Equivalence of wave-par2cle duality to entropic uncertainty - PowerPoint PPT Presentation

Equivalence ¡of ¡wave-­‑par2cle ¡duality ¡ to ¡entropic ¡uncertainty ¡ arXiv:1403.4687 ¡ Patrick ¡Coles ¡ Jed ¡Kaniewski ¡ Stephanie ¡Wehner ¡ D 0 | 0 � BS 2 E BS 1 φ | 1 � D 1

Warning ¡ ¡-­‑ ¡No ¡deep ¡mathema2cs ¡ ¡-­‑ ¡Hopefully ¡some ¡deep ¡physics ¡ wave-­‑par4cle ¡duality ¡ ¡follows ¡from ¡the ¡uncertainty ¡principle ¡ ¡-­‑ ¡Invita2on ¡to ¡YOU: ¡apply ¡your ¡heavy ¡mathema2cal ¡ machinery ¡to ¡my ¡topic ¡

Wave-­‑par2cle ¡duality ¡ Bullets ¡show ¡no ¡ interference ¡ paIern ¡ … ¡but ¡electrons ¡do ¡ Data ¡from: ¡“Controlled ¡double-­‑slit ¡electron ¡diffrac4on” ¡Bach ¡et ¡al. ¡NJP ¡(2013) ¡ Bullets ¡are ¡just ¡bunches ¡of ¡electrons ¡mixed ¡in ¡with ¡some ¡ protons ¡and ¡neutrons, ¡so ¡why ¡the ¡change ¡in ¡behavior? ¡

Wave-­‑par2cle ¡duality ¡ The ¡transi2on ¡(from ¡no ¡interference ¡to ¡interference) ¡ can ¡even ¡be ¡seen ¡with ¡single ¡electrons. ¡ Data ¡from: ¡“Controlled ¡double-­‑slit ¡electron ¡ diffrac4on” ¡Bach ¡et ¡al. ¡NJP ¡(2013) ¡ The ¡great ¡mystery: ¡ ¡ Each ¡kind ¡of ¡thing ¡(bullet, ¡electron, ¡bacteria, ¡…) ¡has ¡ the ¡ability ¡to ¡exhibit ¡wave ¡behavior, ¡i.e., ¡produce ¡ interference. ¡Likewise, ¡each ¡can ¡exhibit ¡par2cle ¡ behavior, ¡i.e., ¡have ¡a ¡well-­‑defined ¡path. ¡But ¡the ¡two ¡ behaviors ¡compete ¡– ¡you ¡either ¡get ¡one ¡or ¡the ¡other. ¡ Discuss ¡ feynman’s ¡ Why? ¡…. ¡Nobody ¡knows. ¡ double ¡slit ¡ disussion ¡ “You ¡never ¡get ¡to ¡understand ¡quantum ¡ mechanics, ¡you ¡just ¡get ¡used ¡to ¡it.” ¡

Wave-­‑par2cle ¡duality: ¡big ¡molecules ¡ “Wave–par2cle ¡duality ¡of ¡C60 ¡molecules” ¡ ¡ a Arndt ¡et ¡al. ¡Nature ¡(1999) ¡ 1,200 ¡ 1,000 “Collisional ¡Decoherence ¡Observed ¡in ¡MaIer ¡ Counts in 50 s Wave ¡Interferometry” ¡Hornberger ¡et ¡al. ¡PRL ¡ 800 (2003) ¡ ¡ 600 “Wave ¡Nature ¡of ¡Biomolecules ¡and ¡ 400 Fluorofullerenes” ¡Hackermüller ¡et ¡al. ¡PRL ¡ (2003) ¡ 200

Wave-­‑par2cle ¡duality ¡ While ¡the ¡behaviors ¡ are ¡mysterious, ¡we ¡ can ¡get ¡intui2on ¡for ¡ how ¡they ¡compete. ¡ Feynman ¡gives ¡example ¡of ¡light ¡ source ¡with ¡variable ¡wavelength…. ¡ ¡ … ¡tradeoff ¡between ¡spa2al ¡ resolu2on ¡and ¡momentum ¡kick. ¡ ¡

Wave-­‑par2cle ¡duality ¡ geOng ¡quan4ta4ve ¡ D 0 | 0 � Simplifica2on ¡of ¡double-­‑slit: ¡ ¡ BS 2 E Two-­‑path ¡interferometer ¡for ¡ BS 1 single ¡photons ¡(named ¡ager ¡ φ | 1 � Mach ¡and ¡Zehnder). ¡ D 1 re p 0 Fringe ¡visibility ¡ max where V = p 0 max − p 0 min max + p 0 p 0 min and p 0 min ift φ variable mbin

Wave-­‑par2cle ¡duality ¡ geOng ¡quan4ta4ve ¡ D 0 | 0 � Simplifica2on ¡of ¡double-­‑slit: ¡ ¡ BS 2 E Two-­‑path ¡interferometer ¡for ¡ BS 1 single ¡photons ¡(named ¡ager ¡ φ | 1 � Mach ¡and ¡Zehnder). ¡ D 1 Path ¡predictability ¡ (e.g. ¡asymmetric ¡BS 1 ) ¡ Fringe ¡visibility ¡ V = p 0 max − p 0 Z = {| 0 � , | 1 � } min max + p 0 p 0 P := 2 p guess ( Z ) − 1 min probability ¡of ¡guessing ¡Z ¡correctly ¡

Wave-­‑par2cle ¡duality ¡ geOng ¡quan4ta4ve ¡ Wooters, ¡Zurek ¡(1979) ¡ Greenberger, ¡Yasin ¡(1988) ¡ D 0 | 0 � Englert ¡(1996) ¡ Wave-­‑par2cle ¡duality ¡rela2on ¡ BS 2 E (WPDR): ¡ BS 1 φ P 2 + V 2 � 1 , | 1 � D 1 Full ¡par2cle ¡behavior ¡ à ¡No ¡wave ¡behavior ¡ Full ¡wave ¡behavior ¡ à ¡No ¡par2cle ¡behavior ¡ Path ¡predictability ¡ (e.g. ¡asymmetric ¡BS 1 ) ¡ Fringe ¡visibility ¡ Z = {| 0 � , | 1 � } V = p 0 max − p 0 min P := 2 p guess ( Z ) − 1 max + p 0 p 0 min probability ¡of ¡guessing ¡Z ¡correctly ¡

Wave-­‑par2cle ¡duality ¡ geOng ¡quan4ta4ve ¡ Jaeger, ¡Shimony, ¡Vaidman ¡(1995) ¡ Englert ¡(1996) ¡ D 0 | 0 � Let ¡ E ¡be ¡a ¡(par2al) ¡which-­‑path ¡detector. ¡ BS 2 E ¡could ¡be ¡gas ¡of ¡atoms ¡whose ¡internal ¡ E BS 1 state ¡is ¡sensi2ve ¡to ¡presence ¡of ¡photon. ¡ φ | 1 � D 1 Stronger ¡WPDR: ¡ D 2 + V 2 � 1 , Path ¡dis2nguishability ¡ Fringe ¡visibility ¡ D := 2 p guess ( Z | E ) − 1 , V = p 0 max − p 0 min probability ¡of ¡guessing ¡Z ¡correctly ¡ max + p 0 p 0 given ¡E ¡(i.e., ¡given ¡op4mal ¡ min measurement ¡on ¡E) ¡

WPDRs ¡ Where ¡do ¡they ¡come ¡from? ¡ P 2 + V 2 � 1 , Is ¡wave-­‑par2cle ¡duality ¡a ¡fundamental ¡ principle ¡of ¡quantum ¡mechanics, ¡or ¡is ¡it ¡a ¡ D 2 + V 2 � 1 , corollary ¡of ¡some ¡other ¡principle? ¡ ¡ Englert: ¡“... ¡Does ¡not ¡make ¡use ¡of ¡Heisenberg’s ¡uncertainty ¡principle ¡in ¡any ¡form” ¡ ¡ ¡“... ¡There ¡is ¡only ¡one ¡observable ¡involved” ¡ ¡ Is ¡it ¡a ¡consequence ¡of ¡posi2on/momentum ¡ ∆ q ∆ p � � / 2 ? ¡ uncertainty ¡principle? ¡ This ¡was ¡intensely ¡debated ¡in ¡1990’s: ¡ “Path ¡detec2on ¡and ¡the ¡uncertainty ¡principle” ¡Storey ¡et ¡al. ¡Nature ¡(1994). ¡ “Complementarity ¡and ¡uncertainty” ¡Englert, ¡Scully, ¡Walther. ¡Nature ¡(1995), ¡ and ¡Reply ¡by ¡Storey ¡et ¡al. ¡ “Uncertainty ¡over ¡complementarity?” ¡Wiseman, ¡Harrison. ¡Nature ¡(1995). ¡ Looks ¡to ¡be ¡inconclusive ¡/ ¡s4ll ¡open ¡to ¡debate ¡ Regardless, ¡is ¡it ¡a ¡consequence ¡of ¡the ¡uncertainty ¡principle ¡for ¡ qubits ? ¡ (ager ¡all, ¡a ¡two-­‑path ¡interferometer ¡is ¡like ¡a ¡two-­‑state ¡system) ¡

WPDRs ¡ Where ¡do ¡they ¡come ¡from? ¡ P 2 + V 2 � 1 , Consider: ¡ Several ¡authors ¡showed ¡that ¡this ¡WPDR ¡is ¡ ∆ X ∆ Z � 1 2 | � ψ | [ X, Z ] | ψ � | equivalent ¡to ¡Robertson’s ¡uncertainty ¡ rela2on ¡for ¡par2cular ¡qubit ¡observables ¡ Qubit ¡observables: ¡ Busch ¡and ¡Shilladay ¡(2006) ¡ = ˆ Bjork ¡et ¡al. ¡(1999) ¡ P = σ z , Durr ¡and ¡Rempe ¡(2000) ¡ ˆ Bosyk ¡et ¡al. ¡(2013) ¡ ¡ V φ = ( cos φ ) σ x + ( sin φ ) σ y P ) 2 = 1 � P 2 , ( 1 ˆ Variances: ¡ V � ) 2 = 1 � V 2 cos 2 ( ✓ � � ), ( 1 ˆ ( 1 � P 2 ) [1 � V 2 cos 2 ( ✓ � � ) ] Plugging ¡into ¡ Robertson’s ¡ > P 2 V 2 cos 2 ( ✓ � � ) + V 2 sin 2 ( ✓ � � ), rela2on ¡gives: ¡

WPDRs ¡ Where ¡do ¡they ¡come ¡from? ¡ So ¡we ¡have ¡ ∆ X ∆ Z � 1 P 2 + V 2 � 1 , 2 | � ψ | [ X, Z ] | ψ � | D 2 + V 2 � 1 , ?????? ¡ Note ¡that ¡dis2nguishability ¡involves ¡condi2oning ¡on ¡system ¡ E . ¡This ¡is ¡ not ¡so ¡natural ¡for ¡standard ¡devia2on, ¡but ¡is ¡quite ¡natural ¡for ¡ entropies . ¡ Could ¡the ¡ D-­‑V ¡rela2on ¡be ¡related ¡to ¡the ¡ entropic ¡uncertainty ¡principle? ¡ ¡ D := 2 p guess ( Z | E ) − 1 ,

WPDRs ¡ P 2 + V 2 � 1 , Consider ¡again: ¡ Bosyk ¡et ¡al. ¡[Phys. ¡Scr. ¡(2013)] ¡considered ¡entropic ¡uncertainty ¡ rela2ons ¡(EURs), ¡of ¡the ¡form: ¡ H q ( P ) + H q ( V ) > B q ( ◆ q ◆ q � ✓ 1 + P ✓ 1 − P 1 for ¡Renyi ¡entropies: ¡ H q ( P ) = 1 − q ln + 2 2 ◆ q ◆ q � ✓ 1 + V ✓ 1 − V 1 H q ( V ) = 1 − q ln + 2 2 They ¡argue ¡that ¡such ¡EURs ¡are ¡inequivalent ¡to ¡the ¡P-­‑V ¡rela4on! ¡ But ¡Maassen ¡& ¡Uffink ¡(1988) ¡proved ¡an ¡EUR ¡that ¡involves ¡ different ¡ q ’s, ¡for ¡example, ¡ H ∞ ( P ) + H 1 / 2 ( V ) � 1 Our ¡first ¡result: ¡This ¡EUR ¡is ¡equivalent ¡to ¡the ¡P-­‑V ¡rela4on!!!! ¡

WPDRs ¡ H ∞ ( P ) + H 1 / 2 ( V ) � 1 INVITATION: ¡Plug ¡these ¡formulas ¡in ¡to ¡obtain ¡ P-­‑V ¡rela2on ¡ H ∞ ( P ) = 1 − log(1 + P ) � � 1 − V 2 � H 1 / 2 ( V ) = log 1 + So ¡we ¡have ¡ P 2 + V 2 � 1 , H ∞ ( P ) + H 1 / 2 ( V ) � 1 D 2 + V 2 � 1 , ?????? ¡ APOLOGY: ¡In ¡what ¡follows, ¡I ¡will ¡switch ¡nota2on: ¡ H 1 / 2 ( V ) → H max ( W ) H ∞ ( P ) → H min ( Z )