛t♦♠ ♦r ❛t♦♠✐❝ ❢♦r♠✉❧❛ ❊❛❝❤ P✐ ❝❛♥ ❜❡ ❡✐t❤❡r tr✉❡ ♦r ❢❛❧s❡ ❜✉t ♥❡✈❡r ❜♦t❤ ❚❤❡ ✈❛❧✉❡s tr✉❡ ♦r ❢❛❧s❡ ❛ss✐❣♥❡❞ t♦ ❡❛❝❤ ♣r♦♣♦s✐t✐♦♥ ✐s ❝❛❧❧❡❞ tr✉t❤ ✈❛❧✉❡ ♦❢ t❤❡ ♣r♦♣♦s✐t✐♦♥

SLIDE 5

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❙②♥t❛①

❘❡❝✉rs✐✈❡ ❞❡✜♥✐t✐♦♥ ♦❢ ✇❡❧❧✲❢♦r♠❡❞ ❢♦r♠✉❧❛s

✶ ❆♥ ❛t♦♠ ✐s ❛ ❢♦r♠✉❧❛ ✷ ■❢ ❙ ✐s ❛ ❢♦r♠✉❧❛✱ ¬❙ ✐s ❛ ❢♦r♠✉❧❛

✭♥❡❣❛t✐♦♥✮

✸ ■❢ ❙✶ ❛♥❞ ❙✷ ❛r❡ ❢♦r♠✉❧❛s✱ ❙✶ ∧ ❙✷ ✐s ❛ ❢♦r♠✉❧❛

✭❝♦♥❥✉♥❝t✐♦♥✮

✹ ■❢ ❙✶ ❛♥❞ ❙✷ ❛r❡ ❢♦r♠✉❧❛s✱ ❙✶ ∨ ❙✷ ✐s ❛ ❢♦r♠✉❧❛

✭❞✐s❥✉♥❝t✐♦♥✮

✺ ❆❧❧ ✇❡❧❧✲❢♦r♠❡❞ ❢♦r♠✉❧❛s ❛r❡ ❣❡♥❡r❛t❡❞ ❜② ❛♣♣❧②✐♥❣ ❛❜♦✈❡

r✉❧❡s ❙❤♦rt❝✉ts✿ ❙✶ → ❙✷ ❝❛♥ ❜❡ ✇r✐tt❡♥ ❛s ¬❙✶ ∨ ❙✷ ❙✶ ↔ ❙✷ ❝❛♥ ❜❡ ✇r✐tt❡♥ ❛s (❙✶ → ❙✷) ∧ (❙✷ → ❙✶)

SLIDE 6

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❙❡♠❛♥t✐❝s

❘❡❧❛t✐♦♥s❤✐♣s ❜❡t✇❡❡♥ tr✉t❤ ✈❛❧✉❡s ♦❢ ❛t♦♠s ❛♥❞ tr✉t❤ ✈❛❧✉❡s ♦❢ ❢♦r♠✉❧❛s

¬❙ ✐s tr✉❡ ✐✛ ❙ ✐s ❢❛❧s❡ ❙✶ ∧ ❙✷ ✐s tr✉❡ ✐✛ ❙✶ ✐s tr✉❡ ❛♥❞ ❙✷ ✐s tr✉❡ ❙✶ ∨ ❙✷ ✐s tr✉❡ ✐✛ ❙✶ ✐s tr✉❡ ♦r ❙✷ ✐s tr✉❡ ❙✶ → ❙✷ ✐s tr✉❡ ✐✛ ❙✶ ✐s ❢❛❧s❡ ♦r ❙✷ ✐s tr✉❡ ✐✳❡✳✱ ✐s ❢❛❧s❡ ✐✛ ❙✶ ✐s tr✉❡ ❛♥❞ ❙✷ ✐s ❢❛❧s❡ ❙✶ ↔ ❙✷ ✐s tr✉❡ ✐✛ ❙✶ → ❙✷ ✐s tr✉❡ ❛♥❞ ❙✷ → ❙✶ ✐s tr✉❡

SLIDE 7

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❙❡♠❛♥t✐❝s✿ ❊①❛♠♣❧❡

❊①❛♠♣❧❡ ✭❚r✉t❤ ❚❛❜❧❡s ❢♦r ♠❛✐♥ ❧♦❣✐❝❛❧ ❝♦♥♥❡❝t✐✈❡s✮ P✶ P✷ ¬P✶ P✶ ∧ P✷ P✶ ∨ P✷ P✶ → P✷ P✶ ↔ P✷ ❚ ❚ ❋ ❚ ❚ ❚ ❚ ❚ ❋ ❋ ❋ ❚ ❋ ❋ ❋ ❚ ❚ ❋ ❚ ❚ ❋ ❋ ❋ ❚ ❋ ❋ ❚ ❚

SLIDE 8

Pr♦♣♦s✐t✐♦♥❛❧ ❛♥❞ ❋✐rst ❖r❞❡r ▲♦❣✐❝ Pr♦♣♦s✐t✐♦♥❛❧ ▲♦❣✐❝ ❋✐rst ❖r❞❡r ▲♦❣✐❝

Pr♦♣♦s✐t✐♦♥❛❧ ❧♦❣✐❝✿ ❊✈❛❧✉❛t✐♦♥ ♦❢ ❋♦r♠✉❧❛

❘❡❝✉rs✐✈❡ ❊✈❛❧✉❛t✐♦♥ ❈♦♥s✐❞❡r t❤❡ ❢♦r♠✉❧❛ ● ¬P✶ ∧ (P✷ ∨ P✸) ❙✉♣♣♦s❡ ✇❡ ❦♥♦✇ t❤❛t P✶ = ❋, P✷ = ❋, P✸ = ❚ ❚❤❡♥ ✇❡ ❤❛✈❡ ¬P✶ ∧ (P✷ ∨ P✸) = tr✉❡ ∧ (❢❛❧s❡ ∨ tr✉❡) = tr✉❡ ∧ tr✉❡ = tr✉❡ ◆♦t❡ ❲❡ ❡✈❛❧✉❛t❡ ¬P✶ ❜❡❢♦r❡ P✶ ∧ P✷✱ t❤✐s ✐s ❜❡❝❛✉s❡ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ❞❡❝r❡❛s✐♥❣ r❛♥❦ ❢♦r ❝♦♥♥❡❝t✐✈❡s ♦♣❡r❛t♦r ❤♦❧❞s✿ ↔ → ∨ ∧ ¬

SLIDE 9

Pr♦♣♦s✐t✐♦♥❛❧ ❛♥❞ ❋✐rst ❖r❞❡r ▲♦❣✐❝ Pr♦♣♦s✐t✐♦♥❛❧ ▲♦❣✐❝ ❋✐rst ❖r❞❡r ▲♦❣✐❝

❊①❡r❝✐s❡✿ ❚r✉t❤ ❚❛❜❧❡s

❊①❛♠♣❧❡ ✭❳❖❘✮ ❲r✐t❡ t❤❡ tr✉t❤ t❛❜❧❡ ❢♦r t❤❡ ❢♦r♠✉❧❛✿

(P ∨ ◗) ∧ ¬(P ∧ ◗)

❙♦❧✳ P ◗ P ◗ P ◗ P ◗

❚ ❚ ❚ ❋ ❋ ❚ ❋ ❚ ❋ ❚ ❚ ❋ ❚ ❚ ❋ ❚ ❚ ❋ ❋ ❋ ❋ ❚ ❋

SLIDE 10

Pr♦♣♦s✐t✐♦♥❛❧ ❛♥❞ ❋✐rst ❖r❞❡r ▲♦❣✐❝ Pr♦♣♦s✐t✐♦♥❛❧ ▲♦❣✐❝ ❋✐rst ❖r❞❡r ▲♦❣✐❝

❊①❡r❝✐s❡✿ ❚r✉t❤ ❚❛❜❧❡s

❊①❛♠♣❧❡ ✭❳❖❘✮ ❲r✐t❡ t❤❡ tr✉t❤ t❛❜❧❡ ❢♦r t❤❡ ❢♦r♠✉❧❛✿

(P ∨ ◗) ∧ ¬(P ∧ ◗)

❙♦❧✳ P ◗ P ∨ ◗ P ∧ ◗ ¬(P ∧ ◗)

❚ ❚ ❚ ❋ ❋ ❚ ❋ ❚ ❋ ❚ ❚ ❋ ❚ ❚ ❋ ❚ ❚ ❋ ❋ ❋ ❋ ❚ ❋

SLIDE 11

Pr♦♣♦s✐t✐♦♥❛❧ ❛♥❞ ❋✐rst ❖r❞❡r ▲♦❣✐❝ Pr♦♣♦s✐t✐♦♥❛❧ ▲♦❣✐❝ ❋✐rst ❖r❞❡r ▲♦❣✐❝

■♥t❡r♣r❡t❛t✐♦♥

❉❡✜♥✐t✐♦♥ ■♥t❡r♣r❡t❛t✐♦♥✿ ●✐✈❡♥ ❛ ♣r♦♣♦s✐t✐♦♥❛❧ ❢♦r♠✉❧❛ ●✱ ❧❡t {❆✶, · · · , ❆♥} ❜❡ t❤❡ s❡t ♦❢ ❛t♦♠s ✇❤✐❝❤ ♦❝❝✉r ✐♥ t❤❡ ❢♦r♠✉❧❛✱ ❛♥ ■♥t❡r♣r❡t❛t✐♦♥ ■ ♦❢ ● ✐s ❛♥ ❛ss✐❣♥♠❡♥t ♦❢ tr✉t❤ ✈❛❧✉❡s t♦ {❆✶, · · · , ❆♥}✳ ❊①❛♠♣❧❡ ❈♦♥s✐❞❡r t❤❡ ❢♦r♠✉❧❛✿ ● (P ∨ ◗) ∧ ¬(P ∧ ◗) ❙❡t ♦❢ ❛t♦♠s✿ {P, ◗} ■♥t❡r♣r❡t❛t✐♦♥ ❢♦r ●✿ ■ = {P = ❚, ◗ = ❋}

SLIDE 12

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■♥t❡r♣r❡t❛t✐♦♥ ❝♦♥t❞✳

❊❛❝❤ ❛t♦♠ ❆✐ ❝❛♥ ❜❡ ❛ss✐❣♥❡❞ ❡✐t❤❡r ❚r✉❡ ♦r ❋❛❧s❡ ❜✉t ♥❡✈❡r ❜♦t❤✳

✐✈❡♥ ❛♥ ✐♥t❡r♣r❡t❛t✐♦♥ ■ ❛ ❢♦r♠✉❧❛ ● ✐s s❛✐❞ t♦ ❜❡ tr✉❡ ✐♥

■ ✐✛ ● ✐s ❡✈❛❧✉❛t❡❞ t♦ ❚r✉❡ ✐♥ t❤❡ ✐♥t❡r♣r❡t❛t✐♦♥

✐✈❡♥ ❛ ❢♦r♠✉❧❛ ● ✇✐t❤ ♥ ❞✐st✐♥❝t ❛t♦♠s t❤❡r❡ ✇✐❧❧ ❜❡ ✷♥

❞✐st✐♥❝t ✐♥t❡r♣r❡t❛t✐♦♥s ❢♦r t❤❡ ❛t♦♠s ✐♥ ●✳ ❈♦♥✈❡♥t✐♦♥✿ {P, ¬◗, ¬❘, ❙} r❡♣r❡s❡♥ts ❛♥ ✐♥t❡r♣r❡t❛t✐♦♥ ■ : {P = ❚, ◗ = ❋, ❘ = ❋, ❙ = ❚}✳

✐✈❡♥ ❛ ❢♦r♠✉❧❛ ● ❛♥❞ ❛♥ ✐♥t❡r♣r❡t❛t✐♦♥ ■✱ ✐❢ ● ✐s tr✉❡

✉♥❞❡r ■ ✇❡ s❛② t❤❛t ■ ✐s ❛ ♠♦❞❡❧ ❢♦r ●✳❛♥❞ ✇❡ ❝❛♥ ✇r✐t❡ ■ | = ●

SLIDE 13

Pr♦♣♦s✐t✐♦♥❛❧ ❛♥❞ ❋✐rst ❖r❞❡r ▲♦❣✐❝ Pr♦♣♦s✐t✐♦♥❛❧ ▲♦❣✐❝ ❋✐rst ❖r❞❡r ▲♦❣✐❝

❱❛❧✐❞✐t②

❉❡✜♥✐t✐♦♥ ❱❛❧✐❞ ❋♦r♠✉❧❛✿ ❆ ❢♦r♠✉❧❛ ❋ ✐s ✈❛❧✐❞ ✐✛ ✐t ✐s tr✉❡ ✐♥ ❛❧❧ ✐ts ✐♥t❡r♣r❡t❛t✐♦♥ ❆ ✈❛❧✐❞ ❢♦r♠✉❧❛ ❝❛♥ ❜❡ ❛❧s♦ ❝❛❧❧❡❞ ❛ ❚❛✉t♦❧♦❣② ❆ ❢♦r♠✉❧❛ ✇❤✐❝❤ ✐s ♥♦t ✈❛❧✐❞ ✐s ✐♥✈❛❧✐❞ ■❢ ❋ ✐s ✈❛❧✐❞ ✇❡ ❝❛♥ ✇r✐t❡ | = ❋ ❊①❛♠♣❧❡ ✭❞❡ ▼♦r❣❛♥✬s ▲❛✇✮ (¬(P ∧ ◗) ↔ (¬P ∨ ¬◗)) ✐s ❛ ✈❛❧✐❞ ❢♦r♠✉❧❛ P ◗ ¬(P ∧ ◗) ¬P ∨ ¬◗ (¬(P ∧ ◗) ↔ (¬P ∨ ¬◗)) ❚ ❚ ❋ ❋ ❚ ❚ ❋ ❚ ❚ ❚ ❋ ❚ ❚ ❚ ❚ ❋ ❋ ❚ ❚ ❚

SLIDE 14

Pr♦♣♦s✐t✐♦♥❛❧ ❛♥❞ ❋✐rst ❖r❞❡r ▲♦❣✐❝ Pr♦♣♦s✐t✐♦♥❛❧ ▲♦❣✐❝ ❋✐rst ❖r❞❡r ▲♦❣✐❝

■♥❝♦♥s✐st❡♥❝②

❉❡✜♥✐t✐♦♥ ■♥❝♦♥s✐st❡♥t ❋♦r♠✉❧❛✿ ❆ ❢♦r♠✉❧❛ ❋ ✐s ✐♥❝♦♥s✐st❡♥t ✐✛ ✐t ✐s ❢❛❧s❡ ✐♥ ❛❧❧ ✐ts ✐♥t❡r♣r❡t❛t✐♦♥ ❆♥ ✐♥❝♦♥s✐st❡♥t ❢♦r♠✉❧❛ ✐s s❛✐❞ t♦ ❜❡ ✉♥s❛t✐s✜❛❜❧❡ ❆ ❢♦r♠✉❧❛ ✇❤✐❝❤ ✐s ♥♦t ✐♥❝♦♥s✐st❡♥t ✐s ❝♦♥s✐st❡♥t ♦r s❛t✐s✜❛❜❧❡ ■♥✈❛❧✐❞ ✐s ❞✐✛❡r❡♥t ❢r♦♠ ■♥❝♦♥s✐st❡♥t ❊①❛♠♣❧❡ ¬((¬(P ∧ ◗) ↔ (¬P ∨ ¬◗))) ✐s ✐♥❝♦♥s✐st❡♥t

P ◗ (¬(P ∧ ◗) ↔ (¬P ∨ ¬◗)) ¬(¬(P ∧ ◗) ↔ (¬P ∨ ¬◗)) ❚ ❚ ❚ ❋ ❚ ❋ ❚ ❋ ❋ ❚ ❚ ❋ ❋ ❋ ❚ ❋

SLIDE 15

Pr♦♣♦s✐t✐♦♥❛❧ ❛♥❞ ❋✐rst ❖r❞❡r ▲♦❣✐❝ Pr♦♣♦s✐t✐♦♥❛❧ ▲♦❣✐❝ ❋✐rst ❖r❞❡r ▲♦❣✐❝

■♥❝♦♥s✐st❡♥❝② ❛♥❞ ❱❛❧✐❞✐t②

❆ ❢♦r♠✉❧❛ ✐s ✈❛❧✐❞ ✐✛ ✐ts ♥❡❣❛t✐♦♥ ✐s ✐♥❝♦♥s✐st❡♥t ✭❛♥❞ ✈✐❝❡ ✈❡rs❛✮ ❆ ❢♦r♠✉❧❛ ✐s ✐♥✈❛❧✐❞ ✭❝♦♥s✐st❡♥t✮ ✐✛ t❤❡r❡ ✐s ❛t ❧❡❛st ❛♥ ✐♥t❡r♣r❡t❛t✐♦♥ ✐♥ ✇❤✐❝❤ t❤❡ ❢♦r♠✉❧❛ ✐s ❢❛❧s❡ ✭tr✉❡✮ ❆♥ ✐♥❝♦♥s✐st❡♥t ❢♦r♠✉❧❛ ✐s ✐♥✈❛❧✐❞ ❜✉t t❤❡ ♦♣♣♦s✐t❡ ❞♦❡s ♥♦t ❤♦❧❞ ❆ ✈❛❧✐❞ ❢♦r♠✉❧❛ ✐s ❝♦♥s✐st❡♥t ❜✉t t❤❡ ♦♣♣♦s✐t❡ ❞♦❡s ♥♦t ❤♦❧❞ ❊①❛♠♣❧❡ ❚❤❡ ❢♦r♠✉❧❛ ● P ∨ ◗ ✐s ✐♥✈❛❧✐❞ ✭❡✳❣✳✱ ✐t ✐s ❢❛❧s❡ ✇❤❡♥ P ❛♥❞ ◗ ❛r❡ ❢❛❧s❡✮ ❜✉t ✐s ♥♦t ✐♥❝♦♥s✐st❡♥t ❜❡❝❛✉s❡ ✐t ✐s tr✉❡ ✐♥ ❛❧❧ ♦t❤❡r ❝❛s❡s✳ ▼♦r❡♦✈❡r✱ ● ✐s ❝♦♥s✐st❡♥t ✭❡✳❣✳✱ ✐t ✐s tr✉❡ ✇❤❡♥❡✈❡r P ♦r ◗ ❛r❡ ❢❛❧s❡✮ ❜✉t ✐s ♥♦t ✈❛❧✐❞ ❜❡❝❛✉s❡ ✐t ✐s ❢❛❧s❡ ✇❤❡♥ ❜♦t❤ P ❛♥❞ ◗ ❛r❡ ❢❛❧s❡✳

SLIDE 16

Pr♦♣♦s✐t✐♦♥❛❧ ❛♥❞ ❋✐rst ❖r❞❡r ▲♦❣✐❝ Pr♦♣♦s✐t✐♦♥❛❧ ▲♦❣✐❝ ❋✐rst ❖r❞❡r ▲♦❣✐❝

❉❡❝✐❞❛❜✐❧✐t②

Pr♦♣❡rt② Pr♦♣♦s✐t✐♦♥❛❧ ▲♦❣✐❝ ✐s ❞❡❝✐❞❛❜❧❡✿ t❤❡r❡ ✐s ❛ t❡r♠✐♥❛t✐♥❣ ♠❡t❤♦❞ t♦ ❞❡❝✐❞❡ ✇❤❡t❤❡r ❛ ❢♦r♠✉❧❛ ✐s ✈❛❧✐❞✳ ❚♦ ❞❡❝✐❞❡ ✇❤❡t❤❡r ❛ ❢♦r♠✉❧❛ ✐s ✈❛❧✐❞✿

✶ ✇❡ ❝❛♥ ❡♥✉♠❡r❛t❡ ❛❧❧ ♣♦ss✐❜❧❡ ✐♥t❡r♣r❡t❛t✐♦♥s ✷ ❢♦r ❡❛❝❤ ✐♥t❡r♣r❡t❛t✐♦♥ ❡✈❛❧✉❛t❡ t❤❡ ❢♦r♠✉❧❛

◆✉♠❜❡r ♦❢ ✐♥t❡r♣r❡t❛t✐♦♥s ❢♦r ❛ ❢♦r♠✉❧❛ ❛r❡ ✜♥✐t❡ (✷♥) ❉❡❝✐❞❛❜✐❧✐t② ✐s ❛ ✈❡r② str♦♥❣ ❛♥❞ ❞❡s✐r❛❜❧❡ ♣r♦♣❡rt② ❢♦r ❛ ▲♦❣✐❝❛❧ ❙②st❡♠ ❚r❛❞❡ ♦✛ ❜❡t✇❡❡♥ r❡♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥❛❧ ♣♦✇❡r ❛♥❞ ❞❡❝✐❞❛❜✐❧✐t②

SLIDE 17

Pr♦♣♦s✐t✐♦♥❛❧ ❛♥❞ ❋✐rst ❖r❞❡r ▲♦❣✐❝ Pr♦♣♦s✐t✐♦♥❛❧ ▲♦❣✐❝ ❋✐rst ❖r❞❡r ▲♦❣✐❝

▲♦❣✐❝❛❧ ❊q✉✐✈❛❧❡♥❝❡

❉❡✜♥✐t✐♦♥ ▲♦❣✐❝❛❧ ❊q✉✐✈❛❧❡♥❝❡✿ ❚✇♦ ❢♦r♠✉❧❛s ❋ ❛♥❞ ● ❛r❡ ❧♦❣✐❝❛❧❧② ❡q✉✐✈❛❧❡♥t ❋ ≡ ● ✐✛ t❤❡ tr✉t❤ ✈❛❧✉❡s ♦❢ ❋ ❛♥❞ ● ❛r❡ t❤❡ s❛♠❡ ✉♥❞❡r ❡✈❡r② ✐♥t❡r♣r❡t❛t✐♦♥ ♦❢ ❋ ❛♥❞ ●✳ ❯s❡❢✉❧ ❡q✉✐✈❛❧❡♥❝❡ r✉❧❡s

(P ∧ ◗) ≡ (◗ ∧ P) ❝♦♠♠✉t❛t✐✈✐t② ♦❢ ∧ (P ∨ ◗) ≡ (◗ ∨ P) ❝♦♠♠✉t❛t✐✈✐t② ♦❢ ∨ ((P ∧ ◗) ∧ ❘) ≡ (P ∧ (◗ ∧ ❘)) ❛ss♦❝✐❛t✐✈✐t② ♦❢ ∧ ((P ∨ ◗) ∨ ❘) ≡ (P ∨ (◗ ∨ ❘)) ❛ss♦❝✐❛t✐✈✐t② ♦❢ ∨ ¬(¬P) ≡ P ❞♦✉❜❧❡✲♥❡❣❛t✐♦♥ ❡❧✐♠✐♥❛t✐♦♥ (P → ◗) ≡ (¬◗ → ¬P) ❝♦♥tr❛♣♦s✐t✐♦♥ (P → ◗) ≡ (¬P ∨ ◗) ✐♠♣❧✐❝❛t✐♦♥ ❡❧✐♠✐♥❛t✐♦♥ (P ↔ ◗) ≡ ((P → ◗) ∧ (◗ → P)) ❜✐❝♦♥❞✐t✐♦♥❛❧ ❡❧✐♠✐♥❛t✐♦♥ ¬(P ∧ ◗) ≡ (¬P ∨ ¬◗) ❞❡ ▼♦r❣❛♥ ¬(P ∨ ◗) ≡ (¬P ∧ ¬◗) ❞❡ ▼♦r❣❛♥ (P ∧ (◗ ∨ ❘)) ≡ ((P ∧ ◗) ∨ (P ∧ ❘)) ❞✐str✐❜✉t✐✈✐t② ♦❢ ∧ ♦✈❡r ∨ (P ∨ (◗ ∧ ❘)) ≡ ((P ∨ ◗) ∧ (P ∨ ❘)) ❞✐str✐❜✉t✐✈✐t② ♦❢ ∨ ♦✈❡r ∧

SLIDE 18

Pr♦♣♦s✐t✐♦♥❛❧ ❛♥❞ ❋✐rst ❖r❞❡r ▲♦❣✐❝ Pr♦♣♦s✐t✐♦♥❛❧ ▲♦❣✐❝ ❋✐rst ❖r❞❡r ▲♦❣✐❝

◆♦r♠❛❧ ❋♦r♠s

❙t❛♥❞❛r❞ ✇❛②s ♦❢ ✇r✐t✐♥❣ ❢♦r♠✉❧❛s ❚✇♦ ♠❛✐♥ ♥♦r♠❛❧ ❢♦r♠s✿ ❈♦♥❥✉♥❝t✐✈❡ ◆♦r♠❛❧ ❋♦r♠ ✭❈◆❋✮ ❉✐s❥✉♥❝t✐✈❡ ◆♦r♠❛❧ ❋♦r♠ ✭❉◆❋✮ ❉❡✜♥✐t✐♦♥ ▲✐t❡r❛❧✿ ❛ ❧✐t❡r❛❧ ✐s ❛♥ ❛t♦♠ ♦r t❤❡ ♥❡❣❛t✐♦♥ ♦❢ ❛♥ ❛t♦♠ ❉❡✜♥✐t✐♦♥ ◆❡❣❛t✐♦♥ ◆♦r♠❛❧ ❋♦r♠✿ ❆ ❢♦r♠✉❧❛ ✐s ✐♥ ◆❡❣❛t✐♦♥ ◆♦r♠❛❧ ❋♦r♠ ✭◆◆❋✮ ✐✛ ♥❡❣❛t✐♦♥s ❛♣♣❡❛rs ♦♥❧② ✐♥ ❢r♦♥t ♦❢ ❛t♦♠s

SLIDE 19

Pr♦♣♦s✐t✐♦♥❛❧ ❛♥❞ ❋✐rst ❖r❞❡r ▲♦❣✐❝ Pr♦♣♦s✐t✐♦♥❛❧ ▲♦❣✐❝ ❋✐rst ❖r❞❡r ▲♦❣✐❝

❈◆❋

❉❡✜♥✐t✐♦♥ ❈♦♥❥✉♥❝t✐✈❡ ◆♦r♠❛❧ ❋♦r♠✿ ❆ ❢♦r♠✉❧❛ ❋ ✐s ✐♥ ❈♦♥❥✉♥❝t✐✈❡ ◆♦r♠❛❧ ❋♦r♠ ✭❈◆❋✮ ✐✛ ✐t ✐s ✐♥ ◆❡❣❛t✐♦♥ ◆♦r♠❛❧ ❋♦r♠ ❛♥❞ ✐t ❤❛s t❤❡ ❢♦r♠ ❋ ❋✶ ∧ ❋✷ ∧ · · · ∧ ❋♥✱ ✇❤❡r❡ ❡❛❝❤ ❋✐ ✐s ❛ ❞✐s❥✉♥❝t✐♦♥ ♦❢ ❧✐t❡r❛❧s✳ ■❢ ❋ ✐s ✐♥ ❈◆❋ ❊❛❝❤ ❋✐ ✐s ❝❛❧❧❡❞ ❛ ❝❧❛✉s❡ ❈◆❋ ✐s ❛❧s♦ r❡❢❡r❡❞ t♦ ❛s ❈❧❛✉s❛❧ ❋♦r♠ ❊①❛♠♣❧❡ ❚❤❡ ❢♦r♠✉❧❛ ● (¬P ∨ ◗) ∧ (¬P ∨ ❘) ✐s ✐♥ ❈◆❋✳ ❲❡ ❝❛♥ ✇r✐t❡ ● ❛s ❛ s❡t ♦❢ ❝❧❛✉s❡s {❈✶, ❈✷} ✇❤❡r❡ ❈✶ = ¬P ∨ ◗ ❛♥❞ ❈✷ = ¬P ∨ ❘✳ ❚❤❡ ❢♦r♠✉❧❛ ● ¬(P ∨ ◗) ∧ (¬P ∨ ❘) ✐s ♥♦t ✐♥ ❈◆❋ ❜❡❝❛✉s❡ ♥❡❣❛t✐♦♥ ❛♣♣❡❛rs ✐♥ ❢r♦♥t ♦❢ ❛ ❢♦r♠✉❧❛ ❛♥❞ ♥♦t ♦♥❧② ✐♥ ❢r♦♥t ♦❢ ❛t♦♠s✳

SLIDE 20

Pr♦♣♦s✐t✐♦♥❛❧ ❛♥❞ ❋✐rst ❖r❞❡r ▲♦❣✐❝ Pr♦♣♦s✐t✐♦♥❛❧ ▲♦❣✐❝ ❋✐rst ❖r❞❡r ▲♦❣✐❝

❉◆❋

❉❡✜♥✐t✐♦♥ ❉✐s❥✉♥❝t✐✈❡ ◆♦r♠❛❧ ❋♦r♠✿ ❆ ❢♦r♠✉❧❛ ❋ ✐s ✐♥ ❉✐s❥✉♥❝t✐✈❡ ◆♦r♠❛❧ ❋♦r♠ ✭❉◆❋✮ ✐✛ ✐t ✐s ✐♥ ◆❡❣❛t✐♦♥ ◆♦r♠❛❧ ❋♦r♠ ❛♥❞ ✐t ❤❛s t❤❡ ❢♦r♠ ❋ ❋✶ ∨ ❋✷ ∨ · · · ∨ ❋♥✱ ✇❤❡r❡ ❡❛❝❤ ❋✐ ✐s ❛ ❝♦♥❥✉♥❝t✐♦♥ ♦❢ ❧✐t❡r❛❧s✳ ❊①❛♠♣❧❡ ❚❤❡ ❢♦r♠✉❧❛ ● (¬P ∧ ❘) ∨ (◗ ∧ ¬P) ∨ (◗ ∧ P) ✐s ✐♥ ❉◆❋✳ ❆♥② ❢♦r♠✉❧❛ ❝❛♥ ❜❡ tr❛♥s❢♦r♠❡❞ ✐♥t♦ ❛ ♥♦r♠❛❧ ❢♦r♠ ❜② ✉s✐♥❣ t❤❡ ❡q✉✐✈❛❧❡♥❝❡ r✉❧❡s ❣✐✈❡♥ ❛❜♦✈❡✳

SLIDE 21

Pr♦♣♦s✐t✐♦♥❛❧ ❛♥❞ ❋✐rst ❖r❞❡r ▲♦❣✐❝ Pr♦♣♦s✐t✐♦♥❛❧ ▲♦❣✐❝ ❋✐rst ❖r❞❡r ▲♦❣✐❝

❚r❛♥s❢♦r♠✐♥❣ ❋♦r♠✉❧❛s

❊①❛♠♣❧❡ ✭❋♦r♠✉❧❛ tr❛♥s❢♦r♠❛t✐♦♥s✮ Pr♦✈❡ t❤❛t t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ❧♦❣✐❝❛❧ ❡q✉✐✈❛❧❡♥❝❡s ❤♦❧❞ ❜② tr❛♥s❢♦r♠✐♥❣ ❢♦r♠✉❧❛s✿ P∨◗∧¬(P∧◗) ↔ (P∨◗)∧(¬P∨¬◗) ↔ (¬P∧◗)∨(P∧¬◗) ❙♦❧✳

✐✈❡♥ P

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SLIDE 22

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SLIDE 23

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SLIDE 24

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SLIDE 25

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SLIDE 26

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▲♦❣✐❝❛❧ ❝♦♥s❡q✉❡♥❝❡s ❛r❡ ✉s✉❛❧❧② r❡❢❡rr❡❞ t♦ ❛s t❤❡♦r❡♠s✱ ❛♥❞ ● ✐s t❤❡ ❝♦♥❝❧✉s✐♦♥ ♦❢ t❤❡ t❤❡♦r❡♠✳

SLIDE 27

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SLIDE 28

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❯s✐♥❣ ❞❡❞✉❝t✐♦♥ t❤❡♦r❡♠ ❲❡ ❦♥♦✇ ❢r♦♠ t❤❡ ❞❡❞✉❝t✐♦♥ t❤❡♦r❡♠ t❤❛t (P → ◗) ∧ P | = ◗ ✐✛ | = ((P → ◗) ∧ P) → ◗✳ ❚❤❡r❡❢♦r❡ ✇❡ ♥❡❡❞ t♦ s❤♦✇ t❤❛t ((P → ◗)∧P) → ◗ ✐s ✈❛❧✐❞✱ ✇❡ ❝❛♥ ❞♦ t❤❛t ❜② ✇r✐t✐♥❣ t❤❡ tr✉t❤ t❛❜❧❡ ♦❢ t❤❡ ❢♦r♠✉❧❛ ❛♥❞ ✈❡r✐❢②✐♥❣ t❤❛t t❤❡ ❢♦r♠✉❧❛ ✐s ❡✈❛❧✉❛t❡❞ tr✉❡ ❢♦r ❛❧❧ ✐ts ♣♦ss✐❜❧❡ ✐♥t❡r♣r❡t❛t✐♦♥✳ ❯s✐♥❣ ❘❡❢✉t❛t✐♦♥ ❲❡ ❦♥♦✇ t❤❛t (P → ◗) ∧ P | = ◗ ✐✛ (P → ◗) ∧ P ∧ ¬◗ ✐s ✐♥❝♦♥s✐st❡♥t✳ ❚❤❡r❡❢♦r❡ ✇❡ ♥❡❡❞ t♦ s❤♦✇ t❤❛t (P → ◗)∧P ∧¬◗ ✐s ✐♥❝♦♥s✐st❡♥t✱ ✇❡ ❝❛♥ ❞♦ t❤❛t ❜② ✇r✐t✐♥❣ t❤❡ tr✉t❤ t❛❜❧❡ ♦❢ t❤❡ ❢♦r♠✉❧❛ ❛♥❞ ✈❡r✐❢②✐♥❣ t❤❛t t❤❡ ❢♦r♠✉❧❛ ✐s ❡✈❛❧✉❛t❡❞ ❢❛❧s❡ ❢♦r ❛❧❧ ✐ts ♣♦ss✐❜❧❡ ✐♥t❡r♣r❡t❛t✐♦♥✳

SLIDE 29

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❊①❡r❝✐s❡ ❈♦♥s✐❞❡r t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ❢♦r♠✉❧❛s✿ ❋✶ (P → ◗)✱ ❋✷ ¬◗✱

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SLIDE 30

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SLIDE 31

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SLIDE 32

Pr♦♣♦s✐t✐♦♥❛❧ ❛♥❞ ❋✐rst ❖r❞❡r ▲♦❣✐❝ Pr♦♣♦s✐t✐♦♥❛❧ ▲♦❣✐❝ ❋✐rst ❖r❞❡r ▲♦❣✐❝

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SLIDE 33

Pr♦♣♦s✐t✐♦♥❛❧ ❛♥❞ ❋✐rst ❖r❞❡r ▲♦❣✐❝ Pr♦♣♦s✐t✐♦♥❛❧ ▲♦❣✐❝ ❋✐rst ❖r❞❡r ▲♦❣✐❝

❊①❛♠♣❧❡s ♦❢ ❡①♣r❡ss✐♦♥s ✐♥ ❋❖▲

❊①❛♠♣❧❡ ❊✈❡r② ♠❛♥ ✐s ♠♦rt❛❧ ∀①(♠❛♥(①) → ♠♦rt❛❧(①)) ❙♦❝r❛t❡ ✐s ❛ ♠❛♥ ♠❛♥(❙♦❝r❛t❡) ❙♦❝r❛t❡ ✐s ♠♦rt❛❧ ♠♦rt❛❧(❙♦❝r❛t❡)

SLIDE 34

Pr♦♣♦s✐t✐♦♥❛❧ ❛♥❞ ❋✐rst ❖r❞❡r ▲♦❣✐❝ Pr♦♣♦s✐t✐♦♥❛❧ ▲♦❣✐❝ ❋✐rst ❖r❞❡r ▲♦❣✐❝

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SLIDE 35

Pr♦♣♦s✐t✐♦♥❛❧ ❛♥❞ ❋✐rst ❖r❞❡r ▲♦❣✐❝ Pr♦♣♦s✐t✐♦♥❛❧ ▲♦❣✐❝ ❋✐rst ❖r❞❡r ▲♦❣✐❝

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SLIDE 36

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❚❤❡ ▲❛♥❣✉❛❣❡✿ P❛r❛♠❡t❡rs

P❛r❛♠❡t❡rs ❆ ❞❡♥✉♠❡r❛❜❧❡ s❡t ♦❢ ♣r❡❞✐❝❛t❡ s②♠❜♦❧s✱ ❡❛❝❤ ❛ss♦❝✐❛t❡❞ ✇✐t❤ ❛ ♣♦s✐t✐✈❡ ✐♥t❡❣❡r ♥✱ ❛r✐t②✳ ❆ ♣r❡❞✐❝❛t❡ ✇✐t❤ ❛r✐t② ♥ ✐s ❝❛❧❧❡❞ ♥✲❛r②❀ ❆ ❞❡♥✉♠❡r❛❜❧❡ s❡t ♦❢ ❢✉♥❝t✐♦♥ s②♠❜♦❧s✱ ❡❛❝❤ ❛ss♦❝✐❛t❡❞ ✇✐t❤ ❛ ♣♦s✐t✐✈❡ ✐♥t❡❣❡r ♥✱ ❛r✐t②✳ ❆ ❢✉♥❝t✐♦♥ ✇✐t❤ ❛r✐t② ♥ ✐s ❝❛❧❧❡❞ ♥✲❛r②❀ ❆ ❞❡♥✉♠❡r❛❜❧❡ s❡t ♦❢ ❝♦♥st❛♥t s②♠❜♦❧s✳ ◆♦t❡ ❚❤❡ ♣❛r❛♠❡t❡rs ❝❤❛r❛❝t❡r✐s❡ ❞✐✛❡r❡♥t ✜rst ♦r❞❡r ❧❛♥❣✉❛❣❡s✱ ✇❤✐❧❡ ❧♦❣✐❝❛❧ s②♠❜♦❧s ❛r❡ ❛❧✇❛②s t❤❡ s❛♠❡✳ ❚❤❡r❡❢♦r❡ ♣❛r❛♠❡t❡rs ❛r❡ ♦❢t❡♥ ❝❛❧❧❡❞ t❤❡ ❙✐❣♥❛t✉r❡ ♦❢ ❛ ❋✐rst ❖r❞❡r ▲❛♥❣✉❛❣❡✳

SLIDE 37

Pr♦♣♦s✐t✐♦♥❛❧ ❛♥❞ ❋✐rst ❖r❞❡r ▲♦❣✐❝ Pr♦♣♦s✐t✐♦♥❛❧ ▲♦❣✐❝ ❋✐rst ❖r❞❡r ▲♦❣✐❝

❊①❛♠♣❧❡ ■

❚❤❡ ❧❛♥❣✉❛❣❡ ♦❢ ♣✉r❡ ♣r❡❞✐❝❛t❡s ♥✲❛r② ♣r❡❞✐❝❛t❡ s②♠❜♦❧s✿ P♥

✶ , P♥ ✷ , · · · ❀

❝♦♥st❛♥t s②♠❜♦❧s✿ ❝✶, ❝✷, · · · ❀ ♥♦ ❢✉♥❝t✐♦♥ s②♠❜♦❧s✱ ♥♦ ❡q✉❛❧✐t②✳ ❊①❛♠♣❧❡ ❚❤❡ ❇♦♦❦ ✐s ♦♥ t❤❡ t❛❜❧❡✿ ❖♥❚❛❜❧❡✭❇♦♦❦✮ ❖♥✭❚❛❜❧❡✱❇♦♦❦✮

SLIDE 38

Pr♦♣♦s✐t✐♦♥❛❧ ❛♥❞ ❋✐rst ❖r❞❡r ▲♦❣✐❝ Pr♦♣♦s✐t✐♦♥❛❧ ▲♦❣✐❝ ❋✐rst ❖r❞❡r ▲♦❣✐❝

❊①❛♠♣❧❡ ■■

❚❤❡ ❧❛♥❣✉❛❣❡ ♦❢ s❡t t❤❡♦r② ❊q✉❛❧✐t②❀ ♣r❡❞✐❝❛t❡ s②♠❜♦❧s✿ ♦♥❧② t❤❡ ❜✐♥❛r② ♣r❡❞✐❝❛t❡ ∈❀ ❝♦♥st❛♥t s②♠❜♦❧s✿ { }❀ ♥♦ ❢✉♥❝t✐♦♥ s②♠❜♦❧s✳ ❊①❛♠♣❧❡ ❚❤❡r❡ ❡①✐sts ♥♦ s❡t s✉❝❤ t❤❛t ❛❧❧ ♦t❤❡r s❡ts ❛r❡ ✐ts ❡❧❡♠❡♥t ¬∃①∀②(② ∈ ①)

SLIDE 39

Pr♦♣♦s✐t✐♦♥❛❧ ❛♥❞ ❋✐rst ❖r❞❡r ▲♦❣✐❝ Pr♦♣♦s✐t✐♦♥❛❧ ▲♦❣✐❝ ❋✐rst ❖r❞❡r ▲♦❣✐❝

❊①❛♠♣❧❡ ■■■

❚❤❡ ❧❛♥❣✉❛❣❡ ♦❢ ❡❧❡♠❡♥t❛r② ♥✉♠❜❡r t❤❡♦r② ❊q✉❛❧✐t②❀ ♣r❡❞✐❝❛t❡ s②♠❜♦❧s✿ ♦♥❧② t❤❡ ❜✐♥❛r② ♣r❡❞✐❝❛t❡ <❀ ❝♦♥st❛♥t s②♠❜♦❧s✿ ✵❀ ❢✉♥❝t✐♦♥ s②♠❜♦❧s✿ ❛ ✉♥❛r② ❢✉♥❝t✐♦♥ s②♠❜♦❧ s✱ s✉❝❝❡ss♦r ❢✉♥❝t✐♦♥✱ ❛♥❞ t❤❡ ❜✐♥❛r② ❢✉♥❝t✐♦♥ s②♠❜♦❧s + ❛♥❞ ×✱ ❛❞❞✐t✐♦♥ ❛♥❞ ♠✉❧t✐♣❧✐❝❛t✐♦♥ ❊①❛♠♣❧❡ ❚❤❡r❡ ❡①✐sts ♥♦ ♥✉♠❜❡r ❣r❡❛t❡r t❤❛♥ ❛❧❧ ♦t❤❡rs ¬∃①∀②(② < ①)

SLIDE 40

Pr♦♣♦s✐t✐♦♥❛❧ ❛♥❞ ❋✐rst ❖r❞❡r ▲♦❣✐❝ Pr♦♣♦s✐t✐♦♥❛❧ ▲♦❣✐❝ ❋✐rst ❖r❞❡r ▲♦❣✐❝

❉❡✜♥✐t✐♦♥ ♦❢ ❋❖▲ ❋♦r♠✉❧❛s

❋❖▲ ❢♦r♠✉❧❛s ■♥❞✉❝t✐✈❡ ❞❡✜♥✐t✐♦♥ ♦❢ ❜❛s✐❝ ❝♦♠♣♦♥❡♥ts

✶ ❚❡r♠s ✷ ❆t♦♠✐❝ ❋♦r♠✉❧❛s

SLIDE 41

Pr♦♣♦s✐t✐♦♥❛❧ ❛♥❞ ❋✐rst ❖r❞❡r ▲♦❣✐❝ Pr♦♣♦s✐t✐♦♥❛❧ ▲♦❣✐❝ ❋✐rst ❖r❞❡r ▲♦❣✐❝

❚❡r♠s

❋❖▲ t❡r♠s ❚❤❡ s❡t ❚❡r♠ ♦❢ t❤❡ t❡r♠s ♦❢ L ✐s ✐♥❞✉❝t✐✈❡❧② ❞❡✜♥❡❞ ❛s ❢♦❧❧♦✇s✿

✶ ❊✈❡r② ❝♦♥st❛♥t ✐s ❛ t❡r♠❀ ✷ ❊✈❡r② ✈❛r✐❛❜❧❡ s②♠❜♦❧ ✐s ❛ t❡r♠ ✸ ■❢ t✶ . . . t♥ ❛r❡ t❡r♠s ❛♥❞ ❢ ✐s ❛ ♥✲❛r② ❢✉♥❝t✐♦♥ s②♠❜♦❧✱

❢ (t✶, . . . , t♥) ✐s ❛ t❡r♠ ✭❢✉♥❝t✐♦♥❛❧ t❡r♠✮✳

✹ ❆❧❧ t❡r♠s ❛r❡ ❣❡♥❡r❛t❡❞ ❜② ❛♣♣❧②✐♥❣ t❤❡ ❛❜♦✈❡ r✉❧❡s

❊①❛♠♣❧❡ ✭❚❡r♠s ❢♦r ❋❖▲✮ ❝✱ ①✱ ❢ (①, ②)✱ ❢ (❣(❝), ②)✱ ♣❧✉s(♣❧✉s(①, ✶), ✸)✱ ✳ ✳ ✳

SLIDE 42

Pr♦♣♦s✐t✐♦♥❛❧ ❛♥❞ ❋✐rst ❖r❞❡r ▲♦❣✐❝ Pr♦♣♦s✐t✐♦♥❛❧ ▲♦❣✐❝ ❋✐rst ❖r❞❡r ▲♦❣✐❝

❆t♦♠✐❝ ❋♦r♠✉❧❛s

❆t♦♠s ❚❤❡ s❡t ❆t♦♠ ♦❢ t❤❡ ❛t♦♠✐❝ ❢♦r♠✉❧❛❡ ✐s ✐♥❞✉❝t✐✈❡❧② ❞❡✜♥❡❞ ❛s ❢♦❧❧♦✇s✿

✶ ⊥ ❛♥❞ ⊤ ❛r❡ ❛t♦♠s❀ ✷ ■❢ t✶ ❛♥❞ t✷ ❛r❡ t❡r♠s t❤❡♥ t✶ = t✷ ✐s ❛♥ ❛t♦♠❀ ✸ ■❢ t✶, · · · , t♥ ❛r❡ t❡r♠s ❛♥❞ P ✐s ❛ ♥✲❛r② ♣r❡❞✐❝❛t❡ s②♠❜♦❧

P(t✶, · · · , t♥) ✐s ❛♥ ❛t♦♠❀

✹ ❆❧❧ ❛t♦♠✐❝ ❢♦r♠✉❧❛s ❛r❡ ❞❡✜♥❡❞ ❜② ❛♣♣❧②✐♥❣ t❤❡ ❛❜♦✈❡ r✉❧❡s

❊①❛♠♣❧❡ ✭❆t♦♠s ✐♥ ❋❖▲✮ P(①)✱ ◗(①, ❝)✱ ❘(①, ❢ (①, ② + ❝))✱ · · ·

SLIDE 43

Pr♦♣♦s✐t✐♦♥❛❧ ❛♥❞ ❋✐rst ❖r❞❡r ▲♦❣✐❝ Pr♦♣♦s✐t✐♦♥❛❧ ▲♦❣✐❝ ❋✐rst ❖r❞❡r ▲♦❣✐❝

❙❝♦♣❡ ♦❢ ◗✉❛♥t✐✜❡rs

❉❡✜♥✐t✐♦♥ ✭❙❝♦♣❡ ♦❢ q✉❛♥t✐✜❡rs✮ ❚❤❡ s❝♦♣❡ ♦❢ ❛ q✉❛♥t✐✜❡r ♦❝❝✉rr✐♥❣ ✐♥ ❛ ❢♦r♠✉❧❛ ✐s t❤❡ ❢♦r♠✉❧❛ t♦ ✇❤✐❝❤ t❤❡ q✉❛♥t✐✜❡r ❛♣♣❧✐❡s ❊①❛♠♣❧❡ ✭❙❝♦♣❡ ♦❢ q✉❛♥t✐✜❡rs✮ ∀①(◗(①) → ❘(①)) t❤❡ s❝♦♣❡ ♦❢ ∀ ✐s (◗(①) → ❘(①)) ∀①(◗(①) → ∃② ❘(②)) t❤❡ s❝♦♣❡ ♦❢ ∀ ✐s (◗(①) → ∃② ❘(②)) ❛♥❞ t❤❡ s❝♦♣❡ ♦❢ ∃ ✐s ❘(②)

SLIDE 44

Pr♦♣♦s✐t✐♦♥❛❧ ❛♥❞ ❋✐rst ❖r❞❡r ▲♦❣✐❝ Pr♦♣♦s✐t✐♦♥❛❧ ▲♦❣✐❝ ❋✐rst ❖r❞❡r ▲♦❣✐❝

❋r❡❡ ❛♥❞ ❜♦✉♥❞❡❞ ✈❛r✐❛❜❧❡s

❉❡✜♥✐t✐♦♥ ✭❋r❡❡ ♦❝❝✉r❡♥❝❡ ♦❢ ❛ ✈❛r✐❛❜❧❡✮ ❆♥ ♦❝❝✉rr❡♥❝❡ ♦❢ ❛ ✈❛r✐❛❜❧❡ ✐♥ ❛ ❢♦r♠✉❧❛ ✐s ❢r❡❡ ✐❢ t❤❡ ✈❛r✐❛❜❧❡ ✐s ♥♦t ✐♥ t❤❡ s❝♦♣❡ ♦❢ ❛♥② q✉❛♥t✐✜❡r✳ ❆♥ ♦❝❝✉r❡♥❝❡ ♦❢ ❛ ✈❛r✐❛❜❧❡ ✇❤✐❝❤ ✐s ♥♦t ❢r❡❡ ✐s ❜♦✉♥❞ ❉❡✜♥✐t✐♦♥ ✭❋r❡❡ ✈❛r✐❛❜❧❡✮ ❆ ✈❛r✐❛❜❧❡ ✐♥ ❛ ❢♦r♠✉❧❛ ✐s ❢r❡❡ ✐❢ ❛t ❧❡❛st ♦♥❡ ♦❝❝✉rr❡♥❝❡ ♦❢ t❤❡ ✈❛r✐❛❜❧❡ ✐s ❢r❡❡✳ ❆ ✈❛r✐❛❜❧❡ ✐s ❜♦✉♥❞ ✐❢ ❛t ❧❡❛st ♦♥❡ ♦❝❝✉rr❡♥❝❡ ✐s ❜♦✉♥❞✳

SLIDE 45

Pr♦♣♦s✐t✐♦♥❛❧ ❛♥❞ ❋✐rst ❖r❞❡r ▲♦❣✐❝ Pr♦♣♦s✐t✐♦♥❛❧ ▲♦❣✐❝ ❋✐rst ❖r❞❡r ▲♦❣✐❝

❊①❛♠♣❧❡s ♦❢ ❢r❡❡ ❛♥❞ ❜♦✉♥❞ ✈❛r✐❛❜❧❡s

❊①❛♠♣❧❡ ✭❋r❡❡ ♦❝❝✉r❡♥❝❡s ❛♥❞ ❢r❡❡ ✈❛r✐❛❜❧❡s✮ ∀①(◗(①, ②) → ❘(①, ②)) t❤❡ ♦❝❝✉r❡♥❝❡ ♦❢ ② ✐s ❢r❡❡ ✇❤✐❧❡ t❤❡ ♦❝❝✉r❡♥❝❡ ♦❢ ① ✐s ❜♦✉♥❞✱ t❤❡r❡❢♦r❡ ② ✐s ❢r❡❡ ✇❤✐❧❡ ① ✐s ❜♦✉♥❞ ∀①(◗(①, ②) → ∃② ❘(①, ②)) t❤❡ ♦❝❝✉rr❡♥❝❡ ♦❢ ② ✐♥ ◗ ✐s ❢r❡❡ ✇❤✐❧❡ t❤❡ ♦❝❝✉r❡♥❝❡ ♦❢ ② ✐♥ ❘ ✐s ❜♦✉♥❞✱ t❤❡ ♦❝❝✉rr❡♥❝❡s ♦❢ ① ✐♥ ❜♦t❤ ❢♦r♠✉❧❛s ❛r❡ ❜♦✉♥❞✳ ❚❤❡r❡❢♦r❡✱ t❤❡ ✈❛r✐❛❜❧❡ ① ✐s ❜♦✉♥❞ ✇❤✐❧❡ t❤❡ ✈❛r✐❛❜❧❡ ② ✐s ❜♦t❤ ❢r❡❡ ❛♥❞ ❜♦✉♥❞

SLIDE 46

Pr♦♣♦s✐t✐♦♥❛❧ ❛♥❞ ❋✐rst ❖r❞❡r ▲♦❣✐❝ Pr♦♣♦s✐t✐♦♥❛❧ ▲♦❣✐❝ ❋✐rst ❖r❞❡r ▲♦❣✐❝

❋✐rst ❖r❞❡r ❋♦r♠✉❧❛s

❲❡❧❧✲❋♦r♠❡❞ ❋♦r♠✉❧❛s ❚❤❡ s❡t ♦❢ ❢♦r♠✉❧❛❡ ♦❢ L ✐s ✐♥❞✉❝t✐✈❡❧② ❞❡✜♥❡❞ ❛s ❢♦❧❧♦✇s✿ ❊✈❡r② ❛t♦♠ ✐s ❛ ❢♦r♠✉❧❛❀ ■❢ ❆ ✐s ❛ ❢♦r♠✉❧❛ ¬❆ ✐s ❛ ❢♦r♠✉❧❛❀ ■❢ ◦ ✐s ❛ ❜✐♥❛r② ♦♣❡r❛t♦r✱ ❆ ❛♥❞ ❇ ❛r❡ ❢♦r♠✉❧❛s✱ t❤❡♥ ❆ ◦ ❇ ✐s ❛ ❢♦r♠✉❧❛❀ ■❢ ❆ ✐s ❛ ❢♦r♠✉❧❛✱ ① ✐s ❛ ❢r❡❡ ✈❛r✐❛❜❧❡ ✐♥ ❆ t❤❡♥ ∀①❆ ❛♥❞ ∃①❆ ❛r❡ ❢♦r♠✉❧❛s ❆❧❧ ❢♦r♠✉❧❛s ❛r❡ ❣❡♥❡r❛t❡❞ ❜② ❛ ✜♥✐t❡ ♥✉♠❜❡r ♦❢ ❛♣♣❧✐❝❛t✐♦♥s ♦❢ t❤❡ ❛❜♦✈❡ r✉❧❡s✳ ❊①❛♠♣❧❡ ✭❋❖▲ ❋♦r♠✉❧❛s✮ P(①), ∃①◗(①, ❝), ∀①❘(①, ❢ (①, ② + ❝))✱ · · ·

SLIDE 47

Pr♦♣♦s✐t✐♦♥❛❧ ❛♥❞ ❋✐rst ❖r❞❡r ▲♦❣✐❝ Pr♦♣♦s✐t✐♦♥❛❧ ▲♦❣✐❝ ❋✐rst ❖r❞❡r ▲♦❣✐❝

❖♣❡r❛t♦r Pr❡❝❡❞❡♥❝❡

❖♣❡r❛t♦r Pr❡❝❡❞❡♥❝❡ Pr❡❝❡❞❡♥❝❡ ❛♠♦♥❣ ❧♦❣✐❝❛❧ ♦♣❡r❛t♦rs ✐s ❞❡✜♥❡❞ ❛s ❢♦❧❧♦✇s✿ ∀, ∃, ¬, ∧, ∨, →, ↔ ❝♦♥✈❡♥t✐♦♥✿ ❛❧❧ ♦♣❡r❛t♦rs ❛r❡ r✐❣❤t ❛ss♦❝✐❛t✐✈❡ ✭❛s ✐♥ ♣r♦♣♦s✐t✐♦♥❛❧ ❧♦❣✐❝✮✳

❊①❛♠♣❧❡ ∀①P(①) → ∃②∃③◗(②, ③) ∧ ¬∃①❘(①) (∀①P(①)) → ∃②(∃③(◗(②, ③) ∧ ¬(∃①(❘(①))).

◆♦t❡ ❚❤❡ ✐♥♥❡r ♦❝❝✉rr❡♥❝❡ ♦❢ ① ✐s ❜♦✉♥❞ t♦ t❤❡ ✐♥♥❡r♠♦st ❡①✐st❡♥t✐❛❧ q✉❛♥t✐✜❡r

SLIDE 48

Pr♦♣♦s✐t✐♦♥❛❧ ❛♥❞ ❋✐rst ❖r❞❡r ▲♦❣✐❝ Pr♦♣♦s✐t✐♦♥❛❧ ▲♦❣✐❝ ❋✐rst ❖r❞❡r ▲♦❣✐❝

r♦✉♥❞ ❛♥❞ ❈❧♦s❡❞ ❋♦r♠✉❧❛s

❉❡✜♥✐t✐♦♥ ✭●r♦✉♥❞ ❋♦r♠✉❧❛✮ ❆ ❢♦r♠✉❧❛ ❋ ✐s ❣r♦✉♥❞ ✐❢ ✐t ❞♦❡s ♥♦t ❝♦♥t❛✐♥ ✈❛r✐❛❜❧❡s ❉❡✜♥✐t✐♦♥ ✭❈❧♦s❡❞ ❋♦r♠✉❧❛✮ ❆ ❢♦r♠✉❧❛ ❋ ✐s ❝❧♦s❡❞ ✐❢ ✐t ❞♦❡s ♥♦t ❝♦♥t❛✐♥ ❢r❡❡ ✈❛r✐❛❜❧❡s ❊①❛♠♣❧❡ ✭●r♦✉♥❞ ❛♥❞ ❈❧♦s❡❞ ❋♦r♠✉❧❛s✮ ❇♦r✐♥❣(●r❛♥❞❡❋r❛t❡❧❧♦) ✭❣r♦✉♥❞✮ ∀①(❘❡❛❧✐t②(①) → ❇♦r✐♥❣(①)) ✭❝❧♦s❡❞✱ ♥♦t ❣r♦✉♥❞✮ ∀①(❘❡❛❧✐t②(①) → ❇❡tt❡rPr♦❣r❛♠(②, ①)) ✭♥♦t ❝❧♦s❡❞✱ ♥♦t ❣r♦✉♥❞✮

SLIDE 49

Pr♦♣♦s✐t✐♦♥❛❧ ❛♥❞ ❋✐rst ❖r❞❡r ▲♦❣✐❝ Pr♦♣♦s✐t✐♦♥❛❧ ▲♦❣✐❝ ❋✐rst ❖r❞❡r ▲♦❣✐❝

❊①❛♠♣❧❡ ♦❢ ❋❖▲ ❢♦r♠❛❧✐s❛t✐♦♥

❊①❛♠♣❧❡ ✭❇❛s✐❝ ❛①✐♦♠s ♦❢ ♥❛t✉r❛❧ ❧❛♥❣✉❛❣❡✮ ❆✶✿ ❢♦r ❡✈❡r② ♥✉♠❜❡r t❤❡r❡ ✐s ♦♥❡ ❛♥❞ ♦♥❧② ♦♥❡ ✐♠♠❡❞✐❛t❡ s✉❝❝❡ss♦r ❆✷✿ t❤❡r❡ ✐s ♥♦ ♥✉♠❜❡r ❢♦r ✇❤✐❝❤ ✵ ✐s t❤❡ ✐♠♠❡❞✐❛t❡ s✉❝❝❡ss♦r ❆✸✿ ❢♦r ❡✈❡r② ♥✉♠❜❡r ♦t❤❡r t❤❛♥ ✵ t❤❡r❡ ✐s ♦♥❡ ❛♥❞ ♦♥❧② ♦♥❡ ✐♠♠❡❞✐❛t❡ ♣r❡❞❡❝❡ss♦r ❆ss✉♠❡✿ s(①) ✐s ❢✉♥❝t✐♦♥ ❢♦r ✐♠♠❡❞✐❛t❡ s✉❝❝❡ss♦r ♣(①) ✐s ❢✉♥❝t✐♦♥ ❢♦r ✐♠♠❡❞✐❛t❡ ♣r❡❞❡❝❡ss♦r ❊(①, ②) ✐s tr✉❡ ✐✛ ① ✐s ❡q✉❛❧ t♦ ②

SLIDE 50

Pr♦♣♦s✐t✐♦♥❛❧ ❛♥❞ ❋✐rst ❖r❞❡r ▲♦❣✐❝ Pr♦♣♦s✐t✐♦♥❛❧ ▲♦❣✐❝ ❋✐rst ❖r❞❡r ▲♦❣✐❝

❊①❛♠♣❧❡ ❝♦♥t❞✳

❆✶ ∀①∃②(❊(s(①), ②) ∧ (∀③)(❊(s(①), ③) → ❊(③, ②))) ❆✷ ¬((∃①)❊(s(①), ✵)) ❆✸ ∀①(¬❊(①, ✵) → ∃②(❊(♣(①), ②) ∧ (∀③)(❊(♣(①), ③) → ❊(③, ②)))

SLIDE 51

Pr♦♣♦s✐t✐♦♥❛❧ ❛♥❞ ❋✐rst ❖r❞❡r ▲♦❣✐❝ Pr♦♣♦s✐t✐♦♥❛❧ ▲♦❣✐❝ ❋✐rst ❖r❞❡r ▲♦❣✐❝

■♥t❡r♣r❡t❛t✐♦♥s ✐♥ ❋❖▲

■♥ Pr♦♣✳ ▲♦❣✐❝ ❛♥ ■♥t❡r♣r❡t❛t✐♦♥ ❢♦r ❛ ❢♦r♠✉❧❛ ● ✐s ❛♥ ❛ss✐❣♥♠❡♥t ♦❢ tr✉t❤ ✈❛❧✉❡s t♦ ❡❛❝❤ ❛t♦♠s ♦❝❝✉r✐♥❣ ✐♥ t❤❡ ❢♦r♠✉❧❛ ■♥ ❋❖▲ ✇❡ ❤❛✈❡ t♦ ❞♦ ♠♦r❡ t❤❛♥ t❤❛t✿

✶ ❙♣❡❝✐❢② ❛ ❞♦♠❛✐♥ ♦❢ ✐♥t❡r❡st ✭❡✳❣✳✱ r❡❛❧ ♥✉♠❜❡rs✮ ✷ ❆♥ ❛ss✐❣♥♠❡♥t t♦ ❝♦♥st❛♥ts✱ ❢✉♥❝t✐♦♥ s②♠❜♦❧s ❛♥❞

♣r❡❞✐❝❛t❡ s②♠❜♦❧s

❊①❛♠♣❧❡ ✭■♥t❡r♣r❡t❛t✐♦♥✮ ❈♦♥s✐❞❡r t❤❡ s❡t ♦❢ ❢♦r♠✉❧❛s✿ {∀①P(①), ∃①◗(①)}❀ ❆♥ ✐♥t❡r♣r❡t❛t✐♦♥ ✇✐❧❧ ♥❡❡❞ t♦ s♣❡❝✐❢② ❛ ❞♦♠❛✐♥✱ ❡✳❣✳ ❉ = {✶, ✷} ❛♥❞ ❛♥ ❛ss✐❣♥♠❡♥t ❢♦r ❛❧❧ ♣r❡❞✐❝❛t❡ s②♠❜♦❧ ❢r♦♠ ❉ t♦ t❤❡ s❡t {❚, ❋}✱ ❢♦r ❡①❛♠♣❧❡ {P(✶) = ❚, P(✷) = ❋} ❛♥❞ {◗(✶) = ❋, ◗(✷) = ❚}✳

SLIDE 52

Pr♦♣♦s✐t✐♦♥❛❧ ❛♥❞ ❋✐rst ❖r❞❡r ▲♦❣✐❝ Pr♦♣♦s✐t✐♦♥❛❧ ▲♦❣✐❝ ❋✐rst ❖r❞❡r ▲♦❣✐❝

■♥t❡r♣r❡t❛t✐♦♥✿ ❋♦r♠❛❧ ❉❡✜♥✐t✐♦♥

❉❡✜♥✐t✐♦♥ ♦❢ ■♥t❡r♣r❡t❛t✐♦♥ ❆♥ ■♥t❡r♣r❡t❛t✐♦♥ ❢♦r t❤❡ ❧❛♥❣✉❛❣❡ L ✐s ❛ ♣❛✐r ■ = ❉, ❆ ✇❤❡r❡✿ ❉ ✐s ❛ ♥♦♥ ❡♠♣t② s❡t ❝❛❧❧❡❞ ❞♦♠❛✐♥ ♦❢ ■❀ ❆ ✐s ❛ ❢✉♥❝t✐♦♥ t❤❛t ♠❛♣s✿

❡✈❡r② ❝♦♥st❛♥t s②♠❜♦❧ ❝ ✐♥t♦ ❛♥ ❡❧❡♠❡♥t ❝❆ ∈ ❉❀ ❡✈❡r② ♥✲❛r② ❢✉♥❝t✐♦♥ s②♠❜♦❧ ❢ ✐♥t♦ ❛ ❢✉♥❝t✐♦♥ ❢ ❆ : ❉♥ → ❉❀ ❡✈❡r② ♥✲❛r② ♣r❡❞✐❝❛t❡ s②♠❜♦❧ P ✐♥t♦ ❛ ♥✲❛r② r❡❧❛t✐♦♥ P❆ : ❉♥ → {⊤, ⊥}✳

SLIDE 53

Pr♦♣♦s✐t✐♦♥❛❧ ❛♥❞ ❋✐rst ❖r❞❡r ▲♦❣✐❝ Pr♦♣♦s✐t✐♦♥❛❧ ▲♦❣✐❝ ❋✐rst ❖r❞❡r ▲♦❣✐❝

■♥t❡r♣r❡t❛t✐♦♥✿ ❊①❛♠♣❧❡

❊①❛♠♣❧❡ ✭■♥t❡r♣r❡t❛t✐♦♥✮ ∀①∃②P(①, ②) ❉✱ t❤❡ s❡t ♦❢ ❤✉♠❛♥ ❜❡✐♥❣s P❆(❛, ❜) = tr✉❡ ✐✛ ❜ ✐s ❢❛t❤❡r ♦❢ ❛ ❆❧❧ ❤✉♠❛♥ ❜❡✐♥❣s ❤❛✈❡ ❛ ❢❛t❤❡r ❉✱ t❤❡ s❡t ♦❢ ❤✉♠❛♥ ❜❡✐♥❣s P❆′(❛, ❜) = tr✉❡ ✐✛ ❜ ✐s ♠♦t❤❡r ♦❢ ❛ ❆❧❧ ❤✉♠❛♥ ❜❡✐♥❣s ❤❛✈❡ ❛ ♠♦t❤❡r ❉ t❤❡ s❡t ♦❢ ♥❛t✉r❛❧ ♥✉♠❜❡rs P❆′′(❛, ❜) = tr✉❡ ✐✛ ❛ < ❜ ❋♦r ❡✈❡r② ♥❛t ♥✉♠❜❡r t❤❡r❡ ✐s ❛ ❣r❡❛t❡r ♦♥❡

SLIDE 54

Pr♦♣♦s✐t✐♦♥❛❧ ❛♥❞ ❋✐rst ❖r❞❡r ▲♦❣✐❝ Pr♦♣♦s✐t✐♦♥❛❧ ▲♦❣✐❝ ❋✐rst ❖r❞❡r ▲♦❣✐❝

❊✈❛❧✉❛t✐♦♥ ♦❢ ❋❖▲ ❢♦r♠✉❧❛s

✐✈❡♥ ❛♥ ✐♥t❡r♣r❡t❛t✐♦♥ ■ = ❉, ❆✱ ❋❖▲ ❢♦r♠✉❧❛s ❛r❡ ❡✈❛❧✉❛t❡❞

t♦ tr✉❡ ♦r ❢❛❧s❡ ❛❝❝♦r❞✐♥❣ t♦ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ r✉❧❡s✿ ■❢ ❙ ✐s ❛♥ ❛t♦♠✐❝ ❢♦r♠✉❧❛ ❛♥❞ ❙ P(t✶, · · · , t♥)✱ ❙ ✐s tr✉❡ ✐✛ P❆(t❆

✶ , · · · , t❆ ♥ ) = ⊤

■❢ ❙ ✐s ❛♥ ❛t♦♠✐❝ ❢♦r♠✉❧❛ ❛♥❞ ❙ t✶ = t✷✱ ❙ ✐s tr✉❡ ✐✛ t❆

✶ = t❆ ✷ ✳

■❢ ❙ ✐s ❛ ❢♦r♠✉❧❛ ❡✈❛❧✉❛t❡❞ t♦ tr✉❡ t❤❡♥ ¬❙ ✐s ❢❛❧s❡✳ ■❢ ❙ ❛♥❞ ❚ ❛r❡ t✇♦ ❢♦r♠✉❧❛s t❤❡♥ ❙ ∧ ❚ ✐s tr✉❡ ✐✛ ❆ ❛♥❞ ❚ ❛r❡ tr✉❡✳ ■❢ ❙ ❛♥❞ ❚ ❛r❡ t✇♦ ❢♦r♠✉❧❛s t❤❡♥ ❙ ∨ ❚ ✐s tr✉❡ ✐✛ ❆ ♦r ❚ ❛r❡ tr✉❡ ■❢ ❙ ∀①● ✐s tr✉❡ ✐✛ ● ✐s tr✉❡ ❢♦r ❡✈❡r② ❡❧❡♠❡♥t ❞ ∈ ❉✳ ■❢ ❙ ∃①● ✐s tr✉❡ ✐✛ ● ✐s tr✉❡ ❢♦r ❛t ❧❡❛st ♦♥❡ ❡❧❡♠❡♥t ❞ ∈ ❉✳

SLIDE 55

Pr♦♣♦s✐t✐♦♥❛❧ ❛♥❞ ❋✐rst ❖r❞❡r ▲♦❣✐❝ Pr♦♣♦s✐t✐♦♥❛❧ ▲♦❣✐❝ ❋✐rst ❖r❞❡r ▲♦❣✐❝

❊✈❛❧✉❛t✐♦♥ ♦❢ ❋❖▲ ❢♦r♠✉❧❛s ❝♦♥t❞✳

◆♦t❡ ❆❝❝♦r❞✐♥❣ t♦ t❤✐s ❡✈❛❧✉❛t✐♦♥ ♣r♦❝❡❞✉r❡ ❢♦r♠✉❧❛s ❝♦♥t❛✐♥✐♥❣ ❢r❡❡ ✈❛r✐❛❜❧❡s ❝❛♥ ♥♦t ❜❡ ❡✈❛❧✉❛t❡❞✳ ❚❤❡ ❧♦❣✐❝❛❧ ♦♣❡r❛t♦rs → ❛♥❞ ↔ ❛r❡ ❡✈❛❧✉❛t❡❞ ✉s✐♥❣ t❤❡ ✉s✉❛❧ s❤♦rt❝✉ts✿

❆ → ❇ ≡ ¬❆ ∨ ❇ ❆ ↔ ❇ ≡ ❆ → ❇ ∧ ❇ → ❆

SLIDE 56

Pr♦♣♦s✐t✐♦♥❛❧ ❛♥❞ ❋✐rst ❖r❞❡r ▲♦❣✐❝ Pr♦♣♦s✐t✐♦♥❛❧ ▲♦❣✐❝ ❋✐rst ❖r❞❡r ▲♦❣✐❝

❊①❛♠♣❧❡s ♦❢ ❋❖▲ ❢♦r♠✉❧❛ ❡✈❛❧✉❛t✐♦♥

❊①❛♠♣❧❡ ✭❊①❛♠♣❧❡ ♦❢ ❡✈❛❧✉❛t✐♦♥✮

∀①∃②P(①, ②)

■♥t❡r♣r❡t❛t✐♦♥ ■ ❢♦r ● ❉ = ✶, ✷ ❛♥❞ P❆(①, ②) = tr✉❡ ✐✛ ① < ② ❚♦ ❡✈❛❧✉❛t❡ ● ✇❡ ❤❛✈❡ t♦ ❡✈❛❧✉❛t❡ ❢♦r ❡❛❝❤ ❡❧❡♠❡♥t ❞ ∈ ❉ t❤❡ ❢♦r♠✉❧❛ ❍ ∃②P(❞, ②)✳ ① = ✶ ✇❡ ❤❛✈❡ t♦ ❝❤❡❝❦ ✇❤❡t❤❡r t❤❡r❡ ✐s ❛t ❧❡❛st ♦♥❡ ❡❧❡♠❡♥t ❞′ ∈ ❉ s✉❝❤ t❤❛t P❆(✶, ❞′) ❤♦❧s✱ ✐✳❡✳ s✉❝❤ t❤❛t ✶ < ❞′✳ ❲❡ ♦❜s❡r✈❡ t❤❛t ✶ < ✷ ❤♦❧❞s✱ t❤✉s ❢♦r ① = ✶ t❤❡ ❢♦r♠✉❧❛ ❍ ✐s tr✉❡✳ ① = ✷ ❤♦✇❡✈❡r ❍ ✐s ❢❛❧s❡✳ ❚❤✉s ● ✐s ❢❛❧s❡ ✉♥❞❡r ■

SLIDE 57

Pr♦♣♦s✐t✐♦♥❛❧ ❛♥❞ ❋✐rst ❖r❞❡r ▲♦❣✐❝ Pr♦♣♦s✐t✐♦♥❛❧ ▲♦❣✐❝ ❋✐rst ❖r❞❡r ▲♦❣✐❝

▼♦❞❡❧s✱ ✈❛❧✐❞✐t②✱ s❛t✐s✜❛❜✐❧✐t②

✐✈❡♥ t❤❡ ♥♦t✐♦♥ ♦❢ ✐♥t❡r♣r❡t✐♦♥✱ t❤❡ ❝♦♥❝❡♣ts ♦❢ ♠♦❞❡❧✱ ✈❛❧✐❞✐t②

❛♥❞ s❛t✐s✜❛❜✐❧✐t② ❝❛♥ ❜❡ ❞❡✜♥❡❞ ❛s ❢♦r ♣r♦♣♦s✐t✐♦♥❛❧ ❧♦❣✐❝✳ ❉❡✜♥✐t✐♦♥ ✭▼♦❞❡❧✮ ❆♥ ✐♥t❡r♣r❡t❛t✐♦♥ ■ ✐s ❛ ♠♦❞❡❧ ❢♦r ● ✐✛ ● ✐s ❡✈❛❧✉❛t❡❞ t♦ tr✉❡ ✉♥❞❡r ■✳ ❲❡ ✇r✐t❡ ■ | = ●✳ ❉❡✜♥✐t✐♦♥ ✭❱❛❧✐❞✐t②✮ ❆ ❢♦r♠✉❧❛ ● ✐s ✈❛❧✐❞ ✐✛ ✐t ✐s ❡✈❛❧✉❛t❡❞ t♦ tr✉❡ ✉♥❞❡r ❛❧❧ ✐ts ✐♥t❡r♣r❡t❛t✐♦♥s✳ ❲❡ ✇r✐t❡ | = ● ❉❡✜♥✐t✐♦♥ ✭■♥❝♦♥s✐st❡♥❝②✮ ❆ ❢♦r♠✉❧❛ ● ✐s ✐♥❝♦♥s✐st❡♥t ✐✛ ✐t ✐s ❡✈❛❧✉❛t❡❞ t♦ ❢❛❧s❡ ✉♥❞❡r ❛❧❧ ✐ts ✐♥t❡r♣r❡t❛t✐♦♥s

SLIDE 58

Pr♦♣♦s✐t✐♦♥❛❧ ❛♥❞ ❋✐rst ❖r❞❡r ▲♦❣✐❝ Pr♦♣♦s✐t✐♦♥❛❧ ▲♦❣✐❝ ❋✐rst ❖r❞❡r ▲♦❣✐❝

▲♦❣✐❝❛❧ ❝♦♥s❡q✉❡♥❝❡

❉❡✜♥✐t✐♦♥ ✭▲♦❣✐❝❛❧ ❝♦♥s❡q✉❡♥❝❡✮ ❆ ❢♦r♠✉❧❛ ● ✐s ❛ ❧♦❣✐❝❛❧ ❝♦♥s❡q✉❡♥❝❡ ♦❢ ❢♦r♠✉❧❛s {❋✶, · · · , ❋♥} ✐✛ ❢♦r ❡✈❡r② ✐♥t❡r♣r❡t❛t✐♦♥ ■ ✐❢ ■ | = ❋✶ ∧ · · · ∧ ❋♥ ✇❡ ❤❛✈❡ t❤❛t ■ | = ●✳ ❚❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ t❤❡♦r❡♠s ❤♦❧❞ ❛❧s♦ ❢♦r ❋✐rst ❖r❞❡r ▲♦❣✐❝ ❚❤❡♦r❡♠ ✭❉❡❞✉❝t✐♦♥ ❚❤❡♦r❡♠✮

✐✈❡♥ ❛ s❡t ♦❢ ❢♦r♠✉❧❛s {❋✶, · · · , ❋♥} ❛♥❞ ❛ ❢♦r♠✉❧❛ ●✱

❋✶ ∧ · · · ∧ ❋♥ | = ● ✐✛ | = ❋✶ ∧ · · · ∧ ❋♥ → ● ❚❤❡♦r❡♠ ✭Pr♦♦❢ ❜② ❘❡❢✉t❛t✐♦♥✮

✐✈❡♥ ❛ s❡t ♦❢ ❢♦r♠✉❧❛s {❋✶, · · · , ❋♥} ❛♥❞ ❛ ❢♦r♠✉❧❛ ●✱

| = ❋✶ ∧ · · · ∧ ❋♥ → ● ✐✛ ❋✶ ∧ · · · ∧ ❋♥ ∧ ¬● ✐s ✐♥❝♦♥s✐st❡♥t✳

SLIDE 59

Pr♦♣♦s✐t✐♦♥❛❧ ❛♥❞ ❋✐rst ❖r❞❡r ▲♦❣✐❝ Pr♦♣♦s✐t✐♦♥❛❧ ▲♦❣✐❝ ❋✐rst ❖r❞❡r ▲♦❣✐❝

❊①❛♠♣❧❡ ♦❢ ❧♦❣✐❝❛❧ ❝♦♥s❡q✉❡♥❝❡

❊①❛♠♣❧❡ ✭▲♦❣✐❝❛❧ ❝♦♥s❡q✉❡♥❝❡✮ ∀①P(①) → ◗(①) ∧ P(❛) | = ◗(❛) ❯s✐♥❣ ❞❡❞✉❝t✐♦♥ t❤❡♦r❡♠ ❉❡❞✉❝t✐♦♥ t❤❡♦r❡♠✿ ∀①P(①) → ◗(①) ∧ P(❛) | = ◗(❛) ✐✛ | = (∀①P(①) → ◗(①) ∧ P(❛)) → ◗(❛) ❙✉♣♣♦s❡ ■ ❢❛❧s✐✜❡s t❤❡ ❢♦r♠✉❧❛ t❤❡♥

✶ ◗(❛) ✐s ❢❛❧s❡ ✉♥❞❡r ■ ✷ ■ |

= ∀①P(①) → ◗(①) ∧ P(❛)

■❢ ✷ t❤❡♥ ■ | = ∀①P(①) → ◗(①) ❛♥❞ ■ | = P(❛) ❚❤❡♥ ■ | = ◗(❛) ✇❤✐❝❤ ❣✐✈❡s ✉s ❛ ❝♦♥tr❛❞✐❝t✐♦♥ ✇✐t❤ ✶

SLIDE 60

Pr♦♣♦s✐t✐♦♥❛❧ ❛♥❞ ❋✐rst ❖r❞❡r ▲♦❣✐❝ Pr♦♣♦s✐t✐♦♥❛❧ ▲♦❣✐❝ ❋✐rst ❖r❞❡r ▲♦❣✐❝

❋✐rst ❖r❞❡r ▲♦❣✐❝ ❛♥❞ ❞❡❝✐❞❛❜✐❧✐t②

❋❖▲ ✐s ♥♦t ❞❡❝✐❞❛❜❧❡ ❚♦ ♣r♦✈❡ t❤❛t ❛ ❢♦r♠✉❧❛ ✐s ✈❛❧✐❞ ✐♥ ❋❖▲ ✇❡ ❝❛♥ ♥♦t s✐♠♣❧② ❡♥✉♠❡r❛t❡ ❛❧❧ ✐ts ♣♦ss✐❜❧❡ ✐♥t❡r♣r❡t❛t✐♦♥s

♣♦ss✐❜❧❡ ✐♥t❡r♣r❡t❛t✐♦♥s ♦❢ ❛ ❢♦r♠✉❧❛ ❝❛♥ ❜❡ ✐♥✜♥✐t❡❧② ♠❛♥②✿ ✇❡ ❝❛♥ ❤❛✈❡ ❛♥ ✐♥✜♥✐t❡ ♥✉♠❜❡r ♦❢ ❞♦♠❛✐♥s✳

❲❡ ♥❡❡❞ ❛♥ ❛✉t♦♠❛t❡❞ ♠❡❝❤❛♥✐s♠ t♦ ✈❡r✐❢② ✐♥❝♦♥s✐st❡♥t ❢♦r♠✉❧❛s

SLIDE 61

Pr♦♣♦s✐t✐♦♥❛❧ ❛♥❞ ❋✐rst ❖r❞❡r ▲♦❣✐❝ Pr♦♣♦s✐t✐♦♥❛❧ ▲♦❣✐❝ ❋✐rst ❖r❞❡r ▲♦❣✐❝

Pr❡♥❡① ◆♦r♠❛❧ ❋♦r♠s

❉❡✜♥✐t✐♦♥ ✭Pr❡♥❡① ♥♦r♠❛❧ ❢♦r♠✮ ❆ ❢♦r♠✉❧❛ ❋ ✐s ✐♥ ♣r❡♥❡① ♥♦r♠❛❧ ❢♦r♠ ✐✛ ✐t ✐s ✐♥ t❤❡ ❢♦r♠ ♦❢ ◗✶①✶ · · · ◗♥①♥▼ ❲❤❡r❡ ◗✐①✐ ❛r❡ q✉❛♥t✐✜❡rs ✭✐✳❡✳ ❡✐t❤❡r ∀ ♦r ∃✮ ❛♥❞ ▼ ✐s ❛ q✉❛♥t✐✜❡r ❢r❡❡ ❢♦r♠✉❧❛✳ ◗✶①✶ · · · ◗♥①♥ ✐s ❝❛❧❧❡❞ t❤❡ ♣r❡✜① ♦❢ t❤❡ ❢♦r♠✉❧❛❀ ▼ ✐s ❝❛❧❧❡❞ t❤❡ ♠❛tr✐① ♦❢ t❤❡ ❢♦r♠✉❧❛✳

SLIDE 62

Pr♦♣♦s✐t✐♦♥❛❧ ❛♥❞ ❋✐rst ❖r❞❡r ▲♦❣✐❝ Pr♦♣♦s✐t✐♦♥❛❧ ▲♦❣✐❝ ❋✐rst ❖r❞❡r ▲♦❣✐❝

Pr❡♥❡① ◆♦r♠❛❧ ❋♦r♠s✿ ❊①❛♠♣❧❡s

❊①❛♠♣❧❡ ✭Pr❡♥❡① ◆♦r♠❛❧ ❋♦r♠✮ ∀①∃②P(①) → ◗(②) ∀①∃②∀③◗(①) → ❘(③, ②) ❊①❛♠♣❧❡ ✭◆♦t Pr❡♥❡① ◆♦r♠❛❧ ❋♦r♠✮ ∀①P(①) → ∃②◗(②) ∀①∃②◗(①) → ∀③❘(③, ②) ∀①◗(①, ②) → ∀②❘(②)

SLIDE 63

Pr♦♣♦s✐t✐♦♥❛❧ ❛♥❞ ❋✐rst ❖r❞❡r ▲♦❣✐❝ Pr♦♣♦s✐t✐♦♥❛❧ ▲♦❣✐❝ ❋✐rst ❖r❞❡r ▲♦❣✐❝

▲♦❣✐❝❛❧ ❊q✉✐✈❛❧❡♥❝❡

❉❡✜♥✐t✐♦♥ ✭▲♦❣✐❝❛❧ ❊q✉✐✈❛❧❡♥❝❡✮ ❚✇♦ ❢♦r♠✉❧❛s ❋ ❛♥❞ ● ❛r❡ ❧♦❣✐❝❛❧❧② ❡q✉✐✈❛❧❡♥t ✐✛ ❋ | = ● ❛♥❞

= ❋ ❛♥❞ ✇❡ ✇r✐t❡ ❋ ≡ ●✳ ❋ ❛♥❞ ● ❛r❡ ❡q✉✐✈❛❧❡♥t ✐✛ t❤❡ tr✉t❤ ✈❛❧✉❡s ♦❢ ❋ ❛♥❞ ● ❛r❡ t❤❡ s❛♠❡ ✉♥❞❡r ❡✈❡r② ♣♦ss✐❜❧❡ ✐♥t❡r♣r❡t❛t✐♦♥s✳ ❙❛♠❡ ❛s ✐♥ ✐♥ ♣r♦♣✳ ▲♦❣✐❝ ❛❧❧ ❧♦❣✐❝❛❧ ❡q✉✐✈❛❧❡♥❝❡s ❞❡✜♥❡❞ ❢♦r ♣r♦♣✳ ❧♦❣✐❝ st✐❧❧ ❤♦❧❞ ✐♥ ❋❖▲ ❛❞❞✐t✐♦♥❛❧ r✉❧❡s ❢♦r ❢♦r♠✉❧❛s ❝♦♥t❛✐♥✐♥❣ q✉❛♥t✐✜❡rs

SLIDE 64

Pr♦♣♦s✐t✐♦♥❛❧ ❛♥❞ ❋✐rst ❖r❞❡r ▲♦❣✐❝ Pr♦♣♦s✐t✐♦♥❛❧ ▲♦❣✐❝ ❋✐rst ❖r❞❡r ▲♦❣✐❝

❊q✉✐✈❛❧❡♥❝❡s ❢♦r ◗✉❛♥t✐✜❡rs

❋♦r♠✉❧❛s ❛r❡ ❧♦❣✐❝❛❧❧② ❡q✉✐✈❛❧❡♥t ✐❢ t❤❡② ❞✐✛❡r ✐♥ t❤❡ ♥❛♠❡ ♦❢ ✈❛r✐❛❜❧❡s ✐♥ t❤❡ s❝♦♣❡ ♦❢ q✉❛♥t✐✜❡rs ∀①P(①) ≡ ∀②P(②) t❤❡ ♦r❞❡r ♦❢ q✉❛♥t✐✜❡rs ♦❢ t❤❡ s❛♠❡ ❦✐♥❞ ∀①∀②P(①, ②) ≡ ∀②∀①P(①, ②) ≡ ∀①, ②P(①, ②) ❛❞❞✐t✐♦♥ ♦r ❡❧✐♠✐♥❛t✐♦♥ ♦❢ q✉❛♥t✐✜❡rs ✇❤♦s❡ ✈❛r✐❛❜❧❡ ❞♦❡s ♥♦t ♦❝❝✉rr ✐♥ t❤❡✐r s❝♦♣❡ ∀①P(②) ≡ P(②)

SLIDE 65

Pr♦♣♦s✐t✐♦♥❛❧ ❛♥❞ ❋✐rst ❖r❞❡r ▲♦❣✐❝ Pr♦♣♦s✐t✐♦♥❛❧ ▲♦❣✐❝ ❋✐rst ❖r❞❡r ▲♦❣✐❝

❆❞❞✐t✐♦♥❛❧ ❊q✉✐✈❛❧❡♥❝❡ ❘✉❧❡s

◆❡❣❛t✐♦♥ ¬(∀①❋[①]) ≡ ∃①¬❋[①] ✭✶✮ ¬(∃①❋[①]) ≡ ∀①¬❋[①] ✭✷✮ ❆♥❞✱ ❖r ◗①❋[①] ∨ ● ≡ ◗①(❋[①] ∨ ●) ✭✸✮ ◗①❋[①] ∧ ● ≡ ◗①(❋[①] ∧ ●) ✭✹✮ ◗✶①❋[①] ∨ ◗✷①❍[①] ≡ ◗✶①◗✷②(❋[①] ∨ ❍[②]) ✭✺✮ ◗✷①❋[①] ∧ ◗✷①❍[①] ≡ ◗✶①◗✷②(❋[①] ∧ ❍[②]) ✭✻✮ ◆♦t❡ ❲❡ ❛ss✉♠❡ t❤❛t ② ❞♦❡s ♥♦t ❛♣♣❡❛r ✐♥ ❋

SLIDE 66

Pr♦♣♦s✐t✐♦♥❛❧ ❛♥❞ ❋✐rst ❖r❞❡r ▲♦❣✐❝ Pr♦♣♦s✐t✐♦♥❛❧ ▲♦❣✐❝ ❋✐rst ❖r❞❡r ▲♦❣✐❝

❆❞❞✐t✐♦♥❛❧ ❊q✉✐✈❛❧❡♥❝❡ ❘✉❧❡s ❝♦♥t❞✳

▼♦r❡ s♣❡❝✐✜❝ r✉❧❡s ❢♦r ❛♥❞✱ ♦r ∀①❋[①] ∧ ∀①●[①] ≡ ∀①(❋[①] ∧ ●[①]) ✭✼✮ ∃①❋[①] ∨ ∃●[①] ≡ ∃①(❋[①] ∨ ●[①]) ✭✽✮ ◆♦t❡ ❋♦r r✉❧❡s ✺ ❛♥❞ ✻ ✇❡ r❡♥❛♠❡❞ t❤❡ ✈❛r✐❛❜❧❡ ✐♥ ❍ ❜❡❝❛✉s❡ ♦t❤❡r✇✐s❡ t❤❡ r✉❧❡ ❝♦✉❧❞ ♥♦t ❜❡ ❛♣♣❧✐❡❞✳ ❡✳❣✳ ∀①❆[①] ∨ ∀①❇[①] ≡ ∀①(❆[①] ∨ ❇[①])

SLIDE 67

Pr♦♣♦s✐t✐♦♥❛❧ ❛♥❞ ❋✐rst ❖r❞❡r ▲♦❣✐❝ Pr♦♣♦s✐t✐♦♥❛❧ ▲♦❣✐❝ ❋✐rst ❖r❞❡r ▲♦❣✐❝

❊①❛♠♣❧❡ ♦❢ Pr❡♥❡① ♥♦r♠❛❧ ❋♦r♠ ❚r❛♥s❢♦r♠❛t✐♦♥ ■

❊①❛♠♣❧❡ ∀①P(①) → ∃①◗(①)

✶ ¬(∀①P(①)) ∨ ∃①◗(①) ✭❡❧✐♠✐♥❛t✐♦♥ ♦❢ ✐♠♣❧✐❝❛t✐♦♥✮ ✷ ∃①¬P(①) ∨ ∃①◗(①) ✭r✉❧❡ ✶✮ ✸ ∃①(¬P(①) ∨ ◗(①)) ✭r✉❧❡ ✽✮

SLIDE 68

Pr♦♣♦s✐t✐♦♥❛❧ ❛♥❞ ❋✐rst ❖r❞❡r ▲♦❣✐❝ Pr♦♣♦s✐t✐♦♥❛❧ ▲♦❣✐❝ ❋✐rst ❖r❞❡r ▲♦❣✐❝

❊①❛♠♣❧❡ ♦❢ Pr❡♥❡① ♥♦r♠❛❧ ❋♦r♠ ❚r❛♥s❢♦r♠❛t✐♦♥ ■■

❊①❛♠♣❧❡ ∀①(P(①) → ∃②◗(①, ②))

✶ ∀①(¬P(①) ∨ ∃②◗(①, ②)) ✭❡❧✐♠✐♥❛t✐♦♥ ♦❢ ✐♠♣❧✐❝❛t✐♦♥✮ ✷ ∀①∃②(¬P(①) ∨ ◗(①, ②)) ✭r✉❧❡ ✸✮

SLIDE 69

Pr♦♣♦s✐t✐♦♥❛❧ ❛♥❞ ❋✐rst ❖r❞❡r ▲♦❣✐❝ Pr♦♣♦s✐t✐♦♥❛❧ ▲♦❣✐❝ ❋✐rst ❖r❞❡r ▲♦❣✐❝

❊①❛♠♣❧❡ ♦❢ ❋❖▲ ❛♣♣❧✐❝❛t✐♦♥

❊①❛♠♣❧❡ ✭❉♦❝t♦rs ❛♥❞ ◗✉❛❝❦s✮ ❆ss✉♠❡ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ s❡♥t❡♥❝❡s ❛r❡ tr✉❡✿ ❙♦♠❡ ♣❛t✐❡♥ts ❧✐❦❡ ❛❧❧ ❞♦❝t♦rs✱ ◆♦ ♣❛t✐❡♥t ❧✐❦❡s ❛♥② q✉❛❝❦✳ ❙❤♦✇ t❤❛t ✇❡ ❝❛♥ ❝♦♥❝❧✉❞❡ t❤❛t ♥♦ ❞♦❝t♦r ✐s ❛ q✉❛❝❦✳ ❋♦r♠❛❧✐s❛t✐♦♥ ❋✶ ❙♦♠❡ ♣❛t✐❡♥ts ❧✐❦❡ ❛❧❧ ❞♦❝t♦rs✿ (∃①)(P❛t✐❡♥t(①) ∧ (∀②)(❉♦❝t♦r(②) → ▲✐❦❡s(①, ②))) ❋✷ ◆♦ ♣❛t✐❡♥t ❧✐❦❡s ❛♥② q✉❛❝❦✿ (∀①)(P❛t✐❡♥t(①) → (∀②)(◗✉❛❝❦(②) → ¬▲✐❦❡s(①, ②))) ❋✸ ◆♦ ❞♦❝t♦r ✐s ❛ q✉❛❝❦✿ (∀①)(❉♦❝t♦r(①) → ¬◗✉❛❝❦(①))

SLIDE 70

Pr♦♣♦s✐t✐♦♥❛❧ ❛♥❞ ❋✐rst ❖r❞❡r ▲♦❣✐❝ Pr♦♣♦s✐t✐♦♥❛❧ ▲♦❣✐❝ ❋✐rst ❖r❞❡r ▲♦❣✐❝

❉♦❝t♦rs ❛♥❞ ◗✉❛❝❦s ❝♦♥t❞✳

▲♦❣✐❝❛❧ ❊q✉✐✈❛❧❡♥❝❡ ❲❡ ✇❛♥t t♦ s❤♦✇ t❤❛t (❋✶ ∧ ❋✷) | = ❋✸✳ ❙✉♣♣♦s❡ ■ | = ❋✶ ∧ ❋✷ ✇❡ ✇❛♥t t♦ s❤♦✇ t❤❛t ■ | = ❋✸ ■❢ ■ ♠♦❞❡❧s ❋✶ t❤❡♥ ❢♦r ❡ ∈ ❉ ✇❡ ❤❛✈❡ P❛t✐❡♥t(❡) ∧ (∀②)(❉♦❝t♦r(②) → ▲✐❦❡s(❡, ②)) ✐s tr✉❡✳ ❙✐♥❝❡ ■ ♠♦❞❡❧s ❋✷ ✇❡ ❛❧s♦ ❤❛✈❡ t❤❛t P❛t✐❡♥t(❡) → (∀②)(◗✉❛❝❦(②) → ¬▲✐❦❡s(❡, ②)) ✐s tr✉❡✳ ❋r♦♠ ❋✶ ❜❡✐♥❣ tr✉❡ ✇❡ ❤❛✈❡ t❤❛t (∀②)(❉♦❝t♦r(②) → ▲✐❦❡s(❡, ②)) ♠✉st ❜❡ tr✉❡✳

SLIDE 71

Pr♦♣♦s✐t✐♦♥❛❧ ❛♥❞ ❋✐rst ❖r❞❡r ▲♦❣✐❝ Pr♦♣♦s✐t✐♦♥❛❧ ▲♦❣✐❝ ❋✐rst ❖r❞❡r ▲♦❣✐❝

❉♦❝t♦rs ❛♥❞ ◗✉❛❝❦s ❝♦♥t❞✳

▲♦❣✐❝❛❧ ❊q✉✐✈❛❧❡♥❝❡ ❝♦♥t❞✳ ❋r♦♠ ❋✶ ❜❡✐♥❣ tr✉❡ ✇❡ ❤❛✈❡ t❤❛t

P❛t✐❡♥t(❡) ✐s tr✉❡ ✐♥ ■ ❛♥❞ t❤✉s ❢r♦♠ ❋✷ ✇❡ ❤❛✈❡ t❤❛t (∀②)(◗✉❛❝❦(②) → ¬▲✐❦❡s(❡, ②)) ♠✉st ❜❡ tr✉❡ ✐♥ ■

❚❤❡r❡❢♦r❡ ✇❡ ❤❛✈❡ t❤❛t

(∀②)((❉♦❝t♦r(②) → ▲✐❦❡s(❡, ②)) ∧ (◗✉❛❝❦(②) → ¬▲✐❦❡s(❡, ②)))

♠✉st ❜❡ tr✉❡ ✐♥ ■ ❋r♦♠ t❤✐s ✇❡ ❝❛♥ ❝♦♥❝❧✉❞❡ t❤❛t (∀②)(❉♦❝t♦r(②) → ¬◗✉❛❝❦(②)) ♠✉st ❜❡ tr✉❡ ✐♥ ■ ❲❤❛t ✐❢ ✇❡ ♠♦❞✐❢② ❋✶ ❛s ❢♦❧❧♦✇s ❄ ❋✶ (∃①)(P❛t✐❡♥t(①) → (∀②)(❉♦❝t♦r(②) → ▲✐❦❡s(①, ②)) ✐✳❡✳ ❲❡ ❞♦ ♥♦t ❛ss✉♠❡ ❛ ♣❛t✐❡♥t t❤❛t ❧✐❦❡s ❛❧❧ ❞♦❝t♦rs ❡①✐sts✳

SLIDE 72

Pr♦♣♦s✐t✐♦♥❛❧ ❛♥❞ ❋✐rst ❖r❞❡r ▲♦❣✐❝ Pr♦♣♦s✐t✐♦♥❛❧ ▲♦❣✐❝ ❋✐rst ❖r❞❡r ▲♦❣✐❝