Me Metho thods ds of of Sol Solutio ution n of of fi first - - PowerPoint PPT Presentation

Me Metho thods ds of

• f

Sol Solutio ution n of

• f fi

first rst

• r
• rder

der o

• de

de

Let M (x ,y) dx + N(x ,y) dy = 0 Exact differential equation Then

Let u = u(x ,y ) =c be a solution Then du=

𝝐𝒗 𝝐𝒚 𝒆𝒚 + 𝝐𝒗 𝝐𝒛 𝒆𝒛 = 𝟏

u u M , N x y      

2 2

M u N u , y y x x x y            

M N y x     

Then

M N y x     

(4) Exact Differential Equations:

This type takes the form:

M N y x     

Such that:

( , ) ( , ) M x y dx N x y dy  

The solution function will take the form:

c y x f  ) , (



   c y h dx y x M y x f ) ( ) , ( ) , (

) , ( y x N f y 

Example

   

2 2

2 3 2 7 y x dx yx dy     Solve the DE

Solution

2

2 3 M y x  

2

2 7 N yx  

4 M N yx y x      

2

( , ) (2 3) ( ) f x y y x dx h y   



2 2

( , ) 3 ( ) f x y y x x h y   

2

( ) 2

y

dh y f yx dy  

( ) 7 dh y dy 

( ) 7 h y y 

c y x x y y x f     7 3 ) , (

2 2

Example    

3 2 2

sin 3 2 cos y y x x dx xy y x dy     

Solve the DE

Solution

2

3 2 sin M N y y x y x       

2

( , ) (3 2 cos ) ( ) f x y xy y x dy g x   



3 2

( , ) cos ( ) f x y xy y x g x   

3 2

( ) sin

x

dg x f y y x dx   

( ) dg x x dx  

2

( ) 1/ 2 g x x  

3 2 2

1 ( , ) cos 2 f x y xy y x x c    

Solve the differential eqns

=0

1

ln ydx xy dy





2 3

(3x sin y) dx (x cosy)dy  

y y

e dx xe dy  

x x 1

e ln ydx e y dy



 

2 2

2xydx (x 3y )dy   

2

2xy dx (x cosy)dy   

3 2 2

2xy dx (3x y cosy)dy   

(5) DE’s Reducible to Exact:

This type takes the form:

M N y x     

Such that:

( , ) ( , ) M x y dx N x y dy  

Sometimes there exist a suitable function called an integrating factor such that,

( , ) ( , ) M x y dx N x y dy    

which is exact DE.

The problem now is: how to obtain

Case (I):

( )

( )

A x dx

x e 





1 ( ) M N A x N y x            

( , ) x y 

Case (II):

( )

( )

B y dy

y e 







1 ( ) M N B y M y x            

Example

   

2 2

3 2 y xy y dx x xy x dy      

Solve the DE

Solution

2

M y xy y   

2

3 2 N x xy x   

2 1 M y x y     

   

1 1 1 ( ) 1 x y M N B y M y x y x y y                    

1 ( ) ln

( )

dy B y dy y y

y e e e y 

 



    

2 3 2 N x y x     

   

2 2

3 2 y xy y dx x xy x dy      

   

3 2 2 2 2

3 2

M N

y xy y dx yx xy xy dy

 

     

3 2 2

( , ) ( ) ( ) f x y y xy y dx h y    



3 2 2 2

1 ( , ) ( ) 2 f x y xy x y xy h y    

2 2

( ) 3 2

y

dh y f xy x y xy dy    

( ) ( ) dh y h y c dy    

3 2 2 2

1 ( , ) 2 f x y xy x y xy c    

Example

   

2 3

cos sin cos 1 x x dy y x dx    Solve the DE

Solution

3

cos 1 M y x  

2

cos sin N x x 

3

cos M x y   

2 2

1 2cos sin 2sin ( ) cos cos sin M N x x x A x N y x x x x              

2

1 sin ln 2 2ln cos 2 cos cos 2

1 ( ) sec cos

x dx x x x

x e e e x x 



      

     

3 2

cos 2cos sin N x x x x    

   

2 3

cos sin cos 1 x x dy y x dx   

 

 

2

sin cos sec x dy y x x dx   

( , ) (sin ) ( ) f x y x dy g x  



( , ) sin ( ) f x y y x g x  

( ) cos

x

dg x f y x dx  

2

( ) sec ( ) tan dg x x g x x c dx       

( , ) sin tan f x y y x x c   

(6) Linear DE’s:

The general first order linear DE takes the form:

( )

( )

p x dx

x e 





Solution steps:

( ) ( ) dy p x y q x dx  

 

1 ( ) ( ) ( ) ( ) y x x q x dx c x    



Example

cos sin 1 dy x y x dx   Solve the DE

Solution

sin 1 cos cos dy x y dx x x  

sin ( ) cos x p x x 

1 ( ) cos q x x 

1 sin ln lncos cos cos

1 ( ) sec cos

x dx x x x

x e e e x x 



      

             



c dx x x x x y cos 1 sec sec 1 ) (

c x x y   tan sec

(7) DE’s Reducible to Linear (Bernoulli DE):

The general form of Bernoulli DE is:

( ) ( ) n dy p x y q x y dx  

1 n

u y  

(1 ) ( ) (1 ) ( ) du n p x u n q x dx    

Example

2

4 dy x y x y dx   Solve the DE

Solution

   

1 2

4

q x p x

dy y x y dx x   1/2 n 

1 2

u le y t 

2 1 2 du u x dx x  

2

1 2 ln 2ln 2

1 ( )

dx x x x

x e e e x 



       

    

2 1

( ) ln 2 u x x x c        

             



c dx x x x x u 2 1 1 ) (

2 2

1.

ydy dx ) 1 y ( x 2   

• 2. sin x. sin y dx + cos x cos y dy

3.

dy ) e 4 ( dx ye

x 2 x 2

 

• 4. x cos y dx + tan y dy = 0

5.

x sin y . y tan

3 2

  

6.

2

y 1 y   

Solve

Solve