aspects algorithmiques de la comparaison d el ements
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Aspects algorithmiques de la comparaison d el ements biologiques - PowerPoint PPT Presentation

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Aspects algorithmiques de la comparaison d el ements biologiques Florian Sikora Universit e Paris-Est 30 septembre 2011 Introduction Complexit e Recherche exacte de motifs Recherche approch ee de motifs Logiciels

  1. Introduction Complexit´ e Recherche exacte de motifs Recherche approch´ ee de motifs Logiciels Perspectives Recherche de motifs ◮ Vision “classique” de la recherche de motifs : ◮ Le motif a une certaine topologie (chemin, arbre, graphes sp´ ecifiques...). ◮ La solution correspond aux labels et ` a la topologie du motif. ◮ Un nombre born´ e d’ insertions et d´ el´ etions peut-ˆ etre autoris´ e 20/55

  2. Introduction Complexit´ e Recherche exacte de motifs Recherche approch´ ee de motifs Logiciels Perspectives Recherche de motifs ◮ Vision “classique” de la recherche de motifs : ◮ Le motif a une certaine topologie (chemin, arbre, graphes sp´ ecifiques...). ◮ La solution correspond aux labels et ` a la topologie du motif. ◮ Un nombre born´ e d’insertions et d´ el´ etions peut-ˆ etre autoris´ e 20/55

  3. Introduction Complexit´ e Recherche exacte de motifs Recherche approch´ ee de motifs Logiciels Perspectives Recherche de motifs ◮ Vision “classique” de la recherche de motifs : ◮ Le motif a une certaine topologie (chemin, arbre, graphes sp´ ecifiques...). ◮ La solution correspond aux labels et ` a la topologie du motif. ◮ Un nombre born´ e d’insertions et d´ el´ etions peut-ˆ etre autoris´ e ◮ Beaucoup d’algorithmes FPT, selon diff´ erents types de topologie [Shlomi et al. 2006, Dost et al. 2007] . ◮ PADA1 [Blin, S., Vialette 2009,2010] . 20/55

  4. Introduction Complexit´ e Recherche exacte de motifs Recherche approch´ ee de motifs Logiciels Perspectives Graph Motif ◮ Constat : les donn´ ees biologiques sont exp´ erimentales donc tr` es bruit´ ees [Edwards et al. 2002] ◮ Manque des informations (faux n´ egatifs). Estim´ e ` a 50%. ◮ Informations erron´ ees (faux positifs). Estim´ e ` a 50%. ◮ La topologie du motif peut ne pas ˆ etre connue a priori . ◮ Diff´ erents motifs peuvent avoir une mˆ eme topologie. 21/55

  5. Introduction Complexit´ e Recherche exacte de motifs Recherche approch´ ee de motifs Logiciels Perspectives Graph Motif ◮ Constat : les donn´ ees biologiques sont exp´ erimentales donc tr` es bruit´ ees [Edwards et al. 2002] ◮ Manque des informations (faux n´ egatifs). Estim´ e ` a 50%. ◮ Informations erron´ ees (faux positifs). Estim´ e ` a 50%. ◮ La topologie du motif peut ne pas ˆ etre connue a priori . ◮ Diff´ erents motifs peuvent avoir une mˆ eme topologie. ◮ La topologie du motif peut ne pas ˆ etre pertinente. 21/55

  6. Introduction Complexit´ e Recherche exacte de motifs Recherche approch´ ee de motifs Logiciels Perspectives Graph Motif – D´ efinition ◮ Chaque nœud du r´ eseau est color´ e selon sa famille. ◮ Le motif est juste un (multi-)ensemble de couleurs ` a retrouver connect´ e dans le r´ eseau color´ e [Lacroix et al. 2006] . 22/55

  7. Introduction Complexit´ e Recherche exacte de motifs Recherche approch´ ee de motifs Logiciels Perspectives Graph Motif – D´ efinition ◮ Chaque nœud du r´ eseau est color´ e selon sa famille. ◮ Le motif est juste un (multi-)ensemble de couleurs ` a retrouver connect´ e dans le r´ eseau color´ e [Lacroix et al. 2006] . ◮ Topologie n’est que la connexit´ e de la solution. 22/55

  8. Introduction Complexit´ e Recherche exacte de motifs Recherche approch´ ee de motifs Logiciels Perspectives Graph Motif – Un exemple jouet M : G : 23/55

  9. Introduction Complexit´ e Recherche exacte de motifs Recherche approch´ ee de motifs Logiciels Perspectives Graph Motif – Un exemple jouet M : G : 23/55

  10. Introduction Complexit´ e Recherche exacte de motifs Recherche approch´ ee de motifs Logiciels Perspectives Graph Motif – Un exemple jouet M : G : 23/55

  11. Introduction Complexit´ e Recherche exacte de motifs Recherche approch´ ee de motifs Logiciels Perspectives Graph Motif ◮ S’applique ` a diff´ erents types de r´ eseaux biologiques. ◮ Initialement sur les r´ eseaux m´ etaboliques [Lacroix et al. 2006] . ◮ Utilisable sur les r´ eseaux PPI [Bruckner et al. 2009] . ◮ Selon [Betzler et al. 2008] , peut ˆ etre utilis´ e pour les r´ eseaux sociaux. 24/55

  12. Introduction Complexit´ e Recherche exacte de motifs Recherche approch´ ee de motifs Logiciels Perspectives Graph Motif – Difficult´ e ◮ Le probl` eme est NP-complet, mˆ eme si : ◮ Le r´ eseau est un arbre [Lacroix et al. 2006] , ◮ Cet arbre est de degr´ e maximum 3 et le motif est un colorful [Fellows et al. 2007] , ◮ L’ arbre est de profondeur 2 et le motif est un colorful [Ambalath et al. 2010] , ◮ Le motif n’est constitu´ e que de 2 couleurs et le r´ eseau est un graphe biparti de degr´ e maximum 4 [Fellows et al. 2007] . 25/55

  13. Introduction Complexit´ e Recherche exacte de motifs Recherche approch´ ee de motifs Logiciels Perspectives Graph Motif – Complexit´ e param´ etr´ e ◮ Le probl` eme est FPT par la taille k du motif : ◮ O ∗ (87 k ) [Fellows et al. 2007] . ◮ O ∗ (4 . 3 k ) (motif multi-ensemble) [Betzler et al. 2008] . ◮ O ∗ (3 k ) (motif colorful) [Betzler et al. 2008] . 26/55

  14. Introduction Complexit´ e Recherche exacte de motifs Recherche approch´ ee de motifs Logiciels Perspectives Graph Motif – Complexit´ e param´ etr´ e ◮ Le probl` eme est FPT par la taille k du motif : ◮ O ∗ (87 k ) [Fellows et al. 2007] . ◮ O ∗ (4 . 3 k ) (motif multi-ensemble) [Betzler et al. 2008] . ◮ O ∗ (3 k ) (motif colorful) [Betzler et al. 2008] . ◮ Programmation dynamique et color-coding : complexit´ e en espace exponentielle en k . 26/55

  15. Introduction Complexit´ e Recherche exacte de motifs Recherche approch´ ee de motifs Logiciels Perspectives Graph Motif – Complexit´ e param´ etr´ e ◮ Le probl` eme est FPT par la taille k du motif : ◮ O ∗ (87 k ) [Fellows et al. 2007] . ◮ O ∗ (4 . 3 k ) (motif multi-ensemble) [Betzler et al. 2008] . ◮ O ∗ (3 k ) (motif colorful) [Betzler et al. 2008] . ◮ Programmation dynamique et color-coding : complexit´ e en espace exponentielle en k . ◮ Mais W[1]-difficile si param´ etr´ e par le nombre de couleurs diff´ erentes [Fellows et al. 2007] . 26/55

  16. Introduction Complexit´ e Recherche exacte de motifs Recherche approch´ ee de motifs Logiciels Perspectives Graph Motif et polynˆ omes ◮ Am´ elioration de la complexit´ e via un outil dˆ u ` a Koutis et Williams [2008,2009] . 27/55

  17. Introduction Complexit´ e Recherche exacte de motifs Recherche approch´ ee de motifs Logiciels Perspectives Graph Motif et polynˆ omes ◮ Am´ elioration de la complexit´ e via un outil dˆ u ` a Koutis et Williams [2008,2009] . ◮ R´ esultat clef : ◮ On peut d´ eterminer par un algorithme randomis´ e, en temps O ∗ (2 k ) et en espace polynomial , si un polynˆ ome repr´ esent´ e par un circuit arithm´ etique contient un monˆ ome multilin´ eaire de degr´ e k . 27/55

  18. Introduction Complexit´ e Recherche exacte de motifs Recherche approch´ ee de motifs Logiciels Perspectives Graph Motif et polynˆ omes ◮ Un monˆ ome est multilin´ eaire si chaque variable du monˆ ome n’apparait qu’une seule fois. ◮ Par d´ efinition, le degr´ e d’un monˆ ome multilin´ eaire est son nombre de variables. ◮ Exemple : P ( X ) = ( x 2 1 x 3 x 5 + x 1 x 2 x 4 x 6 ) : ◮ x 1 x 2 x 4 x 6 est un monˆ ome multilin´ eaire de degr´ e 4. ◮ x 2 1 x 3 x 5 n’est pas un monˆ ome multilin´ eaire. 28/55

  19. Introduction Complexit´ e Recherche exacte de motifs Recherche approch´ ee de motifs Logiciels Perspectives Graph Motif et polynˆ omes ◮ Un circuit arithm´ etique sur un ensemble de variables X est un DAG t.q. : ◮ les noeuds internes sont les op´ erations × ou +, ◮ les feuilles sont des ´ el´ ements de X . 29/55

  20. Introduction Complexit´ e Recherche exacte de motifs Recherche approch´ ee de motifs Logiciels Perspectives Graph Motif et polynˆ omes ◮ Un circuit arithm´ etique sur un ensemble de variables X est un DAG t.q. : ◮ les noeuds internes sont les op´ erations × ou +, ◮ les feuilles sont des ´ el´ ements de X . ◮ Exemple pour P ( X ) = ( x 1 + x 2 + x 3 )( x 3 + x 4 + x 5 ). × + + x 1 x 3 x 5 x 2 x 4 29/55

  21. Introduction Complexit´ e Recherche exacte de motifs Recherche approch´ ee de motifs Logiciels Perspectives Graph Motif et polynˆ omes ◮ Pour r´ esoudre Graph Motif avec motif colorful : ◮ On introduit des variables correspondant aux couleurs . ◮ On construit un circuit correspondant aux couleurs de tous les sous-graphes (connexes) de taille k de G . ◮ Un monˆ ome multilin´ eaire de degr´ e k correspond alors ` a un sous-graphe avec k couleurs diff´ erentes (motif colorful), donc k sommets diff´ erents. 30/55

  22. Introduction Complexit´ e Recherche exacte de motifs Recherche approch´ ee de motifs Logiciels Perspectives Exemple Construction r´ ecursive Les monˆ omes de degr´ e k = 3 contenant le nœud v 1 sont la somme des produits des monˆ omes : es k ′ < k contenant le nœud v 1 , 1. de degr´ v 1 es k − k ′ contenant un voisin de v 1 . 2. de degr´ v 2 v 3 v 4 M G 31/55

  23. Introduction Complexit´ e Recherche exacte de motifs Recherche approch´ ee de motifs Logiciels Perspectives Exemple Construction r´ ecursive Les monˆ omes de degr´ e k = 3 contenant le nœud v 1 sont la somme des produits des monˆ omes : es k ′ < k contenant le nœud v 1 , 1. de degr´ v 1 es k − k ′ contenant un voisin de v 1 . 2. de degr´ Pour k ′ = 1 : v 2 v 3 x R v 4 M G 31/55

  24. Introduction Complexit´ e Recherche exacte de motifs Recherche approch´ ee de motifs Logiciels Perspectives Exemple Construction r´ ecursive Les monˆ omes de degr´ e k = 3 contenant le nœud v 1 sont la somme des produits des monˆ omes : es k ′ < k contenant le nœud v 1 , 1. de degr´ v 1 es k − k ′ contenant un voisin de v 1 . 2. de degr´ Pour k ′ = 1 : v 2 v 3 x R . ( P 2 , v 2 ) v 4 M G 31/55

  25. Introduction Complexit´ e Recherche exacte de motifs Recherche approch´ ee de motifs Logiciels Perspectives Exemple Construction r´ ecursive Les monˆ omes de degr´ e k = 3 contenant le nœud v 1 sont la somme des produits des monˆ omes : es k ′ < k contenant le nœud v 1 , 1. de degr´ v 1 es k − k ′ contenant un voisin de v 1 . 2. de degr´ Pour k ′ = 1 : v 2 v 3 x R . ( P 2 , v 2 + P 2 , v 3 ) v 4 M G 31/55

  26. Introduction Complexit´ e Recherche exacte de motifs Recherche approch´ ee de motifs Logiciels Perspectives Exemple Construction r´ ecursive Les monˆ omes de degr´ e k = 3 contenant le nœud v 1 sont la somme des produits des monˆ omes : es k ′ < k contenant le nœud v 1 , 1. de degr´ v 1 es k − k ′ contenant un voisin de v 1 . 2. de degr´ Pour k ′ = 1 : v 2 v 3 x R . ( P 2 , v 2 + P 2 , v 3 ) v 4 = x R . ( x J . ( P 1 , v 1 + P 1 , v 3 + P 1 , v 4 )+ P 2 , v 3 ) M G 31/55

  27. Introduction Complexit´ e Recherche exacte de motifs Recherche approch´ ee de motifs Logiciels Perspectives Exemple Construction r´ ecursive Les monˆ omes de degr´ e k = 3 contenant le nœud v 1 sont la somme des produits des monˆ omes : es k ′ < k contenant le nœud v 1 , 1. de degr´ v 1 es k − k ′ contenant un voisin de v 1 . 2. de degr´ Pour k ′ = 1 : v 2 v 3 x R . ( P 2 , v 2 + P 2 , v 3 ) v 4 = x R . ( x J . ( P 1 , v 1 + P 1 , v 3 + P 1 , v 4 )+ P 2 , v 3 ) M G = x R . ( x J . ( x R + x R + x B )+ P 2 , v 3 ) 31/55

  28. Introduction Complexit´ e Recherche exacte de motifs Recherche approch´ ee de motifs Logiciels Perspectives Exemple Construction r´ ecursive Les monˆ omes de degr´ e k = 3 contenant le nœud v 1 sont la somme des produits des monˆ omes : es k ′ < k contenant le nœud v 1 , 1. de degr´ v 1 es k − k ′ contenant un voisin de v 1 . 2. de degr´ Pour k ′ = 1 : v 2 v 3 x R . ( P 2 , v 2 + P 2 , v 3 ) v 4 = x R . ( x J . ( P 1 , v 1 + P 1 , v 3 + P 1 , v 4 )+ P 2 , v 3 ) M G = x R . ( x J . ( x R + x R + x B )+ P 2 , v 3 ) = x R . ( x J . x R + x J . x R + x J . x B + P 2 , v 3 ) 31/55

  29. Introduction Complexit´ e Recherche exacte de motifs Recherche approch´ ee de motifs Logiciels Perspectives Exemple Construction r´ ecursive Les monˆ omes de degr´ e k = 3 contenant le nœud v 1 sont la somme des produits des monˆ omes : es k ′ < k contenant le nœud v 1 , 1. de degr´ v 1 es k − k ′ contenant un voisin de v 1 . 2. de degr´ Pour k ′ = 1 : v 2 v 3 x R . ( P 2 , v 2 + P 2 , v 3 ) v 4 = x R . ( x J . ( P 1 , v 1 + P 1 , v 3 + P 1 , v 4 )+ P 2 , v 3 ) M G = x R . ( x J . ( x R + x R + x B )+ P 2 , v 3 ) = x R . ( x J . x R + x J . x R + x J . x B + P 2 , v 3 ) = x R x J x R + x R x J x R + x R x J x B + . . . 31/55

  30. Introduction Complexit´ e Recherche exacte de motifs Recherche approch´ ee de motifs Logiciels Perspectives Exemple Construction r´ ecursive Les monˆ omes de degr´ e k = 3 contenant le nœud v 1 sont la somme des produits des monˆ omes : es k ′ < k contenant le nœud v 1 , 1. de degr´ v 1 es k − k ′ contenant un voisin de v 1 . 2. de degr´ Pour k ′ = 1 : v 2 v 3 x R . ( P 2 , v 2 + P 2 , v 3 ) v 4 = x R . ( x J . ( P 1 , v 1 + P 1 , v 3 + P 1 , v 4 )+ P 2 , v 3 ) M G = x R . ( x J . ( x R + x R + x B )+ P 2 , v 3 ) = x R . ( x J . x R + x J . x R + x J . x B + P 2 , v 3 ) = x R x J x R + x R x J x R + x R x J x B + . . . Il y a un monˆ ome multilin´ eaire (donc une solution). 31/55

  31. Introduction Complexit´ e Recherche exacte de motifs Recherche approch´ ee de motifs Logiciels Perspectives Graph Motif et polynˆ omes ◮ La construction est polynomiale. ◮ Il existe un monˆ ome multilin´ eaire de degr´ e k si et seulement s’il existe un sous-graphe connexe colorful de taille k . 32/55

  32. Introduction Complexit´ e Recherche exacte de motifs Recherche approch´ ee de motifs Logiciels Perspectives Graph Motif et polynˆ omes ◮ La construction est polynomiale. ◮ Il existe un monˆ ome multilin´ eaire de degr´ e k si et seulement s’il existe un sous-graphe connexe colorful de taille k . ◮ On peut r´ esoudre Graph Motif lorsque le motif est colorful en O ∗ (2 k ) (algorithme randomis´ e) et en espace polynomial [Guillemot et S. 2010] . 32/55

  33. Introduction Complexit´ e Recherche exacte de motifs Recherche approch´ ee de motifs Logiciels Perspectives Graph Motif et polynˆ omes – Multi-ensemble ◮ Si le motif est un multi-ensemble , un monˆ ome non multilin´ eaire sur les couleurs est une solution. ◮ La construction pr´ ec´ edente n’est plus suffisante. 33/55

  34. Introduction Complexit´ e Recherche exacte de motifs Recherche approch´ ee de motifs Logiciels Perspectives Graph Motif et polynˆ omes – Multi-ensemble ◮ Si le motif est un multi-ensemble , un monˆ ome non multilin´ eaire sur les couleurs est une solution. ◮ La construction pr´ ec´ edente n’est plus suffisante. v 1 v 2 v 3 v 4 M G 33/55

  35. Introduction Complexit´ e Recherche exacte de motifs Recherche approch´ ee de motifs Logiciels Perspectives Graph Motif et polynˆ omes – Multi-ensemble ◮ Si le motif est un multi-ensemble , un monˆ ome non multilin´ eaire sur les couleurs est une solution. ◮ La construction pr´ ec´ edente n’est plus suffisante. v 1 v 2 v 3 · · · = x R x J x R + x R x J x B + x R x J x R + . . . v 4 M G 33/55

  36. Introduction Complexit´ e Recherche exacte de motifs Recherche approch´ ee de motifs Logiciels Perspectives Graph Motif et polynˆ omes – Multi-ensemble ◮ Si le motif est un multi-ensemble , un monˆ ome non multilin´ eaire sur les couleurs est une solution. ◮ La construction pr´ ec´ edente n’est plus suffisante. ◮ Pour chaque couleur c qui apparait m fois dans le motif, on introduit des variables x c , 1 , x c , 2 , . . . , x c , m . v 1 v 2 v 3 v 4 M G 33/55

  37. Introduction Complexit´ e Recherche exacte de motifs Recherche approch´ ee de motifs Logiciels Perspectives Graph Motif et polynˆ omes – Multi-ensemble ◮ Si le motif est un multi-ensemble , un monˆ ome non multilin´ eaire sur les couleurs est une solution. ◮ La construction pr´ ec´ edente n’est plus suffisante. ◮ Pour chaque couleur c qui apparait m fois dans le motif, on introduit des variables x c , 1 , x c , 2 , . . . , x c , m . v 1 v 2 v 3 · · · = ( x R , 1 + x R , 2 ) x J , 1 ( x R , 1 + x R , 2 ) + . . . v 4 M G 33/55

  38. Introduction Complexit´ e Recherche exacte de motifs Recherche approch´ ee de motifs Logiciels Perspectives Graph Motif et polynˆ omes – Multi-ensemble ◮ Si le motif est un multi-ensemble , un monˆ ome non multilin´ eaire sur les couleurs est une solution. ◮ La construction pr´ ec´ edente n’est plus suffisante. ◮ Pour chaque couleur c qui apparait m fois dans le motif, on introduit des variables x c , 1 , x c , 2 , . . . , x c , m (reste insuffisant). v 1 v 2 v 3 · · · = ( x R , 1 + x R , 2 ) x J , 1 ( x R , 1 + x R , 2 ) + . . . = x R , 1 x J , 1 x R , 1 + x R , 1 x J , 1 x R , 2 + x R , 2 x J , 1 x R , 1 v 4 + x R , 2 x J , 1 x R , 2 + . . . M G 33/55

  39. Introduction Complexit´ e Recherche exacte de motifs Recherche approch´ ee de motifs Logiciels Perspectives Graph Motif et polynˆ omes – Multi-ensemble ◮ Si le motif est un multi-ensemble , un monˆ ome non multilin´ eaire sur les couleurs est une solution. ◮ La construction pr´ ec´ edente n’est plus suffisante. ◮ Pour chaque couleur c qui apparait m fois dans le motif, on introduit des variables x c , 1 , x c , 2 , . . . , x c , m (reste insuffisant). v 1 v 2 v 3 · · · = ( x R , 1 + x R , 2 ) x J , 1 ( x R , 1 + x R , 2 ) + . . . = x R , 1 x J , 1 x R , 1 + x R , 1 x J , 1 x R , 2 + x R , 2 x J , 1 x R , 1 v 4 + x R , 2 x J , 1 x R , 2 + . . . M G 33/55

  40. Introduction Complexit´ e Recherche exacte de motifs Recherche approch´ ee de motifs Logiciels Perspectives Graph Motif et polynˆ omes – Multi-ensemble ◮ Si le motif est un multi-ensemble , un monˆ ome non multilin´ eaire sur les couleurs est une solution. ◮ La construction pr´ ec´ edente n’est plus suffisante. ◮ Pour chaque couleur c qui apparait m fois dans le motif, on introduit des variables x c , 1 , x c , 2 , . . . , x c , m (reste insuffisant). ◮ Ajout de variables y v pour les nœuds v du graphe. v 1 v 2 v 3 v 4 M G 33/55

  41. Introduction Complexit´ e Recherche exacte de motifs Recherche approch´ ee de motifs Logiciels Perspectives Graph Motif et polynˆ omes – Multi-ensemble ◮ Si le motif est un multi-ensemble , un monˆ ome non multilin´ eaire sur les couleurs est une solution. ◮ La construction pr´ ec´ edente n’est plus suffisante. ◮ Pour chaque couleur c qui apparait m fois dans le motif, on introduit des variables x c , 1 , x c , 2 , . . . , x c , m (reste insuffisant). ◮ Ajout de variables y v pour les nœuds v du graphe. v 1 v 2 v 3 v 4 · · · = y 1 ( x R , 1 + x R , 2 ) · y 2 x J , 1 · y 1 ( x R , 1 + x R , 2 ) + . . . M G 33/55

  42. Introduction Complexit´ e Recherche exacte de motifs Recherche approch´ ee de motifs Logiciels Perspectives Graph Motif et polynˆ omes – Multi-ensemble ◮ Si le motif est un multi-ensemble , un monˆ ome non multilin´ eaire sur les couleurs est une solution. ◮ La construction pr´ ec´ edente n’est plus suffisante. ◮ Pour chaque couleur c qui apparait m fois dans le motif, on introduit des variables x c , 1 , x c , 2 , . . . , x c , m (reste insuffisant). ◮ Ajout de variables y v pour les nœuds v du graphe. v 1 v 2 v 3 · · · = y 1 ( x R , 1 + x R , 2 ) · y 2 x J , 1 · y 1 ( x R , 1 + x R , 2 ) + . . . v 4 = y 1 x R , 1 y 2 x J , 1 y 1 x R , 1 + y 1 x R , 1 y 2 x J , 1 y 1 x R , 2 + . . . M G 33/55

  43. Introduction Complexit´ e Recherche exacte de motifs Recherche approch´ ee de motifs Logiciels Perspectives Graph Motif et polynˆ omes – Multi-ensemble ◮ Si le motif est un multi-ensemble , un monˆ ome non multilin´ eaire sur les couleurs est une solution. ◮ La construction pr´ ec´ edente n’est plus suffisante. ◮ Pour chaque couleur c qui apparait m fois dans le motif, on introduit des variables x c , 1 , x c , 2 , . . . , x c , m (reste insuffisant). ◮ Ajout de variables y v pour les nœuds v du graphe. v 1 v 2 v 3 · · · = y 1 ( x R , 1 + x R , 2 ) · y 2 x J , 1 · y 1 ( x R , 1 + x R , 2 ) + . . . v 4 = y 1 x R , 1 y 2 x J , 1 y 1 x R , 1 + y 1 x R , 1 y 2 x J , 1 y 1 x R , 2 + . . . M G 33/55

  44. Introduction Complexit´ e Recherche exacte de motifs Recherche approch´ ee de motifs Logiciels Perspectives Graph Motif et polynˆ omes – Multi-ensemble ◮ La construction est toujours polynomiale. ◮ Il existe un monˆ ome multilin´ eaire de degr´ e 2 k si et seulement si il existe une solution de taille k . 34/55

  45. Introduction Complexit´ e Recherche exacte de motifs Recherche approch´ ee de motifs Logiciels Perspectives Graph Motif et polynˆ omes – Multi-ensemble ◮ La construction est toujours polynomiale. ◮ Il existe un monˆ ome multilin´ eaire de degr´ e 2 k si et seulement si il existe une solution de taille k . ◮ On peut r´ esoudre Graph Motif lorsque le motif est un multi-ensemble en O ∗ (4 k ) (algorithme randomis´ e) et en espace polynomial [Guillemot et S. 2010] . 34/55

  46. Introduction Complexit´ e Recherche exacte de motifs Recherche approch´ ee de motifs Logiciels Perspectives Graph Motif et polynˆ omes – Comptage ◮ Compter le nombre d’occurrences d’un motif colorful : O ∗ (2 k ) (construction similaire). 35/55

  47. Introduction Complexit´ e Recherche exacte de motifs Recherche approch´ ee de motifs Logiciels Perspectives Graph Motif et polynˆ omes – Comptage ◮ Compter le nombre d’occurrences d’un motif colorful : O ∗ (2 k ) (construction similaire). ◮ Mais, si le motif est un multi-ensemble , le probl` eme est #W[1]-difficile [Guillemot et S. 2010] . 35/55

  48. Introduction Complexit´ e Recherche exacte de motifs Recherche approch´ ee de motifs Logiciels Perspectives Plan Introduction Complexit´ e param´ etr´ ee et algorithmes d’approximation Recherche exacte de motifs Recherche approch´ ee de motifs Logiciels Perspectives 36/55

  49. Introduction Complexit´ e Recherche exacte de motifs Recherche approch´ ee de motifs Logiciels Perspectives Variantes ◮ Donn´ ees exp´ erimentales, impr´ ecisions . ◮ Rechercher une occurrence exacte d’un motif peut ´ echouer. 37/55

  50. Introduction Complexit´ e Recherche exacte de motifs Recherche approch´ ee de motifs Logiciels Perspectives Variantes ◮ Donn´ ees exp´ erimentales, impr´ ecisions . ◮ Rechercher une occurrence exacte d’un motif peut ´ echouer. ◮ Autoriser des sommets suppl´ ementaires dans la solution pour atteindre la connexit´ e ( insertions ). 37/55

  51. Introduction Complexit´ e Recherche exacte de motifs Recherche approch´ ee de motifs Logiciels Perspectives Variantes ◮ Donn´ ees exp´ erimentales, impr´ ecisions . ◮ Rechercher une occurrence exacte d’un motif peut ´ echouer. ◮ Autoriser des sommets suppl´ ementaires dans la solution pour atteindre la connexit´ e ( insertions ). ◮ Autoriser l’absence de couleurs du motif dans la solution ( d´ el´ etions ). 37/55

  52. Introduction Complexit´ e Recherche exacte de motifs Recherche approch´ ee de motifs Logiciels Perspectives Variantes ◮ Donn´ ees exp´ erimentales, impr´ ecisions . ◮ Rechercher une occurrence exacte d’un motif peut ´ echouer. ◮ Autoriser des sommets suppl´ ementaires dans la solution pour atteindre la connexit´ e ( insertions ). ◮ Autoriser l’absence de couleurs du motif dans la solution ( d´ el´ etions ). ◮ Autoriser plusieurs composantes connexes dans la solution. 37/55

  53. Introduction Complexit´ e Recherche exacte de motifs Recherche approch´ ee de motifs Logiciels Perspectives Variantes ◮ Donn´ ees exp´ erimentales, impr´ ecisions . ◮ Rechercher une occurrence exacte d’un motif peut ´ echouer. ◮ Autoriser des sommets suppl´ ementaires dans la solution pour atteindre la connexit´ e ( insertions ). ◮ Autoriser l’absence de couleurs du motif dans la solution ( d´ el´ etions ). ◮ Autoriser plusieurs composantes connexes dans la solution. ◮ Autoriser une liste de couleurs pour chaque sommet du r´ eseau. 37/55

  54. Introduction Complexit´ e Recherche exacte de motifs Recherche approch´ ee de motifs Logiciels Perspectives Une variante de Graph Motif : Minimum Substitutions ◮ Une autre variante : Minimum Substitutions [Dondi et al. 2011] . ◮ Trouver une occurrence qui reprend ”le plus de couleurs possible” du motif, mais de mˆ eme taille que le motif. ◮ On substitue des couleurs du motif par de nouvelles couleurs. 38/55

  55. Introduction Complexit´ e Recherche exacte de motifs Recherche approch´ ee de motifs Logiciels Perspectives Minimum Substitutions : Exemple M : G : 39/55

  56. Introduction Complexit´ e Recherche exacte de motifs Recherche approch´ ee de motifs Logiciels Perspectives Minimum Substitutions : Exemple M : G : 39/55

  57. Introduction Complexit´ e Recherche exacte de motifs Recherche approch´ ee de motifs Logiciels Perspectives Minimum Substitutions : Exemple M : G : 39/55

  58. Introduction Complexit´ e Recherche exacte de motifs Recherche approch´ ee de motifs Logiciels Perspectives Une variante de Graph Motif : Minimum Substitutions ◮ Il n’existe pas de ratio d’approximation inf´ erieur ` a c log | V | , sauf si P = NP , mˆ eme lorsque le motif est colorful et G est un arbre de profondeur 2. 40/55

  59. Introduction Complexit´ e Recherche exacte de motifs Recherche approch´ ee de motifs Logiciels Perspectives Construction X = { x 1 , x 2 , x 3 } , S = {{ x 1 , x 2 } , { x 2 , x 3 } , { x 2 }} 41/55

  60. Introduction Complexit´ e Recherche exacte de motifs Recherche approch´ ee de motifs Logiciels Perspectives Construction X = { x 1 , x 2 , x 3 } , S = {{ x 1 , x 2 } , { x 2 , x 3 } , { x 2 }} 41/55

  61. Introduction Complexit´ e Recherche exacte de motifs Recherche approch´ ee de motifs Logiciels Perspectives Construction X = { x 1 , x 2 , x 3 } , S = {{ x 1 , x 2 } , { x 2 , x 3 } , { x 2 }} 41/55

  62. Introduction Complexit´ e Recherche exacte de motifs Recherche approch´ ee de motifs Logiciels Perspectives Construction X = { x 1 , x 2 , x 3 } , S = {{ x 1 , x 2 } , { x 2 , x 3 } , { x 2 }} M G 41/55

  63. Introduction Complexit´ e Recherche exacte de motifs Recherche approch´ ee de motifs Logiciels Perspectives Construction X = { x 1 , x 2 , x 3 } , S = {{ x 1 , x 2 } , { x 2 , x 3 } , { x 2 }} M G 41/55

  64. Introduction Complexit´ e Recherche exacte de motifs Recherche approch´ ee de motifs Logiciels Perspectives Construction X = { x 1 , x 2 , x 3 } , S = {{ x 1 , x 2 } , { x 2 , x 3 } , { x 2 }} M G 41/55

  65. Introduction Complexit´ e Recherche exacte de motifs Recherche approch´ ee de motifs Logiciels Perspectives Construction X = { x 1 , x 2 , x 3 } , S = {{ x 1 , x 2 } , { x 2 , x 3 } , { x 2 }} M G 41/55

  66. Introduction Complexit´ e Recherche exacte de motifs Recherche approch´ ee de motifs Logiciels Perspectives Construction X = { x 1 , x 2 , x 3 } , S = {{ x 1 , x 2 } , { x 2 , x 3 } , { x 2 }} M G 41/55

  67. Introduction Complexit´ e Recherche exacte de motifs Recherche approch´ ee de motifs Logiciels Perspectives Construction X = { x 1 , x 2 , x 3 } , S = {{ x 1 , x 2 } , { x 2 , x 3 } , { x 2 }} M G 41/55

  68. Introduction Complexit´ e Recherche exacte de motifs Recherche approch´ ee de motifs Logiciels Perspectives Construction X = { x 1 , x 2 , x 3 } , S = {{ x 1 , x 2 } , { x 2 , x 3 } , { x 2 }} M G 41/55

  69. Introduction Complexit´ e Recherche exacte de motifs Recherche approch´ ee de motifs Logiciels Perspectives Construction X = { x 1 , x 2 , x 3 } , S = {{ x 1 , x 2 } , { x 2 , x 3 } , { x 2 }} M G 41/55

  70. Introduction Complexit´ e Recherche exacte de motifs Recherche approch´ ee de motifs Logiciels Perspectives Construction X = { x 1 , x 2 , x 3 } , S = {{ x 1 , x 2 } , { x 2 , x 3 } , { x 2 }} M G 41/55

  71. Introduction Complexit´ e Recherche exacte de motifs Recherche approch´ ee de motifs Logiciels Perspectives Construction X = { x 1 , x 2 , x 3 } , S = {{ x 1 , x 2 } , { x 2 , x 3 } , { x 2 }} M G 41/55

  72. Introduction Complexit´ e Recherche exacte de motifs Recherche approch´ ee de motifs Logiciels Perspectives Construction X = { x 1 , x 2 , x 3 } , S = {{ x 1 , x 2 } , { x 2 , x 3 } , { x 2 }} M G |S ′ | = nombre de substitutions 41/55

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