CSE140 Discussion Logic Minimiza5on with K maps Jan - - PowerPoint PPT Presentation

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Jun 29, 2023 592 likes •693 views

CSE140 Discussion Logic Minimiza5on with K maps Jan 23, 2015 Crea5ng a Karnaugh map We can fill up a K map from the truth table of

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SLIDE 1

CSE140 ¡Discussion ¡ ¡

Logic ¡Minimiza5on ¡with ¡K ¡maps ¡ Jan ¡23, ¡2015 ¡

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SLIDE 2

Crea5ng ¡a ¡Karnaugh ¡map ¡

  • We ¡can ¡fill ¡up ¡a ¡K ¡map ¡from ¡the ¡truth ¡table ¡of ¡

any ¡boolean ¡expression. ¡

  • Adjacent ¡entries ¡in ¡K ¡map ¡differ ¡only ¡in ¡one ¡
  • variable. ¡Follows ¡Gray ¡code ¡order. ¡
  • K ¡map ¡“wraps ¡around”. ¡Entries ¡in ¡first ¡and ¡last ¡

column/row ¡can ¡be ¡combined. ¡Imagine ¡a ¡ cylinder ¡rolled ¡ver5cally ¡and ¡horizontally. ¡ ¡

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SLIDE 3

Four ¡variable ¡K ¡map ¡

  • F(a,b,c,d) ¡= ¡∑m(0,2,3,5,6,7,8,9) ¡ ¡

¡ ¡ ¡ ¡

¡a ¡ b ¡ c ¡ ¡ d ¡ F ¡ 0 ¡ 0 ¡ 0 ¡ 0 ¡ 1 ¡ 0 ¡ 0 ¡ 0 ¡ 1 ¡ 0 ¡ 0 ¡ 0 ¡ 1 ¡ 0 ¡ 1 ¡ 0 ¡ 0 ¡ 1 ¡ 1 ¡ 1 ¡ 0 ¡ ¡ 1 ¡ 0 ¡ 0 ¡ 0 ¡ 0 ¡ ¡ 1 ¡ 0 ¡ ¡ 1 ¡ 1 ¡ 0 ¡ 1 ¡ 1 ¡ 0 ¡ 1 ¡ 0 ¡ ¡ 1 ¡ 1 ¡ 1 ¡ 1 ¡ 1 ¡ 0 ¡ 0 ¡ 0 ¡ 1 ¡ 1 ¡ 0 ¡ 0 ¡ 1 ¡ 1 ¡ 1 ¡ 0 ¡ 1 ¡ 0 ¡ 0 ¡ 1 ¡ 0 ¡ 1 ¡ 1 ¡ 0 ¡ 1 ¡ 1 ¡ 0 ¡ 0 ¡ 0 ¡ 1 ¡ 1 ¡ 0 ¡ 1 ¡ 0 ¡ 1 ¡ 1 ¡ 1 ¡ 0 ¡ 0 ¡ 1 ¡ 1 ¡ 1 ¡ 1 ¡ 0 ¡

cd\ab ¡ 00 ¡ 01 ¡ 11 ¡ 10 ¡ 00 ¡ 1 ¡ 0 ¡ 0 ¡ 1 ¡ 01 ¡ 0 ¡ 1 ¡ 0 ¡ 1 ¡ 11 ¡ 1 ¡ 1 ¡ 0 ¡ 0 ¡ 10 ¡ 1 ¡ 1 ¡ 0 ¡ 0 ¡ F ¡= ¡a’c ¡+ ¡a’bd ¡+ ¡ab’c’ ¡+ ¡b’c’d’ ¡

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SLIDE 4

Four ¡variable ¡K ¡map ¡

  • F(a,b,c,d) ¡= ¡∑m(0,2,3,5,6,7,8,9) ¡

¡ ¡ ¡

¡a ¡ b ¡ c ¡ ¡ d ¡ F ¡ 0 ¡ 0 ¡ 0 ¡ 0 ¡ 1 ¡ 0 ¡ 0 ¡ 0 ¡ 1 ¡ 0 ¡ 0 ¡ 0 ¡ 1 ¡ 0 ¡ 1 ¡ 0 ¡ 0 ¡ 1 ¡ 1 ¡ 1 ¡ 0 ¡ ¡ 1 ¡ 0 ¡ 0 ¡ 0 ¡ 0 ¡ ¡ 1 ¡ 0 ¡ ¡ 1 ¡ 1 ¡ 0 ¡ 1 ¡ 1 ¡ 0 ¡ 1 ¡ 0 ¡ ¡ 1 ¡ 1 ¡ 1 ¡ 1 ¡ 1 ¡ 0 ¡ 0 ¡ 0 ¡ 1 ¡ 1 ¡ 0 ¡ 0 ¡ 1 ¡ 1 ¡ 1 ¡ 0 ¡ 1 ¡ 0 ¡ 0 ¡ 1 ¡ 0 ¡ 1 ¡ 1 ¡ 0 ¡ 1 ¡ 1 ¡ 0 ¡ 0 ¡ 0 ¡ 1 ¡ 1 ¡ 0 ¡ 1 ¡ 0 ¡ 1 ¡ 1 ¡ 1 ¡ 0 ¡ 0 ¡ 1 ¡ 1 ¡ 1 ¡ 1 ¡ 0 ¡

cd\ab ¡ 00 ¡ 01 ¡ 11 ¡ 10 ¡ 00 ¡ 1 ¡ 0 ¡ 0 ¡ 1 ¡ 01 ¡ 0 ¡ 1 ¡ 0 ¡ 1 ¡ 11 ¡ 1 ¡ 1 ¡ 0 ¡ 0 ¡ 10 ¡ 1 ¡ 1 ¡ 0 ¡ 0 ¡ Alternate ¡minimiza3on ¡ F ¡= ¡a’c ¡+ ¡a’bd ¡+ ¡ab’c’ ¡+ ¡a’b’d’ ¡

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SLIDE 5

Four ¡variable ¡K ¡map ¡with ¡Don’t ¡Cares ¡

  • F(a,b,c,d) ¡= ¡∑m(0,2,3,5,6,7,8,9) ¡+ ¡∑d(10,11,12,13,14,15) ¡ ¡

¡ ¡ ¡

¡a ¡ b ¡ c ¡ ¡ d ¡ F ¡ 0 ¡ 0 ¡ 0 ¡ 0 ¡ 1 ¡ 0 ¡ 0 ¡ 0 ¡ 1 ¡ 0 ¡ 0 ¡ 0 ¡ 1 ¡ 0 ¡ 1 ¡ 0 ¡ 0 ¡ 1 ¡ 1 ¡ 1 ¡ 0 ¡ ¡ 1 ¡ 0 ¡ 0 ¡ 0 ¡ 0 ¡ ¡ 1 ¡ 0 ¡ ¡ 1 ¡ 1 ¡ 0 ¡ 1 ¡ 1 ¡ 0 ¡ 1 ¡ 0 ¡ ¡ 1 ¡ 1 ¡ 1 ¡ 1 ¡ 1 ¡ 0 ¡ 0 ¡ 0 ¡ 1 ¡ 1 ¡ 0 ¡ 0 ¡ 1 ¡ 1 ¡ 1 ¡ 0 ¡ 1 ¡ 0 ¡ X ¡ 1 ¡ 0 ¡ 1 ¡ 1 ¡ X ¡ 1 ¡ 1 ¡ 0 ¡ 0 ¡ X ¡ 1 ¡ 1 ¡ 0 ¡ 1 ¡ X ¡ 1 ¡ 1 ¡ 1 ¡ 0 ¡ X ¡ 1 ¡ 1 ¡ 1 ¡ 1 ¡ X ¡

cd\ab ¡ 00 ¡ 01 ¡ 11 ¡ 10 ¡ 00 ¡ 1 ¡ 0 ¡ X ¡ 1 ¡ 01 ¡ 0 ¡ 1 ¡ X ¡ 1 ¡ 11 ¡ 1 ¡ 1 ¡ X ¡ X ¡ 10 ¡ 1 ¡ 1 ¡ X ¡ X ¡ F ¡= ¡a ¡+ ¡bd ¡+ ¡b’d’ ¡+ ¡c ¡

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SLIDE 6

SOP ¡and ¡POS ¡

  • We ¡can ¡use ¡K ¡maps ¡to ¡find ¡minimum ¡POS ¡and ¡

SOP ¡expression ¡

  • If ¡(a’b’c’+a’b’c) ¡are ¡two ¡adjacent ¡min ¡terms ¡in ¡

K ¡map, ¡it ¡reduces ¡to ¡a’b’ ¡

  • If ¡(a+b+c)(a+b+c’) ¡are ¡two ¡adjacent ¡max ¡terms ¡

in ¡K ¡map, ¡it ¡reduces ¡to ¡(a+b) ¡

  • Don’t ¡cares ¡can ¡combine ¡with ¡0s(for ¡POS) ¡and ¡

1s(for ¡SOP) ¡

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SLIDE 7

POS ¡expression ¡from ¡K ¡map ¡

  • F(a,b,c,d) ¡= ¡∏M(3,5,7,8,10,11,12,13) ¡ ¡

¡ ¡ ¡

¡a ¡ b ¡ c ¡ ¡ d ¡ F ¡ 0 ¡ 0 ¡ 0 ¡ 0 ¡ 1 ¡ 0 ¡ 0 ¡ 0 ¡ 1 ¡ 1 ¡ 0 ¡ 0 ¡ 1 ¡ 0 ¡ 1 ¡ 0 ¡ 0 ¡ 1 ¡ 1 ¡ 0 ¡ 0 ¡ ¡ 1 ¡ 0 ¡ 0 ¡ 1 ¡ 0 ¡ ¡ 1 ¡ 0 ¡ ¡ 1 ¡ 0 ¡ 0 ¡ 1 ¡ 1 ¡ 0 ¡ 1 ¡ 0 ¡ ¡ 1 ¡ 1 ¡ 1 ¡ 0 ¡ 1 ¡ 0 ¡ 0 ¡ 0 ¡ 0 ¡ 1 ¡ 0 ¡ 0 ¡ 1 ¡ 1 ¡ 1 ¡ 0 ¡ 1 ¡ 0 ¡ 0 ¡ 1 ¡ 0 ¡ 1 ¡ 1 ¡ 0 ¡ 1 ¡ 1 ¡ 0 ¡ 0 ¡ 0 ¡ 1 ¡ 1 ¡ 0 ¡ 1 ¡ 0 ¡ 1 ¡ 1 ¡ 1 ¡ 0 ¡ 1 ¡ 1 ¡ 1 ¡ 1 ¡ 1 ¡ 1 ¡

cd\ab ¡ 00 ¡ 01 ¡ 11 ¡ 10 ¡ 00 ¡ 1 ¡ 1 ¡ 0 ¡ 0 ¡ 01 ¡ 1 ¡ 0 ¡ 0 ¡ 1 ¡ 11 ¡ 0 ¡ 0 ¡ 1 ¡ 0 ¡ 10 ¡ 1 ¡ 1 ¡ 1 ¡ 0 ¡ F ¡=(a+c’+d’)(b’+c+d’)(a’+c+d)(a’+b+c’) ¡

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SLIDE 8

POS ¡expression ¡from ¡K ¡map ¡

  • F(a,b,c,d) ¡= ¡∏M(3,5,7,8,10,11,12,13) ¡ ¡

¡ ¡ ¡

¡a ¡ b ¡ c ¡ ¡ d ¡ F ¡ 0 ¡ 0 ¡ 0 ¡ 0 ¡ 1 ¡ 0 ¡ 0 ¡ 0 ¡ 1 ¡ 1 ¡ 0 ¡ 0 ¡ 1 ¡ 0 ¡ 1 ¡ 0 ¡ 0 ¡ 1 ¡ 1 ¡ 0 ¡ 0 ¡ ¡ 1 ¡ 0 ¡ 0 ¡ 1 ¡ 0 ¡ ¡ 1 ¡ 0 ¡ ¡ 1 ¡ 0 ¡ 0 ¡ 1 ¡ 1 ¡ 0 ¡ 1 ¡ 0 ¡ ¡ 1 ¡ 1 ¡ 1 ¡ 0 ¡ 1 ¡ 0 ¡ 0 ¡ 0 ¡ 0 ¡ 1 ¡ 0 ¡ 0 ¡ 1 ¡ 1 ¡ 1 ¡ 0 ¡ 1 ¡ 0 ¡ 0 ¡ 1 ¡ 0 ¡ 1 ¡ 1 ¡ 0 ¡ 1 ¡ 1 ¡ 0 ¡ 0 ¡ 0 ¡ 1 ¡ 1 ¡ 0 ¡ 1 ¡ 0 ¡ 1 ¡ 1 ¡ 1 ¡ 0 ¡ 1 ¡ 1 ¡ 1 ¡ 1 ¡ 1 ¡ 1 ¡

cd\ab ¡ 00 ¡ 01 ¡ 11 ¡ 10 ¡ 00 ¡ 1 ¡ 1 ¡ 0 ¡ 0 ¡ 01 ¡ 1 ¡ 0 ¡ 0 ¡ 1 ¡ 11 ¡ 0 ¡ 0 ¡ 1 ¡ 0 ¡ 10 ¡ 1 ¡ 1 ¡ 1 ¡ 0 ¡ Alternate ¡minimiza5on ¡ F ¡= ¡(b+c’+d’)(a+b’+d’)(a’+b’+c)(a’+b+d) ¡ There ¡are ¡mul3ple ¡prime ¡implicates ¡but ¡none ¡

  • f ¡them ¡are ¡essen3al. ¡

¡

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SLIDE 9

Ques5ons? ¡