On relationships between canonical genus and flat Seifert surfaces - - PowerPoint PPT Presentation

On relationships between canonical genus and flat Seifert surfaces

結び目の数学VI 三浦 嵩広

(神戸大学大学院理学研究科, D3)

Seifert’s algorithm

→ →

S : canonical Seifert surface.

def

⇐ ⇒ S は link diagram から Seifert’s algorithm に

よって得られる Seifert surface.

canonical genus L : link. g(S) : surface S の genus. g(L) := min{g(S) | S : L の Seifert surface}. : L の genus. gc(L) := min{g(S) | S : L の canonical Seifert surface}. : L の canonical genus. Fact. g(L) ≤ gc(L). Q. g(L) < gc(L) をみたす L は存在するか ?

• A. K : trefoil knot の Whitehead double.

g(K) < gc(K). g(K) = 1.

• A. K : trefoil knot の Whitehead double.

g(K) < gc(K).

→ →

gc(K) ≤ g(S) = 1 + #{band} − #{disk} 2 = 1 + 14 − 9 2 = 3.

• A. K : trefoil knot の Whitehead double.

g(K) < gc(K). HOMFLY polynomial P(L) = P(L; v, z) ∈ Z[v±1, z±1].

✬ ✫ ✩ ✪

• Thm. (Morton’s inequality)[1986]

L : r-comp. link, 2gc(L) + r − 1 ≥ z-maxdegP(L).

ここで z-maxdegP(L) は P(L) の z における最高次数.

• A. K : trefoil knot の Whitehead double.

g(K) < gc(K). P(K) = (4v−2 − 8 + 6v2 − v4) + (−4v−2 − 15 + 10v2 − v4 − v6)z2 + (v−2 − 7 + 6v2)z4 + (−1 + v2)z6. 2gc(K) ≥ z-maxdegP(K) = 6. gc(K) ≤ 3 より，gc(K) = 3. ∴ g(K) < gc(K).

L : r-comp. link. S : L の canonical Seifert surface. Cor. z-maxdegP(L) = 2g(S) + r − 1 ⇒ g(L) = g(S). Proof 2g(S) + r − 1 ≥ 2gc(L) + r − 1. ≥ z-maxdegP(L) = 2g(S) + r − 1.

• Def.

Cor.’ L ∈ M = ⇒ gc(L) = g(S).

研究目的 どんな L が L ∈ M をみたすか？ 先行研究

L ∈ M の例.

• homogeneous link (alternating link, positive link).

[Cromwell 1989]

• Whitehead double, double of

                 (i) (2, n)-torus knot. [Tripp 2002] (ii) 2-bridge knot. [Nakamura 2006] (iii) pretzel knot P(a1, a2, . . . , an), (ai > 0). [Brittenham, Jensen 2006] (iv) (i)～(iii)を含む alternating knot family. [Jang, Lee 2012]

予想 any alternating knot.

flat Seifert surface link diagram D が special diagram.

def

⇐ ⇒ Dの任意のSeifert circle が，S2 \ {Seifert circle}に disk を張れる． surface F が flat Seifert surface.

def

⇐ ⇒ F は special diagram から Seifert’s algorithm によって

得られる surface.

Fact.

任意の link は flat Seifert surface をもつ．

flat Seifert surface の例.

→ →

flat Seifert surface の例.

→ → → →

✤ ✣ ✜ ✢

• Thm. [Hirasawa 1995]

任意の canonical Seifert surface は，ある flat Seifert surface と ambient isotopic.

Rem.

flat Seifert surface F を表す signed plane graph G F を表す signed plane graph G を次のように定義する: G = (V, E, f), f : E − → {±1}

F を表すGの例

• Fact. F : flat Seifert surface. ⇐

⇒ G : connected, bipartite.

G から得られる graph ˜ G を次のように定義する． ˜ G = ( ˜ V , ˜ E, ˜ f), ˜ f : ˜ E − → Z (1) a ∈ V s.t. deg a = 2 に接続している edge をつなぐ. (2) (1)で得られた edge e ∈ ˜ E に対し，

元の edge の符号の和 を ˜

f(e) とする．

Prop. G : connected, bipartite, signed, plane graph. F : G が表す flat Seifert surface. ˜ G = ( ˜ V , ˜ E, ˜ f) が次をみたすとき，∂F ∈ M. (1) ˜ G の subgraph (˜ V , ˜ E+) において，∀a ∈ ˜ V , deg a ̸= 1.

ここで ˜

E+ := {e ∈ ˜ E | ˜ f(e) ≥ 0}. (2) e ∈ ˜ E+ ⇒ ˜ f(e) : even, ≥ 2.

… …

(1) ˜ G の subgraph (˜ V , ˜ E+) において，∀a ∈ ˜ V , deg a ̸= 1.

ここで ˜

E+ := {e ∈ ˜ E | ˜ f(e) ≥ 0}. (2) e ∈ ˜ E+ ⇒ ˜ f(e) : even, ≥ 2.

… … … …

G = (V, E, f) : connected, bipartite, signed, plane graph. F : G が表わす flat Seifert surface.

• Prop. の証明には次をみたす多項式

Q(E1) ∈ Z[v±1] (E1 ⊂ E) を用いた．

• ∑

E1⊂E

Q(E1) ̸= 0 ⇒ ∂F ∈ M.

• G が Prop. の条件(1), (2)をみたすとき，

(i) maxdegQ(E+) = |E+|. (ii) E1 ̸= E+ ⇒ maxdegQ(E1) < |E+|.

ここで，E+ := {e ∈ E | f(e) = +1}.

今後の研究

• ∑

E1⊂E

Q(E1) ̸= 0

を用いて得られる その他のlink L ∈ M の構成. 特にknot K ∈ M.

• Tripp’s conjecture の（部分的）解決.

任意の alternating knot の Whitehead double, double ∈ M.