Logik f ur Informatiker 2. Aussagenlogik Teil 3 30.04.2012 - - PowerPoint PPT Presentation

Logik f¨ ur Informatiker

• 2. Aussagenlogik

Teil 3 30.04.2012 Viorica Sofronie-Stokkermans Universit¨ at Koblenz-Landau e-mail: sofronie@uni-koblenz.de

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Letztes Mal

Aussagenlogik

• Syntax: welche Formeln?
• Semantik: Modelle (Strukturen)

Wann ist eine Formel wahr (in einer Struktur)?

• Deduktionsmechanismus: Ableitung neuer wahrer Formeln

2

Letztes Mal

Aussagenlogik

• Syntax: welche Formeln?
• Semantik: Modelle (Strukturen)

Wann ist eine Formel wahr (in einer Struktur)?

• Deduktionsmechanismus: Ableitung neuer wahrer Formeln

3

Syntax der Aussagenlogik: Logische Zeichen

⊤ (“verum”); ⊥ (“falsum”) ¬ (“nicht”) ∧ (“und”); ∨ (“oder”); → (“wenn...dann”); ↔ (“genau dann, wenn”) ( ) die beiden Klammern

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Vokabular der Aussagenlogik

Atomare Aussagen (Atome, Aussagenvariablen) Abz¨ ahlbare Menge von Symbolen, etwa Π = {P0, . . . , Pn} oder Π = {P0, P1, . . . }

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Formeln der Aussagenlogik

Atomare Aussagen (Atome, Aussagenvariablen) Abz¨ ahlbare Menge von Symbolen, etwa Π = {P0, . . . , Pn} oder Π = {P0, P1, . . . } Definition: Menge ForΠ der Formeln ¨ uber Π: Die kleinste Menge mit:

• ⊤ ∈ ForΠ und ⊥∈ ForΠ
• Π ⊆ ForΠ
• Wenn F, G ∈ ForΠ, dann auch

¬F, (F ∧ G), (F ∨ G), (F → G), (F ↔ G) Elemente von ForΠ.

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Terminologie

Eine Formel F, die als Teil einer Formel G auftritt, heißt Teilformel von G. Die bin¨ are Relation Teilformel: G Teilformel F gdw.: G ist eine Teilformel von F ist eine noethersche partielle Ordnung auf ForΠ.

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Strukturelle Induktion

Beweise durch strukturelle Induktion: Zu zeigen: Alle Formeln haben Eigenschaft p “F¨ ur alle F ∈ ForΠ, p(F) gilt” Induktionsbasis: Wir beweisen, dass p(A) f¨ ur alle atomaren Formeln gilt. Beweise p(⊥), p(⊤) und p(Q) f¨ ur die Aussagenvariable Q.

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Strukturelle Induktion

Beweise durch strukturelle Induktion: Zu zeigen: Alle Formeln haben Eigenschaft p “F¨ ur alle F ∈ ForΠ, p(F) gilt” Induktionsbasis: Wir beweisen, dass p(A) f¨ ur alle atomaren Formeln gilt. Beweise p(⊥), p(⊤) und p(Q) f¨ ur die Aussagenvariable Q. Induktionsvoraussetzung: Sei F eine Formel (die nicht atomar ist) Annahme: alle Teilformeln von F, die nicht gleich F sind, haben Eigenschaft p.

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Strukturelle Induktion

Beweise durch strukturelle Induktion: Zu zeigen: Alle Formeln haben Eigenschaft p “F¨ ur alle F ∈ ForΠ, p(F) gilt” Induktionsbasis: Wir beweisen, dass p(A) f¨ ur alle atomaren Formeln gilt. Beweise p(⊥), p(⊤) und p(Q) f¨ ur die Aussagenvariable Q. Induktionsvoraussetzung: Sei F eine Formel (die nicht atomar ist) Annahme: alle Teilformeln von F, die nicht gleich F sind, haben Eigenschaft p. Induktionsschritt: Zeige, dass auch F Eigenschaft p hat. Beweis durch Fallunterscheidung:

Fall 1: F = ¬G. Induktionvoraussetzung: p(G) gilt. Folgere, dass p(F) gilt. Fall 2: F = G ∧ H. Induktionvoraussetzung: p(G), p(H) gelten. Folgere, dass p(F) gilt. Fall 3: F = G ∨ H. Induktionvoraussetzung: p(G), p(H) gelten. Folgere, dass p(F) gilt. Fall 4: F = G → H. Induktionvoraussetzung: p(G), p(H) gelten. Folgere, dass p(F) gilt. Fall 5: F = G ↔ H. Induktionvoraussetzung: p(G), p(H) gelten. Folgere, dass p(F) gilt. 10

Syntax: Beispiel

“Worin besteht das Geheimnis Ihres langen Lebens?”, wurde ein 100 J¨ ahriger gefragt. “Ich halte mich streng an die Di¨ atregeln:

• Wenn ich kein Bier zu einer Mahlzeit trinke,

dann habe ich immer Fisch.

• Immer wenn ich Fisch und Bier zur selben Mahlzeit habe,

verzichte ich auf Eiscreme.

• Wenn ich Eiscreme habe oder Bier meide,

dann r¨ uhre ich Fisch nicht an.”

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Beispiel 1

Wenn ich kein Bier zu einer Mahlzeit trinke, dann habe ich immer Fisch. ◮ ¬B→F

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Beispiel 1

Wenn ich kein Bier zu einer Mahlzeit trinke, dann habe ich immer Fisch. ◮ ¬B→F Immer wenn ich Fisch und Bier zur selben Mahlzeit habe, verzichte ich auf Eiscreme. ◮ F∧B→ ¬E

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Beispiel 1

Wenn ich kein Bier zu einer Mahlzeit trinke, dann habe ich immer Fisch. ◮ ¬B→F Immer wenn ich Fisch und Bier zur selben Mahlzeit habe, verzichte ich auf Eiscreme. ◮ F∧B→ ¬E Wenn ich Eiscreme habe oder Bier meide, dann r¨ uhre ich Fisch nicht an. ◮ E∨¬B→ ¬F

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Beispiel 1

◮ ¬B→F ◮ F∧B→ ¬E ◮ E∨¬B→ ¬F

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Beispiel 1

◮ ¬B→F ◮ F∧B→ ¬E ◮ E∨¬B→ ¬F Wir m¨

• chten wissen, welche Men¨

us solche Di¨ atregeln erf¨ ullen. z.B.:

• kein Bier, Fisch und Eiscreme

erf¨ ullt 3. Di¨ atregel nicht!

• Bier, Fisch, keine Eiscreme

erf¨ ullt alle Di¨ atregeln

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Beispiel 1

◮ ¬B→F ◮ F∧B→ ¬E ◮ E∨¬B→ ¬F Wir m¨

• chten wissen, welche Men¨

us solche Di¨ atregeln erf¨ ullen. z.B.: Formalisierung:

• kein Bier, Fisch und Eiscreme

B → falsch, F → wahr, E → wahr erf¨ ullt 3. Di¨ atregel nicht!

• Bier, Fisch, keine Eiscreme

B → wahr, F → wahr, E → falsch erf¨ ullt alle Di¨ atregeln

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Beispiel 1

◮ ¬B→F ◮ F∧B→ ¬E ◮ E∨¬B→ ¬F Wir m¨

• chten wissen, welche Men¨

us solche Di¨ atregeln erf¨ ullen. z.B.: Formalisierung: 0:falsch, 1:wahr A : {B, F, E} → {0, 1}

• kein Bier, Fisch und Eiscreme

A(B) = 0, A(F) = 1, A(E) = 1 erf¨ ullt 3. Di¨ atregel nicht!

• Bier, Fisch, keine Eiscreme

A(B) = 1, A(F) = 1, A(E) = 0 erf¨ ullt alle Di¨ atregeln

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Letztes Mal

Aussagenlogik

• Syntax: welche Formeln?
• Semantik: Modelle (Strukturen)

Wann ist eine Formel wahr (in einer Struktur)?

• Deduktionsmechanismus: Ableitung neuer wahrer Formeln

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Semantik der Aussagenlogik

Aussagenvariablen f¨ ur sich haben keine Bedeutung. Hierf¨ ur m¨ ussen Wertebelegungen (Valuationen) zur Verf¨ ugung stehen. 1 Symbol f¨ ur den Wahrheitswert “wahr” 0 Symbol f¨ ur den Wahrheitswert “falsch” Eine Valuation (Wertebelegung, Interpretation, Struktur, Modell) ist eine Abbildung A : Π → {0, 1}

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Beispiel 1

◮ ¬B→F ◮ F∧B→ ¬E ◮ E∨¬B→ ¬F Π = {B, F, E} M¨

• gliche Interpretation (Wertebelegung): A(B) = 1, A(F) = 0, A(E) = 1

A(B) = 1: “Ich habe Bier” A(F) = 0: “Ich habe kein Fisch” A(E) = 1: “Ich habe Eiskreme”

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Beispiel 1

◮ ¬B→F ◮ F∧B→ ¬E ◮ E∨¬B→ ¬F Π = {B, F, E} M¨

• gliche Interpretation (Wertebelegung): A(B) = 1, A(F) = 0, A(E) = 1

Auswertung von Formeln: A∗(¬B → F) = A∗(¬B) → A∗(F) = ¬A(B) → A(F) = (¬1 → 0) = (0 → 0) = 1

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Wahrheitstafel f¨ ur die logischen Operatoren

P ¬P 1 1 ∧ 1 1 1 ∨ 1 1 1 1 1 → 1 1 1 1 1 ↔ 1 1 1 1

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Semantik der Aussagenlogik

Auswertung von Formeln in einem Modell Sei A : Π → {0, 1} eine Π-Valuation. A∗ : ForΠ → {0, 1} wird induktiv ¨ uber Aufbau von F wie folgt definiert: A∗(⊥) = 0 A∗(⊤) = 1 A∗(P) = A(P) A∗(¬F) = 1 − A∗(F) A∗(F op G) = Bop(A∗(F), A∗(G)) Bop(x, y) berechnet entsprechend der Wahrheitstafel f¨ ur op z.B. : B∨(0, 1) = (0 ∨ 1) = 1; B→(1, 0) = (1 → 0) = 0 Wir schreiben normalerweise A statt A∗ und op statt Bop.

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Modell einer Formel

Definition: Interpretation A ist Modell einer Formel F ∈ ForΠ, falls A∗(F) = 1. Notation: A | = F

Beispiel: A : Π(= {B, F, E}) → {0, 1} mit: A(B) = 1, A(F) = 0, A(E) = 1 Da A(¬B → F) = 1, ist A ein Modell der Formel ¬B → F A | = ¬B → F

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Modell einer Formelmenge

Definition: Interpretation A ist Modell einer Formelmenge M ⊆ ForΠ, falls A∗(F) = 1 f¨ ur alle F ∈ M Notation: A | = M

Beispiel 1: A : {B, F, E} → {0, 1} mit A(B) = 1, A(F) = 0, A(E) = 1

• Da A(¬B → F) = 1;

A(F ∧ B → ¬E) = 1; A(E ∨ ¬B → ¬F) = 1, ist A ein Modell der Formelmenge M = {¬B → F, F ∧ B → ¬E, E ∨ ¬B → ¬F}

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Modell einer Formelmenge

Definition: Interpretation A ist Modell einer Formelmenge M ⊆ ForΠ, falls A∗(F) = 1 f¨ ur alle F ∈ M Notation: A | = M

Beispiel 1: A : {B, F, E} → {0, 1} mit A(B) = 1, A(F) = 0, A(E) = 1

• Da A(¬B → F) = 1;

A(F ∧ B → ¬E) = 1; A(E ∨ ¬B → ¬F) = 1, ist A ein Modell der Formelmenge {¬B → F, F ∧ B → ¬E, E ∨ ¬B → ¬F) Beispiel 2: A′ : {B, F, E} → {0, 1} mit A′(B) = 0, A′(F) = 0, A′(E) = 1

• Da A′(¬B → F) = ¬A′(B) → A′(F) = (¬0 → 0) = (1 → 0) = 0

ist A′ kein Modell der Formelmenge {¬B → F, F ∧ B → ¬E, E ∨ ¬B → ¬F)

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G¨ ultigkeit und Erf¨ ullbarkeit

Definition: F gilt in A (oder A ist Modell von F) gdw. A(F) = 1. Notation: A | = F Definition: F ist (allgemein-) g¨ ultig (oder eine Tautologie) gdw.: A | = F, f¨ ur alle A : Π → {0, 1} Notation: | = F Definition: F heißt erf¨ ullbar gdw. es A : Π → {0, 1} gibt, so dass A | = F. Definition: F heißt unerf¨ ullbar (oder eine Kontradiktion) gdw. F nicht erf¨ ullbar ist.

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Beispiele

Die folgenden Formeln sind Tautologien: (1) (p → ¬p) → (¬p) (2) (p ∧ (p → q)) → q (3) (p ∧ q) → p (p ∧ q) → q (4) p → (p ∨ q) q → (p ∨ q) (5) (p → q) → [(q → r) → (p → r)] (6) (((p → q) ∧ (q → r)) ∧ p) → r

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Beispiele

Die folgenden Formeln sind Tautologien: (1) (p → ¬p) → (¬p) (2) (p ∧ (p → q)) → q (3) (p ∧ q) → p (p ∧ q) → q (4) p → (p ∨ q) q → (p ∨ q) (5) (p → q) → [(q → r) → (p → r)] (6) (((p → q) ∧ (q → r)) ∧ p) → r

• (1)–(6) sind alle erf¨

ullbar.

30

Beispiele

Die folgenden Formeln sind erf¨ ullbar, aber keine Tautologien (1) p (2) p → (p ∧ q) (3) (p ∨ q) → (p ∧ q) (4) p ↔ q

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Beispiele

Die folgenden Formeln sind unerf¨ ullbar: (1) ¬((p → ¬p) → (¬p)) (2) (p ∧ (p → q)) ∧ ¬q (3) ¬((p ∧ q) → p) (4) ¬(p → (p ∨ q)) (5) (p → q) ∧ ¬[(q → r) → (p → r)] (6) (((p → q) ∧ (q → r)) ∧ p) ∧ ¬r

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Unerf¨ ullbarkeit und Allgemeing¨ ultigkeit

• Theorem. F ist allgemeing¨

ultig gdw. ¬F ist unerf¨ ullbar.

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Aussagenlogik

• Syntax: welche Formeln?
• Semantik: Modelle (Strukturen)

Wann ist eine Formel wahr (in einer Struktur)?

• Deduktionsmechanismus:
• Ableitung neuer wahrer Formeln
• ¨

Uberpr¨ ufen, ob eine Formel erf¨ ullbar/unerf¨ ullbar/ allgemeing¨ ultig ist oder nicht.

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Erster Kalk¨ ul: Wahrheitstafelmethode

Jede Formel F enth¨ alt endlich viele Aussagenvariablen. A(F) ist nur von den Werten dieser Aussagenvariablen abh¨ angig. F enth¨ alt n Aussagenvariablen: ⇒ 2n Wertbelegungen notwendig um zu ¨ uberpr¨ ufen,

• b F erf¨

ullbar/unerf¨ ullbar/allgemeing¨ ultig ist oder nicht. ⇒ Wahrheitstafel

• F allgemeing¨

ultig (Tautologie): A(F) = 1 f¨ ur alle Wertbelegungen

• F erf¨

ullbar: A(F) = 1 f¨ ur zumindest eine Wertbelegung

• F unerf¨

ullbar: A(F) = 0 f¨ ur alle Wertbelegungen

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Folgerung

Definition: F impliziert G (oder G folgt aus F), gdw.: f¨ ur alle A : Π → {0, 1} gilt: Wenn A | = F, dann A | = G. Notation: F | = G

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Folgerung

Definition: F impliziert G (oder G folgt aus F), gdw.: f¨ ur alle A : Π → {0, 1} gilt: Wenn A | = F, dann A | = G. Notation: F | = G

Beispiel: F = (A ∨ C) ∧ (B ∨ ¬C) G = (A ∨ B) ¨ Uberpr¨ ufe, ob F | = G: A B C (A ∨ C) (B ∨ ¬C) (A ∨ C) ∧ (B ∨ ¬C) (A ∨ B) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

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Folgerung

Definition: F impliziert G (oder G folgt aus F), gdw.: f¨ ur alle A : Π → {0, 1} gilt: Wenn A | = F, dann A | = G. Erweiterung auf Formelmengen N in nat¨ urlicher Weise, z.B.: N | = G gdw.: f¨ ur alle A : Π → {0, 1} gilt: falls A | = F, f¨ ur alle F ∈ N, so A | = G.

Beispiel: N = {(A ∨ C), (B ∨ ¬C)} G = (A ∨ B) ¨ Uberpr¨ ufe, ob N | = G

A B C (A ∨ C) (B ∨ ¬C) (A ∨ B) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 38

¨ Aquivalenz

Definition: F und G sind ¨ aquivalent gdw.: f¨ ur alle A : Π → {0, 1} gilt: A | = F gdw. A | = G. Notation: F ≡ G. Zwei Formeln sind logisch ¨ aquivalent, wenn sie in den gleichen Modellen wahr sind

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¨ Aquivalenz

Definition: F und G sind ¨ aquivalent gdw.: f¨ ur alle A : Π → {0, 1} gilt: A | = F gdw. A | = G. Notation: F ≡ G. Zwei Formeln sind logisch ¨ aquivalent, wenn sie in den gleichen Modellen wahr sind Beispiel: (P → Q) ≡ (¬Q → ¬P) (Kontraposition)

40

Wichtige ¨ Aquivalenzen

Die folgenden ¨ Aquivalenzen sind f¨ ur alle Formeln F, G, H g¨ ultig: (F ∧ F) ≡ F (F ∨ F) ≡ F (Idempotenz) (F ∧ G) ≡ (G ∧ F) (F ∨ G) ≡ (G ∨ F) (Kommutativit¨ at) (F ∧ (G ∧ H)) ≡ ((F ∧ G) ∧ H) (F ∨ (G ∨ H)) ≡ ((F ∨ G) ∨ H) (Assoziativit¨ at) (F ∧ (F ∨ G)) ≡ F (F ∨ (F ∧ G)) ≡ F (Absorption) (F ∧ (G ∨ H)) ≡ ((F ∧ G) ∨ (F ∧ H)) (F ∨ (G ∧ H)) ≡ ((F ∨ G) ∧ (F ∨ H)) (Distributivit¨ at)

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Wichtige ¨ Aquivalenzen

Die folgenden ¨ Aquivalenzen sind f¨ ur alle Formeln F, G, H g¨ ultig: (¬¬F) ≡ F (Doppelte Negation) ¬(F ∧ G) ≡ (¬F ∨ ¬G) ¬(F ∨ G) ≡ (¬F ∧ ¬G) (De Morgan’s Regeln) (F → G) ≡ (¬G → ¬F) (Kontraposition) (F → G) ≡ (¬F ∨ G) (Elimination Implikation) F ↔ G ≡ (F → G) ∧ (G → F) (Elimination ¨ Aquivalenz)

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Wichtige ¨ Aquivalenzen

Die folgenden ¨ Aquivalenzen sind f¨ ur alle Formeln F, G, H g¨ ultig: (F ∧ G) ≡ F, falls G Tautologie (F ∨ G) ≡ ⊤, falls G Tautologie (Tautologieregeln) (F ∧ G) ≡ ⊥, falls G unerf¨ ullbar (F ∨ G) ≡ F, falls G unerf¨ ullbar (Tautologieregeln)

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Wichtige ¨ Aquivalenzen mit ⊤/⊥

(A ∧ ¬A) ≡ ⊥ (A ∨ ¬A) ≡ ⊤ (Tertium non datur) (A ∧ ⊤) ≡ A (A ∧ ⊥) ≡ ⊥

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Wichtige ¨ Aquivalenzen (Zusammengefasst)

(F ∧ F) ≡ F (F ∨ F) ≡ F (Idempotenz) (F ∧ G) ≡ (G ∧ F) (F ∨ G) ≡ (G ∨ F) (Kommutativit¨ at) (F ∧ (G ∧ H)) ≡ ((F ∧ G) ∧ H) (F ∨ (G ∨ H)) ≡ ((F ∨ G) ∨ H) (Assoziativit¨ at) (F ∧ (F ∨ G)) ≡ F (F ∨ (F ∧ G)) ≡ F (Absorption) (F ∧ (G ∨ H)) ≡ ((F ∧ G) ∨ (F ∧ H)) (F ∨ (G ∧ H)) ≡ ((F ∨ G) ∧ (F ∨ H)) (Distributivit¨ at) (¬¬F) ≡ F (Doppelte Negation) ¬(F ∧ G) ≡ (¬F ∨ ¬G) ¬(F ∨ G) ≡ (¬F ∧ ¬G) (De Morgan’s Regeln) (F → G) ≡ (¬G → ¬F) (Kontraposition) (F → G) ≡ (¬F ∨ G) (Elimination Implikation) F ↔ G ≡ (F → G) ∧ (G → F) (Elimination ¨ Aquivalenz)

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Substitutionstheorem

Theorem. Seien F und G ¨ aquivalente Formeln. Sei H eine Formel mit (mindestens) einem Vorkommen der Teilformel F. Dann ist H ¨ aquivalent zu H′, wobei H′ aus H hervorgeht, indem (irgend) ein Vorkommen von F in H durch G ersetzt wird. Beispiel: A ∨ B ≡ B ∨ A impliziert (C ∧ (A ∨ B)) ≡ (C ∧ (B ∨ A))

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Substitutionstheorem

Theorem. Seien F und G ¨ aquivalente Formeln. Sei H eine Formel mit (mindestens) einem Vorkommen der Teilformel F. Dann ist H ¨ aquivalent zu H′, wobei H′ aus H hervorgeht, indem (irgend) ein Vorkommen von F in H durch G ersetzt wird. Beweis: Strukturelle Induktion.

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Substitutionstheorem

Theorem. Seien F und G ¨ aquivalente Formeln. Sei H eine Formel mit (mindestens) einem Vorkommen der Teilformel F. Dann ist H ¨ aquivalent zu H′, wobei H′ aus H hervorgeht, indem (irgend) ein Vorkommen von F in H durch G ersetzt wird. Beweis: Strukturelle Induktion.

Induktionsbasis: Beweisen. dass das Theorem f¨ ur alle atomaren Formeln gilt. Induktionsvoraussetzung: Sei H eine Formel (die nicht atomar ist) Annahme: Theorem gilt f¨ ur alle Teilformeln von F, die nicht gleich F sind. Induktionsschritt: Beweis durch Fallunterscheidung:

Fall 1: H = ¬H1. Induktionvoraussetzung: Theorem gilt f¨ ur H1. Folgere, dass Theorem auch f¨ ur H gilt. Fall 2: H = H1 op H2. Induktionvoraussetzung: Theorem gilt f¨ ur H1, H2. Folgere, dass Theorem auch f¨ ur H gilt. 48

Ein zweiter Kalk¨ ul: Logische Umformung

Definition: ¨ Aquivalenzumformung

• (Wiederholte) Ersetzung einer (Unter-)Formel durch ¨

aquivalente Formel

• Anwendung des Substitutionstheorems

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Ein zweiter Kalk¨ ul: Logische Umformung

Definition: ¨ Aquivalenzumformung

• (Wiederholte) Ersetzung einer (Unter-)Formel durch ¨

aquivalente Formel

• Anwendung des Substitutionstheorems

Theorem ¨ Aquivalenzumformung bildet mit den aufgelisteten wichtigen ¨ Aquivalen- zen einen vollst¨ andigen Kalk¨ ul: Wenn F und G logisch ¨ aquivalent sind, kann F in G umgeformt werden.

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Allgemeing¨ ultigkeit/Folgerung

• Theorem. F |

= G gdw. | = F → G.

• Theorem. N ∪ {F} |

= G gdw. N | = F → G.

• Theorem. F ≡ G gdw. |

= F ↔ G.

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Syntax und Semantik: Zusammenfassung

• Syntax der Aussagenlogik: Definition der Menge aller Formeln

− Strukturelle Induktion (Induktion ¨ uber Formelaufbau)

• Semantik der Aussagenlogik: Wahrheit einer Formel in einem Modell

− Uniforme Notation − Wahrheitstafelmethode

• Wichtige ¨

Aquivalenzen

• ¨

Aquivalenzumformung als Kalk¨ ul (Substitutionstheorem)

• Allgemeing¨

ultigkeit, Erf¨ ullbarkeit, Unerf¨ ullbarkeit

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