Ultracold atoms in optical lattices: beyond the Hubbard model - - PowerPoint PPT Presentation

Ultracold atoms in optical lattices: beyond the Hubbard model

Sebas&ano ¡Pila& ¡ The ¡“Abdus ¡Salam” ¡Interna(onal ¡Centre ¡for ¡Theore(cal ¡Physics ¡ Trieste-­‑ ¡Italy ¡ CORRELATIONS ¡IN ¡ULTRACOLD ¡ATOMIC ¡SYSTEMS ¡ 26th ¡-­‑ ¡27th ¡September ¡2013, ¡PADOVA ¡ COLLABORATORS: ¡ ¡ ¡ ¡Thuong ¡Nguyen ¡ ¡(SISSA/ICTP ¡– ¡Trieste) ¡ ¡ ¡Prof. ¡Ma9hias ¡Troyer, ¡Ilia ¡Zintchenko, ¡Ping ¡ ¡Nang ¡Ma ¡ ¡(ETH ¡-­‑ ¡ ¡Zurich) ¡ ¡ ¡Prof. ¡Xi ¡Dai ¡ ¡(Chinese ¡Academy ¡of ¡Science ¡-­‑ ¡Beijing) ¡

Mo(va(ons: ¡ exo(c ¡quantum ¡phenomena ¡due ¡to ¡strong ¡correla(ons ¡ ¡MoU ¡insulators ¡ ¡quantum ¡magne(sm ¡(ferromagne(sm, ¡an(f., ¡spin ¡liquids) ¡ giant ¡magnetoresistance ¡ High-­‑TC ¡superconductors ¡ ¡ ¡ ¡

Solid ¡state ¡systems: ¡ ¡difficult ¡(impossible) ¡ab-­‑ini(o ¡simula(ons ¡ Ultracold ¡atoms: ¡simple ¡and ¡tunable ¡è è ¡ ¡ ¡ideal ¡testbed ¡for ¡many-­‑body ¡theories ¡

Fes eshbac hbach res esonance

• nance

magne gnetic tic f fie ield ld

Tuning uning the he int inter eract action ion strengt ength h

s-­‑wave ¡scaUering ¡length ¡ “metastable” ¡ repulsive ¡branch ¡ aUrac(ve ¡branch ¡ BEC-­‑BCS ¡crossov. ¡

Per eriodic iodic pot potent entials ials: : opt

• ptical

ical la lattices ices

V

2 / λ = d

V0 ¡: ¡ ¡laser ¡intensity ¡ λ ¡ ¡ ¡: ¡ ¡laser ¡wavelength ¡

terms harmonic d x V x V + = ) / ( sin ) (

2

π

V0 >> ER

a << d

1) ¡Deep ¡op(cal ¡la\ces ¡

Single-­‑band ¡Bose-­‑Hubbard ¡model: ¡

INTERACTING ¡BOSONS ¡IN ¡OPTICAL ¡LATTICES ¡

2) ¡Weak ¡interac(ons ¡

ˆ H = −t bi

†b j i, j

∑

+ U 2 bi

†bi †bi bi i

∑

Jaksch, ¡Bruder, ¡Cirac, ¡Gardiner, ¡ ¡Zoller ¡ (1998) ¡

V0 ¡ d ¡ a

Superfluid ¡phase ¡ MoU ¡insulator ¡

• ¡ ¡Commensurate ¡density ¡ ¡ ¡nd3 ¡= ¡1 ¡
• ¡ ¡T ¡= ¡0 ¡

è strong ¡interacMons ¡kill ¡superfluidity ¡

INTERACTING ¡BOSONS ¡IN ¡OPTICAL ¡LATTICES ¡

weak ¡interac(ons ¡ strong ¡interac(ons ¡

Pr Prob

• ble

lems with sing s with single le ba band B nd Bose

• se - H
• Hub

ubba bard m d mode

• del:

l: ¡

• ¡valid ¡only ¡for ¡deep ¡la\ces ¡
• ¡interac(on ¡within ¡Born ¡approxima(on ¡
• ¡neglects ¡virtual ¡excita(ons ¡to ¡higher ¡bands ¡(strong ¡for ¡short-­‑range ¡interac(ons) ¡
• ¡No ¡density ¡assisted ¡hopping ¡
• ¡No ¡mul( ¡orbital ¡tunneling ¡
• ¡Anderson ¡(Science ¡2009): ¡there ¡is ¡no ¡bosonic ¡MoU ¡insulator!!! ¡

Dirk-­‑Sören ¡Lühmann, ¡Ole ¡Jürgensen ¡and ¡Klaus ¡ Sengstock ¡ 2012 ¡New ¡J. ¡Phys. ¡14 ¡033021 ¡

Con(nuous-­‑space ¡Hamiltonian: ¡

external ¡poten(al: ¡ Inter-­‑atomic ¡model ¡poten(al: ¡

ˆ H =

N

X

i=1

 ~2 2mr2

i + V (ri)

• +

X

i<j

v (rij)

V (r) = V0 X

α=x,y,z

sin2 (πα/d) v (r) = ⇢ ∞ if r < a

• therwise

Arbitrary ¡V0 ¡

a . d

(otherwise ¡non-­‑universal ¡effects) ¡

d ¡

V0

a ¡

NOTE: ¡not ¡zero-­‑range ¡pseudopoten?al, ¡ but ¡beBer ¡than ¡Born ¡approx. ¡

Superfluid to Mott insulator transition: experiment in Innsbruck

Mark, ¡ ¡Haller, ¡ ¡Lauber, ¡ ¡Danzl, ¡ ¡Daley, ¡ ¡Nägerl ¡ ¡ ¡Phys. ¡Rev. ¡Le9. ¡ ¡ ¡2011 ¡ → obtain VC vs a ¡

Doubly integrated density profile after time-of-flight

V0 / ER a / d

2 4 6 8 10 12 14 16 18 5•10-3 0.01 0.02 0.04 0.08 0.16 0.32 0.64

Superfluid ¡ Insulator ¡

˜ ˜ har hard-s d-spher pheres es in in OL OL (cont cont. . space) pace) —— —— Bos

• se-Hub

e-Hubbar bard ♦ Exp xp. . (Inns nnsbr bruc uck) k)

Phase diagram at T = 0 nd3 ¡= ¡1 ¡

• pt
• ptical

ical la lattice ice int intens ensit ity

• ¡single-­‑band ¡Bose-­‑Hubbard ¡model: ¡ ¡ ¡ ¡ ¡Capogrosso-­‑Sansone ¡et ¡al. ¡PRB ¡75 ¡134302 ¡(2007) ¡
• ¡Hard-­‑sphere ¡freezing: ¡ ¡na3 ¡= ¡0.265(1) ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡Rota, ¡Giorgini ¡(Private ¡Communica(ons) ¡

S.P., ¡Troyer ¡ ¡PRL ¡ ¡(2012) ¡

freez eezing ing dens densit ity

Int nter eract action ion strengt ength h

?

interac(on ¡strength ¡ temperature ¡

Trotzky ¡et ¡al. ¡Nature ¡Phys. ¡6, ¡998-­‑1004 ¡(2010) ¡

Qualita(ve ¡finite ¡temperature ¡phase ¡diagram ¡

TC = T 0

C

h 1 + Cn1/3a + · · · i

Homogenous ¡Bose ¡gases ¡ ¡(V0 ¡= ¡0) ¡

C ¡= ¡1.29(5) ¡

Kashurnikov, ¡Prokof’ev, ¡Svistunov ¡PRL ¡2001 ¡ Arnold, ¡Moore ¡PRL ¡2001 ¡ S.P. ¡Giorgini, ¡Prokof’ev ¡PRL ¡2008 ¡

è interacMons ¡favor ¡superfluidity ¡

CriMcal ¡T ¡of ¡homogeneous ¡ideal ¡Bose ¡Gas ¡ T 0

C ∼

= 3.3125~2 mkB n2/3

Baym ¡et ¡al. ¡1999 ¡

1 1.02 1.04 1.06 1.08 1.1 0.1 0.2 0.3

T / TC n1/3a

1+1.29n1/3a ¡ interacMon ¡strength ¡ CriMcal ¡temperature ¡

SP, ¡Giorgini, ¡Prokof’ev ¡PRL ¡2008 ¡ hard-­‑spheres ¡

hard-­‑sphere ¡freezing: ¡ n1/3a ¡= ¡0.62 ¡ Rota,Giorgini ¡(private ¡com.) ¡

non ¡universal ¡

è interacMons ¡favor ¡superfluidity ¡

Cri(cal ¡temperature ¡of ¡interac(ng ¡Bose ¡gases ¡in ¡op(cal ¡la\ces ¡

Nguyen, ¡Herrmann, ¡Troyer, ¡S.P. ¡ ¡in ¡prepara&on ¡

0.01 0.02 0.03 0.04 0.0025 0.005 0.0075 0.01

TC / TC a / d

0.2 0.4 0.6 0.8 1 0.1 0.2 0.3 0.4

TC / TC a / d

nd3 = 1

V0 = 0 V0 = 2TC V0 = 3TC V0 = 5TC V0 = 7TC

V0 ¡= ¡4.7ER ¡ V0 ¡= ¡0 ¡

V0 ¡= ¡4.7ER ¡ V0 ¡= ¡0 ¡

nd3 ¡= ¡1 ¡

è ¡ ¡interacMons ¡and ¡periodic ¡potenMal ¡ cooperate ¡

1 2 1 2 3 4 5 6

TC / ER nd3

filling ¡

non-­‑int. ¡gas ¡in ¡OL ¡ non-­‑int. ¡gas ¡in ¡free ¡space ¡ ¡ Tc

0 ¡α ¡n2/3 ¡

• int. ¡gas ¡in ¡OL ¡

TC

0 ¡α ¡n ¡

Fixed ¡sca9ering ¡length ¡

• int. ¡gas ¡in ¡free ¡space ¡

Two-component

• -component repuls

epulsiv ive e Fer ermi mi gas gas

interac(on ¡strength ¡

SPIN UP: SPIN DOWN:

Mean-field theory: kFa = 1.57 (Stoner model) 2nd order pert. Th.: kFa = 1.054 Duine, MacDonald PRL 2009 QMC: kFa ≈ 0.8 Chang et al. PNAS 2011

• S. P., Bertaina, Giorgini, Troyer PRL 2010

Conduit et al. PRL 2009

Fermions in free space

→ ¡ ¡STONER INSTABILITY However ¡: ¡ ¡ ¡instability ¡against ¡molecule ¡forma(on ¡ ¡

¡Pekker ¡et ¡al. ¡PRL(2011) ¡ ¡Lee ¡et ¡al., ¡PRA ¡85 ¡063615 ¡ ¡(exp ¡@ ¡MIT ¡2012) ¡ ¡ ¡ ¡→ maximum kFa ≈ 0.25 ¡

nd3 ¡= ¡0.75 ¡

Repulsive ¡Fermi ¡gases ¡in ¡Op(cal ¡la\ces: ¡ferromagne(c ¡transi(on ¡

Repulsive ¡Hubbard ¡model: ¡ infinite ¡U ¡ ¡-­‑> ¡FerromagneMsm ¡at ¡nd3 ¡≈ ¡0.75 ¡ ¡ ¡ ¡Becca ¡Sorella ¡2001, ¡ ¡Park ¡ ¡Haule ¡Marianen ¡Kotliar ¡2008, ¡ ¡ ¡ ¡Liu ¡Yao ¡Berg ¡White ¡Kivelson ¡2012 ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ finite ¡U ¡ ¡-­‑> ¡no ¡ferromagneMsm ¡for ¡nd3 ¡ ¡<= ¡0.5 ¡ ¡ ¡ ¡ ¡Chang ¡Zhang ¡Ceperley ¡2010 ¡

S.P., ¡Zintchenko, ¡Troyer ¡ arXiv:1308.1672 ¡(2013) ¡

V0 / ER a / d

1 2 3 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4

Fixed-­‑node ¡diffusion ¡Monte ¡carlo ¡

ParamagneMc ¡ fully ¡ferromagneMc ¡

SUMMARY: ¡

§ ¡QMC ¡simula(ons ¡for ¡(shallow) ¡op(cal ¡la\ces ¡can ¡be ¡done ¡in ¡con(nuous ¡ space ¡ § ¡repulsive ¡Bose ¡gases: ¡ ¡ Ø ¡interac(ons ¡+ ¡OL ¡ ¡ ¡ ¡è è ¡ ¡ ¡sharp ¡increase ¡of ¡TC ¡ Ø ¡MoU ¡insulator ¡transi(on: ¡agreement ¡with ¡exp@Innsbruck ¡ ¡quasi-­‑agreement ¡with ¡Bose-­‑Hubbard ¡model ¡ ¡ § ¡repulsive ¡Fermi ¡gases: ¡ ¡weak ¡OLs ¡favour ¡ferromagne(sm ¡ ¡è è beyond ¡Hubbard ¡model: ¡density-­‑induced ¡hopping, ¡ ¡mul(-­‑ band ¡processes. ¡etc. ¡

Amadon, ¡Hirsch ¡1996 ¡ Luehmann, ¡Juergensen, ¡Sengstock ¡NJP ¡2012 ¡ Lacki, ¡Delande, ¡Zakrzebewski ¡NJP ¡2013 ¡ Bissbort, ¡Deuretzbacher, ¡Hofste9er ¡PRA ¡2012 ¡

Two-component Fermi gases in optical lattices

fer erroma

• magnet

gnetic ic phas phase e ant anti-f i-fer erroma

• magnet

gnetic ic phas phase e

→ QUANTUM MAGNETISM

Note: in atomic gases the number of spin-up and spin-down particles are fixed

Bosons: ¡ ¡ ¡ ¡single-­‑band ¡Hubbard ¡model ¡

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

x x y y y x y x x x x x ψ ψ ψ ψ ψ ψ

+ + +

− + ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + Δ − =

∫ ∫

int ext

V d d V m d H 2 1 2

2



( ) ( )

∑

+ +

=

n i n i n i w

b

, ,

x x ψ

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

∫

− = x x y y y x y x

n i m j m j n i j m i n j m i n

w w w w V d d U

' ' ' ' int ' , ' ; ' , ' , ; ,

( ) ( )

r r δ π m a Vint

2

4  =

H = −t bi

+b j + ij

∑

+ U 2 b j

+b j +bi bi i

∑

Single-­‑band ¡Bose-­‑Hubbard ¡model: ¡

NOTE: ¡not ¡the ¡zero-­‑range ¡Fermi-­‑Huang ¡pseudopotenMal ¡! ¡

Un,i;m, j

n',i';m', j' ⇒ Ui,i;i,i 0000

Pr Prob

• ble

lems with sing s with single le ba band B nd Bose

• se - H
• Hub

ubba bard m d mode

• del:

l: ¡

• ¡valid ¡only ¡for ¡deep ¡la\ces ¡
• ¡neglects ¡virtual ¡excita(ons ¡to ¡higher ¡bands ¡(strong ¡for ¡short-­‑range ¡interac(ons) ¡
• ¡No ¡density ¡assisted ¡hopping ¡
• ¡No ¡mul( ¡orbital ¡tunneling ¡
• ¡Anderson ¡(Science ¡2009): ¡there ¡is ¡no ¡bosonic ¡MoU ¡insulator!!! ¡

Dirk-­‑Sören ¡Lühmann, ¡Ole ¡Jürgensen ¡and ¡Klaus ¡ Sengstock ¡ 2012 ¡New ¡J. ¡Phys. ¡14 ¡033021 ¡

0.2 0.4 0.6 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

n0 / n V0 / ER

10-3 10-2 10-1 4 5 6 7 8 9 10

L / d

V0/Er = 3.7 V0/Er = 3.8 V0/Er = 3.9 V0/Er = 4.0 V0/Er = 4.1

Superfluid to insulator transition nd3 ¡ ¡= ¡ ¡1 ¡ a ¡/ ¡d ¡= ¡0.3 ¡

φ (l1, . . . , lN) = exp 2 4−γ X

i<j

δlilj 3 5

ψL (r1, . . . , rN) =

N

Y

i=1

wli (ri)

ΨT (R) = X

L

φ (L) ψL (R)

L = (l1, . . . , lN)

Z dR → X

L

Z dR

R = (r1, . . . , rN)

R → (R, L)

Hybrid ¡ground-­‑state ¡path ¡integral ¡Monte ¡Carlo ¡(PIGS) ¡

wli(ri)

˜ ˜ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡˜ ˜ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡˜ ˜ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡˜ ˜ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡˜ ˜ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡˜ ˜ ¡ ¡ 1 ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡2 ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡... ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡li ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡li+1 ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡.... ¡ ¡ Bosonic ¡Gutzwiller ¡wave ¡funcMon ¡

τ β ΨT(R) ΨT(R) Ψ0(R)

Method: ¡ground ¡state ¡path ¡integral ¡MC ¡ ¡(PIGS) ¡

h ˆ Oi = R dRdR0Ψ⇤

T (R) e β

2 ˆ

H ˆ

Oe β

2 ˆ

HΨT (R0)

R dRdR0Ψ⇤

T (R) eβ ˆ HΨT (R0)

β/2

Problems ¡near ¡quantum ¡cri(cal ¡point: ¡ ¡β ∼ ξz

GROUND-­‑STATE ¡PHASE ¡DIAGRAM ¡

increasing ¡OL ¡intensity ¡

• param. ¡
• part. ¡pol. ¡ferrom. ¡

fully ¡pol.ferrom. ¡

• param. ¡

Kohn ¡Sham-­‑DFT ¡with ¡LSDA ¡for ¡a ¡repulsive ¡Fermi ¡gas ¡in ¡OL ¡

Ma, ¡SP, ¡Xi, ¡Troyer, ¡Nature ¡Physics ¡2012 ¡

Phase ¡diagram ¡at ¡half-­‑filling ¡

staggered ¡polariza(on ¡– ¡uniform ¡polariza(on ¡

• ferrom. ¡

an(-­‑ferrom. ¡

nd3 ¡= ¡1 ¡

Ma, ¡SP, ¡Xi, ¡Troyer, ¡Nature ¡Physics ¡2012 ¡ short ¡range ¡an(-­‑ferromagne(c ¡order ¡observed ¡@ ¡ETH ¡ Science ¡340, ¡1307-­‑1310 ¡(2013) ¡

ΨT (R) ' Y

i,j

bk=0 (ri) Y

i

f (rij)

wl(r) = M −1/2 X

k

exp (−ik · l) bk(r)

bk(r) = M −1/2 X

l

exp (ik · l) wl(r)

γ = ∞

γ = 0

Bloch ¡func(on ¡ Wannier ¡func(on ¡

ΨT(R) = Perm [wl(ri)] Y

i,j

f(ri,j)