Worst ¡Case ¡Op,mal ¡Joins ¡ CompSci ¡590.04 ¡ Instructor: ¡Ashwin ¡Machanavajjhala ¡ ¡ Lecture ¡19 ¡: ¡590.04 ¡Fall ¡15 ¡ 1 ¡
� � � � � Mul,-‑way ¡Joins ¡ ¡ ¡ ¡J(a,b,c) ¡:-‑ ¡R(a,b) ¡S(b,c) ¡T(a,c) ¡ ¡ • Historically ¡databases ¡designers ¡decided ¡that ¡the ¡best ¡way ¡to ¡ handle ¡mul,-‑way ¡joins ¡is ¡to ¡do ¡them ¡one ¡pair ¡at ¡a ¡,me. ¡ ¡ – For ¡efficiency ¡reasons. ¡ ¡ R2 R4 R3 R1 R3 R1 R2 R4 Left-deep plan Bushy plan � � � � � � Lecture ¡19 ¡: ¡590.04 ¡Fall ¡15 ¡ 2 ¡
How ¡fast ¡is ¡this ¡approach? ¡ R “ { a 0 } ˆ { b 0 , . . . , b m } Y { a 0 , . . . , a m } ˆ { b 0 } S “ { b 0 } ˆ { c 0 , . . . , c m } Y { b 0 , . . . , b m } ˆ { c 0 } T “ { a 0 } ˆ { c 0 , . . . , c m } Y { a 0 , . . . , a m } ˆ { c 0 } A B C Lecture ¡19 ¡: ¡590.04 ¡Fall ¡15 ¡ 3 ¡
How ¡fast ¡is ¡this ¡approach? ¡ R “ { a 0 } ˆ { b 0 , . . . , b m } Y { a 0 , . . . , a m } ˆ { b 0 } S “ { b 0 } ˆ { c 0 , . . . , c m } Y { b 0 , . . . , b m } ˆ { c 0 } T “ { a 0 } ˆ { c 0 , . . . , c m } Y { a 0 , . . . , a m } ˆ { c 0 } • Each ¡instance ¡has ¡2m+1 ¡rows. ¡ ¡ • J(a, ¡b, ¡c) ¡has ¡3m+1 ¡rows ¡ • Any ¡pairwise ¡join ¡(e.g., ¡J1(a,b,c) ¡= ¡R(a,b), ¡S(b,c)) ¡has ¡size ¡m 2 ¡+ ¡m ¡ Lecture ¡19 ¡: ¡590.04 ¡Fall ¡15 ¡ 4 ¡
What ¡does ¡this ¡mean ¡for ¡triangle ¡ coun,ng? ¡ • Every ¡database ¡system ¡necessarily ¡takes ¡O(N 2 ) ¡ – Ignoring ¡log ¡terms ¡ • Find ¡all ¡pairs ¡(b,c) ¡are ¡connected ¡with ¡a ¡ • Check ¡if ¡(b,c) ¡is ¡an ¡edge. ¡ ¡ • Is ¡this ¡the ¡best ¡we ¡can ¡do? ¡ ¡ Lecture ¡19 ¡: ¡590.04 ¡Fall ¡15 ¡ 5 ¡
Detour: ¡Can ¡Sampling ¡Help ¡Joins? ¡ • Sample(Join(R,S)) ¡≠ ¡Join(Sample(R), ¡Sample(S)) ¡ • In ¡R ¡x ¡S: ¡Half ¡the ¡records ¡have ¡‘a’ ¡and ¡half ¡the ¡records ¡have ¡‘b’ ¡ • In ¡Sample(R): ¡probability ¡‘a’ ¡appears ¡is ¡very ¡small. ¡ ¡ Lecture ¡19 ¡: ¡590.04 ¡Fall ¡15 ¡ 6 ¡
Back ¡to ¡triangle ¡coun,ng? ¡ • Every ¡database ¡system ¡necessarily ¡takes ¡O(N 2 ) ¡ – Ignoring ¡log ¡terms ¡ • Find ¡all ¡pairs ¡(b,c) ¡are ¡connected ¡with ¡a ¡ • Check ¡if ¡(b,c) ¡is ¡an ¡edge. ¡ ¡ • Is ¡this ¡the ¡best ¡we ¡can ¡do? ¡ ¡ Lecture ¡19 ¡: ¡590.04 ¡Fall ¡15 ¡ 7 ¡
We ¡can ¡do ¡becer! ¡ ¡ • … ¡not ¡only ¡for ¡triangle ¡counBng, ¡but ¡it ¡seems ¡database ¡systems ¡ have ¡been ¡doing ¡mulB-‑way ¡joins ¡subopBmally ¡for ¡40 ¡years!!! ¡ • Triangle ¡coun,ng ¡can ¡be ¡solved ¡in ¡O(N 1.5 ), ¡and ¡so ¡can ¡any ¡join ¡of ¡ the ¡form ¡R(a,b) ¡S(b,c) ¡T(a,c). ¡ ¡ Lecture ¡19 ¡: ¡590.04 ¡Fall ¡15 ¡ 8 ¡
How? ¡ ¡ • Is ¡there ¡an ¡O(N) ¡algorithm ¡for ¡the ¡following ¡join ¡problem: ¡ ¡ ¡ R “ { a 0 } ˆ { b 0 , . . . , b m } Y { a 0 , . . . , a m } ˆ { b 0 } S “ { b 0 } ˆ { c 0 , . . . , c m } Y { b 0 , . . . , b m } ˆ { c 0 } T “ { a 0 } ˆ { c 0 , . . . , c m } Y { a 0 , . . . , a m } ˆ { c 0 } Lecture ¡19 ¡: ¡590.04 ¡Fall ¡15 ¡ 9 ¡
Power ¡of ¡Two ¡Choices: ¡Heavy ¡vs ¡Light ¡ • Consider ¡acribute ¡A ¡ • For ¡all ¡ai ¡not ¡equal ¡to ¡a0, ¡there ¡is ¡exactly ¡one ¡tuple ¡in ¡R ¡(ai, ¡b0) ¡ and ¡one ¡tuple ¡in ¡T ¡(ai, ¡c0) ¡ (i) Compute σ A “ a i p R q � σ A “ a i p T q and filter the re- sults by probing against S or • The ¡above ¡strategy ¡is ¡bad ¡for ¡a0 ¡ – Joining ¡tables ¡R ¡and ¡T ¡on ¡a0 ¡results ¡in ¡an ¡intermediate ¡of ¡N 2 . ¡ Lecture ¡19 ¡: ¡590.04 ¡Fall ¡15 ¡ 10 ¡
Power ¡of ¡Two ¡Choices: ¡Heavy ¡vs ¡Light ¡ • Consider ¡acribute ¡A ¡ There ¡are ¡O(N) ¡values ¡ai, ¡each ¡resul,ng ¡in ¡a ¡ single ¡join ¡record ¡(ai, ¡b0, ¡c0). ¡Checking ¡whether ¡ • For ¡all ¡ai ¡not ¡equal ¡to ¡a0, ¡there ¡is ¡exactly ¡one ¡tuple ¡in ¡R ¡(ai, ¡b0) ¡ (b0, ¡c0) ¡is ¡in ¡S ¡is ¡O(1) ¡… ¡ assuming ¡an ¡index ¡ and ¡one ¡tuple ¡in ¡T ¡(ai, ¡c0) ¡ (i) Compute σ A “ a i p R q � σ A “ a i p T q and filter the re- sults by probing against S or • For ¡ai ¡= ¡a0: ¡ ¡ (ii) Consider each tuple in p b , c q P S and check if p a i , b q P R and p a i , c q P T . There ¡are ¡N ¡rows ¡in ¡S. ¡Again, ¡checking ¡(ai, ¡b) ¡is ¡in ¡ R ¡and ¡(ai, ¡c) ¡is ¡in ¡T ¡takes ¡O(1) ¡… ¡ ¡ assuming ¡an ¡index ¡ Lecture ¡19 ¡: ¡590.04 ¡Fall ¡15 ¡ 11 ¡
Power ¡of ¡Two ¡Choices: ¡Heavy ¡vs ¡Light ¡ • Consider ¡acribute ¡A ¡ Such ¡ai’s ¡are ¡called ¡ light ¡ ¡nodes. ¡Tradi,onal ¡join ¡ processing ¡works ¡here. ¡ ¡ • For ¡all ¡ai ¡not ¡equal ¡to ¡a0, ¡there ¡is ¡exactly ¡one ¡tuple ¡in ¡R ¡(ai, ¡b0) ¡ ¡ and ¡one ¡tuple ¡in ¡T ¡(ai, ¡c0) ¡ (i) Compute σ A “ a i p R q � σ A “ a i p T q and filter the re- sults by probing against S or • For ¡ai ¡= ¡a0: ¡ ¡ (ii) Consider each tuple in p b , c q P S and check if p a i , b q P R and p a i , c q P T . Such ¡ai’s ¡are ¡called ¡ heavy ¡ nodes. ¡Need ¡to ¡ compute ¡the ¡join ¡jointly. ¡ ¡ Lecture ¡19 ¡: ¡590.04 ¡Fall ¡15 ¡ 12 ¡
Power ¡of ¡Two ¡Choices ¡Algorithm ¡ Algorithm 1 Computing Q � with power of two choices. Input: R p A , B q , S p B , C q , T p A , C q in sorted order 1: Q � � H 2: L � π A p R q X π A p T q 3: For each a P L do Heavy ¡value ¡ If | σ A “ a R | ¨ | σ A “ a T | � | S | then 4: For each p b , c q P S do 5: If p a , b q P R and p a , c q P T then 6: Add p a , b , c q to Q � 7: else 8: Light ¡value ¡ For each b P π B p σ A “ a R q ^ c P π C p σ A “ a T q 9: do If p b , c q P S then 10: Add p a , b , c q to Q � 11: 12: Return Q Lecture ¡19 ¡: ¡590.04 ¡Fall ¡15 ¡ 13 ¡
Run,me ¡Analysis ¡ • Compu,ng ¡L ¡takes: ¡ ¡ min � | σ A “ a R | ¨ | σ A “ a T | , | S | � , • Rest ¡of ¡the ¡algorithm ¡takes: ¡ ¡ � � � � min � | σ A “ a R | ¨ | σ A “ a T | , | S | � . � � | S | ¨ | ¨ | R | ¨ | T | . � a P L Lecture ¡19 ¡: ¡590.04 ¡Fall ¡15 ¡ 14 ¡
Can ¡we ¡do ¡becer? ¡ ¡ • NO! ¡ ¡ • A ¡matching ¡lower ¡bound ¡by ¡Atserias ¡Grohe ¡and ¡Marx ¡(or ¡the ¡ AGM ¡bound) ¡ Lecture ¡19 ¡: ¡590.04 ¡Fall ¡15 ¡ 15 ¡
AGM ¡Bound ¡ • Let ¡V ¡denote ¡the ¡set ¡of ¡rela,ons ¡ • Every ¡rela,on ¡is ¡a ¡subset ¡of ¡acributes ¡F ¡(or ¡a ¡hyper ¡edge) ¡ • Let ¡x ¡be ¡a ¡vector ¡of ¡weights ¡associated ¡ with ¡each ¡rela,on ¡(hyperedge) ¡ x R “ 1 A 2 x T “ 1 x R “ 1 2 x T “ 1 • Frac%onal ¡Edge ¡Cover : ¡ ¡ T R E � � � � � � � � x | x F � 1 , @ v P V , x � 0 � � B C S � � � � � F : v P F x S ` x T “ 1 x S “ 1 x S ` x T “ 1 2 x S “ 0 Q � Lecture ¡19 ¡: ¡590.04 ¡Fall ¡15 ¡ 16 ¡
AGM ¡Bound ¡ � | R F | x F . | Q | “ | � F P E R F | � F P E Lecture ¡19 ¡: ¡590.04 ¡Fall ¡15 ¡ 17 ¡
Examples ¡ • Triples ¡query ¡ • Best ¡frac,onal ¡cover ¡assigns ¡weight ¡0.5 ¡to ¡each ¡rela,on ¡ • Join ¡size ¡is ¡at ¡most ¡(|R|. ¡|S|. ¡|T|) 0.5 ¡ x R “ 1 A 2 x T “ 1 x R “ 1 2 x T “ 1 • Another ¡frac,onal ¡cover ¡assings ¡ ¡ T R 0 ¡to ¡rela,on ¡S ¡and ¡1 ¡each ¡to ¡R ¡and ¡T ¡ B C S • Join ¡size ¡is ¡at ¡most ¡|R|.|T| ¡ x S ` x T “ 1 x S “ 1 x S ` x T “ 1 2 x S “ 0 Q � Lecture ¡19 ¡: ¡590.04 ¡Fall ¡15 ¡ 18 ¡
Examples ¡ • J(a,b,c,d) ¡:-‑ ¡R(a,b,) ¡S(b,c) ¡T(c,d) ¡U(a,c) ¡X(a,d) ¡Y(b,d) ¡Z(c,d) ¡ • One ¡cover ¡is ¡assigning ¡weight ¡of ¡1/(n-‑1) ¡to ¡all ¡rela,ons ¡ R 1 , 2 A 2 A 1 • If ¡all ¡rela,ons ¡have ¡size ¡N, ¡ ¡ Join ¡size ¡is ¡at ¡most ¡N n/2 ¡ ¡ ¡ R 1 , 3 R 2 , 3 R 2 , 4 A 3 A 4 R 3 , 4 R 1 , 4 1 Lecture ¡19 ¡: ¡590.04 ¡Fall ¡15 ¡ 19 ¡
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