N e w p e r s p e c t i v e s o fg e r e d b y - - PowerPoint PPT Presentation

SLIDE 1

N e w p e r s p e c t i v e s

• fg

e r e d b y

• v

e r l a p s t

• d

e s i g n t r a n s p a r e n t b

• u

n d a r y c

• n

d i t i

• n

s i n w a v e g u i d e s

V . B a r

• n

i a n , A .

• S

. B

• n

n e t

• B

e n D h i a , S . F l i s s , A . T

• n

n

• i

r . Wa v e s c

• n

f e r e n c e , 2 1 5

SLIDE 2

C

• n

t e x t a n d mo t i v a t i

• n

N u me r i c a l s i mu l a t i

• n
• f

N

• n

D e s t r u c t i v e T e s t i n g ( N D T ) e x p e r i me n t s u s i n g g u i d e d w a v e s i n e l a s t i c w a v e g u i d e s . 2 C

• n

t e x t :

SLIDE 3

C

• n

t e x t a n d mo t i v a t i

• n

2 C

• n

t e x t : N u me r i c a l s i mu l a t i

• n
• f

N

• n

D e s t r u c t i v e T e s t i n g ( N D T ) e x p e r i me n t s u s i n g g u i d e d w a v e s i n e l a s t i c w a v e g u i d e s . B a s i c N D T e x p e r i me n t : E mi t t i n g a n i n c i d e n t w a v e

SLIDE 4

C

• n

t e x t a n d mo t i v a t i

• n

2 C

• n

t e x t : N u me r i c a l s i mu l a t i

• n
• f

N

• n

D e s t r u c t i v e T e s t i n g ( N D T ) e x p e r i me n t s u s i n g g u i d e d w a v e s i n e l a s t i c w a v e g u i d e s . B a s i c N D T e x p e r i me n t : a n d b y me a s u r i n g t h e d i fg r a c t e d fj e l d E mi t t i n g a n i n c i d e n t w a v e

SLIDE 5

C

• n

t e x t a n d mo t i v a t i

• n

2 C

• n

t e x t : B a s i c N D T e x p e r i me n t : N u me r i c a l s i mu l a t i

• n
• f

N

• n

D e s t r u c t i v e T e s t i n g ( N D T ) e x p e r i me n t s u s i n g g u i d e d w a v e s i n e l a s t i c w a v e g u i d e s . a n d b y me a s u r i n g t h e d i fg r a c t e d fj e l d E mi t t i n g a n i n c i d e n t w a v e w e w a n t t

• d

e t e c t t h e d e f e c t D e f e c t

SLIDE 6

C

• n

t e x t a n d mo t i v a t i

• n

2 C

• n

t e x t : B a s i c N D T e x p e r i me n t : N u me r i c a l s i mu l a t i

• n
• f

N

• n

D e s t r u c t i v e T e s t i n g ( N D T ) e x p e r i me n t s u s i n g g u i d e d w a v e s i n e l a s t i c w a v e g u i d e s . a n d b y me a s u r i n g t h e d i fg r a c t e d fj e l d E mi t t i n g a n i n c i d e n t w a v e w e w a n t t

• d

e t e c t t h e d e f e c t D e f e c t G u i d e d w a v e s f

• r

N D T : I n s p e c t i

• n
• n

w i d e d i s t a n c e s w i t h

• u

t mo v i n g t h e c a p t

• r

s I n s p e c t i

• n
• f

i n a c c e s s i b l e a r e a s

SLIDE 7

C

• n

t e x t a n d mo t i v a t i

• n

2 C

• n

t e x t : B a s i c N D T e x p e r i me n t : N u me r i c a l s i mu l a t i

• n
• f

N

• n

D e s t r u c t i v e T e s t i n g ( N D T ) e x p e r i me n t s u s i n g g u i d e d w a v e s i n e l a s t i c w a v e g u i d e s . a n d b y me a s u r i n g t h e d i fg r a c t e d fj e l d E mi t t i n g a n i n c i d e n t w a v e w e w a n t t

• d

e t e c t t h e d e f e c t D e f e c t G u i d e d w a v e s f

• r

N D T : I n s p e c t i

• n
• n

w i d e d i s t a n c e s w i t h

• u

t mo v i n g t h e c a p t

• r

s I n s p e c t i

• n
• f

i n a c c e s s i b l e a r e a s I s s u e s : A n a l y s i s

• f

t h e e x p e r i me n t a l r e s u l t s D e s i g n a n d

• p

t i mi z e c

• n

t r

• l

c

• n

fj g u r a t i

• n

s I n t e g r a t i

• n
• f

t h e s i mu l a t i

• n

t

• l

s i n t

• C

I V A ( C E A

• S
• f

t w a r e ) .

SLIDE 8

S i mu l a t i

• n
• f

N D T w i t h C I V A

3

SLIDE 9

Mo d e l p r

• b

l e ms

T i me

• h

a r mo n i c d i fg r a c t i

• n

p r

• b

l e ms : 4 S c a l a r e q u a t i

• n

( a c

• u

s t i c c a s e ) : V e c t

• r

i a l e q u a t i

• n

( e l a s t i c c a s e ) : w h e r e

SLIDE 10

Mo d e l p r

• b

l e ms

T i me

• h

a r mo n i c d i fg r a c t i

• n

p r

• b

l e ms : 4 S c a l a r e q u a t i

• n

( a c

• u

s t i c c a s e ) : V e c t

• r

i a l e q u a t i

• n

( e l a s t i c c a s e ) : w h e r e L

• c

a l i z e d d e f e c t

• f

a r b i t r a r y s h a p e D i ffjc u l t i e s : I n fj n i t e d

• ma

i n A n i s

• t

r

• p

i c me d i u m G

• a

l : F i n d a r e f

• r

mu l a t i

• n
• f

t h e p r

• b

l e m i n a b

• u

n d e d d

• ma

i n

SLIDE 11

A b s

• r

b i n g l a y e r s ( S p

• n

g e l a y e r s )

T i me

• h

a r mo n i c d i fg r a c t i

• n

p r

• b

l e ms : 5 S c a l a r e q u a t i

• n

( a c

• u

s t i c c a s e ) : V e c t

• r

i a l e q u a t i

• n

( e l a s t i c c a s e ) : w h e r e S p

• n

g e l a y e r s :

C a s t a i n g s e t a l , E ffj c i e n t N u m e r i c a l m

• d

e l i n g

• f

A b s

• r

b i n g R e g i

• n

s f

• r

b

• u

n d a r i e s

• f

g u i d e d w a v e s p r

• b

l e m s , ( 2 6 )

S p

• n

g e l a y e r s I n v

• l

v e s

• n

l y s p a r s e ( F E ) ma t r i x

SLIDE 12

A b s

• r

b i n g l a y e r s ( S p

• n

g e l a y e r s )

T i me

• h

a r mo n i c d i fg r a c t i

• n

p r

• b

l e ms : 5 S c a l a r e q u a t i

• n

( a c

• u

s t i c c a s e ) : V e c t

• r

i a l e q u a t i

• n

( e l a s t i c c a s e ) : w h e r e S p

• n

g e l a y e r s :

C a s t a i n g s e t a l , E ffj c i e n t N u m e r i c a l m

• d

e l i n g

• f

A b s

• r

b i n g R e g i

• n

s f

• r

b

• u

n d a r i e s

• f

g u i d e d w a v e s p r

• b

l e m s , ( 2 6 )

S p

• n

g e l a y e r s B u t r e q u i r e s v e r y l a r g e l a y e r s t

• a

v

• i

d s p u r i

• u

s r e fm e c t i

• n

s I n v

• l

v e s

• n

l y s p a r s e ( F E ) ma t r i x

SLIDE 13

A b s

• r

b i n g l a y e r s ( P ML )

T i me

• h

a r mo n i c d i fg r a c t i

• n

p r

• b

l e ms : 6 S c a l a r e q u a t i

• n

( a c

• u

s t i c c a s e ) : V e c t

• r

i a l e q u a t i

• n

( e l a s t i c c a s e ) : w h e r e P e r f e c t l y ma t c h e d l a y e r s :

B e r e n g e r , A P e r f e c t l y m a t c h e d l a y e r f

• r

t h e a b s

• r

p t i

• n
• f

e l e c t r

• m

a g n e t i c w a v e s , ( 1 9 9 4 )

P ML I n v

• l

v e s

• n

l y s p a r s e ( F E ) ma t r i x a n d p e r f e c t l y ma t c h e d

SLIDE 14

A b s

• r

b i n g l a y e r s ( P ML )

T i me

• h

a r mo n i c d i fg r a c t i

• n

p r

• b

l e ms : 6 S c a l a r e q u a t i

• n

( a c

• u

s t i c c a s e ) : V e c t

• r

i a l e q u a t i

• n

( e l a s t i c c a s e ) : w h e r e P e r f e c t l y ma t c h e d l a y e r s :

B e r e n g e r , A P e r f e c t l y m a t c h e d l a y e r f

• r

t h e a b s

• r

p t i

• n
• f

e l e c t r

• m

a g n e t i c w a v e s , ( 1 9 9 4 )

P ML I n v

• l

v e s

• n

l y s p a r s e ( F E ) ma t r i x a n d p e r f e c t l y ma t c h e d B u t l e a d s t

• t

h e w r

• n

g s

• l

u t i

• n

i n p r e s e n c e

• f

b a c k w a r d w a v e s

C r a s t e r e t a l . , G u i d e d e l a s t i c w a v e s a n d P ML , ( 2 7 ) B

• n

n e t

• B

e n D h i a e t a l . , O n t h e u s e

• f

P ML i n p r e s e n c e

• f

l

• n

g

• r

b a c k w a r d g u i d e d e l a s t i c w a v e s , ( 2 7 ) B é c a c h e e t a l . , S t a b i l i t y

• f

P ML , g r

• u

p v e l

• c

i t y a n d a n i s

• t

r

• p

i c w a v e s , ( 2 3 )

SLIDE 15

P

• l

e c

• n

d i t i

• n

me t h

• d

T i me

• h

a r mo n i c d i fg r a c t i

• n

p r

• b

l e ms : 7 S c a l a r e q u a t i

• n

( a c

• u

s t i c c a s e ) : V e c t

• r

i a l e q u a t i

• n

( e l a s t i c c a s e ) : w h e r e I n fj n i t e e l e me n t me t h

• d

:

T a l k s

• f

M. H a l l a a n d L . N a n n e n .

A v

• i

d t h e p r

• b

l e m l i n k e d t

• t

h e i n v e r s e mo d e s

SLIDE 16

T r a n s p a r e n t B

• u

n d a r y C

• n

d i t i

• n

s ( T B C )

T i me

• h

a r mo n i c d i fg r a c t i

• n

p r

• b

l e ms : 8 S c a l a r e q u a t i

• n

( a c

• u

s t i c c a s e ) : V e c t

• r

i a l e q u a t i

• n

( e l a s t i c c a s e ) : w h e r e T r a n s p a r e n t b

• u

n d a r y c

• n

d i t i

• n

s : E x a c t c

• n

d i t i

• n

B u t a p p l i c a b l e

• n

l y f

• r

i s

• t

r

• p

i c c a s e s , a n d r e q u i r e s t h e u s e

• f

a n

• n
• l
• c

a l

• p

e r a t

• r

s I s

• t

r

• p

i c a c

• u

s t i c c a s e :

G

• l

d s t e i n , A F i n i t e e l e m e n t m e t h

• d

f

• r

s

• l

v i n g H e l m h

• l

t z t y p e e q u a t i

• n

s i n w a v e g u i d e s a n d

• t

h e r u n b

• u

n b e d d

• m

a i n , ( 1 9 8 1 )

I s

• t

r

• p

i c e l a s t i c c a s e :

B a r

• n

i a n e t a l . , T B C f

• r

t h e t i m e

• h

a r m

• n

i c d i fg r a c t i

• n

p r

• b

l e m i n a n e l a s t i c w a v e g u i d e , ( 2 1 )

SLIDE 17

D

• ma

i n D e c

• mp
• s

i t i

• n

a p p r

• a

c h

T i me

• h

a r mo n i c d i fg r a c t i

• n

p r

• b

l e ms : 8 S c a l a r e q u a t i

• n

( a c

• u

s t i c c a s e ) : V e c t

• r

i a l e q u a t i

• n

( e l a s t i c c a s e ) : w h e r e T r a n s p a r e n t b

• u

n d a r y c

• n

d i t i

• n

s : I s

• t

r

• p

i c a c

• u

s t i c c a s e :

G ma t i e t a l . , C

• n

v e r g e n c e b

• u

n d s

• f

G MR E S w i t h S c h w a r z ' s p r e c

• n

d i t i

• n

e r f

• r

s c a t t e r i n g p r

• b

l e m , ( 2 9 ) G ma t i e t a l . , O n s c h w a r z a l g

• r

i t h m s f

• r

e l l i p t i c e x t e r i

• r

b

• u

n d a r y v a l u e p r

• b

l e m s , ( 2 5 )

A n i s

• t

r

• p

i c e l a s t i c c a s e :

B a r

• n

i a n e t a l . , I t e r a t i v e m e t h

• d

s f

• r

s c a t t e r i n g p r

• b

l e m s i n u n b

• u

n d e d a n i s

• t

r

• p

i c e l a s t i c w a v e g u i d e s , s u b mi t t e d

SLIDE 18

« T

• y

» p r

• b

l e m f

• r

t h e p r e s e n t a t i

• n

T i me

• h

a r mo n i c d i fg r a c t i

• n

p r

• b

l e ms : 9 S c a l a r e q u a t i

• n

( a c

• u

s t i c c a s e ) : V e c t

• r

i a l e q u a t i

• n

( e l a s t i c c a s e ) : w h e r e

B a r

• n

i a n e t a l . , I t e r a t i v e m e t h

• d

s f

• r

s c a t t e r i n g p r

• b

l e m s i n u n b

• u

n d e d a n i s

• t

r

• p

i c e l a s t i c w a v e g u i d e s , s u b mi t t e d

T

• s

i mp l i f y t h e p r e s e n t a t i

• n

, w e w i l l c

• n

s i d e r a n a c

• u

s t i c 2 D c

• n

fj g u r a t i

• n

, w h i c h i n v

• l

v e s t h e s a me d i ffjc u l t i e s a s t h e e l a s t i c c a s e . E x t e n s i

• n

t

• t

h e e l a s t i c c a s e , s e e :

SLIDE 19

« T

• y

» p r

• b

l e m f

• r

t h e p r e s e n t a t i

• n

F i n d t h e

• u

t g

• i

n g s

• l

u t i

• n
• f

9 w h e r e : i s a s y mme t r i c p

• s

i t i v e d e fj n i t e ma t r i x i s c

• mp

a c t l y s u p p

• r

t e d

SLIDE 20

« T

• y

» p r

• b

l e m f

• r

t h e p r e s e n t a t i

• n

F i n d t h e

• u

t g

• i

n g s

• l

u t i

• n
• f

9 w h e r e : i s a s y mme t r i c p

• s

i t i v e d e fj n i t e ma t r i x i s c

• mp

a c t l y s u p p

• r

t e d G e

• me

t r i c a l n

• t

a t i

• n

s :

SLIDE 21

« T

• y

» p r

• b

l e m f

• r

t h e p r e s e n t a t i

• n

F i n d t h e

• u

t g

• i

n g s

• l

u t i

• n
• f

9 w h e r e : i s a s y mme t r i c p

• s

i t i v e d e fj n i t e ma t r i x i s c

• mp

a c t l y s u p p

• r

t e d G e

• me

t r i c a l n

• t

a t i

• n

s : U s i n g a : Mo d a l r e p r e s e n t a t i

• n

i n E F r e p r e s e n t a t i

• n

i n We w i l l g i v e a mu l t i

• d
• ma

i n s f

• r

mu l a t i

• n
• f

t h e d i fg r a c t i

• n

p r

• b

l e m.

SLIDE 22

O u t l i n e

• f

t h e t a l k

F i n d t h e

• u

t g

• i

n g s

• l

u t i

• n
• f

1 O u t l i n e :

T h e mo d a l r e p r e s e n t a t i

• n

i n I t e r a t i v e r e s

• l

u t i

• n

I s

• t

r

• p

i c c a s e T h e c l a s s i c a l « D i r i c h l e t

• N

e u ma n n » mu l t i

• d
• ma

i n s f

• r

mu l a t i

• n

I s

• t

r

• p

i c c a s e N e w mu l t i

• d
• ma

i n s f

• r

mu l a t i

• n

« T r a n s p a r e n t

• N

e u ma n n » A n i s

• t

r

• p

i c c a s e

SLIDE 23

O u t l i n e

• f

t h e t a l k

F i n d t h e

• u

t g

• i

n g s

• l

u t i

• n
• f

1 O u t l i n e :

T h e mo d a l r e p r e s e n t a t i

• n

i n I t e r a t i v e r e s

• l

u t i

• n

I s

• t

r

• p

i c c a s e T h e c l a s s i c a l « D i r i c h l e t

• N

e u ma n n » mu l t i

• d
• ma

i n s f

• r

mu l a t i

• n

I s

• t

r

• p

i c c a s e N e w mu l t i

• d
• ma

i n s f

• r

mu l a t i

• n

« T r a n s p a r e n t

• N

e u ma n n » A n i s

• t

r

• p

i c c a s e

SLIDE 24

Mo d e s i n a w a v e g u i d e

Mo d e s a r e n

• n
• t

r i v i a l s

• l

u t i

• n

s u

• f

1 1

• f

t h e f

• r

m

SLIDE 25

Mo d e s i n a w a v e g u i d e

• f

t h e f

• r

m L e a d s t

• s
• l

v e a q u a d r a t i c e i g e n v a l u e p r

• b

l e m A mo n g t h e c

• u

n t a b l e s e t

• f

s

• l

u t i

• n

s , w e d i s t i n g u i s h : T h e p r

• p

a g a t i v e mo d e s w i t h T h e e v a n e s c e n t mo d e s w i t h Mo d e s a r e n

• n
• t

r i v i a l s

• l

u t i

• n

s u

• f

1 1

SLIDE 26

Mo d e s i n a w a v e g u i d e

• f

t h e f

• r

m L e a d s t

• s
• l

v e a q u a d r a t i c e i g e n v a l u e p r

• b

l e m A mo n g t h e c

• u

n t a b l e s e t

• f

s

• l

u t i

• n

s , w e d i s t i n g u i s h : T h e p r

• p

a g a t i v e mo d e s w i t h T h e e v a n e s c e n t mo d e s w i t h T h e r i g h t

• g
• i

n g mo d e s : T h e l e f t

• g
• i

n g mo d e s : Mo r e

• v

e r , w e d i s t i n g u i s h t w

• f

a mi l i e s

• f

mo d e s : E n a b l e s t

• d

e fj n e t h e

• u

t g

• i

n g s

• l

u t i

• n

Mo d e s a r e n

• n
• t

r i v i a l s

• l

u t i

• n

s u

• f

1 1

SLIDE 27

Mo d e s i n a w a v e g u i d e

• f

t h e f

• r

m L e a d s t

• s
• l

v e a q u a d r a t i c e i g e n v a l u e p r

• b

l e m A mo n g t h e c

• u

n t a b l e s e t

• f

s

• l

u t i

• n

s , w e d i s t i n g u i s h : T h e p r

• p

a g a t i v e mo d e s w i t h T h e e v a n e s c e n t mo d e s w i t h T h e r i g h t

• g
• i

n g mo d e s : T h e l e f t

• g
• i

n g mo d e s : Mo r e

• v

e r , w e d i s t i n g u i s h t w

• f

a mi l i e s

• f

mo d e s : E n a b l e s t

• d

e fj n e t h e

• u

t g

• i

n g s

• l

u t i

• n

S i g n

• f

S i g n

• f

Mo d e s a r e n

• n
• t

r i v i a l s

• l

u t i

• n

s u

• f

1 1

SLIDE 28

Mo d e s i n t h e i s

• t

r

• p

i c c a s e

• f

t h e f

• r

m Mo d e s a r e n

• n
• t

r i v i a l s

• l

u t i

• n

s u

• f

I s

• t

r

• p

i c c a s e : 1 2

SLIDE 29

Mo d e s i n t h e i s

• t

r

• p

i c c a s e

• f

t h e f

• r

m Mo d e s a r e n

• n
• t

r i v i a l s

• l

u t i

• n

s u

• f

I s

• t

r

• p

i c c a s e : 1 2

SLIDE 30

Mo d e s i n t h e a n i s

• t

r

• p

i c c a s e

• f

t h e f

• r

m Mo d e s a r e n

• n
• t

r i v i a l s

• l

u t i

• n

s u

• f

A n i s

• t

r

• p

i c c a s e : 1 2

SLIDE 31

S

• me

p r

• p

e r t i e s

• n

t h e mo d e s

• f

t h e f

• r

m Mo d e s a r e n

• n
• t

r i v i a l s

• l

u t i

• n

s u

• f

I s

• t

r

• p

i c c a s e : O r t h

• g
• n

a l i t y r e l a t i

• n

s : 1 3

SLIDE 32

S

• me

p r

• p

e r t i e s

• n

t h e mo d e s

• f

t h e f

• r

m Mo d e s a r e n

• n
• t

r i v i a l s

• l

u t i

• n

s u

• f

I s

• t

r

• p

i c c a s e : O r t h

• g
• n

a l i t y r e l a t i

• n

s : A n i s

• t

r

• p

e c a s e : N

• r

t h

• g
• n

a l i t y r e l a t i

• n

s : b u t b i

• r

t h

• g
• n

a l i t y r e l a t i

• n

s :

• ù

1 3

SLIDE 33

O u t l i n e

• f

t h e t a l k

F i n d t h e

• u

t g

• i

n g s

• l

u t i

• n
• f

O u t l i n e :

T h e mo d a l r e p r e s e n t a t i

• n

i n I t e r a t i v e r e s

• l

u t i

• n

I s

• t

r

• p

i c c a s e T h e c l a s s i c a l « D i r i c h l e t

• N

e u ma n n » mu l t i

• d
• ma

i n s f

• r

mu l a t i

• n

I s

• t

r

• p

i c c a s e N e w mu l t i

• d
• ma

i n s f

• r

mu l a t i

• n

« T r a n s p a r e n t

• N

e u ma n n » A n i s

• t

r

• p

i c c a s e

1 4

SLIDE 34

Mu l t i

• d
• ma

i n s f

• r

mu l a t i

• n

( i s

• t

r

• p

i c )

F i n d t h e

• u

t g

• i

n g s

• l

u t i

• n
• f

L e t u s d e fj n e a n d 1 5

SLIDE 35

Mu l t i

• d
• ma

i n s f

• r

mu l a t i

• n

( i s

• t

r

• p

i c )

F i n d t h e

• u

t g

• i

n g s

• l

u t i

• n
• f

L e t u s d e fj n e a n d T

• g

e t t h e mu l t i

• d
• ma

i n s f

• r

mu l a t i

• n

, w e mu s t c h

• s

e t r a n s mi s s i

• n

c

• n

d i t i

• n

s ( T C )

• n

t h e i n t e r f a c e s a n d 1 5

SLIDE 36

Mu l t i

• d
• ma

i n s f

• r

mu l a t i

• n

( i s

• t

r

• p

i c )

F i n d t h e

• u

t g

• i

n g s

• l

u t i

• n
• f

L e t u s d e fj n e a n d T

• g

e t t h e mu l t i

• d
• ma

i n s f

• r

mu l a t i

• n

, w e mu s t c h

• s

e t r a n s mi s s i

• n

c

• n

d i t i

• n

s ( T C )

• n

t h e i n t e r f a c e s a n d A n e c e s s a r y a n d s u ffjc i e n t c

• n

d i t i

• n

t

• h

a v e t h e e q u i v a l e n c e b e t w e e n t h e mu l t i

• d
• ma

i n s f

• r

mu l a t i

• n

a n d t h e i n i t i a l p r

• b

l e m i s t h a t t h e T C e n s u r e t h e c

• mp

a t i b i l i t y : 1 5

SLIDE 37

« D i r i c h l e t

• N

e u ma n n » f

• r

mu l a t i

• n

F i n d t h e

• u

t g

• i

n g s

• l

u t i

• n
• f

Mu l t i

• d
• ma

i n s f

• r

mu l a t i

• n

: ( T C ) 1 6

SLIDE 38

« D i r i c h l e t

• N

e u ma n n » f

• r

mu l a t i

• n

F i n d t h e

• u

t g

• i

n g s

• l

u t i

• n
• f

Mu l t i

• d
• ma

i n s f

• r

mu l a t i

• n

: ( T C ) T h e d i fg e r e n c e v e r i fj e s C

• mp

a t i b i l i t y 1 6

SLIDE 39

« D i r i c h l e t

• N

e u ma n n » f

• r

mu l a t i

• n

F i n d t h e

• u

t g

• i

n g s

• l

u t i

• n
• f

Mu l t i

• d
• ma

i n s f

• r

mu l a t i

• n

: ( T C ) T h e d i fg e r e n c e v e r i fj e s C

• mp

a t i b i l i t y e x c e p t f

• r

a c

• u

n t a b l e s e t

• f

« b

• x

f r e q u e n c i e s » 1 6

SLIDE 40

D t N f

• r

mu l a t i

• n

w i t h «

• v

e r l a p »

F i n d t h e

• u

t g

• i

n g s

• l

u t i

• n
• f

E q u i v a l e n t mu l t i

• d
• ma

i n s f

• r

mu l a t i

• n

: ( T C ) 1 7

SLIDE 41

D t N f

• r

mu l a t i

• n

w i t h «

• v

e r l a p »

F i n d t h e

• u

t g

• i

n g s

• l

u t i

• n
• f

E q u i v a l e n t mu l t i

• d
• ma

i n s f

• r

mu l a t i

• n

: ( T C ) 1 7

SLIDE 42

D t N f

• r

mu l a t i

• n

w i t h «

• v

e r l a p »

F i n d t h e

• u

t g

• i

n g s

• l

u t i

• n
• f

E q u i v a l e n t mu l t i

• d
• ma

i n s f

• r

mu l a t i

• n

: ( T C ) E l i mi n a t i

• n
• f

T h a n k s t

• t

h e

• r

t h

• g
• n

a l i t y

• f

t h e mo d e s , i t c

• me

s : 1 7

SLIDE 43

D t N f

• r

mu l a t i

• n

w i t h «

• v

e r l a p »

F i n d t h e

• u

t g

• i

n g s

• l

u t i

• n
• f

E q u i v a l e n t mu l t i

• d
• ma

i n s f

• r

mu l a t i

• n

: ( T C ) E l i mi n a t i

• n
• f

T h a n k s t

• t

h e

• r

t h

• g
• n

a l i t y

• f

t h e mo d e s , i t c

• me

s : 1 7

SLIDE 44

D t N f

• r

mu l a t i

• n

w i t h «

• v

e r l a p »

F i n d t h e

• u

t g

• i

n g s

• l

u t i

• n
• f

E q u i v a l e n t mu l t i

• d
• ma

i n s f

• r

mu l a t i

• n

: ( T C ) E l i mi n a t i

• n
• f

T h a n k s t

• t

h e

• r

t h

• g
• n

a l i t y

• f

t h e mo d e s , i t c

• me

s : We t h e n d e d u c e t h e f

• l

l

• w

i n g T B C : 1 7

SLIDE 45

D t N f

• r

mu l a t i

• n

w i t h «

• v

e r l a p »

F i n d t h e

• u

t g

• i

n g s

• l

u t i

• n
• f

E q u i v a l e n t mu l t i

• d
• ma

i n s f

• r

mu l a t i

• n

: ( T C ) F

• r

mu l a t i

• n

i n a b

• u

n d e d d

• ma

i n w h e r e 1 7

SLIDE 46

D t N f

• r

mu l a t i

• n

w i t h «

• v

e r l a p »

F i n d t h e

• u

t g

• i

n g s

• l

u t i

• n
• f

E q u i v a l e n t mu l t i

• d
• ma

i n s f

• r

mu l a t i

• n

: ( T C ) F

• r

mu l a t i

• n

i n a b

• u

n d e d d

• ma

i n w h e r e i s c

• mp

a c t . R e ma r k : 1 7

SLIDE 47

D t N f

• r

mu l a t i

• n

w i t h «

• v

e r l a p »

F

• r

mu l a t i

• n

i n a b

• u

n d e d d

• ma

i n w h e r e A v a n t a g e : C

• mp

a c i t y

• f

t h e D t N

• p

e r a t

• r

f

• r

i t e r a t i v e r e s

• l

u t i

• n

1 8

SLIDE 48

D t N f

• r

mu l a t i

• n

w i t h «

• v

e r l a p »

F

• r

mu l a t i

• n

i n a b

• u

n d e d d

• ma

i n w h e r e A v a n t a g e : C

• mp

a c i t y

• f

t h e D t N

• p

e r a t

• r

f

• r

i t e r a t i v e r e s

• l

u t i

• n

L i mi t a t i

• n

s : R e q u i r e s t h e

• r

t h

• g
• n

a l i t y

• f

t h e mo d e s t

• e

l i mi n a t e E q u i v a l e n c e n

• t

a l w a y s e n s u r e d ( « b

• x

f r e q u e n c i e s » ) G

• a

l : D e r i v e a n e w f

• r

mu l a t i

• n

f

• r

t h e a n i s

• t

r

• p

i c c a s e t h a t d

• e

s n

• t

r e q u i r e t h e

• r

t h

• g
• n

a l i t y

• f

t h e mo d e s 1 8

SLIDE 49

O u t l i n e

• f

t h e t a l k

F i n d t h e

• u

t g

• i

n g s

• l

u t i

• n
• f

1 9 O u t l i n e :

T h e mo d a l r e p r e s e n t a t i

• n

i n I t e r a t i v e r e s

• l

u t i

• n

I s

• t

r

• p

i c c a s e T h e c l a s s i c a l « D i r i c h l e t

• N

e u ma n n » mu l t i

• d
• ma

i n s f

• r

mu l a t i

• n

I s

• t

r

• p

i c c a s e N e w mu l t i

• d
• ma

i n s f

• r

mu l a t i

• n

« T r a n s p a r e n t

• N

e u ma n n » A n i s

• t

r

• p

i c c a s e

SLIDE 50

« T r a n s p a r e n t

• N

e u ma n n » f

• r

mu l a t i

• n

( T C ) Mu l t i

• d
• ma

i n s f

• r

mu l a t i

• n

: 2

SLIDE 51

« T r a n s p a r e n t

• N

e u ma n n » f

• r

mu l a t i

• n

( T C ) Mu l t i

• d
• ma

i n s f

• r

mu l a t i

• n

: 2

SLIDE 52

« T r a n s p a r e n t

• N

e u ma n n » f

• r

mu l a t i

• n

( T C ) Mu l t i

• d
• ma

i n s f

• r

mu l a t i

• n

: I n , w e h a v e a p r i

• r

i t h e f

• l

l

• w

i n g mo d a l d e c

• mp
• s

i t i

• n

: 2

SLIDE 53

« T r a n s p a r e n t

• N

e u ma n n » f

• r

mu l a t i

• n

( T C ) Mu l t i

• d
• ma

i n s f

• r

mu l a t i

• n

: I n , w e h a v e a p r i

• r

i t h e f

• l

l

• w

i n g mo d a l d e c

• mp
• s

i t i

• n

: O n , w e p r

• p
• s

e t

• ma

t c h t h e

• u

t g

• i

n g mo d a l a mp l i t u d e s : R e ma r k : T h i s mo d a l c

• n

d i t i

• n

i s n

• t

l

• c

a l 2

SLIDE 54

T

• N

f

• r

mu l a t i

• n

: C

• mp

a t i b i l i t y

( T C ) Mu l t i

• d
• ma

i n s f

• r

mu l a t i

• n

: I n , w e h a v e a p r i

• r

i t h e f

• l

l

• w

i n g mo d a l d e c

• mp
• s

i t i

• n

: C

• mp

a t i b i l i t y T h e d i fg e r e n c e v e r i fj e s i n 2 1

SLIDE 55

C

• mp

a t i b i l i t y

T

• N

f

• r

mu l a t i

• n

: C

• mp

a t i b i l i t y

( T C ) Mu l t i

• d
• ma

i n s f

• r

mu l a t i

• n

: T h e d i fg e r e n c e v e r i fj e s i n « F i c t i t i

• u

s » h a l f

• g

u i d e 2 1

SLIDE 56

C

• mp

a t i b i l i t y

T

• N

f

• r

mu l a t i

• n

: C

• mp

a t i b i l i t y

( T C ) Mu l t i

• d
• ma

i n s f

• r

mu l a t i

• n

: T h e d i fg e r e n c e v e r i fj e s i n « F i c t i t i

• u

s » h a l f

• g

u i d e I n

• t

h e r w

• r

d s , v i s a n

• u

t g

• i

n g s

• l

u t i

• n
• f

: 2 1

SLIDE 57

C

• mp

a t i b i l i t y

T

• N

f

• r

mu l a t i

• n

: C

• mp

a t i b i l i t y

( T C ) Mu l t i

• d
• ma

i n s f

• r

mu l a t i

• n

: T h e d i fg e r e n c e v e r i fj e s i n « F i c t i t i

• u

s » h a l f

• g

u i d e e x c e p t f

• r

a c

• u

n t a b l e s e t

• f

f r e q u e n c i e s a s s

• c

i a t e d t

• «

e d g e mo d e s »

P a g n e u x , R e v i s i t i n g e d g e r e s

• n

a n c e f

• r

L a m b w a v e s i n a s e m i

• i

n fj n i t e p l a t e , ( 2 6 )

I n

• t

h e r w

• r

d s , v i s a n

• u

t g

• i

n g s

• l

u t i

• n
• f

: 2 1

SLIDE 58

C

• mp

a t i b i l i t y

T

• N

f

• r

mu l a t i

• n

: C

• mp

a t i b i l i t y

( T C ) Mu l t i

• d
• ma

i n s f

• r

mu l a t i

• n

: T h e d i fg e r e n c e v e r i fj e s i n « F i c t i t i

• u

s » h a l f

• g

u i d e I n

• t

h e r w

• r

d s , v i s a n

• u

t g

• i

n g s

• l

u t i

• n
• f

: R e ma r k : I n t h e i s

• t

r

• p

i c c a s e , w e e a s i l y s h

• w

t h a t v = 2 1

SLIDE 59

T

• N

f

• r

mu l a t i

• n

: Mo d a l a mp l i t u t d e s

( T C ) E q u i v a l e n t Mu l t i

• d
• ma

i n s f

• r

mu l a t i

• n

: g i v e n ? H

• w

t

• c
• mp

u t e t h e mo d a l a mp l i t u d e s 2 2

SLIDE 60

T

• N

f

• r

mu l a t i

• n

: Mo d a l a mp l i t u t d e s

( T C ) E q u i v a l e n t Mu l t i

• d
• ma

i n s f

• r

mu l a t i

• n

: g i v e n ? H

• w

t

• c
• mp

u t e t h e mo d a l a mp l i t u d e s U s i n g , a n d t h e b i

• r

t h

• g
• n

a l i t y r e l a t i

• n

s , i t c

• me

s : w h e r e 2 2

SLIDE 61

T t N f

• r

mu l a t i

• n

( T C ) E q u i v a l e n t Mu l t i

• d
• ma

i n s f

• r

mu l a t i

• n

: F

• r

mu l a t i

• n

i n a b

• u

n d e d d

• ma

i n 2 3

SLIDE 62

T t N f

• r

mu l a t i

• n

( T C ) E q u i v a l e n t Mu l t i

• d
• ma

i n s f

• r

mu l a t i

• n

: F

• r

mu l a t i

• n

i n a b

• u

n d e d d

• ma

i n i s c

• mp

a c t . R e ma r k : 2 3

SLIDE 63

T t N f

• r

mu l a t i

• n

: i l l u s t r a t i

• n

F

• r

mu l a t i

• n

i n a b

• u

n d e d d

• ma

i n R e a l p a r t

• f

t h e s

• l

u t i

• n

: 2 4

SLIDE 64

T t N f

• r

mu l a t i

• n

: i l l u s t r a t i

• n

F

• r

mu l a t i

• n

i n a b

• u

n d e d d

• ma

i n R e a l p a r t

• f

t h e s

• l

u t i

• n

: 2 4

SLIDE 65

T t N f

• r

mu l a t i

• n

: i l l u s t r a t i

• n

F

• r

mu l a t i

• n

i n a b

• u

n d e d d

• ma

i n R e a l p a r t

• f

t h e s

• l

u t i

• n

: 2 4

SLIDE 66

T t N f

• r

mu l a t i

• n

f

• r

e l a s t i c p r

• b

l e m

F

• r

mu l a t i

• n

i n a b

• u

n d e d d

• ma

i n T h e me t h

• d

c a n b e e x t e n d e d t

• t

h e a n i s

• t

r

• p

i c e l a s t i c c a s e b e c a u s e t h e b i

• r

t h

• g
• n

a l i t y r e l a t i

• n

s s t i l l h

• l

d . 2 5

SLIDE 67

T t N f

• r

mu l a t i

• n

f

• r

e l a s t i c p r

• b

l e m

F

• r

mu l a t i

• n

i n a b

• u

n d e d d

• ma

i n Mo d u l u s

• f

t h e d i s p l a c e me n t fj e l d ( i s

• t

r

• p

i c me d i u m w i t h

• u

t i n v e r s e mo d e ) S p

• n

g e l a y e r s T t N P ML 2 5

SLIDE 68

T t N f

• r

mu l a t i

• n

f

• r

e l a s t i c p r

• b

l e m

F

• r

mu l a t i

• n

i n a b

• u

n d e d d

• ma

i n Mo d u l u s

• f

t h e d i s p l a c e me n t fj e l d ( a n i s

• t

r

• p

i c me d i u m w i t h i n v e r s e mo d e ) S p

• n

g e l a y e r s T t N P ML 2 5

SLIDE 69

O u t l i n e

• f

t h e t a l k

F i n d t h e

• u

t g

• i

n g s

• l

u t i

• n
• f

O u t l i n e :

T h e mo d a l r e p r e s e n t a t i

• n

i n I t e r a t i v e r e s

• l

u t i

• n

I s

• t

r

• p

i c c a s e T h e c l a s s i c a l « D i r i c h l e t

• N

e u ma n n » mu l t i

• d
• ma

i n s f

• r

mu l a t i

• n

I s

• t

r

• p

i c c a s e N e w mu l t i

• d
• ma

i n s f

• r

mu l a t i

• n

« T r a n s p a r e n t

• N

e u ma n n » A n i s

• t

r

• p

i c c a s e

2 6

SLIDE 70

T w

• a

p p r

• a

c h e s i n t h e i s

• t

r

• p

i c c a s e

F

• r

mu l a t i

• n

i n a b

• u

n d e d d

• ma

i n w h e r e : f

• r

t h e D i r i c h l e t

• N

e u ma n n f

• r

mu l a t i

• n

f

• r

t h e T r a n s p a r e n t

• N

e u ma n n f

• r

mu l a t i

• n

2 7

SLIDE 71

T w

• a

p p r

• a

c h e s i n t h e i s

• t

r

• p

i c c a s e

F

• r

mu l a t i

• n

i n a b

• u

n d e d d

• ma

i n w h e r e : f

• r

t h e D i r i c h l e t

• N

e u ma n n f

• r

mu l a t i

• n

f

• r

t h e T r a n s p a r e n t

• N

e u ma n n f

• r

mu l a t i

• n

N

• n

l

• c

a l c

• n

d i t i

• n

2 7

SLIDE 72

S c h w a r z a l g

• r

i t h m

I t e r a t i v e a l g

• r

i t h m w h e r e : f

• r

t h e D i r i c h l e t

• N

e u ma n n f

• r

mu l a t i

• n

f

• r

t h e T r a n s p a r e n t

• N

e u ma n n f

• r

mu l a t i

• n

L

• c

a l c

• n

d i t i

• n

C

• n

v e r g e n c e

• f

t h e a l g

• r

i t h m ? 2 8

SLIDE 73

C

• n

v e r g e n c e a n a l y s i s i n a s t r a i g h t g u i d e

I t e r a t i v e a l g

• r

i t h m T h a n k s t

• t

h e s e p a r a b l e g e

• me

t r y a n d t h e c

• n

d i t i

• n
• n

, i t c

• me

s : i n 2 9

SLIDE 74

C

• n

v e r g e n c e a n a l y s i s i n a s t r a i g h t g u i d e

I t e r a t i v e a l g

• r

i t h m T h a n k s t

• t

h e s e p a r a b l e g e

• me

t r y a n d t h e c

• n

d i t i

• n
• n

, i t c

• me

s : i n

• n

2 9

SLIDE 75

C

• n

v e r g e n c e a n a l y s i s i n a s t r a i g h t g u i d e

I t e r a t i v e a l g

• r

i t h m T h a n k s t

• t

h e s e p a r a b l e g e

• me

t r y a n d t h e c

• n

d i t i

• n
• n

, i t c

• me

s : i n

• n

Mo r e

• v

e r , w e h a v e D i r i c h l e t

• N

e u ma n n T r a n s p a r e n t

• N

e u ma n n 2 9

SLIDE 76

C

• n

v e r g e n c e a n a l y s i s i n a s t r a i g h t g u i d e

I t e r a t i v e a l g

• r

i t h m T h a n k s t

• t

h e s e p a r a b l e g e

• me

t r y a n d t h e c

• n

d i t i

• n
• n

, i t c

• me

s :

• n

Mo r e

• v

e r , w e h a v e D i r i c h l e t

• N

e u ma n n T r a n s p a r e n t

• N

e u ma n n 2 9

SLIDE 77

C

• n

v e r g e n c e a n a l y s i s i n a s t r a i g h t g u i d e

I t e r a t i v e a l g

• r

i t h m D i r i c h l e t

• N

e u ma n n T r a n s p a r e n t

• N

e u ma n n 2 9

SLIDE 78

C

• n

v e r g e n c e a n a l y s i s i n a s t r a i g h t g u i d e

I t e r a t i v e a l g

• r

i t h m D i r i c h l e t

• N

e u ma n n T r a n s p a r e n t

• N

e u ma n n 2 9

SLIDE 79

C

• n

v e r g e n c e a n a l y s i s i n a s t r a i g h t g u i d e

I t e r a t i v e a l g

• r

i t h m D i r i c h l e t

• N

e u ma n n T r a n s p a r e n t

• N

e u ma n n 3

SLIDE 80

C

• n

v e r g e n c e a n a l y s i s i n a s t r a i g h t g u i d e

I t e r a t i v e a l g

• r

i t h m D i r i c h l e t

• N

e u ma n n T r a n s p a r e n t

• N

e u ma n n 3

SLIDE 81

G MR E S c

• n

v e r g e n c e : i l l u s t r a t i

• n

F

• r

mu l a t i

• n

i n a b

• u

n d e d d

• ma

i n D i r i c h l e t

• N

e u ma n n T r a n s p a r e n t

• N

e u ma n n

R e s i d u a l e r r

• r

( l

• g

1 ) N b i t e r a t i

• n

s N b i t e r a t i

• n

s R e s i d u a l e r r

• r

( l

• g

1 )

3

SLIDE 82

C

• n

c l u s i

• n

A d v a n t a g e s

• f

t h e T r a n s p a r e n t – N e u ma n n f

• r

mu l a t i

• n

: A p p l i c a b l e t

• a

n i s

• t

r

• p

e me d i a a n d e x t e n d a b l e t

• t

h e a n i s

• t

r

• p

i c e l a s t i c c a s e I n t h e i s

• t

r

• p

i c c a s e , i t a v

• i

d s t h e p r

• b

l e m w i t h t h e b

• x

f r e q u e n c i e s B e n e fj t f

• r

a n i t e r a t i v e r e s

• l

u t i

• n

w h a t e v e r t h e s i z e

• f

t h e

• v

e r l a p i s ! S

• me

r e f e r e n c e s :

B a r

• n

i a n e t a l . , I t e r a t i v e m e t h

• d

s f

• r

s c a t t e r i n g p r

• b

l e m s i n u n b

• u

n d e d a n i s

• t

r

• p

i c e l a s t i c w a v e g u i d e s , s u b mi t t e d B

• n

n e t

• B

e n D h i a e t a l . , O n t h e u s e

• f

P ML i n p r e s e n c e

• f

l

• n

g

• r

b a c k w a r d g u i d e d e l a s t i c w a v e s , ( 2 7 ) G ma t i e t a l . , C

• n

v e r g e n c e b

• u

n d s

• f

G MR E S w i t h S c h w a r z ' s p r e c

• n

d i t i

• n

e r f

• r

s c a t t e r i n g p r

• b

l e m , ( 2 9 ) H a l l a e t a l . , H a r d y s p a c e i n fj n i t e e l e m e n t s f

• r

t i m e

• h

a r m

• n

i c t w

• d

i m e n s i

• n

a l e l a s t i c w a v e g u i d e p r

• b

l e m s , ( 2 1 5 )

3 1

SLIDE 83

Q u e s t i

• n

s ?

A d v a n t a g e s

• f

t h e T r a n s p a r e n t – N e u ma n n f

• r

mu l a t i

• n

: A p p l i c a b l e t

• a

n i s

• t

r

• p

e me d i a a n d e x t e n d a b l e t

• t

h e a n i s

• t

r

• p

i c e l a s t i c c a s e I n t h e i s

• t

r

• p

i c c a s e , i t a v

• i

d s t h e p r

• b

l e m w i t h t h e b

• x

f r e q u e n c i e s B e n e fj t f

• r

a n i t e r a t i v e r e s

• l

u t i

• n

w h a t e v e r t h e s i z e

• f

t h e

• v

e r l a p i s ! S

• me

r e f e r e n c e s :

B a r

• n

i a n e t a l . , I t e r a t i v e m e t h

• d

s f

• r

s c a t t e r i n g p r

• b

l e m s i n u n b

• u

n d e d a n i s

• t

r

• p

i c e l a s t i c w a v e g u i d e s , s u b mi t t e d B

• n

n e t

• B

e n D h i a e t a l . , O n t h e u s e

• f

P ML i n p r e s e n c e

• f

l

• n

g

• r

b a c k w a r d g u i d e d e l a s t i c w a v e s , ( 2 7 ) G ma t i e t a l . , C

• n

v e r g e n c e b

• u

n d s

• f

G MR E S w i t h S c h w a r z ' s p r e c

• n

d i t i

• n

e r f

• r

s c a t t e r i n g p r

• b

l e m , ( 2 9 ) H a l l a e t a l . , H a r d y s p a c e i n fj n i t e e l e m e n t s f

• r

t i m e

• h

a r m

• n

i c t w

• d

i m e n s i

• n

a l e l a s t i c w a v e g u i d e p r

• b

l e m s , ( 2 1 5 )

T h a n k y

• u

f

• r

y

• u

r a t t e n t i

• n

! 3 1