Accelera'on I Accelerators o+en require coupling - - PowerPoint PPT Presentation

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Accelera'on I Accelerators o+en require coupling - - PowerPoint PPT Presentation

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Accelera'on I Accelerators o+en require coupling intense radio-frequency (RF) wave with a charged par=cle velocity d E v E dt = qv v.E E change in

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SLIDE 1

Accelera'on ¡I ¡

¡

  • Accelerators ¡ o+en ¡ require ¡ coupling ¡ intense ¡

radio-­‑frequency ¡ (RF) ¡ wave ¡ with ¡ a ¡ charged ¡ par=cle ¡

  • e.m. ¡waves ¡need ¡to ¡be ¡localized ¡in ¡waveguide ¡
  • r ¡“resonant” ¡cavi=es ¡ ¡

PHYS ¡790-­‑D ¡Special ¡topics ¡in ¡Beam ¡Physics, ¡ Fall ¡2014 ¡ 1 ¡

change ¡in ¡ ¡ energy ¡ velocity ¡

dE dt = qv v v.E E E

applied ¡ ¡ E ¡field ¡

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SLIDE 2

radiofrequency ¡(RF) ¡accelera'on ¡

  • consider ¡a ¡par=cle ¡ ¡

undergoing ¡accele-­‑ ¡ ra=o ¡

  • take ¡resonant ¡pillbox ¡ ¡

cavity ¡opera=ng ¡on ¡TM010 ¡mode ¡ ¡ ¡ here ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡is ¡the ¡resonant ¡frequency ¡of ¡the ¡mode ¡ ¡

PHYS ¡790-­‑D ¡Special ¡topics ¡in ¡Beam ¡Physics, ¡ Fall ¡2014 ¡ 2 ¡

Ez(r = 0, z, t) = E0 sin(ωt) ω

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SLIDE 3

TM ¡modes ¡

  • re ¡

PHYS ¡790-­‑D ¡Special ¡topics ¡in ¡Beam ¡Physics, ¡ Fall ¡2014 ¡ 3 ¡

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SLIDE 4

TM010 ¡mode ¡(taking ¡r<<R) ¡

  • In ¡the ¡paraxial ¡approxima=on: ¡
  • so ¡ ¡

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J0(x) ' 1 x2 4 J1(x) ' x 2 Ez(r, φ, z, t) = E0 cos(ωt) Er(r, φ, z, t) = 0

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SLIDE 5

radiofrequency ¡(RF) ¡accelera'on ¡

  • prac=cally ¡the ¡field ¡

is ¡wriZen ¡as ¡ ¡ ¡ ¡ with ¡ ¡ ¡ ¡ ¡being ¡an ¡ ¡ arbitrary ¡phase ¡

  • we ¡assume ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡when ¡ ¡

the ¡par=cle ¡is ¡in ¡the ¡center ¡

  • f ¡the ¡cavity. ¡ ¡ ¡ ¡ ¡

PHYS ¡790-­‑D ¡Special ¡topics ¡in ¡Beam ¡Physics, ¡ Fall ¡2014 ¡ 5 ¡

emission ¡ delay ¡ master ¡clock ¡

Ez = E0 sin(ωt + ϕ)

ϕ ϕ = 0

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SLIDE 6

Energy ¡gain ¡in ¡a ¡pillbox ¡cavity ¡1 ¡

  • carry ¡the ¡=me ¡integral ¡
  • we ¡assume ¡the ¡velocity ¡remains ¡constant ¡

during ¡accelera=on. ¡ ¡

6 ¡ PHYS ¡790-­‑D ¡Special ¡topics ¡in ¡Beam ¡Physics, ¡ Fall ¡2014 ¡

δE = qE0βc Z t+

t− cos(ωt + ϕ)dt

= qE0 Z +L/2

−L/2

cos ✓ ωz β(z)c + ϕ ◆ dz

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SLIDE 7

Energy ¡gain ¡in ¡a ¡pillbox ¡cavity ¡2 ¡

  • finally: ¡

PHYS ¡790-­‑D ¡Special ¡topics ¡in ¡Beam ¡Physics, ¡ Fall ¡2014 ¡ 7 ¡

δE = qE0LT cos ϕ T = sin ⇣

ωL βc

⌘

ωL βc

transit-­‑'me ¡factor ¡ accelera'ng ¡phase ¡ ¡ (or ¡off-­‑crest ¡phase) ¡

ωL βc

T

“DC” ¡

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SLIDE 8

Radial ¡effects ¡ ¡

  • Note ¡we ¡assumed ¡pencil ¡beam ¡
  • in ¡prac=ce: ¡

– beam ¡has ¡a ¡transverse ¡extent ¡ – beam ¡has ¡a ¡longitudinal ¡(temporal) ¡extent ¡

  • radial ¡extend ¡leads ¡to ¡varia=on ¡in ¡accelera=on ¡

across ¡the ¡beam ¡transverse ¡direc=on: ¡

PHYS ¡790-­‑D ¡Special ¡topics ¡in ¡Beam ¡Physics, ¡ Fall ¡2014 ¡ 8 ¡

δE(r) = δE ✓ 1 − r2 4 ◆

can ¡be ¡quan=fied ¡by ¡compu=ng ¡an ¡variance ¡in ¡energy… ¡

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SLIDE 9

Effect ¡of ¡non-­‑zero ¡temporal ¡extent ¡ ¡

  • temporal ¡extend ¡implies ¡that ¡the ¡bunch ¡

effec=vely ¡sample ¡a ¡range ¡of ¡accelera=ng ¡ ¡ phase ¡ ¡

  • so ¡that ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡where ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡is ¡the ¡phase ¡
  • ffset ¡of ¡the ¡considered ¡par=cle ¡within ¡the ¡

bunch ¡(and ¡ ¡ ¡ ¡ ¡is ¡the ¡reference ¡or ¡synchronous ¡ phase) ¡ ¡

PHYS ¡790-­‑D ¡Special ¡topics ¡in ¡Beam ¡Physics, ¡ Fall ¡2014 ¡ 9 ¡

so ¡the ¡accelera=on ¡along ¡a ¡bunch ¡is ¡not ¡monoenerge=c… ¡

φ → φ + δφ δφ ϕ δE(δφ) = qE0LT cos(ϕ + δϕ)

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SLIDE 10

Limita'on ¡of ¡the ¡pillbox ¡model ¡

  • cavi=es ¡have ¡holes ¡for ¡beam ¡to ¡pass ¡through ¡

the ¡cavity, ¡

  • the ¡axial ¡field ¡does ¡ ¡

not ¡have ¡a ¡hard-­‑edge ¡ ¡ profile ¡and ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡where ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡is ¡the ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡spa=al ¡field ¡profile ¡

PHYS ¡790-­‑D ¡Special ¡topics ¡in ¡Beam ¡Physics, ¡ Fall ¡2014 ¡ 10 ¡

2z/L

E(z, t) = E0f(z) cos(ωt + φ)

f(z)

f(z)

ideal ¡pillbox ¡

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SLIDE 11

How ¡to ¡find ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡? ¡ ¡

  • Can ¡apply ¡boundaries ¡condi=ons, ¡
  • in ¡essence ¡the ¡aperture ¡lead ¡to ¡diffrac=on ¡of ¡the ¡

field ¡and ¡its ¡leakage ¡outside ¡of ¡the ¡cavity ¡

  • As ¡already ¡discussed ¡this ¡leads ¡to ¡a ¡decrease ¡in ¡Q ¡
  • In ¡prac=ce ¡the ¡fields ¡

are ¡computed ¡using ¡ ¡ frequency-­‑domain ¡ simula=on ¡“eigen-­‑ ¡ solver” ¡ ¡ ¡ ¡

PHYS ¡790-­‑D ¡Special ¡topics ¡in ¡Beam ¡Physics, ¡ Fall ¡2014 ¡ 11 ¡

f(z)

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SLIDE 12

Transverse ¡fields ¡ ¡

  • with ¡the ¡knowledge ¡of ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡the ¡transverse ¡

field ¡can ¡be ¡es=mated ¡

  • assume ¡azimuthally ¡symmetric ¡cavity ¡then ¡
  • so ¡that ¡
  • and ¡likewise ¡for ¡B ¡

PHYS ¡790-­‑D ¡Special ¡topics ¡in ¡Beam ¡Physics, ¡ Fall ¡2014 ¡ 12 ¡

f(z)

r r r.E E E = 1 r d(rEr) dr + 1 r dEφ dφ + dEz dz

Er = −r 2 dEz dz = −E0 r 2 d f(z) dz

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SLIDE 13

Coupled ¡cavi'es ¡

  • Mo=va=on: ¡ ¡

– larger ¡accelera=on ¡length, ¡ – distributed ¡power ¡to ¡several ¡resonators ¡(reduce ¡ number ¡of ¡couplers ¡& ¡auxiliary ¡system ¡needed) ¡

  • “aZach” ¡several ¡resonators ¡together, ¡the ¡

coupling ¡occurs ¡via ¡cell-­‑to-­‑cell ¡(the ¡coupling ¡ hole ¡has ¡to ¡be ¡large ¡enough) ¡

PHYS ¡790-­‑D ¡Special ¡topics ¡in ¡Beam ¡Physics, ¡ Fall ¡2014 ¡ 13 ¡

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SLIDE 14

Modes ¡in ¡a ¡mul'-­‑cell ¡cavity ¡

  • example ¡of ¡a ¡2-­‑cell ¡ ¡

cavity ¡

  • can ¡be ¡treated ¡as ¡ ¡

2 ¡coupled ¡oscillators ¡ with ¡coupling ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡then ¡ ¡ two ¡eigenfrequencies: ¡ ¡

PHYS ¡790-­‑D ¡Special ¡topics ¡in ¡Beam ¡Physics, ¡ Fall ¡2014 ¡ 14 ¡

L D

ω1 = ω0 √ 1 + k ω2 = ω0 √ 1 − k

0 ¡mode; ¡oscillator ¡are ¡in ¡phases ¡ π ¡mode; ¡oscillator ¡are ¡in ¡phases ¡

TM010,0 TM010,π k

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SLIDE 15

Analogy ¡with ¡mechanical ¡oscillators ¡

  • example ¡

PHYS ¡790-­‑D ¡Special ¡topics ¡in ¡Beam ¡Physics, ¡ Fall ¡2014 ¡ 15 ¡

from ¡S. ¡Belomestnykh ¡SRF2005 ¡Ithaca ¡NY ¡