[PPT] - B i n a r y h e a p s ( c h a p t e r s 2 0 . PowerPoint Presentation

SLIDE 1

B i n a r y h e a p s ( c h a p t e r s 2 . 3 – 2 . 5 ) L e f t i s t h e a p s

SLIDE 2

B i n a r y h e a p s a r e a r r a y s !

A b i n a r y h e a p i s r e a l l y i m p l e m e n t e d u s i n g a n a r r a y !

8 18 29 37 26 76 32 74 89 20 28 39 66 1 2 7 8 9 10 11 12 3 4 5 6 8 18 29 20 28 39 66 37 26 76 32 74 89

P

s

s i b l e b e c a u s e

f

c

m

p l e t e n e s s p r

p

e r t y

SLIDE 3

C h i l d p

s

i t i

n

s

8 18 29 37 26 76 32 74 89 20 28 39 66 1 2 7 8 9 10 11 12 3 4 5 6 8 18 29 20 28 39 66 37 26 76 32 74 89

Parent

L. Child
R. Child

Tie l e f t c h i l d

f

n

d

e i i s a t i n d e x 2 i + 1 i n t h e a r r a y . . . . . . t h e r i g h t c h i l d i s a t i n d e x 2 i + 2

SLIDE 4

C h i l d p

s

i t i

n

s

8 18 29 37 26 76 32 74 89 20 28 39 66 1 2 7 8 9 10 11 12 3 4 5 6 8 18 29 20 28 39 66 37 26 76 32 74 89

Parent

L. Child
R. Child

Tie l e f t c h i l d

f

n

d

e i i s a t i n d e x 2 i + 1 i n t h e a r r a y . . . . . . t h e r i g h t c h i l d i s a t i n d e x 2 i + 2

SLIDE 5

C h i l d p

s

i t i

n

s

8 18 29 37 26 76 32 74 89 20 28 39 66 1 2 7 8 9 10 11 12 3 4 5 6 8 18 29 20 28 39 66 37 26 76 32 74 89

Tie l e f t c h i l d

f

n

d

e i i s a t i n d e x 2 i + 1 i n t h e a r r a y . . . . . . t h e r i g h t c h i l d i s a t i n d e x 2 i + 2

Parent

L. Child
R. Child

SLIDE 6

P a r e n t p

s

i t i

n

8 18 29 37 26 76 32 74 89 20 28 39 66 1 2 7 8 9 10 11 12 3 4 5 6 8 18 29 20 28 39 66 37 26 76 32 74 89

Tie p a r e n t

f

n

d

e i i s a t i n d e x ( i

1

) / 2

Parent Child

SLIDE 7

R e m i n d e r : i n s e r t i n g i n t

a

b i n a r y h e a p

T

i

n s e r t a n e l e m e n t i n t

a

b i n a r y h e a p :

A

d d t h e n e w e l e m e n t a t t h e e n d

f

t h e h e a p

S

i f t t h e e l e m e n t u p : w h i l e t h e e l e m e n t i s l e s s t h a n i t s p a r e n t , s w a p i t w i t h i t s p a r e n t

W e c a n d

e

x a c t l y t h e s a m e t h i n g f

r

a b i n a r y h e a p r e p r e s e n t e d a s a n a r r a y !

SLIDE 8

I n s e r t i n g i n t

a

b i n a r y h e a p

S t e p 1 : a d d t h e n e w e l e m e n t t

t

h e e n d

f

t h e a r r a y , s e t c h i l d t

i

t s i n d e x

6 18 29 37 26 76 32 74 89 20 28 39 66 1 2 7 8 9 10 11 12 3 4 5 6 6 18 29 20 28 39 66 37 26 76 32 74 89 13 8

Child

8

SLIDE 9

I n s e r t i n g i n t

a

b i n a r y h e a p

S t e p 2 : c

m

p u t e p a r e n t = ( c h i l d

1

) / 2

6 18 29 37 26 76 32 74 89 20 28 39 66 1 2 7 8 9 10 11 12 3 4 5 6 6 18 29 20 28 39 66 37 26 76 32 74 89 13 8

Child Parent

8

SLIDE 10

I n s e r t i n g i n t

a

b i n a r y h e a p

S t e p 3 : i f a r r a y [ p a r e n t ] > a r r a y [ c h i l d ] , s w a p t h e m

6 18 29 37 26 76 32 74 89 20 28 39 8 1 2 7 8 9 10 11 12 3 4 5 6 6 18 29 20 28 39 8 37 26 76 32 74 89 13 66

Child Parent

66

SLIDE 11

I n s e r t i n g i n t

a

b i n a r y h e a p

S t e p 4 : s e t c h i l d = p a r e n t , p a r e n t = ( c h i l d 1 ) / 2 – , a n d r e p e a t

6 18 29 37 26 76 32 74 89 20 28 39 8 1 2 7 8 9 10 11 12 3 4 5 6 6 18 29 20 28 39 8 37 26 76 32 74 89 13 66 66

Child Parent

SLIDE 12

I n s e r t i n g i n t

a

b i n a r y h e a p

S t e p 4 : s e t c h i l d = p a r e n t , p a r e n t = ( c h i l d 1 ) / 2 – , a n d r e p e a t

6 18 8 37 26 76 32 74 89 20 28 39 29 1 2 7 8 9 10 11 12 3 4 5 6 6 18 8 20 28 39 29 37 26 76 32 74 89 13 66 66

Child Parent

SLIDE 13

B i n a r y h e a p s a s a r r a y s

B i n a r y h e a p s a r e “ m

r

a l l y ” t r e e s

Tii

s i s h

w

w e v i e w t h e m w h e n w e d e s i g n t h e h e a p a l g

r

i t h m s

B u t w e i m p l e m e n t t h e t r e e a s a n a r r a y

Tie

a c t u a l i m p l e m e n t a t i

n

t r a n s l a t e s t h e s e t r e e c

n

c e p t s t

u

s e a r r a y s

I n t h e r e s t

f

t h e l e c t u r e , w e w i l l

n

l y s h

w

t h e h e a p s a s t r e e s

B

u t y

u

s h

u

l d h a v e t h e “ a r r a y v i e w ” i n y

u

r h e a d w h e n l

k

i n g a t t h e s e t r e e s

SLIDE 14

B u i l d i n g a h e a p

O n e m

r

e

p

e r a t i

n

, b u i l d h e a p

T

a k e s a n a r b i t r a r y a r r a y a n d m a k e s i t i n t

a

h e a p

I

n

p

l a c e : m

v

e s t h e e l e m e n t s a r

u

n d t

m

a k e t h e h e a p p r

p

e r t y h

l

d

I d e a :

H

e a p p r

p

e r t y : e a c h e l e m e n t m u s t b e l e s s t h a n i t s c h i l d r e n

I

f a n

d

e b r e a k s t h i s p r

p

e r t y , w e c a n fj x i t b y s i f t i n g d

w

n

S
s

i m p l y l

p

i n g t h r

u

g h t h e a r r a y a n d s i f t i n g d

w

n e a c h e l e m e n t i n t u r n

u

g h t t

fj

x t h e i n v a r i a n t

B

u t w h e n w e s i f t a n e l e m e n t d

w

n , i t s c h i l d r e n m u s t a l r e a d y h a v e t h e h e a p p r

p

e r t y (

t

h e r w i s e t h e s i f t i n g d

e

s n ' t w

r

k )

T
e

n s u r e t h i s , l

p

t h r

u

g h t h e a r r a y i n r e v e r s e

SLIDE 15

B u i l d i n g a h e a p

G

t

h r

u

g h e l e m e n t s i n r e v e r s e

r

d e r , s i f t i n g e a c h d

w

n

25 13 28 37 32 29 6 20 26 18 28 31 18

SLIDE 16

B u i l d i n g a h e a p

L e a v e s n e v e r n e e d s i f t i n g d

w

n !

25 13 28 37 32 29 6 20 26 18 28 31 18

SLIDE 17

B u i l d i n g a h e a p

2 9 i s g r e a t e r t h a n 1 8 s

n

e e d s s w a p p i n g

25 13 28 37 32 18 6 20 26 18 28 31 29

SLIDE 18

B u i l d i n g a h e a p

3 2 i s g r e a t e r t h a n 1 8 s

n

e e d s s w a p p i n g

25 13 28 37 18 18 6 20 26 32 28 31 29

SLIDE 19

B u i l d i n g a h e a p

3 7 i s g r e a t e r t h a n 2 s

n

e e d s s w a p p i n g

25 13 28 20 18 18 6 37 26 32 28 31 29

SLIDE 20

B u i l d i n g a h e a p

2 8 i s g r e a t e r t h a n 6 s

n

e e d s s w a p p i n g

25 13 6 20 18 18 28 37 26 32 28 31 29

SLIDE 21

B u i l d h e a p c

m

p l e x i t y

Y

u

w

u

l d e x p e c t O ( n l

g

n ) c

m

p l e x i t y :

n

“ s i f t d

w

n ”

p

e r a t i

n

s

e

a c h s i f t d

w

n h a s O ( l

g

n ) c

m

p l e x i t y

A c t u a l l y , i t ' s O ( n ) ! S e e b

k

2 . 3 .

(

R

u

g h r e a s

n

: s i f t i n g d

w

n i s m

s

t e x p e n s i v e f

r

e l e m e n t s n e a r t h e r

t
f

t h e t r e e , b u t t h e v a s t m a j

r

i t y

f

e l e m e n t s a r e n e a r t h e l e a v e s )

SLIDE 22

H e a p s

r

t

T

s
r

t a l i s t u s i n g a h e a p :

s

t a r t w i t h a n e m p t y h e a p

a

d d a l l t h e l i s t e l e m e n t s i n t u r n

r

e p e a t e d l y fj n d a n d r e m

v

e t h e s m a l l e s t e l e m e n t f r

m

t h e h e a p , a n d a d d i t t

t

h e r e s u l t l i s t

( t h i s i s a k i n d

f

s e l e c t i

n

s

r

t ) H

w

e v e r , t h i s a l g

r

i t h m i s n

t

i n

p

l a c e . H e a p s

r

t u s e s t h e s a m e i d e a , b u t w i t h

u

t a l l

c

a t i n g a n y e x t r a m e m

r

y .

SLIDE 23

H e a p s

r

t , i n

p

l a c e

W e a r e g

i

n g t

r

e p e a t e d l y r e m

v

e t h e l a r g e s t v a l u e f r

m

t h e a r r a y a n d p u t i t i n t h e r i g h t p l a c e

u

s i n g a s

c

a l l e d m a x h e a p , a h e a p w h e r e y

u

c a n fj n d a n d d e l e t e t h e m a x i m u m e l e m e n t i n s t e a d

f

t h e m i n i m u m

W e ' l l d i v i d e t h e a r r a y i n t

t

w

p

a r t s

Tie

fj r s t p a r t w i l l b e a h e a p

Tie

r e s t w i l l c

n

t a i n t h e v a l u e s w e ' v e r e m

v

e d

( Tii s d i v i s i

n

i s t h e s a m e i d e a w e u s e d f

r

i n

p

l a c e s e l e c t i

n

a n d i n s e r t i

n

s

r

t )

SLIDE 24

H e a p s

r

t , i n

p

l a c e

F i r s t t u r n t h e a r r a y i n t

a

h e a p Tie n j u s t r e p e a t e d l y d e l e t e t h e m i n i m u m e l e m e n t ! R e m e m b e r t h e d e l e t i

n

a l g

r

i t h m :

S

w a p t h e m a x i m u m ( fj r s t ) e l e m e n t w i t h t h e l a s t e l e m e n t

f

t h e h e a p

R

e d u c e t h e s i z e

f

t h e h e a p b y 1 ( d e l e t e s t h e fj r s t e l e m e n t , b r e a k s t h e i n v a r i a n t )

S

i f t t h e fj r s t e l e m e n t d

w

n ( r e p a i r s t h e i n v a r i a n t )

Tie s w a p a c t u a l l y p u t s t h e m a x i m u m e l e m e n t i n t h e r i g h t p l a c e i n t h e a r r a y

SLIDE 25

T r a c e

f

h e a p s

r

t

89 76 74 37 32 39 66 20 26 18 28 29 6

F i r s t b u i l d a h e a p ( n

t

s h

w

n )

SLIDE 26

T r a c e

f

h e a p s

r

t

89 76 74 37 32 39 66 20 26 18 28 29 6

S t e p 1 : s w a p m a x i m u m a n d l a s t e l e m e n t ; d e c r e a s e s i z e

f

h e a p b y 1

SLIDE 27

T r a c e

f

h e a p s

r

t

6 76 74 37 32 39 66 20 26 18 28 29 89

S t e p 2 : s i f t fj r s t e l e m e n t d

w

n

B l u e – s

r

t e d p a r t

f

a r r a y , n

t

p a r t

f

h e a p

SLIDE 28

T r a c e

f

h e a p s

r

t

76 6 74 37 32 39 66 20 26 18 28 29 89

S t e p 2 : s i f t fj r s t e l e m e n t d

w

n

SLIDE 29

T r a c e

f

h e a p s

r

t

76 37 74 6 32 39 66 20 26 18 28 29 89

S t e p 2 : s i f t fj r s t e l e m e n t d

w

n

SLIDE 30

T r a c e

f

h e a p s

r

t

76 37 74 26 32 39 66 20 6 18 28 29 89

S t e p 2 : s i f t fj r s t e l e m e n t d

w

n

SLIDE 31

T r a c e

f

h e a p s

r

t

76 37 74 26 32 39 66 20 6 18 28 29 89

W e n

w

h a v e t h e b i g g e s t e l e m e n t a t t h e e n d

f

t h e a r r a y , a n d a h e a p t h a t ' s

n

e e l e m e n t s m a l l e r !

SLIDE 32

T r a c e

f

h e a p s

r

t

76 37 74 26 32 39 66 20 6 18 28 29 89

S t e p 1 : s w a p m a x i m u m a n d l a s t e l e m e n t ; d e c r e a s e s i z e

f

h e a p b y 1

SLIDE 33

T r a c e

f

h e a p s

r

t

29 37 74 26 32 39 66 20 6 18 28 76 89

S t e p 2 : s i f t fj r s t e l e m e n t d

w

n

SLIDE 34

T r a c e

f

h e a p s

r

t

74 37 29 26 32 39 66 20 6 18 28 76 89

S t e p 2 : s i f t fj r s t e l e m e n t d

w

n

SLIDE 35

T r a c e

f

h e a p s

r

t

74 37 66 26 32 39 29 20 6 18 28 76 89

S t e p 2 : s i f t fj r s t e l e m e n t d

w

n

SLIDE 36

T r a c e

f

h e a p s

r

t

74 37 66 26 32 39 29 20 6 18 28 76 89

SLIDE 37

T r a c e

f

h e a p s

r

t

74 37 66 26 32 39 29 20 6 18 28 76 89

S t e p 1 : s w a p m a x i m u m a n d l a s t e l e m e n t ; d e c r e a s e s i z e

f

h e a p b y 1

SLIDE 38

T r a c e

f

h e a p s

r

t

28 37 66 26 32 39 29 20 6 18 74 76 89

S t e p 2 : s i f t fj r s t e l e m e n t d

w

n

SLIDE 39

T r a c e

f

h e a p s

r

t

66 37 28 26 32 39 29 20 6 18 74 76 89

S t e p 2 : s i f t fj r s t e l e m e n t d

w

n

SLIDE 40

T r a c e

f

h e a p s

r

t

66 37 39 26 32 28 29 20 6 18 74 76 89

S t e p 2 : s i f t fj r s t e l e m e n t d

w

n

SLIDE 41

T r a c e

f

h e a p s

r

t

66 37 39 26 32 28 29 20 6 18 74 76 89

SLIDE 42

C

m

p l e x i t y

f

h e a p s

r

t

B u i l d i n g t h e h e a p t a k e s O ( n ) t i m e W e d e l e t e t h e m a x i m u m e l e m e n t n t i m e s , e a c h d e l e t i

n

t a k i n g O ( l

g

n ) t i m e H e n c e t h e t

t

a l c

m

p l e x i t y i s O ( n l

g

n )

SLIDE 43

W a r n i n g

O u r f

r

m u l a s f

r

fj n d i n g c h i l d r e n a n d p a r e n t s i n t h e a r r a y a s s u m e

b

a s e d a r r a y s Tie b

k

, f

r

s

m

e r e a s

n

, u s e s 1

b

a s e d a r r a y s ( a n d l a t e r s w i t c h e s t

b

a s e d a r r a y s ) ! I n a h e a p i m p l e m e n t e d u s i n g a 1

b

a s e d a r r a y :

t

h e l e f t c h i l d

f

i n d e x i i s i n d e x 2 i

t

h e r i g h t c h i l d i s i n d e x 2 i + 1

t

h e p a r e n t i s i n d e x i / 2

B e c a r e f u l w h e n d

i

n g t h e l a b !

SLIDE 44

S u m m a r y

f

b i n a r y h e a p s

B i n a r y h e a p s : O ( l

g

n ) i n s e r t , O ( 1 ) fj n d m i n i m u m , O ( l

g

n ) d e l e t e m i n i m u m

A

c

m

p l e t e b i n a r y t r e e w i t h t h e h e a p p r

p

e r t y , r e p r e s e n t e d a s a n a r r a y

H e a p s

r

t : b u i l d a m a x h e a p , r e p e a t e d l y r e m

v

e l a s t e l e m e n t a n d p l a c e a t e n d

f

a r r a y

C

a n b e d

n

e i n

p

l a c e , O ( n l

g

n )

I n f a c t , h e a p s w e r e

r

i g i n a l l y i n v e n t e d f

r

h e a p s

r

t !

SLIDE 45

L e f t i s t h e a p s

SLIDE 46

M e r g i n g t w

h

e a p s

A n

t

h e r

p

e r a t i

n

w e m i g h t w a n t t

d
i

s m e r g e t w

h

e a p s

B

u i l d a n e w h e a p w i t h t h e c

n

t e n t s

f

b

t

h h e a p s

e

. g . , m e r g i n g a h e a p c

n

t a i n i n g 1 , 2 , 8 , 9 , 1 a n d a h e a p c

n

t a i n i n g 3 , 4 , 5 , 6 , 7 g i v e s a h e a p c

n

t a i n i n g 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , 1

F

r
u

r e a r l i e r n a ï v e p r i

r

i t y q u e u e s :

A

n u n s

r

t e d a r r a y : c

n

c a t e n a t e t h e a r r a y s

A

s

r

t e d a r r a y : m e r g e t h e a r r a y s ( a s i n m e r g e s

r

t )

F

r

b i n a r y h e a p s :

T

a k e s O ( n ) t i m e b e c a u s e y

u

n e e d t

a

t l e a s t c

p

y t h e c

n

t e n t s

f
n

e h e a p t

t

h e

t

h e r

C a n ' t c

m

b i n e t w

a

r r a y s i n l e s s t h a n O ( n ) t i m e !

SLIDE 47

M e r g i n g t r e e

b

a s e d h e a p s

G

b

a c k t

u

r i d e a

f

a b i n a r y t r e e w i t h t h e h e a p p r

p

e r t y : I f w e c a n m e r g e t w

f

t h e s e t r e e s , w e c a n i m p l e m e n t i n s e r t i

n

a n d d e l e t e m i n i m u m ! ( W e ' l l s e e h

w

t

i

m p l e m e n t m e r g e l a t e r )

8 18 29 37 32 74 89 20 28 39 66

SLIDE 48

I n s e r t i

n

T

i

n s e r t a s i n g l e e l e m e n t :

b

u i l d a h e a p c

n

t a i n i n g j u s t t h a t

n

e e l e m e n t

m

e r g e i t i n t

t

h e e x i s t i n g h e a p !

E . g . , i n s e r t i n g 1 2

8 18 29 37 32 74 89 20 28 39 66 + 12

A t r e e w i t h j u s t

n

e n

d

e

SLIDE 49

D e l e t e m i n i m u m

T

d

e l e t e t h e m i n i m u m e l e m e n t :

t

a k e t h e l e f t a n d r i g h t b r a n c h e s

f

t h e t r e e

t

h e s e c

n

t a i n e v e r y e l e m e n t e x c e p t t h e s m a l l e s t

m

e r g e t h e m !

E . g . , d e l e t i n g 8 f r

m

t h e p r e v i

u

s h e a p

18 29 37 32 74 89 20 28 39 66

+

SLIDE 50

H e a p s b a s e d

n

m e r g i n g

I f w e c a n t a k e t r e e s w i t h t h e h e a p p r

p

e r t y , a n d i m p l e m e n t m e r g i n g w i t h O ( l

g

n ) c

m

p l e x i t y , w e g e t a p r i

r

i t y q u e u e w i t h :

O

( 1 ) fj n d m i n i m u m

O

( l

g

n ) i n s e r t i

n

( b y m e r g i n g )

O

( l

g

n ) d e l e t e m i n i m u m ( b y m e r g i n g )

p

l u s t h i s u s e f u l m e r g e

p

e r a t i

n

i t s e l f

Tie r e a r e l

t

s

f

h e a p s b a s e d

n

t h i s i d e a :

s

k e w h e a p s , F i b

n

a c c i h e a p s , b i n

m

i a l h e a p s

W e w i l l s t u d y

n

e : l e f t i s t h e a p s

SLIDE 51

N a i v e m e r g i n g

1 . L

k

a t t h e r

t

s

f

t h e t w

t

r e e s W e a r e g

i

n g t

p

i c k t h e s m a l l e r

n

e a s t h e r

t
f

t h e n e w t r e e

18 29 37 32 74 89 20 28 39 66

+

SLIDE 52

N a i v e m e r g i n g

2 . R e c u r s i v e l y m e r g e t h e r i g h t b r a n c h a n d t h e s e c

n

d t r e e

18 29 37 32 74 89 20 28 39 66

+

SLIDE 53

N a i v e m e r g i n g

2 . R e c u r s i v e l y m e r g e t h e r i g h t b r a n c h a n d t h e s e c

n

d t r e e

18 29 37 32 74 89 20 28 39 66

+

SLIDE 54

N a i v e m e r g i n g

2 . R e c u r s i v e l y m e r g e t h e r i g h t b r a n c h a n d t h e s e c

n

d t r e e

18 29 37 32 74 89 20 39 66

+

28

SLIDE 55

N a i v e m e r g i n g

2 . R e c u r s i v e l y m e r g e t h e r i g h t b r a n c h a n d t h e s e c

n

d t r e e

18 29 37 32 74 89 20 39 66

+

28

SLIDE 56

N a i v e m e r g i n g

2 . R e c u r s i v e l y m e r g e t h e r i g h t b r a n c h a n d t h e s e c

n

d t r e e

18 29 37 32 74 89 20 39 66 28

SLIDE 57

N a i v e m e r g i n g

2 . R e c u r s i v e l y m e r g e t h e r i g h t b r a n c h a n d t h e s e c

n

d t r e e

18 29 37 32 74 89 20 39 66 28

SLIDE 58

P e r f

r

m a n c e

f

n a ï v e m e r g i n g

Tie m e r g e a l g

r

i t h m d e s c e n d s d

w

n t h e r i g h t b r a n c h

f

b

t

h t r e e s S

t

h e r u n t i m e d e p e n d s

n

h

w

m a n y t i m e s y

u

c a n f

l

l

w

t h e r i g h t b r a n c h b e f

r

e y

u

g e t t

t

h e e n d

f

t h e t r e e

L

e t ' s c a l l t h i s t h e r i g h t n u l l p a t h l e n g t h

C

m

p l e x i t y : O ( m + n )

w

h e r e m a n d n a r e t h e r i g h t n u l l p a t h l e n g t h s

f

t h e t w

t

r e e s

L

g

a r i t h m i c c

m

p l e x i t y f

r

b a l a n c e d t r e e s , b u t c a n b e c

m

e l i n e a r i s t h e t r e e s a r e h e a v i l y “ r i g h t

b

i a s e d ”

SLIDE 59

W

r

s t c a s e f

r

n a ï v e m e r g i n g

A h e a v i l y r i g h t

b

i a s e d t r e e :

SLIDE 60

L e f t i s t h e a p s –

b

s e r v a t i

n

N a i v e m e r g i n g i s :

b

a d ( l i n e a r c

m

p l e x i t y ) f

r

r i g h t

b

i a s e d t r e e s

g
d

( l

g

a r i t h m i c

r

b e t t e r ) f

r

l e f t

b

i a s e d t r e e s

I d e a

f

l e f t i s t h e a p s :

A

d d a n i n v a r i a n t t h a t s t

p

s t h e t r e e b e c

m

i n g r i g h t

b

i a s e d

I

n

t

h e r w

r

d s , b y r e p e a t e d l y f

l

l

w

i n g t h e r i g h t b r a n c h , y

u

q u i c k l y r e a c h t h e e n d

f

t h e t r e e

SLIDE 61

N u l l p a t h l e n g t h

W e d e fj n e t h e n u l l p a t h l e n g t h ( n p l )

f

a n

d

e t

b

e t h e s h

r

t e s t p a t h t h a t l e a d s t

t

h e e n d

f

t h e t r e e ( a n u l l i n J a v a ) Tie n u l l p a t h l e n g t h

f

n u l l i t s e l f i s S i m i l a r c

n

c e p t t

h

e i g h t , b u t w i t h h e i g h t w e m e a s u r e t h e l

n

g e s t p a t h i n t h e t r e e

18 29 37 32 74 89 20 39 66 28

n p l 3 ( l e f t l e f t → l e f t ) ) → n p l 2 ( l e f t r i g h t ) →

66

n p l 1 ( r i g h t )

SLIDE 62

L e f t i s t h e a p s

L e f t i s t i n v a r i a n t : t h e n p l

f

t h e l e f t c h i l d ≥ t h e n p l

f

t h e r i g h t c h i l d Tii s m e a n s : t h e q u i c k e s t w a y t

r

e a c h a n u l l i s t

f
l

l

w

t h e r i g h t b r a n c h

18 29 37 32 74 89 20 39 66 28 66

SLIDE 63

L e f t i s t m e r g i n g

W e s t a r t w i t h t h e n a ï v e m e r g i n g a l g

r

i t h m f r

m

e a r l i e r :

Tie

l e f t i s t i n v a r i a n t m e a n s t h a t n a ï v e m e r g i n g s t

p

s a f t e r O ( l

g

n ) s t e p s

B u t t h e m e r g e m i g h t b r e a k t h e l e f t i s t i n v a r i a n t !

Wh

e n w e d e s c e n d i n t

t

h e r i g h t c h i l d , i t s n p l m i g h t i n c r e a s e , a n d b e c

m

e g r e a t e r t h a n t h e l e f t c h i l d

F i x i t b y :

G
i

n g u p w a r d s i n t h e t r e e f r

m

w h e r e t h e m e r g e fj n i s h e d , a n d w h e r e v e r w e e n c

u

n t e r a n

d

e w h e r e l e f t c h i l d ' s n p l < r i g h t c h i l d ' s n p l , s w a p t h e t w

c

h i l d r e n !

SLIDE 64

L e f t i s t m e r g i n g

1 . S t a r t w i t h n a ï v e m e r g i n g f r

m

e a r l i e r

18 29 37 32 74 89 20 28 39 66

+

31 37

SLIDE 65

L e f t i s t m e r g i n g

2 . Tie r e c u r s i

n

“ b

t

t

m

e d

u

t ” a t 6 6 h e r e

18 29 37 31 74 89 20 39 66 28 32 37

SLIDE 66

L e f t i s t m e r g i n g

3 . G

u

p t

t

h e p a r e n t , c

m

p a r e l e f t a n d r i g h t c h i l d ' s n p l

18 29 37 31 74 89 20 39 66 28 32

l e f t n p l : r i g h t n p l : 1 I n v a r i a n t b r

k

e n !

37

SLIDE 67

L e f t i s t m e r g i n g

4 . I f t h e l e f t i s t i n v a r i a n t i s b r

k

e n , s w a p t h e l e f t a n d r i g h t c h i l d r e n

18 29 37 31 74 89 20 39 66 28 32

6 6 b e c

m

e s t h e l e f t c h i l d i n s t e a d

37

SLIDE 68

L e f t i s t m e r g i n g

5 . G

u

p a g a i n a n d r e p e a t !

18 29 37 31 74 89 20 39 66 28 32

l e f t n p l : 2 r i g h t n p l : 1 O K !

37

SLIDE 69

L e f t i s t m e r g i n g

5 . G

u

p a g a i n a n d r e p e a t !

18 29 37 31 74 89 20 39 66 28 32

l e f t n p l : 1 r i g h t n p l : 2 I n v a r i a n t b r

k

e n ! S w a p l e f t a n d r i g h t .

37

SLIDE 70

L e f t i s t m e r g i n g

5 . G

u

p a g a i n a n d r e p e a t !

18 29 37 31 74 89 20 39 66 28 32

l e f t n p l : 1 r i g h t n p l : 2 I n v a r i a n t b r

k

e n ! S w a p l e f t a n d r i g h t .

37

SLIDE 71

L e f t i s t m e r g i n g

6 . Wh e n w e ' v e r e a c h e d t h e r

t

, w e ' v e fj n i s h e d ! N

t

i c e h

w

t h e fj n a l h e a p “ l e a n s t

t

h e l e f t ” .

18 29 37 31 74 89 20 39 66 28 32 37

SLIDE 72

I m p l e m e n t a t i

n

I m p l e m e n t a t i

n

:

N

e e d t

b

e a b l e t

c
m

p u t e n p l e ffjc i e n t l y

A

d d a fj e l d f

r

t h e n p l t

e

a c h n

d

e , a n d u p d a t e i t w h e n e v e r w e m

d

i f y t h e n

d

e

U

p d a t e b y c

m

p u t i n g : n p l = 1 + r i g h t c h i l d ' s n p l

SLIDE 73

C

m

p l e x i t y

f

l e f t i s t m e r g i n g

I c l a i m : t h e n p l

f

a t r e e

f

s i z e n i s O ( l

g

n )

C

h e c k i t f

r

y

u

r s e l f : )

F
r

b a l a n c e d t r e e s , t h e n p l i s O ( l

g

n ) , m u c h l i k e h e i g h t

B

y u n b a l a n c i n g a t r e e , w e m a k e s

m

e p a t h s l

n

g e r , a n d s

m

e s h

r

t e r . Tii s i n c r e a s e s t h e h e i g h t , b u t d e c r e a s e s t h e n p l !

H e n c e , i n a l e f t i s t h e a p , b y f

l

l

w

i n g t h e r i g h t b r a n c h O ( l

g

n ) t i m e s , y

u

r e a c h a n u l l S

m

e r g e t a k e s O ( l

g

n ) t i m e !

l
g

n s t e p s d

w

n t h e t r e e t

d
t

h e n a ï v e t r e e

t

h e n l

g

n s t e p s u p w a r d s w h i l e r e p a i r i n g t h e l e f t i s t i n v a r i a n t

SLIDE 74

L e f t i s t h e a p s

I m p l e m e n t a t i

n
f

p r i

r

i t y q u e u e s :

b

i n a r y t r e e s w i t h h e a p p r

p

e r t y

l

e f t i s t i n v a r i a n t f

r

O ( l

g

n ) m e r g i n g

o

t h e r

p

e r a t i

n

s a r e b a s e d

n

m e r g e

A g

d

fj t f

r

f u n c t i

n

a l l a n g u a g e s :

b

a s e d

n