st - - PowerPoint PPT Presentation

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■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ Pr♦❜❧❡♠ st❛t❡♠❡♥t ❆ ❝❧❛ss✐❝❛❧ ❡①❛♠♣❧❡ ❘❡s✉❧ts

❈❛♥♦♥✐❝❛❧ ♣♦❧②❛❞✐❝ ❞❡❝♦♠♣♦s✐t✐♦♥ ♦❢ t❤✐r❞✲♦r❞❡r t❡♥s♦rs✿ s♦♠❡ r❡s✉❧ts ♦♥ ✉♥✐q✉❡♥❡ss ❛♥❞ ❛❧❣❡❜r❛✐❝ ❛❧❣♦r✐t❤♠

■❣♥❛t ❉♦♠❛♥♦✈✱ ▲✐❡✈❡♥ ❉❡ ▲❛t❤❛✉✇❡r

• r♦✉♣ ❙❝✐❡♥❝❡✱ ❊♥❣✐♥❡❡r✐♥❣ ❛♥❞ ❚❡❝❤♥♦❧♦❣②✱ ❑❯ ▲❡✉✈❡♥✕❑✉❧❛❦

❉❡♣❛rt♠❡♥t ♦❢ ❊❧❡❝tr✐❝❛❧ ❊♥❣✐♥❡❡r✐♥❣ ✭❊❙❆❚✮✱ ❙❈❉✕❙❚❆❉■❯❙✱ ❑❯ ▲❡✉✈❡♥

❋❡❜r✉❛r② ✹✱ ✷✵✶✺

✶✴✷✼

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■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ Pr♦❜❧❡♠ st❛t❡♠❡♥t ❆ ❝❧❛ss✐❝❛❧ ❡①❛♠♣❧❡ ❘❡s✉❧ts

❱✐③✉❛❧✐③❛t✐♦♥ ♦❢ T ❛♥❞ r❛♥❦✲✶ t❡♥s♦r

T ≡ ❛♥ I × J × K ❛rr❛② ♦❢ ♥✉♠❜❡rs r❛♥❦✲✶ t❡♥s♦rs

❛❧❧ ✜❜❡rs

✫

❛❧❧ r♦✇s

✫

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r❛♥❦✲✶ t❡♥s♦r ✿ ❛ ⊗ ❜ ⊗ ❝ ∈ CI×J×K✱ ❛, ❜, ❝ ✲ ♥♦♥③❡r♦ ✈❡❝t♦rs

✷✴✷✼

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❉❡❝♦♠♣♦s✐t✐♦♥s ✐♥t♦ r❛♥❦✲✶ t❡r♠s✿ I × J × K t❡♥s♦rs

r❛♥❦✲✶ t❡♥s♦r ❛❧✇❛②s ❡q✉❛❧s t❤❡ ♦✉t❡r ♣r♦❞✉❝t ♦❢ t❤r❡❡ ✈❡❝t♦rs a✶ aI b✶ bJ c✶ cK = a✶b✶c✶ aIbJcK a✶b✶cK a✶bJcK aIb✶cK aIbJc✶ aIb✶c✶ a✶bJc✶ a✶b✶cK

✸✴✷✼

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P❛r❛❢❛❝✱ ❈P ❞❡❝♦♠♣♦s✐t✐♦♥✱✳✳✳

P♦❧②❛❞✐❝ ❉❡❝♦♠♣♦s✐t✐♦♥ ✭ P❉ ✮✿ T =

R

• r=✶

❛r ⊗ ❜r ⊗ ❝r P❛r❛❢❛❝ ♦r ❈❛♥❞❡❝♦♠♣ ♦r ❈❛♥❞❡❝♦♠♣✴P❛r❛❢❛❝ ♦r ❈P ❞❡❝♦♠♣♦s✐t✐♦♥ ♦r ❈❛♥♦♥✐❝❛❧ P♦❧②❛❞✐❝ ❉❡❝♦♠♣♦s✐t✐♦♥ ✭ ❈P❉ ✮            ❛ P❉ ✇✐t❤ ♠✐♥✐♠❛❧ R

• r❛♥❦ ♦❢ T

✹✴✷✼

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❱✐③✉❛❧✐③❛t✐♦♥ ♦❢ P❉ ♦❢ T

✶✷ ✵ ✵ ✶✷ ✲✶✷ ✶✷ ✵ ✵ ✵ = ✲✸ ✲✹ ✸ ✻ ✶ ✸ + ✶ ✵ ✸ ✲✻ ✸ ✶ + ✹ ✹ ✶ ✸ ✸ ✻ ◆❖❚❆❚■❖◆✿ T =      −✸ ✶ ✹ −✹ ✵ ✹

• ❆

, ✸ ✸ ✶ ✻ −✻ ✸

• ❇

, ✶ ✸ ✸ ✸ ✶ ✻

• ❈

    

✸

= [ ❆, ❇, ❈

❢❛❝t♦r ♠❛tr✐❝❡s

]✸

✺✴✷✼

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■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ Pr♦❜❧❡♠ st❛t❡♠❡♥t ❆ ❝❧❛ss✐❝❛❧ ❡①❛♠♣❧❡ ❘❡s✉❧ts

❈❛♥ ✇❡ ✉s❡ ❧❡ss t❤❛♥ ✸ t❡r♠s❄ ❲❤❛t ✐s t❤❡ r❛♥❦ ♦❢ T ❄ ✶✷ ✵ ✵ ✶✷ ✲✶✷ ✶✷ ✵ ✵ ✵ ✶ ❥ ✻ ✲✻❥ ✶ ❥ ✶ ✲❥ ✻ ✻❥ ✶ ✲❥ ✶ ✶ ✻ ✻ ✻ ✻ ✶ ✶

✷

✻✴✷✼

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❈❛♥ ✇❡ ✉s❡ ❧❡ss t❤❛♥ ✸ t❡r♠s❄ ❲❤❛t ✐s t❤❡ r❛♥❦ ♦❢ T ❄ ✶✷ ✵ ✵ ✶✷ ✲✶✷ ✶✷ ✵ ✵ ✵ = ✶ ❥ ✻ ✲✻❥ ✶ ❥ + ✶ ✲❥ ✻ ✻❥ ✶ ✲❥ = ✶ ✶ j −j

• ,

✻ ✻ −✻j ✻j

• ,

✶ ✶ j −j

• ✷

✻✴✷✼

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❯♥✐q✉❡♥❡ss ♦❢ t❤❡ ❈P❉

❈P❉ ♦❢ T ✐s ✉♥✐q✉❡

• ❛❧❧ ❈P❉s ♦❢ T ❤❛✈❡ t❤❡ s❛♠❡ r❛♥❦ ♦♥❡ t❡r♠s

✶✷ ✵ ✵ ✶✷ ✲✶✷ ✶✷ ✵ ✵ ✵ = ✲✸ ✲✹ ✸ ✻ ✶ ✸ + ✶ ✵ ✸ ✲✻ ✸ ✶ + ✹ ✹ ✶ ✸ ✸ ✻ = ✶ ❥ ✻ ✲✻❥ ✶ ❥ + ✶ ✲❥ ✻ ✻❥ ✶ ✲❥

✼✴✷✼

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■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ Pr♦❜❧❡♠ st❛t❡♠❡♥t ❆ ❝❧❛ss✐❝❛❧ ❡①❛♠♣❧❡ ❘❡s✉❧ts

❑r✉s❦❛❧✬s r❡s✉❧ts ♦♥ ✉♥✐q✉❡♥❡ss ♦❢ ❈P❉

❉❡✜♥✐t✐♦♥✿ ❚❤❡ k✲r❛♥❦ ♦❢ ❛ ♠❛tr✐① ❆ k❆ = ♠❛①{k : ❛♥② k ❝♦❧✉♠♥s ♦❢ ❆ ❛r❡ ❧✐♥❡❛r❧② ✐♥❞❡♣❡♥❞❡♥t}. ❊①❛♠♣❧❡✿ ❆ = ✶ ✵ ✶ ✵ ✶ ✶

• ,

r❆ = ✷, k❆ = ✷ ❇ = ✶ ✵ ✵ ✵ ✶ ✶

• ,

r❇ = ✷, k❇ = ✶ ❊①❛♠♣❧❡✿ ❆ ✐s ❣❡♥❡r✐❝ I × R ♠❛tr✐① ⇒ k❆ = ♠✐♥(I, R)

✽✴✷✼

✱ ✱

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ Pr♦❜❧❡♠ st❛t❡♠❡♥t ❆ ❝❧❛ss✐❝❛❧ ❡①❛♠♣❧❡ ❘❡s✉❧ts

❑r✉s❦❛❧✬s r❡s✉❧ts ♦♥ ✉♥✐q✉❡♥❡ss ♦❢ ❈P❉

❚❤❡♦r❡♠ ▲❡t T = [❆, ❇, ❈]R✳ ■❢ k❆ + r❇ + r❈ ≥ ✷R + ✷, ♠✐♥(r❈ + k❇, k❈ + r❇) ≥ R + ✷, ✭✶✮ ♦r ✏♣❡r♠✉t❡ ❆✱ ❇✱ ❈ ✐♥ ✭✶✮✑ ♦r k❆ + k❇ + k❈ ≥ ✷R + ✷, ✭✷✮ t❤❡♥ rT = R ❛♥❞ t❤❡ ❈P❉ ♦❢ T ✐s ✉♥✐q✉❡✳ ❖❜✈✐♦✉s❧②✿ k❆ ≤ r❆✱ k❇ ≤ ... ⇒ ✭✷✮ ✐s ♠♦r❡ r❡str✐❝t✐✈❡ t❤❛♥ ✭✶✮✳

❏✳❇✳ ❑r✉s❦❛❧✳ ❚❤r❡❡✲✇❛② ❛rr❛②s✿ ❘❛♥❦ ❛♥❞ ✉♥✐q✉❡♥❡ss ♦❢ tr✐❧✐♥❡❛r ❞❡❝♦♠♣♦s✐t✐♦♥s✳ ▲✐♥✳ ❆❧❣✳ ❆♣♣❧✳✱ ✶✽✭✷✮✿✾✺✖✶✸✽✱ ✶✾✼✼✳

✾✴✷✼

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■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ Pr♦❜❧❡♠ st❛t❡♠❡♥t ❆ ❝❧❛ss✐❝❛❧ ❡①❛♠♣❧❡ ❘❡s✉❧ts

❈♦♥❞✐t✐♦♥s ❢♦r ✉♥✐q✉❡♥❡ss✿ ▲✐♠✕❈♦♠♦♥

❈♦♠♣✉t❛t✐♦♥ ♦❢ k✲r❛♥❦ ✐s ◆P ❤❛r❞✳ ✐t ✐s ❦♥♦✇♥ t❤❛t

✶ µ❆ ≥ k❆✱ ✇❤❡r❡

❝♦❤❡r❡♥❝❡ ♦❢ ❆✿ µ❆ := ♠❛①

✶≤i<j≤R |❛T

i ❛j|

❛i❛j

■❞❡❛✿ r❡♣❧❛❝❡ ✐♥ ✭✷✮ t❤❡ ❦✲r❛♥❦s ❜② ❝♦❤❡r❡♥❝❡s−✶ ❚❤❡♦r❡♠ ▲❡t T = [❆, ❇, ❈]R✳ ■❢

✶ µ❆ + ✶ µ❇ + ✶ µ❈ ≥ ✷R + ✷, t❤❡♥ rT = R ❛♥❞

t❤❡ ❈P❉ ♦❢ t❡♥s♦r T ✐s ✉♥✐q✉❡✳

▲✳✲❍✳ ▲✐♠ ❛♥❞ P✳ ❈♦♠♦♥✳ ❇❧✐♥❞ ♠✉❧t✐❧✐♥❡❛r ✐❞❡♥t✐✜❝❛t✐♦♥✳ ■❊❊❊ ❚r❛♥s❛❝t✐♦♥s ♦♥ ■♥❢♦r♠❛t✐♦♥ ❚❤❡♦r② ✻✵✭✷✮✿✶✷✻✵✕✶✷✽✵✱ ✷✵✶✹

✶✵✴✷✼

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■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ Pr♦❜❧❡♠ st❛t❡♠❡♥t ❆ ❝❧❛ss✐❝❛❧ ❡①❛♠♣❧❡ ❘❡s✉❧ts

❲❡ ❝❛♥ ❛❧s♦ r❡♣❧❛❝❡ t❤❡ ❦✲r❛♥❦s ❜② ❝♦❤❡r❡♥❝❡s−✶ ✐♥ ✭✶✮ ❚❤❡♦r❡♠ ▲❡t T = [❆, ❇, ❈]R✳ ■❢

• ✶

µ❆ + r❇ + r❈

≥ ✷R + ✷, ♠✐♥(r❈ +

✶ µ❇ , ✶ µ❈ + r❇)

≥ R + ✷, ✭✸✮ t❤❡♥ rT = R ❛♥❞ t❤❡ ❈P❉ ♦❢ T ✐s ✉♥✐q✉❡✳ ❘❊▼❆❘❑✿ ✏♣❡r♠✉t❡ ❆✱ ❇✱ ❈ ✐♥ ✭✸✮✑ ✕ t✇♦ ♦t❤❡r ❝♦♥❞✐t✐♦♥s

✶✶✴✷✼

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■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ Pr♦❜❧❡♠ st❛t❡♠❡♥t ❆ ❝❧❛ss✐❝❛❧ ❡①❛♠♣❧❡ ❘❡s✉❧ts

Pr♦❜❧❡♠ ✶✿✭ ❯♥✐q✉❡♥❡ss ✮

• ✐✈❡♥ ❈P❉ T =

R

• r=✶

❛r ⊗ ❜r ⊗ ❝r✳ ■s t❤❡ ❈P❉ ✉♥✐q✉❡❄ Pr♦❜❧❡♠ ✷✿✭ ✏❆❧❣❡❜r❛✐❝✑ ❛❧❣♦r✐t❤♠ ✮ ❈♦♠♣✉t❡ t❤❡ ❈P❉ T =

R

• r=✶

❛r ⊗ ❜r ⊗ ❝r ❜② ♠❡❛♥s ♦❢ ▲✐♥❡❛r ❆❧❣❡❜r❛✿ ❝♦♠♣✉t❛t✐♦♥ ♦❢ r❛♥❦s ❝♦♠♣✉t❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ♥✉❧❧ s♣❛❝❡ ❡✐❣❡♥✈❛❧✉❡ ❞❡❝♦♠♣♦s✐t✐♦♥s

✶✷✴✷✼

✱ ✱

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ Pr♦❜❧❡♠ st❛t❡♠❡♥t ❆ ❝❧❛ss✐❝❛❧ ❡①❛♠♣❧❡ ❘❡s✉❧ts

❆♥ R × R × ✷ t❡♥s♦r ♦❢ r❛♥❦ R

• ✐✈❡♥ P❉ T =

R

• r=✶

❛r ⊗ ❜r ⊗ ❝r ∈ CR × CR × C✷✱ t❤❛t ✐s✱ T = [❆, ❇, ❈]R ✱ ✐♥ ✇❤✐❝❤      ❆ := [❛✶ . . . ❛R] ❛♥❞ ❇ := [❜✶ . . . ❜R], ❛r❡ R × R ♠❛tr✐❝❡s✱ ❈ := [❝✶ . . . ❝R] :=

• ❝✶

❝✷

• ,

✐s ❛♥ ✷ × R ♠❛tr✐①✳

✶✸✴✷✼

✱ ✱

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ Pr♦❜❧❡♠ st❛t❡♠❡♥t ❆ ❝❧❛ss✐❝❛❧ ❡①❛♠♣❧❡ ❘❡s✉❧ts

❆♥ R × R × ✷ t❡♥s♦r ♦❢ r❛♥❦ R

❆ss✉♠❡ t❤❛t ❆ := [❛✶ . . . ❛R] ❛♥❞ ❇ := [❜✶ . . . ❜R] ❛r❡ ♥♦♥s✐♥❣✉❧❛r ❛♥❞ ❈ ❤❛s ♥♦ ♣r♦♣♦rt✐♦♥❛❧ ❝♦❧✉♠♥s✳ ❚❤❡♥ P✶✿ rk(T ) = R ❛♥❞ t❤❡ ❈P❉ ♦❢ T ✐s ✉♥✐q✉❡✱ P✷✿ ❈P❉ ♦❢ T ❝❛♥ ❜❡ ❢♦✉♥❞ ❛❧❣❡❜r❛✐❝❛❧❧②✳

✶✹✴✷✼

✱ ✱

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ Pr♦❜❧❡♠ st❛t❡♠❡♥t ❆ ❝❧❛ss✐❝❛❧ ❡①❛♠♣❧❡ ❘❡s✉❧ts

❆♥ R × R × ✷ t❡♥s♦r ♦❢ r❛♥❦ R✿ r❡❞✉❝t✐♦♥ t♦ ❊❉

❙❚❊P ✶✿ ❘❡✇r✐t❡ T =

R

• r=✶

❛r ⊗ ❜r ⊗ ❝r ✐♥ ❛ ♠❛tr✐① ❢♦r♠✿ ❚✶ = ❆❉✐❛❣(❝✶)❇T, ❚✷ = ❆❉✐❛❣(❝✷)❇T, (∗) ✇❤❡r❡ ❚✶ ❛♥❞ ❚✷ ❞❡♥♦t❡ t❤❡ ❢r♦♥t❛❧ s❧✐❝❡s ♦❢ T ✳ ❙❚❊P ✷✿ ❡❧✐♠✐♥❛t❡ ❆ ❛♥❞ ❇ ✐♥ ✭∗✮ ❆❉✐❛❣(❞)❆−✶ = ❚✶❚−✶

✷ ,

❇❉✐❛❣(❞)❇−✶ = (❚−✶

✷ ❚✶)T,

✇❤❡r❡ ❉✐❛❣(❞) := ❉✐❛❣(❝✶)❉✐❛❣(❝✷)−✶ ❤❛s ❞✐st✐♥❝t ❞✐❛❣♦♥❛❧ ❡♥tr✐❡s✳ ❙❚❊P ✸✿ ✱ ❛✶, . . . , ❛R ❛r❡ t❤❡ ❡✐❣❡♥✈❡❝t♦rs ♦❢ ❚✶❚−✶

✷

❜✶, . . . , ❜R ❛r❡ t❤❡ ❡✐❣❡♥✈❡❝t♦rs ♦❢ (❚−✶

✷ ❚✶)T

❝✶, ❝✷ ❛r❡ ❡❛s✐❧② ❢♦✉♥❞ ❢r♦♠ ✭∗✮✳

✶✺✴✷✼

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■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ Pr♦❜❧❡♠ st❛t❡♠❡♥t ❆ ❝❧❛ss✐❝❛❧ ❡①❛♠♣❧❡ ❘❡s✉❧ts

❉❡✜♥✐t✐♦♥ ▲❡t Cm(❆) ⊙ Cm(❇) ❜❡ ❛ ♠❛tr✐① ✇❤♦s❡ ❝♦❧✉♠♥s ❛r❡ Λm(❛i✶⊗· · ·⊗❛im)⊗Λm(❜i✶⊗· · ·⊗❜im), ✶ ≤ i✶ < i✷ < · · · < im ≤ R. ❚❤❡♦r❡♠ ✭■❉✫▲❉▲✱✷✵✶✹✮ ▲❡t T = [❆, ❇, ❈]R✱ k❈ = r❈✱ m = R − r❈ + ✷ ❛♥❞ ❧❡t Cm(❆) ⊙ Cm(❇) ❤❛✈❡ ❢✉❧❧ ❝♦❧✉♠♥ r❛♥❦✳ ❚❤❡♥ ✭✐✮ rT = R ❛♥❞ t❤❡ ❈P❉ ♦❢ T ✐s ✉♥✐q✉❡❀ ✭✐✐✮ t❤❡ ❈P❉ ♦❢ T ❝❛♥ ❜❡ ❢♦✉♥❞ ❛❧❣❡❜r❛✐❝❛❧❧②✳

■✳ ❉♦♠❛♥♦✈ ❛♥❞ ▲✳ ❉❡ ▲❛t❤❛✉✇❡r✳ ❈❛♥♦♥✐❝❛❧ ♣♦❧②❛❞✐❝ ❞❡❝♦♠♣♦s✐t✐♦♥ ♦❢ t❤✐r❞✲♦r❞❡r t❡♥s♦rs✿ r❡❞✉❝t✐♦♥ t♦ ❣❡♥❡r❛❧✐③❡❞ ❡✐❣❡♥✈❛❧✉❡ ❞❡❝♦♠♣♦s✐t✐♦♥✳ ❙■❆▼ ❏✳ ▼❛tr✐① ❆♥❛❧✳ ❆♣♣❧✳✱ ✸✺✭✷✮✿✻✸✻✲✻✻✵✱ ✷✵✶✹✳

✶✻✴✷✼

✱ ✱

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ Pr♦❜❧❡♠ st❛t❡♠❡♥t ❆ ❝❧❛ss✐❝❛❧ ❡①❛♠♣❧❡ ❘❡s✉❧ts

■❧❧✉str❛t✐♦♥ ❢♦r K = R✿ ✉♥✐q✉❡♥❡ss

❲❡ r❡✲❡①♣❧❛✐♥ r❡s✉❧ts ❢r♦♠

▲✳ ❉❡ ▲❛t❤❛✉✇❡r✳ ❆ ❧✐♥❦ ❜❡t✇❡❡♥ t❤❡ ❝❛♥♦♥✐❝❛❧ ❞❡❝♦♠♣♦s✐t✐♦♥ ✐♥ ♠✉❧t✐❧✐♥❡❛r ❛❧❣❡❜r❛ ❛♥❞ s✐♠✉❧t❛♥❡♦✉s ♠❛tr✐① ❞✐❛❣♦♥❛❧✐③❛t✐♦♥✳ ❙■❆▼ ❏✳ ▼❛tr✐① ❆♥❛❧✳ ❆♣♣❧✳✱ ✷✽✭✸✮✿ ✻✹✷✲✻✻✻✱ ✷✵✵✻✳ ❚✳ ❏✐❛♥❣ ❛♥❞ ◆✳❉✳ ❙✐❞✐r♦♣♦✉❧♦s✳ ❑r✉s❦❛❧✬s ♣❡r♠✉t❛t✐♦♥ ❧❡♠♠❛ ❛♥❞ t❤❡ ✐❞❡♥t✐✜❝❛t✐♦♥ ♦❢ ❈❆◆❉❊❈❖▼P✴P❆❘❆❋❆❈ ❛♥❞ ❜✐❧✐♥❡❛r ♠♦❞❡❧s ✇✐t❤ ❝♦♥st❛♥t ♠♦❞✉❧✉s ❝♦♥str❛✐♥ts✳ ■❊❊❊ ❚r❛♥s✳ ❙✐❣♥❛❧ Pr♦❝❡ss✳✱ ✺✷✭✾✮✿✷✻✷✺✲✷✻✸✻✱ ✷✵✵✹✳

K = R ⇒ m = R − r❈ + ✷ = ✷ C✷(❆) ⊙ C✷(❇) ❤❛s R(R−✶)

✷

❝♦❧✉♠♥s (❛i ⊗ ❛j − ❛j ⊗ ❛i) ⊗ (❜i ⊗ ❜j − ❜j ⊗ ❜i), ✶ ≤ i < j ≤ R ■❢ C✷(❆) ⊙ C✷(❇) ❤❛s ❢✳❝✳r ⇒ ❈P❉ ✐s ✉♥✐q✉❡

✶✼✴✷✼

✱ ✱

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ Pr♦❜❧❡♠ st❛t❡♠❡♥t ❆ ❝❧❛ss✐❝❛❧ ❡①❛♠♣❧❡ ❘❡s✉❧ts

❖▲❉✿ ■❧❧✉str❛t✐♦♥ ❢♦r K = R✿ ❛❧❣❡❜r❛✐❝ ❛❧❣♦r✐t❤♠

▼❛✐♥ ❝♦♥str✉❝t✐♦♥✿ ■◆P❯❚✿ T ∈ CI×J×K ❖❯❚P❯❚✿ ❘✷(T ) ∈ CI ✷J✷×K ✷ ❙❚❊P ✶✿ T ⊗✷ ← T ⊗ T ∈ CI×J×K×I×J×K ❙❚❊P ✷✿ T ⊗✷

I

← ♣❛rt✐❛❧❧② s❦❡✇✲s②♠♠❡tr✐③❡ T ⊗✷ ❛❧♦♥❣ ✏■✑ ❞✐♠✲s ❙❚❊P ✸✿ T ⊗✷

IJ

← ♣❛rt✐❛❧❧② s❦❡✇✲s②♠♠❡tr✐③❡ T ⊗✷

I

❛❧♦♥❣ ✏❏✑ ❞✐♠✲s ❙❚❊P ✹✿ ❘✷(T ) ← r❡s❤❛♣❡ T ⊗✷

IJ

✐♥t♦ I ✷J✷ × K ✷ ♠❛tr✐①

✶✽✴✷✼

✱ ✱

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ Pr♦❜❧❡♠ st❛t❡♠❡♥t ❆ ❝❧❛ss✐❝❛❧ ❡①❛♠♣❧❡ ❘❡s✉❧ts

❖▲❉✿ ■❧❧✉str❛t✐♦♥ ❢♦r K = R✿ ❛❧❣❡❜r❛✐❝ ❛❧❣♦r✐t❤♠

Pr♦♣❡rt✐❡s ♦❢ ❘✷(T ) r♦✇s ♦❢ ❘✷(T ) ❛r❡ ✈❡❝t♦r✐③❡❞ R × R s②♠♠❡tr✐❝ ♠❛tr✐❝❡s ❞✐♠

• ❦❡r(❘✷(T ))
• ✭ ✈❡❝t♦r✐③❡❞ s②♠♠❡tr✐❝ ♠❛tr✐❝❡s✮
• W

= R ❘✷(T )(① ⊗ ①) = ✵ ⇔ ① ✐s ♣r♦♣♦rt✐♦♥❛❧ t♦ ❛ ❝♦❧✉♠♥ ♦❢ ❈−T ⇒ ✐❢ ✇✶, . . . , ✇R ✐s ❛ ❜❛s✐s ♦❢ W ✱ t❤❡♥ t❤❡r❡ ❡①✐sts ❛ ✉♥✐q✉❡ ♥♦♥s✐♥❣✉❧❛r R × R ♠❛tr✐① ▼✿ [✇✶ . . . ✇R] = (❈−T⊙❈−T)▼ ∼ ❈P❉ ♦❢ R×R×R t❡♥s♦r ♦❢ r❛♥❦ R W = [❈−T, ❈−T, ▼T]R

✶✾✴✷✼

✱ ✱

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ Pr♦❜❧❡♠ st❛t❡♠❡♥t ❆ ❝❧❛ss✐❝❛❧ ❡①❛♠♣❧❡ ❘❡s✉❧ts

◆❊❲✿ ❆❧❣♦r✐t❤♠ ❢♦r K = R

■✳ ❉♦♠❛♥♦✈✱ ▲✳ ❉❡ ▲❛t❤❛✉✇❡r✳ ❈❛♥♦♥✐❝❛❧ ♣♦❧②❛❞✐❝ ❞❡❝♦♠♣♦s✐t✐♦♥ ♦❢ t❤✐r❞✲♦r❞❡r t❡♥s♦rs✿ r❡❧❛①❡❞ ✉♥✐q✉❡♥❡ss ❝♦♥❞✐t✐♦♥s ❛♥❞ ❛❧❣❡❜r❛✐❝ ❛❧❣♦r✐t❤♠✱ ❛r❳✐✈✿✶✺✵✶✳✵✼✷✺✶✱ ✷✵✶✺✳

■◆P❯❚✿ T ∈ CI×J×R ❛♥❞ l ≥ ✵ ❖❯❚P❯❚✿ ▼❛tr✐❝❡s ❆✱ ❇✱ ❛♥❞ ❈ s✉❝❤ t❤❛t T = [❆, ❇, ❈]R ✶✿ ❈♦♥str✉❝t t❤❡ I ✷+lJ✷+l × R✷+l ♠❛tr✐① ❘✷,l(T ) ✷✿ ❋✐♥❞ ❛ ❜❛s✐s ✇✶, . . . , ✇R ♦❢ ❦❡r(❘✷,l(T )) S✷+l(RR✷+l) ✸✿ ❲ ← [✇✶ . . . ✇R] ✹✿ ❘❡s❤❛♣❡ t❤❡ R✷+l × R ♠❛tr✐① ❲ ✐♥t♦ ❛♥ R × R✶+l × R t❡♥s♦r W ✺✿ ❈♦♠♣✉t❡ t❤❡ ❈P❉ W = [❈−T, ❈−T ⊙ · · · ⊙ ❈−T, ▼]R ✻✿ ❋✐♥❞ t❤❡ ❝♦❧✉♠♥s ♦❢ ❆ ❛♥❞ ❇ ✭tr✐✈✐❛❧✮

✷✵✴✷✼

✱ ✱

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ Pr♦❜❧❡♠ st❛t❡♠❡♥t ❆ ❝❧❛ss✐❝❛❧ ❡①❛♠♣❧❡ ❘❡s✉❧ts

❊①❛♠♣❧❡✿ I × J × K t❡♥s♦r ♦❢ r❛♥❦ R = K = (I − ✶)(J − ✶)

I × J × (I − ✶)(J − ✶) l C ✷+l

R+l+✶

t✶✭s❡❝✮ t✷✭s❡❝✮ ✸ × ✸ × ✹ ✵ ✶✵ ✵✳✵✶✷ ✵✳✵✵✽ ✸ × ✹ × ✻ ✵ ✷✶ ✵✳✵✷✷ ✵✳✵✶✸ ✸ × ✺ × ✽ ✵ ✸✻ ✵✳✵✸✽ ✵✳✵✶✸ ✸ × ✻ × ✶✵ ✵ ✺✺ ✵✳✵✻✵ ✵✳✵✶✹ ✸ × ✼ × ✶✷ ✶ ✸✻✹ ✵✳✸✻✽ ✵✳✵✸✺ ✸ × ✽ × ✶✹ ✶ ✺✻✵ ✵✳✼✷✺ ✵✳✵✼✶ ✸ × ✾ × ✶✻ ✶ ✽✶✻ ✶✳✸✹✷ ✵✳✶✺✻ ✸ × ✶✵ × ✶✽ ✶ ✶✶✹✵ ✷✳✸✸✸ ✵✳✷✽✹ ✸ × ✶✶ × ✷✵ ✶ ✶✺✹✵ ✹✳✷✺✾ ✵✳✼✼✸ ✸ × ✶✷ × ✷✷ ✶ ✷✵✷✹ ✻✳✶✶✾ ✵✳✾✼✵ ✸ × ✶✸ × ✷✹ ✶ ✷✻✵✵ ✾✳✸✽✻ ✶✳✻✾✽ ✹ × ✹ × ✾ ✵ ✹✺ ✵✳✵✹✼ ✵✱✵✶✸ ✹ × ✺ × ✶✷ ✶ ✸✻✹ ✵✳✸✻✼ ✵✳✵✸✹ ✹ × ✻ × ✶✺ ✶ ✻✽✵ ✵✳✾✽✽ ✵✳✶✵✽ ✹ × ✼ × ✶✽ ✷ ✺✾✽✺ ✷✷✳✸✼✺ ✽✳✺✻✻ ✹ × ✽ × ✷✶ ✷ ✶✵✻✷✻ ✺✻✳✼✺✽ ✸✻✳✷✼✷ ✹ × ✾ × ✷✹ ✷ ✶✼✺✺✵ ✶✺✵✳✷✻✶ ✷✶✵✳✵✶✽ ✺ × ✺ × ✶✻ ✶ ✽✶✻ ✶✳✸✷✶ ✵✳✶✺✷ ✺ × ✻ × ✷✵ ✷ ✽✽✺✺ ✹✶✳✷✶✸ ✷✷✳✾✵✸ ✺ × ✼ × ✷✹ ✷ ✶✼✺✺✵ ✶✸✾✳✻✷✷ ✷✶✷✳✸✹✻ ✻ × ✻ × ✷✺ ✷ ✷✵✹✼✺ ✼✼✶✳✶✼✶ ✹✹✸✳✸✹✻

✷✶✴✷✼

✱ ✱

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ Pr♦❜❧❡♠ st❛t❡♠❡♥t ❆ ❝❧❛ss✐❝❛❧ ❡①❛♠♣❧❡ ❘❡s✉❧ts

❈♦♠♣❛r✐s✐♦♥ ✇✐t❤ ❚❡♥s♦r❧❛❜✿ ✸ × ✼ × ✶✷ t❡♥s♦r ♦❢ r❛♥❦ ✶✷

T = [❆, ❇, ❈]✶✷✱ ✇❤❡r❡

❆ =   ✶ ✷ ✸ ✺ ✼ ✵ ✻ ✻ ✼ ✾ ✵ ✽ ✷ ✸ ✺ ✼ ✵ ✻ ✻ ✼ ✾ ✵ ✽ ✷ ✸ ✺ ✼ ✵ ✻ ✻ ✼ ✾ ✵ ✽ ✷ ✶   , ❇ =          ✶ ✵ ✵ ✵ ✵ ✵ ✵ ✶ ✷ ✸ ✹ ✺ ✵ ✶ ✵ ✵ ✵ ✵ ✵ ✷ ✸ ✹ ✺ ✻ ✵ ✵ ✶ ✵ ✵ ✵ ✵ ✸ ✹ ✺ ✻ ✼ ✵ ✵ ✵ ✶ ✵ ✵ ✵ ✹ ✺ ✻ ✼ ✵ ✵ ✵ ✵ ✵ ✶ ✵ ✵ ✺ ✻ ✼ ✵ ✶ ✵ ✵ ✵ ✵ ✵ ✶ ✵ ✻ ✼ ✵ ✶ ✷ ✵ ✵ ✵ ✵ ✵ ✵ ✶ ✼ ✵ ✶ ✷ ✸          , ❈ = ■✶✷

❖✉r ❛❧❣♦r✐t❤♠✿ t❛❦❡s ❧❡ss t❤❛♥ ✶ s❡❝♦♥❞ ❚❡♥s♦r❧❛❜✿ ❝❛♥♥♦t ✜♥❞ ✇✐t❤ ✺✵✵ r❛♥❞♦♠ ✐♥✐t✐❛❧✐③❛t✐♦♥s ✭●❛✉ss✲◆❡✇t♦♥ ❞♦❣❧❡❣ tr✉st r❡❣✐♦♥ ♠❡t❤♦❞✱ ♠❛①❴✐t❡r ❂✶✵✵✵✵✮

✷✷✴✷✼

✱ ✱

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ Pr♦❜❧❡♠ st❛t❡♠❡♥t ❆ ❝❧❛ss✐❝❛❧ ❡①❛♠♣❧❡ ❘❡s✉❧ts

❈♦♥❥❡❝t✉r❡ ❖✉r ❛❧❣♦r✐t❤♠ ❝❛♥ ❝♦♠♣✉t❡ t❤❡ ❈P❉ ♦❢ ❛ ❣❡♥❡r✐❝ I × J × K t❡♥s♦r ♦❢ r❛♥❦ R ≤ K ≤ (I − ✶)(J − ✶)✳ ❝♦♥✜r♠❡❞ ♥✉♠❡r✐❝❛❧❧② ❢♦r R ≤ ✷✼✳

✷✸✴✷✼

✱ ✱

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ Pr♦❜❧❡♠ st❛t❡♠❡♥t ❆ ❝❧❛ss✐❝❛❧ ❡①❛♠♣❧❡ ❘❡s✉❧ts

❈❛s❡ K ≤ R✿ s✐♠✐❧❛r r❡s✉❧ts ♦♥ ✉♥✐q✉❡♥❡ss ❛♥❞ ❛❧❣♦r✐t❤♠

❘m,l(T ) ✐s ❝♦♥str✉❝t❡❞ ❢♦r m = R − K + ✷ ≥ ✷ I × J × K R m l C m+l−✶

R+l+m

t✶✭s❡❝✮ t✷✭s❡❝✮ ✶ ✹ × ✺ × ✻ ✼ ✸ ✶ ✶✷✻ ✵✳✶✸✾ ✵✳✵✹✸ ✷ ✺ × ✼ × ✼ ✾ ✹ ✶ ✹✻✷ ✶✳✸✺✷ ✵✳✷✹✻ ✸ ✻ × ✾ × ✽ ✶✶ ✺ ✶ ✶✼✶✻ ✶✽✳✾✻✾ ✾✳✻✹✼ ✹ ✼ × ✼ × ✼ ✶✵ ✺ ✶ ✾✷✹ ✻✳✷✷✼ ✶✳✾✻✺ ✺ ✹ × ✻ × ✽ ✾ ✸ ✶ ✸✸✵ ✵✳✺✺✸ ✵✳✵✼✼ ✻ ✹ × ✼ × ✶✵ ✶✶ ✸ ✶ ✼✶✺ ✶✳ ✾✾✻ ✵✳✸✺✻ ✼ ✺ × ✻ × ✻ ✽ ✹ ✷ ✹✻✷ ✶✳✵✾✶ ✵✳✶✻✺ ✽ ✺ × ✼ × ✽ ✶✵ ✹ ✷ ✶✼✶✻ ✶✶✳✸✾✻ ✸✳✶✺✻ ✾ ✻ × ✼ × ✻ ✾ ✺ ✸ ✶✷✽✼ ✷✾✳✹✷✻ ✷✳✵✺✹

✷✹✴✷✼

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■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ Pr♦❜❧❡♠ st❛t❡♠❡♥t ❆ ❝❧❛ss✐❝❛❧ ❡①❛♠♣❧❡ ❘❡s✉❧ts

❈♦r♦❧❧❛r② ▲❡t T = [❆, ❇, ❈]R✳ ❙✉♣♣♦s❡ t❤❛t k❆ + r❇ + k❈ ≥ ✷R + ✷, ❛♥❞ k❇ + k❈ ≥ R + ✷. ❚❤❡♥ rT = R ❛♥❞ t❤❡ ❈P❉ ♦❢ t❡♥s♦r T ✐s ✉♥✐q✉❡ ❛♥❞ ❝❛♥ ❜❡ ❢♦✉♥❞ ❛❧❣❡❜r❛✐❝❛❧❧②✳ ❈♦r♦❧❧❛r② ▲❡t T = [❆, ❇, ❈]R ❛♥❞ ❧❡t k❆ + k❇ + k❈ ≥ ✷R + ✷✳ ❚❤❡♥ t❤❡ ❈P❉ ♦❢ T ✐s ✉♥✐q✉❡ ❛♥❞ ❝❛♥ ❜❡ ❢♦✉♥❞ ❛❧❣❡❜r❛✐❝❛❧❧②✳

✷✺✴✷✼

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■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ Pr♦❜❧❡♠ st❛t❡♠❡♥t ❆ ❝❧❛ss✐❝❛❧ ❡①❛♠♣❧❡ ❘❡s✉❧ts

❋✉t✉r❡ ✇♦r❦

❍✐❣❤❡r✲♦r❞❡r t❡♥s♦r ✇✐t❤ ❛ ❧♦♥❣ ❞✐♠❡♥s✐♦♥ P❡rt✉r❜❛t✐♦♥ t❤❡♦r②

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■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ Pr♦❜❧❡♠ st❛t❡♠❡♥t ❆ ❝❧❛ss✐❝❛❧ ❡①❛♠♣❧❡ ❘❡s✉❧ts

❚❤❛♥❦ ②♦✉ ❢♦r ②♦✉r ❛tt❡♥t✐♦♥✳

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