Polynomial *me algorithm for the Radon number of grids - - PowerPoint PPT Presentation

Polynomial ¡*me ¡algorithm ¡for ¡the ¡Radon ¡number ¡ ¡

• f ¡grids ¡in ¡the ¡geode*c ¡convexity ¡

Mitre ¡Costa ¡Dourado ¡ Dieter ¡Rautenbach ¡ Vinícius ¡Gusmão ¡Pereira ¡de ¡Sá ¡ Jayme ¡Luiz ¡Szwarcfiter ¡ ¡

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¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡

Convexity ¡in ¡Euclidean ¡space ¡

Convex ¡set ¡ Non-­‑convex ¡set ¡ Convex ¡hull ¡ Ground ¡set ¡of ¡the ¡convexity ¡space: ¡the ¡d-­‑dimensional ¡space ¡Rd ¡ Interval ¡(x,y) ¡= ¡straight ¡line ¡segment ¡between ¡x ¡and ¡y ¡

Convexity ¡in ¡Euclidean ¡space ¡

Convex ¡set ¡ Non-­‑convex ¡set ¡ Convex ¡hull ¡ Radon’s ¡Theorem ¡(1921): ¡every ¡set ¡of ¡at ¡least ¡d+2 ¡ points ¡in ¡Rd ¡can ¡be ¡par**oned ¡into ¡two ¡sets ¡whose ¡ convex ¡hulls ¡intersect. ¡ Ground ¡set ¡of ¡the ¡convexity ¡space: ¡the ¡d-­‑dimensional ¡space ¡Rd ¡ Interval ¡(x,y) ¡= ¡straight ¡line ¡segment ¡between ¡x ¡and ¡y ¡

Convexity ¡in ¡Euclidean ¡space ¡

Convex ¡set ¡ Non-­‑convex ¡set ¡ Convex ¡hull ¡ Radon’s ¡Theorem ¡(1921): ¡every ¡set ¡of ¡at ¡least ¡d+2 ¡ points ¡in ¡Rd ¡can ¡be ¡par**oned ¡into ¡two ¡sets ¡whose ¡ convex ¡hulls ¡intersect. ¡ Ground ¡set ¡of ¡the ¡convexity ¡space: ¡the ¡d-­‑dimensional ¡space ¡Rd ¡ Interval ¡(x,y) ¡= ¡straight ¡line ¡segment ¡between ¡x ¡and ¡y ¡

Convexity ¡in ¡Euclidean ¡space ¡

Convex ¡set ¡ Non-­‑convex ¡set ¡ Convex ¡hull ¡ Radon’s ¡Theorem ¡(1921): ¡every ¡set ¡of ¡at ¡least ¡d+2 ¡ points ¡in ¡Rd ¡can ¡be ¡par**oned ¡into ¡two ¡sets ¡whose ¡ convex ¡hulls ¡intersect. ¡ Ground ¡set ¡of ¡the ¡convexity ¡space: ¡the ¡d-­‑dimensional ¡space ¡Rd ¡ Interval ¡(x,y) ¡= ¡straight ¡line ¡segment ¡between ¡x ¡and ¡y ¡

Convexity ¡in ¡Euclidean ¡space ¡

Convex ¡set ¡ Non-­‑convex ¡set ¡ Convex ¡hull ¡ Radon’s ¡Theorem ¡(1921): ¡every ¡set ¡of ¡at ¡least ¡d+2 ¡ points ¡in ¡Rd ¡can ¡be ¡par**oned ¡into ¡two ¡sets ¡whose ¡ convex ¡hulls ¡intersect. ¡ Ground ¡set ¡of ¡the ¡convexity ¡space: ¡the ¡d-­‑dimensional ¡space ¡Rd ¡ Interval ¡(x,y) ¡= ¡straight ¡line ¡segment ¡between ¡x ¡and ¡y ¡

Convexity ¡in ¡Euclidean ¡space ¡

Convex ¡set ¡ Non-­‑convex ¡set ¡ Convex ¡hull ¡ Radon’s ¡Theorem ¡(1921): ¡every ¡set ¡of ¡at ¡least ¡d+2 ¡ points ¡in ¡Rd ¡can ¡be ¡par**oned ¡into ¡two ¡sets ¡whose ¡ convex ¡hulls ¡intersect. ¡ Ground ¡set ¡of ¡the ¡convexity ¡space: ¡the ¡d-­‑dimensional ¡space ¡Rd ¡ Interval ¡(x,y) ¡= ¡straight ¡line ¡segment ¡between ¡x ¡and ¡y ¡

Convexity ¡in ¡Euclidean ¡space ¡

Convex ¡set ¡ Non-­‑convex ¡set ¡ Convex ¡hull ¡ Radon’s ¡Theorem ¡(1921): ¡every ¡set ¡of ¡at ¡least ¡d+2 ¡ points ¡in ¡Rd ¡can ¡be ¡par**oned ¡into ¡two ¡sets ¡whose ¡ convex ¡hulls ¡intersect. ¡ Ground ¡set ¡of ¡the ¡convexity ¡space: ¡the ¡d-­‑dimensional ¡space ¡Rd ¡ Interval ¡(x,y) ¡= ¡straight ¡line ¡segment ¡between ¡x ¡and ¡y ¡

Convexity ¡in ¡Euclidean ¡space ¡

Convex ¡set ¡ Non-­‑convex ¡set ¡ Convex ¡hull ¡ Radon’s ¡Theorem ¡(1921): ¡every ¡set ¡of ¡at ¡least ¡d+2 ¡ points ¡in ¡Rd ¡can ¡be ¡par**oned ¡into ¡two ¡sets ¡whose ¡ convex ¡hulls ¡intersect. ¡ Ground ¡set ¡of ¡the ¡convexity ¡space: ¡the ¡d-­‑dimensional ¡space ¡Rd ¡ Interval ¡(x,y) ¡= ¡straight ¡line ¡segment ¡between ¡x ¡and ¡y ¡

Radon ¡set ¡

Convexity ¡in ¡Euclidean ¡space ¡

Convex ¡set ¡ Non-­‑convex ¡set ¡ Convex ¡hull ¡ Radon’s ¡Theorem ¡(1921): ¡every ¡set ¡of ¡at ¡least ¡d+2 ¡ points ¡in ¡Rd ¡can ¡be ¡par**oned ¡into ¡two ¡sets ¡whose ¡ convex ¡hulls ¡intersect. ¡ Radon ¡par**on ¡ Ground ¡set ¡of ¡the ¡convexity ¡space: ¡the ¡d-­‑dimensional ¡space ¡Rd ¡ Interval ¡(x,y) ¡= ¡straight ¡line ¡segment ¡between ¡x ¡and ¡y ¡

Convexity ¡in ¡Euclidean ¡space ¡

Convex ¡set ¡ Non-­‑convex ¡set ¡ Convex ¡hull ¡ Radon’s ¡Theorem ¡(1921): ¡every ¡set ¡of ¡at ¡least ¡d+2 ¡ points ¡in ¡Rd ¡can ¡be ¡par**oned ¡into ¡two ¡sets ¡whose ¡ convex ¡hulls ¡intersect. ¡ Radon ¡par**on ¡ Radon ¡number: ¡ the ¡smallest ¡ value ¡r ¡such ¡that ¡ every ¡set ¡with ¡at ¡ least ¡r ¡ver*ces ¡is ¡ a ¡Radon ¡set ¡ ¡ Ground ¡set ¡of ¡the ¡convexity ¡space: ¡the ¡d-­‑dimensional ¡space ¡Rd ¡ Interval ¡(x,y) ¡= ¡straight ¡line ¡segment ¡between ¡x ¡and ¡y ¡ Radon ¡set ¡

Convexity ¡in ¡Euclidean ¡space ¡

Convex ¡set ¡ Non-­‑convex ¡set ¡ Convex ¡hull ¡ Radon’s ¡Theorem ¡(1921): ¡every ¡set ¡of ¡at ¡least ¡d+2 ¡ points ¡in ¡Rd ¡can ¡be ¡par**oned ¡into ¡two ¡sets ¡whose ¡ convex ¡hulls ¡intersect. ¡ Radon ¡number: ¡ the ¡smallest ¡ value ¡r ¡such ¡that ¡ every ¡set ¡with ¡at ¡ least ¡r ¡ver*ces ¡is ¡ a ¡Radon ¡set ¡ ¡ Ground ¡set ¡of ¡the ¡convexity ¡space: ¡the ¡d-­‑dimensional ¡space ¡Rd ¡ Interval ¡(x,y) ¡= ¡straight ¡line ¡segment ¡between ¡x ¡and ¡y ¡

Convexity ¡in ¡Euclidean ¡space ¡

Convex ¡set ¡ Non-­‑convex ¡set ¡ Convex ¡hull ¡ Radon’s ¡Theorem ¡(1921): ¡every ¡set ¡of ¡at ¡least ¡d+2 ¡ points ¡in ¡Rd ¡can ¡be ¡par**oned ¡into ¡two ¡sets ¡whose ¡ convex ¡hulls ¡intersect. ¡ Radon ¡number: ¡ the ¡smallest ¡ value ¡r ¡such ¡that ¡ every ¡set ¡with ¡at ¡ least ¡r ¡ver*ces ¡is ¡ a ¡Radon ¡set ¡ ¡ Ground ¡set ¡of ¡the ¡convexity ¡space: ¡the ¡d-­‑dimensional ¡space ¡Rd ¡ Interval ¡(x,y) ¡= ¡straight ¡line ¡segment ¡between ¡x ¡and ¡y ¡

Convexity ¡in ¡Euclidean ¡space ¡

Convex ¡set ¡ Non-­‑convex ¡set ¡ Convex ¡hull ¡ Radon’s ¡Theorem ¡(1921): ¡every ¡set ¡of ¡at ¡least ¡d+2 ¡ points ¡in ¡Rd ¡can ¡be ¡par**oned ¡into ¡two ¡sets ¡whose ¡ convex ¡hulls ¡intersect. ¡ Radon ¡number: ¡ the ¡smallest ¡ value ¡r ¡such ¡that ¡ every ¡set ¡with ¡at ¡ least ¡r ¡ver*ces ¡is ¡ a ¡Radon ¡set ¡ ¡ Ground ¡set ¡of ¡the ¡convexity ¡space: ¡the ¡d-­‑dimensional ¡space ¡Rd ¡ Interval ¡(x,y) ¡= ¡straight ¡line ¡segment ¡between ¡x ¡and ¡y ¡

Convexity ¡in ¡Euclidean ¡space ¡

Convex ¡set ¡ Non-­‑convex ¡set ¡ Convex ¡hull ¡ Radon’s ¡Theorem ¡(1921): ¡every ¡set ¡of ¡at ¡least ¡d+2 ¡ points ¡in ¡Rd ¡can ¡be ¡par**oned ¡into ¡two ¡sets ¡whose ¡ convex ¡hulls ¡intersect. ¡ An*-­‑Radon ¡set ¡ Radon ¡number: ¡ the ¡smallest ¡ value ¡r ¡such ¡that ¡ every ¡set ¡with ¡at ¡ least ¡r ¡ver*ces ¡is ¡ a ¡Radon ¡set ¡ ¡ Ground ¡set ¡of ¡the ¡convexity ¡space: ¡the ¡d-­‑dimensional ¡space ¡Rd ¡ Interval ¡(x,y) ¡= ¡straight ¡line ¡segment ¡between ¡x ¡and ¡y ¡

Geode*c ¡convexity ¡in ¡graphs ¡

Convex ¡subset ¡of ¡V ¡ Non-­‑convex ¡subset ¡of ¡V ¡ Ground ¡set ¡of ¡the ¡convexity ¡space: ¡ver*ces ¡V ¡of ¡some ¡connected ¡graph ¡G ¡(V, ¡E) ¡ Interval ¡(x,y) ¡= ¡{w ¡| ¡w ¡lies ¡on ¡a ¡shortest ¡path ¡from ¡x ¡to ¡y ¡in ¡G} ¡

Geode*c ¡convexity ¡in ¡graphs ¡

Convex ¡subset ¡of ¡V ¡ Non-­‑convex ¡subset ¡of ¡V ¡ Convex ¡hull ¡ Ground ¡set ¡of ¡the ¡convexity ¡space: ¡ver*ces ¡V ¡of ¡some ¡connected ¡graph ¡G ¡(V, ¡E) ¡ Interval ¡(x,y) ¡= ¡{w ¡| ¡w ¡lies ¡on ¡a ¡shortest ¡path ¡from ¡x ¡to ¡y ¡in ¡G} ¡

Geode*c ¡convexity ¡in ¡graphs ¡

Convex ¡subset ¡of ¡V ¡ Non-­‑convex ¡subset ¡of ¡V ¡ Convex ¡hull ¡ Ground ¡set ¡of ¡the ¡convexity ¡space: ¡ver*ces ¡V ¡of ¡some ¡connected ¡graph ¡G ¡(V, ¡E) ¡ Interval ¡(x,y) ¡= ¡{w ¡| ¡w ¡lies ¡on ¡a ¡shortest ¡path ¡from ¡x ¡to ¡y ¡in ¡G} ¡

Geode*c ¡convexity ¡in ¡graphs ¡

Convex ¡subset ¡of ¡V ¡ Non-­‑convex ¡subset ¡of ¡V ¡ Convex ¡hull ¡ Ground ¡set ¡of ¡the ¡convexity ¡space: ¡ver*ces ¡V ¡of ¡some ¡connected ¡graph ¡G ¡(V, ¡E) ¡ Interval ¡(x,y) ¡= ¡{w ¡| ¡w ¡lies ¡on ¡a ¡shortest ¡path ¡from ¡x ¡to ¡y ¡in ¡G} ¡

Geode*c ¡convexity ¡in ¡graphs ¡

Convex ¡subset ¡of ¡V ¡ Non-­‑convex ¡subset ¡of ¡V ¡ Convex ¡hull ¡ Ground ¡set ¡of ¡the ¡convexity ¡space: ¡ver*ces ¡V ¡of ¡some ¡connected ¡graph ¡G ¡(V, ¡E) ¡ Interval ¡(x,y) ¡= ¡{w ¡| ¡w ¡lies ¡on ¡a ¡shortest ¡path ¡from ¡x ¡to ¡y ¡in ¡G} ¡

Geode*c ¡Radon ¡number ¡

Convex ¡subset ¡of ¡V ¡ Non-­‑convex ¡subset ¡of ¡V ¡ Convex ¡hull ¡ Every ¡subset ¡of ¡V ¡with ¡at ¡least ¡ ¡ ¡ ¡ ¡?? ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ver*ces ¡ ¡ can ¡be ¡par**oned ¡into ¡two ¡sets ¡whose ¡convex ¡hulls ¡ have ¡a ¡non-­‑empty ¡intersec*on. ¡ Radon ¡number: ¡the ¡ smallest ¡value ¡r ¡that ¡ sa*sfies ¡the ¡ statement ¡ ¡ Ground ¡set ¡of ¡the ¡convexity ¡space: ¡ver*ces ¡V ¡of ¡some ¡connected ¡graph ¡G ¡(V, ¡E) ¡ Interval ¡(x,y) ¡= ¡{w ¡| ¡w ¡lies ¡on ¡a ¡shortest ¡path ¡from ¡x ¡to ¡y ¡in ¡G} ¡

Radon ¡set ¡

Geode*c ¡Radon ¡number ¡

Convex ¡subset ¡of ¡V ¡ Non-­‑convex ¡subset ¡of ¡V ¡ Convex ¡hull ¡ Radon ¡par**on ¡ Radon ¡number: ¡the ¡ smallest ¡value ¡r ¡that ¡ sa*sfies ¡the ¡ statement ¡ ¡ Ground ¡set ¡of ¡the ¡convexity ¡space: ¡ver*ces ¡V ¡of ¡some ¡connected ¡graph ¡G ¡(V, ¡E) ¡ Interval ¡(x,y) ¡= ¡{w ¡| ¡w ¡lies ¡on ¡a ¡shortest ¡path ¡from ¡x ¡to ¡y ¡in ¡G} ¡ Ex.: ¡a ¡path ¡ Every ¡subset ¡of ¡V ¡with ¡at ¡least ¡ ¡ ¡ ¡ ¡?? ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ver*ces ¡ ¡ can ¡be ¡par**oned ¡into ¡two ¡sets ¡whose ¡convex ¡hulls ¡ have ¡a ¡non-­‑empty ¡intersec*on. ¡

Geode*c ¡Radon ¡number ¡

RADON ¡NUMBER: ¡ ¡ Input: ¡Graph ¡G ¡(V,E) ¡ Output: ¡the ¡smallest ¡r ¡such ¡that ¡every ¡subset ¡S ¡of ¡V, ¡|S| ¡≥ ¡r, ¡is ¡a ¡Radon ¡set. ¡ ¡ ¡

• r ¡equivalently… ¡

¡ ¡ ANTI-­‑RADON ¡SET: ¡ ¡ Input: ¡Graph ¡G ¡(V,E) ¡ Output: ¡an ¡an*-­‑Radon ¡set ¡of ¡G ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡with ¡maximum ¡size ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡

Geode*c ¡Radon ¡number ¡

RADON ¡NUMBER: ¡ ¡ Input: ¡Graph ¡G ¡(V,E) ¡ Output: ¡the ¡smallest ¡r ¡such ¡that ¡every ¡subset ¡S ¡of ¡V, ¡|S| ¡≥ ¡r, ¡is ¡a ¡Radon ¡set. ¡ ¡ ¡

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¡ ¡ ANTI-­‑RADON ¡SET: ¡ ¡ Input: ¡Graph ¡G ¡(V,E) ¡ Output: ¡an ¡an*-­‑Radon ¡set ¡of ¡G ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡with ¡maximum ¡size ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡Radon ¡number ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡size ¡of ¡maximum ¡an*-­‑Radon ¡set ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡+ ¡1 ¡

Geode*c ¡Radon ¡number ¡

RADON ¡NUMBER: ¡ ¡ Input: ¡Graph ¡G ¡(V,E) ¡ Output: ¡the ¡smallest ¡r ¡such ¡that ¡every ¡subset ¡S ¡of ¡V, ¡|S| ¡≥ ¡r, ¡is ¡a ¡Radon ¡set. ¡ ¡ ¡

• r ¡equivalently… ¡

¡ ¡ ANTI-­‑RADON ¡SET: ¡ ¡ Input: ¡Graph ¡G ¡(V,E) ¡ Output: ¡an ¡an*-­‑Radon ¡set ¡of ¡G ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡with ¡maximum ¡size ¡ ¡ ¡ NP-­‑hard, ¡even ¡for ¡bipar*te ¡graphs. ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡Radon ¡number ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡size ¡of ¡maximum ¡an*-­‑Radon ¡set ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡+ ¡1 ¡

Geode*c ¡Radon ¡number ¡of ¡grids ¡

¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡Ex.: ¡Grid ¡(9, ¡5) ¡ Grid ¡(n1, ¡n2, ¡…, ¡nd) ¡ ¡ ¡:= ¡ ¡ ¡Pn1 ¡ ¡x ¡ ¡Pn2 ¡ ¡x ¡ ¡… ¡ ¡x ¡ ¡Pnd ¡

Geode*c ¡Radon ¡number ¡of ¡grids ¡

¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡Ex.: ¡Grid ¡(9, ¡5) ¡ Grid ¡(n1, ¡n2, ¡…, ¡nd) ¡ ¡ ¡:= ¡ ¡ ¡Pn1 ¡ ¡x ¡ ¡Pn2 ¡ ¡x ¡ ¡… ¡ ¡x ¡ ¡Pnd ¡

Geode*c ¡Radon ¡number ¡of ¡grids ¡

¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡Ex.: ¡Grid ¡(9, ¡5) ¡ Radon ¡par**on!! ¡ Grid ¡(n1, ¡n2, ¡…, ¡nd) ¡ ¡ ¡:= ¡ ¡ ¡Pn1 ¡ ¡x ¡ ¡Pn2 ¡ ¡x ¡ ¡… ¡ ¡x ¡ ¡Pnd ¡

Geode*c ¡Radon ¡number ¡of ¡grids ¡

¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡Ex.: ¡Grid ¡(9, ¡5) ¡ Grid ¡(n1, ¡n2, ¡…, ¡nd) ¡ ¡ ¡:= ¡ ¡ ¡Pn1 ¡ ¡x ¡ ¡Pn2 ¡ ¡x ¡ ¡… ¡ ¡x ¡ ¡Pnd ¡

Geode*c ¡Radon ¡number ¡of ¡grids ¡

¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡Ex.: ¡Grid ¡(9, ¡5) ¡ Grid ¡(n1, ¡n2, ¡…, ¡nd) ¡ ¡ ¡:= ¡ ¡ ¡Pn1 ¡ ¡x ¡ ¡Pn2 ¡ ¡x ¡ ¡… ¡ ¡x ¡ ¡Pnd ¡

Geode*c ¡Radon ¡number ¡of ¡grids ¡

¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡Ex.: ¡Grid ¡(6, ¡6, ¡3) ¡ Grid ¡(n1, ¡n2, ¡…, ¡nd) ¡ ¡ ¡:= ¡ ¡ ¡Pn1 ¡ ¡x ¡ ¡Pn2 ¡ ¡x ¡ ¡… ¡ ¡x ¡ ¡Pnd ¡

Geode*c ¡Radon ¡number ¡of ¡grids ¡

¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡Ex.: ¡Grid ¡(6, ¡6, ¡3) ¡ Grid ¡(n1, ¡n2, ¡…, ¡nd) ¡ ¡ ¡:= ¡ ¡ ¡Pn1 ¡ ¡x ¡ ¡Pn2 ¡ ¡x ¡ ¡… ¡ ¡x ¡ ¡Pnd ¡

Geode*c ¡Radon ¡number ¡of ¡grids ¡

¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡Ex.: ¡Grid ¡(6, ¡6, ¡3) ¡ Grid ¡(n1, ¡n2, ¡…, ¡nd) ¡ ¡ ¡:= ¡ ¡ ¡Pn1 ¡ ¡x ¡ ¡Pn2 ¡ ¡x ¡ ¡… ¡ ¡x ¡ ¡Pnd ¡

Geode*c ¡Radon ¡number ¡of ¡grids ¡

¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡Ex.: ¡Grid ¡(6, ¡6, ¡3) ¡ Grid ¡(n1, ¡n2, ¡…, ¡nd) ¡ ¡ ¡:= ¡ ¡ ¡Pn1 ¡ ¡x ¡ ¡Pn2 ¡ ¡x ¡ ¡… ¡ ¡x ¡ ¡Pnd ¡

Geode*c ¡Radon ¡number ¡of ¡grids ¡

¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡Ex.: ¡Grid ¡(6, ¡6, ¡3) ¡ Radon ¡par**on!! ¡ Grid ¡(n1, ¡n2, ¡…, ¡nd) ¡ ¡ ¡:= ¡ ¡ ¡Pn1 ¡ ¡x ¡ ¡Pn2 ¡ ¡x ¡ ¡… ¡ ¡x ¡ ¡Pnd ¡

Geode*c ¡Radon ¡number ¡of ¡grids ¡

¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡Ex.: ¡Grid ¡(6, ¡6, ¡3) ¡ Radon ¡par**on!! ¡

Radon ¡set ¡

¡(2,0,2) ¡ ¡ ¡ ¡(4,0,0) ¡ ¡ ¡ ¡(0,4,1) ¡ ¡ ¡ ¡(0,2,0) ¡ ¡ ¡

ρ1 ¡ ρ2 ¡ ρ3 ¡

A ¡ B ¡ C ¡ D ¡

Grid ¡(n1, ¡n2, ¡…, ¡nd) ¡ ¡ ¡:= ¡ ¡ ¡Pn1 ¡ ¡x ¡ ¡Pn2 ¡ ¡x ¡ ¡… ¡ ¡x ¡ ¡Pnd ¡

Radon ¡par**on ¡candidates: ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡{A}, ¡{B,C,D} ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡{B}, ¡{A,C,D} ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡{C}, ¡{A,B,D} ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡{D}, ¡{A,B,C} ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡{A,B}, ¡{C,D} ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡{A,C}, ¡{B,D} ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡{A,D}, ¡{B,C} ¡

Geode*c ¡Radon ¡number ¡of ¡grids ¡

ρ1 ¡ ρ2 ¡ ρ3 ¡

¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡Ex.: ¡Grid ¡(6, ¡6, ¡3) ¡ A ¡ B ¡ ¡ C ¡ ¡ D ¡ 0 ¡ 2 ¡ 4 ¡ ¡(2,0,2) ¡ ¡ ¡ ¡(4,0,0) ¡ ¡ ¡ ¡(0,4,1) ¡ ¡ ¡ ¡(0,2,0) ¡ ¡ ¡

A ¡ B ¡ C ¡ D ¡

Grid ¡(n1, ¡n2, ¡…, ¡nd) ¡ ¡ ¡:= ¡ ¡ ¡Pn1 ¡ ¡x ¡ ¡Pn2 ¡ ¡x ¡ ¡… ¡ ¡x ¡ ¡Pnd ¡ C ¡ D ¡ ¡ B ¡ ¡ A ¡ B ¡ D ¡ ¡ A ¡ ¡ C ¡ 0 ¡ 2 ¡ 4 ¡ 0 ¡ 1 ¡ 2 ¡

Radon ¡par**on ¡candidates: ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡{A}, ¡{B,C,D} ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡{B}, ¡{A,C,D} ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡{C}, ¡{A,B,D} ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡{D}, ¡{A,B,C} ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡{A,B}, ¡{C,D} ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡{A,C}, ¡{B,D} ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡{A,D}, ¡{B,C} ¡

Geode*c ¡Radon ¡number ¡of ¡grids ¡

ρ1 ¡ ρ2 ¡ ρ3 ¡

¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡Ex.: ¡Grid ¡(6, ¡6, ¡3) ¡ A ¡ B ¡ ¡ C ¡ ¡ D ¡ 0 ¡ 2 ¡ 4 ¡ ¡(2,0,2) ¡ ¡ ¡ ¡(4,0,0) ¡ ¡ ¡ ¡(0,4,1) ¡ ¡ ¡ ¡(0,2,0) ¡ ¡ ¡

A ¡ B ¡ C ¡ D ¡

Grid ¡(n1, ¡n2, ¡…, ¡nd) ¡ ¡ ¡:= ¡ ¡ ¡Pn1 ¡ ¡x ¡ ¡Pn2 ¡ ¡x ¡ ¡… ¡ ¡x ¡ ¡Pnd ¡ C ¡ D ¡ ¡ B ¡ ¡ A ¡ B ¡ D ¡ ¡ A ¡ ¡ C ¡ 0 ¡ 2 ¡ 4 ¡ 0 ¡ 1 ¡ 2 ¡

Geode*c ¡Radon ¡number ¡of ¡grids ¡

ρ1 ¡ ρ2 ¡ ρ3 ¡

¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡Ex.: ¡Grid ¡(6, ¡6, ¡3) ¡ A ¡ B ¡ ¡ C ¡ ¡ D ¡ 0 ¡ 2 ¡ 4 ¡ Radon ¡par**on ¡candidates: ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡{A}, ¡{B,C,D} ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡{B}, ¡{A,C,D} ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡{C}, ¡{A,B,D} ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡{D}, ¡{A,B,C} ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡{A,B}, ¡{C,D} ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡{A,C}, ¡{B,D} ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡{A,D}, ¡{B,C} ¡ ¡(2,0,2) ¡ ¡ ¡ ¡(4,0,0) ¡ ¡ ¡ ¡(0,4,1) ¡ ¡ ¡ ¡(0,2,0) ¡ ¡ ¡

A ¡ B ¡ C ¡ D ¡

Grid ¡(n1, ¡n2, ¡…, ¡nd) ¡ ¡ ¡:= ¡ ¡ ¡Pn1 ¡ ¡x ¡ ¡Pn2 ¡ ¡x ¡ ¡… ¡ ¡x ¡ ¡Pnd ¡ C ¡ D ¡ ¡ B ¡ ¡ A ¡ B ¡ D ¡ ¡ A ¡ ¡ C ¡ 0 ¡ 2 ¡ 4 ¡ 0 ¡ 1 ¡ 2 ¡

Geode*c ¡Radon ¡number ¡of ¡grids ¡

ρ1 ¡ ρ2 ¡ ρ3 ¡

¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡Ex.: ¡Grid ¡(6, ¡6, ¡3) ¡ A ¡ B ¡ ¡ C ¡ ¡ D ¡ 0 ¡ 2 ¡ 4 ¡ C ¡ D ¡ ¡ B ¡ ¡ A ¡ 0 ¡ 2 ¡ 4 ¡ Radon ¡par**on ¡candidates: ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡{A}, ¡{B,C,D} ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡{B}, ¡{A,C,D} ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡{C}, ¡{A,B,D} ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡{D}, ¡{A,B,C} ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡{A,B}, ¡{C,D} ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡{A,C}, ¡{B,D} ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡{A,D}, ¡{B,C} ¡ ¡(2,0,2) ¡ ¡ ¡ ¡(4,0,0) ¡ ¡ ¡ ¡(0,4,1) ¡ ¡ ¡ ¡(0,2,0) ¡ ¡ ¡

A ¡ B ¡ C ¡ D ¡

Grid ¡(n1, ¡n2, ¡…, ¡nd) ¡ ¡ ¡:= ¡ ¡ ¡Pn1 ¡ ¡x ¡ ¡Pn2 ¡ ¡x ¡ ¡… ¡ ¡x ¡ ¡Pnd ¡ C ¡ D ¡ ¡ B ¡ ¡ A ¡ B ¡ D ¡ ¡ A ¡ ¡ C ¡ 0 ¡ 2 ¡ 4 ¡ 0 ¡ 1 ¡ 2 ¡

Geode*c ¡Radon ¡number ¡of ¡grids ¡

ρ1 ¡ ρ2 ¡ ρ3 ¡

¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡Ex.: ¡Grid ¡(6, ¡6, ¡3) ¡ A ¡ B ¡ ¡ C ¡ ¡ D ¡ 0 ¡ 2 ¡ 4 ¡ C ¡ D ¡ ¡ B ¡ ¡ A ¡ 0 ¡ 2 ¡ 4 ¡ Radon ¡par**on ¡candidates: ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡{A}, ¡{B,C,D} ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡{B}, ¡{A,C,D} ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡{C}, ¡{A,B,D} ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡{D}, ¡{A,B,C} ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡{A,B}, ¡{C,D} ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡{A,C}, ¡{B,D} ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡{A,D}, ¡{B,C} ¡ ¡(2,0,2) ¡ ¡ ¡ ¡(4,0,0) ¡ ¡ ¡ ¡(0,4,1) ¡ ¡ ¡ ¡(0,2,0) ¡ ¡ ¡

A ¡ B ¡ C ¡ D ¡

Grid ¡(n1, ¡n2, ¡…, ¡nd) ¡ ¡ ¡:= ¡ ¡ ¡Pn1 ¡ ¡x ¡ ¡Pn2 ¡ ¡x ¡ ¡… ¡ ¡x ¡ ¡Pnd ¡ C ¡ D ¡ ¡ B ¡ ¡ A ¡ B ¡ D ¡ ¡ A ¡ ¡ C ¡ 0 ¡ 2 ¡ 4 ¡ 0 ¡ 1 ¡ 2 ¡

Geode*c ¡Radon ¡number ¡of ¡grids ¡

ρ1 ¡ ρ2 ¡ ρ3 ¡

¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡Ex.: ¡Grid ¡(6, ¡6, ¡3) ¡ A ¡ B ¡ ¡ C ¡ ¡ D ¡ 0 ¡ 2 ¡ 4 ¡ C ¡ D ¡ ¡ B ¡ ¡ A ¡ 0 ¡ 2 ¡ 4 ¡ B ¡ D ¡ ¡ A ¡ ¡ C ¡ 0 ¡ 1 ¡ 2 ¡ Radon ¡par**on ¡candidates: ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡{A}, ¡{B,C,D} ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡{B}, ¡{A,C,D} ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡{C}, ¡{A,B,D} ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡{D}, ¡{A,B,C} ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡{A,B}, ¡{C,D} ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡{A,C}, ¡{B,D} ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡{A,D}, ¡{B,C} ¡ ¡(2,0,2) ¡ ¡ ¡ ¡(4,0,0) ¡ ¡ ¡ ¡(0,4,1) ¡ ¡ ¡ ¡(0,2,0) ¡ ¡ ¡

A ¡ B ¡ C ¡ D ¡

Grid ¡(n1, ¡n2, ¡…, ¡nd) ¡ ¡ ¡:= ¡ ¡ ¡Pn1 ¡ ¡x ¡ ¡Pn2 ¡ ¡x ¡ ¡… ¡ ¡x ¡ ¡Pnd ¡

Geode*c ¡Radon ¡number ¡of ¡grids ¡

ρ1 ¡ ρ2 ¡ ρ3 ¡

¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡Ex.: ¡Grid ¡(6, ¡6, ¡3) ¡ A ¡ B ¡ ¡ C ¡ ¡ D ¡ 0 ¡ 2 ¡ 4 ¡ C ¡ D ¡ ¡ B ¡ ¡ A ¡ 0 ¡ 2 ¡ 4 ¡ B ¡ D ¡ ¡ A ¡ ¡ C ¡ 0 ¡ 1 ¡ 2 ¡ Radon ¡par**on ¡candidates: ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡{A}, ¡{B,C,D} ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡{B}, ¡{A,C,D} ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡{C}, ¡{A,B,D} ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡{D}, ¡{A,B,C} ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡{A,B}, ¡{C,D} ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡{A,C}, ¡{B,D} ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡{A,D}, ¡{B,C} ¡ ¡(2,0,2) ¡ ¡ ¡ ¡(4,0,0) ¡ ¡ ¡ ¡(0,4,1) ¡ ¡ ¡ ¡(0,2,0) ¡ ¡ ¡

A ¡ B ¡ C ¡ D ¡

Grid ¡(n1, ¡n2, ¡…, ¡nd) ¡ ¡ ¡:= ¡ ¡ ¡Pn1 ¡ ¡x ¡ ¡Pn2 ¡ ¡x ¡ ¡… ¡ ¡x ¡ ¡Pnd ¡

Geode*c ¡Radon ¡number ¡of ¡grids ¡

¡(2,0,2) ¡ ¡ ¡ ¡(4,0,0) ¡ ¡ ¡ ¡(0,4,1) ¡ ¡ ¡ ¡(0,2,0) ¡ ¡ ¡

A ¡ B ¡ C ¡ D ¡

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Radon ¡set ¡

Geode*c ¡Radon ¡number ¡of ¡grids ¡

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A ¡ B ¡ D ¡ C ¡

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A ¡ B ¡ C ¡ D ¡

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Geode*c ¡Radon ¡number ¡of ¡grids ¡

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A ¡ B ¡ C ¡ D ¡

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ρ1 ¡ ρ2 ¡ ρ3 ¡ ρ4 ¡

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¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡Ex.: ¡Grid ¡(9, ¡9, ¡9, ¡9) ¡ Radon ¡par**on ¡candidates: ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡{A}, ¡{B,C,D,E} ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡{B}, ¡{A,C,D,E} ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡{C}, ¡{A,B,D,E} ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡{D}, ¡{A,B,C,E} ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡{E}, ¡{A,B,C,D} ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡{A,B}, ¡{C,D,E} ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡{A,C}, ¡{B,D,E} ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡{A,D}, ¡{B,C,E} ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡{A,E}, ¡{B,C,E} ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡{B,C}, ¡{A,D,E} ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡{B,D}, ¡{A,C,E} ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡{B,E}, ¡{A,C,D} ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡{C,D}, ¡{A,B,E} ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡{C,E}, ¡{A,B,D} ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡{D,E}, ¡{A,B,C} ¡ ¡

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A ¡ B ¡ C ¡ D ¡

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¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡Ex.: ¡Grid ¡(9, ¡9, ¡9, ¡9) ¡ Radon ¡par**on ¡candidates: ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡{A}, ¡{B,C,D,E} ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡{B}, ¡{A,C,D,E} ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡{C}, ¡{A,B,D,E} ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡{D}, ¡{A,B,C,E} ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡{E}, ¡{A,B,C,D} ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡{A,B}, ¡{C,D,E} ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡{A,C}, ¡{B,D,E} ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡{A,D}, ¡{B,C,E} ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡{A,E}, ¡{B,C,E} ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡{B,C}, ¡{A,D,E} ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡{B,D}, ¡{A,C,E} ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡{B,E}, ¡{A,C,D} ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡{C,D}, ¡{A,B,E} ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡{C,E}, ¡{A,B,D} ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡{D,E}, ¡{A,B,C} ¡ ¡

ρ1 ¡ ρ2 ¡ ρ3 ¡ ρ4 ¡

¡ D ¡ ¡ A ¡ ¡ E ¡ ¡(2,7,6,1) ¡ ¡ ¡ ¡(0,0,0,0) ¡ ¡ ¡ ¡(1,4,3,5) ¡ ¡ ¡ ¡(2,2,0,8) ¡ ¡ ¡

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¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡Ex.: ¡Grid ¡(9, ¡9, ¡9, ¡9) ¡ Radon ¡par**on ¡candidates: ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡{A}, ¡{B,C,D,E} ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡{B}, ¡{A,C,D,E} ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡{C}, ¡{A,B,D,E} ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡{D}, ¡{A,B,C,E} ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡{E}, ¡{A,B,C,D} ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡{A,B}, ¡{C,D,E} ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡{A,C}, ¡{B,D,E} ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡{A,D}, ¡{B,C,E} ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡{A,E}, ¡{B,C,E} ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡{B,C}, ¡{A,D,E} ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡{B,D}, ¡{A,C,E} ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡{B,E}, ¡{A,C,D} ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡{C,D}, ¡{A,B,E} ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡{C,E}, ¡{A,B,D} ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡{D,E}, ¡{A,B,C} ¡ ¡

ρ1 ¡ ρ2 ¡ ρ3 ¡ ρ4 ¡

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A ¡ B ¡ C ¡ D ¡

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¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡Ex.: ¡Grid ¡(9, ¡9, ¡9, ¡9) ¡ Radon ¡par**on ¡candidates: ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡{A}, ¡{B,C,D,E} ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡{B}, ¡{A,C,D,E} ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡{C}, ¡{A,B,D,E} ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡{D}, ¡{A,B,C,E} ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡{E}, ¡{A,B,C,D} ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡{A,B}, ¡{C,D,E} ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡{A,C}, ¡{B,D,E} ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡{A,D}, ¡{B,C,E} ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡{A,E}, ¡{B,C,E} ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡{B,C}, ¡{A,D,E} ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡{B,D}, ¡{A,C,E} ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡{B,E}, ¡{A,C,D} ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡{C,D}, ¡{A,B,E} ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡{C,E}, ¡{A,B,D} ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡{D,E}, ¡{A,B,C} ¡ ¡

ρ1 ¡ ρ2 ¡ ρ3 ¡ ρ4 ¡

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¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡Ex.: ¡Grid ¡(9, ¡9, ¡9, ¡9) ¡ Radon ¡par**on ¡candidates: ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡{A}, ¡{B,C,D,E} ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡{B}, ¡{A,C,D,E} ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡{C}, ¡{A,B,D,E} ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡{D}, ¡{A,B,C,E} ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡{E}, ¡{A,B,C,D} ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡{A,B}, ¡{C,D,E} ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡{A,C}, ¡{B,D,E} ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡{A,D}, ¡{B,C,E} ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡{A,E}, ¡{B,C,E} ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡{B,C}, ¡{A,D,E} ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡{B,D}, ¡{A,C,E} ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡{B,E}, ¡{A,C,D} ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡{C,D}, ¡{A,B,E} ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡{C,E}, ¡{A,B,D} ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡{D,E}, ¡{A,B,C} ¡ ¡

ρ1 ¡ ρ2 ¡ ρ3 ¡ ρ4 ¡

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A ¡ B ¡ C ¡ D ¡

¡(7,7,0,4) ¡ ¡ ¡

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¡ D ¡ ¡ B ¡ 0 ¡ 2 ¡ 7 ¡ 4 ¡ ¡ A ¡ C ¡ E ¡ Grid ¡(n1, ¡n2, ¡…, ¡nd) ¡ ¡ ¡:= ¡ ¡ ¡Pn1 ¡ ¡x ¡ ¡Pn2 ¡ ¡x ¡ ¡… ¡ ¡x ¡ ¡Pnd ¡ ¡ D ¡ ¡ A ¡ ¡ E ¡ 0 ¡ 1 ¡ 7 ¡ 2 ¡ B ¡ C ¡ ¡ D ¡ ¡ B ¡ 0 ¡ 2 ¡ 7 ¡ 4 ¡ ¡ A ¡ C ¡ E ¡ 0 ¡ 6 ¡ 3 ¡ ¡ A ¡ ¡ C ¡ D E ¡ ¡ B ¡ ¡ D ¡ ¡ C ¡ 0 ¡ 1 ¡ 8 ¡ 4 ¡ ¡ E ¡ ¡ B ¡ 5 ¡ ¡ A ¡

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¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡Ex.: ¡Grid ¡(9, ¡9, ¡9, ¡9) ¡ Radon ¡par**on ¡candidates: ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡{A}, ¡{B,C,D,E} ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡{B}, ¡{A,C,D,E} ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡{C}, ¡{A,B,D,E} ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡{D}, ¡{A,B,C,E} ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡{E}, ¡{A,B,C,D} ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡{A,B}, ¡{C,D,E} ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡{A,C}, ¡{B,D,E} ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡{A,D}, ¡{B,C,E} ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡{A,E}, ¡{B,C,E} ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡{B,C}, ¡{A,D,E} ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡{B,D}, ¡{A,C,E} ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡{B,E}, ¡{A,C,D} ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡{C,D}, ¡{A,B,E} ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡{C,E}, ¡{A,B,D} ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡{D,E}, ¡{A,B,C} ¡ ¡

ρ1 ¡ ρ2 ¡ ρ3 ¡ ρ4 ¡

¡ D ¡ ¡ A ¡ ¡ E ¡ 0 ¡ 1 ¡ 7 ¡ 2 ¡ B ¡ C ¡ ¡(2,7,6,1) ¡ ¡ ¡ ¡(0,0,0,0) ¡ ¡ ¡ ¡(1,4,3,5) ¡ ¡ ¡ ¡(2,2,0,8) ¡ ¡ ¡

A ¡ B ¡ C ¡ D ¡

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¡ D ¡ ¡ B ¡ 0 ¡ 2 ¡ 7 ¡ 4 ¡ ¡ A ¡ C ¡ E ¡ Grid ¡(n1, ¡n2, ¡…, ¡nd) ¡ ¡ ¡:= ¡ ¡ ¡Pn1 ¡ ¡x ¡ ¡Pn2 ¡ ¡x ¡ ¡… ¡ ¡x ¡ ¡Pnd ¡ ¡ D ¡ ¡ A ¡ ¡ E ¡ 0 ¡ 1 ¡ 7 ¡ 2 ¡ B ¡ C ¡ ¡ D ¡ ¡ B ¡ 0 ¡ 2 ¡ 7 ¡ 4 ¡ ¡ A ¡ C ¡ E ¡ 0 ¡ 6 ¡ 3 ¡ ¡ A ¡ ¡ C ¡ D E ¡ ¡ B ¡ ¡ D ¡ ¡ C ¡ 0 ¡ 1 ¡ 8 ¡ 4 ¡ ¡ E ¡ ¡ B ¡ 5 ¡ ¡ A ¡

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ρ1 ¡ ρ2 ¡ ρ3 ¡ ρ4 ¡

¡ D ¡ ¡ A ¡ ¡ E ¡ 0 ¡ 1 ¡ 7 ¡ 2 ¡ B ¡ C ¡ ¡ D ¡ ¡ B ¡ 0 ¡ 2 ¡ 7 ¡ 4 ¡ ¡ A ¡ C ¡ E ¡ 0 ¡ 6 ¡ 3 ¡ ¡ A ¡ ¡ C ¡ ¡(2,7,6,1) ¡ ¡ ¡ ¡(0,0,0,0) ¡ ¡ ¡ ¡(1,4,3,5) ¡ ¡ ¡ ¡(2,2,0,8) ¡ ¡ ¡

A ¡ B ¡ C ¡ D ¡

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ρ1 ¡ ρ2 ¡ ρ3 ¡ ρ4 ¡

¡ D ¡ ¡ A ¡ ¡ E ¡ 0 ¡ 1 ¡ 7 ¡ 2 ¡ B ¡ C ¡ ¡ D ¡ ¡ B ¡ 0 ¡ 2 ¡ 7 ¡ 4 ¡ ¡ A ¡ C ¡ E ¡ 0 ¡ 6 ¡ 3 ¡ ¡ A ¡ ¡ C ¡ ¡(2,7,6,1) ¡ ¡ ¡ ¡(0,0,0,0) ¡ ¡ ¡ ¡(1,4,3,5) ¡ ¡ ¡ ¡(2,2,0,8) ¡ ¡ ¡

A ¡ B ¡ C ¡ D ¡

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D E ¡ ¡ B ¡ Grid ¡(n1, ¡n2, ¡…, ¡nd) ¡ ¡ ¡:= ¡ ¡ ¡Pn1 ¡ ¡x ¡ ¡Pn2 ¡ ¡x ¡ ¡… ¡ ¡x ¡ ¡Pnd ¡ ¡ D ¡ ¡ A ¡ ¡ E ¡ 0 ¡ 1 ¡ 7 ¡ 2 ¡ B ¡ C ¡ ¡ D ¡ ¡ B ¡ 0 ¡ 2 ¡ 7 ¡ 4 ¡ ¡ A ¡ C ¡ E ¡ 0 ¡ 6 ¡ 3 ¡ ¡ A ¡ ¡ C ¡ D E ¡ ¡ B ¡ ¡ D ¡ ¡ C ¡ 0 ¡ 1 ¡ 8 ¡ 4 ¡ ¡ E ¡ ¡ B ¡ 5 ¡ ¡ A ¡

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¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡Ex.: ¡Grid ¡(9, ¡9, ¡9, ¡9) ¡ Radon ¡par**on ¡candidates: ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡{A}, ¡{B,C,D,E} ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡{B}, ¡{A,C,D,E} ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡{C}, ¡{A,B,D,E} ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡{D}, ¡{A,B,C,E} ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡{E}, ¡{A,B,C,D} ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡{A,B}, ¡{C,D,E} ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡{A,C}, ¡{B,D,E} ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡{A,D}, ¡{B,C,E} ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡{A,E}, ¡{B,C,E} ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡{B,C}, ¡{A,D,E} ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡{B,D}, ¡{A,C,E} ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡{B,E}, ¡{A,C,D} ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡{C,D}, ¡{A,B,E} ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡{C,E}, ¡{A,B,D} ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡{D,E}, ¡{A,B,C} ¡ ¡

ρ1 ¡ ρ2 ¡ ρ3 ¡ ρ4 ¡

¡ D ¡ ¡ A ¡ ¡ E ¡ 0 ¡ 1 ¡ 7 ¡ 2 ¡ B ¡ C ¡ ¡ D ¡ ¡ B ¡ 0 ¡ 2 ¡ 7 ¡ 4 ¡ ¡ A ¡ C ¡ E ¡ 0 ¡ 6 ¡ 3 ¡ ¡ A ¡ ¡ C ¡ D E ¡ ¡ B ¡ ¡(2,7,6,1) ¡ ¡ ¡ ¡(0,0,0,0) ¡ ¡ ¡ ¡(1,4,3,5) ¡ ¡ ¡ ¡(2,2,0,8) ¡ ¡ ¡

A ¡ B ¡ C ¡ D ¡

¡(7,7,0,4) ¡ ¡ ¡

E ¡

¡ D ¡ ¡ C ¡ 0 ¡ 1 ¡ 8 ¡ 4 ¡ ¡ E ¡ ¡ B ¡ 5 ¡ ¡ A ¡ Grid ¡(n1, ¡n2, ¡…, ¡nd) ¡ ¡ ¡:= ¡ ¡ ¡Pn1 ¡ ¡x ¡ ¡Pn2 ¡ ¡x ¡ ¡… ¡ ¡x ¡ ¡Pnd ¡

Geode*c ¡Radon ¡number ¡of ¡grids ¡

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ρ1 ¡ ρ2 ¡ ρ3 ¡ ρ4 ¡

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ρ1 ¡ ρ2 ¡ ρ3 ¡ ρ4 ¡

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(2) ¡ Grid ¡(n1, ¡n2, ¡…, ¡nd) ¡ ¡ ¡:= ¡ ¡ ¡Pn1 ¡ ¡x ¡ ¡Pn2 ¡ ¡x ¡ ¡… ¡ ¡x ¡ ¡Pnd ¡ (Eckhoff ¡1969) ¡ Theorem: ¡ ¡ ¡Let ¡r* ¡be ¡the ¡maximum ¡integer ¡sa@sfying ¡(2). ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡If ¡ ¡nj ¡ ¡≥ ¡r* ¡ ¡for ¡all ¡j, ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡then ¡

¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡Max ¡an*-­‑Radon ¡set ¡size ¡ ¡ ¡ ¡= ¡ ¡ ¡ ¡r* ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡Radon ¡number ¡ ¡ ¡ ¡= ¡ ¡ ¡ ¡r* ¡ ¡+ ¡1 ¡ ¡ ¡ ¡

…which ¡is ¡also ¡sufficient ¡for ¡“large ¡enough” ¡grids! ¡

¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡(Jamison-­‑Waldner ¡1981) ¡

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ρ1 ¡

0 ¡ 1 ¡ 2 ¡ ¡… ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡r*-­‑1 ¡

ρ2 ¡

0 ¡ 1 ¡ 2 ¡ ¡… ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡r*-­‑1 ¡

ρ10 ¡

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Geode*c ¡Radon ¡number ¡of ¡grids ¡

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Example: ¡d ¡= ¡10 ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ 6 ¡ 3 ¡ = ¡ ¡20 ¡ ¡≤ ¡ ¡2d ¡ 5 ¡ 2 ¡ = ¡ ¡10 ¡ ¡≤ ¡ ¡2d ¡ 7 ¡ 3 ¡ = ¡ ¡35 ¡ ¡> ¡ ¡2d ¡ Subsets ¡of ¡R ¡with ¡size ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡at ¡most ¡⎣6/2⎦ ¡= ¡3 ¡

ρ1 ¡

0 ¡ 1 ¡ 2 ¡ ¡… ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡r*-­‑1 ¡

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Geode*c ¡Radon ¡number ¡of ¡grids ¡

( ¡ ¡) ¡ ( ¡ ¡) ¡

Example: ¡d ¡= ¡10 ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ 6 ¡ 3 ¡ = ¡ ¡20 ¡ ¡≤ ¡ ¡2d ¡ 5 ¡ 2 ¡ = ¡ ¡10 ¡ ¡≤ ¡ ¡2d ¡ 7 ¡ 3 ¡ = ¡ ¡35 ¡ ¡> ¡ ¡2d ¡ Subsets ¡of ¡R ¡with ¡size ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡at ¡most ¡⎣6/2⎦ ¡= ¡3 ¡

ρ1 ¡

0 ¡ 1 ¡ 2 ¡ ¡… ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡r*-­‑1 ¡

ρ2 ¡

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0 ¡ 1 ¡ 2 ¡ ¡… ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡r*-­‑1 ¡ . ¡ . ¡ . ¡ F ¡ A ¡ r* ¡= ¡6 ¡ an*-­‑Radon ¡set ¡R ¡= ¡{A,B,C,D,E,F} ¡

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Geode*c ¡Radon ¡number ¡of ¡grids ¡

( ¡ ¡) ¡ ( ¡ ¡) ¡

Example: ¡d ¡= ¡10 ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ 6 ¡ 3 ¡ = ¡ ¡20 ¡ ¡≤ ¡ ¡2d ¡ 5 ¡ 2 ¡ = ¡ ¡10 ¡ ¡≤ ¡ ¡2d ¡ 7 ¡ 3 ¡ = ¡ ¡35 ¡ ¡> ¡ ¡2d ¡ Subsets ¡of ¡R ¡with ¡size ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡at ¡most ¡⎣6/2⎦ ¡= ¡3 ¡

ρ1 ¡

0 ¡ 1 ¡ 2 ¡ ¡… ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡r*-­‑1 ¡

ρ2 ¡

0 ¡ 1 ¡ 2 ¡ ¡… ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡r*-­‑1 ¡

ρ10 ¡

0 ¡ 1 ¡ 2 ¡ ¡… ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡r*-­‑1 ¡ . ¡ . ¡ . ¡ F ¡ A ¡ C ¡ r* ¡= ¡6 ¡ an*-­‑Radon ¡set ¡R ¡= ¡{A,B,C,D,E,F} ¡

What ¡about ¡grids ¡that ¡are ¡not ¡“large ¡enough”?? ¡

Geode*c ¡Radon ¡number ¡of ¡grids ¡

An ¡O(d ¡log ¡d) ¡algorithm ¡

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¡ ¡2d ¡ ¡ ¡ ¡≥ ¡

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( ¡ ¡ ¡) ¡

an*-­‑Radon ¡set ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡of ¡size ¡r ¡ (2) ¡

• 1. ¡ ¡ ¡Let ¡r* ¡be ¡the ¡maximum ¡integer ¡that ¡sa*sfies ¡the ¡necessary ¡condi*on ¡(2). ¡
• 2. For ¡ ¡r ¡ ¡= ¡ ¡r*, ¡r* ¡– ¡1, ¡… ¡, ¡2 ¡ ¡do: ¡

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• 3. ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡For ¡ ¡k ¡ ¡= ¡ ¡r/2, ¡ ¡r/2 ¡– ¡1, ¡… ¡, ¡1 ¡ ¡do: ¡ ¡
• 4. ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡Greedily ¡assign ¡a ¡dimension ¡j ¡to ¡each ¡one ¡of ¡the ¡binomial(r, ¡k) ¡ ¡ ¡

¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡permuta*ons ¡having ¡a ¡par*te ¡set ¡with ¡k ¡elements. ¡Criteria: ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡poten*al(j) ¡> ¡0 ¡ ¡is ¡maximum; ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡k-­‑quota(j) ¡not ¡exceeded. ¡ ¡

• 5. ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡If ¡no ¡dimension ¡j ¡can ¡be ¡chosen, ¡proceed ¡to ¡the ¡next ¡value ¡of ¡r ¡(line ¡2). ¡

¡

• 6. ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡Decrement ¡poten*al(j). ¡

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• 7. ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡Return ¡r. ¡

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• 3. ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡For ¡ ¡k ¡ ¡= ¡ ¡r/2, ¡ ¡r/2 ¡– ¡1, ¡… ¡, ¡1 ¡ ¡do: ¡ ¡
• 4. ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡Greedily ¡assign ¡a ¡dimension ¡j ¡to ¡each ¡one ¡of ¡the ¡binomial(r, ¡k) ¡ ¡ ¡

¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡permuta*ons ¡having ¡a ¡par*te ¡set ¡with ¡k ¡elements. ¡Criteria: ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡poten*al(j) ¡> ¡0 ¡ ¡is ¡maximum; ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡k-­‑quota(j) ¡not ¡exceeded. ¡ ¡

• 5. ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡If ¡no ¡dimension ¡j ¡can ¡be ¡chosen, ¡proceed ¡to ¡the ¡next ¡value ¡of ¡r ¡(line ¡2). ¡

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• 6. ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡Decrement ¡poten*al(j). ¡

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• 4. ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡Greedily ¡assign ¡a ¡dimension ¡j ¡to ¡each ¡one ¡of ¡the ¡binomial(r, ¡k) ¡ ¡ ¡

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• 5. ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡If ¡no ¡dimension ¡j ¡can ¡be ¡chosen, ¡proceed ¡to ¡the ¡next ¡value ¡of ¡r ¡(line ¡2). ¡

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• 6. ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡Decrement ¡poten*al(j). ¡

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• 3. ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡For ¡ ¡k ¡ ¡= ¡ ¡r/2, ¡ ¡r/2 ¡– ¡1, ¡… ¡, ¡1 ¡ ¡do: ¡ ¡
• 4. ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡Greedily ¡assign ¡a ¡dimension ¡j ¡to ¡each ¡one ¡of ¡the ¡binomial(r, ¡k) ¡ ¡ ¡

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• 1. ¡ ¡ ¡Let ¡r* ¡be ¡the ¡maximum ¡integer ¡that ¡sa*sfies ¡the ¡necessary ¡condi*on ¡(2). ¡
• 2. For ¡ ¡r ¡ ¡= ¡ ¡r*, ¡r* ¡– ¡1, ¡… ¡, ¡2 ¡ ¡do: ¡

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• 4. ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡Greedily ¡assign ¡a ¡dimension ¡j ¡to ¡each ¡one ¡of ¡the ¡binomial(r, ¡k) ¡ ¡ ¡

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• 5. ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡If ¡no ¡dimension ¡j ¡can ¡be ¡chosen, ¡proceed ¡to ¡the ¡next ¡value ¡of ¡r ¡(line ¡2). ¡

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• 6. ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡Decrement ¡poten*al(j). ¡

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• 1. ¡ ¡ ¡Let ¡r* ¡be ¡the ¡maximum ¡integer ¡that ¡sa*sfies ¡the ¡necessary ¡condi*on ¡(2). ¡

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An ¡O(d ¡log ¡d) ¡algorithm ¡ An ¡O(d) ¡linear-­‑*me ¡algorithm ¡!!! ¡

Gracias ¡! ¡ ! ¡

Polynomial ¡*me ¡algorithm ¡for ¡the ¡Radon ¡number ¡ ¡

• f ¡grids ¡in ¡the ¡geode*c ¡convexity ¡

Mitre ¡Costa ¡Dourado ¡ Dieter ¡Rautenbach ¡ Vinícius ¡Gusmão ¡Pereira ¡de ¡Sá ¡ Jayme ¡Luiz ¡Szwarcfiter ¡ ¡

¡

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¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡